ControlDeProcesosV3

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ControlDe Proc e sosV3 - slide pdf.c om

CONTROL DE PROCESOS ´ PRACTICO Y AVANZADO ARTURO ROJAS MORENO, Ph.D.

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Modelado de Procesos Sistemas de Instrumentaci´ on Elementos Finales de Control Control PID SISO Estrategias de Control PID Control PID MIMO Control Inteligente Programas fuente en MATLAB

TECSUP

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´ CONTROL DE PROCESOS PRACTICO Y AVANZADO

c 2011 Arturo Rojas-Moreno. Todos los derechos reservados. Copyright  ISBN

Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización escrita del propietario del “Copyright”.


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A la Memoria de mis Padres


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´ Indice general III

IX

Prefacio 1. Introducci´ on 1.1. Sistema de Control a Lazo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sistema de Control a Lazo Abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Din´ a mica Lineal de los Elementos Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . 2. El Proceso a Controlar 2.1. Procesos con Comportamiento Proporcional . . . . 2.2. Procesos de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Procesos de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . 2.4. Procesos Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Procesos con Tiempo Muerto . . . . . . . . . . . . 2.6. Procesos de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . 2.7. El Motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Modelo MIMO del Proceso Tanque Cerrado . . . . 2.8.1. Descripci´ on del Proceso . . . . . . . . . . . 2.8.2. Modelo Dinámico No Lineal del Proceso . . 2.8.3. Modelo Dinámico de Lagrange del Proceso 2.8.4. Modelo Dinámico Lineal del Proceso . . . . 2.9. Respuesta Transitoria de los Procesos . . . . . . . 2.9.1. Respuesta al Escal´ on . . . . . . . . . . . . . 2.9.2. Método del 28.3 % y 63.2 % . . . . . . . . . 2.9.3. Otras Respuestas al Escal´ on y al Impulso . 2.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. El Sistema de Instrumentaci´ on 45 3.1. Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1. Caracter´ısticas Est´ aticas y Dinámicas . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.2. Principios de los sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4. Elementos Finales de Control 51 4.1. Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


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´ INDICE GENERAL

VI

5. Control PID SISO 5.1. Sistema de Control SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Especificaciones de Dise˜ no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Especificaciones de Dise˜ n o en el Dominio del Tiempo . . . . . 5.2.2. Especificaciones de Dise˜ n o en el Dominio de la Frecuencia . . 5.3. Modos de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Estructuras del Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Algunas Estructuras B´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. La Banda Proporcional BP % . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. M´ etodos de Sintonización de Controladores PID . . . . . . . . . . . 5.5.1. Método de la Curva de Reacci´ o n (Sistemas Autoregulados) . 5.5.2. Método de las Oscilaciones Sostenidas . . . . . . . . . . . . . 5.5.3. Método del Relé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4. Método de las Oscilaciones Amortiguadas . . . . . . . . . . . 5.5.5. Métodos Basado en la Minimizaci´ on de un Índice . . . . . . . 5.5.6. Uso de la Curva de Reacci´ on en Sistemas No Autoregulados . 5.6. Control PID del Sistema SDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. El Efecto Windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. El Algoritmo PID Discreto Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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55 55 57 57 59 65 65 65 68 70 71 85 91 93 95 100 106 108 110 115

6. Otras Estrategias de Control 119 6.1. Control en Cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Control la Raz´ on .. .. .. Control de Anticipativo Control Selectivo . . . . . Control de Rango Partido

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7. Control PID Multivariable 7.1. Control MIMO v´ıa Desacoplamiento . . 7.1.1. No Interacci´ on . . . . . . . . . . 7.1.2. Exactitud Estática . . . . . . . . 7.1.3. Estabilidad . . . . . . . . . . . . 7.2. Control PID MIMO con Desacopladores

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7.3. Control P MIMO empleando el 7.3.1. Procedimiento de Dise˜ noCriterio . . . .de . .Hurwitz . . . . .. 7.3.2. El Criterio de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . 7.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A. Matem´ atica para Sistemas Continuos A.1. La Transformada Unilateral de Laplace . . . . . . A.1.1. Definici´ on y Ejemplos . . . . . . . . . . . . A.1.2. La Transformada Inversa de Laplace . . . . A.1.3. La Funci´ o n de Transferencia . . . . . . . . A.1.4. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . .

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A.2. Matrices y Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 A.2.1. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164


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´ INDICE GENERAL

A.3.

A.4. A.5. A.6.

A.7.

A.2.2. Tipos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3. Determinantes y Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . A.2.4. Rango, Eigenvectores y Pseudoinversas . . . . . . . . . . . A.2.5. Diagonalizaci´ on de Matrices y Formas Canó nicas . . . . . Variables de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Ejemplo de Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2. Definici´ o n de Variables de Estado . . . . . . . . . . . . . . A.3.3. Matriz de Transferencia y Estabilidad . . . . . . . . . . . A.3.4. Controlabilidad y Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . A.3.5. Solución de la Ecuació n de Estado de SLITs Continuos . A.3.6. Formas Can´ o nicas SISO en el Espacio de Estado . . . . . Discretizaci´ on Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas con Tiempo Muerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linealizaci´ o n de Sistemas Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . A.6.1. Caso SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6.2. Caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P roblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

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B. Fundamentos de MATLAB y Simulink B.1. Fundamentos de MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.1. El Entorno de Trabajo de MATLAB . . . . . . . . . . . . . . B.1.2. Comandos y Funciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.3. Creaci´ o n de Archivos Tipo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.4. Matem´ aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.5. Gr´ aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.6. Matem´ atica Simbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.7. Simulaci´ o n de un Sistema de Control . . . . . . . . . . . . . . B.2. Fundamentos de Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1. Fundamentos del Software Simulink . . . . . . . . . . . . . . B.2.2. Creaci´ o n de un Modelo Simulink . . . . . . . . . . . . . . . .

217 . 217 . 217 . 218 . 220 . 221 . . . . . .

228 229 231 234 234 238

B . ibliograf´ıa

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´ Indice . alfab´ etico

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Prefacio Esta publicación está dirigida a todos los profesionales, cient´ıficos, especialistas y estudiantes interesados en familiarizarse con el modelado, la simulación y el control de procesos industriales. Tanto modelos lineales como no lineales se emplean en esta publicación para representar la dinámica de los procesos tratados. El libro se denomina Control de Procesos Práctico y Avanzado porque su contenido abarca tanto temas relacionados con el diseño práctico de sistemas de control de una entrada y una salida empleando controladores PID (Proporcional Integral Derivativo), as´ı como tambi´ en temas avanzados del control de procesos tales como: Control PID multivariable, control de procesos empleando estrategias (cascada, razón, rango partido, anticipativo, selectivo) y control con inteligencia artificial (control fuzzy y control neuronal). En todos los Cap´ıtulo que lo conforman, este libro usa intensivamente el software MATLAB para el cálculo, dise˜ no y simulación de sistemas de control de proce

sos. Tambi´ eSimulink n se emplea software de Simulink , elsu cual trabaja dentro delendice entorno MATLAB. usa el diagramas bloques en programaci´ on. El Ap´ B: Fundamentos de MATLAB y Simulink, es lectura primordial para los lectores poco familiarizados con estos programas. Todos los programas empleados en este libro se pueden ejecutar sin problemas en versiones recientes de MATLAB. Estos programas fuente se pueden descargar del enlace Descargas de: www.ctlima.com. Para asimilar sin dificultad el contenido de este libro, el lector requiere haber llevado los cursos de matemática, f´ısica y fundamentos de control automático dictados en una Universidad o Instituto. Sin embargo, se recomienda que el lector se remita al Apéndice A: Matemáticas para el Control de Procesos, donde, empleando intensivamente la herramienta MATLAB, se hace un repaso de los tópicos de matemáticas requeridos en el desarrollo de los Cap´ıtulos de este libro. El procedimiento de dise˜ no de sistemas de control empleado en este libro comprende básicamente: la formulación del problema a resolver, el modelado del proceso, el dise˜ no del algoritmo de control, y verificación del sistema de control dise˜ nado v´ıa simulaci´ on. Esta publicación puede ser usada como: Libro texto para cursos relacionados con el Control de Procesos. Libro texto para cursos relacionados con el Control Avanzado de Procesos. Libro de consulta en diferentes cursos de instrumentación y control.


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Prefacio

X

Libro de consulta en temas relacionados con el dise˜ no e implementació n de sistemas de control. La organizaci´ on de este libro comprende los cap´ıtulos siguientes:

Cap´ıtulo 1: Introducci´ on. Este cap´ıtulo presenta una introducción sucinta sobre los sistemas de control a lazo cerrado y a lazo abierto, describiendo brevemente sus componentes. Antes de abordar los siguientes cap´ıtulos se recomienda leer los Apéndices A y B. opicos relevantes de los Cap´ıtulo 2: Sistemas de Instrumentaci´ on. Algunos t´ sistemas de instrumentación se tratan en este Cap´ıtulo, incluyendo el cálculo de placas de orificio y el dise˜ no de circuitos acondicionadores de se˜ nal.

Cap´ıtulo 3: Elementos Finales de Control. Diferentes tipos de elementos de control final son descritos en este Cap´ıtulo, que también incluye el cálculo de válvulas de control. Cap´ıtulo 4: Modelado de Sistemas Lineales. En este cap´ıtulo se elaboran y simulan los modelos dinámicos de varios procesos de comportamiento lineal. Cap´ıtulo 5: Modelado de Sistemas No Lineales. Los modelos dinámicos no lineales de diversos procesos son desarrollados y simulados en este cap´ıtulo. El control PIDes(Proporcional Derivativo) Cap´ıtulo 6: Control PID.Single de procesos SISO (Single Input Output) el más usadoIntegral en la industria. Por ello, esta publicaci´ on le dedica un Cap´ıtulo.

Cap´ıtulo 7: Control PID MIMO. Varios métodos de control PID aplicados a procesos MIMO (Multiple Input Multiple Output), caracterizados por múltiples entradas y m´ ultiples salidas, se tratan en este cap´ıtulo. Cap´ıtulo 8: Control Fuzzy. El control de procesos empleando inteligencia artificial está cobrando mayor importancia en la industria en razó n a sus m´ ultiples aplicaciones exitosas. Este Cap´ıtulo trata sobre el control fuzzy (difuso o borroso), el cual es una técnica de control inteligente.

Cap´ıtulo 8: Control Neuronal. Este Cap´ıtulo se ocupa del control neuronal de procesos, el cual es otra técnica de control que emplea inteligencia artificial en su dise˜ no. Ap´ endice A: Matem´ atica para el Control de Procesos. Este Apéndice trata algunos tópicos de matemática aplicada que son necesarios para el mejor entendimiento de los cap´ıtulos presentados. Se pone énfasis en la solución de problemas matemáticos empleando software. Ap´ endice B: Fundamentos de MATLAB y Simulink. Este cap´ıtulo se ocupa de la teor´ıa y aplicaciones del paquete MATLAB/SIMULINK.


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XI

VIENEN AGRADECIMIENTOS.

Arturo Rojas Moreno, Ph.D. [email protected] www.ctlima.com


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Cap´ıtulo 1

Introducci´ on En este Cap´ıtulo se hace un breve introducci´ on sobre los sistemas de control a lazo cerrado y a lazo abierto, describiendo brevemente sus componentes e incluyendo ejemplos industriales para reforzar la comprensión de los conceptos. Tales componentes son: el proceso cuya variable de salida se desea controlar, el sistema de instrumentació n que sensa y transmite la variable a controlar, el controlador que procesa la desviación entre el valor de la variable a controlar con respecto a una señal deseada con el propósito de generar una se˜ nal de control, y el elemento de control final que recibe la señal generada por el controlador para efectuar cambios en el proceso con la finalidad de que la desviación anteriormente descrita se reduzca a cero.

1.1.

Sistema de Control a Lazo Cerrado

La Fig. 1.1 muestra el diagrama de bloques (la interrelación entre sus componentes) de un sistema de control a lazo cerrado. A continuación vamos a describir sucintamente sus componentes. Controlador de realimentación SP r

e

Algoritmo de Control

Disturbios MV u

Elemento final de control

PV y Proceso

Sensor más Transmisor Sistema de Instrumentación

Fig. 1.1: Sistema de control a lazo cerrado.

El Proceso El bloque proceso representa un cambio f´ısico o qu´ımico de la materia. As´ı tenemos los procesos de calefacción, enfriamiento, mezcla, fundición, separación, destilaci´ on,


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Introducci´ on

llenado y vaciado, evaporación, cocci´ on, entre otros. Los instrumentos son dispositivos que se emplean en los procesos para monitorearlos y controlarlos, lo cual se logra mediante la medició n de algunas de sus caracter´ısticas, tambi´ en denominadas los par´ ametros del proceso. Algunos ejemplos de caracter´ısticas del proceso son: capacitancia, inductancia, resistencia, voltaje, corriente, peso, presión, aceleraci´ on, sonido, color, nivel, temperatura, humedad, densidad, contenido de humedad, viscocidad, dimensión, concentración de pH, flujo, velocidad, espesor, gravedad espec´ıfica, entre otros. La variable y mostrada en Fig. 1.4, conocida tambi´ en como PV (Process Variable), es la variable controlada o salida del proceso.

El Sistema de Instrumentaci´ on Es com´ un que un proceso posea varios parámetros que necesitan ser monitoreadas simultáneamente. Esto se logra por lo general, empleando un sistema de instrumentaci´ on para cada parámetro (ver Fig. 1.1). Cada sistema de instrumentación consta de un sensor que proporciona la (variable medida ) , y de un transmisor que cambia dicha variable en una se˜ nal estandarizada que pueda ser transmitida. La variable medida representa entonces la condición actual de la variable controlada y. En algunos casos, la variable medida y la variable controlada es la misma variable. Por ejemplo, la medición y control de la variable velocidad de un motor DC (Direct Current). Sin embargo, en otros casos, la variable medida y la variable controlada pueden ser diferentes. Este es el caso del control de nivel de un l´ıquido en un tanque, que puede ser realizado midiendo la presión en el fondo del tanque. Es decir, en este caso medimos presión para controlar nivel. Se˜ nales estandarizadas que se emplean en el control de procesos son: 4 a 20 mA (miliamperio), 3 a 15 psi (libra por pulgada cuadrada) y 0.2 a 1 bar. Otros rangos de señales tambi´ en son empleados: 0 a 10 V (volt), 10 a + 10 V, etc. El transmisor tambi´ en es conocido como convertidor, transductor, y en general como un acondicionador de se˜ nales. Si fuera necesario, un acondicionador de señal se puede dise˜ nar empleando opamps (amplificadores operacionales) en su implementaci´ on. En muchos casos, el sensor y el transmisor son parte de un solo instrumento. Los sistemas de instrumentaci´ on actuales tambi´ en incluyen hardware para almacenar algoritmos y rutinas de cálculo, y para el procesamiento de señales digitales empleando protocolos industriales de comunicación. Los sistemas de instrumentación inteligente

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reciben dicha denominación, por que poseen la capacidad de procesar señales digitales. En general, los sistema de instrumentaci´ on se aplican a los procesos para: indicar el valor de una variable, registrar y almacenar los valores de una variable, controlar una variable, fijar alarmas en los casos que una variable alcanza un determinado valor, y como enclavamiento, es decir, haciendo que una variable cause una acción cuando alcance un valor previamente establecido.

El Controlador Para lograr control en la Fig. 1.1, se requiere que el valor de la variable medida tienda a ser el valor de la se˜ nal de referencia r o SP (Set Point), que es la se˜ nal deseada de la variable controlada. En otras palabras, en los sistemas de control a lazo


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1.1 Sistema de Control a Lazo Cerrado

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cerrado, las se˜ nales r e y son comparadas. La diferencia entre ellas es la se˜ nal de error e, llamada también señal de desviación. Cuando existe una desviación, es necesario actuar para eliminarla. Esta acción incluye el ajuste y la acción de una se˜ nal o fuerza de control u, denominada también la variable manipulada MV (Manipulated Variable), para minimizar el error; es decir, para hacer que la señal y siga a r, cumpliendo ciertas especificaciones de dise˜ no (sección 5.2). Por ejemplo, la velocidad de un carro se controla comparando el valor indicado por el veloc´ımetro (la variable medida) con el valor l´ımite de la velocidad (la variable deseada o SP). Si existe una desviación, se tiene que ajustar mediante el pedal del acelerador una cierta cantidad de gas (la variable manipulada MV) para cambiar la velocidad (la variable controlada o PV). El bloque denominado controlador (ver la Fig. 1.1), es el que procesa la se˜ nal de error e empleando un algoritmo de control , para generar la ley de control u que va hacia el elemento de control final . El agregado de la palabra realimentación, que en general no es necesario, sólo es para indicar en este caso que tal controlador forma parte de un sistema de control realimentado. La función del controlador mostrado en la la Fig. 1.1 se logra llevando a cabo tres pasos. El primero consiste en recopilar información acerca de la variable del proceso que se desea controlar. Luego, usar convenientemente dicha información para tomar una decisión con relación a la condición del proceso. Finalmente, tomar una acción basada en tal decisión, empleando para ello el elemento de control final. Es importante anotar que para mantener el control, la recopilación de información debe de ser continua y permanentemente evaluada. Estas acciones aseguran que la variable controlada se mantenga en el valor deseado previamente establecido. Considere el sistema de control de temperatura que posee la terma eléctrica de una vivienda, en donde la acción de control se realiza conectando o desconectando a la red la resistencia de calefacción para aumentar o disminuir la temperatura del agua en la terma, correspondientemente. En un primer paso, un sensor de temperatura detecta la temperatura actual y la compara con una temperatura de referencia previamente establecida. Como resultado de la comparaci´ on, se decide que es necesario cambiar la condición del proceso: aumentar o disminuir la temperatura. Finalmente, se toma la acción correspondiente: conectar la resistencia a la red para aumentar la temperatura del agua, o desconectarla para disminuirla. El control se puede realizar en forma manual o en forma autom´ atica. En el control manual, decisión la La realiza la es persona, en elatico control atico la realiza unladispositivo. terma un casomientras de controlque autom´ de laautom´ temperatura, mientras que la conducción de un carro para mantenerlo a una velocidad constante, es un caso de control manual.

El Elemento Final de Control (EFC) El controlador genera una señal que por si misma no posee la potencia necesaria para provocar cambios en el proceso. Por tal razón, la se˜ nal de salida del controlador va hacia el elemento final de control (EFC), el cual s´ı posee la capacidad de efectuar cambios en el proceso con el propósito de disminuir el error e = r y. Por consiguiente,

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el EFC es el hardware que implementa la decisión tomada por el controlador. La fuente de energ´ıa común del EFC puede ser eléctrica, neumática e hidráulica.


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Introducci´ on

Ejemplos de EFC eléctricos son los motores AC y DC, motores paso a paso, válvulas de control motóricas, solenoides, relés, entre otros. Entre los EFC hidráulicos y neumáticos tenemos: válvulas neumáticas, pistones hidráulicos y neumáticos, motores hidráulicos y neumáticos, etc. Dependiendo del tipo de EFC, en muchos casos será necesario incluir un convertidor (o transmisor) de señal entre el controlador y el EFC, tal como se muestra en el ejemplo 1.1.

Los Disturbios Adem´ as de la variable manipulada, otros factores pueden afectar la variable controlada. Por ejemplo, la velocidad del carro puede ser afectada por la resistencia del viento y por la calidad de la pista. Por otro lado, La temperatura del agua en la terma puede ser afectada por un mal aislamiento del tanque o por la cambiante temperatura del entorno. En control de procesos, estos factores se denominan disturbios. Para compensar la acción de los disturbios, se requiere de una continua circulación de la información sobre el proceso. En el sistema de control a lazo cerrado de la Fig. 1.1, la información fluye constantemente hacia los instrumentos. Tal informació n es denotada como realimentación. Todos los instrumentos y dispositivos que intervienen en el control de un proceso son referidos como el lazo de control realimentado.

Ejemplo 1.1 En el sistema de control de flujo mostrado en la Fig. 1.2(a), indicar sus componentes y las se˜ nales normalizadas. Este sistema emplea como sensor de flujo una placa de orificio para producir la ca´ıda de presi´ o n ∆P = P1 P2, con la finalidad de tener una medición indirecta del flujo F, pues sabemos que tal flujo es proporcional a la ra´ız cuadrada de ∆P.

−

Soluci´ on: Ver Fig. 1.3(b). Observar que se requiere un primer transmisor para realizar la operación F = C ∆P , donde C es una constante de proporcionalidad, y luego convertir esta operación en una se˜ nal de corriente estandarizada (4 a 20 mA). El signo ra´ız cuadrada a un costado del transmisor indica esta operación. Notar también que ha sido necesario incluir un segundo transmisor para convertir 4 a 20 mA al rango de 3 a 15 psi, dado que el actuador de la válvula trabaja con se˜ nal neumática

√

estandarizada.

Ejemplo 1.2 En el sistema de control de temperatura mostrado en la Fig. 1.3, indicar cuá l es la señal disturbio y porqué. Este sistema emplea como sensor una termoresistencia, cuya salida es un valor de resistencia eléctrica, la cual es proporcional a la temperatura en el interior del tanque. Los valores de resistencia se convierten a se˜ nales estandarizadas de 4 a 20 mA mediante el transmisor. Observar que la válvula de control posee un actuador el´ ectrico porque trabaja con una se˜ nal de 4 a 20 mA. Esta señal alimenta a un motor DC (el actuador). El movimiento de rotación del eje del motor se convierte en un movimiento de traslación para hacer desplazar el eje de la válvula.


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1.1 Sistema de Control a Lazo Cerrado

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CONTROLADOR

TRANSMISOR

TRANSMISOR

ACTUADOR F P1 P2 PLACA DE ORIFICIO

VÁLVULA NEUMÁTICA

(a) 4 − 20 mA

4 − 20 mA

SP CONTROLADOR 4 − 20 mA PV TRANSMISOR

TRANSMISOR

ACTUADOR P

MV

3 − 15 psi

PROCESO

F

EFC: VÁLVULA DE CONTROL NEUMÁTICA

P1 P2 SENSOR: PLACA DE ORIFICIO (b)

Fig. 1.2: (a) Sistema de control de flujo. (b) Solución al ejercicio 1.1.

Sensor (ohm)

Transmisor MV 4−20 mA

Producto

PV 4−20 m

Controlador SP 4−20 mA Agua caliente

Fig. 1.3: Sistema de control de temperatura.

Soluci´ on: El flujo del producto que ingresa al tanque constituye la señal de disturbio. Mientras mas brusca sea la variación del flujo de producto, mayor será la dificultad para que la se˜ nal PV siga a la señal SP.


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6

Introducci´ on

1.2.

Sistema de Control a Lazo Abierto

La Fig. 1.4 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control a lazo abierto, donde podemos observar que no existe un lazo de realimentación. Dicho lazo si está presente en el sistema de control de la Fig. 1.1.

SP r

Disturbios MV Controlador anticipativo

u

Elemento final de control

PV y Proceso

Sensor más Transmisor

Sistema de Instrumentación

Fig. 1.4: Sistemas de control a lazo abierto.

Cuando el controlador de la Fig. 1.4 se reemplaza, por ejemplo, por un PLC (Programmable Logic Controller), entonces el sistema de control a lazo abierto se convierte en un mando programable, el cual se emplea en la industria en muchas tareas de automatización que tienen que ver principalmente con aperturas y cierres temporizados de válvulas y otros actuadores. La programación de los tiempos de la entrada en operación de los compresores que conforman un sistema de generación de aire comprimido, es un ejemplo t´ıpico de mando programable. El control a lazo abierto de la Fig. 1.1 se convierte en un sistema de control anticipativo, cuando el controlador es del tipo anticipativo. En esta clase de control, los sensores miden los valores de los disturbios, mientras que la variable manipulada (la se˜ nal de control) se ajusta antes de que ocurran cambios en la variable controlada. La estrategia de control anticipativo se trata en detalle en la secci´ o n 6.3. Sin embargo, cabe mencionar que este esquema de control presenta ventajas y desventajas comparado con el control realimentado. Por una parte, es deseable porque evita la ocurrencia de errores antes de que se reflejen en la variable controlada. Sin embargo, para lograr aquello, se requiere de un análisis dinámico complejo de los disturbios para que la estrategia de control trabaje efectivamente. Sólo en muy pocos casos en la industria, el control anticipativo es relevante. Existen otras estrategias de control, además del control anticipativo, tales como control de la razón de dos variables, control en cascada, control de rango partido y control selectivo, todas las cuales serán abordadas en detalle en el Cap´ıtulo 6.

Ejemplo 1.3 La Fig. 1.5 muestra un tanque empleado en la industria para el soplado (transporte) de un producto en forma de polvo. En dicha Fig., LT y PT son transmisores para medir el nivel del producto y la presión dentro del tanque, respectivamente. Este ejemplo es un caso t´ıpico de mando programable, el cual se implementa con un PLC y válvulas ON–OFF (de apertura y cierre). La apertura y cierre de tales válvulas se realiza con un programa elaborado para tal propósito. Este programa se puede elaborar empleando diversos métodos. Uno de los más populares es el método de la


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1.3 Din´ amica Lineal de los Elementos Ideales

7

escalera. No es propósito de este libro entrar en detalles de este método de programación. Luego de elaborado y probado el programa, éste se almacena en la memoria del PLC. Para el caso que nos ocupa, tal programa satisface la siguiente secuencia l´ ogica: ESTADO 0 (REPOSO): V2 OFF ESTADO 1 (LLENAR PRODUCTO): V1 ON ´ ESTADO 2 (TANQUE LLENO): LT M AXIMO, V1 OFF, V2 OFF, V3 ON ´ ESTADO 3 (TRANSPORTAR PRODUCTO): PT MAXIMO, V4 ON, V5 ON ´ ESTADO 4 (SOPLAR NITROGENO): PT MÍNIMA, V3 OFF, V4 OFF ESTADO 5 (DESFOGUE/REPOSO): V2 ON, V5 OFF TRANSPORTE DESFOGUE V4

V1 V2

V5 SOPLADO ADICIONAL

ENTRADA DE PRODUCTO

LT PT

SOPLADO INFERIOR

V3

Fig. 1.5: Tanque del ejemplo 1.3 para el soplado de un producto.

1.3.

Din´ amica Lineal de los Elementos Ideales

La Tabla 1.1 describe los modelos dinámicos lineales de los elementos ideales, mientras que la Fig. 1.6 muestra los s´ımbolos de los mismos. Tal informació n es de gran utilidad porque explica el comportamiento f´ısico de los diversos elementos que son parte de los procesos. Las unidades de medida empleadas corresponden al Sistema Internacional, la cual usaremos a lo largo de los cap´ıtulos, salvo indicaciones expresas. De todas formas, siempre están disponibles las tablas de conversión de unidades. En la Tabla 1.1, la energ´ıa se expresa en J (joule), la potencia en W (watt) y el tiempo t en s (segundos). La Fig. 1.6(a) muestra la inductancia eléctrica L en H (henrio), en donde se cumple que la diferencia de potencial v21 = v2 v1 en V (volt) es proporcional a la variación de la corriente i en A (ampere) con respecto al tiempo.

−


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Introducci´ on

Tabla 1.1: Modelos dinámicos para elementos ideales. Almacenador o disipador

Elemento f´ısico

Ecuación descriptiva

Energ´ıa E o potencia

Almacenador inductivo

Inductancia eléctrica L

di v21 = L dt

E = 12 Li2


Resorte traslacional

v21 =

1 df K dt

E =

1 F 2 2 K


Resorte rotacional

ω21 =

1 dT K dt

E =

1 F 2 2 K


Inercia flu´ıdica

p21 = I dq dt

E = 12 Iq 2

Almacenador capacitivo

Capacitancia eléctrica

i = C dvdt21

2 E = 12 Cv21


Masa

f = M dv dt

E = 12 M v 2


Momento de Inercia

T = J dω dt

E = 12 Jω2


Capacitancia flu´ıdica

q21 = C f dpdt21

2 E = 12 C f p 2


Capacitancia t´ e rmica

q = C t dT dt

E = C t T

Disipador de energ´ıa

Resistencia el´ ectrica

i=

1 R v21

Disipador

Amortiguador f =

Bv 21

P

P = R1 v212 2

de energ´ıa Disipador de energ´ıa

traslacional Amortiguador rotacional


Resistencia flu´ıdica

q=

1 Rf p21

P = R1 p221


Resistencia t´ ermica

q=

1 Rt T 21

P = R1 T 21


T = Bω 21

Bv 21

P = P = Bω 212 f

t

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1.3 Din´ amica Lineal de los Elementos Ideales

L

i v

f

v2

v1

(a)

v1

θ2

T

v1

(g) f

B

p1 p2

q2

(h)

ω1 T ω2 B T

f

v2 v

v 1

(i)

(j)

q (m)

2

(k)

Rf p1

C f

f

R

i

p2 (d)

ω T

(f)

p1

q

q1

(e) Ct

I

(c)

M

v

ω2

T

θ1

J v2

q

v2

K

(b)

C

i

ω1 T

K

f

9

(l)

Rt p2

T1

q

T2

(n)

Fig. 1.6: S´ımbolos de los elementos ideales.

La Fig. 1.6(b) ilustra el resorte traslacional de constante K, en donde la variación de velocidad v21 en m/s es proporcional a la variación de la fuerza f en N (newton) con respecto al tiempo. Teniendo en cuenta que v21 = dx21 /dt donde x21 = x2 x1 es el cambio de posición, es fácil demostrar que f=Kx21 . Por ello, K está en N/m. La Fig. 1.6(c) muestra el resorte rotacional de constante K en N–m/rad, en donde el cambio de velocidad angular ω21 en rad/s es proporcional a la variación del torque con respecto al tiempo dT/dt en N–m/s (newton–metro/segundo). Considerando que ω21 = dθ21 /dt donde θ21 en rad es el cambio de posición angular, es fácil demostrar que T = Kθ21 . Por ello, K está en N–m/rad. En la Fig. 1.6(d) se cumple que el cambio de presión p21 en N/m2 es proporcional a la variació n del flujo q en m 3 /s con respecto al tiempo. La constante de proporcionalidad I es la inercia flu´ıdica, la cual posee las unidades N–s2 /m5 puesto que la inercia flu´ıdica se expresa como: p21 I = dq/dt

−

La Fig. 1.6(e) ilustra la capacitancia eléctrica C en F (faradio), en donde la corriente i en A (ampere) que circula a trav´ es de C es proporcional a la diferencia de potencial v21 en V (volt) con respecto al tiempo. La Fig. 1.6(f) muestra la masa M en kg (kilogramo), en donde la fuerza f en N (newton) que act´ ua sobre M produce la aceleración a=dv/dt en m/s2 , donde v en m/s es la velocidad de la masa M. En la Fig. 1.6(g) se cumple que el torque de torsión T en N–m es proporcional a la aceleración angular α = dω/dt en rad/s2 . La constante de proporcionalidad J en


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10

Introducci´ on

N–m–s2 /rad se denomina momento de inercia y es caracter´ıstico para cada cuerpo dependiendo de su forma. El flujo q en m/s3 de un fluido que existe en un conducto o recipiente (ver Fig. 1.6(h)), es proporcional a la ca´ıda o cambio de presi´ on p21 con respecto al tiempo. La proporcionalidad mencionada define a la capacitancia flu´ıdica C f en m5 /N. El flujo de calor q en J/s (joule/segundo) que circula en un conducto, es proporcional al cambio de temperatura T en grados K (kelvin) con respecto al tiempo. La proporcionalidad mencionada define a la capacitancia térmica Ct en J/K, la cual se muestra en la Fig. 1.6(i). La Fig. 1.6(j) muestra una resistencia el´ ectrica R en Ω (ohm), en donde la corriente i en A es proporcional a la ca´ıda de voltaje v21 . Notar que la proporcionalidad es la inversa de R, la cual se denomina conductancia G=1/R y su unidad es  (mho). La fuerza f en N que se ejerce en el amortiguador traslacional mostrado en la Fig. 1.6(k), es proporcional al cambio de velocidad v 21 . La proporcionalidad B se denomina la constante de fricción viscosa traslacional, cuya unidad es N–s/m. El torque T en N–m que se ejerce en el amortiguador rotacional mostrado en la Fig. 1.6(l), es proporcional al cambio de velocidad angular ω21 . La proporcionalidad B se denomina la constante de fricción viscosa rotacional, cuya unidad es N–m–s/rad. La resistencia flu´ıdica Rf se define como la variació n de la presión p21 en un conducto o recipiente, con respecto al flujo q del fluido en m 3 /s, tal como se muestra en la Fig. 1.6(m). Por ello, R f = p21 /q se expresa en N–s/m 5 . De igual manera, la resistencia térmica Rt se define como la variación de la temperatura T21 en grados K (kelvin) en un conducto, con respecto al flujo q de calor en J/s, tal como se observa en la Fig. 1.6(n). Por ello, R t posee las unidades K/J.


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Cap´ıtulo 2

El Proceso a Controlar La din´ amica de una gran variedad de procesos a ser controlados se puede describir mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales. Tal descripción matemática se obtiene aplicando las leyes de la f´ısicas y de la qu´ımica en dicho proceso, tales como la conservaci´ on de la energ´ıa y las leyes de Newton. Para construir un modelo adecuado para propósitos de control, se requiere conocer bien la din´ amica del proceso. No siempre es mejor que un modelo sea lo m´ as exacto posible a su comportamiento dinámico. Tener en cuenta que mientras m´ as complejo sea el modelo, más dificultoso será el análisis y dise˜ no del sistema de control. Lo recomendable es que el modelo del proceso mantenga las caracter´ısticas dinámicas de interés para el rango de operación del sistema de control a dise˜ nar. En este cap´ıtulo se determinan los modelos din´ amicos de varios procesos con tres propó sitos fundamentales. El primero, para que sirvan como una fuente de datos de salida para poder construir curvas de reacción; el segundo, para que su din´ amica sea usada en el dise˜ no de controladores avanzados; por ´ ultimo, para verificar la funcionalidad del controlador actuando sobre el proceso.

2.1.

Procesos con Comportamiento Proporcional

Un proceso SISO con comportamiento proporcional se caracteriza por poseer una FT constante (ver Tabla 2.8), es decir, su salida y(t) es proporcional a su entrada u(t):

y(t) = K p u(t)

(2.1)

donde K p es la ganancia proporcional del proceso. Los dos siguientes procesos poseen comportamiento proporcional.

Flujo en una Tuber´ıa La Fig. 2.1(a) muestra un tramo de tuber´ıa secci´ on uniforme por donde circula un flujo y, cuya magnitud está gobernada por la abertura u de la válvula de control. Las letras FI (Flow Indication) dentro del c´ırculo indican la presencia de un instrumento de indicaci´ on de flujo. La respuesta al escalón (su curva de reacción a lazo abierto) del proceso flujo se ilustra en la Fig. 2.1(b). Consid´ erese que para un tiempo t1 , el flujo que pasa por


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12

El Proceso a Controlar

la válvula es y1 = A1 vρ, donde A1 es la sección transversal correspondiente a la abertura u1 de la válvula, v es la velocidad del flujo considerada constante y ρ es la densidad l´ıquido, también considerada constante. Para un tiempo t2 , incrementamos la abertura de la válvula de u1 a u2 . Consecuentemente, el flujo aumenta de y1 a y2 = A2 vρ, sin experimentar retardo, donde A2 es la sección transversal correspondiente a la abertura u2 . La ganancia proporcional del proceso flujo es entonces: K p =

∆y y2 = ∆u u2

− y1 − u1

(2.2)

En el dominio de Laplace, la expresión gen´ erica de la FT del proceso flujo toma la forma: y(s) = K p u(s) (2.3) donde s es el operador de Laplace. u u FI

2

u

u

1

y y

Válvula de control

∆u

t1

t2

t

y 2

(a)

y

∆y

1 t1

t2

t (b)

Fig. 2.1: (a) Proceso flujo. (b) Respuesta al escalón (curva de reacción a lazo abierto) del proceso flujo.

Ejemplo 2.1 Determinar la ganancia proporcional del proceso flujo mostrado en la Fig. 2.1(a), sabiendo quepor el recorrido de10 la L/min válvula(L: es litro). de 10 mm y que el el mácambio ximo flujo que puede pasar la tuber´ıatotal es de Asumir que de flujo ∆y a través de la válvula es proporcional al cambio de abertura de válvula ∆u.

Soluci´ on.- La proporcionalidad se refiere a que ∆y = K p ∆u. Empleando la ecuación (2.2), la ganancia K p se calcula como: K p =

∆y y2 = ∆u u2

− y1 = 10 − 0 = 1 L − u1 10 − 0 minmm

♣

Flujo en una Faja de Transporte La Fig. 2.2 muestra una fa ja transportando un flujo de material granulado y. cuya magnitud está gobernada por la velocidad u en el eje de salida de una caja reductora.


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2.2 Procesos de Primer Orden

13

Observar que un motor es el que hace girar los ejes de entrada y de salida de dicha caja. La respuesta al escalón mostrado en la Fig. 2.1(b) tambi´ en se aplica al proceso flujo de granos. Consid´ erese que para un tiempo t1 , el flujo que pasa por la banda es y1 , correspondiente a la velocidad u1 fijada en la caja reductora. Para un tiempo t2 , incrementamos la velocidad de salida de la caja reductora, fijándola de u 1 a u2 . Consecuentemente, el flujo aumenta de y1 a y2 , sin experimentar retardo. Entonces, la ganancia proporcional del proceso flujo de granos es la misma obtenida en (2.2) y la correspondiente FT está dada por (2.3). Silo de material

Banda transportadora u Caja de reducción

y

Motor

Fig. 2.2: Proceso flujo de granos sobre una banda de transporte.

2.2.

Procesos de Primer Orden

Un procesos SISO de primer orden se caracterizan por poseer una FT que posee 1 una parte proporcional K p más un retardo de primer orden T s+1 (ver Tabla 2.8); es decir, su salida y(s) está relacionada con su entrada u(s) como sigue: y(s) =

K p u(s) Ts + 1

(2.4)

donde K p es la ganancia proporcional del proceso y T es la constante de tiempo. Los siguientes procesos son de primer orden.

Nivel en un Tanque Cerrado La Fig. 2.3 muestra un tanque cerrado de sección uniforme S , en el cual ingresa un flujo de agua qC y sale otro flujo qD a través de un orificio ubicado en la base del tanque. La Tabla 2.1 describe las variables y parámetros en juego. Aplicando balance de masas en el tanque se tiene que el cambio de volumen de agua acumulado en el interior del tanque se puede modelar como: dh S = S h˙ = qC dt

− qD

(2.5)

donde h es la altura del agua y S ˙h es el cambio de volumen de agua en el tiempo t dentro del tanque. Para variaciones peque˜ nas de h y asumiendo que el flujo de salida


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El Proceso a Controlar q

C

S

h Rebose

q

D

Fig. 2.3: Proceso tanque cerrado con orificio de salida en la base y tuber´ıa de rebose.

Tabla 2.1: Parámetros y variables del proceso nivel en un tanque cerrado. S´ımbolo dS

Descripción Diámetro del tanque

S

Secci´ on circular del tanque

h

Nivel del agua

h

Nivel del agua en estado estacionario

Valor 0.2

Unid. m

0.0314

m2 m

0.4

m 3

qC q C

Flujo de agua fr´ıa hacia el tanque Estado estacionario de qC

qD

Flujo de salida desde el tanque

qD

Estado estacionario de qD

Rh

Resistencia hidr´ aulica del tanque: Rh = h/qD

qD es laminar, entonces: qD =

1.66 10−4

×

2.16 10−4

h Rh

×

m3 /s m /s m3 /s m3 /s s/m2

(2.6)

donde Rh es la resistencia hidráulica del tanque, la cual se puede determinar de [13]: Rh =

h qD

(2.7)

donde h y q D son los valores en estado estacionario de h y qD respectivamente. Reemplazando (2.6) en (2.44), se obtiene la ecuaci´ on de estado lineal del nivel: h˙ =

− R1hS h + S 1 qC

(2.8)

En el dominio de Laplace: h˙ = s h h(0), donde s es el operador de Laplace. Si se tiene en cuenta que h(0) = 0 (requisito indispensable para hallar la FT del proceso),

−


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15

(2.8) toma la forma: h(s) = Rh qC (s) SR h s + 1

h(s) =

Rh qC (s) SR h s + 1

(2.9)

Asumiendo que el flujo de entrada es un escalón de amplitud A, entonces, su transformada de Laplace es: qC (s) = A/s. Por consiguiente, de (2.9) se obtiene: h(s) =

Rh A s(SR h s + 1)

(2.10)

Aplicando los teoremas del valor inicial y del valor final en h(s), los valores inicial y final de h(t) resultan: l´ım h(t) = l´ım sh(s) = 0

t

0

→

l´ım h(t) = l´ım sh(s) = Rh A

s

s

t

→∞

→∞

o

→

La curva de reacción a lazo abierto del nivel h se determina resolviendo (2.8) o (2.10). Vamos a intentar tres soluciones. Para una primera solución, descomponemos (2.10) en fracciones parciales:

−

Rh A 1 h(s) = = Rh A s(SR h s + 1) s

1 (s +

1 SR h )



Tomando transformada inversa de Laplace a cada término de h(s) se obtiene: h(t) = Rh A 1



− e−

1 SRh

Los valores inicial y final de h(t) resultan: l´ım h(t) = 0

t

→0

t

t

(2.11)



l´ım h(t) = Rh A

→inf

Notar que estos valores coinciden con los hallados empleando (2.10). La segunda forma de hallar h(t) es empleando matemática simbólica, tal como se ilustra en el siguiente programa denominado nivel1simb.m: % nivel1simb.m DETRMINACI´ ON DE h(t) USANDO TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE clear all; close all; clc; syms s Rh A S; h=ilaplace(Rh*A*(1/s - 1/(s + 1/(S*Rh)))); pretty(simplify(h))

La tercera forma de hallar h(t) es mediante un programa en MATLAB, el cual también grafica la curva de reacción. Este programa requiere la ecuación de diferencia del proceso nivel. Para ello se debe de discretizar la ecuación de estado dada en (2.8) como sigue: h(k + 1) h(k) 1 1 = h(k) + qC (k) T Rh S S 1 1 h(k + 1) = h(k) + T h(k) + qC (k) Rh S S

−

−

−

h = h + T

−



1 1 h + qC Rh S S



donde k = t/T es el tiempo discreto y T es el tiempo de muestreo. La u ´ ltima notación es más conveniente para programación en tiempo real. Ejecutar el programa curvah.m para obtener la curva de reacción de la Fig. 2.4.


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% curvah.m CURVA DE REACCI´ O N DEL NIVEL DEL AGUA EN EL TANQUE CERRADO clear all; close all; clc; % PAR´ AMETROS DEL PROCESO TANQUE CERRADO S=0.0314; hbar=0.5; qCbar=1.666e-4; qDbar=2.16e-4; Rh=hbar/qDbar; h=0; T=1; M=500; % PERIODO DE MUESTREO Y N´ UMERO DE MUESTRAS M for k=1:M; QC(k)=qCbar; h=h+T*(-(1/(Rh*S))*h+(1/S)*qCbar); H(k)=h; end ejet = linspace(0,M*T,M); subplot(2,1,1), plot(ejet,QC*6e4); grid % CONVERSI´ O N A L/min ylabel(’Flujo qC [L/min]’), xlabel(’TIEMPO [s]’) subplot(2,1,2), plot(ejet,H); grid, ylabel(’NIVEL [m]’), xlabel(’TIEMPO [s]’), print -f -deps curvah % GENERA FIGURA curvah.eps 11 10.5 ] h / L [ C q

10 9.5 9 8.5 0

50

100

150

200 250 TIEMPO

300 [s]

350

400

450

500

50

100

150

200 250 TIEMPO

300 [s]

350

400

450

500

0.4

0.3 ] m [ L 0.2 E I V N

0.1

0

0

Fig. 2.4: Proceso nivel en un tanque cerrado.

Temperatura en un Tanque con Agitador La Fig. 2.5 muestra un proceso térmico: temperatura en un tanque con agitador. A este tanque ingresa un flujo q a una temperatura T i y sale el mismo flujo q pero a una temperatura T o . Asumiendo cero p´ erdidas se va a demostrar que la FT T i (s)/T o (s) es de primer orden. La Tabla 2.2 describe las variables y parámetros en juego. Asumiendo que el l´ıquido en el tanque se agita uniformemente, que los flujos volum´ etricos de entrada y de salida, la densidad y capacidad calor´ıfica del l´ıquido son todos constantes, y que el proceso es adiabático (sin pérdidas) debido a que el tanque posee buen aislamiento, entonces, la ecuación del balance de energ´ıa es: qρC p T i

o − qρC pT o = V ρC v dT dt

(2.12)

En el dominio de Laplace s, (2.12) resulta: qρC p T i (s)


− qρC pT o(s) = V ρC v (sT o − T o(0))

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q Ti

q T

Fig. 2.5: Proceso temperatura en un tanque con agitador.

Tabla 2.2: Par´ ametros y variables del proceso temperatura en un tanque con agitador. S´ımbolo q ρ

Descripción Flujo de entrada y de salida

Unidades m3 /s kg/m3

Densidad del l´ıquido en q

C p

Capacidad calor´ıfica a presión constante

C v

Capacidad calor´ıfica a volumen constante

V

Volumen del l´ıquido en el tanque

J kg K J kg K m3

T i

Temperatura del flujo de entrada

oC

T o

Temperatura del flujo de salida

oC

Sabemos que la determinación de la FT de cualquier proceso requiere que todas las condiciones iniciales sean nulas. En el caso que nos ocupa, tal requerimiento se cumple si: T o (0) = 0. Por lo tanto, su correspondiente FT T i (s)/T o (s) resulta: T o (s) 1 = T i (s) τs + 1

τ =

V C v qC p

(2.13)

La curva de reacción del proceso con T i (s) = A/s, la cual es semejante al gráfico inferior de la Fig. 2.4, posee la forma: T o (t) = A (1

− e−

t τ

)

la cual se halla ejecutando el programa en matem´ atica simbólica temp1simb.m, donde tau = τ : % temp1simb.m DETRMINACI´ ON DE To(t) USANDO TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE clear all; close all; clc; syms s tau A; To = ilaplace(A/(s*(tau*s+1))); pretty(simplify(To))


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2.3.

Procesos de Segundo Orden

Circuito con Opamps La Fig. 2.6 muestra un seguidor de voltaje y dos amplificadores operacionales (opamps) inversores conectados en cascada. La ganancia del seguidor de voltaje es uno. Las ganancias de los amplificadores son respectivamente: V x (s) = V i (s)

−R

1 sC 1

1

V o (s) = V x (s)

1 sC 1

+

−R

1 sC 2 2

+

1 sC 2

Este proceso es de segundo orden porque: V o (s) 1 = V i (s) (R1 C 1 s + 1)(R2 C 2 s + 1) C1

R1

C2

C2

R2

C1

Vo Vi Vi Seguidor de voltaje

Vx Opamp inversor

Opamp inversor

Fig. 2.6: Proceso de segundo orden con opamps.

Tanques en Cascada La Fig. 2.7 muestra dos tanques unidos por una tuber´ıa. Los par´ ametros y variables de este proceso se describen en la Tabla 2.3. Las ecuaciones dinámicas que gobiernan este sistema son: q1 =

h1

− h2

R1

C 1

dh1 =q dt

− q1

q2 = h2 C 2 dh2 = q1 q2 R2 dt Pasando al dominio de Laplace con condiciones iniciales nulas, se obtiene:

−

q1 (s =

h1 (s)

− h2(s)

R1

C 1 sh1 (s) = q(s)

h2 (s) C 2 sh2 (s) = q1 (s) R2 Si la entrada es q(s) y la salida es q2 (s), entonces: q2 (s) =

q2 (s) q(s)


=

− q1(s)

− q2(s)

1 2

R1 C 1 R2 C 2 s + (R1 C 1 + R2 C 2 + R2 C 1 )s + 1

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2.3 Procesos de Segundo Orden

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Tabla 2.3: Par´ ametros y variables del proceso temperatura en un tanque con agitador. S´ımbolo

Descripción

Unidades

q, q1 , q2

Flujos de entrada, intermedio y de salida

R1 , R2

Resistencias hidr´ aulicas

C 1 , C 2

Capacitancias hidráulicas

m3 s s m2 m2

h1 , h2

Niveles en los tanques

m2

q

h1

h2

R1

R2 q2

q1

Fig. 2.7: Proceso de segundo orden con tanques en cascada.

Indicador con N´ ucleo de Fierro M´ ovil La Fig. 2.8 muestra un indicador con núcleo de fierro móvil, donde K es la constante del resorte, B es la constante de viscocidad del amortiguador, M es la masa del n´ ucleo de fierro encerrado por la bobina, y u es la corriente que circula por la bobina. La fuerza electromagnética K m u producida por u produce un movimiento y en el n´ ucleo, cuya dirección y magnitud depende de la dirección y magnitud de la corriente u. El movimiento y, que es tambi´ en el desplazamiento del indicador, es proporcional a la corriente u. La ecuación que gobierna el movimiento del núcleo es: K m u = Ky + B

dy d2 y + M 2 dt dt

En el dominio de Laplace y con condiciones iniciales nulas, la ecuación anterior resulta: K m u(s) = Ky(s) + Bsy(s) + M s2 y(s) La FT y(s)/u(s) toma la forma: y(s) = 2 u(s) s + K p =

K m M


K m M B K M s + M

ζ =

=

s2

B 2 KM

√

K p + 2ζωn s + ωn2 ωn =

K



M

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20


Fig. 2.8: Proceso: Indicador con núcleo de fierro móvil.

2.4.

Procesos Integrales

Llenado de un Tanque La Fig. 2.9 muestra un tanque de sección A que está siendo llenado por un flujo u de entrada. Sólo cuando el tanque alcanza un nivel máximo, entonces se prende la bomba de vaciado. El volumen acumulado en el tanque es: A dy = u dt En el dominio de Laplace: Asy(s) = u(s). Por lo tanto, la FT de este proceso es: K p y(s) = u(s) s

K p =

1 A

Fig. 2.9: Faja de transporte con tiempo muerto.


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2.5 Procesos con Tiempo Muerto

21

Satélite El satélite mostrado en la Fig. 2.10 se puede modelar como: J θ¨ = u donde J es el momento de inercia del satélite, θ es el ángulo de inclinación y u es el torque generado por los impulsores para corregir el ángulo de inclinació n. En el dominio de Laplace, el modelo del satélite toma la forma: Js2 θ(s) = u(s). Luego, la FT del sat´ elite es un doble integrador: θ(s) K p = 2 u(s) s

K p =

1 J

Por otro lado, si seleccionamos como variables de estado x1 = θ y x2 = θ, ˙ entonces las ecuaciones de estado del proceso resultan: x˙ 1 = x2 y x˙ 2 = u/J , mientras que la salida es: y = x1 . En forma matricial:

         x˙ 1 x˙ 2

=

0 1 0 0

x1 x2

y = [1 0]

x1 x2

+

0

1 J

u

θ

J u

Fig. 2.10: Esquema simplificado de un satelite.

2.5.

Procesos con Tiempo Muerto

Faja de Transporte con Tiempo Muerto La Fig. 2.11 muestra una faja transportando granos. Observar que en el intervalo t0 hasta t1 , el flujo de granos y0 es producido por la abertura y0 de la válvula de cuchilla. En el tiempo t1 se incrementa la abertura de la válvula en un ∆u, lo cual se traduce en un incremento del flujo en un ∆y, sólo cuando dicho incremento recorra la distancia L. Sabemos que la faja se mueve a una velocidad constante v. Por consiguiente, el tiempo muerto que demora el flujo ∆y en recorrer L es: T t = L v


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22


La FT de este proceso resulta entonces: y(s) t u(s) = K p e−T s

∆y K p = ∆u


Flujos en Tuberias con Tiempo Muerto La Fig. 2.12 muestra dos flujos y1 y y2 que circulan por dos tuber´ıas que luego se juntan en una tuber´ıa, en la cual se ha instalado un sensor de PH. En la tuber´ıa com´ un de longitud L, el flujo suma y1 + y2 circula a una velocidad v. Hasta el tiempo t1 , las aberturas de válvulas u10 y u20 producen un flujo de y10 + y20 . En el tiempo t1 se incrementa la abertura de una de las válvulas en un ∆u1 , lo cual se traduce en un incremento del flujo total en un ∆y1 + y20 , s´ olo cuando dicho incremento recorra la distancia L (hasta alcanzar la posición del sensor de PH). Por lo tanto, el tiempo muerto que demora el flujo ∆y1 en recorrer L es: T t = L v La FT de este proceso toma la forma: y(s) = K p e−T t s u1 (s)

2.6.

K p =

∆y1 ∆u1

Procesos de Orden Superior

Proceso de Enfriamiento de Tercer Orden En la Fig. 2.13(a), Qc es el flujo de agua a una temperatura T c que ingresa a la camisa de enfriamiento del tanque, con el propósito de enfriar el flujo q constante que


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2.6 Procesos de Orden Superior

23


ingresa al tanque a T . unaLatemperatura T i . Este flujo abandona el tanque desborde a una temperatura pared metálica del tanque se encuentra a una por temperatura T m . El modelo de este proceso fue extra´ıdo de [28]. La Tabla 2.4 muestra las variables y parámetros del proceso. El balance de energ´ıa en el flujo que se procesa se expresa como: qρC p T i

− hiAiT + hiAiT m − qρC pT = V ρC v dT dt

(2.14)

La ecuación (2.14) también es válida para el estado estacionario: qρC p T i

hi Ai T + hi Ai T m

qρC p T = V ρC v

dT

dt Restando (2.15) de (2.14) y teniendo en cuenta que ti = T i T i , tm = T m t = T T , entonces el modelo lineal residual de (2.14) resulta:

−

−

−

−

qρC p ti

− hiAit + hiAitm − qρC p t = V ρC v dt dt

(2.15)

− T m y (2.16)

Pasando (2.16) al dominio de Laplace y operando, se obtiene: t(s) = K 1 =

qρC p qρC p + hi Ai


K 1 K 2 ti (s) + tm (s) τ 1 s + 1 τ 1 s + 1 K 2 =

hi A i qρC p + hi Ai

−

τ 1 =

(2.17) V ρC p qρC p + hi Ai

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24


Rebose q T

Agua fría qC TC

TC

ρC

Camisa de enfriamiento Tanque metálico Tm

Producto q Ti

ρ

(a)

ti

K6

K 1

tc i

1

K5

tc

τ s+1 3 K

1

K4

t

K3

7

q

1 τ s+1 1

K2

τ 2 s+1 t m

(b)

c

Fig. 2.13: Proceso de enfriamiento.

El balance de energ´ıa para la pared del tanque se formula como:

− T m) − hoAo(T m − T c) = V mρmC V dT dtm Como en el caso anterior y sabiendo que tc = T c − T c , se encuentra: dtm hi Ai (t − tm ) − ho Ao (tm − tc ) = V m ρm C V dt hi Ai (T

m

(2.18)

m

tm (s) =

K 3 K 4 t(s) + tc (s) τ 2 s + 1 τ 2 s + 1

(2.19)

hi Ai ho Ao V m ρm C vm K 4 = τ 2 = hi Ai + ho Ao hi Ai + ho Ao hi Ai + ho Ao El balance de energ´ıa en la camisa de enfriamiento se formula como: K 3 =

Qc ρc C p T ci + ho Ao (T m

c − T c) − QcρcC pT c = V cρcC v dT dt

(2.20)

La ecuación (2.20) es no lineal debido a los productos Qc T ci y Qc T c , los cuales se pueden linealizar siguiendo el procedimiento de la subsección A.6.1, ejemplo A.49, sabiendo que: qc = Qc Qc . Esto es:

−

Qc T ci = Qc T ci + T ci qc + Qc tci Qc T c = Qc T c + T c qc + Qc tc


(2.21)

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2.6 Procesos de Orden Superior

25

Tabla 2.4: Par´ ametros y variables del proceso de enfriamiento en un tanque con camisa de enfriamiento. En la Tabla, C.T.C. significa Coeficiente de Transferencia Calor´ıfica. S´ımbolo Qc , Qc , qc

Descripci´ on Flujo de agua actual, estable y residual

Valor

Unid. m3 /s m3 /s

q

Flujo actual del producto que ingresa

ρ

Densidad de q

kg/m3

ρc

Densidad de Qc

kg/m3

ρm

Densidad de la pared de metal del tanque

kg/m3

C p

Capacidad calor´ıfica de q

C v C vm

J kg K

Capacidad calor´ıfica en el tanque Capacidad calor´ıfica del metal de la pared

m3

V

Volumen del producto en el tanque

V m

Volumen de la pared de metal del tanque

T,T,t T ci , T ci , tci T i , T i , ti T m , T m , tm

− kg J −K J kg −K m3

Temp. actual, estable y residual de q

K

Temp. actual, estable y residual de Qc

K

Temp. actual, estable y residual de q

K

Temp. actual, estable y residual del metal

K

hi

C.T.C. de la cara interna del tanque

ho Ai

C.T.C. de la cara externa del tanque ´ Area interna de transferencia de calor

J m2 s K J m2 s K m2

Ao

´ Area externa de transferencia de calor

m2

−− −−

Reemplazando las ecuaciones de (2.21) en (2.20) se obtiene: dT c dt (2.22) En el estado estacionario todas las variables residuales son nulas. Por consiguiente, (2.22) toma la forma:

− −

ρc C p (Qc T ci +T ci qc +Qc tci )+ho Ao (T m T c ) ρc C p (Qc T c +T c qc +Qc tc ) = V c ρc C v

ρc C p Qc T ci + ho Ao (T m

c − T c) − ρcC pQcT c = V cρcC v dT dt

(2.23)

Restando (2.22) de (2.22) y pasando la resultante al dominio de Laplace se obtiene: tc (s) =

K 5 K 6 K 7 tc + tm + qc τ 3 s + 1 i τ 3 s + 1 τ 3 s + 1

K 5 = Qc ρc C p ho Ao + Qc ρc C p ho Ao


K 6 =

(2.24)

ho Ao ho Ao + Qc ρc C p

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26


−

ρc C p (T c T ci ) ho Ao + Qc ρc C p

K 7 =

τ 3 =

V c ρc C p ho Ao + Qc ρc C p

La Fig. 2.13(b) muestra el diagrama de bloques del proceso construido con las ecuaciones (2.17), (2.20) y (2.24). Observar que dicho diagrama de bloques es similar al del ejemplo ??, en donde se determinaron la funciones de transferencia t(s)/qc (s) (tipo PT3 ), t(s)/tci (s) (tipo PT3 ) y t(s)/ti (s) (tipo PD2 T3 ).

2.7.

El Motor DC

La Fig. 2.14(a) muestra el circuito equivalente de un motor DC (direct current), donde Rf , Lf , I f y V f son la resistencia, la inductancia, la corriente y el voltaje de campo respectivamente, Ra , La , I a y V a son la resistencia, la inductancia, la corriente y el voltaje de armadura respectivamente, T m , T L y T d son el torque motor, el torque de carga y el torque de disturbio respectivamente, K m es la constante de motor, K b es la constante contraelectromotriz, ω es la velocidad angular, θ es la posición angular del eje, J es el momento de inercia del motor más carga y B es la constante de fricción del motor más carga.

Rf

La

Lf

V f I

Vb J

f

Ia

Campo I f

1 R f

Lf s

Km

T d

Tm

B

ω θ

(a)

V f

Va

Ra

Motor más carga

ω

1 TL

Js

θ

1 s

B

(b) Armadura Va

Km Vb

Im

Tm

1 Ra

T d

Motor más carga

ω

1 TL

L as K

Js

B

1 s

θ

b

(c)

Fig. 2.14: (a) Circuito equivalente del motor DC. (b) Motor DC controlado por campo. (c) Motor DC controlado por armadura.


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2.7 El Motor DC

27

Motor DC Controlado por el Campo Cuando el motor DC est´ campo, entonces la corriente de campo I f es variable, mientras quea controlado la corrientepor de el armadura I a permanece constante. Las ecuaciones en el dominio de Laplace que rigen la dinámica del motor CC en este caso son: V f (s) = (Rf + Lf s)I f (s) T m (s) = K m I f (s) = T L (s) + T d (s) T L (s) = Jsω(s) + Bω(s)

ω(s) = sθ(s)

El diagrama de bloques para este caso se muestra en la Fig. 2.14(b). Considerando que el torque de disturbio T d es despreciable, la FT resulta: G p (s)

θ(s) K m = V f (s) = s(Js + B)(Lf s + Rf )

(2.25)

Si la inductancia de campo Lf es suficientemente peque˜ na, entonces la FT para la posición θ y para la velocidad angular ω toman la forma: G p (s) = G p (s) =

θ(s) K = V f (s) s(τ s + 1) ω(s) K = V f (s) τs + 1

∼ ∼

τ =

J B

K =

K m Rf B

(2.26)

Motor DC Controlado por la Armadura Si el motor DC está controlado por la armadura, entonces la corriente de armadura I a es variable, mientras que la corriente de campo I f permanece constante. Las ecuaciones en el dominio de Laplace que rigen la dinámica del motor DC en este caso son: V a (s) = (Ra + La s)I a (s) + V b (s)

V b (s) = K b ω(s)

T m (s) = K m I a (s) = T L (s) + T d (s) T L (s) = Jsω(s) + Bω(s) ω(s) = sθ(s)

(2.27)

El diagrama de bloques para esta situación se muestra en la Fig. 2.14(c). Asumiendo que el torque de disturbio T d es despreciable, la FT resulta: G p (s) =

θ(s) K m = V a (s) s[(Ra + La s)(Js + B) + K b K m ]

(2.28)

Si la inductancia de campo La es suficientemente peque˜ na, entonces la FT para la posición θ y para la velocidad angular ω toman la forma: G p (s) = G p (s) =

θ(s) K = V a (s) s(τ s + 1) ω(s) K K m ; K = ; = V e (s) τs + 1 Ra B + K b K m

∼

∼

τ =

Ra J (2.29) Ra B + K b K m

Notar que tanto para el motor controlado por campo como por armadura, las FTs para θ y para ω dadas en (2.26) y (2.29) poseen la misma estructura cuando se desprecia ya sea Lf o La .


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28


Modelo en el Espacio de Estado En ingenier´ ıa de control se emplea mápresenta s el motorenCC controlado debido a la inherente realimentaci´ on que este caso. Por por tal armadura razó n nos ocuparemos del modelo en el espacio de estado para este motor. Si seleccionamos como variables de estado x1 = θ, x2 = ω y x3 = I a y asumimos que T d = 0 en (2.27), se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden: x˙ 1 = x2

x˙ 2 =

− BJ x2 + K J m x3

x˙ 3 =

1 b − K x3 + V a La La

Si se elige como salida la posición y = x1 y se designa a V a como la entrada u, la forma matricial de la ecuación de estado resulta:

x˙ = Ax + Bu

   x˙ 1 x˙ 2 x˙ 3

=

1 0 0

0

0

− BJ − K J − K L − RL

m

b a

a a

y = Cx

   0 0

+

u

y=

1 La



(2.30) 1 0 0

   x1 x2 x3

Si se considera que la inductancia de armadura La es despreciable, entonces podemos usar las FTs dadas en (2.29). Para el caso posición θ, seleccionemos x 1 = θ y x2 = θ˙ como las variables de estado del motor, y = θ como la salida y u = V a como la señal de entrada. Se deja como ejercicio demostrar que partiendo de la primera FT de (2.29), la representación en el espacio de estado resulta:

x˙ = Ax + Bu

  x˙ 1 x˙ 2

=

0 0

1

−

1 τ

y = Cx

  +

0

K τ

u

y=

(2.31)

   1 0

x1 x2

Para el caso velocidad angular ω, seleccionemos x = y = ω como la variable de estado y a la vez salida y u = V a como la se˜ nal de entrada. Se deja como ejercicio demostrar que partiendo de la segunda FT de (2.29), la representación en el espacio de estado toma la forma: x = Ax + Bu y = Cx (2.32) A=

−

1 τ

K B = τ

C = 1

2.8.

Modelo MIMO del Proceso Tanque Cerrado

2.8.1.

Descripci´ on del Proceso

El proceso tanque cerrado con agua estudiado aqu´ı se muestra en la Fig. 2.15. La Fig. 2.16 ilustra el esquema para estudio de este proceso, donde se observa que los flujos de agua fr´ıa qC y de agua caliente qC se mezclan en el interior del tanque con el propósito de producir el flujo de salida qC a una temperatura θ. Por consiguiente, el proceso tanque con agua es multivariable cuadrado debido a que posee dos entradas: los flujos qC y qH , y dos salidas: el nivel h del agua dentro del tanque y la temperatura θ que se asume uniforme en el interior del tanque.


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2.8 Modelo MIMO del Proceso Tanque Cerrado

29

Fig. 2.15: Sistema tanque con agua. El objetivo del sistema de control a dise˜ nar, es determinar adecuadas fuerzas de control qC y qH con la capacidad de estabilizar las salidas controladas h y θ, cumpliendo ciertas especificaciones de diseño previamente establecidas. La manipulació n de las fuerzas de control se realizan mediante dos válvulas de control neum´ aticas, mientras que el transmisor de nivel LT y el transmisor de temperatura TT se ocupan de medir y transmitir el nivel y la temperatura respectivamente. La Tabla 2.5 describe las variables y los parámetros valorados del proceso tanque cerrado con agua.

2.8.2.

Modelo Din´ amico No Lineal del Proceso

Balance de Masas Aplicando balance de masas en el tanque, el cambio de volumen de agua acumulado en su interior se modela como: dh A = Ah˙ = qC + qH qD (2.33) dt donde A es la sección del tanque, h es la altura del agua, Ah˙ es el cambio de volumen de agua en el tiempo t, qC (agua fr´ıa) y qH (agua caliente) son los flujos de entrada al tanque y qD (agua calentada) es el flujo de salida, el cual se calcula de [14]:

−

qD = CE π d2 4




√

2ρD ∆ p = a h;

a = CE π d2 ρD 4



2g

(2.34)

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Tabla 2.5: Parámetros, variables y s´ımbolos del sistema tanque con agua. S´ımbolo dA

Descripción Diámetro del tanque

A

Secci´ on circular del tanque

h

Nivel del agua

h qC

Nivel del agua en estado estacionario Flujo de agua fr´ıa hacia el tanque

q C

Estado estacionario de qC

qH

Flujo de agua caliente hacia el tanque

q H

Estado estacionario de qH

qD

Flujo de salida desde el tanque

qD

Estado estacionario de qD

Rh

Resistencia hidráulica del tanque: Rh = h/qD

g θC θH

Aceleraci´ on de la gravedad Temperatura del flujo qC Temperatura del flujo qH

θ

Temperatura del flujo qD y en el tanque

θ

Estado estacionario de θ

Valor 0.2

Unid. m

0.0314

m2 m

0.4

m m3 /s

1.66 10−4

m3 /s

×

m3 /s

0.5 10−4

×

m3 /s m3 /s

2.16 10−4

×

m3 /s s/m2

9.81

m/s2

20 +270 50 +270

K K K

35+270

K

ρC

Densidad del agua para qC

998

kg/m3

ρH

Densidad del agua para qH

988

kg/m3

ρD

Densidad del agua para qD

996

kg/m3

d

Diámetro del orificio de la placa en qD

6.5

mm

D

Diámetro de la placa de orificio en qD

15.9

mm

C p LT

Calor espec´ıfico del agua Transmisor de nivel

4186.8

kgJ K

TT

Transmisor de temperatura

FT

Transmisor de flujo

PT

Transmisor de presi´ on


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31

PT LT= Transmisor de Nivel TT = Transmisor de Temperatura

TT

PT= Transmisor de Presión FT= Transmisor de Flujo LT Reboce Drenaje

Agua Caliente

Agua Fría

FT

FT

Fig. 2.16: Esquema de estudio del sistema tanque con agua.

donde hemos usado el hecho de que la ca´ıda de presión ∆ p en la tuber´ıa de diámetro D provocada por la placa de orificio de diámetro d se expresa como: ∆ p = ρD gh En la expresión (2.34), g es la aceleración de la gravedad, C = 0.6 es el coeficiente de descarga del orificio, ρD es la densidad del agua a una temperatura θ, β = d/D es una relación igual a 0.41 y E es una constante de corrección del valor del flujo debido a consideraciones geométricas, el cual se expresa como: E = (1

− β 4)−1/2

Despejando h˙ de (2.33), la ecuación de estado para la variable de estado nivel toma la forma:

h˙ =

− Aa √h + A1 qC + A1 qH

(2.35)

Los valores de las densidades del agua en función de la temperatura se pueden obtener de figura 2.17.

Balance de Energ´ıa T´ ermica El balance de energ´ıa térmica dentro del tanque se formula como: ΦT =

−ΦD + ΦC + ΦH

(2.36)

donde ΦH es calor entregado por el flujo de agua caliente qH , ΦT es el calor del agua en el interior del tanque, ΦD es el calor que toma el flujo de salida qD y ΦC


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32


Fig. 2.17: Valores de la densidad del agua versus la temperatura.

es el calor que trae consigo el flujo de entrada de agua fr´ıa qC . Cabe anotar que se está despreciando el calor que se libera al exterior del tanque debido a que tal tanque es cerrado y suficientemente aislado. Las relaciones que gobiernan los flujos calor´ıficos descritos anteriormente son: dθ = AhρD C p θ˙ dt = C p ρC θC qC

ΦT = AhρD C p ΦC

ΦH = C p ρH θH qH

√

ΦD = C p ρD θ qD = C p ρD θ a h

(2.37)

Los parámetros que aparecen en (2.37) se describen en la tabla 2.5. Observar que se asume un valor constante para el calor espec´ıfico del agua C p . La ecuación de estado de la variable de estado temperatura θ se obtiene despejando θ˙ =

a − Ah θ

√

h+

dθ dt

= θ˙ de (2.36):

ρC θC qC ρH θH qH + ρD A h ρD A h

(2.38)

Definamos las siguientes fuerzas de control o variables manipuladas: u 1 = qC , u2 = qH y las siguientes variables de estado: x1 = h, x2 = θ y juntando las ecuaciones (2.35) y (2.38), la ecuación de estado que describe la dinámica del proceso tanque cerrado con agua se formula como:

x˙ = f (x, u) x˙ =

  


x˙ 1 x˙ 2

=

h˙˙ θ

x=

  x1 x2

(2.39)

u=

   u1 u2

=

qC qD

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f 1

f =

33

− Aa √x1 + A1 u1 + A1 u2

=

   − f 2

a x2 A x1

√

+

ρC θC u1 ρD A x1

+

ρH θH u2 ρD A x1



Dado que las variables de estado son las variables medidas del proceso, entonces la ecuación de salida posee la siguiente expresión:

y = Cx y=

2.8.3.

   y1 y2

=

x1 x2

(2.40)

C=

  1 0 0 1

Modelo Din´ amico de Lagrange del Proceso

El modelo dinámico de Lagrange del proceso tanque cerrado con agua se obtiene reordenado las ecuaciones de (2.39) en la forma siguiente:

√

u1 + u2 = Ax˙ 1 + a x1

√

ρC θC u1 + ρH θH u2 = ρD Ax1 x˙ 2 + ρD a x1 x2 Por consiguiente:



1 1 ρc θC ρH θH

   u1 u2

=

A 0 0 ρD Ax1

   x˙ 1 x˙ 2

+

√ √

a x1 ρD a x1 x2



Operando en la última ecuació n, es fácil demostrar que el modelo dinámico de Lagrange del proceso toma la forma:

u = P x˙ + d 1



−ρD Ax1 ρD Ax1 (ρH θH − ρC θC ) − √ √ 1 ρH θH a x1 − ρD a x1 x2 √ √ d= (ρH θH − ρC θC ) −ρC θC a x1 + ρD a x1 x2 P=



2.8.4.

ρH θH A ρC θC A

(2.41)





Modelo Din´ amico Lineal del Proceso

La placa de orificio instalada en la tuber´ıa del flujo de salida qD produce un flujo turbulento que para variaciones peque˜ nas del nivel h se puede aproximar como [13]: 2h qD = (2.42) Rh donde Rh es la resistencia hidráulica del tanque, la cual se puede determinar de [13]: Rh =

h qD

(2.43)

donde h y q D son los valores en estado estacionario de h y qD respectivamente. Reemplazando (2.42) en (2.35), se obtiene la ecuación lineal de estado del nivel: h˙ =


− R2hA h + A1 qC + A1 qH

(2.44)

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34


En función de las variables de estado definidas anteriormente, (2.44) toma la forma: x˙ 1 =

− R2hA x1 + A1 u1 + A1 u2

(2.45)

Asumiendo que la variación del nivel h es m´ınima, entonces podemos hacer las siguientes sustituciones en la ecuación de estado (2.38) correspondiente a la temperatura en el tanque:

√

h=h



qD = a h = a h = q D

donde el valor estacionario q D se calcula de (2.42). Tales reemplazos nos permiten obtener la siguiente descripci´ on lineal de la dinámica de la temperatura: θ˙ =

qD − Ahρ

θ + ρC θC qC + ρH θH qH hρD AhρD

D

(2.46)

Empleando las variables de estado definidas anteriormente, (2.46) toma la forma: x˙ 2 =

qD − Ahρ

x2 + D

ρC θC ρH θH u1 + u2 AhρD AhρD

(2.47)

La ecuación de estado lineal del proceso se obtiene juntando las ecuaciones (2.45) y (2.47): (2.48) x˙ = A x + B u

           − −   

x= A=

x x12

2 Rh A

0

=

h θ

u=

0

qD AhρD

B=

u u12

=

C qqH

1 A

1 A

ρC θC AhρD

ρH θH AhρD

La ecuación de salida es la misma expresión dada en (2.40).

2.9.

Respuesta Transitoria de los Procesos

2.9.1.

Respuesta al Escal´ on

Asumamos que la respuesta de un sistema (su curva de reacción) a una entrada tipo escalón posee la forma mostrada en la Fig. 2.18, el cual es el caso en muchos sistemas industriales denominados autoregulados. Observar en la Fig. 2.18 que la respuesta y0 en el tiempo t1 se debe a la entrada tipo escalón u0 . Cuando la señal escal´ on de entrada cambia de u0 a u1 , entonces se produce la curva de reacción y(t) mostrada, la cual empieza en t1 . Este tipo de respuesta se puede aproximar mediante una FT de primer orden en cascada con una FT del tiempo muerto: G p (s) =

K p y(s) = eτ s u(s) (T s + 1)

K p =

y1 u1

− y0 − u0

(2.49)

donde K p es la ganancia proporcional, T es el retardo de primer orden o la constante de tiempo y τ es el tiempo muerto o retardo puro. Los parámetros T y τ se obtienen


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2.9 Respuesta Transitoria de los Procesos

35

u

y Proceso autoregulado

u1 u u0 t

0

t 1

KP e τs Ts + 1

y1 y

P.T. y

0

τ t

t

t1

0

t

T

Fig. 2.18: Curva de reacción de un sistema.

gráficamente trazando una tangente que toque el punto de tangencia (P.T.) sobre la curva de reacción. La curva de reacción mostrada en la Fig. 2.18 tambi´ en se puede aproximar mediante una FT de orden n de la forma: G(s) =

y(s) K p = u(s) (T n s + 1) n

K p =

y1 u1

− y0 − u0

(2.50)

Los parámetros n y T n de (2.50) se determinan empleando la Tabla 2.6. Tabla 2.6: Determinación de los parámetro n y T n de (2.50). n τ /T

2 0.104

3 0.218

4 0.320

5 0.410

6 0.493

7 0.591

8 0.641

9 0.709

10 0.775

T n /T

0.368

0.270

0.224

0.195

0.175

0.151

0.148

0.140

0.132

Ejemplo 2.2 Determinar dos modelos dinámicos que describan el comportamiento velocidad frenada de un motor DC a partir de su curva de reacción, semejante a la mostrada en la Fig. 2.18. Esta curva se obtuvo manipulando la entrada u del sistema, un generador de voltaje continuo. Los datos le´ıdos fueron: u0 = 10 V, u1 = 20 V, y0 = 400 rpm, y1 = 600 rad/s, el tiempo muerto τ = 2 s y T = 9.2 s. Determinar la ganancia normalizada del sistema sabiendo que la entrada máxima de voltaje es 40 V y el rango del instrumento de medición de rpm a la salida es de 0 a 1000 rpm.

Soluci´ on: El primer modelo dinámico se halla con la ecuación (2.49) donde τ = 2 s y T = 9.2 s: G(s) =

y(s) K p = e−τ s u(s) (T s + 1)

K p =

y1 u1

− y0 = 600 − 400 = 20 rpm − u0 20 − 10 V

El segundo modelo dinámico se refiere a la ecuación (2.50). Con los datos proporcionados en el ejemplo se obtiene: τ /T = 0.217. Empleando la Tabla 2.6 se puede


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36


determinar: n = 3 y T n /τ = 0.270, lo que implica: T n = 0.54 s. La FT resulta: K p 20 G(s) = y(s) = = (T n s + 1)n (0.54s + 1) 3 u(s) La ganancia normalizada K P n se determina de: K pn =

600 400 1000 0 20 10 40 0

− − − −

=

0.2 = 0.4 0.5

Caso Especial Para el caso especial: 0 < τ/T < 0.104 la dinámica del sistema autoregulado se puede aproximar mediante la siguiente FT de segundo orden: G(s) =

Y (s) K P = (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) U (s)

K P =

y1 u1

− y0 − u0

(2.51)

donde T 1 y T 2 son dos constantes de tiempo que se relacionan mediante la ecuación: T 1 = kT 2

k>1

La constante k se determina usando la Tabla 2.7. Tabla 2.7: Determinación de los parámetro T 1 y T 2 de (2.51). k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

τ /T

0.094

0.090

0.085

0.080

0.075

0.069

0.064

0.058

0.053

T 1 /T

0.238

0.175

0.140

0.120

0.107

0.097

0.088

0.081

0.074

Ejemplo 2.3 Determinar el modelo que describa la dinámica de un sistema mecatrónico de velocidad a partir de su curva de reacción, semejante a la mostrada en la Fig. 2.18. En este caso, los datos le´ıdos fueron: u0 = 5 V, u1 = 15 V, y0 = 200 rpm, y1 = 300 rpm, τ = 2 s, T = 22 s. amico se refiere a la ecuación (2.51). Dado que τ /T = 0.09, Soluci´ on: El modelo din´ empleando la Tabla 2.51 se determina que k = 2 y T 1 /T = 0.175, lo que implica que T 1 = 3.85 s y T 2 = kT 1 = 7.7 s. Como K P = (300–200)/(15–5) = 10 rpm/V, la FT pedida es: Y (s) K 10 P G(s) = U (s) = (T 1 s + 1)(T = (3.85s + 1)(7.7s + 1) 2 s + 1)


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2.9 Respuesta Transitoria de los Procesos

2.9.2.

37

M´ etodo del 28.3 % y 63.2 %

La Fig. 2.19 muestra curva det reacci´ on para el método 28.3 % y 63.2 %. En este método se determinan loslatiempos 28.3 % y t63.2 % correspondientes a las magnitudes 0.283∆y y 0.632∆y, respectivamente. En base a estos valores, los parámetros de la FT dada en la ecuación (2.49) se determinan de: T = 1.5(t63.2 %

− t28.3 %)

τ = t63.2 %

− T

(2.52)

t 63.2%

u

y

u1

Proceso u

u0 t

0

t

autoregulado y KP e τs Ts + 1

t

1

t 23.3%

y 1

∆y

0.632 ∆y y

0

0.283 ∆ y t

0

t1

t

Fig. 2.19: Curva de reacción para el método 28.3 % y 63.2 %.

2.9.3.

Otras Respuestas al Escal´ on y al Impulso

Los sistemas autoregulados presentan una respuesta finita (constante o cero) a entradas de prueba escalón o impulso. Sabemos que cuando la entrada u(t) es un escal´ on o un impulso de magnitud A, sus correspondientes transformadas de Laplace son u(s) = A/s y u(s) = A respectivamente. El siguiente proceso de segundo orden se emplea para explicar las especificaciones de dise˜ no en el dominio del tiempo como veremos en la siguiente sección. La FT de este sistema es: y(s) ωn2 G p (s) = = 2 (2.53) r(s) s + 2ζωn s + ωn2 donde ωn es conocida como la frecuencia natural de oscilación y ζ es el coeficiente de amortiguamiento. Cuando r(s) = A/s (entrada tipo escalón de magnitud A), y(s) en (2.53) toma la forma: Aωn2 y(s) = (2.54) s(s2 + 2ζωn s + ωn2 ) Tomando la transformada inversa de Laplace (fórmula (31) de la Tabla A.1) se obtiene: ωn −ζω n t y(t) = A 1 e sen(ωd t + θ) (2.55) ωd

−



La Fig. 2.20 (gráfico superior izquierda) muestra y(t) para A = 1 y varios valores de ζ . Notar que para ζ 1 la respuesta se vuelve sobreamortiguada. La transformada

≥

inversa de laplace de (2.54) para ζ Tabla A.1.


≥ 1 se obtiene empleando la fórmula (32) de la

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38


Cuando u(s) = A (entrada tipo impulso), y(s) en la ecuación (2.53) se formula como: Aωn2 y(s) = 2 (2.56) s + 2ζωn s + ωn2 Tomando la transformada inversa de Laplace (f´ ormula (29) de la Tabla A.1) resulta: y(t) =

Aωn2 −ζω n t e senωd t ωd

(2.57)

La Fig. 2.20 (gráfico superior derecha) muestra y(t) para A = 1 y varios valores de ζ . Notar también que para ζ 1 la respuesta se vuelve sobreamortiguada. Una forma alternativa de (2.53) incluye un tiempo muerto τ . Esto es:

≥

G(s) =

y(s) ω2 = 2 e−sτ u(s) s + 2ζωs + ω 2

(2.58)

Para una entrada tipo escalón (u(s) = A/s) en (2.58) y aplicando la propiedad (5) de la Tabla A.2 en (2.55), se obtiene la respuesta y(t) al escalón correspondiente a (2.58): ωn −ζω n (t−τ ) y(t) = A 1 e sen[ωd (t τ ) + θ] (2.59) ωd

−

−



La Fig. 2.20 (gráfico inferior izquierda) muestra y(t) para A = 1 y varios valores de ζ . De nuevo, notar que para ζ 1 la respuesta se vuelve sobreamortiguada. Si la entrada es un impulso (u(s) = A) en (2.58) y aplicando la propiedad (5) de la Tabla A.2 en (2.57), se obtiene la respuesta al impulso y(t) correspondiente a (2.58): Aωn2 −ζω n (t−τ ) y(t) = e senωd (t τ ) (2.60) ωd

≥

−

La Fig. 2.20 (gráfico superior derecha) muestra y(t) para A = 1 y varios valores de ζ . Notar que para ζ 1 la respuesta se vuelve sobreamortiguada. Para obtener la Fig. 2.20, ejecutar el programa r1.m listado abajo.

≥

% r1.m RESPUESTAS AL ESCAL´ ON Y AL IMPULSO DE PROCESOS AUTOREGULADOS clear all; close clc; wn=3; tau=2; s=tf(’s’); subplot(221), forall; z=[0.2:0.4:1.8]; G1=wn^2/(s^2+2*z*wn*s+wn^2); step(G1), hold on, end subplot(222), for z=[0.2:0.4:1.8]; G2=wn^2/(s^2+2*z*wn*s+wn^2); impulse(G2), hold on, end subplot(223), for z=[0.2:0.4:1.8]; G3=wn^2*exp(-tau*s)/(s^2+2*z*wn*s+wn^2); step(G3), hold on, end subplot(224), for z=[0.2:0.4:1.8]; G4=wn^2*exp(-tau*s)/(s^2+2*z*wn*s+wn^2); impulse(G4), hold on, end, print -deps -f r1

Respuesta al Escal´ on en Procesos No Autoregulados Procesos no autoregulados, como es el caso de la posición angular del eje de un motor de CC, o el aumento del nivel de un l´ıquido dentro de un tanque sin tuber´ıa de


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2.10 Problemas

39

Step Response

Impulse Response

2 e d u t i l p m A

4

1.5

e d u t i l p m A

0.2

1

2

0

0.5

1.8

1.8

1

0

0.2

0

5 Time (sec)

−2

10

0

5 Time (sec)

Step Response

Impulse Response

2 e d u t i l p m A

4

1.5

e d u t i l p m A

0.2

1

2

0.2

0

0.5 0

10

1

0

1.8 1.8

5 Time (sec)

−2

10

0

5 Time (sec)

10

Fig. 2.20: Respuestas al escalón y al impulso de procesos de segundo orden en función del parámetro ζ .

salida, poseen una respuesta al escalón no finita, tal como se ilustra en la Fig. 2.21. La din´ amica de tales procesos se puede modelar como: G p (s) =

K I −τ s e s

R = K I τ

(2.61)

donde τ es el tiempo muerto, R es la razón de reacción unitaria y K I es la ganancia integral. Los parámetros R y τ se obtienen gráficamente, tal como se ilustra en la Fig. 2.21. A manera de resumen, la Tabla 2.8 muestra la FT (funci´ on de transferencia) de varios procesos en función de su comportamiento.

2.10.

Problemas

Problema 2.1 La Fig. 2.22 muestra un amplificador un seguidor de voltaje y dos opamps inversores. Demostrar que este proceso es proporcional con ganancia K p = Rf /Ri , donde Rf , Ri y R son resistencias.


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40

El Proceso a Controlar Proceso no autoregulado

u A

u

KI s

e

τs

y y

R = KI τ

τ

R

t

τ

Fig. 2.21: Respuesta al escalón de un proceso no autoregulado.

Tabla 2.8: FT de varios procesos en función de su comportamiento, donde FT: Función de Transferencia y τ : tiempo muerto. Otras combinaciones son posibles. Proceso

FT

Proceso

Proporcional (P)

K p

Primer orden

Integral (I)

K p s

Segundo orden (primera forma)

Doblemente integral

K p s2

Segundo orden (segunda forma)

 

Proporcional integral (PI)

K p 1 +

Proporcional derivativo (PD)

K p (1 + T d s)

P+I+D



K p 1 +

1 T i s

Segundo orden (tercera forma)

1 T i s

+ T d s



De orden n (primera forma) De orden n

K p e−τ s

2do orden con τ (1a forma)

Integral con tiempo muerto

K p s

2do orden con τ (2a forma)

1er orden con tiempo muerto

K p T s+1

e−τ s

K p T s+1 K p (T 1 s+1)(T 2 s+1) K p (T s+1)2

2 ωn 2 s2 +2ζω s+ωn

K p (T 1 s+1) (T n s+1)

···

K p (T s+1)n

(segunda forma)

Tiempo muerto

e−τ s

FT

2do orden con τ y derivativo

K p (T 1 s+1)(T 2 s+1)

e−τ s

2 ωn 2 s2 +2ζωs+ωn

e−τ s

2s ωn 2 s2 +2ζωs+ωn

e−τ s

Problema 2.2 La Fig. 2.23 muestra una turbina de agua unido a un generador el´ ectrico. De-


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2.10 Problemas

41

R

Rf Ri

R Opamp inversor

Seguidor de voltaje

Vin

Vo Opamp inversor

Fig. 2.22: Generador accionado por una turbina de agua.

mostrar que: M (s) K p ω(s) = T s + 1 donde M (s) es el momento rotacional generado por la turbina gracias a la ección del flujo de agua, ω(s) es la velocidad angular del generador y T su correspondiente constante de tiempo. Asumir conocido cualquier otro parámetro necesario. Generador eléctrico Turbina Entrada de agua M

ω

Desague

Fig. 2.23: Generador accionado por una turbina de agua.

Problema 2.3 En la subsección 2.8.1 se determinaron el modelo de Lagrange y la ecuaci´ on de estado del proceso tanque cerrado con agua. Ahora consideremos que se desea controlar el flujo de salida qD = a h y la temperatura en el tanque θ. Las fuerzas de control (las entradas), siguen siendo las mismas: qC y qH . Determinar la ecuación de estado y el modelo de Lagrange del proceso para esta situación.

√

Problema 2.4 La Fig. 2.24 muestra un tanque de almacenamiento de gas. Demostrar que: P o (s) = 1 P i (s) Ts + 1


T = RC

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42


donde P o es la presión del gas dentro del recipiente, P i es la presión del gas de entrada, R = (P i P o )/Q es el la resistencia neumática, Q es el caudal del gas, C = dm/dp (variaci´ on de la masa con respecto a la variación de la presión) es la capacitancia neumática, m = ρV es la masa del gas, V es el volumen del tanque, ρ es la densidad del gas y T = RC es la constante de tiempo. Se sabe además que la capacitancia C multiplicada por la variación de la presión de salida dP o , es igual al gas Q añadido al recipiente en un diferencial de tiempo dt.

−

Pi R Q Po C

ρ

Fig. 2.24: Tanque almacenador de gas.

Problema 2.5 La Fig.que 2.25est´ muestra una proceso anico donde M es la la masa de un cuerpo a accionado por unamec´ fuerza u. traslacional, A esta acción se le oponen fuerza f K = Kx en el resorte y la fuerza de pérdidas f B = Bv en el amortiguador, donde K es la constante del resorte, B es la constante de pérdidas, v = dx/dt es la velocidad de la masa M y x su posición.. La ecuación dinámica de este proceso es: M

dv = f dt

− f K − f B

Determine la FT v(s)/u(s) y la ecuación matricial de estado del proceso sabiendo que x1 = v, x2 = f K , mientras que la salida es: y = x1 /K . x v

K B

f K

M

u

f B

Fig. 2.25: Proceso mecánico traslacional.

Problema 2.6 : Sistema de Plataformas


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2.10 Problemas

43

La Fig. 2.26 muestra dos plataformas P 1 y P 2 de masas m1 y m2 acopladas por resorte y amortiguador. El sistema de plataformas descrito tiene como entradas de control las se˜ nales u1 y u2 generadas por dos actuadores. Las se˜ nales de control son capaces de llevar a cero con suficiente rapidez los errores de posición e 2 = r2 y2 , donde r1 y r2 son las se˜ nales de referencia e y1 e y2 , las se˜ nales de salida a controlar, son las posiciones individuales de las plataformas. Asuma Usted los valores de los parámetros del sistema.

−

a) Determinar las ecuaciones de estado y de salida del sistema. b) Determine el modelo de Lagrange del sistema. ¦

¨ §

¦ §

e1

¦

¨

¨ §

u1

¥

+

¦

¨ §

¤

¥

¦

¨ §



+ ¤

¦ §

¨



¦

¨ §

r1

P1





R1

−

− +

y1

Y1 u2

K1

B1

+





r2

y

P2



© 



2

© 

R2

© 

© 

−

−

Y2 K2

© 

B2

© 

© 

e2

¡¢

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£

Fig. 2.26: Plataformas acopladas.


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56/256

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Cap´ıtulo 3

El Sistema de Instrumentaci´ on Este Cap´ıtulo

3.1.

Sensores

Recordemos que la Fig. 1.1 ilustra un sistema de control a lazo cerrado (o realimentado) simple, denominado as´ı poseer un solo lazo de realimentaci´ on. El bloque sistema de instrumentación para el control de procesos SISO (Single Input Single Output), consta de un sensor y de un transmisor. El sensor proporciona la variable medida, la cual representa la condición actual de la variable controlada y, mientras que el transmisor cambia tal medició n en una señal estandarizada, la cual generalmente es una señal que pueda ser procesada y transmitida. En muchos casos la variable medida y la variable controlada pueden ser la misma. Los temas sensores y transmisores se tratan en forma extensa y especilizada en los textos de instrumentación industrial. En esta publicación, tales temas van a ser tratados con el suficiente nivel que exige un texto de control de procesos. La medición del valor actual de la señal a controlar se realiza mediante un sensor, denominado tambi´ en elemento primario de medici´ on, o un instrumento de medición que emplea los sensores adecuados para tal o cual medición. Un sensor puede estar caracterizado por unacurva curvasedeobtiene reacci´ on la cual relaciona con la se˜ nal generada. Esta aplicando una serie la devariable entradasmedida conocidas al sensor y almacenando las correspondientes respuestas. Un ejemplo t´ıpico está constituido por las curvas caracter´ısticas de Temperatura ( ◦ F) vs mV de las termocuplas. Seg´ un el tipo de se˜ nal de salida que proporciona, un sensor se puede clasificar en analógicos (la se˜ nal de salida es continua dentro del rango de medición), digital (la se˜ nal de salida es digital), y ON–OFF (la señal de salida var´ıa entre los umbrales ON y OFF). Seg´ un la magnitud a medir, el sensor puede ser de nivel, presión, temperatura, proximidad, flujo, etc. Por ejemplo, una termoresistencia proporciona una se˜ nal continua en ohms, la cual es proporcional a la temperatura medida, mientras que un radar proporciona señales discretas que son proporcionales a la magnitud de la variable medida. Por otro lado, las se˜ nales que abren y cierran completamente una válvula son del tipo ON–OFF.


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46

3.1.1.

El Sistema de Instrumentaci´ on

Caracter´ısticas Est´ aticas y Dinámicas

Un sensor posee tanto caracter´ısticas estáticas: rango, alcance, resoluci´ on, sensibilidad, curva caracter´ıstica, linealidad, saturación, zona muerta, repetibilidad, histéresis, precisi´ on y exactitud, como dinámicas: velocidad de respuesta, respuesta en frecuencia, y estabilidad. El rango es el campo de medida de la magnitud de entrada del sensor y var´ıa entre el valor máximo y el valor m´ınimo detectables, con una tolerancia de error aceptable. El alcance o span es la diferencia entre el valor máximo y el valor m´ınimo de interés, mientras que la resoluci´ on es la m´ınima diferencia entre dos valores próximos que el sensor es capaz de distinguir. Supongamos que un volt´ımetro es capaz de medir en el rango de 0 a 500 V, pero nosotros sólo estamos interesados en medir en la escala de 200 a 300 V, lo cual significa un span de 100 V. El volt´ımetro usado posee una resolución de 0.5 V, es decir, podemos ver sin dificultad lecturas de, por ejemplo, 200.5 V 0 289.5 V. Por otro lado, la sensibilidad es la variació n de la salida producida por una variación de la entrada. El gráfico de los puntos de sensibilidad define la curva caracter´ıstica o de de calibración. Este gráfico representa respuesta no lineal. Mientras mayor sea la pendiente de dicha curva, mejor la sensibilidad. En un sensor con curva de respuesta lineal , la variación de la salida producida por una variació n de la entrada es constante; es decir, su sensibilidad es siempre la misma y su curva caracter´ıstica es lineal. Por ejemplo, las curvas caracter´ısticas de los diodos en su zona activa son no lineales porque sus puntos de sensibilidad corriente sobre voltaje no son constantes. En cambio, una conductancia (la inversa de la resistencia) si posee una curva caracter´ıstica lineal, porque sus puntos de sensibilidad corriente sobre voltaje son constantes. La saturaci´ on se manifiesta en un sensor debido a la no linealidad producida por la disminución de sensibilidad, t´ıpicamente al principio o al final del rango. En las zonas de saturación, la medición no es confiable. La zona muerta de un sensor es el área de valores de la variable medida que no hace variar la indicación del instrumento. Un sensor posee repetibilidad cuando se puede repetir el valor de la medición de una variable para una u ´ nica dirección de medición. La histérisis en un sensor se parece a la repetibilidad; sin embargo, el proceso de medición es en ambos sentidos. Por ejemplo, un termómetro posee repetibilidad porque siempre mide 49 ◦ C en un objeto de 50◦ C cuando dicho objeto pasa de más fr´ı◦o a más caliente. Desafortunadamente, este termómetro posee una hist´ eresis de 1 C porque en un objeto de 50 ◦ C mide ◦ 49 C cuando dicho objeto pasa de más fr´ıo a más caliente, y mide 51 ◦ C cuando el objeto pasa de más caliente a más fr´ıo. La exactitud de una medició n se refiere a la máxima desviació n en% del valor medido, con respecto al valor ideal. Por otro lado, un instrumento de medició n es preciso cuando puede reproducir la lectura medida con una exactitud previamente determinada. Supongamos que se mide una corriente conocida de 100 mA empleando 5 lecturas, las cuales resultan: 104, 103, 105, 103 y 105 mA. Dado que la desviación máxima en la medición es 5 mA con respecto al valor real de 100 mA, la exactitud del instrumento resulta:

±

5 100


× 100 = 5 %

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3.1 Sensores

47

La precisi´ on se halla calculando primero la media de las lecturas: 105 + 103 + 105 + 103 + 105 = 104 mA 5 y luego determinando la máxima desviaci´ o n de las lecturas con respecto a dicha media, en este caso: 1 mA, que equivale al 1 % con respecto a la medida real de 100 mA. En la mayor´ıa de los casos, los sensores poseen un comportamiento din´ amico constante o proporcional, pero en otros casos, el comportamiento es similar al de un proceso de primer orden. Por ejemplo, en un sensor PT 100 empleado para medir la temperatura, la relación entre la salida resistencia en ohm y la entrada temperatura en ◦ C es constante, mientras que en un flotador empleado para la medición de nivel, la relación entre la salida voltaje en V y la entrada nivel en m es una expresión de primer orden: voltaje K = (3.1) nivel Ts + 1 donde K es la ganancia del sensor, s es la variable de Laplace y T es la constante de tiempo, la cual se interpreta como el tiempo que demora la medición. La estabilidad en un sensor se explica como la desviación que sufre la medición cuando se var´ıan ciertos par´ ametros. La velocidad de respuesta de un sensor es la capacidad para que la señal de salida siga sin retraso a las variaciones de la se˜ nal de entrada. Una velocidad de respuesta rápida implica una constante de tiempo T peque˜ na y viciversa. Por otro lado, la respuesta en frecuencia de un sensor se determina excitando al sensor con señales senoidales de amplitud constante y frecuencia variable. Si el sensor recibe excitaciones senoidales, entonces en 3.1: s = jω, donde j = 1 es la unidad de números imaginarios y ω = 2πf es la frecuencia angular. Luego:

±

√−

  K Ts + 1

=

s= jω

M (ω) =

K = T jω + 1

√1 +K ω2T 2

√1 +K ω2T 2 arctan(−T ω) = M (ω)∠M (ω)

M B (ω) = 20logM (ω)

(3.2)

∠M = arctan( T ω)

−

donde M (ω) es la magnitud de 3.1 y ∠M (ω) es el argumento o fase para cada freB (ω) es M expresado en dB (decibelios). El gr´ cuencia ω. M ficosensor de M Brepresentado (ω) vs ω en escala logar´ ıtmica es la respuesta en frecuencia en magnitud adel en 3.1, mientras que el gráfico ∠M = arctan( T ω) vs ω en escala logar´ıtmica es su correspondiente respuesta en frecuencia de su ángulo o fase. Tales representaciones se denominan los gráficos de Bode en magnitud y fase. Un sensor no es estable cuando la medici´ on experimenta desviaciones en los valores medidos debido a la variación de ciertos par´ ametros, tales como K y T (ecuaci´ on 3.2).

−

3.1.2.

Principios de los sensores


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48

El Sistema de Instrumentaci´ on

Fig. 3.1: Principios de los sensores.


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3.1 Sensores

49

Fig. 3.2: Principios de los sensores.


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62/256

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Cap´ıtulo 4

Elementos Finales de Control Este Cap´ıtulo

4.1.

Caracter´ısticas


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52

Elementos Finales de Control

Fig. 4.1: Actuadores.


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4.1 Caracter´ısticas

53

Fig. 4.2: Actuadores.


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Cap´ıtulo 5

Control PID SISO El controlador PID SISO procesa la se˜ nal de error e(t) entre la se˜ nal deseada r(t) y la señal controlada y(t) (la salida del sistema) empleando un algoritmo de control ampliamente difundido en el mundo industrial, cuya forma m´ as conocida es: K c u(t) = K c e(t) + T i



e(t)dt + K c T d

de(t) = P (t) + I (t) + D(t) dt

donde K c es la ganancia proporcional, T i es el tiempo integral y T d es el tiempo derivativo. En la expresi´ on anterior se puede ver claramente que el algoritmo PID posee una parte proporcional P (t), una parte integral I (t) y otra derivativa D(t). Este algoritmo posee muchas variaciones, algunas de las cuales vamos a explorar en este cap´ıtulo. Dependiendo de laEsaplicaci´ on, el mencionar controladorque en cuesti´ on puede trabajar P, PI, PD oonPID. importante el algoritmo PID es el decomo mayor aplicaci´ industrial (aproximadamente el 90 %) y su modelo din´ amico es lineal y de segundo orden. Se emplea para controlar sistemas caracterizados por tener una entrada y una salida, como son los casos del control de presión, nivel, flujo, entre otros.

5.1.

Sistema de Control SISO

Un sistema de control SISO realimentado o a lazo cerrado, sin presencia de disturbios, tal como el que se muestra en la Fig. 5.1(a), comprende el proceso con FT p (s) cuya salida y (la se˜ G alnPV) se desea controlar, controlador oGnc (s) la se˜ nal de control u (la nse˜ al MV) y el sistema de un instrumentaci´ G mque (s) genera que se ocupa de sensar y transmitir la se˜ nal y. El comparador que genera la señal de error e = r y, donde r es la se˜ nal de referencia deseada o SP, es parte del controlador. El controlador mostrado en las Figs. 5.1(b) y (c) ha sido dividido en dos partes: Gc1 (s) y Gc2 (s). Para algunas configuraciones Gc1 (s) es del tipo PI mientras que Gc2 (s) es del tipo D, tal como se ver´ a más adelante. Notar que el sistema a controlar G p (s) mostrado en las Figs. 5.1(a), (b) y (c) es del tipo SISO porque posee una entrada: u y una salida: y. Los controladores mostrados en las Figs. 5.1(a) y (b) son parte de un circuito realimentado. En la Fig. 5.1(c), el controlador Gc2 (s) es del tipo anticipativo, mientras que Gc1 (s) es del tipo de realimentación.

−

El objetivo de control consiste en diseñar una se˜ nal de control u, generada por el algoritmo de control, que sea capaz de estabilizar la salida y del sistema con respecto


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56

Control PID SISO r

e

u

Gc (s)

G p(s)

y

G m (s) (a) r

e

u

G c1 (s)

G p(s)

y

G c2 (s) G m (s) (b) G c2 (s) r

e

G c1 (s)

u

y G p(s)

G m (s) (c)

Fig. 5.1: Sistemas de control realimentados.

a una se˜ nal de referencia r. En otras palabras, que la se˜ nal de control u sea capaz de minimizar la se˜ nal de error e = r y, cumpliendo ciertas especificaciones de dise˜ no previamente establecidas, ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.

−

El sistema de control SISO realimentado mostrado en la Fig. 5.2 toma en cuenta la acción de los disturbios dy , du y dm actuando en la salida del sistema, en la salida del controlador y en la salida del transmisor, respectivamente, los cuales no fueron considerados en el sistema de la 5.1(a). El objetivo de control del sistema en este caso es m´ ultiple: dise˜ n ar una se˜ nal de control u que sea capaz de estabilizar la salida y con respecto a la señal de referencia r, cumpliendo ciertas especificaciones de diseño (ver sección 5.2) previamente establecidas, rechazando al mismo tiempo la acción de los disturbios que actúan sobre el sistema. El filtro de entrada sirve para eliminar las componentes de alta frecuencia, cuya presencia puede ser da˜ nina durante el funcionamiento del sistema de control realimentado. Por otro lado, para evitar posibles da˜ nos en el actuador del elemento de control final, se debe de incluir un limitador, tal como el mostrado en la Fig. 5.2. La presencia de dicho limitador puede provocar el efecto denominado windup, el cual será tratado en la sección 5.7.


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5.2 Especificaciones de Dise˜ no

57 du

r

Filtro de entrada

e

dy u

Controlador

Proceso más elemento final de control

y

y

y y

Limitador Sensor y transmisor dm

Fig. 5.2: Sistema de control SISO con filtro de entrada, con limitador de salida y sujeto a la acción de disturbios.

5.2.

Especificaciones de Dise˜ no

Todo sistema de control debe de cumplir ciertas especificaciones de diseño. Estas especificaciones se establecen tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. las especificaciones más usadas en el dominio del tiempo son: error en estado estable ess , tiempo de estabilización T s , porcentaje de sobrenivel P.O. y tiempo de subida T r . En el dominio de la frecuencia, las especificaciones de más aplicación son: ancho de banda ωB , margen de fase M f y margen de ganancia M g .

5.2.1.

Especificaciones de Dise˜ no en el Dominio del Tiempo

Para explicar las especificaciones de dise˜ no en el dominio del tiempo, se acostumbra emplear el sistema de segundo orden con realimentación unitaria mostrado en la Fig. 5.3(a). En la Fig. 5.3(b) se observa la respuesta transitoria a un escalón de entrada, donde ωn es la frecuencia natural de oscilación, ζ < 1 es el coeficiente de amortiguamiento, A es la magnitud de la entrada tipo escalón r, M p es el valor máximo de la salida y, T r es el tiempo de subida, T p es el tiempo pico, T s es el tiempo de estabilización y ess es el error en estado estable. El tiempo T s se define como el tiempo necesario para que la amplitud de la salida y se mantenga dentro de una banda de magnitud δ (2δ en total). Para la respuesta mostrada en la Fig. 5.3(b), la magnitud de la banda 2δ se mantiene en 2 % luego de

±

transcurridos 4 veces la constante de tiempo τ del sistema. Esto es: T s = 4τ

τ =

4 ζωn

(5.1)

Para una entrada tipo escalón de magnitud A, el P O (porcentaje de sobrenivel) del sistema se define como: PO = El error en estado estable ess = r

M p A A

− × 100

(5.2)

− yss es la diferencia entre la señal de referencia

r y el valor en estado estacionario yss de la salida. Este error debe de permanecer dentro de la banda 2δ preestablecida. Para la situación mostrada en la Fig. 5.3(b),


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58

Control PID SISO

el error ess se puede determinar empleando el teorema del valor final y teniendo en cuenta que r(s) = A/s, como sigue: G p (s) =

y(s) ωn2 = 2 r(s) s + 2ζωn s + ωn2

y(s) = G p (s)r(s)

A =A ess = r yss = A A = 0 s Sin demostración, las relaciones exactas para T p , M p y P O se expresan como:

−

l´ım y(t) = yss = l´ım sG p (s)

t

→∞

s

→0

P O = 100



√1−ζ

−

M p A = 100e−ζπ/ A

√1−ζ

2

M p = A 1 + e−ζπ/ T r = T p =

−

πω θ d π ωd

(5.3)



ωd = ωn

−

2

(5.4)

 − 1

ζ 2

θ = arccosζ

(5.6)

ω2

r

y

n

s (s

(5.5)

2 ζ ωn ) (a)

r

y Mp

A

ω2 n

r s2

0

2 ζω n s

2δ

A

y

yss

ω 2n

τ

0

T r Tp

(b) Zona de estabilidad

τ

Ts

Plano s

j ω d

s1

θ ζω n

j ω

e ss

σ

ωn

Zona de inestabilidad

s2 (c)

Fig. 5.3: Respuesta al escalón de un sistema de segundo orden autoregulado.

La ecuación caracter´ıstica del sistema de segundo orden es el denominador de la FT mostrada en la Fig. 5.3(b): s2 + 2ζωn s + ωn2 = 0


(5.7)

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59

Sus ra´ıces caracter´ısticas o eigenvalues, ilustradas en la Fig. 5.3(c), se expresan como: s1 = ζωn + jω d s2 = ζωn jω d De la Fig. 5.3(c) es fácil deducir la relación: θ = arccosζ usada en (5.5). En los sistemas sobreamortiguados, cuyas respuestas al escalón ocurren cuando ζ 1, tal como se muestran en las partes superior e inferior izquierda de la Fig. 2.20, el tiempo de subida T r se define como el tiempo en que se alcanza el 90 % de la magnitud A de la entrada tipo escalón, y se calcula de:

−

−

−

≥

T r =

2.16ζ + 0.16 ωn

0.3

≤ ζ ≤ 0.8

(5.8)

Ejemplo 5.1 La Fig. 5.4 muestra un sistema realimentado. Determinar la ganancia K y el polo p para que se cumplan las siguientes especificaciones de dise˜ no: el porcentaje de sobrenivel de la respuesta y(t) a un escalón unitario debe de ser menor del 3 % y el tiempo para alcanzar el valor estacionario de la respuesta debe de ser menor de 8 s. r

y

K s (s

p)

Fig. 5.4: Sistema realimentado del ejemplo 5.1.

Soluci´ on: La FT y(s)/r(s) en la Fig. 5.4 se expresa como: y(s) K ωn2 = 2 = 2 r(s) s + ps + K s + 2ζωn s + ωn2

K = ωn2

p = 2ζωn

donde ζ se puede determinar de la condición P O < 3 %, a saber:

√1−ζ

100e−ζπ/

2

→

ζ>

√1 c+ c2

c=

ln(100/P O) π

de donde resulta: ζ < 0.745. Dado que T s = ζω4n < 8 s, entonces: ωn > (2ζ )−1 = 0.67. Luego se pueden determinar los parámetros p y K pedidos.

5.2.2.

Especificaciones de Dise˜ no en el Dominio de la Frecuencia

La repuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta estacionaria del sistema a una se˜ nal sinusoide de entrada. Para determinar la respuesta en frecuencia de un sistema que posee una FT G(s) = y(s)/u(s), basta reemplazar la variable laplaciana s por jω, es decir, G( jω) = y( jω)/u( jω), donde j es la unidad de los números imaginarios, ω es la frecuencia de la sinusoide de entrada u( jω) = Asenωt, e y( jω) = Bsen(ωt + φ) es la salida. Si se mantiene constante la amplitud A de la entrada, para cada frecuencia ω de esta se˜ nal, la salida y( jω) puede experimentar cambios, tanto en su amplitud B como en su fase φ.


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60

Control PID SISO

Gr´ aficos de Bode y Nyquist, y Carta de Nichols gráfico de Bode en magnitud de una FT G( jω) se obtiene graficando la magnitud ElG( jω) dB = 20 log(G( jω)) expresada en dB (decibelios) versus la frecuencia ω log representada en logar´ıtmo vulgar (de base 10). El gráfico de Bode en fase de una FT G( jω) se obtiene graficando la fase ang(G( jω)) expresada en grados sexagesimales versus la frecuencia ωlog representada en escala logar´ıtmica de base 10 (d´ ecadas) o en escala logar´ıtmica de base 2 (octavas). En general, la FT G( jω) de un sistema se puede representar como G( jω) = u+ jv, donde u es la parte real y v es la parte imaginaria. En un gráfico de Nyquist se gráfica la parte real u versus la parte imaginaria v del sistema G( jω). El gráfico de G( jω ) dB versus ωlog se denomina la carta de Nichols que tambi´ en se emplea en el diseño de sistemas de control v´ıa la respuesta en frecuencia.

|

|

|

|

Ejemplo 5.2 Elaborar los gráficos de Bode y Nyquist y la carta Nichols del sistema: ωn2 s2 + 2zω n s + ωn2

G(s) =

donde ωn = 1 y el coeficiente de amortiguamiento z es variable.

Soluci´ on: Las Figs. 5.5, 5.6 y 5.7 muestran los gráficos pedidos, los cuales se realizaron ejecutando los programas bode1.m, nyquist1.m y nichols1.m Bode Diagram 20

z=0.1 z=0.5

0

) B d ( −20 e d u t i n g −40 a M

z=0.9 z=1.3

−60

−80

0 z=0.1 ) g e d ( e s a h P

z=0.9

−45

z=0.5

z=1.3

−90

−135

−180 −2

10

−1

10

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Fig. 5.5: Gr´ aficos de Bode para el ejemplo 5.2.


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Nyquist Diagram 6

4 z=0.1

2 s i x A y r a n i g a m I

z=0.9

z=0.5

0

−2

z=1.3

−4

−6 −3

−2

−1

0 Real Axis

1

2

3

Fig. 5.6: Gráfico de Nyquist para el ejemplo 5.2.

Nichols Chart 20 z=0.1

0

) B d ( n i a G p o o L − n e p O

−20

−40

z=0.5

z=0.9

z=1.3

−60

−80

−100 −180

−135

−90 Open−Loop Phase (deg)

−45

0

Fig. 5.7: Carta de Nichols para el ejemplo 5.2.

% bode1.m clear all; close all; clc; s=tf(’s’);


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62

Control PID SISO

for z=[0.1:0.4:1.3], G=1/(s^2+2*z*s +1); bode(G), hold on, end % nyquist1.m clear all; close all; clc; s=tf(’s’); for z=[0.1:0.4:1.3], G=1/(s^2+2*z*s +1); nyquist(G), hold on, end % nichols1.m clear all; close all; clc; s=tf(’s’); for z=[0.1:0.4:1.3], G=1/(s^2+2*z*s +1); nichols(G), hold on, end

Especificaciones de Dise˜ no en Frecuencia La Fig. 5.8(a) muestra la respuesta del sistema de segundo orden autoregulado a una entrada sinusoide, mientras que la Fig. 5.8(b) muestra su grá fico de Bode en magnitud. Sin demostración, el valor pico M ω de la magnitud, el cual se puede emplear como especificaci´ on de dise˜ no, posee la relación: 1 M ω = ζ 0.7 (5.9) 2ζ (1 ζ 2 )

−

≤

 −

≤

La frecuencia ωr en la que ocurre M ω se denomina frecuencia de resonancia y se expresa como: ωr = ωn 1 2ζ 2 ζ 0.7 (5.10) El ancho de banda del sistema se refiere a la frecuencia ωB para la cual existe una ca´ıda de 3 dB, tal como se observa en la Fig. 5.8(b) y se calcula de:

−

ωB = ( 1.196ζ + 1.85)ωn

0.3

≤ ζ ≤ 0.8

(5.11)

y(j ω)=Bsen(ωt+φ)

r(jω)=Asen ωt

ω2 n

r(jω)

A t

y(jω)

(jω)2 2 ζ ωn j ω ωn 2

B

φ

t

(a) y(jω)/r(j ω)

dB

(Mω) dB (b)

0dB −3dB 0

ωr

ωB

ω log

Fig. 5.8: (a) Respuesta de un proceso de segundo orden a una sinusoide. (b) Su gráfico de Bode en magnitud (b).

En el sistema realimentado mostrado en la Fig. 5.10(a), las FTs a lazo abierto y a lazo cerrado se definen como: y(s) = G(s)H (s) = GH (s) e(s


y(s) = G(s) r(s) 1 + GH (s)

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En el dominio de la frecuencia, tales FTs se expresan como: y( jω) e( jω = G( jω)H ( jω) = GH ( jω)

y( jω) G( jω) = r( jω ) 1 + GH ( jω)

La ecuación caracter´ıstica del sistema de la Fig. 5.10(a) es: 1 + GH ( jω) = 1 + u( jω) + jv( jω) donde u( jω) y ( jω) son la parte real e imaginaria de GH ( jω), respectivamente. En general: GH ( jω) = GH ( jω) ∠GH ( jω)

|

|GH ( jω)| =

|



u2 + v 2

∠GH ( jω) = arctan

v u

En el l´ımite de estabilidad, la ecuación caracter´ıstica toma la forma: 1 + GH ( jω) = 0

GH ( jω) =

1

− La Fig. 5.9 grafica tal situación, donde u = −1, v = 0, |GH ( jω)| = 1 y ∠GH ( jω) = 180◦ .

jv GH(jω) = 180° 1 u |GH(jω)| = 1

Fig. 5.9: (a) Sistema realimentado. (b), (c) y (d): Márgenes de fase y de ganancia.

|

|

El margen de ganancia M g se define como el rec´ıproco de la ganancia GH ( jω) para la frecuencia en que la fase de GH ( jω) alcanza 180o . Dado que GH ( jω) = u+ jv, dicho ángulo ocurre cuando v = 0. El M g se puede interpretar como un factor por el cual tiene que aumentarse la ganancia del sistema para que el gráfico de GH ( jω) pase por el punto cr´ıtico (u, v) = ( 1, 0), tal como se muestra en las Figs. 5.10(b), (c) y (d). Los sistemas estables poseen M g positivos, mientras que el M g es negativo para los sistemas inestables.

−

f El margen de fase define el á ngulo de fase GH que( jω) debe =de1,girar gráfico de GH ( jω) = uM + jvsepara quecomo el punto de magnitud pase ela través del punto (u, v) = ( 1, 0), tal como se muestran en las Figs. 5.10(b), (c) y (d). Los sistemas estables poseen M f positivos, mientras que el M f es negativo para los sistemas inestables.

−

|

|

Ejemplo 5.3 Determinar los márgenes de fase y de ganancia del sistema mostrado en la Fig. 5.10(a) sabiendo que: 1.5 G(s) = H (s) = 0,1 (s + 0.1)(s + 0.3)(s + 0.4)

Soluci´ on: Ver programa mfmg1.m y Fig. 5.11.


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Control PID SISO

y

r

G(jω)

y

G(jω)

r

G H(jω)

1

H(jω) (a)

GH

GH

dB

M g negativo

dB

ω log

0 dB

ωlog

M g positivo ang GH −90 −180 −270

−90 −180 −270

ωlog M f positivo

ω log M f negativo

(b)

M f negativo

jv M g positivo

1

M g negativo

Mg

γ

1

u

γ

u

1

φ

φ

M f positivo

1 Mg

(c)

GH

jv

GH

dB

dB

M g negativo

M g positivo 0 dB

0 dB M f positivo

−270

−180

M f negativo

−90

−270

−180

−90

(d)

Fig. 5.10: (a) Sistema realimentado. (b), (c) y (d): Márgenes de fase y de ganancia.


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5.3 Modos de Control

65

% mfmg1.m C´ A LCULO DE LOS M´ ARGENES DE FASE Y DE GANANCIA clear all; close all; clc; s=tf(’s’); G = (1.5)/((s+0.1)*(s+0.3)*(s+0.4)); H = 0.1; GH = series(G,H); [Mg,Mf,wMg,wMf] = margin(GH); % GR´ A FICA BODE DE GH [20*log10(Mg),Mf,wMg,wMf] % [-0.5976 -2.1262 0.4359 0.4499] % SISTEMA INESTABLE PORQUE Mg EN dB Y Mf EN GRADOS SON NEGATIVOS margin(GH); print -f -deps mfmg1

Bode Diagram Gm = −0.598 dB (at 0.436 rad/sec) , Pm = −2.13 deg (at 0.45 rad/sec) 40

20

0 ) B d ( e d u −20 t i n g a M −40

−60

−80

0

) g e d (

−90

e s

a h P

−180

−270 −3

10

−2

10

−1

10

0

10

1

10

Frequency (rad/sec)

Fig. 5.11: Márgenes de fase y de ganancia para el ejemplo 5.3.

5.3.

Modos de Control

??

5.4.

Estructuras del Controlador PID

5.4.1.

Algunas Estructuras B´ asicas

El algoritmo de control PID es el más usado en la actualidad por la industria. Se estima que tal algoritmo se aplica en más del 90 % de las aplicaciones. Sin embargo, no existe un estándar industrial de tal algoritmo. Existen varias estructuras del algoritmo PID [29], algunas de las cuales se formulan a continuación.


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66

Control PID SISO

El controlador PID Ideal El ISA controlador PID Society ideal, denominado en controlador no interactivo, algoritmo (Instrument of America)tambi´ o controlador pararlelo no interactivo se formula como:

 

u = K C e + e = r

1 T i

t

e dt + T d

0

de dt

−y



(5.12)

donde u es la se˜ nal o fuerza de control, y es la salida controlada del sistema (permanentemente sujeta a medición), e es la se˜ nal de error, r es la se˜ nal de referencia deseada o set :point, K c es la ganancia proporcional, T i es la constante de tiempo integral o simplemente tiempo integral, y T d es la constante de tiempo derivativa, o simplemente tiempo Cabe anotar que derivativo. la forma de la se˜ nal de error empleada: e = r y corresponde a una acción de control inversa. Para una acción de control directa, el error se expresa como: e = y r. Nosotros seguiremos usando la primera forma. Por otro lado, el tiempo integral o tiempo reset T i se expresa a menudo como la tasa integral o reset T r = 1/T i . En el dominio de Laplace, (5.12) se expresa como:

−

−

Gc (s) =





u(s) 1 K c = K c 1 + + T d s = K c + + K c T d s e(s) T i s T i s

(5.13)

El controlador PID Paralelo El controlador PID paralelo, denominado tambi´ en paralelo ideal, no interactivo, independiente o independiente de la ganancia, es una variación del controlador ideal de (5.13) y se formula en el dominio de Laplace como: Gc (s) =

u(s) 1 = K c + + T d s e(s) T i s

(5.14)

Notar que los parámetros K c , 1/T i y T d del controlador PID paralelo dado en (5.14) corresponden a los parámetros K c , K c /T i y K c T d del controlador PID ideal de (5.13). Por consiguiente, (5.14) puede ser siempre reemplazado por (5.13).

El controlador PID Ideal Filtrado Muchas veces es necesario introducir un filtro para suavizar se˜ nales ruidosas, antes que se apliquen al algoritmo de control. Para estos casos se recomienda usar el siguiente filtro de primer orden formulado tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de Laplace: def (t) 1 = e(t) ef (t) ef (s) = e(s) (5.15) dt 1 + Ts donde T es la constante de tiempo del filtro. Dado que el ruido en el sistema se amplifica principalmente por la acci´ on derivativa, entonces T se puede formular proporcional al tiempo derivativo como sigue:

−

T

T = α T d


→

ef (s) =

1 e(s) 1 + α T d s

(5.16)

78/256

5/9/2018


5.4 Estructuras del Controlador PID

67

Introduciendo en (5.13) el filtro dado en (5.16), se obtiene el siguiente controlador PID ideal filtrado: Gc (s) =

u(s) = K c e(s)



1 1 + αT d s



1+

1 + T d s T i s



(5.17)

El Controlador PID con Parte Derivativa Filtrada El controlador PID con parte derivativa filtrada posee la expresión:



u(s) 1 T d s Gc (s) = = K c 1 + + d e(s) T i s 1 + T N s



3

≤ N ≤ 10

(5.18)

El Controlador PID Cl´ asico El controlador PID clásico mostrado se denomina también controlador en cascada, interactivo, serie, interactuante, análogo o comercial y se describe como:

  

u(s) 1 Gc (s) = = K c 1 + e(s) T i s

1 + T d s d 1 + T N s

3

≤ N ≤ 10

(5.19)

El Controlador PID Cl´ asico Generalizado El controlador PID clásico generalizado mostrado, con 3 como:

≤ N ≤ 10 se formula 2



c Gc (s) = u(s) e(s) = K 1 + T 1i s +

T d sd 1 + T N

s

El Controlador PID Dependiente





bf 0

f 1 f 2 1 ++abf 1 ss++abf 2 ss2

(5.20)

El controlador PID dependiente se denomina tambi´ en controlador serie, interactuante o el algoritmo análogo y se describe como: Gc (s) =

  

u(s) 1 = K c 1 + e(s) T i s 





1 + T d s

(5.21)

La expresi´ on dada en (5.21) se puede reordenar como: 





  



1 Gc (s) = K c T i + T d 1 + + T i T d s T i T i + T d s T i + T d 











 

La estructura en (5.22) es semejante a la estructura dada en (5.12) con: 



K c = K c





T i + T d T i









T i

T d =

  −  −   − 

K c = 0.5K c 1 +

1



T i T d T i + T d 

(5.22)



(5.23)

4T d /T i

= 0.5T i 1 +

1

4T d /T i

T d = 0.5T d 1 +

1

4T d /T i






T i = T i + T d



= K c 1 + 1 + T d s T i s

(5.24)

79/256

5/9/2018


68

Control PID SISO

Cuando T d = T i /4 en (5.24), los parámetros de sintonización se convierten en: 



K c = 0.5K c



T i = 0.5T i

T d = 0.5T d

Para T d > T I /4, el controlador dependiente nunca será similar al controlador ideal, ya que para esta condici´ on los parámetros en (5.24) se vuelven imaginarios.

El Controlador PID Interactivo El controlador interactivo posee la siguiente estructura (compararla con la estructura del controlador clásico): Gc (s) =

u(s) 1 = K c 1 + e(s) T i s

T d s 1+

T d

(5.25)

s

   N

El Controlador PID Mejorado

El controlador mejorado posee la siguiente estructura (compararla con la estructura del controlador interactivo): u(s) = K c

  1 1+ T i s

e(s)

− K c

  T d s d 1 + T N s

y(s)

(5.26)

El Controlador PID con Dos Grados de Libertad El controlador con dos grados de libertad, conocido tambi´ en como controlador m–PID o ISA–PID, posee la siguiente estructura:

−

u(s) = K c (1

5.4.2.







1 (1 β )T d s 1 T d s α) + + e(s) K c 1 + + y(s) (5.27) T d d T i s T i s 1 + T 1 + N s N s

−

−

La Banda Proporcional BP %

En muchos casos prácticos no se emplea la ganancia K c del controlador, sino su inversa expresada en porcentaje, la cual se denomina banda proporcional (BP %). Esta banda proporcional se puede definir como la cantidad necesaria de cambio porcentual en la salida, entradadebido del controlador provocar un cambio de completo (100 %) en su a la acciónpara del control proporcional. La rango entrada del controlador es el error de desviación entre la se˜ nal deseada (set point) y la variable controlada (la salida del sistema), mientras que su salida es la señal de control que ingresa al elemento de control final. Es posible ajustar la cantidad de acción proporcional suministrada por el controlador. Este a juste se refiere al cambio del ancho de la PB %, tal como se ilustra en la Fig. 5.12, en donde la acción proporcional está representada por la palanca y el ajuste del ancho de la PB % se realiza desplazando el punto pivote de la palanca. En la Fig. 5.12(a) el punto pivote está ubicado en el centro de la palanca. Observar que es necesario que la se˜ nal de entrada haga un recorrido completo (desde su valor m´ınimo hasta su valor máximo) para mover el elemento de control final (la válvula de control) desde su posición completamente abierta a completamente cerrada. En


80/256

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5.4 Estructuras del Controlador PID

69

este caso, la PB % es 100 % porque se requiere un cambio de 100 % en la entrada para provocar un cambio de 100 % en la salida (salida de rango completo). La Fig. 5.12(b) ilustra el caso de una PB % igual a 200 % debido a s´ olo un cambio de 200 % en la entrada va a provocar una salida de rango completo (100 %). En un caso real, no es posible cambiar la entrada a 200% debido a que 100% es su máximo cambio. Por lo tanto, la válvula nunca estará ni completamente abierta ni completamente cerrada. Para obtener una PB % de, digamos 50 %, el punto pivote debe de desplazarse hacia la izquierda del punto medio de la palanca, tal como se observa en la Fig. 5.12(c), en donde un cambio de 50 % en la entrada es suficiente para provocar un cambio de 100 % (rango completo) en la salida. Error Máx.

Abertura de válvula 



 u





 v

 u



 y 

y











100%

v

 y   

u

 v

 





 



 



 



 



Pivote

 w

w

 x

x

















Mín.

50%

 s

 s

s

 t

 t

t

0%

(a) PB% = 100% Error Máx.

Abertura de válvula  A

 A

A

 B

 B

B

 !

 !

 !

 "  E  F

 E  F

 E  F

 E  F

 E  F

 E

 E

 E

 E

E

 F

 F

 F

 F

F

 E

 E

 E

 E

 E

 E

E

 F

 F

 F

 F

 F

 '

'

 (

(

F

 %  &  3

 3

 4

 4

3

 C

4

 C

 D

 G

G

 H

H

 C

 D

 C

 D

 C

 D

100%

"

E F

 E  F

 F

!

 "

 E  F

 E  F

 C

 D

% &

C

 D

D

  E  F

 E  F

 E  F

 C

 E  F

 C

 D

 E  F

 C

 D

 E  F

 C

 D

E F

 C

 D

 C

 D

C

 D

D

   E

 E

 F

 E

 F

 E

 F

 C

 E

 F

 C

 D

 E

 F

 C

 D

E

 F

 C

 D

F

 C

 D

 C

 D

C

 D

D

 #

 #

 $  5

5

 6

6  E

 E

 F

 E

 F

 C

 E

 F

 C

 D

 E

 F

 C

 D

F

 C

 D

 C

 D

C

 D

D

 E

 E

 E

 E

 E

E

 F

 F

 F

 F

 F

F

 C

 C

 C

 C

 C

 C

C

 D

 D

 D

 D

 D

 D

D

 E

 E

 E

 E

 E

 E

 7

7

 C

 C

 C

 C

 C

 C

C

 8

8

 D

 D

 D

 D

 D

 D

D

9 @

Mín.

 C

 C

 C

 C

 D

 D

 D

 D

 )

)

 0

0

E

 7

 9

$

E

 F

 C

 D

 E  F

 8

 @

50%

#

 $

  E  F

Pivote  C

 C

 D

 D

 C

 C

 C

 C

 C

 C

 D

 D

 D

 D

 D

 D

C D

 1

1

2 

2

C

0%

D

 

 



 

 



(b) PB% = 200% Error Máx.

Abertura de válvula  e

 e

 q

e

 q

 q

 q

 q

 q

q

 P

 f

 f

 r

f

 r

 r

 r

 r

 r

r

 Q

 q

 q

 q

 q

 q

 q

q

 r

 r

 r

 r

 r

 r

r

 P

 q

 q

 q

 q

 q

q

 r

 r

 r

 r

 r

r

Q

T

 S

 X  Y

100%

P

 Q

 T

 q  r

 S

S

X Y

 g

 g

 g

 g

 g

 g

g

 h

 h

 h

 h

 h

 h

h

 q

 q

 q

 q

 q

 q

q

 r

 r

 r

 r

 r

 r

r

 g

 g

 h

 i

i

 p

p

 g

 h

 q

 q

 r

 g

 h

 q

 r

 

 g

 h

 q

 r

 g

 h

 q

 r

g

 h

 q

 r

h

q

 r

r



 



 g

 g

 h

 g

 h

 g

 h

 g

 h

 g

 h

g

 h

h

 R

 `

`

 q

 a

a

 r

 q

 q

 r

 d

 b

b

 c

c

 d

 q

 r

 

 q

 r

 q

 r

R

q

 r

r



 



 g

 g

 h

 g

 h

 g

 h

 g

 h

 g

 h

g

 h

h

 q

 q

 q

 q

 q

 q

q

 r

 r

 r

 r

 r

 r

r

 g

 g

 g

 g

 g

 g

 h

 h

 h

 h

 h

 h

 q

 q

 q

 q

 q

q

 r

 r

 r

 r

 r

r

 g

 g

 h

 h

Pivote

 U

 U

U

 V

 V

V

50%

g h

 q  r

 g

 g

 g

 g

g

 h

 h

 h

 h

h

d

 W  g

 g

 g

 g

 g

 g

g

 h

 h

 h

 h

 h

 h

h

Mín.

 W

 I

W

 I

I

0%

(c) PB% = 50%

Fig. 5.12: Cambio en la PB % para modificar la acci´ on proporcional del controlador. La Fig. 5.13 muestra el diagrama en bloque de un controlador P (proporcional) caracterizado por su ganancia K c , la cual se define como la relación de cambios entre la entrada y la salida: ∆u/u K c = (5.28) ∆e/e donde ∆e es el cambio en el error de control (la entrada del controlador), ∆u es cambio en la se˜ nal de control (la salida del controlador), U es el rango máximo de la salida del controlador y E es el rango de medició n de la se˜ nal controlada. La banda proporcional en porcentaje, denotada como BP %, se define como la inversa de la


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70

Control PID SISO

ganancia K c del controlador: 100 P B % = Kc

∆e

Controlador Proporcional

E

(5.29)

∆u U

Fig. 5.13: Controlador tipo P (proporcional).

Ejemplo 5.4 Determinar la banda proporcional de un controlador PID operando en un sistema de control de temperatura, sabiendo que un cambio de ∆e = 15o C en la entrada del controlador produjo un desplazamiento de ∆u = 3 mm en el vástago de la válvula de control. Se sabe además que el desplazamiento máximo del vástago es de U = 40 mm y que el rango de medición de la variable del sistema controlado es de 100 o C a 500o C, lo cual significa que E = 500o C - 100o C = 400o C. ganancia K c del controlador para el punto de operación en estudio se Soluci´ on.-deLa(5.28): determina ∆u/U 3 mm/40 mm K c = = =2 ∆e/E 15o C/400o C mientras que la PB % se calcula de (5.29): PB % =

100 100 = = 50 % Kc 2

que corresponde al caso mostrado en la Fig. 5.12(c).

5.5.

M´ etodos de Sintonizaci´ on de Controladores PID

En un sistema de control realimentado, el controlador PID debe generar la señal de control que actuando sobre el sistema, provoque que la salida de dicho sistema siga a una se˜ nal de referencia, cumpliendo ciertas especificaciones de diseño previamente establecidas. Este objetivo de control se logra determinando los valores adecuados de los parámetros K c , T i y T d del controlador. En otras palabras, sintonizando los parámetros del controlador. Existen diversos métodos de sintonizaci´ on, algunos de los cuales vamos a explorar e ilustrar con aplicaciones. La referencia [29] contiene un lista exhaustiva de las reglas de sintonización de varias estructuras de controladores PI y PID aplicados a diversos tipos de plantas.


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5.5 M´ etodos de Sintonizaci´ on de Controladores PID

5.5.1.

71

M´ etodo de la Curva de Reacci´ on (Sistemas Autoregulados)

El método de la curva de reacción usa el hecho de que muchos sistemas industriales poseen una respuesta a lazo abierto a una entrada escalón (la curva de reacción), caracterizada por poseer un estado estacionario. Tales sistemas se conocen tambi´ en como autoregulados. En contraposición, los sistemas no autoregulados poseen una respuesta al escalón que crece continuamente (no estacionaria).

M´ etodo de la Constante de Tiempo del Lazo El m´ etodo de la constante de tiempo del lazo se emplea para plantas que poseen una FT de primer orden: K p G (s) = (5.30) p Ts + 1 donde T es la constante de tiempo de la planta, tiempo que corresponde al al 63.2 % de la magnitud de la ganancia K p . El 100 % de la magnitud de K p se alcanza en aproximadamente 4T . Los parámetros del controlador PID se sintonizan con las relaciones siguientes: 1 1 K c = T i = T T d = T i (5.31) K p 4 Si la FT de la planta posee la forma: K p

G p (s) =

(5.32)

(T 1 s + 1)(T 2 s + 1) los parámetros de sintonización, para una primera aproximación, se calculan de: K c =

1 K p

T i = T 1 + T 2

Sintonizaci´ on de Sistemas con FT

G p (s)

T d =

1 T i 4

= K p e−τ s

La Tabla 5.1 atribuida a Hartree et al. (ver referencias de [29]), se aplica para controlar sistemas que poseen una FT de la forma G p (s) = K p e−τ s . El control se realiza empleando la configuraci´ on de la Fig. 5.1(a). Tabla 5.1: Reglas de sinton´ıa para controlar sistemas tipo G p (s) = K p e−τ s . Método Curva de reacción

Controlador Gc (s)

  

K c 1 +

1 T i s

1+T d s T 1+ N d s

K c

T i

T d

0.7 K p τ

2.66τ

τ

Ejemplo 5.5


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72

Control PID SISO

Se desea controlar el siguiente sistema empleando la Tabla 5.1: τs

G p (s) = K p − e donde K p = 2 y τ = 2. Para el control emplear el diagrama de bloques de la Fig. 5.1(a).

Soluci´ on: Usamos la Tabla 5.1 para calcular los parámetros del controlador PID con N = 3. La Fig. 5.14 muestra el diagrama Simulink del sistema de control (archivo hartree1.mdl), mientras que la 5.15 muestra la salida y(t) controlada y la se˜ nal de control u(t). Este gráfico se obtuvo ejecutando el archivo hartree1graf.m, cuyo listado se muestra abajo. hartree1 .mdl

Ti .s+1

Td .s+1

Ti.s

Td /N.s+1

Gc1(s)

Gc2(s)

Kp

Kc

r

Kc

rh rh

Clock

Scope tau

Kp

th

uh

yh

th

uh

yh

Fig. 5.14: Diagrama Simulink para el ejemplo 5.5.

% hartree1graf.m clear all; close all; clc; r=1; N=3; Kp=2; tau=2; Kc=0.7/(Kp*tau); Ti=2.66*tau; Td=tau; load th; load yh; load uh; load rh; subplot(211), plot(th,rh,th,yh), xlabel(’TIEMPO [s]’), ylabel(’SALIDA y(t)’), title(’CONTROL DEL SISTEMA G(s)=Kp*exp(-tau*s)’) subplot(212), plot(th,uh), xlabel(’TIEMPO [s]’), ylabel(’CONTROL u(t)’) print -f -deps hartree1graf, print -s -deps hartree1

M´ etodo de la Curva de Reacción de Ziegler y Nichols El método de la curva de reacción de Ziegler y Nichols emplea la curva de reacción de la Fig. y seorden aplicadea ganancia sistemas K autoregulados que se pueden modelar como un sistema de2.18 primer p y constante de tiempo T , en cascada con un tiempo muerto τ : K p y(s) G p (s) = = e−τ s (5.33) u(s) Ts + 1 La curva de reacción se emplea para obtener los parámetros τ y T , que luego son usados para determinar los parámetros K C , T I y T D del controlador PID estándar, empleando la Tabla 5.2. Las fórmulas en dicha tabla fueron el producto de intensivos trabajos experimentales realizados por los investigadores Ziegler y Nichols en 1942 [15]. Este método se aplica a sistemas autoregulados cuya curva de reacción se puede aproximar mediante la relación (5.33). En algunos sistemas, el tiempo muerto τ es bastante peque˜ n o, por lo que es dificultosa su cuantificación. Para estos casos, es conocido un método de cálculo que


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73

CONTROL DEL SISTEMA G(s)=Kp*exp(−tau*s) 1.5

1 ) t ( y A D I L A S

0.5

0

−0.5 0

20

40

60

80

100 TIEMPO [s]

120

140

160

180

200

20

40

60

80

100 TIEMPO [s]

120

140

160

180

200

0.6

) t ( u L O R T N O C

0.4

0.2

0

−0.2 0

Fig. 5.15: Salida controlada y se˜ nal de control para el ejemplo 5.5.

Tabla 5.2: Método de la curva de reacción de Ziegler y Nichols para determinar los parámetros K c , T i y T d . Tipo

Controlador Gc (s)

P

K c

PI PID PD

K c =

100 BP ;

K p τ T

T i

T d

1/a

∞

0

K c 1 + T 1i s K c 1 + T 1i s + T d s

0.9/a 1.2/a

10τ /3 2τ

0 0.5τ

K c (1 + T d s)

1.2/a

∞

0.42τ

 

a=

consiste en localizar en la curva de reacción las tazas de cambio más altas, las cuales ocurren en los tiempos t1 = τ + T /3 y t2 = τ + T . Estos tiempos corresponden al 28.35 % y 63.2 % del valor máximo de la curva de reacción, tal como se muestra en la Fig. 5.16. Conociendo t1 y t2 , los parámetros T y τ se determinan de: T = 3 (t2 2


− t1 )

τ = t2

− T

(5.34)

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74

Control PID SISO

y 100% 63.2%

28.3% t t

1

t

2

Fig. 5.16: Tazas de cambio más altas de la curva de reacción.

Ejemplo 5.6 Se desea controlar el siguiente sistema de quinto orden empleando la t´ ecnica de la curva de reacción de Ziegler y Nichols: G p (s) =

K p (s + T a )(s + T b )(s + T c )(s + T d )(s + T e )

donde: [T a , T b , T c , T d , T e ] = [0.5, 1, 1.5, 2, 2.5]. Para propósitos de comparación emplear controladores (PID, ecuaci´ on (5.13)), dependiente (PI–D, ecuaci´ oeln (5.21)) ylos mejorado (PI–Dy,ideal ecuaci´ on (5.26)). Para el control PID y PI–D emplear diagrama de bloques de la Fig. 5.1(a), mientras que para el control PI–Dy usar el diagrama de bloques de la Fig. 5.1(b). afico de la Fig. 5.17 muestra la respuesta al escalón (la curva Soluci´ on: El primer gr´ de reacción) del sistema. De esta curva se pueden obtener los parámetros τ = 1.7 s y T = 6.7 – τ = 5 s. Con estos valores se calculan los parámetros del controlador PID empleando la Tabla 5.2. El segundo gráfico de la Fig. 5.17 ilustra la comparación entre las salidas controladas. Tales resultados se obtienen ejecutando el programa zn1.m listado abajo. % zn1.m CONTROL PID, PI-D Y PI-Dy EMPLEANDO LA CURVA DE REACCI´ ON clear all; close all; clc; Kp=10; Ta=0.5; Tb=1; Tc=1.5; Td=2; Te=2.5; s=tf(’s’); Gp=Kp/(s+Ta)/(s+Tb)/(s+Tc)/(s+Td)/(s+Te); % PROCESO subplot(211); step(Gp,’k’); grid; title(’RESPUESTA AL ESCAL´ ON’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’AMPLITUD’); tau=1.7; T=6.7-tau; % TOMADOS DE LA CURVA DE REACCI´ ON a=Kp*tau/T; Kc=1.2/a; Ti=2*tau; Td=0.5*tau; N=10; % PAR´ AMETROS PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s); PID=feedback(Gp*Gc1,1); % CONTROL PID Gc2=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gp*Gc2,1);% CONTROL PI-D Gci=Kc*(1+1/Ti/s); Gcd=Kc*Td*s/(1+Td*s/N); Gpcd=feedback(Gp,Gcd); PI_Dy=feedback(Gci*Gpcd,1); % CONTROL PI-Dy subplot(212); step(PID,’k’,PI_D,’k’,PI_Dy,’k’); title(’SALIDAS CONTROLADAS’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f zn1


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75

RESPUESTA AL ESCALÓN 6 D U T I L P M A

4 2 0

0

5

10

15

TIEMPO (sec) SALIDAS CONTROLADAS 1.5 A D I L A S

PI

PID

1 0.5 PD

0

0

P

10

20

30 TIEMPO (sec)

40

50

60

Fig. 5.17: Respuesta al escalón del sistema (gráfico superior) y respuestas controladas para el ejemplo 5.6 (gráfico inferior).

Ejemplo 5.7 Se desea controlar el sistema nivel en un tanque de almacenamiento empleando la técnica de la curva de reacción de Ziegler y Nichols. El diagrama de bloques del sistema nivel, extra´ıdo de [16], se muestra en la Fig. 5.18(a), donde las funciones de transferencia del actuador hidr´ aulico, del tanque y del flotador se formulan respectivamente: GH (s) = 10 s+1

GT (s) =

3.15 30s + 1

GF (s) =

1 9

1 s2 + 13 s + 1

τ = 1

Para propósitos de comparación emplear los controladores ideal (PID, ecuación (5.13)), dependiente (PI–D, ecuación (5.21)) y mejorado (PI–Dy, ecuación (5.26)). Para el control PID y PI–D emplear el diagrama de bloques de la Fig. 5.18(b), mientras que para el control PI–Dy usar el diagrama de bloques de la Fig. 5.18(c). En este sistema, el tiempo muerto τ se puede calcular usando la relación τ = d/v, donde v es la velocidad del flujo que ingresa al tanque y d es es la longitud de tuber´ıa que existe entre la válvula de control de flujo y el punto de salida del flujo.

Soluci´ on: El primer gráfico de la Fig. 5.19 muestra la respuesta al escalón (la curva de reacción) del sistema, de la cual se obtiene τ = 1 y T = 27 τ = 26. Con estos valores se calculan los parámetros del controlador PID empleando la Tabla 5.2. El

−


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Control PID SISO Controlador

Actuador

Referencia (set point)

v d Flotador

r

e

GC (s)

u

Controlador

e −sτ

G H(s)

GT (s)

y

Actuador Tiempo muerto Tanque ym

GF (s) Flotador

(a)

r

e

GC (s) Controlador

u

G H(s)

e −sτ

Actuador ym (b)

r

e

G C i(s)

u

G H(s) Actuador

Controlador proporcional integral

GT (s)

y

Tanque GF (s) Flotador e −sτ

GT (s)

y

Tanque

G Cd(s) Controlador derivativo

ym

GF (s) (c)

Fig. 5.18: Diagrama de bloques del sistema de control de nivel; (a) Sistema; (b) estructura para control PID o PI–D; (c) estructura para control PI–Dy.

segundo gráfico de la Fig. 5.19 ilustra la comparación entre las salidas controladas. Tales resultados se obtienen ejecutando el programa zn1a.m listado abajo. % zn1a.m CONTROL PID, PI-D Y PI-Dy EMPLEANDO LA CURVA DE REACCI´ ON clear all; close all; clc; s=tf(’s’); GH=10/(s+1); GT=3.15/(30*s+1); GF=1/(s^2/9+s/3+1); Gtau=exp(-1*s); Gpo=GH*Gtau*GT*GF; % Gpo: PROCESO A LAZO ABIERTO INCLUYENDO GF (FLOTADOR) subplot(211); step(Gpo,’k’); grid % GENERA LA CURVA DE REACCI´ ON ´ title(’RESPUESTA AL ESCALON’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’AMPLITUD’); tau=2; T=32-tau; % TOMADOS DE LA CURVA DE REACCI´ ON [num,den]=pade(1,3); Gtau=tf(num,den); % APROXIMACI´ ON DEL TIEMPO MUERTO Gp=GH*Gtau*GT; Kp=31.5; % Kp ES EL PRODUCTO DE 10*3.15 a=Kp*tau/T; Kc=1.2/a; Ti=2*tau; Td=0.5*tau; N=10; % PAR´ AMETROS PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s); PID=feedback(Gp*Gc1,GF); % CONTROL PID Gc2=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gp*Gc2,GF); % CONTROL PI-D


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RESPUESTA AL ESCALÓN 40 D U T I L P M A

30 20 10 0

0

20

40

60

80 100 TIEMPO (sec)

120

140

160

180

SALIDAS CONTROLADAS 1.5

PI−Dy A D I L A S

1

PID y PI−D 0.5 0

0

10

20

30 TIEMPO (sec)

40

50

60

Fig. 5.19: Curva de reacción del sistema nivel y respuestas controladas para el ejemplo 5.7 (gráfico inferior).

Gci=Kc*(1+1/Ti/s); Gcd=Kc*Td*s/(1+Td*s/N); Gpcd=feedback(Gp,Gcd); PI_Dy=feedback(Gci*Gpcd,GF); % CONTROL PI-Dy subplot(212); step(PID,’k’,PI_D,’k’,PI_Dy,’k’); grid; title(’SALIDAS CONTROLADAS’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f zn1a

M´ etodo de Kessler La Tabla 5.3 muestra las fórmulas propuestas por C. Kessler [25] para determinar los parámetros de un controlador PID basado en criterios óptimos de dise˜ no.

Ejemplo 5.8 La dinámica simplificada de un avión–helicóptero se puede representar mediante la siguiente FT: 1 Gp(s) = (1 + 20s)(1 + 10s)(1 + 0,5s) Controlar dicho sistema empleando el m´ etodo de Kessler.

Soluci´ on: La FT del sistema, que es del tipo PT n , se puede formular como: Gp(s) =


K p (1 + T 1 s)(1 + T 2 s)



µ (1 + tµ s)

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78

Control PID SISO

Tabla 5.3: Método de Kessler para hallar los parámetros K c , T i y T d . Sistema G p (s) K p

 (1+T 1 s)

µ (1+tµ s)

Tipo

Controlador Gc (s)

PI

K c 1 +

1 T I s

PID

K c 1 +

1 T i s

T σ = Σµ tµ ; T 1 > 4T σ K p (1+T 1 s)(1+T 2 s)



µ (1+tµ s)

T σ = Σµ tµ ; T 1 > 4T σ T 1 > T 2 > T σ

   

(1 + T d s)

K c

T i

T 1 2K p T σ

4T σ

T 1 2K p T σ

4T σ

T d

T 2

donde: K p = 1, T 1 = 20, T 2 = 10, µ = 1, tµ = t1 = T σ = 0.25, y, T 1 > 4T σ , T 1 > T 2 > T σ . Este sistema se puede estabilizar con un controlador PID, tal como se observa en la Fig. 5.20, resultado que se obtiene ejecutando el programa kessler2.m listado abajo. RESPUESTA AL ESCALÓN 1 0.8 D U T I L P M A

0.6 0.4 0.2 0

0

20

40

60

80 100 TIEMPO (sec)

120

140

160

180

SALIDA CONTROLADA 1.5

A

1

I D L A S

0.5

0

0

2

4

6 TIEMPO (sec)

8

10

12

Fig. 5.20: Respuesta al escalón (gráfico superior) y respuesta controlada (gráfico inferior) empleando un controlador PID de acuerdo al método de Kessler.

% kessler2.m CONTROL PID EMPLEANDO EL M´ ETODO DE KESSLER


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79

clear all; close all; clc; Kp=1; T1=20; T2=10; mu=1; tmu=0.5; Tsigma=tmu; s=tf(’s’); Gp=Kp/(1+T1*s)/(1+T2*s)/(1+tmu*s); % PROCESO subplot(211); step(Gp); grid; title(’RESPUESTA AL ESCAL´ ON’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’AMPLITUD’); KC=T1/(2*Kp*Tsigma); TI=4*Tsigma; TD=T2; Gc=KC*(1+1/TI/s)*(1+TD*s); PID=feedback(Gp*Gc,1); % CONTROL PID subplot(212); step(PID); grid; title(’SALIDA CONTROLADA’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f kessler2

M´ etodo de Chien–Hrones–Reswick El método de Chien–Hrones–Reswick (CHR) [19] ilustrado en la Fig. 5.21(a), se aplica a sistemas que aceptan un modelo dinámico como el de la ecuaci´ on (5.33). Este método propone un conjunto de reglas de sintonización para los casos siguientes (ver Tabla 5.4): 1. Respuesta aperi´ odica sin sobrenivel de la salida controlada y a cambios tipo escal´ on de la entrada de referencia r, sin presencia del disturbio d, y para un coeficiente de amortiguamiento ζ > 0.8 , tal como se muestra en la Fig. 5.21(b). 2. Respuesta aperi´ odica sin sobrenivel de la salida controlada yd a cambios tipo escal´ on del disturbio d, sin presencia de la entrada r, y para un coeficiente de amortiguamiento ζ > 0.8, tal como se muestra en la Fig. 5.21(c). Observar que en esta situación existe rechazo al disturbio dado que yd tiende a cero. 3. Respuesta peri´ odica con sobrenivel de 20 % de la salida controlada y a cambios tipo escalón de la entrada r, sin presencia del disturbio d, y para un coeficiente de amortiguamiento de 0.4 < ζ < 0.8, tal como se muestra en la Fig. 5.21(d). 4. Respuesta aperiódica con sobrenivel de 20 % de la salida controlada yd a cambios tipo escalón del disturbio d, sin presencia de la se˜ nal r, y para un coeficiente de amortiguamiento de 0.4 < ζ < 0.8, tal como se muestra en la Fig. 5.21(e). Observar que en esta situación tambi´ en existe rechazo al disturbio dado que yd tiende a cero.

Ejemplo 5.9 Se desea controlar el sistema nivel del ejemplo 5.7 empleando el m´ etodo de Chien– Hrones–Reswick para el caso de rechazo al disturbio (r=0 y d = 0) sin presencia de oscilaciones en la respuesta del sistema (ver Fig. 5.22(a)). Para propósitos de comparación emplear los controladores ideal (PID, ecuación (5.13)), dependiente (PI– D, ecuación (5.21)) y mejorado (PI–Dy, ecuación (5.26)), empleando las estructuras (b) y (c) de la Fig. 5.22 respectivamente.



ametros τ = 2 y T = 32 τ = 20 se obtuvieron con el primer gráfico Soluci´ on: Los par´ de la Fig. 5.19. Con estos valores se calculan los parámetros del controlador empleando la Tabla 5.4 (caso (c), controlador PID). La Fig. 5.22 ilustra la comparación entre

−

las salidas controladas, las cuales se obtienen ejecutando el programa chrd.m listado abajo.


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80

Control PID SISO d D r

t r

R

PID

e

t

Proceso

u

(a)

y

y

y R

d

R d=0

d=0 t

t (d)

(b) y d

y d

r=0

r=0

D t

D t (e)

(c)

Fig. 5.21: Método de Chien–Hrones–Reswick.

Tabla 5.4: Método de Chien–Hrones–Reswick para determinar K C , T I y T D . Tipo

Controlador GC (s)

P

K c

PI

PID



K c 1 +



K c 1 +

1 T i s

1 T i s

 

+ T d s

Caso (b): ζ > 0.8 d=0

Caso (c): ζ > 0.8 r=0

Caso (d): 0.4< ζ < 0.8 d=0

Caso (e): 0.4< ζ < 0.8 r=0

K c = 0.3/a T i = ∞ T d = 0

K c = 0.3/a T i = ∞ T d = 0

K c = 0.7/a T i = ∞ T d = 0

K c = 0.7/a T i = ∞ T d = 0

K c = 0.35/a

K c = 0.6/a

K c = 0.6/a

K c = 0.7/a

T i = 1.2T T d = 0

T i = 4τ T d = 0

T i = T T d = 0

T i = 2.3τ T d = 0

K c = 0.6/a

K c = 0.95/a

K c = 0.95/a

K c = 1.2/a

T i = T T d = 0.5τ

T i = 2.4τ T d = 0.42τ

T i = 1.4T T d = 0.47τ

T i = 2τ T d = 0.42τ

% chrd.m CONTROL PID, PI-D Y PI-Dy POR EL M´ ETODO CHR PARA RECHAZO AL DISTURBIO clear all; close all; clc;


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5.5 M´ etodos de Sintonizaci´ on de Controladores PID Actuador

81

Disturbio d

Controlador

v d Flotador

(a)

e

d

G H(s)

GT (s) e −sτ Actuador Tiempo muerto Tanque u

GC (s)

GF (s)

Controlador

Flotador

y

(b)

u

G H(s)

e −sτ

GT (s)

Actuador

y

Tanque

Control D G Cd(s)

Control PI

GF (s)

G C i(s) (c)

Fig. 5.22: Estructuras para el rechazo al disturbio en el control del sistema nivel (Fig. (a)) empleando controladores PID y PI–D (Fig. (b))y PI–Dy (Fig. (c)).

s=tf(’s’); GH=10/(s+1); GT=3.15/(30*s+1); GF=1/(s^2/9+s/3+1); [num,den]=pade(1,3); Gtau=num/den; % APROXIMACI´ ON DEL TIEMPO MUERTO Gp=GH*Gtau*GT; Kp=31.5; % Kp ES EL PRODUCTO DE 10*31.5 tau=2; T=32-tau; % TOMADOS DE LA CURVA DE REACCI´ ON a=Kp*tau/T; Kc=0.95/a; Ti=2.4*tau; Td=0.42*tau; N=10; % PAR´ AMETROS PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s); PID=feedback(Gp,Gc1*GF); % CONTROL PID Gc2=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gp,Gc2*GF); % CONTROL PI-D Gci=Kc*(1+1/Ti/s); Gcd=Kc*Td*s/(1+Td*s/N); PI_Dy=feedback(Gp,Gci*GF+Gcd); % CONTROL PI-Dy step(PID,’b’,PI_D,’b’,PI_Dy,’b’); grid; title(’SALIDAS CONTROLADAS’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f chrd

M´ etodo de Cohen–Coon Otro método de sintonizaci´ on del tipo Ziegler y Nichols es el desarrollado por los investigadores G.H. Cohen y G.A. Coon [20] que tambi´ en se aplica a sistemas que aceptan un modelo diná mico como el de la ecuació n (5.33). Las fórmulas de sintonizaci´ on se muestran en la Tabla 5.5, donde: a = K p τ T


L=

τ τ + T

(5.35)

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82

Control PID SISO

SALIDAS CONTROLADAS 1.4 1.2 1 0.8 A D I L A S

0.6 0.4

PI−Dy 0.2

0

PID y PI−D −0.2 −0.4

0

10

20

30 TIEMPO (sec)

40

50

60

Fig. 5.23: Rechazo al disturbio empleando controladores tipo PID, PI–D y PI–Dy.

Notar que las fórmulas de la Tabla 5.5 se asemejan a las de la Tabla 5.6 cuando L es suficientemente peque˜ no. Tabla 5.5: M´ etodo de Cohen y Coon para hallar los parámetros K C , T I y T D . Tipo

Controlador GC (s)

P

K C

1 a

1 T I s

PI

K C 1 +

PD

K (1 + T s) C

PID

100 BP 0.35L 1 L

K C =

         

K C 1 +

1 T I s

D

+ T D s

1+

−

0.9 a 1.24

92L 1 + 01.− L 0.13L 1+

a 1.35 a

18L 1 + 01.− L

1 L

−

T I

T D

∞

0

3.3 3L 1+1.2L

−

τ

−∞

τ

2.5 2L 1 0.39L

−

0 0.27−0.36L τ 1−0.87L 0.37−0.37L 1−0.8L τ

Ejemplo 5.10 Se desea controlar el sistema nivel descrito en el ejemplo 5.7 empleando el método de Cohen–Coon. El diagrama de bloques del sistema nivel se muestra en la Fig. 5.18(a). Para propósitos de comparaci´ on emplear los controladores PID, PI–D y PI–Dy. Para el control PID y PI–D emplear el diagrama de bloques de la Fig. 5.18(b), mientras que para el control PI–Dy usar el diagrama de bloques de la Fig. 5.18(c).


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83

−

Soluci´ on: Los parámetros τ = 2 y T = 32 τ = 20 se obtuvieron del primer gráfico de la Fig. 5.19. Con estos valores se calculan los parámetros del controlador empleando la Tabla 5.5. La Fig. 5.24 muestra las salidas controladas. SALIDAS CONTROLADAS 1.4

PI−Dy 1.2

1

PID y PI−D A D I L A S

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

5

10

15

20 TIEMPO (sec)

25

30

35

40

Fig. 5.24: Respuestas controladas empleando controladores tipo PID, PI–D y PI–Dy y el m´ etodo de Cohen-Coon.

% cohen.m CONTROL PID, PI-D Y PI-Dy EMPLEANDO EL M ´ ETODO DE COHEN-COON clear all; close all; clc; s=tf(’s’); GH=10/(s+1); GT=3.15/(30*s+1); GF=1/(s^2/9+s/3+1); [num,den]=pade(1,3); Gtau=num/den; % APROXIMACI´ ON DEL TIEMPO MUERTO Gp=GH*Gtau*GT; Kp=31.5; % Kp ES EL PRODUCTO DE 10*31.5 tau=2; T=32-tau; % TOMADOS DE LA CURVA DE REACCI´ ON a=Kp*tau/T; L=tau/(tau+T); Kc=1.35/a*(1+0.18*L/(1-L)); Ti=(2.5-2*L)*tau/(1-0.39*L); Td=(0.37-0.37*L)*tau/(1-0.8*L); N=10; % PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s); PID=feedback(Gp*Gc1,GF); % CONTROL PID Gc2=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gp*Gc2,GF); % CONTROL PI-D Gci=Kc*(1+1/Ti/s); Gcd=Kc*Td*s/(1+Td*s/N); Gcd=feedback(Gp,Gcd); PI_Dy=feedback(Gci*Gcd,GF); % CONTROL PI-Dy step(PID,’k’,PI_D,’k’,PI_Dy,’k’); grid; title(’SALIDAS CONTROLADAS’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f cohen

M´ etodo de Samal El método de sintonización de parámetros de Samal [21] está dise˜ nado para rechazar los disturbios que act´ uan principalmente en la señal de control, tal como se muestra en la Fig. 5.25(a), donde el rechazo al disturbio se manifiesta porque la señal


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84

Control PID SISO

de salida y controlada tiende a cero para un tiempo de estabilización T s y un sobrenivel de magnitud M . El sistema al cual se aplican los parámetros del controlador PID es de la forma: y(s) K p G p (s) = = (5.36) u(s) (1 + T n s)n donde los parámetros n y T n se determinan de la Tabla 2.6 (ver ejemplo 2.3). En la Fig. 5.25(b), V o = K p K C es la ganancia a lazo abierto del sistema realimentado, donde K C es la ganancia del controlador. En esta figura, los valores de V o para los controladores I y PI se leen en el eje V o de la izquierda, mientras que los valores de V o para los controladores P y PID se leen en el eje V o de la derecha. En la Fig. 5.25(c), T I es el tiempo integral. El eje T I /T ubicado a la izquierda de esta figura permite determinar T I para los controladores I, PI y PID, mientras que el tiempo derivativo T D del controlador se determina empleando la curva PID indicada como T D /T . La Fig. 5.25(d) permite determinar M conociendo la magnitud D del disturbio tipo escalón, mientras que la Fig. 5.25(e) se emplea para determinar T s .

Ejemplo 5.11 Se desea controlar el siguiente sistema empleando el método de Samal: Gp(s) =

Kp (s + T b)(s + T c)(s + T d)(s + T e)

donde: [T b , T c , T d , T d ] = [1, 1.5, 2, 2.5]. Para propósitos de comparación emplear los controladores PID est´ andar (ecuación (5.13)), PI–D interactivo (ecuaci´ on (5.21)) y PI–Dy (PID mejorado, ecuación (5.26)). Para el control PID y PI–D emplear el diagrama de bloques de la Fig. 5.1(b), mientras que para el control PI–Dy usar el diagrama de bloques de la Fig. 5.1(c). on (la curva Soluci´ on: El gráfico superior de la Fig. 5.26 muestra la respuesta al escal´ de reacción) del sistema. De esta curva se pueden obtener los parámetros τ = 0.8 s y T = 3.9 – τ = 3.1 s. Empleando la Tabla 2.6 se obtiene aproximadamente n = 3 y T n = 0.270. De la Fig. 5.25(b) se determina V o = 2 y K C = V o/K p , mientras que de la Fig. 5.25(c) se calcula T I = 1.8T n y T D = 0.7T n . El gráfico inferior de la Fig. 5.26 ilustra la comparaci´ on entre las salidas controladas. Tales resultados se obtienen ejecutando el programa samal1.m listado abajo.

% samal1.m CONTROL PID, PI-D Y PI-Dy EMPLEANDO EL M´ ETODO DE SAMAL clear all; close all; clc; Kp=10; Tb=1; Tc=1.5; Td=2; Te=2.5; s=tf(’s’); Gp=Kp/(s+Tb)/(s+Tc)/(s+Td)/(s+Te); % PROCESO subplot(211); step(Gp,’k’); title(’RESPUESTA AL ESCAL´ ON’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’AMPLITUD’); % tau=0.8; T=3.9-tau=3.1; % tau/T=0.258 => n=3 => Tn/tau=0.270 => % Gm(s)=Kp/(Tn*s+1)^n % MODELO DEL PROCESO SEG´ UN SAMAL Tn=0.216; Vo=2; Kc=Vo/Kp; Ti=1.8*Tn; Td=0.7*Tn; N=10;% PAR´ AMETROS PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s); PID=feedback(Gp*Gc1,1); % CONTROL PID Gc2=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gp*Gc2,1); % CONTROL PI-D Gci=Kc*(1+1/Ti/s); Gcd=Kc*Td*s/(1+Td*s/N); Gcd=feedback(Gp,Gcd); PI_Dy=feedback(Gci*Gcd,1); % CONTROL PI-Dy


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5.5 M´ etodos de Sintonizaci´ on de Controladores PID d

D 0 r=0

e

P, I, PI, PID

85

(a) d

t

y

t

(1+Ts) n

u

Ts

0

(b)

PI

M

D

y

Kp

(c)

5

20

5

5

4

16

4

4

P 3

12

3

Vo 2

Vo

8

TI T

3

I 2

PI

PID 1

4

1

0

0

PID

I

PID 1

2

3

4

n

1

2

(d) M

2 T D T 1

3

4

0

n

(e)

1

Kp D 0.8

I

0.6

PI

0.4

Ts

20

T

16

I

12

P PI

8

PID

PID 0.2

4 P

0 1

2

3

4

n

0 1

2

3

4

n

Fig. 5.25: Método de Samal para hallar los parámetros de un controlador PID.

subplot(212); step(PID,’k’,PI_D,’k’,PI_Dy,’k’); title(’SALIDAS CONTROLADAS’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f samal1

5.5.2.

M´ etodo de las Oscilaciones Sostenidas

M´ etodo de las Oscilaciones Sostenidas de Ziegler y Nichols El método de las oscilaciones sostenidas de Ziegler y Nichols [15] se aplica tanto a sistemas que pueden ser modelados con la ecuación (5.33) y a otros no autoregu-


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86

Control PID SISO

RESPUESTA AL ESCALÓN 1.5 D U T I L P M A

1 0.5 0

0

1

2

3

4 5 TIEMPO (sec)

6

7

8

9

45

50


PI−Dy A D I L A S

1 0.5

PID y PI−D 0

0

5

10

15

20 25 30 TIEMPO (sec)

35

40

Fig. 5.26: Respuesta al escalón (Fig. inferior) y respuestas controladas (Fig. superior) empleando controladores tipo PID, PI–D y PI–Dy y el método de Samal.

lados que permiten una respuesta a lazo cerrado que posea la forma de oscilaciones sostenidas, tal como se muestra en la Fig. 5.27. Los parámetros K c , T i y T d del controlador PID se pueden obtener a partir de tal la respuesta oscilatoria, empleando el siguiente procedimiento. Fijar los parámetros T i y T d en y 0 respectivamente. Incrementar poco a poco el parámetro K c hasta obtener una respuesta en forma de oscilaciones sostenidas (ver la Fig. 5.27). En dicha respuesta, medir el per´ıodo de oscilación cr´ıtico T crit y anotar la ganancia cr´ıtica K crit (o ganancia l´ımite) para la cual se obtuvo dicho per´ıodo. Los parámetros K c , T i y T d se calculan luego usando la Tabla 5.6. Es necesario hacer notar que la magnitud de la oscilación sostenida, lo que es equivalente a decir la magnitud de variación de la variable de salida, debe ser mantenida la más peque˜ na posible para evitar problemas de producción.

∞

K crit

r

r

e

PID

u

y

y

Proceso R

R

T crit t

t

Fig. 5.27: Método de las oscilaciones sostenidas de Ziegler y Nichols.

Ejemplo 5.12


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87

Tabla 5.6: Método de las oscilaciones sostenidas de Ziegler y Nichols para hallar los parámetros K C , T I y T D . Tipo P PI PID

Controlador GC (s)

K C =

T I

T D

0.5K crit

∞

0

0.45 K crit

0.85 T crit

0

0.6 K crit

0.5 T crit

0.125 T crit

K C

   

K C 1 + K C 1 +

1 T I s

1 T I s

100 BP

+ T D s

Se desea controlar el sistema nivel del problema empleando la técnica de las ??ositos oscilaciones sostenidas de Ziegler y Nichols. Para prop´ de comparaci´ on emplear los controladores PID estándar, PI–D interactivo y PI–Dy mejorado, empleando las estructuras de la Fig. 5.18. Soluci´ on: El primer gráfico de la Fig. 5.28 muestra la respuesta al escalón a manera de una oscilación sostenida que se obtiene empleando un controlador proporcional de ganancia GC (s) = K crit = 0.85 en la Fig. 5.18(b). Notar que la oscilación posee un per´ıodo igual a T crit = 8 s. Con estos valores se calculan los parámetros del controlador PID empleando la Tabla 5.6. El segundo gráfico de la Fig. 5.28 ilustra la comparación entre las salidas controladas. Tales resultados se obtienen ejecutando el programa zn2.m listado abajo. % zn2.m CONTROL PID, PI-D Y PI-Dy MEDIANTE LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA clear all; close all; clc; s=tf(’s’); GH=10/(s+1); GT=3.15/(30*s+1); GF=1/(s^2/9+s/3+1); [num,den]=pade(1,3); Gtau=tf(num,den); % TIEMPO MUERTO: exp(-tau*s) Gp=GH*Gtau*GT; % Gp: PROCESO, GF: FLOTADOR Kcrit=0.85; G_c0=feedback(Kcrit*Gp,GF); subplot(211); step(G_c0,40); grid; title(’OSCILACI´ ON SOSTENIDA’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’AMPLITUD’); Tcrit=8; % TOMADOS DE LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA Kc=0.6*Kcrit; Ti=0.5*Tcrit; Td=0.125*Tcrit; N=10; % PAR´ AMETROS PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s); PID=feedback(Gp*Gc1,GF); % CONTROL PID Gc2=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gp*Gc2,GF); % CONTROL PI-D Gci=Kc*(1+1/Ti/s); Gcd=Kc*Td*s/(1+Td*s/N); Gcd=feedback(Gp,Gcd); PI_Dy=feedback(Gci*Gcd,GF); % CONTROL PI-Dy subplot(212); step(PID,’k’,PI_D,’k’,PI_Dy,’k’); grid; title(’SALIDAS CONTROLADAS’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f zn2

Ejemplo 5.13 Se desea controlar un sistema no autoregulado que posee la siguiente FT, empleando la técnica de las oscilaciones sostenidas de Ziegler y Nichols. G p (s) =

1 s(s + 1)4

Para propósitos de comparación emplear los controladores PID estándar, PI–D interactivo y PI–Dy mejorado.


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Control PID SISO

OSCILACIÓN SOSTENIDA 2 D U T I L P M A

Tcrit

1.5 1 0.5 0

0

2

4

6


14

16

18

20

SALIDAS CONTROLADAS 2 A D I L A S

1.5

PI−Dy

1 0.5

PID y PI−D 0

0

10

20

30 TIEMPO (sec)

40

50

60

Fig. 5.28: Oscilaciones sostenidas (primer gr´ afico) para K p = K crit y respuestas controladas (gráfico inferior) para el ejemplo 5.12.

Soluci´ on: El primer gráfico de la Fig. 5.29 muestra la respuesta al escalón a manera de una oscilación sostenida que se obtiene empleando un controlador proporcional de ganancia GC (s) = K crit = 0.569. Notar que la oscilación posee un per´ıodo igual a τ crit = 15 s. Con estos valores se calculan los parámetros del controlador PID empleando la Tabla 5.6. El segundo gráfico de la Fig. 5.29 ilustra la comparación entre las salidas controladas. Tales resultados se obtienen ejecutando el programa zn2a.m listado abajo. % zn2a.m CONTROL PID, PI-D Y PI-Dy MEDIANTE LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA clear all; close all; clc; s=tf(’s’); Gp=1/(s*(s+1)^4); Kcrit=0.569; G_c0=feedback(Kcrit*Gp,1); subplot(211); step(G_c0,50); grid; title(’OSCILACI´ ON SOSTENIDA’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’AMPLITUD’); Tcrit=15; % TOMADO DE LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA Kc=0.6*Kcrit; Ti=0.5*Tcrit; Td=0.125*Tcrit; N=10; % PAR´ AMETROS PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s); PID=feedback(Gp*Gc1,1); % CONTROL PID Gc2=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gp*Gc2,1); % CONTROL PI-D Gci=Kc*(1+1/Ti/s); Gcd=Kc*Td*s/(1+Td*s/N); Gcd=feedback(Gp,Gcd); PI_Dy=feedback(Gci*Gcd,1); % CONTROL PI-Dy subplot(212); step(PID,’k’,PI_D,’k’,PI_Dy,’k’); title(’SALIDAS CONTROLADAS’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f zn2a


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OSCILACIÓN SOSTENIDA 2 D U T I L P M A

Tcrit

1.5 1 0.5 0

0

5

10

15


35

40

45

50

70

80

90

100

SALIDAS CONTROLADAS 2 A D I L A S

1.5

PI−Dy

1 0.5

PID y PI−D 0

0

10

20

30


Fig. 5.29: Oscilaciones sostenidas (primer gr´ afico) para K p = K crit y respuestas controladas (gráfico inferior) para el ejemplo 5.17.


G p (s)

= K p e−τ s

Las siguientes reglas de sintonización atribuidas a Yu (2006) [?], se aplican al control de sistemas que poseen una FT de la forma G p (s) = K p e−τ s . El control se realiza empleando la configuración de la Fig. 5.1(a). El controlador empleado es el denominado cl´ asico generalizado, cuya FT es:

Gc (s)

u(s) 1 T d s = e(s) = K c 1 + T i s + 1 + T d s N

Las reglas son:



K c = 0.3K crit



T i = 2.3τ crit

bf 0 + bf 1 s + bf 2 s2 1 + af 1 s + af 2 s2



T d = 0

Ejemplo 5.14 Se desea controlar el sistema G p (s) = K p e−τ s empleando la técnica de las oscilaciones sostenidas y las reglas de sintonización arriba formuladas.

Soluci´ on: El primer gráfico de la Fig. 5.30 muestra la respuesta al escalón a manera de una oscilación sostenida que se obtiene empleando un controlador proporcional


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90

Control PID SISO

de ganancia GC (s) = K crit = 0.45 en la Fig. 5.27. Notar que la oscilación posee un per´ıodo igual a τ crit = 4 s. Con estos valores se calculan los parámetros del controlador PID empleando: K c = 0.3K crit

T i = 2.3τ crit

T d = 0

El segundo gráfico de la Fig. 5.30 ilustra la salidas controlada. Tales resultados se obtienen ejecutando el programa yu1.m listado abajo. OSCILACIÓN SOSTENIDA 5

D U T I L P M A

0

−5

−10

0

10

20

30 TIEMPO (sec)

40

50

60

SALIDA CONTROLADA 1

A D I L A S

0.5

0

−0.5

0

50

100

150

200

250

TIEMPO (sec)

Fig. 5.30: Oscilaciones sostenidas (primer gráfico) para K p = K crit y respuesta controlada (gráfico inferior) para el ejemplo 5.14.

% yu1.m CONTROL PI EMPLEANDO OSCILACI´ ON SOSTENIDA clear all; close all; clc; s=tf(’s’); Kp=2; af1=1; af2=1; bf0=1; bf1=1; bf2=1; [num,den]=pade(2,3); Gtau=tf(num,den); % TIEMPO MUERTO: exp(-tau*s) Gp=Kp*Gtau; % Gp: SISTEMA Kcrit=0.45; G_c0=feedback(Kcrit*Gp,1); subplot(211); step(G_c0); grid; title(’OSCILACI´ ON SOSTENIDA’); xlabel(’TIEMPO’);ylabel(’AMPLITUD’); Tcrit=4; % TOMADOS DE LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA Kc=0.3*Kcrit; Ti=2.3*Tcrit; Td=0; N=3; % PAR´ AMETROS PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); Gc2=(bf0+bf1*s+bf2*s^2)/(1+af1*s+af2*s^2); Gc=series(Gc1,Gc2); PID=feedback(Gp*Gc,1); % CONTROL PID


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91

subplot(212); step(PID); title(’SALIDA CONTROLADA’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f yu1

5.5.3.

M´ etodo del Rel´ e

El m´ etodo de las oscilaciones sostenidas a lazo cerrado puede ser arriesgado, ya que en casos reales fuerza a la planta a operar cerca de la inestabilidad. En la práctica, también, resulta muy dificultoso mantener la amplitud constante. Una variante de este método se muestra en la Fig. 5.31 [17], en donde se emplea un relé para conseguir una oscilación sostenida de per´ıodo T crit pero de peque˜ na amplitud a, para una ganancia 4L K crit = pia , donde L es la ganancia del rel´ e. Teniendo como datos T crit y K crit se puede ahora usar la Tabla 5.6.

r

e

t

y

u

+L −L

a

y

u Gp(s)

e

Tcrit

Proceso

Relé

Fig. 5.31: Diagrama de bloques del sistema realimentado empleado en el m´ etodo de sintonizaci´ on mediante relé.

Ejemplo 5.15 Se desea controlar un sistema no autoregulado que posee la siguiente FT, empleando la técnica del relé de Aströ m y Hägglund: G p (s) =

1 s(s + 1)4

Para propósitos de comparación emplear los controladores PID estándar, PI–D interactivo y PI–Dy mejorado. Tambi´ en determinar las ecuaciones de estado del sistema.

Soluci´ on: La primera parte del programa relay.m listado abajo, el cual usa el diagrama de bloques de la Fig. 5.31(a), permite obtener el primer y segundo gráfico de la Fig. 5.33 para una magnitud del relé de L = 0.1. El diagrama de bloques de la Fig. 5.32 se emplea para determinar las cinco ecuaciones de estado del sistema: x˙ 1 = x˙ 3 =

−x1 + x2

−x3 + x4

x˙ 2 = x˙ 4 =

−x2 + x3

−x4 + x5

x˙ 5 = u

De la oscilaci´ on sostenida mostrada en el primer gráfico de la Fig. 5.33 se desprenden los parámetros: a = 0.25 y T crit = 15, mientras que el segundo gráfico ilustra la ley de control u = L. Conocido los parámetros a, T crit y L, ahora se puede calcular la ganancia K crit y los parámetros PID empleando la Tabla 5.6. El tercer gráfico de la

±

Fig. 5.33 muestra la comparación entre las salidas controladas. Tales resultados se obtienen ejecutando la segunda parte del programa relay.m listado abajo.


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Control PID SISO u

1 s

x5

1

x4

1 s+1

x3

s+1

1

x

2

s+1

1

x1 = y

s+1

Fig. 5.32: Diagrama de bloques del sistema mostrando sus variables de estado.

2 y A D1 I L A S

Tcrit r

a

0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

50

60

70

80

TIEMPO u 0.1 L O R 0 T N O C −0.1 0

10

20

30

40

TIEMPO SALIDAS CONTROLADAS 2

PI−Dy

A D I L A S

1 0

PID y PI−D 0

10

20

30


70

80

90

100

1 Fig. 5.33: Respuesta al escalón del sistema de control del sistema G p (s) = s(s+1) 4 empleando un relé (gráfico superior), ley de control u (gráfico medio) y respuestas estabilizadas empleando controladores tipo PID, PI–D y PI–Dy (gráfico inferior).

% relay.m RESPUESTA A LAZO CERRADO CON UN REL´ E COMO CONTROLADOR clear all; close all; clc; % PROGRAMA PARA PRODUCIR LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA x1=0; x2=0; x3=0; x4=0; x5=0; % CONDICIONES INICIALES T = 0.01; M = 8000; L=0.1; for k = 1:M r=1; R(k) = r; e=r-x1; % REFERENCIA ESCAL´ O N r Y ERROR e if(e>=0), u=L; else u=-L; end % FUNCI´ O N REL´ E U(k)=u; % LEY DE CONTROL u x1=x1+T*(-x1+x2); x2=x2+T*(-x2+x3); x3=x3+T*(-x3+x4); x4=x4+T*(-x4+x5); x5=x5+T*u; X1(k)=x1; % SALIDA DEL PROCESO end ejet = linspace(0,M*T,M); subplot(311); plot(ejet,R,ejet,X1); grid ylabel(’SALIDA y’); xlabel(’TIEMPO’);


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93

subplot(312); plot(ejet,U); ylabel(’CONTROL u’); xlabel(’TIEMPO’) % PROGRAMA PARA CONTROLAR EL PROCESO Gp(S) s=tf(’s’); Gp=1/(s*(s+1)^4); % FT DEL PROCESO a=0.25; Tcrit=15; Kcrit=4*L/(pi*a); % TOMADO DE LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA Kc=0.6*Kcrit; Ti=0.5*Tcrit; Td=0.125*Tcrit; N=10; % PAR´ AMETROS PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s); PID=feedback(Gp*Gc1,1); % CONTROL PID Gc2=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gp*Gc2,1); %CONTROL PI-D Gci=Kc*(1+1/Ti/s); Gcd=Kc*Td*s/(1+Td*s/N); Gcd=feedback(Gp,Gcd); PI_Dy=feedback(Gci*Gcd,1); % CONTROL PI-Dy subplot(313); step(PID,’k’,PI_D,’k’,PI_Dy,’k’); title(’SALIDAS CONTROLADAS’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA y’); print -deps -f relay

5.5.4.

M´ etodo de las Oscilaciones Amortiguadas

El método de las oscilaciones amortiguadas propuesto en [18], se conoce tambi´ en como el método TDQR (Tuning for Quarter Decay Response) o sintonizaci´ on para un decaimiento de un cuarto de la respuesta. Este m´ etodo se aplica a sistemas que pueden ser modelados en la forma dada en la ecuación (5.33) y tambi´ en a otros sistemas no autoregulados. En ambos casos, la respuesta al escalón a lazo cerrado, debe ser de modo tal que el segundo máximo sea un cuarto del primer máximo, tal como se ilustra en la Fig. 5.34, en la cual K o es la ganancia del controlador para obtener el decaimiento mostrado y T o es el per´ıodo correspondiente. Los parámetros de sintonizaci´ on del controlador se obtienen luego de la Tabla 5.7. r

r

e

Ko PID

u

y

Proceso

y

To A

R

R

A/4 t

t

Fig. 5.34: Método de las oscilaciones amortiguadas de Harriot.

Tabla 5.7: M´ etodo de las oscilaciones amortiguadas de Harriot para hallar los parámetros K C , T I y T D . Tipo P PI PID

Controlador GC (s)

T D

K o

0

1 T I s

∞

K o

T o /1.5

0

+ T D s

K o

T o /1.5

T o /6

K C

K C 1 + K C 1 +

1 T I s

100 BP

T I

   

K C =

Ejemplo 5.16


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94

Control PID SISO

Se desea controlar el sistema nivel del ejemplo 5.7 empleando la técnica de las oscilaciones amortiguadas de Harriot. Para propósitos de comparaci´ on emplear los controladores ideal (PID, ecuación (5.13)), dependiente (PI–D, ecuación (5.21)) y mejorado (PI–Dy, ecuación (5.26)), empleando las estructuras (b) y (c) de la Fig. 5.18.

Soluci´ on: El primer gráfico de la Fig. 5.35 muestra la respuesta al escalón en donde el segundo máximo de la oscilación es un cuarto del primer m´ aximo, la cual se obtiene empleando un controlador proporcional de ganancia G C (s) = K o = 0.55 en la Fig. 5.18(a). Notar que la oscilación posee un per´ıodo igual a T o = 10 s. Con estos valores se calculan los parámetros del controlador PID empleando la Tabla 5.7. El segundo gráfico de la Fig. 5.35 ilustra la comparación entre las salidas controladas. Tales resultados se obtienen ejecutando el programa harriot.m listado abajo.

OSCILACIÓN SOSTENIDA 1.5 D U T I L P M A

1

A 0.5 0

A/4 0

2

4

6


14

16

18

20


PI−Dy A D I L A S

1

PI−D PID

0.5 0

0

2

4

6

8 10 TIEMPO (sec)

12

14

16

18

Fig. 5.35: Oscilaciones amortiguadas (gr´ afico superior) para K C = K o y respuestas controladas (gráfico inferior) para el ejemplo 5.16.

% harriot.m CONTROL PID, PI-D Y PI-Dy MEDIANTE EL M´ ETODO DE HARRIOT clear all; close all; clc; s=tf(’s’); GH=10/(s+1); GT=3.15/(30*s+1); GF=1/(s^2/9+s/3+1); [num,den]=pade(1,3); Gtau=tf(num,den); % TIEMPO MUERTO exp(-tau*s) Gp=GH*Gtau*GT; % Gp: PROCESO, GH: FLOTADOR Ko=0.55; G_c0=feedback(Ko*Gp,GF); subplot(211); step(G_c0,20); grid title(’OSCILACI´ ON SOSTENIDA’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’AMPLITUD’); To=10; Kc = Ko; Ti=To/1.5; Td=To/6; N=10; % PAR´ AMETROS PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s); PID=feedback(Gp*Gc1,GF); % CONTROL PID


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Gc2=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gp*Gc2,GF); % CONTROL PI-D Gci=Kc*(1+1/Ti/s); Gcd=Kc*Td*s/(1+Td*s/N); Gcd=feedback(Gp,Gcd); PI_Dy=feedback(Gci*Gcd,GF); % CONTROL PI-Dy subplot(212); step(PID,’k’,PI_D,’k’,PI_Dy,’k’); title(’SALIDAS CONTROLADAS’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f harriot

Ejemplo 5.17 Se desea controlar un sistema no autoregulado que posee la siguiente FT, empleando la técnica de las oscilaciones amortiguadas de Harriot. G p (s) =

1 s(s + 1)4

Para propósitos de comparación emplear los controladores ideal (PID, ecuación (5.13)), dependiente (PI–D, ecuación (5.21)) y mejorado (PI–Dy, ecuación (5.26)), empleando las estructuras (b) y (c) de la Fig. 5.18.

Soluci´ on: El primer gráfico de la Fig. 5.28 muestra la respuesta al escalón a manera de una oscilaci´ on sostenida que se obtiene empleando un controlador proporcional de ganancia GC (s) = K crit = 0.569. Notar que la oscilaci´ on posee un per´ıodo igual a τ crit = 15 s. Con estos valores se calculan los parámetros del controlador PID empleando la Tabla 5.6. El segundo gráfico de la Fig. 5.28 ilustra la comparaci´ on entre las salidas controladas. Tales resultados se obtienen ejecutando el programa zn2.m listado abajo. % harriota.m CONTROL PID, PI-D Y PI-Dy MEDIANTE OSCILACI´ ON AMORTIGUADA clear all; close all; clc; s=tf(’s’); Gp=1/(s*(s+1)^4); Ko=0.3; G_c0=feedback(Ko*Gp,1); subplot(211); step(G_c0,50); grid; title(’OSCILACI´ ON AMORTIGUADA’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’AMPLITUD’); To=20; % TOMADO DE LA OSCILACI´ ON AMORTIGUADA Kc=Ko; Ti=To/1.5; Td=To/6; N=10; % PAR´ AMETROS PID Gc1=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s); PID=feedback(Gp*Gc1,1); % CONTROL PID Gc2=Kc*(1+1/Ti/s+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gp*Gc2,1); % CONTROL PI-D Gci=Kc*(1+1/Ti/s); Gcd=Kc*Td*s/(1+Td*s/N); Gcd=feedback(Gp,Gcd); PI_Dy=feedback(Gci*Gcd,1); % CONTROL PI-Dy subplot(212); step(PID,’k’,PI_D,’k’,PI_Dy,’k’); title(’SALIDAS CONTROLADAS’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f harriota

5.5.5.

M´ etodos Basado en la Minimizaci´ on de un Índice

La idea principal en los m´ etodos de sintonizaci´ on basados en criterios óptimos, es minimizar un determinado ´ındice de rendimiento, en el cual est´ en involucrados el tiempo continuo t y el error e = r y. Los ´ındices de rendimiento más usados son: ISE (Integral Squared Error), IAE (Integral Absolute Error), ITAE (Integral Time Absolute Error), ISTE (Integral Square Time weighted Error) e IST 2 E (Integral Square Time–Square weighted Error). Las fórmulas de dichos ´ındices son:

−

ISE =



∞ e2 (t)dt

0


IAE =

 | ∞

0

e(t) dt

|

IT AE =

 | 0

∞ t e(t)|dt

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96

Control PID SISO

OSCILACIÓN AMORTIGUADA 1.5 D U T I L P M A

1 A

0.5 0

A/4

0

5

10

15


35

40

45

50

SALIDAS CONTROLADAS 1.5 A D I L A S

1 PID

0.5 0

0

PI−D

10

20

30 TIEMPO (sec)

40

50

60

Fig. 5.36: Oscilaciones sostenidas (gráfico superior) para K C = K o y respuestas controladas (gráfico inferior) para el ejemplo 5.17.

ISTE =



∞

2

t e(t)dt

2

IST E =

0




∞

t2 e2 (t)dt

(5.37)

0

G p (s)

= K p e−τ s

La Tabla 5.8 se aplica al control de sistemas que poseen una FT de la forma G p (s) = K p e−τ s . En esta tabla, las reglas de sintonizaci´ on que emplean controladores integral y proporcional–integral, se atribuyen a Shinskey (1994) [ ?]. Las reglas que emplean un controlador PID se atribuyen a Nomura et al. (1993) [ ?]. El control se realiza empleando la configuraci´ on de la Fig. 5.1(a).

Ejemplo 5.18 Se desea controlar el sistema con FT G p (s) = K p e−τ s , con K p = 2 y τ = 2 usando el criterio ITAE y un controlador PI.

Soluci´ on: La Fig. 5.37 muestra la respuesta controlada, resultado que se obtienen ejecutando el programa shinskey.m listado abajo. % shinskey.m CONTROL PI USANDO ITAE clear all; close all; clc; s=tf(’s’); Kp=2; tau=2;


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97

Tabla 5.8: Reglas de sinton´ıa para controlar sistemas tipo G p (s) = K p e−τ s . Método M´ınimo ITAE M´ınimo ITAE M´ınimo ITAE

Controlador Gc (s)

K c

T i

T d

1 T i s

Indefinido 0.4

1.6K p τ

0

0.5τ

0

0.361τ

0.1911τ

   

K c 1 + K c 1 +

1 T i s

1 T i s

+ T d s

K p 0.2635 K p

CONTROL DE G(s)=Kp*exp(−tau*s) USANDO ITAE 1.2 1 0.8 0.6

A D I L A S

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8

0

5

10

15

TIEMPO (sec)

Fig. 5.37: Control PI del sistema G p (s) = K p e−τ s usando ITAE (ejemplo 5.18).

[num,den]=pade(tau,3); Gtau=tf(num,den); % TIEMPO MUERTO: exp(-tau*s) Gp=Kp*Gtau; % Gp: SISTEMA Kc=0.4/Kp; Ti=0.5*tau; Td=0; % PAR´ AMETROS PID Gc=Kc*(1+1/(Ti*s)+Td*s); PID=feedback(Gc*Gp,1); % CONTROL PID step(PID); title(’CONTROL DE G(s)=Kp*exp(-tau*s) USANDO ITAE’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f shinskey

M´ etodo de Wang–Juang–Chan Las fórmulas de sintonización de de Wang–Juang–Chan (citadas en [24]) se basan en el criterio de optimización de ITAE y se pueden aplicar a sistemas que aceptan


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98

Control PID SISO

un modelo dinámico como el de la ecuación (5.33). estas fórmulas son: (0.7303 + 0.5307T /τ )(T + 0.5τ ) K p (T + τ ) = T + 0.5τ 0.5τ T = T + 0.5τ

K c = T i T d

(5.38)

Metodo de Zhuang y Atherton El método de Zhuang y Atherton [26] minimiza los criterios ISE , ISTE e IST 2 E . La Tabla 5.9 muestra las fórmulas de sintonización aplicadas a sistemas que aceptan un modelo dinámico como el de la ecuación (5.33) y que estén sujetos a cambios tipo escalón en la señal de referencia, tal como se muestra en la Fig. 5.1(a). Tabla 5.9: Método de Zhuang y Atherton para determinar K c , T i y T d en un controlador estándar. Rango de τ /T Tipo

0.1< τ/T <1 ISE

ISTE

IST2 E

ISE

ISTE

IST2 E

a1 b1

0.980 –0.892

0.712 –0.921

0.569 –0.951

1.072 –0.560

0.786 –0.559

0.628 –0.583

a2 b2

0.690 –0.155

0.968 –0.247

1.023 –0.179

0.648 –0.114

0.883 –0.158

1.007 –0.167

a1 b1

1.048 –0.897

1.042 –0.897

0.968 –0.904

1.154 –0.567

1.142 –0.579

1.061 –0.583

a2 b2

1.195 –0.386

0.987 –0.238

0.977 –0.253

1.047 –0.220

0.919 –0.172

0.892 –0.165

a3 b3

0.489 0.888

0.385 0.906

0.316 0.892

0.490 0.708

0.384 0.839

0.315 0.832

Parámetro a1 Kp

PI

K c =

PI

T i =

PID

K c =

PID

T i =

PID

T d = a3 T

τ b1 T

 

T a2 +b2 (τ /T )

a1 Kp

τ b1 T

 

T a2 +b2 (τ /T )

τ b3 T

 

1.1< τ/T <2

Sin tener en cuenta la ganancia K c en la parte derivativa de la ecuación (5.26) correspondiente al controlador mejorado, entonces este controlador toma la forma: u(s) = K c e(s) +

K c e(s) T i s

− 1 + T T ddss/N y(s) = P (s) + I (s) + D(s)

(5.39)

La Tabla 5.10 muestra las fórmulas de sintonización cuando se aplica el controlador descrito en (5.56) a sistemas que aceptan un modelo dinámico como el de la ecuación (5.33) y que estén sujetos a cambios tipo escal´ o n en la se˜ nal de referencia, tal como se muestra en la Fig. 5.1(a).

Ejemplo 5.19


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99

Tabla 5.10: Método de Zhuang y Atherton para determinar K c , T i y T d en un controlador cuya acción derivativa se encuentra en la realimentación. Rango de τ /T Tipo

0.1< τ/T <1 ISE

ISTE

IST2 E

ISE

ISTE

IST2 E

a1 b1

1.260 –0.887

1.053 –0.930

0.942 –0.933

1.295 –0.619

1.120 –0.625

1.001 –0.624

a2 b2

0.701 –0.147

0.736 –0.126

0.770 –0.130

0.661 –0.110

0.720 –0.114

0.754 –0.116

a3

0.375

0.349

0.308

0.378

0.350

0.308

b3

0.886

0.907

0.897

0.756

0.811

0.813

Parámetro a1 Kp

PID

K c =

PID

T i =

PID

T d = a3 T

τ b1 T

 

T a2 +b2 (τ /T )

τ b3 T

 

1.1< τ/T <2

p −τ s, con K p = 2, τ = 2 y T = 20 Se desea controlar el sistema con FT G p (s) = TK s+1 e usando el criterio ITAE y un controlador PID.

Soluci´ on: La Fig. 5.38 muestra la respuesta controlada, resultado que se obtienen ejecutando el programa zh1.m listado abajo. CONTROL PID USANDO ISE 1.5

1

0.5

A D I L A S

0

−0.5

−1

−1.5

0

5

10

15

20 TIEMPO (sec)

Fig. 5.38: Control PID del sistema G p (s) =

K p T s+1

25

30

35

40

e−τ s usando ISE (ejemplo 5.19).

% zh1.m CONTROL PID USANDO ISE


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100

Control PID SISO

clear all; close all; clc; s=tf(’s’); Kp=2; tau=2; T=20; % tau/T=0.1 a1=1.048; b1=-0.897; a2=1.195; b2=-0.386; a3=0.489; b3=0.888; N=10; [num,den]=pade(tau,3); Gtau=tf(num,den); % TIEMPO MUERTO: exp(-tau*s) Gp=Kp/(T*s+1)*Gtau; % SISTEMA A CONTROLAR Kc=(a1/Kp)*(tau/T)^b1; Ti=T/(a2+b2*(tau/T)); Td=(a3*T)*(tau/T)^b3; Gc=Kc*(1+1/(Ti*s)+Td*s); PID=feedback(Gc*Gp,1); % CONTROL PID step(PID,’k’); title(’CONTROL PID USANDO ISE’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f zh1

5.5.6.

Uso de la Curva de Reacci´ on en Sistemas No Autoregulados

El método de la curva de reacción de sistemas no autoregulados emplea tablas de sintonización de los controladores PID, cada una de las cuales se aplica a una determinada FT del sistema, caracterizada por poseer en ella integradores o polos inestables.

M´ etodo de Kessler La Tabla 5.11 muestra las fórmulas propuestas por C. Kessler [25] para determinar los parámetros de un controlador PID basado en criterios óptimos de dise˜ no. Tabla 5.11: M´ etodo de Kessler para hallar los parámetros K c , T i y T d . Sistema G p (s)

Tipo

Controlador Gc (s)

PI

K c 1 +

1 T i s

PID

K c 1 +

1 T i s

K p s



µ (1+tµ s)

T σ = Σµ tµ K p s(1+T 2 s) µ (1+tµ s)



T σ = Σµ tµ ; T 2 > T σ

   

(1 + T d s)

K c

T i

1 2K p T σ

4T σ

1 2K p T σ

4T σ

T d

T 2

Ejemplo 5.20 Se desea controlar un sistema posicionador empleando el método de Kessler, sabiendo que su FT es: 1 Gp(s) = s(1 + s)(5 + s)

Soluci´ on: La FT del sistema se puede reformular como: Gp(s) =

0,2 K p = s(1 + s)(1 + 0,2s) s(1 + T 2 s) µ (1 + tµ s)



Este sistema, de acuerdo a Kessler, es del tipo PITn con parámetros K p = 0.2, T 2 = 1, µ = 1, tµ = t1 = T σ = 0.2, y T 2 > T σ , se puede estabilizar con un controlador PID, tal como se observa en la Fig. 5.39 (gráfico inferior), resultado que se obtiene ejecutando el programa kessler1.m listado abajo. Notar que este sistema es no autoregulado, tal como se observa en gráfico inferior de la Fig. 5.39.


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101

RESPUESTA AL ESCALÓN 300 250 D U T I L P M A

200 150 100 50 0

0

500

1000

1500

TIEMPO (sec)

SALIDA CONTROLADA 1.5

A D I L A S

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 TIEMPO (sec)

3

3.5

4

4.5

5

Fig. 5.39: Respuesta al escalón (gráfico superior) y respuesta controlada (gráfico inferior) empleando un controlador PID de acuerdo al método de Kessler.

% kessler1.m CONTROL PID EMPLEANDO EL M´ ETODO DE KESSLER clear all; close all; clc; Kp=0.2; T2=1; mu=1; tmu=0.2; Tsigma=tmu; s=tf(’s’); Gp=Kp/s/(1+T2*s)/(1+tmu*s); % PROCESO subplot(211); step(Gp); grid; title(’RESPUESTA AL ESCAL´ ON’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’AMPLITUD’); KC=1/(2*Kp*Tsigma); TI=4*Tsigma; TD=T2; Gc=KC*(1+1/TI/s)*(1+TD*s); PID=feedback(Gp*Gc,1); % CONTROL PID subplot(212); step(PID); grid; title(’SALIDA CONTROLADA’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f kessler1

Reglas PID para Controlar Sistemas con FT

G(s)

=

K p e τs s

−

La FT del siguiente sistema posee parte proporcional, parte integral y tiempo muerto: Y (s) K p −τ s G(s) = = e (5.40) U (s) s Debido a la presencia del integrador, los controladores PD y PID resultan ser los adecuados para controlar tales sistemas. La Tabla 5.12 muestra los valores de los


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102

Control PID SISO

coeficientes empleados por los parámetros de los controladores PD y PID [27]: ControladorPD :

K c =

ControladorPID :

K c =

a1τ K p a3 K p τ

T d = a2 τ T i = a4 τ

T d = a5 τ

(5.41)

Tabla 5.12: Parámetros ai para calcular K c , T i y T d para el control de sistemas tipo IPτ (ecuaci´ on (5.41)). Criterio

a1

a2

a3

a4

a5

ISE ITSE ISTSE

1.03 0.96 0.9

0.49 0.45 0.45

1.37 1.36 1.34

1.496 1.66 1.83

0.59 0.53 0.49

Ejemplo 5.21 Se desea controlar el sistema con FT G p (s) = usando el criterio ISE y un controlador PID.

K p s

e−τ s , con K p = 2, T = 20 y τ = 2

Soluci´ on: La Fig. 5.40 muestra la respuesta controlada, resultado que se obtienen ejecutando el programa zh2.m listado abajo. % zh2.m CONTROL PID USANDO ISE clear all; close all; clc; s=tf(’s’); Kp=2; tau=2; T=20; % tau/T=0.1 a1=1.03; a2=0.49; a3=1.37; a4=1.496; a5=0.59; N=10; [num,den]=pade(tau,3); Gtau=tf(num,den); % TIEMPO MUERTO: exp(-tau*s) Gp=Kp/(s)*Gtau; % SISTEMA A CONTROLAR Kc=a3/(Kp*tau); Ti=a4*tau; Td=a5*tau; Gc=Kc*(1+1/(Ti*s)+Td*s); PID=feedback(Gc*Gp,1); % CONTROL PID step(PID,’k’); title(’CONTROL PID USANDO ISE’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f zh2


G(s)

=

p s(TK s+1) e τ s

−

La FT del siguiente sistema posee parte proporcional, parte integral, parte retardo de primer orden y tiempo muerto: G(s) =

K p y(s) = e−τ s u(s) s(T s + 1)

(5.42)

Debido a la presencia del integrador, los controladores PD y PID resultan los adecuados para controlar tales sistemas. Las fórmulas para determinar los parámetros del controlador PD son [27]: K c =


2 3K p τ

T d = T τ

(5.43)

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103

CONTROL PID USANDO ISE 3

2

1

0 A D I L A S

−1

−2

−3

−4

−5

0

5

10

15 20 TIEMPO (sec)


25

K p s

30

35

e−τ s (ejemplo 5.21).

mientras que para el controlador PID, se tiene: 1.111T K c = K p τ 2

1

   1+

2 T 0.65 τ

  

T i = 2τ 1 +

T τ

0.65

T d =

T i 4

(5.44)

Ejemplo 5.22 Se desea controlar el sistema con FT G p (s) =

K p s(T s+1)

e−τ s , con K p = 2, T = 2 y τ =

2. Soluci´ on: La Fig. 5.41 muestra la respuesta controlada, resultado que se obtienen ejecutando el programa zh3.m listado abajo. % zh3.m CONTROL PID clear all; close all; clc; s=tf(’s’); Kp=2; tau=2; T=2; [num,den]=pade(tau,3); Gtau=tf(num,den); % TIEMPO MUERTO: exp(-tau*s) Gp=Kp/(s*(T*s+1))*Gtau; % SISTEMA A CONTROLAR Kc=1.111*T/(Kp*tau^2)/(1+(T/tau^(0.65)))^2; Ti=2*tau*(1+(T/tau)^(0.65)); Td=Ti/4; Gc=Kc*(1+1/(Ti*s)+Td*s); PID=feedback(Gc*Gp,1); % CONTROL PID step(PID,’k’); title(’CONTROL PID’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f zh3


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104

Control PID SISO CONTROL PID 1.6

1.4

1.2

1

A D I L A S

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2

0

50

100

150

TIEMPO (sec)


K p s(T s+1)

e−τ s usando ISE (ejemplo 5.22).


G(s)

=

K p e τs Ts 1

−

−

La FT del siguiente sistema posee parte proporcional, parte integral, parte retardo de primer orden inestable y tiempo muerto: G(s) =

K p y(s) = e−τ s u(s) Ts 1

(5.45)

−

Debido a la presencia del integrador y a la ra´ız inestable s = 1/T , el controlador PID parece ser el más adecuado para controlar tales sistemas. Las fórmulas para determinar los parámetros del controlador PID son [27]: a1 K c = K p

 τ T



τ T i = a2 T T

 −    

b2

T d = a3 T 1

b3

τ T

−0.02

τ γ T (5.46) Los parámetros ai , bi y γ se pueden obtener de la Tabla 5.13 para diferentes criterios. b1

Ejemplo 5.23 Se desea controlar el sistema con FT G p (s) =

K p Ts 1

−

e−τ s , con K p = 2, T = 2 y τ = 2.

Soluci´ on: La Fig. 5.41 muestra la respuesta controlada, resultado que se obtienen ejecutando el programa zh3.m listado abajo.


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105

Tabla 5.13: Parámetros ai para calcular K c , T i y T d para el control de sistemas tipo IPT1 τ inestables (ecuación (5.45)). Criterio a1 b1 ISE ITSE ISTSE

1.32 1.38 1.35

0.92 0.90 0.95

a2

b2

a3

b3

γ

4.00 4.12 4.52

0.47 0.90 1.13

3.78 3.62 3.70

0.84 0.85 0.86

0.95 0.93 0.97

CONTROL PI−D USANDO ISTSE 6

5

4

3

A D I L A S

2

1

0

−1

−2

−3

0

10

20

30 40 TIEMPO (sec)

Fig. 5.42: Control PI-D del sistema G p (s) =

K p s 1

−

50

60

70

e−τ s usando ISTSE (ejemplo 5.23).

% zh4.m CONTROL PI-D USANDO ISTSE clear all; close all; clc; s=tf(’s’); Kp=2; tau=2; T=2; N=10; a1=1.35; b1=0.95; a2=4.52; b2=1.13; a3=3.7; b3=0.86; gamma=0.97; [num,den]=pade(tau,3); Gtau=tf(num,den); % TIEMPO MUERTO: exp(-tau*s) Gp=Kp/(T*s-1)*Gtau; % SISTEMA A CONTROLAR Kc=(a1/Kp)*(tau/T)^b1; Ti=a2*T*(tau/T)^b2; Td=a3*T*(1-b3*(tau/T)^(-0.02))*(tau/T)^gamma; Gc=Kc*(1+1/(Ti*s)+Td*s/(1+Td*s/N)); PI_D=feedback(Gc*Gp,1);% CONTROL PI-D step(PI_D,’k’); title(’CONTROL PI-D USANDO ISTSE’); xlabel(’TIEMPO’); ylabel(’SALIDA’); print -deps -f zh4


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106

5.6.

Control PID SISO

Control PID del Sistema SDA

La FT del sistema de despegue y aterrizaje SDA mostrada en la Fig. 5.43(a) posee la forma: Gs (s) = ωn2

=

θ(s) K t K t = = 2 I m (s) Js + Bs + K K K B ζ = J 2Jωn

2

× s2 + 2ζωωnns + ω2

n

(5.47)

donde I m y K t son la corriente y constante del sermotor respectivamente, θ, B y K son la posición, la constante de p´ erdidas y la rigidez del sistema SDA, ωn es la frecuencia natural de oscilación y ζ es el coeficiente de amortiguamiento. El sistema SDA compensado con un controlador PID mejorado se muestra en la Fig. 5.43(a). El error en estado estable ess , con r(s) = Rs , donde R es la amplitud de la entrada, se determina empleando el teorema del valor final: ess = lims→0 se(s)

e(s) = r(s)

− θ(s)

De la Fig. 5.43 se puede demostrar que: ess



r(s) R = lims→0 s = 1 + Gc Gs (s) 1 + Gc Gs (s)



=0

(5.48)

s=0

También, de la Fig. 5.43 se deduce: r(s) = R s

G s (s)

Gc (s) e(s) Kp+

Ki s

I m(s) + Kd s

Kt

θ (s)

Js 2 + Bs + K

Fig. 5.43: (a) Sistema SDA compensado con un controlador PID mejorado. (b) Sistema SDA simplificado.

θ(s) Gc Gs (s) = r(s) 1 + Gc Gs (s) Por consiguiente: K t (K p s + K i + K d s2 ) θ(s) = r(s) Js3 + (B + K d K t )s2 + (K + K t K p )s + K t K i

(5.49)

La ecuación caracter´ıstica estándar de un sistema de tercer orden se obtiene enseriando un sistema de segundo orden con uno de primer orden (un polo po ): ωn2 (s2 + 2ζωn s + ωn2 )


1 ωn2 × (s + p = 3 2 + (ω 2 + 2ζω p )s + ω 2 p ) s + (2ζω )s o n n o o n

(5.50)

n

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5.6 Control PID del Sistema SDA

107

Igualando las ecuaciones caracter´ısticas de (5.49) y (5.50) se obtienen los parámetros del controlador PID: K c =

J (ωn2 + 2ζωn po ) K t

− K

K i =

ωn2 po J K t

K d =

2ζωn J

− B + poJ K t

(5.51) donde ωn2 y ζ se dan en (5.47). La Fig. 5.44 muestra la salida del sistema controlada. Este resultado se obtiene ejecutando el sdapid1.m cuyo listado se muestra abajo. POSICIÓN ANGULAR CONTROLADA DEL SISTEMA SDA 1

0.9

0.8

0.7

0.6 O L U G N Á

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

0.1

0.2

0.3 TIEMPO [s] (sec)

0.4

0.5

0.6

Fig. 5.44: Salida controlada del sistema SDA empleando un controlador PID.

Ń % sdapid1.m CONTROL PID, PI-D Y PI-Dy EMPLEANDO LA CURVA DE REACCIO clear all; close all; clc; s=tf(’s’); m1=0.068; m2=0.27; mh=0.048; L1=15.6; L2=5.5; Lh=0.0284; po=10; J=0.035; B=0.002; Kt=0.0108; K=0.0373; wn=sqrt(K/J); z=B/(2*J*wn); Kp=(-K+2*po*z*wn*J+wn^2*J)/(Kt); Ki=po*wn^2*J/Kt; Kd=(-B+po*J+2*z*wn*J)/Kt; Gs=Kt/(J*s^2+B*s+K); % SISTEMA Gc=Kp+Ki/s+Kd*s; PID=feedback(Gc*Gs,1); % CONTROL PID step(PID,’k’); title(’POSICI´ ON ANGULAR CONTROLADA DEL SISTEMA SDA’); xlabel(’TIEMPO [s]’); ylabel(’´ ANGULO’); print -deps -f sdapida

Mejora del Control PID del Sistema SDA El control de posición del sistema SDA puede ser mejorado incluyendo un actuador, tal como se observa en la la Fig. 5.45(b). El actuador es un control PI de la corriente I m , tal como se muestra en la Fig. 5.45(a). El voltaje de armadura V m del motor CC se formula como: V m = Rm I m + Lm dI m dt


→

I m (s) = 1 V m (s) L m s + Rm

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108

Control PID SISO

donde Lm es la inductancia de armadura y Rm es la corriente de armadura. De la Fig. 5.45(a) se deduce: K pp s+K ii I (s) Lm = (5.52) R +K I r (s) s2 + m pp s + K ii Lm

Lm

Igualando la ecuación caracter´ıstica (el polinomio del denominador) de (5.52) con la forma estándar de la ecuación caracter´ıstica de un sistema de segundo orden: s2 + 2ζωn s + ωn2 se obtienen los parámetros del controlador PI: K pp =

K ii = ωn2 Lm

−Rm + 2ζωnLm

(5.53)

Cuando (t) siguea auna la corriente referencia I r , entonceson, el actuadorladecorriente corrienteI masemeja gananciade igual a I m /I constante r = 1. En esta situaci´ el resultado mostrado en la Fig. 5.44 sigue siendo válida. G i (s)

G pi(s) Ir K pp +

K ii

Vm

s

Im

1 L ms + R m

(a) G a(s)

Gc (s) r(s) = R s

e(s) Kp+

Ki s

G s (s) I m(s)

I r (s) + Kd s

Kt

θ (s)

Js 2 + Bs + K Actuador (b)

Fig. 5.45: (a) Actuador de corriente Ga (s). (b) Sistema SDA mejorado con la inclusión del actuador de corriente .

5.7.

El Efecto Windup

En toda implementación pr´ actica, la se˜ nal de salida del controlador debe de estar limitada por dos razones. La primera es que su magnitud no debe de exceder el rango permitido por el sistema de adquisición de datos, y la segunda razón es que su valor no debe de exceder el rango permitido por el actuador. Por estas razones es que debemos de introducir un limitador a la salida del controlador. Lamentablemente este limitador, el cual es un elemento no lineal, es el causante del efecto denominado en inglés windup (saturación), el cual se explica a continuación. La Fig. 5.46 muestra el diagrama en Simulink empleado para explicar el efecto windup. Ejecutando primero el programa windup.mdl y luego el programa windupgraf.m se obtiene la Fig. 5.47, en donde se observa que cuando ocurre un cambio


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5.7 El Efecto Windup

109

tipo escaló n en la se˜ nal de referencia r(t) (primer gráfico), la se˜ nal de error positiva inicial (1 y(t)) se hace bastante grande, provocando que la señal de control u(t) (segundo gr´ afico) alcance rápidamente el valor l´ımite de saturación u m . A pesar de que la se˜ nal de salida y(t) iguala al valor de referencia en el tiempo t1 , lo cual genera una se˜ nal de error (1 y(t)) negativa debido al valor grande de la se˜ nal y i en la salida del integrador, la se˜ nal de control u(t) permanece en el valor de saturación máximo um . Esto causa que la salida y(t) se incremente continuamente hasta que se alcance el tiempo t2 , y la acción negativa de la se˜ nal de error comience a tener efecto. Observar en el primer gráfico de la Fig. 5.47 que el efecto windup provoca un aumento del sobreimpulso y del tiempo de estabilización en la se˜ nal controlada y(t). Por otro, si el algoritmo PID empleado es del tipo discreto, el fenómeno windup no es tan notorio, a´ u n cuando la se˜ nal de control esté limitada, debido a que el algoritmo discreto no emplea la suma de los errores para generar el término integral del controlador. Lo que se emplea es el cálculo recursivo como veremos más adelante.

−

−

windup .mdl ILUSTRA EL EFECTO WINDUP

yi u

Step =1

u

1

10

5 1.12s Ti =1.12

Kc=5

Clock

Scope

y

yi

yi

um=3.5

u

4 3 2 s +10s +35s +50s+24

Transfer Fcn

t

y

t

y

Fig. 5.46: Diagrama Simulink para explicar el efecto windup.

Existen diversos métodos para eliminar en gran medida el efecto windup en sistemas de control que emplean controladores PID continuos. Uno de estos m´ etodos se muestra en el diagrama SimulinkLos de par´ la Fig. 5.48,del el cual muestrason un controlador PID con mecanismo anti windup. ametros controlador los usuales: tiempo integral T i , tiempo derivativo T d y ganancia proporcional K c . La salida y(t) del sistema controlado y la correspondiente fuerza de control u(t) se muestran en la Fig. 5.49, las cuales se obtienen ejecutando primero el programa antiwindup.mdl y luego el programa antiwindupgraf.m. Por otra parte, cuando el controlador conmuta de manual a automático, el valor de la se˜ nal de control u(t) puede cambiar de un valor a otro, no importando que la señal de error e sea cero. Este salto debe de evitarse y en este caso se dice que la conmutaci´ on de manual a automático debe de ser bumpless (sin saltos). Para lograr conmutaci´ on sin saltos, el algoritmo de control debe de ejecutarse siempre, aún en el caso en que la operación del sistema de control se encuentre en modo manual. Esta corrección se puede realizar en el correspondiente programa en tiempo real.


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110

Control PID SISO EFECTO WIND UP ) t (

2 t1

y A D I 1 L A S

0

0

2

4

6

8

10

6

8

10

6

8

10

TIEMPO [s] ) t ( 4 u L O R2 T N O C0

t2

0

2

4 TIEMPO [s]

) t ( i y 10 R O D A R G E T N I

5 0

0

2

4 TIEMPO [s]

Fig. 5.47: Gráficos para explicar el efecto windup.

1/1.2

tt

rr

REF.

Clock

GANANCIA 1/Ti

rr

tt

1

1/1.2

1/Ti

s

uu

INTEGRADOR

uu

Scope

10 1.3

Kc

1

SATURACIÓN

SISTEMA A CONTROLAR yy

0.1

du/dt

0.5s+1

FILTRO

s4 +10s3+35s2+50s+24

Td

DERIVADOR

yy antiwindup .m CONTROLADOR PID CON MECANISMO ANTI WINDUP. EL FILTRO SE PUEDE SELECCIONAR A VOLUNTAD.

Fig. 5.48: Diagrama Simulink que muestra un controlador PID con mecanismo anti windup.

5.8.

El Algoritmo PID Discreto Modificado

La forma estándar del algoritmo PID mostrado en (5.12) se puede modificar introduciendo ciertas caracter´ısticas con la finalidad de que su rendimiento mejore sustancialmente. Por ejemplo, no podemos evitar la ocurrencia fortuita de cambios


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5.8 El Algoritmo PID Discreto Modificado

111

CONTROLADOR PID CON MECAISMO ANTI WINDUP 1.4 1.2 1

) t ( y 0.8 A D I L 0.6 A S

0.4 0.2 0

0

1

2

3

4

5 TIEMPO [s]

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5 TIEMPO [s]

6

7

8

9

10

3

2.5 ) t ( u L O R 2 T N O C 1.5

1

0

Fig. 5.49: Salida controlada y se˜ nal de control correspondiente a la Fig. 5.48.

bruscos del error e, los cuales pueden incrementar el término derivativo: de(t) d = (r(t) dt dt

− y(t))

Este fenómeno es conocido en inglés como derivative kick (puntapi´ e derivativo) y su efecto se puede apaciguar si es que utilizamos como señal de entrada u ´ nicamente dy(t) la se˜ nal realimentada y en lugar de e. De esta forma, (5.12) con de(t) = dt dt se convierte en: 1 dy u = K d e + edt T d T i dt Otra modificación importante es filtrar la acción derivativa del controlador PID original mediante un filtro de primer (o segundo) orden para disminuir el ruido derivativo. Esta caracter´ıstica limita la amplificaci´ on del ruido de medición de alta frecuencia en la salida del controlador. La se˜ nal de control será as´ı menos ruidosa y la ganancia en alta frecuencia permanecerá dentro de cotas apropiadas. Un término derivativo práctico, ya que un derivador puro no es realizable, puede aproximarse mediante un término de primer orden que posee una constante de tiempo T f , el cual a menudo se normaliza con respecto al tiempo derivativo T d . Por consiguiente, el derivador puro del algoritmo PID se modifica como sigue:

−

 

T d s 


T d s 1 + T f s

−



T f = T d N

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112

Control PID SISO

donde N es una constante que var´ıa de 3 a 10 y es conocida como la cota de la ganancia derivativa. Luego, el algoritmo PID toma la forma: u(s) = K c e(s) + P (s) = K c e(s)

K c e(s) T i s

I (s) =

− 1K +cT T dfs s y(s) = P (s) + I (s) + D(s)

K c e(s) T i s

D(s) =

(5.54)

− 1K +cT T dfs s y(s)

T f =

T d N

Los términos P , I y D representan las partes proporcional, integral y derivativa del controlador PID modificado, respectivamente. Sea k el tiempo discreto, el cual está relacionado con el tiempo continuo t mediante la relación t = T k, donde T es el tiempo de muestreo o discretizació n. La parte proporcional P = K c e(s) de (5.54) se discretiza directamente, obteni´ endose: P = K c e(k)

(5.55)

K c Para la parte integral I (s) = T e(s), o lo que es lo mismo: I (t) = is empleamos la aproximación trapezoidal (ver ejemplo A.46):

I (k) =

K c T i

k

 i=1

T

[e(i) + e(i 2

− 1)]

=

K c T i

I (k) = I (k

k 1

−



T

i=1

[e(i) + e(i 2

K c T i



t 0 e(t)dt

− 1)] + K c

[e(k) + e(k T i T 2

− 1) + K 2T c T i [e(k) + e(k − 1)]

− 1)]

(5.56)

c d f

La parte derivativa D(s) =

K T ss y(s) se puede escribir como: − 1+T (1 + T f s)D(s) = −K c T d s y(s) ˙ D(t) + T f D(t) = −K c T d y(t) ˙

˙ y aproximando las derivadas D(t) e y(t) ˙ por atraso (desplazamiento de k hacia (k 1)), se obtiene:

−

D(k) + T f



D(k)

− D(k − 1) T



=

−K cT d



y(k)

− y(k − 1) T



Despejando D(k), la parte derivativa discreta queda entonces como: T d T D(k) = D(k 1) K c N [y(k) y(k 1)] T f = d N T + T d N

{

− −

−

− }

(5.57)

El algoritmo PID discreto usado en las implementaciones en tiempo real resulta: u(k) = P (k) + I (k) + D(k)

(5.58)

donde P (k), I (k) D(k) se dan en (5.55), (5.56) y (5.57) respectivamente. Tambi´ en se debe de incluir el efecto del limitador, basado en un modelo con presencia de saturación con valores máximo y m´ınimo umax y ulow respectivamente: v = P + I + D; if(v < ulow), u = ulow; elseif(v > uhigh), u = uhigh; else u = v;


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5.8 El Algoritmo PID Discreto Modificado

113

Tabla 5.14: Método de la curva de reacción para determinar los parámetros PID. K c , K i y K d . Tipo

Controlador Gc (s)

P

K c

PI PID

K i s

K c + K c +

K i s

100 BP 1 T K p τ +T s 0.9 T 0.5K i K p τ +0.5T s 1.2 T 0.5K i K p τ +T s

K c =

− −

+ K d s

K i = K c /T i

K d = K c T d

0

0

0.27 T s T K p (τ +0.5T s )2 T s T 0.6 K p (τ +0.5T s )2

0.5 T K p T s

0

Tabla 5.15: Método de las oscilaciones sostenidas para hallar los parámetros K , T C I y T D . Tipo

Controlador Gc (s)

P

K C

PI PID

K c + K c +

K i s

K c =

100 BP

0.5K crit

K i s

0.45 K crit

− 0.5K i 0.6 K crit − 0,5K i

+ K d s

K i = K c /T i

K d = K c T d

∞

0

crit 0,54 K T crit

1.2

K crit T crit

0 0.075K crit

T crit T s

Si el tiempo de muestreo T s es suficientemente peque˜ no, entonces se pueden usar las reglas de sinton´ıa para sistemas continuos discutidas anteriormente. Sin embargo, a pesar de que no son tan usadas como en el caso continuo, existen reglas de sinton´ıa para el caso discreto, tal como las mostradas en las Tablas 5.14 y 5.15. Estas tablas K p −τ s del sistema y no son válidas si τ /T s 0 ni se emplean la FT G p (s) = 1+T se deben de aplicar si τ /T s < 1/4, donde T s es el tiempo de muestreo.

≈

Ejemplo 5.24 Se desea controlar la posición angular x1 de un manipulador empleando un algoritmo de control discreto PID. las ecuaciones de estado del manipulador son: x˙ 1 = x2 2

x˙ 2 =

N B n KE nK act − M x2 − + x2 + u M M Ra Ra M

Soluci´ on: En el listado del programa pidposfijo.m se describen todos los parámetros empleados en la ecuación de estado. Ejecutando este programa se obtiene la respuesta pedida (Fig. 5.50). Ya se han usado parámetros PID previamente determinados. % pidposfijo.m CONTROL DE POSICION PID DEL MANIPULADOR MR1 clear all; close all; clc; % PARAMETROS DEL PROCESO NO LINEAL (TABLA 3.3) JL = 3.5e-7; bL = 1e-5; Ro = 0.01; Jm = 1.9062e-6; bm = 1.8338e-6; g = 9.81; E = 31.035e-3; Ra = 7.38; m = 0.06377; Kact = 14.9;


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114

Control PID SISO 1 ) d 0.8 a r ( r a l u 0.6 g n a n 0.4 ó i c i s o P0.2

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10

20

30

40

50 Tiempo [s]

60

70

80

90

100

0.5 ) 0.4 V ( u l o r 0.3 t n o c e 0.2 d l a ñ e S0.1

0

0

Fig. 5.50: Posición angular controlada correspondinte al Ejemplo 5.24.

K = 31.071e-3; n = 19.741; L = 4.64e-3; Lo = 0.776; Mo = 0.045; B = n^2*bm + bL; Jeff = n^2*Jm +JL; M = JeffDE + MUESTREO (1/3)*m*Lo^2 + Mo*Lo^2PID + (2/5)*Mo*Ro^2; N = g*Lo*(Mo+m/2); % PERIODO Y PARAMETROS T = 0.01; Nn = 10; Kp = 0.1; Ti = 0.4; Td = 0.01; Tf=Td/Nn; % CONDICIONES INICIALES ep = 0; x1 = 0; x1p=0; x2 = 0; Ip = 0; Dp=0; % ******** LAZO DEL SISTEMA DE CONTROL ********* Mm = 5000; T = 0.01; Nn = 10; ulow = -5; uhigh = 5; for k = 1:Mm r = 1; R(k) = r; e = r - x1; P = Kp*e; I = Ip + T*Kp*(e+ep)/(2*Ti); D = (Td/(Nn*T + Td))*Dp - Kp*Td*Nn*(x1 - x1p)/(Nn*T + Td); v = P + I + D; if(v < ulow), u = ulow; elseif( v > uhigh), u = uhigh; else u = v; end U(k) = u; % MODELO DE SEGUNDO ORDEN DEL SISTMA (DISCRETIZACION DIRECTA) x1 = x1 + T*x2; Y(k) = x1; x2 = x2 + T*( -(N/M)*x1 - (B/M + n^2*K*E/(M*Ra))*x2 + (n*K*Kact/(Ra*M))*u ); ep = e; x1p=x1; Ip=I; end % GRAFICOS ejex = linspace(0,Mm*T,Mm); subplot(2,1,1) plot(ejex,R,ejex,Y); grid; ylabel(’Posici´ on angular (rad)’) subplot(2,1,2); plot(ejex,U); grid; ylabel(’Se~ n al de control u (V)’) xlabel(’Tiempo [s]’); print -f -deps pidposfijo


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5.9 Problemas

5.9.

115

Problemas

Problema 5.1 Las FTs Ga (s) hasta G j (s) corresponden a sistemas a ser controlados. Determinar para cada una de ellas los siguientes modelos dinámicos aproximados: GA (s) =

K p −τ s e Ts + 1 GC (s) =

Ga (s) = Gd (s) = Gf (s) = Gi (s) =

2 (s + 1)3

GB (s) =

K p ; (T n s + 1)n

K p ; (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) Gb (s) =

4 (s + 1) 5

τ T

≥

0.104

τ < 0.104 T

Gc (s) =

−3s + 2

(s + 1) 3 s2 3s + 6 10s + 4 Ge (s) = e−s/2 (s + 1)(s2 + 3s + 6)(s2 + s + 2) (s + 1) 2 (s + 3)3 6 3 3 Gg (s) = e−s Gh (s) = e−2s 6 (s + 1) (s + 1)(2s + 1) (s + 1)4 7 3s + 6 e−30s G j (s) = e−s/10 3 (17s + 1)(6s + 1) (s + 1)(4s + 1)

−

−

Problema 5.2 Realizar los controles PID, PI–D y PI-Dy de los sistemas Ga (s) al G j (s) en el dominio de s empleando MATLAB. Usar al menos cinco distintas reglas de sintonización para cada sistema. El objetivo de control es que la señal controlada siga a una referencia constante.

Problema 5.3 Realizar los controles PID, PI–D y PI–Dy de los sistemas Ga (s) al G j (s) empleando SIMULINK. Usar al menos una regla de sintonización, distinta de las otras, para cada sistema. El objetivo de control es que la señal controlada siga a una referencia constante.

Problema 5.4 Realizar los controles PID, PI–D y PI–Dy de los sistemas Ga (s) al G j (s) en el dominio del tiempo discreto k=t/T (T es el tiempo de muestreo) empleando MATLAB. Usar al menos tres distintas reglas de sintonización para cada sistema. El objetivo de control es que la se˜ nal controlada (la salida) tienda a cero en presencia de un disturbio tipo escal´ on a la entrada del sistema. En esta situación, denominada rechazo al disturbio, la se˜ nal de referencia es nula.

Problema 5.5


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116

Control PID SISO

Realizar los controles PID, PI–D y PI–Dy de los sistemas Ga (s) al G j (s) empleando SIMULINK. Usar al menos una regla de sintonización, distinta de las otras, para cada sistema. El objetivo de control es que la señal controlada (la salida) tienda a cero en presencia de un disturbio tipo escalón a la entrada del sistema. En esta situación, denominada rechazo al disturbio, la se˜ nal de referencia es nula.

Problema 5.6 Realizar los controles PI o PID según corresponda, de los sistemas G k (s) al Gt (s) empleando el método de Kessler. Gk (s) = Gl (s) = Gm (s) = Gn (s) = Go (s) = G p (s) = Gq (s) = Gr (s) = Gs (s) = Gt (s) =

Problema 5.7

(1 + 20s)

2 (1 + 0.1s)3 (1 + 0.3s)3

   

(1 + 20s)(1 + 30s) 9(1 + 0.2s)4 (1 + 0.5s)2 2 s (1 + s)3 (1 + 2s)2 8 s(1 + 20s) (1 + 0.1s)3 (1 + 0.3s)3 5 (1 + 0.1s)(1 + 0.2s)(1 + 30s)(1 + 0.3s)2 (1 + 0.5s)2 3 s(1 + s)(1 + 2s)(1 + 40s)(1 + 0.2s)4 (1 + 0.5s)3 6 (1 + s)(1 + 2s)(1 + 40s)(1 + 50s)(1 + 0.2s)4 (1 + 0.5s)3 8 (s + 10)(s + 9)(s + 2) 4 2 s (s + 3) (s + 5)(s + 6) 4 2 s (1 + s) (1 + 2s)(1 + 0.9s)

 

Para el sistema del ejemplo ??, dise˜ nar controladores PID, PI–D y PI–Dy que cumplan el siguiente objetivo de control: la señal controlada x 1 debe de seguir a la se˜ nal en estado estable x1e con un porcentaje de de sobrenivel menor del 5 %, tiempo de estabilización menor de 8 s y error en estado estable nulo. Tener en cuenta que para la situación descrita, y1 = x1 x1e debe de ser nulo.

−

Problema 5.8 Para el sistema del ejemplo ??, dise˜ nar controladores PID, PI–D y PI–Dy que cumplan el siguiente objetivo de control: la señal controlada y = ω2 debe de seguir una señal de referencia constante con un porcentaje de de sobrenivel menor del 3 %, tiempo de estabilización menor de 4 s y error en estado estable nulo.

Problema 5.9


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5.9 Problemas

117

Para el sistema del ejemplo ??, dise˜ nar controladores PID, PI–D y PI–Dy que cumplan el siguiente objetivo de control: la señal controlada x1 debe de seguir una señal de referencia constante con un porcentaje de de sobrenivel menor del 3 %, tiempo de estabilizaci´ on menor de 4 s y error en estado estable nulo.

Problema 5.10 Para el sistema de la Fig. 2.14(c), diseñar controladores PID, PI–D y PI–Dy que cumplan el siguiente objetivo de control: la señal controlada ω debe de seguir una se˜ nal de referencia constante con un porcentaje de de sobrenivel menor del 3 %, tiempo de estabilizaci´ on menor de 4 s y error en estado estable nulo.

Problema 5.11 Para el sistema de la Fig. ??(b), dise˜ nar controladores PID, PI–D y PI–Dy que cumplan el siguiente objetivo de control: la señal controlada ω debe de seguir una se˜ nal de referencia constante con un porcentaje de de sobrenivel menor del 3 %, tiempo de estabilizaci´ on menor de 10 s y error en estado estable nulo.

Problema 5.12 Para el sistema del ejemplo ??, dise˜ nar controladores PID, PI–D y PI–Dy que cumplan el siguiente objetivo de control: la señal controlada q3 debe de seguir una se˜ nal de referencia constante con un porcentaje de de sobrenivel menor del 3 %, tiempo de estabilizaci´ on menor de 4 s y error en estado estable nulo. Problema 5.13 Para el sistema del problema ??, dise˜ nar controladores PID, PI–D y PI–Dy que cumplan el siguiente objetivo de control: la se˜ nal controlada θ debe de seguir una se˜ nal de referencia constante con un porcentaje de de sobrenivel menor del 3 %, tiempo de estabilizaci´ on menor de 4 s y error en estado estable nulo.

Problema 5.14 Para el sistema del problema ??, dise˜ nar controladores PID, PI–D y PI–Dy que cumplan el siguiente objetivo de control: la señal controlada iR debe de seguir una se˜ nal de referencia constante con un porcentaje de de sobrenivel menor del 3 %, tiempo de estabilizaci´ on menor de 4 s y error en estado estable nulo.


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Cap´ıtulo 6

Otras Estrategias de Control Este Cap´ıtulo

6.1.

Control en Cascada

La Fig. 6.1(a) muestra un sistema que comprende un tanque cerrado al cual ingresa un producto que queremos calentar a una temperatura r (el valor deseado o set point). Para este propósito se emplea el sobrecalentador, el cual recibe la energ´ıa térmica que trae consigo el flujo de agua caliente que tambi´ en pasa por la válvula de control de tipo neumática. En este lazo de control realimentado simple, la temperatura y, medida con una termoresistencia (representada con una T que ingresa al tanque), ingresa al bloque convertidor para ser transformada en una se˜ nal normalizada requerida por el controlador, el cual se supone que es electrónico. Este controlador genera la se˜ nal de control u, la cual se convierte a una señal neumática normalizada, requerida por la válvula de control. La Fig. 6.1(b) muestra el diagrama de bloques del circuito de control descrito. Observar la presencia de la señal de error e = r y en este diagrama. De hecho, el algoritmo de control alojado en el bloque Controlador, genera la señal de control u procesando la se˜ nal de error e. En muchas aplicaciones, el control en cascada es una estrategia que mejora sig-

−

nificativamente rendimiento de un lazo de un control realimentado simple, como el de la Fig. 6.1(a).elPara ello, se requiere crear nuevo lazo de realimentaci´ on, tal como se muestra en la Fig. 6.1(c), en la cual, con el primer lazo, se desea que la temperatura y1 del producto siga a una referencia r1 , usando el controlador C1 . Con el segundo lazo, se desea que el flujo de agua caliente y2 siga a una referencia r2 empleando el controlador C2 . Notar que la salida u1 de C1 es la se˜ nal de referencia r2 del controlador C2 . La Fig. 6.1(d) muestra el diagrama de bloques del sistema de control en cascada, donde P1 m´ as P2 forman el proceso, M1 y M 2 son bloques de medición, y C1 y C 2 son los controladores que procesan los errores e1 = r1 y1 y e2 = r2 y2 , respectivamente. De las dos variables controladas en la Fig. 6.1(c), la temperatura y1 del producto es

−

−

la más importante. El flujo de agua caliente y2 se emplea como una variable para satisfacer los requerimientos de temperatura del producto.


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120

Otras Estrategias de Control r

Controlador

y

u

r

e Controlador u

Convertidor Producto

Proceso P

y

Medición

Agua caliente

(b)

C1

r1

(a) r1 y1

u2

u 1= r 2

u1 C1

C2 y2

Producto

e1

Agua caliente

u 1= r 2

e

y2

u2

2

C2

P2

y1 P1

M2 M1

(c)

(d)

Fig. 6.1: Circuito de control simple (a) y su diagrama de bloques (b). Circuito de Control en cascada. (c) y su diagrama de bloques (d).

En el control en cascada, el controlador que controla la variable controlada principal, C1 en este caso, es conocido como controlador maestro, externo o principal. El controlador que controla la variable controlada secundaria, C2 en este caso, recibe el nombre de controlador esclavo, interno o secundario. Por lo común se prefiere usar la terminolog´ıa primario/secundario para referirse a los lazos de control primario y secundario controlados controladores y secundario, Para sistemas de controlpor conlos m´ as de dos lazosprimario en cascada, la extensiórespectivamente. n es automática. La filosof´ıa de diseño en un sistema de control en cascada consiste en que el lazo de control secundario debe de ser más r´ apido (alrededor de cinco veces) que el primario, lo cual es un requisito que cae por su propio peso. Esta filosof´ıa de dise˜ no se puede generalizar para cualquier cantidad de lazos en cascada. Por ejemplo, en un sistema con tres lazos de control en cascada, el lazo terciario debe de ser más rápido que el secundario, y éste tiene que ser más rápido que el primario. Se sugiere el siguiente procedimiento de dise˜ no: 1. Determinar el modelo din´ amico del proceso o planta a controlar. 2. Construir un lazo de control simple y sintonizar el controlador PID empleando cualquier método. Realizar post–sinton´ıa si fuera necesario. 3. Construir el sistema de control en cascada definiendo los lazos de control primario y secundario. 4. Sintonizar el lazo de control secundario empleando el m´ etodo de la ganancia l´ımite. Realizar post–sinton´ıa si fuera necesario. 5. Sintonizar el lazo de control primario empleando el m´ etodo de la ganancia l´ımite. Tener en cuenta que el lazo de control secundario es parte del lazo de control primario. Realizar post–sinton´ıa si fuera necesario.

Ejemplo 6.1


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6.1 Control en Cascada

121

Determinar la respuesta controlada del sistema realimentado simple de la Fig. 6.1(b) y compararla con la respuesta controlada del sistema de control en cascada ilustrado en la Fig. 6.1(d), sabiendo que los controladores son del tipo PI, que M 1 = M2 = 1, que r = r1 = 50o C, y que: P (s) = P 2 (s) P 1 (s), donde:

×

P 2 (s) =

3 1 (0.2s + 1) (3s + 1)(s + 1))

P 1 (s) =

0.8 (4s + 1)(s + 1)

Cabe anotar que 3/(0.2s + 1) es la FT de la válvula de control.

Soluci´ on: El modelo dinámico del proceso ha sido proporcionado en el enunciado del problema. Para controlar el proceso emplearemos el método de la oscilaci´ on l´ımite de Ziegler y Nichols. El gráfico superior de la Fig. 6.2 muestra la respuesta al escalón a manera de una oscilación sostenida que se obtiene haciendo que el controlador C en la Fig. 6.1(b) trabaje en modo proporcional con una ganancia K crit = 2.18. Notar que la oscilación posee un per´ıodo T crit = 12.5. Con tales valores se calculan los parámetros del controlador PI empleando la Tabla 5.6. El gráfico inferior de la Fig. 6.2 ilustra la salida y controlada, luego de realizar una postsinton´ıa. Tales resultados se obtienen ejecutando el programa casc1a.m listado abajo. OSCILACIÓN SOSTENIDA 2 1.5 ) t ( y

1 0.5 0

0

5

10

15

20 TIEMPOx60 (sec)

25

30

35

40

SALIDA CONTROLADA 60 C ° A R U T A R E P M E T

50 40 30 20 10 0

0

10

20

30 TIEMPOx60 (sec)

40

50

60

Fig. 6.2: Oscilaciones sostenidas para K crit = 2.18 (gráfico superior) y respuesta controlada (gráfico inferior) para el caso control con lazo simple del ejemplo 6.1.

% casc1a.m CONTROL PI DEL LAZO SIMPLE V ´ IA LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA


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122

Otras Estrategias de Control

clear all; close all; clc; s=tf(’s’); P2=3/((0.2*s+1)*(3*s+1)*(s+1)); P1=0.8/((4*s+1)*(s+1)); P=P1*P2; % P: PROCESO Kcrit=2.18; G_c=feedback(Kcrit*P,1); subplot(211); step(G_c,40); grid, title(’OSCILACI´ ON SOSTENIDA’), xlabel(’TIEMPOx60’), ylabel(’y(t)’) Tcrit=12.5; % TOMADO DE LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA CON Kcrit=2.18 Kc=0.65*0.45*Kcrit; Ti=0.85*Tcrit; % PAR´ AMETROS PI CON POSTSINTON´ IA C=Kc*(1+1/(Ti*s)); SIMPLE=50*feedback(C*P,1); % CONTROL LAZO SIMPLE subplot(212); step(SIMPLE,60); grid; title(’SALIDA CONTROLADA’); xlabel(’TIEMPOx60’); ylabel(’TEMPERATURA C’); print -deps -f casc1a ◦

El diagrama de bloques del sistema de control en cascada se muestra en la Fig. 6.1(d). El lazo de control secundario se realiza como sigue. El primer gráfico de la Fig. 6.3 muestra la respuesta al escalón a manera de una oscilación sostenida que se obtiene haciendo que el controlador C2 en la Fig. 6.1(d) trabaje en modo proporcional con ganancia K crit2 = 8.53. Notar que la oscilación posee un per´ıodo T crit2 = 2.4. Con tales valores se calculan los parámetros del controlador PI empleando la Tabla 5.6. El segundo gráfico de la Fig. 6.3 ilustra la salida y2 (t) controlada, la cual se logra realizando post–sinton´ıa, tal como se explica en el listado del programa casc1b.m. El lazo de control primario incluye en su estructura el lazo de control secundario descrito arriba. El dise˜ no del control PI del lazo primario es similar al del secundario: se genera una oscilación sostenida (tercer gráfico de la Fig. 6.3) y con los parámetros K crit1 = 3.4 y T crit1 = 13 determinados, se calculan los par´ ametros del controlador C1 . El gráfico inferior de la Fig. 6.3 ilustra la salida y1 controlada, luego de realizar una postsinton´ıa. Todos estos resultados se obtienen ejecutando el programa casc1b.m listado abajo. % casc1b.m CONTROL EN CASCADA clear all; close all; clc; s=tf(’s’); P2=3/((0.2*s+1)*(3*s+1)*(s+1)); P1=0.8/((4*s+1)*(s+1)); Kcrit2=8.53; Gs1=feedback(Kcrit2*P2,1); % FT LAZO SECUNDARIO CON Kcrit2 subplot(411); step(Gs1,10); grid, ylabel(’y2(t)’), xlabel(’TIEMPOx60’), title(’OSCILACI´ ON DEL LAZO SECUNDARIO’) Tcrit2=2.4; % TOMADO DE LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA CON Kcrit2=8.53 Kc2=0.1*0.45*Kcrit2; Ti2=0.85*Tcrit2; C2=Kc2*(1+1/(Ti2*s)); Gs2=feedback(C2*P2,1); subplot(412), step(Gs2), grid, ylabel(’y2(t)’), xlabel(’TIEMPOx60’), title(’CONTROL DEL LAZO SECUNDARIO’) Kcrit1=3.2; Gp1=feedback(Kcrit1*Gs2*P1,1); % FT LAZO PRIMARIO CON Kcrit1 subplot(413); step(Gp1,40); grid, title(’OSCILACI´ ON DEL LAZO PRIMARIO’), xlabel(’TIEMPOx60’), ylabel(’y1(t)’) Tcrit1=13; % TOMADO DE LA OSCILACI´ ON SOSTENIDA CON Kcrit1=3.2 Kc1=0.45*Kcrit1; Ti1=0.8*0.85*Tcrit1; % PAR´ AMETROS PI C1=Kc1*(1+1/(Ti1*s)); CASCADA=50*feedback(C1*Gs2*P1,1); % CONTROL CASCADA subplot(414); step(CASCADA); grid, title(’SALIDA CONTROLADA EN CASCADA’), xlabel(’TIEMPOx60’), ylabel(’TEMPERATURA C’), print -deps -f casc1b ◦

Observar que el rendimiento del sistema de control en cascada es mejor porque la temperatura se estabiliza en aproximadamente 22 min (gráfico inferior de la Fig. 6.3), mientras que para el caso de realimentación simple mostrado en el gráfico inferior de la Fig. 6.2, se estabiliza en 30 min. Se debe notar tambi´ en que el per´ıodo de oscilación cr´ıtica del lazo primario mostrado en el primer gráfico de la Fig. 6.3, es mayor que la


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6.2 Control de la Raz´ on

123 SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA

2 ) t ( 2 y

1 0

) t ( 2 y

2

3

4 5 6 TIEMPOx60 (sec) CONTROL DEL LAZO SECUNDARIO

7

8

9

10

1 0

5

10 15 TIEMPOx60 (sec) OSCILACIÓN DEL LAZO PRIMARIO

20

25

2 1 0

C ° A R U T A R E P M E T

1

2

0

) t ( 1 y

0

0

5

10

15 20 25 TIEMPOx60 (sec) SALIDA CONTROLADA EN CASCADA

30

35

40

100 50 0

0

10

20

30 40 TIEMPOx60 (sec)

50

60

70

Fig. 6.3: Resultados para el caso control en cascada del ejemplo 6.1.

del lazo secundario (tercer gráfico de la Fig. 6.3) en una relación: T crit 13 = = 5.41 T crit1 2.4

6.2.

Control de la Raz´ on

El control de la razón se refiere generalmente a controlar (mantener) la razón entre dos flujos lo más constante posible. En el esquema de razón más difundido, tal como el mostrado en la Fig. 6.4, el flujo q1 correspondiente al lazo no controlado, es conocido como el flujo salvaje. Por otro lado, el lazo controlado, en donde se ubica el flujo q2 , es denominado lazo secundario. El control de la razón encuentra muchas aplicaciones en la industria. Entre ellas: Mezcla o fundición de dos o más componentes. Control de la razón aire–combustible para la combustión. Control de la composición de un producto, t´ ecnica bastante utilizada en las torres de destilaci´ on.


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124


Observar en la Fig. 6.4 que los flujos q1 y q2 se miden empleando placas de orificio, las cuales usan el principio de que el flujo es proporcional a la ra´ız cuadrada de la diferencia de presión producida por la placa. Por otro lado, la filosof´ıa de control de la razón se basa en las relaciones siguientes (ver Fig. 6.4): r2 = V y1

e2 = r2

− y2 = V y1 − y2

El lazo secundario se controla cuando el error e2 tienda a cero. Es decir, cuando: e2 = V y1

V

V =

y2 y1

u

r2 y2

y1

q

− y2 = 0

2

Qemador q1

Horno

Fig. 6.4: Esquema más difundido del control de la razón.

Ejemplo 6.2 Dise˜ nar y simular el sistema de control que mantenga la razón combustible–aire en 10 en la Fig. 6.4. Esto es: q2 /q1 = V = 10.

Soluci´ on: La Fig. 6.5 muestra el diagrama Simulink correspondiente a la Fig. 6.4. Notar que se ha incluido la FT de la válvula de control. El proceso flujo y2 se modela como una constante proporcional. Para mantener la razó n V en 10, se ha usado un controlador PI con parámetros P = K c = 1 e I = K c /Ti = 4. El flujo de aire y1 ha sido considerado como un flujo que var´ıa en forma sinusoidal para mayor generalidad. La Fig. 6.6 muestra el resultado de la simulación que se obtiene ejecutando el archivo razon1graf.m cuyo listado se muestra abajo. Observar que la razón V(t) se mantiene en el valor 10 previamente establecido. % razon1graf.m clear all; close all; clc; load th; load y1; load y2; load V; plot(th,y1,th,y2,th,V), xlabel(’TIEMPO [s]’), ylabel(’RAZ¨ ON V(t)’), title(’CONTROL DE LA RAZ´ O N V = y2/y1’) print -f -deps razon1r, print -s -deps razon1s


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6.3 Control Anticipativo

125

razon1.mdl th

y1 Clock

y1

th

1 u

Aire

1/y1

Inversa

r2

e2

V=y2/y1

V

2 PID

10

0.5s+1

Set V

Producto

PI Controller

y2

Product

Válvula + caudal y 2

Scope

y2

y2

Fig. 6.5: Diagrama Simulink correspondiente a la Fig. 6.4.

CONTROL DE LA RAZÓN V = y2/y1 45 40 35 30 ) t ( V25 N Ö Z A20 R

y2(t)

15 V = 10

10

y1(t) 5 0

0

200

400 600 TIEMPO [s]

800

1000

Fig. 6.6: Resultado de la simulación correspondiente al Ejemplo 6.2.

6.3.

Control Anticipativo

La principal desventaja en los sistemas de control por retroalimentiición radica en el hecho de que cuando un disturbio ingresa al proceso, éste se propaga por todo el proceso forzando que la variable controlada se desv´ıe del punto deseado o de referencia, antes de que aparezca una acción correctiva que compense el efecto de tal disturbio. Por cierto, en muchos casos se puede tolerar temporalmente un error entre la se˜ nal controlada y la se˜ nal deseada. Sin embargo, existen aplicaciones en donde el error debe de ser m´ınimo m´ınimo en presencia de disturbios, lo cual no se logra sólo con el control por realimentaci´ on. Para tales situaciones resulta u ´ til el control anticipativo. Con esta estrategia de control, los disturbios se miden antes de que ingresen al proceso, lo cual permite calcular por adelantado la señal de control requerida para mantener


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126


la variable controlada en el valor deseado y sin la presencia de disturbios. La Fig. 6.7 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control anticipativo donde G p (s), Ga (s) y Gd (s) son las funciones de transferencia del proceso, del controlador anticipativo y del disturbio respectivamente. Además, d, u e y son las señales disturbio, de control y de salida respectivamente. De la Fig. 6.7 se deduce: y = G p (s)u + Gd (s)d = G p (s)Ga (s)d + Gd (s)d = [G p Ga (s) + Gd (s)] d La ecuación anterior ilustra el efecto de la presencia del disturbio d en el sistema. Si queremos eliminar este efecto, entonces dicha ecuación deber´ıa de anularse. Es decir, haciendo y = 0: 0 = G p Ga (s) + Gd (s)

− GG pd(s) (s)

Ga (s) =

Para tener una idea más clara de la estructura del controlador anticipativo G a (s) dise˜ nado, asumamos que: G p (s) =

K p e−τ ps T p s + 1

Gd (s) =

K d e−τ d s T d s + 1

Por consiguiente: Ga (s) =

K d T p s + 1 (τ −τ )s − GG pd(s) =− e (s) K p T d s + 1 p

d

En conclusión, el controlador anticipativo resulta ser un compensador de adelanto– atraso. d

Gd(s)

Ga(s)

u

y

Gp(s)

Fig. 6.7: Sistema de control anticipativo.

El sistema de control anticipativo trabaja bien siempre que G p (s) y Gd (s) representen lo más fiel posible al proceso y al disturbio. Evidentemente, en presencia de errores de modelado, el desempe˜ no del sistema de control anticipativo va a disminuir. Existen dos casos notables para los que no se debe de emplear el control anticipativo. El primero ocurre cuando el grado del polinomio del denominador de G p (s) es mayor que el grado del polinomio del denominador de Gd (s). Por ejemplo, sean: G p (s) =

s2

1 + bs + c

Gd (s) =

1 s + f

donde a, b, c y f son constantes. El controlador anticipativo se calcula como: 2

Ga (s) =


(s) = − s − GG pd(s)

+ bs + c s + f

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127

Lamentablemente, el controlador Ga (s) resultante es f´ısicamente no realizable, por lo tanto no implementable. El segundo caso ocurre cuando el tiempo muerto τ p del modelo de la planta es mayor que el tiempo muerto τ d del modelo del disturbio. Por ejemplo, si: Gd (s) =

1 e−s s2 + bs + c

Entonces: Ga (s) =

G p (s) =

1 e−2s s + f

(s) s + f − GG pd(s) =− 2 es s + bs + c

Notar que el controlador anticipativo resultante es no implementable f´ısicamente debido a que su tiempo muerto es positivo. En el dise˜ n o de Ga (s) puede resultar en una función de transferencia inestable. Esto sucede cuando el modelo G p (s) del proceso no es de m´ınima fase. Es decir, cuando posee al menos un cero positivo. Para ilustrar esta situación asumamos que (notar que G p (s) es de m´ınima fase): G p (s) =

s 1 s+1

−

Gd (s) =

1 4s + 1

que resulta en el siguiente controlador anticipativo inestable: Ga (s) =

Gd (s)

=

s+1

− G p(s) − (s − 1)(4s + 1)

Ejemplo 6.3

Dise˜ nar y simular el sistema de control anticipativo mostrado en la Fig. 6.7 para: Gd (s) =

5 2s + 1

G p (s) =

3 0.5s + 1

Soluci´ on: La Fig. 6.8 muestra el diagrama Simulink correspondiente a la Fig. 6.7. El controlador anticipativo se determina de: Ga (s) =

(s) = − 2.5s + 5 − GG pd(s) 6s + 3

La Fig. 6.9 muestra el resultado de la simulación que se obtiene ejecutando el archivo antic1graf.m cuyo listado se muestra abajo. Observar en el gráfico inferior que la salida controlada y(t) tiende a cero. Es decir, y(t) no está afectada por el disturbio. % antic1graf.m clear all; close all; clc; load th; load d; load u; load y; subplot(211), plot(th,d,th,u), xlabel(’TIEMPO [s]’), ylabel(’d(t),u(t)’), title(’VARIABLES d(t) y u(t) EN EL CONTROL ANTICIPATIVO’) subplot(212), plot(th,y), xlabel(’TIEMPO [s]’), ylabel(’y(t)’), title(’SALIDA CONTROLADA y(t)’) print -f -deps antic1r, print -s -deps antic1s


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128


antic1.mdl

d

d

5

Scope1

2s+1 d

Gd(s)

u

y

−2.5s−5

3

6s+3

0.5s+1

Ga(s)

Gp(s)

th

Clock

th


VARIABLES d(t) y u(t) EN EL CONTROL ANTICIPATIVO

2 1 ) t ( u , ) t ( d

0

u

d

−1 −2 0

200

400 600 TIEMPO [s] SALIDA CONTROLADA y(t)

800

1000

200

400 600 TIEMPO [s]

800

1000

−3

2

x 10

0 ) t ( y

−2 −4 −6 0


Control Anticipativo–Realimentado El control anticipativo posee la capacidad de eliminar el efecto de los disturbios medibles que act´ uan sobre la se˜ nal controlada. Por otro lado, el control realimentado puede rechazar el efecto de los disturbios no medibles sobre la señal controlada, as´ı como tambi´ en corregir el efecto de los errores de modelado en el lazo de control. Cae entonces por su propio peso, que si deseamos sacar ventaja de las bondades de cada uno de los esquemas descritos, debemos de aplicar simultáneamente control anticipativo y control realimentado , tal como se ilustra en la Fig. ??, donde d1 es un disturbio medible con FT Gd1(s) conocida, mientras que d2 es un disturbio no medible pero con FT Gd1(s) conocida. El disturbio d2 se incluye para dar mayor generalidad al problema, tal como se trata en el el siguiente ejemplo.


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d1

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Gd1(s) G a (s)

r

e

u

G c (s) d2

y G p (s) Gd2(s)

Fig. 6.10: Esquema de control anticipativo más control realimentado.

Ejemplo 6.4 Dise˜ nar y simular el sistema de control anticipativo–realimentado mostrado en la Fig. 6.10 cuando: 5e−2s 0.8s + 1

G p (s) =

Gd1 (s) =

3e−3s 5s + 1

Gd2 (s) =

6e−5s 9s + 1

Soluci´ on: La Fig. 6.11 muestra el diagrama Simulink correspondiente a la Fig. 6.10. El controlador anticipativo se determina de: Ga (s) =

(s) = − 3 0.8s + 1 e−s − GGd1 p(s) 5 5s + 1

La Fig. 6.12 muestra el resultado de la simulación que se obtiene ejecutando el archivo anticreal1graf.m cuyo listado se muestra abajo. Observar en el gráfico inferior que la salida controlada y(t) sigue a la referencia r(t) a pesar de la presencia simultánea de los disturbios d1 (t) y d2 (t). Es decir, y(t) no está afectada por el disturbio. anticreal 1.mdl th 3

Clock

th

5s+1

d1 d1

Gd1(s)

u

Tiempo muerto : 3

y

−4.8 s−0. 6

5

5s+1

0.8s+1

Tiempo muerto : 1

Ga(s)

Gp(s) 6

PID r = 10

Tiempo muerto : 2

Scope r

9s+1

Gc(s)

Gd1(s)1 d2

Tiempo muerto : 5



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130

Otras Estrategias de Control SALIDA y(t) CONTROLADA 14 12 10 ) t ( y

8 6 4 2 0 0

20

40

60

80

100 TIEMPO [s]

120

140

160

180

200

120

140

160

180

200

CONTROL u(t) 3.5 3 2.5 ) t ( u

2 1.5 1 0.5 0

20

40

60

80

100 TIEMPO [s]


% anticreal1graf.m clear all; close all; clc; load th; load r; load u; load y; subplot(211), plot(th,y,’k’,th,r,’k’), xlabel(’TIEMPO [s]’), ylabel(’y(t)’), title(’SALIDA y(t) CONTROLADA’), grid subplot(212), plot(th,u,’k’), xlabel(’TIEMPO [s]’), ylabel(’u(t)’), title(’CONTROL u(t)’), grid print -f -deps anticreal1r, print -s -deps anticreal1s

6.4.

Control Selectivo

El control selectivo, es una estrategia de control que consiste en mantener las variables del proceso bajo control dentro de ciertos limites, generalmente para propósitos de protección. Limitando la variable de un proceso en un valor alto o bajo, evita que ocurran da˜ nos tanto en el proceso como en el producto. Dichas variables se limitan empleando ciertos tipos de conmutadores de selección, tales como el HSS (High Selector Switch) y el LSS (Low Selector Switch). La Fig. 6.13 muestra una aplicación del control selectivo en un sistema de bombeo de producto. Las Figs. 6.13(a) y (b) ilustran el diagrama de instrumentació n y el diagrama de bloques del sistema de control respectivamente, donde PT representa un transmisor de presión, PIC significa indicación y control de la variable presión y PY, en este caso, es el conmutador de selección, dado que la letra Y indica realizar un procesamiento relacionado con P (la presión).


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6.4 Control Selectivo

131

Observar que existen dos lazos de control de presión, uno para la aspiración y el otro para la impulsion. En condiciones normales, la presión se controla con el lazo de impulsion. Si por alguna circunstancia de falla, cae la presión de aspiració n de la bomba por debajo del l´ımite de seguridad, entonces act´ ua el conmutador selector para que entre en funcionamiento el lazo de aspiración en lugar del de impulsión. El conmutador selector trabaja como sigue. En principio, el conmutador selecciona la m´ınima de las dos se˜ nales que le llegan. Además, el set point del controlador de aspiración tiene que ser inferior a los valores normales de trabajo. En operación normal, la se˜ nal de salida del controlador de impulsion alcanza sus valores de trabajo. Si la presión de aspiración baja demasiado hasta llegar a ser inferior a su set point, entonces el controlador de aspiración genera una se˜ nal que es inferior a la que sale del controlador de impulsion. En esta situación, el conmutador hace que entre en operaci´ on el lazo deSwitch). control de la aspiración. En este caso, el conmutador es del tipo LSS (Low Selector

PIC

PIC

PY LAZO 2

LAZO 1 PT

PT

IMPULSION ASPIRACION

BOMBA (a) TRANSMISOR DE IMPULSION LAZO 1

CONTROLADOR DE IMPULSION CONMUTADOR SELECTOR CONTROLADOR

VALVULA DE CONTROL

PROCESO PRESION IMPULSION

VALVULA DE CONTROL

PROCESO PRESION ASPIRACION

DE ASPIRACION TRANSMISOR

(b)

LAZO 2

DE ASPIRACION

Fig. 6.13: Estrategia control selectivo aplicado al bombeo.

La Fig. 6.14 muestra otra aplicación del control selectivo aplicado a un generador de vapor, en donde el conmutador selector LSS hará la conmutaci´ o n del lazo de control de presión (Lazo 1) al lazo de control de nivel (Lazo 2), cuando el el nivel del liquido en el hervidor caiga por debajo del nivel permisible previamente establecido. Esta conmutación tambi´ en provoca que se cierre la valvula de control.


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LINEA DE VAPOR

LIMEA DE DESCARGA

PT LAZO 2

LT

LAZO 1

LC

LSS

PC

AGUA

(a)

CALEFACTOR

TRANSMISOR DE PRESION LAZO 1 CONTROLADOR DE PRESION CONMUTADOR LSS CONTROLADOR

VALVULA

PROCESO

DE CONTROL

PRESION

VALVULA DE CONTROL

PROCESO NIVEL

DE NIVEL LAZO 2 TRANSMISOR DE NIVEL

(b)

Fig. 6.14: Estrategia control selectivo aplicado a un generador de vapor.

6.5.

Control de Rango Partido

El control de rango partido, denominado tambi´ en de gama partida o split range en inglés, se aplica cuando se desea que la se˜ nal o fuerza de control manipule dos o más actuadores (por ejemplo, dos válvulas de control). En esta situación, el n´ umero de variables de control es mayor que el n´ umero de variables controladas. Un ejemplo t´ıpico es el caso de un reactor, mostrado en la Fig. 6.15 al cual ingresa un producto gaseoso A, y sale un producto B resultante de la reacción. El objetivo de control es mantener constante la presión P dentro del reactor mediante la acción programada de las válvulas VA y VB (ver Fig. 6.15) como sigue. En presencia de presiones: 1. bajas, VA permanece abierta al 100 % y VB cerrada. 2. altas, VA permanece cerrada y VB abierta. 3. intermedias, la abertura de cada válvula se determina del grá fico de la Fig. 6.15.


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6.5 Control de Rango Partido

uA

Selector

133

VB

VA

uB

100% Abertura de válvula

Pr 0% P VB

VA Reactor

P 3

7.5

9

15 psig

11.5

u

u

Fig. 6.15: Estrategia rango partido aplicado a un reactor.


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Cap´ıtulo 7

Control PID Multivariable El controlador SISO se aplica a sistemas o sub–sistemas caracterizados por tener una entrada y una salida de control, como es el caso del control de velocidad o de posición en un motor CC. Dos o m´ as controladores PID SISO tambi´ en forman parte de los sistemas multilazo, por ejemplo en los controles tipo cascada o control de la relació n de dos variables. En general, las variables de salida y de entrada que caracterizan un sistema, pueden presentar cierto grado de interacción entre ellas. La técnica para modelar esta interacción es emplear modelos dinámicos multivariables o MIMO (Multiple–Input–Multiple–Output). Es claro, que sistemas representados por modelos MIMO requieren también para su control, controladores MIMO. En este cap´ıtulo se desarrollan tres t´ ecnicas de dise˜ n o de controladores PID MIMO.

7.1.

Control MIMO v´ıa Desacoplamiento

El controlador MIMO a dise˜ nar requiere de la representación lineal en el espacio de estado (ecuaci´ on (7.1)) o en el dominio de Laplace (ecuación (7.3)) del sistema MIMO. Tal dise˜ no debe de cumplir los siguientes requerimientos: 1. No interacción. 2. Exactitud est´ atica. 3. Estabilidad. Para explicar cada uno de tales requerimientos, formulemos las ecuaciones de estado y de salida del sistema MIMO:

x˙ = Ax + Bu

y = Cx + Du

(7.1)

donde x es el vector de estado de orden n, u es el vector fuerza de control de orden m e y es el vector de salidas controladas de orden p. La Fig. 7.1 muestra el diagrama de bloques del sistema de control MIMO, de donde se pueden deducir las siguientes relaciones:

y(s) = G p (s)u(s) y(s) = G p Gc (s)e(s)


u(s) = Gc (s)e(s) e(s) = r(s) y(s)

−

(7.2) (7.3)

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Control PID Multivariable Controlador PID MIMO r(s)

e(s)

G c (s)

Sistema u(s)

G p (s)

y(s)

Fig. 7.1: Diagrama de bloques de un sistema de control PID MIMO.

donde G p (s) es la matriz de transferencia del sistema, Gc (s) es la matriz de transferencia del controlador, e(s) es el vector error del sistema y r(s) es el vector de señales deseadas o set points. En (7.3), el reemplazo de y(s) en e(s) produce:

y(t) = G(s)r(s)

G(s) = (I + Go )−1 Go

Go (s) = G p Gc (s)

(7.4)

donde G(s) y Go son las matrices de transferencia de lazo cerrado y de lazo abierto del sistema. La matriz G(s) posee la forma:

G(s) =

 

G11 (s) G1 p (s) .. .. .. . . . G p1 (s) G pp(s)

··· ···

 

En el dominio de Laplace y para condiciones iniciales nulas, el sistema representado en (7.1) toma la forma: sx = Ax + Bu

x(s) = (sI

− A)−1Bu

y(s) = Cx(s) + Du(s)

Reemplazando la expresi´ on de x(s) en la expresión de y(s), se obtiene la matriz de transferencia G p (s) del sistema en función de las matrices de su descripci´ on de estado A, B, C y D:

y(s) = [C(sI

7.1.1.

− A)−1B + D]u(s)

Gp (s) = C(sI

− A)−1B + D

(7.5)

No Interacci´ on

Los elementos ubicados fuera de la diagonal principal de G(s) determinan el grado de interacción entre las diferentes entradas de referencia r i con respecto a las salidas yi . Para obtener desacoplamiento completo entre tales entradas y salidas, se requiere que G(s) sea diagonal, esto es: Gij = 0 para i = j



(7.6)

Una condición necesaria y suficiente para no interacción en un sistema de control MIMO con realimentación unitaria es que la matriz de transferencia a lazo abierto ´ ltimo requerimiento es fácil de probar. De la Fig. 7.1, vimos Go (s) sea diagonal. Este u que:


G(s) = [I + Go (s)]−1 Go (s)

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7.1 Control MIMO v´ıa Desacoplamiento

137

Despejamos Go (s): 1

(7.7) Go (s) = Gp (s)Gc (s) = G(s)[I G(s)]− Dado que G(s) tiene que ser diagonal por para no interacción, entonces, I G(s) tambi´ en debe de ser diagonal. Por consiguiente, su matriz inversa [I G(s)]−1 es también diagonal y de la forma:

−

−

[I

− G(s)]−1 =

 

1 1 G11 (s)

0

−

1 1 G22 (s)

−

..

. 1 1 Gpp (s)

0

−

−

 

Por lo tanto, la relación (7.7) resulta en la siguiente matriz diagonal: G11 (s) 0 1−G11 (s)

Go (s) =

7.1.2.

 

G22 (s) 1 G22 (s)

−

..

. Gpp (s) 1 Gpp (s)

0

−

 

(7.8)

Exactitud Est´ atica

Nosotros deseamos que para un vector de entrada de referencia constante r(t), es decir, un vector cuyos elementos sean escalones, el vector de error:

e(t) = r(t)

− y(t)

se aproxime a cero cuando t se aproxime a infinito. En el dominio de s, el error resulta:

e(s) = r(s)

− y(s) = r(s) − G(s)r(s) = [I − G(s)]r(s) = [I − G(s)] |rs|

donde r es la magnitud de r(s), cuya transformada de Laplace es teorema del valor final en la ecuaci´ on anterior se obtiene:

||

l´ım e(t) = l´ım s e(s) = l´ım [I

t

→∞

s

→0

s

→0

|r| . Aplicando el s

− G(s)] = 0

Entonces podemos concluir que para exactitud estática (error en estado estable nulo) se requiere: l´ım [G(s)] = I (7.9) s

→0

7.1.3.

Estabilidad

Para el caso de condiciones iniciales nulas, de (7.10) sabemos que:

− A)−1B + D]u(s) G (s) = C(sI − A)−1 B + D La inversa de [sI − A)−1 ] se puede expresar como: [I − A]−1 = Adj (I − A) det(I − A) y(s) = [C(sI


p

(7.10)

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Control PID Multivariable

donde Adj significa adjunta, det es la operaci´ on determinante y la ecuaci´ on polinómica: det(I A) = 0 (7.11)

−

es la ecuación caracter´ıstica del sistema y es de gran trascendencia por que sus ra´ıces determinan la estabilidad del mismo como sigue. El sistema (7.1) es estable si todas las ra´ıces caracter´ısticas de 7.11 se localizan en el semiplano izquierdo del plano–s. Si existe al menos una ra´ız en el semiplano derecho del plano–s, entonces el sistema es inestable. Si todas las ra´ıces se localizan en el semiplano izquierdo del plano–s, excepto al menos una que se ubique en el eje imaginario (el eje vertical del plano–s), entonces el sistema es oscilante, que para fines prácticos también es inestable. Es importante anotar que el sistema a controlar puede ser inestable, como es el caso del sistema posición angular de un motr CC. Sin embargo, el sistema de control, como el mostrado en la Fig. 7.1 (notar que G p (s) forma parte de este sistem), debe de tener comportamiento estable. A continuación se deduce la ecuación caracter´ıstica del sistema de control. De la Fig. 7.1 se obtiene:

y(s) = [I + Go (s)]−1 Go (s)r(s)

Go (s) = Gp (s) Gc (s)

(7.12)

La inversa de la matriz [ I + Go (s)] se puede expresar como: [I + Go (s)]−1 =

Adj [I + Go (s)] det[I + Go (s)]

Por consiguiente, la ecuación caracter´ıstica del sistema se expresa como: det[I + Go (s)] = 0

(7.13)

Entonces, el sistema MIMO de la Fig. 7.1 es estable si todas las ra´ıces caracter´ısticas de (7.13) se localizan en el semiplano izquierdo del plano–s. Si existe al menos una ra´ız en el semiplano derecho del plano–s, entonces el sistema es inestable. Si todas las ra´ıces se localizan en el semiplano izquierdo del plano–s, excepto al menos una que se ubique en el eje imaginario (el eje vertical del plano–s), entonces el sistema es oscilante, que para fines de operación del sistema controlado, tambi´ en es inestable.

Ejemplo 7.1 Control PID MIMO del Sistema Tanque Cerrado Dise˜ nar un controlador PID MIMO basado en la t´ ecnica de desacoplamiento para controlar el nivel y la temperatura del sistema tanque cerrado descrito en la subsección no son: 0 % de sobrenivel y error en estado estable nulo ??. Las especificaciones de dise˜ tanto para el nivel como para la temperatura. Tiempos de estabilización menores de 400 s para el nivel y 1000 s para la temperatura. o el modelo dinámico lineal en el espacio Soluci´ on: En la subsección ?? se determin´ de estado del sistema MIMO tanque, que como sabemos, posee dos entradas y dos salidas. De acuerdo a (7.10), la matriz de transferencia del sistema se determina de:

Gp (s) = C(sI


− A)−1B + D =



G p11 (s) G p12 (s) G p21 (s) G p22 (s)

 150/256

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139

La forma de la MT (matriz de transferencia) del sistema G p (s) se obtiene ejecutando el programa mimopidsimb.m:

Gp (s) =



G p11 (s) G p11 (s) G p21 (s) G p21 (s)

  

K p11 T p11 s+1

K p11 T p11 s+1

K p21 (T pa s+1) (T pb s+1)(T pc s+1)

K p21 (T pa s+1) (T pb s+1)(T pc s+1)

=

 

(7.14)

Para dise˜ nar la matriz de control Gc (s), podemos asumir una matriz G(s) de la forma: 1 0 T niv s+1 (7.15) G(s) = 1 0 T temp s+1



la cual cumple los requerimientos del caso: 1. La matriz es diagonal, por lo tanto satisface el requerimiento de no interacci´ on. 2. Dado que G(0) = I, de acuerdo a (7.9), se satisface el requerimiento de exactitud est´ atica. 3. Debido a que los elementos de la diagonal de G(s) son funciones de transferencia de primer orden, cuyas ra´ıces caracter´ısticas se ubican en la parte izquierda del plano s, entonces podemos asegurar que se cumple el requerimiento de estabilidad. Además, cada canal responde exponencialmente con una constante de tiempo igual a T niv para el primer canal (control de nivel) y T temp (control de temperatura) para el segundo canal. Teniendo en cuenta que Go (s) = Gs Gc (s), la matriz de control Gc (s) se obtiene de la ecuación (7.7):

Gc (s) = Gp (s)−1 G(s)[I

− G(s)]−1

(7.16)

La forma de la MT (matriz de transferencia) del controlador Gc (s) resulta de la ejecuci´ on del programa mimopidsimb.m: K c11 1 +

GC (s) =

1 T c11 s

K c12 1 +

1 T c12 s

 −   −    K c21 1 +

1

T c21 s

K c12 1 +

(7.17)

1

T c12 s

La Fig. 7.2 muestra en detalle la interconexión de todos los bloques del sistema de control multivariable PID del sistema tanque.

Simulaci´ on del Sistema de Control en el Dominio de s El programa mimopidsimb.m, cuyo listado se muestra abajo, tambi´ en simula el sistema de control del tanque cerrado. En el resultado de la simulación (Fig. 7.3) se observa que el nivel (gráfico superior izquierda) y la temperatura (gráfico superior derecha) controlados, cumplen las especificaciones de diseño establecidas en el enunciado del ejemplo.


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e1 K c11

r1

T p11 s+1

1

K p11

K c21 1+

T c12 s

1+

T

T

c21

p11

y1

s+1

K p21 (T pas+1)

1

r2 K c12

K p11

T c11 s

K c12 1+

e2

u1

1

1+

s

(T pbs+1)(T pcs+1) y2

K p21 (T pas+1)

1 T c12 s

u2

(T pbs+1)(T pcs+1)

Fig. 7.2: Diagrama de bloques del sistema de control PID MIMO diseñado.

Step Response From: In(1)

From: In(2)

1 0.8

NIVEL

) 1 ( t 0.6 u O : o 0.4 T

0.2

e d t i u l p m A

0 1 0.8 ) 2 ( 0.6 t u O : o T

TEMPERATURA

0.4 0.2 0

0

200

400

600

800

1000 1200 0 Time (sec)

200

400

600

800

1000

1200

Fig. 7.3: Nivel y temperatura del tanque cerrado controlados. % mimopidsimb.m CONTROL PI MULTIVARIABLE DEL TANQUE clear all; close all; clc; % PAR´ AMETROS DEL TANQUE C=0.6; D=0.0159; d=0.0065; beta=d/D; E=(1-beta^4)^(-1/2); rhoD=996; g=9.81; a=C*E*pi*d^2*rhoD*sqrt(2*g)/4; A=0.0314; rhoH=988; Cp=4186.8; rhoC=998; thetaH=50+270.15; thetaC=20+270.15; % VALORES ESTACIONARIOS barh=0.4; bartheta=35+270.15; barqC=2.16e-4; barqH=0.5e-4; barqD=2.16e-4; Rh=barh/barqD; % MODELO LINEAL, DONDE: df1/dx1=df1dx1, df1/du2=df1u2, etc. df1dx1=-a/(2*A*sqrt(barh)); df1dx2=0;


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df2dx1=a*bartheta*barh^(-1.5)/(2*A) ... - (rhoC*thetaC*barqC+rhoH*thetaH*barqH)/(rhoD*A*barh^2); df2dx2=-a/(A*sqrt(barh)); df1du1=1/A; df1du2=1/A; df2du1=rhoC*thetaC/(rhoD*A*barh); df2du2=rhoH*thetaH/(rhoD*A*barh); AA=[df1dx1 df1dx2;df2dx1 df2dx2]; BB=[df1du1 df1du2;df2du1 df2du2]; CC=[1 0;0 1]; DD = [0 0;0 0]; I = CC; Tniv=60; Ttemp=100; s=tf(’s’); Gp = CC*inv(s*eye(2) -AA)*BB+DD; G=[1/(Tniv*s+1) 0;0 1/(Ttemp*s+1)]; Gc = inv(Gp)*G*inv(I-G); Go=Gp*Gc; step(feedback(Go,I)) print -deps -f mimopid01 syms s a11 a21 a22 b11 b21 b22 Tniv Ttemp; AA=[a11 0;a21 a22]; BB=[b11 b11;b21 b22]; Gp = CC*inv(s*eye(2) -AA)*BB+DD; G=[1/(Tniv*s+1) 0;0 1/(Ttemp*s+1)]; Gc = inv(Gp)*G*inv(I-G); pretty(simple(Gp)), pretty(simple(Gc)) % Gc = [-a21 b11 - b22 s + b22 a11 s - a22 ] % [---------------------------------------------] % [ (-b22 + b21) b11 s Tniv (-b22 + b21) s Ttemp] % [ ] % [a21 b11 + b21 s - b21 a11 -s + a22 ] % [--------------------------------------------] % [ (-b22 + b21) b11 s Tniv (-b22 + b21) s Ttemp] % Gc11= Kc11*(1+1/(Ti11*s)); Gc12= -Kc12*(1+1/(Ti21*s)); % Gc21= -Kc21*(1+1/(Ti21*s)); Gc22= Kc12*(1+1/(Ti22*s));

Simulaci´ on del Sistema de Control en el Dominio de t De la Fig. 7.2 podemos formular las ecuaciones que gobiernan el controlador MIMO PID: 1 1 u1 = K c11 (1 + ) e1 K c12 (1 + ) e2 T c11 s T c12 s 1 1 u2 = K c21 (1 + ) e1 + K c12 (1 + ) e2 (7.18) T c21 s T c12 s

−

−

donde: e1 = r1

− y1

e2 = r2

− y2

Empleando aproximación rectangular para los términos integrales 1s , la discretización de (7.18) resulta: K c11 1 c 11 1 u (k) = K e (k) + T c11 u2 (k) = K c21 e1 (k) +

K c21 T c21

k

  i=0 k

K c12 T c12

T e1 (i)

− K c12 e2(k) −

T e1 (i)

c12 − K c12 e2(k) − K T c12

i=0

k

  i=0 k

T e2 (i) T e2 (i)

i=0

donde k = t/T es el tiempo discreto y T es el tiempo de muestreo o discretización. Para el tiempo (k 1) las expresiones de u1 (k) y u2 (k) toman la forma:

−

u1 (k

− 1)

= K c11 e1 (k

−

K c11 1) + T c11

k 1

−

 

T e1 (i)

i=0 k 1

u2 (k

− 1)

= K c21 e1 (k


− 1) +

−

− K c12e2(k − 1) − − K c12e2(k − 1) −

c12 K T c12 i=0

−

c21 K T c21 i=0

k 1

 

K c12 T c12

T e2 (i)

i=0 k 1

−

T e1 (i)

T e2 (i)

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142


Teniendo en cuenta que:

  k

e1 (i) =

i=0

entonces:

k 1

−

  k

e1 (i) + e1 (k)

i=0

e2 (i) =

i=0

k 1

−

e2 (i) + e2 (k)

i=0

c11 − e1(k − 1)] + K T e1 (k) T c11 c12 T e2 (k) −K c12[e2(k) − e2(k − 1)] − K T c12 K c21 K c21 [e1 (k) − e1 (k − 1)] + T e1 (k) T c21

u1 (k)

− u1(k − 1)

= K c11 [e1 (k)

u2 (k)

− u2(k − 1)

=

c12 T e2 (k) −K c12[e2(k) − e2(k − 1)] − K T c12

(7.19)

Para programaci´ on en tiempo real prescindimos del argumento k. Por consiguiente, las ecuaciones anteriores toman la forma: K c12 c11 T e1 − K c12 (e2 − e2 p ) − T e2 − e1 p) + K T c11 T c12 K c21 K c12 u2 + K c21 (e1 − e1 p ) + T e1 − K c12 (e2 − e2 p ) − T e2 T c21 T c12

u1 = u1 + K c11 (e1 u2 =

(7.20)

donde e1 p y e2 p son los errores pasados de e1 y e2 respectivamente. La ecuació n de estado del sistema se discretiza como:

∼ x(k) − x(k − 1) = A x(k) + B u(k)

x˙ =

T

x(k) = x(k donde:

x=

− 1) + T (A x(k) + B u(k))

    x(1) x(2)

=

y1 y2

=

h θ

u=

   u1 u2

=

qC qD

Para programaci´ on en tiempo real, la ecuación de estado discreta del sistema toma la forma: (7.21) x = x + T (A x + B u) La simulación del sistema se logra ejecutando el programa pidmimotanque.m, el cual toma en cuenta las ecuaciones discretas (7.20) y (7.21). El resultado de la simulación se muestra en la Fig. 7.4. Observar que el controlador PID MIMO estabiliza simult´ aneamente el nivel y la temperatura cumpliendo las especificaciones de diseño del caso. % pidmimotanque.m CONTROL PID MIMO DEL SISTEMA TANQUE CERRADO CON AGUA clear all; close all; clc; % PAR´ AMETROS C=0.6; D=0.0159; d=0.0065; beta=d/D; E=(1-beta^4)^(-1/2); rhoD=996; g=9.81; a=C*E*pi*d^2*rhoD*sqrt(2*g)/4; A=0.0314; rhoH=988; Cp=4186.8; rhoC=998; thetaH=50+270.15; thetaC=20+270.15; % VALORES ESTACIONARIOS barh=0.4; bartheta=35+270.15; barqC=2.16e-4; barqH=0.5e-4;


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143

1

] m [ L E0.5 V I N

0 ] s / 3

0

1000

1500

2000 TIEMPO

[s]

2000 TIEMPO

[s]

2000 TIEMPO

[s]

2000 TIEMPO

[s]

2500

3000

3500

4000

2500

3000

3500

4000

2500

3000

3500

4000

2500

3000

3500

4000

0.01

m [ A Í R0.005 F A U 0 G A 0 ] C º [

] s /

500

A60 R U T A40 R E P M20 E 0 T

500

500

1000

1000

1500

1500

3

m [ 0 E T N E−0.005 I L A C A −0.01 U 0 G A

500

1000

1500

Fig. 7.4: Resultado de la simulación del sistema de control PID MIMO del tanque: nivel y temperatura controladas.

barqD=2.16e-4; Rh=barh/barqD; % MODELO LINEAL, DONDE: df1/dx1=a11, df1/dx2=a12, etc. a11=-a/(2*A*sqrt(barh)); a12=0; a21=a*bartheta*barh^(-1.5)/(2*A) - ... (rhoC*thetaC*barqC+rhoH*thetaH*barqH)/(rhoD*A*barh^2); a22=-a/(A*sqrt(barh)); b11=1/A; b12=1/A; b21=rhoC*thetaC/(rhoD*A*barh); b22=rhoH*thetaH/(rhoD*A*barh); AA=[a11 0;a21 a22]; BB=[b11 b11;b21 b22]; CC=[1 0;0 1]; DD = [0 0;0 0]; Tniv=60; Ttemp=100; % PAR´ AMETROS DEL CONTROLADOR: SE SETERMINAN DE Gc EN mimopidsimb.m Kc11=b22/((b22-b21)*b11*Tniv); Ti11=b22/(a21*b11-b22*a11); Kc12=1/((b22-b21)*Ttemp); Ti12=-1/a22; Kc22=Kc12; Ti22=Ti12; Kc21=b21/((b22-b21)*b11*Tniv); Ti21=b21/(a21*b11-b21*a11); % CONDICIONES INICIALES e1p=0; e2p=0; u1=0; u2=0; x = [0.4;20+270.15]; % NIVEL + TEMPERATURA T = 0.2; M = 20000; % PERIODO DE MUESTREO Y N´ UMERO DE MUESTRAS M for k = 1:M % INICIO DEL LAZO DE CONTROL if(k >= 0 && k <= M/4), r1 = 0.5; r2=20+273.15; % SE~ NALES DE REFERENCIA elseif(k >= M/4 && k <= M/2), r1 = 0.2; r2=40+273.15; elseif(k >= M/3 && k <= 3*M/4), r1 = 0.4; r2=70+273.15; elseif(k >= 3*M/4 && k <= M), r1 = 0.3; r2=20+273.15; end R1(k) = r1; R2(k) = r2;


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144


% CALCULO DEl VECTOR DE CONTROL u(t) e1 = r1 - x(1); Y1(k) = x(1); e2 = r2 - x(2); Y2(k) = x(2); u1 = u1 + Kc11*(e1-e1p) + Kc11*T*e1/Ti11 ... - Kc12*(e2-e2p) - Kc12*T*e2/Ti12; U1(k) = u1; u2 = u2 - Kc21*(e1-e1p) - Kc21*T*e1/Ti21 ... + Kc22*(e2-e2p) + Kc22*T*e2/Ti22; U2(k) = u2; u = [u1;u2]; % MODELO LINEAL (DISCRETIZACION DIRECTA) x = x + T*(AA*x + BB*u); e1p = e1; e2p = e2; end % GR´ AFICOS ejet = linspace(0,M*T,M); subplot(4,1,1), plot(ejet,R1,ejet,Y1), grid, ylabel(’NIVEL [m]’), xlabel(’TIEMPO [s]’) subplot(4,1,2), plot(ejet,U1), grid, ylabel(’AGUA FR´ IA [m^3/s]’), xlabel(’TIEMPO [s]’) subplot(4,1,3), plot(ejet,R2,ejet,Y2), grid ylabel(’TEMPERATURA [K]’), xlabel(’TIEMPO [s]’) subplot(4,1,4), plot(ejet,U2), grid, ylabel(’AGUA CALIENTE [m^3/s]’), xlabel(’TIEMPO [s]’), print -f -deps pidmimotanque

Ejemplo 7.2 Control PID MIMO del Sistema de Plataformas Dise˜ nar un controlador MIMO PID basado en la t´ ecnica de desacoplamiento para controlar las salidas y1 e y2 del sistema de plataformas propuesto en el problema 2.6 y mostrado en la Fig. 2.26. Las especificaciones de dise˜ no son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempo de estabilización menor de 20 s para ambas salidas. Valorar todos los parámetros de la planta en 1.

Soluci´ on: Seleccionemos como variables x4 = y˙2 , como variables de salida y1 = x1 y u2 , esto es: x1 x2 x= y= x3 x4

 

 

de estado x1 = y1 , x2 = y2 , x3 = y˙1 y e y2 = x2 y como variables de entrada u1

  y1 y2

u=

  u1 u2

Se puede demostrar (problema 2.6) que las ecuaciones de estado y de salida son:

x˙ = Ax + Bu

A=

B=

 −  

0 0

0 0

K 1 m1 K 1 m2

0 0

1 m1

0

− 0 0 0 1 m2

K 1 m1 (K 1 +K 2 ) m2

 

y = Cx 1 0

0 1

B − mB m − mB − (B m+B ) 1 1 1 2

C=



1 1

1

2

2

1 0 0 0 0 1 0 0

  

El programa mimopid02.m, cuyo listado se muestra abajo, simula el sistema de control pedido. En el resultado de la simulación (Fig. 7.5) se observa que las salidas controladas y1 (gráfico superior izquierda) e y2 (gráfico superior derecha) controlados, cumplen las especificaciones de diseño requeridas.


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7.2 Control PID MIMO con Desacopladores

145

Step Response From: In(1)

From: In(2)

1 0.8 ) 1 ( t

y1 0.6

u O : o 0.4 T

0.2

e d u t i l p m A

0 1 0.8

y2

) 2 ( t 0.6 u O : o 0.4 T

0.2 0

0

20

40

60

0 Time (sec)

20

40

60

Fig. 7.5: Salidas y1 e y2 controlados (Ejemplo 7.2.) % mimopid02.m CONTROL PID MULTIVARIABLE DEL SISTEMA DE PLATAFORMAS clear all; close all; clc; K1=1; K2=1; B1=1; B2=1; m1=1; m2=1; % PAR´ AMETROS ´ % ECUACI ON1DE ESTADO Y DE SALIDA AA=[0 0 0;0 0 0 1;-K1/m1 K1/m1 -B1/m1 B1/m1;K1/m2 -(K1+K2)/m2 -B1/m2... -(B1+B2)/m2]; BB=[0 0;0 0;1/m1 0;0 1/m2]; CC=[1 0 0 0;0 1 0 0]; DD = [0 0;0 0]; II = eye(4); Tniv=4; Ttemp=4; s=tf(’s’); I=eye(2); Gp = CC*inv(s*II -AA)*BB+DD; G=[1/(Tniv*s+1) 0;0 1/(Ttemp*s+1)]; Gc = inv(Gp)*G*inv(I-G); Go=Gp*Gc; step(feedback(Go,I)) print -deps -f mimopid02

7.2.

Control PID MIMO con Desacopladores

En la sección anterior, la selección a priori de una matriz de transferencia diagonal que dinámica del sistema realimentado, resolvi´ el problema de interacciórepresente n existentelaentre las variables de entrada y de salida, esodecir, logró desacoplar al sistema. En esta sección tambi´ en se va a usar desacoplamiento en el dise˜ no de un controlador PID MIMO. Para este caso, los desacopladores van a formar parte de la configuración del sistema, tal como se observa en la Fig. 7.6, de la cual se obtienen las siguientes relaciones: y1 (s) = G p11 (s)[u1 (s) + D1 (s)u2 (s)] + G p12 (s)[u2 (s) + D2 (s)u1 (s)] y2 (s) = G p22 (s)[u2 (s) + D2 (s)u1 (s)] + G p21 (s)[u1 (s) + D1 (s)u2 (s)] (7.22) El objetivo del bloque desacoplador D1 (s) es compensar el efecto de u2 en la salida y1 , esto es, prevenir cambios en la salida del segundo controlador G c2 que puedan afectar la variable controlada del primer lazo. Para cumplir con este requerimiento,


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146


la primera ecuación de (7.22) se puede expresar como:

    ∆y1 (s) ∆u 2 (s)

∆u1 =0

= D1 (s)G p11 (s) + G p12 (s) = 0

(7.23)

En forma similar, para que el bloque desacoplador D2 (s) compense el efecto de u1 en la salida y2 , de la segunda ecuación de (7.22) se tiene: ∆y2 (s) ∆u1 (s)

= D2 (s)G p22 (s) + G p21 (s) = 0

(7.24)

∆u2 =0

Por consiguiente, los bloques desacopladores se calculan de: D1 (s) =

(s) − GG p12 p11 (s)

D2 (s) =

(s) − GG p21 p22 (s)

(7.25)

Las ecuaciones que gobiernan la dinámica del sistema mostrado en la Fig. 7.6 son: e1 r1

r2

u

m1

1

G c1(s)

Gp11(s) y1

D 1 (s)

G p12(s)

D 2 (s)

G p21(s) y2

m2 G c2 (s)

e2

G p22(s)

u2

Fig. 7.6: Sistema de control PID MIMO con desacopladores D 1 y D2 .

y1 = G p11 m1 + G p12 m2

m1 = u1 + D1 u2

u1 = Gc1 e1

y2 = G p21 m1 + G p22 m2

m2 = D2 u1 + u2

u2 = Gc2 e2

Por consiguiente:

y=

  y1 y2

          

y(s) = G p (s)m(s)

G p =



G p11 G p12 G p21 G p22

m1 m2

m=

u=

m(s) = D(s)u(s)

D=

y = Go e

1 D1 D2 1

u1 u2

e=

(7.26)

e1 e2

u(s) = Gc (s)e(s)

Gc =

Go = G p DGc

Gc1 0 0 Gc2

(7.27) (7.28)

donde G p es la matriz de la planta o sistema, D es la matriz de desacoplamiento, Gc es el controlador PID MIMO y Go es la MT a lazo abierto del sistema. Cabe anotar que tanto Gc1 (s) como Gc2 (s) son controladores PID, cuyos parámetros K c , T i y T d tienen que ser sintonizados para cada aplicación.


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7.2 Control PID MIMO con Desacopladores

147

Ejemplo 7.3 Control PID con Desacopladores del Sistema de Plataformas

Dise˜ nar un controlador PID MIMO con desacopladores para controlar las salidas y 1 e y2 del sistema de plataformas propuesto en el problema 2.6 y mostrado en la Fig. 2.26. Las especificaciones de diseño son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempo de estabilización menor de 20 s para ambas salidas. Valorar todos los parámetros de la planta en 1.

Soluci´ on: El programa mimopid03.m, cuyo listado se muestra abajo, emplea el modelo del sistema de plataformas del Ejemplo 7.2 y simula el sistema de control pedido. En el resultado de la simulación (Fig. 7.7) se observa que las salidas controladas y1 (gráfico superior izquierda) e y2 (gráfico superior derecha) controlados, cumplen las especificaciones de dise˜ no requeridas. Step Response From: In(1)

From: In(2)

1 0.8

y1(t)

) 1 0.6 ( t u O : o 0.4 T

0.2

e d u t i l p m A

0 1

y2(t)

0.8 ) 2 ( t 0.6 u O : o T

0.4 0.2 0

0

20

40

60 0 Time (sec)

20

40

60

Fig. 7.7: Salidas y1 e y2 controlados (Ejemplo 7.2.)

% mimopid03.m CONTROL PID MIMO CON DESACOPLADORES DEL SISTEMA PLATAFORMAS clear all; close all; clc; K1=1; K2=1; B1=1; B2=1; m1=1; m2=1; % PAR´ AMETROS % ECUACI´ O N DE ESTADO Y DE SALIDA AA=[0 0 1 0;0 0 0 1;-K1/m1 K1/m1 -B1/m1 B1/m1;K1/m2 -(K1+K2)/m2 -B1/m2... -(B1+B2)/m2]; BB=[0 0;0 0;1/m1 0;0 1/m2]; CC=[1 0 0 0;0 1 0 0]; DD = [0 0;0 0]; II = eye(4); Kc1=0.25; Ti1=1; Td1=0; Kc2=1; Ti2=1; Td2=0; I = eye(2); s=tf(’s’); Gp=CC*inv(s*II -AA)*BB+DD; D1=-Gp(1,2)/Gp(1,1); D2=-Gp(2,1)/Gp(2,2); D=[1 D1;D2 1]; Gc1=Kc1*(1+1/(Ti1*s)+Td1*s); Gc2=Kc2*(1+1/(Ti2*s)+Td2*s); Gc=[Gc1 0;0 Gc2]; Go=Gp*D*Gc; step(feedback(Go,I)) print -deps -f mimopid03


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148


7.3.

Control P MIMO empleando el Criterio de Hurwitz

La Fig. 7.8(a) representa el diagrama de bloques de un sistema de control MIMO, donde el sistema a controlar G p (s) es una MT (matriz de transferencia) cuadrada de orden n y K es una matriz diagonal de ganancias también de orden n. En una matriz cuadrada, el n´ umero m de entradas ui es igual al n´ umero de salidas yi . En el caso que G p (s) fuera rectangular, el número de entradas m generadas por el controlador MIMO correspondiente, siempre debe de ser mayor que el número p de salidas. Sólo en esta situación es posible crear salidas ficticias a fin de hacer cuadrada a la matriz G p (s), con la finalidad de poder aplicar el procedimiento de diseño de la subsección 7.3.1. Las relaciones siguientes se desprenden de la Fig. 7.8(a): Controlador r(s)

e(s)

P MIMO K

u(s)

Sistema G p (s)

y(s)

r(s)

−1

y(s)

(I+KG p (s)) KG p (s)

(b)

(a)

Fig. 7.8: (a) Sistema de control MIMO con controlador P. (b) Sistema equivalente.

y(s) = G p (s)u(s)

−

y(s) = [I + KG p (s)] 1 KG p (s)

u(s) = Ke(s)

donde I es la matriz identidad. La Fig. 7.8(b) muestra la MT del sistema, en la cual: T(s) = I + KG p (s) (7.29) es conocida como la matriz retorno de la diferencia. Para que el sistema de la Fig. 7.8(a) o (b) sea estable, los ceros del determinante de T(s) deben de poseer parte real negativa. Empleando el criterio de Hurwitz (subsecci´ on 7.3.2), se pueden determinar los rangos de los elementos de la matriz de ganancia K para comportamiento estable del sistema. A continuaci´ on se detalla el procedimiento de dise˜ no.

7.3.1.

Procedimiento de Dise˜ no

El procedimiento para diseñar un sistema de control P MIMO empleando el criterio de Hurwitz es como sigue: 1. Formular la matriz T(s) = I + KG p (s) (ver Fig. 7.8(b)), donde:

K = diag[K 1 , . . . , Kn ]

G p (s) =

 

G p11 (s) .. .

···

G p1n (s) .. .

G pn1 (s)

···

G pnn (s)

..

.

 

2. Determinar la ecuación caracter´ıstica del sistema a lazo cerrado a partir de: n

D(s) = det[T(s)] = s +


n 1

a1 s

−

+

··· + an−1s + an = 0

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7.3 Control P MIMO empleando el Criterio de Hurwitz

149

3. Emplear el criterio de Hurwitz (ver siguiente subsecci´ on) para determinar los rangos de los elementos de la matriz de ganancia K que garanticen un comportamiento estable del sistema de la Fig. 7.8(a). 4. Simular el sistema controlado empleando las ganancias determinadas por el criterio de Hurwitz, hasta que las salidas yi controladas cumplen las especificaciones de dise˜ no previamente establecidas.

7.3.2.

El Criterio de Hurwitz

El criterio de Hurwitz, que es equivalente al conocido criterio de Routh–Hurwitz, se basa en la construcción de la matriz Hurwitz a partir de la ecuación caracter´ıstica D(s) del sistema realimentado: D(s) = sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + a3 sn−3 +

H=

  

a1 a3 1 a2 0 a1 0 1 .. .. . . 0 0

··· + an−1s + an

a5 a4 a3 a2 .. .

... ... ... ... .. .

0 0 0 0 .. .

0 0 0 0 .. .

0

. . . an−2 an

  

Este criterio de estabilidad establece que para que los ceros de D(s) posean parte real negativa (requisito indispensable del sistema), todos los menores principales diagonales depara H 1 , H 2 , H 3 , . . .estable , Hn , deben de ser positivos, H: comportamiento donde: H 1 = a1

H 2 = det



a1 a3 1 a2



H 3 = det



a1 a3 a5 1 a2 a4 0 a1 a3



H n = detH

Ejemplo 7.4 Control P MIMO de un Sistema Empleando el procedimiento de dise˜ no de la subsección 7.3.1 dise˜ nar un controlador P MIMO para un sistema con:

K=



K 1 0 0 K 2



G p (s) =



3 s 0.05 s

−280 s(s+6)(s+30) −200 s(s+6)(s+30)



las especificaciones de dise˜ no para los dos canales (salidas) son: tiempo de estabilización menor de 2 s, error en estado estable nulo y porcentaje de sobrenivel también nulo. no Soluci´ on: Ejecutar el programa pmimo1.m, el cual sigue el procedimiento de dise˜ arriba establecido. La Fig. 7.9 muestra que las salidas controladas del sistema cumplen las especificaciones de dise˜ no para las ganancias K 1 = 2 y K 2 = –1.5. Es necesario anotar que con estos valores de las ganancias, se satisfacen simultáneamente las condiciones H 1 > 0, H 2 > 0, H 3 > 0 y H 4 > 0 establecidas en el criterio de Hurwitz.


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150

Control PID Multivariable Step Response From: In(1)

From: In(2)

1 0.8

y1(t)

) 1 0.6 ( t u O : 0.4 o T

0.2 e d u t i l p m A

0 1.5

) 2 ( t u O : o T

1

y2(t) 0.5

0 0

1

2

3 0 Time (sec)

1

2

3

Fig. 7.9: Salidas y1 e y2 controlados (Ejemplo 7.4.) % pmimo1.m CONTROL P MIMO USANDO LA MATRIZ DE RETORNO DE LA DIFERENCIA clear all; close all; clc; I = eye(2); syms s K1 K2; Gp=[3/s -280/(s*(s+6)*(s+30));0.05/s -200/(s*(s+6)*(s+30))]; K=[K1 0;0 K2]; D=det(I+Gp*K); % pretty(D) % D=s^4+a1*s^3+a2*s^2+a3*s+a4 a1=36+3*K1; a2=180+108*K1; a3=-200*K2+540*K1; a4=-586*K1*K2; H=[a1 a3 0 0;1 a2 a4 0;0 a1 a3 0;0 1 a2 a4]; H1=a1; H2=det([a1 a3;1 a2]); H3=det([a1 a3 0;1 a2 a4;0 a1 a3]); H4=det(H); % H1 > 0 => K1 > -12; H2 > 0 CON K = -12 => K2 <3 2.4 % PARA TENER K1 Y K2 EN EL SEMIPLANO IZQUIERDO DE K1 VS K2 SELECCIONAMOS: % 0 <= K1 <= 12, -32 <= K2 <= 0; TOMEMOS: K1=2; K2=-1.5; K=[K1 0;0 K2]; s=tf(’s’); Gp=[3/s -280/(s*(s+6)*(s+30));0.05/s -200/(s*(s+6)*(s+30))]; G=feedback(Gp*K,I); step(G), print -deps -f pmimo1

7.4.

Problemas

Problema 7.1 Sistema Tanque Cerrado Basado en las t´ ecnicas descritas en las secciones 7.2 y 7.3, dise˜ nar los controladores MIMO para controlar el nivel y la temperatura del sistema tanque cerrado descrito en la subsección ??. Las especificaciones de diseño tanto para el nivel como para la temperatura son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempos de estabilización lo más rapido posible.

Problema 7.2 Sistema de Plataformas


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7.4 Problemas

151

Basado en la técnica descrita en la secci´ on 7.3, dise˜ nar un controlador P MIMO para el sistema de plataformas mostrado en la Fig. 2.26 y descrito en el problema 2.6. Las especificaciones de dise˜ no de las salidas controladas son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempos de estabilización lo más rapido posible.

Problema 7.3 Manipulador Polar Vertical Basado en las t´ ecnicas descritas en las secciones 7.1, 7.1 y 7.3, dise˜ nar los controladores PID MIMO para el manipulador polar vertical mostrado en la La Fig. ?? y descrito en el problema ??. Las especificaciones de dise˜ no de las salidas controladas son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempos de estabilizaci´ on lo más rapido posible.

Problema 7.4 Manipulador Polar Horizontal Basado en las t´ ecnicas descritas en las secciones 7.1, 7.1 y 7.3, dise˜ nar los controladores PID MIMO para el manipulador polar horizontal mostrado en la La Fig. ?? y descrito en el problema ??. Las especificaciones de diseño de las salidas controladas son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempos de estabilizaci´ on lo más rapido posible.

Problema 7.5 Manipulador Rob´ otico Traslacional–Esf´ erico (MRTE) Basado en las t´ ecnicas descritas en las secciones 7.1, 7.1 y 7.3, dise˜ nar los controladores PID MIMO para el manipulador robótico traslacional–esférico mostrado en la Fig. ?? y descrito en el problema ??. Las especificaciones de diseñ o de las salidas controladas son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempos de estabilizaci´ on lo más rapido posible.

Problema 7.6 Manipulador Rob´ otico Esf´ erico (MRE3) Basado en las t´ ecnicas descritas en las secciones 7.1, 7.1 y 7.3, dise˜ nar los controladores PID MIMO para el manipulador robótico esférico de 3GDL mostrado en la Fig. ?? y descrito en el problema ??. Las especificaciones de diseño de las salidas controladas son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempos de estabilización lo más rapido posible.

Problema 7.7 Motor S´ıncrono de Im´ an Permanente Basado en las t´ ecnicas descritas en las secciones 7.1, 7.1 y 7.3, dise˜ nar los controladores PID MIMO para el motor s´ıncrono de imán permanente descrito en el problema ??. Las especificaciones de dise˜ no de las corrientes iq e id controladas son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempos de estabilización lo más rapido posible.

Problema 7.8 Manipulador Rob´ otico Traslacional (MRT)


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Basado en las t´ ecnicas descritas en las secciones 7.1, 7.1 y 7.3, dise˜ nar los controladores PID MIMO para el manipulador robótico traslacional mostrado en la Fig. ?? y descrito en la sección ??. Las especificaciones de dise˜ no de las salidas controladas son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempos de estabilizaci´ on lo más rapido posible.

Problema 7.9 Manipulador Rob´ otico Esf´ erico (MRE) Basado en las t´ ecnicas descritas en las secciones 7.1, 7.1 y 7.3, dise˜ nar los controladores PID MIMO para el manipulador robótico esférico mostrado en la Fig. ?? y descrito en la sección ??. Las especificaciones de dise˜ no de las salidas controladas son: 0 % de sobrenivel, error en estado estable nulo y tiempos de estabilizació n lo más rapido posible.


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Ap´ endice A

Matem´ atica para Sistemas Continuos Este Cap´ıtulo presenta la matemática requerida en los Cap´ıtulos siguientes. Los tópicos se desarrollan principalmente en el dominio continuo. El tópico discretizaci´ on directa se desarrolla en el dominio discreto. Los numerosos ejemplos presentados se resuelven en unos casos anal´ıticamente, en otros con ayuda del software MATLAB y en la mayor´ıa de los casos empleando ambos métodos. Los temas a tratar son: transformada de Laplace, matrices y determinantes, variable de estado, discretización directa, sistemas con tiempo muerto y linealizaci´ on de sistemas continuos.

A.1.

La Transformada Unilateral de Laplace

A.1.1.

Definici´ on y Ejemplos

La transformada unilateral de Laplace G(s) de una función g(t) se define como: G(s) = L[g(t)] =



∞

g(t)e−st dt

(A.1)

0

donde el n´ umero complejo s = σ + jω es la variable Laplaciana. La región de s en la cualUn dicha integral converge se onsededenomina Convergencia . cuando su salida sistema representado pordenomina la funciónRegi´ g(t) causal y(t) depende sólo de la entrada presente u(t) y de las entradas pasadas u(t t i ), donde t es la variable dependiente tiempo continuo y los ti para i = 0, . . . , n son n´ umeros reales positivo que indican retardos de tiempo. La gran mayor´ıa de los sistemas reales son causales. La Fig. A.1(a) muestra un tanque con agua calentada mediante vapor. La curva de reacción del sistema temperatura y(t) mostrado en la Fig. A.1(b) se obtiene variando la abertura u(t) de la válvula de vapor. Este sistema es causal porque, por ejemplo, la salida y en el tiempo t3 , depende de la entrada u en t3 (la actual) y de las entradas pasadas en t2 , t1 y t0 .

−

La transformada unilateral de Laplace es útil para representar en forma algebraica sistemas causales descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el


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154

Matem´ atica para Sistemas Continuos u u Agua t y

y Vapor

t t0

t

t

1

t3

2

(b)

(a)

Fig. A.1: Ejemplo de sistema causal: temperatura en un tanque.

tiempo. La Tabla A.1 muestra la transformada unilateral de Laplace de algunas funciones. Varias de sus propiedades se ilustran en la Tabla A.2.

Ejemplo A.1 Hallar la transformada de Laplace de la función escal´ on unitario µ(t) definida como: µ(t) =



≥

1 si t 0 0 si t < 0

Soluci´ on: Usando la definición dada en (A.1) con g(t) = µ(t): G(s) = L[µ(t)] =



∞

µ(t)e−st dt =

0



∞

(1)e−st dt =

0

−  e−st s

−

∞ 0

=

− e−0 = 1 s −s

e−∞

Ejemplo A.2 Hallar la transformada de Laplace de la función escalón unitario retardado µ(t donde T es real y positivo. La función µ(t T ) se define como:

−

µ(t

1 si t

T ) =

−



− T )

≥ T

0 si t < T

Soluci´ on: La transformada de Laplace de µ(t T ) se halla empleando la propiedad (5) (desplazamiento en tiempo) de la Tabla A.2 con t0 = T , sabiendo que G(s) = 1/s por el ejemplo anterior. Esto es: L[µ(t

−

−T s

− T )] = e−T sG(s) = e−T s 1s = e s

Ejemplo A.3 Hallar la transformada de Laplace de la función exponencial e−at , donde a y t son reales y positivos.


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A.1 La Transformada Unilateral de Laplace

155

Soluci´ on: Usando la definición dada en (A.1): (s+a)t

L[e−at ] =

Ejemplo A.4

 0

∞ e−at e−st dt =

−  e− s+a

∞= 0

1 s+a

Hallar la transformada de Laplace de las funciones impulso δ(t) y δ(t la siguiente propiedad fundamental:



∞

g(t)δ(t

0

− T ) empleando

− T )dt = g(T )

(A.2)

donde g(t) es una función arbitraria pero continua en t = T . Se sabe adem´ as que la función impulso unitario o delta de Dirac δ(t) y delta de Dirac retardada δ(t T ) se

−

definen como: δ(t) =



1 si t = 0 0 si t = 0

δ(t



− T ) =



1 si t = T 0 si t = T



(A.3)

Soluci´ on: Aplicando la propiedad fundamental (A.2) con g(t) = e−st y T = 0 se obtiene: ∞ L[δ(t)] = e−st δ(t T )dt = e−sT T =0 = 1



−

0

|

Aplicando ahora la propiedad fundamental con g(t) = e−st y retardo T resulta: L[δ(t

∞

T )] =

−

e−st δ(t

 0

T )dt = e−sT = z −1

−

La relación: z = esT constituye la variable discreta de desplazamiento y se emplea para el análisis de sistemas lineales discretos con parámetros invariantes con el tiempo.

Ejemplo A.5 Usando matemática simbólica, hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: dg(t) g1 (t) = aµ(t) g2 (t) = e−at g3 (t) = dt g4 (t) = asin(t)cos(t)2

t

g5 (t) =

(t2 + cos 2t)

0



donde a es una constante real y positiva, µ(t) es la función escalón unitario definida en el ejemplo A.1 y g(t) es una función arbitraria dependiente del tiempo.

Soluci´ on: El programa laplace1.m resuelve el problema. % laplace1.m TRANSFORMADA SIMB´ OLICA DE LAPLACE clear all; close all; clc; syms a t s; G1 =laplace(a,t,s); % G1 = a/s G2 = laplace(exp(-a*t),t,s); % G2 = 1/(s+a) G3 = laplace(diff(sym(’g(t)’))); % G3 = s*laplace(g(t),t,s)-g(0) G4 = laplace(a*sin(t)*cos(t)^2,t,s); pretty(G4) % G4 = a*(s^2 + 3)/((s^2 + 9)(s^2+1)) g5 = int(t^2+cos(2*t)); G5 = laplace(g5); % G5 =2/s^4 + 1/(s^2+4)


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156

A.1.2.

Matem´ atica para Sistemas Continuos

La Transformada Inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace de una función G(s) se denota como: g(t) = L−1 [G(s)]

(A.4)

Ejemplo A.6 Usando matem´ atica simbólica, hallar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: G1 (s) =

s+3 s2

G2 (s) =

(s

−

Aw a2 ) + w 2

donde w es una constante real y positiva. Soluci´ on: El programa laplace2.m resuelve el problema. % laplace2.m clear all; close all; clc; syms s w a A G1=(s+3)/s^2; g1 = ilaplace(G1); % g1 = 1 + 3*t G2=A*w/((s-a)^2+w^2); g2 = ilaplace(G2); % g2 = A*e^(a*t)*sin(w*t)

Ejemplo A.7 La figura A.2 muestra un móvil de masa m = 1000 kg desplazándose con una velocidad v gracias a la acción de la fuerza u producida por su motor. Si se desprecia la inercia de las ruedas y se asume que la fuerza de fricción bv es lo u ´ nico que se opone al movimiento, donde b= 50 N–s/m es el coeficiente de fricción, entonces la dinámica del sistema puede modelarse como: mv(t) ˙ + bv(t) = u(t)

v(t) ˙ =

dv(t) dt

Determine la velocidad v(t) y la aceleración v(t) ˙ del carro como respuesta a una fuerza u(t) tipo escalón de 1 N. Considere que la fuerza comienza a actuar para una velocidad inicial del carro de 2 m/s. v velocidad friccion bv

m

u

Fig. A.2: Móvil en movimiento.

Soluci´ on: Teniendo en cuenta que v(0) = 2 m/s, V (s) = L[v(t)] y U (s) = L[u(t)], apliquemos la propiedad de derivación (2) de la Tabla A.2 en la ecuación dinámica del carro:


m(sV (s)

− v(0)) + bV (s) = U (s)

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V (s) =

157

1/m v(0) + s(s + b/m) s + b/m

donde hemos usado el hecho de que U (s) = 1s debido a que la entrada u es del tipo escal´ on. La salida v(t) se determina usando la Tabla A.1. Para el primer término de V (s) empleamos la fórmula (14) con n = 1, mientras que para el segundo término empleamos la fórmula (3). Por consiguiente: v(t) = L−1 [V (s)] =

1 (1 b

− e−

b m

t

b

) + v(0)e− m t

La derivada de v(t) produce la aceleración pedida: v˙ =

1 [1 m

− bv(0)] e−

b m

t

Ejemplo A.8 Empleando las propiedades del valor inicial y del valor final de la Tabla A.2, determinar tales valores para la velocidad del móvil del problema anterior.

Soluci´ on: El valor inicial de v(t) se determina de: l´ım v(t) = l´ım sV (s) = v(0)

t

→0

s

→∞

El valor final v(t) se obtienen de: l´ım v(t) = l´ım sV (s) = 1 →∞ s→0 b

t

A.1.3.

La Funci´ on de Transferencia

La función de transferencia FT de un sistema SISO (Single Input Single Output) se define como la relación: Y (s) G(s) = U (s) donde Y (s) es su salida y U (s) es su entrada, asumiendo que todas las condiciones iniciales son nulas. La FT se puede interpretar como el sello que caracteriza la dinámica de un sistema, ya que se expresa en función de los parámetros de dicho sistema. Distintos sistemas pueden poseer una misma forma de la FT, pero con parámetros completamente diferentes. Por ejemplo, los sistemas velocidad de un motor DC, nivel en un tanque de agua con orificio de salida y un móvil con desplazamiento horizontal poseen la siguiente forma de su FT: Y (s) K = U (s) τs + 1

Ejemplo A.9 Determinar la FT del móvil del ejemplo A.7. Luego determine la velocidad v(t) del móvil partiendo de su FT, como respuesta a una fuerza u(t) tipo escaló n de 1 N.


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158


Soluci´ on: La FT del sistema se obtiene aplicando la propiedad de derivación (2) de la Tabla A.2), con v(0) = 0: m[sV (s)

V (s) 1/m = U (s) s + b/m

− v(0)] + bV (s) = (ms + b)V (s) = U (s);

Observar que resulta una FT de primer orden. Como la entrada es un escalón unitario, entonces U (s) = 1s . La salida se determina de: v(t) = L−1 [V (s)] = L−1



1/m s(s + b/m)



Usando la fórmula (14) (con n = 0) de la Tabla A.1 resulta: v(t) = 1 (1 b

− e−

b m

t

)

Ejemplo A.10 Empleando las propiedades del valor inicial y del valor final de la Tabla A.2, determinar tales valores para la velocidad del móvil del problema anterior.

Soluci´ on: El valor inicial se determina de: l´ım v(t) = l´ım sV (s) = 0 s

t

→0

→∞

El valor final se obtiene de: l´ım v(t) = l´ım sV (s) =

t

→∞

A.1.4.

s

→0

1 b

Fracciones Parciales

Una funci´ on o fracción racional de la forma B(s) A(s) es propia cuando el grado del polinomio B(s) del numerador es menor que el grado del polinomio A(s) del numerador. Cualquier función o fracción racional propia de la forma como una suma de funciones racionales de la forma: C (as + b)r

Cs + D + bs + c)r

(as2

B(s) A(s)

se puede escribir

r = 1, 2., 3, . . .

Si A(s) y B(s) poseen el mismo grado, entonces: B(s) R(s) =k+ A(s) A(s) donde k es una constante y la fracción

R(s) A(s)

resulta propia.

Ejemplo A.11


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159

Tabla A.1: Transformadas unilaterales de Laplace

No

G(s)

g(t)

(1)

1

δ(t)

(2)

1 s

µ(t)

(3)

1 s+a

e−at

(4)

ω s2 +ω2

sen ωt

(5)

s s2 +ω2

cosωt

(6)

s cos α ωsenα s2 +ω2

cos(ωt + α)

(7)

ω (s+a)2 +ω2

e−at senωt

(8)

(s+a) (s+a)2 +ω2

e−at cosωt

(9)

(s+a)cosα ωsenα (s+a)2 +ω2

e−at cos(ωt + α) [1

(10) (11)

1 s[(s+b)2 a2 ] n! ; n! = sn+1

(12)

1 (s+a)n+1

tn n!

(13)

s (s+a)n+1

tn+1 (n+1)!

(14)

1 s(s+a)n+1

(15)

s s2 (s+a)2

(16) (17)

1 (s+a)(s+b) s (s+a)(s+b)

(18)

s s(s+a)(s+b)

(19)

s s2 (s+a)(s+b)

(20)

1 (s+a)(s+b)(s+c)

(21)

s (s+a)(s+b)(s+c)

−

−

−

bt (cos at+ b a a2 +b2

−

e

−

n(n

− 1) . . .

sen at)]

tn

e−at at at n )e

−

(1 +

  n (at)ν at 1− ν=0 ν! e −


an+1

[at−2+(2+at)e

at

−

]

a3

at

bt

(e− e− )/(b a) − bt (be ae−at )/(b a)

− − − − 1 be −ae ab 1 − b−a t 1 a 1 1 −at − b1 e−bt ab − a b − b + b−a a e



at

−

2

e at (b a)(c a) −

bt

−

2

bt

−

e

 

2

2

ct

−

e

− − + (a−b)(c−b) + (a−c)(b−c) −ae at + −be bt + −ce ct (b−a)(c−a) (a−b)(c−b) (a−c)(b−c) −

−



−

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160

Matem´ atica para Sistemas Continuos Transformadas unilaterales de Laplace (continuación) No

G(s)

g(t)

(22)

s2 (s+a)(s+b)(s+c)

a2 e at (b a)(c a) −

−

b2 e bt (a b)(c b) −

+

−

−

−

at

(24)

1 (s+a)(s+b)2

1 (b a)2

(25)

s (s+a)(s+b)2

1 (b a)2

(26)

s2 (s+a)(s+b)2

1 (b a)2

(27)

1 s(s+a)(s+b)2

(28)

1 s[(s+b)2 +a2 ]

1 a2 +b2

(29)

2 ωn 2 s2 +2ζω n s+ωn

ζ < 1;

2 ωn ωd

(30)

2 sωn 2 s2 +2ζω n s+ωn

ζ < 1;

ωn2 e−δt sen (ωd t

(31)

2 ωn 2) s(s2 +2ζω n s+ωn

ζ < 1;

1

(32)

2 ωn 2) s(s2 +2ζω n s+ωn

ζ > 1;

1

1

bce (b a)(c a)

1

−ab2

−

−

−

ae−at + [a + (b

ωd = ωn

−

−

−

b a

e−bt (cosat +

1

a)b2 t]e−bt

2ab a2 +ab(b a)t (b a)2

−

−

−

a)bt]e−bt

b2 + (b

[2ab

b2 e at (b a)2

1+

−

a)t]e−bt

[1 + (b

a2 e−at

−

cae (a b)(c b)

−

e−at

abe ct (a c)(b c)

−

1 abc

−

−

bt

−

1 s(s+a)(s+b)(s+c)

−

−

−

− − −   − −  −  − − − − − −   − 

(23)

−

c2 e ct (a c)(b c)

+

e−bt

senat)

e−δt senωd t

− ωω

e−δt sen (ωd t + θ)

n d

t/T 1

−

T 1 e

 − − 1

− θ)

ζ 2

− −

t/T 2

−

T 2 e T 1 T 2

θ = arccosζ = arc cos (ωd /ωn ) δ = ζ ωn T 1,2 =

1 ωn

(ζ

±

 − ζ 2

1)

Los siguientes tres ejemplos ilustran la expansión en fracciones parciales: 3s + 2 C D E F = + + + s(4s + 3)(2s + 5) 2 s 4s + 3 (2s + 5) 2 (2s + 5) 7s2 2s + 1 Cs + D Es + F H = 2 + + (s2 + 2s + 4)2 (s + 1) (s + 2s + 4)2 s2 + 2s + 4 s + 1

−

s2 s2

8 −9 = 1− =1− −1 (s + 1)(s − 1)



C D + s+1 s 1

−



A manera de ilustración, el valor de H del segundo ejemplo se calcula multiplicando ambos miembros de la igualdad por el factor (s + 1), para poder aislar H . La relación resultante se eval´ ua con la solución de la ecuación (s + 1) = 0; es decir, se evalúa en


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161

Tabla A.2: Propiedades de la transformada de Laplace No

Descripción

Propiedad

(1)

Linealidad

L[a1 g1 (t) + a2 g2 (t)] = a1 L[g1 (t)] + a2 L[g2 (t)] = a1 G1 (s) + a2 G2 (s)

(2)

Derivaci´ on

(3)

Derivaci´ on de orden n

    − −  − 

dg(t) = sG(s) g(0) dt n L d dtg(t) = sn G(s) sn 1 g(0) n n 2 dg n 1 (0) s dgdtn (0) 2 dtn 1

L

−

−

−

−

−

−

−

(4) (5)

Integral Desplazamiento en tiempo

s L 0t g(t)dt = G(s) L[g(t t0 )] = e−t0 s G(s)

(6)

Desplazamiento en frecuencia

L[e−at g(t)] = G(s + a)

(7)

Escalamiento

L[g(at)] = a1 G( as )

(8)

Valor inicial

l´ımt→0 g(t) = l´ıms→∞ sG(s)

(9)

Valor final

l´ımt→∞ g(t) = l´ıms→0 sG(s)

(10)

Multiplicación por tn

G(s) L[tn g(t)] = ( 1)n d ds n

(11)

División entre t

L[g(t)/t] =

n

−

∞ G(t)dt

0



s=

−1 como sigue: (7s2 − 2s + 1)(s + 1) (Cs + D)(s + 1) (Es + F )(s + 1) H = + −



(s2

+ 2s + 4)2 (s + 1)

(s2

− sn−2 dg(0) dt − · · ·

+ 2s + 4)2

s2

+ 2s + 4



= s= 1

−

10 9

Comando para Expandir Fracciones Racionales El comando [r,p,k] = residue(B,A) permite expandir una fracción racional en la forma siguiente: B(s)

=

r1

+

−

p2

+

+

rn

+ k(s)

(A.5)

A(s) s s s donde p1 , . . . , pn son los n polos que no se repiten, r1 , . . . , rn son los residuos y k(s) comprime los t´ erminos directos. Los coeficientes de los polinomios A(s) y B(s) se introducen como vectores. Por ejemplo, A(s) = s4 + 5s2 s 3 produce el vector: A = [1 0 5 –1 –3]. Si B(s) A(s) posee polos repetidos, por ejemplo, si su polo p j es de multiplicidad m, entonces la expansión incluye términos de la forma: r j r j+1 r j+m−1 + + + 2 s p j (s p j ) (s p j )m

−

p1

r2

···

−

pn

− −

−

−

···

−

donde r j , . . . , r j+m−1 son los correspondientes residuos. Si en (A.5) el grado de B(s) es menor que el de A(s), entonces k(s) = 0. Si son iguales, k(s) es una constante. Todos los polos y los residuos están contenidos en los vectores p y r respectivamente.


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162


Ejemplo A.12 El programa fracp1.m2 descompone en fracciones parciales las expresiones: B(s) s 16 N (s) s+6 s+6 = 2 = = 2 2 A(s) s 1 M (s) (s 2) s 4s + 4

− −

−

−

% fracp1.m DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES clear all; close all; clc; B = [1 0 -16]; A = [1 0 -1]; % PRIMER CASO [r,p,k] = residue(B,A); % r = [7.5;-7.5]; p = [-1;1]; k = 1 M = [1 6]; N = [1 -4 4]; % SEGUNDO CASO [rr,pp,kk] = residue(M,N); % rr = [1;8]; pp = [2;2]; kk = 0;

Por consiguiente: B(s) 7.5 7.5 = + A(s) s+1 s 1 +1

N (s) 1 8 = + M (s) s 2 (s 2)2

−−

Ejemplo A.13

−

−

Hallar la transformada inversa de Laplace de: G(s) =

B(s) s4 + 2s3 + 3s2 + 2s + 1 = 4 A(s) s + 4s3 + 7s2 + 6s + 2

Soluci´ on: El programa fracp2.m calcula los vectores r, p y k: r = [ r1 ; r2 ; r j ; r j+1 ] = [

−0.5i ; 0.5i ; −2 ; 1 ]

p = [ p1 ; p2 ; p j ; p j+1 ] = [( 1 + i) ; ( 1

−

i) ;

− −

1;

1]

k=1

− −

Dado que todas las ra´ıces en el vector r son distintas: r1 r2 r j r j+1 G(s) = k + + + + s p1 s p2 s p j (s p j )2 0.5i 0.5i 2 1 = 1+ + + + s + 1 i s + 1 + i s + 1 (s + 1) 2

− −

Es fácil demostrar que:

−

−

−

−

−

2 1 ωn2 −0.5i + 0.5i = 1 = s+1−i s+1+ i 2 (s2 + 2s + 2) 2 s2 + 2ζωn s + ωn2 √ √ donde, por igualación: ωn = 2, ζ = 1/ 2. Por consiguiente: 1 2 −2 + 1 G(s) = 1 + + 2 (s2 + 2s + 2)

(s + 1) 2

s+1

Empleando los pares (1), (29), (3) y (12) de la Tabla A.1, con n = 1, se obtiene: L−1 [1] = δ(t)

L−1

 





ωn2 ωn2 −δt = e senωd t s2 + 2ζωn s + ωn2 ωd

 

1 1 = e−t L−1 = te−t s+1 (s + 1)2 donde, ωd = 1 y δ = 1, se calcularon empleando las fórmulas al final de la continuación de la Tabla A.1. Por consiguiente, juntando los resultados anteriores se obtiene: L−1

g(t) = δ(t) + e−t sent


− 2e−t + te−t

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A.2 Matrices y Determinantes

163

% fracp2.m DESCOMPOSICI´ ON EN FRACCIONES PARCIALES clear all; close all; clc; B = [1,2,3,2,1]; % POLINOMIO B(s) A = [1,4,7,6,2]; % POLINOMIO A(s) [r,p,k] = residue(B,A); % r = [-0.5i;0.5i;-2;1]; p = [-1+i;-1-i;-1;-1]; k = 1

Ejemplo A.14 Resolver la siguiente ecuación diferencial: d2 y(t) dy(t) + 11 + 24y(t) = e−6t dt2 dt con las condiciones iniciales nulas:

dy(0)

= 0, y(0) = 0.

dt

on de la Tabla A.2: Soluci´ on: Empleamos la propiedad de derivaci´



  

d2 y(t) dy(t) L + 11 + 24y(t) = L e−6t 2 dt dt



2

s Y (s)

− sy(0) −

Y (s) =

A.2.



dy(0) + 11(sY (s) dt

− y(0)) + 24Y (s) = s +1 6

1 3/80 1/60 1/48 = + + (s + 3)(s + 8)(s + 6) s+3 s+8 s+6 3 1 1 y(t) = e−3t + e−8t + e−6t 80 60 48

Matrices y Determinantes

Una matriz A de orden o dimensión n m, escrita con letra may´ uscula en negrita, es un arreglo rectangular con sus elementos aij dispuestos en n filas y m columnas. Es decir:

×

A = [aij ] =

 

a11 . . . a1m .. .. . . an1 . .. anm

 

i = 1, . . . , n;

j = 1, . . . , m

Los elementos de una matriz pueden ser números reales o complejos, funciones, otras matrices, etc. Cuando n = 1, A se convierte en un vector fila. Cuando m = 1, A toma la forma de un vector columna. Los vectores se denotan en negrita. Por ejemplo, los vectores columna x(q) y fila y(q) de orden n y dependiente del argumento q se representan como:

x(q) =

    x1 (q) .. .

y(q) =

xn (q)



y1 (q)

···

yn (q)



Dos formas de denotar los correspondientes vectores fila y columna son:

xT (q) =




x1 (q)

···

xn (q)



;

x(q) =



x1 (q)

···

xn (q)



T

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164


yT (q) =

y1 (q) .. y .(q)

y1 (q) .. y .(q)

y(q) =

 

T

 

n

n

donde el super´ındice T indica la operaci´ on transpuesta, la cual transforma las columnas en filas y viceversa.

A.2.1.

Operaciones con Matrices

Una matriz A con todos sus elementos aij iguales a cero se denomina matriz cero o nula y se denota como A = 0. Dos matrices A = [aij ] y B = [bij ] son iguales si son del mismo orden y además [aij ] = [bij ]. La suma de dos matrices, denotada como C = A B, s´ olo es posible si A y B son del mismo orden: C = [cij ] = A B = [aij bij ]

±

±

±

La multiplicación de dos matrices, expresada como C = AB, sólo es posible si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Si A es de orden n m y B es de orden m r, entonces C debe ser de orden n r. Los elementos de C se determinan como sigue:

×

×

×

m

cij =



aik bkj ;

i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m

k=1

Por ejemplo, la siguiente multiplicació n es válida: A2×3 B3×1 = C2×1 , tal como se observa a continuación.



a11 a12 a13 a21 a22 a23

      b11 b21 b31

=

c11 c21

=

a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 a21 b11 + a22 b21 + a23 b31



Si κ es un escalar, entonces κA resulta una matriz en donde cada elemento queda multiplicado por κ, a saber: κA = κ[aij ] = [κaij ] La multiplicación es asociativa:

ABCD = (AB)(CD) = A(BCD) = (ABC)D y distributiva: (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD Cuando AB = BA, se dice que A y B son matrices que conmutan. Sin embargo, en general, la multiplicación no es conmutativa; es decir:



AB = BA Ejemplo A.15


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165

Determinar si las matrices A y B conmutan o no.

A=



1 2 0 4 2 6

−32 −9



B=



1 2 0 4 2 6

−32 −9



Soluci´ on: Dado C = AB y D = BA, basta demostrar que C = D, tal como se ilustra en el siguiente programa.



% conmat.m CONMUTACI´ ON DE MATRICES clear all; close all; clc; A = [1 2 3;0 4 -2;2 6 -9]; B = [-1 5 0;1 4 -3;0 -6 -2]; C = A*B; % C = [1 -5 -12;4 28 -8;4 88 0] D = B*A; % D = [-1 18 -13;-5 0 22;-4 -36 30] % A Y B NO SON CONMUTATIVAS PORQUE C ES DIFERENTE DE D

Si AB = 0, implica que A = 0 o B = 0, o que A y B sean singulares. Las matrices A y B son singulares si det(A) = 0 y det(B) = 0 donde det es la operación determinante, la cual se trata más adelante. Si AB = AC, no necesariamente implica que B = C. La matriz transpuesta, denotada como AT , es la matriz A con sus filas y columnas intercambiadas. Por consiguiente: (AT )T = A;

(A + B)T = AT + BT ;

(AB)T = BT AT

√ 1 es la unidad son n´ umeros reales. − La operación

Un n´ umero complejo se designa como s = σ + jω, donde j =

de los n´ umeros imaginarios y tanto σ como ω conjugada, denotada como A∗ , toma la conjugada a todos los elementos complejos de A. Para la operación conjugada se cumple: (A∗ )∗ = A;

(A + B)∗ = A∗ + B∗ ;

(AB)∗ = A∗ B∗

La operación hermitiana de A, denotada como AH , toma la conjugada y luego la transpuesta (o toma la transpuesta y luego la conjugada) de la matriz A. Es decir:

AH = (A∗ )T = (AT )∗ Por consiguiente: (AH )H = A;

(A + B)H = AH + BH ;

(AB)H = BH AH

Si A es una matriz real; es decir, si todos sus elementos son reales, entonces A∗ = A y AH = (A∗ )T = AT .

Ejemplo A.16 Dada la matriz real A y la matriz compleja B hallar A∗ , AH , AT , BT , B∗ y BH .

A=




1 2

3

0 4 2 6

−−29

1



B=



− j j 2 − j

3

3 + j

4 6 + j

−2−+ j 9

 177/256

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166


Soluci´ on:

1

A∗ = A

BT =



1

− j

3 3 + j

AH = AT =

− −

−

BH = (BT )∗ =

A.2.2.

 

2 j j 4 6 + j 2 + j 9



2 3

B∗ =

1 + j 3 3 j

0

2



−42 −69

 −

1 + j 3 j 4 2 + j 6 j

3 j 2 j 9

− − − − −

− j 2 + j 4 6 − j − −2 − j −9





Tipos de Matrices

×

Si el orden de una matriz A es n n, entonces A es una matriz cuadrada de orden n. Esta matriz posee una diagonal principal, o simplemente una diagonal con elementos aii . La traza de una matriz cuadrada se define como: traza(A) = a11 +

··· + ann

Una matriz cuadrada se denomina matriz diagonal cuando los elementos que no pertenecen a su diagonal son todos ceros:

D = [dii ] =



d11 0 0 . . . 0 0 d22 0 . . . 0 .. .. .. .. . . . . 0 0 0 . . . dnn



Una matriz cuadrada se denomina triangular superior si los elementos debajo de su diagonal son todos ceros. Si los elementos encima de su diagonal son todos ceros, entonces la matriz es triangular inferior. La matriz identidad I, denotada también como In (n es el orden de la matriz), es una matriz diagonal que sólo posee unos. Si A es cuadrada, AI = IA. En general, se cumple que:

A es simétrica si: A es antisimétrica si: A es hermitiana si: A es antihermitiana si: A es ortogonal si: A es unitaria si: A es normal si: A es periódica si: A es nilpotente si:

−

−

1

1

A−

(A.6) AT = A T A = A (A.7) H T ∗ ∗ T (A.8) A = (A ) = (A ) = A H (A.9) A = A T T T − 1 AA = A A = I, entonces: A = A (A.10) AAH = AH A = I, entonces: AH = A−1(A.11) (A.12) AAH = AH A κ+1 A = A; κ es un entero positivo (A.13) κ (A.14) A = 0; κ es un entero positivo

es la inversa de A si: A es singular si:


A− A = I det(A) = 0

(A.15) (A.16)

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167

Una matriz compleja cuadrada A puede ser escrita como la suma de una matriz hermitiana B = 12 (A + AH ) más otra matriz antihermitiana C = 12 (A AH ). Es decir: 1 1 A = B + C = (A + AH ) + (A AH ) 2 2

−

−

Ejemplo A.17 Demostrar que B = 12 (A + AH ) y C = 12 (A AH ) son matrices hermitiana y antihermitiana respectivamente, donde A es la siguiente matriz compleja:

−



A= Soluci´ on:

AH = (A∗ )T = 1 B = (A + AH ) = 2 1 C = (A 2

A.2.3.

1 + j 2 6 + j 5



H

−A

)=





−

−

1 j 6 j 2 + j 5 + j

1 4 j 4 + j 5

−

 − j 2

− j − j



2 j



BH = (B∗ )T = B CH = (C∗ )T =

−

−C

Determinantes y Matriz Inversa

Determinantes El determinante de la matriz A = [aij ] de orden 2 es: det



a11 a12 a21 a22



= a11 a22

− a12a21

(A.17)

Para obtener el determinante de una matriz de orden n > 2 podemos emplear el método de la expansión. Si tomamos como base la primera fila, el determinante de una matriz A se obtiene de: n

( 1)1+ j a1 j det(A1 j ) = ( 1)1+1 a11 det(A11 ) + ( 1)1+2 a12 det(A12 ) +

det(A) =

−

−

j=1

−

···

donde A1 j , j = 1, . . . , n es la matriz que resulta luego de eliminar la fila 1 y la columna j de A. Por ejemplo, el determinante de una matriz de orden n = 3 se calcula como: det



a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

−

= ( 1)

a21 a23 a31 a33

( 1)1+2 a12 det

−





1+1

a11 det



a22 a23 a32 a33

−



Con relación a dos matrices cuadradas A y B de orden n:


+

a21 a22 a31 a32

+ ( 1)1+3 a13 det





(A.18)

 179/256

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168


1. Si cada elemento de una fila o columna de A es cero, entonces det(A) = 0. T

2. det(A) = det(A ). 3. Si la constante real κ multiplica una fila o una columna de A, entonces el det(A) queda multiplicado por κ. 4. Si la matriz B se obtiene intercambiando dos filas o dos columnas de A, entonces det(B) = det(A).

−

5. Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0. 6. Si sumamos un múltiplo de una fila o una columna de A a cualquiera de sus filas o columnas, el valor del det(A) no cambia. 7. det(AB) = det(BA) = det(A)det(B) 8. Si los eigenvalores de A son λ1 , λ2 , . . . , λn , luego: det(A) = λ1 λ2 . . . λn . La determinación de los eigenvalores o valores propios de una matriz se trata en la subsecci´ on A.2.4.

Matriz inversa Si A y B son dos matrices no singulares; es decir, si det(A) = 0 y det(B) = 0, entonces: (AB)−1 = B−1 A−1 ; (AT )−1 = (A−1 )T



((A∗ )T )−1 = ((A−1 )∗ )T ;

det(A−1 ) =



1 det(A)

Si A es una matriz no singular de orden 2, vale recordar que:

A=

  a b c d

;

A−1 =

1 ad



d c

− bc −

−b a



(A.19)

Del mismo modo, si A es una matriz no singular de orden 3:

  −   −   −            − A=

A−1 =

1 det(A)

e det h d det g d det g

f i f i e h



a b c d e f g h i

b det h a det g a det g

det(A) = aei + gbf + cdh

c i c i b h

b det e a det d a det d

c f c f b e

(A.20)

− gec − ahf − idb

Ejemplo A.18 Comprobar simbólicamente las fórmulas de la inversa y del determinante de A dadas en (A.20).

Soluci´ on: Ejecutar el programa matinv.m mostrado abajo.


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169

% matinv.m INVERSA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ EN FORMA SIMB ´ OLICA clear all; close all; clc; syms a b c d e f g h i % COMANDO syms GENERA S´ IMBOLOS A = [a b c;d e f;g h i]; % MATRIZ SIMB ´ OLICA invA = inv(A); pretty(invA) % DEVUELVE INVERSA DE A detA = det(A); pretty(detA) % DEVUELVE DETERMINANTE DE A % aei - a f h - i d b + d c h + g b f - g c e

La Tabla A.3 muestra los comandos para ejecutar operaciones matriciales con MATLAB.

Cantidades Complejas Sea G = Gr + jG i un n´ umero o función compleja donde

e[G] = Gr es su parte

real e m[G] = Gi es su parte imaginaria. El valor absoluto o módulo o magnitud de G se denota como G mientras que el ángulo o argumento de G se expresa como ∠ G. Luego, G se puede formular como:



| |

G = e[G] + j m[G] = G ∠ G



 



( e[G])2 + ( m[G])2

|G| =



(A.21)

| |



∠ G = arctan

  m[G] e[G]



Si G es un vector o matriz compleja con elementos complejos Gij , entonces las operaciones anteriores se ejecutan elemento por elemento; es decir: e[G] = e[Gij ];

m[G] = m[Gij ]

    G = |G|∠ G = |Gij |∠ Gij ; |G| = |Gij |;

∠ G = ∠ Gij

Ejemplo A.19 Calcular en forma gráfica y usando MATLAB el ángulo y el módulo de:

G = [ 1 j

− −

− 3 + 4 j

1

−

√

3 j] = [G11 G12 G13 ]

Soluci´ on: Los elementos de G corresponden a triángulos notables mostrados en la Fig. A.3. Ejecutando el programa trnot.m se obtiene la misma solución. 4j

5

127º

−1

1 2

−3

2

−j G 11 =

−60º

−135º

2 −135º

3 j G12 = 5 127º

G = 2 −60º 13

Fig. A.3: Triángulos notables para el problema A.19.


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170


% trnot.m N´ UMEROS COMPLEJOS clear all; close all; clc; G11 = -1-j; G12 = -3+4j; G13 = 1-sqrt(3)*j; G = [G11 G12 G13]; anguloG = angle(G)*(180/pi); % (180/pi) CONVIERTE rad A GRADOS % anguloG = [-135 126.8699 -60] moduloG = abs(G); % moduloG = [1.4142 5 2]; 1.4142 = sqrt(2)

Tabla A.3: Comandos para cómputo matricial Operación Suma Resta

C´ odigo MATLAB

A+B A B

A + B A - B

Multiplicaci´ oon Multiplicaci´ n Conjugada Transpuesta (A real) Transpuesta (A compleja) Hermitiana Potencia Determinante Inversa Divisi´ on izquierda Divisi´ on derecha

AB κA A∗ AT AT AH An det(A) A−1

A*B kappa*A conj(A) A’ conj(A’); A.’ A’ A^n det(A) inv(A) A*X = B; X = A\ B X*A = B; X = B/A

Valor absoluto ´ Angulo Parte real Parte imaginaria Traza Matriz identidad

|∠AA| e[A] m[n A]

abs(A) angle(A) real(A) imag(A) trace(A) eye(n)

−



In

i=1 aii

Ejemplo A.20 Dada la matriz cuadrada A, calcular B.

A=

B=

(A∗ + AT



− j 2 − j 4 j −2 6 − j 7 − j 1

−

3 j 3 + 5 j 8 + 3 j



− 0,7 j A3)A−1AH |A|∠ A e[A]m[A] (2 j + 1) traza(A)det(A)

1 2 (B +

Luego, comprobar que M = BH ) y N = 12 (B tiana y antihermitiana respectivamente.

− BH ) son sus matrices hermi-

Soluci´ on: El programa calmat.m calcula la matriz B pedida. Además, por ser hermitiana: M H = MH , y por ser antihermitiana: N = que M M = 0 y que N + NH = 0.

−


−NH . Entonces basta comprobar

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171

% calmat.m C´ ALCULO MATRICIAL COMPLEJO clear all; close all; clc; A = [1-j 2-j 3- j;4j -2 3+5j;6-j 7-j 8+3j]; % MATRIZ DATO B = (conj(A)+conj(A’)-0.7j*A^3)*inv(A)*A’*abs(A)* ... angle(A)*real(A)*imag(A)/((2*j+1)*trace(A)*det(A)); M = (B + B’)/2; % M ES HERMITIANA PORQUE M=M’ ´ O M-M’=0 N = (B - B’)/2; % N ES ANTIHERMITIANA PORQUE M=-M’ ´ O M+M’=0

Ejemplo A.21 Multiplicaci´ on con Partici´ o n de Matrices.– Dos matrices Anm y Bmp (los sub´ındices indican las dimensiones) pueden ser particionadas como sigue: An1 m1 A=



. Ann m1

An1 mm . Ann mm

··· ···

Bm1 p1



;

B=



. Bmm p1

Bm1 pp

··· ···

. Bmm pp



La condición necesaria para realizar el producto Cnp = Anm Bmp empleando particiones, es que las columnas de A y las filas de B sean particionadas en la misma forma. Por lo tanto, n = n1 + + n n , m = m1 + + mm y p = p 1 + + p p .

···

···

···

Ejemplo A.22 Empleando la regla descrita determinar si el producto siguiente es válido y si lo es, obtener C = AB.

AB =



A22 A23 A21 A32 A33 A31 A42 A43 A41

 

B22 B23 B32 B33 B12 B13



Soluci´ on: Podemos notar que para las filas de A: n = 2 + 3 + 4 = 9, mientras que para las columnas de A: m = 2 + 3 + 1 = 6. Del mismo modo, para las filas de B: m = 2 + 3 + 1 = 6, mientras que para las columnas de B: p = 2 + 3 = 5. Por consiguiente, la partición es correcta. La multiplicación ahora es directa: C=

 

A22 B22 + A23 B32 + A21 B12 A22 B23 + A23 B33 + A21 B13 A32 B22 + A33 B32 + A31 B12 A32 B23 + A33 B33 + A31 B13 A42 B22 + A43 B32 + A41 B12 A42 B23 + A43 B33 + A41 B13

Ejemplo A.23

 

Matriz Aumentada.– Si los vectores x, y, v y w son de orden n, m, p y q respectivamente, obtener una sola ecuación diferencial matricial que reemplace a las dos ecuaciones diferenciales siguientes: dx = x˙ = Ax + Bv; dt

dy = y˙ = Cy + Dw dt

donde ddtx = x˙ y ddty = y˙ denotan las derivadas de x e y con respecto al tiempo, respectivamente.


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172


Soluci´ on: Es importante notar que si x es de orden n, entonces A debe ser de orden n n. También, si v es de orden p, entonces B debe ser de orden n p, y as´ı sucesivamente. La ecuación pedida se muestra a continuación, donde 0 es la matriz nula. Las dimensiones de los vectores y matrices se indican con sub´ındices.

×

×

        x˙ y˙

A 0 0 C

=

x y

+

B 0 0 D

v w

x˙ n×1 = An×n xn×1 + 0n×m ym×1 + Bn× p v p×1 + 0n×q wq×1

y˙ m×1 = 0m×n xn×1 + Cm×m ym×1 + 0m× p v p×1 + Dm×q wq×1

A.2.4.

Rango, Eigenvectores y Pseudoinversas

Dependencia e Independencia de Vectores Un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los restantes. Al contrario, tal conjunto de vectores es linealmente dependiente cuando alguno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los demás.

Ejemplo A.24 Determinar si los siguientes vectores son o no linealmente dependientes.

    u=

18 28 29

  

         3 5 7

v=

w=

4 6 5

Soluci´ on: Tal conjunto de vectores es linealmente dependiente si se demuestra que existen dos constantes α y β no nulas que verifiquen: u = αv + β w; es decir: 18 28 29

=α

3 5 7

4 6 5

+ β

3α + 4β 5α + 6β 7α + 5β

=

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resulta: α = 2 y β = 3. Por lo tanto, el conjunto de vectores u, v y w son linealmente dependientes.

Ejemplo A.25 Determinar si los siguientes vectores son o no linealmente independientes.

u=

  1 2 3

v=

  3 5 7

w=

  4 6 5

Soluci´ on: Tal conjunto de vectores es linealmente independiente si se demuestra que no existen dos constantes α y β no nulas que verifiquen: u = αv + β w. Si suponemos que dichas constantes existen, entonces:

       1 2 3

=α

3 5 7

+ β

4 6 5

=

3α + 4β 5α + 6β 7α + 5β



El sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante es incompatible y sin solución. Entonces, el conjunto de vectores u, v y w es linealmente independiente.


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173

Rango de una Matriz Si una matriz orden n m, su (o rango, denotado como rango( A es m´ A), es igual al n´ umero aximo r dedesus vectores filas columnas) linealmente independientes. En cualquier matriz, el n´ umero de vectores filas linealmente independientes coincide con el n´ umero de vectores columnas linealmente independientes. Por consiguiente, el valor máximo rmax que puede tener el rango r de una matriz de orden n m es: rmax = min(n, m). Si A es una matriz cuadrada de orden n n, su rango es n siempre que A sea no singular; es decir, si det(A) = 0. En otro caso, si det(A) = 0, entonces: rango(A) < n. El rango de una matriz tambi´ en se puede determinar evaluando los determinantes de sus m´ınimos cuadrados, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.

×

×

×



Ejemplo A.26 Determinar el rango de las siguientes matrices empleando varios m´ etodos:

A=



1 2 3 3 5 7 4 6 5



B=



1 3 2 3 8 9 1 2 5



Soluci´ on: La matriz A de orden n = 3 posee rango completo (r = n = 3) por dos razones. La primera es que ningún vector fila o vector columna es una combinación lineal de las restantes. La segunda razón es que A es no singular. La matriz B de orden n = 3 posee rango r = 2, porque los dos primeros vectores filas no son linealmente dependientes, pero el tercer vector fila si lo es, debido a que es igual al segundo vector fila menos el doble del primer vector fila. Por otro lado, se puede comprobar que det(B) = 0, lo que implica que B no posee rango completo por ser singular; es decir: rango(B) < n. Los determinantes de los m´ınimos cuadrados de B son: det([1]) = 1 = 0

det



  1 3 3 8

=1=0



det



1 3 2 3 8 9 1 2 5



=0

Por consiguiente, el rango de la matriz B es r = 2 porque el determinante del segundo m´ınimo cuadrado es diferente de 0, mientras que el determinante del tercer m´ınimo cuadrado es nulo.

Propiedades del Rango Si A es una matriz de orden n

× m y B es de orden m × k, se cumple:

rango(AB) = rango(AH ) = rango(AH A) = rango(AAH ) rango(AB) = rango(AT ) = rango(AT A) = rango(AAT ) rango(AB) rango(A); rango(AB) rango(B)

≤

rango(AB) = rango(A), rango(AB) = rango(B),


≤

si A y B son no singulares si A y B son no singulares

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174


Ejemplo A.27 Sean las matrices Anm , Bmp y Cmm . Demostrar numéricamente que: rango(A)

≤

m´ın(n, m)

rango(A) = rango(AH ) rango(AB) min(rango(A),rango(B))

≤

rango(CB) = rango(B)

Soluci´ on: El siguiente programa presenta las demostraciones pedidas. % proprango.m PROPIEDADES DEL RANGO clear all A=[-1+j 3-5j -5+6j-4+2j;-2+3j -2+5j;8-9j 4-2j -1+j -4;-2+3j B=[1+j -3-5j;8+9j -4-6j;-5-6j -2+5j];4-6j -2-5j 7j]; C=[-1+j -2+j 3-j -5-7j;4-2j -1+j -4 2;4-6j -2-5j 7j -j;7j -1 9j 4j]; % DIMENSIONES DE A, B Y C SON (3,4), (2,4) Y (4,4) RESPECTIVAMENTE rA=rank(A); rAH=rank(A’); rB=rank(B); rAB = rank(A*B); rCB=rank(C*B); % rA=3=min(3,4); rAH=rA; rB=2; rAB=2=min(rA,rB); rCB=2=rB;

Eigenvalores y Eigenvectores Un eigenvalor de una matriz de orden n, conocido tambi´ en como valor propio, modo, eigenvalue, o ra´ız caracter´ıstica, es un escalar λ que permite una solución no trivial de la ecuaci´ on:

Ax = λx Factorizando x en (A.22) obtenemos la ecuación caracter´ıstica de A: det(λI

− A) = 0

(A.22)

(A.23)

Asociado con cada eigenvalor λi existe un eigenvector ei de magnitud arbitraria que es solución de (ver (A.22)): (A.24) Aei = λi ei La matriz E de eigenvectores para una matriz A de orden n toma la forma:

E=



e1

···        en

=

e11 .. . en1

Un eigenvector normalizado se define como: ei = calcula como:

e1 e1 = e1



| |

e1 =

e11 .. .

en1

... ··· ···

e1n .. .

enn



ei |ei | . Por ejemplo, el vector e1

|e1| =



e211 +



se

··· + e2n1

Ejemplo A.28


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175

Determinar los eigenvalores y eigenvectores del sistema siguiente:

       −   − x˙ 1 x˙ 2

=

1 2 4 3

x1 x2

Soluci´ on: Los eigenvalores se determinan de (A.23): det(λI

− A) = det

λ 0 0 λ

1 2 4 3

= (λ

1)(λ

− 3) − 8 = 0

−

resultando: λ1 = 1 y λ2 = 5. Los eigenvectores se calculan de (A.24) para λ 1 y λ2 : Ae1 = λ1 e1 y Ae2 = λ2 e2 , obteniéndose: 1

e1

=

λ1 Ae1

=

e11 e11

1

1 1

−  −  =

e2

e12 2e12

1 2

   √  | |  | || |

=

λ2 Ae2

=

=

donde las soluciones e11 = 1 y e12 = 1 son arbitrarias. Dado que e1 = 2 y e2 = 5, los eigenvectores normalizados resultan: e1 = e1 / e1 y e2 = e2 / e2 .

| | √

Ejemplo A.29

Determinar los eigenvalores y eigenvectores para la matriz A empleando MATLAB.

 − 

1 j

2 j 5 j

08

−6 j7 j

−3 − −3 j −−24 −−9 j j 4 4

Soluci´ on: Ejecutar el programa eig1.m.

 

% eig1.m C ´ ALCULO DE EIGENVALORES Y EIGENVECTORES clear all; close all; clc; A = [1 2j 4 -3;-j 5j -4 -3j;0 -7j -2 -j;8 6j -4 -9j]; [E,D]=eig(A); % E: MATRIZ DE EIGENVECTORES NORMALIZADOS % D: MATRIZ DIAGONAL DE EIGENVALORES

Ejemplo A.30 Si los λi son los eigenvalores de la matriz A de orden n, comprobar numéricamente: det(A) = λ1 λ2 . . . λn ;

i = 1, . . . , n

Soluci´ on: Ver el programa eig2.m. % eig2.m COMPRUEBA QUE det(A)=L(1)L(2)L(3)L(4) clear all A = [1-j 2-j 3-j -3+8j 4j -2 3+5j 4-2j 6-j 7-j 8+3j 3+j 2 -1 j 0]; L = eig(A); % DETERMINA LOS EIGENVALORES DE A detA = det(A); P = L(1)*L(2)*L(3)*L(4); % SE CUMPLE QUE: det(A) = P


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Pseudoinversas El concepto pseudoinversa de una es la generalizaci´ on de su inversaeny resulta u ´ til parade encontrar una soluci´ on enmatriz un conjunto de ecuaciones algebraicas donde el n´ umero de variables desconocidas y el n´ umero de ecuaciones linealmente independientes no son iguales. Sea la ecuación:

Ax = b donde A es una matriz de orden n m y de rango n, x es un vector de orden m y b es un vector de orden n. Se supone que n < m. La solución de tal ecuación está dada por: xo = AID b AID = AT (AAT )−1

×

ID ID = I . donde es la matriz pseudoinversa derecha (o m´ınima inversa derecha) de A que cumpleAla propiedad: AA n En forma similar, sea la ecuaci´ on: Ax = b, donde A es una matriz de orden m n y de rango m, x es un vector de orden n y b es un vector de orden m. Se supone que n > m. La solución de tal ecuación se obtiene de:

×

xo = AII b

AII = (AT A)−1 AT

donde AII es la matriz pseudoinversa izquierda (o m´ınima inversa izquierda) de A que cumple la propiedad: AII A = Im .

Ejemplo A.31 En pseudoinv.m se resuelven sistemas de ecuaciones empleando pseudoinversas. % pseudoinv.m SOLUCION DE ECUACIONES USANDO PSEUDOINVERSAS clear all; close all; clc; A = [1+i 2+3i 3-i;4-2i 5+i 6]; b = [10-i;20+3i]; % A(2,3)*x(3,1) = b(2,1) C = [1+i 1-i;1 2+3i;1 4-i]; d = [1;2-3i;3+i]; % C(3,2)*y(2,1) = d(3,1) MPID = A’*(A*A’)^(-1); % MATRIZ PSEUDOINVERSA DERECHA x = MPID*b; % VECTOR SOLUCION DE DIMENSI´ ON (3,1) MPII = (C’*C)^(-1)*C’; % MATRIZ PSEUDOINVERSA IZQUIERDA y = MPII*d; % VECTOR SOLUCION DE DIMENSI´ ON (2,1)

Ejemplo A.32 Resolver el siguiente sistema (m´ as incógnitas que ecuaciones): (5

− j)x1 + (2 + 3 j)x2 + (3 − j)x3 + (−1 + 4 j)x4 + (−6 + j)x5 4 jx 1 − 2x2 + (3 + 5 j)x3 − 7 jx 4 + (8 − 2 j)x5 (6 − j)x1 + (7 − j)x2 + (8 − 3 j)x3 + (3 − j)x4 + (1 + 4 j)x5

= 2 =

− 9 j 4 − j

= 3 + j

Soluci´ on: Ver el programa miqe.m. % miqe.m SISTEMA DE ECUACIONES: MAS INC´ OGNITAS QUE ECUACIONES clear all; close all; clc; A = [5-j 2+3j 3-j -1+4j -6+j 4j -2 3+5j -7j 8-2j 6-j 7-j 8-3j 3-j B = [2-9j;4-j;3+j]; X = A\B;


1+4j];

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Ejemplo A.33 Resolver el siguiente sistema (más ecuaciones que incógnitas): (5

− j)x1 + (2 + 3 j)x2 + (3 − j)x3 4 jx 1 − 2x2 + (3 + 5 j)x3 (6 − j)x1 + (7 − j)x2 + (8 − 3 j)x3 (−1 + 4 j)x1 + (−6 + j)x2 + (3 − j)x3 −7 jx 1 + (8 − 2 j)x2 + (1 + 4 j)x3

= 2 =

− 9 j 4 − j

= 3 + j = =

−3 + 7 j −9

Soluci´ on: Ejecutar el programa meqi.m. % meqi.m SISTEMA DE ECUACIONES: MAS ECUACIONES QUE INCOGNITAS clear all; close all; clc; A = [5-j 2+3j 3-j 4j -2 3+5j 6-j 7-j 8-3j -1+4j -6+j 3-j -7j 8-2j 1+4j]; B = [2-9j;4-j;3+j;-3+7j;-9]; X = A\B;

A.2.5.

Diagonalizaci´ on de Matrices y Formas Can´ onicas

Diagonalizaci´ on de Matrices Si A es una matriz de orden n que posee n eigenvalores distintos λ , entonces su matriz de eigenvectores E = [e1 . . . en ] es unitaria porque: EH = E−i1 . Sea Λ una matriz diagonal formada con los eigenvalores de A. Entonces se cumple:

E−1 AE = Λ =

 

λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 .. .. .. . . . 0 0 . . . λn

 

(A.25)

El proceso de diagonalización arriba mencionado permite transformar un sistema descrito por la denominada ecuación de estado (sección A.3) : dx = x˙ = Ax + Bu dt en otro sistema descrito por la ecuación: dx∗ = x˙ ∗ = A∗ x∗ + B∗ u dt donde: x = Ex∗ es una transformaci´ on lineal, A∗ = E−1 AE = Λ y B∗ = E−1 B. Esta transformación se denomina canónica. Por otro lado, si A es una matriz de orden n de rango completo que posee eingenvalores repetidos, entonces A se puede diagonalizar mediante la relación E−1 AE = Λ. Sin embargo, la matriz de eigenvectores E no es unitaria (EH = E−1 ).




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Ejemplo A.34 Hallar la transformación canónica del siguiente sistema: 2 0 1 x˙ = Ax + Bu = x+ 1 1 1

    −

−

u

Soluci´ on: Ejecutar el programa trancan.m para obtener la siguiente transformación canónica: dx∗ = x˙ ∗ = A∗ x∗ + B∗ u dt 0 x˙ ∗1 1 0 x∗1 = + u ∗ ∗ x˙ 2 0 2 x2 2

      √ 

% trancan.m TRANSFORMACI´ O N CAN´ ONICA clear all; close all; clc; A = [2 0;-1 1]; B = [1;-1]; [E,D]=eig(A); % E=[e1 e2]: MATRIZ DE EIGENVECTORES % EIGENVALORES: D = diag(1, 2) Aast=inv(E)*A*E; Bast=inv(E)*B; % Aast=[1 0;0 2]; Bast=[0;1.4142};

Ejemplo A.35 En el programa siguiente se diagonalizan varias matrices de rango completo. % diagmat.m DIAGONALIZACION DE MATRICES DE RANGO COMPLETO clear all; close all; clc; A1 = [2 2 -1;2 3 0;-1 0 2]; n1 = 3; % rank(A1) = 3 (RANGO COMPLETO) [E1,D1] = eig(A1); DD1=inv(E1)*A1*E1; % D1=DD1=diag(4.7093,2.1939,0.0968), RA ´ ICES NO REPETIDAS => inv(E1)=E1’ A2 = [-2 -1 -1 -1 2;1 3 1 1 -1;-1 -4 -2 -1 1;-1 -4 -1 -2 1;... -2 -2 -2 -2 3]; n2 = 5; % rank(A2) = 5 (RANGO COMPLETO) [E2,D2] = eig(A2); DD2=inv(E2)*A2*E2; % D2 = DD2 = diag(-1,1.5+0.866i,1.5-0.866i,-1,-1) % DOS RA´ ICES REPETIDAS => inv(E2) ~= E2’ A3 = [-2 3 3 -1 -6 -2;1 0 -1 0 2 1;1 -2 0 1 2 0;1 1 -1 -1 2 1;... 1 -2 -1 1 3 1;1 0 -1 0 2 0]; n3 = 6; % rank(A3)=6 (RANGO COMPLETO) [E3,D3] = eig(A3); DD3=inv(E3)*A3*E3; % D3 = diag(-1,-1,1,1,1,-1), TRES RA´ ICES REPETIDAS => inv(E3) ~= E3’

A.3.

Variables de Estado

A.3.1.

Ejemplo de Introducci´ on

El siguiente ejemplo sirve para introducir el concepto de variable de estado. La Fig. A.4 muestra el sistema tanque con agua, donde el volumen de agua acumulado se modela como: dh dh S = S h˙ = qi qo h˙ = (A.26) dt dt donde S es la sección uniforme del tanque, h es el nivel del liquido, q1 es el flujo de entrada y qo es el flujo de salida. Considerando que el flujo de salida qo es laminar:

−

qo = h Rh


(A.27)

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A.3 Variables de Estado

179

qi

A

h

 

qo

Sensor de presión



Fig. A.4: Sistema tanque con agua.

donde Rh es la resistencia hidráulica, la cual se calcula de la relación: Rh =

H Q

(A.28)

donde H y Q son los valores estacionarios de h y qo , respectivamente. Despejando h˙ de (A.26) se obtiene la ecuación de estado del sistema, la cual es una ecuación diferencial de primer orden de la forma: 1

h˙ =

h+

1

qi

x˙ = A x + B u

(A.29)

S donde x = h es la variable de estado del sistema, u = qi es la variable de entrada, A = SR1 h es la matriz de estado del sistema (en este caso una matriz de orden uno) 1 y B = S es la matriz de distribución de orden uno. La ecuación de salida del proceso toma la forma: y = Cx = [1]x (A.30)

−

SR h

−

donde y es la salida y C es la matriz de salida. Sabiendo que L[ ] es el operador de Laplace, entonces: L[u] = U (s), L[x] = X (s) = Y (s), L[qi ] = Qi (s) y L[x] ˙ = L[y] ˙ = s[Y (s) y(0)], la FT del sistema con y(0) = 0 resulta de (A.29):

−

Y (s) R = Qi (s) SR h sh+ 1

(A.31)

donde el producto SR h es la constante de tiempo del sistema nivel. Por consiguiente, la FT y las ecuaciones de estado y de salida de un determinado sistema SISO (de una entrada y una salida), son dos formas de describir la dinámica del sistema. Sin embargo, la representación en el espacio de estado (variables de estado más ecuaciones de estado y de salida), es general porque se puede aplicar también a sistemas no lineales como se verá oportunamente. En cambio, la FT sólo es aplicable a sistemas lineales. Para sistemas MIMO lineales y con parámetros invariantes con el tiempo, las ecuaciones de estado y de salida toman la forma:

x˙ = Ax + Bu


y = Cx + Du

(A.32)

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180


donde los ordenes de los vectores y matrices se ilustran en la siguiente relación:

x˙ n×1 = An×n xn×1 + Bn×m um×1

A.3.2.

y p×1 = C p×n xn×1 + D p×m um×1

Definici´ on de Variables de Estado

El vector de estado x = [x1 . . . xn ]T de un sistema (donde el super´ındice T indica transpuesta) es el m´ınimo conjunto de variables, las variables de estado x1 . . . xn , las cuales contienen información suficiente acerca de la historia pasada del sistema. Esta información permite computar todos los futuros estados del sistema, asumiendo por supuesto, que todas las futuras entradas u son tambi´ en conocidas, como del mismo modo lo son las ecuaciones dinámicas que describen dicho sistema. El número n de variables de estado (el número de ecuaciones diferenciales de primer orden) define el orden la dimensi´ on del es sistema. El oespacio de estado el espacio n-dimensional de todos los estados. Cuando el sistema es de orden n = 2, el espacio de estado es conocido como el plano de fase con coordenadas x1 y x2 . Los puntos de equilibrio o puntos singulares en el espacio de estado de un sistema no forzado; es decir, cuando u = 0, se definen como los puntos en donde los estados del sistema permanecen por siempre. Esto implica, en un caso general, resolver la ecuación x˙ = 0 cuando u = 0. Para sistemas lineales, el punto de equilibrio es siempre el origen 0 porque x˙ = Ax = 0 implica que xe = 0, donde el super´ındice e indica equilibrio.

Ejemplo A.36 La Fig. A.5 muestra un sistema masa–resorte compuesto por una masa M unida a un resorte de constante K . Determinar anal´ıtica y gráficamente su plano de fase mostrando las correspondientes trayectorias de estado y sus puntos de equilibrio. Notar que el sistema masa–resorte es no forzado porque no existe fuerza exterior alguna actuando sobre el mismo.

z K=1

z

M=1

0

Fig. A.5: Sistema mecánico masa–resorte.

Soluci´ on: El sistema masa–resorte está gobernado por la siguiente ecuación diferencial lineal de segundo orden: M ¨ z + Kz = 0 (A.33) Como el sistema es de orden dos, seleccionemos como variables de estado x 1 = z y x2 = z. ˙ Este modelo dinámico con M = K = 1 produce dos ecuaciones de estado y una ecuaci´ on de salida: x˙ 1 = x2


x˙ 2 =

−x1

y = x1

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181

Por consiguiente, las ecuaciones de estado y salida del sistema masa–resorte son:

x˙ =

x˙ = Ax x1 x= x2

 

 

x˙ 1 x˙ 2

y = Cx 0 1 A= 1 0

 

C=

−

  1 0

Asumamos que estiramos el resorte hasta que M se encuentre en la posición inicial z0 . Luego soltamos el resorte, lo cual produce un movimiento oscilatorio que puede modelarse como z(t) = z0 cost. Es fácil comprobar que la solución z(t) = z0 cost verifica el modelo dinámico dado en (A.33). Usando las variables de estado definidas anteriormente resulta: x1 (t) = z0 cos t

x2 (t) =

−z0sent

Elevando al cuadrado y sumando se obtiene: x21 + x22 = z02 (cos2 t + sen2 t) = z02 La última ecuación representa un c´ırculo de radio z0 . Por consiguiente, las trayectorias de estado en el plano de fase x1 versus x2 son c´ırculos cuyos radios dependen de la posición inicial de reposo z0 . tales trayectorias se muestran en la Fig. A.6. Para obtener dichas trayectorias de fase, ejecutar el programa pfl.m. Los eigenvalores del sistema masa–resorte se determinan de: det(λI

  1 λ

− A) = det −λ1

= λ2 + 1 = 0

Por lo tanto: λ1 = i, λ2 = i, ambas ra´ıces imaginarias, lo cual nos informa del carácter oscilante de la respuesta del sistema, tal como se discute en la siguiente secci´ on. El u ´ nico punto de equilibrio xe = 0 del sistema se determina de:

−

e

e

x˙ = Ax = 0

e

x =

  xe1 xe2

=

0 0

% C2pfl.m PLANO DE FASE EN UN SISTEMA LINEAL clear all; close all; clc; g = inline(’[x(2);-x(1)]’,’t’,’x’); % MODELO MATEM ´ ATICO vectfield(g,-1:0.2:1,-1:0.2:1) % RANGOS DE LOS EJES HORIZONTAL Y VERTICAL hold on for x20=-1:0.2:1 % SIMULACI´ ON PARA ESTAS CONDICIONES INICIALES DE y(2) [ts,xs]=ode45(g,[0,10],[0;x20]); % [0,10]: SIMULACI ´ ON DE 0 A 10 s plot(xs(:,1),xs(:,2)); grid; end hold off, ylabel(’x2(t)’), xlabel(’x1(t)’), title(’PLANO DE FASE x2(t) VS x1(t)’), print -deps -f C2pfl

A.3.3.

Matriz de Transferencia y Estabilidad

Las ecuaciones de estado y de salida multivariables de un Sistema Lineal e Invariante con el Tiempo (SLIT) sujeto a los vectores de disturbio v en los estados y w en las salidas, los cuales se asumen conocidos, se representan como:

x˙ = Ax + Bu + Ev y = Cx + Du + Fw


(A.34)

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Matem´ atica para Sistemas Continuos PLANO DE FASE x1 VS x2

1 0.8 0.6 0.4 2 0.2 x D A D I 0 C O L E V−0.2

−0.4 −0.6 −0.8 −1 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0 0.2 POSICIÓN x1

0.4

0.6

0.8

1

Fig. A.6: Plano de fase mostrando las trayectorias de estado (Ejemplo A.36). Donde E y F son matrices disturbio tambi´ en conocidas. El sistema es invariante con el tiempo porque todas sus matrices son constantes. Si v y/o w fueran vectores estimados o estad´ısticos, entonces el SLIT en cuesti´ on ser´ıa estocástico. El sistema SLIT libre de disturbios se determina haciendo v = w = 0 en (A.34):

x˙ = Ax + Bu y = Cx + Du

(A.35)

La matriz de transferencia (MT) del sistema SLIT se halla aplicando la transformada de Laplace en (A.35) con x(0) = y(0) = 0 (condiciones iniciales nulas): sX(s) = AX(s) + BU(s)

Y(s) = CX(s) + DU(s)

(A.36)

Despejamos X(s) de la primera relación de (A.36) y la reemplazamos en la segunda relación. El resultado es:

Y(s) = [C(sI

− A)−1B + D]U(s) = G(s)u(s)

(A.37)

donde s es la variable laplaciana, I es la matriz identidad y G(s) es la MT:

G(s) = C(sI

− A)−1B + D

Ejemplo A.37 Determine la MT del sistema siguiente, empleando matemática simbólica: x˙ 1 =

x1 + x2 + 2u1

−


y1 = x1

u2

−−5u2

x˙ 2 = 2x1 y2 =

3x2 + u1

−x2 −− 3u1

2u2

−

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Soluci´ on: Las ecuaciones de estado y de salida correspondientes son: x˙ = Ax + Bu

x=

A=

y = Cx + Du

      −   −     −  − − − −   − −  −  1 2

1 3

;

x1 x2

B=

;

2 1

y1 y2

y= 1 2

;

;

C=

u1 u2

u=

1 0

0 1

;

D=

0 3

5 0

El programa mtrans.m determina la MT pedida. El resultado es:

G(s) = C(sI

A)−1 B + D =

2s+7 s2 +4s+1

5s2 +21s+10 s2 +4s+1

3s2 +13s+8 s2 +4s+1

2s+4 s2 +4s+1

% mtransf.m C ´ ALCULO DE LA MATRIZ DE TRANSFERENCIA clear all; close all; clc; syms s; A=[-1 1;2 -3]; B=[2 -1;1 -2]; C=[1 0;0 -1]; D=[0 -5;-3 0]; I = [1 0;0 1]; G = C*inv(s*I-A)*B + D; pretty(simplify(G))

Estabilidad Cuando las se˜ nales y y u son unidimensionales, la ecuación (A.37) se convierte en la FT del sistema SLIT y se puede representar como la relación entre dos polinomios

A(s) y B(s) como sigue:

y(s) = G(s) = [C(sI u(s)

− A)−1B + D] = AB(s) (s)

(A.38)

En general, la ecuaci´ on caracter´ıstica del sistema SLIT (ecuación (A.35)) se obtiene de: (s) = det(sI A) = 0 (A.39)

A

−

Las ra´ıces de (A.39) son los eigenvalores de la matriz de estado A, tal como se trató en (A.23). Los eigenvalores de un sistema SLIT determinan la estabilidad del sistema alrededor de un punto de equilibrio xe en el espacio de estado como sigue: El sistema SLIT no forzado x˙ = Ax (ecuaci´ on (A.35) con u = 0 es estable, siempre que todos sus eigenvalores (ra´ıces de (A.39)) posean parte real negativa. Cuando al menos uno de tales eigenvalores posea parte real positiva o cero, entonces el sistema es inestable. Notar que todas las funciones de transferencia de la matriz G del ejemplo A.37 poseen un mismo denominador com´ un: el polinomio (s) = s2 +4s+1. Este polinomio es también la ecuación caracter´ıstica del sistema multivariable, siendo sus eigenvalores s1 = –3.7321 y s2 = –0.2679. Por consiguiente, tal sistema es estable. El sistema no forzado x˙ = Ax posee un solo punto de equilibrio: el origen, debido

A

e

a que la solución de x˙ = Ax = 0 es x = 0. Por consiguiente, un SLIT no forzado es estable, cuando el estado x del sistema tiende al estado de equilibrio xe = 0


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para cualquier estado inicial finito x(t0 ), donde t0 es el tiempo inicial. Por ejemplo, el sistema de primer orden x˙ = a x donde a > 0, es inestable porque su solución x(t) = x(0)eat no tiende al estado de equilibrio xe = 0 cuando t para cualquier estado inicial x(0).

→∞

Tipos de Puntos Singulares en SLITs de 2do Orden Un SLIT de orden dos no forzado se describe mediante la siguiente ecuación matricial: x˙ 1 a11 a12 x1 = Ax = x˙ = x˙ 2 a21 a22 x2

 



 

Para este sistema, el u ´ nico punto singular o de equilibrio es xe = 0 (el origen). Los dos eigenvalores λ1 y λ2 de la matriz de estado A se determinan de su ecuación caracter´ıstica: det(λI A) = 0. Dependiendo de la ubicación de los eigenvalores λ1 = σ1 + jω 1 y λ2 = σ2 + jω 2 en el plano σ versus jω, el punto de equilibrio correspondiente presenta ciertas caracter´ısticas, tal como se ilustra en la Fig. A.7, en donde los puntos negros sobre los gráficos jω versus σ representan tales eigenvalores. Por ejemplo, si λ1 < 0 y λ2 > 0 (caso (c)), las trayectorias en el plano de fase forman una figura denominada silla de montar. El punto singular silla de montar es inestable debido a la presencia del eigenvalor positivo. El caso (f ), analizado tambi´ en en el ejemplo A.36, corresponde a un sistema oscilante porque los eigenvalores son imaginarios puros. Las trayectorias de estado en este caso forman un punto centro.

−

A.3.4. Controlabilidad y Observabilidad Controlabilidad Completa Se dice que un SLIT continuo es controlable si es que existe un vector u(t) de orden m realizable y capaz de trasladar el estado x(t) de orden n del sistema, desde un estado inicial x(t0 ) hacia cualquier estado final x(tN ) en un tiempo finito tN . Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es completamente controlable o que posee controlabilidad completa. Sin demostración se establece que en general, para que el sistema x˙ = Ax + Bu sea completamente controlable, la siguiente matriz M de orden n nm:

×

M=



B AB

···

An−1 B



(A.40)

denominada matriz de controlabilidad, debe ser de rango n. Para ahondar un poco en el tema de controlabilidad, a continuación se analiza un caso especial.

Caso Especial: Eigenvalores de A no se Repiten Si los eigenvalores de A son distintos, entonces reemplazando la transformación lineal x = Ex∗ en x˙ = Ax + Bu, donde E es la matriz de vectores propios (ver subsecci´ on A.2.5), y despejando x∗ se obtiene: 1

x˙ ∗

=

1

E− AEx∗ + E− Bu = Λx∗ + B∗ u


(A.41)

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185

jω

jω

x2

x2

x1

σ

x1

σ

λ1 λ 2

λ1 λ 2 (b)

(a) jω

x2

jω

λ1

λ1

x1

σ

x2

x1

σ

λ2 λ2 (c)

jω

λ1

(d) jω

x2

x2

λ1 x1

σ

x1

σ λ2

λ2

(f) (e)

Fig. A.7: Tipos de puntos singulares en un sistema lineal de segundo orden: (a) nodo estable, (b) nodo inestable, (c) punto silla de montar, (d) foco estable, (e) foco inestable, (f) punto centro.

 

x˙ ∗1 x˙ ∗2 .. . x˙ ∗n

 

=

 

λ1

0 λ2 ..

0

. λn

   

x∗1 x∗2 .. . x∗n

 

+

 

b∗11 b∗21 .. .

b∗12 b∗22 .. .

··· ···

b∗1m b∗2m .. .

b∗n1 b∗n2

···

b∗nm

.. .

   

u1 u2 .. . um

 

De la ecuación (A.41) podemos aseverar que para controlabilidad completa, ninguna fila de B∗ = E−1 B debe de ser nula. Si por ejemplo, la variable de estado x2 (la cual está asociada a x∗2 y al eigenvalor λ2 ) es no controlable, entonces la segunda fila de

B∗ tiene que ser nula. Si este es el caso, de la ecuación (A.41) se obtiene: x˙ ∗2 = λ2 x∗2 + 0u1 + 0u2 +

··· + 0um

de donde claramente se observa que ninguna fuerza de control está actuando sobre la variable x∗2 .

Controlabilidad Completa a la Salida El sistema SLIT descrito en (A.44) con dimensiones Ann , Bnm , C pn y D pm es completamente controlable en la salida si el rango de la siguiente matriz de orden p (n + 1)m iguala al orden p del vector de salida y del sistema:

×


[CB CAB CA2 B

···

CAn−1 B D]

(A.42)

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Observar que (A.42) requiere la presencia del término Du en la ecuación de salida dada en (A.35).

Ejemplo A.38 En el programa cont1.m se determina la controlabilidad completa y de la salida de un SLIT con ecuación de estado x˙ = Ax + Bu y ecuación de salida y = Cx + Du. % cont1.m CONTROLABILIDAD COMPLETA DE UN SLIT clear all; close all;clc; A = [2 2 -1;2 3 0;-1 0 2]; B = [0 2;-1 0;2 1]; C = [1 0 1;-2 3 0]; D = [1 -1;0 3]; % n = 3; p = 2; M = ctrb(A,B); % M = [A A*B A^2*B]: MATRIZ DE CONTROLABILIDAD rankM = rank(M); % rankM = 3 = n => SISTEMA COMPLETAMENTE CONTROLABLE CS = [C*B C*A*B C*A^2*B D]; rankCS = rank(CS); % rankCS = p = 2 => SISTEMA COMPLETAMENTE CONTROLABLE A LA SALIDA

Observabilidad Completa Un sistema SLIT es completamente observable si algún estado x(t), incluyendo el estado inicial x(t0 ), se puede determinar partiendo de la observación de la salida y(t) en un tiempo finito t0 t t1 . La observabilidad completa en un sistema es de suma importancia porque permite reconstruir las variables de estado no medibles partiendo del vector medible y(t). Sin demostración se establece la condición de estabilidad completa. Para que un sistema sea completamente observable, es necesario que el rango de la denominada matriz de observabilidad N de dimensión np p :

≤ ≤

×

N=

 

C CA .. . CAn−1

   =

CH AH CH

···

(AH )n−1 CH



H

(A.43)

posea rango n (rango completo). En (A.43), el super´ındice H indica operación hermitiana. Se sabe que si todas las matrices son reales, entonces la operación hermitiana se reemplaza por la operción transpuesta. Si existe una transformación lineal x = Ex∗ de modo tal que E−1 AE = Λ, donde Λ es la matriz diagonal cuyos elementos λi son los eigenvalores de A, entonces (??) toma la forma:

x∗ = eΛt x∗ (t0 )

x˙ ∗ = E−1 AEx∗ = Λx∗

Luego:

y = CEx∗ = CEeΛt x∗ (t0 ) = CE

 

eλ1 t

0 eλ2 t ..

0

. eλn t

   

x∗1 (t0 ) x∗2 (t0 ) .. . x∗n (t0 )

 

Entonces, para que el sistema SLIT sea completamente observable, ninguna de las columnas de la matriz CE de orden p n debe de ser nula. Si alguna columna i fuera

×

nula, entonces no se podr´ıa reconstruir completamente el vector de estado x, lo que se contrapone a la definición de observabilidad completa.


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187

Ejemplo A.39 En el programa observ1.m se determina la observabilidad completa de varios SLITs. % observ1.m OBSERVABILIDAD COMPLETA DE SLITs clear all; close all; clc; A1 = [2 0 0;0 2 0;0 3 1]; B1 = [0 1;1 0;0 1]; C1 = [1 2 1;2 0 3]; n1 = 3; [E1,D1] = eig(A1); DD1 = inv(E1)*A1*E1; % D1 = diag(2,1,2) N1 = obsv(A1,C1); % RETORNA MATRIZ DE OBSERVABILIDAD [C1; C1*A1; C1*A1^2] rankN1=rank(N1); % rankN1=3=n1 => SISTEMA COMPLETAMENTE OBSERVABLE A2 = [-1 1 -1;0 1 -4;0 1 -3]; B2 = [0 2 1]; C2 = [0 1 -1]; n2 = 3; [E2,D2] = eig(A2); DD2 = inv(E2)*A2*E2; % D2 = diag(-1,-1,-1) N2 = obsv(A2,C2); % RETORNA MATRIZ DE OBSERVABILIDAD [C2; C2*A2; C2*A2^2] rankN2=rank(N2); % rankN2=2 SISTEMA NO ES COMPLETAMENTE OBSERVABLE A3 = [2 2 -1;2 3 0;-1 0 2]; B3 = [0 1;1 0;0 1]; C3 = [1 2 1;2 0 3]; n3=3; [E3,D3] = eig(A3); DD3 = inv(E3)*A3*E3; % D3 = diag(0.0968,2.1939,4.7093) N3 = obsv(A3,C3); % RETORNA MATRIZ DE OBSERVABILIDAD [C3; C3*A3; C3*A3^2] rankN3=rank(N3); % rankN3=3=n3 => SISTEMA COMPLETAMENTE OBSERVABLE

A.3.5.

Soluci´ on de la Ecuaci´ on de Estado de SLITs Continuos

En la subsección A.3.3, ecuaci´ on (A.35), vimos que la dinámica linealizada de un sistema (sin la presencia de disturbios) se representa en el espacio de estado mediante sus ecuaciones de estado y de salida:

x˙ = Ax + Bu;

y = Cx + Du

(A.44)

La solución de la ecuación de estado anterior, dado un estado inicial x(t0 ), es:

x(t) = eA(t−t0 ) x(t0 ) +

  t

eA(t−τ ) Bu(τ )dτ

t0

t

= Φ(t

− t0)x(t0) +

Φ(t

t0

− τ )Bu(τ )dτ

(A.45)

donde:

−

Φ(t t0 ) = e

A(t t0 )

−

=

∞ Aν (t − t )ν 0



−

= I + A(t t0 )+

ν !

ν =0

A2 (t

− t0)2 + A3(t − t0)3 +···

2!

3!

(A.46) es la matriz de transición o exponencial. La derivada total de eA(t−t0 ) resulta: deA(t−t0 ) dt

3

= A



2

− to) + A (t2!− to) + ··· A2 (t − t0 )2 + + ··· I + A(t − t0 ) + 2!

= A + A2 (t

= AeA(t−t0 ) = eA(t−t0 ) A



(A.47)

Derivando ahora (A.45) con respecto al tiempo t se obtiene: A(t t0 )

x˙ = Ae

− x(t0 ) +

   t

d At e dt

t0

t

= AeA(t−t0 ) x(t0 ) + AeAt


t0



e−Aτ Bu(τ )dτ

e−Aτ Bu(τ )dτ + eAt e−At Bu = Ax + Bu

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188


De esta forma se demuestra que (A.45) es la solución de la ecuación de estado (A.44). La representación de la ecuación de estado en el dominio laplaciano toma la forma: sx(s)

− x(t0)

= Ax(s) + Bu(s)

x(s) = (sI A)−1 x(t0 ) + (sI A)−1 Bu(s) = Φ(s)x(t0 ) + Φ(s)Bu(s)

−

y(s) = Cx(s) + Du(s) = C(sI

−

(A.48)

− A)−1x(t0) + [C(sI − A)−1B + D]u(s)

(A.49)

Comparando (A.48) con (A.45) podemos afirmar que:

Φ(t

A(t t0 )

− t0 ) = e

−

= L−1 [(sI

− A)−1]

(A.50)

La matriz Φ(t t0 ) se denomina la matriz de transición. Para incluir el tiempo inicial t0 , las integraciones en L−1 [(sI A)−1 ] se deben de hacer de t0 a t. La matriz de transferencia definida en (A.37) tambi´ en se obtiene haciendo x(t0 ) = 0 en (A.49).

−

−

Ejemplo A.40 Graficar la respuesta x(t) del sistema: x˙ = tiene la forma mostrada en la Fig. A.8.

−2x + 5u con x(0) = 3. La entrada u(t)

u(t)

1

t 0

1

2

3

4

Fig. A.8: Entrada u(t) para el ejemplo A.40.

Soluci´ on: Emplearemos la solució n dada en (A.45) con A = 0 t 1, u(t) = 0, t0 = 0 y x(t0 ) = 3. Luego:

≤ ≤

x(t) = 3e−2t ;

−2 y B

= 5. Para

x(1) = 3e−2

≤ t ≤ 3, u(t) = 3−2 t , t0 = 1 y x(t0) = x(1). Luego: t 3 − τ 5 x(t) = 3e−2 e−2(t−1) + e−2(t−τ ) 5 dτ = 3e−2t + e−2t

Para 1

 1

5 x(t) = 3e−2t + [7 8 Para t

2

− t − 6e2(1−t)];

8



7e2τ

5 x(3) = 3e−6 + (4 8



− e2τ τ τ τ ==t1

− 6e−4)

≥ 3 , u(t) = 0, t0 = 3 y x(t0) = x(3). Luego: x(t) = x(3)e−2(t−3)

El gráfico de x(t), obtenido con el programa C2rpta.m se muestra en la Fig. A.9.


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189

3

2.5

2 ) t ( x A T S E1.5 U P S E R

1

0.5

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TIEMPO EN SEGUNDOS

Fig. A.9: Respuesta x(t) de un SLIT de primer orden a una entrada arbitraria u(t).

% C2rpta.m RESPUESTA DE UN SLIT A UNA ENTRADA ARBITRARIA clear all; close all; clc; x_3 = 3*exp(-6)+5*(4-6*exp(-4))/8; k=1; T=10; for t=0:0.01:T x(k)=3*exp(-2*t); if t>1; x(k)= 3*exp(-2*t)+5*(7-t-6*exp(2-2*t))/8; end if t>3; x(k)= x_3*exp(-2*(t-3)); end k=k+1; end ejex = linspace(0,T,T/0.01); plot(ejex,x(1:T/0.01)); grid ylabel(’RESPUESTA x(t)’); xlabel(’TIEMPO [s]’); print -deps -f rptarb

Ejemplo A.41 Dado u(t) = 3e−t , determinar la respuesta de un sistema descrito por las siguientes ecuaciones de estado y de salida: x˙1 = 7x1 + x2 + 2u; x˙2 = 12x1 u y = 3x1 4x2 2u Condiciones iniciales: x1 (0) = 6, x2 (0) = 1. Graficar la respuesta y(t) y compararla con las respuestas obtenidas mediante discretización para los tiempos de muestreo de 0.1 s y 0.04 s.

−

−

−

−

−

−

Soluci´ on: Es fácil determinar que las ecuaciones de estado y de salida del sistema poseen la forma x˙ = Ax + Bu y y = Cx + Du respectivamente, donde:

−    − −  − − −  7 1 12 0

A=

C=


3

4

;

;

B=

D = [ 2];

2 1

x(0) =

6 1

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190


Seg´ un la Tabla A.1: u(s) = L[3e−t ] = 3/(s + 1). Luego, x(s) (ecuaci´ on (A.48)) e y(s) (ecuación (A.49)) toman la forma:



x(s) =

s+7 12

−1 s

1 s2 + 7s + 12

=



=

 −   −      −   −  − − −1

6 1

+

s 1 12 s + 7

s+7 12

6 1

1 s

−1

+

2 1

u(s)

3 s+1

2 1

6s2 +s 2 (s+1)(s+3)(s+4) s2 +77s 14 (s+1)(s+3)(s+4)

−

− −

6s2 +s 2

y(s) = Cx(s) + Du(s) =

 −  3

4

(s+1)(s+3)(s+4) s2 +77s 14 (s+1)(s+3)(s+4)

−

−−

−   2

31 s+

−22s2 − 305s + 50 − 6 = 297/6 + −767/2 + 918/3 (s + 1)(s + 3)(s + 4) s + 1 s+1 s+3 s+4 297 −t −767 −3t 918 −4t e + e + e , t≥0

= y(t) =

6

2

3

Las respuestas mostradas en la Fig. A.10 se realizaron con el programa crpta.m. Notar que se emplea la siguiente aproximación de la derivada:

x(k + 1) x˙ = T

∼

x(k)

−

= Ax + Bu

→ x = x + T (Ax + Bu) ≤

donde T es el tiempo de muestreo y k = t/T es el tiempo discreto. Para T 0.04 s, las respuestas y(t) e y(kT ) prácticamente coinciden. Conforme T aumenta (por ejemplo para T = 0.1 s), la diferencia entre y(t) e y(kT ) es más notoria, lo cual nos indica que los sistemas muestreados dependen de T . Se deja como ejercicio resolver este ejemplo usando MATLAB. % crpta.m COMPARACI´ ON DE RESPUESTAS PARA DIFERENTES TIEMPOS DE MUESTREO clear all; close all; clc; A = [-7 1;-12 0]; B = [2;-1]; Cc = [3 -4]; Dc = [-2]; x = [-6;1]; T1=0.1; T2=0.04; % CONDICION INICIAL Y TIEMPOS DE MUESTREO for k = 1:100 u(k) = 3*exp(-k*T1); x = x + T1*(A*x + B*u(k)); y1(k) = Cc*x + Dc*u(k); end for k = 1:250 u(k) = 3*exp(-k*T2); x = x + T2*(A*x + B*u(k)); y2(k) = Cc*x + Dc*u(k); end t = 0:0.1:10; y = 297*exp(-t)/6 - 767*exp(-3*t)/2 + 918*exp(-4*t)/3; % GR´ AFICOS t=linspace(0,10,101); t1=linspace(0,10,100); t2=linspace(0,10,250); plot(t,y,t1,y1,’--’,t2,y2,’:’); grid ylabel(’RESPUESTAS ’); xlabel(’TIEMPO [s]’); print -deps -f crpta

Ejemplo A.42


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191

20 T1 = 0.1 s 10

0 T2 = 0.04 s

S A T −10 S E U P S−20 E R

y(t)

−30

−40

−50

0

2

4

6

8

10

TIEMPO [s]

Fig. A.10: Respuestas para el ejemplo A.41. En el ejemplo anterior sean u1 (t) = 3e−t , u2 (t) = 2u1 (t) y u3 (t) = u1 (t) + u2 (t) y sean las salidas respectivas y1 (t), y2 (t) e y3 (t). El programa C2prosup.m demuestra gráficamente (ver figura A.11) los principios de proporcionalidad: y2 (t) = 2y1 (t), y de superposici´ on: y3 (t) = y1 (t) + y2 (t). % C2prosup.m PRINCIPIOS DE PROPORCIONALIDAD Y SUPERPOSICI´ ON clear all; close all; clc; A = [-7 1;-12 0]; B = [2;-1]; Cc = [3 -4]; Dc = [-2]; T = 0.04; M = 100; x1 = [0;0]; x2 = x1; x3 = x1; for k= 1:M u1(k)=3; x1 = x1 + T*(A*x1 + B*u1(k)); y1(k) = Cc*x1 + Dc*u1(k); u2(k)=2*u1(k); x2 = x2 + T*(A*x2 + B*u2(k)); y2(k) = Cc*x2 + Dc*u2(k); u3(k)=u1(k)+u2(k); x3 = x3 + T*(A*x3 + B*u3(k)); y3(k) = Cc*x3 + Dc*u3(k); end t=linspace(0,M*T,M); plot(t,y1,t,y2,’--’,t,y3,’:’); grid ylabel(’RESPUESTAS’), xlabel(’TIEMPO

[s]’), print -deps -f C2prosup

Ejemplo A.43 En el sistema de la Fig. A.12 ya se han definido las variables de estado xi del sistema, las cuales se han fijado a la salida de cada bloque de primer orden. Para este sistema: (a) Determinar su ecuación de estado y su ecuación de salida. (b) Hallar su matriz de transferencia. (c) Determinar si el sistema es estable. (d) Hallar la controlabilidad completa, la controlabilidad completa en la salida y la observabilidad completa del sistema. (e) Usar (A.50) para determinar su matriz de transición con t 0 = 0. (f) Determinar y(t) para x(t0 ) = 0 usando (A.49). (g) Graficar las respuestas y1 (t) e y2 (t) a entradas tipo escalón unitario.


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192


80 70

y3 = y1 + y2

60 50 S A T S E U P S E R

y2 = 2y1 40 30 20

y1

10 0 −10 −20

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

TIEMPO [s]

Fig. A.11: Respuestas de un sistema lineal a entradas arbitrarias. Observar que y2 (t) = 2y1 (t) (proporcionalidad) e y3 (t) = y1 (t) + y2 (t) (superposici´ on) x1

1 s+1

u1

4 s+4

x2

2

u

2 s+2 5 s+5

u3

3 s+3

x4

y1

x5

y2

x3

Fig. A.12: Sistema del ejemplo A.43

Soluci´ on: (a) Del diagrama de bloques se puede comprobar que las salidas y e y 1 2 poseen las expresiones: y1 = x2 + x3 + x4

− x5 + u3

y2 = x1

− x2 + x5 + u2

(A.51)

Operando en el bloque que tiene como salida la variable de estado x1 , se obtiene: x1 =

1 (u1 s+1

− y1 ) →

(s + 1)x1 = x˙ 1 + x1 = u1

− y1

Reemplazando y1 de (A.51) en la u ´ ltima expresión, se obtiene: x˙ 1 =

−x1 − x2 − x3 − x4 + x5 − u3

(A.52)

Operando del mismo modo con los otros bloques resultan: (s + 2)x2 = 2(u2


− x2) →

x˙ 2 =

−4x2 + 2u2

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A.3 Variables de Estado (s + 3)x3 = 3(u3

193

− x5 ) →

(s + 4)x4 = 4(x1 + u2

−3x3 − 3x5 + 3u3

x˙ 3 =

x2 )

x˙ 4 = 4x1

5(x2 + u3 − − x3 + x→ → 3)

(s + 5)x5 =

4x2

4x4 + 4u2

x˙ 5 =−5x2 −−5x5 + 5x3

(A.53)

Las ecuaciones en (A.52) y (A.53) forman la ecuación de estado x˙ = Ax + Bu mientras que las ecuaciones en (A.51) forman la ecuación de salida y = Cx + Du, tal como se muestra a continuación.

  

 −    

x˙ 1 x˙ 2 x˙ 3 x˙ 4 x˙ 5

  

1 0 0 4 0

=

y1 y2

=

    −                    −      

−1 −1 −1 1 −4 0 0 0 0 −3 0 −3 −4 0 −4 0 5 0 0 5 − 1 1

0 1 1 1 0 0

−

1 1

x1 x2 x3 x4 x5

x1 x2 x3 x4 x5

1 0 0 0 0

+

+

0 2 0 4 0

1 0 3 0 5

u1 u2 u3

u1 u2 u3

0 0 1 0 1 0

La MT G(s) toma la forma (ver archivo va.m):

G11 (s) G12 (s) G13 (s) G21 (s) G22 (s) G23 (s)

G(s) = s+8 G11 (s) = 2 s + 5s + 8



G13 (s) = G21 (s) =

s+4 2 s + 5s + 8

−

−

(s2 + 10s + 24)2 (s + 5)(s + 3)(s2 + 5s + 8)

G22 (s) =

G23 (s) =

−

4s4 + 14s3 4s2 139s 120 G12 (s) = 2 (s + 5s + 8)(s2 + 9s + 20)(s + 3)

s5 + 15s2 + 93s3 + 291s2 + 510s + 480 (s2 + 5s + 8)(s2 + 9s + 20)(s + 3)

4s3 + 30s2 + 91s + 120

(s + 5)(s3 + s2 + 23s + 24) Los elementos y1 (t) e y2 (t) del vector de salida y (calculados en va.m) resultan: 5 y1 = 2

y2 =

1 2

−

13 −3t 17 −5t e + e 4 16

−

5 −4t 51 − 5 t e + e 2 cos 2 16

− 394 e−3t + 165 e−5t − 32 e−4t + 183 e− 16

5 2t

√  − √  −

cos

7 t 2

7 t 2

√

5 111 7e− 2 t sen 112

√

√  √ 

5 99 7e− 2 t sen 112

7 t 2

7 t 2

Por otro lado, la Fig. A.13 muestra las respuestas y1 (t) e y2 (t) (Out(1) y Out(2) en el gráfico) a los escalones u1 = 1, u2 = 1 y u3 = 1 (In(1), In(2) e In(3) en el gráfico) obtenidas con el comando step de MATLAB. Ejecutar el archivo va.m.


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194


% va.m VARIOS C´ ALCULOS PARA EL EJEMPLO 2.43 clear all; close all; clc; % (a) ECUACIONES DE ESTADO Y DE SALIDA A = [-1 -1 -1 -1 1;0 -4 0 0 0;0 0 -3 0 -3;4 -4 0 -4 0;0 5 0 0 -5]; B = [1 0 -1;0 2 0;0 0 3;0 4 0;0 0 5]; C = [1 0 1 1 -1;1 -1 0 0 1]; D = [0 0 1;0 1 0]; I = eye(5); n = 5; p = 2; syms s; % (b) MATRIZ DE TRANSFERENCIA G = C*inv(s*I-A)*B + D; pretty(simplify(G)) % (c) ESTABILIDAD [E,DD]=eig(A); % DD = diag(-2.5000+1.3229i, -2.5000-1.3229i, -3.0000, -5.0000, -4.0000) % SISTEMA ESTABLE PORQUE LA PARTE REAL DE LAS RA´ ICES SON NEGATIVAS % (d) CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

%

% % %

M = ctrb(A,B); % MATRIZ DE = CONTROLABILIDAD M =COMPLETAMENTE [A A*B A^2*B A^3*C A^4*B] rankM = rank(M); % rankM 5 = n => SISTEMA CONTROLABLE CS = [C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B C*A^4*B D]; rankCS = rank(CS); rankCS = p = 2 => SISTEMA COMPLETAMENTE CONTROLABLE A LA SALIDA N = obsv(A,C); % MATRIZ DE OBSERVABILIDAD N=[C; C*A; C*A^2; C*A^3; C*A^4] rankN=rank(N); % rankN=5=n => EL SISTEMA ES COMPLETAMENTE OBSERVABLE (e) MATRIZ DE TRANSICI´ ON Phi(t)=L^(-1)[(sI-A)^(-1)] Phi = ilaplace(inv(s*I-A)); pretty(simplify(Phi)) (f) RESPUESTAS y1(t) e y2(t) U = [1/s;1/s;1/s]; Y = G*U; y = ilaplace(Y); pretty(simplify(y)) (g) GR´ AFICOS DE LAS SALIDAS step(A,B,C,D), print -deps -f va

A.3.6.

Formas Can´ onicas SISO en el Espacio de Estado

La ecuación diferencial que describe a un sistema SISO con parámetros constantes toma la forma: dn y(t) dn−1 y(t) + a + 1 dtn dtn−1

n

n 1

−

d u(t) + b1 + ··· + bn u(t) ··· + any(t) = b0 d dtu(t) n dtn−1

(A.54)

La FT correspondiente al sistema (A.54) es: G(s) = y(s) = b0nsn + b1 snn−−1 1 + u(s) s + a1 s +

+ bn b0 + b1 s−1 + ··· + bn s−n + an s−n ······+ an = 1 + a1s−1 + ···

(A.55)

En (A.38) vimos que la FT también se puede formular como: y(s) = G(s) = [C(sI u(s)

− A)−1B + D]

que corresponde al sistema SLIT en el espacio de estado: x˙ = Ax + Bu; y = Cx + Du. Tal sistema posee diversas representaciones notables en el espacio de estado. Dichas representaciones se denominan formas canónicas. La transformación canónica tratada en el ejemplo A.34 es una de ellas. Otras formas canónicas se describen a continuación.


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195 Step Response

From: In(1)

From: In(2)

From: In(3)

1.5 1

) 1 ( t u O : o T

0.5

0

−0.5 e d u t i l p m A

−1 1.5

) 2 ( t u O : o T

1

0.5

0

0

1

2

3

0

1

2 Time (sec)

3

0

1

2

3

Fig. A.13: Respuestas y1 (t) e y2 (t) a los escalones u1 = 1, u2 = 1 y u3 = 1 (ejemplo A.43) .

Primera Forma Can´ onica Controlable:

   x ˙ =  y=

0 0 .. .

1 0 .. .

0

0 1 .. .

··· ··· ··· ···

0

0

−an

−an

−an

b

− an b0

n

1

−

2

−

bn

− an

1

−

0 0 .. .

1 2

1

n−1

−a1

1 b0

···

−

 x   x   ...   x

xn

   x ˙ = 

0 0 .. .

1 0 .. .

0 −an

0 1 .. .

0

0

−an

1

−

−an

y=

donde: β 0 = b0 , β 1 = b1

··· ···

2

−

1

··· ···

0 0 .. .

a1 β 0 , β 2 = b2

2

1

0 ··· 0

 x   x   ...   x

1

n−1

−a1

1

b1 − a1 b0

Segunda Forma Can´ onica Controlable:

xn

 0   0   +  ...  u   0  x+ b u

(A.56)

0

  β   β  +  ...   β

1 2

n−1

β n

   u 

 x + β u

a1 β 1

0

(A.57)

a2 β 0 , etc. Generalizando:

− − a1β n−1 −−· · · − a−n−1β 1 − anβ 0

β n = bn


207/256

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196


Tercera Forma Can´ onica Controlable:

 −a  1  0 x ˙ =  ... 0  y= b 1

−a2

··· ··· ···

−an

0

···

1

0 1 .. .

1

− a1 b0

−an

−

1

0 0 .. .

0 0 .. .

1 2

n−1

0

b2 − a2 b0

 x   x   ...   x

xn

bn − an b0

···

 1   0   +  ...  u   0  0 x +b u

(A.58)

0

Primera Forma Can´ onica Observable:

0

0 1 0

··· ···

 x ˙ = .  0

. 0 0 0

0 0 0 0

n−1

xn

0 ··· 0

bn − an b0 bn 1 − an 1 b0 −

  .   x

. −a2 −a1

0

 

x1 x2

−

. . ··· 1 0 ··· 0 1 y=



−an −an 1

 +   



−

 u 

. b2 − a2 b0 b1 − a1 b0

x +b u

1

(A.59)

0

Segunda forma can´ onica observable:

 −a  −a  ... x ˙ =  −−aa

1 2

n−1 n

1 0 ··· 0 1 ··· .. .. . . 0 0 ··· 0 0 ··· y=

1

 x   x   ...   xx

0 0 0 0 .. .. . . 0 1 0 0 0

  b   b  +    b b  0··· x + b u 1 2

.. . 1 − an 1 b0 n − an b0

n−1

n−

n

···

0

− a1 b0 2 − a2 b0 1

−

   u  (A.60)

0

Forma Can´ onica Diagonal (eigenvalores no repetidos) Formulando (A.55) como: G(s) =

+ bn−1 s + bn y(s) b0 sn + b1 sn−1 + = = b0 + u(s) (s p1 )(s p2 ) (s pn )

··· − ··· −

−

n

− i=1

ci s pi

donde las ra´ıces pi (los eigenvalores del sistema) son no repetidos, las constantes ci se pueden hallar en la forma acostumbrada a partir de: ci = l´ım [(s s pi

→

− pi)G(s)]

Luego, la forma canónica diagonal es:

 x˙  x˙  ...  x˙

1 2

n−1

x˙ n

    λ0  =  .   .. 0

1

y=


c

1

0 λ2 .. .

··· ···

0 0 .. .

0

···

λn

c2

···

cn

    

 1   1   +  ...  u

x1 x2 .. . xn

1

x+ b u 0

(A.61)

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197

Forma Can´ onica de Jordan (eigenvalores repetidos) Describiremos la forma can´ onica de Jordan con un ejemplo. Supongamos que (A.55) toma la forma: G(s) =

y(s) b0 sn + b1 sn−1 + + bn−1 s + bn B(s) = = u(s) (s p1 )3 (s p4 )2 (s p6 ) (s pn ) A(s)

−

··· − ··· −

−

c1 c2 c3 c4 c5 = b0 + + + + + + 3 2 2 (s p1 ) (s p1 ) s p1 (s p2 ) s p2

−

−

−

−

−

8

− i=6

ci s pi

donde los eigenvalores p1 y p2 se repiten tres y dos veces respectivamente, y el resto, p6 , p7 y p8 no lo son. Las constantes b0 , ci , i = 1, . . . , 8 y los eigenvalores p1 , p2 , p6 , p7 y p8 se calculan empleando el comando [r,p,k] = residue(B,A) (ver ecuación (A.5)). La forma canónica de Jordan es (notar la ubicación de los ceros y unos en el vector que multiplica a u):

x˙ =

    

p1 1 0 0 0 0 0 0 0 p1 1 0 0 0 0 0 0 0 p1 0 0 0 0 0 0 0 0 p2 1 0 0 0 0 0 0 0 p2 0 0 0 0 0 0 0 0 p6 0 0 0 0 0 0 0 0 p7 0 0 0 0 0 0 0 0 p8

y=

       

   

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9

+

   

−

−

−

u

x + b0 u

y(s) c1 c2 c3 c4 c5 = b0 + + + + + + 3 2 2 u(s) (s p1 ) (s p1 ) s p1 (s p2 ) s p2

−

    − 0 0 1 0 1 1 1 1

−

8

i=6

(A.62)

ci (A.63) s pi

Ejemplo A.44 En el programa C2forca1.m se determinan varias formas canónicas para: G(s) =

− 2.8s−1 − 0.65s−2 + 6.8s−3 − 4.25s−4 − 1.3s−5 + 1.2s−6 1 2 3 4 5 6 1 + 1.3s− − 1.69s− − 0.345s− + 0.49s− + 0.02s− − 0.04s− ´ 1

% C2forca1.m FORMAS CANONICAS clear all; close all; clc; b0=1; b1=-2.8; b2=-0.65; b3=6.8; b4=-4.25; b5=-1.3; b6=1.2; a1=1.3; a2=-1.69; a3=-0.345; a4=0.49; a5=0.02; a6=-0.04; B = [b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6]; % B(s): POLINOMIO DEL NUMERADOR A =[1 a1 a2 a3 a4 a5 a6]; % A(s): POLINOMIO DEL DENOMINADOR roots(A); % RA´ I CES DE A(s): 0.5, 0.5, 0.5, -0.4, -0.4, -2 % EL SISTEMA ES INESTABLE DEBIDO A LA RA´ IZ TRIPLE 0.5 % 2DA FORMA CAN´ O NICA CONTROLABLE: dx/dt = Acc*x + Bcc*u; y = Ccc*x + Dcc*u beta0 = b0; beta1 = b1-a1*beta0; beta2 = b2-a1*beta1-a2*beta0; beta3 = b3-a1*beta2-a2*beta1-a3*beta0;


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198


beta4 = b4-a1*beta3-a2*beta2-a3*beta1-a4*beta0; beta5 = b5-a1*beta4-a2*beta3-a3*beta2-a4*beta1-a5*beta0; beta6 = b6-a1*beta5-a2*beta4-a3*beta3-a4*beta2-a5*beta1-a6*beta0; Acc = [0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 -a6 -a5 -a4 -a3 -a2 -a1]; Bcc = [beta1;beta2;beta3;beta4;beta5;beta6]; Ccc = [1 0 0 0 0 0]; Dcc =[beta0]; % 1RA FORMA CAN´ O NICA OBSERVABLE: dx/dt = Aco*x + Bco*u; y = Coo*x + Doo*u Aoo = [0 0 0 0 0 -a6 1 0 0 0 0 -a5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -a3 -a4 0 0 0 0 1 0 -a2 0 0 0 0 1 -a1]; Aco = [b6-a6*b0;b5-a5*b0;b4-a4*b0;b3-a3*b0;b2-a2*b0;b1-a1*b0]; Cco = [0 0 0 0 0 1]; Dco=[b0]; % FORMA CAN´ O NICA DE JORDAN: dx/dt = Aj*x + Bj*u; y = Cj*x + Dj*u [c,p,k] = residue(B,A); % EXPANSI´ ON EN FRACCIONES PARCIALES % c = [-1.89 3.6133 -1.0136 0.1111 -5.8233 -0.5323]’; % p = [-2 0.5 0.5 0.5 -0.4 -0.4]; k = 1; c1=c(1); c2=c(2); c3=c(3); c4=c(4); c5=c(5); c6=c(6); p1=p(1); p2=p(2); p2=p(3); p2=p(4); p3=p(5); p3=p(6); Aj = [p1 0 0 0 0 0 0 p2 1 0 0 0 0 0 p2 1 0 0 0 0 0 p2 0 0 0 0 0 0 p3 1 0 0 0 0 0 p3]; Bj = [1;0;0;1;0;1]; Cj = [c1 c2 c3 c4 c5 c6]; Dj = [k];

Ejemplo A.45 Conocido el sistema x˙ = Ax + Bu, y = Cx + Du, determinar la ecuaci´ on de estado y la ecuación de salida en su forma canónica de Jordan: x˙ = A j x+ B j u, y = C j x+ D j u. Demuestre que las matrices A y A j poseen los mismos eigenvalores y que ambas representaciones de estado generan la misma función de transferencia.

Soluci´ on: El siguiente programa resuelve las preguntas planteadas. % C2forca2.m FORMA CANONICA DE JORDAN DE dx/dt + A*x + B*u; y = C*x + D*u clear all; close all; clc; A = [0 1 0 3;0 -1 1 1;0 0 0 1;0 0 -1 -2]; B = [1;0;-4;0]; C = [1 0 0 0]; D = [-2]; [num,den] = ss2tf(A,B,C,D); eigA = eig(A); % EIGENVALORES DE A: eigA = [-1, -1, -1, 0] [c,p,k] = residue(num,den); % EXPANSION EN FRACCIONES % c = [-8 -8 0 9]’; p = [-1 -1 -1 0]; k = -2; c1=c(1); c2=c(2); c3=c(3); c4=c(4); p1=p(1); p2=p(2); p3=p(3); p4=p(4);


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A.4 Discretizaci´ on Directa

199

% dx/dt = Aj*x + Bj*u; y = Cj*x + Dj*u Aj = [p1 0 0 0;0 p1 1 0;0 0 p1 0;0

0

0

p2];

Bj = [0;1;1;1]; Cj = [c1 c2 c3 c4]; Dj = [k]; [numj,denj] = ss2tf(Aj,Bj,Cj,Dj); % SE VERIFICA: num=numj, den=denj eigAj = eig(Aj); % EIGENVALORES DE Aj Y A SON IGUALES: [-1, -1, -1, 0]

A.4.

Discretizaci´ on Directa

Discretizaci´ on de la Integral Es bastante u ´ til discretizar directamente modelos din´ amicos que contengan integrales y derivadas. La integral de una curva e(t); es decir, el área debajo de dicha curva, se puede aproximar empleando una sumatoria de rect´ a ngulos de la forma T e(iT ) (Fig. A.14(a)) o trapezoides de la forma: e(T i) + e(T i + T ) T 2 tal como se observa en la Fig. A.14(b), donde T es el tiempo de muestreo. Los siguientes ejemplos ilustran tal aproximaciones. e(t)

e(t)

e(iT)

t=iT

T

e(iT+T)

e(iT)

t=iT

T

(a)

(b)

Fig. A.14: (a) Aproximació n del área bajo la curva e(t) mediante rectángulos. (b) Mediante trapezoides.

Ejemplo A.46 Determinar la ecuación de diferencias de la siguiente integral usando tanto aproximación rectangular como trapezoidal.

 t

u(t) =

e(τ )dτ

0

Soluci´ on: Si empleamos sumatoria de rectángulos para aproximar el área debajo de la curva e(t), se obtiene: k

u(kT )

≈



k

T e(iT ) = T

i=0



k 1

e(iT ) = T

i=0

−



e(iT ) + T e(kT ) = u(kT

i=0

u(kT )

u(kT

T ) = T e(kT )

− − u(k) = u(k − 1) + T e(k)


− T ) + T e(kT ) (A.64)

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200


donde k = t/T es el tiempo discreto. En la expresión (A.64), denotada como la ecuación discreta de la integral, hemos omitido en el argumento su dependencia con el tiempo de muestreo T , ya que todos los términos se discretizan empleando dicho tiempo. Para el otro caso, empleamos sumatoria de trapecios para aproximar el área debajo de la curva e(t): k

u(kT )

≈ T



e(iT

k 1

− T ) + e(iT )

= T

2

i=1

−



− T ) + e(iT ) + T e(kT − T ) + e(kT ) 2

i=0

= u(kT u(kT )

e(iT

2

− T ) + T e(kT − T )2 + e(kT )

− u(kT − T ) = T 2 [e(kT − T ) + e(kT )]

u(k) = u(k

− 1) + T 2 [e(k − 1) + e(k)]

(A.65)

Discretizaci´ on de la Derivada T´ erminos que contengan derivadas pueden discretizarse empleando diferencias por atraso: de(t) dt de(t) ˙ dt

e(kT ) − e(kT − T ) e(k) − e(k − 1) = = ≈ ∆e(kT ) T T T ∆e(kT ) ˙ e(t) ˙ − e(t ˙ − T ) ∆e(kT ) − ∆e(kT − T ) e¨(t) ≈ = = T T T 2 e(k) − e(k − 1) − [e(k − 1) − e(k − 2)] = e(k) − 2e(k − 1) + e(k − 2) T 2 T 2

= e(t) ˙ = = .. .

(A.66)

Si la discretización de la derivada se realiza por adelanto, entonces las diferencias son de la forma: de(t) dt de(t) ˙ dt

e(kT + T ) − e(kT ) e(k + 1) − e(k) = = ≈ ∆e(kT ) T T T ∆e(kT ) ˙ e(t ˙ + T ) − e(t) ˙ ∆e(kT + T ) − ∆e(kT ) e¨(t) ≈ = = T T T 2

= e(t) ˙ =

e(k + 1) = .. .

e(k)

−

[e(k)

−T 2

e(k

−

1)]

−

e(k + 1) =

−

2e(k) + e(k T 2

1)]

− (A.67)

Ejemplo A.47 El controlador PID se emplea en más del 90 % de los circuitos de control existentes en la industria. Este controlador se formula en la ecuación (A.68), donde K c es la ganancia proporcional, T i es el tiempo integral y T d es el tiempo derivativo. Determinar la ecuación de diferencias de dicho controlador. En un primer caso emplear aproximaci´ on rectangular y luego usar aproximación trapezoidal. t



u(t) = K c e(t) + 1 T I


 0

e(t)dt + T D de(t) dt



(A.68)

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A.5 Sistemas con Tiempo Muerto

201

Soluci´ on: Empleando las relaciones (A.64) y (A.66) en (A.68) se obtiene: u(k) = K c

u(k

− 1) = K c





e(k) +

e(k

−

  

T T I

k

e(i) +

i=0

T 1) + T I



k 1

−

i=0

T D [e(k) T

− e(k − 1)]

T D e(i) + [e(k T



− 1) − e(k − 2)]



k k−1 Teniendo en cuenta que: i=0 e(i) = i=0 e(i) + e(k), restamos las expresiones anteriores y despejamos u(k) para obtener la siguiente ecuación de diferencias del controlador PID:

u(k) = u(k

1) + q e(k) + q e(k 0

−

donde:





T T D q0 = K c 1 + + ; T i T

1

q1 =

1) + q e(k 2

−



2)



T D K c 1 + 2 ; T

−

(A.69)

− q2 = K c

T D T

Si la integración emplea el método trapezoidal, entonces: u(k) = K c

u(k



1 e(k) + T I

 −  −

− 1) = K c

e(k

 −   −   − k

T

e(i

1) + e(i) T D + [e(k) 2 T

i=1

k−1 1) + 1 T e(i T I

− e(k − 1)]

1) + e(i) + T D [e(k 2 T

i=1



− 1) − e(k − 2)]

Restando las expresiones anteriores teniendo en cuenta que: k

[e(i



k 1

1) + e(i)] =

i=1

−

[e(i

1) + e(i)] + e(k

i=1

− 1) + e(k)

y despejando u(k) obtenemos una expresión similar a (A.69), donde: q0 = K c 1 +

A.5.



T D T

+

T 2T I

;

q1 =



K c 1 + 2

−



T D T

Sistemas con Tiempo Muerto

T

− 2T I

;

q2 = K c



T D T

En algunos sistemas industriales, el tiempo muerto se debe de tomar en cuenta cuando por ejemplo existe un retardo considerable hasta que la señal de control llegue al actuador. En otro caso, dicho retardo aparece cuando el punto de medición está lejos de la zona de interés, por ejemplo, cuando en la planta s´ olo se pueden instalar sensores lejos de la zona de interés para la medici´ on. Este tiempo muerto puede existir en la entrada u(t), en la salida y(t) o en el vector de estado x(t) del sistema, tal como se ilustra a continuación:

x˙ (t) = Ax(t


− τ x) + Bu(t − τ u)

y(t

− τ y ) = Cx(t) + Du(t)

(A.70)

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202


Donde τ x , τ u y τ y son los tiempos muertos. En el dominio continuo, el tiempo muerto τ se modela mediante la siguiente expresión de la transformada de Laplace: e−τ s . Si τ = d T , donde d = 1, 2, . . . y T es el tiempo de muestreo, y definiendo la unidad de desplazamiento discreto como: eτ s = z, entonces, en el dominio discreto, el tiempo muerto toma la forma z −d . Este tiempo muerto puede existir en la entrada, en la salida o en el vector de estado del sistema, tal como se ilustra a continuación:

x(k + 1) = Gx(k

− dx) + Hu(k − du)

y(k + dy ) = Cx(k)

(A.71)

donde los tiempos muertos dk , du y dy toman valores enteros positivos. Resulta u ´ til emplear la aproximación de Pad´ e para modelar el tiempo muerto en el dominio continuo: e−τ s = 1

− sτ + !21 (sτ )2 − !31 (sτ )3 + ··· = num(s) den(s)

Con una aproximación de tercer orden podemos acomodar retardos de fase de hasta 200o (3.5 rad) [12], lo cual es suficiente para capturar el efecto del tiempo muerto en muchas aplicaciones. Tal aproximación tiene la forma: e−τ s

1 − τ s/2 + (τ s)2 /10 − (τ s)3 /120 ≈ num(s) = den(s) 1 + τ s/2 + (τ s)2 /10 + (τ s)3 /120

La principalelventaja unadado aproximaci´ on en racional para el es transformar modelode delusar sistema en (A.70) otro modelo sintiempo tiemposmuerto muertos.

Ejemplo A.48 Comparar la respuesta a un escalón del sistema: y(s) 10 −5.8s = e u(s) 2s + 1 con respecto la respuesta el sistema cuando el tiempo lamuerto aproxima conauna relación deoriginada Pad´ e de por tercer orden. Luego, determinar ecuaci´ osen de estado aproximada del sistema.

Soluci´ on: El programa ejpade.m resuelve el problema planteado y los resultados se ilustran en la Fig. A.15. % ejpade.m SISTEMAS CON TIEMPO MUERTO D Y CON APROXIMACI ´ O N DE PAD´ E clear all; close all; clc; s = tf(’s’); % HABILITA FT D = 5.8; numD=-D^3*s^3/120+D^2*s^2/10-D*s/2+1; denD=D^3*s^3/120+D^2*s^2/10+D*s/2+1; % exp(-s*D) = numD/denD Gp=10/(2*s+1); G1=Gp*exp(-s*D); G2=Gp*(numD/denD); step(G1,G2,’--’) print -deps -f ejpades; sis=ss(G2); % sis: MODELO EN EL ESPACIO DE ESTADO


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A.6 Linealizaci´ on de Sistemas Continuos

203

Step Response 10

8

6 e d u t i l p m A

4

2

exp(−sD) 0

Padé de 3er orden −2

0

5

10

15

20

25

Time (sec)

Fig. A.15: Comparación de las respuestas a un escalón del sistema y de su modelo aproximado mediante una aproximación de Pad´ e de tercer orden (ejemplo A.48).

A.6.

Linealizaci´ on de Sistemas Continuos

A.6.1.

Caso SISO

El desarrollo de la serie de Taylor permite expandir una expresión no lineal continua Y = f (X ) alrededor de un punto de operación (o estado de equilibrio) X como sigue: Y = f (X ) = f (X ) +

df dX

(X

− X ) + 1!

d2 f dX 2



(X

2!



(X=X)

− X )2 + ···

(A.72)

(X=X)

Si la expresión de Y depende de las n variables X 1 , . . . , Xn , entonces el desarrollo de Taylor, despreciando los términos de orden más alto, produce:

 

∂f Y = f (X 1 , . . . , Xn ) = f (X 1 , . . . , X n ) + ∂X 1 +

∂f ∂X 2

Ejemplo A.49



(X 2 (X2 =X 2 )

∂f − X 2) + ··· + ∂X n

(X 1

(X1 =X 1 )

(Xn =X n )

(X n

− X 1)

− X n)

(A.73)

Linealizar la siguiente taza de reacción rA para el punto de operación (T , C A ): E

rA = k0 e− RT C A


215/256

5/9/2018


204


donde k0 , E y R son constantes.

Soluci´ on: Aplicando (A.73) con X 1 = T y X 2 = C A se obtiene: rA = rA + C 1 t + C 2 cA t = T T cA = C A rA = C 1 =

−

E k0 e− RT C A

∂r A ∂T



∂r A C 2 = ∂C A

(T =T )



− C A (A.74)

(C A =C A )

Las variables t y cA se denominan variables residuales o de desviación.

A.6.2.

Caso MIMO

Un sistema MIMO no Lineal invariante con el tiempo de orden n se puede representar como: ˙ = f (X, U) (A.75) X Y = g(X, U)

     ˙1 X .. . ˙n X

=

f 1 (X, U) .. . f n (X, U)

 

     Y 1 .. .

=

Y p

g1 (X, U) .. . g p (X, U)

 

U=

    U 1 .. .

U m

donde f (X, U) es la ecuación de estado del sistema, mientras que g(X, U) es la ecuación de salida. Tanto f como g son funciones vectoriales de las variables vectoriales X y U. El desarrollo de Taylor para la ecuación de estado de este sistema, resulta: ¯ X ˙ = f (X, U) + ∂ f (X, U) (X X) + ∂ f (X, U) (U U) + ∂ X ∂ U



1 ∂ 2 f (X, U) (X 2! ∂ x2

−



−

2 ¯ ¯ ) + 2 ∂ f (X, U) (X X ∂ X∂ U 2

−

− X)(U −



∂ 2 f (X, U) U ) + (U ∂ U2

− U)



− U)

2

Despreciando los términos de orden dos se obtiene:

 −      

˙ = f (X, U) = f (X, U) + ∂ f X ∂ X ˙ X

−

f (X, U) = x˙ =

∂ f ∂ X

(X

(X,U)

∂ f ∂ U

x+

(X,U)

∂ f X) + ∂ U

u

(U (X,U)

 ··· +

(A.76)

(X,U)

Del mismo modo, la ecuación de salida del sistema se puede formular como:

y=

∂ g ∂ X

x+

(X,U)

∂ g ∂ U

u

(A.77)

(X,U)

Por consiguiente, las formas linealizadas de (A.76) y (A.77) se puede expresar como:

x˙ = Ax + Bu

y = Cx + Du

(A.78)

donde A es la matriz de estado de orden n n, B es la matriz de distribució n de orden n m, C es la matriz de salida de los estados de orden p n y D es la matriz

×

×

×

de salida de las entradas de orden p m, x = X X es el vector residual (o de desviaci´ on) de estados, u = U U es el vector residual de control, e y = Y Y es

−


×

−

−

216/256

5/9/2018


A.6 Linealizaci´ on de Sistemas Continuos

205

el vector residual de la salida. Los estados estacionarios o de equilibrio de X y U son X y U respectivamente, mientras que el estado estacionario del vector de salida Y, cuando el sistema está controlado, es el vector de referencias o set points R; es decir: Y = R. El procedimiento de linealización significa entonces que estamos asumiendo variaciones peque˜ n as de la dinámica del sistema alrededor del estado estacionario o de equilibrio. Las matrices A, B, C y D se determinadas evaluando las siguientes matrices jacobianas:

A =

C =

  

∂f 1 ∂X 1

∂f 1 ∂X n

···

.. .

..

∂f n ∂X 1 ∂h 11 ∂X

.. .

∂h r ∂X 1

.. .

.

··· ··· .

∂f n ∂X n

..

.. .

···

∂h r ∂X n

∂h 1n ∂X

  

B=

(X,U)

D=

(X,U)

  

∂f 1 ∂U 1

···

.. .

..

∂f n ∂U 1 ∂h 11 ∂U

.. .

∂h r ∂U 1

.

∂f 1 ∂U m

.. .

··· ··· .

∂f n ∂U m

..

.. .

···

∂h r ∂U m

1 ∂hm ∂U

  

(X,U)

(A.79)

(X,U)

Ejemplo A.50 La Fig. A.16 muestra dos tanques id´ enticos colocados en cascada. La sección horizontal S =9 m2 de cada tanque es constante. El objetivo de control es estabilizar (controlar) la altura H 2 empleando como fuerza de control el flujo de alimentación Qo . Determinar el modelo linealizado de este sistema hidráulico, su estabilidad y su función de transferencia. Q

p 0

H1

0

ρ p

Tanque 1

γ

1

p

Q 0

g 1

ρ H2

p

Tanque 2

γ

2

Q 2

Fig. A.16: Sistema hidráulico.

Soluci´ on: Los flujos de salida Q1 y Q2 de los tanques se pueden modelar como:

 −

Q1 = γ P 1

P 0 ;

 −

Q2 = γ P 2

P 0

donde P 1 , P 2 y P 0 son las presiones en el fondo de los tanques y en el exterior respectivamente, y γ =0.4 es una constante que depende de la geometr´ıa del orificio. Si ρ=1.23 kg/m3 es la densidad del l´ıquido y g=9.81 m/s2 es la aceleració n de la gravedad:


P 1

− P 0 = ρgH 1

P 2

− P 0 = ρgH 2

217/256

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206


El flujo acumulado en cada tanque es: Q0

1 − Q1 = S dH dt

Q1

2 − Q2 = S dH dt

Definiendo las variables de estado X 1 = H 1 y X 2 = H 2 y la entrada U = Q0 , y resolviendo las ecuaciones anteriores para X 1 y X 2 , obtenemos: ˙ 1 = 1 U X S

√

√

  −  γ ρg S

−

˙ 2 = γ ρg [ X 1 X S y su correspondiente ecuación de salida:

X 1 = f 1 (X, U ) X 2 ] = f 2 (X, U )

Y = h(X, U ) = X 2 Observar que las ecuaciones anteriores poseen las formas dada en (A.75)): ˙ = f (X, U ) X

Y = h(X, U ) = X 2

donde la salida Y (la función g) y la entrada U son en este caso escalares, y: ˙ = X

  ˙1 X ˙2 X

f =

  f 1 f 2

Definamos las siguientes variables residuales: x1 = X 1

X 1

x2 = X 2

− 3

X 2

u = U

−

U

−

Conociendo que U = 3 m /s, el estado estable del sistema se puede obtener de: ˙ = 1 U X 1 S

√

˙ = γ ρg X 2 S lo que resulta en:

√ − γ S ρg

  −  

X 1 = 0

X 1

X 2 = 0

2

X 1 = X 2 =

U γ 2 ρg

(A.80)

Aplicando el jacobiano, el sistema linealizado resulta: x˙ = A x + B u y = h(x, u) = x2 = C x

D = [0]

donde:

x=

B=

    x1 x2

∂f 1 ∂U ∂f 2 ∂U

;

A=

 =

(X 1 ,X 2 ,U )

∂f 1 ∂X 1 ∂f 2 ∂X 1

∂f 1 ∂X 2 ∂f 2 ∂X 2

 

1/S ; 0



 − √ √   √

=

(X 1 ,X 2 ,U )

C=

∂h ∂X 1

γ ρg ¯1 2S X γ ρg

√

2S X 1

∂h ∂X 2

0

√

− 2S γ √ρgX

2



= [0 1]

(X 1 ,X 2 ,U )

La estabilidad y la función de transferencia del sistema se computan con el programa C2tqh.m.


218/256

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A.7 Problemas

207

% C2tqh.m SISTEMA HIDR´ AULICO clear all; close all; clc; S = 9; gamma = 0.4; rho = 1.23; g = 9.81; Qoinf = 3; % PARAMETROS X1bar = Ubar^2/(gamma^2*rho*g); X2bar = X1bar; % PUNTOS DE EQUILIBRIO a11 = -gamma*sqrt(rho*g)/(2*S*sqrt(X1bar)); a21 = -a11; a22 = -gamma*sqrt(rho*g)/(2*S*sqrt(X2bar)); A = [a11 0;a21 a22]; B = [1/S;0]; C = [0 1]; D = [0]; % SISTEMA LINEAL eigA = eig(A); % EINGENVALORES: -0.0358 Y -0.0358 => SISTEMA ESTABLE [P,Q] = ss2tf(A,B,C,D); % P = [0 0 0.004]; Q = [1 0.0715 0.0013] % FUNCION DE TRANSFERENCIA: P(s)/Q(s)=0.004 /(s^2 + 0.0715s + 0.0013)

A.7.

Problemas

Problema A.1 Demostrar que AB = BA, cuando:



A= Problema A.2

 − −

1 2 2

−1 2 1

 − 1 1 0

B=



1 2 3 2 4 8 1 2 3



Demostrar que AB = AC, lo cual no necesariamente implica que B = C, , cuando: 1

A=



2 4

−3 2 −13 −−31

Problema A.3



B=



1

4

1 0

2 1

−12

1 1 1 2

En general: (A B)2 = A2 2AB + B2 y A2 que (A B)2 = A2 + B2 cuando:

±

±

A= Problema A.4



 −

2 1 1

±

−3 −5 4 5 −3 −4



2



C=



3 2

1

−1 −2 −−25 −−11 −01



− B2 = (A + B)(A − B). Demostrar B=

 − −

1 1 1

3 3 3

−

 − 5 5 5

Una matriz M es idempotente cuando M2 = M. Demostrar que A2 = A y B2 = B.

A= Problema A.5

 −

2 1 1

−3 −5 4 5 −3 −4



B=

 − −

1 1 1

3 3 3

−

 − 5 5 5

Demostrar que la siguientes matriz es periódica, con per´ıodo igual a 2:

A=

 http://slide pdf.c om/re a de r/full/c ontrolde proc e sosv3

1 3 2

−2 −6 2 9 − 0 −3

 219/256

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208


Problema A.6 Demostrar que la siguientes matriz es nilpotente: 1 3 4 1 3 4 A= 1 3 4

 −

Problema A.7 Dada las matrices:

A=

 

− − − −

 −    

1

1 + i 2 + 3i 1 i 2 i 2 3i i 0

− −

B=



 − − −  

−

i 1 + i 2 3i 1+i 2i 1 2 3i 1 0

−

 

demostrar que A, iB y A∗ son hermitianas, y que B y B∗ son antihermitianas.

Problema A.8

Empleando matemática simbólica demostrar que: n

λ 1 0 λ

=

λn nλn−1 0 λn

Problema A.9 Empleando matemática simbólica demostrar que las matrices:

A=



a2 a 1 bcd b2 b 1 acd c2 c 1 abd d2 d 1 abc

poseen el mismo determinante: (a



B=



a3 a2 a 1 b3 b2 b 1 c3 c2 c 1 d3 d2 d 1



− b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d).

Problema A.10 Empleando matemática simbólica hallar la derivada con respecto a x del determinante de la matriz: x 1 2 x3 A = x2 2x + 1

 

Problema A.11

0

3x

−2

x2 + 1

 

Examine la dependencia o independencia lineal del siguiente conjunto de vectores. Si el conjunto es dependiente, seleccione el máximo subconjunto linealmente independiente y exprese cada uno de los vectores dependientes como una combinación lineal de los independientes.

x1 =

   − 


2 1 3 2 1

;

x2 =

   −  4 2 1 2 3

;

x3 =

   −  0 0 5 6 5

;

x4 =

  −  −  6 3 1 6 7

220/256

5/9/2018


A.7 Problemas

209

Problema A.12 Si la matriz A es antisimétrica e I + A es no singular, entonces B = (I es ortogonal. Obtenga la matriz ortogonal B de:

A= Problema A.13

 − −

0 1 2

1 2 0 3 3 0

−

− A)(I + A)−1



Demostrar que los siguientes vectores son linealmente independientes y mutuamente ortogonales: T

T

x1 = [1 + i i 1] ; Problema A.14

x2 = [i 1

−i

T

0] ;

x3 = [1

−i

1 3i]

Si la matriz A es antihermitiana e I + A es no singular, entonces B = (I A)(I + A)−1 es unitaria. Obtenga la matriz unitaria B de:

−

A=

 −

0 i 1+i i 0 i 1+i i 0



Problema A.15 Demostrar que el producto xH Ax es definida positiva y que el producto xH Bx es semidefinida positiva, donde:

 − − 1

A=

1

1

i

1+i 6 3 i

− −

Problema A.16

−1

−3 + i 11



B=



1

1 + i 1 + 2i 1 i 3 5 1 2i 5 10

− −



Para cada ecuación integro–diferencial, elaborar un programa en MATLAB para graficar la salida y(t) cuando u(t) es un escalón unitario. Luego, elaborar un programa en Simulink para visualizar la se˜ nal y(t). Todas las condiciones iniciales son nulas. (a) = (b) = (c) =

−

(d) =

−


   − 

t dy(t) + 2y(t) 5y(t) + 4 y(τ )dτ = u(t) dt 0 d2 y(t) dy(t) + y(t) = u(t) dt2 dt t dy(t) + 2y2 (t) + 4 y(τ )dτ = u(t) dt 0 t d2 y(t) 3 y(τ )dτ = u(t) dt2 + 7y (t) 0

221/256

5/9/2018


210


Problema A.17 Determinar la ecuaci´ on de estado y la ecuación de salida de los sistemas:

− 5x3 = 4u1 − 3u2 + x˙ 1; x˙ 2 − x1 + 8x2 − 2x3 = −u1 2x2 − 5x3 = −3u2 − 4u2 − x˙ 3 y1 = x1 − 3x2 − u2 ; y2 = −3x1 + 7x3 + u1 − 5u2 −x1 − 8x2 + x3 + x˙ 1 = u1; 2x1 + 4x2 − 2x3 = −3u2 − u2 + x˙ 2 2x2 − 5x3 = −3u1 + 3u2 + x˙ 3 y1 = 3x1 − x2 + u1 ; y2 = −x1 − 5x3 − 5u2 6x1 + 7x2 + x˙ 1 = 4u2 ; x˙ 2 − 3x1 + 5x2 + 62x3 = −u1 − 7u2 x 6x = x˙ u + 9u 2− 3 3− 1 2 y1 = 4x1 x2 − u1 + u2 ; y2 = −3x1 + 7x2 − 5u2 3x2 − 5x3 + x˙ 1 = −3u1 + 3u2 ; x˙ 2 − 6x1 + 5x2 − 7x3 = −3u2 x1 − 2x2 − 5x3 + x˙ 3 = −3u1 y1 = x1 − u2 + 8u2 ; y2 = −3x2 + 7x3 − 9u1 − 2u2

(a)

2x1 + 3x2

(b)

(c)

(d)

donde u1 y u2 son las entradas, y1 e y2 son las salidas y x1 , x2 y x3 son las variables de estado.

Problema A.18 Graficar la corriente i(t) que circula en un circuito serie RLC alimentadodi(0) por una bater´ıa E de 12 V, sabiendo que R = 100 Ω, C = 1 F, L = 2 H, i(0) = 5 A y dt = 5 A/s. Partiendo de la ecuación caracter´ıstica del circuito, determine la estabilidad, la frecuencia natural de oscilación y el coeficiente de amortiguamiento de dicho circuito.

−

Problema A.19 Una forma de determinar la estabilidad de un SLIT con entrada x(t) y salida y(t) conociendo su función G(t) de respuesta al impulso δ(t), es evaluando la siguiente condición para estabilidad:

∞

G(τ ) dτ <

  | ∞   | |  | | −∞ |

t

Por ejemplo, para un integrador y(t) = 0 x(τ )dτ con y(0) = 0, su respuesta al t impulso es: y(t) = G(t) = 0 δ(τ )dτ = µ(t), que es la función escalón, la cual es igual a 1 para t 1. El sistema es inestable porque:

≥

∞

−∞

∞

G(τ ) dτ =

0

1 dτ =

∞

Aplicando este principio, determine G(t) y la estabilidad del sistema: y˙ + 2y = x.

Problema A.20 Hallar la transformada inversa de: G(s) = (s3 + s2 + 2s + 1)/(s3 + 3s2 + 2s + 3).


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A.7 Problemas

211

Problema A.21 Graficar para varios valores del cero c, la respuesta al escalón del sistema: y(s) K (s + c) = 2 u(s) s + 3s + 100 Para cada c, seleccionar el valor de K que haga: l´ım y(t)t→∞ = 1.

Problema A.22 Determine la transformada inversa de: 3s3 + 20 G(s) = s2 (s + 1)

Problema A.23 Determine la matriz de transición, la ecuación caracter´ıstica, la estabilidad, la controlabilidad, la observabilidad (el primer elemento del vector de estado v es la salida) y la FT del sistema siguiente:

v˙ =

    0 0

1

−2

v+

3

−4

u

Problema A.24 Hallar varias ecuaciones de estado y de salida canónicas para el sistema: y(s) s3 2s + 1 = 3 u(s) s 2s2 + 3s 4

−

−

−

Problema A.25 Un motor DC empleado en los sistemas de control de posición angular θ y de velocidad angular θ˙ = ω, se describe mediante la relació n: ω˙ = ω + u, donde u es el voltaje

−

de entrada al motor que se asume constante y de magnitud A para el intervalo 2T t 3T . Hallar θ(t) anal´ıticamente.

≤ ≤

Problema A.26 El siguiente diagrama de bloques corresponde al sistema de control automático de la profundidad y de un submarino, el cual se logra generando un ángulo de control a adecuado. Suponga que el submarino debe de navegar manteniendo una profundidad de r = 250 m. Empleando Simulink, determinar el valor de K usando el método de prueba y error que haga que la salida y siga a la referencia r con suficiente rapidez y con m´ınimo error e = r y.

−

−

Problema A.27


223/256

5/9/2018


212

Matem´ atica para Sistemas Continuos r

e

a K

(s − 1)

2

y

1 s

2

s +1

Fig. A.17: Sistema de control de la profundidad de un submarino (problema A.26).

  At

Sabiendo que: dedt de transici´ on es:

t=0



= A, hallar la matriz de estado A de un sistema cuya matriz 2e−t cos(t + 0,7) 3e−t cos(t + 1,5) e−t cos(t 1,5) 2e−t cos(t 0,7)

−

−



Problema A.28 Las ecuaciones que rigen el calentamiento de un cuarto son: qR = qa

− q p

qR = Ri2

qa = C t

dT i dt

q p =

T i

− T a

Rt

donde C t = 4184 J/o C es la capacitancia térmica, R = 20 Ω es la resistencia eléctrica, Rt = 0.1 o C/J es la resistencia térmica, i(t) es una corriente de entrada tipo escalón de magnitud 0.5 A y de duración 2000 s, cuyo valor inicial es 1 A. T a es la temperatura ambiente que act´ ua como una entrada tipo escalón de duración 6000 s, cuyo valor inicial es 20 o C y su valor final es 15 o C, qR es el flujo de calor en J/s producido en R, q p es el flujo de calor en J/s que va al exterior y T i es la temperatura en o C en el interior. Elaborar un programa en Simulink para graficar las se˜ nales i(t), T a (t) y T i (t). Considerar que la temperatura T i (0) inicial en el integrador es 22 o C.

Problema A.29 En la Fig. A.18, R es un escalón unitario y N es un disturbio escalón de magnitud 0.1R. Emplear Simulink y usar el m´ etodo de prueba y error para determinar los parámetros K c y K i que hagan que la salida Y siga a la referencia R con suficiente rapidez. N R

(s+7)(s+8)(s+9) Kc + Ki/s

Y

(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)(s+5)

Fig. A.18: Sistema realimentado para el problema A.29.

Problema A.30


224/256

5/9/2018


A.7 Problemas

213

Graficar las salidas usando Simulink en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales acopladas: dT = A(T dt

dT a = C (T a dt

− T o1)F o − B(T − T a)

− T o2)F o + D(T a − T )

donde A = C = 0.08, B = D = 0.05. También, F o = 0.01 m3 /min, T o1 = 280K y T o2 = 350 K son perturbaciones tipo escalón.

Problema A.31 En la Fig. A.19, R es un escalón unitario y N es un disturbio escalón de magnitud 0.1R. Emplear Simulink y usar el m´ etodo de prueba y error para determinar los parámetros K c y K i que hagan que la salida Y siga a la referencia R con suficiente rapidez. N R

−3t 10e

Kc + Ki/s

Y

4s+1

2e

−2t

Fig. A.19: Sistema realimentado para el problema A.31.

Problema A.32 Para el sistema mostrado en la Fig. A.20 investigar empleando Simulink si es posible hallar las ganancias K 1 , K 2 y K 3 que hagan que y1 siga a r1 y que y2 siga a r3 con suficiente rapidez.

r1

r2

K1

K2

u

1

u2

x1

1 s+1

2

x2

4 s+4

s+2 5 s+5

r3

K3

u3

3 s+3

x4

y1

x5

y2

x3

Fig. A.20: Sistema del problema A.32


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214


Problema A.33 La función de transferencia de un sistema tiene la forma: y(s) 5s2 0.9167s 0.5417 G(s) = = 3 u(s) s + 0.5833s2 + 0.0417s + 0,0417

−

−

V´ıa Simulink determine: (a) su respuesta ye (t) a un escalón unitario, (b) su respuesta yi (t) al impulso, (c) la salida y( ) para la parte (b) usando el teorema del valor final, y (d) varias ecuaciones de estado y de salida canónicas.

∞

Problema A.34 Las poblaciones P 1 , P 2 y P 3 de tres especies en un área restringida está gobernada por las ecuaciones: ˙1 = 2P 1 + 3P 2 + 6P 3 + c1 u P ˙2 = P 3P 1 + 3P 2 + 8P 3 + c2 u ˙ P 3 = P 1 3P 2 + 2P 3 + c3 u

−

0

≤

c1

−

0

0

≤ c2

≤ c3

c<

−1 + c2 + c3

Elaborar un programa en MATLAB para graficar las respuestas P 1 (t), P 2 (t) y P 3 (t).

Problema A.35 Dada la siguiente ecuación de estado: x(t) ˙ =

−4x(t) + 2u(t)

graficar x(t) sabiendo que x(0) = 1 y u(t) es la rampa mostrada en la Fig. A.21. u(t)    

 

1

 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 



0

1

t

Fig. A.21: Función rampa.

Problema A.36 Para el punto de operación: x1 =

−1,

x2 =

−1,

u1 =

−2,

u2 =

−1

hallar las ecuaciones de estado y de salida lineales del siguiente sistema no lineal y determinar su estabilidad. x˙ 1 =


−2x21 + 3x1x2 − u31 + u2

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A.7 Problemas

215 x˙ 2 =

−4x31 + 6x21x2 − 4u31 − 2u22 y1

= y2 =

3x1 3x21

−

−

4u1

2 + 6u2

+ 4x2 + 2u1

Problema A.37 En el sistema de la Fig. A.22: (a) Determinar su ecuación de estado y ecuación de salida. (b) Hallar su matriz de transferencia. (c) Determinar su estabilidad. (d) Hallar la controlabilidad completa, la controlabilidad completa a la salida y la observabilidad completa. (e) Determinar la matriz de transición con t0 = 0. (f) Hallar y1 (t) e y2 (t) donde u1 (t) y u2 (t) son entrada rampa unitaria. (f) Graficar y1 (t) e y2 (t). Se sugiere hacer un programa. u1

1 s+1

u2

2 s+2

y

1

4

y2 6

Fig. A.22: Sistema del problema A.37.

Problema A.38 Para los sistemas de control mostrados en la Fig. A.23, elabore los respectivos programas en Simulink. Por tanteo, determine los valores de P, I y D que debe de poseer el bloque PID para que la salida y(t) siga a la señal escalón deseada r(t) en presencia de la carga (o disturbio) n(t). Tambi´ en debe de verificar que cuando r(t) es nulo, la salida y(t) debe de tender a cero. La magnitud de r(t) es 10 veces la magnitud de n(t). (a) G(s) = (b) G(s) = (c) G(s) = (d) G(s) =


4(s + 1)(s + 2) e−2s (s + 3)(s + 4)(s + 5)(s + 6) 2(s + 1) e−3s (s + 3)(s + 4)(s + 5)(s + 6)(s + 8) s2 + 2s + 1 −s e (s + 3)4 8 e−4s (s + 3)(s + 4)(s + 5)(s + 6)(s + 7) 2 (s + 8)

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n(t) r(t) PID

G(s)

y(t)

Fig. A.23: Sistema de control con presencia de disturbio.


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Ap´ endice B

Fundamentos de MATLAB y Simulink MATLAB es un lenguaje técnico de cómputo de alto nivel e interactivo que puede ser empleado para el desarrollo de algoritmos, visualización y análisis de datos y computaci´ on numérica. MATLAB se emplea mundialmente en diversas aplicaciones que incluyen procesamiento de se˜ nales e im´ agenes, telecomunicaciones, dise˜ no de sistemas de control, pruebas y mediciones, modelado y an´ alisis financiero y biolog´ıa computacional. MATLAB también cuenta con una colección herramientas (Toolboxes) para prop´ ositos espec´ıficos, disponibles por separado, los cuales permiten resolver ciertas clases de problemas en el área de su aplicación. Simulink empleacontinuos, un lenguaje en bloques y se usa para modelar, simular El y analizar sistemas dinámicos discretos o h´ıbridos (combinaci´ o n de ambas). modelo del sistema puede ser lineal o no lineal y puede tener diferentes partes que se discreticen o se actualicen a diferentes tiempos de muestreo. Esta herramienta permite validar los modelos din´ amicos existentes o aquellos construidos desde cero. En este Ap´ endice, una secci´ o n está dedicada a MATLAB y la otra a Simulink. Todos los archivos de esta publicació n se pueden descargar del link DESCARGAS de www.ctlima.com.

B.1.

Fundamentos de MATLAB

B.1.1.

El Entorno de Trabajo de MATLAB

Luego de instalar el programa MATLAB, aparece un icono caracter´ıstico del mismo en el escritorio. Para iniciar MATLAB hacer doble click en tal ´ıcono para hacer aparecer la Fig. B.1. La interacción de MATLAB con el usuario es a trav´ es de ventanas. Las principales son (ver Fig. B.1): Ventana de comandos (Command Window).- Aqu´ı se ejecutan las instrucciones. Historial de comandos (Command History).- Ventana que muestra el historial de las instrucciones introducidas a trav´ es de la ventana de comandos. Directorio actual (Current Directory).- Ventana que muestra los directorios y archivos actuales.


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Fundamentos de MATLAB y Simulink Espacio de trabajo (Workspace).- Ventana donde aparecen las variables almacenadas en memoria. Ventana de figuras.- Las figuras aparecen cuando el usuario las realiza.

−

Para cerrar el programa, seleccionar en el menú: File > Exit MATLAB o tipear quit en la ventana de comandos. Para obtener información detallada de cualquier tópico relacionado con MATLAB, hacer click en el icono s´ımbolo de interrogación ?, ubicado debajo de la l´ınea del men´ u de la Fig. B.1, para que aparezca la ventana Help. En el espacio Search for de tal ventana, tipear el tópico del que desea información. Por ejemplo, si tipea save y hace click en Go, entonces la informaci´ on detallada y ejemplos sobre este comando aparecerán en la parte derecha de la ventana Help.

Fig. B.1: El entorno de trabajo de MATLAB.

B.1.2.

Comandos y Funciones Generales

Tener en cuenta que MATLAB NO HACE la distinci´ on entre may´ usculas y min´ usculas en sus comandos. Se sugiere usar siempre letras minúsculas para los comandos. El s´ımbolo >> que aparece en la ventana de comandos es el prompt de


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B.1 Fundamentos de MATLAB

219

MATLAB. Los comandos escritos despu´ es del prompt requieren de un ENTER para que MATLAB los procese. El formato siguiente: >> help roots ENTER , es u ´til cuando se desea tener información de un determinado comando. En este caso particular, luego de presionar la tecla ENTER, la VC (Ventana de Comandos) muestra la ayuda correspondiente al comando roots. En lo que sigue, la introducción de la tecla ENTER será sobreentendida. El comando format long le dice a MATLAB que se quiere traba jar con 15 d´ıgitos para doble precisión y 5 d´ıgitos para simple precisión. Por ejemplo, escribiendo en la VC: >> format long, 1/3, MATLAB devuelve 0.33333333333333 , mientras que >> format, 1/3 devuelve 0.3333. Las operaciones fundamentales en MATLAB son suma a+b, resta a-b, multiplicación a*b, división derecha a/b, división izquierda a\b y exponenciación a^b. La divisi´ on izquierda se emplea más con matrices. El resultado de la operación a/b es igual al resultado de b\a. El orden de precedencia en las operaciones fundamentales es: ejecutar primero el paréntesis más interno, luego los exponentes, despu´ es la multiplicaci´ on o división (ambos tienen igual presedencia), y finalmente la suma y resta. Ejemplo: >> 0.7854-(0.7854)^3/(1*2*3)+0.785^5/(1*2*3*4*5)... -(0.785)^7/(1*2*3*4*5*6*7) ans = 0.7071

Observar que los tres puntos al final de la primera fila indica que la sentencia contin´ ua en la siguiente l´ınea. MATLAB reconoce a las letras i y j como n´ umeros imaginarios. Es decir: i = 1yj= 1. Por ejemplo, >> 4i - 2j devuelve 0 + 2.0000i, mientras que >> 8i-j4 devuelve Undefined function or variable ’j4’. Sabemos que la división sobre cero es infinito, mientras que la divisió n 0/0 es indeterminada. En notación MATLAB >> 20/0 devuelve Inf , mientras que >> 0/0 devuelve NaN, donde NaN est´ a por Not a Number. A continuaci´ on se describen otros comandos de utilidad general. Se recomienda leer el help del comando antes de usarlo.

√−

√−

help help Lista t´ opicos de ayuda. what Lista archivos con extensi´ on m, MAT y MEX. type Lista archivos tipo m. lookfor Busca archivos m desde el teclado. which Localiza funciones y archivos. demo Ejecuta un demo de MatLab. helpwin Ayuda en l´ınea. Se muestra en la ventana de ayuda. who Lista las variables actuales. whos Lista las variables actuales en forma extendida. load Carga variables del disco al espacio de trabajo. save Salvar variables del espacio de trabajo al disco. clear Limpia variables y funciones de la memoria. clc Despeja (limpia) la ventana de comandos.


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Fundamentos de MATLAB y Simulink

pwd Muestra el directorio de trabajo actual. size Muestra el tama˜ no de una matriz. length N´ umero de elementos de un vector. disp Muestra los valores de una matriz o texto. exist Chequea si est´ an definidas las variables o funciones. Devuelve 1 si x es finito y cero en otro caso. finite(x) isinf(x) Devuelve 1 si x es o , y cero en otro caso. isnan(x) Devuelve 1 si x es indeterminado y cero en otro caso. computer Devuelve el tipo de computadora. version Devuelve la versi´ on actual de MATLAB. why Devuelve respuestas breves a casi cualquier interrogante. lasterr Devuelve el u ´ ltimo mensaje de error. diary Guarda el texto de la sesi´ on de trabajo actual. unix Ejecuta comandos del sistema operativo Unix. ver Informa sobre la versi´ on de MATLAB, Simulink y Toolboxes. on acerca de la empresa Mathworks. info Da informaci´ whatsnew Informa acerca de lo nuevo de MATLAB. hostid Identifica el n´ umero del servidor host. Proporciona la fecha. date clock Proporciona el vector: [a˜ no, mes, d´ıa, hora, minuto, segundo]. calendar Proporciona el mes en curso. fix(clock) Proporciona lo mismo que clock. cd Cambiar el directorio actual de trabajo. dir Muestra el directorio actual. delete Borra un archivo u objeto gr´ afico.

∞ −∞

Por ejemplo, ingresando: >> clear, a = magic(3); b = ones(1, 3)*-5.7; >> save -ascii mydata.dat >> clear, load mydata.dat, mydata mydata = 8.0000 1.0000 6.0000 3.0000 5.0000 7.0000 4.0000 9.0000 2.0000 -5.7000 8.0000

-5.7000 6.0000

c = [8 6 4];

-5.7000 4.0000

donde las 3 primeras filas corresponden a la matriz formada por el comando a=magic(3) , la fila 5 se origina por el comando b = ones(1, 3)*-5.7 y la u ´ ltima fila corresponde al vector c=[8 6 4 2].

B.1.3.

Creaci´ on de Archivos Tipo m

La forma más conveniente de procesar información en MATLAB es mediante los archivos m. Un archivo m se genera como sigue: Crear un directorio de trabajo, en donde deben de estar todos sus archivos de de trabajo, tales como archivos m, archivos de datos, etc.


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Ubicarse en tal directorio de trabajo creado empleando el browser de MATLAB (el icono cuadrado con tres puntos ubicado en el extremo superior derecho de la Fig. B.1. Hacer click en el icono hoja de papel en blanco ubicado en el extremo superior izquierdo de la Fig. B.1, para abrir el editor de MATLAB. Escribir el contenido usando lenguaje MATLAB y guardarlo con un nombre arbitrario. El programa genera automáticamente la extensión m del archivo. Hay tres formas de ejecutar el archivo m generado: (1) presionando la tecla F5; (2) haciendo click en Debug Run en el men´ u del editor; (3) haciendo click en el icono Run and Save del editor, el cual se ubica debajo de la l´ınea que contiene el men´ u del editor.

→

Si el programa posee errores, éstos serán mostrados en la ventana de comandos. Corregir tales errores y ejecutar el programa. Esta operación puede repetirse pocas o varias veces dependiendo de la magnitud del programa y experiencia del programador. La ejecución de un archivo m se puede parar en cualquier momento presionando simult´ aneamente las teclas Ctrl + C. El siguiente archivo de nombre miarchivom.m contiene información adicional. % miarchivom.m GENERACI´ O N DE UN ARCHIVO m. % MATLAB NO PROCESA LO QUE EST´ A A LA DERECHA DEL S ´ IMBOLO: % clear all; close all; clc; % clear: LIMPIA VARIABLES Y FUNCIONES DE LA MEMORIA. % close: CIERRA FIGURAS. % clc: LIMPIA LA VENTANA DE COMANDOS (VC) DE MATLAB % TAMBI´ E N ES V´ A LIDO ESCRIBIR: clear all, close all, clc a=7; b=-4; % DATOS, DONDE EL S´ I MBOLO ; IMPIDE QUE LA VC % MUESTRE a Y b LUEGO DE EJECUTAR miarchivom.m r=a-b; m = a*b; d = a/b; e = a^b; % OPERACIONES ARITM ´ ETICAS s=a+b % LA VC DEVUELVE s=3 LUEGO DE EJECUTAR miarchivom.m

En lo que sigue, sólo emplearemos archivos m para explicar mediante numerosos ejemplos las bondades del lenguaje MATLAB. En tales ejemplos emplearemos tanto los comandos listados en la subsección B.1.2 as´ı como otros más especializados.

B.1.4.

Matem´ aticas

Funciones Matem´ aticas Comunes % funcionesmat.m FUNCIONES MATEM´ ATICAS COMUNES clear all; close all; clc; % APROXIMACIONES x1=5.92; r1=ceil(x1);


% r1=6 (ceil REDONDEA HACIA INFINITO)

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% %

%

%


r2=fix (x1); % r2=5 (fix REDONDEA HACIA CERO) r3=floor (x1); % r3=5 (floor REDONDEA HACIA MENOS INFINITO) r4=round([19.54646 13.656 -2.1565 0.78]); r4=[20 14 -2 1] (round REDONDEA HACIA EL ENTERO M´ A S PR´ OXIMO) TRIGONOMETR´ IA r5=sin(pi/2); % r5=1 (´ ANGULO EN RADIANES) r6=sind(-90); % r6=-1 (´ ANGULO EN GRADOS) r7=cosd(60); % r7=0.5 ( ´ ANGULO EN GRADOS) ´ r8=asind(1); % r8=90 (ANGULO EN GRADOS) ALGUNAS OPERACIONES r9=abs (-7); % VALOR ABSOLUTO, r9=7 r10=sign(10); % SIGNO, r10=10/abs(10)=10/10=1 r11=gcd (9,12); % M´ AXIMO COM´ U N DIVISOR ENTRE 9 Y 12, r11=3 r12=lcm (10,25); % M´ INIMO COM´ UN M´ U LTIPLO ENTRE 10 Y 25, r12=50 r13=mod (-12,5); % M´ ODULO, SI y~=0, n=floor(x./y)=-3, r13=x-n.*y=3 r14=rem (12,5); % RESTO DE LA DIVISI´ O N ENTRE 12 Y 5, r14=2 ´ ´ r15=nthroot (8,3); % RAIZ CU BICA DE 8, r15=2 CON N´ UMEROS COMPLEJOS x=3+4i; r16=sign(x); % r16=x/abs(x)=(3+4i)/5=0.6+0.8i

Vectores y Matrices % vectoresymatrices.m Y MATRICES. ELEM = ELEMENTOS clear all; close all;VECTORES clc; % C´ OMO DEFINIRLOS x = [5 7 -2 4 -6]; % VECTOR FILA, ELEM SEPARADOS POR ESPACIOS y = [2,1,3,7]; % VECTOR FILA, ELEM SEPARADOS POR COMAS z = [0 1 2,3 4,5]; % IDEM, ELEM SEPARADOS POR COMAS Y ESPACIOS w = [2;1;3;7]; % VECTOR COLUMNA A = [1 2 3 % A(1)=1, A(3)=2, A(5)=3 4 5 6]; % A(2)=4, A(4)=3, A(6)=6 B = [1 2 3;4 5 6]; % MATRIZ DE 2 FILAS Y 3 COLUMNAS AL IGUAL QUE A % DIRECCIONAMIENTO r1=x(2); r2=x(end); r3=x(2:4); r4=x(1:3:5); r5=x([3 5 1]); r6=A(2,1); r7=A(2,:); r8=A(2,2:3); r9=A(2,[3 1]); r10=A([2 1],2:3); %

% % % % % % % % % %

r1=7 r2=-6 r3=[7 -2 4] r4=[5, -2 y -6] r5=^[-2, -6, 1] r6=4 r7=[4 5 6] r8=[5 6] (2da FILA, COLUMNAS DE 2 A LA 3) r9=[6 4} r10=[5 6] (FILAS 2 y 1, COLUMNAS DE 2 A LA 3) [2 3]

r11=A(end,[1 % r11=[4 6] Ń 3]); % CONSTRUCCIO ABREVIADA DE ALGUNOS VECTORES


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% %

% %

% % % %

%

% % % % % % %

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r12=(1:7); % r12=[1 2 3 4 5 6 7] r13=[1:7]; % r13=[1 2 3 4 5 6 7] r14=(1:3:10); % r14=[1 4 7 10] (ENTRE 1 Y 10 CON INCREMENTO 3) r15=(1:4:10); % r15=[1 5 9] (ENTRE 1 Y 10 CON INCREMENTO 4) r16=(50:-7:1); % r16=[50 43 36 29 22 15 8 1] r17=linspace(2,6,3); % r17=[2 4 6] (LINEAL ENTRE 2 Y 6, 3 ELEM.) r18=linspace(2,6,4); % r17=[2.0000 3.3333 4.6667 6.0000] r19=linspace(2,6); % VECTOR LINEAL ENTRE 2 Y 6 CON 100 ELEM. r20=logspace(0,2,4); % r20=[1.0000 4.6416 21.5443 100], VECTOR LOGAR´ I TMICAMENTE ESPACIADO 10^0 Y 10^2 CON 4 ELEM. EQUIDISTANTES r21=logspace (0,2); % VECTOR LOG. ENTRE 10^0 Y 10^2 CON 50 ELEM. CONSTRUCCI´ O N DE ALGUNAS MATRICES r22=zeros(3); % MATRIZ CUADRADA DE 3x3 LLENA DE CEROS r23=zeros(2,5); % MATRIZ 2 x 5 DE CEROS r24=ones(2,3); % MATRIZ 2 x 3 DE CEROS r25=rand(2,4); % MATRIZ 2 x 4 DE N ´ U MEROS ALEATORIOS ENTRE 1 Y 0 ´ CON DISTRIBUCION UNIFORME r26=randn (2,5); % MATRIZ 2 x 5 DE N´ UMEROS ALEATORIOS, DISTRIBUCI´ ON ´ NORMAL, MEDIA 0 Y DESVIACION 1: NORMAL(0,1) r27=eye(2); % MATRIZ IDENTIDAD 2 X 2 r28=eye(4,2); % MATRIZ 4 X 2 DE 1s EN LA DIAGONAL, 0s EN EL RESTO r29=magic(3); % MATRIZ M´ A GICA 3 x 3, CONTIENE N´ U MEROS 1 AL 3^2, DONDE: SUMA ELEM FILAS = SUMA ELEM COLUMNAS = SUMA ELEM DIAGONAL: 8 1 6 3 5 7 4 9 2 r30=hilb(3); % MATRIZ DE HILBERT 3 x 3 r40=invhilb(3); % INVERSA DE LA MATRIZ DE HILBERT 3 x 3 OPERACIONES B´ ASICAS CON MATRICES P=[1 2;3 4]; Q=[1 1;0 1]; R=[1+i 2+2i;3+i 4+7i]; r41=P*Q; % r41=[1 3;3 7] r42=P.*Q; % r42=[1 2;0 4] (MULTIPLICACI´ ON ELEMENTO A ELEMENTO) r43=R’; % CONJUGADA Y TRANSPUESTA DE R Y VICIVERSA r44=R.’; % TRANSPUESTA DE R r45=P+2; % SUMA 2 A CADA ELEMENTO DE A FUNCIONES PARA OPERAR CON VECTORES SEAN LOS VECTORES: x = [x1 x2 x3]; y = [y1 y2 y3]; PRODUCTO VECTORIAL: cross(x,y)=[(x2*y3-y2*x3) -(x1*y3-y1*x3) (x1*y2-y1*x2)] x1 = [1 2 3]; y1 = [4 5 6]; xcy=cross(x1,y1); % xcy=[-3 6 -3] PRODUCTO ESCALAR: dot(x,y)=x1*y4+x2*y5+x3*y6 xdy=dot(x1,y1); % xdy=32 FUNCIONES PARA EL AN´ ALISIS DE MATRICES v = [1 2 3]; >> diag (v) % CREA MATRIZ DIAGONAL CON ELEMENTOS 1, 2 Y 3 M = [1 2 3 4; 7 8 9 2; 2 4 6 8]; r46=diag(M); % r46=[1;8;6]: VECTOR CON ELEMENTOS DE LA DIAGONAL


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% % % %

%

% % %


r47=size(M); % r47=[3 4]: DIMENSIONES DE M (3 FILAS Y 4 COLUMNAS) r48=length(M); % DEVUELVE 4 (LA DIMENSI´ O N MAYOR DE LA MATRIZ M) r49=rank(M); % r49=2 (2 ES EL RANGO DE M, VER help rank) r50=rref(M); % REDUCCI´ ON MEDIANTE GAUSS r50 = 1 0 -1 -4.6667 0 1 2 4.3333 0 0 0 0 % rank(M)=2 PORQUE EXISTEN DOS FILAS NULAS r51=tril(M); % CREA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR r52=triu(M); % CREA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR OTRAS OPERACIONES CON MATRICES A1=[1 0 0 2 3 4 5 0 2 4 0 0]; r52=find(A1); % DEVUELVE VECTOR COLUMNA DE ´ INDICES [1;2;3,5;6;8;10] r54=reshape(A1,2,6); % r54: MATRIZ 2 X 6 A PARTIR DE COLUMNAS DE A1 r54= 1 2 4 0 0 0 3 0 4 5 2 0 r55=rot90(A1); % A1 GIRA 90 , r55 TOMA LA FORMA: 2 0 0 0 5 0 0 4 4 1 3 2 r56=rot90(A1,3); % A1 gira 270 ( 90 x 3 = 2 7 0 ) FORMEMOS LA MATRIA A2: A2=[A1 2 4 6 3]; r57=funm(A2,@sin); % CALCULA SENO DE CADA ELEMENTO DE A2 r58=expm(A2); % CALCULA MATRIZ EXPONENCIAL DE A2 DIVISI´ O N C/D RESUELVE EL SISTEMA Cx=D Y ES EQUIVALENTE A inv(C)*D. DIVISI´ O N C\D RESUELVE EL SISTEMA xD=C Y ES EQUIVALENTE A C*inv(D). TEXTO a = ’casa’; b = ’gato’; AA = ’CASA’; % CADENAS DE CARACTERES r60=a + b; % r60=[202 194 231 208], SUMA ASCII ELEM POR ELEM r61=a + 0; % r61=[99 97 115 97], REPRESENTACI´ O N ASCII DE a r62=abs(a); % r62=[99 97 115 97], REPRESENTACI´ O N ASCII DE a r63=double(a); % r63=[99 97 115 97], REPRESENTACI´ O N ASCII DE a r64=setstr([99 97 115 97]); % r64=casa r65=abs(’a’)-abs(’A’); % r65=32, RESTA MIN´ USCULAS MENOS MAY´ USCULAS r66=setstr (a-32); % r66=CASA (LA DIFERENCIA) d=5; disp(d); % DEVUELVE 5 EN LA VC disp(’escribe esto’); % DEVUELVE << escribe esto >> EN LA VC o

% % % %

o

%

% % %

o

o

Polinomios % polinomios.m POLINOMIOS


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clear all; close all; clc; % NOTACI´ O N: 5x^4 - 9x^3 + 13x^2 + 9x - 14 ==> [1 -9 13 9 -14] x = [1 -9 13 9 -14]; rx=roots(x); % rx CONTIENE RA´ I CES DE x xx = poly(rx); % DEVUELVE xx GENERADO POR RA´ I CES DE rx (xx=x) p = [1 2 7]; q = [1 3 6]; c = conv(p,q); % c=(z^2+2z+7)(z^2+3z+6)=z^4+5z^3+19z^2+33z+42 % =[1 5 19 33 42] d = deconv(c,q); % COCIENTE DE DIVIDIR c ENTRE q dp = polyder(p); % DERIVADA DE POLINOMIO p dpq = polyder(p,q); % DERIVADA DEL PRODUCTO p*q ep=polyval(p,[0 1 5]); % EVAL´ U A p=x^2+2x+7 PARA x=0, x=1 y x=5 em=polyval(p,[0 1 2;-1 -2 -3;4 0 7]); % EVAL´ U A p PARA CADA FILA % em= % 7 10 15 % 6 7 10 % 31 7 70

Operaciones Relacionales y L´ ogicas % operaclogicas.m OPERACIONES RELACIONALES Y L ´ OGICAS clear all; close all; clc; % OPERADORES RELACIONALES: < <= > >= == ~= % OPERADORES L´ OGICOS: & (AND) | (OR) ~ (NOT) % ORDEN DE PRECEDENCIA: ~= == <= >= < >

% % % %

a =1:9; b=5-a; % a=[1 2 3 4 5 6 7 8 9], b=[4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4] r1=a<6; % r1=[1 1 1 1 1 0 0 0 0], r(i)=1 SI a<6, 0 si a >= 6 r2=a==b; % r2(i)=1 SI a(i)==b(i) ES VERDADERO, 0 SI ES FALSO r3=a~=b; % r3(i)=1 SI a(i)~=b(i) ES VERDADERO, 0 SI ES FALSO r4=(a>b)&(b>-3); % r4(i)=1 SI (a(i)>b(i))&(b(i)>-3), 0 SI ES FALSO c = [Inf 0 5 -8 NaN 94]; >> exist(’c’) % DEVUELVE 1 PORQUE c EXISTE >> isnan(c) % DEVUELVE 1 SI c(i) ES NaN Y 0 SI NO ES NaN >> isinf(c) % DEVUELVE 1 SI c(i) ES Inf Y 0 SI NO ES Inf >> isfinite(c) % DEVUELVE 1 SI c(i) ES FINITO Y 0 SI NO LO ES

Creaci´ on de Funciones La forma general de una función de dos variables es: function[a,b]=nombre_función(x,y)

Por ejemplo, se desea crear la función de nombre calculos para calcular la suma y la resta de dos números, vectores o matrices (x,y). Los resultados los devuelve en [a,b]. Los listados del archivo calculos.m y el archivo usacalculo.m para usar calculos.m se muestran a continuación. Sólo es necesario ejecutar el archivo usacalculos.m para obtener los resultados. % calculos.m

FUNCI´ ON calculos


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clear all; close all; clc; function[suma,resta] = calculos(x,y) suma = x + y; resta = x - y; % usacalculos.m USA FUNCI´ ON CONTENIDA EN calculos.m clear all; close all; clc; x = [1 5; 3 -2; 3 7; 4 -1; 0 2]; y = [16 -1; 0 4; 1 5; -1 0; -1 3]; [a,b] = calculos(x,y); a, b % LA VENTANA DE COMANDO VC DEVUELVE a = x+y, b = x-y

Programaci´ on ´ % programacion.m PROGRAMACI ON EN MATLAB clear all; close all; clc; % SENTENCIA FOR for x = 1:5 disp(’x toma el valor’) % DEVUELVE x toma el valor PARA CADA x disp(x) % DEVUELVE EL VALOR DE x end % SENTENCIA WHILE a=3; while a < 5 disp(’a es menor que 5 porque su valor es:’) disp(a) a = a + 1; end % SENTENCIA IF b = 5; if b == 0 % SE USA == PORQUE ES UNA EXPRESI´ ON L´ OGICA disp (’el valor de b es 0’) elseif b == 1 disp (’el valor de b es 1’) elseif b == 2 disp (’el valor de b es 2’) elseif b == 3 disp (’el valor de b es 3’) else disp (’b no es ni 0 ni 1 ni 2 ni 3’) end % GENERACI´ O N DE N´ U MEROS PRIMOS MENORES DE 100 disp(’Estos son los n´ u meros primos menores de 100’) disp(2) for i=2:100 n=2; while n <= sqrt(i) if rem(i,n)==0 n=i;


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else n=n+1; end end if n~=i disp(i) end end

An´ alisis Numérico y de Datos % analisisnumerico.m AN´ ALISIS NUM´ ERICO clear all; close all; clc; ds=diff(’sin(7*x) ’); % DEVUELVE DERIVADA RESPECTO A x dp=diff(’(exp(x)*cos(3*x*y))’,’y’); %DEVUELVE DERIVADA PARCIAL EN y dd=diff(’(sin (x^2))’,2); % DEVUELVE SEGUNDA DERIVADA RESPECTO A x ec=feval(’cos’,pi); % EVAL´ U A EL COSENO EN pi ep=feval(’cos’, [0 pi/3 pi] ); % EVAL´ U A EL COSENO EN VARIOS PUNTOS em=feval(@cos,[0 pi/3 pi] ); % EVAL´ U A EL COSENO EN VARIOS PUNTOS fm=fminbnd(@sind,0,360); % VALOR ENTRE 0,360, sind TOMA EL M ´ INIMO ´ ´ fz=fzero(’sind’,100); % VALOR MA S PRO XIMO A 100 DONDE sind=0 fq=quad(’sin’,0,pi); % INTEGRAL DEL SENO DE 0 A pi, APROX. RECT. % analisisdatos.m AN´ A LISIS DE DATOS clear all; close all; clc; % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

X [5 7 9 2 9; >>= cumprod(X) % >> cumsum(X) % >> mean(X) % >> sort(X) % >> sum(X) % >> var(X) % >> max (X) % >> min (X) % >> iqr (X) % >> range(X) %

3 1 7 5 1 ;MATRIZ 3 9 2 DE 7 5PRODUCTOS ; 1 5 5 1 ACUMULADOS 8]; DEVUELVE DEVUELVE MATRIA DE SUMAS ACUMULADAS DEVUELVE LA MEDIA DE CADA COLUMNA ORDENA LOS VALORES DE CADA COLUMNA DEVUELVE SUMA DE LOS ELEMENTOS DE CADA COLUMNA DEVUELVE VARIANZA DE LOS ELEMENTOS DE C/COLUMNA DEVUELVE VALOR M´ A XIMO DE CADA COLUMNA DEVUELVE VALOR M´ I NIMO DE CADA COLUMNA DEVUELVE RANGO intercuart´ ı lico DE CADA COLUMNA DEVUELVE RANGO DE CADA COLUMNA: DIFERENCIA ENTRE ´ ´ EL M AXIMO Y EL M Y = [5 7 9 2 9 3 1 7 5 1 3 9 2 7INIMO 5 1 5 5 1 8]; >> tabulate(Y) % DEVUELVE: Value Count Percent 1 4 20.00% (EL N´ U MERO 1 APARECE 4 VECES) 2 2 10.00% (EL N´ U MERO 2 APARECE 2 VECES) 3 2 10.00% 4 0 0.00% 5 5 25.00% 6 0 0.00% 7 3 15.00%

% 8 % 9

1 3

5.00% 15.00%


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B.1.5.


Gr´ aficos

% graficas2D.m GR´ A FICAS EN 2 DIMENSIONES clear all; close all; clc; figure(1) % CREA figure(1) x=[-2 -1 0 1 2 3]; y=[4 1 0 1 4 9]; z=[6 5 3 7 5 2]; w=[-2 -1 0 0.5 1.5 2.5]; plot(x,y,’*’,x,z,’-’), xlabel(’eje x’), ylabel(’eje y’), title(’x vs y’), grid, text(1,4,’HOLA>&$’), axis([-3 3 -1 10]), gtext(’AQU ´ I COLOCO TEXTO’) figure(2) x1 = pi*(-1:0.01:1); y1=x1.*sind(x1); y2=cosd(x1); y3=sin(x1).*exp(x1); y4=exp(-x1); subplot(2,2,1), plot(X1,Y1), title (’x1*seno(x1)*’) subplot(2,2,2), plot(x1,y2), title (’cos(x1)’) subplot(2,2,3), plot(x1,y3), title (’sen(x1)*exp(x1)’) subplot(2,2,4), plot(x1,y4), title (’-exp(x1)’) figure(3) plot(x1,y1), title (’x1*seno(x1)*’), hold on plot (x1,y2), title (’cos(x1)’), plot (x1,y3), title (’sen(x1)*exp(x1)’), hold off figure(4) subplot(221), fplot(’sind(x)’,[0 180]), title(’sen(x) de 0 a 360 grados’) subplot(222), fplot(’x^2*sin(1/x)’,[-0.05 0.05]), title(’x^2 * sin(1/x)’) subplot(223), ezplot(’exp(x)’) % EASY PLOT DE exp(x) subplot(224), ezplot(’sin(t)’,’cos(t)’,[0 pi]) figure(5) subplot(2,1,1), ezplot(’x^2 - y^2 - 1’) x3=[-2 0 2 0 -2]; y3=[4 8 4 0 4]; subplot(2,1,2), plot(x3,y3), fill(x3,y3,’r’) % r=RED % graficas3D.m GR´ A FICAS EN 3 DIMENSIONES clear all; close all; clc; figure(6) x3=[-2 0 2 0 -2]; y3=[4 8 4 0 4]; z3=[3 5 10 5 3]; subplot(311), fill3(x3,y3,z3,’b’) % plot en 3D, b=blue subplot(312), ezsurf(’sin(x*y)’,[-2 2 -2 2]) subplot(313), x4=-720:720; y4=sind(x4); z4=cosd(x4); plot3(x4,y4,z4) figure(7) x = -10:0.5:10; y = -10:0.5:10; subplot(3,1,1), [X,Y]=meshgrid(x,y); % CREA MATRICES PARA LA MALLA Z=sin(sqrt(X .^2 + Y .^2))./ sqrt (X .^ 2 + Y .^ 2 + 0.1); mesh (X,Y,Z) % DIBUJA LA GR´ AFICA subplot(3,1,2), [X,Y] = meshgrid (-10:0.5:10); Z=sin(sqrt(X .^2 + Y .^2))./sqrt(X .^ 2 + Y .^2 + 0.1); mesh(X,Y,Z)


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subplot(3,1,3), surf (X,Y,Z) figure(8) x = -10:0.5:10; y = -10:0.5:10; [X,Y] = meshgrid(x,y); % CREA MATRICES PARA HACER LA MALLA Z = sin(sqrt(X .^2 + Y .^2))./ sqrt (X .^ 2 + Y .^ 2 + 0.1); subplot(2,2,1), contour (X,Y,Z) % DIBUJA L´ INEAS DEL CONTORNO subplot(2,2,2), pcolor(X,Y,Z) % TRANSFORMA ALTURA EN COLORES subplot(2,2,3), surf(X,Y,Z), view(10,70) % AZIMUT 10, ELEVACI´ O N 70 subplot(2,2,4), surf(X,Y,Z), view(10,-12.2), colorbar % colorbar A~ N ADE BARRA DE COLOR % >> surf (X,Y,Z), [az,el]=view % DEVUELVE AZIMUT=-37.5, ELEVAC=30 figure(11) x=-10:0.5:10; y = -10:0.5:10; [X,Y] = meshgrid(x,y); % CREA MATRICES PARA HACER LA MALLA Z=sin(sqrt(X .^2 + Y .^2))./ sqrt (X .^ 2 + Y .^ 2 + 0.1); subplot(2,1,1), [C,h]=contour(X,Y,Z); clabel(C,h) % A~ NADE ALTURAS A CONTORNOS subplot(2,1,2), M = [0 0 0; 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1; 1 1 0]; % MATRIZ DE COLORES NEGRO, ROJO, VERDE, AZUL, AMARILLO colormap(M), surf (X,Y,Z) figure(12) t=0:0.001:0.009; v=900:1025; [T V]=meshgrid(t,v); aux1=16*pi^2*(T.^2).*((V-918).^2).*((V-1011).^2); aux2=aux1+(2*V-1929).^2; w=T./aux2; z=35000000*w; surfl(t,v,z); % SUPERFICIE SOMBREADA 3D CON RAYOS shading interp; % FIJA MODO shading (SOMBRA) CON INTERPOLACI´ ON colormap(pink); % FIJA EN pink (ROSADO) EL COLOR DE LA FIGURA rotate3d; % GIRA LA FIGURA USANDO EL MAUSE print -f -depsc ultimo % GENERA ultimo.eps EN COLOR

B.1.6.

Matem´ atica Simb´ olica

% simbolica.m MATEM´ ATICA SIMB´ OLICA clear all; close all; clc % DERIVADAS E INTEGRALES syms x n a b t theta y u; f1=x^n; r1=diff(f1); % r1=x^n*n/x=n*x^(n - 1), DERIVADA EN x f2=sin(a*t + b); r2=diff(f2); % r2=a*cos(b + a*t), DERIVADA EN t f3=exp(i*th); r3=diff(f3); % r3=exp(th*i)*i, DERIVADA EN th r4=int(f1); % r4=x^(n+1)/(n+1), INTEGRAL INDEFINIDA EN x f5=y^(-1); r5=int(f5); % r5=1/y, INTEGRAL INDEFINIDA EN y f6=n^x; r6=int(f6); % r6=n^x/log(n), INTEGRAL INDEFINIDA EN n


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%

% %

%

%

% %

%

%

% % %

%


r7=int(f2); % r7=-cos(b + a*theta)/a, INTEGRAL EN theta f8=1/(1+u^2); r8=int(f8); % r8=atan(u), INTEGRAL INDEFINIDA EN n f9=exp(-x^2); r9=int(f9); % r9=(pi^(1/2)*erf(x))/2, erf=funci´ o n error c=0; d=1; f10 = x^7; r10=int(f10,c,d); % r10=1/8, INTEGRAL DEFINIDA c=1; d=2; f11 = 1/x; r11=int(f11,c,d); % r11=log(2), INTEGRAL DEFIN. c=0; d=1; f12 = log(x)*sqrt(x); r12=int(f12, c, d); % r12=-4/9 c=0; d=inf; f13 = exp(-x^2); r13=int(f13, c, d); % r13=pi^(1/2)/2 SIMPLIFICACIONES Y SUSTITUCIONES collect: COLECTA TODOS LOS COEFICIENTES CON LA MISMA POTENCIA DE x f14=(x-1)*(x-2)*(x-3); r14=collect(f14); % r14=x^3-6*x^2+11*x-6 f15=x*(x*(x-6)+11)-6; r15=collect(f15); % r14=x^3-6*x^2+11*x-6 f16=(1+x)*t + x*t; r16=collect(f16); % r16=(2*t)*x+t expand: DISTRIBUYE PRODUCTOS EN SUMAS Y APLICA IDENTIDADES DE SUMAS f17 = a*(x+y); r17=expand(f17); % r17=a*x + a*y f18 = (x-1)*(x-2)*(x-3); r18=expand(f18); % r18=x^3-6*x^2+11*x-6 f19 = x*(x*(x-6)+ 11)-6; r19=expand(f19); % r19=x^3-6*x^2+11*x-6 f20 = exp(a + b); r20=expand(f20); % r20=exp(a)*exp(b) f21 = cos(x + y); r21=expand(f21); % r21=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) f22 = cos(3*acos(x)); r22=expand(f22); % r22=4*x^3 - 3*x f23 = 3*x*(x^2-1)+x^3; r23=expand(f23); % r23=4*x^3 - 3*x horner: TRANSFORMA UN POLINOMIO SIMB´ O LICO EN SU FORMA ENCADENADA f24 = x^3-6*x^2+11*x-6; r24=horner(f24); % r24=x*(x*(x-6)+11)-6 f25 = 1.1+2.2*x+3.3*x^2; r25=horner(f25); r25=x*((33*x)/10+11/5)+11/10 factor: EXPRESA f COMO UN PRODUCTO DE POLINOMIOS DE GRADO BAJO f26 = x^3-6*x^2+11*x-6; r26=factor(f26); % r26=(x-3)*(x-1)*(x-2) f27 = x^3-6*x^2+11*x-5; r27=factor(f27); % r27=x^3-6*x^2+11*x-5 f28 = x^6 + 1; r28=factor(f28); % r28=(x^2 + 1)*(x^4 - x^2 + 1) simplify: HERRAMIENTA PODEROSA PARA SIMPLIFICAR f29 = x*(x*(x-6)+11)-6; r29=simplify(f29); % r29=(x-1)*(x-2)*(x-3) f30 = (1 - x^2)/(1 - x); r30=simplify(f30); % r30=x + 1 f31 = (1/a^3+6/a^2+12/a+8)^(1/3); r31=simplify(f31); r31=((2*a+1)^3/a^3)^(1/3) f32 = exp(x)*exp(y); r32=simplify(f32); % r32=exp(x + y) f33 = cos(x)^2 + sin(x)^2; r33=simplify(f33); % r33=1 simple: ENCUENTRA UNA EXPRESI´ O N CON M´ INIMA CANTIDAD DE CARACTERES syms a positive x; f34 = (1/a^3 + 6/a^2 +12/a + 8)^(1/3); r34=simplify(f34); r34= (8*a^3 + 12*a^2 + 6*a + 1)^(1/3)/a f35 = (1/a^3+6/a^2+12/a+8)^(1/3); r35=simple(f35); % r35=1/a+2 f36 = cos(x) + i*sin(x); r36=simplify(f36); % r36=cos(x) + sin(x)*i f37 = cos(x) + i*sin(x); r37=simple(f37); % r37=exp(x*i) f38 = cos(x)^2 -sin(x)^2; r38=simple(f38); % r38=cos(2*x) f39 = cos(x) + i*sin(x); r39=simple(f39); % r39=exp(x*i) f40 = cos(3*acos(x)); r40=simple(f40); % r40=4*x^3 - 3*x pretty: HACE M´ A S VISIBLE LAS EXPRESIONES SIMB´ OLICAS


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231

% >> pretty(f34)

El comando pretty(f34) devuelve:



B.1.7.

1 6 12 + 2+ +8 3 a a a



1/3

Simulaci´ on de un Sistema de Control

El siguiente programa simula el sistema de control de posición backstepping del prototipo MRE (Manipulador Robótico Esférico). El modelo dinámico de Lagrange del MRE deducido en la subsección ??, ecuación (??), posee la forma:

M(q)q ¨ + P(q, q˙ )q˙ + d(q) = u

q=

q1

u=

    q2

donde:

M=



M 11 0 0 M 22 M 11 = M 22 = P 11 = P 12 = P 21 = P 22 = d21 =



P=

Ra nK m K A Ra nK m K A Ra nK m K A Ra nK m K A Ra nK m K A Ra nK m K A Ra nK m K A

    u2

P 11 P 12 P 21 P 22

   −  −

u1

d=

1 J 1 + J eq + m2 L2 sen2 q2 4 1 J 2 + J eq + m2 L2 4



 

Beq + n2 K m K b Ra 1 m2 L2 q˙1 senq2 cos q2 2 1 m2 L2 q˙1 senq2 cos q2 4 n2 K m K b Beq + Ra 1 m2 L2 gsenq2 2

 

0 d21





El dise˜ no de un controlador backstepping emplea el procedimiento descrito en la secci´ on ??, que en forma breve establece hasta el nivel de simulación: (1) Definir las especificaciones de diseño y determinar el modelo no lineal del sistema a controlar en la forma dada en (??). (2) Determinar la ley de control backstepping dada en (??). Para ello, definir el vector de referencias deseadas qd , formular el vector de error e y el vector q˙ r :

e = z1 = q

− qd

q˙ r = q˙ d

− Kz1

donde K es una matriz diagonal con elementos k positivos. El observador se expresa como:


q˙ = q˙ d + Ld (q





− q)

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Fundamentos de MATLAB y Simulink donde Ld es una matriz diagonal con elemento  positivos. El vector q se puede calcular integrando q˙ . La ley de control backstepping posee la forma:

 

u = M(q)q ¨ + P(q, q˙ )q˙ r + d(q)

−K

˙

 −

d (q

q˙ r )

−K

1

z1



en donde Kd y K1 son matrices diagonales con elementos kd y k1 positivos, respectivamente. (3) Simular el sistema de control backstepping empleando los par´ ametros de sintonización kd , k1 y d . La Fig. B.2 muestra el diagrama de flujo empleado en esta publicació n para simular los sistemas de control. El archivo bscmrer.m muestra el programa en código MATLAB para simular el el control simultáneo de las posiciones de los brazos del MRE empleando un controlador backstepping. Este archivo, que es autoexplicativo, emplea el diagrama de flujos de la Fig. B.2. El resultado de la simulación se muestran en la Fig. B.3. Inicio Parámetros del sistema Parámetros de sintonización Condiciones iniciales

Lazo de control

k=1 Señales de referencia Algoritmo de control Almacenamiento de datos

¿k < N?

SI

NO Gráficos de resultados

Fig. B.2: Diagrama de flujo para la simulación de un sistema de control.

% bscmrer.m CONTROL BACKSTEPPING DEL MANIPULADOR MRE. % CASO: REGULACI´ O N (REFERENCIA CONSTANTE EN EL TIEMPO) clear all; close all; clc;


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% DATOS DEL SUB-SISTEMA MEC´ ANICO d = 0.01; rd = 0.06; b = 0.25; a = 0.044; La = 0.3; Lh = 0.05; md = 0.55; mb = 0.9; ma = 0.8; mh = 0.15; g =9.81; n = 12.5; m1 = md + mb; m2 = ma + mh; L1=(mb*b+md*d)/(mb+md); L2=La+Lh; Jm = 0.0003; Jg = 0.053; Jd = md*rd^2/2; Jb = mb*a^2/6; J1 = Jd+Jb; J2 = m2*L2/3; Jeq = n^2*Jm+Jg; Bm = 0.0001; Bg = 0.01; Beq = n^2*Bm+Bg; % DATOS DEL SUB-SISTEMA EL´ ECTRICO Km = 0.0421; Kb=0.0564; Larm = 0; Ra = 5.3; KA = 12.5; % PAR´ AMETROS DE CONTROL K = 5; K1=8; Ld=10; Kd=8; % VALORES INICIALES q1 = 0; q2 = 0; dq1 = 0; dq2 = 0; qe1 = 0; qe2 = 0; % TIEMPO DE MUESTREO T (segundos) Y N´ U MERO DE ITERACIONES N T= 0.01; N=4000; A = 1; % A: MAGNITUD DE LAS REFERENCIAS DESEADAS % LAZO DE CONTROL for k=1:N; % REFERENCIAS DESEADAS qd1 Y qd2 if(k >= 0 && k <= N/4), qd1 = 0.5*A; qd2 = 0.1*A; elseif(k >= N/4 && k <= N/2), qd1 = 0.2*A; qd2 = 0.7*A; elseif(k >= N/2 && k <= 3*N/4), qd1 = 0.8*A; qd2 = 0.3*A; elseif(k >= 3*N/4 && k <= N), qd1 = 0.3*A; qd2 = 0.5*A; end Qd1(k) = qd1; dqd1 = 0; ddqd1 = 0; Qd2(k) = qd2; dqd2 = 0; ddqd2 = 0; % ERROR DE SEGUIMIENTO e1 = q1 - qd1; e2 = q2 - qd2; z11 = e1; z22 = e2; dqr1 = dqd1 - K*z11; dqr2 = dqd2 - K*z22; % OBSERVADOR dqe1 = dqd1 + Ld*(q1 - qe1); qe1 = qe1 + T*(dqe1); dqe2 = dqd2 + Ld*(q2 - qe2); qe2 = qe2 + T*(dqe2); % CONTROL M11e = Ra*(J1 + Jeq + m2*L2*sin(qe2)^2/4)/(n*Km*KA); M22 = Ra*(J2 + Jeq+m2*L2/4)/(n*Km*KA); P11 = Ra*(Beq + n^2*Km*Kb/Ra)/(n*Km*KA); P12e = Ra*m2*L2*dqe1*sin(q2)*cos(q2)/(2*n*Km*KA); P21e = -Ra*m2*L2*dqe1*sin(q2)*cos(q2)/(4*n*Km*KA); P22 = Ra*Beq + n^2*Km*Kb/Ra/(n*Km*KA); d11 = 0; d21e = -Ra*m2*L2*g*sin(qe2)/(2*n*Km*KA); u1 = M11e*ddqd1+P11*dqr1+P12e*dqr2+d11- Kd*(dqe1-dqr1) - K1*z11; u2 = M22*ddqd2+P21e*dqr1+P22*dqr2+d21e-Kd*(dqe2-dqr2) - K1*z22; U1(k) = u1; U2(k) = u2; % MODELO DEL SISTEMA CONTROLADO M11 = Ra*(J1 + Jeq + m2*L2*sin(q2)^2/4)/(n*Km*KA); P12 = Ra*m2*L2*sin(q2)*cos(q2)*dq1/(2*n*Km*KA);


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P21 = -Ra*m2*L2*dq1*sin(q2)*cos(q2)/(4*n*Km*KA); d21 = -Ra*m2*L2*g*sin(q2)/(2*n*Km*KA); dq1 = dq1 + T*(u1 - P11*dq1 - P12*dq2- d11)/M11; dq2 = dq2 + T*(u2 - P21*dq1 - P22*dq2- d21)/M22; q1 = q1 + T*dq1; Q1(k) = q1; q2 = q2 + T*dq2; Q2(k) = q2; end % FINALIZA EL LAZO DE CONTROL % GR´ AFICOS ejex=linspace(0,N*T,N); % EJE DE TIEMPO subplot(411) plot(ejex,Qd1(1:N),ejex,Q1(1:N)), grid on ylabel(’POSICI ´ O N q1 [rad]’) subplot(412) plot(ejex,U1(1:N)),grid on xlabel(’TIEMPO [S]’) ylabel(’CONTROL u1 [v]’) subplot(413) plot(ejex,Qd2(1:N),ejex,Q2(1:N)), grid on ylabel(’POSICI ´ O N q2 [rad]’) subplot(414) plot(ejex,U2(1:N)), grid on xlabel(’TIEMPO [S]’) ylabel(’CONTROL u2 [v]’) print -f -deps dfsimr % GENERA FIGURA dfsimr.eps

B.2.

Fundamentos de Simulink

Simulink se ejecuta dentro del entorno de MATLAB y depende de este programa para definir y evaluar el modelo a simular y los bloques de parámetros. Simulink también usa algunas caracter´ısticas de MATLAB, tales como: definición de las entradas del modelo, almacenamiento de las salidas del modelo para análisis y visualización, y realizar operaciones y funciones propias de MATLAB dentro del modelo. Se recomienda los siguientes 6 pasos para modelar un sistema: (1) definir el sistema, (2) identificar los componenetes del sistema, (3) modelar el sistema con ecuaciones, (4) elaborar el diagrama de bloques en Simulink, correr la simulación, y (6) validar los resultados de la simulación.

B.2.1.

Fundamentos del Software Simulink

Para mostrar la biblioteca de bloques (Simulink Library Browser, Fig. B.4): 1. Abrir MATLAB, luego tipear simulink en el prompt. 2. Click el botón Start (extremo inferior izquierdo de la ventana MATLAB) y luego seleccionar: Simulink > Library Browser. 3. Click en el icono Simulink:


ubicado en la barra de menus de MATLAB.

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B.2 Fundamentos de Simulink

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] d a 1 r [ 1 q N0.5 Ó I C I S O 0 0 P

5

10

15

20

] v [ 50 1 u L O 0 R T N O−50 C 0

5

10

15

20 TIEMPO

] d a 1 r [ 2 q N0.5 Ó I C I S O 0 0 P

5

10

15

20

] v [ 50 2 u L O 0 R T N O−50 C 0

5

10

15

20 TIEMPO

25

30

35

40

25

30

35

40

25

30

35

40

25

30

35

40

[S]

[S]

Fig. B.3: Resultado de la simulación del sistema de control backstepping del MRE: las posiciones de los brazos del manipulador siguen las señales de referencia deseada.

Para crear un nuevo modelo, seleccionar en el menú de la ventana Simulink Library Browser (SLB): File > New > Model. El software abre una ventana vac´ıa (Fig. B.5) en donde construir el modelo. Para abrir un modelo existente: 1. En el men´ u de la ventana SLB, seleccionar File > Open. En la ventana Open buscar el archivo con extensión .mdl a abrir. Ubicado el archivo, seleccionarlo y click Abrir. El software abre el archivo buscado en una ventana que tiene como etiqueta el nombre del archivo. 2. En la VC (ventana de comandos) de MATLAB, hacer click en el icono [...] (tres puntos seguidos) ubicado en la parte superior derecha, para que aparezca la ventana Buscar carpeta. En esta ventana ubicarse en el directorio donde est´ a el archivo .mdl. Luego, en el prompt de MATLAB, escribir el nombre del archivo sin extensión, para que aparezca el modelo buscado. La ventana SLB, Fig. B.6, muestra la biblioteca de bloques de Simulink instaladas en su sistema. Los bloques se pueden copiar o arrastrar desde esta ventana a una ventana vac´ıa. Cuando use la ventana SLB, notar lo siguiente: Los bloques de una biblioteca se pueden ver seleccionando el nombre de la


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Fig. B.4: Librer´ıa de bloques (Simulink Library Browser).

Fig. B.5: Nueva ventana para construir un modelo.


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biblioteca en la parte izquierda de la ventana SLB, o haciendo doble click en el bloque seleccionado. Cuando se selecciona un bloque, su descripción aparece en la parte inferior de la ventana SLB. Para obtener mayor información de un bloque, seleccionar el bloque en la ventana SLB, y en su men´ u ir hacia Help > Help on the Selected Block. Los parámetros de un bloque se pueden visualizar y cambiar haciendo click derecha sobre el bloque. Se puede buscar un determinado block en la ventana SLB, insertando el nombre del block en el campo de búsqueda ubicado a la derecha del icono Luego, hacer click sobre tal icono.

.

La forma más rápida de obtener ayuda en un bloque de una biblioteca, es hacer click derecho y luego seleccionar Help.

Fig. B.6: Biblioteca de bloques en la ventana Simulink Library Browser (SLB).

Simulink proporciona una gran variedad de demos para ilustrar las bondades de este software. Para ingresar a los demos, hacer click en el botón Start ubicado en el extremo inferior izquierdo de la ventana MATLAB y luego ir a Start > Simulink > Demos.


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B.2.2.


Creaci´ on de un Modelo Simulink

problema a resolver v´ıa un Simulink, es controlar la posici´ n angular de un brazo robóEl tico de 1GDL empleando controlador por linealizaci´ onode la realimentaci´ on y un observador de estados. Primero, seleccionar un directorio de trabajo para alojar los archivos Simulink disnl2.mdl y MATLAB disnl2p.m. La Fig. B.7 muestra el diagrama de bloques Simulink que se obtiene tipeando disnl2 en el prompt de MATLAB. Observar que los bloques Proceso no lineal, Observador no lineal, Conversión de x a z, Se˜ n al u y Se˜ nal v, son en realidad subsistemas que alojan, cada uno, una porción del programa de control. disnl2_u u Mux Señal u Señal v

Proceso no lineal

gráfico

Mux

disnl2_x1 x1

Referencia r

disnl2_r ConversiónObservador de x a z no lineal

r

Fig. B.7: Diagrama de bloques del archivo Simulink disnl2.mdl. Por otro lado, el bloque Referencia r es una señal sinusoide que se arrastra desde su ubicación en la ventana SLB: Simulink > Sources > Sine Wave (Fig. B.8), hacia la ventana de trabajo. Haciendo doble click en cualquier subsistema, aparece una ventana con el contenido del mismo. Por ejemplo, la Fig. B.9 muestra el contenido del subsistema Proceso no lineal. Sus componentes se arrastran desde la ventana SLB a la ventana de la Fig. B.9. Observar en dicha Fig. que los c´ırculos x1, x2 y x3 son las variables de salida del sistema, mientras que el c´ırculo u es la entrada. La entrada u se genera arrastrando la elipse In1 ubicada en la ventana SLB: Simulink > Commonly Used Blocks > In1, mientras que para las tres salidas se requiere arrastrar tres veces la elipse Out1 ubicada en la ventana SLB: Simulink > Commonly Used Blocks > Out1. El subsistema Proceso no lineal se crea seleccionando con el click derecho todo el contenido de la Fig. B.9 y luego tipeando Ctr + G o seleccionando en el menú de MATLAB: Edit > Create Subsystem. Los rectángulos u, x1 y r mostrados en la Fig. B.7, que sirven para almacenar datos, se crean arrastrando tres veces el rectángulo To File ubicado en la ventana SLB: Simulik > Sinks > To File. Haciendo doble click en cada rect´ angulo, se introduce un nombre a elección por ejemplo, disnl2_u, disnl2_x1 y disnl2_r. En la Fig. B.7, Scope es un graficador que se obtiene de la ventana SLB: Simulink > Sinks > Scope. El procedimiento para obtener el resultado de este programa: los gráficos de la salida x1 controlada u la fuerza de control u, es el siguiente: 1. Ejecutar el archivo disnl2p.m para introducir datos al sistema. El archivo no se


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Fig. B.8: Ubicación del bloque Sin Wave.

1 u

Kact

3

2

x3

x2

1

gan5

L.s+R sum1

subsistema eléctrico

1

n*K

1 s

M.s+B

gan6

subsistema

sum2

Integrador

1 x1

mecánico n*E

gan2

N

gan3

MATLAB Function seno

Fig. B.9: Contenido del subsistema Proceso no lineal.


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Fundamentos de MATLAB y Simulink ejecuta completamente porque recién se van a crear los archivos de datos.

2. correr el programa Simulink disnl2.mdl haciendo click en el tri´ angulo negro ubicado en la parte superior de la Fig. B.7. 3. Tipear: save disnl2_x1, save disnl2_r, save disnl2_u en el el prompt de MATLAB. Estos comandos almacenan los datos en los archivos tipo *.mat: disnl2_x1.mat, disnl2_r.mat y disnl2_u. 4. Ejecutar nuevamente el archivo disnl2p.m para obtener la Fig. B.10 1 ) s e n a i d a r (

0.5 0

n ó i c i s o −0.5 P

−1

0

2

4

6

8 10 12 Tiempo en segundos

14

16

18

20

0

2

4

6

8 10 12 Tiempo en segundos

14

16

18

20

2.5 ) s o i t l o v ( l o r t n o c e d l a ñ e S

2 1.5 1 0.5 0 −0.5

Fig. B.10: Salida controlada y fuerza de control correspondiente.


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´ Indice alfab´ etico Determinante, 151 de una matriz, 151 propiedades, 152 Discretización directa, 178 Ecuación caracter´ıstica, 168 Eigenvalor, 159 Eigenvector, 159 Estabilidad de sistemas, 183 Forma canónica controlable, 174 de Jordan, 176 diagonal, 175 observable, 175 Formas canónicas, 174

Sistema estable e inestable, 168 Sistema PLIT, 183 Solución de la ecuación de estado, 170 Transformada de Laplace Fórmulas de, 142 inversa, 140 Propiedades de la, 145 unilateral, 138 Variables de estado, 163

Fracciones parciales, 142 Linealización de sistemas, 183 Matrices, 148 diagonalización de, 162 multiplicaci´ on de, 148 similares, 162 Matriz de transferencia, 167 diagonal, 150 eigenvalor de una, 159 identidad, 150 pseudoinversa de una, 160 rango de una, 157 traza de una, 150 triangular inferior, 150 triangular superior, 150 Par´ ametros, variables y s´ımbolos del sistema Tanque con Agua, 27 Procesos con tiempo muerto, 181 Puntos singulares en PLITs, 168


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ControlDeProcesosV3

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