Control Automático
TECSUP
El control de procesos 1. El Proceso : Objetivo calentar el liquido liquido hasta una una temperatura T (establecida) W, T i
Válvula
Vapor de agua
T
W, T
Fig. 1.1 Proceso de Calentamiento de un Líquido
2. Variables del proceso Perturbaciones
Variables de entrada
Proceso
Variable ariabless de de salida
Variables manipuladas
Variable de entrada: Flujo, temperatura en la entrada Variable de Salida: Flujo, temperatura en la salida Variable manipulada:Caudal de vapor Perturbaciones: Temperatura de los alrededores
3. Modos de control 3.1 Control Manual Entrada de liquido W, T i
Vapor
T
Medición de temperatura
Válvula de control Salida de liquido W, T
Operario
3.2 Control Automático a) Sistema de control retroalimentación Entrada de liquido W, T i Punto de Referencia
Controlador
Vapor
T
Medición de temperatura
Válvula de control Salida de liquido W, T
Componentes básicos • Sensor, llamado también a menudo elemento primario llamado también elemento • Transmisor, secundario • Controlador, el cerebro del sistema de control • Elemento final de control o actuador, a menudo una válvula, pero no siempre, otros actuadores comunes son bombas de velocidad variable, y motores eléctricos • Proceso
Operaciones basicas en sistemas de control • Medición, la medición de la variable a ser controlada es usualmente hecha por la combinación de sensor y transmisor. • Decisión: Basado en la medición, el controlador debe decidir qué hacer para mantener la variable en su valor deseado. • Acción: Como resultado de la decisión del controlador, el sistema debe tomar una acción, esta es finalmente realizada por el actuador.
b) Sistema de control de alimentación directa Medición de fl ujo
M edición de temperatura
Entrada de liquido W, T i Punto de Referencia
Control de alimentación dìrecta
Vapor
T
Válvula de control
Medición de temperatura
Salida de liquido W, T
c) Control combinado de retroalimentación y alimentación directa Medición de fl ujo
M edición de temperatura
Entrada de liquido W, T i Punto de referencia
Control de Retroalimentación
Control de alimentación dìrecta
Vapor
T
Válvula de control
Señal de temperatura al controlador
3.2 Sistema de control por computadora Sensor Controlador Convertidor A/D
Horno Eléctrico
Interfaz
Entrada programada
Temperatura de referencia (Temperatura deseada)
Resistencia
Relevador
Amplificador
Interfaz
Términos Importantes y objetivos de un sistema de control •Dinámica •Variable controlada •Variable manipulada •“Set point” •Perturbación •Lazo abierto •Lazo cerrado
4. Diseño de un sistema de control 4.1 EL Sistema: Intercambiador de calor Entrada de fluido de calentamiento T co , F co Válvula de control
Controlador de temperatura
TC
Temperatura de referencia T R Salida de fluido de proceso T p , F p Entrada de fluido de proceso T po , F po
Salida de fluido de calentamiento
4.2a. Diagrama de bloques Diagrama de bloques: control de retroalimentación Carga
Controlador
Punto de medición
Comparador SP
E
Controlador
Válvula
T medida Elemento de medida
Intercambiador
T p
4.2 b. Diagrama de bloques simplificado Sistema de retroalimentacion negativo
CONTROLADOR R
VALVULA
F c
PROCESO F c
E
p G C
T Pm
G V
G m MEDIDOR
G: Función de transferencia = Salida / entrada
T p G P
Operaciones elementales con diagramas de bloques Suma
Diferencia
Suma y diferencia u
r
e
+
r
e
+
-
+
c e=r-c
c e=r+c
r
e
+ + c
e=r-c+u
4.3 Analisis del sistema de control 1. Dominio de Laplace: Teoria Clásica, usa el concepto de función de transferencia 2. Dominio del tiempo: Teoría Moderna usa el concepto de espacio de estado
Teoria Clásica Analisis en el dominio de Laplace
Encontrar la función de transferencia de cada elemento (cada bloque) del sistema de control
Función de transferencia : G(s) =
Salida Entrada
1. Proceso: Por modelamiento matemático De la Ec. general de balance de energía al ENE Entradas – salidas = acumulación V (U o +K o + o ) – V (U+K+ ) + (Q G +Q) - (W + V P - V P ) o o o o =
[(U+K+ )V ] (1)
a) Para el fluido caliente = 2[ F c (t)(T ] co – T c ) - U(t) A T(T) / Cp c /M c
(2)
b) Para el fluido frío = 2[ F p (t)(T ) + U(t) A T(T ) / Cp ] po – T p p /M p
(3)
Donde: T c = temperatura de salida del fluido caliente T c0 = temperatura de entrada del fluido caliente T p = temperatura de salida del fluido de proceso (variable que se va a controlar) T p0 = temperatura de entrada del fluido de proceso F c = flujo de masa del fluido caliente (variable que se va a manipular) F p = flujo de masa del fluido de proceso U = coeficiente total de transferencia de calor A = área de transferencia de calor T = diferencia verdadera de temperaturas Cp c = capacidad calorífica del fluido caliente Cp p = capacidad calorífica del fluido de proceso M c = masa del fluido caliente dentro del intercambiador M p = masa del fluido de proceso dentro del intercambiador t = tiempo
Reacomodando la Ec. (3) para el fluído de proceso
= (T po – T p ) + U(t) A T(T) /F p Cp p
(4)
Definiendo la constante de tiempo
= p (tiempo)
y
A T(T) /F p Cp p = k 1
La Ec. (4) se puede escribir como
+ T p = T po + k 1 U
(5)
En el estado estacionario, la Ec. (5) será:
+ T
= T
+ k 1 U = 0
(6)
Restando la Ec. (6) de la Ec. (5) se tiene + (T p - T ps ) = (T po - T pos ) + k 1 (U – U s )
(7)
Definiendo las variables de desviación: (T p - T ps ) = T p (U – U s ) = U Además, T po = T pos la temperatura de entrada es la misma en cualquier instante. Con lo cual la Ec. (7) será: + T p = k 1 U
(8)
Aplicando la transformada de Laplace a la Ec. (8) se tiene: p [
s T p (s) – T p (0) ] + T p (s) = k 1 U(s)
(9)
Simplificando la Ec. (9) se tiene ( 10)
Usando el mismo procedimiento para la Ec. (10) (fluido de calentamiento) y aplicando la propiedad de traslación de la transformada, para lo cual se sabe que: Q = F c (T c – T co ) = U A T
(11)
se tiene la función de transferencia para el fluido de calentamiento
(12)
Considerando que los dos procesos se llevan a cabo en serie, por lo cual la función de transferencia del proceso total será el producto de las funciones de transferencia individuales, y haciendo k p k c = K p, c = 1 y p = 2, se tiene: ;
1 , 2
>0
(13)
La Ec. (13), relaciona la variable de salida T P (variable controlada) a la variable regulada F C (entrada o carga), donde 1 y 2 son las constantes características de tiempo del proceso.
Esta función de transferencia es de segundo orden (el orden está dado por el mayor exponente al que esta elevado el parámetro s en el denominador); por lo que este proceso es de segundo orden.
Por conveniencia, a T p denominaremos X y a F c como F , con lo cual la Ec. (13) se escribe (14) Tomando los valores experimentales para el estado estacionario se tiene: K P = 0.07 C/kg seg Así mismo para las constantes de tiempo se tiene: 1 2
= 3.42 seg.
= 3 seg.
Sustituyendo estos valores en la anterior función de transferencia y arreglando se tiene
(15)
Función de transferencia del proceso
2. Controlador De dos posiciones o intermitentes (encendido – apagado): “ON/OFF ” Proporcional: PC Integral: IC Proporcional – Integral: PIC Proporcional – Derivativo: PDC
Proporcional – Integral – Derivativo: PIDC
Seleccionando un PID Su función de transferencia es
G(s) =
= K p
Donde K p = ganancia proporcional, i =
tiempo integral, y
d =
tiempo derivativo.
3. Elemento de medida (sensor) Siendo la entrada al elemento de medida la variable leída ( Y ) y la salida el valor emitido hacia el controlador ( Y m), la función de transferencia es
Gm = H(s) =
=1
3. Elemento de control final (válvula) En muchos sistemas prácticos, la constante de tiempo de la válvula es muy pequeña comparada con las constantes de tiempo de otros componentes del sistema de control, y su función de transferencia puede ser aproximada a una constante
GV =
= K V = 1
Escribiendo en cada bloque su función de transferencia se tiene: CONTROLADOR T R
E
VALVULA p
G C 1 s K c 1 d
s i
PROCESO F c
1
1 145 ,5 s 2 91s 14 ,8
T Pm 1 MEDIDOR
El siguiente paso es reducir a un solo bloque de la forma: T R
G
T P
Para lo cual se debe hacer uso del algebra de bloques
T p
Bloques en serie x
y
z
G1
x
G2
z G1G2
Bloques en paralelo G1
x
x
y G1 + G2
y G2
Eliminación de un anillo menor y
x +
G1
x
G1 1 G1G2
G2
y
Aplicando el algebra de bloques se tiene
T R
T P ( s) T R ( s)
K d s
2
K c s K i
T P
145,5 s 3 (91 K d ) s 2 (14,8 K c ) s K i
Que es la función de transferencia de todo el sistema, donde: K c = ganancia proporcional
K i = K c/i K d = K c d
Sintonización del controlador: Búsqueda de los mejores valores de K c, K i y K d
Características PID
RESPUESTA BC
TIEMPO SUBIDA
SOBREIMPULSO
TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO
ERROR R-P
K p
Disminuye
Aumenta
Poca variación
Disminuye
K i
Disminuye
Aumenta
Aumenta
Elimina
K d
Poca variación
Disminuye
Disminuye
Poca variación
Programa Matlab » Kp=70; » Kd=150; » Ki=10; » num=[Kd Kp Ki]; » den=[145.5 91+Kd 14.8+Kp Ki]; » t=0:0.01:20; » step(num,den,t)
Se obtiene la respuesta escalón Kp=70 Kd=150 Ki=10
Para otros valores de los parámetros
TEORIA DE CONTROL MODERNA 1. El espacio de estado Una ecuación diferencial de orden n puede descomponerse en n ecuaciones diferenciales de primer orden Luego el sistema de ecuaciones se puede escribir de la forma . X = Ax + Bu y = Cx + Du
Por ejemplo, sea la función de transferencia del Intercambiador de calor
T R
T P ( s) T R ( s)
150 s 145,5 s
3
2
70 s 10
241 s
2
En Matlab » num = [0 150 70 10]; » den = [145.5 241 84.8 10]; » [A,B,C,D] = tf2ss(num,den)
84,8 s 10
T P
Se obtiene una representación en el espacio de estado A=
B=
-1.6564 -0.5828 -0.0687
1.0000 0
0
0
1.0000
0
1
0 0
C= 1.0309
0.4811
0.0687
D=
0
lHay muchas infinitas representaciones en el espacio de estados para este sistema.
De igual manera se puede pasar del espacio de estado a la función de transferencia » A=[-1.6564 -0.5828 -0.0687; 1.0000 ; 0
1.0000
0
0];
» B=[1; 0; 0]; » C=[1.0309
0.4811
0.0687 ];
» D=[0 0 0]; » [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
Obteniendose la respuesta la función de transferencia
0
Analisis en el espacio de estado Programa Matlab » A = [-1.6564 -0.5828 -0.0687; 1.0000 0 1.0000 0]; » B = [1; 0; 0]; » C = [1.0309
0.4811
0.0687];
» D=[0]; » step(num,den); » step(A,B,C,D) Se obtiene la misma figura aterior
0
0;
Respuesta escalón
2. Sistemas discretos (la transformada z) La transformada Z se utiliza con señales discretas o discontinuas, es decir, sistemas en los que se muestrea cada cierto tiempo el valor de una señal. La transformada Z se define por la relación: Z = e-Ts De este modo la expresión de la transformada de Laplace de la función muestreada x*(s) queda:
X(z) = X*(s) = x(nT ) .z – n ll n 0
