Control-y-Mejora-de-la-Calidad

Control y mejora de la calidad Prat Bartés, Albert Tort-Martorell Llabrés, Xavier Grima Cintas, Pere Pozueta Fernández, Lourdes

Prólogo

Cuando decidimos escribir este libro, lo hicimos con un objetivo fundamental: satisfacer las necesidades y expectativas, en cuanto a formación estadística, de los estudiantes de ingeniería y de todos aquellos técnicos, ingenieros y científicos que quieren utilizar métodos estadísticos para acelerar la adquisición de conocimientos. El proceso de detección de estas necesidades y expectativas ha sido largo pero extraordinariamente interesante. La principal fuente de información ha sido la experiencia adquirida por los autores durante las múltiples asesorías realizadas a todo tipo de organismos públicos y privados tanto nacionales como multinacionales. Este contacto intenso con la realidad, además de ser una fuente inestimable de temas para la investigación teórica y aplicada, permite la obtención de datos reales y la aplicación de los métodos estadísticos a problemas relevantes para el público a quien se dirige el texto. En este sentido, el capítulo 1 introduce al lector en la importancia actual de los conceptos de la calidad total y sitúa el papel de la estadística como uno de los tres pilares en los que se fundamentan dichos conceptos. Una de las constataciones realizadas por personajes de la talla de Deming y Juran es que un porcentaje muy elevado de problemas por mala calidad en la industria y los servicios se pueden resolver mediante la utilización masiva y sistemática de las herramientas que se explican en el capítulo 2. Los capítulos 3 y 4 presentan de forma conceptual y resumida los elementos básicos de la variabilidad y de su medida en la teoría de la probabilidad. Los resultados teóricos de estos dos capítulos constituyen la base en que se fundamentan los métodos estadísticos descritos en el texto. Los capítulos 5 y 6 contienen los métodos utilizados para comparar dos o más poblaciones, tanto para el caso de diseños totalmente aleatorizados como para los diseños en bloques completos aleatorizados. En la actualidad, las técnicas de diseño de experimentos, tanto en su versión clásica de diseños factoriales y factoriales fraccionales, como en su versión de métodos de Taguchi para el diseño de parámetros en ingeniería de la calidad, son de gran importancia en todo tipo de organizaciones industriales. A ellas hemos dedicado los capítulos 7, 8, 9 y 10. Finalmente, otra área de gran interés para el control y la mejora de la calidad es la de control estadístico de procesos (SPC) que se expone brevemente en el capítulo 11. Al final de cada grupo temático se proponen una serie de ejercicios que pretenden facilitar la compresión de los conceptos teóricos.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

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El enfoque del libro está también influenciado por las largas conversaciones y el trabajo en común de algunos de los autores con dos auténticos maestros de la estadística: George E. P. Box y el difunto William G. Hunter. Compartimos con ellos la idea de mantener al mínimo imprescindible el aparato matemático utilizado en el texto, e intentar que, a través de la utilización de datos reales, el lector pueda apreciar toda la complejidad del proceso iterativo de adquisición de conocimientos y en la resolución de problemas de interés para la industria y los servicios. Este libro es el resultado de muchos años de experiencia en la enseñanza de la estadística. Esta experiencia no se limita únicamente a los estudiantes de ingeniería en la Escola Tècnica Superior de Enginyers Industrials de Barcelona, y a los de la diplomatura de Estadística de la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la Universitat Politècnica de Catalunya, sinó que se extiende a la enseñanza de la estadística en los múltiples cursos realizados a medida para ingenieros, economistas, técnicos, etc., en distintas empresas de una gran variedad de campos de actividad. Desearíamos que nuestro libro satisfaga realmente a nuestros lectores pero, como todo producto es mejorable, les estimulamos a que nos hagan llegar todo tipo de comentarios y sugerencias que permitan mejorarlo en ediciones futuras. Finalmente, deseamos manifestar nuestro agradecimiento a la Universitat Politècnica de Catalunya, a la cual pertenecemos, por concedernos un premio a la elaboración de material docente que ha facilitado la elaboración del presente texto, a los becarios Natalia Montolío y Santiago Fernández, que han colaborado en la recopilación de los problemas y la elaboración de las tablas que figuran en el libro, así como a Pia Margarit por su trabajo en la edición del primer original.

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Albert Prat Xavier Tort-Martorell Pere Grima Lourdes Pozueta

Índice

1

El entorno de la calidad total

1.1

1.3 1.4

Evolución histórica del concepto de control de la calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.1.1 Inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.1.2 Control estadístico de procesos (C.E.P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.1.3 Calidad en la etapa de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Mantenimiento, mejora e innovación en la calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.2.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.2.2 El ciclo PDCA como estrategia básica de los procesos de mejora continua . . . . . . .20 Conceptos básicos de la gestión de la calidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Métodos estadísticos en la calidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

2

Herramientas básicas para la mejora de la calidad

1.2

2.1 Plantillas para la recogida de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.2 Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2.3 Diagramas de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 2.4 Diagramas causa-efecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 2.5 Diagramas bivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 2.6 Estratificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 Apéndice 2A Datos e información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 3

Causas y medidas de la variabilidad

3.1 3.2

Causas de la variabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 Medidas de la variabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3.2.1 Variabilidad en una muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Densidad de probabilidad. Variabilidad en la población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Esperanza matemática y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3.3 3.4 3.5 3.6

9


π

3.7

El caso bivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.7.1 Variabilidad muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.8 Densidades de probabilidad conjunta y densidades marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.8.1 Densidades marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 3.9 Densidades condicionales e independencia de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 3.10 Covarianza y coeficiente de correlación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 3.11 Esperanza matemática y varianza de combinaciones lineales de variables aleatorias . . . . .58 3.12 Ejemplo del “helicóptero” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 4

Algunos modelos probabilísticos

4.1

10

La ley normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 4.1.1 Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 4.2 La ley binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 4.3 Ley de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 4.4 Distribución de estadísticos en muestras aleatorias simples de poblaciones normales . . . . .74 4.5 Distribución de Y (σ2 conocida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 4.6 La ley de Chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 4.7 La ley t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 4.8 Distribución de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 4.9 Distribución de Y (σ2 desconocida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 4.10 El caso de dos poblaciones normales independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 4.11 La ley F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 4.12 Distribución del cociente de dos varianzas muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 5 5.1

Comparación de dos tratamientos

Caso 1: comparación de dos productos en un proceso de curtido de piel . . . . . . . . . . . . . .85 5.1.1 Planteamiento del problema. Recogida de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 5.1.2 Análisis exploratorio. Formalización del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 5.1.3 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 5.2 Generalización del caso de la comparación de dos productos para el curtido: comparación de medias en diseños totalmente ateatorizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 5.3 Caso 2: comparación de dos tratamientos superficiales para lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 5.3.1 Planteamiento. Recogida de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 5.3.2 Análisis exploratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 5.3.3 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 5.4 Generalización del caso de la comparación de dos tratamientos superficiales de lentes: . . . . . comparación de medias en diseños en bloques aleatorizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 5.5 Aleatorización y bloqueo: recapitulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 5.6 Contraste de hipótesis. Formalización y limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 5.7 Un análisis alternativo: intervalos de confianza para la diferencia de medias . . . . . . . . . . .97 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 Apéndice 5A Test de comparación de medias cuando no puede asumirse la igualdad de varianzas poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 Apéndice 5B Pruébelo Ud. mismo. Comparación de dos tipos de helicóptero . . . . . . . . . . . . . . .103

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6

EL ENTORNO DE LA CALIDAD TOTAL

Comparación de más de dos tratamientos: análisis de la varianza

6.1

Método gráfico de comparación de medias para poblaciones independientes . . . . . . . . . .106 6.1.1 Ideas básicas para la aplicación del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 6.1.2 Requisitos de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 6.1.3 Caso de la comparación de procedimientos de montaje. Aplicación del método . .110 6.2 Caso de la comparación de procedimientos de montaje con datos bloqueados. Hipótesis sobre el modelo de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 6.2.1 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 6.3 Método clásico de análisis de la varianza. Tabla ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 6.3.1 Planteamiento de un caso y cuestiones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 6.3.2 Construcción e interpretación de la tabla ANOVA en diseños totalmente aleatorizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 6.3.3 Tabla ANOVA para diseños bloqueados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

7

Diseños factoriales

7.1

Necesidad de la experimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 7.1.1 Avance del conocimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 7.1.2 Diferencia entre experimentar y analizar datos existentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 7.1.3 Modelos mecanicistas y empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 7.2 Posibles estrategias experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 7.2.1 Estrategia secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 7.2.2 Diseños factoriales frente a intuición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 7.2.3 Concepto de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 7.3 Variabilidad de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 7.3.1 Variabilidad en el sistema de medición de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 7.4 Diseños factoriales con las variables a dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 7.4.1 Diseños factoriales a dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 7.4.2 Matriz de diseño. Construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 7.4.3 Aleatorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 7.4.4 Réplicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139 7.5 Cálculo de los efectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 7.5.1 Cálculo de los efectos a partir del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 7.5.2 Algoritmos de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142 7.6 Significación de los efectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 7.6.1 Significación cuando se dispone de réplicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 7.6.2 Papel probabilístico normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 7.7 Interpretación de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 7.7.1 Cálculo de residuos. Diagnosis del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 7.8 Diseños a dos niveles bloqueados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 Apéndice 7A Relación entre los algoritmos de cálculo y el método de los mínimos cuadrados . .153 Apéndice 7B Papel probabilístico normal para diseños con ocho y dieciséis experimentos y casos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

11


8

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Diseños factoriales fracciónales

8.1

12

Utilidad y justificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165 8.1.1 Justificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165 8.2 Ejemplo introductorio. Cinco variables en dieciséis experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 8.2.1 Confusión de los efectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169 8.3 Construcción de diseños fraccionales y cálculo de las confusiones introducidas . . . . . . . .170 8.3.1 Construcción de diseños fraccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170 8.3.2 Cálculo de las confusiones introducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 8.3.3 Concepto de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 8.4 Otros diseños fraccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 8.4.1 Medias fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 8.4.2 Fracción complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 8.4.3 Diseños saturados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 8.4.4 Diseños intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 8.5 Bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 8.5. 1 Bloqueo de factoriales completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 8.5.2 Ejemplo de proceso químico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180 8.5.3 Factoriales completos divididos en más de dos bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 8.5.4 Fraccionales divididos en bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 8.6 Tablas de diseños fraccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 8.7 Estrategia secuencial utilizando diseños fraccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187 8.7.1 Advertencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188 8.7.2 Fracciones complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188 8.7.3 Efecto bloque al añadir fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 8.7.4 Adición de experimentos para conseguir clarificaciones puntuales . . . . . . . . . . . . .191 Apéndice 8A Teoría de la proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 Apéndice 8B Significación de las interacciones de dos factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198 9

Introducción a la metodologia de superficie de respuesta

9.1 Introducción. Necesidad de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201 9.2 Grado de conocimiento y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202 9.3 Estrategias de la metodología de superficie de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203 9.4 Aproximación lineal a las condiciones óptimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206 9.5 Aproximación por el camino de máxima pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209 9.6 Aproximación cuadrática. Diseños centrales compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212 9.7 Análisis canónico de la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221 10

Diseño de productos robustos

10.1 10.2 10.3 10.4

Concepto de producto robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223 Variabilidad funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224 Metodología del diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225 Diseño de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

π


10.5 Matriz de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227 10.6 Ejemplo de producto robusto a ruido externo: suavizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229 10.7 Ejemplo de producto robusto a ruido interno: tubo calefactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236 10.8 Diseño de tolerancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238 Apéndice 10A Función de pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239 Apéndice 10B Método de Taguchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242 11

Control estadístico de procesos

11.1 11.2

Evolución del CEP y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243 Proceso en estado de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 11.2.1 Comportamiento esperado de las observaciones individuales en un proceso en estado de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 11.2.2 Comportamiento de la media de un proceso en estado de control . . . . . . . . . . . . . .246 11.3 ¿Qué es un gráfico de control? Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247 11.4 Gráficos de control para variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248 11.4.1 Gráficos X-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249 11.4.2 Gráfico de observaciones individuales y gráfico de rangos móviles . . . . . . . . . . . .251 11.4.3 Gráfico de medias móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252 11.4.4 Interpretación de los gráficos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252 11.4.5 Estudios de capacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255 11.5 Gráficos de control para atributos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258 11.5.1 Gráfico P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258 11.5.2 Gráfico NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261 11.5.3 Gráfico C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263 11.5.4 Gráfico U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265 11.6 Otros gráficos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266 11.6.1 Gráfico CUSUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266 11.6.2 Gráficos EWMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269 11.7 El precontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271 11.8 Gráficos de control para observaciones dependientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274 Apéndice 1: Tablas estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277 Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295 Bibliografía

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299

13

Bibliografía

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Índice alfabético

Aleatorizar 89, 95, 138 Algoritmo de Yates 142-144, 153, 154, 176, 177, 204 Análisis exploratorio de los datos 90, 94, 108, 118 Bloque 93-95, 113, 114, 116, 164, 179-183, 188, 191-193, 198-200, 210, 212-216 Bloquear 95, 152, 164, 179, 181, 183, 185-187 Brainstorming 35 Calidad total 15, 18, 21, 23, 244 Capacidad 15, 16, 69, 83, 135, 201, 223-225, 254-258, 275, 276 Causa asignable 48, 49, 60, 225, 245, 250, 253, 254, 260, 267, 269, 271 común 48, 49, 60, 244, 248, 249, 273 fundamental 34 potencial 36 primaria 35, 36 trivial 32 Ciclo PDCA 20, 203 Cliente 16, 18, 22, 223-226, 229, 233, 239, 244, 247, 257, 261 Competitividad 15, 16 Condición experimental 139, 145, 146, 151, 164, 175, 199, 230 Confusión de los efectos 128, 154, 169, 175 Control de calidad 16, 36, 255 Correlación 36, 37, 39-42, 56, 57, 63, 193 Covarianza 56, 57, 63 Creatividad 15, 19, 188 Criterio de ortogonalidad 212

Criterio de rotabilidad 212 Cultura de la calidad 21 Curvas de nivel 132, 202, 204, 215, 216 Datos apareados 105 inconsistentes 128 Densidad 23, 28, 47, 50-52, 54-56, 60, 62, 63, 66-68, 74, 76-78, 106, 128, 129, 133, 157 Densidad condicional 55 de probabilidad 23, 28, 47, 50-52, 54-56, 60, 63, 66, 68, 74, 76-78 de probabilidad conjunta 54, 56 marginal 55 Desviación tipo 23, 67, 70, 83, 92, 94, 97, 107, 111, 115, 135, 145-147, 256, 276 Diagrama 33-37, 39-42, 94, 129, 130 bivariante 37, 39, 42, 129, 130 causa-efecto 36, 42 de barras 33 de Pareto 31-34 Diferencia de medias 86, 95, 97, 98 Diseño central compuesto 204, 205, 212 de experimentos 18, 22, 23, 130, 135, 223, 225, 271 de productos robustos 23, 223, 225, 238 de tolerancias 226, 238 en bloques aleatorizados 102 estrella 205, 212-214 factorial 136, 153, 154, 162-165, 179, 199, 200, 205, 212 factorial a dos niveles 136, 155 primario 225

295


296

secundario 226 terciario 226 Distribución 19, 20, 23, 30, 47, 48, 52, 53, 55, 62, 63, 65, 67-71, 73-79, 81, 82, 88-90, 9295, 100, 102, 105-108, 112-114, 117, 121, 123, 146, 147, 149, 184, 215, 229, 231, 233, 246-248, 252, 255-257, 261, 263, 265, 270 Efecto aditivo 93, 114 bloque 93, 114, 179, 181, 183, 188, 191, 192, 199, 212-216 principal 140-143, 150, 176, 196, 199 Estadísticamente significativa 89, 94, 96, 105 Estadístico de prueba 94, 95, 123 Estado de control 49-52, 59, 68, 243, 244, 246248, 250, 253, 255-259, 262, 269-272 Estimador 75, 79, 88, 90, 97, 111, 116, 119, 120, 262 Estrategia experimental 130 secuencial 130, 131, 147, 158, 175, 177, 187-189 Estructura organizativa 17 Evaluación 20, 138 Experimentar 127, 130, 132, 136, 152, 175, 192, 203, 205, 209, 210, 236, 237, 240 Experimentos independientes 70 Factor de control 227, 232 de escala de la t-Student 111 Fracción complementaria 173, 174, 188, 191 Frecuencia absoluta 28, 29 relativa 28, 29, 51, 54, 60 Gestión de la calidad total 21 Grado de libertad 145, 183, 192, 211 Gráfico C 263, 264 CUSUM 266-268 de control 246-248, 254, 256, 260, 261, 263, 264, 269, 270, 275 de observaciones individuales 251, 252 EWMA 269, 270 NP 261 P 258-262 R 250, 252, 254 Shewart 271 U 265 Heterocedasticidad 109, 110 Hipótesis alternativa 86, 90, 96, 111 Hipótesis nula 86, 89, 95, 96, 98, 110, 111, 113, 211

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Histograma 28-30, 48, 50, 51, 54, 60, 103, 255 Igualdad de varianzas poblacionales 88, 90, 102 Independencia de las diferencias 94 de las poblaciones 90 Índice de capacidad 256, 257 Innovación 15, 18, 19 Inspección 16-18, 30, 225, 243, 250, 260 Intervalo de confianza 97-99 de confianza para la diferencia de medias 97 Límite de control 248 Mantenimiento 15, 18, 19, 35, 47, 72, 224, 225, 238, 255 Media muestral 74, 83, 119, 250 poblacional 52, 119 ponderada de las varianzas muestrales 111 fracciones 172, 173, 175, 177, 188 Mejora continua 15, 18-20, 244, 247, 256 Método de matriz producto 230 de Taguchi 226, 240, 241 Modelo de segundo orden 207, 211, 214, 217, 221, 237 Muestra aleatoria simple 74, 79, 94 Muestreo 16, 17, 45, 247, 248, 260, 272 Nivel codificado 137, 138 Normalidad de las poblaciones 89 Planificar 19, 72, 89, 113, 130 Plantilla 26, 33, 250, 256, 268, 269 Población conceptual 51, 54, 59, 61, 74 Población normal 75, 121 Proceso en estado de control 49-52, 59, 68, 244, 246, 247, 258, 259, 270, 272 Productividad 16, 22, 93, 110, 111, 113, 116, 117 Producto robusto 223, 229, 236 Quality function deployement (QFD) 18 Rango 30, 41, 128, 129, 154, 202, 231, 248252, 257 Recogida de datos 25, 26, 41, 45, 89, 90, 9395, 113, 203, 248 Región de operabilidad 206 Relación no causal 129 Réplica 139, 163, 164 Residuo 151 Resolución 22, 34, 45, 87, 92, 110, 114, 172, 173, 175, 177, 178, 183-185, 187, 189-191, 195, 196, 198, 200, 203, 228-230, 233

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Responsabilidad 19, 22, 48 Recurso humano 130 Riesgo 91, 247, 267, 268 Ruido externo 226, 227, 229, 232, 235, 236 Ruido interno 226, 227, 236-238 Sesgado 30 Sistema 48, 49, 68, 134, 135, 139, 144, 145, 149, 158, 188, 193, 248 Suceso 74 Tolerancia 30, 69, 275 Tratamiento 23, 89, 91, 92, 94, 95, 111, 113, 115, 117, 118, 229, 271 Valor de prueba 39, 40 Valor previsto 115, 151, 270 Variabilidad funcional 224 Variable aleatoria 23, 49, 51-54, 60, 62, 65-67, 70, 74, 76, 121 Variable oculta 129, 154 Varianza 23, 51, 52, 58, 62, 71, 73, 77-81, 88, 90, 97, 105, 108-111, 115-121, 133, 141, 144-146, 152, 231, 236, 238, 239, 241, 248, 61, 263, 266 Volante de Deming 20

ÍNDICE ALFABÉTICO

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1 El entorno de la calidad total

En este capítulo se justifica la importancia de la calidad de los productos y servicios como elemento estratégico para la competitividad de las organizaciones que los producen. El concepto de calidad que subyace a lo largo de este libro es el de que la calidad es inversamente proporcional a las pérdidas e inconvenientes de todo tipo que un producto o servicio provoca al usuario. Los métodos utilizados en la industria para asegurar la calidad de sus productos han evolucionado a lo largo del tiempo. En este capítulo se analiza críticamente dicha evolución y se refuerza la idea de que el mejor momento para considerar la calidad de un producto es cuando se está diseñando. A continuación, y siguiendo todavía en el ámbito de calidad de los productos (o servicios), se analizan tres clases de actividad que requieren distintos tipos de actitud por su distinta complejidad. Dichas actividades son las de mantenimiento o control de la calidad, actividades de mejora continua y, finalmente, las de innovación o creatividad. En el apartado 1.4 se discuten los aspectos culturales, organizativos e instrumentales necesarios para que la calidad sea un elemento básico en la gestión de las organizaciones, y para que éstas sean capaces de satisfacer a sus clientes tanto en calidad como en precio, plazo de entrega y servicio postventa de sus productos. Finalmente, y dado que este libro trata sobre métodos estadísticos para el control, la mejora y la innovación de la calidad, se discute el papel que tiene el método científico en general y la estadística en particular dentro de las organizaciones para el desarrollo de los tres tipos de actividad.

1.1 Evolución histórica del concepto de control de la calidad Desde sus orígenes, probablemente el ser humano ha considerado de vital importancia el disponer de productos de alta calidad. Es de suponer que el cazador que disponía de mejores flechas obtenía más y mejores presas y que este hecho no debía pasar inadvertido a nuestros antepasados. La organización del trabajo en la era industrial ha añadido otros puntos de vista acerca del producto tales como costes, plazo de entrega, servicio postventa, seguridad, fiabilidad, etc. La prioridad asignada a los diversos conceptos ha ido evolucionando con el tiempo. Así, por ejemplo, en situaciones en las que la demanda de productos ha sido muy superior a la capacidad de oferta, la gestión empresarial se ha orientado hacia la producción y ha dado alta prioridad a la

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Fig. 1.1 Historia del control de calidad

productividad, mientras que cuando la demanda de ciertos productos ha sido menor que la capacidad de oferta, la gestión se ha orientado hacia el cliente y la calidad ha sido altamente prioritaria. En la actualidad pocos discuten la importancia estratégica de la calidad como factor de competitividad industrial en una situación de fuerte saturación y globalización de los mercados. Paralelamente, también ha ido evolucionando la etapa del desarrollo de un producto en la que se ha intentado asegurar su calidad. Dicha evolución está representada en la figura 1.1.

1.1.1 Inspección Durante el inicio de la era industrial la calidad de los productos se intentaba asegurar mediante la inspección de los mismos antes de ser enviados al mercado. El modelo conceptual del enfoque basado en la inspección es el de la figura 1.2. 16

Fig. 1.2 Enfoque conceptual de la inspección

A la inspección, ya sea exhaustiva (100%) o mediante muestreo estadístico, se le asignan dos objetivos: a) separar el producto defectuoso para ser reprocesado o desechado, y b) advertir al responsable del proceso de fabricación sobre la aparición del producto defectuoso para que aquél pueda tomar las medidas de ajuste que estime oportunas.

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Es bien conocido el hecho de que la inspección, incluso si es al 100%, no cumple eficazmente el objetivo (a), debido a la fatiga del inspector entre otras causas. Pero aunque pudiésemos suponer una inspección perfecta, no se debe olvidar que el producto detectado como defectuoso ya ha sido producido y, por lo tanto, se han consumido recursos de mano de obra, materia prima, energía, etc que incrementarán el coste del producto. Además, en el producto considerado como aceptable puede existir una proporción elevada de unidades cuya calidad no se diferencie mucho de las unidades rechazadas, y el operario se puede desentender de la calidad confiando en la inspección. Si añadimos a lo anterior que la inspección es una actividad no productiva, y que en muchas organizaciones la estructura organizativa no facilita la comunicación necesaria para hacer posible la consecución del objetivo (b), se entiende que este enfoque para asegurar la calidad claramente no es adecuado. 1.1.2 Control estadístico de procesos (C.E.P.) Durante los años que precedieron al inicio de la II Guerra Mundial, y debido principalmente a los trabajos de W. Shewhart (1931), el aseguramiento de la calidad se desplazó a la etapa de fabricación de los productos. El esquema conceptual del C.E.P. (o S.P.C. en abreviación inglesa) es el de la figura 1.3.

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Fig. 1.3 Modelo conceptual del control estadístico de procesos

Se trata, esencialmente, de minimizar la producción de unidades defectuosas reduciendo el tiempo que transcurre entre la ocurrencia y la detección de algún desajuste en el proceso de fabricación, así como la identificación de las causas del mismo a fin de evitar su repetición. Este tipo de control, que se desarrolla en el capítulo 11 de este libro, se implementa mediante muestreo de características físicas del producto (longitud, peso, diámetro, etc.), o de variables del proceso (temperatura, presión de rodillo, etc.). Dado que el C.E.P. no conseguirá eliminar por completo la fabricación de unidades defectuosas, puede ser necesario mantener cierto grado de inspección final tal como se indica en la figura 1.3. Ahora, sin embargo, la inspección tiene como finalidad el separar el producto defectuoso.


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1.1.3 Calidad en la etapa de diseño Tanto la inspección como el C.E.P. son mecanismos internos de la organización. Es por ello que, aunque en una cierta empresa funcionasen a la perfección tanto las inspecciones a la recepción de materias primas como las de producto acabado, así como el control estadístico de los principales procesos de la misma, nada o muy poco aportarían estos procedimientos a algo tan importante como saber los problemas que los productos de la empresa en cuestión provocan a sus clientes cuando los utilizan, o por qué algunas personas utilizan productos de la competencia, etc. Es por ello que, en la actualidad, el control de la calidad es una actividad globalizadora, que incluye, no sólo a todas las personas y procesos de una cierta empresa, sino también a los proveedores y a los distribuidores, tal como queda reflejado en la figura 1.4.

18 Fig. 1.4 Modelo conceptual de la calidad total

En esta figura destaca, en primer lugar, que la calidad ha de venir determinada por las necesidades y expectativas del cliente y no por necesidades internas de la propia organización. En segundo lugar se observa que el mejor momento para asegurar la calidad de los productos o servicios es durante el diseño de los mismos. Para ello es necesario, por un lado, actuar sobre los proveedores para poder mejorar la calidad de los componentes no fabricados en la empresa y, por otro, la utilización de herramientas como el diseño de experimentos (DEX) o el Quality Function Deployement (QFD) para intentar que las expectativas de los clientes se introduzcan y optimicen en la etapa de diseño y prototipo.

1.2 Mantenimiento, mejora e innovación en la calidad 1.2.1 Conceptos básicos En el terreno de la calidad es conveniente distinguir tres tipos de actividades diferentes: mantenimiento, mejora continua e innovación. El lector puede encontrar una buena presentación de estos conceptos en el libro Kaizen de Imai (1986). Por actividades de mantenimiento entendemos todas aquellas actividades tendentes a conservar los estándares tecnológicos, de gestión y de operación actuales. mantenimiento = estandarizar + control

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Parece recomendable que, antes de embarcarse en cualquier programa de mejora de la calidad, una empresa estandarice la mejor forma conocida de operar y se asegure de que todo el personal trabaja de acuerdo a dichos estándares. En nuestra opinión, los estándares deben ceñirse a las operaciones verdaderamente importantes, deben estar redactados de forma clara y ser comprendidos por el personal que debe seguirlos. El control del cumplimiento de dichos estándares es responsabilidad de la gestión de la empresa Por actividades de mejora continua (Kaizen en japonés) entendemos todas aquellas actuaciones dirigidas hacia la mejora constante de los estándares actuales. Tal como indica Bill Hunter, todo proceso u operación además de producto físico, genera información suficiente para mejorarlo. Hasta tal punto es cierta esta afirmación que es muy probable que cuando un estándar está en vigor más de seis meses sin ser modificado, ello sea debido a que no es seguido por nadie dentro de la propia organización. Las actividades de mejora constante se realizan mediante la secuencia (Plan, Do, Check, Action), es decir, planificar la mejora, implementarla, verificar sus efectos y actuar en función de los resultados de dicha verificación, tal como explicamos en el apartado 1.2.2. Creemos importante destacar que a toda mejora en los estándares operativos deben seguir actividades de mantenimiento, ya que de lo contrario es casi seguro que los efectos beneficiosos de la mejora desaparecerán rápidamente (ver figura 1.5). Por actividades de innovación entendemos aquellas actividades sistemáticas tendentes a la creación de productos/servicios con funciones, operatividad, coste, etc., nunca experimentados antes. Uno de los activos intangibles que toda empresa debería incrementar, lo constituyen las metodologías y herramientas que permiten utilizar los conocimientos y la creatividad de todo el personal de la organización para crear nuevos productos que satisfagan con creces las necesidades y expectativas de los clientes potenciales. Cada una de las actividades que acabamos de describir requiere distinto nivel de conocimiento y de responsabilidad por parte del personal que la realiza. Así, por ejemplo, Imai (1986) Fig. 1.5 Mantenimiento, mejora e innovación considera que la distribución del tiempo de trabajo de los distintos niveles de responsabilidad en las distintas actividades se distribuye en Japón según el gráfico de la figura 1.6. Destacan el poco tiempo dedicado a las actividades de mantenimiento (el día a día) por parte de la alta dirección, y el tiempo que dedican capataces y trabajadores a las actividades de mejora Fig. 1.6 Concepción japonesa de las funciones continua.

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1.2.2 El ciclo PDCA como estrategia básica de los procesos de mejora continua Desde su primera visita a Japón en 1950, Deming transmitió a los ejecutivos e ingenieros japoneses que asistían a sus sesiones de consulta la importancia transcendental de la interacción constante entre I+D, diseño, fabricación y servicio postventa. Esta idea se generalizó en lo que diversos autores (Imai (1986), Ishikawa (1985)) han llamado el volante de Deming, también conocido por el ciclo PDCA (Plan, Do, Check, Action). La versión de Ishikawa del ciclo PDCA se encuentra en la figura 1.7. Este ciclo es útil para actividades tan diversas como la planificación estratégica de una empresa, o la mejora del proceso de distribución del correo interno en la misma. En el contexto que discutimos en este capítulo, se propone el ciclo PDCA como la estrategia a seguir en toda actividad de mejora constante de los estándares existentes en una organización. En primer lugar debe planificarse (Plan) la mejora. La etapa de planificación comprende, entre otras actividades: Fig. 1.7 El ciclo PDCA 20

a) definición de los objetivos a alcanzar, b) definición de medidas que permitan saber en un momento dado el nivel de cumplimiento de sus objetivos, c) definición del equipo responsable de la mejora, d) definición de los recursos o medios necesarios para alcanzar los objetivos propuestos. En segundo lugar aparece la ejecución (Do) de las tareas necesarias para implementar la mejora. En esta etapa es importante considerar la necesidad de educar y entrenar al personal responsable de la implementación de la mejora. La omisión de esta actividad suele hacer fracasar una buena parte de los proyectos de mejora. Evidentemente la fase de ejecución requiere la puesta en práctica de las modificaciones del producto o del proceso que han sido consideradas como oportunas y efectivas por el equipo de trabajo. En tercer lugar tenemos la etapa de evaluación (Check). Esta fase es de enorme importancia. Se trata de verificar los resultados de la implementación de la mejora comparándolos con los objetivos iniciales. Es importante aclarar en este punto que, en general, no es suficiente evaluar los resultados finales. En efecto, si fuese cierto algo del tipo: “Si se aplica la solución Y debería obtenerse el resultado X”, no se trataría de verificar si se ha obtenido X sino también si se ha aplicado la solución Y. Finalmente, en cuarto lugar, tenemos la etapa de actuación (Action). De la etapa de verificación debe desprenderse la necesidad de actuar sobre el proceso para corregir los aspectos que hayan merecido una evaluación negativa. La actuación puede implicar y mejorar el propio plan, por ejemplo, fijando nuevos objetivos, o mejorando el proceso de educación del personal, o modificando la asignación de recursos para el proyecto de mejora, etc. Una vez completado el ciclo es importante seguir dando vueltas al volante PDCA, repitiendo las cuatro etapas en un nuevo proceso de mejora. Sólo mediante esta perseverancia puede una empresa mejorar realmente todos los procesos y, en consecuencia, la calidad de sus productos y servicios.

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1.3 Conceptos básicos de gestión de la calidad total Este libro no cuenta entre sus objetivos entrar en el detalle de las diferentes teorías existentes sobre la gestión de la calidad total, que se encuentran desarrolladas en las obras de Deming (1982), Juran & Gryna (1980) e Ishikawa (1985), entre otros muchos autores. De todas maneras, lo que tienen en común las teorías de estos pensadores de la calidad total es que ésta se asienta sobre tres pilares: cultura de la calidad, sistemas y recursos humanos, y utilización de la estadística. Si en una organización falla alguno de estos tres pilares, será difícil, por no decir imposible, introducir la gestión de la calidad total. En la figura 1.8 se resume lo que el consultor norteamericano Brian Joiner llama la teoría Q. La cultura de la empresa respecto a la calidad es un pilar esencial. Hoy en día es difícil encontrar directivos en las organizaciones que no digan que para ellos, la calidad es lo más importante. Pero por desgracia, los hechos no siempre concuerdan con estas afirmaciones. Es fundamental que los propietarios o la alta dirección se involucren en la introducción de esta cultura de la calidad en sus empresas.

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CULTURA

MÉTODO CIENTÍFICO

UN SOLO EQUIPO

Fig. 1.8 La teoría Q de Brian Joiner


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Dicha cultura empieza por reconocer que la calidad viene definida por las necesidades y expectativas del cliente, y no por consideraciones internas de los departamentos de la empresa. La idea fundamental es que los productos y servicios deben cumplir siempre las especificaciones del cliente e incluso sorprender al mismo con prestaciones en las que ni tan siquiera había pensado. Es esta calidad excitante (en la denominación de Kano (1987)) la que puede captar nuevos usuarios y ampliar la cuota de mercado de la organización que sea capaz de fabricar este tipo de productos. Además, cuando se habla de cliente, hay que tener en cuenta que nos referimos, tanto al cliente externo o destinatario final de los productos y servicios, como al cliente interno. En este sentido es importante tener presente que toda unidad operativa dentro de la empresa se caracteriza por tener proveedores (el proceso anterior), tener clientes (el siguiente proceso) y realizar las operaciones propias de la unidad. Todo proceso debe, pues, intentar satisfacer las expectativas del proceso que le sigue (cliente interno) y, por descontado, intentar no crearle problemas o inconveniencias. Otra idea básica en el aspecto cultural de las organizaciones es que la calidad se mejora únicamente mejorando todos los procesos de la organización. La mejora constante de la calidad es responsabilidad de todo el personal. De hecho podría decirse que en cualquier descripción de las funciones de un puesto de trabajo debería figurar la de mejorarlo constantemente. Atendiendo al elevado porcentaje de componentes en un producto final que son comprados a proveedores externos, pero que el cliente final asociará a la empresa que sitúa el producto en el mercado, se ha impuesto la idea de que es importante asociar a los proveedores en la responsabilidad de la mejora de la calidad. Esta idea, que en la versión de Deming se debería realizar mediante colaboración entre proveedor y comprador en beneficio mutuo y en convenios a largo o medio plazo, no siempre se aplica con este enfoque y puede generar importantes tensiones entre las partes involucradas. Los distribuidores pueden aportar información pertinente sobre el comportamiento de los productos cuando están en manos del cliente y, en consecuencia, aportar a la empresa datos sobre las necesidades y expectativas del mercado que deberían ser satisfechas por los productos y servicios de la organización. Finalmente, el tercer pilar lo constituye la utilización masiva del método científico y más en concreto de la estadística. El lector habrá observado que hemos puesto en cursiva la palabra masiva. En efecto, no se trata tanto de que un porcentaje reducido del personal utilice métodos estadísticos altamente complejos sino de que en toda la organización se utilicen datos fiables para la toma de decisiones a todos los niveles. Como decía Bill Hunter, (1) si una organización desea mejorar sus niveles actuales de calidad y productividad debe actuar, es decir, tomar decisiones; (2) para tomar decisiones es necesario disponer de buena información y, (3) la estadística es la disciplina especializada en convertir datos en información. De este simple razonamiento se desprende la importancia del tercer pilar. Creemos conveniente insistir en la necesidad de la existencia de los tres pilares en toda organización que quiera situar la calidad en el centro de sus actividades, y que desee mejorar su productividad y sus costes por el único camino real, que es la mejora de la calidad. Así, por ejemplo, de poco serviría que se utilizasen gráficos de control o diseño de experimentos en una empresa donde no existiera la cultura necesaria, o se quisieran solucionar los problemas de calidad mediante la introducción de círculos de calidad sin que éstos supiesen utilizar las herramientas estadísticas básicas y sin que la alta dirección asumiera la responsabilidad en la resolución de los problemas que sólo ella pudiese abordar. Es importante insistir en esta idea dado que el presente libro se refiere exclusivamente a métodos estadísticos y el lector podría deducir, equivocadamente, que son sólo estos métodos los necesarios para mejorar la calidad de los productos y servicios de una organización.

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1.4 Métodos estadísticos en la calidad total En este libro presentamos algunos de los métodos estadísticos más utilizados para la mejora y el control de la calidad de productos y servicios. No pretendemos ser exhaustivos y quedan fuera de este trabajo algunos métodos de uso muy extendido como la regresión múltiple, la fiabilidad y los experimentos con mezclas, entre otros. En el capítulo 2 se presentan algunas herramientas básicas, conocidas como las herramientas de Ishikawa, cuyo uso sistemático y masivo en toda la organización es suficiente para resolver un porcentaje muy elevado de problemas de calidad. Uso sistemático significa entender las organizaciones como sistemas y tener en cuenta, por lo tanto, que una modificación o mejora en un cierto proceso puede influir en otros procesos de la organización. El lector deberá, pues, prestar más atención al concepto de uso sistemático y, uso por parte de todas las personas con un enfoque claro de mejora de la calidad, que en las técnicas o herramientas en sí mismas. En el capítulo 3, se estudian de manera conceptual algunas ideas básicas de la teoría de la probabilidad, tales como variable aleatoria, densidad de probabilidad y función de distribución y los modelos probabilísticos más usuales. El capítulo 4 se dedica al estudio de las distribuciones asociadas a muestras aleatorias simples de poblaciones normales, que constituyen la base teórica necesaria para el desarrollo del resto del libro. En el capítulo 5 se presentan los métodos basados en la t-Student para comparar dos poblaciones. En la práctica es frecuente que un mismo producto sea fabricado en dos o más procesos idénticos que funcionan en paralelo. Antes de mezclar las producciones de dos máquinas, deberíamos asegurarnos de que, efectivamente, están trabajando con la misma media y desviación tipo. Esta comprobación puede hacerse mediante pruebas de significación basadas en la t-Student para diseños totalmente aleatorizados. Otro tipo de problemas que se resuelven con los métodos de la t-Student para diseños en bloques aleatorizados son, por ejemplo, comparar una población de individuos antes y después de haber sido sometida a un tratamiento, como podría ser un plan de formación. En el capítulo 6 se generalizan los métodos estudiados en el capítulo 5, al caso de comparar más de dos poblaciones. Dicha comparación se realiza mediante técnicas de análisis de la varianza que se presentan para el caso de diseños totalmente aleatorizados y para diseños en bloques aleatorizados. Los capítulos 7 y 8 están dedicados a la presentación de los conceptos y métodos para el diseño de experimentos con factores a dos niveles. Se estudian tanto los diseños factoriales como los factoriales fraccionales con o sin bloqueo. El capítulo 9 extiende los conceptos de los dos capítulos anteriores al estudio de las superficies de respuesta. Las aportaciones de G. Taguchi al diseño de productos robustos y las posibles mejoras a sus métodos, son objeto de estudio en el capitulo 10. Finalmente el capítulo 11 se dedica al estudio del control estadístico de procesos.

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2 Herramientas básicas para la mejora de la calidad

Es práctica habitual en todas las empresas fijar unos objetivos en cuanto a ventas, producción, stocks, beneficios, etc., y periódicamente ir comprobando si los resultados obtenidos coinciden con las previsiones realizadas, para tomar las acciones correctoras oportunas en el caso de que las desviaciones respecto a lo previsto sean importantes. Sin embargo, las acciones en cuanto a la mejora de la calidad se toman en muchas ocasiones basándose en sensaciones, impresiones u opiniones, pero no en el análisis científico de datos objetivos. Cada vez está más extendida la idea de que los problemas de calidad deben ser atacados mediante la aplicación de métodos científicos de recogida y análisis de datos (estadística). Pero el uso de esta práctica no debe quedar restringido a un grupo reducido de “expertos en calidad” sino que todo el personal puede (¡y debe!) participar en el proceso de control y mejora de la calidad. Naturalmente, no todos deben aplicar las mismas técnicas. Por ejemplo, los planes de experimentación para la optimización de productos (que se estudian con detalle en los capítulos 7 y 8 de este libro) exigen la utilización de importantes recursos materiales y requieren un cierto nivel de especialización y conocimientos; por tanto, deben quedar en manos de los cuadros técnicos. No obstante, existen otras técnicas que sí deben ser conocidas y utilizadas por todo el personal de la empresa. Estas técnicas se conocen con el nombre de “Las siete herramientas básicas de Ishikawa”, ya que ha sido este ingeniero japonés el que más ha promocionado su uso, primero en Japón, con notable éxito, y después en el resto del mundo. Existe unanimidad entre los expertos de más prestigio en temas de calidad respecto a que estas sencillas herramientas, bien utilizadas por parte de todo el personal de la empresa, permiten solucionar en torno al 90 % de los problemas de calidad que se presentan. Conviene, por tanto, tenerlas presentes y fomentar su utilización. Las herramientas son: > Plantillas para la recogida de datos. > Histogramas. > Diagramas de Pareto. > Diagramas causa-efecto. > Diagramas bivariantes. > Estratificación. > Gráficos de control. En este capítulo se presentan con detalle las seis primeras. A los gráficos de control, por su mayor envergadura, se les dedica el capítulo 11 de este libro.

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2.1 Plantillas para la recogida de datos No es difícil suponer que para mejorar la calidad se necesitan datos. Pero muchas veces los datos se toman de forma desordenada o mal documentada, haciendo imposible su análisis posterior. Otras veces los datos son incorrectos porque se han tomado de forma distinta a la prevista, y las conclusiones que se obtienen a partir de éstos carecen de sentido por mucho esmero que se ponga en su análisis. Por tanto, la recolección de datos debe efectuarse de manera cuidadosa y exacta, y para ello nada mejor que utilizar plantillas especialmente diseñadas para cada caso. Los objetivos que se pretenden con el uso de las plantillas son: > facilitar las tareas de recogida de la información, > evitar la posibilidad de errores o malos entendidos, > permitir el análisis rápido de los datos. Las plantillas para la recogida de datos pueden tener distintas finalidades: controlar una variable de un proceso, llevar un control de productos defectuosos, estudiar la localización de defectos en un producto, estudiar las causas que originan los defectos o realizar la revisión global de un producto. Las figuras 2.1 a 2.4 muestran algunos ejemplos. CONTROL DE SERPENTINES Identificaci\n Tipo: Lote: Hoja de ruta:

Fecha: LRnea: Operario: Total revisado:

26 Defectos: Tipo

Total

Soldadura Poro Deformado Incompleto Otros Notas e incidencias:

Fig. 2.1 Ejemplo de plantilla para el control de productos defectuosos. El conocimiento de cuáles son los defectos que se presentan más corrientemente permite dar prioridad a las acciones que se deben tomar

Fig. 2.2 Plantilla para la localización de poros en guantes de goma. Obsérvese la diferencia que supone conocer la información que aquí figura respecto a saber que “se presentan muchos poros”. (Tomado de J.M. Juran Manual de Control de Calidad)

La experiencia demuestra que en la recogida de datos conviene seguir algunas reglas, éstas son: 1. No tomar datos si después no se van a utilizar. Puede parecer obvio pero es una costumbre bastante arraigada. Los datos inútiles sólo sirven para dificultar la localización de los útiles. 2. Asegurarse de que los datos se toman de forma que se análisis sea fácil, de lo contrario es probable que no se haga nunca. Entretenerse en el diseño de la plantilla de recogida de datos es una de las actividades más rentables que pueden realizarse. 3. No pasar los datos “a limpio”. Es una pérdida de tiempo y una fuente de errores. Es necesario anotarlos de forma clara y ordenada a la primera.

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2.2 Histogramas En muchos casos, si los datos han sido tomados de forma correcta, las conclusiones que se pueden obtener a partir de los mismos son inmediatas. Si no es así, raramente se precisan análisis estadísticos complicados, suele bastar con una adecuada representación gráfica. La tabla de datos que figura a continuación corresponde a una muestra, tomada aleatoriamente durante 20 días, del peso en gramos de cierto embutido que puede ser elaborado por dos máquinas distintas (1 y 2), que a su vez son atendidas indistintamente por dos operarios (A y B).

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DÍA

OPERAR.

MÁQUINA 1

MÁQUINA 2

1 2 3 4 5

A B B B A

220.3 215.8 220.4 221.5 215.7

215.5 222.0 218.7 227.0 225.3

219.1 218.9 218.6 219.5 223.0

219.2 213.6 219.6 222.5 218.0

220.3 216.9 222.9 223.1 216.0

208.0 213.4 219.7 215.3 210.9

214.4 217.7 209.4 220.4 221.4

219.2 217.7 221.6 215.6 210.9

6 7 8 9 10

A A B B A

222.7 216.0 219.4 219.8 220.2

215.1 218.8 218.3 222.6 219.5

219.6 217.9 216.7 219.1 222.4

217.3 213.0 224.1 217.7 219.9

212.1 216.9 216.2 216.2 222.9

213.0 216.0 218.4 212.2 214.3

218.0 213.5 216.6 216.9 219.1

216.5 219.2 214.9 214.9 216.7

11 12 13 14 15

B B B A A

218.0 219.3 220.0 223.9 218.1

223.9 219.6 214.1 220.6 218.8

219.6 218.8 224.3 219.5 218.4

221.9 219.9 217.4 219.6 217.9

214.9 219.0 218.0 211.8 214.6

212.6 216.7 219.5 218.2 215.7

219.4 216.4 219.5 218.3 218.0

212.3 213.5 222.3 217.4 216.4

16 17 18 19 20

B B A A A

216.9 217.9 224.2 214.1 221.1

221.6 225.7 216.2 219.7 225.0

220.6 222.2 219.9 222.4 222.7

222.6 216.1 220.4 224.5 222.2

215.6 212.5 215.8 213.7 212.5

220.4 214.6 219.9 209.7 217.5

217.3 209.7 216.5 216.9 217.4

216.2 211.3 211.9 213.1 215.7

Tabla 2.1 Datos sobre el peso (en gramos) de cierto embutido

Las especificaciones del peso son 220 ± 10 g, y últimamente se han detectado ciertos problemas a este respecto. Veamos cuál sería el diagnóstico de la situación y la propuesta de medidas a tomar a la vista de estos datos. Cuando se trata, como en este caso, de analizar la dispersión que presentan unos datos, la representación gráfica más adecuada es el histograma. Para realizar un histograma se marcan una serie de intervalos sobre un eje horizontal, y sobre cada intervalo se coloca un rectángulo de altura proporcional al número de observaciones (frecuencia absoluta) que caen dentro de dicho intervalo. Si se pretende comparar varios histogramas construidos con distinto número de datos, es preferible que las alturas de los rectángulos sean proporcionales al porcentaje de observaciones en cada intervalo o al tanto por uno (frecuencia relativa). Utilizando la frecuencia relativa en el eje de ordenadas también se facilita la comparación entre el histograma obtenido y un determinado modelo teórico representado por una función densidad de probabilidad (véase el capítulo 3). En este caso se considera que la frecuencia relativa es proporcional al área definida por cada columna. Puede interpretarse la función densidad de probabilidad como la representación del histograma cuando el número de observaciones tiende a infinito y la anchura de los rectángulos tiende a cero.

π

HERRAMIENTAS BÁSICAS PARA LA MEJORA DE LA CALIDAD

En la figura 2.5 se han realizado dos histogramas con todos los datos (en total 160). En el histograma de la izquierda se ha colocado la frecuencia absoluta en el eje vertical y en el de la derecha la frecuencia relativa. La única diferencia es la escala vertical, pero naturalmente las conclusiones que se pueden obtener son las mismas: El proceso está descentrado y se está produciendo un cierto porcentaje de unidades fuera de tolerancias (por defecto). A partir de estos histogramas no puede obtenerse ninguna otra conclusión, pero la forma en que se han anotado los datos permite construir histogramas para las unidades producidas por cada operario y también por cada máquina.

Fig. 2.5 Histograma de los datos globales, colocando en el eje vertical la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa

Los histogramas realizados por operario no revelan nada útil, pero los realizados por máquina (figura 2.6) ponen de manifiesto el origen del problema. Mientras que la máquina 1 está centrada y produce dentro de tolerancias, la máquina 2 está descentrada, y esto es lo que produce que un cierto porcentaje esté por debajo del peso mínimo.

Fig. 2.6 Histogramas correspondientes a las unidades producidas por cada máquina

También pueden realizarse gráficos por operario y máquina, pero no revelan nada que no sepamos ya. No hay diferencias entre operarios, la diferencia está en las máquinas.

29

π


Los histogramas que se han presentado han sido elaborados con ayuda de un paquete de software estadístico. En algunos casos, especialmente si son los operarios los que analizan los datos que ellos mismos recogen, puede ser más rápido y cómodo construir los histogramas a mano. En este caso, conviene seguir una sistemática adecuada como la siguiente: 1. Colocar los datos a representar en filas de aproximadamente 10 números. 2. Identificar y señalar el máximo y el mínimo de cada fila. 3. A partir del máximo y el mínimo de cada fila, localizar el máximo y el mínimo globales. 4. Calcular el rango (R) de los datos. R = Valor máximo - Valor mínimo 5. Optar por un número de intervalos (k), en primera aproximación, utilizando la siguiente tabla:

NÚM. DE DATOS

NÚM. DE INTERVALOS

<50 50 - 100 100 - 250 >250

5-7 6 - 10 7 - 12 10 - 20

6. Determinar la amplitud (h) de los intervalos, haciendo: h=

30

R k

y redondeando el valor obtenido a un múltiplo exacto de la precisión de los datos. 7. Fijar los límites de los intervalos. Para evitar el problema que se presenta al asignar un valor a un intervalo cuando dicho valor coincide con el extremo superior de un intervalo y el extremo inferior del otro, conviene fijar dichos extremos con una precisión igual a la mitad de la precisión de los valores. Así, si los datos se presentan con un solo decimal y los extremos de los intervalos son de la forma 2,15 - 2,35, está claro que los valores 2,2 y 2,3 deberán situarse en este intervalo, 2,4 en el intervalo siguiente, etc. 8. Rellenar la tabla de frecuencias, indicando el número de veces que aparecen datos dentro de cada uno de los intervalos definidos. 9. Construir el histograma. En la figura 2.7 se presentan varias formas de histograma que responden a patrones de comportamiento típico. El histograma 1 corresponde a la forma de campana habitual que representa la variabilidad debida a causas aleatorias. El histograma 2, con dos máximos diferenciados, responde a una distribución denominada bimodal y se presenta cuando están mezclados datos de distinto origen centrados en valores distintos. El histograma 3 se denomina, por su forma, sesgado a la derecha, y responde a la variabilidad que presentan ciertas variables que no siguen una ley normal, como los tiempos de vida. También puede representar una magnitud con un “cero natural”, como la tolerancia entre eje y cojinete. Al histograma 4 parece faltarle una parte y por ello se le llama censurado (en este caso, a la izquierda). No representa una variabilidad natural y por tanto hay que sospechar que se han eliminado algunos valores. Esto ocurre si después de la producción se realiza una inspección al 100 % para separar las unidades fuera de tolerancias. En los histogramas 5 y 6 aparecen datos que no siguen el patrón de comportamiento general (anomalías, errores, etc.). Su variabilidad puede atribuirse a alguna causa asignable que deberá ser identificada y eliminada.

π


31

Fig. 2.7 Diversas formas típicas que pueden presentar los histogramas

2.3 Diagramas de Pareto Existen muchos aspectos de cualquier actividad industrial (y también no industrial) susceptibles de mejora. En algunos casos, la mejora es obligada, pero el problema a abordar es de tal envergadura que parece imposible de resolver. Pensemos, por ejemplo, en una línea de envasado que sufre frecuentes paradas por avería en alguno de los módulos (no siempre el mismo) de que está compuesta. Puede plantearse la necesidad de cambiar la línea entera, pero en muchas ocasiones ésta es una inversión importante que se va postergando. Supongamos que después de tomar datos durante seis meses, la información obtenida puede resumirse mediante la tabla 2.2.

π


NÚM. DE PARADAS

CAUSA

MaZ. Rotura hilo Cinta Vibrador Tornillo sin fin Apelmazamiento Rotura saco Otros

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

18 15 92 1 0 2 1

Tar. 24 10 88 6 1 1 0

TIEMPO DE PARADA

E 42 25 180 7 1 3 1

MaZ. 20 12 62 2 0 4 8

Tar. 31 10 68 8 1 1 0

E 51 22 130 10 1 5 8

Tabla 2.2 Número de paradas y tiempo de parada en una línea de envasado

La información que contienen estos datos se manifiesta de forma más clara construyendo unos gráficos como los de la figura 2.8.

32

Fig. 2.8 Diagramas de Pareto para el número total de paradas y el tiempo de parada total

Estos gráficos se denominan “diagramas de Pareto” y ponen de manifiesto que, cuando se analizan las causas de un problema, en general son unas pocas las responsables de su mayor parte. A estas pocas se les llama causas fundamentales, al resto, que son muchas pero ocasionan una pequeña parte del problema se les denomina causas triviales. En el caso que estamos analizando, sólo dos causas han ocasionado en torno al 80 % del problema (el 79,7 % del tiempo de parada y el 85,7 % del número de paradas). Por tanto, éstas serán las primeras causas a atacar. Todo el esfuerzo debe concentrarse en la eliminación de las causas fundamentales, ignorando en principio las triviales, que ya serán atacadas más adelante. Los diagramas de Pareto pueden aplicarse a situaciones muy distintas con el fin de establecer las prioridades de mejora, y siempre reflejan el mismo principio de “pocas fundamentales y muchas triviales”. La construcción de estos diagramas puede realizarse siguiendo los pasos que a continuación se indican:

π


1. Plantear exactamente cuál es el problema que se desea investigar, qué datos serán necesarios, cómo recogerlos (no olvidar el diseño de la plantilla) y durante qué período. 2. Tabular los datos recogidos. Si se trata de analizar las reclamaciones de clientes durante un año, dicha tabulación tendrá el aspecto que se indica en la tabla 2.3.

CAUSA

TABULACIÓN

A

TOTAL

10

... ...

B C

42 6

... ...

D

104

E

4

F

20

Otras

14 200

TOTAL

Tabla 2.3 Tabulación de los datos recogidos para la relación de un diagrama de Pareto

3. Rellenar el formulario previo a la construcción del diagrama. Las causas deben ordenarse de mayor a menor importancia, situando “otras” siempre al final. Para los datos de la tabla anterior, el formulario tiene el aspecto que se indica en la tabla 2.4. 4. Iniciar la realización del diagrama dibujando los ejes. Se coloca un eje horizontal dividido en tantas partes como causas figuran en el formulario anterior, y dos ejes verticales. El eje de la izquierda se marca desde 0 hasta el total (de reclamaciones, en este caso) y el eje de la derecha, que sirve colocar los porcentajes, se marca del 0 al 100 %. 5. Construir el diagrama de barras. La altura de cada barra debe corresponder al número de observaciones correspondientes a cada causa, de acuerdo con la graduación del eje de la izquierda. 6. Construir el polígono de frecuencias acumulado y añadir toda la información relativa al gráfico para que pueda ser fácilmente interpretado. El resultado final tiene el aspecto que se presenta en la figura 2.9. NÚM. DE RECLAMACIONES

TOTAL ACUMULADO

PORCENTAJE

PORCENTAJE ACUMULADO

D B F A C E Otras

104 42 20 10 6 4

104 146 166 176 182 186 200

52 21 10 5 3 2 7

52 73 83 88 91 93 100

TOTAL

200

CAUSA

14

100

Tabla 2.4 Formulario previo a la construcción del diagrama de Pareto

33

π


Siempre que sea posible, es conveniente utilizar unidades monetarias en el eje vertical izquierdo. Consideremos, por ejemplo, que se ha realizado una auditoría final a un lote de productos y se han detectado 200 defectos por causas indicadas en la tabla 2.5. Con esta información, y realizando el diagrama de Pareto por número de defectos, se llegaría a la conclusión de que la primera causa a atacar es la A. Sin embargo, considerando los costes que origina cada tipo de defecto, la tabla podría ser la 2.6 y, por tanto, vista la situación de esta forma, la causa que tendría un interés prioritario sería la B. Otra recomendación importante es recoger Fig. 2.9 Ejemplo de representación de un diagrama de Pareto los datos de forma que puedan ser fácilmente estratificados según su origen (turno, operario, máquina, día de la semana, tipo de materia prima, etc.). No hay que conformarse con un diagrama de Pareto global, sino estratificar según el origen de los datos, comparar los diagramas y sacar conclusiones. NÚM. DE DEFECTOS

TIPO DE CAUSA

110 45 22 6 17

A B C D Otras

34

PROPORCIÓN

PROPORCIÓN ACUMULADA

0.55 0.23 0.11 0.03 0.08

0.55 0.78 0.89 0.92 1.00

Tabla 2.5 Causas ordenadas según su frecuencia de aparición TIPO DE CAUSA

B A C D Otras

NÚM. DE DEFECTOS

45 110 22 6 17

COSTE UNITARIO

5 1 3 2 1.5

COSTE POR CAUSA

225 110 66 12 22.5

PROPORCIÓN COSTE

PROPORCIÓN ACUMULADA

0.51 0.25 0.15 0.03 0.06

0.51 0.76 0.91 0.94 1.00

Tabla 2.6 Causas ordenadas según el coste ocasionado por cada una de ellas

2.4 Diagramas causa-efecto En muchas ocasiones, cuando se presenta un problema, se confunde su resolución con la eliminación de los efectos que produce, y esta práctica suele traer consigo malas consecuencias. Ishikawa, en su libro ¿Qué es el control total de calidad?, presenta un caso de su propia experiencia. Explica que cierto dispositivo iba unido a una máquina por medio de cuatro pernos. El perno 1 se rompía con frecuencia por lo que se decidió sustituirlo por otro de mayor diámetro. A partir del cambio no se volvió a romper el perno 1, pero empezó a romperse el perno 2. Ante la nueva situación se decidió que los cuatro pernos deberían ser más grandes y se procedió al cambio. Ya no

π


se volvió a romper ningún perno, pero empezaron a aparecer fracturas en la placa de hierro en la que estaba situado el dispositivo. Se cambió la placa de hierro por otra más gruesa y se anunció que el problema había quedado resuelto definitivamente. Un estudio más profundo realizado posteriormente puso de manifiesto que una vibración que llegaba al dispositivo era lo que ocasionaba los fenómenos de Fig. 2.10 Dispositivo unido a una máquina por cuatro pernos ruptura, y que si no se eliminaba acabaría rompiendo la nueva placa metálica o inutilizando el dispositivo con graves consecuencias. Lo que se había hecho era intentar evitar el efecto del problema, pero sin eliminar su causa, y si la causa permanece, el efecto vuelve a manifestarse, de forma aún todavía más perjudicial. Para solucionar un problema deben estudiarse sus causas y eliminarlas (en el caso de Ishikawa la causa era la vibración, aunque también debería haberse investigado el origen de la misma). La idea está clara, para solucionar un problema: ¡atacar las causas, no los efectos! Pero descubrir el entramado de posibles causas que hay detrás de un efecto no es fácil. Para hacerlo es conveniente seguir una determinada metodología y construir el llamado “diagrama causa-efecto”1. Una buena forma de hacerlo es siguiendo los puntos que ha continuación se describen: 1. Determinar e identificar claramente cuál es el efecto (el problema, la característica de calidad, etc.) a estudiar. 2. Reunir a las personas que puedan aportar ideas sobre el origen del problema y realizar un brainstorming de posibles causas. Existen distintas formas de organizar este tipo de reuniones, pero el objetivo básico es siempre asegurarse de que cada participante aporta todo lo que lleva dentro. Una posibilidad es establecer rondas de intervenciones en las que todos participen siguiendo un orden establecido. Cada persona deberá ir aportando posibles causas hasta que las ideas se hayan agotado totalmente. 3. Realizar una selección de las causas aportadas. Seguramente algunas de las causas que aparecen en el brainstorming son descabelladas o están repetidas. Es necesario, por tanto, realizar una selección acordada de cuáles son las causas que deben aparecer en el diagrama. 4. Construir el diagrama. Con todas las causas aportadas, una sola persona, especialista en estas tareas y con un buen conocimiento del problema estudiado, debe ser la responsable de construir el diagrama. En el diagrama las causas se presentan de forma jerarquizada y agrupadas en unos cuatro o seis grandes grupos denominados “causas primarias”, las cuales suelen ser: mano de obra, maquinaria, materiales, métodos, medio ambiente y mantenimiento (conocidas como las seis M). Cada causa primaria está integrada por varias secundarias, estas últimas por terciarias, y así sucesivamente, tal como Fig. 2.11 Disposición jerarquizada de causas en un diagrama causa-efecto se indica en la figura 2.11.

1

También “diagrama de espina de pez” o “diagrama de Ishikawa”

35


π

En la figura 2.12 se reproduce un diagrama en el que sólo se han considerado cuatro causas primarias. No debe perderse de vista que las causas anotadas en el diagrama son causas potenciales. Por tanto, será necesario recoger datos para confirmar que las relaciones causa-efecto realmente existen. Como consecuencia de lo anterior, el diagrama causa-efecto debe ser considerado un diagrama vivo. Es decir, un Fig. 2.12 Ejemplo de diagrama causa-efecto diagrama que va cambiando a medida que se van adquiriendo nuevos conocimientos sobre el fenómeno estudiado. Algunas causas desaparecen porque se han logrado eliminar, otras porque se ha constatado que no influyen. Cuando una causa deja de ser considerada, debe tacharse, más que borrarse, para dejar constancia de que ya se ha estudiado. También pueden aparecer nuevas causas potenciales que en un primer momento no se habían considerado.

2.5 Diagramas bivariantes

36

Una forma de comprobar si existe relación entre una característica de calidad y un factor que puede afectarle es la construcción de diagramas bivariantes. El profesor Hajime Karatsu, en su libro CTC. La sabiduría japonesa, explica un interesante caso en el que la utilización de este tipo de diagramas permitió resolver un importante problema. Dice así: “El sintonizador suele ser lo primero que se estropea en un televisor. Actualmente los botones electrónicos son algo corriente, pero en el pasado todos los selectores de canal tenían que girarse manualmente y podían funcionar mal si el sintonizador tenía un contacto pobre. El sintonizador es el punto en que las ondas magnéticas se captan por primera vez. Los sintonizadores estandarizados se producían en masa y se empleaban en distintos modelos de televisor. Hace algún tiempo, un experto en control de calidad investigó el nivel de mal funcionamiento de los sintonizadores. Descubrió que, aunque se utilizaban sintonizadores idénticos, la proporción de mal funcionamiento era muy distinta de un modelo de televisor a otro. Se dio cuenta de que el problema debería estar relacionado con alguna cosa que no fuera el propio sintonizador; no obstante, seguía teniendo el problema de descubrir el verdadero factor entre varias alternativas posibles. La gente utiliza sus televisores de distinta manera; algunos los colocan en rincones polvorientos, otros los tienen en el salón, más o menos como un objeto decorativo. La frecuencia de uso y la fuente de electricidad también pueden ser distintas. En consecuencia, la avería de un televisor podía estar causada por el entorno o por un simple error en el proceso de fabricación. Los datos reunidos en cientos y cientos de televisores revelaron, sin embargo, que los sintonizadores se estropeaban en función del tipo de televisor en que habían sido instalados. El experto en control de calidad analizó los datos desde distintos ángulos y descompuso en factores cada una de las condiciones concebibles y su relación con la proporción de averías: ¿Estaba relacionada con el tamaño de la caja, o con un aumento de la temperatura? ¿Se trataba de la longitud del eje del sintonizador o de la diferencia en unidades de corriente eléctrica? Durante bastante tiempo, parecía que no había ninguna correlación entre ninguno de los factores, pero al final surgió la causa.

π


La correlación residía en la distancia entre el sintonizador y el altavoz. Cuanto más cerca estaba el sintonizador del altavoz, con más frecuencia se averiaba; cuanto más lejos, menor era la proporción de mal funcionamiento. Una vez establecida esta correlación, los fabricantes empezaron a colocar los altavoces tan lejos de los sintonizadores como permitían los cajas, y el resultado fue que las quejas de los consumidores se redujeron drásticamente”. Fig. 2.13 Diagrama de correlación entre la proporción (figura 2.13) de averías y la distancia altavoz-sintonizador, obtenida La construcción de un diagrama a partir de los datos de un gran conjunto de televisores bivariante puede realizarse de la siguiente forma: 1. Reunir pares de datos de las variables cuya relación se desea investigar. Con OBS. TEMP. REND. OBS. TEMP. REND. menos de 30 pares es difícil sacar conclusiones. En torno a 50 suele ser 94.0 160 26 94.6 162 1 91.3 110 27 93.0 154 2 suficiente. 92.5 138 28 93.9 148 3 2. Trazar los ejes. Decidir las escalas de 92.0 140 29 92.7 116 4 forma que ambos ejes tengan aproxi92.2 150 30 92.8 152 5 madamente la misma longitud. 92.0 134 31 92.5 136 6 93.5 162 32 93.5 158 7 Marcar los ejes con valores fáciles de 95.2 180 33 91.5 126 8 leer. 92.1 142 34 93.8 140 9 Si una variable es una característica de 92.4 152 35 93.6 160 10 92.9 170 36 92.6 160 11 calidad y la otra un factor (de diseño o 91.5 150 37 94.1 160 12 de producción), se sitúa la primera en el 93.0 160 38 92.9 144 13 eje vertical. 91.0 104 39 91.0 120 14 3. Situar los puntos en el gráfico. Si dos o 92.5 130 40 92.0 126 15 93.1 160 41 92.4 134 16 más puntos coinciden, se señala mar93.0 138 42 93.4 164 17 cando círculos concéntricos. 93.4 152 43 93.6 162 18 4. Incorporar toda la información perti93.4 130 44 92.3 132 19 92.0 110 45 91.1 130 20 nente que ayude a interpretar el gráfico 92.5 120 46 93.0 170 21 (título del diagrama, número de pares 92.3 110 47 91.4 148 22 de datos, título y unidades de cada eje, 92.8 152 48 93.0 144 23 identificación del autor, etc.). 92.0 172 49 91.6 112 24 92.6 126 50 92.0 126 25 Los datos de la tabla 2.7 indican la temperatura a que se ha realizado cierta reacción química y el rendimiento que se ha obtenido en Tabla 2.7 Datos correspondientes a las temperaturas de la misma. A partir de esta tabla se obtiene el realización y el rendimiento obtenido en 50 reacciones químicas gráfico de la figura 2.14. Los diagramas bivariantes pueden presentar distintos aspectos según el tipo de relación que exista entre las variables. En la figura 2.15 se han representado los diversos tipos de diagramas que pueden aparecer. En algunas ocasiones no está claro si existe o no correlación. Para estos casos, Ishikawa propone la realización del llamado “test de correlación de las medianas”. Para ello se sigue el siguiente procedimiento:

37


π

Fig. 2.14 Diagrama bivariante elaborado a partir de los datos de la tabla 2.7

38

Fig. 2.15 Distintos aspectos que puede presentar un diagrama bivariante

π


1. Determinar las medianas de las x (variable colocada en el eje horizontal) y de las y (variable colocada en el eje vertical). 2. Trazar ambas medianas en el diagrama bivariante. De esta forma, el diagrama queda dividido en cuatro cuadrantes, que son notados como I, II, III y IV, a partir del extremo superior derecho y en sentido contrario a las agujas del reloj. 3. Contar los puntos que quedan en cada cuadrante excluyendo los que están situados sobre las medianas. Determinar la suma de puntos en los dos cuadrantes opuestos (I y III o II y IV) que presenten la suma menor. Este número se denomina “valor de prueba”. 4. Comparar el valor de prueba en la tabla 2.8. Si el valor de prueba obtenido es igual o inferior a la cantidad límite que se da en la tabla, puede decirse que existe correlación con una probabilidad de error igual o menor al 5 %. La justificación teórica de las cantidades límite de la tabla requiere el uso del modelo binomial que se estudia en el capítulo 4.

NÚM. DE PUNTOS

LÍMITE DEL VALOR DE PRUEBA

NÚM. DE PUNTOS

LÍMITE DEL VALOR DE PRUEBA

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9 9 10 10 11 12 12 12 13 13 14 14 15 15 15 16 16 17 17 18 18 18 19 19

56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

20 20 21 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 25 26 26 27 27 28 28 28 29 29 30 30 31 31 32 32 32 33 33 34 34 35

Tabla 2.8 Límites del valor de prueba para el test de correlación de Ishikawa

39


CUADRANTE

I II III IV

PUNTOS

π

En el diagrama temperatura-rendimiento (figura 2.16), los puntos que se obtienen en cada cuadrante son:

18 5 18 5

Por tanto, en este caso el valor de prueba será 10 (número de puntos en los cuadrantes II+IV). El número de puntos a considerar es de 46, ya que del total se restan los que caen sobre las medianas (cuatro en este caso). El valor límite que da la tabla para N=46 es 15, y como 10<15, podemos afirmar con una probabilidad de equivocarnos menor del 5 % que existe correlación entre temperatura y rendimiento. (Ver figura 2.16.)

40

Fig. 2.16 Test de correlación de Ishikawa sobre los datos de la tabla 2.7

Respecto a la construcción de este tipo de diagramas, cabe hacer las siguientes recomendaciones: 1. Representar los datos con distinto símbolo según su origen (estratificar). Observe la figura 2.17. El diagrama de la derecha representa la relación entre la humedad final de un producto tras un pro-ceso de secado y el tiempo de molturación a que fue sometido previamente. Del análisis de este diagrama parece deducirse la inexis-tencia de correlación. Sin embargo, no se ha considerado que las medidas han sido toma-das por dos aparatos distintos, y teniendo este hecho en cuenta, se ha representado el diagrama de la derecha. Éste no es un caso raro, puesto que, cuando se toman medidas con dos aparatos distintos, éstos pueden estar calibrados de forma distinta y conviene distinguir los puntos que han sido obtenidos con uno u otro aparato. Lo mismo podríamos decir si los datos hubieran sido tomados por dos (o más) operarios, de varios turnos, de varias máquinas, de materias primas de distinto origen, etc.

π


Fig. 2.17 Diagrama bivariante con los datos sin estratificar y estratificados

2. Aunque los datos históricos de que se dispone no indiquen la presencia de correlación, no significa que ésta no exista. Quizá los datos de que se dispone, sobre el factor cuyo efecto se estudia, se mueven en un rango de variación demasiado pequeño para poner de manifiesto la correlación existente, tal como pone de manifiesto la figura 2.18. 3. La existencia de correlación no implica una relación causa-efecto. Se ha comprobado que existe una alta correlación entre la temperatura media de un mes y el número de matrimonios que durante ese mes se celebran. Sin embargo, no cabe esperar que una ola de calor en el mes de febrero aumente el número de matrimonios ese mes. Esta relación es debida a otras variables interpuestas (en este caso, quizá: calor 6 vacaciones, vacaciones 6 matrimonio). Es necesario, por tanto, ser prudente a la hora de sacar conclusiones ante un diagrama que Fig. 2.18 Aunque los datos de que se dispone no indiquen presenta una clara correlación. la presencia de correlación, no significa que ésta no exista

2.6 Estratificación La estratificación es también una de las siete herramientas básicas que propone Ishikawa. En realidad, no es una técnica nueva, sino que es una metodología que conviene incorporar a cada una de las herramientas que ya hemos visto. Así, las plantillas para la recogida de datos deben pensarse para que posteriormente pueda realizarse los análisis dividiendo los datos según su origen. En el caso de los histogramas, los diagramas de Pareto o los diagramas bivariantes, una correcta estratificación permite obtener una información de gran importancia que, de otra forma, no se pondría de manifiesto.

41

π


Ejercicios 2.1

Durante una semana, se ha medido diariamente el contenido de humedad correspondiente a 24 paquetes de un determinado producto, tomados al azar a la salida de una línea de envasado. Los resultados obtenidos son:

LUNES

MARTES

MIÉRCOLES

JUEVES

VIERNES

42

8.20 8.36 8.37 8.52 8.61 9.14 8.52 9.20 9.43 8.85 8.66 8.89 8.97 9.02 9.61 9.15 8.46 8.00 8.32 8.91

8.05 8.76 8.51 8.18

8.53 8.64 8.83 8.35

8.48 8.34 8.51 8.08

8.15 8.15 8.68 8.79

8.79 8.91 8.32 8.49

9.30 8.58 8.81 8.68 9.28 9.14 9.41 9.34 9.21 9.53 9.28 9.28 8.17 8.60 8.48 8.65

8.59 8.66 8.70 9.08 9.59 9.15 8.75 9.18 8.86 8.75 9.64 9.05 8.97 8.20 8.33 8.26

8.32 8.33 8.41 9.07 8.86 9.28 8.50 9.19 8.76 9.21 8.76 9.40 8.64 8.81 8.73 8.73

9.08 9.13 8.69 8.46 9.19 9.12 9.20 8.80 9.55 9.50 9.48 9.58 8.40 8.60 8.47 8.10

8.43 8.66 9.17 8.56 9.22 8.85 8.56 9.46 9.38 9.58 9.09 9.46 8.17 8.11 8.05. 8.89

Indicar qué conclusiones se pueden obtener a partir de estos datos. 2.2

Construir los diagramas causa-efecto para los siguientes efectos: a) llegar tarde al trabajo, b) suspender un examen, c) derrota en una competición deportiva.

2.3

En un diagrama causa-efecto aparece la temperatura de la matriz de una prensa como posible causa de la aparición de poros en el producto. Para confirmarlo, se recogen datos de 50 prensadas y se realiza un diagrama bivariante entre la temperatura (T) y el número de poros obtenidos (P). Indique cuáles serían las conclusiones obtenidas al realizar el test de correlación de Ishikawa, en cada uno de los siguientes casos. A

B

C

CUADRANTE 1

19

10

5

D

8

CUADRANTE 2

4

12

20

21

CUADRANTE 3

20

11

5

8

CUADRANTE 4

5

10

20

13

π

2.4


Los datos que figuran a continuación corresponden a una característica de calidad de cierto producto (y), y los valores de cuatro factores de producción (x1, x2, x3, x4), que se considera que pueden influir en ella. NÚM.

y

x1

x2

x3

x4

NÚM.

y

x1

x2

x3

x4

1 2 3 4 5

18.96 12.81 11.15 19.38 18.41

6.39 5.54 5.24 6.44 6.33

8.34 6.90 6.44 8.43 8.22

5.25 6.03 6.10 5.17 5.34

9.99 9.23 8.89 10.02 9.94

16 17 18 19 20

25.27 15.04 20.65 11.15 18.53

7.01 5.89 6.57 5.24 6.34

9.58 7.46 8.69 6.44 8.25

3.96 5.82 4.94 6.10 5.32

10.28 9.58 10.10 8.89 9.95

6 7 8 9 10

13.00 10.37 15.39 11.90 21.50

5.57 5.08 5.94 5.38 6.66

6.95 6.21 7.54 6.65 8.86

6.02 6.11 5.78 6.08 4.77

9.27 8.70 9.63 9.06 10.15

21 22 23 24 25

23.55 11.81 23.51 25.74 12.64

6.86 5.36 6.86 7.05 5.51

9.26 6.63 9.25 9.67 6.85

4.34 6.08 4.35 3.85 6.04

10.23 9.04 10.23 10.28 9.20

11 12 13 14 15

11.45 18.04 10.63 17.39 13.27

5.29 6.28 5.13 6.20 5.62

6.53 8.14 6.29 8.00 7.02

6.10 5.40 6.11 5.50 6.00

8.96 9.91 8.76 9.85 9.31

26 27 28 29 30

25.45 18.26 10.56 15.46 10.98

7.03 6.31 5.12 5.95 5.20

9.61 8.19 6.27 7.56 6.39

3.92 5.37 6.11 5.77 6.11

10.28 9.93 8.75 9.64 8.85

Realizar diagramas bivariantes e indicar qué conclusiones se pueden obtener con estos datos. 2.5

Hace unos años, en una revista editada en la Escola Tècnica Superior d’Enginyers Industrials de Barcelona (ETSEIB), aparecía una nota de la Dirección de la Escuela en la que se informaba que en el primer parcial de ese curso se había gastado el 75% de todo el papel de examen que se necesitó en el curso anterior. Se incluía también la siguiente tabla: DEPARTAMENTO

Matemáticas Mecánica Cons. Arq. Ind. Gestión empresarial Ing. Eléctrica Informática Proyectos Téc. Cuant. Gestión Técnicas Exp. Gráf. Transp. y motores Ing. Electrónica Ing. Química Física Ing. Cibernética Mecánica de fluidos Ing. de materiales Química Ing. Nuclear Termodinámica

ALUMNOS

HOJAS

2282 1030 178 682 675 515 173 560 1114 329 350 181 1371 222 630 470 1128 258 723

27000 35000 700 2700 8100 2000 1000 5500 --3900 4000 2700 9500 1900 3500 5500 8500 1000 4500

Desde el punto de vista de la economía de la escuela y con el único objetivo de disminuir al máximo el consumo de papel, si sólo se pudiera llamar la atención a un departamento, ¿cuál habría escogido usted?

43

π


Justifique su respuesta realizando el gráfico que le parezca más adecuado. 2.6

El número de piezas defectuosas detectadas en un mes debido a diversas causas es el que se muestra a continuación: CAUSA

Presión Temperatura Ruido Humedad Otros

NÚM. DE PIEZAS DEFECTUOSAS

42 15 10 6 12

Se realiza una modificación para intentar reducir el número de piezas defectuosas y se obtienen los siguientes resultados: CAUSA

Presión Temperatura Ruido Humedad Otros

44

NÚM. DE PIEZAS DEFECTUOSAS

5 11 9 7 12

Realice un gráfico que ponga de manifiesto los efectos de la modificación introducida.

π


Apéndice 2A Datos e información No es extraño que en una empresa se recojan y archiven gran cantidad de datos y, sin embargo, cuando se pretende solucionar un problema concreto, no se disponga de los datos para realizar un diagnóstico seguro. O los datos son incompletos o, simplemente, no son fiables. J. M. Juran aclara esta aparente paradoja, distinguiendo claramente entre los conceptos de datos e información. Los datos pueden definirse como la concreción numérica de hechos o realidades, mientras que la información debe entenderse como la respuesta a preguntas previamente planteadas. Datos = Hechos, realidades Información = Respuesta a preguntas Cuando se plantea un problema, su resolución exige disponer de una cierta información (respuestas a preguntas del tipo, ¿con qué frecuencia se presenta el problema?, ¿en qué circunstancias se presenta?, etc.). Pero, mientras que la buena información siempre está basada en datos, un determinado volumen de datos, por grande que sea, no necesariamente aporta la información que se precisa para resolver el problema. La “información” incluye “datos”. Los “datos” no necesariamente incluyen “información”. Así pues, la clave no está en cómo recoger datos, sino en cómo obtener información que resulte útil. El proceso de generar información puede resumirse en las siguientes etapas: Formular claramente las preguntas que se desea contestar. Recopilar datos relativos a la cuestión planteada. Analizar los datos para determinar la respuesta a la pregunta. Presentar los datos de forma adecuada para poner claramente de manifiesto cuál es la respuesta a la pregunta. Es importante tener presente cuál es la pregunta que se desea contestar, cuando se planifica la recogida de datos. Unos datos correctos y muy exactos, recopilados mediante un elaborado diseño de muestreo estadístico, son inútiles si no permiten contestar alguna pregunta de interés. 1. 2. 3. 4.

45

3 Causas y medidas de la variabilidad

Consideremos el proceso de correr 100 m libres por parte de un atleta. En principio cada carrera representa una repetición de ciertos pasos del proceso: precalentamiento, colocación en los tacos de salida, la salida en aceleración, mantenimiento de la velocidad, etc. La evidencia nos indica que, a pesar de que se intenta repetir todos los pasos en forma idéntica, el resultado no es el mismo en todas las carreras. Esta variación en el “producto” (resultado de la carrera en nuestro ejemplo) recibe el nombre de variabilidad y está presente en todo proceso real, de modo que no se puede predecir con exactitud el resultado de una carrera antes de que ésta se celebre. Ello no significa que la variabilidad no se pueda medir. En nuestro ejemplo, sí suele ser posible saber el tiempo aproximado en que acostumbra a correr la prueba el atleta en cuestión, o con qué frecuencia corre por debajo de 10,2 seg por ejemplo, ya que no hay que confundir la variabilidad con ausencia total de regularidad. En la vida real, casi siempre hay que tomar decisiones en presencia de “ruido” o variabilidad, y es la estadística la disciplina especializada en el tema. En este capítulo se analizan conceptualmente las distintas causas que generan variabilidad en la mayoría de procesos, y se introducen los importantes conceptos de función de densidad de probabilidad y función de distribución que nos permiten medirla.

3.1 Causas de variabilidad Consideramos el proceso genérico de la figura 3.1.

Fig. 3.1 Variabilidad en un proceso

47

π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS.CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

48

En la práctica, existen siempre variaciones en las entradas de un proceso y, en consecuencia, existirán diferencias (variaciones) entre las características de las distintas unidades de producto obtenidas como salida del proceso. Si, por ejemplo, consideramos un cierto proceso de mecanización de piezas de acero y de cada pieza medimos su diámetro, el histograma de la parte derecha de la figura 3.1. representará la variabilidad del diámetro de las distintas piezas producidas. Toda variabilidad tiene sus causas, y el hecho de que los diámetros de dos piezas fabricadas por el mismo proceso sean distintos es la consecuencia de variaciones en la materia prima (diferencias en el porcentaje de carbono entre distintas partidas de acero), de la variabilidad en la mano de obra (los operarios no trabajan siempre de la misma manera), o de la variabilidad en cualquier otra entrada del proceso. Un hecho de trascendental importancia, y que justifica la gran utilidad de la estadística en el estudio de la variabilidad, consiste en que, aunque los diámetros de las distintas piezas sean distintos, si se mantiene constante el sistema de causas que producen variabilidad en las entradas, las frecuencias con que se observan los distintos valores de los diámetros tienden a estabilizarse en forma de una distribución predecible. En otras palabras, si bien el diámetro de una pieza individual es impredecible, cuando el sistema de causas de variabilidad es estable, se pueden hacer predicciones estadísticas sobre grupos de piezas. En la argumentación anterior ya se intuye que las causas de variabilidad podrán tener consecuencias muy distintas, dependiendo de que su presencia en el proceso sea estable o esporádica. Pero lo más importante es que, según cuales sean las características de una causa de variabilidad, su eliminación del proceso o, por lo menos, la reducción de sus efectos corresponderá a distintos niveles de autoridad y responsabilidad dentro de la organización. Como se explica en Peña, Prat (1986), bajo supuestos muy generales, las pérdidas que un producto causa a la sociedad cuando se utiliza son directamente proporcionales a la variabilidad de la característica de calidad del producto en cuestión. Por ello, en general, será cierto que: MEJORAR LA CALIDAD

REDUCIR LA VARIABILIDAD

Así pues, la estrategia básica para la mejora de la calidad pasa por la identificación de las causas que producen variabilidad, y por una correcta asignación de la misma a una u otra de las dos categorías definidas ya por Shewhart (1931): 1) Causas comunes, cuya eliminación es responsabilidad de la dirección de la empresa y que acostumbran a ser responsables de más del 90% de los problemas de calidad. 2) Causas asignables, cuya eliminación es más sencilla y son responsabilidad del operario, si bien representan menos del 10% de los problemas de calidad de un cierto proceso. Aunque no existe una definición precisa de estos dos tipos de causas, en la tabla 3.1 se encuentran algunas características de cada uno de ellos. CAUSAS ASIGNABLES (ESPECÍFICAS)

CAUSAS COMUNES • • • • •

Suelen ser muchas y cada una produce pequeZas variaciones. Son parte permanente del proceso. Su suma (superposici\n) determina la capacidad del proceso. Son difRciles de eliminar. Forman parte del sistema y es responsabilidad de la direcci\n disminuir sus efectos. Afectan al conjunto de m
• •

• • •

Suelen ser pocas pero de efectos importantes. Aparecen espor
Tabla 3.1 Características de las causas de variabilidad

π

CAUSAS Y MEDIDAS DE LA VARIABILIDAD

En la tabla 3.2 se encuentra una lista de condiciones a las que normalmente se asocian las dos categorías de causas de variabilidad. CONDICIONES ASOCIADAS A CAUSAS COMUNES

CONDICIONES ASOCIADAS A CAUSAS ASIGNABLES

Inevitable Estable HomogJneo Constante Normal Estacionario Controlado Predecible Consistente Permanente No significativo EstadRsticamente estable Mdltiple

Evitable Inestable HeterogJnea Err
Tabla 3.2 Condiciones asociadas a las causas de variabilidad

No es exagerado decir que toda la teoría de los gráficos de control de Shewart tenía como objetivo el desarrollo de métodos que permitiesen identificar la ocurrencia de causas asignables de variabilidad en un determinado proceso, para proceder a su eliminación y mejorar así la calidad de los productos industriales. Al mismo autor se debe el concepto de proceso en estado de control, como aquel proceso sobre el que únicamente actúa un sistema estable de causas de variabilidad (las causas comunes), y cuyo output es, en consecuencia, predecible estadísticamente. Todas estos conceptos serán desarrollados con mayor detalle en el capítulo 11 de este libro.

3.2 Medidas de la variabilidad Las unidades producidas y las que conceptualmente puede producir un proceso en estado de control son un ejemplo de lo que en estadística se conoce como población. Consideremos, por ejemplo, un proceso de rellenado automático de botellas de agua y supongamos que está en estado de control. Un conjunto de n botellas, seleccionadas aleatoriamente de entre las fabricadas por el proceso, constituye una muestra aleatoria de dicha población. Recibe el nombre de variable aleatoria la función, Y, que asocia, por ejemplo, cada botella de agua con su contenido en cm3. El concepto de variable aleatoria es objeto de estudio profundo en cualquier libro de estadística matemática y, aunque este estudio queda lejos de los objetivos de este libro, es conveniente observar que la función Y convierte la muestra de observables (botellas de agua) en números reales (contenidos en cm3), que se pueden tratar matemáticamente. Estos conceptos se representan esqueFig. 3.2 Población, muestra y variable aleatoria máticamente en la figura 3.2.

49


π

3.2.1 Variabilidad en una muestra Es evidente que una manera de representar gráficamente la variabilidad en los datos muestrales es el histograma de dichos datos. En la figura 3.3 se presenta el histograma con los contenidos en cm3 de una muestra de 100 botellas rellenadas por el proceso considerado. El histograma permite contestar fácilmente a preguntas del tipo: 1. ¿Qué proporción de botellas en la muestra tienen un contenido inferior a 198 cm3? 2. ¿Qué proporción de botellas en la Fig. 3.3 Histograma del contenido en cm3 en una muestra de muestra cumplen con las especificaciones tamaño 100 200 ± 2 cm3? A pesar de que sería de considerable interés tener respuestas a las preguntas anteriores, no cabe duda que sería de mayor utilidad aún poder contestar a preguntas similares, pero referidas a la población de las botellas que se pueden rellenar con el proceso en estado de control. Esta idea la desarrollamos a continuación.

50

3.3 Densidad de probabilidad. Variabilidad en la población En este apartado vamos a introducir de forma intuitiva un concepto cuya formulación matemática correcta nos llevaría excesivo tiempo y que el lector interesado puede encontrar en cualquier libro de estadística matemática, desde textos introductorios como Hogg-Craig (1978) hasta textos como Chung (1968). Consideramos la situación descrita en la figura 3.4.

Fig. 3.4 Concepto intuitivo de densidad de probabilidad

Si tomamos una muestra de, por ejemplo, n=20 unidades de un cierto proceso y representamos la variabilidad de la muestra mediante un histograma, muy probablemente éste presentará la forma irregular de la parte izquierda de la fig. 3.4. El reducido tamaño de muestra obligará a definir una amplitud de intervalo grande, y además pueden existir intervalos con pocos efectivos. Si la muestra fuese de n=200 unidades, seguiríamos hablando de una muestra real de un proceso real y el histograma resultante sería, posiblemente, más regular que el anterior y con intervalos de menor amplitud. Manteniéndonos en el mundo real podríamos extraer una muestra de 2.000 unidades

π


y, seguramente, el histograma que representase la variabilidad muestral sería todavía más regular y con unos intervalos de menor amplitud. Pasemos ahora al mundo de las abstracciones. Siguiendo el proceso anterior hasta el límite, cuando n=4 o, lo que es lo mismo, cuando tuviésemos valores de la población conceptual formada por todas las unidades que se pueden rellenar con el proceso en estado de control, en una gran mayoría de casos el “histograma” que se obtendría sería tan regular como la función f(y) representada en la parte derecha de la figura 3.4. Esta curva suave es la que recibe el nombre de función densidad de probabilidad (d.p.) de la variable aleatoria Y considerada. Por tanto, en términos coloquiales podríamos decir que la densidad de probabilidad es como el histograma realizado con todas las unidades que constituyen la población. La d.p. es evidentemente un ente abstracto o modelo matemático y, como todo modelo, está sometido a la afirmación de Box: “Todos los modelos son falsos; algunos modelos son útiles”. Esta afirmación viene a decirnos que, cuando formulemos una d.p., f(y) debe ser útil para hacer previsiones sobre las unidades fabricadas por dicho proceso, pero no podemos afirmar que la variabilidad del proceso sea exactamente la implicada por f(y). Consideremos ahora la figura 3.5. Fig. 3.5 Densidad de probabilidad Hemos visto en el capítulo anterior que, en un histograma, el área sobre un cierto intervalo era la frecuencia relativa con que se habían observado valores en dicho intervalo. Teniendo en cuenta que una de las definiciones de probabilidad es que ésta es el límite hacia el que tiende a estabilizarse la frecuencia relativa cuando el tamaño de la muestra crece indefinidamente, y la relación entre histograma y d.p. que hemos visto anteriormente, se deduce que: b

∫

f ( y ) dy = Prob ( a ≤ Y ≤ b )

(3.1)

a

donde informalmente Prob(a#Y#b) significa la probabilidad de que la variable aleatoria Y tome, en una unidad de la población, un valor en el intervalo cuyos extremos son a y b. No todas las funciónes matemáticas pueden ser una d.p. En efecto, de la relación intuitiva entre histograma y d.p. se deduce que, para que una función f pueda ser d.p., se requiere: (a) f(y)$0 para todo y 0 ú (b) ∫ f ( y ) dy = 1 ú

3.4 Esperanza matemática y varianza Al igual que en una muestra, parte de la variabilidad puede venir sintetizada en un par de estadísticos muestrales como x y S2y, la variabilidad representada exhaustivamente por la d.p. f(y), puede también ser caracterizada parcialmente por dos parámetros poblacionales: µ=E(Y ) y σ 2 =Var(Y) cuya definición es: µ = E (Y ) =

∫ yf ( y ) dy ú

(3.2)

51

π


asociada con el nombre de media poblacional o esperanza matemática de la variable aleatoria y

σ 2 = Var (Y ) =

∫ ( y − µ)

2

f ( y ) dy = E (Y − µ )2

(3.3)

ú

conocida como varianza poblacional. El parámetro µ es un parámetro de localización, es decir, es el valor alrededor del cual toman valores los individuos de la población considerada, mientras que σ2 es un parámetro de dispersión, ya que es la esperanza matemática de las desviaciones respecto a µ, al cuadrado. Si bien en la estadística matemática se definen múltiples parámetros de localización y de dispersión, µ y σ2 son los más utilizados en el presente libro.

3.5 Función de distribución Supongamos de nuevo, que la función f( y) de la figura 3.5 es d.p. del contenido en cm3 de la población de botellas de agua rellenadas por un proceso en estado de control. Está claro que f(y) contiene toda la información sobre la variabilidad de proceso. En efecto, conocida f (y) se pueden contestar preguntas del tipo: 1. ¿Qué proporción de las botellas rellenadas por el proceso tendrán contenidos entre a y b? b

∫

Respuesta:

f ( y ) dy

a

52

2. ¿Qué proporción de las botellas rellenadas por el proceso tendrán contenidos inferiores a a? a

Respuesta: ∫ f ( y ) dy −∞

3. ¿Qué proporción de las botellas rellenadas por el proceso tendrán contenidos superiores a b? ∞

Respuesta:

∫

f ( y ) dy

b

El único inconveniente es que cada respuesta implica calcular un área bajo la curva f ( y). Por ello resulta de gran utilidad el concepto de función de distribución. Dada una variable aleatoria Y, se llama función de distribución de la v.a. Y a la función F de la recta real ú en el intervalo [0,1] definida por: F( y) =

y

∫

f ( t ) dt = Prob (Y ≤ y )

(3.4)

−∞

Fig. 3.6 Relación entre la función de distribución y la densidad de probabilidad

La figura 3.6 representa esquemáticamente la relación existente entre la densidad de probabilidad y la función de distribución de una variable aleatoria. Es importante observar que las ordenadas F(y) son directamente probabilidades, mientras que

π


en f(y) las ordenadas son densidades de probabilidad y, en consecuencia, las respuestas a las preguntas (1), (2) y (3) serían ahora: F(b)-F(a); F(a) y 1-F(b). Toda función de distribución es obviamente monótona no decreciente, continua por lo menos por la derecha y tal que lim F ( y ) = 0 y lim F ( y ) = 1 . y→ −∞

y→∞

3.6 Caso discreto El lector puede preguntarse en este momento por qué decimos que toda función de distribución (f.d.) es continua “por lo menos por la derecha”. La razón es que no todas las variables aleatorias son continuas, como la considerada en el ejemplo del contenido de las botellas de agua. Consideremos un proceso con una variable aleatoria que vamos a denominar discreta. Supongamos que lanzamos 10 veces una moneda y que la variable aleatoria considerada, Y, es ahora el número de veces que ha salido cara. En este caso, Y sólo puede tomar los valores 0, 1, 2,..., 10. En este caso recibe el nombre de distribución de probabilidad la función f definida por: 53

f(y) = Prob (Y=y) para y = 0,1,2,...,10 f(y) = 0 en el resto Está claro que para una v.a. discreta, f ya no es una curva suave como ocurría en el caso continuo, sino que tendrá una forma como la de la figura 3.7. La función de distribución de Y, será ahora: F( y) =

Fig. 3.7 Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta

y

∑ f (k )

k =0

Su forma geométrica será del tipo representado en la figura 3.8. (Razone el lector la continuidad por la derecha.) Para el caso discreto, los parámetros µ y σ2 se definen: µ = ∑ y f ( y)

(3.5)

y

σ 2 = ∑ ( y − µ )2 f ( y ) y

(3.6)

Fig. 3.8 Función de distribución de una variable aleatoria discreta

π


3.7 El caso bivariante Consideremos de nuevo el proceso de envasado representado en la figura 3.1. Supongamos ahora que a cada individuo de la población le asignamos un par de valores (x,y) en el que x es el contenido de la botella en cm3 e y es su peso en gr. Matemáticamente hablando, esta asignación estaría representada por una función (X,Y) que hace corresponder a cada individuo de la población un elemento de (x,y) de ú2. Dicha función recibe el nombre de variable aleatoria bidimensional o vector aleatorio de dimensión 2. Los conceptos de variabilidad muestral y poblacional discutidos en apartados anteriores se generalizan de manera inmediata al caso bivariante, como veremos a continuación.

3.7.1 Variabilidad muestral

54

Supongamos que disponemos de n pares de valores (xi,yi) i=1,2,...,n; correspondientes a valores muestrales de un cierto vector (X,Y). Una forma razonable de representar la variabilidad muestral es el histograma generalizado de la figura 3.9 en el que el volumen del paralepípedo correspondiente a la celda rayada en el plano x, y, representa la frecuencia relativa de individuos muestrales, con la que X,Y toman valores en dicho rectángulo (celda). Fig. 3.9 Histograma generalizado

3.8 Densidades de probabilidad conjunta y densidades marginales Al igual que hemos hecho en el apartado 3.3, cuando consideremos la población conceptual en lugar de una muestra concreta, en el histograma generalizado de la figura 3.9, las v.a. X e Y convergerán en general hacia una superficie regular, f (x,y) denominada densidad de probabilidad conjunta (d.p.c), y que puede tener una forma como la de la figura 3.10, por ejemplo. De nuevo, no todas las funciones matemáticas f(x,y) pueden ser una densidad de probabilidad conjunta.

Fig. 3.10 Densidad de probabilidad conjunta

π


Para ello es necesario que: (a) f (x,y) $ 0 para todo (x,y) 0 ú2 (b) ∫∫ f ( x , y ) dx dy = 1 ú2

En el caso bivariante tendremos que: P ( x 0 ≤ X ≤ x 0 + dx , y 0 ≤ Y ≤ y 0 + dy ) = f ( x 0 , y 0 ) dxdy

(3.7)

3.8.1 Densidades marginales A partir del conocimiento de la d.p.c. f(x,y) de un vector aleatorio (X,Y), siempre es posible obtener la densidad de probabilidad univariante correspondiente a cada una de las dos variables aleatorias que definen el vector. La distribución univariante de X se conoce como densidad marginal en X y está definida por: f X (x) =

∫

f ( x , y ) dy

(3.8)

ú

La distribución univariante de Y se conoce como densidad marginal en Y y está definida por: fY ( y ) =

∫

f ( x , y ) dx

(3.9)

ú

Veremos que, por el contrario, no siempre es posible obtener la densidad conjunta a partir de las densidades marginales, aunque sí lo será en el caso en que las variables aleatorias X e Y sean estocásticamente independientes. Este concepto se desarrolla en el siguiente apartado.

3.9 Densidades condicionales e independencia de variables aleatorias Sea (X,Y) un vector aleatorio cuya d.p.c. es f( x,y) y sea y0 un cierto valor de Y tal que fY (y 0) ≠ 0. Se define como densidad de X condicional al valor y0 de Y a la densidad univariante: f ( x Y = y0 ) = f ( x y0 ) =

f ( x, y ) f Y ( y0 )

(3.11a)

Si x0 es un valor de X tal que fX(x0) ≠ 0, se puede definir también la densidad de Y condicionada al valor x0 de X como: f ( y X = x0 ) = f ( y x0 ) =

f ( x, y ) f X ( x0 )

(3.11b)

Así pues, en general se tiene que: f ( x, y ) = f ( y x0 ) f X ( x0 ) = f ( x y0 ) fY ( y0 )

(3.12)

El concepto de densidad condicional permite definir la noción de independencia entre variables aleatorias. Dado el vector aleatorio (X,Y), diremos que X,Y son variables aleatorias independientes si y sólo si

55

π


f ( x y0 ) = f X ( x )

(3.13)

Observe el lector que en este caso: f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y )

(3.14)

y por lo tanto, si las variables X,Y son independientes, es posible obtener la densidad como producto de las marginales. Los conceptos de densidad conjunta, marginal y condicional así como las de independencia estocástica pueden extenderse fácilmente a los vectores de dimensión n. En particular, si (Y1, Y2,..., Yn) es un vector aleatorio, diremos que las variables que lo componen Y1, Y2,..., Yn son variables aleatorias independientes si y sólo si la densidad de probabilidad conjunta es tal que: f ( y1 , y 2 , K , y n ) = f Y1 ( y1 ) f Y2 ( y 2 )K f Yn ( y n )

56

(3.15)

Para ilustrar de manera intuitiva el concepto de independencia entre variables aleatorias consideremos un caso concreto. Supongamos que en una cierta población de individuos se define el vector aleatorio (X, Y) tal que X es la estatura en cm de un cierto individuo e Y es su peso en kilos. ¿Puede el lector imaginarse la forma geométrica de f(y|150)? ¿y la f(y|180)? ¿Cree el lector que ambas densidades serán idénticas? Es casi seguro que la densidad de probabilidad de los pesos de todas las personas que miden 150 cm esté centrada en un valor menor que la de las personas que miden 180 cm, ya que en general esta subpoblación estará constituida por individuos que pesan más que los correspondientes a una estatura de 150 cm. En este caso, por tanto, no se cumple la expresión (3.13), ya que f(y|x0) depende del valor de x0. Este hecho coincide con la noción intuitiva de que la estatura y el peso de una persona no son independientes sino que, en general, las personas más altas también pesan más. Si, por el contrario, las variables fuesen independientes, la densidad de probabilidad de la variable X sería la misma fuese cual fuese el valor de Y.

3.10 Covarianza y coeficiente de correlación lineal Sea (X, Y) un vector aleatorio. Sabemos que la variabilidad de dicho vector está representada por su función de densidad de probabilidad conjunta f(x,y). Un parámetro de interés para caracterizar la dependencia lineal entre las v.a X e Y es la covarianza definida de la manera siguiente:

[

µ 11 = COV ( X , Y ) = E ( X − µ x )( Y − µ y )

]

(3.16)

donde µx y µy son las medias de las densidades marginales. Comprobamos de manera intuitiva que µ11 mide el grado de dependencia lineal entre X e Y. En efecto, si suponemos que X e Y están relacionadas de la manera indicada en la figura 3.11(a), como sería seguramente el caso si X e Y fuesen respectivamente la estatura y el peso de una cierta población, vemos que, si para un cierto individuo, (X-µx) es positivo y grande (un individuo de mucho mayor peso que la media de la población), también en general (Y-µy) será positivo y grande (el individuo será más alto que la media), y si (X-µx) es negativo (individuo de menor peso que la media),

π


probablemente (Y-µ y) será también negativo (individuos más bajo que la media). En consecuencia, la mayoría de productos (Yµ y) (X-µx) serán positivos y, por lo tanto, µ11, que es el valor medio esperado de dichos productos, será positivo. Un razonamiento parecido al anterior nos conduce a la conclusión de que, en el caso de la figura 3.11(b), la covarianza µ11 sería negativa. Podemos utilizar como X,Y, la temperatura máxima de un cierto día como variable X, y el consumo de electricidad para calefacción durante el mismo día en una cierta unidad como variable Y. En un día que sea más frío que la media probablemente se consumirá más Fig. 3.11 Algunos patrones en los diagramas bivariantes electricidad para calefacción que la que se consume en media, es decir que, cuando (X-µx) sea negativo, (Y-µy) será positivo. Análogamente en un día más cálido que la media, el consumo de energía para calefacción será menor que la media y, por lo tanto, cuando (X-µx) es positivo, se tiene que (Y-µy) es frecuentemente negativo. Así pues, los productos (X-µx) (Y-µy) serán negativos para una mayoría de individuos de la población y, por lo tanto, µ 11 será negativa. Cuando no exista dependencia lineal, como ocurre en el caso de la figura 3.11 (c), para un individuo en el que (X-µx) sea positivo, será equiprobable que (Y-µy) sea positivo o negativo y, por lo tanto, es razonable pensar que µ11 será nulo. De los razonamientos anteriores se desprende que el signo de la covarianza es un indicador del tipo de dependencia lineal entre X e Y. No ocurre lo mismo con el valor de µ11, ya que éste depende de las unidades de medida. Así, para el caso de la figura 3.11 (a), si X se mide en toneladas e Y en kilómetros, µ11 será un número pequeño, mientras que si X se mide en miligramos e Y en micras, µ11 tendrá un valor muy grande. En consecuencia, es conveniente definir un parámetro que tenga siempre el mismo signo que la covarianza, pero cuyo valor sea independiente de las unidades en las que se midan las variables X,Y. Este parámetro se denomina coeficiente de correlación lineal y se define: ρ xy =

COV ( X , Y ) σxσy

(3.17)

Se puede demostrar fácilmente que, si entre X,Y existe una relación lineal exacta:

entonces

Y = β 0 + β1 X

ρ xy = ( signo β 1 ) ⋅1

Así pues, ρxy puede tomar valores desde -1 a +1, y toma el valor 0 cuando X e Y son independientes.

57

π


3.11 Esperanza matemática y varianza de combinaciones lineales de variables aleatorias Sean Y1, Y2,..., Yn variables aleatorias y sean c1, c2,..., cn constantes reales. Consideremos una combinación lineal del tipo: n (3.18) Z = ∑ ci Yi i =1

De la definición de esperanza matemática, se deduce que E, es un operador lineal y, por lo tanto: E( Z ) =

n

∑ ci E (Yi ) i =1

=

n

∑ ci µ i i =1

Por otro lado se tiene que: 2

2

n n  n  V ( Z ) = E ∑ ciYi − ∑ ci µ i  = E ∑ ci (Yi − µ i ) = i =1  i =1   i =1 

=

n

n −1

∑ ci2 Var (Yi ) + 2 ∑ i =1

n

(3.19a)

∑ ci c j COV (Yi , Yj )

i =1 j = i +1

De la expresión (3.19 a) se deduce que, cuando las variables Y1, Y2,..., Yn sean independientes:

58

n  n  (3.19b) V  ∑ ci Yi  = ∑ ci2Var ( Yi )  i =1  i =1 Es muy importante entender correctamente el campo de aplicación de la expresión (3.19 b), y para ello vamos a considerar un ejemplo concreto. Supongamos un proceso de rellenado de gel en unas botellas de plástico. Definamos las siguientes variables aleatorias: X 6 peso neto de gel en una botella Y 6 peso de la botella vacía Z 6 peso de la botella llena de gel Es razonable pensar que será fácil obtener datos experimentales que permitan estimar la varianza σy2 de la variable Y y la varianza σz2 de las botellas llenas, mientras que será casi imposible obtener datos experimentales de la variable X (parte del gel quedaría pegado a las paredes de la botella y el vaciado sería imperfecto). No obstante, si tenemos en cuenta que:

Z=X+Y y que es razonable pensar que X e Y son independientes, podemos aplicar:  n  V  ∑ ci Yi  =  i =1 

y obtener: y, por lo tanto:

n

∑ ci2Var (Yi ) i =1

σ 2z = σ 2x + σ 2y σ 2x = σ 2z − σ 2y

Observe el lector que si hubiese enfocado la solución al cálculo de σx2 a partir de: X=Z-Y debería tener en cuenta que ahora Z e Y son claramente dependientes y, en consecuencia, debería aplicarse la expresión (3.19 a)

π


n

n −1

n

∑ ci2 Var (Yi ) + 2 ∑ ∑ ci c j COV (Yi , Y j ) i =1

i =1 j = i +1

en lugar de la (3.19 b)  n  V  ∑ ci Yi  =  i =1 

n

∑ ci2Var (Yi ) i =1

3.12 Ejemplo del “helicóptero” Para ilustrar los conceptos básicos de este capítulo, vamos a utilizar el “helicóptero” de papel cuyo diseño está realizado en la figura 3.12. La idea de utilizar este ejemplo a lo largo del libro le fue sugerida a uno de sus autores por George E. P. Box, Soren Bisgaard y Conrad Fung de la Universidad de Wisconsin. El proceso de fabricación de helicópteros consistiría, entre otros, en los siguientes pasos (ver figura 3.13.): Supongamos que la característica de calidad más importante en los helicópteros fabricados es el tiempo que tardan en caer desde tres metros de altura. Si el lector tiene paciencia suficiente para construir unos cuantos helicópteros a partir del diseño de la figura 3.12, y una vez fabricados los lanza desde una altura de 3 m y mide el tiempo de caída, observará lo obvio: no todos los helicópteros tardan el mismo tiempo en recorrer los 3 m. ¿Por qué existe variabilidad en estos tiempos?

59

Fig. 3.12 Diseño del helicóptero de papel

Fig. 3.13 Proceso de fabricación de los helicópteros

Como ejemplo de algunas de las causas de variabilidad podríamos considerar las de la tabla 3.3. Obsérvese que en la variabilidad final intervienen, no sólo las causas que actúan durante el proceso de fabricación de los helicópteros, sino también las que actúan durante el proceso de lanzamiento y medida del tiempo de caída. En este ejemplo la población conceptual estaría formada por todos los helicópteros que se pueden fabricar por el proceso en estado de control, es decir, eliminando las causas asignables como la citada antes en segundo lugar en la tabla 3.3.

π


CAUSA

TIPO

Variabilidad en la calidad (textura, peso, etc.) de los folios utilizados como materia prima. Distracci\n durante el dibujo de las lRneas de corte del 51 helic\ptero. No siempre dejaremos caer el helic\ptero desde 3 metros exactamente. Variabilidad en las corrientes del aire en la habitaci\n donde se dejan caer los helic\pteros.

Comdn Asignable Comdn Comdn

Tabla 3.3 Algunas causas de variabilidad en el ejemplo del helicóptero

60

Fig. 3.14 Representación gráfica con pocos datos

Fig. 3.15 Histograma de los tiempos de caída de 100 helicópteros.

Una muestra estaría constituida, por ejemplo, por 10 helicópteros seleccionados al azar de entre los fabricados por el proceso. El experimento consiste en dejar caer un helicóptero desde 3 m de altura. Midiendo el tiempo de caída definimos la variable aleatoria Y, que asociaría a los 10 helicópteros de la muestra los 10 números reales correspondientes a sus tiempos de caída. Dichos tiempos, en segundos, podrían ser: 3,25; 3,14; 2,68; 2,96; 2,99; 2,60; 2,90; 2,75; 2,86; 3,05. Dado el reducido número de datos muestrales, la representación gráfica más adecuada será la de la figura 3.14. Si en lugar de seleccionar una muestra de 10 helicópteros, hubiésemos elegido una muestra de mayor tamaño (100 helicópteros por ejemplo), la representación gráfica de los datos sería el histograma de la figura 3.15. El área rayada en la figura 3.15 es proporcional a la frecuencia relativa o la proporción de los 100 helicópteros muestrales cuyos tiempos de caída desde 3 m han estado comprendidos entre 2,4 y 3,6 segundos. Conceptualmente podemos suponer que, si experimentásemos con todos y cada uno de los helicópteros de la población, obtendríamos como límite del histograma una cierta densidad de probabilidad como la de la figura 3.16. En esta densidad, el área rayada representa la probabilidad de que un helicóptero de la población tarde más de 3,2 y menos de 3,4 segundos en caer desde 3 m o, lo que es lo mismo, la proporción de helicópteros

π


en la población cuyo tiempo de caída estaría comprendido entre 3,2 y 3,4 segundos. Finalicemos este capítulo indicando que uno de los objetivos básicos de la estadística es hacer inferencias acerca de una población conceptual a partir de datos muestrales de dicha población.

Fig. 3.16 Densidad de probabilidad en el caso de los helicópteros

61

π


Ejercicios 3.1

El número de averías que sufre una determinada máquina a lo largo del día está descrito por la siguiente distribución de probabilidad: NÚM. DE AVERÍAS

(X)

PROBABILIDAD P(X)

0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1

0 1 2 3 4 5

Calcular la esperanza matemática y la varianza de la variable aleatoria “número de averías”.

3.2

62

Una variable aleatoria tiene la siguiente distribución de probabilidad: VALOR DE X

PROBABILIDAD P(X)

30 31 32 33 34 35 36 37

1/12 2/12 3/12 2/12 1/12 1/12 1/12 1/12

Calcular: a) E(x2) b) E[(x-x)2] c) E(x) d) E(2x-1)

3.3

Se considera la variable X “suma del resultado de lanzar dos dados a la vez”. Calcular: a) E(x) b) V(x)

3.4

Una variable aleatoria tiene la siguiente distribución de probabilidad: f(x) = k(1-x)2 0
3.5

Una variable aleatoria x se distribuye según la función de densidad: f(x) = 3kx 0
π

3.6


La viscosimetría es una técnica corrientemente utilizada en la industria química para conocer la distribución de pesos moleculares de polímeros. Un investigador estudió muestras de polimetacrilato de metilo a lo largo de una semana, y obtuvo los siguientes resultados: DÍA

PESO (G)

1 2 3 4 5 6 7

0.8241 0.6022 0.4554 0.4287 0.2290 0.2000 0.3325

VISCOSIDAD (PO)

TEMP. LABORTORIO (1C)

22.3 22.1 18.9 22.6 23.1 22.5 23.0

0.6749 0.668 0.641 0.6240 0.6010 0.5750 0.6200

a) Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación entre el peso (expresado en gramos) y la viscosidad (en poises). b) Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación entre el peso (expresado en kilogramos) y la viscosidad (en poises). c) ¿Qué se puede deducir a la vista de los resultados de los apartados a) y b)? d) ¿Existe relación entre la temperatura y la viscosidad? e) ¿Y entre la temperatura y el peso de los polímeros? f) Realizar diagramas bivariantes y decir si los resultados obtenidos son coherentes con dichos diagramas.

3.7

En un estudio de mercado se observó que el consumo de una determinada revista dependía de la edad según la siguiente densidad de probabilidad: f(edad) =0

edad<18 4

f (edad) =k/edad edad$18 a) Calcular el valor de k. b) Utilizando dicha densidad de probabilidad, calcular la probabilidad de que una persona que compre la revista, escogida al azar, tenga una edad comprendida entre 25 y 30 años.

3.8

Un fabricante de juguetes de madera utiliza en sus productos cuatro tipos de material (a, b, c, d) que une mediante cuatro tipos diferentes de cola (A, B, C, D). Ha observado que en ciertas condiciones sus A B C D productos se rompen con facilidad según la distribución de probabilidad conjunta de la siguiente tabla: a 0.01 0 0.07 0.02 a) ¿Cuál es la probabilidad de que se despeguen las b 0.02 0.05 0.1 0.23 piezas utilizando el material b y la cola C? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la pieza se rompa c 0.06 0.11 0.03 0 utilizando la cola A? d 0.01 0.24 0 0.05 c) ¿Cuál es la probabilidad marginal de b?

63

4 Algunos modelos probabilísticos

Consideremos tres situaciones frecuentes en la industria: S1.Consideremos el control de recepción de materias primas o de componentes semielaborados. En general, el control consistirá en extraer una muestra aleatoria del pedido y aceptar o rechazar el mismo en función del número de componentes defectuosas halladas en la muestra. S2.Consideremos un estudio de mercado destinado a estimar el porcentaje de hogares que tienen instalado un cierto electrodoméstico. El estudio consistirá en seleccionar una muestra aleatoria de hogares y estimar el porcentaje en la población en función del número de ellos que en la muestra tengan el electrodoméstico en cuestión. S3.Supongamos que una empresa desea estimar la proporción de facturas emitidas que tardan más de tres meses en ser cobradas. Para ello se seleccionará una muestra de las facturas emitidas en el pasado y a partir de la proporción muestral de facturas cobradas con el retraso antes indicado, se estimará dicha proporción en el total de facturas. Las tres situaciones son asimilables al siguiente modelo: Una urna contiene bolas de dos tipos, B y B en cantidades NB y N-NB respectivamente. Se extraen n bolas de la urna, sin reposición, y se considera la variable aleatoria X, definida por el número de bolas del tipo B que han aparecido en la muestra. En dicho modelo, la probabilidad de que X=x (x=0,1,2,3...,n) sería:  NB N − NB     x  n − x  h( x ; N , N B , n ) =  N    n

(4.1)

N  donde, por ejemplo,  B  es el número de combinaciones de orden x entre NB elementos.  x 

La expresión (4.1) es la distribución de probabilidad de un modelo probabilístico conocido como modelo hipergeométrico. La tabla 4.1 muestra cómo las situaciones S1, S2 y S3 se adaptan conceptualmente al modelo hipergeométrico, es decir, que sería correcto basarnos en dicho modelo para hacer las inferencias necesarias en los tres casos descritos.

65

π


SITUACIÓN

TIPO BB

N

S1

Componente defectuosa

TIPO B

Componente buena

Ndmero de componentes en el pedido

S2

Hogar con electrodomJstico

Hogar sin electrodomJstico

S3

Factura retrasada

Factura cobrada antes de 3 meses

Ndmero de hogares en la poblaci\n estudiada Ndmero total de facturas emitidas

Ndmero de componentes defectuosas en el pedido Ndmero de hogares de la poblaci\n que tienen electrodomJsticos

n Ndmero de componentes extraRdas para control Ndmero de hogares en la muestra

Número de facturas emitidas y cobradas con retraso de m
Ndmero de facturas examinadas en el estudio

NB

Tabla 4.1 Situaciones que se adaptan al modelo hipergeométrico

En la teoría de la probabilidad existen otros muchos modelos teóricos que resultan de utilidad en una gran variedad de situaciones prácticas. El objetivo de este capítulo es presentar las más relevantes desde un punto de vista conceptual. El lector interesado en los aspectos matemáticos involucrados en la deducción de dichos modelos y de sus principales características puede, de nuevo, dirigirse a los textos de estadística matemática mencionados en el capítulo anterior.

4.1 La ley normal 66

En este apartado vamos a estudiar las principales características de la ley normal, también conocida como ley de Laplace-Gauss. Dicho modelo probabilístico desempeña un papel esencial en la teoría y la práctica de la estadística, así como en la teoría de la probabilidad, especialmente en los teoremas límite. Se dice que una variable aleatoria Y se distribuye según una ley normal de parámetros µ y σ [lo abreviaremos diciendo: Y-N(µ;σ)], cuando su densidad de probabilidad viene dada por: f ( y) =

 ( y − µ )2  exp  −  2σ 2  2π σ  1

(4.2)

para -40. Desde un punto de vista geométrico, la ley normal tiene la conocida forma de campana de la figura 4.1. Es fácil comprobar los siguientes elementos más relevantes: a) f(y) es simétrica respecto del eje y=µ. b) La gráfica de f(y) presenta un máximo relativo  1  en  µ , .  2π σ 

Fig. 4.1 Gráfica de la densidad de probabilidad N(µ; σ)

c) La gráfica de f(y) presenta puntos de inflexión en y=µ-σ e y=µ+σ. d) f(y)$0 para todo valor de y. e) ∫ f ( y ) dy = 1. ú

π

ALGUNOS MODELOS PROBABILÍSTICOS

A nivel estrictamente geométrico, es interesante observar que variar el valor del parámetro µ equivale únicamente a variar la posición de la campana sin variar su forma. Por el contrario, una variación en el valor del parámetro σ implica una modificación de la forma de la curva (si aumenta σ, se alejan del eje y=µ los puntos de inflexión y disminuye la ordenada del máximo relativo), pero no afecta a la posición de la misma. En la figura 4.2 se observan estos efectos. Estos efectos son perfectamente razonables, ya que: E (Y ) = V (Y ) =

∫R y

Fig. 4.2 Efectos de µ y σ sobre la gráfica de la ley normal

f ( y ) dy = µ

∫R ( y − µ )

2

f ( y ) dy = σ 2

Así pues, µ y σ no son más que la esperanza matemática y la desviación tipo de la variable aleatoria y, en consecuencia, µ es un parámetro de localización, mientras que σ afecta a la dispersión y, por lo tanto, a la forma de la densidad. La gran utilidad de la ley normal en la práctica es consecuencia de su origen histórico, muy ligado a la teoría de los errores de medida. De hecho, si bien la ley normal fue descubierta por Abraham de Moivre como límite de un modelo binomial, su uso fue potenciado por Laplace y especialmente por Gauss en sus estudios sobre los problemas de medición en astronomía. Parece muy razonable suponer que la distribución de los errores de medida en un instrumento “normal” sea simétrica, centrada en el valor 0, y que la probabilidad de cometer un error sea de alguna manera inversamente proporcional a la magnitud del error. Gauss obtuvo la densidad (4.2) a partir de estas hipótesis. En el siglo XIX, Bessel justifica la utilidad de (4.2) a partir del principio de superposición, que está en la base de

67

Fig. 4.3 Distribuciones obtenidas por simulación de las puntuaciones medias al lanzar un determinado número de dados

π


los teoremas centrales del límite de la estadística matemática. La idea consiste en suponer que el error observado en una medición concreta es consecuencia de una gran cantidad de causas independientes, con distribuciones de probabilidad parecidas, y cada una de ellas con un efecto pequeño comparado con el efecto total resultante. En este caso la utilidad de la ley normal para modelar el efecto total es consecuencia del teorema central del límite que dice, en lenguaje no formalizado, que la suma (superposición) de un número no muy pequeño de variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas, en condiciones muy generales, se distribuye según la ley normal. Este teorema puede ser comprobado empíricamente con el ejemplo ilustrado en la fig.4.3. Si X1, X2, ..., Xn representan los valores obtenidos al tirar varias veces un dado “perfecto”, la 1 distribución de probabilidad de Xi sería: f ( x i ) = para i=1, 2,..., 6. Automáticamente comprobamos 6 que las distribuciones de probabilidad de la media obtenida en 2, 3, 4,..., 8, tiradas, es decir, la distribución de probabilidad de: 1 1 1 ( X1 + X 2 ), ( X1 + X 2 + X 3 ),K, ( X1 + X 2 +K+ X n ) 2 3 n

68

sería la de la figura 4.3(a), (b), (c), (d) para n=2, 3, 4, 8 respectivamente. Obsérvese que podemos abordar la suma (dividida por 8) de 8 variables independientes equidistribuidas según la figura 4.3(a) mediante una ley normal con algún tipo de corrección por continuidad que comentaremos más adelante. Si el lector repasa los conceptos de proceso en estado de control y el de sistema de causas comunes de variabilidad, comprenderá que como consecuencia del teorema central del límite, la variabilidad en este tipo de procesos se puede representar en muchas ocasiones por medio de la ley normal. 4.1.1 Función de distribución y

La función de distribución (f.d.) de la ley normal viene dada por: F ( y ) = ∫−∞ f ( t ) dt , donde f(t) viene dada por (4.2). Puesto que f(t) no tiene función primitiva, no existe expresión analítica para F(y) y, en consecuencia, la f.d. de la ley normal aparece en forma de tablas o programada en muchas de las calculadoras existentes en el mercado. El lector interesado en las distintas aproximaciones para el cálculo numérico de F(y) puede encontrar abundante material en Abramowitz y Stegun (1964), Johnson y Kotz (1970) o Patel y Read (1982) entre otros. Existen tablas de la f.d. de la ley N(0;1), también conocida como ley normal centrada y reducida o ley normal estándar, y cuya densidad de probabilidad, que se obtiene haciendo µ=0 y σ=1 en (4.2), resulta ser φ(z ) =

 z2  exp −  para − ∞ < z < +∞ 2π  2 1

La función de distribución de esta ley N(0;1) será: Ψ( z ) =

z

∫−∞ φ(t ) dt

y está tabulada en la tabla C del apéndice. Mediante esta tabla, es posible calcular el valor en cualquier punto de la función de distribución de una ley normal genérica N(µ;σ). En efecto, si Y-N(µ;σ) entonces:

π


F ( y 0 ) = Prob (Y ≤ y 0 ) =

Con el cambio de variable z = F ( y0 ) =

z0 =

∫ −∞

∫

y0

−∞

 1  y − µ2 exp  −    dy 2π σ  2  σ   1

y−µ tendremos: σ

y0 − µ σ

 z2  exp  −  σ dz = 2π σ  2 1

En la figura 4.4 se representa gráficamente la función de distribución de una ley normal N(µ;σ) y se señalan algunos valores de uso frecuente. Observemos que ahora es posible interpretar el significado de σ en el caso de distribución normal; así, por ejemplo, si Y es el contenido en cm3 de unas botellas rellenadas por un cierto proceso, y suponemos que Y-N(200;10), entonces el 95,44% (97,72-2,28) de las botellas estará entre µ±2σ, es decir, entre 180 y 220 cm3. Si otra máquina rellenase botellas con σ=4 cm y µ=200, entonces el mismo porcentaje, 95,44%, de botellas tendrían contenidos entre 192 y 208 cm3, es decir, una población más homogénea. Es también evidente que entre µ-4σ y µ+4σ se encontrará el 99,994% de la población, es decir, que un intervalo de 8σ centrado en la media comprenderá prácticamente a todos los individuos de la población. Por este motivo, a veces 8σ recibe el nombre de capacidad o tolerancia intrínseca de una máquina cuya producción se distribuya normalmente. Si para graduar el eje vertical utilizamos una escala especial, que se deduce de los valores de la f.d. de una ley normal N(µ;σ) de la manera indicada en la figura 4.5, entonces, en un papel gráfico con dicha escala en el eje probabilístico, la f.d. de N(µ;σ) será una recta. Este hecho nos permite utilizar este papel, conocido como papel probabilístico normal, para estudios de capacidad de máquina y de proceso, para análisis de la normalidad de los residuos en un modelo de regresión lineal, o bien para identificar los efectos importantes en los diseños experimentales que se estudiarán en el capítulo 7.

z0 =

∫ −∞

y0 − µ σ

φ( z ) dz = Ψ ( z 0 )

69 Fig. 4.4 Función de distribución de la ley normal N(µ; σ)

Fig. 4.5 Escala del eje vertical en el papel probabilístico normal

π


En este mismo capítulo veremos la utilidad de la ley normal para abordar, en condiciones asintóticas bastante generales otras distribuciones de probabilidad tales como la t-Student, la ley binomial y la ley de Chi-cuadrado entre otras. Finalicemos este apartado con un importante resultado cuya justificación puede hallarse en Lukacs (1956): Si Yi (i=1, 2, ..., n) son variables aleatorias independientes tales que Yi-N(µi;σi) y ai(i=1,2,...,n) son constantes reales, entonces:

∑ a iYi - N ( µ ; σ )

con µ = ∑ a i µ i y σ =

∑ a i2σ i2

(4.3)

La expresión (4.3) tiene importantes aplicaciones en el cálculo de tolerancias. En efecto, supongamos que se quieren ensamblar tres varillas tal como se indica en la figura 4.6.

Fig. 4.6 Ensamblaje de tres varillas

70

Si todas las varillas han sido fabricadas independientemente y de manera que su longitud X se distribuya normalmente según N(µ;σ), la longitud total L se distribuirá según N(3µ; 3σ ). El conocimiento de la desviación tipo de L nos permitirá el cálculo de tolerancias del montaje en serie de las tres varillas. En el ejemplo anterior, hemos definido L=X1+X2+X3 con Xi-N(µ;σ) i=1,2,3. Es interesante que el lector reflexione sobre el error que se cometería si se hubiese definido L=3X.

4.2 La ley binomial Supongamos que en una urna hay una proporción p de bolas blancas y, por lo tanto, una proporción q=1-p de bolas negras. Extraemos n bolas de la urna con reposición (es decir, devolvemos la bola a la urna después de haber anotado su color). Sea X el número de bolas blancas que han aparecido entre las n bolas extraídas. Esta situación se caracteriza por: (i) se realizan n experimentos independientes (la extracción de las n bolas); (ii) para cada experimento sólo hay dos sucesos posibles: A (la bola blanca) y A (es negra); (iii) p=P(A); q=1-P(A), la probabilidad de que ocurra A es constante; (iv) la variable aleatoria de interés X es el número de veces que ocurre A en los n experimentos. Cuando se cumplen todas las condiciones (i)...(iv) anteriores, se dice que X sigue la ley binomial. La distribución de probabilidad binomial es:  n Prob ( X = x ) = b( x; n, p ) =   p x (1 − p ) n − x para x = 0,1,2, K , n  x

 n donde  es el número de combinaciones sin repetición de orden x entre n elementos y su valor es  x  n n!  = x x !( n − x )!  

π


La gráfica de b(x;n,p) depende del valor de sus dos parámetros n y p, tal como se indica en la figura 4.7.

Fig. 4.7 Distribución de probabilidad de la ley binomial

La función de distribución se define de la siguiente manera: B( x; n, p ) = Prob ( X ≤ x ) =

x

∑ b( j; n, p ) j =0

Su gráfica es la de una función en escalón, continua por la derecha y monótona no decreciente, tal como se indica en la figura 4.8. B(x;n,p) se encuentra tabulada para algunos valores de n y p en la tabla binomial del apéndice 1. La esperanza matemática y la varianza de una v.a. que sigue una ley binomial de parámetros n y p son: µ = E ( X ) = np

σ 2 = V ( X ) = np (1 − p )

Es interesante observar que µ y σ2 no son independientes. Fig. 4.8 Función de distribución de una ley binomial Existen varias aproximaciones de la ley binomial que presentamos a continuación. Cuando n es grande y p no toma valores extremos, la ley binomial se puede aproximar mediante una ley normal. Las condiciones bajo las cuales esta aproximación conduce a resultados correctos varían según distintos autores. Según nuestra experiencia las condiciones más aceptables son: Si n ≥ 5 y

1

 x + 1 2 − np  1− p p  , donde Ψ( b) − < 0,3, entonces B( x; n, p ) ≈ Ψ  p 1− p  np(1 − p ) 

n es la función de distribución de la ley normal estándar en el punto b. El factor ½ que aparece en la expresión anterior es debido a la corrección por continuidad necesaria al aproximar una distribución de probabilidad de una v.a. discreta con una continua.

71

π


Si en lugar de considerar la v.a. X se considera la proporción de veces que ocurre A en los n experimentos, es decir, p*, tendremos: X p∗ = n 1 E ( p∗ ) = E ( X ) = p n V ( p∗ ) =

1 (1 − p ) V(X) = p n2 n

En este caso, cuando se cumpla la condición: n≥5 y

1 n

1− p p − p 1− p

  1 a+ − p 2n  < 0,3 , tendremos que Prob ( p ∗ < a ) ≈ Ψ   p(1 − p )      n

Finalmente, en el próximo apartado veremos que, cuando n es grande, p pequeño y np es finito, la ley binomial se puede aproximar por la ley de Poisson.

4.3 Ley de Poisson

72

En este apartado se presenta la ley de Poisson desde dos puntos de vista. El primero es como límite de la ley binomial cuando n64, p6 0 y np=λ es finito, y el segundo como proceso de Poisson. Supongamos una máquina que funciona durante 20.000 segundos diarios. Sea p1=0,0001 la probabilidad de que la máquina se averíe durante un segundo dado, y admitamos la hipótesis de que la ocurrencia de una avería en un segundo dado es independiente de lo ocurrido con antelación. Para planificar el mantenimiento de dicha máquina es necesario calcular las probabilidades de 0, 1, 2, ..., averías durante un día. Dichas probabilidades se podrían calcular utilizando la ley binomial y serían: NÚM. DE AVERÍAS EN UN DÍA (x)

0

1

2

3

4

0.13532

0.27067

0.27068

0.18046

0.09022

PROBABILIDADES:

b (x; 20.000; 0,0001)

Si disponemos de otra máquina menos utilizada, que funcione durante 10.000 segundos diarios y con una probabilidad p2=0,0002 de averiarse durante un segundo dado, las probabilidades de 0, 1, 2, ..., averías en esta segunda máquina serían: NÚM. DE AVERÍAS EN UN DÍA (x)

0

1

2

3

4

0.13531

0.27067

0.27070

0.18046

0.09022

PROBABILIDADES:

b (x; 10.000; 0,0002)

Es interesante constatar que las probabilidades calculadas para las dos máquinas prácticamente coinciden. ¿Por qué?

π


Observemos que en los dos modelos binomiales n es muy grade y p es muy pequeño, mientras que el número medio de averías por día es np=2 en ambas máquinas. Se demuestra fácilmente que: lim b( x; n, p ) = e − λ

n →∞ p→ 0

λx = p( x; λ ) con np = λ ( finito ) x!

(4.4)

La distribución límite p(x;λ) se conoce como ley de Poisson. En nuestro caso tendríamos que: NÚM. DE AVERÍAS EN UN DÍA (x)

0

1

2

3

4

0,13534

0,27067

0,27067

0,18045

0,09022

PROBABILIDADES: x

e

−λ

λ

(λ = 2)

x!

Y es evidente la coincidencia práctica de los resultados obtenidos mediante la ley de Poisson y los obtenidos aplicando las leyes binomiales respectivas. La gráfica de la distribución de Poisson p(x;λ) depende de λ, tal como se indica en la figura 4.9.

73

Fig. 4.9 Distribución de Poisson

La función de distribución de la ley de Poisson vendrá dada por: P( x; λ ) = Prob ( X ≤ x ) =

x

∑ p ( j; λ ) j=0

Dicha función de distribución está tabulada en el apéndice de las tablas y su gráfica para λ=2 es la de la figura 4.10. La ley de Poisson viene caracterizada por un único parámetro λ y es sencillo probar que E(X)=λ y V(X)=λ, es decir, que la media y la varianza de una ley de Poisson coinciden y que las dos son iguales a λ.

Fig. 4.10 Función de distribución de la ley de Poisson para λ=2

π


La ocurrencia de averías en una máquina puede ser vista como un proceso estocástico particular. Supongamos que las averías ocurren a lo largo del tiempo, y llamemos X(t) al número de sucesos (averías en este caso) que ocurran durante el intervalo del tiempo (0,t) con t$0, y supongamos sin pérdida de generalidad que X(0)=0. Para que los sucesos (averías en nuestro caso) sigan un proceso de Poisson, deben cumplirse las siguientes hipótesis: (i) La probabilidad de que durante el intervalo (ζ,ζ+t) ocurran exactamente x sucesos depende sólo de x y de t, pero no de ζ. (ii) El número de sucesos que ocurren en intervalos de tiempo disjuntos son mutuamente independientes. (iii)La probabilidad de que durante un intervalo de tiempo de amplitud h ocurra un suceso es λh+O(h) y la probabilidad de que ocurra más de un suceso es O(h) donde λ es un valor constante y O(h)/h60 cuando h60. Bajo estas condiciones, llamamos p(x;λt) a la probabilidad de que en un proceso de Poisson ocurran exactamente x sucesos durante un intervalo de tiempo (0,t) y es: p( x; λt ) = e − λt

74

( λt ) x x!

x = 0,1,2,K

(4.5)

es decir, la distribución de Poisson de parámetro λt. La coincidencia entre los dos puntos de vista que acabamos de exponer es intuitivamente clara si consideramos el intervalo (0,t) dividido en n intervalos disjuntos de amplitud h=t/n. Cuando n64, las hipótesis (i), (ii) y (iii) equivalen al límite de un modelo binomial en el que λh60, pero λ es finito. En la expresión 4.5, λ representa, pues, el número medio de sucesos por unidad de tiempo.

4.4 Distribución de estadísticos en muestras aleatorias simples de poblaciones normales Se dice que una muestra extraída de una cierta población es una muestra aleatoria simple (m.a.s) de la misma, cuando todo elemento de dicha población tiene la misma probabilidad de ser escogido para formar parte de la muestra. Si Y es una cierta variable aleatoria será útil imaginar una población conceptual en la que la frecuencia con que aparezcan los distintos individuos sea la definida por la función de distribución de Y. En este caso, una muestra aleatoria simple sería cualquier conjunto de n realizaciones independientes de Y. Es decir, (Y1,Y2,...,Yn) es una m.a.s. de Y si y sólo si: (i) las v.a. Yi son independientes; (ii) Yi - f(y) i=1,2,...,n donde f(y) es la densidad de probabilidad de Y. Sea (y1,y2,...,yn) una m.a.s. de Y; los estadísticos muestrales más utilizados en el presente libro son: n

Y =

∑ Yi n

y

S2 =

∑ (Yi − Y ) 2 i =1

n −1

Tanto la media muestral Y , como S 2 son variables aleatorias, y uno de los objetivos del presente capítulo es obtener las densidades de probabilidad de Y y de S2 en m.a.s. de poblaciones normales. La figura 4.11 indica de forma gráfica este objetivo.

π


Fig. 4.11 Los estadísticos Y y S2 son variables aleatorias

75

σ conocida) 4.5 Distribución de Y (σ 2

Sea (Y1,Y2,...,Yn) una m.a.s. de Y-N(µ;σ). Dado que Y = ΣYi /n se tiene que: a) La distribución de será 1 n b) E ( Y ) = ∑ E (Yi ) = n i =1 1 n c) V ( Y ) = 2 ∑ V ( Yi ) = n i =1

Y normal por ser Y una combinación lineal de Yi, que son normales. 1 ( µ + µ +K µ ) = µ . n σ2 1 (σ 2 + σ 2 +K+σ 2 ) = , por ser Yi v.a. independientes. 2 n n

En consecuencia,  σ  Y - N  µ;   n

(4.6)

Conviene reflexionar sobre el resultado (4.6). En primer lugar observamos que Y sería un estimador insesgado de µ o, lo que es lo mismo, que Y toma valores alrededor del verdadero valor de µ. En segundo lugar, la variancia V( Y ) puede hacerse tan pequeña como se quiera, si se toma un tamaño de muestra adecuado (aunque puede resultar caro) y, por lo tanto, el valor de Y en una muestra concreta puede ser tan próxima a µ como se desee. Por ello, cuando se quiera obtener una buena estimación del parámetro µ en una población normal, dicha estimación será Y$ = Y .

π


También es importante observar que (4.6) es también cierto para muestras de una población cualquiera (no necesariamente normal), aunque en este caso el tamaño de muestra no debe ser muy pequeño. Ello es debido al teorema central de límite aplicado a la suma de v.a. del numerador de Y = ΣYi /n. La distribución de Y cuando σ no sea conocida se estudiará en el apartado 4.9.

4.6 La ley de Chi-cuadrado Para la obtención de la densidad de probabilidad de S2 es necesario introducir una nueva ley de probabilidad conocida como la ley de Chi-cuadrado. 2 La ley de χ ν (Chi-cuadrado con ν grados de libertad) es la distribución de la suma de los cuadrados de variables aleatorias independientes y todas ellas de distribución N(0;1). 2 La figura 4.12 ilustra el concepto de χ ν .

76

Fig. 4.12 Esquema conceptual de la ley de Chi-cuadrado

Supongamos que disponemos de urnas con papeletas en cada una de las cuales hay escrito un número con cuatro decimales, de modo que las frecuencias con que aparecen dichos números sean las definidas por la d.p. de la ley N(0,1). Si extraemos una papeleta de cada urna y observamos los números escritos en ellas tendremos: (Y 11,Y 12,...,Y1ν). Si elevamos al cuadrado y los sumamos obtendríamos un cierto valor ΣY12i . Repitiendo esta operación conceptualmente se irían obteniendo 2 valores ΣY2i , Σ Y32i ,...,que serían realizaciones de la variable aleatoria:

χ ν2 =

ν

∑ Yi 2 i =1

donde Yi-N(0;1) para i=1,2,...,ν y las Yi son independientes.

π


2 La densidad de probabilidad de χ ν es:

−1

y ν  ν  1  −1 f ( χ ) = 2 2 Γ  ν   y ( 2 ) e − 2 para y > 0   2  

2 ν

(4.7)

donde Γ(·) a la función gamma incompleta. 2 La esperanza matemática y la varianza de χ ν son:

E ( χ ν2 ) = ν

y V ( χ ν2 ) = 2ν

Obsérvese que los grados de libertad de la ley de Chi-cuadrado, ν, son el número de variables aleatorias independientes que aparecen en el sumatorio:

χ ν2 =

ν

f (χ2)

∑ Yi 2 i =1

2 La gráfica de f( χ ν ) depende de ν. Es asimétrica y sesgada hacia la izquierda para ν pequeño como puede observarse en la figura 4.13. La ley de Chi-cuadrado está parcialmente tabulada en el apéndice de tablas (tabla F). Para ν >30 existen diversas aproximaciones, como la de Fisher o la de WilsonHilferty. Según nuestra experiencia y de forma 2 empírica, la ley de χ ν se puede aproximar de la forma siguiente:

Para ν > 200

77

Fig. 4.13 Algunas densidades de χ ν

2

(

χ ν2 - N ν ; 2ν

)

 2 Para 30 < ν ≤ 200 log χ ν2 - N  log ν ;  ν  

4.7 La ley t-Student Student era el seudónimo utilizado por William Gosset cuando trabajaba en la empresa cervecera Guiness en Dublin, que le obligó a no publicar con su auténtico nombre. En aquellos tiempos de principios de siglo, la totalidad de la teoría estadística existente era teoría asintótica y, en consecuencia, válida únicamente para muestras de tamaño grande. Por el contrario, Gosset quería estudiar la relación existente entre la calidad de ciertas materias primas, como la cebada y la calidad del producto final, y sólo disponía de muestras pequeñas. Para este tipo de muestras Gosset dedujo la distribución conocida hoy en día como la t-Student. Este es un ejemplo más de que el contacto con la realidad es la mejor fuente de inspiración en la investigación teórica de alta calidad.

π


Conceptualmente la ley t-Student con ν grados de libertad la obtuvo Gosset como distribución del estadístico: Z tν = U en el que: a) Z-N(0,1). b) U-

χ ν2 . ν

c) Z y U son independientes. La densidad de probabilidad de tν depende de ν y tiene la expresión: f ( tν ) =

78

 ν + 1 Γ   2  νπ Γ  ν      2  1 +  1

1 ν +1

(4.8)

t 2  2 ν 

para *t*<4. Los grados de libertad de la t-Student coinciden con los grados de libertad de la ley de Chicuadrado que aparece en el denominador de tν. La ley t-Student está parcialmente tabulada en el apéndice de tablas (Tabla D). La esperanza matemática y la varianza de tν sólo están definidas para ν>1 y ν>2, respectivamente, y son: E ( tν ) = 0 para ν > 1 ν V ( tν ) = para ν > 2 ν −2 La gráfica de f(tν) tiene también forma de campana, centrada en cero y con colas más extensas que la ley normal, por lo que la t-Student puede resultar de utilidad para modelar datos en los que se sospeche que haya algunas anomalías moderadas. Cuando ν64 (en la práctica, para ν>30), la densidad f(tν) se puede aproximar mediante la ley normal centrada y reducida. En la fig. 4.14 se representan algunas distribuciones de tν. Veremos en el apartado 4.8 que Gosset encontró la densidad del estadístico tν cuando se interesó por la distribución del estadístico: t = (Y − µ ) n S ,

para muestras pequeñas, que es el equivalente a Z = Fig. 4.14 Densidad de probabilidad de la ley t-Student

(Y − µ ) n σ

cuando σ es desconocido y se sustituye por su estimación S.

π


4.8 Distribución de S2 Sea (Y1,Y2,...,Yn) una muestra aleatoria simple de Y-N(µ;σ). La varianza muestral se acostumbra a definir: S2 =

∑ (Yi − Y )2

donde Y =

n −1

∑ Yi n

Para m.a.s. de poblaciones normales se puede demostrar que: a) Y y S2 son independientes; 2 S2 b) ( n −1) 2 se distribuye según una ley χ ν con ν=n-1 grados de libertad. σ Una forma intuitiva de comprender a) es la siguiente: Si Y es el vector de observaciones muestrales, se puede descomponer en dos componentes ortogonales Y e Y- Y tal como se indica en la figura 4.15. Obsérvese que S2 está relacionado únicamente con la norma de (Y- Y ). n

La ortogonalidad es debido a que

∑ Y (Yi − Y ) = 0. i =1

σ2 2 De b) se deduce que S 2 χ n −1 n −1 E( S 2 ) =

y, por lo tanto:

σ2 σ2 E ( χ 2n −1 ) = ( n − 1) = σ 2 n −1 n −1

79

2

 σ2  2σ 4 σ4 2 2 − 1 = V (S ) =  ( n )  V ( χ n −1 ) = ( n − 1)2 n −1  n − 1 2

Fig. 4.15 vector Y

Descomposición ortogonal del

Estas dos últimas expresiones justifican el hecho de que S2 se utilice frecuentemente como estimador de σ2, ya que cumple las dos propiedades que hemos comentado para Y como estimador de µ.

σ2 desconocida) 4.9 Distribución de Y (σ Sea (Y1,Y2,...,Yn) una m.a.s. de Y-N(µ;σ). En general σ será desconocida, por lo que el estadístico Z = ( Y − µ ) n σ no será de gran utilidad.

Se podría sustituir σ por una estimación S que, si se obtiene a partir de una muestra suficientemente grande, tomará un valor próximo a σ y, por lo tanto, la distribución del estadístico: t=

Y −µ S

n

podría considerarse idéntica a la de Z, es decir, N(0;1). Este razonamiento es típico de la teoría asintótica. Cuando n64, todo resulta fácil. Ya hemos comentado en el apartado 4.6 que Gosset se enfrentaba al problema de determinar la distribución de t para muestras pequeñas.

π


2

S Si se tiene en cuenta la independencia entre Y y S2, que ( n − 1) 2 -χ 2n −1 y que σ Y −µ Z= - N ( 0;1) σ n se deduce que:

(Y − µ ) n t = = S

(Y − µ ) n Z σ = = S σ S σ

Z ( n − 1) S ( n − 1) σ 2 2

=

Z U

donde, evidentemente, Z-N(0;1) y U- χ ν2 ν con ν=n-1 y además Z y U son independientes, pues Z sólo depende de Y y U de S2. En consecuencia, t se distribuye según la ley t-Student con ν=n-1 grados de libertad, es decir, que para muestras pequeñas: t=

Y −µ S

n

- t - Student con ν = n − 1 grados.

4.10 El caso de dos poblaciones normales independientes 80

Supongamos que X e Y son dos v.a. independientes y tales que X-N (µx;σx) e Y-N (µy,σy). El lector puede suponer que X es la duración de vida de las bombillas fabricadas por la empresa A e Y es la duración de vida de las bombillas fabricadas por la empresa B. Sean (X1, X2,...,Xnx) una m.a.s. de tamaño nx extraída de la población de bombillas de A, y (Y1, Y2,...,Yny) una m.a.s. de tamaño ny extraída de las bombillas de B. Sean X , Sx2, Y y Sy2 las medias y varianzas muestrales. Es fácil demostrar que:  σ 2y σ 2x  (Y − X ) - N  µ y − µ x ; +  n y n x  

En efecto, la normalidad es consecuencia de la normalidad de las distribuciones de Y y X , y el valor de la esperanza matemática y la varianza del estadístico Y - X es consecuencia inmediata de la expresión (4.3). En consecuencia se tendrá que: Z =

(Y − X ) − ( µ y − µ x )

(4.9)

σ 2y σ 2y + ny nx

y si además σx2 = σy2 = σ2, entonces se cumplirá que: Z =

(Y − X ) − ( µ y − µ x ) 1 1 + σ n y nx

- N ( 0;1)

(4.10)

π


En general σ2 será desconocida, pero se puede estimar a partir de una media ponderada de las dos varianzas muestrales. La estimación de la varianza común desconocida será por tanto: S2 =

( n y − 1)S y2 + ( n x − 1)S x2 n y + nx − 2

En este caso se tendrá que: t =

(Y − X ) − ( µ y − µ x ) 1 1 S + n y nx

- t - Sudent con ν = n y + n x − 2

grados de libertad, ya que éste es el denominador de (4.11) utilizado para estimar σ2.

4.11 La ley F-Snedecor Si definimos una v.a. F: F=

U ν1 V ν2 81

tal que y U- χ , V- χ y U y V son independientes, entonces F se distribuye según la ley F-Snedecor con ν1 grados de libertad para el numerador y ν2 grados de libertad para el denominador. La distribución F debe su importancia al uso que de ella se hace en el análisis de la varianza y también cuando se quieren comparar dos varianzas de poblaciones normales, como veremos en el apartado siguiente. La esperanza matemática y la varianza de F son: 2 ν1

2 ν2

E( F ) =

V (F) =

ν2 ν2 − 2

para ν 2 > 2

2ν 22 (ν 1 + ν 2 − 2 ) ν 1 (ν 2 − 2 ) 2 (ν 2 − 4 )

para ν > 4

En el apéndice de tablas están tabulados los valores Fα(ν1,ν2) para algunos valores de α, es decir el valor Fα(ν1,ν2) que, en una ley F de Snedecor con grados de libertad ν1 para el numerador y ν2 para el denominador, deja un área de valor α a su derecha. Para el manejo de estas tablas resulta de utilidad el hecho de que: Fα (ν 1 , ν 2 ) =

1 F1−α (ν 2 , ν 1 )

π


4.12 Distribución del cociente de dos varianzas muestrales Para la situación descrita en el apartado 4.9 vamos a estudiar la distribución de Sy2/Sx2. Dado que: S y2 S x2

S y2 σ y2

U σ2 ny −1 y = = V S x2 σ x2 σ2 ( n x − 1) 2 nx − 1 x σ x nx − 1 ( n y − 1)

σ y2 n y − 1

2 2 donde, como hemos visto en 4.7, U- χ n , V- χ n y−1

S y2 S x2

x−1

-

y U, V son independientes, en consecuencia:

σ y2 σ x2

F ( n y −1 , nx −1 )

En el caso particular en que σy2=σx2 se tiene que: S y2 S x2

82

- F ( n y −1 , n x −1 )

π


Ejercicios 4.1

Un estudiante desea aprobar una asignatura que consta de 100 temas estudiando el mínimo posible. El examen consta de tres preguntas que el alumno escoge al azar de una urna con 100 papeletas numeradas del 1 al 100; las tres papeletas que saca el estudiante corresponden a los tres temas de los cuales debe escoger uno para exponer. a) ¿Cuál es el menor número de temas que puede estudiar para que con una probabilidad no inferior al 95% extraiga alguna papeleta correspondiente a un tema conocido? b) ¿Y si la probabilidad es del 100%?

4.2.

Un jugador observa que en 100 jugadas consecutivas de la ruleta el rojo ha aparecido en 70 ocasiones. ¿Se puede decir que ello es debido al azar?

4.3.

Una máquina fabrica arandelas cuyo radio interior r se distribuye según una ley normal de media 20 mm y desviación tipo 0,3 mm, y cuyo radio exterior R se distribuye según una ley normal de media 50 mm y desviación tipo 0,4 mm. Ambas variables aleatorias son independientes. Se considera que una pieza es defectuosa si la diferencia de radios supera los 30,98 mm o bien si dicha diferencia es menor de 29,22 mm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una arandela sea defectuosa? b) Si se recoge una muestra de 20 arandelas, ¿cuál es el valor esperado de la proporción de arandelas defectuosas? c) De la muestra de 20 arandelas, ¿qué probabilidad existe de que se encuentren 5 arandelas defectuosas?

4.4.

La duración en horas de las lámparas adquiridas en una determinada empresa se distribuye según una ley normal N(1.200;σ). Se sabe que el 97% de todas las lámparas citadas dura entre 1.178,3 horas y 1.221,7 horas. Si se extraen 200 muestras aleatorias simples de 9 lámparas cada una: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral supere las 1.203,5 horas en al menos 90 de las 200 muestras? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la s2 muestral supere el valor 193,84 h en 40 muestras como máximo?

4.5.

4.6.

Una línea eléctrica se avería cuando la tensión sobrepasa la capacidad de la línea. Si la tensión es N (µ1 =100; σ1 =20) y la capacidad es N( µ2 = 140; σ2 = 10), calcular la probabilidad de avería.

En un concesionario de ventas de automóviles se supone, por la experiencia que se tiene, que cuando una persona entra a interesarse por un coche, acaba comprándolo en el 20% de los casos. Si en un día se atiende a seis de estos clientes potenciales: a) ¿Cuál es la probabilidad de que realicen cuatro ventas en este día exactamente? b) ¿Y la probabilidad de que en este día se realicen más de cuatro ventas? c) ¿Cuál sería la probabilidad, en el caso de que apareciesen 15 clientes, de que se realizasen menos de tres ventas?

83


π

4.7.

Una cierta máquina de fabricación de rollos de cinta aislante tiene un promedio de dos defectos cada 1.000 m. Calcular la probabilidad de que un rollo de 3.000 m: a) no contenga defectos; b) contenga exactamente 5 defectos; c) contenga menos de 4 defectos.

4.8.

Mediante un estudio estadístico realizado en una fábrica de componentes electrónicos se sabe que sólo 1 de cada 100 es defectuoso. Si se empaquetan dichos componentes en cajas por grupos de 500, ¿cuál es la probabilidad de que la caja no contenga ningún componente defectuoso? Y si se decide empaquetar las cajas en grupos de 100 componentes, ¿cuál es la probabilidad de que una determinada caja no tenga ningún componente defectuoso?

4.9.

84

Una empresa fabricante de detergentes tiene dos máquinas de llenado. Se sabe que la máquina A llena según N(87,5 g; 0,5 g) y otra máquina B llena según N(87,5 g; 0,8 g). Para que no se rechace una bolsa llena, el contenido de detergente no puede ser menor de 86 gramos. a) ¿Qué probabilidad hay de que una bolsa, escogida la azar, llenada por la máquina A sea rechazada? Idem si es llenada por la máquina B. b) Si la bolsas vacías tienen un peso que se distribuye según N(21,5 g; 1,2 g), ¿cuál es la probabilidad de que el peso de una bolsa llena, escogida al azar, llenada por la máquina A sea mayor de 110 gramos? Idem para la máquina B. c) Se ha recogido una muestra de 10 bolsas llenas producidas por una única máquina y se han pesado. El resultado es el siguiente: 109 105 112 111 108.5 107.5 111.5 108 109.5 108 ¿Qué máquina cree que las habrá producido? Razone la respuesta.

4.10. Se sabe que el 20% de los árboles de un determinado bosque están atacados por un cierto tipo de parásitos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de árboles con el parásito en una muestra de 300 esté entre 49 y 71? b) Suponga que en la muestra de 300 árboles hay 72 con el parásito. ¿Contradice esto la hipótesis de que la población está parasitada en un 20%? Razone la respuesta justificándola con las hipótesis necesarias.

5 Comparación de dos tratamientos

El análisis estadístico que se aborda en este capítulo tiene como objetivo la comparación de dos poblaciones, que representan lo que genéricamente denominamos “tratamientos”, pudiendo referirnos bajo esta denominación a dos máquinas, dos métodos de trabajo, dos catalizadores, dos proveedores, o dos tipos de materia prima distintos. Dicha comparación se realiza a partir de datos muestrales. Se tratará de determinar si la diferencia que presentan las medias de las dos muestras es indicativa de una diferencia en las medias poblacionales o si, por el contrario, puede ser atribuida al azar. Es importante tener presente que el estudio estadístico no se refiere simplemente a la aplicación del test de rigor a unos datos de los que no se cuestiona su calidad (quién, cómo, cuándo, con qué criterio se han tomado). Tal como veremos a continuación, el análisis empieza con un claro planteamiento del problema y sigue con el adecuado diseño de la recogida de los datos (sin descuidar el rigor necesario en su recogida física). A continuación se realiza un análisis exploratorio para detectar posibles valores anómalos, constatar que no existe evidencia de incumplimiento de las hipótesis del método, y también para obtener unas primeras conclusiones en torno al objetivo del estudio. Finalmente, se realiza el test estadístico (contraste de hipótesis) y se interpreta el resultado obtenido.

5.1 Caso 1: Comparación de dos productos en un proceso de curtido de piel 5.1.1 Planteamiento del problema. Recogida de los datos Una industria dedicada al curtido de pieles utiliza normalmente una cierta solución A, en la que sumerge el cuero durante 4 horas en la fase final de su proceso de curtido. Aunque el producto A produce unos resultados satisfactorios, se presenta la oportunidad de sustituirlo por otro producto B, considerablemente más barato. Se sospecha, sin embargo, que la nueva solución puede afectar a las características del cuero reduciendo su resistencia a la tracción. Los responsables del proceso deciden cambiar, sólo en el caso de constatar experimentalmente que la nueva solución no reduce la resistencia a la tracción. Para ello, realizan unos experimentos con el fin de analizar los resultados obtenidos y tomar una decisión sobre este tema.

85

π


Para la realización del experimento se toman 20 porciones de cuero, todos ellos de calidad y características lo más parecidas posible, y aleatoriamente se asignan 10 para ser tratados con el producto A y otros 10 con el B. CURTIDO CON CURTIDO CON Para realizar la prueba se dispone de 20 recipientes, todos ellos SOLUCIÓN A SOLUCIÓN B idénticos, a 10 de los cuales se le asigna la solución A y a otros 10 la (2) 24.3 24.4(1) B. Los trozos de cuero se sumergen simultáneamente, y todos ellos se (3) 21.5(4) 25.6 retiran al cabo de las 4 horas. 25.1(6) 26.7(5) (9) Posteriormente se dejan reposar durante 2 días (todos ellos en iguales 22.8(7) 22.7 condiciones) y se procede a medir su resistencia a la tracción, 24.8(11) 25.2(8) 23.8(12) 23.5(10) aplicando una metodología perfectamente definida. Para evitar la (14) 25.9 22.2(13) influencia de posibles derivas en el aparato de medida, o vicios en el 26.4(16) 23.5(15) proceso de medición, éste se realiza también de manera aleatoria. Los 25.8(17) 23.3(19) (18) 25.4 24.7(20) valores obtenidos (en unidades de la escala del aparato de medida) son los que figuran en la tabla adjunta. nA = 10 nB = 10 El valor indicado como supraíndice en los resultados, se y A = 2514 . y B = 23.62 refiere a su orden de obtención. sA = 1242 . s = 1237 . B

5.1.2 Análisis exploratorio. Formalización del problema 86

Siempre conviene representar los datos gráficamente. En la figura 5.1 se presentan los diagramas de puntos correspondientes a ambos conjuntos de datos. No se observan valores anómalos, y ya se adivina que la diferencia de medias va a resultar significativa.

A B

Fig. 5.1 Diagramas de puntos correspondientes a los datos obtenidos en las pruebas de curtido

Para constatar que el orden en que se han realizado las mediciones no ha afectado a la respuesta, pueden realizarse diagramas en los que se coloque el orden de obtención en el eje horizontal y en el vertical el valor obtenido. La figura 5.2 presenta dichos diagramas para cada una de las soluciones, sin que se observe nada anormal. Supongamos, como hipótesis de partida, que las resistencias a la tracción son iguales, independientemente de la solución utilizada. A esta hipótesis se la denomina hipótesis nula (H0) y supondremos, asimismo, que en caso de no cumplirse dicha hipótesis, las unidades curtidas con la solución A tendrán una resistencia mayor que las que hayan utilizado la solución B. Esta hipótesis, que es la que consideramos que se cumple en el caso de no cumplirse la hipótesis nula, se denomina hipótesis alternativa (H1). Podemos notar el planteamiento realizado de la forma: H0 : µA = µB H1 : µA > µB

π

COMPARACIÓN DE DOS TRATAMIENTOS

SOLUCIÓN A RESP.

SOLUCIÓN B

28 27 26 25 24 23 22 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fig. 5.2 Diagramas en secuencia temporal de los resultados obtenidos

5.1.3 Resolución Es frecuente realizar la hipótesis de que las poblaciones de las cuales provienen las muestras son normales, por tanto, podemos escribir: y A - N ( µ A ,σ A )

Y análogamente para los valores obtenidos con la solución B: yB - N ( µ B ,σ B )

Por tanto, las medias de los valores obtenidos se distribuirán de la forma:  σ  y A - N  µ A , A  nA    σ y B - N  µ B , B nB 

   

y de acuerdo con lo visto en el capítulo 4:  σ A2 σ B2  y A − y B - N  µ A − µ B , + n A nB   Por tanto:

87

π


( y A − yB ) − ( µ A − µB ) - N σ A2 σ B2 + n A nB

( 0 , 1)

Pero no conocemos σA2 ni σB2, sino que los estimamos a partir de sus respectivas varianzas muestrales: sA2 = 1,54, sB2 = 1,53. Estos valores son tan parecidos que, evidentemente, podremos suponer que las varianzas poblacionales son iguales. En el caso de que las varianzas muestrales presentaran mayor diferencia, antes de realizar esta suposición se debería realizar el test de igualdad de varianzas, utilizando la distribución F de Snedecor. Ejemplo 5.1a Se toman 2 muestras aleatorias simples de tamaño n = 10 de sendas poblaciones normales, y se obtiene sA2 = 1,54 y sB2 = 2,18. ¿Puede considerarse que las varianzas poblacionales son iguales? Hacemos: s 2 2,18 F = B2 = = 1,42 s A 1,54

88

Comparando el valor obtenido con una distribución F de Snedecor con 9 y 9 grados de libertad, se obtiene que el área de la cola es mayor de 0,25 y, por tanto, nada se opone a suponer que σA2 = σB2. Ejemplo 5.1b Igual planteamiento que en el ejemplo anterior, pero ahora consideramos que sA2=1,54 y sB2=16,3. En este caso se obtiene F=10,58, y el área de la cola resulta ser menor de 0,001, luego no podrá trabajarse con la hipótesis de igualdad de varianzas poblacionales. En el apéndice 5A se comenta qué hacer en el caso de que se dé esta circunstancia. En nuestro caso, calcularemos un estimador de la varianza poblacional única, que será la media de las varianzas muestrales ponderada según los grados de libertad de cada muestra (si las muestras son del mismo tamaño como en nuestro caso, esto se convierte en una simple media aritmética). Con dicho estimador único podemos escribir:

( y A − yB ) − (µ A − µB ) s

1 1 + n A nB

- t con n A + n B − 2 g . l.

Si se cumpliera que µA - µB = 0, tendríamos que:

( y A − yB )

t1 = s

En nuestro caso tenemos:

1 1 + n A nB

- t con

n A + nB − 2 g. l.

π


t1 =

(25,14 − 23,62) 1 1 1,24 + 10 10

= 2,74

Si se cumpliera la hipótesis nula (recordemos: H0: µA=µB), el valor t1 obtenido pertenecería a una distribución t de Student con 18 grados de libertad. ¿Puede considerarse que esto es así? Una forma de determinar hasta qué punto es normal un valor en una distribución, es a través del área de la cola que define. Consultando las tablas observamos que Pr(t > 2,74) = 0,007, luego éste es un valor muy poco probable en su distribución de referencia. Si las medias de A y B fueran iguales, se darían diferencias como la observada o mayores, realizando una prueba como la que aquí se ha hecho, el 0,7 % de las veces. Luego, en este caso, lo más razonable será considerar que las medias poblacionales son distintas y diremos que la diferencia entre las medias muestrales es estadísticamente significativa. ¿Estamos absolutamente seguros de que la media de resultados con la solución B es menor que con la solución A? La respuesta es no pero la probabilidad de equivocarnos al hacer esta afirmación es sólo del 0,7 %.

5.2 Generalización del caso de la comparación de dos productos para el curtido: comparación de medias en diseños totalmente aleatorizados La recogida de datos debe hacerse de forma que el único factor que influya de forma distinta en ambas muestras sea aquel cuyo efecto se desea estudiar. Si otros factores también afectaran de forma distinta, sería imposible distinguir si las diferencias apreciadas (en el caso de que existieran) deberían ser atribuidas al factor estudiado o a otros de los que accidentalmente hubieran podido influir. Deberán seguirse, por tanto, dos reglas básicas al planificar la recogida de datos: > Asegurarse de que todos los factores que puedan tener alguna influencia en la respuesta, influyan exactamente igual en las dos muestras (excepto aquel cuyo efecto se desea estudiar). > Aleatorizar todo lo que se pueda para protegerse de posibles sesgos introducidos por factores no identificados. Así, en el ejemplo de la comparación de soluciones ha sido necesario asegurarse de que todos los factores que podían influir en la respuesta (tipo de piel, tiempo que está sumergida en la solución, tiempo y condiciones de secado, etc.) afectasen exactamente igual a las unidades tratadas con ambas soluciones. Y aunque consideremos que los 20 retales de piel son muy parecidos (no serán idénticos), los asignaremos aleatoriamente a cada tratamiento y, por si influyera el orden de medición, también mediremos aleatoriamente. Una vez recogidos los datos es necesario constatar que nada se opone al cumplimiento de las hipótesis en que se basa el método a aplicar. Éstas son: > Normalidad de las 2 poblaciones. Una forma práctica de comprobarlo sería realizando los histogramas de ambas muestras, pero en la práctica difícilmente encontraremos evidencia de no normalidad de las poblaciones, porque dispondremos de muestras de tamaños pequeños. En cualquier caso, ésta es una hipótesis poco crítica, ya que lo que realmente se supone es que las medias se distribuyen según una normal, lo cual en general podrá considerarse cierto por el teorema central del límite. Por otra parte, se conoce que las pruebas que utilizan como distribución de referencia la t-Student son robustas frente a la hipótesis de normalidad.

89

π


>

Independencia de las poblaciones. Es una hipótesis que suponemos al decir que: V ( y A − yB )

=

σ A2 σ B2 + nA nB

El origen de los datos pone de manifiesto si las poblaciones pueden considerarse independientes o no. > Aleatoriedad de las muestras. Ésta es una hipótesis absolutamente crítica. El objetivo es extraer conclusiones sobre las poblaciones a partir del análisis de las muestras y, por lo tanto, éstas deberán ser representativas. La aleatoriedad garantiza la representatividad. La obtención de muestras verdaderamente aleatorias debe ser el objetivo del diseño de la recogida de datos. Una correcta aleatorización contribuye a asegurar el cumplimiento de esta hipótesis. > Igualdad de varianzas poblacionales. Si se trabaja con esta hipótesis es necesario comprobar que nada se opone a su cumplimiento. Para ello se puede aplicar el test de igualdad de varianzas tal como se ha presentado en el capítulo 4. Un adecuado análisis exploratorio de los datos también ayuda a constatar el cumplimiento de las hipótesis anteriores, además de identificar posibles valores anómalos o extraer unas primeras conclusiones, tal como se ha visto en el ejemplo anterior. A continuación, los cálculos a desarrollar son los siguientes: 1. Calcular el estimador de la varianza poblacional única (media de las varianzas muestrales ponderada según los grados de libertad de cada muestra).

90

(n

s =

A

)

(

)

− 1 s 2A + n B − 1 s B2 n A + nB − 2

2. Calcular el valor de t0, el cual pertenecerá a una distribución t de Student con nA+nB-2 grados de libertad, si las medias poblacionales son iguales. t0

y A − yB

= s

1 1 + n A nB

3. Comparar el valor de t0 con su distribución de referencia. Si la hipótesis alternativa es del tipo H1: µA > µB, como en el caso que se ha planteado, se determina la probabilidad de que se presente un valor como el obtenido o mayor, y a esta probabilidad se le denomina nivel de significación.

Fig. 5.3 Comparación del estadístico de prueba en su distribución de referencia

En el apartado 5.6 se explica cómo calcular el nivel de significación según sea la hipótesis alternativa planteada. El nivel de significación obtenido es una información que ayuda a tomar la decisión más adecuada. En general, un nivel de significación pequeño aconseja rechazar la hipótesis de igualdad de medias, aunque para tomar la decisión habrá que considerar también otro tipo de información: costes, riesgos que se corren en caso de equivocarse, etc.

π


5.3 Caso 2: comparación de dos tratamientos superficiales para lentes 5.3.1 Planteamiento. Recogida de los datos Cierta industria fabricante de lentes para gafas desea comparar dos tipos de recubrimiento antirreflectante. Los dos tipos tienen idéntico aspecto y prestaciones, pero antes de decidirse por uno u otro desean comprobar si el tipo de recubrimiento influye en el deterioro que sufre la lente. En un principio, piensan seleccionar al azar 20 personas que utilicen gafas, y asignar aleatoriamente gafas sometidas al tratamiento A a 10 de ellas y gafas con el tratamiento B a las otras 10. Al cabo de 6 meses se realizaría un control y, tras tomar medidas con el instrumento adecuado, se analizaría si existían o no diferencias estadísticamente significativas. Pero el método planteado tiene un inconveniente. En el desgaste que sufre la lente no sólo influye el recubrimiento superficial, sino también el trato que recibe por parte del usuario. Si la recogida de los datos se lleva a cabo de la forma antes planteada, se corre el riesgo de que, si algunas personas, por sus hábitos o profesión, deteriorasen las lentes más de lo normal (o menos) y no se repartiesen equitativamente entre los dos tratamientos, atribuyamos a algún tratamiento un efecto que no le correspondiera, ya que en realidad lo provocarían las personas. DESGASTE DESGASTE DIFERENCIA ¿Es posible eliminar el efecto de las INDIVIDUO LENTE A LENTE B B-A personas en el desgaste de las lentes? Sí puede 1 6.7 (I) 6.9 (D) 0.2 hacerse. La mejor forma será construyendo las 2 5.0 (I) 5.8 (D) 0.8 gafas con una lente de cada tipo. Si alguien las 3 3.6 (D) 4.1 (I) 0.5 4 6.2 (I) 7.0 (D) 0.8 desgasta mucho lo hará con ambos trata5 5.9 (D) 7.0 (I) 1.1 mientos, igual que si las desgasta poco. Natu6 4.0 (D) 4.6 (I) 0.6 ralmente, el método de análisis de los datos 7 5.2 (D) 5.5 (I) 0.3 deberá tener en cuenta la forma en que se han 8 4.5 (I) 5.0 (D) 0.5 9 4.4 (D) 4.3 (I) -0.1 recogido. 10 4.1 (I) 4.8 (D) 0.7 Supongamos que la prueba se ha realiMedia 4.96 5.50 0.55 zado de esta forma (con 10 individuos) y que al cabo de 6 meses se mide el desgaste, y se Tabla 5.1 Resultados del estudio realizado para comparar el obtienen los valores que se indican en la tabla desgaste de dos tipos de lentes. La letra entre paréntesis indica 5.1 (en unidades codificadas). la posición (izquierda o derecha) a que se ha asignado aleatoriamente cada lente

5.3.2 Análisis exploratorio

Respuesta 7.5

Cuando los datos se han recogido de esta forma, una representación gráfica muy adecuada es la que se indica en la figura 5.4. Además, por supuesto, se pueden realizar los gráficos que en cada caso se consideren oportunos.

A B

7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5

Fig. 5.4 Representación gráfica de los resultados obtenidos en el estudio de comparación del desgaste de dos tipos de lentes

3.0 1

2

3

4

5

6

Individuo

7

8

9

10

91

π


5.3.3 Resolución El análisis de los datos no se realiza como en el caso anterior (ahora no se cumpliría la hipótesis de poblaciones independientes), sino que se analizan las diferencias que se observan dentro de cada individuo entre un tratamiento y otro. Seguiremos suponiendo que los resultados de ambos tratamientos pertenecen a sendas poblaciones normales, es decir: yA - N(µA, σA) yB - N(µB, σB) y por tanto: yB-A - N(µB-µA, σd) donde σd es la desviación tipo de las diferencias. Si las medias poblacionales son iguales, yB-A se distribuirá según una normal de media cero y una desviación tipo que puede estimarse mediante la desviación tipo de las diferencias.

sd

=

(

∑ di − d

)

2

n −1

Obteniéndose con nuestros datos, sd = 0,344 y la media de las diferencias se distribuirá de la forma: 92

 σ  d - N  0, d   n

En nuestro caso tenemos que d = 0,54. ¿Podemos considerar que pertenece a la distribución anterior? Si así fuera tendríamos que: d - N ( 0,1) σd n

O, al trabajar con un valor estimado de σd: d - t − Student con n − 1 g. l. sd n

En nuestro caso tenemos que: d sd

= 4,97

n

y éste es un valor muy poco probable en su distribución de referencia (nivel de significación de 0,0008). Por tanto, podemos afirmar con una probabilidad de error de 0,0008 que el recubrimiento B se deteriora más fácilmente que el A (figura 5.5).

π


Fig. 5.5 Comparación del valor obtenido con su distribución de referencia

5.4 Generalización del caso de la comparación de dos tratamientos superficiales de lentes: comparación de medias en diseños en bloques aleatorizados En muchos casos existe algún factor que influye sobre la respuesta y no puede asegurarse que afecte exactamente igual a los dos tratamientos. En el caso anterior se trataba del efecto del individuo en el desgaste de sus lentes, y las diferencias se calculaban para cada individuo, es decir, dentro de bloques homogéneos. En muchas otras circunstancias conviene diseñar la recogida de datos de esta forma. Tiempo, máquina o materia prima, pueden afectar a la respuesta y requerir que se formen bloques para analizar los datos dentro de los mismos. Dentro de cada bloque, el orden de recogida de los datos se aleatoriza, por eso se llaman diseños en bloques aleatorizados. Ejemplo 5.1 Se desea comparar el valor obtenido con un aparato electrónico para la medida de la tensión arterial con un instrumento clásico de columna de mercurio. ¿Cómo deberían tomarse los datos? Naturalmente, no sería un buen procedimiento elegir dos grupos de personas, tomar la tensión con el aparato electrónico a un grupo, con el clásico al otro y comparar. En la respuesta, además del aparato influye la persona y, por tanto, lo correcto será tomar la tensión a cada uno con los dos instrumentos y analizar las diferencias por persona. Ejemplo 5.2 Se desea comparar la cantidad de producto fabricado utilizando dos procedimientos de montaje distintos. Una unidad de medida que se considera correcta es la producción obtenida durante 4 horas. Se sabe que no hay variaciones de productividad a lo largo del día, pero sí puede haberlas de un día a otro. ¿Cómo tomar los datos? Podrían tomarse dos datos cada día, uno con cada procedimiento, correspondientes a la producción obtenida durante 4 horas seguidas (aleatorizando cada día qué procedimiento se hacía primero). De esta forma, la diferencia de producción de un día a otro no afectaría a las conclusiones obtenidas. Cuando los datos se han recogido de esta forma, y considerando que el efecto bloque afecta por igual a los dos tratamientos (efecto aditivo), su método de análisis requiere el cumplimiento de las siguientes hipótesis: > Normalidad de las dos poblaciones. En realidad lo que se supone es la normalidad de yB-yA, aunque, como en el caso de los diseños totalmente aleatorizados, ésta es una hipótesis poco crítica, ya que siempre se podrá suponer que la diferencia media sigue una distribución normal.

93

π


>

Independencia de las diferencias. O lo que es lo mismo, las diferencias son una muestra aleatoria simple de la población de diferencias. Si se ha aleatorizado correctamente y la recogida de datos se ha llevado a cabo con la meticulosidad requerida, en general se podrá suponer el cumplimiento de esta hipótesis. El obligado análisis exploratorio de los datos servirá también para poner de manifiesto que no existen pruebas de incumplimiento de la hipótesis anterior. Además del gráfico del tipo que se visto en la figura 5.4, puede realizarse, por ejemplo, un gráfico de las diferencias en función del orden de obtención de los datos. En el caso de las lentes, tendrá el aspecto que se indica en la figura 5.6, que pone de manifiesto un patrón de comportamiento aleatorio en torno a su valor medio, tal como era de esperar. Una vez se tienen los datos, los cálculos que se Diferencia deben desarrollar son los siguientes: B-A 1. Calcular las diferencias dentro de cada bloque, y 1.2 también la media ( d ) y la desviación tipo (sd) de 0.8 dichas diferencias. 2. Calcular el valor del estadístico de prueba. 0.4 0.0

t

-0.4

=

d sd n

-0.8

3. Comparar el valor del estadístico de prueba con su distribución de referencia, que será una t de Student Individuo con n-1 grados de libertad. Determinar la probabilidad de que en dicha distribución se presente un valor igual Fig. 5.6 Diagrama que representa la diferencia de desgaste para cada individuo que el obtenido o superior. Esta probabilidad será el nivel de significación de la prueba. Si el nivel de significación es bajo se rechazará la hipótesis de igualdad de medias y diremos que la diferencia observada entre un tratamiento y otro es estadísticamente significativa. -1.2

94

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5.5 Aleatorización y bloqueo: recapitulación En una prueba para la comparación de dos tratamientos, puede considerarse que en los datos obtenidos influyen cuatro tipos de factores: i) El factor cuyo efecto se desea estudiar (el tipo de recubrimiento superficial en el caso que hemos visto anteriormente). ii) Factores identificados que pueden influir en la respuesta, pero que es posible mantener constantes para los dos tratamientos (como podría ser el tipo de montura, que quizá influya en el desgaste de lente, pero cuyo efecto se podría neutralizar utilizando siempre monturas del mismo tipo). iii) Factores identificados que pueden influir en la respuesta y que resulta imposible mantener constantes para los dos tratamientos (como el trato que se da a las gafas y el desgaste que sufren). iv) Otros factores, no identificados, que también pueden tener influencia en los resultados obtenidos (quizá el orden en que se efectúan las mediciones por la existencia de pequeñas derivas en el aparato de medida, tal como se ha comentado anteriormente).

π


Obviamente, el factor estudiado debe afectar de forma distinta a cada tratamiento (en el caso de afectar igual sería imposible detectar su posible efecto). ¿Qué hacer con los factores identificados del tipo ii? No nos interesará que afecten de forma distinta a cada tratamiento, por tanto, deberán mantenerse exactamente igual tanto en un tratamiento como en el otro. Pero, ¿y si no es posible mantenerlos constantes? (caso de los factores tipo iii). En este caso será necesario bloquear, es decir, analizar las diferencias dentro de bloques homogéneos en los que estos factores afecten por igual. En general, a medida que transcurre el tiempo, y cuanto mayor es el período en el que se procede a la recogida de los datos, mayor es la probabilidad de que aparezcan variabilidades no deseadas (los lunes se trabaja de forma distinta a los viernes, la humedad o la temperatura varían con el tiempo, etc.). En estos casos, suele ser una buena idea utilizar períodos de tiempo como bloques. Así, en el caso de que se comparen dos métodos de trabajo a partir de un dato por turno, pero se sospeche que el turno de la mañana puede dar un nivel de respuesta distinto del de la tarde, la mejor forma de diseñar la recogida de datos sería la que se indica en la figura 5.7.

Fig 5.7 Diseño bloqueado por días debido a la diferencia entre turnos

Dentro de cada día (bloque) conviene aleatorizar para protegernos de la influencia de posibles factores del tipo iv (factores no identificados). Si éstos existen, al aleatorizar cabe esperar que su efecto se difumine entre los dos tratamientos y no altere las conclusiones del análisis. La consigna en el diseño de la recogida de datos podría ser “Bloquear lo que se pueda y aleatorizar el resto”. Bloquear neutraliza la influencia de fuentes de variación conocidas, pero no deseadas. Aleatorizar protege del efecto de posibles factores con cierta influencia, pero no identificados. Volvamos, para terminar este apartado, al caso del curtido de pieles. Si se aprecia que las porciones de cuero no son idénticas (lo cual es bastante posible) un diseño mejor que el propuesto consistiría en tomar sólo 10 retales, dividirlos por la mitad, aplicar a un trozo el tratamiento A y al otro el B. Aleatoriamente, por supuesto.

5.6 Contraste de hipótesis. Formalización y limitaciones El procedimiento seguido en el análisis de los datos para la comparación de medias puede resumirse en las siguientes etapas: 1. Formular las hipótesis nula (H0) y alternativa (H1). 2. A partir de los datos disponibles se calcula un valor relevante (estadístico de prueba) mediante una determinada expresión. Si no existe diferencia de medias, el valor obtenido pertenece a una determinada distribución de probabilidad denominada “distribución de referencia”. 3. Se compara el estadístico de prueba con su distribución de referencia, determinando la probabilidad (nivel de significación) de que un valor como el observado (o mayor) sea debido al azar en el caso de que la hipótesis nula sea cierta.

95

π


4. Si el nivel de significación es pequeño se rechaza la hipótesis de igualdad de medias y se dice que la diferencia obtenida es “estadísticamente significativa”. Este esquema de razonamiento, muy usado en estadística, recibe el nombre de contraste de hipótesis, ya que lo que hace es suponer que se cumple una determinada hipótesis (H0) y contrastar si los datos de que se dispone son o no coherentes con ésta. Normalmente, la hipótesis nula es del tipo de las que se han planteado en los caso anteriores, es decir: H0: µA = µB La hipótesis alternativa puede ser de la forma: H1 : µ A > µ B

o

H1 : µ A < µ B

o

H1 : µ A ≠ µ B

Los dos primeros planteamientos son, en esencia, el mismo (si no son iguales, una media es mayor que la otra), pero el tercero refleja una mayor desinformación sobre el fenómeno que se estudia, lo cual se traduce en una distinta medida del nivel de significación. La tabla 5.2 indica el enfoque que se da al análisis de los datos en función del resultado obtenido y de cuál sea la hipótesis alternativa planteada. Nótese que si la hipótesis alternativa es del tipo µA ≠ µ B se esperan diferencias de medias tanto positivas como negativas. De hecho, en este caso, dada una diferencia, se considera igualmente probable la diferencia en sentido contrario y, por tanto, el nivel de significación (área de cola) se multiplica por 2 en este caso. PLANTEAMIENTO DEL CONTRASTE

96

RESULTADO OBTENIDO

y A < yB

y A > yB

y A = yB

H0: :A=:B H1: :A<:B

H0: :A=:B H1: :A>:B

Resultado esperado. Se tratará de analizar, mediante el procedimiento adecuado, si la diferencia obtenida es estadísticamente significativa o no.

No hace falta que realicemos ningún cálculo. Con el resultado obtenido es obvio que no podemos rechazar H0 para quedarnos con H1.

No hace falta que realicemos ningún c
Resultado esperado. Se tratará de analizar, mediante el procedimiento adecuado, si la diferencia obtenida es estadísticamente significativa o no.

H0: :A=:B H1: :A:B

Es necesario analizar si la diferencia obtenida es estadísticamente significativa.

En este caso, que prácticamente no se dará (sería una casualidad), obviamente no podrá rechazarse la hipótesis nula, sea cual sea la alternativa.

Tabla 5.2 Acciones a emprender en función del planteamiento del contraste y del resultado obtenido

El tipo de hipótesis alternativa que se plantea depende del conocimiento que se tiene del fenómeno en estudio. En una prueba para estudiar la eficacia de un cierto abono, puede saberse (por razonamientos biológicos) que el fertilizante puede aumentar la cosecha o no tener ningún efecto, pero no es posible que la reduzca (en este caso H1 sería del tipo µA>µB). También puede plantearse en función del enfoque que se dé al problema. Si tenemos un proveedor habitual (A), del que estamos básicamente satisfechos, y se plantea la posibilidad de cambiar a otro (B), que podría ser mejor, la hipótesis alternativa debería ser del tipo µA<µB. Puede plantear una cierta perplejidad la circunstancia de que el nivel de significación sea uno o justamente el doble en función de cuál sea la hipótesis alternativa que se plantee (decisión no exenta,

π


en algunos casos, de cierta arbitrariedad). Esta forma de proceder puede justificarse con el argumento de que, si sólo se sabe que las medias son iguales o son distintas, se conoce menos sobre el proceso que si se está seguro de que, si no son iguales, una en concreto es mayor que la otra. La menor información que se tiene en el primer caso se traduce en una mayor probabilidad de error al rechazar H0 para un resultado dado.

Fig. 5.8 Nivel de significación cuando la hipótesis alternativa es del tipo µ A ≠ µ B

5.7 Un análisis alternativo: intervalos de confianza para la diferencia de medias La comparación de medias también se puede abordar aplicando el concepto de intervalo de confianza. Un intervalo de confianza 1-α para la media de la población se obtiene mediante una expresión del tipo: σ y±z n α

2

Estimando σ2 a partir de la varianza muestral, obtenemos: s y ± t ,ν n α

2

En general, estos intervalos responden a la expresión: estadístico ± tα/2,ν . desviación tipo del estadístico Por tanto, a partir de los datos de un diseño totalmente aleatorizado, puede plantearse el siguiente intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales µA-µB: y A − y B ± tα

2 ,ν

s

1 1 + n A nB

donde s es el estimador conjunto de la varianza poblacional. Si el diseño es bloqueado, la expresión obtenida es: d ± tα

2 ,ν

sd n

Ejemplo 5.3 Calcular un intervalo de confianza del 95 % para la diferencia de medias poblacionales tomando el planteamiento y los datos del caso 1. Tenemos que: yA = 25.14 yB = 23.62 t0.025,18 = 2.101 s = 1.24 nA = 10 nB = 10 Luego el intervalo es: 1.52 ± 1.17

97


π

Ejemplo 5.4 Igual al ejemplo 5.3 pero a partir del caso 2. En este caso: d = 0.55 t0.025.9 = 2.262 sd = 0.344 n = 10 Y se obtiene: 0.55 ± 0.25 Si el cero está incluido en el intervalo 1-α, cabe considerar que éste no es un valor extraño para la diferencia de medias y, por tanto, no se podrá rechazar la hipótesis nula de igualdad de las medias poblacionales con un nivel de significación de α. Ejercicio

Si en un contraste de hipótesis del tipo: H0: µA=µB H1: µA ≠ µ B se obtiene un nivel de significación exactamente igual a 0.05, ¿qué peculiaridad tendrá uno de los extremos del intervalo de confianza del 95% para µA-µB?

98

π


Ejercicios 5.1.

Se desea saber si un determinado plan de seguridad en el trabajo es efectivo en la reducción del número de accidentes laborales y, por tanto, en la pérdida de horas de trabajo debido a accidentes. Los siguientes datos son las horas de trabajo semanales perdidas a causa de accidentes en seis fábricas, antes y después de implantar el nuevo plan de seguridad. PLANTA

1

2

3

4

5

6

ANTES

12

29

16

37

28

15

DESPUÉS

10

28

17

35

25

16

a) Especificar las hipótesis necesarias. b) ¿Se puede decir con estos datos que el plan de seguridad es efectivo? 5.2.

Una fábrica de automóviles dispone de dos proveedores (A y B) de llantas de aluminio. Se tiene la sospecha de que existen diferencias en cierta característica mecánica (X) de las llantas, según sea el proveedor que las suministra. Para analizar el tema se toman muestras aleatorias de cada uno de los proveedores, obteniéndose los valores que se indican en la tabla adjunta. a) ¿Puede decirse que existen diferencias en las llantas según el PROVEEDOR A PROVEEDOR B proveedor que las suministre? b) Calcular los tamaños de muestra (iguales para ambos nA = 100 nB = 94 proveedores) para que un intervalo de confianza del 95% de x A = 5.43 xB = 5.75 µ B - µA pueda expresarse de la forma: sA = 120 . sB = 112 . xB -xA ± 0,3

5.3.

Unos grandes almacenes desean cubrir un puesto de vendedor, para lo cual contratan temporalmente durante tres meses a dos candidatos. Los datos obtenidos después de estos tres meses son: Nº de días trabajados: A= 66 días B= 60 días (6 días de baja por enfermedad) S(A)= 3.000 pts S(B)= 3.100 pts Se admite que los puestos de trabajo a que han sido asignados tienen idénticas posibilidades de venta. Después del período de prueba el candidato A ha vendido producto por un valor medio de 56.000 pts/día, y el candidato B por valor de 53.000 pts/día. ¿Justifica esta diferencia la afirmación de que A vende más que B?

5.4.

Una empresa suministra tubos de escape a la industria del automóvil. En el tubo de escape se coloca un sensor que comunica al ordenador del coche el contenido de CO en los gases de escape. La empresa dispone de dos tipos de sensores, A y B, basados en principios de medición diferentes. Tanto uno como otro se colocan en el silencioso del tubo de escape. El departamento I+D de la empresa sospecha que pueden haber diferencias entre las mediciones efectuadas por los dos tipos de sensor y decide realizar un experimento.

99

π


La primera idea consiste en seleccionar 10 sensores del tipo A y otros 10 del tipo B, y colocarlos en los tubos de escape de 20 coches distintos. No obstante, un ingeniero de la empresa sugiere que el experimento debería bloquearse para evitar que la variabilidad entre coches distintos enmascarase los resultados del experimento. Para ello sugiere que se utilicen 10 coches y que en cada uno de ellos se monte un sensor A y otro B, ambos colocados en el silencioso y en dos posiciones cercanas entre sí. El contenido en partes por millón de CO observado en el experimento fue el que se indica en la siguiente tabla. a) Describa brevemente el mecanismo de aleatorización del experimento. NÚM. TIPO A TIPO B b) ¿Cuál sería la distribución de referencia para comparar los 74.0 72.1 1 valores medios de los dos tipos de sensores, si el experimento se 68.8 68.2 2 hubiera llevado a cabo con los 20 coches? 71.2 70.9 3 74.2 74.3 4 c) ¿Qué decisión se tomaría con la distribución de referencia 71.8 70.7 5 anterior? 66.4 66.6 6 d) Dado que el experimento se ha realizado según el diseño del 69.8 69.5 7 propuesto por el ingeniero, es decir con 10 coches, ¿es preferible 71.3 70.8 8 69.3 68.8 9 utilizar 10 coches del mismo modelo, o 10 coches de modelos y 73.6 73.3 10 cilindradas diferentes? 5.5. 100

Una fábrica de jabones produce detergente en dos plantas gemelas, una en Getafe y otra en Granollers. En Granollers utilizan materia prima del proveedor A y en Getafe materia prima del proveedor B. Se desea comparar la influencia de los dos proveedores en la producción, para lo cual se recopilan cantidades producidas en las dos plantas durante 25 días, con los siguientes resultados:

DÍAS PRODUCCIÓN MEDIA DESVIACIÓN TIPO

5.6.

PROVEEDOR A

PROVEEDOR B

25

25

130.0 Tm

127.2 Tm

4.5 Tm

3.1 Tm

a) Basándose en este estudio, ¿qué proveedor es preferible? b) Comentar el diseño del experimento y los resultados obtenidos.

Se desea comparar dos programas de entrenamiento de trabajadores en una línea de producción. Se escogen 10 al azar para ser entrenados por el método A y 10 para ser entrenados por el método B. Finalizados los programas de entrenamiento, se mide el tiempo que tardan en realizar una de las operaciones en la cadena, y se obtenienen los siguientes resultados: TIEMPO (minutos)

a) b) c) d)

MÉTODO A

15

20

11

23

16

21

18

16

27

24

MÉTODO B

23

31

13

19

23

17

28

26

25

28

¿Es mejor uno de los métodos que el otro? ¿Qué suposiciones han sido necesarias? ¿Qué papel desempeña la aleatorización a la hora de escoger a los trabajadores? ¿Qué otros factores pueden tener importancia en el tiempo empleado por cada trabajador? ¿Es posible protegerse de los mismos?

π


5.7.

Una fábrica dedicada a la fabricación de losetas para el recubrimiento de naves espaciales recibe el encargo de una empresa muy importante dedicada a la aeronáutica. Dicha fábrica produce dos tipos de losetas, A y B. Para saber qué tipo de losetas preferirá la empresa se hace una prueba con 18 losetas (9 del tipo A y 9 del tipo B), introduciéndolas en hornos a 10.000ºC y anotando el tiempo transcurrido hasta su rotura. Los resultados, en horas, son los indicados en la tabla adjunta. a) ¿Qué losetas preferirá la empresa? b) ¿Cómo se podría haber mejorado la precisión del experimento? ¿Por qué?

A

B

54.6 45.8 57.4 40.1 56.3 51.5 50.7 64.5 52.6

58.9 65.7 55.6 57.6 64.2 60.8 59.8 59.0 50.3

101

π


Apéndice 5A Test de comparación de medias cuando no puede asumirse la igualdad de varianzas poblacionales Una de las hipótesis que hacíamos al aplicar la técnica de comparación de medias en diseños totalmente aleatorizados era suponer la igualdad de varianzas poblacionales. Si no puede asumirse esta hipótesis, puede obtenerse una buena aproximación al nivel de significación resultante calculando el estadístico: ( yB − y A ) t' = s 2A sB2 + n A nB Si nA = nB = n, el nivel de significación se determina utilizando como distribución de referencia una t de Student con n-1 grados de libertad (figura 5A.1). Si nA ≠ nB, con el valor calculado de t’ se hallan los niveles de significación pA y pB en Fig. 5A.1 Nivel de significación en el caso de muestras distribuciones t de Student con nA-1 y nB-1 grados del mismo tamaño de libertad (figura 5A.2). Siendo en este caso el nivel de significación de la prueba: =

p 102

con:

ωA

=

ω A p A + ω B pB ωA + ωB s 2A nA

ωB

=

sB2 nB

Fig. 5A.2 Valores previos al cálculo del nivel de significación en el caso de tamaños de muestra diferentes

Ejercicio:

¿Qué hacer si en un diseño en bloques aleatorizados no puede suponerse la hipótesis de igualdad de varianzas poblacionales? (Ayuda: Repase cuáles son las hipótesis que se realizan en este caso.)

π


Apéndice 5B Pruébelo Ud. mismo. Comparación de dos tipos de helicóptero. Vamos a utilizar de nuevo helicópteros del tipo que hemos presentado en el apartado 3.12. En primer lugar hay que construirlos. Para ello deberá tomar una hoja DIN A-4 y cortarla longitudinalmente por la mitad. Uno de los trozos obtenidos deberá recortarlo y doblarlo tal como se indica en la figura 5B.1.

103 Fig. 5B.1 Esquema de construcción del helicóptero (cotas en cm)

Si lo deja caer desde una cierta altura (3 metros, por ejemplo), observará que primero hace un recorrido de aproximadamente 0,5 metros de forma desordenada (régimen turbulento), hasta que se le despliegan las alas y empieza a caer de forma lenta y suave (régimen laminar). Ejercicio: Consiga un cronómetro y deje caer varias veces (10, por ejemplo) el helicóptero desde la misma altura y en “idénticas” condiciones. Anote cada vez el tiempo que ha tardado en caer. Represente gráficamente los datos obtenidos (histograma, serie temporal, etc.). ¿Por qué realizando la prueba siempre en idénticas condiciones, el resultado obtenido no es siempre el mismo? Vamos a intentar mejorar el diseño para aumentar el tiempo que tarda en caer. Probaremos recortando las puntas de las alas tal como se indica en la figura 5B.2. ¿Qué hacer para comprobar si el nuevo diseño es mejor que el anterior? Desde luego no sería una prueba fiable que dejáramos caer un helicóptero de cada tipo y comparáramos los dos resultados obtenidos (¿por qué?). Lo correcto sería construir varios helicópteros con el primer diseño y otros tantos con el segundo, dejarlos caer tomado datos y compararlos (test de la t de Student para datos totalmente aletorizados). Ejercicio:

¿Por qué no se utiliza un solo helicóptero de cada tipo dejándolo caer tantas veces como se desee? ¿Qué tipo de error se puede cometer si la prueba se realiza de esta forma?

Fig. 5B.2 Esquema de construcción del helicóptero “mejorado”


π

La prueba que hemos propuesto tiene un inconveniente: todos los helicópteros deben ser construidos con el mismo tipo de papel y esto implica que, si el nuevo diseño es mejor, lo será con ese tipo de papel, pero nada puede asegurarse para helicópteros construidos con papel de características distintas al usado en la prueba. Dado que este tipo de construcción puede realizarse con una cierta gama de papel de uso habitual (más o menos pesado, más o menos rígido, etc.), en rigor no podemos asegurar que un diseño sea mejor que otro sin hacer referencia al tipo de papel que se ha utilizado. Ejercicio:

104

¿Cómo realizar la comparación considerando que los helicópteros pueden construirse con distintos tipos de papel? (Ayuda: Recuerde que con cada hoja se pueden construir dos helicópteros. Quizá convendría tomar un conjunto de hojas representativas de las usadas habitualmente para estos menesteres y...)

6 Comparación de más de dos tratamientos: análisis de la varianza

Como ya se ha visto en el capítulo anterior, para la comparación de dos medias se utiliza, en la mayoría de los casos, un estadístico que tiene como distribución de referencia la t de Student. Este estadístico se calcula de una forma u otra según se trate de muestras independientes o de datos apareados. Normalmente, el test que se realiza en ambos casos se denomina “test de la t de Student”, en relación con la distribución de referencia utilizada. Cuando se trata de comparar más de dos medias, la técnica que se utiliza recibe el nombre de “análisis de la varianza”. El lector se preguntará por qué “análisis de la varianza”, cuando el objetivo es comparar medias. Un sencillo ejemplo nos servirá para aclarar la razón de esta denominación. Supongamos que se desea analizar si la diferencia entre las medias de tres muestras es estadísticamente significativa o no. Consideremos dos situaciones distintas, representadas por los diagramas de puntos de la figura 6.1. A la vista del gráfico resulta sencillo sacar la conclusión de que en el caso a) sí puede hablarse de diferencias significativas, mientras que en el caso b) no. Pero, ¿por qué? Las diferencias de medias son exactamente iguales tanto en un caso como en otro, entonces, ¿por qué en un caso se ha considerado que la diferencia es significativa y en el otro no? La razón es, simplemente, que se ha analizado si las diferencias (variabilidad) entre las medias es mayor de la que cabría esperar a partir de la variabilidad dentro de cada muestra. Y se ha llegado a la conclusión, con toda la razón, de que en el caso a) esas diferencias sí son mayores de lo que cabría esperar, pero en el caso b) no. En definitiva, lo que se ha hecho es un análisis de la variabilidad, o análisis de la varianza, para decidir si las diferencias de medias son o no estadísFig. 6.1 ¿Son significativas las diferencias de las medias muestrales? ticamente significativas.

105

π


6.1 Método gráfico de comparación de medias para poblaciones independientes 6.1.1 Ideas básicas para la aplicación del método

106

Vamos a desarrollar en este apartado una sencilla metodología gráfica, que nos permitirá discernir si un conjunto de medias pueden considerarse iguales o distintas. Lo haremos de una forma más objetiva que la usada anteriormente, basada en la simple contemplación de los correspondientes diagramas de puntos, aunque no conviene desestimar este método, que en muchas ocasiones puede ser suficiente y en otras puede utilizarse como complementario. Empezaremos planteando un sencillo ejercicio: ¿Puede considerarse que x f(x) los valores: 15, 17, 16, 21 y 14, pertenecen a una distribución normal con σ = 1? Una forma de resolver este problema es representando a escala una 0 0.399 0.5 0.352 distribución normal con σ = 1, junto con los valores dados, para ver si se puede 1 0.242 considerar que pertenecen a esta distribución o no. 1.5 0.130 El cálculo de las ordenadas de la distribución normal puede hacerse a partir 2 0.054 de la fórmula de su función densidad de probabilidad1, y como no hay ninguna 2.5 0.018 3 0.004 limitación en cuanto a la media, consideramos µ = 0 y obtenemos la tabla de la derecha cuya representación será la de la figura 6.2. Dado que el parámetro µ (media) en una ley normal es un parámetro de localización, pasar de una ley normal de µ = 0 a cualquier otro valor 0.30 de µ se consigue mediante una simple traslación del eje de simetría de la campana al valor de µ. En la figura 6.3 hemos centrado la campana sobre el valor 16, pero lo podríamos haber hecho sobre cualquier otro. Lo que se trata de ver es si todos los valores dados caben “debajo” de la campana, para alguna posición de la misma. En nuestro caso, está claro que no caben todos los valores; el 21 se queda fuera, y si Fig. 6.2 Representación a escala de una distribución centramos la campana en el 21, se quedan fuera normal con µ = 0, σ = 1 todos los demás. Luego, en este caso se puede considerar que todos los valores dados pertenecen a una normal con σ = 1, excepto el 21. Si en vez de comparar nuestros datos con una normal de σ = 1, lo hiciéramos con una de σ = 3, ¿deberíamos construir una campana distinta?

1

Con σ = 1 y µ = 0, se tiene: f (x) =

1 2π

2

e

− x2

Fig. 6.3 Representación de valores junto a una N(0,1)

π

COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS TRATAMIENTOS: ANÁLISIS DE LA VARIANZA

No necesariamente. Para una distribución normal con σ = 3 podemos mantener la escala de abcisas del gráfico anterior y variar la forma de la campana, o mantener la forma de la campana y variar la escala de abcisas. La distribución de probabilidad representada en la figura 6.4, con la misma forma que la anterior pero con distinta escala en el eje de abcisas, corresponde a una normal con σ = 3. Y si en esta escala representamos nuestros valores, tendremos:

Fig. 6.4 Representación de una distribución normal con σ = 3

Fig. 6.5 Representación de valores junto a una N(0,3)

Luego sí puede considerarse que pertenecen todos a una normal con σ = 3. Obsérvese, por tanto, que cuando se desea realizar este tipo de estudio comparando un conjunto de datos con la distribución normal, no es necesario dibujar una campana distinta para cada caso, sino que bastará con una sola variando la escala de abcisas, multiplicándola por un cierto “factor de escala”, que será igual a la desviación tipo de la distribución que se desee representar. Pero cuando se quiere resolver este tipo de problema y no se conoce la desviación tipo de la población, sino que se tiene una estimación de la misma, no puede utilizarse la normal como distribución de referencia, sino una t de Student con los grados de libertad que correspondan según sea el tamaño de la muestra utilizada para estimar σ. Con los datos de nuestro ejemplo, si la desviación tipo de la población se ha estimado a partir de una muestra de tamaño n = 5, y se ha obtenido s = 3, la distribución de referencia será una t de Student con ν = 4 grados de libertad y con un factor de escala igual a 3. Como la forma de la t de Student no es siempre la misma (depende del número de grados de libertad), deberían calcularse las ordenadas en cada caso, pero esto no es necesario, ya que se hallan tabuladas en tablas como la que se adjunta en el apéndice 1. Para realizar la comparación en este caso conviene construir una pequeña tabla previa, como la siguiente:

t ORDENADA

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.375

0.322

0.215

0.123

0.066

0.036

0.020

0

1.5

3

4.5

6

7.5

9

(v=4) t*3

107

π


Y a continuación se construye la t de Student situando los valores dados en un eje horizontal con la misma escala que la utilizada para la distribución. (Ver figura 6.6.) También en este caso podemos considerar que todos los valores pertenecen a la misma población.

Fig. 6.6 Comparación de valores con una t de Student con 4 grados de libertad

6.1.2 Requisitos de aplicación

108

El método gráfico que acabamos de ver nos va a servir para realizar comparaciones de medias, pero para que el procedimiento sea válido, es necesario que se cumplan tres requisitos: a. Las muestras cuyas medias se desee comparar, deben ser muestras aleatorias simples de sus correspondientes poblaciones. De lo contrario, las muestras no pueden considerarse representativas y el método carece de validez. b. Las poblaciones de las que proceden cada una de las muestras deben ser normales, aunque este requisito es poco crítico y ligeras desviaciones respecto a la normalidad no afectan a la validez del método. c. Todas las poblaciones de las que proceden las muestras deben tener la misma varianza. A través de un análisis exploratorio de los datos podemos cerciorarnos de que no hay pruebas de que estos requisitos no se cumplen. En el caso del tercer requisito, los gráficos de residuos (valor observado menos media de la muestra), frente a valores previstos (media de la muestra) son de gran utilidad. Veámoslo en los siguientes ejemplos. Ejemplo 6.1: Sean los datos: 1

2

3

4

5

DATOS

14.0 18.1 18.0 15.7 16.4 16.3 13.5

12.3 15.1 16.2 14.0 13.8 14.1 12.5

13.7 17.4 17.4 15.6 15.4 15.2 13.8

13.4 16.8 15.7 15.1 14.5 15.4 14.1

15.0 19.1 18.5 16.7 17.4 17.3 15.0

MEDIA

16.0

14.0

15.5

15.0

17.0

MUESTRA

Recordando que los residuos son las diferencias entre los valores observados y los previstos por el modelo (en este caso las medias muestrales) tendremos:

π


MUESTRA

1

2

3

4

5

RESIDUOS

-2.0 2.1 2.0 -0.3 0.4 0.3 -2.5

-1.7 1.1 2.2 0.0 -0.2 0.1 -1.5

-1.8 1.9 1.9 0.1 -0.1 -0.3 -1.7

-1.6 1.8 0.7 0.1 -0.5 0.4 -0.9

-2.0 2.1 1.5 -0.3 0.4 0.3 -2.0

Residuos

Y el gráfico de residuos frente a valores previstos tiene el aspecto:

109

Fig. 6.7 Gráfico de residuos frente a valores previstos (no se observa heterocedasticidad)

Luego nada nos hace pensar que la variabilidad (varianza) seas distinta entre poblaciones, y podemos asumir el tercer requisito. Ejemplo 6.2: Sean los datos: 1

2

3

4

5

DATOS

14.0 19.1 18.0 15.7 16.4 16.3 12.5

13.3 14.1 15.2 14.0 14.8 13.1 13.5

13.8 18.2 16.9 15.6 16.6 15.2 12.2

13.4 16.8 15.7 15.1 14.5 15.4 14.1

13.0 21.1 18.7 16.7 17.2 17.3 15.0

MEDIA

16.0

14.0

15.5

15.0

17.0

MUESTRA

En este caso los residuos son:

π


MUESTRA

1

2

3

4

5

RESIDUOS

-2.0 3.1 2.0 -0.3 0.4 0.3 -3.5

-0.7 0.1 1.2 0.0 0.8 -0.9 -0.5

-1.7 2.7 1.4 0.1 1.1 -0.3 -3.3

-1.6 1.8 0.7 0.1 -0.5 0.4 -0.9

-4.0 4.1 1.7 -0.3 1.2 0.3 -3.0

Residuos

Se obtiene el siguiente gráfico de residuos frente a valores previstos:

110 Fig. 6.7 Gráfico de residuos frente a valores previstos. Se observa heterocedasticidad

En este caso no se puede suponer que la variabilidad sea la misma para todas las poblaciones. De hecho, se da un fenómeno que suele ocurrir con cierta frecuencia, y es que la varibilidad aumenta al aumentar la media, dando origen a gráficos como el que nosotros hemos representado, con una típica forma de embudo. Este fenómeno se denomina “heterocedasticidad”, y cuando se da, no se pueden aplicar las técnicas clásicas de análisis de la varianza como las que veremos a continuación.

6.1.3 Caso de la comparación de procedimientos de montaje. Aplicación del método Los datos que se presentan a continuación corresponden a la productividad media por hora en el montaje de un cierto mecanismo, según que el procedimiento empleado sea el A, el B o el C. Supondremos que la recogida de los datos se ha aleatorizado convenientemente y que nada hace suponer que exista algún factor que no ejerza el mismo tipo de influencia para todos los resultados obtenidos. PROCEDIMIENTO ¿Puede decirse que los tres procedimientos A B C no dan la misma productividad?, y en este caso, ¿cuál o cuáles son distintas? 2.6 3.2 PRODUCTIVIDAD/h. 2.6 2.5 3.1 2.5 El razonamiento que se hace en la reso2.7 3.5 3.1 lución de este tipo de problemas es considerar que 2.7 3.4 2.6 se da la circunstancia más conservadora (hipótesis MEDIA 2.7 3.3 2.625 nula, H0), que en nuestro caso sería considerar que DES. TIPO 0.27 0.18 0.10 los tres procedimientos dan la misma producti-

π


vidad, contrastando a continuación si los datos de que se dispone son coherentes con la hipótesis planteada o, por el contrario, no lo son, en cuyo caso es rechazada. Que los tres procedimientos den la misma productividad significa que sus medias poblacionales son iguales, es decir que podemos plantear la hipótesis nula de la forma: H0 : µA = µB = µC La hipótesis alternativa (H1) es la que se considera cierta en el caso de que no se cumpliese la hipótesis nula, que en este caso será simplemente considerar que no todas las medias son iguales. La metodología que se debe seguir, si no existe evidencia de incumplimiento de los requisitos necesarios, puede resumirse en las siguientes etapas: a) Estimar la varianza poblacional única σ2 (recuerde que éste era uno de los requisitos) mediante una media ponderada de las varianzas muestrales. Cada una de las varianzas muestrales es un buen estimador de σ2, pero seguramente todas son distintas. Entonces, ¿con cuál nos quedamos? Si las muestras son iguales en tamaño utilizaremos la media aritmética de las varianzas muestrales y, si no lo son, haremos una media de las s2 ponderada según los grados de libertad de cada muestra (nos fiamos más de las muestras más grandes). La fórmula general para el cálculo de la estimación de σ2, que llamaremos sR2, será:

∑ ( nt k

s

2 R

t =1

=

)

∑ ( nt k

t =1

)

∑ ( nt k

− 1 st2 =

−1

t =1

)

− 1 st2

N −k

donde: k: Número de procedimientos (o, en general, tratamientos) a comparar nt: Número de datos de que se dispone correspondientes al tratamiento t st2: Varianza de los datos correspondientes al tratamiento t N: Número total de datos en los k tratamientos En nuestro caso, al ser iguales los tamaños de muestra, no es necesario aplicar ponderación alguna, sino que podemos calcular sR2 de la forma: s R2

=

s 2A + s B2 + sC2 3

=

0.073 + 0.032 + 0.010 3

=

0.038

De donde: sR

=

0.038

=

0.196

con ν = 9 grados de libertad (3 de cada muestra). b) Calcular el factor de escala de la t-Student con ν = 9. Recuerde que la media de una muestra se distribuye con una desviación tipo igual a la desviación tipo de la población, dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra (teorema central del límite). Por tanto, en nuestro caso el factor de escala será: factor de escala

=

sR n

=

0196 . 4

=

0.098

Si los tamaños de las muestras no son iguales (pero no muy distintos), entonces en lugar de n se utiliza:

111

π


k

n

=

∑ nt t =1

k

c) Construir la distribución de referencia según el método visto anteriormente En este caso, la tabla será: t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ORDENADA

0.388

0.388

0.229

0.127

0.062

0.028

0.012

0

0.049

0.098

0.147

0.196

0.245

0.294

(< = 9) t*0.098

Con lo que se obtiene una distribución de la forma indicada en la figura 6.9.

112

Fig. 6.9 Construcción de una distribución de referencia

d) Situar las medias en un eje horizontal con la misma escala que la utilizada en la distribución de referencia. Deslizar la distribución y sacar conclusiones.

Fig. 6.10 Comparación de valores con su distribución de referencia (¡misma escala del eje de abcisas!)

Fig. 6.11 No se puede afirmar que A y B sean distintos, ni que lo sean B y C, pero sí que lo son A y C

π


Vemos que no se puede considerar que las tres medias muestrales pertenezcan a la distribución a la que deberían pertenecer si las medias poblacionales fueran iguales. Luego los datos no están en consonancia con la hipótesis nula realizada que, por tanto, será rechazada. La conclusión es que los procedimientos A y C son estadísticamente indistinguibles, mientras que el B presenta una diferencia significativa respecto a los otros dos. Nótese que el hecho de que A sea indistinguible de B y B indistinguible de C, no implica que A sea indistinguible de C, tal como pone de manifiesto la figura 6.11.

6.2 Caso de la comparación de procedimientos de montaje con datos bloqueados. Hipótesis sobre el modelo de la respuesta Supongamos que en el experimento anterior de análisis de la productividad de tres técnicas de montaje distintas se desea tomar cuatro datos de cada procedimiento, pero considerando ahora que sólo se puede tomar un dato cada día, y de forma que se tiene la sospecha de que el día de la semana también puede influir en la productividad. En este caso, es mejor no recoger los datos de una forma totalmente aleatoria, ya que podría ocurrir que tres datos correspondientes al procedimiento A fueran tomados el lunes, y si este día de la semana el nivel de productividad fuera menor, achacaríamos una disminución del nivel de respuesta al procedimiento, cuando en realidad correspondería al día en que se tomaran los datos. En circunstancias como ésta, es indispensable planificar la recogida de datos de forma que el posible efecto de ese factor, que no se puede mantener constante, quede convenientemente neutralizado. Una forma de hacerlo es tomando los datos de la siguiente forma:

PROCEDIMIENTO

PRODUCTIVIDAD

A

B

C

2.6

3.2

2.6

Lunes

2.1

2.7

2.1

Martes

3.5

3.9

3.1

MiJrcoles

2.6

3.4

2.7

Jueves

DÍA

El experimento ha consistido en cuatro bloques (días), y se han tomado datos para cada uno de los procedimientos de forma aleatoria dentro de cada bloque (diseño en “bloques aleatorizados”). De esta forma, dentro de cada bloque pueden compararse las productividades (respuesta) de cada procedimiento, por mucha variación que haya en las medias de los bloques. Consideraremos que cada resultado obtenido yti se puede expresar mediante el modelo: y ti

=

µ + βi + τ t + ε ti

donde: µ: Media general βi: Efecto correspondiente al bloque i τt: Efecto correspondiente al tratamiento t εti: Perturbación aleatoria correspondiente a la observación ti. εti - N(0, σ2).

113

π


Como puede observarse en el modelo, el bloque tiene un efecto aditivo sobre la respuesta, subiendo o bajando el nivel de la misma para todas las observaciones incluidas en el bloque. Si no existe efecto bloque, βi=0 para cualquier i. 6.2.1 Resolución El objetivo será hallar una distribución de referencia para comparar las medias de los bloques y otra para la media de los procedimientos (esta última es la de interés fundamental). Pero en primer lugar siempre es conveniente representar los datos gráficamente. Una representación gráfica de los datos que resulta muy adecuada en este tipo de casos es la que se indica en la figura 6.12. Para iniciar el análisis de los datos, en primer lugar escribiremos la tabla de resultados incluyendo las medias de los bloques y de los procedimientos. El supraíndice sobre cada uno de los valores corresponde al orden de toma de los datos que, tal como se ha dicho, es aleatorio dentro de cada bloque.

MEDIAS

PROCEDIMIENTOS

A

B

2.6

(2)

3.2

(1)

2.6(3)

2.8

2.1

(1)

2.7

(3)

2.1

(2)

2.3

MiJrcoles 3.5

(2)

3.9

(1)

3.1

(3)

3.5

Jueves

2.6

(3)

3.4

(2)

2.7

(1)

2.9

MEDIAS

2.7

Lunes

114

Martes

3.3

C

DE LOS BLOQUES

2.625

Fig. 6.12 Gráfico para la comparación de las productividades obtenidas con los datos bloqueados

La metodología que se debe seguir en estos casos se resume en las siguientes etapas: a. Eliminar las diferencias de nivel entre bloques, restándole a cada dato la media de su bloque: PROCEDIMIENTOS

SUMA

A

B

C

Lunes

-0.2

0.4

-0.2

0

Martes

-0.2

0.4

-0.2

0

MiJrcoles

0

0.4

-0.4

0

Jueves

-0.3

0.5

-0.2

0

MEDIAS

-0.175

0.425

-0.250

π


b. Calcular los residuos. Es decir, a cada observación de la tabla obtenida en la etapa anterior, restarle la media de su columna (valor previsto): PROCEDIMIENTOS

A

B

SUMA

C

Lunes

-0.025 -0.025

0.05

0

Martes

-0.025 -0.025

0.05

0

0.175 -0.025

-0.15

0 0

MiJrcoles Jueves

-0.125

0.075

0.05

0

0

0

SUMA

c. Estimar la varianza poblacional σ2. La estimación de la varianza poblacional puede hacerse de la siguiente forma: sR2

Suma de cuadrados de los residuos Grados de libertad

=

En este caso, si llamamos a al número de tratamientos y b al número de bloques, el número de grados de libertad es: Grados de libertad

=

( a − 1) ∗ ( b − 1)

=

2∗3 =

6

Realmente, en la tabla de residuos, sabiendo que las filas y las columnas suman cero, podemos tapar los datos correspondientes a cualquier fila y también los correspondientes a cualquier columna, y volverlos a deducir. Sólo hay 6 residuos que se mueven libremente (6 grados de libertad). Por tanto, en nuestro caso tendremos: s R2

de donde,

=

( − 0.025) 2 + ( − 0.025) 2 + ( 0.175) 2 + ... + ( 0.05) 2 6 sR

=

0.014167

=

=

0.014167

0.119

d. Calcular el factor de escala para la comparación de tratamientos. Si H0 : µA = µB = µC fuera cierta, las medias muestrales correspondientes a cada procedimiento se distribuirían según una t de Student con ν = 6 grados de libertad y con un factor de escala (desviación tipo): factor de escala

=

sR b

=

0.119 4

=

0.0595

donde b es el número de observaciones dentro de cada tratamiento, o lo que es lo mismo, el tamaño de las muestras. e. Calcular el factor de escala para comparar las medias de los bloques En este caso será: sR 0.119 factor de escala = = = 0.0687 a 3

115

π


donde a el número de observaciones dentro de cada bloque, o tamaño de las muestras a partir de las que se han calculado las medias de los bloques. f. Construir las distribuciones de referencia. Elaboramos la tabla previa, construida de forma que sea útil para las dos distribuciones. t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ORDENADA

0.383

0.332

0.223

0.126

0.064

0.032

0.016

0

0.030

0.060

0.089

0.119

0.149

0.179

0

0.034

0.069

0.103

0.137

0.172

0.206

(< = 6) t * 0.0595 (PROCEDIMIENTO) t * 0.0687 (BLOQUES)

Y tenemos, para los tratamientos:

y para los bloques:

116

Fig. 6.14 Comparación de las medidas de los bloques

Fig. 6.13 Comparación de las medidas de los tratamientos

Luego hay diferencias de productividad según el método utilizado (resultado que nos interesaba saber), y también podemos afirmar que existe diferencia de productividad según el día de la semana. ¿Qué hubiera ocurrido si a unos datos bloqueados como los anteriores, les hubiéramos aplicado la técnica de análisis que corresponde a datos independientes (diseños totalmente aleatorizados)? En este caso, el estimador de la varianza poblacional única (con las desviaciones tipo de los procedimientos A, B y C) hubiera sido: s R2

Luego:

=

0.58 2 + 0.50 2 + 0.412 3 sR

=

=

0.25 ,

con ν = 9 g . l.

con ν = 9

0.5

el factor de escala sería: factor de escala

=

sR n

=

0.5 4

=

0.25

π


Se obtiene, por tanto, la siguiente tabla: t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ORDENADA

0.388

0.388

0.229

0.127

0.062

0.028

0.012

0

0.125

0.250

0.375

0.500

0.625

0.750

(<=9) t * 0.25

que da lugar a la distribución de referencia que se indica en la figura 6.15, a la vista de la cual, no puede decirse que existan diferencias entre los tres procedimientos. Esta conclusión errónea se debe a que la varianza poblacional está sobreestimada por la variabilidad que produce la diferencia entre días de la semana. Por tanto, las conclusiones que se obtienen se ven afectadas si a datos obtenidos en diseños bloqueados se les aplica una técnica de análisis propia de datos totalmente aleatorizados. 117 Fig. 6.15 Comparación de datos con su distribución de referencia

6.3 Método clásico de análisis de la varianza. Tabla ANOVA 6.3.1 Planteamiento de un caso y cuestiones previas Vamos a ver a continuación un método analítico para comparar las medias de varios tratamientos. Éste es el método clásico que se basa en la construcción y análisis de una tabla denominada “tabla ANOVA” (ANalisys Of VAriance). Para ilustrar su aplicación utilizaremos los mismos datos que ya utilizamos en la descripción del método gráfico. Recordemos el caso en que se comparaba la productividad obtenida aplicando diversos procedimientos de montaje, en el que teníamos:

PROCEDIMIENTO

A

B

C

PRODUCTIVIDAD

2.6 2.5 3.1 2.6

3.2 3.1 3.5 3.4

2.6 2.5 2.7 2.7

MEDIA

2.7

3.3

2.625

DES. TIPO

0.27

0.18

0.10

Y la pregunta que nos planteábamos era: ¿Puede decirse que los tres procedimientos no dan la misma productividad? Antes de iniciar el método para contestar esta pregunta, abordaremos dos cuestiones previas. a. Requisitos para la aplicación del método. Los requisitos que se deben cumplir son los mismos que ya se comentaron para el método gráfico, y pueden resumirse en que los datos correspondientes a cada tratamiento deben ser

π


muestras aleatorias simples de sus correspondientes poblaciones, poblaciones que deben ser todas normales y de la misma varianza, es decir, iguales en todo excepto, quizá, en su media. Como siempre, un adecuado análisis exploratorio de los datos sirve para verificar que nada se opone al cumplimiento de los requisitos establecidos. b. Notación. En general, consideraremos que existen k tratamientos y que el tratamiento t contiene nt observaciones, de forma que los datos se pueden escribir: L y t1

L y k1

y11

y 21

M

M

M

M

y1i

y2i

y ti

y ki

M

M

M

M

y1n

L ytn

y2 n

1

2

L y kn

t

k

A la media general de todos los datos se le denomina y . 6.3.2 Construcción e interpretación de la tabla ANOVA en diseños totalmente aleatorizados

118

a) Cálculo de sR2. Se trata de la estimación de la varianza poblacional única, σ2, a partir de la variación dentro de los tratamientos. El método habitual consiste en calcular la media de las varianzas de las muestras, ponderándola según los grados de libertad de cada muestra. ν 1 s12 + ν 2 s22 + ... + ν t st2 + ... + ν k sk2 ν 1 + ν 2 + ... + ν t + ... + ν k

=

s R2

Teniendo en cuenta que:

ν t st2

=

tenemos: k

∑ SCt t =1

=

∑ ( yti nt

i =1

− yt

∑ ∑ ( yti k

nt

t =1 i =1

)

2

≡

− yt

)

S Ct

2

≡

S CR

)

=

y por tanto, podemos escribir:

∑ ∑ ( yti k

s R2

=

(n

1

En nuestro caso:

nt

t =1 i =1

) (

)

− yt

)

2

(

− 1 + n2 − 1 + ... + nk − 1

SC R N −k

π


nt st2 SCt SCR N-k sR2

A

B

C

4 0.073 0.220

4 0.033 0.100

4 0.010 0.027 = 0.3475 = 12 - 3 = 9 = 0.3475 / 9 = 0.0386

b) Cálculo de sT2. Se trata de realizar una estimación de σ2 basándonos en la variación entre tratamientos. Si no hubiera diferencia entre las medias poblacionales de los tratamientos, todas las poblaciones serían iguales (en realidad sería una sola población) y podríamos obtener una estimación de σ2 a partir de la variación de las medias de los tratamientos respecto a la media general. Supongamos que todos los tratamientos tienen el mismo número de observaciones n. Como la media muestral se distribuye con varianza σ2/n, tendremos que:

∑ ( yt k

t =1

−y

)

2

k −1

Luego: k

(

n ∑ yt − y t =1

σ2 n

es un estimador de

)

2

119

es un estimador de σ 2

k −1

¿Qué ocurre si no todos los tratamientos tienen el mismo número de observaciones? Sustituyendo n por nt, que en este caso deberá ir colocado dentro del sumatorio, obtenemos:

∑ nt ( y t k

t =1

−y

)

2

k −1

El nuevo estimador de σ , sólo válido cuando las medias poblacionales son iguales, se llama sT2, y su fórmula es: 2

(y

k

sT2

=

SCT νt

∑ nt =

t =1

t

−y

)

2

k −1

En nuestro caso tenemos: A

sT2

=

1.095 2

=

0.55

Obsérvese que si la media poblacional de los tratamientos no es la misma, sT2 será mayor que sR2, ya que en este caso está afectada, no sólo por la

yt yt − y

( yt − y )

2

nt

nt ( y tnt− y ) 2

B

C

2.7

3.3

2.625

-0.175

0.425

-0.250

0.031

0.181

0.625

4

4

4

0.1225

0.7225

0.250

y = 2.875

E = 1.095

π


variabilidad dentro de los tratamientos (caso de sR2), sino también por la variabilidad entre tratamientos. c) Comparación entre sR2 y sT2. Tenemos dos estimadores de σ2: 2 sR :Se obtiene a partir de la varianza de las observaciones de cada uno de los tratamientos. Siempre es un buen estimador de σ2. 2 sT :Se obtiene a partir de la varianza de las medias de los tratamientos. Sólo es un buen estimador de σ2 si la hipótesis de igualdad de medias poblacionales es cierta. Si sT2 es mucho mayor que sR2 (como en el caso de nuestro ejemplo), nos induce a pensar que la hipótesis de igualdad de medias entre tratamientos es insostenible. Más adelante se verá cómo se puede contrastar esta sospecha de forma más objetiva. d) Tercera forma de estimar σ2. Si las medias de todos los tratamientos son iguales, otro estimador de σ2 es el obtenido calculando la varianza de todas las observaciones globalmente, sin distinguir entre tratamientos. A esta nueva estimación se la denomina sD2, y tiene como expresión:

∑ ∑ ( yti nt

k

sD2 120

t =1 i =1

=

−y

)

2

SC D N −1

=

N −1

El valor N-1 son los grados de libertad de sD2, para los cuales se utiliza la notación νD. Puede comprobarse algebráicamente que se verifican las siguientes igualdades: SC D

=

SC R + SC T

ν D = ν R + νT y que para el cálculo de SCD puede utilizarse la expresión:

SC D

=

k

nt

∑ ∑ yti2 t =1 i =1

− N y2

e) Presentación de la tabla ANOVA. Los cálculos realizados anteriormente se resumen en una tabla que tiene el siguiente aspecto: FUENTE DE

SUMA DE

GRADOS DE

VARIACIÓN

CUADRADOS

LIBERTAD

SCT = 1.095

sT2

SCR = 0.3475

sR2 = 0.0386

SCD = 1.4425

Entre

CUADRADOS MEDIOS

= 0.5475

RELACIÓN

sT2/sR2 = 14.2

tratamientos Dentro de los tratamientos Total respecto a la media general

Los valores de SCD y νD, que son los más fáciles de calcular, sirven para verificar la corrección de los cálculos de SCT, SCR, νT y νR.

π


f) Uso de la tabla ANOVA. Es sabido que, si sy2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño ny de una población normal de varianza σy2 y, análogamente, sx2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño nx de una población normal de varianza σx2, se verifica que:

(n − 1) σ

s y2

y

(n

x

) σs

−1

2 y 2 x 2 x

- χ n2

y

−1

- χ n2

−1

x

y por otra parte, si U es una variable aleatoria que sigue una distribución de χ2 con ν1 grados de libertad, y V otra variable aleatoria que también sigue una distribución χ2, pero esta vez con ν2 grados de libertad, siendo U y V independientes, se verifica que: F

=

U ν1 - F - Snedecor (ν 1 ; ν 2 ) U ν2

A partir de las expresiones anteriores, y mediante transformaciones algebraicas, puede llegarse a: s12 σ 12 Fν ν s22 σ 22 1 2

Por tanto, si σ12 = σ22, se tiene que: s12 - Fν s22

121 1 ν2

Es decir, si s12 estima la misma varianza poblacional que s22, su cociente se distribuye según una F de Snedecor con ν1 y ν2 grados de libertad. ¿Podemos decir en nuestro caso que sR2 y sT2 estiman la misma σ2? La relación sT2/sR2 es igual a 14.18. Si las tres poblaciones tuvieran la misma media, sería un valor de una distribución F de Snedecor con 2 y 9 grados de libertad. ¿Es esto posible? Sí, pero es muy poco probable. Consultando las tablas se observa que tal probabilidad es de 0.002, luego podemos decir que nuestros datos no son coherentes con la hipótesis de igualdad de medias, hipótesis que por tanto será rechazada. 6.3.3 Tabla ANOVA para diseños bloqueados Tomamos los datos y el planteamiento ya realizados en el apartado 6.2:

PROCEDIMIENTOS

MEDIAS DE

A

B

C

LOS BLOQUES

2.6(2)

3.2(1)

2.6(3)

2.8

2.1

(1)

2.7

(3)

2.1

(2)

2.3

3.5

(2)

3.9

(1)

3.1

(3)

3.5

Jueves

2.6

(3)

3.4

(2)

2.7

(1)

2.9

MEDIAS

2.7

Lunes Martes MiJrcoles

3.3

2.625

π


En este caso de diseños bloqueados se usa la notación:

Media dia de de tratamientos amientos:

>

y1

= k

... ...

... yi

yk

y

Media general

n

∑ ( yi

− y)

2

Suma de cuadrados debida a la variación entre tratamientos:

(

k

= n ∑ yt − y

SCT

i

122

)

2

Suma de cuadrados debida a la variación dentro de los tratamientos: SC R

>

...

Las fórmulas generales de las sumas de cuadrados para la construcción de la tabla son2: Suma de cuadrados debida a la variación entre bloques:

i

>

k yk1 yk2 . . . yki . . . ykn

t

SCB >

... ... ...

...

que Bloque

1 y11 y12 . . . y1i . . . y1n

1 2 . . . i . . . n

Media de los bloques

Tratamiento 2 ... t y21 ... yt1 y22 ... yt2 . . . . . . y2i ... yti . . . . . . y2n ... ytn ... y2 y

=

k

n

t

i

∑ ∑ ( y ti

− yi − y t + y )

2

Suma de cuadrados total: SC D

=

k

n

t

i

∑ ∑ yti2

− nky 2

Con los siguientes grados de libertad: SUMA DE

GRADOS DE

CUADRADOS

LIBERTAD

SCB SCT SCR SCD

n-1 k-1 (n-1)(k-1) nk-1

La tabla ANOVA de nuestros datos, tendrá la siguiente forma:

2

La deducción detallada de estas fórmulas puede verse en el libro de Box, Hunter y Hunter Estadística para investigadores. Ed. Reverté, Barcelona, 1988.

π


FUENTE DE

SUMA DE

GRADOS DE

VARIACIÓN

CUADRADOS

LIBERTAD

CUADRADOS MEDIOS

RELACIÓN

Entre bloques

SCB = 2.1825

sB2 = 0.73

sB2/sR2 = 52.1

Entre tratamientos

SCT = 1.0950

sT2 = 0.55

sT2/sR2 = 39.3

Dentro de los tratamientos

SCR = 0.0850

sR2 = 0.014

Total respecto a la media general

SCD = 3.3625

sB2/sR2 es el estadístico de prueba que sirve para contrastar si existe diferencia entre las medias de los bloques, utilizando como distribución de referencia una F de Snedecor con νB y νR grados de libertad. Análogamente, sT2/sR2 es el estadístico para contrastar las diferencias de medias entre tratamientos utilizando como distribución de referencia la F de Snedecor con νT y νR grados de libertad. El lector puede comprobar, consultando las tablas de la F de Snedecor, que existen diferencias significativas, tanto en las medias de los bloques como de los tratamientos, conclusión idéntica a la que ya se había obtenido analizando los datos por el método gráfico.

123

π


Ejercicios 6.1

Se selecciona una muestra aleatoria de 30 muelles. Esta muestra se divide en tres partes y se pintan los muelles de cada parte con una pintura diferente. Posteriormente, los muelles son sometidos a una prueba de elongación y se obtienen los siguientes valores: PINTURA A

PINTURA B

PINTURA C

0.38 0.26 0.41 0.33 0.33 0.37 0.54 0.76 0.39 0.74

0.53 0.35 0.38 0.45 1.09 0.46 0.57 0.46 0.39 0.56

0.51 0.63 0.46 0.47 0.42 0.45 0.41 0.39 0.66 0.76

Realice los gráficos y análisis que le parezcan convenientes. Compruebe las hipótesis. ¿Hay algún efecto del tipo de pintura en la elongación? 6.2 124

Para comparar la efectividad de tres tipos diferentes de pinturas fosforescentes para señales de tráfico, se pintan ocho cuadrantes con cada una de las pinturas. Luego se iluminan los cuadrantes y los siguientes datos indican los minutos que dieron luz por encima de un cierto umbral, después de que la iluminación fuese apagada. TIPO A

46.3 48.2 42.0 41.8 48.9 51.0 49.7 50.1

TIPO B

48.7 53.6 49.3 47.3 51.4 53.9 43.6 48.8

TIPO C

62.3 64.7 56.2 60.2 53.6 55.5 61.8 54.5

¿Pueden considerarse idénticos los tres tipos de pintura? En caso contrario decir cuál es el mejor, razonando la respuesta. 6.3

En una determinada fábrica de galletas, se desea saber si las harinas de sus tres proveedores producen la misma viscosidad en la masa. Para ello produce durante un día nueve masas, tres de cada tipo de harina, y mide su viscosidad. Los resultados obtenidos son:

PROVEEDOR A

PROVEEDOR B

PROVEEDOR C

19

17

22

23

18

21

21

21

24

¿Puede decirse que existen diferencias en las viscosidades obtenidas? No satisfechos con el resultado, se repite el experimento quince días más tarde, con los siguientes resultados:

π


PROVEEDOR A

PROVEEDOR B

PROVEEDOR C

24 23 25

22 20 24

27 25 23

Considerando estos resultados, junto con los obtenidos anteriormente, ¿cambia nuestra conclusión sobre la influencia del proveedor en la viscosidad obtenida? 6.4

Se realiza un estudio sobre la inflamabilidad en cuatro fibras distintas. Para estas cuatro fibras se obtienen los siguientes tiempos de ignición (en segundos): FIBRA 1

FIBRA 2

FIBRA 3

FIBRA 4

17.8 16.2 17.5 17.4 15.0

11.2 11.4 15.8 10.0 10.4

11.8 11.0 10.0 9.2 9.2

14.9 10.8 12.8 10.7 10.7

a) ¿Qué fibras podemos considerar que tienen igual tiempo de ignición? b) ¿Cuál es la que tiene un tiempo menor de ignición? 6.5.

Una fábrica de pañales utiliza habitualmente tres laboratorios para comprobar la absorción de sus productos. En un momento determinado, se decide llevar a cabo un estudio llevando 9 pañales lo más parecidos posible a los laboratorios (3 a cada uno). Las cantidades absorbidas detectadas son: CANTIDAD

PESO

PAÑAL

LABORATORIO

ABSORBIDA (g)

PULPA (g)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 1 2 2 2 3 3 3

15.5 15.2 14.6 16.0 15.6 14.6 14.5 15.8 15.9

8.8 8.6 8.0 9.1 8.8 8.0 8.5 9.9 10.0

a) ¿Cuál es la variabilidad entre laboratorios? (Cantidad absorbida.) b) ¿Cuál es la variabilidad entre pañales? c) ¿Qué se deduce de la comparación entre estas dos variabilidades?

125

7 Diseños factoriales

7.1 Necesidad de la experimentación 7.1.1 Avance del conocimiento La adquisición de conocimientos nuevos, el descubrimiento, viene condicionado por dos elementos esenciales: la ocurrencia de algún hecho diferente de lo habitual, cosa por tanto poco frecuente, y la circunstancia de que este hecho se produzca en presencia de una persona capaz de identificarlo como extraño, reflexionar sobre él y, lo que es más difícil, extraer consecuencias. La unión de estos dos sucesos es extremadamente rara, aunque podemos citar aquí algunos casos famosos: la manzana, Newton y la ley de gravitación universal; la tapadera de la olla, Watt y la máquina de vapor; el incensario, Galileo y la ley del péndulo, o la aparición de hongos, Fleming y la penicilina, por citar solo algunos de los casos más conocidos. La experimentación no consiste más que en reproducir artificialmente estas dos circunstancias. Se trata, pues, de forzar la aparición de circunstancias “extrañas” en presencia de personas especialmente preparadas para interpretar y extraer conclusiones de lo que ocurra. Es indudable que, en el mundo competitivo en el que se mueve actualmente cualquier organización, uno de los factores clave de éxito es el ritmo con el que la organización es capaz de aprender. La experimentación es uno de los elementos que más pueden contribuir a aumentar ese ritmo. 7.1.2 Diferencia entre experimentar y analizar datos existentes Al intentar aprender de los procesos industriales, una situación que se plantea con frecuencia es la de disponer de gran cantidad de datos sobre el funcionamiento diario del proceso en cuestión, y surge la pregunta: ¿Es realmente necesario hacer experimentos?, ¿no se podría llegar a las mismas conclusiones analizando convenientemente (con frecuencia se sugieren las técnicas de regresión) los datos disponibles? A continuación, y sin que ello signifique que no se pueda aprender, y mucho, analizando los datos del pasado, exponemos cuatro riesgos que se corren y de los que conviene ser consciente, cuando se analizan datos cuya recogida no ha sido planificada.

127


π

a) Datos inconsistentes Los procesos industriales cambian con el tiempo, el envejecimiento, las reparaciones, los cambios en procedimientos, etc. Todo este tipo de cambios no suelen registrarse conjuntamente con los datos que suelen ser presiones, temperaturas, caudales, concentraciones, etc. Esto provoca que los datos recogidos mecánicamente no sean consistentes y por tanto intentar extraer conclusiones sobre el comportamiento del proceso a base de analizarlos es una tarea con escasas posibilidades de éxito.

128

b) Rango de las variables limitado por el control La figura 7.1 muestra un gráfico entre la concentración (una variable importante del proceso) y la pureza (una característica de calidad crítica del producto). En ella se aprecia la relación que hay entre estas dos variables. Sin embargo, y precisamente porque se sabe que la concentración tiene una gran influencia en la pureza, durante la producción se controla de forma muy estricta el rango de variación de la concentración. Si el rango de control es pequeño en relación a la variabilidad en la pureza para una concentración dada, resulta imposible detectar la relación entre ambas por muy fuerte que sea. Esta situación es muy frecuente cuando se intenta establecer modelos a base de datos recogidos en las operaciones habituales. Además, causa sorpresas y comentarios del Fig. 7.1 Relación entre la pureza y la concentración cuando se restringe el rango de variación tipo: ¿Cómo es posible que la concentración no influya en la pureza? c) Variables altamente correlacionadas Cuando dos variables del proceso están correlacionadas, se pueden producir dos tipos diferentes de situación engañosa al analizar datos recogidos durante las operaciones habituales. La primera situación se produce cuando los datos recogidos incluyen, entre otras, las dos variables en cuestión. Esta situación es conocida como confusión de los efectos. d) Confusión de los efectos

Fig. 7.2 Relación entre el caudal, el % de grasa y la densidad (número entre paréntesis)

Considérese un proceso de extrusión en el que una característica importante del producto final es la densidad (en gr/l) y se han recogido datos del caudal o velocidad de avance a través de la extrusora (en r.p.m.) y del contenido de grasas (en %) de la materia prima, una mezcla de harinas vegetales. Y supóngase que la relación entre estas dos variables y la densidad es la que aparece en la figura 7.2. Resulta claro que al aumentar el caudal y el contenido en grasa, aumenta la densidad. Pero lo que no se puede discernir es si el incremento de la densidad es debido al incremento del caudal, al del % de grasa o al

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DISEÑOS FACTORIALES

aumento combinado de las dos variables. Es por este motivo que en estos casos se dice que los efectos de las variables están confundidos. La segunda situación se produce cuando sólo se han recogido (o tenido en cuenta en el análisis) los datos correspondientes a una de las dos variables correlacionadas. Ello produce la aparición de una relación no causal debida a la existencia de una “variable oculta”. e) Relación no causal. Variable oculta Considérese de nuevo el proceso de extrusión, pero suponiendo que no se han recogido datos del contenido de grasa de la materia prima. Al realizar un diagrama bivariante (figura 7.3) entre el caudal y la densidad, se observaría una relación entre estas dos variables que induciría a pensar que se puede obtener la densidad deseada, regulando las r.p.m. del caudal de alimentación de materia prima. Sin embargo, una persona que intentase regular la densidad manipulando las r.p.m., se encontraría con la desagradable sorpresa de no conseguirlo. Y es que la relación que existe entre estas dos variables no es de causa-efecto. De hecho, es debida a una tercera variable (el % de grasa de la materia prima), ya que un aumento del % de grasa provoca a un tiempo un aumento en las r.p.m. (al ser más fluida la materia prima, con la misma potencia se obtiene una mayor velocidad), y un aumento en Fig. 7.3 Diagrama bivariante caudal-densidad la densidad. En este caso el % de grasa es una variable oculta. 7.1.3 Modelos mecanicistas y empíricos En la industria, las técnicas de diseño y análisis de experimentos se utilizan básicamente en dos áreas: el diseño o mejora de productos y el diseño o mejora de procesos. Y ello es así porque actualmente tanto los productos como los procesos son tan complejos, que resulta prácticamente imposible -salvo en casos excepcionales- encontrar maneras de mejorarlos mediante consideraciones de tipo teórico. Los modelos mecanicistas, basados en conocimientos teóricos, son útiles para describir las grandes líneas de comportamiento de los productos y procesos, pero muy rara vez sirven para describir el comportamiento del proceso o producto que tenemos entre manos, bien por ser poco conocido o, con mayor frecuencia, por ser excesivamente complejo. En estos casos, una descripción aproximada, limitada a una región de interés (rango de variación de los factores restringido), y obtenida a partir de la experimentación puede resultar de extrema utilidad. En este capítulo se utilizan ejemplos relativos a productos y a procesos. Queremos dejar constancia de que independientemente de cuál sea el ejemplo que hayamos utilizado, todos los conceptos y técnicas que se mencionan son aplicables a la mejora o diseño de productos y procesos indistintamente.

129


π

7.2 Posibles estrategias experimentales

130

Experimentar significa variar deliberadamente las condiciones habituales de trabajo para encontrar mejores maneras de proceder, y ganar al mismo tiempo un conocimiento más profundo sobre el comportamiento de productos y/o procesos. El problema básico del diseño de experimentos reside en decidir qué conjunto de pruebas pondrán de manifiesto, de forma más clara y con menor esfuerzo, los diversos aspectos de interés del problema. Si, simplificando, se considera un experimento con sólo dos variables (temperatura y tiempo), las pruebas que hace el experimentador se pueden representar mediante puntos en un diagrama bivariante, en el que los ejes sean las variables con las que se experimente. En la figura 7.4, el punto P representa un experimento realizado a temperatura 210ºC y tiempo 23 minutos. En P mediríamos la o las respuestas de interés, como por ejemplo, la viscosidad o la cantidad producida. La cuestión de dónde situar los puntos no es trivial y requiere ciertas suposiciones sobre el comportamiento de la función respuesta. En concreto, que ésta sea continua y suave, o que las discontinuidades sean en gran medida conocidas. Éste es el caso, por ejemplo, en las discontinuidades producidas por cambios de estado líquido a gas-, por energías de activación necesarias, por imposibilidad física de acoplamiento entre dos piezas si no cumplen unos requisitos básicos, etc. Resultaría prácticamente imposible llegar a conocer por métodos experimentales una función cuya respuesta viniese representada por una superficie similar al lomo de un puercoespín. Afortunadamente, los fenómenos industriales, salvo discontinuidades como las comentadas que resultan en gran medida conocidas, cumplen estos requisitos de continuidad y suavidad. Fig. 7.4 Representación gráfica de un punto experimental

7.2.1 Estrategia secuencial La principal barrera que se opone a la utilización del diseño de experimentos -aparte de la formación inicial del personales que requiere una inversión importante en tiempo, materias primas, etc. Lo cual provoca que, aun suponiendo que se decida llevar adelante la investigación, el número de experimentos a realizar sea siempre limitado. La consigna es, por tanto, obtener la máxima información con el mínimo de recursos. En la manera de utilizar los recursos disponibles para la investigación, podemos distinguir claramente tres posibles estrategias: a) Experimentar sin planificar Seguramente es la más utilizada. Se usa la intuición para realizar pruebas, sin excesivo orden y en forma individual, por iniciativas personales y aprovechando momentos que por las circunstancias - averías, relajación en la carga de trabajo, necesidad de solucionar un problema, etc.- sean propicios. Sin duda esta manera de proceder no puede ser considerada como una estrategia.

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b) Decidir de golpe cómo se va a invertir todo el presupuesto Esta estrategia consiste en decidir de entrada en qué condiciones se van a realizar todos y cada uno de los experimentos que permite el presupuesto disponible. Por supuesto esta decisión se realiza tras haber considerado los objetivos del experimento y estudiado cuidadosamente todos los aspectos que, por razones teóricas o de experiencia, se conocen sobre el problema en cuestión. c) Estrategia secuencial En este caso, tras considerar los objetivos y recursos disponibles, se decide en qué condiciones se van a realizar un reducido número de experimentos, de manera que los conocimientos adquiridos se utilizan para decidir en qué condiciones realizar los siguientes. En una primera decisión lo más recomendable es invertir del orden del 40% del presupuesto. Entre las tres estrategias, sin ninguna duda, la preferible es la tercera. Ésta reserva una parte del presupuesto para poder aclarar las cuestiones confusas que hayan surgido -siempre surgen- como consecuencia del análisis del primer experimento y, además, permite aproximarse paulatinamente a la zona donde los resultados son óptimos, invirtiendo en ella un mayor número de experimentos. Veamos un ejemplo. Supóngase que se desea realizar un mapa de la superficie del fondo del mar o encontrar el punto más profundo en una determinada zona -en este caso, ésta es la respuesta de interés, en la fábrica será la pureza, la cantidad producida o cosas similares- y que para ello solamente podemos realizar 100 mediciones de la profundidad. En este caso, obviamente, el equivalente a las variables del experimento -que en la fábrica, serán temperaturas, tipo de materias primas, concentraciones, etc.- son la longitud y la latitud. La mejor manera de distribuir los cien puntos, si esto se desea hacer de golpe y no se dispone de conocimientos previos, es distribuirlos uniformemente en una retícula. Compárese esta estrategia con situar en una retícula sólo 40 puntos, reservándose 60 para investigar con mayor detalle aquellas zonas en las que la superficie sea más rugosa o en que la profundidad sea mayor. A esto hay que añadir que la situación de estos primeros 40 puntos resultará tanto más informativa en la medida en que hayamos utilizado nuestros conocimientos previos sobre la forma de la superficie del fondo del mar para situarlos. Estos conocimientos previos se pueden haber obtenido de conversaciones con los pescadores de la zona, de informaciones sobre corrientes y mareas, etc. Los equivalentes en el caso industrial son obviamente los conocimientos teóricos sobre el proceso y las conversaciones con operarios y encargados en contacto directo con el proceso o producto. Por tanto, una primera regla de oro de la experimentación es: “No invertir nunca todo el presupuesto en un primer conjunto de experimentos y utilizar en su diseño toda la información previa disponible”.

7.2.2 Diseños factoriales frente a intuición Suponga que desea optimizar un proceso (obtener la máxima cantidad de producto, por ejemplo) sobre el que se piensa que pueden influir diez variables. ¿Cómo planificaría los experimentos? Una planificación aparentemente correcta sería fijar nueve variables e ir probando diferentes niveles de la décima hasta encontrar aquel en el que se maximize la cantidad. A continuación, se fijaría esta variable a su “mejor” nivel y se probaría cambiando los niveles de una de las nueve restantes. El procedimiento continuaría hasta haber experimentado con las diez variables tomándolas de una en una. Aparentemente el procedimiento está bien organizado, conduce al óptimo y, además, tiene la gran ventaja de que los resultados son muy fáciles de analizar. Veamos gráficamente cómo funciona este procedimiento en un caso con sólo dos variables (con diez resulta imposible visualizarlo, pero la situación es totalmente análoga). Se desea maximizar la

131


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cantidad de producto obtenida como resultado de una reacción, sobre la que se sabe que hay dos variables que pueden resultar tremendamente influyentes: la temperatura del reactor (habitualmente fijada en 225ºC) y el tiempo de reacción (habitualmente 110 minutos). La cantidad que se obtiene en estas condiciones es 84 gr. Para ello (ver figura 7.5) se mantiene fija la temperatura a su valor habitual y se prueban diversos tiempos, con lo que se obtiene una cantidad máxima de 87 gr que corresponde a un tiempo de 130 minutos. Una cierta mejora. Sigamos con el procedimiento. A continuación se fija el tiempo en 130 min y se experimenta con diversos valores de la temperatura (ver figura 7.6). La nueva cantidad máxima es de 95gr, correspondiente a una temperatura de 240ºC.

132 Fig. 7.5 Cantidad de producto obtenido en función del tiempo, con la temperatura fija a 225ºC

Fig. 7.6 Cantidad de producto obtenido en función de la temperatura, manteniendo el tiempo fijo a 130 min.

Así pues, una vez concluido el experimento, que ha sido un éxito, se ha conseguido aumentar la cantidad producida en once gramos. ¿Ha sido un éxito? Veamos la situación desde otro punto de vista. En la figura 7.7 el eje de ordenadas corresponde a la temperatura y el eje de abcisas al tiempo, y la cantidad está representada por curvas de nivel. Salta a la vista que con el procedimiento anterior no se ha alcanzado el óptimo, a pesar de lo sencillo del caso, que sólo considera dos variables, y de que la superficie representada por la cantidad es simple. Este procedimiento no resulta adecuado. Lo correcto, aunque parezca ir en contra de la intuición, es experimentar con todas las combinaciones de variables y niveles; sólo así se puede detectar la dirección de las pendientes y alcanzar las cimas o los valles de la superficie en sucesivos experimentos. Los diseños que permiten experimentar Fig. 7.7 Curvas de nivel que representan la cantidad de con todas las combinaciones de variables y niveles producto obtenido en función del tiempo y de la temperatura se denominan diseños factoriales.

π


Este tipo de diseños presenta diversas ventajas. Permiten, utilizados secuencialmente, acercarse al óptimo y estimar interacciones (concepto de gran interés que se explica en el siguiente apartado), y proporcionan estimaciones de los efectos de las variables con una varianza reducida, ya que, como se ve en el apartado 7.5, se calculan con todas las observaciones y son relativamente sencillos de construir y analizar. Su principal inconveniente es que requieren un gran número de experimentos. Este inconveniente se soluciona a través de dos caminos. El primero, que comentamos inmediatamente, es la utilización de dos niveles para cada variable. El segundo, del que se habla en el apartado 8.10, utiliza los diseños factoriales fraccionales. 7.2.3 Concepto de interacción Todos conocemos por experiencia el efecto de una dosis moderada de alcohol sobre nuestro organismo: ponernos contentos, sensación de euforia. También conocemos el efecto del medicamento X, que ingerimos para contrarrestar los efectos de la gripe: disminuir la fiebre, provocar una cierta sensación de bienestar. La figura 7.8 representa gráficamente la situación. La cuestión es, ¿qué ocurre cuando ingerimos las dos cosas? La intuición parece indicar que deberíamos sentir sensación de euforia y bienestar; la experiencia y la medicina indican que la sensación será de somnolencia y mareo. Éste es un caso típico de interacción, en que los efectos de las dos variables consideradas no son aditivos. Esto ocurre con relativa frecuencia en los procesos industriales, causando desconcierto y admiración. Son muy frecuentes los comentarios del tipo: a) Este proceso no hay quien lo entienda, el otro día aumenté la velocidad de extrusión y aumentó la densidad, hoy he aumentado de nuevo la velocidad de extrusión y la densidad ¡ha disminuido! b) Nuestro proceso es muy complejo, no siempre reacciona igual. El único que es capaz de manejarlo es Juan, un encargado que lleva muchos años. Comentarios de esta índole son casi con seguridad el reflejo de interacciones. En el ejemplo de la temperatura y el tiempo (figura 7.7), la superficie más bien parece excesivamente sencilla para ser real, pues bien, esa forma refleja la existencia de una interacción entre el tiempo y la temperatura. Considérese un encargado que cierto día, trabajando a temperatura 220ºC, aumenta el tiempo de 90 a 150 minutos: observará que la cantidad aumenta de 68 a 78 gr. Si al día siguiente, en el que la temperatura es de 230ºC, decide también aumentar el tiempo de 90 a 150 min para, basándose en su experiencia del día anterior aumentar en 10 gr la cantidad producida, se encontrará con que la cantidad permanece inalterable. La situación está representada en la figura 7.9.

(con)- bienestar

somnolencia y mareo

medicamento X (sin)-

normal (sin)

euforia Alcohol

(con)

Fig. 7.8 Representación de la interacción alcohol-medicamento X

230

85 85

85 85

68

78 78

T e m p 220

68 90

tiempo

150

Fig. 7.9 Interacción tiempo-temperatura

133


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Nótese que los valores están extraídos de la superficie representada en la figura 7.7. Pues bien, en situaciones como ésta se dice que las dos variables interaccionan. Una definición general es: dos variables interaccionan, cuando el efecto de una de ellas sobre la respuesta depende del nivel de la otra.

7.3 Variabilidad de la respuesta

134

Ya se ha comentado en el capítulo 3 que ningún sistema es totalmente determinista. Es decir, si se repiten exactamente las mismas acciones varias veces, no siempre se obtiene exactamente el mismo resultado. Esta idea es una constante a lo largo de todo el libro; veamos ahora cómo este hecho, especialmente importante cuando se plantean experimentos en la industria, donde los sistemas (procesos, máquinas, etc.) con los que se experimenta suelen ser complejos, afecta al diseño y análisis de experimentos industriales. La figura 7.10 representa la situación. Supóngase que una determinada característica de un producto depende de dos variables del proceso de producción X1 y X2. A cada valor de X1 y X2 le corresponde un determinado valor de esa característica representado aquí por f(X1,X2). La realidad es que ese valor f(X1,X2) es solamente un valor teórico, ya que cuando produzcamos realmente bajo las condiciones X1 y X2, obtendremos un valor más o menos próximo, pero no igual al esperado. Ello es debido a que en el complejo mundo industrial actual cada característica depende de un número enorme de variables. Resulta aquí de aplicación el principio de Pareto, ya que depende en gran medida de un reducido número de variables (X1 y X2) y muy poco de otras muchas, como condiciones ambientales, diferencias en materias primas, operarios, etc. Esas otras muchas son las que provocan esa fluctuación en principio no explicada y que en general representamos por ε. Esta parte ε no explicada por las variables con las que se ha experimentado y Fig. 7.10 Error experimental en la medida de la respuesta que, por tanto, están incluidas en el modelo, provoca la variación en la respuesta. En general podemos describir la superficie por una ecuación de la forma: Y = f(X1,X2) + ε donde: Y : respuesta f(X1,X2): parte determinista ε : parte estocástica (aleatoria) No hay que olvidar que, como ya se ha comentado, ε es el fruto de las pequeñas variaciones en todos aquellos factores que influyen en la respuesta, pero que no han sido considerados en el modelo. Por tanto, ε puede ser escrito como ε(Z1,Z2,...,Zn). En muchas ocasiones uno de los objetivos de la experimentación es averiguar cuáles de esas variables, en principio no consideradas, afectan a la

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respuesta en mayor medida y cómo lo hacen, para poder tener un nuevo modelo en el que la parte estructural incluya un mayor número de variables y la parte aleatoria, también llamada ruido, sea menor. Así, el modelo: Y = f(X1,X2,Z3,Z7) + ε proporcionaría una mejor descripción del fenómeno bajo estudio. Los efectos de las variables son detectables en la medida en que son mayores que el ruido. Esta misma cuestión ha surgido en capítulos anteriores, por ejemplo al intentar detectar diferencias entre las medias de dos poblaciones. Por tanto, pasando variables inicialmente incluidas en la parte aleatoria a la parte determinista, se disminuye el ruido lo que, a su vez, nos permite detectar la influencia de nuevas variables. Como se ve este proceso iterativo está íntimamente ligado a la naturaleza secuencial de la experimentación. En otras ocasiones, el objetivo de la investigación es conseguir reducir la variación de la respuesta provocada por algunas de las variables no consideradas inicialmente en el modelo (Z), que se sabe que afectan a la respuesta, pero que varían de una forma imposible de controlar. La utilización del diseño de experimentos para este fin es una de las grandes contribuciones de G. Taguchi. Este tema se tratará en el capítulo 9. 7.3.1 Variabilidad en el sistema de medición de la respuesta Un aspecto de gran importancia y muchas veces olvidado es el hecho de que una parte importante de ε es debida a variaciones en el sistema de medida de la respuesta. Esto ocurre, bien sea porque las mediciones se realizan con poco cuidado, bien porque los instrumentos de medida son poco precisos. Como ya se ha comentado la posibilidad de poder detectar los efectos de las variables depende del “tamaño” del ruido, y el ruido provocado por el sistema de medida puede en muchas ocasiones ser reducido. Por ello, el primer paso es conocer la variabilidad del proceso de medición. En ocasiones la proporciona el propio fabricante del equipo de medición. En otras habrá que recurrir a realizar un estudio de capacidad (ver capitulo 11). Si una vez conocido es evidente que resulta muy grande comparado con el tamaño de los efectos que se pretenden detectar, o si simplemente se sospecha que este es escaso, la manera más sencilla de reducirlo consiste en medir repetidas veces la respuesta de cada prueba y considerar como la verdadera respuesta la media de estas mediciones. Con ello el ruido se reduce según la conocida fórmula:

σ media =

σ obs.indiv . n

No hay que caer en el error, sin embargo, de considerar que la desviación tipo de esas medidas repetidas representa el ruido del experimento. Representa únicamente el ruido del sistema de medida. Este aspecto es importante y se volverá a insistir sobre él al hablar de réplicas en el apartado 7.4.

7.4 Diseños factoriales con las variables a dos niveles En el apartado 7.2 se ha comentado la necesidad de utilizar diseños factoriales, es decir, experimentando con todas las combinaciones de variables y niveles. A continuación vamos a comentar los conceptos más habituales que intervienen en el planteamiento de este tipo de diseños experimentales.

135


Respuesta: es el nombre genérico que se da a la característica estudiada. En este libro nos Longitud L 10 cm y 15 cm centraremos en ejemplos en los que se estudia una Grosor G 5 mm y 7 mm sola respuesta, si bien en la practica es frecuente Tipo acero T AyB que se estudien varias respuestas como consecuencia de un solo diseño. En el capítulo 12 se Tabla 7.1 Factores y niveles. Ejemplo del muelle muestran ejemplos de ello. Factores: se designa de esta forma a las variables que se considera que pueden afectar a la respuesta y, por tanto, se incluyen en el plan de experimentación. Niveles: son los valores que toma un factor en un determinado experimento. Supóngase que se desea diseñar un muelle de manera que el número máximo de compresiones hasta la rotura sea lo mayor posible, y que para ello se puede jugar con tres variables: la longitud, el grosor del alambre de partida y el tipo de acero del alambre (obviamente hay muchas otras variables a considerar, pero en este caso sólo se va a experimentar con estas tres). Además, se ha determinado que se experimentará con dos valores de longitud, 10 cm y 15 cm, y con dos valores de grosor, diámetros 5 mm y 7 mm, y con dos tipos de acero, que llamaremos A y B. La tabla 7.1 resume las variables y niveles del experimento propuesto. En este caso la respuesta (Y) será el número de compresiones hasta la rotura. La notación utilizada para referirnos a los diseños factoriales es una potencia de n, del tipo nk. La n significa que cada factor tomará n niveles (n valores distintos), y k es el número total de factores que intervendrán en la experimentación. El resultado de elevar nk proporciona el número de experimentos elementales que se deben realizar. En el caso del alambre, el diseño factorial adecuado sería un 23. Tambien se pueden realizar diseños en los que el número de niveles no sea el mismo para todos los factores. Por ejemplo, si considerásemos estudiar cuatro factores a dos niveles y cinco a tres niveles, se tendría un diseño 2435. Este tipo de diseños, sin embargo, excede el ámbito de este libro. En Peter John (1.971) se encuentra una introducción a este tipo de diseños. FACTORES

136

π

ABREVIATURA

NIVELES

7.4.1 Diseños factoriales a dos niveles En la industria los diseños más utilizados, con una gran diferencia sobre los demás, son los diseños factoriales a dos niveles. Es decir diseños del tipo 2k . En este caso, los valores correspondientes a los dos niveles se codifican asignando al nivel bajo el valor -1 (o simplemente -) y al alto +1 (o simplemente +). Si el factor es cualitativo, a un nivel se le asigna -1 y al otro +1 arbitrariamente. Algunos autores utilizan los símbolos 1 y 2 para denotar los niveles; en este libro utilizaremos la notación -1 y +1, ya que tiene algunas ventajas conceptuales, si bien al escribir resulta más rápido utilizar simplemente - y +. La difusión industrial de los diseños 2k se fundamenta en tres motivos: 1. Proporcionan una excelente relación entre el esfuerzo experimental y la información obtenida. 2. Son sencillos de construir, realizar, analizar e interpretar. 3. Son fáciles de combinar entre ellos para obtener otros diseños más complejos. (Supóngase el caso más sencillo en el que se realiza un experimento 21, una variable a dos niveles -la temperatura a 50ºC y a 60ºC- y que a continuación se vuelve a realizar un experimento 21 con la temperatura a 70ºC y 80ºC; en conjunto se ha realizado un experimento 41. Es fácil imaginar casos más complejos.)

π


Resulta evidente que los diseños en los que cada factor sólo se varía a dos niveles tienen un grave inconveniente: sólo permiten estudiar relaciones lineales. Así, en la figura 7.11 aparece un diseño 21; por supuesto el experimentador sólo “verá” los dos puntos marcados en el gráfico y, a partir de ellos, a la relación entre el factor X y la respuesta Y le ajustará una relación lineal del tipo:

Fig. 7.11 Diseño 21

Y = β1 + β1 X + ε

Si la relación entre X e Y fuese no lineal, la divergencia entre el verdadero modelo (no lineal) y el ajustado (lineal) estaría incorporada al término de error (ε) de este último. Este inconveniente queda en gran medida compensado por dos hechos. En primer lugar, los niveles los escoge el investigador, por lo que siempre puede escogerlos lo suficientemente juntos como para que una recta sea una buena aproximación a la verdadera forma de la respuesta en la región de interés. Por otra parte acabamos de ver que una de las ventajas de estos diseños es que resultan fáciles de combinar para obtener diseños más complejos. Por ello en este capítulo y en el siguiente nos vamos a centrar en los diseños 2k. 7.4.2 Matriz de diseño. Construcción La matriz de diseño es la relación que define el valor que deben tomar los factores en cada uno de los experimentos a realizar. Siguiendo con el ejemplo del muelle, la tabla 7.2 refleja los factores y niveles con su codificación. NIVELES La tabla 7.3 refleja la relación de condiciones FACTORES -1 +1 experimentales para realizar un diseño 23. 15 cm 10 cm (L) Longitud Nótese que no hay dos condiciones experimentales 7 mm 5 mm (G) Grosor repetidas, ni tampoco falta ninguna combinación posible B A (T) Tipo acero de los niveles de los factores de diseño. En la tabla 7.3 se muestra la matriz de diseño para el Tabla 7.2 Factores y niveles codificados. Ejemplo del muelle caso del muelle y se especifican los valores reales de los

EXPER.

LONGITUD

GROSOR

TIPO ACERO

1 2 3 4 5 6 7 8

10 15 10 15 10 15 10 15

5 5 7 7 5 5 7 7

A A A A B B B B

NÚM. DE COMPRESIONES HASTA LA ROTURA (RESPUESTA)

. (A determinar mediante la experimentaci\n) . . .

Tabla 7.3 Matriz de diseño. Ejemplo del muelle

137


π

niveles. En general esta matriz se escribe con las variables codificadas, indicando con un -1 cuando la variable debe tomar el nivel bajo y con -1 -1 -1 1 un +1, para simplificar 1, cuando la variable debe tomar el nivel alto. -1 -1 1 2 La tabla 7.4 representa, con esta notación, la matriz de diseño para el -1 1 -1 3 -1 1 1 4 ejemplo del muelle. 1 -1 -1 5 Este orden en el que se presenta la secuencia de experimentos a 1 -1 1 6 realizar se denomina orden estándar de la matriz de diseño. En este 1 1 -1 7 1 1 1 8 orden resulta particularmente sencillo construir la matriz: conocido el número de experimentos a realizar (recuérdese que viene delimitado por el número de factores) queda fijado el número de filas y a partir de Tabla 7.4 Matriz de diseño en ahí, para el primer factor se van alternando (-1) y (1) hasta haber orden estándar. Niveles codificados. Ejemplo del muelle completado todas las filas, para el segundo se van alternando 2 (-1) y 2 (1), para el tercero 4 (-1) y 4 (1), para el cuarto 8 y 8, y así sucesivamente hasta haberlos agotado. Construyendo la matriz de esta forma, se tiene la seguridad de no omitir ni repetir ninguna combinación de valores de los factores de diseño. EXP.

L

G

T

7.4.3 Aleatorización

138

El orden estándar resulta muy conveniente para escribir la matriz de diseño e incluso, como veremos más adelante, para calcular los efectos de las variables, pero no para realizar los experimentos. El orden de realización debe ser aleatorio. Se ha hablado ya en capítulos anteriores de la importancia de la aletorización. Aleatorizar protege al experimentador de la influencia de variables sobre la respuesta -desconoce cuáles son y qué efecto tienen- y que, al no permanecer constantes durante todo el experimento, pudiesen afectar a la evaluación e interpretación de los resultados. Supóngase que en el ejemplo del muelle los prototipos se realizan en el orden marcado por la matriz de diseño. Como los cuatro primeros se realizan con el acero tipo A y los cuatro siguientes con el tipo B, si hubiese cualquier otro factor de los que intervienen en la fabricación del muelle temperatura del horno, tipo de templado etc.- que cambiase a lo largo del tiempo, de forma que hiciese empeorar paulatinamente la calidad (número de compresiones hasta la rotura) del muelle, se llegaría a la conclusión, tal vez errónea, de que el acero B es peor que el A. Por tanto, siempre que sea posible y no origine ningún problema serio, ni coste adicional importante en la realización del experimento, es conveniente aletorizar totalmente el orden de experimentación, ya que ello protege contra posibles efectos de factores no considerados en el experimento e ignorados por el experimentador. En ocasiones, el coste de cambiar un factor de nivel es muy elevado (esto ocurre con frecuencia cuando uno de los factores es la temperatura y el coste energético y tiempo del calentamiento es muy elevado, así como el tiempo para el enfriamiento). Se puede recurrir a aleatorizaciones restringidas para minimizar el número de veces que se cambia el nivel de un factor. Supóngase que se está experimentando con un proceso de prensado donde la temperatura de la matriz es una de las cuatro variables a estudiar. Se va utilizar un diseño 24 que implica, por tanto, realizar 16 experimentos. La aleatorización total del orden de experimentación podría obligar a cambiar el nivel de esa temperatura hasta trece veces. Una solución es realizar, en primer lugar y en orden aleatorio, los ocho experimentos en los que esa temperatura está a nivel bajo, y a continuación, y también en orden aleatorio, los ocho experimentos en los que la temperatura de la matriz está a nivel alto. Obviamente esta solución es la más drástica, ya que sólo requiere un cambio de nivel. Se pueden

π


pensar soluciones intermedias en las que se fija un número máximo de cambios de nivel (por ejemplo cuatro) y se aleatoriza de forma que se respete esta restricción. Esta práctica debe ser realizada sólo cuando sea imprescindible y prestando atención al analizar los resultados a su posible influencia en las conclusiones. En estos casos, la forma correcta de analizar los resultados es la técnica del Split-plot; su descripción excede el ámbito de este libro, pero se puede hallar en Milliken and Johnson (1984). 7.4.4 Réplicas Cuando se sabe que el sistema objeto de la experimentación es muy variable, se hacen varios experimentos bajo cada condición experimental. A estas repeticiones se las denomina réplicas. Como se verá en el apartado 7.6, al analizar los resultados se considera la media de estas réplicas como la única respuesta, y se procede a calcular los efectos como si sólo se hubiese experimentado una vez bajo cada condición y el resultado hubiese sido precisamente esa media. Es evidente que esta práctica reduce el efecto de la variabilidad del sistema experimental en la respuesta, pues se ha visto ya en repetidas ocasiones que: σ ( media ) =

σ ( obs. individuales) n

donde n es el número de observaciones que componen la media. Conviene destacar que una réplica implica la realización de todo el experimento (bajo la condición señalada) y no recoger dos medidas de la respuesta, ambas consecuencia del mismo experimento. Por ejemplo, supóngase que se está experimentando con un proceso de inyección de plásticos. Obtener dos mediciones de la respuesta, como consecuencia de medir dos piezas producidas en dos cavidades diferentes del mismo molde y producto de la misma inyectada, no son réplicas. O medir dos piezas de la misma cavidad obtenidas en dos inyectadas consecutivas y realizadas bajo las mismas condiciones, no son réplicas. En ninguno de los dos casos mencionados, la diferencia entre las dos medidas refleja la totalidad de la variación del proceso. Para que se pudiesen considerar réplicas, las dos medidas tendrían que ser de la misma cavidad del mismo molde, pero producidas en dos inyectadas diferentes, realizadas bajo las mismas condiciones, pero habiéndolas variado en el ínterin. Es decir, hay que tener en cuenta que la realización de un experimento incluye desde la preparación de la máquina hasta el hecho de fijar las variables. Por tanto, en el caso de la inyección, para obtener dos réplicas hay que preparar la materia prima, fijar la temperatura, la presión de inyección, etc., esperar que esté a régimen y obtener la primera pieza de la cavidad señalada. A continuación habría que obtener piezas bajo otras condiciones y repetir exactamente los mismos pasos: preparación de la materia prima, fijar la temperatura, la presión, etc., y obtener una segunda pieza de la cavidad señalada. Las respuestas medidas en esas dos piezas serían réplicas, ya que las diferencias entre ellas incorporarían todas las fuentes de variabilidad existentes en el proceso. Las réplicas así consideradas tienen la ventaja de que permiten medir la variabilidad del sistema con el que se está experimentando, y esta variabilidad puede ser utilizada para determinar la significación de los efectos de los factores, tal como se verá en el apartado 7.5. Si consideráramos como respuesta la media de dos cavidades del mismo molde de una misma inyectada, podrá ayudarnos a reducir una parte de la variabilidad de la respuesta, al igual que ocurría en el caso de medir varias veces. Pero no proporcionaría una medida de la variabilidad del sistema.

139

π


7.5 Cálculo de los efectos 7.5.1 Cálculo de los efectos a partir del cubo Una vez realizado el experimento se procede a calcular de qué manera afectan a la respuesta los factores con los que se ha experimentado. Estos cálculos se repetirán tantas veces como respuestas haya. Considérese el ejemplo anterior en el que los experimentos se hubiesen replicado. La tabla 7.5 muestra los experimentos y la respuesta; entre paréntesis al lado de cada respuesta aparece el orden -aleatorio- en el cual se han realizado. Como ya se ha comentado, se procede al análisis del experimento como si la única respuesta fuese el promedio de las réplicas. Dado que este experimento es un 23 se puede representar gráficamente por medio de un cubo, como en la figura 7.12.

EXP.

1 2 3 4 5 6 7 8

140

RESPUESTA (NÚM. COMP. ROTURA) (EN MILES)

FACTORES L

G

T

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

RÉPLICAS

77 (6) 98 (12) 76 (1) 90 (15) 63 (8) 82 (9) 72 (3) 92 (7)

81 (13) 96 (4) 74 (16) 94 (10) 65 (2) 86 (14) 74 (11) 88 (5)

MEDIA

79 97 75 92 64 84 73 90

Tabla 7.5 Matriz de diseño, orden de experimentación y respuesta. Ejemplo del muelle

Fig. 7.12 Representación gráfica de variables y respuesta. Ejemplo del muelle

En primer lugar se calculan los efectos de cada factor por separado, a los cuales se denomina efectos principales. El efecto principal de un factor indica cuánto cambia la respuesta (en promedio) al pasar dicho factor del nivel bajo (-1) al nivel alto (+1). Así, el efecto principal de L corresponde al promedio de valores de la respuesta con L a nivel 1, menos el promedio de valores con L a nivel -1. En este caso será: L=

97 + 92 + 84 + 90 4

−

79 + 75 + 64 + 73 4

= 18

Es decir, que al cambiar la longitud de 10 a 15, el número de compresiones hasta la rotura aumenta, en promedio, 18 miles de compresiones (MC). Análogamente se pueden calcular los efectos principales para G y T. (El efecto principal de un factor se designa con la misma notación que la utilizada para designar al propio factor.) Y se obtendrá:

G=

75 + 92 + 73 + 90 4

−

79 + 97 + 64 + 84 4

 64 + 84 + 73 + 90   79 + 97 + 75 + 92   +  =8     4 4

= 1,5 ; T = 

π


Una mirada a la figura 7.12 muestra claramente que no siempre que el grosor pasa de 5 a 7 la respuesta aumenta 1.5 MC. Es más, esto no ocurre en ninguna combinación de las otras variables. Como ya se ha indicado, sólo ocurre en promedio. Está claro, por tanto, que con los efectos principales no hay suficiente para explicar la forma en que los factores afectan a la respuesta. Ello es debido, como acabamos de ver, a que en muchas ocasiones el efecto de un factor depende del valor que toma otro. Hemos comentado ya que cuando esto ocurre, se dice que estos dos factores interaccionan. Veamos si en el ejemplo anterior interaccionan el grosor y el tipo de acero. Para ello haremos los siguientes cálculos: a) Efecto principal del grosor con el tipo de acero a nivel 1 (nos olvidamos de las respuestas con el tipo de acero a nivel -1, o lo que es lo mismo nos centramos en la cara trasera del cubo): G=

73 + 90

64 + 84

= 7 ,5 2 2 b) Efecto principal del grosor con el tipo de acero a nivel -1: G=

75 + 92 2

−

−

79 + 97 2

= − 4 ,5

Por tanto, el efecto del grosor es distinto según se use uno u otro tipo de acero. Con el tipo B aumentar el grosor hace aumentar la respuesta, mientras que con el acero tipo A la hace disminuir. Esta claro que G y T interaccionan, ya que el efecto de uno depende del nivel a que se encuentra el otro. La forma de cuantificar la interacción de 2 factores -A y B- es la siguiente: Interacción AB = (1/2)(Efecto de A con B a nivel 1) - (1/2)(Efecto de A con B a nivel -1) Si esta diferencia es cero indica que el efecto de un factor es independiente del nivel del otro y, por tanto, que no interaccionan. La diferencia se divide por 2 para que la varianza de las interacciones sea igual que la de los efectos principales (ver la sección significación de los efectos de este mismo apartado). Puede demostrarse, fácilmente, que la interacción AB es exactamente igual que la BA. Así, en el ejemplo : GT = TG = (1/2)(7.5) - (1/2)(-4.5) = 6 De la misma forma se podrían calcular, y lo dejamos como ejercicio para el lector, las otras dos interacciones de dos factores y se obtendría: LG = -1 LT = 0.5 Y con la respuesta en el eje vertical y un factor en el eje horizontal, el otro se indica con símbolos (figura 7.14). Análogamente, tres factores interaccionan cuando la interacción de dos de ellos depende del nivel de la tercera. En la inmensa mayoría de los casos, se consigue explicar de forma muy satisfactoria el comportamiento de las respuestas a través de los factores sin necesidad de considerar las interacciones de tres o más factores. Sin embargo, es muy importante tener en cuenta las interacciones de dos. El lector puede calcular la interacción LGT de forma similar a como se ha calculado la LG. Basta para ello calcular la interacción LG cuando T está a nivel alto y restarle el valor de la interacción LG cuando T está a nivel bajo. Como en el caso anterior y por el mismo motivo, el resultado de esta diferencia debe ser dividido por 2. LTG = -0.5

141

π


Fig. 7.13 Interacción GT. Ejemplo del muelle

Fig. 7.14 Interacción GT. Ejemplo del muelle

7.5.2 Algoritmos de cálculo

142

El método que se ha visto para calcular los efectos de los factores tiene la ventaja de ser muy intuitivo, pero también el inconveniente de ser muy laborioso, y de ser aplicable sólo cuando el número de factores es igual o inferior a tres. Existen dos maneras rápidas y sencillas de calcular los efectos (cuando hablamos de efectos lo hacemos en forma genérica, y se incluyen tanto los efectos principales como las interacciones de todo tipo); son el algoritmo de los signos también llamado de Box, Hunter y Hunter (en el apéndice 7A se justifica su funcionamiento), y el del algoritmo de Yates, que es el que requiere un menor número de operaciones y, al mismo tiempo, es el más adecuado para implementarlo en una hoja de cálculo o cualquier otro programa de ordenador. a) Algoritmo de los signos Este algoritmo calcula los efectos a partir de los signos utilizados para definir los niveles en la matriz de diseño. Como quiera que entonces sólo se podrían calcular los efectos principales, se añade una columna para cada interacción. Los signos de esas columnas se obtienen multiplicando algebraicamente los signos de las columnas de las variables que la componen. Se añade además una columna con +1, que servirá para calcular la media. Este valor es el promedio de todas las respuestas obtenidas durante la experimentación, pero resulta de escasa utilidad práctica. La tabla 7.6 muestra la matriz de diseño “completa”, así generada. Para hallar cualquiera de los efectos, se suma algebráicamente la respuesta, de acuerdo con los signos definidos en la columna del efecto correspondiente, y se divide por la mitad del número de condiciones experimentales. Para hallar la media la operación es exactamente la misma de antes, excepto que se divide por el número de condiciones experimentales especificadas en la matriz de diseño. Así, la estimación de la media sería: media =

79 + 97 + 75 + 92 + 64 + 84 + 73 + 90

8 la estimación del efecto principal de la longitud (L): L=

− 79 + 97 − 75 + 92 − 64 + 84 − 73 + 90 4

= 81,75

= 18

π


y la estimación de la interacción LG:

MEDIA

1 1 1 1 1 1 1 1

L

G

T

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

LG

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

LT

1 -1 1 -1 -1 -1 1 1

GT

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

LGT

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1

RESPUESTA

79 97 75 92 64 84 73 90

Tabla 7.6 Matriz de diseño completa (23). Ejemplo del muelle

b) Algoritmo de Yates La aplicación de este algoritmo, ilustrada en la figura 7.15, se realiza de la siguiente manera: 1. Colocar la respuesta en columna y en el orden estándar de la matriz de diseño. 2. Añadir tantas columnas auxiliares como factores de diseño existan. La primera columna auxiliar se completa de la siguiente forma: > Primera mitad de valores: 1er. valor: Suma de las respuestas 1ª y 2ª, 2º valor: Suma de las respuestas 3ª y 4ª, y así sucesivamente. > Segunda mitad de valores: 1er. valor: Resta de la 2ª respuesta menos la 1ª, 2º valor: Resta de la 4ª respuesta menos la 3ª, y así sucesivamente. La segunda columna auxiliar se completa igual que la primera, utilizando los valores de esta última como respuestas. Análogamente para la 3ª, la 4ª, etc. 3. Crear una nueva columna dividiendo el primer valor de la última columna auxiliar por un divisor igual al número de condiciones experimentales. Para el resto de valores el divisor es igual a la mitad del número de condiciones experimentales. 4. En la última columna creada el primer valor es igual a la media de las respuestas y el resto corresponde a los efectos. La correspondencia entre valores y efectos se realiza a través de la localización de los “1” en su fila correspondiente de la matriz de diseño. Si un valor sólo tiene “1” en la columna del factor B, corresponderá al efecto principal de B. Si lo tiene en las columnas correspondientes a los factores A y C, corresponderá a la interacción de AC, etc. Fig. 7.15 Esquema de aplicación del algoritmo de Yates

143

π


Seguramente será útil repasar (tabla 7.7) la aplicación de este algoritmo en el ejemplo del muelle. Obsérvese que, además de los efectos ya comentados (efectos principales, interacciones de dos y de tres factores), el algoritmo de Yates proporciona la media. MATRIZ DISEÑO

COLUMNAS AUXILIARES

RESP.

DIV.

L

G

T

Y

(1)

(2)

(3)

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

79 97 75 92 64 84 73 90

176 167 148 163 18 17 20 17

343 311 35 37 -9 15 -1 -3

654 72 6 -4 -32 2 24 -2

8 4 4 4 4 4 4 4

EFECTO

81.75 18.0 1.5 -1.0 -8.0 0.5 6.0 -0.5

IDENTIFIC.

Media L G LG T LT GT LGT

Tabla 7.7 Algoritmo de Yates. Ejemplo del muelle

7.6 Significación de los efectos

144

Que la estimación de un efecto, hallada a través del experimento, sea distinta de cero no implica que el verdadero valor del mismo lo sea. Es decir, no implica que afecte de forma detectable a la respuesta y que, por tanto, corresponda a un término que deba ser incluido en el modelo. El origen de este aparente contrasentido reside en que cuando se determina una respuesta indefectiblemente está afectada por una variabilidad -en el apartado 7.3 se ha hablado con detalle de la variabilidad de la respuesta- y esta variabilidad se transmite inevitablemente a los efectos (recuérdese que los efectos, principales o interacciones, se calculan a partir de la respuesta bajo las diferentes condiciones experimentales). De forma que, si un efecto es nulo, el valor que de él obtendremos como consecuencia de la experimentación no será exactamente nulo, sino un valor en torno al cero, que puede estar tanto más alejado de éste cuanto mayor sea la variabilidad -también llamada error experimental- del sistema. Por tanto, una vez calculados los efectos, la primera tarea, mediante la técnica estadística más adecuada, será distinguir cuáles son significativamente distintos de cero (realmente existentes) y cuáles no lo son. (Como hablar de “efecto significativamente distinto de cero” es un tanto largo, se abrevia diciendo sólo “efecto significativo”.) Hay dos situaciones de partida distintas al abordar este problema: cuando se ha replicado el experimento, y cuando cada experimento elemental se ha llevado a cabo una sola vez. Por razones obvias de economía experimental, la segunda situación es la más habitual. El motivo básico para replicar es reducir la variabilidad de los efectos calculados. Como hemos visto, el cálculo de los efectos es una combinación lineal de las observaciones (la diferencia entre dos medias, cada una con la mitad de observaciones) y, por tanto, de acuerdo con la fórmula de la varianza de los efectos, ésta es tanto menor cuanto mayor es el número de observaciones que se ha utilizado para calcularla. En general, cuando se está dispuesto a realizar el doble de experimentos para reducir la variabilidad de los efectos estimados, resulta más aconsejable introducir un nuevo factor experimental, aunque a priori no se considerase imprescindible. De esta manera se consigue exactamente la misma reducción en la variabilidad de los efectos estimados, y además la oportunidad de ampliar el estudio.

π


7.6.1 Significación cuando se dispone de réplicas Cuando se dispone de réplicas, estudiar la significación de los efectos es un caso particular de las pruebas de significación que se han visto en capítulos anteriores. Veámoslo en el ejemplo de los muelles. Recuérdese que se habían realizado dos experimentos en cada condición experimental, lo que nos permite calcular la varianza -con dos observaciones en este caso- en cada una de ellas (ver tabla 7.6). EXP.

1 2 3 4 5 6 7 8

FACTORES

RESPUESTA

L

G

T

RÉPLICAS

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

81 96 74 94 65 86 74 88

77 98 76 90 63 82 72 92

MEDIA

VARIANZA

79 97 75 92 64 84 73 90

8 2 2 8 2 8 2 8

Tabla 7.6 Media y varianza de los experimentos. Ejemplo del muelle

Supondremos (suposición en general razonable) que la variabilidad no depende de la condición bajo la que se esté experimentando, sino que es una característica del sistema experimental y, por tanto, que se cumple la hipótesis de igualdad de varianzas. Entonces, una buena medida del error experimental será el promedio de estas varianzas. El promedio de las ocho varianzas calculadas es: 2

S =

8+2+2+8+2+8+2+8 8

= 5

con lo que SR= 2.24 es la desviación tipo del error experimental, estimada con ocho grados de libertad, ya que es el promedio de ocho varianzas, cada una de ellas calculada con un grado de libertad. En general, y admitiendo que por diversas circunstancias propias de cada experimento el número de réplicas en cada condición experimental puede ser diferente, la S2R será: 2

2

SR =

2

2

( n1 − 1) S1 + ( n2 − 1) S2 +K+ ( n N − 1) S N n1 + n2 +K+ n N − N

con n1 + n2 + ... + nC - C grados de libertad, donde C es el número de condiciones experimentales distintas (C=2k) y ni el número de réplicas de la i-ésima condición experimental. Para poder determinar la significación de los efectos, es necesario disponer de una medida de la variación que el error experimental ha inducido en la estimación de los mismos. Esta medida la proporcionará la desviación tipo de los efectos, que puede ser calculada, ya que: > cada efecto es una combinación lineal de las respuestas obtenidas en las distintas condiciones experimentales; > las respuestas obtenidas en las distintas condiciones experimentales son independientes entre sí.

145

π


EXP.

1 2 3 4

FACTORES A B

-1 -1 1 -1

-1 1 1 1

RESPUESTA RÉPLICAS

Y11 Y21 Y31 Y41

Y12 Y22 Y32 Y42

Considérese en primer lugar el caso de un diseño 22 en el que cada condición experimental ha sido replicada, tabla 7.7. el efecto de A será: Y21 + Y22 2

efecto A = 2

Tabla 7.7 Diseño 2 con réplicas

+

Y41 + Y42 2

2

Y11 + Y12 −

2

+

Y31 + Y32 2

2

Por lo que, suponiendo que todas las respuestas son independientes y tienen la misma varianza σ2, se obtiene:

1  (Y21 + Y22 + Y41 + Y42 − Y11 − Y12 − Y31 − Y22 ) 4 

V ( efecto A ) = V 

En general, y teniendo en cuenta que cada efecto es un estadístico formado a base (recuérdese el algoritmo de los signos) de hacer el promedio de la mitad de las observaciones con signo +, representado por Y+, y restarle el promedio de la otra mitad con signo -, representado por Y−, se obtiene que: efecto = Y+ − Y−

donde cada media ha sido calculada con N/2 observaciones, y donde N es el número total de experimentos que se han realizado -incluidas por tanto, las réplicas. La varianza de un efecto será: V (efecto) = V (Y+ − Y− )

146

donde, por estar calculadas con el mismo número de observaciones, provenientes de la misma ley normal: V (Y ) = V (Y+ ) = (Y− ) =

σ

2

N 2

Y como Y+ e Y− son independientes: V (efecto) =

4 N

σ

2

Y su estimación es, por tanto: V$ (efecto) =

4 N

2

SR

Nótese que esta fórmula sólo es válida cuando el número de replicas es idéntico bajo todas las condiciones experimentales; en caso de que esto no sea así, habrá que deducir la fórmula adecuada en forma análoga a la utilizada aquí. Asimismo, se puede calcular de forma inmediata la desviación tipo de la media, si bien rara vez resulta de utilidad práctica. En el ejemplo de los muelles la estimación de la varianza de los efectos será, pues: 4 V$ (efecto) = 5 = 1,25 16 Estrictamente, lo correcto sería realizar una prueba de significación para cada efecto, utilizando la t-Student (con los grados de libertad con los que se ha calculado la SR) como distribución de referencia. Para ello, el estadístico:

π


t =

efecto - 0 S efecto

se compararía con la t-Student mencionada y se calcularía el p-valor. En la práctica, por razones de comodidad y rapidez, se recurre al cálculo de intervalos de confianza aproximados, en la forma: efecto ± X desviaciones tipo de los efectos y se consideran como significativos aquellos efectos cuyo intervalo no contiene el cero. El valor de X se escoge en función de los objetivos del experimento. Así, si interesa identificar sólo aquellos efectos que con gran seguridad influyen en la respuesta, se escogen valores de X elevados (tres o más). Si, por el contrario, interesa identificar todos aquellos efectos con una posible influencia en la respuesta, se escogen valores de X cercanos a 1. El valor que se utiliza con mayor frecuencia es el 2, ya que proporciona intervalos de confianza en el entorno del 90%-95%. Obviamente, este procedimiento es una aproximación, pero más que suficiente en las ESTIMACIÓN aplicaciones industriales, ya que si el cero está EFECTO "2 DESV. TIPO próximo de un intervalo calculado de esta forma, ya Longitud (L) 18.0 " 2.24 sea por dentro o por fuera, y no se dispone de conoGrosor (G) 1.5 " 2.24 cimientos técnicos que aclaren la cuestión, debe ser Tipo acero (T) 8.0 " 2.24 objeto de una posterior investigación (recuérdese la Long. X Grosor (LG) -1.0 " 2.24 Long. X Tipo (LT) 0.5 " 2.24 estrategia secuencial). Grosor X Tipo (GT) 6.0 " 2.24 Aplicando lo anterior al caso de los muelles Lon. X Gro. X Tip. (LGT) -0.5 " 2.24 se obtienen los intervalos de la tabla 7.8. En este caso resulta evidente que los efectos significativos son la longitud, el tipo de acero y la Tabla 7.8 Intervalos de confianza aproximados para los interacción entre el tipo de acero y el grosor. efectos. Ejemplo del muelle 7.6.2 Papel probabilístico normal Ya se ha comentado que lo habitual es no realizar réplicas. El método que veremos a continuación permite detectar los efectos significativos en forma sencilla y eficaz. Este método se basa en representar los efectos en papel probabilístico normal. Se ha comentado en el capítulo el origen y utilidad del papel probabilístico normal, y que al representar en él datos provenientes de una ley normal, los puntos aparecerán aproximadamente alineados. La respuesta experimental está sometida, como ya se ha comentado, a variación aleatoria. Esta variación seguirá, en general, una ley normal con media cero y una desviación tipo que refleja el error experimental. Aún en el caso infrecuente de que no siguiese una ley normal, los efectos son combinaciones lineales de la repuesta, y por el teorema central del límite tendrán tendencia a seguirla. Tenemos, por tanto, que los efectos siguen una ley normal. Supóngase ahora un experimento en el que todos los efectos sean no significativos. Los efectos hallados oscilarán alrededor de cero, siguiendo una ley normal. Al representarlos en papel probabilístico normal aparecerán todos ellos alineados. En la figura 7.16 se representan los quince efectos de un diseño 24, en el que los factores eran inertes. Nótese que la recta pasa aproximadamente por el punto (0,50), indicando que la media de la distribución es cero. Asimismo, la pendiente de la recta es una indicación del tamaño del error experimental. Una recta más horizontal indicaría una mayor variabilidad. Por tanto, los efectos no significativos se distribuyen según:

147

π


Porcentaje 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 -10

0

10

Efectos

Fig. 7.16 Representación en papel probabilístico normal de los efectos de un 24 con factores inertes

Porcentaje

148

99 A

95 90

C

80 70 60 50 40 30 20 CD

10 5

D

1 -20

-10

0 Efectos

10

20

Fig. 7.17 Representación en papel probabilístico normal de los efectos de un 24 con tres factores activos

NÚM.

1

2

N(0, σefectos) Por el contrario, en los efectos significativos, si bien tienen la misma desviación tipo, la media varía dependiendo del tamaño del efecto. De manera que se distribuyen según: N(µefecto, σefectos) donde la µefecto es distinta en cada caso. En la figura 7.17 se representan los quince efectos de un diseño 24 en el que doce efectos son no significativos y los tres restantes significativos. En la figura 7.17 se aprecia claramente cómo los efectos principales A, C y D son significativos y puede haber dudas (que deberán resolverse mediante los conocimientos teóricos o empíricos previos a la experimentación, o realizando nuevas pruebas) respecto a la significación de la interacción CD. Recuérdese que para representar en papel probabilístico normal basta con: > ordenar los valores (en este caso los efectos excluyendo la media) de menor a mayor; > calcular la proporción de efectos menores que el que se está considerando (con el factor de corrección 0.5 para poder representar el efecto menor). Éste será el valor de la ordenada. Para ello se puede utilizar la fórmula: P = 100(i-0.5)/n donde: i es el número de orden de cada efecto n es el número total de efectos > graduar el eje no probabilístico del papel; > representar las parejas (efecto, P). Veamos cómo sería la representación en papel probabilístico normal de los efectos del

3

4

5

6

7

EFECTO

-8

-1

-0.5

0.5

1.5

6

18

IDENTIDAD

T

LG

LGT

LT

G

GT

L

P

7.14

21.4

35.7

50

64.3

78.6

92.9

Tabla 7.9 Efectos ordenados para su representación en papel probabilístico normal. Ejemplo del muelle

π


Porcentaje ejemplo del muelle que hemos venido 99 comentando. Construir una tabla como la 7.9 o 95 similar facilita considerablemente la L 90 representación. Nótese que se utiliza una 80 GT fila para mantener la identidad de los efectos 70 y facilitar su identificación una vez 60 50 representados. 40 30 En la figura 7.18 se aprecia clara20 mente que hay cuatro efectos que aparecen 10 alineados (aproximadamente) y que esa T 5 recta pasa (también aproximadamente), por el punto (0,50). Esto indica que estos efectos 1 siguen una ley normal con media cero, lo -20 -10 0 10 20 Efectos que es señal de que no son significativos. Han salido diferentes de cero a causa de la Fig. 7.18 Representación en papel probabilístico normal de los variabilidad del sistema. efectos. Ejemplo del muelle Por el contrario, hay tres efectos que están fuera de esa línea; por lo tanto no se puede pensar que provengan de una distribución con media cero. Son los efectos de L, T y GT. En consecuencia, diremos que son claramente significativos. Requiere una cierta práctica trazar correctamente las rectas e interpretar los Porcentaje 99 resultados. Es obvio que la recta debe ajustarse a los puntos centrales y no a los de A 95 los extremos, que son los efectos potencial90 mente significativos. Un error común es 80 considerar como significativos efectos que 70 se apartan de la recta por estar demasiado 60 50 próximos al cero (esto ocurre con cierta 40 frecuencia, ya que al extraer muestras de 30 20 tamaño reducido de una ley normal los 10 extremos tienden a estar sobrepresentados). 5 La figura 7.19 muestra un ejemplo de lo que B se acaba de comentar. 1 Los efectos A y B no son sig-20 -10 0 10 20 nificativos a pesar de que están fuera de Efectos la recta. En el apéndice 7B se presenta papel Fig. 7.19 Representación en papel probabilístico normal de los probabilístico normal especialmente prepaefectos de un 24 con todos los factores inertes rado para representar los efectos de experimentos bajo ocho, y dieciséis condiciones experimentales. Se incluyen, además, diversos casos de representaciones en papel probabilístico normal, provenientes de investigaciones reales, para que el lector se familiarice con la manera de trazar las rectas y juzgar la significación.

149


π

7.7 Interpretación de resultados

150

Una vez calculados los efectos y determinado cuáles son significativos, lo único que resta es interpretar físicamente esos resultados. Se ha comentado ya la interpretación que se debe hacer de los efectos principales y que la mejor manera de interpretar las FACTOR EFECTO interacciones es por medio de gráficos. Por supuesto es impresLongitud 18 cindible hacer estas interpretaciones a la luz de los conocimientos Tipo de acero -8 previos que sobre el problema se pudiesen tener. Interacci\n Es fundamental tener bien asimilada la posible existencia Grosor-Tipo de acero 6 de interacciones de dos factores para entender el comportamiento de la respuesta, y elegir de forma acertada la mejor combinación Tabla 7.10 Efectos significativos. Ejemplo del muelle de los factores de diseño. En el ejemplo del muelle, y a la vista de los efectos que han resultado significativos (tabla 7.10), la interpretación sería: > Aumentar la longitud de 10 cm a 15 cm hace aumentar el número de compresiones hasta la rotura en 18.000 (recuérdese que la respuesta estaba medida en miles de unidades). > El tipo de acero y el grosor interaccionan y por lo tanto, se deben estudiar conjuntamente con la ayuda de la figura 7.13 o la 7.14. Reproducimos aquí la 7.13. El número máximo de compresiones hasta la rotura se obtiene al trabajar con el tipo de acero A y un grosor de 5 mm. Pero si las circunstancias obligasen a trabajar con acero tipo B, lo indicado sería utilizar un grosor de 7 mm. Otra manera de interpretar los efectos calculados, que en ocasiones puede ser de ayuda, es considerar que lo que se pretende a través de la experimentación es construir un modelo. Si bien no se puede pretender hallar una función que represente exactamente la relación entre la respuesta y los factores, sí se puede hallar una aproximación a la misma, en la zona experimental (es peligrosísimo extrapolar las variables más allá de los niveles en los que se han considerado), que resulte útil. Mediante diseños 2k se pueden estimar los coeficientes de modelos polinómicos sin términos cuadráticos. Para un diseño con 3 factores el modelo a Fig.7.20 Interacción GT. Ejemplo del muelle estimar es del tipo: y = β 0 + β1 A + β 2 B + β3C + β12 AB + β13 AC + β 23 BC + β123 ABC

donde: β0: β1, ..., β123:

Término independiente del modelo. Corresponde a la media. Coeficientes. Son la mitad de los efectos calculados. Esto es debido a que el efecto principal de un factor representa el cambio en la respuesta al pasar del nivel bajo (-1) al nivel alto (+1). Mientras que el coeficiente representa el cambio en la respuesta al cambiar el factor una unidad (del 0 al 1, o del -1 al 0) A, B, C : Valores que toman cada uno de los factores. AB, AC, BC, ABC : Productos de los valores que toman los factores que se indican. En el modelo representan los efectos de las interacciones. y: Valor que toma la respuesta para los valores dados de A, B, C.

π


Así, en el ejemplo del muelle, un modelo que explicara el número de compresiones hasta la rotura en función de la longitud, el grosor y el tipo de acero sería: Num. Comp. =81.75 +9L-4T+3GT Nótese que en el modelo sólo aparecen los términos correspondientes a aquellos factores que han resultado ser significativos. También es importante resaltar que en este modelo las unidades de los factores no son las originales, ya que éstos han sido codificados. Si se desea se puede descodificar por medio de la fórmula:

Xc =

X0 −

nivel sup. + nivel inf.

2 nivel sup. - nivel inf. 2

donde el subíndice C indica unidades codificadas y el O originales. Los niveles superior e inferior se expresan en las unidades originales. Aplicándolo al ejemplo del muelle resulta: L0 − 12 ,5

Lc =

2 ,5

, G = c

G0 − 6 1

No es necesario decodificar la variable tipo de acero, por ser cualitativa. Con lo que en la ecuación resultaría: 151

Num. Comp. = 36.75 + 3.6LO - 22T + 3GOT y debe ser utilizada con los valores originales de las variables. Las ecuaciones con las variables en las unidades originales deben ser tratadas con cautela, ya que su interpretación es más compleja. Son útiles para predecir, pero no para interpretar los efectos de los factores. 7.7.1 Cálculo de residuos. Diagnosis del modelo A partir del modelo es posible calcular el valor previsto ( y$ ) para cada condición experimental y también el residuo, es decir, la diferencia entre el valor observado y el previsto por el modelo. En la tabla 7.12 aparecen los residuos calculados para el ejemplo de los muelles.

EXP.

1 2 3 4 5 6 7 8

FACTORES L

G

T

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

RESPUESTA

VALORES

RÉPLICAS

PREVISTOS

77 98 76 90 63 82 72 92

81 96 74 94 65 86 74 88

79.75 97.75 73.75 91.75 65.75 83.75 71.75 89.75

RESIDUOS

-2.75 0.25 2.25 -1.75 -2.75 -1.75 0.25 2.25

Tabla 7.12 Cálculo de los residuos. Ejemplo del muelle

1.25 -1.75 0.25 2.25 -0.75 2.25 2.25 -1.75


π

Los residuos así calculados permiten comprobar si se cumplen las hipótesis del modelo, que son: independencia, normalidad, varianza constante, y pueden ser comprobadas mediante técnicas gráficas. > > >

7.8 Diseños a dos niveles bloqueados

152

La técnica del bloqueo, si bien ya ha sido introducida y utilizada en el contexto de la comparación de medias, tiene particularidades en el caso de los diseños factoriales. En ocasiones no se pueden realizar todos los experimentos elementales que componen un diseño bajo las mismas condiciones. Por ejemplo podría ocurrir que se desease realizar un experimento 24, pero sólo hubiese materia prima de la misma partida para realizar ocho experimentos y que se sospechase que la materia pudiese afectar en forma importante a la respuesta. Hay muchos motivos que podrían provocar que el experimento no se llevase a cabo bajo condiciones homogéneas. En la industria el más frecuente es que transcurra un período de tiempo largo entre la realización del primer experimento y el último y esto siempre provoca que sea difícil asegurar que no haya cambiado nada durante ese período. Pero cambios de turno, materia prima, operario, etc., son también motivos frecuentes de bloqueo. Bloquear es dividir el global de experimentos a realizar en grupos (bloques), dentro de los cuales se piensa que las condiciones bajo las que se va a experimentar son homogéneas. Para conseguir esas divisiones, se confunden interacciones, de las que en principio se piensa que no son importantes (en general, de tres o más factores), con los factores de bloqueo. La técnica es muy similar a la que se explica en el siguiente capítulo para diseñar experimentos factoriales fraccionales. Por ello, postergamos la explicación detallada hasta el apartado 8.5, en que dispondremos de una mayor base para su presentación. Baste reseñar aquí la importancia de bloquear para aumentar la precisión de los experimentos, especialmente en la industria, y dejar constancia de esa posibilidad.

π


Apéndice 7A Relación entre los algoritmos de cálculo y el método de los mínimos cuadrados En este capítulo se han detallado dos algoritmos para calcular los efectos, cuando los resultados provienen de un diseño factorial con las variables a dos niveles. Los dos, algoritmo de Yates y algoritmo de los signos, están basados en la simplificación que supone, en el caso general de la estimación de coeficientes por mínimos cuadrados (regresión lineal), el hecho de que las columnas de la matriz de diseño sean ortogonales. En este apéndice se detalla la relación entre estos algoritmos y el caso general, suponiendo que el lector está familiarizado con los aspectos básicos de la regresión lineal. Dado un conjunto de variables X1, X2, ..., Xp (variables independientes o regresoras), de las que se piensa que pueden contribuir a explicar las variaciones de una variable Y (dependiente) según el modelo: y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 +K+β p X p + ε el problema básico de la regresión lineal es estimar los coeficientes i a partir de los datos disponibles para esas variables y, por tanto, estimar el modelo anterior por medio de la ecuación: y = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 +K+b p X p + e donde las bi son las estimaciones de las βi. Estas estimaciones se realizan por el método de los mínimos cuadrados. Es decir, se eligen valores de b de tal manera que minimicen la suma de los cuadrados de los residuos (e). Llamando X a una matriz formada por las variables independientes, e Y a un vector formado por las observaciones de la variable dependiente, en la forma siguiente, 1 X11  1 X12 X = 1 X13  M M 1 X  1n

X 21 L X 22 X 23 M X 2n

X p1   L X p2  L X p3   M  L X pn 

 Y1     Y2  Y =  Y3     M    Yn 

los valores del vector b:

 b0  b   1 b =  b2   M b   p media

que minimizan las sumas de cuadrados de los residuos, vienen dados por: b = (X’X)-1X’Y. Considérese ahora la matriz de diseño completa de un 23 para las variables A, B y C: Llamémosla X. Entonces:

1 1 1 1 1 1 1 1

A -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

B

C

AB

AC

BC

ABC

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1

153

π


8 0  0 0 X' X =  0  0 0  0

0 8 0 0 0 0 0 0

0 0 8 0 0 0 0 0

0 0 0 8 0 0 0 0

0 0 0 0 8 0 0 0

0 0 0 0 0 8 0 0

0 0 0 0 0 0 8 0

0 0  0 0 0  0  0  8

Nótese que X’X es diagonal porque las columnas correspondientes a los efectos son contrastes ortogonales entre sí. Este hecho resulta de gran transcendencia, ya que esa ortogonalidad es la que provoca que las b estimadas (los efectos) sean independientes entre sí y por tanto, fácilmente interpretables. Resulta evidente que la matriz (X’X)-1 es también una matriz diagonal, pero con 1/8 a lo largo de la diagonal principal. Por tanto, la estimación b resulta: b=

1 8

X 'Y

donde Y es un vector que representa la respuesta del experimento. Explicitando las matrices resulta:

b= 154

 1   −1   −1  1  −1 8 1   1   1   −1 

1 1 −1 −1 −1 −1 1 1

1 −1 1 −1 −1 1 −1 1

1 1 1 −1 1 −1 −1 −1

1 −1 −1 1 1 −1 −1 1

1 1 −1 1 −1 1 −1 −1

1 −1 1 1 −1 −1 1 −1

1  1  1  1  1  1  1  1

 Y1  Y   2  Y3   Y4  Y = Y   5  Y6  Y   7  Y8 

que es exactamente la misma operación que se realizaba en el algoritmo de los signos, con la única salvedad de que en este caso los coeficientes se obtienen dividiendo por ocho (el número de experimentos) en lugar de por cuatro (la mitad del número de experimentos). Esto es así, como ya se ha comentado en el apartado 7.5, porque los coeficientes indican el cambio en la respuesta al cambiar una unidad la variable, mientras que los efectos estiman el cambio en la respuesta al pasar del nivel bajo (-1) al nivel alto (+1) de la variable. El lector comprobará fácilmente que en el algoritmo de Yates las operaciones son exactamente las mismas que en el algoritmo de los signos, sólo que se resulta más eficiente, ya que éstas se realizan agrupadas. Por otra parte, y dejando al margen que el método de estimación sea el mismo, conviene poner de manifiesto dos diferencias básicas entre la estimación de un modelo cuando la respuesta se ha obtenido como resultado de un experimento diseñado, y la que se obtiene cuando la respuesta y las variables se han recogido como consecuencia de las operaciones habituales: > Los peligros ya mencionados al inicio de este capítulo cuando los datos no provienen de un experimento diseñado. Inconsistencia de los datos, rango de variación de las variables limitado por el control, confusión de los efectos e imposibilidad de determinar relaciones causa-efecto (variable oculta). > Cuando los datos no provienen de un diseño factorial, las variables independientes no son, en la practica totalidad de los casos, ortogonales. Esto complica considerablemente la interpretación de los modelos resultantes.

π


Apéndice 7B Papel probabilístico normal para diseños con ocho y dieciséis experimentos y casos prácticos Papel probabilístico normal preparado para el análisis de diseños factoriales a dos niveles Las dos figuras (7B.1 y 7B.2) que presentamos a continuación representan papel probabilístico normal, que simplifica considerablemente la representación de los efectos. En ellas sólo aparecen las líneas correspondientes a la probabilidad requerida en cada caso. Así, en el papel para ocho experimentos sólo aparecen siete líneas horizontales, que están situadas precisamente en las probabilidades (7.14, 21.43, 35.71, 50.00, 64.29, 78.57, 92.86), de manera que para realizar la representación basta con ordenar los efectos de menor a mayor y representarlos secuencialmente. Las dos plantillas ahorran, por tanto, el cálculo de las probabilidades para diseños bajo ocho y dieciséis condiciones experimentales.

155

Fig. 7B.1 Papel probabilístico normal para diseños con 8 experimentos

Fig. 7B.2 Papel probabilístico normal para diseños con 16 experimentos

Representaciones de efectos provenientes de experimentos reales A continuación presentamos diversos casos reales para que el lector se familiarice con el trazado de las rectas y la forma de juzgar la significación. Siempre presentamos en primer lugar una figura con los efectos sobre el papel normal. Invitamos al lector a que ensaye diversas rectas y decida cuáles son, a su juicio, los efectos significativos. A continuación se presenta la misma figura con la recta que recomendamos, los efectos significativos y algunos comentarios. Al referirnos a los efectos lo haremos utilizando su número de orden en la representación gráfica.


π

Por supuesto, al juzgar la significación es muy importante tener en cuenta los conocimientos previos del investigador y cualquier otra información pertinente sobre el proceso en cuestión. Por razones de espacio se han omitido aquí estos aspectos, si bien en algún caso se hace referencia a la necesidad de tenerlos en cuenta. a) Con ocho condiciones experimentales Breve descripción de los casos y representación de los efectos en papel probabilístico normal Caso 1: Los efectos provienen de un Caso 2: Este experimento tenía como diseño 23, con el que se pretendía optimizar la objetivo solucionar problemas en el comporviscosidad de una emulsión. La respuesta es por tamiento de transistores causados por el proceso tanto la viscosidad. de encapsulado plástico de los mismos. El diseño era un 25-2.

156

Caso 3: En esta ocasión se trata del proceso de obtención de una emulsión polimérica utilizada como aditivo en pinturas industriales con el fin de conferirles ciertas propiedades mecánicas. El objetivo era obtener emulsiones que permitiesen aumentar al mismo tiempo la elongación (medida en %) y la resistencia (medida en N/200mm.). El experimento realizado fue un 24-1 y se consideraron las dos respuestas mencionadas, identificadas como caso 3a y caso 3b.

Fig. 7B.3 Casos 1, 2 y 3. Representación de efectos en papel probabilístico normal

π


Caso 4: Las tres respuestas de este experimento (caso 4a: densidad aparente de la pasta, caso 4b: consistencia de la pasta y caso 4c: retención de agua de la pasta) corresponden a un diseño 24-1. Con él se pretendía optimizar la formulación de cementos. Caso 5: Este caso corresponde a la optimización de la densidad del producto final en un proceso de mezclado de resinas con carga mineral. El diseño era un 23. Comentarios a las rectas trazadas y los efectos considerados como significativos en cada uno de los casos planteados. Como ya se ha comentado, por razones de concisión, nos referiremos a cada efecto por su número de orden, que corresponde al que está señalado en el eje de ordenadas.

157

Caso 4a

Fig. 7B.4 Casos 4 y 5. Representación de los efectos en papel probabilístico normal


π

Caso 1: Nótese que la recta pasa aproximadamente por el punto (0,50) y recuérdese que, tal como se han etiquetado los ejes, la probabilidad 50% corresponde al punto 4. El hecho de que los efectos 3 y 4 tengan prácticamente el mismo valor confiere a los puntos un aspecto de no alineados. Por otra parte, según como se trace la recta, el efecto 1 podría quedar claramente fuera de la misma, pero en ningún caso puede considerarse como significativo, ya que está fuera de la recta por estar demasiado cerca de cero. Obviamente los significativos son los que están fuera de la recta por estar alejados del cero. Por tanto, en este caso no hay ningún efecto que pueda ser considerado como significativo. Caso 2: La recta esta algo desplazada del punto (0,50); esto puede ser una indicación de la existencia de algún valor anómalo en los datos correspondientes a la respuesta, que se debería comprobar analizando los residuos. El efecto 1 puede considerarse como significativo, si bien por escaso margen. El efecto 7 claramente no, ya que se aparta de la recta, pero por estar más cerca del cero de lo que le correspondería.

158

Fig. 7B.5 Casos 1 y 2. Recta de efectos no significativos

Caso 3a: La situación es aparentemente clara, la recta engloba a los tres efectos centrales (3, 4 y 5) y los efectos 1, 2 , 6 y 7 son significativos. Nótese, sin embargo, que la recta está muy desplazada del punto (0,50), lo que de nuevo requiere un análisis de los residuos para aclarar la posible existencia de anomalías. Es de destacar que en este caso, a diferencia del anterior, si se diese por buena la recta se estaría admitiendo que los efectos 1 y 2, cuyo valor es -12 y -9 (aproximadamente), serían significativos, mientras que los efectos 4 y 5, que valen 8 y 11, podrían ignorarse. Este caso requiere una revisión en profundidad de todo el experimento. Caso 3b: Éste es un caso claro, en el que los efectos 1 y 2 son significativos. Caso 4a: No hay ningún efecto significativo, los dos que se apartan de la recta, el 1 y el 7, lo hacen por estar demasiado cerca del cero. Caso 4b: En esta situación hay tres efectos que son claramente significativos, el 1, el 6 y el 7, y un cuarto efecto, el 5, que resulta difícil de juzgar sin tener conocimientos adicionales sobre el sistema con el que se está experimentando. Si estos conocimientos no fuesen suficientes, habría que recurrir a realizar más experimentos para despejar las dudas (estrategia secuencial). Caso 4c: Es totalmente análogo al caso 2 ya comentado.

π


Caso 5: Es similar al caso 3b, con la diferencia de que los dos efectos significativos son en este caso positivos. Conviene destacar que en los casos 3 y 4, correspondientes a experimentos en los que se ha considerado más de una respuesta, es conveniente realizar una interpretación global tras interpretar los resultados para cada respuesta individualmente. No lo hacemos aquí, ya que el propósito es únicamente clarificar la interpretación del papel probabilístico normal.

159

Fig. 7B.6 Casos 3, 4 y 5. Recta de efectos no significativos

b) Bajo dieciséis condiciones experimentales Breve descripción de los casos y representación de los efectos en papel probabilístico normal. Caso 6: Los efectos corresponden a un diseño 25-1 donde el objetivo era optimizar los parámetros en un proceso de termofijación de entretelas. Caso 7: Los efectos corresponden a un proceso de curvado de tubos. La respuesta de interés eran las deformaciones en el diámetro interior. El diseño realizado fue un 2 6-3.


π

Caso 8: Los efectos provienen de un experimento realizado en un proceso de fabricación de papel con una máquina de doble tela. El diseño fue un 25-1 y la respuesta (a) corresponde a la resistencia longitudinal del papel y la (b) a la resistencia transversal.

160


Comentarios a las rectas trazadas y los efectos considerados como significativos en cada uno de los casos planteados. De nuevo, nos referiremos a cada efecto por su número de orden, que corresponde al que está señalado en el eje de ordenadas (figura 7B.8). Nótese que, en general, la interpretación del papel probabilístico resulta más sencilla cuando se han realizado dieciséeis experimentos que cuando sólo se han realizado ocho. Ello es debido a que al aparecer un mayor número de efectos no significativos, la recta queda mejor definida. También conviene destacar que en ninguno de los cuatro casos considerados aparecen problemas de posibles anomalías y que todas las rectas pasan, aproximadamente, por el punto (0,50) que en este caso corresponde al (0,8).

π


Caso 6: Hay un efecto claramente significativo, el 15, y otro que a nuestro juicio también lo es pero con menor seguridad, que es el 14. Para juzgar este último resultaría conveniente conocer el proceso. Caso 7: Los efectos 13, 14 y 15 son significativos, y puede haber dudas respecto al 1 (aunque nos inclinamos por considerarlo no significativo), que como siempre se deberían clarificar a partir de los conocimientos del proceso o recurriendo a la realización de nuevos experimentos. Caso 8a: Sólo el efecto 15 es claramente significativo. Al igual que en el caso anterior podría haber una ligera duda sobre el efecto 1. Caso 8b: Los efectos 14 y 15 son obviamente significativos. Nos inclinamos por considerar que, si bien en menor medida, también lo son el 1 y el 2, aunque dependiendo del significado físico de los mismos.

161


π


Ejercicios 7.1.

En un diseño factorial 23 sin réplicas, efectuado con las variables x1, x2, x3, se han obtenido las siguientes estimaciones: ESTIMACIÓN EFECTOS

x1 x2 x3

-1.91 5.25 0.45

BINARIAS

x1x2 x1x3 x2x3

-0.07 1.55 -4.07

INTERACCIÓN

x1x2x3

PRINCIPALES

INTERACCIONES

0.85

DE TERCER ORDEN

Analizar qué efectos son significativos e interpretar los resultados. 7.2.

Una fábrica de pilas de níquel-cadmio desea obtener una capacitancia lo más alta posible con los procesos de fabricación de que dispone. En un primer estudio de mejora de la calidad se seleccionaron tres macrovariables: A: Línea de producción

162

A1: Línea de producción A1 A1: Línea de producción A1 B1: Línea de montaje B1 B2: Línea de montaje B2 C1: Estación C1 C2: Estación C2

B: Línea de montaje C: Estación de proceso final

El estudio se realizó con 48 pilas (6 réplicas) con materias primas homogéneas y con el mismo aparato para medir la capacitancia final. Los resultados obtenidos fueron: capacitancia (datos codificados) A1

A2

B1

B2

B1

B2

C1

C2

C1

C2

C1

C2

C1

C2

-0.1

1.1

0.6

0.7

0.6

1.9

1.8

2.1

1.0

0.5

1.0

-0.1

0.8

0.7

2.1

2.3

0.6

0.1

0.8

1.7

0.7

2.3

2.2

1.9

-0.1

0.7

1.5

1.2

2.0

1.9

1.9

2.2

1.4

1.3

1.3

1.1

0.7

1.0

2.6

1.8

0.5

1.0

1.1

-0.7

0.7

2.1

2.8

2.5

a) Describir un mecanismo de posible aleatorización del experimento. b) Efectuar un estudio completo para determinar la influencia de las macrovariables en la calidad del producto obtenido, interpretando los resultados y sugiriendo posibles acciones a emprender en la fábrica.

π


7.3.

En un proceso de fabricación de tubos de escape para la industria del automóvil se desea optimizar la calidad de una determinada soldadura, que se realiza automáticamente en un componente de acero inoxidable. Para ello se lleva a cabo un diseño factorial 23 replicado, considerando los factores:

NIVELES

-

+

8

12

B: INTENSIDAD (AMP)

230

240

C: VELOCIDAD CADENA (M/MIN)

0.6

1

Y1 13 25 11 22 13 21 15 22

Y2 14 24 14 21 13 25 11 24

A: CAUDAL DE GAS (L/MIN)

Y se obtienen los siguientes resultados (mayor valor de la respuesta significativa implica mayor a liad) a) Constate, mediante el test estadístico que le parezca más adecuado (como se vio en el capitulo 5), que no existe diferencia significativa entre los valores obtenidos en la primera y segunda réplica. b) Calcule todos los efectos y utilice el error experimental en la medida de la respuesta para identificar cuáles pueden considerarse significativos. 7.4.

A + + + +

B + + + +

C + + + +

Se realiza un experimento para comprobar si la temperatura (x1) y la velocidad de agitación (x2) influyen en el diámetro de ciertas partículas. Para ello se lleva a cabo un diseño 22 por triplicado (el experimento fue debidamente aleatorizado). Los resultados obtenidos en dicho experimento son: EXP. NÚM.

X1

X2

1 2 3 4

+ +

+ +

DIÁMETRO DI (M)

4,16 9,86 10,14 12,68

d

0,32 10,11 9,92 12,54

2,12 10,03 9,94 12,58

2,2 10,0 10,0 12,6

Sd Sd

1,921 0,122 0,128 0,072

a) Analizar el experimento e interpretar los resultados, suponiendo que se cumplen las hipótesis del modelo. b) Dado que las varianzas bajo las diferentes condiciones experimentales son muy diferentes, parece conveniente transformar los datos.(recomendación: considerar el volumen) y analizar de nuevo el experimento. 7.5.

Se planifica un experimento para estudiar cómo se modifica la potencia de un motor de 6 cilindros al variar ligeramente las dimensiones críticas del carburador (A,B,C,D). Los datos obtenidos fueron: DIMENSIONES

RESPUESTA

A

B

C

D

+ + + +

+ + + +

+ + + +

-

(POTENCIA) 14.8 24.8 12.3 20.1 13.8 22.3 12.0 20.0

DIMENSIONES

RESPUESTA

A

B

C

D

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + + + + + +

(POTENCIA) 16.3 23.7 13.5 19.4 11.3 23.6 11.2 21.8

¿cuál es la dimensión del carburador que tiene mayor efecto en la potencia del motor?

163

π


7.6.

Se desea optimizar cierta característica de calidad y de un producto, y para ello se realiza un diseño factorial 23 en el que los factores A, B y C son las variables de las que se sospecha que pueden tener alguna influencia en y. Las posibilidades de experimentación permiten la realización de cuatro réplicas en cada condición experimental pero como sólo pueden realizarse 16 experimentos diarios, la experimentación se bloquea por día. Los resultados obtenidos son:

DÍA 1

DÍA 2

164

A

B

C

Y1

Y2

Y3

Y4

+ +

+ +

+ +

83 86 84 83

76 82 79 75

78 87 81 81

79 81 76 77

+ + -

+ +

+ +

71 74 88 94

66 70 84 87

74 72 91 91

69 68 85 88

a) Describa brevemente cómo podría aleatorizarse la realización de este experimento. Calcule los efectos. ¿Qué opinión le merece el generador del bloque elegido? b) Indique cuáles son los efectos significativos. ¿Era necesario bloquear? c) Considere que los resultados anteriores se han obtenido utilizando cuatro máquinas, correspondiendo la primera réplica a los datos de la máquina 1, la segunda réplica a los datos de la máquina 2, y así sucesivamente. ¿Podemos seguir considerando que tenemos cuatro réplicas? ¿Por qué?

8 Diseños factoriales fraccionales

8.1 Utilidad y justificaciones En el capítulo anterior se ha desarrollado en detalle el diseño, análisis e interpretación de los diseños factoriales completos. También se han comentado las ventajas e inconvenientes de su utilización, y entre estos últimos el más importante es el elevado número de experimentos que requieren. Este número crece, como resulta evidente en la notación 2k utilizada, en forma exponencial con el número de factores. No es inusual en la industria desear estudiar el efecto de 6, 7, 8 o más factores sobre una respuesta. En el caso de considerar siete factores, un diseño factorial completo exigiría la realización de 27 = 128 experimentos, y tal volumen de experimentación resulta, en la mayoría de ocasiones, prohibitivo. Los diseños factoriales fraccionales permiten estudiar un elevado número de factores en un número de experimentos mucho menor de lo que requeriría un factorial completo. 8.1.1 Justificaciones Piénsese que un diseño 27 implica realizar 128 experimentos y, por tanto, se dispone de 128 grados de libertad que permiten estimar 128 efectos que son, además de la media: > 7 efectos principales > 21 interacciones de 2 factores > 35 interacciones de 3 factores > 35 interacciones de 4 factores > 21 interacciones de 5 factores > 7 interacciones de 6 factores > 1 interacción de 7 factores En la práctica resulta extremadamente raro que aparezcan interacciones de tres o más factores que resulten ser significativas. Dicho de otra manera, en general, se obtienen modelos suficientemente aproximados considerando sólo los efectos principales y las interacciones de dos factores. Este hecho no debe resultar sorprendente: los efectos significativos engloban las características más importantes de la superficie que se está estudiando, y en la práctica resulta infrecuente que estas sean muy “rugosas”. La situación es similar a la que se produce cuando, al desarrollar una función en serie de Taylor, se trunca la aproximación en la segunda derivada. Resultaría además contradictorio

165


166

π

incluir téminos de tercer o cuarto orden en un modelo, en el que ya desde el inicio (al decidir realizar el experimento con los factores a dos niveles) se han desestimado los términos cuadráticos puros. Se puede, por tanto, prescindir de parte de la información que proporciona un diseño 27 completo y esto permite, a su vez, prescindir de la realización de algunos experimentos. Para estudiar los efectos de interés, será suficiente con realizar una parte (fracción) del diseño completo. Estos diseños reciben el nombre de: diseños factoriales fraccionales o, simplemente, diseños fraccionales. Para los diseños fraccionales se utiliza la notación 2k-p, donde 2 sigue siendo el número de niveles, k el número de factores con los que se experimentará y la letra p indica el grado de fraccionamiento (más adelante se comenta su significado específico). De tal manera que el resultado de elevar 2 a k-p indica el número de experimentos que se van a realizar. Veamos unos ejemplos: > 27-1 permite estudiar siete variables en 64 experimentos. Suponiendo que todas las interacciones de cuarto orden o superior sean cero, permitiría estimar los efectos principales y las interacciones de segundo y tercer orden. > 27-3 permite estudiar siete variables en 16 exprimentos. Suponiendo que todas las interacciones de tercer orden o superior y una parte de las de segundo orden sean cero, permitiría estimar los efectos principales y los de las restantes interacciones de dos factores. > 27-4 permite estudiar siete variables en solamente ocho experimentos. Suponiendo que todas las interacciones sean cero, permitiría estimar los efectos principales de las siete variables en cuestión. Hay otra justificación para la realización de diseños factoriales fraccionales y es que en la significación de los efectos se cumple, en general, el principio de Pareto. Cuando, sobre todo en las fases iniciales de una experimentación, se incluye un elevado número de factores se suele cumplir que unos pocos son responsables de la mayor parte de variaciones en la respuesta (escasos efectos significativos), mientras que la mayoría de factores producen cambios en la respuesta de menor cuantía (indistinguibles del ruido experimental). Cuando esto ocurre los diseños factoriales fraccionales permiten estudiar de manera completa los efectos de las variables activas. En el apéndice 8A se comenta este hecho con mayor detalle.

8.2 Ejemplo introductorio. Cinco variables en dieciseis experimentos En una investigación -en laboratorio- sobre solidez del color en tejidos se consideraron cinco variables, cada una de ellas a dos niveles, que se situaron alrededor de los habituales en el proceso de tintado. La tabla 8.1 muestra las variables y niveles. La respuesta medida es la cantidad de color dejada por la muestra, resultado del experimento, sobre un testigo y comparada con un testigo estándar. De manera que lo que se desea es hallar las condiCÓDIGO VARIABLE NIVELES ciones que minimicen la respuesta. + Esta investigación se desarrolló por medio 5.5 4.5 A Ph fijado de un diseño 25 completo. Los experimentos 801C 701C Temp. fijado B realizados (en orden aleatorio) aparecen en la 3 g/l 1 g/l Concentr. fijador C 1901C 1701C Temp. acabado D tabla 8.2 (en orden estándar) junto con la 70 seg. 50 seg. Tiempo acabado E respuesta obtenida. Como se han realizado 32 experimentos se Tabla 8.1 Variables y niveles. Ejemplo del tintado dispone de 32 grados de libertad, que permiten

π

DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONALES

EXP.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A

B

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

C

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

D

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1

E

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

RESP.

13.1 9.9 8.1 7.5 9.0 9.2 -1.0 -1.0 10.6 8.2 11.0 11.2 5.1 9.7 4.1 2.9

EXP.

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

A

B

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

C

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

D

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1

E

RESP

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

6.4 9.8 9.0 6.6 4.9 5.3 -5.1 -3.7 17.3 12.7 12.9 13.7 12.4 12.4 3.8 4.0

Tabla 8.2 Matriz de diseño y respuesta (32 experimentos). Ejemplo del tintado

estimar los siguientes 32 efectos: MEDIA

INTERACCIONES DE DOS

INTERACCIONES DE TRES

INTERACC. DE CUATRO

media = 7.5

AB = 0.0 AC = 0.9 AD = -0.1 AE = 0.1 BC = -3.5 BD = 1.4 BE = -0.5 CD = 0.6 CE = -0.8 DE = 3.0

ABC = -0.6 ABD = 0.3 ABE = 0.1 ACD = 0.3 ACE = -0.3 ADE = -0.7 BCD = 0.4 BCE = -0.5 BDE = -1.5 CDE = 0.2

ABCD = -1.1 ABCE = 0.8 ABDE = 1.0 ACDE = 0.1 BCDE = 0.2

EFECTOS PRINCIPALES

A = -0.2 B = -4.5 C = -6.0 D = 4.0 E = 0.3

INTERACCIONES DE CINCO

ABCDE = -0.4

Representando estos efectos en papel probabilístico normal se obtine la representación de la figura 8.1. En la figura 8.1 se observa claramente que hay cinco efectos significativos: B, C, D, BC y DE. Es decir se cumple el principio de la escasez de efectos. Dejamos como ejercicio para el lector la interpretación de los resultados, de acuerdo con el objetivo planteado en la investigación. Como acabamos de ver, se han podido estimar 32 efectos, si bien es cierto que ya antes de realizar el experimento había 16 efectos que considerabamos despreciables -las interacciones de tres, cuatro y cinco factores. ¿Qué hubiese ocurrido si en lugar de realizar los 32 experimentos de un 25 se hubiesen hecho sólo los 16 indicados por un 25-1? ¿Podríamos haber realizado solamente 16 experimentos, y nos hubiesen servido para estimar los efectos principales y las interaccciones de dos factores? Imaginemos que realmente se han realizado sólo 16 experimentos y que éstos han sido un subconjunto de los 32 del diseño completo. En la tabla 8.3 aparecen estos 16 experimentos. Invitamos al lector a comprobar como la respuesta coincide con la que se ha obtenido bajo esas mismas

167

π

Porcentaje


99 D 95

DE

90 80 70 60 50 40 30 20 10

BC B

5 C 1 -6

-4

-2

0

2

4

Efectos

Fig. 8.1 Efectos del ejemplo del tintado (32 experimentos) en papel probabilístico normal

EXP. NÚM.

A

B

C

D

E

RESP.

17 2 3 20 5 22 23 8 9 26 27 12 29 14 15 32

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1

6.4 9.9 8.1 6.6 9.0 5.3 -5.1 -1.0 10.6 12.7 12.9 11.2 12.4 9.7 4.1 4.0

Tabla 8.3 Matriz de diseño y respuesta (16 experimentos). Ejemplo del tintado

168

condiciones en el diseño completo; para facilitar la tarea, hemos conservado la numeración original de los experimentos. Más adelante justificaremos la elección de estos experimentos y no otros, por el momento concentrémonos en el análisis de los mismos. Nótese que los experimentos se han reordenado para que al menos en los cuatro primeros factores (A,B,C,D), el diseño aparezca en orden estándar. Al plantear el experimento 25-1 hemos renunciado voluntariamente a las interacciones de orden tres o superior. Utilicemos el algoritmo de los signos para calcular los efectos en los que estábamos interesados. Para ello, además de las columnas de la matriz de diseño que aparecen en la tabla 8.3, tendremos que calcular las correspondientes a la media y a las interacciones de dos factores. Aparecen en la tabla 8.4. MED

AB

AC

AD

AE

BC

BD

BE

CD

CE

DE

RESP

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1

6.4 9.9 8.1 6.6 9.0 5.3 -5.1 -1.0 10.6 12.7 12.9 11.2 12.4 9.7 4.1 4.0

Tabla 8.4 Columnas de signos de las interacciones de dos factores. Ejemplo del tintado (16 experimentos)

π


MEDIA

media = 7.3

EFECTOS PRINCIPALES

ITERACIONES DE DOS

A = 0.0 B = -4.4 C = -5.0 D = 4.8 E = -0.8

AB = 0.2 AC = -0.6 AD = -0.6 AE = 0.5 BC = -4.2 BD = 1.1 BE = -0.2 CD = 0.7 CE = -0.5 DE = 2.4

Porcentaje

En la tabla 8.4 se ha añadido la respuesta para facilitar la utilización del algoritmo de los signos, que una vez aplicado proporciona los efectos indicados en la siguiente tabla. Comparando estos efectos con los obtenidos utilizando 32 experimentos, se observa que, si bien no son iguales, son muy similares. De hecho las diferencias son de orden similar a las que hubiese podido provocar el ruido del experimento. Veamos cuáles resultan significativos, representándolos en papel probabilístico normal (figura 8.2). Resulta evidente que los efectos significativos son los mismos que cuando disponíamos de los 32 experimentos. Por tanto, básicamente hemos obtenido la misma información con la mitad de los experimentos. ¿Se ha perdido algo al reducir el número de experimentos? 99 D

95 90

DE

80 70 60 50 40 30 20

BC B

10 5

C

1 -5

0

5

169

Efectos

Fig. 8.2 Efectos del ejemplo del tintado (16 experimentos) en papel probabilístico normal

8.2.1 Confusión de los efectos Al calcular los efectos del 25-1 se han considerado únicamente aquellos en los que estábamos interesados: efectos principales e interacciones de dos factores. De hecho se disponía de 16 grados de libertad, provinentes de los 16 experimentos realizados, y se han estimado 16 efectos, por lo que, en principio, no es posible estimar nada más. Sin embargo, nada nos impide utilizar el algoritmo de los signos para calcular las interacciones de tercer o cuarto orden. Veamos qué ocurre si decidimos calcular, por ejemplo, la interacción ABC. La columna correspondiente se obtiene multiplicando las columnas A, B y C (tabla 8.5). Con lo que se obtiene: ABC = 2.4 Obsérvese que el valor obtenido coincide con el del efecto DE. ¿Es debido a la casualidad?; en absoluto. Nótese que la columna del algoritmo de los signos correspondiente a la interacción ABC coincide con la columna DE.

A

B

C

ABC

RESP.

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1

6.4 9.9 8.1 6.6 9.0 5.3 -5.1 -1.0 10.6 12.7 12.9 11.2 12.4 9.7 4.1 4.0

Tabla 8.5 Columna de signos de la interacción ABC. Ejemplo del tintado (16 experimentos)

π


El valor 2.4 que hemos estimado, ¿corresponde a ABC o a DE? + Veamos un ejemplo más sencillo. T Tipo de calzado Nike Adidas Supóngase que un atleta realiza un expeC Ingesti\n de cafJ No Sí rimento con las variables de la tabla 8.6 para intentar mejorar su marca en los 100 m. Y con la matriz de Tabla 8.6 Variables y niveles. Ejemplo del atleta diseño que aparece en la tabla 8.7 junto con la respuesta. Como quiera que siempre que calza Nike no toma café, mientras que siempre que calza Adidas sí lo toma, no se sabe a cuál de los T C RESP. dos factores atribuir la ganancia de dos segundos. De hecho, con la 13 seg. -1 -1 información disponible cualquiera de las siguientes explicaciones 13 seg. -1 -1 podría ser válida: 11 seg. 1 1 11 seg. 1 1 > Calzar Adidas en lugar de Nike hace ganar al atleta 2 segundos. > Tomar café hace ganar al atleta 2 segundos. > Calzar Adidas le hace ganar un segundo y tomar café otro segundo. Tabla 8.7 Matriz de diseño y respuesta. Ejemplo del atleta > Calzar Adidas le hace ganar tres segundos y tomar café le hace perder uno. La lista no es en absoluto exhaustiva, ya que las posibles interpretaciones son inagotables. Los dos efectos están confundidos. Al calcularlos se obtiene el mismo valor: CÓDIGO

170

VARIABLE

NIVELES

T

=

−13 − 13 + 11 + 11 = −2 2

C

=

−13 − 13 + 11 + 11 2

=

−2

pero en realidad lo que se está estimando es la suma de los dos efectos. Es decir, T+C. Así pues, cuando a dos efectos les corresponde la misma columna de signos decimos que están confundidos, y que el contraste lineal definido por esa columna estima la suma de sus efectos. Volvamos al ejemplo del tintado de fibras. Hemos visto que, si para estudiar cinco factores realizamos un 25 completo, podemos estimar 32 efectos, mientras que si realizamos un 25-1 solamente podemos estimar 16. ¿Que ocurre con los 16 restantes? La respuesta es sencilla, la confusión entre ABC y DE no es la única existente, los efectos están confundidos dos a dos. Una manera de averiguar cuál está confundido con cuál sería repetir el procedimiento que hemos utilizado para la interacción ABC con el resto de interacciones de tercer cuarto y quinto orden. El procedimiento sería tedioso. En el siguiente apartado se presenta un procedimiento alternativo mucho más simple.

8.3 Construcción de diseños fraccionales y cálculo de las confusiones introducidas 8.3.1 Construcción de diseños fraccionales ¿Cómo se escogieron los 16 experimentos del diseño 25-1? De hecho, no se escogieron 16 experimentos de entre los 32 del diseño completo, se construyó la matriz de diseño de la siguiente manera (tabla 8.8):

π


>

Se escribió la matriz de diseño de un 24 completo para las variables A,B,C y D. > Se escribió la columna de signos para la interacción ABCD y se asignaron esos signos a la variable E. Se confundió deliberadamente la interacción de cuarto orden, la mayor de las disponibles, con la quinta variable. Como se verá más adelante, el procedimiento es general. A esta confusión introducida para poder escribir la matriz de diseño se la denomina generador. De manera que el generador del diseño 25-1 utilizado es: E = ABCD

Tabla 8.8 Construcción de la matriz de diseño del 25-1

A

B

C

D

E ABCD

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1

8.3.2 Cálculo de las confusiones introducidas Ahora que sabemos cómo se ha construido el 25-1, veamos una manera sencilla de hallar todas las confusiones que presenta un diseño de este tipo. Para ello se define una operación entre las columnas de la matriz de diseño. La operación es la misma que hemos utilizado en el algoritmo de los signos, esto es: dadas las columnas A y B se define la columna AB como aquella que tiene en cada fila el signo correspondiente al producto de los signos de A y B en esa fila.  −1    1  −1 A=   1  −1    M

 −1    −1  1 B=   1  −1    M

 1    −1  −1 AB =    1  1    M

Utilizaremos la letra I para denotar una columna sólo de unos (+1); es la correspondiente a la media. Cualquier columna por ella misma es la columna I. AA=I. Cualquier columna por I es la columna original. AI=A. Propiedad asociativa. (AB)C = A(BC). Propiedad conmutativa. AB = BA. Si utilizando esta operación, multiplicamos ambos miembros del generador por E obtenemos la relación de definición. Generador: E = ABCD Relación de definición: EE = EABCD I = ABCDE La relación de definición está formada por todas aquellas interacciones a las que corresponde una columna con todo unos. Dicho de otra manera, está formada por todas las interacciones confundidas con la media. > > > >

171

π


La relación de definición permite hallar fácilmente cómo están confundidos los efectos, sin más que multiplicar ambos miembros por el efecto de interés. Así, para hallar con cuál esta confundida la interacción ABC: ABC(I) = ABC(ABCDE) ABC = (ABC)(ABC)DE ABC = (I)DE ABC = DE El cálculo se puede realizar fácilmente sin desarrollar todos los pasos. La tabla 8.9 muestra todas las confusiones existentes en el diseño 25-1 utilizado en el ejemplo del tintado de fibras. Nótese que, aunque utilizamos la misma notación para designar las columnas de signos que los efectos que ellas permiten estimar, ello no debe inducir a error.

RELACIÓN ENTRE COLUMNAS

PATRÓN DE CONFUSIÓN

EFECTOS ESTIMADOS

A=BCDE B=ACDE C=ABDE D=ABCE E=ABCD AB=CDE AC=BDE AD=BCE AE=BCD BC=ADE BD=ACE BE=ACD CD=ABE CE=ABD DE=ABC I=ABCDE

A+BCDE B+ACDE C+ABDE D+ABCE E+ABCD AB+CDE AC+BDE AD+BCE AE+BCD BC+ADE BD+ACE BE+ACD CD+ABE CE+ABD DE+ABC media+1/2(ABCDE)

0.0 -4.4 -5.0 4.8 -0.8 0.2 -0.6 -0.6 0.5 -4.2 1.1 -0.2 0.7 -0.5 2.4 7.2

Tabla 8.9 Patrón de confusión del 25-1. Ejemplo del tintado

8.3.3 Concepto de resolución 172

Se dice que el diseño 25-1 es de resolución V. La resolución de un diseño indica el nivel de confusiones que se presentan en la estimación de los efectos. Así, en este caso, y tal como se puede ver en la tabla 8.9, los efectos principales están confundidos con interacciones de cuatro factores y las interacciones de dos con las de tres. En general, un diseño de resolución R es aquel en el que ningún efecto de q factores está confundido con otro que contenga menos de R-q. Así, un diseño de resolución V indica que como máximo se confunden interacciones de tres factores con interacciones de dos. Si la resolución es IV se confunden interacciones de dos entre sí, o efectos principales con interacciones de tres. Si la resolución es III, se confunden efectos principales con interacciones de dos, etc. La resolución se define como la longitud del término más corto de la relación de definición (en el diseño 25-1 solo tiene uno, pero no siempre es así, como veremos en el apartado siguiente). La resolución de un diseño se denota por un número romano situado como subíndice. Así, el diseño estudiado sería: 2V5 − 1

8.4 Otros diseños fraccionales. Generalización de conceptos 8.4.1 Medias fracciones Del diseño 25-1 que ha servido para introducir los diseños fraccionales, se dice que es una media fracción, ya que implica realizar la mitad de los experimentos que hubiese requerido el completo. Resulta muy sencillo escribir medias fracciones. El procedimiento es escribir el diseño completo para el número de variables deseado y asignar la variable restante a la interacción mayor disponible. Veamos algunos ejemplos.

π


>

Diseño: 23III−1 - Escribir un 22 para las variables A y B. - El generador del diseño es: C = AB. - La relación de definición es: I = ABC. - La resolución es III. - Patrón de confusión: A + BC B + AC C + AB media + ABC.

>

Diseño: 24IV−1- Escribir un 23 para las variables A, B y C. - El generador del diseño es: D = ABC. - La relación de definición es: I = ABCD. - La resolución es IV. - Patrón de confusión: A + BCD B + ACD C + ABD D + ABC AB + CD AC + BD AD + BC media + ABCD.

En el apartado anterior se ha visto el 2V5−1. El procedimiento es general y , por tanto, sencillo 6 −1 7 −1 construir diseños 2VI , 2VII , etc. 8.4.2 Fracción complementaria El procedimiento descrito sirve para escribir media fracción. ¿Qué ocurre si deseamos escribir la otra media? Se la llama la fracción complementaria, ya que juntas reproducen el diseño completo. Una manera de hallarla sería escribir el diseño completo y seleccionar los experimentos que no estén incluidos en la media fracción original. Hay un procedimiento más sencillo; consiste en utilizar el mismo generador, pero cambiado de signo. Veámoslo en el caso del tintado de fibras. El generador sería E = -ABCD, con lo que la matriz de diseño resultante es la que aparece en la tabla 8.10, a continuación. La relación de definición es: I = - ABCDE y el patrón de confusión aparece en la tabla 8.11. Supongamos que después de haber completado una media fracción se hubiese añadido la otra, de manera que se

A

B

C

D

EABCD

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1

Tabla 8.10 Matriz de diseño (25-1) de la fracción complementaria del 25-1 inicial

173

π


dispusiese del factorial completo. Entonces se podrían estimar todos los efectos sin confusión, reanalizando los 32 experimentos, o bien obtenerlos por sumas y diferencias de los efectos estimados en cada una de las medias fracciones. La tabla 8.12 muestra esta segunda opción. Obsérvese cómo los efectos para el diseño completo concuerdan con los obtenidos en la sección 8.2 para el diseño 25, excepto el de la interacción ABCDE que, por estar confundido con la media, aparece dividido por dos.

174

RELACIÓN ENTRE COLUMNAS


EFECTOS ESTIMADOS

A=BCDE B=ACDE C=ABDE D=ABCE E=ABCD AB=CDE AC=BDE AD=BCE AE=BCD BC=ADE BD=ACE BE=ACD CD=ABE CE=ABD DE=ABC I=ABCDE

A-BCDE B-ACDE C-ABDE D-ABCE E-ABCD AB-CDE AC-BDE AD-BCE AE-BCD BC-ADE BD-ACE BE-ACD CD-ABE CE-ABD DE-ABC media-1/2(ABCDE)

-0.4 -4.6 -7.0 3.2 1.4 -0.2 2.4 0.4 -0.3 -2.8 1.7 -0.8 0.5 -1.1 3.6 7.7

Tabla 8.11 Patrón de confusión de la fracción complementaria

EFECT. 20 FR.

x1

PATRÓN DE CONFUSIÓN 20 FRACC.

0.0 -4.4 -5.0 4.8 -0.8 0.2 -0.6 -0.6 0.5 -4.2 1.1 -0.2 0.7 -0.5 2.4 7.3

A-BCDE B-ACDE C-ABDE D-ABCE E-ABCD AB-CDE AC-BDE AD-BCE AE-BCD BC-ADE BD-ACE BE-ACD CD-ABE CE-ABD DE-ABC I-1/2(ABCDE)

-0.4 -4.6 -7.0 3.2 1.4 -0.2 2.4 0.4 -0.3 -2.8 1.7 -0.8 0.5 -1.1 3.6 7.7

PATRÓN DE CONFUSIÓN 10 FRACC.

EFECT. 10 FR.

A+BCDE B+ACDE C+ABDE D+ABCE E+ABCD AB+CDE AC+BDE AD+BCE AE+BCD BC+ADE BD+ACE BE+ACD CD+ABE CE+ABD DE+ABC I+1/2(ABCDE)

EFECTOS DISEÑO COMPLETO

x2 1/2(x1+x2) A=-0.2 B=-4.5 C=-6.0 D=4.0 E=0.3 AB=0.0 AC=0.9 AD=-0.1 AE=0.1 BC=-3.5 BD=1.4 BE=-0.5 CD=0.6 CE=-0.8 DE=3.0 med=7.5

1/2(x1-x2) BCDE=0.2 ACDE=0.1 ABDE=1.0 ABCE=0.8 ABCD=-1.1 CDE=0.2 BDE=-1.5 BCE=-0.5 BCD=0.4 ADE=-0.7 ACE=-0.3 ACD=0.3 ABE=0.1 ABD=0.3 ABC=-0.6 1/2ABCDE=-0.2

Tabla 8.12 Efectos del diseño completo 25, obtenidos por sumas y diferencias de las fracciones complementarias

π


8.4.3 Diseños saturados Las medias fracciones son los diseños menos fraccionados. Veamos ahora el extremo opuesto, los diseños lo más fraccionados posible. Se denominan saturados, ya que se obtienen mediante la saturación de un completo 2k asignando a cada interacción una nueva variable, lo cual permite estudiar 2k-1 variables. Son, por tanto, diseños de resolución III. Ejemplos de diseños saturados son: 2 3III−1 Permite estudiar 3 variables en 4 experimentos. > 7− 4 > 2 III Permite estudiar 7 variables en 8 experimentos. 15 − > 2 III Permite estudiar 15 variables en 16 experimentos. Resulta evidente que, si se intentase estudiar un mayor número de variables, los diseños resultarían de resolución II. Esto es, confundirían los efectos principales entre ellos y, por tanto, resultarían de escasa o nula utilidad. Un ejemplo de diseño de resolución II es el del corredor de 100 m que se ha utilizado para introducir el concepto de confusión de los efectos. Estos diseños también se llaman diseños de efectos principales, y resultan especialmente útiles en los estadios iniciales de una investigación, cuando lo que se desea es identificar las variables activas (screening), para posteriormente, y utilizando la estrategia secuencial, estimar sus efectos y averiguar la posible existencia de interacciones entre ellas. Veamos con detalle un ejemplo de diseño 2 7III− 4. Un fabricante de tubos de escape tenía problemas en una operación de curvado y decidió llevar a cabo una investigación para hallar mejores condiciones de funcionamiento. El objetivo era múltiple; sin embargo, nos centraremos en conseguir el diámetro del tubo deseado. La máquina era nueva, lo que motivó que se identificasen como potencialmente importantes siete variables y que se conociese muy poco sobre ellas a priori. Además, se disponía de poco tiempo para experimentar. Bajo estas condiciones un diseño saturado parecía idóneo. Las variables y niveles eran los de la tabla 8.13. La matriz de diseño utilizada aparece en la tabla 8.14. Por supuesto los experimentos se llevaron a cabo en orden aleatorio y se tomaron diversas precauciones para medir el diámetro. De hecho, se realizaron cinco tubos bajo cada condición experimental (no constituyen auténticas réplicas) y la respuesta que se muestra es el promedio. CÓDIGO

A B C D E F G

VARIABLE

Presi\n mordaza Presi\n seguidor Velocidad seguidor Velocidad eje y Velocidad eje b Velocidad eje c Ajuste utillaje

NIVELES

-1

1

50 45 -5 7 7 7 2.2

60 55 +5 9 9 9 0.2

Tabla 8.13 Variables y niveles. Ejemplo del curvado

EXP. NÚM.

A

B

C

1 2 3 4 5 6 7 8

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

AB D

AC E

BC F

ABC G

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1

RESP. DIAM.

34.6 46.3 48.6 44.9 49.7 34.0 46.5 49.0

Tabla 8.14 Matriz de diseño 27-4. Ejemplo del curvado

Nótese que, tras escribir un 23 completo, se asignó una nueva variable a cada una de las interacciones disponibles. Por tanto, este diseño tiene cuatro generadores que son: D = AB

E = AC

F = BC

G = ABC

175

π


Con lo que la relación de definición es:

(productos de dos) (productos de tres) (productos de cuatro)

I = ABD = ACE = BCF = ABCG = BCDE = ACDF = CDG = ABEF = BEG = AFG = DEF = ADEG = BDFG = CEFG = ABCDEFG

La relación de definición, además de estar compuesta por los cuatro términos obtenidos a partir de los generadores, está compuesta por sus productos dos a dos, tres a tres, etc. Resulta evidente que estos productos tambien proporcionan columnas sólo de masas y que, por lo tanto, forman parte de la relación de definición. En general, un diseño 2k-p tiene p generadores y 2p términos en la relación de definición (incluyendo la I). Si no se incluye tiene 2p-1 términos. Una vez se tiene la relación de definición se puede calcular el patrón de confusión, de forma análoga a cómo se hizo anteriormente. La única diferencia es que ahora cada efecto estará confundido con 15 efectos más, cosa perfectamente razonable, ya que en 27 se pueden estimar 128 efectos; si sólo realizamos los ocho experimentos correspondientes a un 27-4, sólo podemos estimar ocho efectos y, por tanto, cada uno de ellos tiene que estimar 128/8 = 16, es decir, cada efecto tiene que estar confundido con otros 15. En este caso el patrón de confusión es:

176

A + BD + CE + ABCF + BCG + ABCDE + CDF + ACDG + BEF + ABEG + FG DEG + ABDFG + ACEFG + BCDEFG B + AD + ABCE + CF + ACG + CDE + ABCDF + BCDG + AEF + EG + ABFG ABDEG + DFG + BCEFG + ACDEFG C + ...

+ ADEF

+

+ BDEF

+

Como se ve, el patrón de confusión es, en los diseños altamente fraccionados, tedioso de calcular y escasamente informativo. Por ello, cuando el número de confusiones es muy elevado, se suele utilizar el patrón de confusión restringido, en el que sólo se representan los efectos principales y las interacciones de dos factores. En este caso es: A + BD + CE + FG B + AD + CF + EG C + AE + BF + DG D + AB + CG + EF E + AC + BG + DF F + BC + AG + DE G + CD + BE + AF En el ejemplo del tintado de fibras, los efectos se calcularon utilizando el algoritmo de los signos. Para calcular los efectos en diseños fraccionales utilizando el algoritmo de Yates, se debe proceder como si el diseño fuese el completo correspondiente al número de experimentos realizados y a continuación utilizar el patrón de confusión para identificar los efectos estimados. La tabla 8.15 muestra la utilización del algoritmo de Yates en el ejemplo de la operación de curvado. Representando los efectos en papel probabilístico normal, se obtiene la figura 8.3. Nótese que a la vista de los efectos (con sus confusiones) que han resultado significativos, y teniendo en cuenta que es extremadamente raro que la interacción entre dos factores sea significativa sin serlo el efecto principal de ninguna de ellas, hay cuatro interpretaciones posibles:

π


A

B

C

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

RESP.

34.6 46.3 48.6 44.9 49.7 34.0 46.5 49.0

(1)

(2)

(3)

80.9 93.5 83.7 95.5 11.7 -3.7 -15.7 2.5

174.4 179.2 8.0 -13.2 12.6 11.8 -15.4 18.2

353.6 -5.2 24.4 2.8 4.8 -21.2 -0.8 33.6

EFEC.

EST.

PATR. CONF.

44.2 -1.3 6.1 0.7 1.2 -5.3 -0.2 8.4

med A B AB C AC BC ABC

media A+BD+CE+FG B+AD+CF+EG D+AB+CG+EF C+AE+BF+DG E+AC+BG+DF F+BC+AG+DE G+CD+BE+AF

> > > >

Los efectos activos son: B, E y G. Los efectos activos son: B, E y BE. Los efectos activos son: E, G y EG. Los efectos activos son: B, G y BG.

Si los conocimientos previos sobre el proceso no permiten quedarse con una de ellas, se habrán de realizar más experimentos (estrategia secuencial) para aclarar la situación. En la sección 8.7 se discuten los posibles caminos a seguir. Nótese que este diseño ha permitido reducir el número de variables de las siete iniciales a tres, es decir, ha servido para realizar un screening.

Porcentaje

Tabla 8.15 Cálculo de los efectos. Algoritmo de Yates. Ejemplo del curvado

99 95 G+CD+BE+AF

90 80 70 60 50 40 30 20

B+AD+CF+EG

10

E+BC+AG+DE

177

5 1 -10

0

10

20

Efectos

Fig. 8.3 Efectos en papel probabilístico normal. Ejemplo del curvado

8.4.4 Diseños intermedios Entre las medias fracciones y los diseños saturados, existe toda una gama intermedia de diseños, que permiten realizar menos experimentos que las medias fracciones y con confusiones más favorables que los diseños saturados. Así, entre el 27-1 y el 27-4 existen el 27-2 y el 27-3. El procedimiento a seguir para su construcción es el mismo: escribir el diseño completo correspondiente al número de experimentos que se desea realizar y asignar los factores restantes a las interacciones. El problema con los diseños intermedios es que no siempre es evidente a qué interacciones hay que asignar los factores restantes para obtener diseños de máxima resolución (que son los que tienen un patrón de confusión más favorable). El criterio, intuitivamente razonable, de asignarlos a las interacciones de mayor orden disponibles no suele proporcionar el mejor diseño. Veamos un ejemplo. Supóngase que se desea estudiar los efectos de siete variables, pero que en un primer experimento (estrategia secuencial) sólo se está dispuesto a realizar 16 experimentos. Ello implica realizar un diseño 27-3. Para construirlo se parte de un diseño completo 24 y se asignan los tres factores restantes a interacciones.

π


En la tabla 8.16 aparece la matriz de diseño completa correspondiente al 24 y dos posibles asignaciones. PRIMERA ASIGNACIÓN

F

SEGUNDA ASIGNACIÓN

E

G G

F

E

EXP.

A

B

C

D

AB

AC

AD

BC

BD

CD

ABC

ABD

ACD

BCD

ABCD

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

-1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1

Tabla 8.16 Matriz de diseño completa de un 24 con dos posibles asignaciones para construir un 27-3

178

Un posible conjunto de generadores sería, siguiendo el criterio de utilizar las interacciones de mayor orden disponibles (primera asignación): E = ABCD

F = ABC

G = BCD

Con lo que la relación de definición sería: I = ABCDE = ABCF = BCDG = DEF = AEG = ADFG = BCEFG Y por lo tanto el diseño resultante es un 2 7III− 3 . Mientras que, en la segunda asignación (nótese que en este caso no se utiliza la interacción de cuarto orden), los generadores son: E = ABC

F = BCD

G = ACD

La relación de definición resultante es: I = ABCE = BCDF = ACDG = ADEF = BDEG = ABFG = CEFG Y, en consecuencia, proporcionan un diseño 2 7IV− 3 . Por supuesto, para llevar a cabo el experimento sólo son necesarias las columnas correspondientes a los factores, esto es, las correspondientes a A, B, C, D, E, F y G. En la sección 8.6 se proporcionan tablas para facilitar la construcción de diseños fraccionales de máxima resolución.

π


8.5 Bloqueo En la sección 7.8 se introducía la utilidad de bloquear los diseños factoriales completos, cuando se sospechaba que las condiciones bajo las que se iban a llevar a cabo los diferentes experimentos no eran homogéneas. Se comentaba que en la industria el motivo más frecuente para recurrir al bloqueo era el tener que llevar a cabo los experimentos a lo largo de un período dilatado de tiempo, pero que otros motivos frecuentes eran cambios de turno, de operario, de materia prima, etc. Lógicamente, lo mismo sucede con los fraccionales. Como ya se vio en los capítulos 5 y 6, bloquear resulta de utilidad cuando el efecto que provoca la falta de homogeneidad en las condiciones de realización del experimento es aditivo. Es decir, no provoca cambios en los efectos del resto de factores ni interacciona con ellos. Sólo provoca un cambio en el nivel de la respuesta, que se traduce en un cambio de nivel en la media. ¿Cómo se bloquea un diseño factorial? Para construir diseños en bloques se utiliza el mismo principio que para construir diseños fraccionales. Confundir el efecto del bloque con alguna interacción, a ser posible, de las consideradas despreciables a priori. 8.5.1 Bloqueo de factoriales completos Veamos qué ocurre (tabla 8.17) cuando un diseño 23 se divide en dos bloques, confundiendo el efecto del bloque con la interacción de tres factores. Designamos a los factores de bloqueo mediante números para distinguirlos de las variables del experimento, que siempre hemos designado mediante letras mayúsculas. Nótese que todos los experimentos del bloque I corresponden a los signos menos de la interacción ABC y todos los del bloque II a los signos más. La figura 8.4 muestra la situación. En la figura 8.4, los experimentos enmarcados en un círculo corresponden al bloque I y los normales (dentro de un cuadrado) al bloque II. Obsérvese que en cada cara del cubo hay dos experimentos de cada bloque, con lo que al calcular los efectos principales -diferencias entre las medias de las caras- el efecto bloque queda compensado. Lo mismo ocurre con las interacciones de dos factores. Esta propiedad -que no es más que una consecuencia de la ortogonalidad- se puede observar también en la tabla 8.17, imaginando que se va a aplicar el algoritmo de los signos. Por el contrario, la interacción de tres factores estará confundida con el efecto bloque, ya que el diseño se ha construido precisamente a partir de esa confusión. De hecho, el generador del diseño es:

NÚM

1

FACTORES

EXP.

A

B

C

AB

AC

BC

ABC

1 2 3 4 5 6 7 8

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1

BLOQUE

Tabla 8.17 Matriz de diseño de un 23 dividido en dos bloques

I II II I II I I II Fig. 8.4 Representación gráfica de un diseño 23 en dos bloques de cuatro experimentos cada uno

179

π


1 = ABC y la relación de definición es: I = ABC1 Con lo que el patrón de confusión resultante es el que aparece en la tabla 8.18. 3

PATRÓN DE CONFUSIÓN INCLUIDAS INTERACCIONES DE FACTOR DE BLOQUE

PATRÓN DE CONFUSIÓN DEL 2 EN 2 BLQ. DE 4 EXPERIM.

media + ABC1 A + BC1 B + AC1 C + AB1 AB + C1 AC + B1 BC + A1 ABC + 1

media A B C AB AC BC ABC + 1

Tabla 8.18 Patrón de confusión de un 23 dividido en dos bloques

Como quiera que ya se ha comentado que los factores de bloqueo no interaccionan con las variables del experimento (esas interacciones son cero), el único efecto confundido es el de la interacción ABC. En lo sucesivo, escribiremos directamente el patrón de confusión sin incluir esas interacciones. 180

8.5.2 Ejemplo de proceso químico Imaginemos que se lleva a cabo un experimento 23 con las variables siguientes y que la respuesta es la cantidad obtenida. Supóngase, además, que el experimento se debe realizar CÓDIGO VARIABLE en dos días distintos para no interferir en las necesidades de la Temperatura A B producción. Como se sospecha que esto puede influir en el Concentraci\n C Velocidad agitaci\n resultado del experimento, se decide llevar a cabo el experimento en dos bloques. El orden de experimentación dentro de cada bloque se decide aleatoriamente. Los resultados del experimento, presentados NÚM. BLOQUE en el orden de realización, aparecen en la tabla 8.19. A B C RESP. STD Calculando los efectos, se puede utilizar 41 1 -1 1 6 indistintamente el algoritmo de los signos o el de 46 -1 1 1 I 4 42 -1 -1 -1 1 Yates sin más requisito que tener en cuenta las 33 1 1 -1 7 confusiones. Se obtiene: II

5 3 8 2

-1 -1 1 1

-1 1 1 -1

1 -1 1 -1

38 43 50 55

Tabla 8.19 Matriz de diseño y respuesta. Ejemplo del proceso químico

media = 43.5 A = 9.0 B = -1.0 C = -6.0

AB = 1.0 AC = 1.0 BC = 3.0 ABC + 1 = 6.0

Representados en papel probabilístico resulta la figura 8.5.

π


Porcentaje Con lo que resulta que los efectos 99 significativos son el A, el C y la interacción ABC confundida con el efecto bloque. Supo95 A niendo la interacción de tercer orden despre90 ciable, diremos que el efecto bloque es 6, es 80 ABC + 1 decir, que la respuesta en los cuatro expe70 60 rimentos del primer bloque ha sido unifor50 40 memente seis unidades más alta que en los 30 cuatro del segundo bloque. 20 ¿Qué hubiese ocurrido en este expe10 C rimento si no se hubiese bloqueado? 5 La tabla 8.20 muestra la respuesta que 1 se hubiese obtenido, en orden estándar, si los -10 0 10 ocho experimentos se hubiesen podido reaEfectos lizar el primer día. Nótese que tanto las respuestas de la Fig. 8.5 Efectos en papel probabilístico normal. Ejemplo del proceso químico tabla 8.19 como las de la tabla 8.21 se corresponden con éstas (tabla 8.20), para lo que basta añadir 6 (el efecto bloque) a las correspondientes a experimentos realizados el segundo día. Por supuesto, el efecto bloque también esta sometido a variabilidad, y en la práctica nunca será un valor constante. La tabla 8.21 muestra los resultados obtenidos, en el orden de realización de los experimentos, al realizar el experimento en dos días diferentes y sin bloquear. Con lo que los efectos resultan:

media = 43.5 A = 9.0 B = -1.0 C = -6.0

AB = 1.0 AC = 1.0 BC = 9.0 ABC = 0.0

Que representados en papel probabilístico normal proporcionan la figura 8.6.

NÚM.

NÚM.

STD

A

B

C

RESP.

STD

A

B

C

RESP.

DÍA

1 2 3 4 5 6 7 8

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

42 49 37 46 32 41 33 44

4 6 5 3 8 1 2 7

1 1 -1 -1 1 -1 1 -1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1

46 41 32 37 50 48 55 39

1 1 1 1 2 2 2 2

Tabla 8.20 Matriz de diseño y respuesta si todos los experimentos se hubiesen realizado el primer día. Ejemplo del proceso químico

Tabla 8.21 Matriz de diseño y respuesta, experimentos realizados en días diferentes, sin bloquear. Ejemplo del proceso químico

181

π


Porcentaje 99 95 90

A

80

BC

70 60 50 40 30 20 10

C

5 1 -15

-10

-5

0

5

10

15

Efectos

Fig. 8.6 Efectos en papel probabilístico normal. Ejemplo químico realizado en dos días diferentes sin bloquear

Con lo que se hubiese llegado a la errónea conclusión de que los efectos significativos son el A, el C y el BC. 182

8.5.3 Factoriales completos divididos en más de dos bloques Si el experimento anterior se hubiese tenido que llevar a cabo en cuatro días en lugar de dos, el diseño se hubiese tenido que dividir en cuatro bloques de dos experimentos cada uno. Veamos cómo hacerlo. Para ello habrá que introducir dos generadores de bloque (en general para coseguir 2k bloques se requieren k generadores de bloque): 1 = AB 2 = AC Con lo que la matriz de diseño será la de tabla 8.22. EXP. NÚM.

1 2 3 4 5 6 7 8

FACTORES

1

2 AC

A

B

C

AB

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

BLOQUE

I II III IV IV III II I

Tabla 8.22 Matriz de diseño de un 23 en cuatro bloques de dos experimentos (un factor de bloqueo)

El criterio utilizado para asignar experimentos a bloques es que aquellos que tienen los mismos signos en los dos generadores de bloque quedan incluidos en el mismo bloque. Con estos generadores de bloques, la relación de definición queda: I = AB1 = AC2 = BC12 Y, por tanto, el patrón de confusión es: media A B C

AB + 1 AC + 2 BC + 12 ABC

π


Hay varios aspectos destacables en este patrón de confusión: En primer lugar que la interacción BC aparece confundida con 12, cuando se ha dicho que los bloques no interaccionaban. La explicación es simple: entre los cuatro bloques definidos hay tres grados de libertad (análogamente, en el caso anterior entre los dos bloques definidos había un grado de libertad) y, por tanto, se requieren tres columnas para poder estimar sus efectos. Por tanto, 12 no define una interacción entre bloques, sino que define un factor de bloqueo exactamente con las mismas implicaciones que el factor 1 o el factor 2. Por otra parte, se requiere que la interacción ABC no esté confundida con ningún efecto bloque. Dejamos al lector que averigüe las consecuencias de utilizar la interacción triple como generador de bloque. En este caso resulta sencillo hallar los generadores más apropiados, pero en general puede ser un problema complejo; por ello en la sección 8.6 se proporcionan tablas (tabla 8.25) para facilitar el bloqueo. El diseño construido es de resolución III, ya que las interacciones de dos están confundidas con efectos de un sólo “factor”, aunque en este caso sea de bloqueo. La resolución de los diseños bloqueados es, como en los fraccionales, la longitud del término más corto de la relación de EXP. FACTORES 1 2 BLOQUE DÍA OPER. definición, con la única consideración de que en NÚM. A B C AB AC los términos con interacciones entre factores de bloqueo, éstas cuentan como un solo factor. Así, el 1 -1 -1 -1 1 1 I A 1 8 1 1 1 1 1 I término AC12 tiene longitud tres. 2 1 -1 -1 -1 -1 II A 2 El diseño que acabamos de comentar sirve 7 -1 1 1 -1 -1 II para acomodar un factor (día de realización del 3 -1 1 -1 -1 1 B III 1 experimento) de bloqueo con cuatro niveles 6 1 -1 1 -1 1 III (cuatro días diferentes). O bien, para acomodar dos 4 1 1 -1 1 -1 B 2 IV 5 -1 -1 1 1 -1 IV factores de bloqueo (día de realización de experimento y operario), cada uno de ellos a dos niveles (dos días distintos, 1 y 2, y dos operarios, Tabla 8.23 Matriz de diseño de un 23 en cuatro bloques de dos experimentos (dos factores de bloqueo) A y B). La tabla 8.23 muestra cómo hacerlo.

8.5.4 Fraccionales divididos en bloques Hasta ahora hemos bloquedo diseños factoriales completos. La técnica es igualmente útil para bloquear diseños factoriales fraccionales. Cosidérese el caso en el que se desean estudiar 6 variables en cuatro bloques y solamente dieciséis experimentos. Lo que se requiere es un diseño 26-2 divido en cuatro bloques. Los generadores, que se pueden hallar en la tabla de la sección 8.6, son: E = ABC F = BCD 1 = ACD 2 = ABD Se requieren dos generadores para el fraccional y dos para los bloques. Estos generadores se podrían haber hallado por tanteo -lamentablemente no hay ninguna regla que permita hallarlos de forma sencilla-, pero hubiese resultado tedioso. En la tabla 8.24 aparece la matriz de diseño, ya dividida en bloques.

183

π


NÚM.

ABC

BCD

ACD

ABD

STD

A

B

C

D

E

F

1 8 10 15 3 6 12 13 4 5 11 14 2 7 9 16

-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

-1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1

-1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

BLOQUE

I

II

III

IV

Tabla 8.24 Matriz de diseño de un 26-2 en cuatro bloques de cuatro experimentos

La relación de definición es:

184

I =ABCE=BCDF=ACD1=ABD2 =ADEF=BDE1=CDE2=ABF1=ACF2=BC12 =CEF2=BEF2=AE12=DF12 =ABCDEF Aparentemente el diseño es de resolución IV, pero recuérdese que 12 es de longitud uno y, por tanto, los términos en los que aparece son de longitud tres, por lo que el diseño es de resolución III. El patrón de confusión que proporciona es:

CONFUNDIDO CON INTERACCIONES DE 3 O MÁS

CONFUSIONES MÁS SERIAS

media A B C D E F 1 2

AB + CE AC + BE BC + AE + DF + 12 AD + EF BD + CF CD + BF AF + DE

Como se ve, las confusiones no están repartidas uniformemente. En otros diseños la distribución puede ser mucho más irregular, por lo que, al asignar las variables del experimento a las columnas de la matriz de diseño, es conveniente tener presente el patrón de confusión, y realizar la asignación de manera que aquellos efectos que a priori parezcan más importantes les correspondan confusiones más favorables. Hallar los generadores que proporcionan diseños fraccionales bloqueados con máxima resolución no es tarea sencilla, ya que desgraciadamente no existe una regla y se han de hallar por tanteo. Por ello la tabla 8.25 de la sección siguiente proporciona los generadores para los diseños más comúnmente utilizados.

8.6 Tablas de diseños fraccionales En esta sección presentamos una tabla (tabla 8.25a y 8.25b) que proporciona los generadores para todos los diseños factoriales, completos o fraccionales y bloqueados o no, que implican la realización de 8 ó 16 experimentos. Se han omitido de la tabla los diseños compuestos por cuatro experimentos, tanto por

π


razones de espacio como de sencillez de construcción. Los diseños con 32 experimentos requerirían una tabla de gran tamaño, cuya inclusión no consideramos justificada dado lo infrecuente de su utilización. La tabla proporciona un único conjunto de generadores. Obviamente se pueden utilizar las reglas comentadas en el apartado 8.7 (a continuación) para, cambiando los signos de los generadores, obtener fracciones complementarias. Los generadores que aparecen son aquellos que proporcionan diseños con máxima resolución. Incluso, en los casos en que para un diseño se pueden encontrar varios conjuntos de generadores que producen la misma resolución, el conjunto suministrado es el que proporciona un patrón de confusión más favorable. De tal manera que en muchas ocasiones, se pueden hallar conjuntos de generadores que producen patrones de confusión del mismo tipo que el conjunto proporcionado, pero nunca mejor.

NÚM. DE EXPERIMENTOS NÚM. FACT.

3

4

8 BLQ

4 BLQ de 2 EXP.

23

2 3IV

2 3IV

1=ABC

1=AB 2=AC

2 4IV−1 D=ABC

5

6

7

16

2 BLQ de 4 EXP.

SIN

2 4III−1 D=ABC 1=AB

SIN BLQ

2 4II−1

2 V4

D=ABC 1=AB 2=AC

1=ABCD

2 5III− 2

2 5III− 2

D=AB E=AC

D=AB E=AC 1=BC

E=ABCD

2 6III− 3

2 6III− 3

2 6IV− 2

D=AB E=AC F=BC

D=AB E=AC F=BC 1=ABC

2 7III− 4

D=AB E=AC F=BC G=ABC

2 BLQ de 8 EXP.

2 V5 −1

2 5IV−1

4 BLQ de 4 EXP.

2 4IV 1=ABC 2=BCD

2 5III−1

8 BLQ de 2 EXP.

2 4III 1=AB 2=BD 3=BC

2 5III−1

E=ABC 1=BCD

E=ABC 1=BCD 2=ACD

E=ABC 1=AB 2=BD 3=BC

2 6IV− 2

2 6III− 2

2 6III− 2

E=ABC F=BCD

E=ABC F=BCD 1=ACD

E=ABC F=BCD 1=ACD 2=ABD

E=ABC F=BCD 1=AB 2=BD 3=BC

2 7IV− 3

2 7IV− 3

2 7III− 3

2 7III− 3

E=ABC F=BCD G=ACD 1=ABD

E=ABC F=BCD G=ACD 1=AB 2=BD

E=ABC F=BCD G=ACD 1=AB 2=BD 3=BC

E=ABC F=BCD G=ACD

Tabla 8.25a Diseños factoriales, completos y fraccionales, bloqueados y sin bloquear. Hasta siete factores con ocho y 16 experimentos

185

π


NÚM. FACT.

8

9

10

16 EXPERIMENTOS SIN BLQ

2

8− 4 IV

11

12

2

8− 4 III

4 BLQ de 4 EXP.

2

8− 4 III

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD 1=ABCD

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD 1=ABCD 2=BC

2 9III− 5

2 9III− 5

2 9III− 5

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD 1=AB

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD 1=AB 2=AC

−6 2 10 III

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB

186

2 BLQ de 8 EXP.

−7 2 11 III

−6 2 10 III

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB 1=AC −7 2 11 III

8 BLQ de 2EXP.

2 8III− 4 E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD 1=ABCD 2=AB 3=AC

−6 2 10 III

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB 1=AC 2=AD −7 2 11 III

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC I=AD

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=AB K=AC L=AC L=AD 1=BC 2=BD

−8 2 12 III

−8 2 12 III

−8 2 12 III

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC M=AD

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC M=AD 1=BC

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC M=AD 1=BC 2=BD

Tabla 8.25b Diseños factoriales, completos y fraccionales, bloqueados y sin bloquear. De ocho a 12 factores con 16 experimentos

π

En la tabla 8.25 aparece, además, la resolución del diseño, lo que permite prever el tipo de confusiones que proporciona un diseño determinado. Este hecho es de gran importancia, ya que entonces se puede decidir si es conveniente cambiar el número de factores (añadir o suprimir alguno), el número de bloques, o incluso si es posible disminuir el número de experimentos o conviene aumentarlo, para conseguir el tipo de confusión deseada.


13 FACTORES

14 FACTORES

15 FACTORES

−10 2 14 III

−10 2 15 III

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC M=AD N=BC

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC M=AD N=BC O=BD

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC M=AD N=BC O=BD P=CD

−9 2 13 III

−10 2 14 III

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC M=AD N=BC 1=BD

E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC M=AD N=BC O=BD 1=CD

2

SIN BLQ

2 BLQ

de 8 EXP.

13 − 9 III

Tabla 8.25c Diseños factoriales, completos y fraccionales, bloqueados y sin bloquear. De 13 a 15 factores con 16 experimentos

8.7 Estrategia secuencial utilizando diseños fraccionales Los diseños fraccionales permiten explotar al máximo la estrategia secuencial en la experimentación y, en muchas ocasiones, conseguir la información deseada con un menor número de experimentos La idea de comenzar una investigación realizando un número de experimentos del orden del 40% del total disponible, adquiere especial relevancia cuando se conocen y utilizan los diseños fraccionales. Ahora bien, la utilización de esta estrategia plantea la necesidad de saber, a la vista de las conclusiones extraídas en un primer experimento, cuál es el siguiente experimento a realizar, de forma que dé respuesta a las cuestiones que hayan quedado pendientes y se aprovechen los concimientos adquiridos en el primero. En esta sección comentamos una serie de cuestiones que, además de poder resultar de utilidad al aplicar la estrategia secuencial, contribuirán, sin duda, a desarrollar una mejor comprensión de los temas ya tratados. Antes, sin embargo, queremos dejar constancia de que los caminos a seguir en una investigación son múltiples y no hay ninguno que a priori se pueda considerar el mejor. Con frecuencia, sólo al concluir la investigación se puede afirmar cuál hubiese sido el camino que, con menor esfuerzo, nos hubiera conducido a las conclusiones correctas. Ésta es precisamente la justificación para la utilización de la estrategia secuencial poder corregir el camino a medida que se avanza por él. Es por ello que lo

187


π

comentado en esta sección son cuestiones que pueden resultar de utilidad, pero que en ningún caso pueden reemplazar la creatividad y los conocimientos sobre el sistema estudiado por el investigador. 8.7.1 Advertencias Los métodos y técnicas que se exponen a continuación están basados en la idea de que el investigador utilizará las mismas variables a los mismos niveles en la fracción añadida y en la original. Obviamente esto no tiene por qué ser así. Es más, en la mayoría de ocasiones, el análisis de los resultados del primer experimento permitirá descartar alguna variable, aconsejará cambiar los niveles de otras, o señalarán la necesidad de incluir alguna nueva variable que inicialmente no se tuvo en cuenta. Cuando sea así, se pueden analizar los resultados de cada experimento por separado y luego extraer conclusiones conjuntas de todos ellos, pero si se deseasen analizar los resultados de todos los experimentos conjuntamente, la forma de proceder es recurrir a la regresión lineal (método que queda excluido del ámbito de este libro). Siempre que, utilizando la estrategia secuencial, se realizen experimentos con el mismo sistema de forma consecutiva, hay que tener en cuenta la posibilidad de que entre el primer y el segundo experimento se hayan producido cambios en el sistema, quizá no detectados por el investigador, pero que afecten a la respuesta. En otras palabras, hay que tener en cuenta la posible existencia de un efecto bloque entre el primer y el segundo experimento.

188

8.7.2 Fracciones complementarias En el ejemplo del tintado de fibras se vio que, combinando las dos medias fracciones (25-1), se conseguía reproducir el diseño 25 completo. Y se comentó una manera fácil de obtener la media fracción complementaria: cambiar de signo el generador. Esto es siempre posible, aun cuando los diseños sean mucho más fraccionados. El procedimiento es sencillo: basta con cambiar de signo los generadores del diseño fraccional original para obtener nuevas fracciones de la misma familia. Según la notación empleada, un diseño 2k-p es una fracción 1/2p del diseño completo y su construcción requiere p generadores. Pues bien, para generar las 2p fracciones que unidas reconstruyen el diseño completo, basta con considerar que cada uno de los p generadores se puede escribir con signo + y con signo -, y escribir los 2p conjuntos de p generadores resultado de combinar los signos. Veamos un ejemplo. Supongamos que tras realizar un 26-3 (los ocho experimentos de este diseño representan 1/8 de los 64 experimentos del diseño completo) con generadores: D = AB FRACCIÓN GENERADORES E = AC 1 F=BC E=AC D=AB F = BC 2 F=BC E=AC D=-AB 3 4 5 6 7 8

D=AB D=AB D=-AB D=-AB D=AB D=-AB

E=-AC E=AC E=-AC E=AC E=-AC E=-AC

F=BC F=-BC F=BC F=-BC F=-BC F=-BC

Tabla 8.26 Los ocho conjuntos de tres generadores que proporcionan diseños 26-3

obtenidos a partir de la tabla 8.25, se desea añadir ocho experimentos más (una nueva fracción 26-3), de tal manera que juntas proporcionen un diseño 26-2. Además de la fracción realizada inicialmente, hay otras siete fracciones que representan un octavo del diseño completo. En la tabla 8.26 aparecen los generadores que permiten construirlas. Considerando conjuntamente los ocho diseños que proporciona la tabla 8.26 se obtendría un 26 completo.

π


Con cualquier conjunto de generadores de los que aparecen en la tabla 8.26 conseguiríamos nuestro propósito. Consideremos el de la fracción número 5. ¿Cúal sería la relación de definición del diseño 26-2 resultante? La relación de definición de la primera fracción es: I = ABD = ACE = BCF = BCDE = ACDF = ABEF = DEF La de la segunda fracción es: I = -ABD = -ACE = BCF = BCDE = -ACDF = -ABEF = DEF Para obtener la del diseño combinado, no hay más que recordar que cada término de la relación de definición significa que, multiplicando los signos de las columnas de cada una de las letras que lo compone, se obtiene una nueva columna sólo con signos más. Resulta entonces evidente que la relación de definición del disño 26-2 obtenido será: I = BCF = BCDE = DEF Es decir, estará compuesta por aquellos términos que tengan el mismo signo en las relaciones de definición de las dos fracciones. El diseño 26-2 obtenido es, pues, de resolución III, mientras que, si se hubiese planificado de entrada un 26-2 se hubiese podido escoger de resolución IV. Aunque no siempre, en muchas ocasiones éste es el precio que se paga por el hecho de utilizar la estrategia secuencial. A cambio, no hay que olvidar que la segunda fracción la hemos escogido entre siete posibles, y que cada una de ellas proporciona para el diseño combinado una relación de definición diferente y, por tanto, un patrón de confusión diferente. Como la elección se realiza sabiendo los resultados de la primera fracción, siempre se puede añadir una segunda que proporcione un patrón de confusión conjunto para aclarar los puntos conflictivos. Cuando se desea añadir una fracción para clarificar confusiones entre los efectos significativos detectados en una primera fracción, hay unas reglas que pueden resultar de utilidad. En los diseños de resolución III, al añadir una nueva fracción obtenida de la siguiente forma: > Multiplicando por -1 (cambiar de signo) los signos de una columna correspondiente a una variable, se obtiene un diseño combinado en el que esa variable y todas las interacciones de dos en las que esté involucrada están confundidas con interacciones de orden superior. Ejemplo: Considérese el caso del curvado 2 7III− 4 , en el que los generadores eran: D = AB, E = AC, F = BC y G = ABC y la relación de definición: I = ABD = ACE = BCF = ABCG = BCDE = ACDF = CDG = ABEF = BEG = AFG = DEF = ADEG = BDFG = CEFG = ABCDEFG que proporciona el patrón de confusión restringido:

*

* *

A + BD + CE + FG B + AD + CF + EG C + AE + BF + DG D + AB + CG + EF E + AC + BG + DF F + BC + AG + DE G + CD + BE + AF

189

π


Se han marcado con un asterisco los que resultan significativos. A la vista de esto, las interpretaciones posibles son: - Los efectos activos son: B, E y G. - Los efectos activos son: B, E y BE. - Los efectos activos son: E, G y EG. - Los efectos activos son: B, G y BG. Para aclarar la situación se podría llevar a cabo una nueva fracción 27-4, cambiando los signos de alguno de los tres efectos principales (B, E o G). Supongamos que cambiamos los de B. Los generadores de la nueva fracción serían D = -AB, E = AC, F = -BC y G = -ABC, y la relación de definición conjunta de las dos fracciones (obtenida tomando sólo aquellos términos que tengan el mismo signo en las dos fracciones): I = ACE = ACDF = CDG = AFG = DEF = ADEG = CEFG que proporciona el siguiente patrón de confusión restringido (nótese que sólo aparecen 14 efectos. De los dos restantes, uno estima la media y sus confusiones, y el otro interacciones de orden superior):

190

A + CE + FG B C + AE + DG D + CG + EF E + AC + DF F + AG + DE G + CD + AF

AB AD + CF + EG BC BD BE BF BG

Obsérvese que se ha conseguido la propiedad deseada. Obsérvese también que, casi con toda seguridad, se solventarían los problemas de interpretación planteados en la primera fracción. > Multiplicando por -1 (cambiar de signo) los signos de todas las variables, se obtiene un diseño combinado de resolución IV. Es decir, un diseño en el que los efectos principales sólo están confundidos con interacciones de orden tres o superior. Ejemplo: En el mismo caso del curvado, cambiando de signo todos los factores, la segunda fracción tendría como generadores: D = -AB, E = -AC, F = -BC y G = ABC, y la relación de definición del diseño combinado sería, por tanto: I = ABCG = BCDE = ACDF = ABEF = ADEG = BDFG = CEFG Con lo que claramente el diseño combinado es de resolución IV y proporciona el siguiente patrón de confusión restringido (de nuevo aparecen únicamente catorce efectos, los dos restantes estiman la media e interacciones de orden superior): A B C D E F G

AB + CG + EF AC + BG + DF AD + CF + EG AE + BF + DG BC + AG + DE BD + CE + FG CD + BE + AF

También este diseño hubiese servido para aclarar las dudas planteadas tras el analisis del ejemplo del curvado.

π


Como ya se ha comentado, estas reglas únicamente son aplicables a los diseños de resolución III. En los diseños de resolución IV, las reglas son distintas. Al añadir una fracción de la siguiente forma: > Multiplicando por -1 (cambiar de signo) los signos de una columna correspondiente a una variable, se obtiene un diseño combinado en el que todas las interacciones de dos en las que esa variable esté involucrada están confundidas con interacciones de orden superior. > Si todos los términos de la relación de definición son de longitud cuatro, multiplicar por -1 (cambiar de signo) los signos de todas las variables reproduce la fracción original y, por tanto, no tiene ninguna utilidad. Ahora bien, si en la relación de definición, además de terminos de longitud cuatro, hay términos más largos, entonces al cambiar de signo todas las columnas se obtiene un diseño combinado de resolución superior a IV. Es decir, un diseño en el que las interacciones de dos no están confundidas entre ellas. 8.7.3 Efecto bloque al añadir fracciones Como ya se ha comentado, al añadir una segunda fracción hay que tener en cuenta la posible existencia de un efecto bloque entre el primer y el segundo experimento. Considérese de nuevo el ejemplo del tintado. En la sección 8.2 se describe un primer diseño 25-1 y en la sección 8.4 se describe cómo se le añade la fracción complementaria (un nuevo 25-1). Recordando que para la estimación de la media utilizamos el símbolo I (la columna sólo con +1), en la tabla 8.12 vemos que en las dos fracciones la media (I) está confundida con ABCDE. Pero en forma distinta, ya que en la primera fracción es I + ABCDE y en la segunda es I - ABCDE. Si se piensa que puede haber un efecto bloque entre las dos fracciones, lo que en realidad se está pensando es que las dos medias pueden ser diferentes. Llamemos I1 a la de la primera fracción y I2 a la de la segunda. Entonces la tabla 8.27 resume la situación y los efectos hallados (tomados de la tabla 8.12). El efecto bloque vendrá dado, en consecuencia, por la diferencia entre la media de la primera fracción I1 y la media de la segunda I2 (efecto bloque = I1 - I2 ). Nótese que estará confundido con la interacción ABCDE, ya que al hacer la diferencia entre la estimación de la primera y la segunda fracción obtenemos: (I1 - I2) + 2(ABCDE) = -0.4 no pudiendo separar el efecto bloque de la interacción ABCDE. Por supuesto, si los diseños que se combinan están más fraccionados, el efecto bloque estará confundido con más interacciones. Así, si consideramos el caso de combinar dos diseños 25-2, tendríamos la situación de la tabla 8.28.

FRACCIÓN


EFECTO

GENERADORES

RELACIÓN DE DEFINICIÓN

10

I1 + ABCDE

7.3

1

25-2

D = AB, E = AC

I1 = ABD = ACE = BCDE

20

I2 - ABCDE

7.7

2

25-2

D = AB, E =-AC

I2 = ABD = -ACE = -BCDE

Tabla 8.27 Patrón de confusión (ejemplo del tintado) considerando un posible efecto bloque entre las dos fracciones

DISEÑO

Tabla 8.28 Generadores y patrón de confusión de dos diseños 25-2 realizados secuencialmente

191


π

Y por tanto el efecto bloque (I1 - I2) estaría confundido con las interacciones ACE y BCDE. De hecho la confusión vendría dada por: (I1 - I2) + 2(ACE) + 2(BCDE) 8.7.4 Adición de experimentos para conseguir clarificaciones puntuales

192

En ocasiones, tras la realización de un diseño fraccional, no se desea ni añadir variables, ni cambiar los niveles, ni realizar una nueva fracción con todos los factores, sino realizar el mínimo de experimentos que permitan aclarar algún aspecto (en general una confusión) que haya quedado oscuro, o simplemente confirmar frente a una confusión que el responsable de la significación es el efecto sospechado. Se ha comentado ya que cada experimento realizado supone un grado de libertad y permite, en consecuencia, estimar un efecto. Ello significa que si únicamente se desea eliminar la confusión entre dos efectos, PATRÓN DE CONFUSIÓN EFECTO con un experimento que permita estimar uno de ellos libre de la media 44.2 confusión con el otro tendríamos suficiente para conseguir B+AD+CF+EG 6.1 nuestro propósito. En la práctica necesitaremos dos E+AC+BG+DF -5.3 experimentos adicionales, ya que utilizaremos uno de los G+CD+BE+AF 8.4 grados de libertad para estimar un posible efecto bloque. Consideremos de nuevo el ejemplo del curvado. Tras el análisis se había hallado que los efectos significativos eran los Tabla 8.30 Efectos significativos, con sus de la tabla 8.30. confusiones, en el ejemplo del curvado Si aceptamos la idea de que es muy difícil que la interacción de dos factores sea significativa sin que lo sean los efectos principales de los factores que la componen (apéndice 8.2), la explicación más creíble -ya comentada en elapartado 8.4- es que los responsables sean los factores B, E y G, o sus interacciones. Frente a esta situación hay muchas maneras de proceder para resolver las dudas. Algunas de ellas son: > Añadir una nueva fracción 27-3 como se ha comentado en este mismo apartado. > Experimentar con estas tres variables (23), manteniendo o no los niveles. > Experimentar con dos de estas tres variables, realizando un 22 completo. > Experimentar con estas tres variables más alguna nueva que haya podido surgir en el transcurso de la investigación. > Añadir el mínimo número de experimentos que permitan clarificar la situación. En cada caso el investigador deberá escoger entre estas y otras opciones aquella que mejor se adapte a sus necesidades. Supongamos que en este caso la escogida es la última, sin que ello signifique que sea la mejor opción. De hecho, en este caso concreto, realizando un 22 completo con dos variables de las tres implicadas, se obtiene el mismo número de experimentos y una mayor sencillez de análisis. De todas formas, el objetivo es describir un procedimiento que sea general y aplicable a muchas otras situaciones. Como se desean deshacer tres confusiones (B+EG, E+BG y G+BE), el mínimo número de experimentos que permite clarificar la situación (permitiendo detectectar la posible existencia de un efecto bloque) es de cuatro. Se podrían haber deshecho todas las confusiones existentes entre los efectos significativos, pero esto hubiese requerido 10 experimentos. Para escoger estos cuatro hay que tener en cuenta dos cuestiones:

π


> >

Que los efectos que se desea desconfundir tengan signos (niveles) diferentes. Que considerando la totalidad de experimentos (los ya realizados y los que se añaden), la matriz de diseño sea lo más ortogonal posible. En general, no será ortogonal, pero algunas elecciones proporcionan A C D F B E G BE BG EG correlaciones entre los coeficientes -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 menores (“matriz más ortogonal”) -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 que otras (“matriz menos ortogonal”). 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Así, en el caso que nos ocupa, un posible conjunto de cuatro experimentos que cumple la primera cuestión es el de la Tabla 8.31 Cuatro experimentos para deshacer las confusiones. tabla 8.31. Caso del curvado Nótese que las cuatro variables, A, C, D y F, que habían resultado inertes, se mantienen constantes, en este caso al nivel alto. En general, se mantendrán a aquel nivel que resulte más económico o conveniente. También conviene destacar que no debe preocupar el hecho de que, en los experimentos añadidos, haya confusiones entre los efectos. Como el número que se añade suele ser muy pequeño, este hecho es inevitable. A este respecto, lo único importante es que las columnas correspondientes a los efectos entre los que se desea eliminar la confusión tengan signos distintos. En la tabla 8.31 resulta fácil comprobar que esto ocurre y que, por supuesto, los signos de BE, BG y EG se han obtenido multiplicando convenientemente los de B, E y G. Sin embargo, es posible añadir cuatro experimentos que permiten estimar los efectos de interés con menor correlación entre ellos. En la tabla 8.32 aparecen estos cuatro experimentos. A

C

D

F

B

E

G

BE

BG

EG

RESP.

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

-1 1 -1 1

-1 -1 1 1

-1 1 1 -1

1 -1 -1 1

1 1 -1 -1

1 -1 1 -1

45.5 43.1 33.0 46.4

Tabla 8.32 Cuatro experimentos adicionales que producen estimaciones poco correlacionadas. Caso del curvado

La correlación entre B y EG, E y BG, y G y BE es menor, ya que en los cuatro experimentos añadidos los signos de estas tres parejas de columnas (que en los ocho experimentos iniciales eran exactamente iguales) son totalmente contrarios. No siempre es posible conseguirlo completamente, pero conviene tener en cuenta que las columnas entre las que se desea eliminar la confusión tengan el máximo número de signos opuestos en los experimentos añadidos. En la tabla 8.32 aparece, además, la respuesta correspondiente a los cuatro experimentos que, por ser más ortogonales, se realizaron. El problema que surge es cómo incorporarlos a los ocho anteriores para obtener una estimación de los efectos de interés. Esto se puede conseguir siempre (si bien en aquellos casos en que la correlación entre los efectos sea muy elevada, se pueden plantear problemas de cálculo al invertir la matriz X’X) por el método de los mínimos cuadrados (en el apéndice 7A aparece una breve descripción). Un método alternativo es plantear un sistema de ecuaciones con la información disponible. De los ocho primeros experimentos hemos aprendido que los factores A, C, D y F son inertes y que:

193


π

B + EG = 6.1 E + BG = -5.3 G + EB = 8.4 A partir de los cuatro experimentos adicionales podemos plantear las cuatro ecuaciones siguientes: I2 + 1/2(- B - E - G + BE + BG + EG) = 45.5 I2 + 1/2(+ B - E + G - BE + BG - EG) = 43.1 I2 + 1/2(- B + E + G - BE - BG + EG) = 33.0 I2 + 1/2(+ B + E - G + BE - BG - EG) = 46.4 donde I2 representa la media de este segundo bloque de cuatro experimentos añadidos y los efectos están multiplicados por 1/2 para que, tal como se explica en la sección 7.7, representen lo que cambia la respuesta al cambiar una unidad el nivel. Resolviendo el sistema planteado de siete ecuaciones con siete incógnitas, se obtiene que:

194

I2 = 42.00 B = 5.80 E = -4.95 G = 0.25 BE = 8.15 BG = -0.35 EG = 0.30 Y, por tanto, la confusión queda deshecha, ya que claramente los efectos significativos son el B (presión del seguidor), el E (velocidad del eje b) y su interacción. La media de los primeros ocho experimentos era I1 = 44.2, por lo que no está claro si se ha producido un descenso de nivel o puede ser atribuible al ruido, pero en cualquier caso no afecta a las conclusiones. En este ejemplo no había, tras los primeros experimentos, ningún efecto no confundido que fuese significativo. Si lo hubiese habido naturalmente se tendría que haber incorporado a las ecuaciones. Por ejemplo, si el efecto de A hubiese sido 12, en las ecuaciones hubiese tenido que añadirse un término 1/2(A), es decir, 6. Con signo + en aquellas ecuaciones correspondientes a experimentos en los que A hubiese estado a nivel alto (todos en este caso) y signo - en caso caso contrario. Entonces cobra sentido incorporar I2 a las ecuaciones, ya que en el ejemplo descrito, el valor de I2 coincide con el promedio de los cuatro experimentos añadidos.

π


Apéndice 8A Teoría de la proyección Se ha comentado en la sección 8.1 que una de las justificaciones para la utilización de los diseños fatoriales fraccionales es el cumplimiento del principio de Pareto respecto al tamaño de los efectos. El principio es aplicable a la situción, frecuente en la industria, de tratar de encontrar entre los muchos factores que pueden afectar a una respuesta los pocos que, en general, la afectan apreciablemente. En estos casos se suelen utilizar diseños altamente fraccionados (de resolución III), que provocan patrones de confusión complejos. Relacionada con este principio está la teoría de la proyección de diseños fraccionales. En esencia, esta teoría dice que, cuando tras realizar y analizar un diseño fraccional con k factores, uno resulta inerte, es como si se hubiese realizado un experimento con solo k-1 factores (y el mismo número de experimentos) y, por tanto, se hubiese utilizado un diseño menos fraccionado. Para ver con más detalle la idea de proyección, supongamos que de los k factores considerados sólo un subconjunto pequeño de tamaño d desconocido, cuya identidad también es desconocida, serán activos (producirán efectos principales e interacciones apreciables) y que los restantes k-d serán inertes. En estos casos, si se trabaja con diseños 2k-p y al analizar los resultados se comprueba que varios factores son inertes, el diseño resultante en los factores activos puede tener un patrón de confusión mucho más favorable que el diseño original. Como ilustración consideremos el caso de un 23-1 con factores A, B y C. Si una de las tres variables resulta ser inerte, cualesquiera que sea, el diseño proporciona un diseño 22 completo en las dos variables activas (ver figura 8A.1). Sobre la relación de definición, el efecto de eliminar un factor que ha resultado ser inerte es el de suprimir todos los términos en los que éste aparecía. Así, en el 23-1 la relación de definición es I = ABC, por lo que al eliminar cualquier factor la relación de definición desaparece, indicando que el diseño “proyección” es un factorial completo. En general al proyectar (eliminar los factores que han resultado inertes) se pueden obtener diseños factoriales fraccionales (replicados o no) o diseños factoriales completos (replicados o no), dependiendo del diseño de partida y de los factores que resulten inertes. Los diseños de resolución R se proyectan como factoriales completos en cualquier subconjunto de R-1 factores. Así: > el 23-1 es de resolución III y se proyecta como un completo en cualquier subconjunto de dos variables. > un 27-3 de resolución IV se proyecta como un factorial completo 23 (replicado) en cualquier subconjunto de tres variables. > un 215-11 de resolución III se proyecta como un factorial completo 22 (replicado cuatro veces) en cualquier subconjunto de dos variables. De hecho, es posible ir más allá de lo enunciado, ya que este mismo diseño 215-11 se proyecta como un factorial completo 23 (replicado) en 420 de los 455 subconjuntos posibles de tres variables, y como un factorial completo 24 en 840 de los 1365 subconjuntos Fig. 8A Proyección de un diseño 23-1 en tres diseños 23 completos posibles de cuatro variables.

195


π

El problema que se plantea en todo lo expuesto es que, al proyectar un diseño altamente fraccionado, se está dando por supuesto que los factores cuyo efecto principal no es importante no interaccionan con los demás. Recuérdese que las interaccionas de dos factores estarán, en general (resolución III), confundidas con los efectos principales y, por lo tanto, es obligado admitir que son indistinguibles del ruido sin ningún tipo de comprobación, si se desea eliminar ese factor. Por este motivo, la teoría de la proyección resulta más util como justificación para la utilización de diseños fraccionales que como herramienta práctica al analizarlos. A continuación, en el apéndice 8B, se expone una posible justificación para su utilización en la práctica.

Apéndice 8B Significación de las interacciones de dos factores

FACTOR B

Al interpretar los resultados de diseños factoriales fraccionales, especialmente si son de resolución inferior a V, se plantea el problema de tener que decidir si es factible que una interacción de dos factores que esté confundida con otras interacciones de dos o incluso con algún efecto principal sea significativa. Una consideración que puede ayudar a resolver las dudas es la siguiente: es raro que aparezca una interacción +1 X4 X3 de dos factores significativa sin que lo sea por lo menos uno de los efectos principales de los dos factores que la componen, y extremadamente raro sin que los sea ninguno de ellos. Veamos estas dos situaciones a través de un ejemplo +2 X2 sencillo. Supongamos que al representar la interacción de X1 dos factores A y B obtenemos el gráfico de la figura 8b.1, donde X1, X2, X3 y X4 representan la media de las respuestas -1 FACTOR A +1 obtenidas bajo las condiciones de A y B indicadas. A la vista del gráfico, está claro que los efectos son:

196

Fig. 8B

A=

− X1 + X 2 − X3 + X 4 2

B=

− X1 − X 2 + X3 + X 4 2

AB =

X1 − X 2 − X3 + X 4 2

Y, por lo tanto, para que A = 0 y AB ≠ 0, se debe cumplir que: X2 + X4 = X1 + X3 X1 + X4 X2 + X3 Cosa que ocurre, por ejemplo, cuando:

π


X1 = 50 X2 = 40 X3 = 10 X4 = 20

10

20

50

40

Estos casos son relativamente raros. Ya que, además de que el efecto de una variable tiene que cambiar de signo al cambiar el nivel de la otra, éstos se han de compensar. Piénsese en la forma de la superficie de respuesta que valores de este tipo implican. Con todo, el caso anterior se presenta en la práctica con cierta frecuencia, incluso mayor de lo que la intuición parece indicar. Lo que es extremadamente raro es el segundo caso mencionado, es decir, que ninguno de los dos factores tenga efecto significativo y sí lo tenga su interacción. Para que esto ocurra (A=0, B=0 y AB0) debe suceder que: X2 + X4 = X1 + X3 X1 + X2 = X3 + X4 X1 + X4 X2 + X3 Cosa que ocurre, por ejemplo, cuando: X0 = 50 X1 = 40 X2 = 10 X3 = 20

10

20

50

40

197

Como se ve, esto implica haber escogido los niveles de las variables de forma tal que la zona de la superficie de repuesta hallada sea realmente particular. Estos criterios han sido los utilizados en el ejemplo del curvado de la sección 8.4 para decidir cuáles eran las interpretaciones más probables de los resultados hallados.

9 Introducción a la metodología de superficie de respuesta

En los capítulos 7 y 8 se han expuesto las técnicas de diseño y análisis de experimentos, que permiten al experimentador seleccionar aquellos factores que influyen en una determinada característica de calidad, y los niveles de los mismos que optimicen tal característica en la región donde se haya experimentado. En la práctica, el experimentador desea extender estos objetivos a otras regiones de experimentación y se pregunta: ¿qué factores influyen en la característica en general?, ¿cuál es la región óptima?, ¿cómo se relacionan los factores con la respuesta en esta región? En este capítulo presentaremos técnicas que comprenden lo que se denomina metodología de superficie de respuesta (MSR), que permitirán encontrar la región de interés y contestar a las anteriores preguntas en esta región.

9.1 Introducción. Necesidad de los modelos Uno de los deseos más fuertes que a lo largo de la historia ha mostrado la humanidad es el de modelar la realidad, es decir, el de encontrar funciones matemáticas que expliquen los distintos fenómenos de índole física, social, económica, etc. Este deseo de encontrar modelos responde principalmente a las dos aplicaciones más inmediatas que se pueden derivar de ellos: a) La capacidad de predecir o explicar el valor de cierta respuesta Y una vez conocidos los valores de ciertas variables X1, X2,..., Xk. b) El hecho de poder seleccionar aquellas condiciones de los factores X1, X2,..., Xk que permitan optimizar la respuesta Y. Aunque, como veremos en el capítulo 10, conocer el modelo ayuda también a: c) Determinar aquellas condiciones de los factores X1, X2,..., Xk en que la respuesta sea más robusta o insensible al efecto de variaciones en factores que no son controlados por el experimentador (tales factores se denominan factores ruido). En la práctica, es muy difícil intentar resolver este problema de buscar un modelo único, si no utópico. En su lugar, se intenta aproximar tales relaciones de forma local a través de funciones polinómicas de primer y segundo orden. Además, el análisis de estas aproximaciones permitirá, como se verá más adelante, localizar la región óptima de una manera secuencial.

201

π


La figura 9.1 refleja la utilidad del uso de aproximaciones locales para abordar la relación teórica de la respuesta. En esta figura se ha representado con curvas de nivel una supuesta relación entre cierta característica Y, y dos factores ξ1 y ξ2, en un amplio rango de variación de estos dos factores. Aunque la mejor función que expresa tal relación en toda la región es una función complicada, en la región R1 podría aproximarse dicha relación mediante un modelo lineal, ya que el incremento de la respuesta parece ser lineal en tal región. Sin embargo, en la zona R2 cercana al máximo, la superficie ya presenta evidencia de curvatura y, por lo tanto, la aproximación local se ha de hacer con modelos que incluyan términos cuadráticos. Fig. 9.1 Relación entre una característica Y con dos factores ξ1 y ξ2 a través de las curvas de nivel En la práctica, generalmente nunca se obtendrá “el modelo” que rige la relación existente para cualquier combinación de los factores, sino que se obtendrán aproximaciones locales a tal modelo en diferentes regiones de los factores. 202 GRADO DE DESCONOCIMIENTO

f   ξ  θ   

OBJETIVO

•

• f   θ 

f    θ 

•

• •

ESTADO

NOMBRE DESCRIPTIVO

Determinar el subconjunto ξ de las Eliminación de variables variables importantes de un conjunto X grande de variables poten- Diseños factoriales fraccionales cialmente importantes

CUÁL

Determinar empíricamente los efectos de las variables conocidas Determinar una aproximación de f( ξ , θ ) mediante interpolación local g( X, β)

Construcción del modelo empírico Diseño de experimentos

Determinar f Determinar θ

Construcción de un modelo mecanicista Estimación de un modelo mecanicista

θ

Metodología respuesta

de

superficie

CÓMO

de

POR QUÉ

Tabla 9.1 Grado de conocimiento y objetivos en las diferentes etapas de la investigación

9.2 Grado de conocimiento y objetivos Los modelos pueden ser, atendiendo al método que se siga para obtenerlos, mecanicistas o empíricos (este tema fue anteriormente tratado en el apartado 7.1 del capítulo 7). En los primeros se utilizan leyes físicas especializadas en el dominio concreto para seleccionar la estructura del

π

INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

modelo y, en general, es necesario estimar los parámetros que en ellos aparecen a través de la recogida de datos. Cuando no se tiene conocimiento teórico de la estructura del modelo, se hace una aproximación de forma empírica con los datos obtenidos en la experimentación. Tal experimentación se ha de realizar de una forma secuencial y con una metodología que dependerá del grado de conocimiento que se tenga del problema. Este conocimiento ayudará en la selección de un modelo que se ajuste a la respuesta y en la selección del diseño a realizar para poder estimar todos los parámetros de interés. La tabla 9.1 presenta la relación existente entre el grado de conocimiento que se tiene de un problema, los objetivos en cada instante y la metodología estadística que se lleva a cabo para conseguir tales objetivos. A la etapa de selección de variables y estimación de sus efectos se han dedicado los capítulo 7 y 8 de este libro y a ellos remitimos a aquellos lectores que deseen ampliar estos puntos. En una primera etapa experimental, los métodos que se denominan metodología de superficie de respuesta utilizan la experimentación para lograr principalmente tres objetivos: > Encontrar un modelo capaz de explicar la relación existente entre cierta respuesta seleccionada y determinados factores en una región de interés. > Localizar las condiciones óptimas de los factores de experimentación para la respuesta (las condiciones que hagan máxima la respuesta, por ejemplo). > Realizar un estudio geométrico de la relación existente entre la respuesta y los factores en la región óptima, por medio del análisis canónico del modelo estimado. El logro de tales objetivos está ligado a las características que definen la MSR. En primer lugar, es una metodología secuencial: la aproximación a la región de interés se realiza de forma iterativa utilizando diseños cada vez más complejos dependiendo de la información que se obtiene en cada etapa. En segundo lugar, el método de trabajo que se utiliza es el descrito en el ciclo PDCA (ver el apartado 1.2.2 del capítulo 1), que consiste esencialmente en plantear un modelo tentativo, seleccionar un diseño que permita estimar los parámetros de interés, analizar los datos y verificar si el modelo planteado es adecuado.

9.3 Estrategias de la metodología de superficie de respuesta La metodología de superficie de respuesta contiene toda una serie de estrategias que el investigador puede seguir para estimar el modelo, f(ξ,θ), que relaciona la respuesta de interés Y con los factores ξ lo más adecuadamente posible, con el mínimo coste de experimentación. El investigador actúa como un detective buscando las pistas que le lleven a la resolución del problema. Tales pistas son obtenidas a través de la información que proporciona la experimentación secuencial. Al comienzo de la experimentación se puede conocer poco del problema y en tal caso es razonable suponer que la región donde se comienza a experimentar está lejos de la región óptima. Si es así, una aproximación suficientemente buena a f(ξ,θ) es la que se obtiene con modelos lineales de primer orden estimados a partir de diseños factoriales fraccionales a dos niveles. Por el contrario, cuando se tiene un conocimiento más preciso sobre la relación existente, o se está próximo a la región óptima, el experimentador se aproxima a la relación f(ξ,θ) mediante modelos de segundo orden estimados a partir de diseños más complejos. Por lo tanto, distinguiremos entre dos tipos de estrategias:

203

π


>

Estrategias de primer orden: Diseño 2k-p Estimación por mínimos cuadrados1 Y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + ε Modelos de primer orden Mapas de contornos o curvas de nivel Camino de máximo ascenso o steepest ascent > Estrategias de segundo orden: Diseño central compuesto Estimación por mínimos cuadrados Modelos de segundo orden Y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + β11 X 12 + β 22 X 22 + β12 X 1 X 2 + ε Mapas de contornos y análisis canónico En la primera etapa, a la vez que se emplean los diseños 2k-p, se pueden llevar a cabo otras acciones propias de los comienzos de la experimentación, tales como borrar o añadir factores en el diseño, cambiar la escala de variación de los factores, replicar para una mejor estimación del error experimental, añadir fracciones para romper las confusiones, etc. Estas acciones, representadas gráficamente en la figura 9.2, tienen en común que, utilizadas adecuadamente, ayudan a salir de diversas situaciones de incertidumbre.

204

Figura 9.2 Algunas acciones que se llevan a cabo con más frecuencia durante las primeras etapas de la experimentación. (A: Borrar o añadir factores; B: Cambiar la escala; C: Replicar y D: Añadir fracciones )

Por otra parte, en cada momento existen métodos de chequeo que permitirán comprobar si el modelo lineal de primer orden es suficientemente bueno, o detectar una evidencia de curvatura en la respuesta. Este hecho implicará la selección de modelos de segundo orden y, por tanto, estrategias de segundo orden. En cuanto al modelo matemático a utilizar para aproximar f(ξ,θ), se emplearán funciones polinómicas g(X,β) de primer o segundo grado, las cuales pueden ser interpretadas como las resultantes de hacer el desarrollo de Taylor de f(ξ,θ) alrededor de (0,0), centro de la experimentación en unidades codificadas, cortando el desarrollo en los términos de primer o segundo grado respectivamente. Estos polinomios tienen la siguiente estructura para el caso particular de dos factores:

( )

r g x, β

1

=

β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + ε

(9.1)

La estimación de los efectos en diseños 2k-p tal como se ha realizado en los capítulos 7 y 8 utilizando la regla de los signos o el algoritmo de Yates, es equivalente a la estimación por mínimos cuadrados.

π


para los modelos de primer orden, y

( )

r g x, β

=

β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β12 x1 x 2 + β11 x12 + β 22 x 22 + ε

(9.2)

para los modelos de segundo orden. En ambos, ε representa el efecto de aquellos factores que no se han tenido en cuenta en la experimentación o el efecto de aquellos presentes en el estudio, pero cuyo efecto no se ha podido recoger adecuadamente con el modelo seleccionado. Los modelos de segundo orden necesitan más experimentos para ser estimados y sólo se recurre a ellos cuando existe evidencia de curvatura en el modelo y, por lo tanto, la aproximación lineal no es adecuada. Para poder detectar la curvatura, a los diseños de primer orden 2k-p se les añaden puntos centrales, los cuales, como se verá en el apartado 9.4, permitirán realizar un test de curvatura. Aquellas regiones de experimentación en las que la superficie no presenta evidencia de curvatura son interpretadas como regiones lejanas a la zona óptima y, una vez más, existe una estrategia consistente en acercarse lo más rápidamente a esta zona a lo largo de la dirección de máximo cambio de la respuesta. La figura 9.3 presenta las dos últimas estrategias para k=2 factores. Por último, una vez se detecta la cercanía de la región óptima, se pasa a la utilización de estrategias de segundo orden. Una de ellas consiste en la selección de un diseño de segundo orden apropiado que permita una buena estimación de un modelo cuadrático. Los diseños más utilizados son los “diseños centrales compuestos” que aparecen en la figura 9.4, obtenidos al añadir un “diseño estrella” a un diseño factorial. Las características de estos diseños en cuanto a los niveles en que se han de colocar los factores, propiedades de las estimaciones obtenidas, etc., se estudiarán más adelante en el apartado 9.5. Una vez obtenida una aproximación cuadrática que se ajuste a la superficie, es conveniente realizar un análisis canónico del modelo resultante para interpretar Fig. 9.3 Estrategias de experimentación. A) Añadir de manera sencilla la geometría de la superficie puntos centrales para detectar curvatura. B) estimada en la región de experimentación y obtener Experimentar a lo largo del camino de máximo información que pueda ser útil para sugerir posibles crecimiento o decrecimiento explicaciones teóricas del problema.

Fig. 9.4 Diseño central compuesto formado al añadir un “diseño estrella” a un diseño 2k-p

205


π

En lo que queda de capítulo se van a desarrollar las diferentes estrategias presentadas en este apartado, aplicadas en un ejemplo particular, el de la fundición de una determinada pieza de aluminio por inyección. El apartado 9.4 se dedica a las estrategias secuenciales de primer orden, los test de curvatura y los métodos de selección del modelo lineal. A continuación, en el apartado 9.5 se presenta la técnica del camino de máximo ascenso (descenso). En el apartado 9.6 aparecen las estrategias de segundo orden, la estimación del modelo cuadrático y los test que permiten la comprobación de la validez del modelo obtenido. Finalmente, el apartado 9.7 está dedicado al análisis canónico de la superficie obtenida. En este mismo apartado se incluirá la clasificación canónica de las superficies en función de su modelo canónico.

9.4 Aproximación lineal a las condiciones óptimas

206

El presente ejemplo trata de un proceso de fundición de tapas de aluminio por inyección, en el que se intenta minimizar el índice de porosidad encontrado en ellas. Tal índice es obtenido mediante un método estándar a través de rayos-X. Al parecer la temperatura del aluminio líquido y la presión con que éste se inyecta en el molde afectan al índice de porosidad de la placa resultante. Los objetivos de la experimentación son encontrar unas condiciones óptimas de trabajo en las cuales la porosidad sea mínima, y estimar la relación existente entre el índice de porosidad con la temperatura y la presión, en una región próxima a las condiciones óptimas. Los conocimientos que sobre el tema tienen los técnicos del proceso recomiendan no trabajar con temperaturas externas al intervalo 600-900 ºC ni con presiones por debajo de 700 Kg/cm2. Tales restricciones definen la región de operabilidad. En la figura 9.5 se presentan las estrategias de primer orden que se seguirán en este ejemplo. En primer lugar se plantea la hipótesis sobre el modelo que mejor aproxima la respuesta en la zona de experimentación de partida. Puesto que estamos en los comienzos de la experimentación y poco conocemos, se asume que las condiciones óptimas no tienen por qué estar Fig. 9.5 Estrategias de primer orden en el ejemplo de la porosidad en tapas de aluminio próximas y que, por lo tanto, la

π


superficie de respuesta puede ser aproximada TEMPERATURA PRESIÓN ÍNDICE DE mediante un modelo de primer orden. POROSIDAD (ºC) (kg/cm2) Para estimar tal modelo se selecciona un -1 (640) -1 (950) 6.09 diseño 22 con dos puntos centrales tal como aparece +1 (660) -1 (950) 5.53 en la tabla 9.2. -1 (640) +1 (1.000) 6.78 Los puntos centrales permitirán comprobar +1 (660) +1 (1.000) 6.16 mediante un test de curvatura que se presenta en 0 (650) 0 (975) 5.93 (9.13), si el modelo de primer orden es adecuado o, por el contrario, se necesita un modelo de se0 (650) 0 (975) 6.12 gundo orden. Además, el hecho de tener réplicas (en este Tabla 9.2 Resultados de un primer experimento con caso para 650ºC y 975 Kg/cm2) permite obtener una llantas de aluminio. Entre paréntesis figuran las unidades estimación de σ2 independiente del modelo selecoriginales de los factores cionado. Tal estimación puede ser comparada con la estimación obtenida a través de los residuos del modelo mediante un test de comparación de varianzas, tal como se vio en el apartado 4.12 del capítulo 4. En el caso de que ambas estimaciones difieran significativamente, tendremos la prueba de que el modelo propuesto no se ajusta bien a la superficie y tendremos que pensar en transformar los datos o en aproximaciones cuadráticas. El diseño anterior permite estimar los parámetros de un modelo como el presentado en (9.1) que puede ser expresado en forma matricial como: Y = Xβ+e (9.3) donde Y corresponde al vector de observaciones, X es la matriz de diseño, β es el vector de los parámetros del modelo y ε es el vector de errores. Para el ejemplo que nos ocupa:

Y

6.09 5.53    6.78 =  , .  616 5.93    .  612

X

1 −1 −1 1 1 −1   1 −1 1  =  , 1 1 −1 1 0 0   0 1 0

β

β 0  = β 1  β 2 

(9.4)

La estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del modelo en 9.3 se puede realizar empleando las técnicas de regresión lineal, lo cual equivale a resolver la ecuación siguiente: b

=

β$

=

( X ' X ) −1 X ' Y

−1 Varianza (b) = σ$ 2 ( X ' X )

(9.5)

con

(X' X)

−1

obteniéndose los resultados

X' =

1/ 6 1/ 6  1/ 6 − 1 / 4 1/ 4 −1/ 4   − 1 / 4 − 1 / 4 1/ 4

1 / 6 1 / 6 1 / 6 1/ 4 0 0  1/ 4 0 0 

(9.6)

207

π


b =

 6.10   − 0.29     0.33 

=

Desv. estandar (b)

0.045 0.055   0.055

(9.7)

y, por lo tanto, todos los coeficientes significativos. En esta etapa, y tal como aparece en la figura 9.5, se ha de comprobar si existe alguna prueba de que el modelo lineal estimado no sea una buena aproximación a la respuesta y se necesiten modelos más complejos, es decir, modelos cuadráticos. Ello equivale a plantear el siguiente test: y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + ε > H0 = Modelo esperado: y = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β12 x1 x 2 + β11 x12 + β 22 x 22 + ε > H1 = Modelo “temido”2: o en forma matricial Y = X β +ε > H0 = Modelo esperado: Y = X β +Zγ +ε > H1 = Modelo “temido”: (9.8) donde Z corresponde a la matriz de términos cuadráticos y γ al vector de sus coeficientes. El test que se debe utilizar para tomar una decisión en (9.8) está relacionado con las consecuencias que se derivan de aceptar como mejor aproximación la que da un modelo lineal (H0), cuando en realidad la mejor es la de un modelo cuadrático (H1). En efecto, si se estiman los parámetros del modelo como en (9.5), suponiendo que H0 es cierta, cuando en realidad lo es H1 se obtiene

[

E [ b] = E ( X ' X ) 208

es decir,

−1

]

X 'Y = ( X ' X )

−1

X ' E[Y ] = ( X ' X ) E [b]

=

X '( X β + Z γ ) = β + ( X ' X )

−1

β + Aγ

E [ b1 ] = β 1 ;

(

X'Zγ

(9.9) (9.10)

con A = (X’X)-1X’Z denominada matriz de alias o de confusiones. Esta confusión en las estimaciones para el caso de las tapas de aluminio es 2 E b0 = β 0 + β + β 22 3 11

[ ]

−1

)

E [ b2 ] = β 2

(9.11)

Por lo tanto, en caso de que b11+b22 fuese significativo, al aproximar la superficie mediante modelos lineales se comete un error en la estimación de la constante del modelo. Los diseños de primer orden no pueden estimar por separado β11 y β22, pero sí su efecto conjunto, β11+β22. La estimación de tal efecto por mínimos cuadrados es equivalente a comparar los promedios de la porosidad en el centro de la superficie con el promedio en las esquinas del cubo, tal como lo muestra la figura 9.6. Luego el test de hipótesis planteado en (9.8) sobre la necesidad de modelos de segundo orden es equivalente al test de hipótesis:  H 0 : Ycubo − Ycentro   H1 : Ycubo − Ycentro 2

= 0  ≠ 0 

(9.12)

The Feared Model tal como lo denomina el profesor N. Draper, autor, junto con G. Box, del libro Empirical Model-Building and Response Surfaces.

π


sobre la existencia de curvatura, que puede comprobarse comparando el valor del estadístico Ycubo − Ycentro

(9.13)

s / ncubo + s 2 / ncentro 2

con el valor de la t de Student con ν grados de libertad, siendo ν los grados de libertad con los que se ha estimado σ,. a partir de s. En el ejemplo de las tapas, al aplicar la ecuación 9.12 se obtiene 6.14 − 6.025 0.012 / 4 + 0.012 / 2

= 1.21

con s2=0.012 estimada con 3 grados de libertad. Por lo tanto, al obtener un valor no significativo, no encontramos evidencia de curvatura. En consecuencia, no se puede rechazar Ho en (9.8), y concluimos que el modelo lineal realiza una aproximación suficientemente buena de la respuesta de interés. En consecuencia, se intuye que se está lejos de la región óptima y, por lo tanto, la siguiente estrategia será la de en alejarse lo más rápidamente posible en la dirección de máximo decrecimiento (se desea obtener llantas con mínimo índice de porosidad) hacia las condiciones óptimas de experimentación, y allí volver a plantear un diseño de primer orden con puntos centrales, o directamente uno de segundo si existe alguna evidencia de curvatura.

(9.14)

Fig. 9.6 Figura que representa la diferencia entre la respuesta en el centro y en las esquinas del cubo en una superficie que presenta curvatura

9.5 Aproximación por el camino de máxima pendiente En este momento del experimento, la estrategia que se debe adoptar es la de experimentar a lo largo de la dirección de máximo decrecimiento hasta que la porosidad deje de disminuir. Tal hecho indicará que, o bien se ha cruzado la zona óptima, o bien hay que rectificar la dirección de máximo decrecimiento. Siguiendo con el ejemplo de las tapas de aluminio, a partir del modelo Y = 6.10 - 0.29 T + 0.33 P

(9.14)

obtenido de (9.7), se puede obtener la dirección de máximo crecimiento de la respuesta a través de la dirección del gradiente, la cual se obtiene derivando respecto a cada factor, ∂Y = − 0.29 ∂T ∂Y = 0.33 ∂P

(9.15)

y, por lo tanto, la dirección de máximo decrecimiento será la opuesta, d=[0.29, -0.33]

(9.16)

209

π


la cual marca una dirección orientativa sobre la dirección a seguir en los nuevos experimentos. Si se desea experimentar en puntos a distancias de una unidad, similar a la distancia entre las condiciones experimentales anteriores, se puede utilizar el vector unidad como vector orientativo. u

=

0.33   0.295  0.44 , − 0.44   

[0.67 , − 0.75]

=

(9.17)

El número de experimentos que deben realizarse y la cercanía de éstos (º C) (Kg/cm2) POROSIDAD depende en todo momento del cono1 3 u = (2.01, -2.25) 670 920 4.53 cimiento que tenga el experimentador 2 5u = (3.35, -3.75) 685 880 3.28 sobre el proceso. En el ejemplo de las 3 7u = (4.69, -5.25) 700 845 2.54 tapas se han realizado cuatro 4 9u = (6.03, -6.85) 710 805 4.15 experimentos más, cada uno a dos unidades de distancia del anterior, tal como lo muestra la tabla 9.3. Tabla 9.3 Experimentos adicionales en la dirección de máximo decrecimiento Cabe notar que, para obtener los valores originales de la temperatura y la presión, basta con descodificar las unidades de la tabla 9.3 utilizando las expresiones: T − 650 P − 975 x1 = x2 = 10 25 (9.18) POSICIÓN

210

TEMPERATURA

PRESIÓN

T = 650 + 10 x1

ÍNDICE DE

P

=

975 + 25 x 2

donde x1 y x2 son los valores de la temperatura y la presión en unidades codificadas. La dirección de máximo decrecimiento se ha de tomar como un camino orientativo, pero los experimentos no tienen porqué coincidir exactamente con tal dirección. En el ejemplo de las tapas, los valores en unidades originales resultantes de descodificar las cuatro posiciones se han adaptado a la operabilidad del proceso. Como se puede observar, la porosidad ha ido disminuyendo excepto en el experimento 4, donde ha vuelto a aumentar significativamente. Ello induce a pensar que se ha “atravesado” la superficie y que por lo tanto, no es recomendable proseguir experimentando por este camino, aunque exista incertidumbre sobre la zona por donde se ha atravesado. Si ésta es la zona óptima, la superficie ha de mostrar una curvatura tal, que será necesario utilizar modelos de segundo orden para aproximarla. En cambio, si no es así, pudiera ser que la aproximación por modelos de primer orden fuese todavía lo suficientemente buena como para continuar por este camino. En tal situación, se seguiría experimentando posteriormente a lo largo de una dirección del steepest descent rectificada. En cualquier caso, la MSR permite experimentar secuencialmente utilizando un diseño de primer orden para estimar el “modelo plano”, pudiendo añadir en un segundo bloque uno de segundo orden, si se llega a la conclusión de que el modelo lineal no se ajusta suficientemente bien a la respuesta. En el ejemplo de las tapas, seleccionando el experimento 3 de la tabla 9.3 como el centro de la nueva región de experimentación, se ha decidido utilizar un diseño de primer orden y se han obtenido los resultados que aparecen en la tabla 9.4. El experimento señalado con una flecha es el experimento 3 de la etapa anterior; se ha considerado conveniente incluirlo para una mejor estimación de la respuesta.

π


Con las réplicas de este experimento se puede obtener una estimación del error experimental con dos grados de libertad. Asimismo, se puede obtener otra estimación del error con un grado de libertad con las réplicas del primer experimento, que se encuentran en la tabla 9.2. Ponderando estas dos TEMPERATURA PRESIÓN ÍNDICE DE estimaciones se obtiene una estimación de σ2 con tres (ºC) (kg/cm2) POROSIDAD grados de libertad de s2 = 0.0318. Esta estimación, obtenida -1 (690) -1 (820) 2.20 a través de réplicas, se denomina “error puro”. +1 (710) -1 (820) 3.71 A continuación se trata de repetir los pasos del -1 (690) +1 (870) 2.86 apartado 9.4 para confirmar si el modelo lineal realiza una +1 (710) +1 (870) 3.49 aproximación suficientemente buena a la superficie o si, por 0 (700) 0 (845) 2.53 el contrario, existen indicios de curvatura. Aplicando el test 0 (700) 0 (845) 2.30 de curvatura de (9.13) para los datos en la tabla 9.4 se obtiene: 0 (700) 0 (845) 2.54 7 Ycubo − Ycentro s / ncubo + s / ncentro 2

2

=

3.06 − 2.46 . 014 1/ 4 + 1/ 3

(9.19)

Tabla 9.4 Resultados del experimento 3 en el ejemplo de las llantas de aluminio.

que es un valor estadísticamente significativo en la t de Student con tres grados de libertad. Por lo tanto, en el test planteado en (9.8) se rechaza la hipótesis nula y se acepta que el modelo de segundo orden: y = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β12 x1 x 2 + β11 x12 + β 22 x 22 + ε (9.20) se aproxima mejor a la respuesta. Así pues, ahora es el momento de comenzar a utilizar las estrategias de segundo orden, que están esquemáticamente representadas en la figura 9.7.

Fig. 9.7 Estrategias de segundo orden

211

π


9.6 Aproximación cuadrática. Diseños centrales compuestos En estos momentos de la experimentación se ha de añadir un segundo diseño al realizado anteriormente en la tabla 9.4 si se quiere estimar un modelo cuadrático con la precisión suficiente. El hecho de realizar la experimentación en dos tiempos puede provocar un efecto bloque (ver el apartado 7.8 del capítulo 7 sobre efectos bloque si se quiere ampliar el tema), que puede afectar a la estimación de los efectos si las condiciones experimentales del segundo diseño no se han seleccionado adecuadamente. Para que esto no ocurra, es decir, para que la estimación de los factores sea independiente del hecho de haber experimentado en dos bloques, el efecto bloque ha de ser ortogonal a efectos de las demás variables. Si además se desea que las estimaciones de los factores sean independientes entre sí, los dos diseños han de ser ortogonales en sus factores y ortogonales con los bloques. El primer diseño,

X

212

1 −1 −1 1 1 −1   1 −1 1    = 1 1 1  1 0 0   1 0 0 1 0 0  

ya cumple la condición de ortogonalidad, basta con multiplicar las columnas del diseño entre sí y observar que todos los productos se anulan. El segundo diseño, denominado diseño estrella, contiene los experimentos dispuestos de la siguiente forma

X

1 −α 1 α  1 0  = 1 0 1 0  1 0 1 K 

0 0  −α   α 0  0 K 

donde α y el número de puntos centrales n0e se han de determinar según los criterios que se explican a continuación. El resultado de añadir un diseño factorial y un diseño estrella se conoce como diseño central compuesto o central composite design. La forma de tal diseño para tres factores se puede ver en la figura 9.4. La selección de α y n0e está basada en dos criterios: el criterio de ortogonalidad mencionado anteriormente y el criterio de rotabilidad. Se dice que un diseño es rotable si la precisión en la estimación de la superficie es igual para todos los puntos equidistantes del centro del diseño,

π


independientemente de la dirección en que se encuentren; es decir, se puede girar la superficie sobre su centro y la precisión en la estimación es la misma. La rotabilidad en diseños centrales compuestos sólo depende del valor de α y del número de experimentos que se haya realizado en el cubo sin contar los puntos centrales, Nc, a través de la fórmula,

α

=

4

(9.23)

Nc

La condición de ortogonalidad en cambio, implica que las estimaciones de los parámetros en el modelo (9.20) son independientes entre sí e independientes a su vez del efecto bloque. Para que esto ocurra se han de cumplir dos condiciones: 1. Cada bloque debe contener un diseño ortogonal. 2. La fracción del total de la suma de cuadrados de cada variable xi en cada bloque debe ser igual a la fracción del número total de observaciones distribuidas en cada bloque. Es decir, para cada variable i y sobre cada bloque b se ha de cumplir: nb

∑ xbij2 j =1 N

∑x j =1

=

2 bij

nb N

(9.24)

i = Indicador de la variable i. j = Indicador de la observación j de la variable i en el bloque b. nb = Número de observaciones en el bloque b. N = Número total de observaciones. Llamando n0c y n0e al número de puntos centrales en el cubo y en el diseño estrella respectivamente, y k al número de factores en el diseño, al aplicar la condición de ortogonalidad (9.24) al caso particular de los diseños compuestos centrales se obtiene la fórmula simplificada siguiente

α

=

N c ( 2k + noe ) 2 ( N c + noc )

(9.25)

donde Nc el número de puntos en el primer diseño exceptuando los puntos en el centro. (Nc será de la forma 2k o 2k-p.) La tabla 9.5 muestra algunos diseños compuestos centrales con los correspondientes valores de α si se quiere obtener ortogonalidad y rotabilidad. Como se puede observar, algunas veces no se pueden conseguir los dos criterios exactamente. Volviendo al ejemplo de las tapas de aluminio, si se desea añadir un nuevo diseño ortogonal al presentado en la tabla (9.4) y tal que el conjunto sea rotable, basta con sustituir los valores de las constantes: k=2, Nc=4 y n0c=3 en las expresiones (9.23) y (9.25), y se obtiene:

α =

4 ( 4 + noe ) 2 ( 4 + 3)

y

α =

4

4 =

2

(9.26)

para la condición de ortogonalidad y rotabilidad respectivamente. Por lo tanto, si se han de cumplir las dos condiciones, el número de puntos centrales que ha de contener el diseño estrella será de noe =3.

213

π


k

2

3

4

5

5(1/2)

6

Fracción del cubo

1

1

1

1

½

½

Nc

4

8

16

32

16

32

Bloques en cubo

-

2x4

2x8

4x8

-

2 x 16

Ne=2 k

4

6

8

10

10

12

nco por bloque

3

2x2

2x2

2x4

6

4x2

nso

3

2

2

4

1

2

N total

14

20

30

54

33

54

α (ortogonalidad)

1.4142

1.6330

2.000

2.3664

2.000

2.3664

α (rotabilidad)

1.4142

1.6818

2.000

2.3784

2.000

2.3784

Generadores de bloque

-

B=123

B=1234

B1=123 B2=2345

-

B=123

Generadores del diseño fraccional

-

-

-

-

5=1234

6=12345

Tabla 9.5 Algunos diseños centrales compuestos

α =

214

4 ( 4 + noe ) 2 ( 4 + 3)

=

2

⇒

noe = 3

(9.27)

La matriz del diseño estrella resultante, junto con los resultados de la experimentación, se puede encontrar en la tabla 9.6. Además, en la figura 9.8 se puede 3.02 localizar el conjunto de los experimentos realizados 4.40 hasta el momento y desde el comienzo con las dife3.90 rentes estrategias utilizadas. 3.76 Con los datos de los dos diseños en las tablas 3.20 9.4 y 9.6 se puede estimar un modelo de segundo 3.28 orden por mínimos cuadrados, resolviendo la 3.17 ecuación (9.5) para el modelo en (9.20). Si además Tabla 9.6 Diseño estrella y resultados en el ejemplo de se añade una variable con signos -1 y 1, se logrará las tapas de aluminio con los puntos en la estrella a una estimar el efecto bloque como diferencia entre los distancia de 1.41 promedios de los dos bloques dependiendo de si los experimentos vienen del primer La ecuación de regresión es diseño o del segundo. Porosidad = 2.84+0.36 B + 0.51T + 0.26 T2 + 0.32 P2 - 0.22 T·P El resultado del análisis por regrePredictor Coef. Stdev. t-ratio p-valor sión se encuentra en la tabla 9.7. El modelo 0.000 59.65 0.048 2.84 Constante así obtenido explica un porcentaje elevado 0.000 11.70 0.031 0.36 Bloque de la variabilidad en el índice de porosidad 0.000 12.42 0.041 0.51 Temperatura en función de los dos factores estudiados: 0.000 6.07 0.043 0.26 (Temperatura)2 0.000 7.47 0.043 0.32 (Presión) presión y temperatura. 0.005 -3.78 0.058 -0.22 Temp. · Presión Se observa que existe un efecto bloque estadísticamente significativo, es s = 0.1165 (8 g. l.) R-Sq = 98.0 % R-Sq(adj) = 96.7 % decir, el hecho de realizar el experimento en dos tiempos diferentes ha afectado a la Tabla 9.7 Resultado del análisis por medio de regresión lineal de los datos de la tabla 9.6 respuesta con un aumento de 0.71 unidades TEMPERATURA

PRESIÓN

(ºC) −-/22 (685) /22 (715) 0 (700) 0 (700) 0 (700) 0 (700) 0 (700)

(kg/cm2) 0 (845) 0 (845) −-/22 (810) /22 (880) 0 (845) 0 (845) 0 (845)

ÍNDICE DE POROSIDAD

π


de porosidad del segundo al primer experimento. Este hecho induce a una investigación por parte de los técnicos para encontrar las condiciones que han cambiado en las dos etapas y que provocan este cambio en la porosidad. Antes de aceptar el modelo obtenido por regresión se ha de hacer una prueba de ajuste de los datos al modelo. Esta prueba se realiza comparando dos estimaciones independientes de σ2, una de las cuales depende totalmente de la bondad del ajuste del modelo. La estimación de σ2 en la tabla 9.7 ha sido obtenida como un promedio de otras dos estimaciones: 2 stotal

>

>

=

2 4 s 2puro + 4 sajust

(9.28)

8

Donde sp2 es la obtenida a través de las seis réplicas (una vez eliminado el efecto bloque) y denomina estimación pura sp2 =0.011 con 4 g. l. (9.29) 2 Y saj es la obtenida a través de los residuos por falta de ajuste de los datos al modelo. A esta estimación se le denomina “estimación por falta de ajuste” y tendrá 3 g. l. Llevando el valor de (9.29) a (9.28) se obtiene saj2 =0.016 con 4 g. l.

(9.30) Fig. 9.8

Dirección del camino de máximo descenso

Por lo tanto, si el modelo se ajusta bien a los (steepest descent) datos, los valores en (9.29) y (9.30) son estimaciones independientes de σ2 y, según se vio en el capítulo 3, el cociente de ambos valores será un valor típico en la distribución F de Snedecor con cuatro y cuatro grados de libertad. 2 sajuste

s 2puro

=

0.016 0.011

= 145 .

(9.31)

lo cual es cierto. En consecuencia, se acepta que la aproximación a la respuesta en la región próxima a las condiciones de 700 ºC y 845 kg/cm2 por el modelo y = 2.84 + 0.36 B + 0.51 Temp. + 0.26 Temp.2 + 0.32Presion2 - 0.22 Temp. * Presión

(9.32)

es una buena aproximación. Una vez obtenida la aproximación cuadrática a la respuesta, se ha de analizar si la región en que se ha aproximado contiene las condiciones óptimas de porosidad. Para poder resolver este dilema se ha de realizar el análisis canónico que se presenta en el próximo apartado.

9.7 Análisis canónico de la superficie La interpretación del modelo resultante puede hacerse bien a través de curvas de nivel, o bien en función del análisis canónico del modelo. El análisis gráfico es posible cuando se estudian dos o tres factores. Si el número de factores aumenta no se pueden representar conjuntamente los factores y la respuesta en un mismo gráfico. Cuando el número de factores es alto, se puede trabajar con proyecciones sobre un subconjunto de dos o tres factores, pero entonces la interpretación de la superficie es más compleja.

215

π


Para k=2 factores, éstos se representan en los ejes de ordenadas y abcisas indistin3.7 tamente. Entonces, sustituyendo pares de 3.1 valores de la temperatura y la presión en (9.32) se obtiene el valor de la respuesta, el cual se 850 lleva al gráfico situándolo sobre el punto representado por el par de condiciones. Una 6.1 vez obtenida una cantidad suficiente de valores 6.7 de la respuesta, se trazan líneas de nivel para 7.3 800 7.9 valores de respuesta similar. Las líneas así 8.5 formadas representan la proyección tridimen675 685 695 705 715 725 sional de la respuesta en el plano de experiTemperatura mentación formado por los dos factores. Veámoslo en el ejemplo de las tapas de Fig. 9.9. Análisis gráfico de la porosidad por curvas de nivel aluminio. La representación se ha realizado promediando el efecto bloque, ya que el efecto bloque no influye en la localización del óptimo. Para el gráfico se han utilizado las variables en unidades originales. Del análisis gráfico se observa que las curvas de nivel son concéntricas y su valor disminuye conforme se acercan al punto central. Existe, por lo tanto, una única condición óptima en cuanto a porosidad mínima en torno a la condición: temperatura 690 ºC y presión 835 Kg/cm2. Las coordenadas de tal punto también se pueden encontrar derivando la ecuación de la respuesta respecto a sus parámetros e igualando a 0. 900

4.9

5.5

Presión

4.3

216

(

)

2 2 ∂ Y ∂ 2.84 + 0.36 B + 0.51T + 0.26 T + 0.32 P − 0.22 T ∗ P = = 0.51 + 0.52 T − 0.22 P = 0 ∂T ∂T

∂Y ∂P

=

(

∂ 2.84 + 0.36 B + 0.51T + 0.26 T 2 + 0.32 P 2 − 0.22 T ∗ P ∂P

)

(9.33)

= 0.64 P − 0.22 T = 0

T = -1.15, P = -0.39 Las coordenadas del punto crítico en unidades originales, así como el valor estimado de la porosidad, son: Pc (688.5 ºC, 835.1 Kg/cm2) YPc = 2.19 (Bloque 1) (9.34) YPc = 2.91 (Bloque 2) Análisis canónico El conjunto de todas las superficies cuadráticas se clasifican según su forma canónica. Ésta corresponde a la representación de la superficie con ejes de simetría paralelos a los ejes de coordenadas y centrada en el origen (de coordenadas 0 en todas las variables x). Las superficies que se obtienen de la metodología de superficie de respuesta no tienen por qué cumplir las dos condiciones anteriores y, en tal caso, resulta difícil conocer el tipo de superficie de que se trata. Sin embargo, mediante las dos operaciones que a continuación se detallan, se puede recodificar la superficie para expresarla en su forma canónica. Estas dos operaciones son: > Utilizar los ejes de simetría como nuevos ejes de coordenadas. > Seleccionar el punto crítico de la superficie como nuevo origen de coordenadas.

π


La ecuación resultante de la primera operación se denomina forma canónica A y, si se aplica la segunda condición, la ecuación resultante se denomina forma canónica B. Si llamamos,

b0 = ( b0 )

 x1  x   2  x3  X =  K  K     x k 

b1  b   2 b3  b=  K K   bk 

1 / 2b12 b11 1 / 2b b22 12 B= K K  / / 2b2 k 1 2 1 b 1k 

K K K K

1 / 2b1k  1 / 2b2 k   K  bkk 

(9.35)

el método general de obtener las dos formas canónicas es muy simple y está basado en las propiedades algebraicas de la matriz B. Para ello, primero expresaremos el modelo de segundo orden para la superficie de respuesta en forma matricial, Y = b0 + X’b + X’ B X (9.36) Ahora, si M es la matriz en cuyas columnas están los vectores propios estandarizados de B: m1, m2, ..., mk, siendo λ1, λ2, ...,λk, sus valores propios, se cumple: BM = MΛ M’= M (9.37) M’BM = M’MΛ’ = Λ donde Λ es la matriz diagonal con λ1, λ2, ...,λk, en la diagonal. Dado que M’M = I, se puede intercalar este producto de matrices en la ecuación (9.36), y agrupando convenientemente se obtiene Y

=

b0 + ( x ' M ) ( M ' b ) + ( x ' M ) ( M ' BM ) ( M ' x )

(9.38)

Utilizando las propiedades en (9.37) en (9.38), la ecuación (9.36) puede reescribirse como, Forma canónica A Y = b0 + X’θ + X’ΛX (9.39) X=M’x y θ=M’b La forma canónica A obtenida en (9.39) sólo contiene términos cuadráticos puros, ya que han desaparecido las interacciones. Si se representa de nuevo la superficie, pero ahora respecto a las nuevas variables X, se observa que los ejes de simetría de la superficie son paralelos a los ejes de coordenadas. Para hallar la forma canónica B hay que determinar la distancia a la que se encuentran los puntos críticos de la superficie (máximo, mínimo, punto silla, zona de máximos, etc.) del origen de coordenadas. Si la zona crítica está dentro de la región de experimentación, se considera que la aproximación de la superficie será igual de válida alrededor del nuevo origen de coordenadas. Si en cambio la región crítica está lejos de la zona de experimentación, no tiene sentido extrapolar la superficie hasta la zona crítica y, por lo tanto, no se halla la forma canónica B. En el ejemplo de las tapas, la distancia del punto crítico al centro de experimentación es d

=

115 . 2 + 0.39 2

= 1.2

(9.40)

y; por lo tanto, podemos considerar que la aproximación obtenida en (9.26) puede extenderse a la región alrededor de este punto.

217

π


Por consiguiente, para obtener la forma canónica B, se puede realizar la segunda operación de cambiar el origen de coordenadas de (0,0) por (-1.15,-0.39), si se trabaja en unidades codificadas originales, o de (0,0) por M’ (-1.15,-0.39), si se trabaja con las coordenadas nuevas. Dado que el resultado final es independiente del orden en que se realicen estas dos operaciones (cambio de ejes de coordenadas y traslación del origen), en aquellos casos en que se han calculado con anterioridad las coordenadas del punto crítico, es más sencillo trabajar con las coordenadas del punto crítico en unidades originales x. Por lo tanto, si se aplica este cambio de origen en (9.38) antes de pasar a cambiar los ejes, se obtiene la expresión =

Y

Y0 +

(( x − x )' M ) ( M ' b) + (( x − x )' M )( M ' BM ) ( M ' ( x − x )) 0

0

0

(9.41)

que se simplifica dando lugar a la forma canónica B, que aparece en (9.39) en su forma general. Forma canónica B Y

~ Xi

218

=

~ ~ ~ Y0 + λ1 X 12 + λ 2 X 22 + K + λ k X k2

M ' ( xi − xio ) d

=

=

M ' xi − M ' xio

=

(9.42)

X i − X io

Es decir, las nuevas coordenadas se pueden obtener trasladando xo (en unidades originales codificadas) y girando con M, o girando con M para obtener las nuevas coordenadas X y trasladando X0 respecto a las coordenadas del punto estacionario (en las nuevas coordenadas). Con la ecuación (9.42) se está en situación de interpretar la superficie. El signo de los valores propios λi determinarán el tipo de superficie, y su valor absoluto determina el tamaño de los ejes de simetría. La figura 9.9 contiene la clasificación de las superficies para dos factores. Para interpretar superficies con más factores se pueden seleccionar subgrupos de dos factores e interpretar la proyección de la superficie en ellos. En el caso de las tapas de aluminio, para hallar la forma canónica B se han de obtener los valores propios y los vectores propios de la matriz B en el modelo (9.32).  x1  X =   x2 

b0 = (2.84)

M

=

 −0.61 0.79  0.79 0.61  

0.51 b=   0 

λ1

=

.   0.26 −011 B= − 011 . 0 .32  0.40

λ2

=

(9.43)

018 .

Por lo tanto, llevando los valores de (9.43) a (9.42) se obtiene la forma canónica B: Y

=

~ ~ 2.55 + 0.36 B + 0.40 X 12 + 018 . X 22

(9.44)

donde la relación entre las nuevas coordenadas y las anteriores es: ~ X1 = − 0.61( x1 + 115 . ) + 0.79 ( x2 + 0.39) = − 0.61 x1 + 0.79 x2 − 0.39 ~ X2

= 0.79 ( x1 + 115 . ) + 0.61( x2 + 0.39) = 0.79 x1 + 0.61 x2 − 115 .

(9.45)

π


donde x1 y x2 los son valores de la presión y la temperatura en unidades codificadas. Una vez en la última etapa de la investigación (figura 9.6) se ha de hacer un estudio de la forma canónica de la superficie si se desean conocer las condiciones óptimas y la manera en que se relaciona la porosidad con los factores de control. Analizando la forma canónica se puede contestar a los objetivos planteados en el apartado 9.2. Se aprecian los siguientes hechos: 3 37 40

2 43

B

1

46 49

0 -1 -2 -3 -3

-2

-1

0

1

2

3

A

3 18.5 16.0

2

13.5

B

1

11.0 8.5

8.5

3.5 6.0

0

6.0

3.5

11.0

-1

13.5 -2

219

16.0 18.5

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

A 3 2 3.5

5.0 6.5 8.0

9.5

8.0 6.5

9.5

5.0

3.5

B

1 0 -1 -2 -3 -3

-2

-1

0

1

2

3

A 3 6 2

4

2

0

8

B

1 10

0 -1 12

-2 -3 -3

-2

-1

0

1

2

3

A

Figura 9.10 Representación de superficies cuadráticas en dos factores. a) Máximo (λ1 y λ2 <0) (o mínimo (λ1 y λ2 >0); b) Punto silla (λ1 y λ2 de distinto signo); c) Teja horizontal (λ2 = 0 ); d) Teja inclinada (λ2 =0) y término lineal en X1)

π


>

>

Al ser positivos los coeficientes de los términos cuadráticos en la forma canónica B, existe un único punto donde se obtiene un índice de porosidad mínimo. Las coordenadas de este punto son aproximadamente (688.5ºC, 835.1 kg/cm2). Si se desean hacer predicciones del valor de la respuesta para determinadas condiciones de los factores, se puede obtener el modelo en unidades originales. No obstante, hay que tener en cuenta que el modelo obtenido es una aproximación local de la superficie en la zona de experimentación y que, cuanto más alejado de tal zona se esté, menor precisión en la predicción se obtendrá. La manera más sencilla de obtener el modelo en unidades originales es descodificando la ecuación (9.32) mediante: x1

T − 700 10

=

x2

=

P − 845 25

(9.46)

para obtener el modelo en unidades originales, (9.47) = 1087 ⋅ 6 + 0.36 B − 2.85 T − 0.25 P + 0.0026 T 2 + 0.00051 P 2 − 0.00088 T ∗ P ~ ~ ~ ~ La porosidad cambia más rápidamente en la dirección de X 1 ( X 2 = 0 ) que en la de X 2 ( X 1 = 0 ) ello Y

>

es debido a que el valor propio λ1 =0.39 es mayor que λ2 = 0.17. La dirección de mínimo cambio en porosidad viene determinada por ~ X1

=

=

0

− 0.61 x1 + 0.79 x 2 − 0.39

(9.48)

. 0.79 x1 + 0.61x 2 + 115

(9.49)

y la de máximo por ~ X2

220

>

=

0

=

es decir, manteniendo similares los valores de x1 y x2 , se logra la mínima variación en la porosidad al variar las condiciones de temperatura y presión. Dada una porosidad límite, existe una variedad de combinación de condiciones para la temperatura y la presión que permite trabajar con menor porosidad. Basta con hallar la curva de nivel apropiada para este valor y seleccionar cualquier combinación que quede en la región interna de la curva de nivel.

π


Ejercicios 9.1. a) b)

c) d)

Se realiza un experimento con dos variables codificadas x1 = (X1-450)/10 y x2 = (X2-130)/5 y se obtienen los siguientes resultados: ¿Es necesario el uso de un modelo de segundo orden para aproxix1 x2 y marnos a la superficie estimada por y? 44.1 -1 -1 Razonar si un modelo de primer orden se ajusta bien a la superficie de 53.2 -1 1 47.3 1 -1 respuesta representada por y. (Use algún tipo de test de ajuste del 56.4 1 1 modelo.) 49.5 0 0 ¿Está el punto (X1,X2) = (268,98) en el camino de máximo decre51.0 0 0 cimiento? Dé un modelo que permita predecir los valores de la respuesta a través de los valores de X1 y X2 sin codificar.

Un experimentador ha realizado un diseño 25-1 con cuatro puntos añadidos en el centro y desea añadir una estrella a una distancia axial α y ne0 puntos en el centro. a) ¿Qué valor de se ha de seleccionar si se quiere conseguir rotabilidad? b) ¿Y si se quiere conseguir que los dos bloques sean ortogonales? c) ¿Se puede conseguir rotabilidad y ortogonalidad a la vez?

9.2.

9.3.

Realice un análisis canónico de la superficie: y = 6.88 + 0.0325 x1 + 0.2588 x2 - 0.1363 x3 - 0.1466 (x1)2 -0.0053 (x2)2 + 0.1359 (x3)2 obtenida por un análisis de regresión usando las variables codificadas: x1=(x1-5)/3, x2 =(x2-4)/10 y x3=(x3-25)/9 a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto estacionario y el valor de la respuesta en tal punto? b) ¿Qué tipo de superficie es? c) Realice un gráfico de contornos en función de x1 y x2 (variables codificadas originales) alrededor del punto estacionario, dejando fijo el valor de x3 en la coordenada que posee el punto estacionario.

9.4.

Un experimentador realiza un experimento con dos variables x1 y x2 alrededor del punto (90,20), para el que realiza cinco experimentos:

a) Ajuste un modelo a los datos y diga cuál de las siguientes observaciones estarían en la dirección del steepest ascent. El experimentador decide ahora combinar los dos experimentos de coordenadas (X1,X2,Y) = (43.25, 53, 65) y (34.75, 59,68) con las seis siguientes:

X1

80

100

80

100

90

X2

10

10

30

30

20

Y

11

0

29

6

12

X1

64.5

47.5

39

30.5

43.25

X2

38

50

56

62

53

34.75 59

Y

43

58

72

62

65

68

X1

34.75

43.25

39

39

39

39

X2

53

59

56

56

56

56

Y

71

68

71

72

72

73

b) Ajuste un modelo de primer orden a los datos. c) Realice un test de falta de ajuste usando las réplicas. d) Realice un dibujo de cómo han sido expuestos los experimentos con los respectivos valores de la respuesta.

221

10 Diseño de productos robustos

Las metodologías de diseño de experimentos y superficie de respuesta presentadas en los capítulos anteriores han sido utilizadas para la determinación de los factores que afectaban a una característica particular de calidad, para la selección de los niveles óptimos de tales factores, y para la estimación local de la relación existente entre la respuesta y los factores de diseño en la región de las condiciones óptimas. En la práctica, muchas características de calidad vienen afectadas por factores de difícil control o que no han podido ser controlados durante la obtención del producto, incluso por factores que aparecen una vez que el producto está en manos del cliente. Una manera de atacar este problema sería mediante el control de tales fuentes de variación, lo cual resulta caro y muchas veces imposible. Por el contrario, se pueden diseñar productos o procesos robustos que sean insensibles a estas causas. En este capítulo vamos a presentar la aplicación de las técnicas anteriormente citadas en la consecución de tales objetivos.

10.1 Concepto de producto robusto La definición que da el diccionario a la palabra robusto es “fuerte, vigoroso, sano, saludable”. Por ejemplo, decimos que un ciclista es robusto cuando su rendimiento queda poco afectado por los cambios que se producen en su entorno: pedalea con igual intensidad en días de sol o en días de lluvia, no le afectan las críticas de los periódicos, se adapta a los diferentes tipos de bicicletas, etc. En la industria también se desea obtener productos robustos y serán aquellos que mantengan sus características de calidad con un mínimo nivel de variabilidad. Como veremos en el apartado 10.2, esta variabilidad en el nivel de calidad es debida a factores externos (temperatura ambiente, humedad, etc.), internos (deterioro, etc.) y de producción (capacidad de los procesos de fabricación). Veamos dos situaciones en las que se desea obtener productos robustos, que serán analizadas en detalle a lo largo del capítulo. > Se desea obtener una fórmula para fabricar un suavizante de ropa. La característica de calidad que se estudia es su viscosidad. Se conocen el tipo de materia prima, la cantidad de estabilizante, el Ph del producto y el tipo y la cantidad de sales que han de entrar en la fórmula del producto. Ahora bien, la viscosidad así obtenida puede verse alterada una vez que el

223


224

π

producto esté en manos del cliente, debido al tiempo en que el envase del producto permanece abierto o debido a características del agua de lavado. El suavizante que se desea ha de ser robusto a estos factores externos a su fórmula, es decir, su viscosidad debe mantenerse en un nivel aceptable sea cual sea el agua de lavado o el tiempo en que el envase esté abierto. > Se desea diseñar un tubo calefactor seleccionando los niveles de tres parámetros de diseño: temperatura interior y exterior del cilindro calefactor y proporción entre diámetro exterior e interior. El tubo resultante, además de permitir el paso de un flujo determinado de calor por su superficie, ha de ser robusto, o insensible, a pequeñas variaciones en los parámetros de diseño. Esta preocupación reciente en las empresas por obtener productos robustos ha sido motivada por las demandas actuales del cliente dentro de un entorno competitivo muy particular. Un mismo producto puede ser fabricado en empresas situadas en zonas geográficas lejanas, las cuales pueden ser aprovisionadas por diferentes proveedores, e incluso tener diseñados sus procesos de diferente manera. Sin embargo, cuando el cliente compra un producto quiere que sea robusto a estas condiciones del mercado o a otras tales como las características culturales, condiciones ambientales, etc. El producto es identificado por la marca y no por la empresa que lo fabrica. Un cliente no satisfecho puede reclamar una compensación económica por la falta de calidad o incluso puede cambiarse a un producto de la competencia. Ello conlleva unas pérdidas económicas a la empresa que se estima que son directamente proporcionales a la desviación cuadrática de la característica de calidad respecto a su valor nominal u objetivo. Algunos autores prefieren hablar de una función matemática que mide la calidad de un producto en función de la desviaciones cuadráticas de cada individuo respecto al valor nominal. El ingeniero Genichi Taguchi (1986), por ejemplo, define la función de pérdidas que presentamos en el apéndice 10.A. El objetivo del diseñador es por lo tanto definir productos en los que las pérdidas debidas a estas fuentes de variación sean mínimas. No basta con fabricar bajo el nivel nominal, hay que hacerlo con la mínima variabilidad.

10.2 Variabilidad funcional La variabilidad entre productos una vez que éstos están en manos del cliente es inevitable. Sin embargo, si se identifican las causas de tales variaciones, se pueden tomar medidas con el fin de reducirla. Las causas que originan tal variabilidad pueden englobarse en tres grupos: > Causas que provocan variabilidad en el proceso que da lugar al producto, y que determinan la capacidad de aquél: variaciones en la materia prima, métodos de trabajo, mantenimiento, etc. > Causas en el entorno en que se usa el producto: variaciones humanas en el uso del producto, condiciones ambientales, etc. > Causas relacionadas con las características internas del producto: envejecimiento, deterioro de partes, etc. El efecto, en general impredicible, que estas causas producen sobre la característica de interés se denomina “ruido” y, por extensión, a las causas de tal variabilidad se las denomina factores ruido. Para reducir el ruido la empresa puede adoptar varias posturas. Una sería controlar los factores ruido que estén a su alcance (aquellos que aparecen antes de que el producto salga de la empresa), y segmentar la producción de acuerdo con los hábitos del consumidor. Esta postura es en general costosa y resulta imposible imaginársela implantada totalmente en las empresas. (Ello no quiere decir que sea totalmente descabellada; por ejemplo, algunas multinacionales del sector del automóvil ya están reduciendo al máximo el número de proveedores, lo cual reduce una gran fuente de variabilidad.)

π

DISEÑO DE PRODUCTOS ROBUSTOS

Una segunda estrategia más económica y eficaz, consistiría en tomar contramedidas contra cada una de las causas de variabilidad a lo largo de las etapas de desarrollo de un nuevo producto. La tabla 10.1 (Kackar 1985) presenta en qué fases del desarrollo de un producto es posible actuar para minimizar el efecto de cada una de las causas de variabilidad. CAUSAS DE VARIABILIDAD

(RUIDO) FASES DEL DESARROLLO DE UN PRODUCTO

O Contramedidas posibles X Imposibilidad de contramedidas

Externas (Ambiente)

Internas (Deterioro)

Producción (Fabricación)

Diseño del producto

O

O

O

Diseño del proceso

X

X

O

Proceso de producción

X

X

O

Tabla 10.1 Contramedidas posibles en cada una de las fases del desarrollo de un producto

Estas etapas, de una manera simplificada, son las siguientes: Etapa de diseño del producto de acuerdo con las expectativas del cliente. Etapa de diseño del proceso que ha de generar los productos diseñados en la etapa anterior. Etapa de producción de acuerdo con las etapas anteriores en la que se obtendrá el producto final. La estadística, como ciencia que estudia los fenómenos a través de la cuantificación de la información procedente de los mismos, es de una gran ayuda en estas fases. Así, en la fase de producción, mediante la utilización del control estadístico de procesos (SPC) se controla el proceso para identificar la aparición de “causas asignables” de variabilidad y actuar sobre ellas de una manera adecuada para mantener el proceso bajo control (en el capítulo 11 se presenta este tema de una manera más amplia). En general, la reducción de variabilidad utilizando sólo SPC (o por otra parte inspección del producto acabado) requiere inversiones económicas considerables (seleccionar los mejores proveedores, aumentar el mantenimiento de las máquinas, etc.); y el resultado final, una vez más, dependerá de lo bien que esté diseñado el proceso. En el diseño del proceso de producción también se pueden tomar medidas contra la variabilidad en la producción, escogiendo máquinas con la mínima capacidad o variabilidad, lo cual es también costoso. Sin embargo, sólo en la fase de diseño del producto se pueden tomar medidas contra cada una de las diferentes causas de variabilidad. Las técnicas estadísticas que hemos denominado diseño de experimentos robustos son técnicas que, aplicadas en las etapas del diseño del producto y del proceso, producen una reducción considerable de la variabilidad final del producto en manos del cliente y con una inversión económica, en general, inferior a cuando se utiliza sólo SPC. > > >

10.3 Metodología del diseño Las primeras ideas para conseguir el aseguramiento de la calidad de un producto centrando los esfuerzos especialmente en su fase de diseño, se deben al ingeniero Genichi Taguchi, quien comenzó a aplicar las técnicas de diseño de productos robustos a comienzos de los años 80. G. Taguchi (1986) divide la etapa de diseño del producto en tres fases claramente diferenciadas: > Diseño primario: consiste en el diseño conceptual o funcional del producto para responder a una necesidad del mercado. En esta fase utilizan conocimientos especializados del dominio.

225


π

>

Diseño secundario, o diseño de los parámetros: consiste en la obtención de los valores nominales óptimos de los factores, para minimizar la variabilidad de las características de calidad del producto. En esta fase se necesita de la colaboración de los técnicos del producto y de personal conocedor de las técnicas estadísticas de diseño y análisis de experimentos. > Diseño terciario: diseño de tolerancias, para garantizar la mínima variabilidad requerida, cuando la variabilidad final del diseño secundario es todavía excesiva. En este capítulo presentaremos las técnicas estadísticas que ayudan a la consecución del diseño secundario o diseño de parámetros. Estas técnicas comprenden la selección de una matriz de diseño adecuada y el análisis e interpretación de los resultados. A pesar de que existe una metodología ampliamente divulgada denominada “metodología de Taguchi”, para llevar a cabo los objetivos anteriormente citados, en los últimos años se han presentado críticas en cuanto a sus aspectos estadísticos y metodológicos y se han propuesto alternativas como las de Box (1986), Grima (1993), Maghsoodloo (1990), Ryan (1988), Shoemaker (1991), Tort-Martorell (1985), Tribus (1989) y Wu (1987). En este capítulo hemos optado por tomar aquellos aspectos del método de Taguchi que, siendo útiles por su simplicidad, no se alejan demasiado de la técnica óptima. Por otra parte, aquellos aspectos débiles en la metodología, tales como el análisis de los resultados, los hemos sustituido por métodos alternativos. El lector interesado en conocer los aspectos fundamentales de la metodología de Taguchi puede dirigirse al apéndice 10.B.

226

10.4 Diseño de parámetros El diseño de parámetros consiste principalmente en una estrategia de experimentación durante la etapa de diseño del producto o del proceso mediante la cual, con un análisis adecuado de los resultados, se determinan los niveles de los factores o parámetros del diseño, bajo los cuales se obtienen productos que cumplen el doble objetivo de presentar la característica de calidad lo más cercana al valor nominal deseado y con mínima variabilidad. La experimentación se realiza con los dos tipos de factores que hemos introducido anteriormente y que hemos denominado: > factores de control, > factores ruido. Los primeros son los factores cuyos valores pueden ser seleccionados por el experimentador durante el diseño del producto (o proceso): temperatura del horno, tiempo en el horno, porcentaje de enzima, etc. Llamamos factores ruido a aquellos factores que, afectando a la característica de calidad del producto (bien en las fases iniciales de fabricación, o bien cuando el cliente utiliza el producto), no pueden ser controlados, bien por los costes que ello implica o por otras causas, si bien en muchas situaciones será posible realizar experimentos con valores controlados de este tipo de factores. Algunos de estos factores son: la temperatura ambiente en la línea de fabricación, el conocimiento por parte del operario del proceso, la humedad relativa cuando se utiliza el producto, etc. La presencia de variabilidad, como ya hemos comentado en al apartado 10.2, es consecuencia del ruido externo y del ruido interno. Es decir, de la variabilidad provocada por factores no controlables y la transmitida por los factores de control. Durante la experimentación, los factores de control y algunos de estos factores ruido son seleccionados y prefijados para conocer su efecto en la característica de calidad.

π


Así, se podrán tomar contramedidas contra la presencia de variabilidad, si ocurre alguna de estas dos circunstancias: 1 Ruido externo: existen interacciones entre factores de control y factores ruido. Ello implica que el efecto del factor ruido en la respuesta depende del nivel en que se encuentre el factor de control. En consecuencia, se podrá seleccionar un nivel de este último donde la respuesta sea más insensible al ruido externo (ver figura 10.1). 2 Ruido interno: la relación entre los factores de control y la respuesta no es lineal. De esta manera, se puede seleccionar aquel nivel del factor de control en que la respuesta sea más robusta al ruido interno. A continuación presentaremos un método de selección de la matriz de diseño, así como la manera de analizar los resultados.

227

Fig. 10.1 Variabilidad transmitida por un factor ruido R para diferentes niveles del factor de diseño D a) La variabilidad transmitida por el factor R al cambiar de Ro a R1 es la misma para cualquier nivel de D. b) La variabilidad transmitida por R es diferente dependiendo del nivel en que se encuentre el factor de diseño D: existe por lo tanto una interacción entre el factor de diseño y el factor ruido. En este ejemplo, cuando D está en el nivel D1 la variabilidad transmitida es menor.

Fig. 10.2 Relación lineal y no lineal entre los parámetros del producto (o proceso) y la característica de calidad a) Si la relación entre el parámetro y la respuesta es lineal, la variabilidad que se transmite a Y, por la relación f(x), es de la misma magnitud en x0 o en x1. b) Sin embargo, si la relación entre el parámetro del diseño y la característica no es lineal, la variabilidad se transmite de manera diferente, dependiendo del valor en que esté fijado el parámetro. En x1 la variabilidad transmitida es menor que en x0.

10.5 Matriz de diseño Las dos circunstancias anteriormente citadas pueden ser detectadas mediante la experimentación, si se selecciona adecuadamente la matriz de diseño y se analiza convenientemente los resultados. En este apartado estudiaremos la selección de una matriz de diseño para diseñar productos robustos a la variabilidad externa. La metodología a seguir cuando se trabaja con ruido interno se presentará en el apartado 10.7 con un ejemplo.


π

La matriz de diseño deberá permitir estimar un modelo del tipo Y = β o + Σβ i X i + Σβ ij X i X j + Σβ k Z k + Σβ kl Z k Z l + Σβ ik X i Z k + ε

228

(10.1)

en el que una vez estimados sus parámetros, su correcta interpretación debe permitir alcanzar el valor nominal con la mínima variabilidad. > Aquellos efectos βik que sean significativos nos permitirán seleccionar los niveles de los factores de control Xi en que el producto sea más robusto a la variabilidad transmitida por los factores ruido Zk. > Aquellos factores Xi que sean significativos pero que no interaccionen con factores ruido, permitirán llevar la respuesta a su nivel nominal. > Aunque la estimación de los efectos de los factores ruido βk en principio no es útil, puesto que son factores que no se controlan, el conocimiento de su significación puede servir a los técnicos para replantear el diseño del producto o proceso. Por lo tanto, el diseño seleccionado debe permitir estimar, como mínimo, los efectos asociados a los factores Xi , XiXj, y Xi Zk (10.2) y será de ayuda si además permite estimar los efectos asociados a los factores ruido. Las soluciones dadas a este problema han sido principalmente tres: > Diseñar por separado las matrices para los factores de control y para los factores ruido y cruzar las dos para dar lugar a una matriz producto. Esta matriz producto puede ser obtenida a través de los diseños 2k-p propuestos en los capítulos 7 y 8 y también de los orthogonal arrays propuestos por Taguchi (1986). > Realizar un diseño fraccional de resolución V con todos los factores de control y ruido estudiados conjuntamente. > Seleccionar diseños especiales de resolución IV que no confundan las interacciones a estudio. La primera opción es la más sencilla. Además, permite seleccionar un grado de fraccionamiento diferente para cada tipo de factores. En general, el diseño para los factores ruido suele ser más fraccionado de lo que se acostumbra cuando se trabaja con factores de control. Ello es debido a que no estamos tan interesados en la estimación, libre de confusiones, de las interacciones entre factores ruido. Aunque la tercera opción conlleva la realización de menos experimentos que la primera y la segunda, la matriz producto está más difundida en la industria y es más fácil que sea seleccionada por personal poco experto. Es esta la razón principal que nos ha hecho decidirnos por presentar esta matriz en este capítulo aunque existen otras razones de tipo analítico (con esta matriz se puede desglosar mejor la variabilidad debida al ruido en: la transmitida por los factores ruido que han intervenido en el z1 experimento y el ruido ajeno a estos). z1 Factores ruido Factores ruido z2 z2 Matriz externa La matriz de diseño se representa con Matrizexterna z3 z3 Factoresde Factores dediseño diseño dos entradas tal como aparece en la figura 10.3. .. x1, x2 x2, x3. ... . x1 x3 . Por una parte aparecen los k factores de control combinados según un diseño 2k-p y, por otra, los r factores ruido combinados según otro diseño Matriz interna Matrizproducto Matriz producto Matriz interna 2r-q. Por consiguiente, se obtienen 2k-p · 2r-q condiciones experimentales. Una vez aleatorizado el orden de experimentación de las 2k-p · 2r-q condiciones experimentales, se realiza cada experimento y se Fig. 10.3 Diseño de la matriz de experimentación 2k-p · 2r-q mide la característica de calidad. Las filas de la

π


matriz pueden ser consideradas como prototipos idénticos de un producto diseñado con los niveles de los parámetros de la parte izquierda de la tabla y sometidos a diferentes condiciones de los factores ruido. Si la muestra fuese lo suficientemente grande, la representación gráfica en histogramas de la característica de calidad en estos individuos daría una idea general de la distribución de la calidad del producto; bastaría con observar el centro de la distribución y su dispersión. Esta manera intuitiva de interpretar la matriz de diseño ha dado lugar a un análisis de los datos basándose en la información obtenida para cada “fila” o condición de los parámetros de diseño. Una vez más, existen diferencias en el tratamiento de estos datos. Remitimos al lector al apéndice 10.B si quiere obtener información sobre el método seguido por Taguchi basado en la señal ruido. Nosotros introduciremos al lector dos métodos de análisis que creemos que mejoran sustancialmente el enfoque expuesto en dicho apéndice: > El primero está basado en el análisis de los datos directamente de la matriz producto. Para llevarlo a cabo se obtendrán la media y la variabilidad para cada condición de diseño y se aplicarán las técnicas de análisis de los capítulos 7 y 8. Ello permitirá estimar los parámetros de un modelo del tipo: Y= β0 + Σ βi Xi + Σ βij Xi Xj + ε (10.3) > Para aplicar el segundo método juntaremos los factores de control y los factores ruido en una única matriz 2(k+r)-(p+q) y pasaremos a estimar los parámetros del modelo en (10.1) que es sensiblemente diferente al modelo en (10.3), puesto que incorpora los factores ruido en su estructura. Debemos decir que, si uno planifica analizar los resultados del experimento con la segunda opción, puede seleccionar la matriz producto de tal forma que el diseño 2(k+r)-(p+q) resultante sea óptimo en el sentido de máxima resolución a costa de, en general, no reproducir todas las condiciones de los factores ruido para cada condición de los factores de control. A continuación presentamos el ejemplo de suavizante donde se aplicarán los métodos de análisis aquí mencionados.

10.6 Ejemplo de producto robusto a ruido externo: suavizante El experimento que se presenta a continuación está relacionado con un suavizante de ropa. La característica de calidad que se estudiará es la viscosidad del producto; es deseable que sea lo mínima posible y robusta a factores externos. En un principio se han seleccionado cinco FACTORES DE CONTROL + factores de control partícipes en la fórmula del A Tipo de materia prima M1 M2 suavizante, y tres factores ruido que aparecen una B Cantidad de estabilizante baja alta vez el suavizante está en manos del cliente final. C Ph del producto 2.5 3.5 La tabla 10.2 presenta estos factores junto con los D Tipo de sales S1 S2 niveles en que se trabajó. E Cantidad de sales baja alta El diseño seleccionado ha sido un 25-2 · 23-1 con generadores: FACTORES RUIDO + > D=AB y E=BC para los factores M Tiempo que el producto está abierto < 10 días ≥ 10 días de control, N Tipo de agua blanda dura > O=MN para los factores ruido. O Temperatura del agua fría templada Nótese que, si juntamos dos k-p r-q diseños de la forma 2 y 2 , el resultado se podrá interpretar como un Tabla 10.2 Factores que toman parte en la experimentación con sus niveles

229

π


diseño 2(k+r)-(p+q) que, en general, no es de máxima resolución. En este caso podemos considerar el diseño como un 28-3. La matriz del diseño junto con los resultados de la viscosidad medida en centipoises se encuentra en la tabla 10.3.

M.PRIMA

ESTABILZ.

PH

T. SALES

C. SALES

TIEMPO

-

+

-

T. AGUA

-

-

+

+ +

ºC AGUA

+

-

-

+

-

-

-

+

+

3200

4500

175

1560

+

-

-

-

+

37.5

42.5

300

242.5

-

+

-

-

-

1600

475

137.5

60

+

+

-

+

-

1900

2200

302.5

3660

-

-

+

+

-

125

112.5

965

1900

+

-

+

-

-

250

325

325

1920

-

+

+

-

+

50

112.5

445

2050

+

+

+

+

+

175

97.5

492.5

340

Tabla 10.3 Matriz de diseño y resultado del experimento para el ejemplo del suavizante

230

En la parte izquierda están definidos los niveles en que se han colocado los factores de control para todas las condiciones de ruido situadas en la parte superior derecha de la tabla. Para cada una de estas condiciones se obtienen cuatro suavizantes (en el orden de experimentación preestablecido), que son sometidos a las condiciones de ruido que vienen dadas por los niveles de la parte superior derecha de la matriz Así, en la primera fila aparecen los cuatro suavizantes fabricados con la fórmula determinada por la materia prima M1, el estabilizante E1, con ph 2.5, con el tipo de sal S2 y con una cantidad de sal alta. Éstos, como todos los demás, han sido sometidos a las cuatro condiciones de ruido. M. PRIMA

ESTABILIZ.

PH

T. SALES

C. SALES

Y

LOG(s)

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

2358.7 155.6 568.1 2015.6 775.6 705.0 664.4 276.3

3.28 2.13 2.85 3.14 2.92 2.90 2.97 2.25

Tabla 10.4 Media y variabilidad en el ejemplo del suavizante

Análisis de los datos. Método de matriz producto Como hemos comentado anteriormente, para cada condición experimental de los factores de control deberemos hallar la media y la variabilidad a lo largo de las condiciones de ruido, y obtendremos los resultados de la tabla 10.4. Para estimar los parámetros del modelo (10.3) para la media, por una parte, y para la variabilidad por otra, se pueden utilizar los mismos procedimientos utilizados en los capítulos 7 y 8.

π


EFECTOS

MEDIA

LOGN(S)

media A+BD B+AD+CE C+BE D+AB E+BC AC+DE AE+CD

939.9 -303.6 -117.7 -669.2 833.3 -152.3 74.2 -992.0

2.81 -0.40 -0.01 -0.09 0.18 -0.30 0.03 -0.53

Tabla 10.5 Efectos sobre la media y la variabilidad en el ejemplo del suavizante (A= Materia prima; B= Estabilizante; C= Ph; D= Tipo de sales; E= Cantidad de sales)

Para ello se tomarán como respuestas la media, x , y una transformación logarítmica de la variabilidad, ln(s). (El uso de la transformación logarítmica es muy común cuando se modela la varianza debido a que los residuos no siguen la distribución normal. En este ejemplo, además, es doblemente aconsejable esta transformación por existir un rango muy amplio de variación en los datos.) Aplicando el algoritmo de los signos a las dos respuestas, se obtienen las estimaciones de los efectos para la media y el logaritmo de la variabilidad que aparecen en la tabla 10.5. Llevando estos resultados a un gráfico en papel probabilístico normal se obtienen los gráficos representados en la figura 10.4.

D+AB

E+BC C+BE AE+CD

A+BD AE+CD

231 A

B

Fig. 10.4 Representación en papel probabilístico normal de los efectos sobre la media A) y sobre la variabilidad B). (A= Materia prima; B= Estabilizante; C= Ph; D= Tipo de sales; E= Cantidad de sales)

Se puede apreciar que los grupos de efectos significativos son: > >

AE+CD, C+BE y D+AB para la media, AE+CD, A+BD y E+BC para la variabilidad.

Aunque existen confusiones debido al fraccionamiento del experimento, los expertos en el tema consideraron que no tenía sentido la existencia de la interacción AE y BE, así como que D era un fuerte candidato a tener influencia en la viscosidad media, lo cual por otra parte tiene bastante sentido. Por lo tanto, para el estudio de la media se seleccionaron C, D y su interacción CD. En el estudio de la variabilidad se seleccionaron como posibles efectos significativos (a falta de experimentos para confirmarlo) los efectos A, E y su interacción AE. Con los resultados del análisis se pueden obtener los modelos que permitan una aproximación lineal en la zona de experimentación (ver el capítulo 9 para aproximaciones más complejas) de la media y la variabilidad de la viscosidad en función de los factores de diseño. Estos modelos son: > Viscosidad media = 940 - 335 Ph + 417 T. Sales -496 Ph · T. Sales + e V(e) = 259.52 > Logn(s) = 281 - 0.20 M. prima - 0.15 C. sales - 0.27 M. prima · C. Sales + e V(e) = 0.1432 En ninguno de los dos modelos se ha detectado evidencia alguna de comportamiento anómalo en los residuos; por lo tanto, a continuación pasaremos a seleccionar aquellos niveles que optimicen las dos funciones.


π

Optimización de la variabilidad Se desea un suavizante con una viscosidad lo más robusta posible a influencias de factores ruido, esto se traduce en que la variabilidad de la viscosidad del suavizante fabricado bajo una fórmula determinada (mismas condiciones de los factores de control) ha de ser mínima. Del análisis de la figura 10.5 se extrae que ello se consigue fabricando el suavizante con: Log(s) > materia prima: M2, C. sales (baja) > cantidad de sales: alta. En tal caso la variabilidad media C. sales (alta) esperada en los suavizantes, independientemente de los valores en que trabaje en los demás factores de control, será de M1 M2 M. prima logn(s) = 2.81 - 0.2 - 0.15 - 0.27 = 2.19 Fig. 10.5 Gráfico de la interacción materia prima · cantidad de s = exp (2.19) = 8.93 centipoises sales en el estudio de la variabilidad.

Optimización de la viscosidad media 232

Para la selección de aquellos niveles de los factores ph y tipo de sales que minimicen la viscosidad, es preciso analizar la interacción entre ellos, y para ello se ha construido la figura 10.5. Los niveles de los factores de control que minimizan la viscosidad son por lo tanto: > Ph: 2.5 > Tipo de sales: S1 Viscosidad Tipo sal (S2) Además, la viscosidad media esperada en media estos suavizantes será de: Tipo sal (S2) Visc. media = 940+335-417-496=362 centipoises. Por lo tanto, se concluye que el diseño del suavizante robusto al ruido externo queda 2.5 3.5 Ph definido por: > materia prima: M2 > cantidad de sales: alta Fig. 10.7 Gráfico de la interacción ph · tipo de sales en el > ph: 2.5 estudio de la viscosidad media > tipo de sales: S1 De los suavizantes fabricados en tales condiciones se esperará una viscosidad media de 362 centipoises con una variabilidad de s=8.93 centipoises. Análisis de los datos. Método de una única matriz (Box-Jones) Como comentamos en el apartado 10.3 de este capítulo, las técnicas de diseño robusto a la variabilidad externa se basan en la interacción existente entre factores de control y factores ruido. Este hecho provoca que la característica de calidad, al verse afectada por diferentes condiciones de factores ruido, varíe de manera diferente dependiendo del nivel en que se encuentre el factor de control.

π


En el análisis realizado anteriormente, en ningún momento se ha trabajado con interacciones entre factores de control y factores ruido. Para que estas interacciones, que aparecen en el modelo (10.1), puedan ser analizadas, se tienen que ordenar las condiciones experimentales de la matriz producto como si pertenecieran a una matriz única de un diseño fraccional con ocho factores en 32 experimentos. La matriz producto estaba formada por dos diseños, de generadores: > D=AB y E=BC en el diseño 25-2 para los factores de control > O=MN en el diseño 23-1 para los factores ruido. Si los interpretamos conjuntamente tendremos un diseño 2(5+3)-(2+1) =28-3, con tres generadores: D=AB, E=BC y O=MN y con relación de definición: I= ABD = EBC = MNO = ACDE = ABDMNO = EBCMNO = ACDEMNO. Como se puede comprobar, aunque este diseño es de resolución III, permite estimar sin confusiones las interacciones entre factores de control y factores ruido. Para analizar el problema del suavizante como un diseño 28-3 , los datos han sido colocados tal como aparecen en la tabla 10.6, y para las estimaciones de los efectos que se encuentran en la tabla 10.7 se ha utilizado la regla de los signos. Podemos clasificar los efectos estimados en tres grupos: 1 El grupo que incluye los factores de control y las interacciones entre ellos. 2 El grupo que incluye los factores ruido y las interacciones entre ellos. 3 El grupo que incluye interacciones de factores de control con factores ruido. Los efectos significativos (tanto efectos principales como interacciones) pertenecientes a factores del primer grupo determinarán los factores de control que influyen en la viscosidad media del suavizante. Los efectos significativos asociados a factores pertenecientes al segundo grupo nos informarán de aquellos factores ruido que afecten a la viscosidad media. Debido a la naturaleza de estos factores no se podrán seleccionar sus niveles óptimos. (Esta información es realmente importante en aquellos casos en que exista la posibilidad de cambiar el proceso para pasar a controlar algún factor ruido.) Los factores del tercer grupo que posean efecto significativo identificarán los factores de control que pueden ser seleccionados para que la variabilidad transmitida por los factores ruido sea mínima. Además, quedarán perfectamente identificados aquellos factores ruido que provocan tal variabilidad. (Una vez más esto puede hacer pensar a los técnicos del problema en la posibilidad de cambiar el diseño del proceso, el método de distribución de los productos,.etc.) En el ejemplo que nos ocupa, llevando los datos de la tabla 10.7 al papel probabilístico normal se observa que los grupos de efectos significativos son: AE+CD, C+BE, D+AB, M+NO, O+MN, CN, CDM+AEM y ACN+DEN >

>

>

Se observa que: aparecen los mismos factores de control afectando a la viscosidad media que en el análisis trabajando con la matriz producto: AE+CD, C+BE, D+AB. Por las mismas consideraciones anteriores seleccionaríamos C, D y CD como los que contribuyen a la viscosidad; los factores ruido M = “Tiempo en que el recipiente del suavizante está abierto” y O = “Temperatura del agua” influyen notablemente en la viscosidad media. Estos factores dependen totalmente del cliente, pero existe la posibilidad de desarrollar un recipiente de suavizante que cierre herméticamente, de tal forma que el factor M no sea tan importante; el grupo de interacciones CN, CDM+AEM y ACN+DEN puede ser utilizado para controlar la variabilidad en la viscosidad, seleccionando aquellos niveles de los factores de control en que el suavizante es más robusto a cambios en los factores ruido.

233

π


234

M. PRIMA

ESTABILZ.

PH

T. SALES

C. SALES

TIEMPO

T. AGUA

ºC AGUA

VISCOSIDAD

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

3200 37.5 1600 1900 125 250 50 175 4500 42.5 475 2200 112.5 325 112.5 97.5 175 300 137.5 302.5 965 325 445 492.5 1560 242.5 60 3660 1900 1920 2050 340

Tabla 10.6 Matriz de diseño 28-3 y resultados de la experimentación en el problema del suavizante

MEDIA A+BD B+AD+CE C+BE D+AB E+BC AC+DE AE+CD

939.9 -303.6 -117.7 -669.2 833.3 -152.3 74.2 -992.0

M+NO N+MO O+MN AM BM CM DM EM

569.8 -20.5 504.0 60.8 -83.3 -66.1 309.5 -61.1

AN BN CN DN EN AO BO CO

339.8 130.2 919.2 -343.9 -305.8 51.1 192.7 -12.0

DO EO ACM+DEM CDM+AEM ACN+DEN CDN+AEN ACO+DEO CDO+AEO

-2 -317.7 -204.5 -640.2 -681.1 242 -181.7 -271.7

Tabla 10.7 Estimación de los efectos en el ejemplo del suavizante para el diseño 28-3 (excepto en los seis últimos grupos, se han omitido las interacciones de orden 30 superior)

π


Si consideramos las interacciones CN y ACN como las de mayor contribución con el factor ruido N, y la AEM para el factor M, los gráficos en las figuras 10.7 y 10.8 ayudan notablemente en la interpretación y selección de las condiciones óptimas de diseño. Como se puede observar en la figura 10.7, la naturaleza de esta interacción no permite seleccionar un nivel para los factores M. prima y ph tales que la variación transmitida por el tipo de agua sea mínima. En todo caso los gráficos sugieren que tal vez con un ph intermedio se puedan lograr resultados esperanzadores. De la interpretación de la figura 10.8 en la que está representada la interacción de m. prima · c. sales con el factor ruido tiempo abierto se obtienen mejores resultados.

Ph (2.5)

Ph (3.5)

M. prima (M1) Viscosidad media

Viscosidad media

M. prima (M2)

M. prima (M2)

Blanda

M. prima (M1)

Dura

Tipo de agua

Blanda

Tipo de agua

Dura

Fig. 10.7 Gráfico de la interacción m. prima · ph · tipo de agua. M. prima (M1)

235

M. prima (M2)

C. sal (alto) C. sal (bajo) Viscosidad media

Viscosidad media C. sal (bajo) C. sal (alto) >10 días

<10 días Tiempo abierto

>10 días

<10 días Tiempo abierto

Fig. 10.8 Gráfico de interacción entre m. prima · c. sales · tiempo abierto.

Se observa que trabajando con la materia prima y la cantidad de sales a un “mismo nivel” ( M1 con cantidad de sal baja y M2 con cantidad de sal alta), la variabilidad transmitida es mucho menor. Por lo tanto, concluimos que para obtener un suavizante con mínima viscosidad y robusto al ruido externo, hemos de trabajar con: > ph de 2.5 y sales del tipo S1 si queremos conseguir mínima viscosidad; > con m. prima del tipo M2 y cantidad alta de sales o con menos sal si se trabaja con la materia prima M1 si se desea conseguir un suavizante robusto a la variabilidad transmitida por el efecto del tiempo abierto. Como el lector habrá comprobado, esta última forma de analizar los experimentos permite conocer más sobre el producto, ya que quedan identificados: > los factores ruido que tienen influencia en la media: M y O; > los factores ruido que pueden ser contrarrestados por medio de una selección adecuada del diseño: M y N.


π

Sin embargo, con el primer método de análisis de la matriz producto, la variabilidad estimada para cada condición de diseño tiene una componente debida a aquellos factores ruido ajenos a los controlados en la experimentación y, por lo tanto, podríamos decir que el producto resultante es “más robusto” que el obtenido con el método de la única matriz. Por la experiencia que hemos ido adquiriendo en la aplicación de las técnicas de análisis de los diseños de experimentos, no podemos decir que un método de análisis sea mejor que el otro. Por el contrario, ambos son válidos y complementarios. Del análisis conjunto los técnicos pueden obtener importantes conclusiones tanto para el objetivo particular que les ocupa como para futuras líneas de experimentación. (En todos los análisis aquí considerados se ha asumido que el orden de experimentación ha sido aleatorio. En la práctica algunos experimentadores no cumplen este requisito, fabrican prototipos seguidos para cada condición de la matriz de diseño y los someten uno detrás de otro a las condiciones de ruido. El experimentador que se encuentre en esta situación está rompiendo una de las hipótesis en que se basan los análisis aquí presentados y para un correcto análisis de los datos tendrá que aplicar las técnicas de análisis de varianza denominada split-plot (Milliken y Johnson (1984).)

10.7 Ejemplo de producto robusto a ruido interno: tubo calefactor

236

Se entiende por ruido interno la variabilidad que presentan ciertas características de calidad de los productos debido a que los valores que realmente toman sus factores de diseño no son los nominales, o, si lo son al principio, sufren una cierta variación a lo largo del tiempo. De forma análoga al caso de la existencia de ruido externo, la T1 metodología que se propone consta de las siguientes fases: > Establecer una hipótesis sobre el modelo de la respuesta. b T2 > Seleccionar un diseño apropiado que permita estimar los parámetros del modelo. a > Estimar los parámetros del modelo. > Analizar la media y la varianza en la respuesta. Como ya comentamos en el apartado 10.4 se puede analizar la variación transmitida por los factores internos y minimizarla sólo si la relación entre éstos y la respuesta es no lineal (ver figura 10.2). Fig. 10.9 Sección cilíndrica del Para poder detectar este tipo de relaciones no lineales debemos tubo calefactor experimentar con diseños que así nos lo permitan. Algunos de estos diseños, los denominados diseños centrales compuestos, fueron presentados en el capítulo 9. El ejemplo que vamos a presentar se trata del diseño de un tubo calefactor, tal como el que aparece en la figura 10.9, en el que la característica a estudio es el flujo de calor que pasa por la superficie. El objetivo es obtener un tubo de flujo 1400 cal/seg y lo más robusto posible a pequeñas variaciones en los parámetros de diseño. Éstos son: > T1 :Temperatura en el exterior del cilindro (ºC). > T2 :Temperatura en el interior del cilindro (ºC). > b :Diámetro exterior del cilindro (cm.). > a :Diámetro interior del cilindro (cm.). Para la realización del experimento se toma un tubo de 1 cm de largo, con un coeficiente de conductividad térmica de k=0.92 cal/seg cm ºC. Como se conoce la ley física que relaciona el flujo de calor con los parámetros de diseño:

π


Flujo = 2p(T2-T1)/ln(b/a) (10.5) no haría falta experimentar. Sin embargo, vamos a seguir los pasos que seguiría el experimentador en caso de desconocer tal ley, aunque los datos serán obtenidos al sustituir los parámetros de diseño en la fórmula. T1 T2 r FLUJO El modelo que el experimentador desea estimar será un 909.7 modelo de segundo orden del tipo: + 303.2 Y= β0 + Σ βi Xi + Σ βij Xi Xj + Σ βiiX2i + ε (10.6) + 4245.1 y para ello se han seleccionado las condiciones experimentales que + + 3638.7 aparecen en la tabla 10.8, + 330.5 basándose en las diseños que se presentaron en el capítulo 9. + + 110.2 Los niveles de los factores son: + -1.2 1.2 0 0 0 0 0

NIVELES DE LOS FACTORES

T1 T2 r

-1.2

-1

0

+1

+1.2

19

20ºC

25ºC

30ºC

31ºC

29.5ºC

35ºC

62.5ºC

90ºC

95.5ºC

1.08

1.1

1.2

1.3

1.32

Aplicando las técnicas expuestas en el capítulo 9 el modelo estimado por mínimos cuadrados es el que aparece en (10.7) una vez expresado en unidades originales. En éste, e representa la parte del flujo que no queda explicada por el modelo.

+ + 0 0 -1.2 1.2 0 0 0

+ + 0 0 0 0 -1.2 1.2 0

1542.1 1321.8 1188.8 1381.5 996.2 129.2 2248.4 2871.7 777.3

Tabla 10.8 Resultados de la experimentación con el tubo calefactor obtenidos de la fórmula física

Flujo = 57199 + 270.4 (T2-T1) - 95421 r - 193.1 (T2-T1) r + 39605 r2 + e (10.7) Si se realiza un análisis canónico a esta superficie utilizando las técnicas del capítulo 9, se observa que esta aproximación local de la superficie representa una cresta no estacionaria. La curvatura de la cresta la da la relación cuadrática del flujo con r, y la no estacionalidad la da la relación lineal con (T2-T1). Por lo tanto, para minimizar la variabilidad transmitida por los factores ruido, debemos utilizar la relación cuadrática existente entre el flujo y r. Veamos lo que ocurre si hacemos fijo T2-T1 = 50ºC. En tal caso el modelo anterior queda de la forma Flujo = 70719 - 105076 r + 39605 r2 + ε

(10.8)

y la transmisión de la variabilidad debido al ruido interno puede obtenerse a través de la expresión

∂ 2 sFuncion = ∑  Funcion ∂ X  s 2X  i  que en este caso particular toma la forma:

[

]

i

2 s Flujo = 10 9 11 − 16.6r + 6.3r 2 sr2

(10.9)

(10.10)

Tal expresión, para un valor fijo de Sr2 , es decreciente en el intervalo (1, 1.3) y tiene un mínimo en r =1.3. En consecuencia, si fijamos r =1.3 conseguimos un tubo calefactor lo más robusto posible al ruido interno (por supuesto que r no tiene que ser estrictamente 1.3; este resultado debe de confrontarse posteriormente con el de la media de flujo que se desee). Cabe notar que el valor seleccionado para r será válido para cualquier valor de T2-T1, a pesar de que ha sido hallado con un valor particular de T2-T1 =50.

237


π

Una vez minimizada la varianza, el valor medio del flujo de este calefactor se puede conseguir seleccionando adecuadamente el valor de T2-T1 . Así, si se sustituye en el modelo general (10.7) el valor r =1.3, se obtiene Flujo = 84.15 + 19.37 (T2 - T1) + e (10.11) y se logra el flujo deseado vario T2-T1. Puesto que el valor objetivo era 1400 cal/seg el valor de (T2-T1) ha de situarse en 73 ºC. En general podemos decir que la metodología de diseño de productos robustos a ruido interno: > utiliza las relaciones no lineales de la característica a estudio con determinados factores para seleccionar un nivel de estos últimos en el que la variación transmitida sea mínima, > utiliza las relaciones lineales de la característica a estudio con determinados factores para llevar el valor medio de la característica a su valor nominal.

10.8 Diseño de tolerancias

238

En el apartado 10.3 hemos citado el diseño de tolerancias como una de las fases diferenciadas en la etapa de diseño de un producto o proceso, al cual se recurre cuando una vez aplicada la fase de diseño de parámetros la variabilidad resultante no es todavía satisfactoria. En el diseño de tolerancias se toman decisiones sobre la variabilidad que se está dispuesto a admitir en las componentes de un producto. Una de las implicaciones es que hay que poner cotas de variación a los parámetros de diseño. Para ello hay que evaluar la variabilidad transmitida por cada componente del diseño en el producto final, a partir del modelo estimado en el diseño de parámetros. La aplicación del diseño de tolerancias es costosa en general, ya que conlleva la selección de proveedores más caros, máquinas más capaces, mantenimiento más rígido, etc. En el ejemplo del tubo calefactor del apartado 10.7, se trataría de seleccionar aquellos proveedores de tubos calefactores que fuesen más capaces en el suministro de tubos de determinada proporción r = b/a. Es decir, aquellos cuya sr fuese menor. Asímismo habría que seleccionar aparatos precisos de medida, etc. A aquellos lectores que deseen ampliar el tema les recomendamos la lectura de Taguchi (1986).

π


Apéndice 10A. Función de pérdidas El ingeniero Genichi Taguchi introdujo una nueva filosofía de la calidad impulsada por los cambios que los sistemas productivos han experimentado en los últimos años. Taguchi da una medida de calidad de un producto basada en la pérdida económica que supone la variación de las características de tal producto respecto de los valores nominales para los cuales está definido. En general, dada una característica de calidad Y con valor nominal τ, la relación existente entre diferentes valores de tal característica y las pérdidas económicas ocasionadas por tales variaciones puede ser aproximada por una función cuadrática P(y): P( y ) = k ( y − τ ) 2

(10.12)

Tal función puede ser interpretada como una función determinante de la calidad de un individuo cuya característica de calidad tiene el valor y. Aunque la relación real sea más compleja, P(y) puede ser considerada como una aproximación local obtenida con los términos cuadráticos del desarrollo de Taylor de la función teórica en torno el valor mínimo τ. La figura 10.A.1 representa la función P(y). Como se observa, cuanto más alejado se esté del valor nominal, más pérdidas se ocasiona al cliente y, por lo tanto, según la definición anterior, menos calidad tiene el producto. Cuando el producto está en el valor nominal τ, el coste del producto es el mínimo que se puede obtener. Por otra parte el valor de la constante k queda determinada en el momento que se conoce las pérdidas en cualquier valor de la característica distinta del valor nominal. Por ejemplo si se conoce la pérdida en el valor y = a, k se obtendrá mediante la fórmula 239

P( a ) k= ( a − τ )2

(10.13)

Sin embargo, cuando se habla de un producto, se engloban las diferentes unidades fabricadas por el proceso considerado. Tales unidades presentarán variabilidad en cuanto a la característica de calidad a estudio y, por lo tanto, cada una de ellas poseerá diferente calidad. Por consiguiente, la pérdida esperada para un proceso en su conjunto, en cuanto a una característica de calidad determinada, se obtendrá promediando la calidad de las diferentes unidades producidas. Esta calidad se obtiene hallando el valor esperado de la función de pérdidas P(y), L( y ) = E ( P( y )) = E ( k ( y − τ ) 2 ) = k (σ 2 + ( µ − τ ) 2 )

donde µ y σ2 representan la media y la varianza que presenta la característica una vez está en manos del cliente. Dado que en general se procurará que µ = E(y) = τ (10.15) se tendrá (10.16) L(y) = k σ2 De (10.16) se deduce que no basta con centrar un proceso en su valor nominal, sino que hay que hacerlo con la mínima variabilidad.

Figura 10.A.1 Función de pérdidas

π


Apéndice 10B Método de Taguchi

240

Las aportaciones de Genichi Taguchi a la ingeniería de la calidad son unánimemente reconocidas como una de las más importantes en los últimos tiempos (Box 1988), (Kackar 1985), (Ross 1988). A él se deben las primeras ideas para dar mayor énfasis a la etapa de diseño del producto en la mejora de la calidad, tal como se ha comentado en el apartado 10.2. Esquemáticamente, esta metodología puede resumirse en las siguientes etapas: a. Identificación de los factores de diseño, de los factores de ruido y de sus niveles de experimentación. El diseñador del producto debe identificar las variables que presumiblemente afectan a las características de interés, así como los niveles a los que conviene experimentar. Igualmente deberá identificar los factores de ruido y decidir entre qué niveles de estos factores se desea que el producto sea insensible. b. Construcción de las matrices de diseño (para los factores de control y para los factores de ruido), y planificación del experimento. Las matrices de diseño, tanto para los factores de control como para los de ruido, son, en esencia, del tipo de las comentadas en los capítulos 7 y 8, aunque Taguchi utiliza los denominados orthogonal arrays (ver Taguchi (1986)). Los experimentos se realizan para cada una de las condiciones de la matriz de factores de ruido (matriz externa) en cada una de las condiciones de los factores de control (matriz interna), formando la llamada matriz producto. (Véase la figura 10.B.1.) c. Realizar los experimentos y evaluar el estadístico adecuado. Una vez obtenidos los resultados experimentales para cada una de las condiciones de la matriz de diseño, se calculan dos estadísticos: la media y el denominado “proporción señal-ruido” (θ). La optimización de los valores de los factores de diseño se resuelve en dos etapas: i) Determinar los factores que afectan a la proporción señal-ruido y escoger los valores que lo maximizan. ii) Seleccionar algún factor que, teniendo influencia sobre el nivel de la respuesta tenga un efecto lo menor posible sobre la prporción señal-ruido. Éste será el factor que se utilizará para llevar la respuesta al nivel deseado.

Factores ruido Factores de ruido

Factores de diseño Factoresdediseño

x1 ... . x1 x2 x2x3x3

z1 z1 z2 z2 z3 z3 ..

Matriz externa Matrizexterna

. .

Matriz interna Matriz interna

Matriz producto Matriz producto

Figura 10.B.1: Matriz producto según el plan experimental propuesto por Taguchi

Taguchi propone diferentes proporciones señal-ruido según el objetivo que se persiga. Así, si lo que se pretende es minimizar la respuesta, se deberá trabajar en las condiciones que maximicen:

π


 ∑ Yi r θ ( x ) = − 10 log  i =1  n  n

2

  

(10.18)

Si el objetivo es que la respuesta sea lo mayor posible, se maximiza:  ∑ n (1 Y ) 2  r i  θ ( x ) = − 10 log  i =1   n   Y si se trata de mantener la respuesta en su valor nominal, se maximizará:

(10.19)

r Y2 θ ( x ) = −10 log 2 s

donde: r x: Vector que representa una determinada combinación de niveles de los factores de diseño. Yi: Respuesta en la condición i-ésima de la matriz externa. n: Número de condiciones experimentales de la matriz externa. s2: Varianza de las respuestas obtenidas en cada una de las condiciones experimentales r definidas por la matriz externa, para un determinado valor de X . d. Analizar la significación de los efectos. Los resultados se analizan mediante tablas de análisis de la varianza. Esta técnica de análisis de la significación de los efectos es uno de los aspectos más controvertidos del método de Taguchi. (Box (1986), entre otros, ha realizado un detallado análisis crítico sobre este aspecto.) e. Realización de experimentos confirmatorios. Antes de dar definitivamente por bueno el resultado obtenido, Taguchi propone la realización de una serie de experimentos para confirmar que las condiciones obtenidas como óptimas son efectivamente las mejores.

241

π


Ejercicios 10.1. Con el objetivo de fabricar un material que, tras haber sido usado durante un cierto tiempo bajo condiciones extremas diferentes, presentase el mínimo desgaste en una prueba estándar, siendo ese desgaste lo más independiente posible de aquellas condiciones externas, se realizaron ocho experimentos con los resultados siguientes: FACTORES C

CONDICIONES EXTERNAS

A

B

D

E

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 Diseño actual

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1

c1 12 6 9 8 16 18 14 16 17

c2 12 10 10 8 14 26 22 13 22

c3 10 3 5 5 8 4 7 5 7

c4 13 5 4 4 8 2 5 4 12

c5 3 3 2 3 3 3 3 11 10

c6 3 4 1 4 2 3 4 4 8

c7 16 20 3 9 20 7 19 14 18

c8 20 18 2 9 33 10 21 30 25

a) Encuentre el diseño óptimo del producto razonando el método que se ha utilizado para llegar a él. b) ¿Qué factor transmite más variabilidad en el desgaste? (Suponer σA2 = σB2 = σC2 = σD2 = σE2) c) Comparar el diseño óptimo óptimo con las condiciones actuales 242

10.2. Se dispone de tres factores controlables A, B, C y un factor ruido 0. Tras conducir un experimento adecuado se obtiene: MEDIA

A

B

C

AB

AC

BC

ABC

7.8 0.3

0.5 -0.8

0.4 0.1

-1 -0.2

0.8 0.3

0.2 0.0

-0.1 0.5

0.2 0.2

Efecto nivel (media) Efecto variable (log S)

¿Cuál sería la manera de conseguir una respuesta lo más baja posible con el mínimo de variabilidad? 10.3. En un departamento de una empresa se quieren conocer los factores que influyen en el contenido de CO en determinado motor con el fin de reducir su presencia. Para ello se han seleccionado siete factores A, B, C, D, E, F, G, y se han realizado bajo ocho condiciones experimentales diferentes tres experimentos en condiciones adversas al proceso. Los resultados obtenidos de CO (en gramos) están en la tabla siguiente:

Nº

1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

C

D

E

F

G

R1

R2

R3

1 1 1 1 1 2 2 2 2

2 1 1 2 2 1 1 2 2

3 1 1 2 2 2 2 1 1

4 1 2 1 2 1 2 1 2

5 1 2 1 2 2 1 2 1

6 1 2 2 1 1 2 2 1

7 1 2 2 1 2 1 1 2

1.04 1.42 1.01 1.50 1.28 1.14 1.33 1.33

1.20 1.76 1.23 1.87 1.34 1.26 1.42 1.52

1.54 2.10 1.52 2.25 2.05 1.88 2.10 2.13

a) ¿Qué factores afectan a la media y a la variabilidad del contenido en CO? b) ¿Cuáles son las condiciones óptimas de trabajo? ¿Qué concentración media se espera encontrar? ¿Con qué variabilidad?

11 Control estadístico de procesos

Consideremos que el proceso de relleno de botellas de agua mencionado en el capítulo 3, que tenía de especificaciones 200 ± 2 cm3, está en estado de control rellenando con una media µ=200 cm3 y desviación típica σ = 0.7 cm3. Supongamos que cada hora se toman datos del contenido de un número determinado de botellas. ¿Qué estrategia se ha de seguir, basándose en esta información, para poder detectar lo antes posible cambios en el proceso que provoquen el relleno de botellas fuera de tolerancias? En este capítulo se presentará la herramienta estadística denominada control estadístico de procesos (CEP o SPC en términos anglosajones), que ayudará a llevar a cabo los objetivos que presentamos en el siguiente apartado, uno de los cuales es el anteriormente planteado con la línea de embotellado. El CEP utiliza gráficos de control que dependen del tipo de característica a estudio y de la naturaleza de cada proceso. Los gráficos que presentaremos en este capítulo son los que corresponden a las situaciones más generales que presentan los procesos. Para aquellas situaciones más específicas, se recomienda al lector la bibliografía que se propone al final del libro: Box y Kramer (1992), Douglas y Montgomery (1991), MacGregor (1990) y Montgomery (1991) entre otros.

11.1 Evolución del CEP y objetivos Las técnicas de control estadístico de procesos comenzaron a ser desarrolladas en 1920 en EEUU por W. A. Shewart, cobrando especial importancia su utilización durante la Segunda Guerra Mundial en las empresas de armamento. Hasta entonces las pruebas de calidad que se adoptaban en las empresas estaban basadas principalmente en la inspección de los productos una vez acabados, eliminando los defectuosos. Este procedimiento se reveló ineficaz por los motivos expuestos en el capítulo 1 de este libro y el control de la calidad se desplazó al proceso de fabricación. A partir de entonces el control de procesos ha ido evolucionando respondiendo a las necesidades de la industria dando lugar a dos corrientes. La primera, que sigue denominándose control estadístico de procesos (Statistical Process Control, SPC), ha estado más relacionada con las industrias de producción en serie y se desarrolló principalmente a partir de la crisis de los años 70 en empresas relacionadas con el sector de automoción. A la segunda corriente se la denomina control adaptativo o automático de procesos (Automatic Process Control, APC) y ha estado más ligada a empresas de

243

MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

244

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

π

producción continua, como pueden ser las empresas químicas. Hoy en día la utilización de unas técnicas u otras es compartida cada vez más por ambos sectores industriales. En este capítulo presentaremos el CEP remitiendo al lector a la lectura de Box y Kramer (1992) si desea comparar ambas técnicas o encontrar referencias sobre la práctica de APC. En primer lugar, podemos decir que los objetivos principales del CEP son los siguientes: 1) Minimizar la producción defectuosa. 2) Mantener una actitud de mejora continua del proceso. 3) Comparar la producción respecto a las especificaciones. Para poder llevar a cabo estos objetivos hay que tener en cuenta, como diría Bill Hunter, que todo proceso genera un producto, pero además genera información. Información que se puede obtener tomando datos numéricos de las características de los productos que salen del proceso y tratándola adecuadamente. La información permite “escuchar” el proceso y poder llevar a cabo los objetivos anteriormente citados. Con la actual filosofía de la calidad total, no basta con conseguir el objetivo 1) de minimizar la producción defectuosa; hay que mantenerse en una mejora continua, tal como se comentó en el capítulo 1, y los estándares internos de fabricación se han de ir cambiando independientemente de las especificaciones externas del cliente. Además, las técnicas de CEP han de ser aplicadas lo más próximas posible al proceso que genere la información para poder disminuir el tiempo de reacción ante el proceso. Por ello, han de ser sencillas de utilizar e interpretar para que los operarios puedan utilizarlas sin apenas necesitar la ayuda de los especialistas en CEP. Para un correcto seguimiento de este capítulo es recomendable que se revisen los conceptos desarrollados en los capítulos 3 y 4.

11.2 Proceso en estado de control En el apartado 3.1 del capítulo 3 se definió un proceso en estado de control como aquel que sólo está afectado por causas comunes de variación. En la tabla 3.1 del mismo capítulo se presentaron las principales características asociadas a las causas comunes y asignables, una de las cuales es la posibilidad de modelar matemáticamente la variabilidad asociada al efecto de las primeras. Para presentar las filosofía de los gráficos de control es necesario identificar el modelo que subyace en un proceso en estado de control, es decir, se ha de clasificar la característica de interés bajo los modelos más comunes presentados en el capítulo 4: ley Normal, Binomial y Poisson. 11.2.1 Comportamiento esperado de las observaciones individuales en un proceso en estado de control Volvamos al ejemplo del proceso de relleno de botellas de agua que, en estado de control, trabaja con media µ=200 cm3 y desviación típica σ =0.7 cm3. Supongamos que se toma una botella a intervalos de tiempo fijo y se anota su contenido en un gráfico como el que aparece en la figura 11.1. Como ya se mencionó en el apartado 4.1, el modelo matemático que caracteriza tal proceso es la ley normal y observamos que “la mayoría” de estas botellas están dentro de unos límites representados por µ±3σ del proceso. En este caso particular, los límites son 197.9 y 202.1 cm3, obtenidos por el conocimiento previo que se tenía de los parámetros (en el apartado 11.4.1 se explica cómo estimar estos parámetros cuando sean desconocidos). Además, observamos que los valores

π

aparecen de forma aleatoria alrededor del valor central representado por la media. Supongamos ahora que durante el proceso de toma de datos se desajusta la máquina de relleno en 1 cm3 pasando a rellenar con media 201 cm3 e igual dispersión, tal como muestra la figura 11.2.a. Observamos que ha habido un aumento considerable de las observaciones apareciendo por encima de la media. Incluso, alguna de estas observaciones aparece más allá de los límites marcados por el proceso anterior. Si, en cambio, el desajuste de la máquina provoca un aumento en la variabilidad del proceso de relleno, pasando de σ=0.7 a σ = 1, los valores en la figura 11.2.b aparecen más dispersos, aunque en torno al mismo valor central. Se observa que el contenido de alguna de las botellas va más allá de los límites originales. De lo hasta aquí expuesto se intuye que una herramienta de control de aparición de causas asignables podría ser un gráfico que contenga: > una línea central que representa a la media del proceso; > dos límites, superior e inferior, a distancia de 3 σ de la línea central. Así, el control se realizaría tomando un individuo del proceso, midiendo la característica de interés y anotando este valor en el gráfico. Si estos valores surgen más allá de los límites se interpreta como que una causa asignable ha entrado en el proceso. (Lo mismo ocurre si se detecta cualquier otro patrón de tendencia en los datos, como se verá en el apartado 11.4.4.) Uno de los inconvenientes que presentan los gráficos así construidos es que si el desajuste en el proceso es “pequeño”, la aparición de botellas más allá de los límites de ± 3 σ puede no ocurrir o hacerlo con mucha demora. Por ello es necesario obtener los límites de

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

Fig. 11.1 Contenido en cm3 de 50 botellas de agua de un proceso en estado de control

245

Fig. 11.2 Contenido en 50 botellas cuando el proceso se ha desajustado: a) la media de 200 cm3 a 201 cm3. b) la desviación típica de 0.7 cm3 a 1 cm3 con media de 200 cm3


π


control de modo que se acorte el tiempo de detección de un desajuste sin que, por otro lado, aumente mucho la probabilidad de “falsas alarmas”. Esto se puede conseguir en el proceso de embotellado si, en lugar de tomar una botella cada vez, se toma una muestra de botellas y se analiza el comportamiento del contenido medio de la muestra. Como se vio en el apartado 4.9, la distribución muestral de la media de un proceso en estado de control es N(µ, σ/ n ) y, por lo tanto, el gráfico de control tendrá los límites más estrechos. 11.2.2 Comportamiento de la media de un proceso en estado de control

246 Fig. 11.3 Gráfico del contenido medio de 4 botellas con µ=200 y σ=0.7 (observaciones1-20), con µ=201 y σ=0.7 (Observaciones 21-40) y con µ=200 y σ=1 (últimas 20 observaciones)

DESAJUSTE DEL PROCESO EN MEDIA

n=1 n=2

n=3

n=4

n=5

0.5 σ 0.6 % (464) 1.3 %* 1.4 %** (271)*** 1.9 % 1.6 % (181) 2.6 % 2.7 % (130) 5.0 % 5.1 % (52)

1σ 2.3 % (130) 4.5 % 5.6 % (52) 6.7 % 10.2 % (28) 8.8 % 15.9 % (18) 16.3 % 43.2 % (6)

1.5 σ 6.7 % (44) 12.9 % 19 % (14) 18.7 % 34.4 % (7) 24.2 % 50 % (5) 42.5 % 89.3 % (2)

2σ 15.9 % (18) 29.2 % 43.2 % (6) 40.4 % 67.9 % (3) 49.9 % 84.1 % (2) 74.9 % 99.6 % (1)

Tabla 11.1 Probabilidad de detección de cambios en la media del proceso * Tomando n observaciones aisladas. ** Tomando medias de n observaciones. *** Nº de muestras de tamaño n que se han de tomar para que exista una probabilidad de al menos 95% de detectar el cambio en el proceso.

La figura 11.3 ha sido obtenida al tomar cuatro botellas y anotar el contenido medio en las tres situaciones que se han trabajado en el apartado 11.2.1. Se observa que, al ser los límites más estrechos, el poder de detección aumenta. En efecto, se observa un mayor número de observaciones fuera de límites, y además el tiempo que transcurre desde que se produce el cambio hasta que se detecta es mucho menor que cuando se tomaba una única botella. De hecho, se puede comparar el poder de detección del gráfico de la media para distinto tamaño de muestra en función del cambio que se produce en el proceso. La tabla 11.1 presenta un análisis comparativo para cuando el desajuste se realiza en media. Se puede observar que para cambios moderados de 2 σ o más, la probabilidad de detección cuando se trabaja con una muestra es mucho mayor que cuando se trabaja con el mismo número de observaciones individuales. Además, hay que tener en cuenta en todos los casos que para obtener n observaciones individuales se deben esperar n unidades de tiempo, lo cual implica que el proceso está produciendo con este desajuste durante más tiempo. Por otra parte se observa que si el cambio es de 1.5 σ o menos, ninguno de los dos métodos de control, el de observaciones individuales o el de medias, son muy eficaces. En el apartado 11.6 se presentan gráficos alternativos para este tipo de cambios.

π


En el siguiente apartado profundizaremos sobre algunos de los aspectos más importantes de la estructura de los gráficos de control, tales como los límites del gráfico, la frecuencia de muestreo, quién ha de utilizarlos, etc.

11.3 ¿Qué es un gráfico de control? Metodología Un gráfico de control es un gráfico en el que se representa el comportamiento de un proceso anotando sus datos ordenados en el tiempo. El objetivo principal de los gráficos de control es detectar lo antes posible cambios en el proceso que puedan dar lugar a la producción de unidades defectuosas, y ello se consigue minimizando el tiempo que transcurre desde que se produce un desajuste hasta que se detecta. Asimismo, como ya se mencionó en el apartado 11.1, el CEP hay que verlo también como una herramienta de mejora continua de la calidad de los productos, puesto que hoy en día se mide la calidad de un producto como un valor que es inversamente proporcional a la variabilidad que presentan sus características de calidad en el cliente (ver apartado 3.1). Puesto que reducir la variabilidad debido a las causas comunes resulta más complejo, en general el CEP ayuda a la detección de causas asignables para tomar acciones en función de su naturaleza. Por lo tanto, el objetivo primordial de los gráficos es la detección rápida de la presencia de causas asignables en un proceso y para ello son importantes los siguientes puntos: 1) El riesgo que se está dispuesto a admitir cada vez que se decida que una causa asignable ha entrado en el proceso. 2) El cambio mínimo en el valor del parámetro que se desea detectar. 3) El tiempo medio esperado entre desajustes. Se entiende que un gráfico de control da “falsas alarmas” cuando las observaciones de un proceso en estado de control llevadas al gráfico son interpretadas erróneamente como señales de aparición de causas asignables. Para que esto no ocurra con frecuencia, se toman los límites tales que la probabilidad de falsa alarma sea del orden de un 3‰, es decir, se ha de estar muy seguro para aceptar que el proceso ha cambiado. Para ello, en el caso de la distribución normal los límites de control se han de situar a una distancia de la línea central de tres desviaciones típicas del estadístico que se sitúa en el gráfico. En cuanto al punto (3), el tiempo medio en que se producen los desajustes en el proceso determinará la frecuencia de muestreo: cuanto más estable es un proceso menos inversión (tiempo y dinero) debe dedicarse a controlarlo. Puesto que se ha de minimizar el tiempo de detección de un cambio en el proceso, la frecuencia de muestreo ha de ser superior a la del tiempo esperado entre cambios, tal como muestra la figura 11.4. Por otra parte, además del tiempo medio entre desajustes, es importante estimar los costes de producir fuera de control en este T(1) tiempo, de tomar datos del proceso y de ajustarlo y, en función de ellos, realizar una T(2) política de control lo más óptima posible. En el ejemplo de la figura 11.4, la Fig. 11.4 Frecuencia de muestreo T(1) y T(2) para un proceso opción T(1) es más cara desde el punto de vista en que se controla la media

247


π


del coste de control que la opción T(2), ya que la frecuencia de muestreo es mayor, pero tal vez los beneficios obtenidos al detectar antes un cambio en el proceso sean mayores en T(1). Por último, de poco o nada sirve lo hasta aquí expuesto, si la información que emana de los gráficos de control tarda en ser “escuchada” por aquellas personas que directamente pueden actuar sobre el proceso, o no se le presta la debida atención. Es decir, poner en marcha un sistema de control estadístico de procesos no consiste en: > rellenar plantillas de recogida de datos por parte de los operarios, para ser llevados a final de mes a un gráfico por parte de los técnicos y posteriormente ser archivados; > realizar un gráfico con los límites obtenidos la primera vez que se implementó el CEP, los cuales se observan que poco tienen que ver con la situación actual del proceso. El CEP es una técnica que ha de ser utilizada cerca del proceso y, por lo tanto, es recomendable que sean los operarios los que la utilicen. Para ello, los gráficos de control han de ser sencillos de construir e interpretar. En cuanto a la actualización de los límites de control en los gráficos, hemos de decir que los límites no se han de cambiar mientras no se tenga evidencia de que el sistema de causas comunes haya cambiado o de que cambia el procedimiento de toma de datos. A continuación presentamos los gráficos de control más comunes clasificados, de acuerdo con el tipo de característica que se controla, en gráficos de control para variables y para atributos.

11.4 Gráficos de control para variables 248

Se denominan así los gráficos de control para características continuas del producto o del proceso tales como: contenido en cm3 de un líquido, peso de un saco de pienso, viscosidad de una resina, intensidad de una tinta, temperatura de un horno, etc., las cuales, cuando el proceso está en estado de control, se distribuyen en general según la ley normal1. Un proceso del cual se está controlando una característica continua puede abandonar su estado de control por verse afectada su media, su variabilidad o ambas a la vez. Por consiguiente, hay que construir gráficos para controlar ambos parámetros por separado, no sólo la media. El control de la media del proceso se realiza, siempre que se pueda, a través de las medias de muestras de tamaño n, tal como se vio en el apartado 11.2.2. Si de las mismas muestras se calcula la desviación típica muestral s, se puede construir un gráfico de control para σ utilizando la distribución teórica de s presentada en el apartado 4.8 s2

≈

(

σ2

)

n −1

X n2−1

(11.1)

Así, tomando los percentiles adecuados de la chi-Cuadrado, se tendría un gráfico para s2 (notar que este gráfico no es simétrico). En la práctica, el cálculo de la varianza muestral resulta difícil para personal poco familiarizado con la estadística y se recurre a calcular el rango de variación muestral R, que se define como la diferencia entre las observaciones extremas. Se puede demostrar matemáticamente que existe una relación entre s2 y el rango muestral para muestras de tamaño n y tal relación es:

1

Si no se distribuyen las observaciones individuales, si lo hacen las medias para tamaño suficientemente grande (teorema central del límite.)

π


s = σ$ =

R d2

(11.2)

donde d2 se puede encontrar, para diferentes tamaños de muestra, en la tabla H del apéndice 1 al final del libro. A continuación se presentan los gráficos más utilizados para características continuas.

11.4.1 Gráficos X -R El CEP utilizando gráficos X -R se lleva a cabo tomando muestras de n individuos (entre dos y seis), calculando la media y el recorrido muestral y llevando estos valores a los gráficos correspondientes. Las muestras han de ser obtenidas de tal forma que contengan individuos homogéneos, es decir, producidos bajo las mismas condiciones; así, los estadísticos que se obtengan de ellos, la media y el recorrido, serán buenos estimadores de los parámetros del proceso. Es decir, debe procurarse que, durante el tiempo que el proceso fabrica los individuos que forman parte de una muestra, sólo hayan actuado causas comunes de variabilidad. Los límites en los gráficos se colocan en

σ n µ o σ µ −3 n µ+3

Límite superior Gráfico X

Límite central Límite inferior

Gráfico R

Límite superior

D4 R

Límite central

R

Límite inferior

D3 R

x + A2 R

o

(11.3)

x

249

x − A2 R

o

(11.4)

donde los valores de A2, D3 y D4 se pueden encontrar, para distintos tamaños de muestra, en la tabla H del apéndice 1 al final del libro. En aquellos casos en que no se tenga una estimación de los parámetros del proceso en el momento de implementar los gráficos de control, o se desee recalcularlos, se han de seguir los siguientes pasos: 1) Tomar k (al menos 20) muestras de tamaño n (entre dos y seis) de forma consecutiva y a intervalos de tiempo iguales, calculando la media y el rango de cada muestra: xi 1 + xi 2 + K + xin Ri = max. xij − min. xij j = 1, 2 , 3,K , n n 2) Calcular la media de las k medias muestrales y la media de los k rangos: xi

( )

=

( )

k

x

=

k

∑ xi i =1

k

(11.5)

R

=

∑ Ri i =1

k

3) Calcular los límites de control del gráfico mediante las expresiones (11.3) y (11.4).

(11.6)


250


π

4) Llevar los valores de las medias y los rangos de las muestras obtenidas a los gráficos y comprobar que no hay ningún tipo de comportamiento anómalo en ninguno de ellos. En tal caso, pasar al apartado siguiente. Si existe evidencia de que durante la construcción del gráfico el proceso no ha estado bajo control, se han de buscar las causas asignables y actuar sobre ellas. Sólo en este caso se reconstruirá el gráfico eliminando las anomalías y comenzando en el paso 2). En aquellos casos en que hayan variado notablemente las características del proceso, debe comenzarse desde el principio. 5) Mantener los límites de control calculados en el apartado 3) y establecer un plan de control para el futuro con el objetivo de realizar un seguimiento del proceso. Para ello, dependiendo de las características del proceso (coste de inspección, producción diaria, coste de producir fuera de especificaciones) se toman muestras de tamaño n en intervalos de tiempo determinado y se lleva la media muestral, x i, y el recorrido, Ri, a los gráficos correspondientes. Una llamada de atención en uno de los gráficos, equivale a que una causa asignable ha entrado en el proceso. En este caso, se ha de buscar la causa asignable y deben tomarse las acciones adecuadas para llevar al proceso a su estado de control. Cuando la construcción de los gráficos se hace manualmente, existen plantillas que han sido adoptadas con pequeñas variantes en las empresas. En ellas, además del espacio reservado para los gráficos, existen casillas donde se debe anotar toda la información que pueda ayudar a una posterior interpretación del gráfico. Un ejemplo de esta plantilla se presenta al final del capítulo. El gráfico de la figura 11.3 es un caso particular del uso del gráfico X . En él, los límites se han calculado a partir de las primeras 20 observaciones que se encuentran en la tabla 11.2. Límite superior = 200 + 0.729 x 1.48 = 201.1 Límite central = 200 Límite inferior = 200 - 0.729 x 1.48 = 198.9 Como ya se comentó en el apartado 11.2.2, con este gráfico se han detectado cambios en el proceso debidos a cambios en la media y también a un incremento de la variabilidad. Para el gráfico de la variabilidad, se llevan los rangos de la tabla 11.2 a un gráfico como el de la figura 11.5, donde los límites de control se han calculado a partir del rango medio y los valores de D3 = 0 y D4 = 2.282 correspondientes a una muestra de tamaño 4. Los límites así calculados son los siguientes: Límite superior = 2.282 x 1.48 = 3.38 Límite central = 1.48 Límite inferior = 0x 1.48 = 0 Como se puede observar en el gráfico R, el aumento de la media del proceso a partir de la observación 20 provoca un ligero incremento en los rangos, aunque este aumento es más manifiesto cuando aumenta la variabilidad del proceso a partir de la observación 40, llegando incluso a salir los rangos fuera de los límites. Fig. 11.5 Gráfico R para la variabilidad del proceso de embotellado. Con µ=200 y σ=0.7 (observaciónes 1-20), con µ=201 y σ=0.7 (observaciones 21-40) y con µ=200 y σ=1 (últimas 20 observaciones)

π


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X1

X2

X3

X4

202.016 200.390 200.08 198.584 199.413 199.701 199.380 201.435 199.440 200.857 200.445 200.109 199.985 200.580 199.796 199.277 200.612 199.899 200.310 198.692

200.218 200.18 199.420 201.011 199.453 198.761 200.491 200.279 199.155 201.021 199.933 200.900 200.006 199.934 199.759 200.722 198.605 201.027 199.998 198.650

200.588 198.385 200.045 200.260 200.012 200.001 200.361 199.727 199.966 199.526 200.030 200.116 200.659 199.789 199.880 198.398 199.194 199.998 200.571 200.686

199.930 199.120 199.985 200.097 200.720 200.118 200.057 200.513 200.129 200.654 199.044 201.751 200.600 199.699 200.340 200.410 199.998 200.806 199.250 201.191

MEDIA

Ri

200.688 199.520 199.884 199.988 199.900 199.645 200.072 200.488 199.672 200.515 199.863 200.719 200.312 200.001 199.944 199.702 199.602 200.432 200.032 199.805

2.085 2.005 0.665 2.427 1.306 1.357 1.111 1.707 0.974 1.496 1.401 1.642 0.673 0.881 0.581 2.324 2.007 1.129 1.322 2.541

X = 200

R = 1.48

Tabla 11.2 Contenido en cm3 de 20 muestras de tamaño 4 de botellas de agua

11.4.2 Gráfico de observaciones individuales y gráfico de rangos móviles Estos gráficos son similares a los gráficos X -R con la diferencia de que los primeros se utilizan en aquellos casos en que se obtiene una única observación en cada instante. Algunas situaciones en las que esto ocurre son: > sólo puede obtenerse una observación por lote o partida de material; > en procesos continuos o de batch en los cuales no tiene sentido hablar de “individuos”; > se requiere realizar una comparación directa con las especificaciones. Para la implementación de los gráficos de observaciones individuales y de rangos móviles se han de seguir los pasos presentados para los gráficos X -R, teniendo en cuenta que, al ser n=1, se tendrán que realizar algunas modificaciones. Así, con las k observaciones obtenidas según el paso 1) del apartado 11.4.1 se estima la media del proceso, µ, según, k

x

=

µ$ =

∑ xi i =1

k

donde

xi observación i-ésima y

k total de observaciones

El rango medio se obtiene promediando los rangos móviles obtenidos al hacer muestras de tamaño w de la siguiente manera: para obtener R1 se toman las primeras w observaciones (x1, x2, ...,xw) y se calcula el rango. R2 se obtiene a partir de (x2, x3, ..., xw, xw+1), y así sucesivamente. Así, se obtiene la media de rangos,

251


π


k − w +1

R

=

∑ Ri

(11.7)

i =1

k − w+1 donde: k: total observaciones, w: nº de observaciones utilizadas en el cálculo del rango móvil, Ri: rango del grupo móvil (xi,...,xi+w-1), R: media de rangos móviles, De esta manera el control estadístico de la media del proceso se realiza llevando las observaciones individuales a un gráfico que tiene de límites,

252

Límite superior

x +3

Límite central

x

Límite inferior

x −3

R d2

(11.8) R d2

Para el control estadístico de la variabilidad se utilizan los rangos móviles calculados anteriormente, siendo el gráfico similar al gráfico R en (11.4). En ambos gráficos para el cálculo de los valores d2, D3 y D4 se considera n=w. Hay que notar que w ha de ser seleccionado de tal manera que los elementos en un mismo grupo sean lo más homogéneos posibles. Un valor de w muy utilizado es w=2, y en tal caso d2 es aproximadamente 9/8. El gráfico de observaciones individuales es menos sensible que el gráfico X , como ya se comentó en el apartado 11.2.1. Además, si la distribución de los datos no sigue una ley normal, hay que tener mucho cuidado en la interpretación del gráfico. Téngase en cuenta por otra parte, que el hecho de que los valores Ri no sean totalmente independientes también dificulta la interpretación del gráfico de la variabilidad. 11.4.3 Gráfico de medias móviles El gráfico de medias móviles, o gráfico MA (Moving Average), es un gráfico para controlar la media del proceso y se emplea en general en aquellos casos en los que, obteniéndose observaciones individuales del proceso, se desea analizar el mismo con la sensibilidad que permite un gráfico de medias. Para ello, las medias móviles se obtienen de igual manera que se han obtenido los rangos móviles en el apartado anterior y los límites de control se obtienen ahora directamente de (11.3) para n=w. Estos gráficos “suavizan” el comportamiento observado en el de observaciones individuales y muestran mejor la tendencia del proceso. Por otra parte, y tal como ocurría en el gráfico de rangos móviles, las observaciones no son independientes, lo cual dificulta la interpretación. 11.4.4 Interpretación de los gráficos de control El objetivo de la utilización de los gráficos de control para el seguimiento de un proceso es primordialmente el de detectar cualquier evidencia de que la media y la variabilidad del proceso no se

π


han mantenido constantes a lo largo del tiempo. Es decir, se pretende detectar la aparición de causas asignables de variabilidad. Con tal objetivo en el gráfico se han representado dos cotas o límites de variabilidad las cuales evidencian la presencia de tales causas si son sobrepasadas. Este patrón de inestabilidad fue el que se mantuvo durante los primeros años de la implantación de los gráficos Shewart. Los gráficos así construidos tenían varios inconvenientes: > Permanecían impasibles ante aquellas causas asignables que afectaban al proceso sin llegar a provocar individuos fuera de límites. > Detectaban algunas anomalías demasiado tarde. > No tenían en cuenta la información histórica del proceso. Para contrarrestar los puntos anteriormente citados, se incorporaron nuevos patrones de inestabilidad. Estos últimos tienen la particularidad de ser tan poco probables de ser presenciados en un proceso bajo control como el hecho de obtener una observación fuera de límites; además, tienen en cuenta el comportamiento histórico del proceso a corto plazo. Para la detección de tales patrones, se han de dividir las dos áreas alrededor del límite central en tres zonas: A, B y C. Las figuras 11.6.a y 11.6.b presentan los patrones más utilizados en la interpretación de los gráficos de control. Si alguno de los ocho patrones presentados aparece en el gráfico, se interpreta que el proceso está siendo afectado por causas asignables. En tal caso, si se está seguro de cuál es la causa que ha provocado la anomalía y se sabe cómo actuar sobre ella, se han de tomar las acciones adecuadas para llevar al proceso a su estado de control. Nótese, además, que cuanto más se muestrea más posibilidades existen de obtener falsas alarmas y tomar, por lo tanto, acciones que, en lugar de disminuir la variabilidad del proceso, la aumentan. Por lo tanto, no se ha de actuar si no se está seguro de la presencia de causas asignables y se conoce su identidad. Patrón 1 Un punto fuera de los límites

Patrón 3 4 puntos de 5 al mismo lado de B

Patrón 2 2 puntos de 3 al mismo lado de A

Patrón 3 8 puntos consecutivos al mismo lado de C

Fig. 11.6.a Patrones 1-4 de inestabilidad

253


π


Patrón 5 15 puntos consecutivos en la zona C

Patrón 7 14 puntos seguidos alternados

Patrón 6 8 puntos seguidos a los dos lados de la línea central y ninguno en C

Patrón 8 6 puntos seguidos creciendo o decreciendo

Fig. 11.6.b Patrones 5-8 de inestabilidad

254

Generalmente, cuesta identificar una causa asignable entre todas las posibles. En la práctica lo que se hace es estar atento al proceso cuando éste comienza a mostrar anomalías y tratar de analizar la disposición de los datos entre los cuales van apareciendo estos patrones de inestabilidad. La manera en que aparecen las anomalías puede ayudar a identificar las causas asignables pero no existe una regla general ya que: > cada proceso tiene unas características particulares que hacen que un tipo de inestabilidades sean más frecuentes que otras; > dado un patrón de inestabilidad, las causas que pueden provocarlo son variadas y dependen totalmente del proceso con el que se está trabajando. Por consiguiente, para la interpretación de los gráficos de control es primordial conocer el proceso. En general, las causas que afectan a la media del proceso son aquellas que cuando intervienen afectan a todo el producto de forma parecida. Por el contrario, las causas que afectan a la variabilidad afectan sólo a una parte del producto. Por supuesto que ciertas causas pueden afectar a la media y a la variabilidad del proceso a la vez. Por ello, si se trabaja con los gráficos X -R es recomendable analizar el comportamiento de la media y el recorrido por separado. Primero el comportamiento del gráfico R, que es más sensible a cambios en el proceso, después el gráfico X y finalmente los dos a la vez. (No tiene sentido interpretar el gráfico X si el gráfico R no está bajo control.) Recomendamos al lector la lectura del manual de AT&T (1985) sobre el control estadístico de procesos si desea ampliar el tema de interpretación de los gráficos de control. Por último hemos de insistir en el hecho de que el objetivo en la interpretación de un gráfico de control es analizar si el proceso se comporta de una forma estable a lo largo del tiempo. Este análisis no pretende comparar las características del proceso con sus especificaciones o tolerancias. Cuando tal comparación sea necesaria se realizará un estudio de capacidad, tal como se describe en el apartado 11.4.5, el cual será fiable sólo cuando el proceso esté bajo control.

π


11.4.5 Estudios de capacidad Consideremos el proceso de relleno de botellas utilizado a lo largo de este capítulo. Cuando tal proceso está en estado de control, a la amplitud del intervalo de variabilidad de las observaciones individuales, se la denomina capacidad. A tal capacidad contribuirán entre otros, las características de las máquinas, el personal, el servicio de mantenimiento del proceso, la forma de la boca de la botella, etc., que varían a lo largo del tiempo. Por este motivo se habla de capacidad a largo plazo. También podemos preguntarnos sobre la capacidad de la máquina embotelladora por Fig. 11.7 Capacidad de máquina y de proceso, capacidad a corto y a largo plazo sí sola. En tal caso nos referimos estrictamente a la variabilidad atribuible a la máquina cuando el resto de las características permanecen lo más homogéneas posible, lo cual ocurre a corto plazo y, por lo tanto, se denomina a esta capacidad de máquina, capacidad a corto plazo. La idea de “capacidad” sugiere una característica positiva, de forma que cuanto más mejor, pero en este contexto, capacidad = variabilidad y, por lo tanto, cuanto menos mejor. La capacidad es una característica innata a cada máquina o proceso e independiente de las tolerancias o especificaciones del producto que genera. Es más, la capacidad de una máquina se puede especificar incluso antes de ser vendida y, por Figura 11.8 Histogramas representando la variabilidad de un proceso supuesto, antes de saber las tolerancias del producto que va a elaborar. Si tomásemos 40 botellas obtenidas del proceso de rellenado estando éste en estado de control, un histograma de los contenidos de agua obtenidos no tendría, seguramente, ninguna de las formas que se indican en la figura 11.8.a, sino que sería del tipo de la figura 11.8.b recordando a una distribución normal. Como esta variabilidad debida a causas aleatorias sigue una distribución normal, la capacidad de una máquina se define tradicionalmente como la amplitud 6σ, intervalo que contiene el 99.7% de las unidades. Actualmente, y especialmente en el sector del automóvil, prefiere hablarse de 8σ e incluso 10σ, intervalos que dejan fuera 63.4 y 0.6 unidades por millón respectivamente, lo cual equivale prácticamente a hablar del total de la producción. Los estudios de capacidad son una herramienta fundamental para la racionalización del control de calidad. Es necesario saber lo que la máquina es realmente capaz de hacer, y no sólo deben saberlo las personas involucradas en la fabricación, sino también los comerciales cuando negocian con los clientes las características de los productos.

255


256

π


Para el cálculo de la capacidad de una máquina el proceso a seguir es el siguiente: 1. Asegurarse de que la máquina se encuentra en estado de control. 2. Tomar un mínimo de 50 unidades consecutivas (normalmente entre 50 y 100), midiendo para cada una la característica que se quiere estudiar estudiar. 3. Verificar la normalidad de los datos. Esta verificación suele hacerse representando la función de distribución de los datos en papel probabilístico normal. 4. Estimar la desviación tipo del proceso o, directamente, su capacidad. Puede verse una explicación detallada de este procedimiento en el libro de J.L. Vachette, Mejora continua de la calidad (ver bibliografía). La capacidad del proceso se determina igual que la capacidad de una máquina pero a partir de muestras tomadas en toda la variedad de condiciones en que debe trabajar la máquina (variedad de turnos, operarios, materias primas, etc.), y se toma el intervalo de 6σ para definirla. Una vez se tienen los datos, éstos se representan en un gráfico de control para asegurarse de que no existen causas de variabilidad asignables. Si, por ejemplo, se presentan puntos fuera de límites, debe identificarse la causa que ha producido esa variación inusual y eliminarla. Si no se es capaz de identificar cuál ha sido la causa, no hay razón para eliminar el dato, y debe considerarse, al menos provisionalmente, que esa variación forma parte del proceso. Por otra parte, las tolerancias del producto deben ser fijadas al concebir el producto en función de las necesidades y expectativas de los clientes (no en función de las características del proceso, obviamente). Sin embargo, una vez definidas las especificaciones de un producto es necesario compararlas con la capacidad del proceso. Dado un proceso y dadas unas especificaciones diremos que un proceso es capaz, si puede producir dentro de las especificaciones exigidas, es decir, si su capacidad es menor que las tolerancias. Para poder comparar estas dos características se define un índice, el índice de capacidad, que es una medida de lo que se puede conseguir con el proceso teniendo en cuenta las especificaciones. Los índices de capacidad son universalmente empleados en la relación de las empresas con los proveedores y con los clientes. Así por ejemplo Ford, empresa pionera en la filosofía de mejora continua de la calidad, impone a sus proveedores que la dispersión de la máquina o proceso debe estar contenida dentro de la especificaciones del producto que compra. El índice de capacidad viene definido, dependiendo de si es para una máquina (corto plazo) o para un proceso (largo plazo), de la manera siguiente:

Cm Cp

=

Tolerancia 8σ

=

Tolerancia 6σ

=

LTS − LTI 8σ

Capacidadde demáquina maquina Capacidad

=

LTS − LTI 6σ

Capacidad de proceso

(11.9)

La diferencia de la definición estriba en que para poder conseguir que el Cp sea aceptable comparando con las especificaciones, se ha de ser más estricto en el Cm de las máquinas que componen el proceso. El valor de Cp da una idea de la variabilidad transmitida por el proceso a los individuos. Si Cp>1 se dice que el proceso es capaz; si por el contrario, Cp<1, se dice que no es capaz. En general es preferible que el Cp sea superior a 1, ya que aquellos procesos con Cp en torno a 1 han de ser vigilados rigurosamente ya que pequeños descentramientos respecto del valor nominal pueden ocasionar la aparición de un número elevado de individuos defectuosos.

π


Asimismo, el índice Cp se puede considerar como una medida de lo implantado que está el programa de aseguramiento de calidad en una empresa; por ejemplo, en las empresas de automoción, pioneras en la aplicación de programas de calidad, se habla de Cp>1.33 o incluso superiores. Para aquellos procesos que no están centrados en el valor nominal, los índices de capacidad sólo muestran la posibilidad de la máquina, o proceso en su caso, de producir dentro de tolerancias en caso de que se consiga centrarlos. Es decir, es un índice que indica la capacidad potencial de poder cumplir con las especificaciones, pero no tiene por qué coincidir con el comportamiento real. Para subsanar este hecho se define un nuevo índice de capacidad que se desvía del valor de Cp cuanto mayor es el descentramiento del proceso respecto al valor nominal. Estos índices denominados Cmk y Cpk, dependiendo de si se refieren a máquinas o a procesos, vienen definidos de la siguiente manera: LTS − X X − LTI LTS − X X − LTI Cmu = Cml = C pu = C pl = 4σ 4σ 3σ 3σ (11.10) mínimo Cmk = minimo Cmu , Cml C pk = mínimo minimo C pu , C pl

(

)

(

)

Es fácil comprobar que Cmk # Cm y Cpk # Cp. En el caso de procesos centrados y simétricos, la media del proceso coincide con el punto medio de las especificaciones (valor nominal) y, por lo tanto, se verifica Cmk = Cm y Cpk = Cp . Ocurre que cuanto mayor es la diferencia entre los dos índices mayor es el descentramiento. Los valores Cmk y Cpk podrían ser interpretados como índices de capacidad p respecto a la tolerancia más próxima. La tabla 11.3 muestra la relación existente entre distintos valores de Cp y Cpk, y el porcentaje que tales procesos producen dentro de especificaciones cuando están en estado de control. Cabe notar que para valores negativos de Cpk, el porcentaje fuera de especificaciones es similar, independientemente del valor de Cp. En el ejemplo de la planta embotelladora podemos realizar un estudio de capacidad con los datos de la tabla 11.2 sabiendo que las especificaciones del cliente son 200 ± 2 cm3. La capacidad de este proceso puede ser estimada a través del rango medio obtenido con grupos de cuatro observaciones utilizando la expresión (11.2). Así, capacidad del proceso = 6 s = 6 x 1.48/2.06 = 4.32 Para los índices de capacidad, observamos que el proceso está centrado en el valor nominal, entonces Cp = Cpk = 4/4.32 = 0.93 La producción defectuosa se puede hallar utilizando la distribución de referencia que es la ley normal (200, 0.72): 198 − 200  202 − 200    Pr ( x < 198) + Pr ( x > 202) = Pr  z −  + Pr  z >  = 2 ∗ Pr ( z > 2.78) = 2.4 % o   0.72  0.72 

En consecuencia, el proceso de embotellado tiende a producir cinco botellas de cada 1.000 fuera de especificaciones, lo cual puede ser un número no demasiado elevado. Sin embargo, el hecho de que el valor Cp sea aproximadamente 1 implica que hay que tener cuidado con este proceso, ya que si por alguna causa se descentra, el porcentaje defectuoso se eleva rápidamente, tal como muestra la tabla 11.3.

257


π


Cp

0.33

0.33

0.33

0.67

0.67

0.67

0.67

Cpk

0.33

0

-0.33

0.67

0.33

0

-0.33

Media

µ=N

µ = N"σ

µ = N"2σ

µ=N

µ = N"σ

µ = N"2σ

µ = N"3σ

% Fuera de tolerancias

31.7 %

52.3 %

84.3 %

4.6 %

16 %

50 %

84.1%

Cp

1

1

1

1

1.33

1.33

0.67

0.67

Cpk

1

0.33

0

-0.33

1.33

0.67

0.33

-0.33

Media

µ=N

µ = N"2σ

µ = N"3σ

µ = N"4σ

µ=N

µ = N"2σ

µ = N"3σ

µ = N"5σ

% Fuera de tolerancias

0.3 %

15.9 %

50 %

84.1 %

63 ppm

2.3 %

15.9 %

84.1%

N= valor nominal. Tabla 11.3 Relación entre los índices de capacidad Cp y Cpk, y el % fuera de tolerancias

11.5 Gráficos de control para atributos

258

Existen situaciones en que la característica de calidad que interesa controlar no es una característica medible, sino que es cierto atributo que puede poseer o no el producto. Incluso se pueden estudiar varias cualidades del mismo producto y analizar si permanecen estables a lo largo del tiempo. A veces el atributo va ligado a una característica medible, por ejemplo, cuando en la línea de relleno de botellas presentado a lo largo de este capítulo se controla el número de las mismas que salen fuera de tolerancias. En tales casos, aunque resulta más fácil realizar el control por atributos que por variables, perderemos la información continua que nos puede aportar un control por variables del contenido de cada botella. Un punto muy importante que hay que tener en cuenta en los gráficos de control por atributos, pues de no considerarlo lleva a interpretaciones erróneas en cuanto al funcionamiento del proceso: es el criterio empleado para decidir si un individuo posee la característica a estudio. Tal criterio ha de ser claro y no ha de cambiar mientras se mantienen los límites de control, en caso contrario se han de recalcular los límites y comenzar de cero. 11.5.1 Gráfico P El gráfico P se utiliza cuando los individuos de un proceso se clasifican en defectuosos-no defectuosos, enfermos-sanos, fuera-dentro de tolerancias, etc., y se desea controlar la proporción p de individuos en uno de estos grupos. El control del proceso se realiza anotando la proporción de individuos defectuosos en el gráfico. Los límites del gráfico P son hallados utilizando el modelo teórico que sigue el estadístico a controlar p, que como ya se presentó en el apartado 4.2 puede ser obtenido de la ley binomial. Los límites del gráfico serán obtenidos de tal forma que la probabilidad de ocurrencia más allá de los límites estando el proceso en estado de control sea entorno a un 3‰. Estos límites serán prácticamente simétricos respecto el límite central para tamaños de muestra suficientemente grande y np> 5, (debido a la convergencia a la ley normal), y no tanto cuando las muestras sean pequeñas.

π


El control de la proporción p se realiza analizando el comportamiento de las proporciones muestrales a lo largo del tiempo. Para ello, se aconseja tomar muestras de tamaño lo suficientemente grandes como para dar oportunidad a que aparezcan, al menos, tres o cuatro unidades defectuosas. Por ejemplo, si extraemos muestras de tamaño 10 en un proceso que genere un 5% de individuos defectuosos difícilmente podremos detectar un aumento en la proporción defectuosa a un 10%, puesto que en ambos casos la mayoría de las muestras no contendrán individuos defectuosos. El poder de detección de este cambio, sin embargo, aumenta si las muestras se toman de tamaño 100. Una vez presentadas las puntualizaciones anteriores pasemos a la construcción del gráfico. Notemos que a diferencia de los gráficos por variables, aquí sólo hay un parámetro independiente del proceso que es la proporción p (la variabilidad muestral en este parámetro una vez elegido n es p(1-p)/n). Pasos a seguir en la implementación del gráfico P (supondremos que se clasifican los individuos según sean o no defectuosos) 1) Investigar si existe información histórica de la proporción p de individuos defectuosos generados por el proceso en estado de control. En tal caso construir el gráfico como en 5), sustituyendo la estimación del parámetro. 2) Seleccionar ni permitiendo que aparezcan al menos cuatro defectuosos en media en una muestra. Tomar k (al menos 20) muestras de tamaño ni (n no tiene por qué ser fija) de forma consecutiva y a intervalos de tiempo iguales. 3) Calcular la fracción de individuos defectuosos para cada muestra. pi

=

n º defectuosos en muestra i ni

i

= 1, 2 , K , k

(11.11)

4) Calcular la estimación de p a través del total de individuos defectuosos encontrados. p

=

∑ ni pi ∑ ni

 Total defectuosos     Total muestreado 

=

259

(11.12)

El valor p será una estimación de la proporción p de defectuosos del proceso si éste ha permanecido estable, sólo afectado por causas comunes, durante la toma de las muestras. 5) Calcular los límites de control del gráfico mediante las fórmulas que siguen. (Si se trabaja con p en %, los límites son iguales excepto que debe aparecer 100-p en lugar de 1-p.)

Límite superior

p+3

Límite central

p

Límite inferior

p−3

p (1 − p ) ni

( L. S .) ( L. C.)

p (1 − p ) ni

(11.13)

( L. I .)

Nótese que los valores de los límites superior e inferior cambian con el tamaño del subgrupo: cuanto mayor es n más precisión se tiene en la estimación del parámetro p y antes se detecta un cambio en el proceso. Los límites de control así elegidos están basados en la aproximación a la normal. En general, esta aproximación es válida para la mayoría de los procesos industriales en los cuales la proporción defectuosa se puede estimar en partes por cien. En aquellos otros procesos industriales en los cuales se habla de defectos por mil, se utiliza más la aproximación a la ley Poisson.


260


π

6) Llevar los valores de los pi obtenidos de las k muestras al gráfico, y comprobar que no haya evidencia de que alguna causa asignable haya estado actuando durante la recogida de los datos. En tal caso pasar al apartado siguiente. Si se detecta alguna anomalía, antes de implementar los gráficos aquí construidos se han de identificar las causas asignables y emprender las acciones pertinentes. Sólo en este caso se pueden eliminar las observaciones anómalas y reconstruir el gráfico comenzando por el paso 4). Una vez más, si el cambio en el proceso ha sido notable se ha de comenzar por el apartado 2). 7) Mantener los límites de control calculados en el apartado 5) y establecer un plan de control para el futuro con el objetivo de detectar cambios en la proporción de individuos defectuosos que genera el proceso. Este plan contendrá: > el criterio a utilizar para clasificar a un individuo como defectuoso, que será idéntico al utilizado para calcular los límites; > el número de individuos que contendrá cada grupo, n; > la frecuencia de muestreo. Los dos primeros puntos ya se han tratado anteriormente. En cuanto a la frecuencia de muestreo, que ya se comentó en parte en el apartado 11.3, dependerá de varios factores, entre ellos el ritmo de producción, el coste de inspección y las exigencias de los clientes. Además, esta frecuencia no tiene por qué ser fija. Por ejemplo, puede ser severa cuando se pone un proceso en marcha y algo más relajada cuando el proceso es estable a unos niveles de calidad aceptables. Una vez establecido el plan, los pasos a seguir serán: NÚM. BOTELLAS TAMAÑO DE PROPORCIÓN > Extraer una muestra de tamaño ni. MUESTRA DEFECTUOSAS LA MUESTRA DEFECTUOSA > Contar el número de elementos defec1 6 100 6% tuosos y hallar pi, la fracción defectuosa. 2 7 150 4.7 % > Llevar pi al gráfico. 3 5 120 4.2 % > Ajustar los límites si ni no es fijo mante4 10 100 10 % niendo el valor de p. 5 8 140 5.7 % > Comprobar si existe evidencia de que 6 7 90 7.8% alguna causa asignable ha entrado en el 7 4 100 4% proceso. 8 2 100 2% > Emprender acciones: actuar cuando alguna 9 1 100 1% causa asignable entre en el proceso o 10 9 150 6% seguir mientras no haya evidencia de ello. 11 12 145 8.3 % Existen plantillas para el gráfico P 12 5 130 3.8 % para el caso en que el control se realice 13 6 100 6% manualmente. En ellas es conveniente 14 11 160 6.9 % apuntar, aparte de la información signifi15 3 120 2.5 % cativa del proceso, cualquier incidencia que 16 14 140 10 % haya ocurrido durante la toma de datos y que 17 4 100 4% pueda ayudar a la interpretación del compor18 7 90 7.8 % tamiento del proceso. 19 6 100 6% A continuación construiremos el gráfico 20 9 100 9% de control para la proporción de botellas Total = 136 Total defectuosas en el proceso de embotellado. Los =2.335 criterios seguidos para rechazar una botella han Tabla 11.4 Botellas defectuosas encontradas en 20 muestras. sido, además de comparar el contenido con las

π


especificaciones del cliente, defectos de las botellas, mal etiquetado y defectos de cierre. Los datos obtenidos se encuentran en la tabla 11.4. Para la implementación del gráfico P estimaremos la proporción de botellas defectuosas, tomando la proporción de botellas defectuosas encontradas en estas 20 muestras y no el promedio de las proporciones de cada una de las muestras. Por lo tanto, p

136 2.335

=

= 5.82 %

(11.14)

A partir de (11.13) se obtiene el gráfico de control de la figura 11.9 que en este caso por ser el tamaño de muestra variable, no tiene los límites fijos. Para las dos primeras muestras se obtiene, L. superior = 5.82 + 3 5.82 (100 − 5.82) / 100 = 12.84    Muestra 1 n = 100 L. central = 5.82     L. inferior = 5.82 − 3 5.82 (100 − 5.82) / 100 ≈ 0

(11.15)

L. superior = 5.82 + 3 5.82 (100 − 5.82) / 150 = 1155 .    Muestra 2 n = 150 L. central = 5.82    L. inferior = 5.82 − 3 5.82 (100 − 5.82) / 150 = 0.09  261

Gráfico p 0.120

Proporción

El control de la proporción defectuosa se realizará tomando muestras de botellas a intervalos de tiempo fijo y llevando la proporción defectuosa hallada al gráfico de control, que mantendrá el límite central en p = 5.82 %, y los límites superior e inferior variables según la expresión (11.13).

UCL

P = 0.05824

0.060

LCL

0.000 0

5

10

15

20

Número de muestra

11.5.2 Gráfico NP

Fig. 11.9 Gráfico P para la proporción de botellas defectuosas

El gráfico NP se aplica al mismo tipo de problemas que el gráfico P, pero cuando el tamaño de muestra es fijo. En tales casos, el control de la calidad en el proceso se puede realizar por el número de individuos defectuosos observados en lugar de la proporción defectuosa. El primero es más fácil de construir que el segundo, ya que no hace falta hallar la fracción defectuosa, y si se quiere interpretar en términos de proporciones sólo se tiene que dividir por n la escala vertical del gráfico. Para la construcción del gráfico se utiliza de distribución de referencia la ley binomial (n, p). En esta distribución, el número medio de individuos defectuosos es igual a np y la varianza igual a np(1-p). Como en el apartado anterior, sólo se realiza un gráfico y éste controlará el número medio de unidades defectuosas en n.


π


Una vez seleccionado n, si no se conoce p se ha de estimar su valor. Para ello es recomendable seguir los pasos que a continuación se señalan, puesto que además de dar una estimación de np comprueban si el proceso ha estado bajo control durante la estimación del parámetro. Los pasos a seguir son: 1) Investigar si existe información histórica de la proporción p de individuos defectuosos que genera el proceso. En tal caso elegir n y construir los gráficos basándose en los límites: Límite superior

=

np + 3 np (1 − p )

( L. S .)

Límite central

=

np

( L. C.)

Límite inferior

=

np − 3 np (1 − p )

( L. I .)

(11.16)

pasando directamente al paso 7). 2) Seleccionar n permitiendo que al menos aparezcan cuatro o cinco defectuosos en media por muestra. Tomar k (al menos 20) muestras de tamaño n de forma consecutiva y a intervalos de tiempo iguales. 3) Contar el número de defectuosos en cada muestra. di = n pi

con i=1, 2, ..., k

4) Calcular el número medio de defectuosos por muestra promediando por el total de muestras. 262

d

=

k

di i =1 k

∑

=

np1 + np2 + K + npk k

=

 p + p2 + K + p k  n 1    k

=

np

(11.17)

Este valor será un estimador de np, la media teórica de elementos defectuosos del proceso en grupos de tamaño n. 5) Calcular los límites de control del gráfico mediante las fórmulas en (11.16), sustituyendo el valor de np por su estimador n p . Nótese que la amplitud del gráfico, o cotas de variabilidad permisible en estado de control, aumenta con el tamaño del subgrupo. Ello no quiere decir que se consiga menos precisión cuanto mayor es el valor de n, sino todo lo contrario. (Dejamos al lector tal comprobación que se puede obtener simplemente con un cambio de la escala dividiendo por n.) Al igual que en los gráficos P estos límites están basados en la aproximación de la binomial a la normal bajo las condiciones comentadas en el apartado 4.2. 6) Llevar los valores del número de defectuosos por grupo al gráfico, y comprobar que durante la obtención de las muestras el proceso ha estado bajo control. En tal caso tomar el estimador obtenido de np para el futuro y pasar a la fase siguiente. Si existe evidencia de que alguna causa asignable ha entrado en el proceso, antes de continuar se ha de identificar tal causa y tomar las medidas adecuadas. Sólo en tal caso se eliminará la información de los grupos afectados y se reconstruirán los gráficos a partir del paso 4). En aquellos casos que las medidas correctivas hayan producido un cambio significativo en la naturaleza del proceso, se deberá comenzar el proceso desde el paso 1). 7) Mantener los límites de control calculados siempre y cuando no se cambie el diseño del proceso y el criterio de clasificación de los productos, y establecer un plan de control para el futuro tal como se comentó para el gráfico P.

π


11.5.3 Gráfico C (2) En muchas ocasiones la característica que nos interesa controlar no es el número de individuos defectuosos sino el número de defectos que aparecen en un individuo. Este tipo de control puede ser más completo que los presentados anteriormente puesto que: > el individuo puede no ser defectuoso y presentar defectos; > el carácter defectuoso puede ser de distinta magnitud dependiendo de la cantidad de defectos que presenta. En aquellos procesos que no generan individuos, como por ejemplo, los procesos continuos, también nos puede interesar el control del número de defectos por cierta unidad definida: metro, metro cuadrado, hora, etc. Otros ejemplos en los que se puede aplicar estos gráficos son cuando se desea controlar el nº de pasajeros que toman un vuelo determinado por día, o el nº de camas ocupadas en un hospital por semana, o el nº de personas que pasan por una caja registradora de unos grandes almacenes por hora. En uno u otro caso, este tipo de control puede ser llevado tomando la distribución de referencia de la ley Poisson (λ), donde λ representa el número medio de ocurrencias por unidad de tiempo, superficie, etc. Cuando λ es suficientemente grande se puede hacer una aproximación de la ley Poisson por la ley normal, tal como se vio en el apartado 4.3. Para la implementación del gráfico de control hay que tener en cuenta que sólo hay un parámetro independiente a controlar, λ, ya que la varianza en la ley Poisson es también λ. Supondremos en lo que sigue que se mide el número de defectos de estampación por metro cuadrado de tela. Los pasos que se deben seguir en la construcción del gráfico C son los siguientes: 1) Seleccionar lo que va a ser una unidad de medición: un individuo, un metro de cable, un metro cuadrado de tela, una hora, etc., permitiendo que en tal unidad ocurran en media al menos 10 ocurrencias del fenómeno a estudio. 2) Investigar si existe información histórica del parámetro λ: número medio de defectos por metro cuadrado. En tal caso construir los gráficos basándose en los límites: Límite superior = λ + 3 λ λ

Límite central

=

Límite inferior

= λ −3 λ

( L. S .) ( L. C.)

(11.18)

( L. I .)

pasando directamente al paso 5). 3) Tomar k (al menos 20) piezas de un metro cuadrado de tela de forma consecutiva y a intervalos de tiempo iguales. Contar el número de defectos en cada pieza y calcular el valor medio λ

=

λi i =1 k k

∑

i = 1, 2, K , k

(11.19)

llevando este valor a la expresión (11.18). Cuando el valor de λ no es muy grande, la convergencia a la normal no es muy buena. En tales casos el límite inferior suele ser negativo, lo cual no tiene ningún sentido, y se sustituye por 0.

2

Llamado gráfico C porque controla las no-conformidades. Aunque en la mayoría de libros se utiliza la notación de la letra C en lugar de la λ, nosotros utilizaremos esta última.

263


π


4) Acomodar los datos obtenidos en 3) y seguir las mismas reglas de control que con los gráficos anteriores. 5) Con los gráficos definitivos, establecer un plan de control para el futuro. Como ejemplo de aplicación presentamos los datos de la tabla 11.5, que recogen el número de defectos de estampación encontrados por m2 en un proceso textil. A partir de estos datos, durante la recogida de los cuales se puede comprobar en la figura 11.10 que el proceso ha estado bajo control, se elaborará el gráfico de control a utilizar en un futuro. A partir de estos datos se puede estimar el valor de λ utilizando la expresión (11.19), λ$

∑ defectos ∑ unidades

=

235 30

=

=

7.83

(11.20)

y, por lo tanto, los límites de control del gráfico C se mantendrán en 7.83 ± 3 7.83 , tal como aparecen en la figura 11.10.

264

NÚM. DE

NÚM. DEFECTOS

OBSERVACIÓN

POR m

2

NÚM. DE

NÚM. DEFECTOS

OBSERVACIÓN

POR m

1

9

16

2

9

17

9

3

7

18

13

4

14

19

7

5

8

20

6

6

5

21

11

7

5

22

5

8

5

23

8

9

6

24

10

10

9

25

6

11

4

26

5

12

7

27

10

2

6

13

4

28

8

14

11

29

9

15

10

30

9 Total = 235

Tabla 11.5 Nº de defectos de estampación por m2 en un proceso de estampación textil

Fig. 11.10 Gráfico C para el número de defectos de estampación por m2 en un proceso textil

π


11.5.4 Gráfico U El gráfico U se utiliza para el mismo tipo de problemas que el gráfico C, pero en aquellos casos en que no se puede tomar una unidad del mismo tamaño para controlar el número de defectos. A continuación se presentan algunos ejemplos donde esto ocurre y que pueden ser representativos de las situaciones generales: > >

>

Puede resultar difícil tomar exactamente un metro cuadrado de tela, por lo que se toman piezas similares de aproximadamente un metro cuadrado. En el control del número de personas que acuden a una máquina registradora en una tienda, en lugar de tomar las mediciones en intervalos de tiempo iguales, se toman las mediciones en intervalos más flexibles. Cuando se mide el número de defectos por lote, éste puede no contener un número fijo de individuos.

En el gráfico U se colocan igualmente el número de defectos por unidad, pero ahora no tiene porqué ser un valor entero. La distribución de referencia en la cual está basado el gráfico U puede ser calculada a través de la ley Poisson. En efecto, si ci = nº de defectos en la muestra i, ni = unidades inspeccionadas en la muestra i, ui = ci / ni será el nº de defectos por unidad en la muestra i, los valores ui seguirán una distribución de Poisson de media: u

=

∑ ci ∑ ni

i

= 1, K , k

265

(11.21)

Cuando en lugar de tomar una unidad tomamos ni unidades, la variabilidad muestral de ui es, V [ui ] =

V [ci ]

ni u u (11.22) = = ni ni2 ni2 y, por lo tanto, los límites de control del gráfico U se obtendrán a partir de las expresiones (11.18), (11.21) y (11.22) como, u +3

Límite Limite superior Límite Limite central

u

Limite inferior Límite

u −3

u ni

( L. S .)

( L. C.) u ni

(11.23)

( L. I .)

Por lo tanto, los pasos a seguir en la implementación del gráfico U serán idénticos a los seguidos para el gráfico C con la diferencia que: > >

el valor que se lleva al gráfico es ui, el número medio de defectos por unidad, y no el número de defectos encontrados en la muestra (conteniendo ni unidades); los límites de control no son fijos sino que dependen del tamaño de muestra.


π


11.6 Otros gráficos de control 11.6.1 Gráfico CUSUM

266

El gráfico CUSUM (sumas acumuladas) puede ser aplicado en áreas muy variadas tales como control de procesos industriales, administración, ciencias médicas, marketing, comercio, biología, etc. En este capítulo presentaremos la aplicación de los gráficos CUSUM al control de procesos industriales. Los gráficos de control CUSUM surgieron como una alternativa a los gráficos Shewart para detectar cambios moderados en los parámetros del proceso (en torno a 0.5-2 σ, siendo σ la desviación estándar de los valores observables). Las diferencias principales entre los dos gráficos se deben a los objetivos que persiguen. Mientras que el objetivo de los gráficos Shewart es detectar la aparición de causas asignables de variabilidad, el objetivo del CUSUM es algo diferente. Durante el control con CUSUM se desea fabricar en torno a un valor nominal o target T y se pretende detectar cualquier evidencia de alejamiento por parte del proceso de T en una magnitud superior a un valor preestablecido. Este valor T puede ser, dependiendo de la característica a estudio: > Un valor constante: el valor nominal de una variable continua, la varianza del proceso σ2, una proporción de individuos defectuosos p, etc. > Un valor no constante: los valores que predice un modelo teórico. Para la presentación de los gráficos CUSUM nos basaremos en el caso particular en el que se pretende controlar la media de cierta característica y en tal caso T=µ. A igual que en los gráficos X -R se han de tomar muestras de tamaño n del proceso, a intervalos de tiempo equidistantes, y se ha de calcular la media x i y el recorrido, Ri. A partir de estos datos, en cada instante k, se obtiene el estadístico Ck: Ck =

k

∑ ( xi i =1

− T ),

siendo en este caso particular

T =µ

(11.24)

que es el que se llevará al gráfico CUSUM. Este valor acumula las discrepancias de los valores observados respecto al valor nominal. Si el proceso está bajo control produciendo con media µ=T, los sumandos positivos y negativos se compensarán unos con otros y observaremos a Ck oscilar alrededor de 0 (u otro valor fijo), tal como se muestra en la figura 11.11. Por el contrario, si la media del proceso no coincide con T, las discrepancias de los valores observados respecto T se acentuarán en un sentido, dependiendo de si T es superior o inferior al verdadero valor de µ, y por lo tanto el gráfico CUSUM tendrá una apariencia similar a una de las presentadas en la figura 11.12. Fig. 11.11 Gráfico CUSUM cuando el proceso está bajo control con T=µ Por lo tanto, en un gráfico CUSUM la magnitud del valor representado no tiene tanto interés como en los gráficos Shewart, pues aquí la importancia la tiene la pendiente que forma una trama de puntos. En consecuencia, una trama de puntos horizontales, sea cual sea su magnitud, puede ser interpretada como que en ese período de tiempo no hay evidencia de que la media del proceso no sea T. Por el contrario, el alejamiento de la horizontal da pruebas de cambios en la media del proceso: cuanto mayor sea la pendiente, mayor será la discrepancia entre µ y T.

π


0

0

Fig. 11.12 gráficos CUSUM cuando el proceso no está bajo control: a) µ > T. b) µ< T

Por ejemplo, la figura 11.13 presenta un proceso que se ha mantenido con media µ=T al comienzo de la implementación del gráfico CUSUM; posteriormente la media del proceso ha pasado a ser más pequeña, volviendo a su valor original T durante un período intermedio. Al final la media del proceso nuevamente cambia a un valor mayor que T. Si comparamos esta pendiente creciente con la anterior decreciente, podemos sospechar que el último cambio experimentado en la media es de mayor magnitud. Fig. 11.13 gráfico CUSUM para la media de un proceso Como ya se ha mencionado, el análisis de los gráficos CUSUM se hará analizando la pendiente de una trama de observaciones seguidas. Por lo tanto, los límites de control en lugar de estar formados por líneas paralelas estarán formados por dos “pendientes”, que representarán las máximas pendientes permitidas antes de concluir que hay pruebas de que causas asignables están actuando en el proceso provocando un cambio en media superior a la admitida. La pendiente de los límites de control dependerá de cuatro factores: > La escala del gráfico. > La variabilidad innata del proceso, σ. > El cambio en el parámetro del proceso que se pretende detectar. > El riesgo que se admite tomar en las decisiones (α). En cuanto a la escala del gráfico se recomienda que la escala del eje vertical (o escala CUSUM) tenga la siguiente relación con la escala del eje horizontal (o escala del tiempo), 1 unidad escala horizontal = 2 σe escala vertical = A, (11.25) donde σe es la desviación estándar del estadístico del cual se obtienen las sumas acumuladas. Por ejemplo, si σe =5, y colocamos las observaciones en el gráfico CUSUM con una separación de un centímetro en la horizontal, en la escala vertical un centímetro representará 10 unidades de la característica que se mida. La variabilidad innata del proceso influye directamente en los límites de control: a mayor variabilidad más fácil es encontrar tramas de puntos en pendiente y más acentuadas pueden ser éstas aun estando el proceso bajo control. Por lo tanto, para la construcción del gráfico se ha de estimar σe , o desviación estándar del estadístico obtenido de la muestra. Ésta puede tomar diferentes expresiones dependiendo de la característica que se estudie, y puede ser estimada de la misma manera que en los gráficos Shewart.

267


π


Algunas de las formas que puede tomar σe son: n si se toma la medida de cierta característica que varía con desviación típica σ; p (1 − p ) / n si se toman proporciones de individuos defectuosos;

> σ / > > >

np (1 − p ) si se toma número de individuos defectuosos; λ si se toma número de ocurrencias por unidad.

A continuación daremos las pautas a seguir en la construcción de los gráficos CUSUM. Para ello nos referiremos al caso particular en el que se quiera controlar la media de un proceso que, en el momento de la implementación del CUSUM, esté centrada en el valor nominal µ=T. 1) Tomar muestras de tamaño n a intervalos de tiempo equidistantes y obtener la media, x i, y el recorrido, Ri, de la característica a estudio para cada una de las muestras. 2) Calcular en cada instante la suma acumulada de las discrepancias de los valores obtenidos en 1) con el valor nominal T=µ. Ck

=

k

∑ ( xi − µ ) i =1

T=µ

(11.26)

3) Obtener una estimación de σ$ e = se = s n . Ésta puede ser obtenida en función del recorrido medio de un número suficientemente grande de muestras como: se

268

=

R / d2

(11.27)

n

4) Determinar el nivel de probabilidad α, o riesgo que se está dispuesto a asumir en la toma de decisiones, en cada uno de los lados del gráfico. ( α= 0.00135 en los gráficos Shewart.) 5) Definir el factor de escala del gráfico. Es recomendable que 1 unidad horizontal =2 se unidad vertical = A

(11.28)

y$ t

6) Determinar el menor cambio D en media que se quiere detectar y calcular δ = D/ se

(11.29)

7) Obtener, a partir de δ, la distancia principal d d=

2 ln (1 − β / α )

δ

2

o, si β es pequeña, d =

−2 ln (α )

δ2

donde β es la probabilidad de no detectar un cambio de D unidades en la media, y el ángulo θ θ = arctg ( D / 2 A)

8) A partir de d y θ construir la plantilla que definen los límites de control, tal como se muestra en la figura 11.14. Para la interpretación del gráfico CUSUM, el punto O en la plantilla se ha de colocar en el último valor de Ck obtenido. Si alguno de los puntos anteriores queda cubierto por la plantilla, se interpreta que alguna causa asignable ha entrado en el proceso y ha provocado un cambio en la media superior a D unidades. Además se ha de tener en cuenta que: > el primer punto cubierto por la plantilla muestra el momento en que el proceso ha dejado de estar bajo control; > si los puntos están cubiertos por encima de la plantilla es que la media del proceso ha disminuido; > si los puntos están cubiertos por debajo de la plantilla es que la media del proceso ha aumentado.

+1

π

En la interpretación de los gráficos CUSUM de la manera aquí expuesta hay que tomar ciertas precauciones. La primera es que la variabilidad del proceso ha de permanecer constante, para ello se ha de llevar un control aparte de la misma. En segundo lugar, los gráficos así construidos no son muy eficaces en la detección de cambios graduales en media o en los cambios que surgen y desaparecen rápidamente del proceso. Por lo tanto es recomendable usar los gráficos CUSUM para detectar “saltos” en la media del proceso y paralelamente los gráficos Shewart para ayudarnos a interpretar otro tipo de anomalías.


Fig. 11.14 Gráfico de control CUSUM con la plantilla de control

11.6.2 Gráficos EWMA El gráfico EWMA (Exponentially Weighted Moving Average), o gráfico de medias móviles con pesos exponenciales, fueron introducidos en 1971 por Wortham y Ringer, una vez más para suplir la deficiencia de los gráficos Shewart en detectar determinados alejamientos del proceso de su estado de control. Esta necesidad surgió de las empresas de procesos químicos. Tales procesos, ante la presencia de causas asignables, veían modificados sus parámetros generalmente de una manera muy lenta y de modo gradual, no a saltos. Cuando tal hecho ocurría, la aplicación de gráficos Shewart era insensible a tales cambios o, en el mejor de los casos, de efectos muy retardados. Por otra parte los gráficos CUSUM tampoco eran adecuados puesto que los cambios no eran escalonados y, por consiguiente, se interpretaba mal el funcionamiento de los procesos. El gráfico EWMA posee “memoria”, pero ésta es de diferente naturaleza que la de los gráficos CUSUM. Mientras que estos últimos daban igual peso a cualquier instante en el pasado, lo que se denomina “memoria de elefante”, los primeros dan pesos a los datos de una manera exponencial: contribuyendo en mayor cantidad al presente y cada vez menos cuanto más alejados están en el pasado, lo que se denomina “memoria humana”. Este hecho queda plasmado en la figura 11.15. Una característica que diferencia a los gráficos EWMA del resto es que la interpretación del gráfico se hace en función del comportamiento esperado del proceso en el instante siguiente. Para ver todos estos puntos definamos primero el estadístico a utilizar en el gráfico EWMA. Éste es una media, Fig. 11.15 Pesos de los datos en la interpretación del gráfico en el pero con pesos exponenciales, presente t para gráficos Shewart, CUSUM y EWMA

269


EWMA

π


=

y$ t +1

=

λ y t + λ (1 − λ ) y t −1 + λ (1 − λ ) y t − 2 + λ (1 − λ ) y t − 3 + K 2

3

(11.30)

Tal estadístico depende de los datos anteriores a través de un peso que decrece de forma exponencial. Operando con la anterior expresión, y$ t +1

=

(

)[

(

)

(

λ y t + 1 − λ λ y t −1 + λ 1 − λ y t − 2 + λ 1 − λ

]

2

yt − 3 + K

( ) + λ ( y − y$ )

y$ t +1

=

λ y t + 1 − λ y$ t

y$ t +1

=

y$ t

y$ t + 1

=

se llega a la expresión

)

t

(11.31)

t

y$ t + λ et

(11.32)

En ella, a y$ t +1 se le denomina “predicción” para el instante t+1 hecha en el instante t, y puede obtenerse a partir de la “predicción” en el instante t-1 hecha para t y el “error de predicción”, corregida por un factor de λ. Hay que entender que este estadístico así construido no predice el valor que se va a obtener en el proceso, puesto que el valor previsto para observaciones independientes de un proceso en estado de control es la media. En cambio, es un valor que acumula la información del pasado, permitiendo así detectar pequeños cambios graduales en la media del proceso. Así, si el proceso está afectado únicamente por causas comunes, el estadístico y$ t +1 se obtendrá por suma de datos independientes distribuidos según una ley normal de parámetros N(µ,σ2) y, por lo tanto, y$ t +1 seguirá una distribución normal con: 270

[ ]

E y$ t +1

[ ] (

) [ ]

E [ y$ t +1 ] = µ

[ ]

V y$ t +1

(

= λ E y t + λ 1 − λ E y t −1 + λ 1 − λ

[ ]

(

∞

∑ λ (1 − λ )

) E [ y ] + λ (1 − λ ) E [ y ] + K 2

(11.33)

= µ

) [ ]

(

2

t −3

k

k =0

) [ ]

3

t −2

4

(

) [ ] 6

= λ2 V yt + λ2 1 − λ V yt −1 + λ2 1 − λ V yt − 2 + λ2 1 − λ V yt − 3 + K V [ y$ t +1 ] = σ 2 λ2

∞

∑ (1 − λ )

2k

k =0

λ = σ 2−λ

(11.34)

2

Es decir, al ser y$ t +1 distribuido según una N ( µ , σ 2 λ / 2 − λ ) , podemos utilizar los límites de control definidos por Límite superior superior = Limite

µ + 3σ

Limite central central = Límite

µ

Límite inferior inferior = Limite

µ − 3σ

(λ / 2 − λ) (11.35)

(λ / 2 − λ)

y construir así el gráfico de control EWMA. En él representaremos las predicciones y$ t +1 para el tiempo t+1. Si se detecta alguna de las anomalías descritas en el apartado de gráficos X -R, se tomarán las medidas oportunas en el tiempo t. Además, recomendamos añadir en el gráfico EWMA las observaciones originales del proceso, con sus límites correspondientes, ya que así,

π


> >

no se pierde las referencias reales de la característica de calidad bajo estudio; permite calcular de una manera sencilla los valores del EWMA, y$ t +1 , en cada instante. La sensibilidad los gráficos EWMA para detectar cambios en el proceso depende del valor que adopte λ. Si λ 6 1, el valor de EWMA depende totalmente de las observaciones más recientes y el comportamiento del gráfico es similar al del gráfico Shewart. Sin embargo, conforme λ 6 0 se da más peso al comportamiento histórico del proceso, y en tal caso estamos acercándonos al tratamiento de los gráficos CUSUM. Aunque la elección de λ es libre y a juicio del investigador, si se usan los gráficos EWMA para aplicarlos sobre procesos que en estado de control generan observaciones que se pueden considerar independientes, λ será seleccionado en función del cambio que se desea detectar. Para aquellos procesos que en “estado de control” generan datos dependientes, bien porque las causas asignables no se pueden eliminar o bien porque las mediciones se toman muy seguidas, por ejemplo cuando se realizan lecturas automáticas, no se recomienda la aplicación de estos gráficos, sino una variante de los mismos que se presenta al final del capítulo.

11.7 El precontrol El precontrol se utiliza como un método de control estadístico de procesos, que responde al objetivo de controlar la variabilidad del proceso que pueda provocar la aparición de individuos fuera de tolerancias. Tal variabilidad puede ser provocada tanto por causas comunes como asignables. Respondiendo a tal objetivo, algunos casos en que se utiliza el precontrol son: > procesos en los que existe una variación importante de la característica a controlar dentro de su margen de tolerancias; > procesos de corta duración en los que se sabe que existen problemas de “puesta a punto” al comienzo de la producción, pero requieren poco seguimiento posteriormente. Por lo tanto, la intervención en el proceso sólo se realiza en función de la posición del individuo respecto de sus especificaciones, y se dice que un proceso está en estado de control si permanece dentro de las líneas de precontrol que a continuación presentamos, independientemente de si está afectado por causas asignables de variabilidad. El gráfico precontrol se construye de acuerdo con las especificaciones del producto, y se divide en tres zonas a cada lado de la línea central que son pintadas de diferentes colores: verde, amarillo y rojo. A los límites que separan las zonas verdes de las amarillas se las denomina líneas de precontrol. La implementación de estos gráficos se lleva a cabo de la siguiente manera: 1) Construir el gráfico tal como se ha comentado anteriormente. 2) Para determinar si el proceso es capaz, tomar cinco mediciones consecutivas del proceso. Si todas caen en la zona verde, se considera que el proceso está en estado de control y se ha de continuar la producción en las condiciones actuales. Si en cambio, al menos una no cae en la zona verde, se considera que el proceso no está bajo control y se ha de intentar reducir la variabilidad, bien identificando causas asignables o bien utilizando técnicas de diseño de experimentos. Una vez realizadas las acciones adecuadas se comienza otra vez. 3) Una vez el proceso está bajo control, tomar dos mediciones consecutivas periódicamente. La posición de estas unidades determinará las medidas que se deban tomar: > Si las dos caen en la zona verde, o una en la verde y una en la amarilla, se continúa. > Si las dos caen en la zona amarilla al mismo lado se ha de ajustar el proceso. > Si las dos caen en la zona amarilla en distinto lado, se ha de estar atento al proceso para una posible intervención.

271


π


>

Fig. 11.16 Gráfico precontrol

frecuencia =

Si alguna cae en la zona roja, se ha de parar la producción, buscar las causas que han provocado esta unidad defectuosa y eliminarlas. Nótese que siempre que se actúe sobre el proceso se ha de comenzar el precontrol a partir del paso 2). La frecuencia del muestreo puede variar en función de la salida del proceso siendo recomendable tomar dos unidades con una frecuencia de: tiempo medido entre dos paradas del proceso 6

lo cual hace que aquellos procesos que se comporten bien sean muestreados con poca frecuencia. Los gráficos precontrol son muy sensibles cuando actúan sobre procesos en los que 6 es mayor que las especificaciones y obligan a una mejora del proceso. Sin embargo, para aquellos procesos en que 6 es mucho menor que el intervalo de especificaciones, el precontrol permite producir muchas unidades sin actuar sobre el proceso.

272

11.8 Gráficos de control para observaciones dependientes El presente capítulo ha tratado el control estadístico de procesos en el supuesto de que el proceso en estado de control muestre observaciones independientes entre sí. Con tal hipótesis, toda evidencia de no aleatoriedad era interpretada como presencia de causas asignables y, por tanto, se debían emprender acciones para encontrar las causas asignables y actuar adecuadamente sobre ellas. Sin embargo, existen procesos que muestran dependencia entre las observaciones debido a la presencia de ciertas causas asignables, que actúan continuamente sin poder ser eliminadas. Los procesos continuos son un claro ejemplo de estos procesos. En tales procesos, la aplicación de las técnicas clásicas de SPC conlleva la aparición continua de patrones anómalos sin que se pueda actuar sobre ellos en la mayoría de las veces. La estrategia a seguir para el control de procesos con datos dependientes es, por tanto, diferente a la presentada en este capítulo, existiendo dos maneras de analizar y, en consecuencia, de actuar. La primera se sigue denominando SPC y consiste en acomodar los gráficos anteriores al modelo que sigue la variabilidad del proceso. Tales modelos, así como los gráficos de control apropiados, pueden ser estimados empleando la metodología BoxJenkins (1976). La segunda técnica utilizada se denomina control estadístico y automático, o adaptativo, de procesos (ASPC) y consiste en, además de realizar un control estadístico Fig. 11.17 Esquema del control adaptativo de procesos del proceso para la detección de causas

π


asignables de variabilidad, realizar ajustes en el proceso siempre y cuando éste se aleje considerablemente de su valor nominal. La figura 11.17 presenta un esquema de esta técnica. Igualmente es necesario estimar el modelo que sigue el proceso Zt, afectado por causas comunes, y conocer el mecanismo de corrección del proceso o función de transferencia Yt = F(Xt, Xt-1,...), siendo Xt una variable del proceso que puede ser modificada convenientemente para ajustar el proceso una cantidad Yt. Si además se incluyen los criterios de costes, la estrategia de control varía. Una vez más el lector que quiera ampliar conocimientos sobre el tema puede hacerlo a través de las lecturas recomendadas al comienzo del capítulo.

273


π


Ejercicios 11.1. En un cierto proceso de fabricación, una de las operaciones consiste en efectuar un corte en una pieza de plástico. Dicho corte debe tener una profundidad especificada en los planos. Dado que en el procesado posterior de dichas piezas se tenían problemas debido a piezas con cortes no adecuados, un ingeniero decide recoger información del proceso. Para ello recogió datos de 25 conjuntos de piezas cada uno a intervalos de tiempo de 15 minutos y midió la profundidad del corte obtenido. Los datos obtenidos son los de la tabla adjunta. CONJUNTO Nº

274

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

PROFUNDIDAD DEL CORTE

160.0 159.7 159.2 159.5 159.6 159.8 159.7 159.2 159.4 159.5 159.4 159.5 159.7 159.3 159.7 159.1 159.2 160.0 159.9 159.5 159.9 159.6 159.8 159.3 159.3

159.5 159.5 159.7 159.7 159.3 160.5 160.2 159.6 159.3 159.5 159.6 160.0 159.3 159.9 158.8 158.9 159.8 159.9 159.7 160.6 159.9 159.5 159.4 160.3 159.7

159.6 159.5 159.7 159.2 159.6 160.2 159.5 159.6 159.3 159.5 159.6 160.0 159.3 159.9 158.8 158.9 159.8 159.9 159.7 160.6 159.9 159.5 159.4 160.3 159.7

159.7 159.5 159.5 159.2 159.5 159.3 159.0 160.0 159.9 158.9 159.8 159.3 159.4 158.5 160.6 159.6 159.8 160.3 159.6 160.6 159.5 159.7 160.0 159.9 160.1

159.7 160.0 160.2 159.1 159.4 159.5 159.7 159.9 159.5 159.5 159.8 159.4 159.2 159.5 159.1 159.7 159.7 159.3 159.3 159.8 161.0 159.5 159.7 160.0 160.1

X

R

159.7 159.6 159.7 159.3 159.5 159.9 159.6 159.7 159.6 159.5 159.4 159.6 159.4 159.4 159.5 159.5 159.7 160.0 159.7 159.9 160.0 159.9 159.8 160.0 159.8

0.5 0.5 1.0 0.6 0.3 1.2 1.2 0.8 0.6 1.3 1.5 0.7 0.5 1.4 1.8 0.8 0.8 1.2 0.8 1.1 1.5 1.6 0.8 1.3 0.8

a) Represente las medias de cada conjunto de cinco piezas, en secuencia temporal y comente la información que contiene dicho gráfico. b) Represente la secuencia temporal de evolución de la amplitud y, a la vista de la información obtenida con los dos gráficos anteriores, haga un resumen del comportamiento de los datos de la operación de corte. 11.2. En una determinada empresa, se producen piezas A y B que se ensamblan tal como se muestra en la figura: Los siguientes datos (en micras) corresponden a mediciones de la dimensión b de la pieza B, y son las medias y rangos de 24 subgrupos (1 cada hora) de cuatro unidades cada uno. Los datos se tomaron durante los tres turnos de un día de producción.

π


TURNO

1

TURNO

2

TURNO

3

SUB

X

R

SUB

X

R

SUB

X

R

1 2 3 4 5 6 7 8

288.50 281.75 294.25 284.75 293.00 293.00 291.25 300.25

16 19 15 17 28 18 17 3

9 10 11 12 13 14 15 16

296.00 292.75 289.25 299.00 282.75 296.00 284.25 295.00

2 12 22 8 9 16 21 20

17 18 19 20 21 22 23 24

296.00 301.25 296.75 294.00 296.00 298.00 289.50 285.00

6 26 23 13 18 16 19 15

a) Representar y comentar el gráfico medias-rangos. La capacidad del proceso (6σ) de fabricación de la pieza B con respecto a la dimensión de b es de 45.6. b) ¿Que relación hay, y bajo que condiciones entre la capacidad del proceso y los límites de control? ¿Se cumple en este caso? 11.3. Después de un lamentable accidente, una empresa de ascensores decide implantar el control estadístico en su proceso de fabricación de pernos. Para ello, se toman cuatro pernos en cada turno y se someten a una prueba de resistencia. Los datos, después de ocho días de trabajo son los siguientes: DÍA

1 2 3 4 5 6 7 8

TURNO 1

X 27.0 29.0 30.8 24.3 23.5 26.8 30.3 5.3

TURNO 2

R 5 2 12 11 18 12 18 12

X 25.3 26.5 21.5 17.8 30.5 8.1 30.0 14.8

R 11 28 13 33 14 4 15 14

TURNO 3

X 26.5 26.5 25.5 19.3 29.3 10.3 20.0 18.0

R 3 24 13 35 12 3 10 9

Realizar los gráficos de control que se crea convenientes y comentarlos.

X = 22.79 R = 13.79

11.4. Se quiere realizar un gráfico de control X -R tomando muestras de cuatro unidades. Se comprueba que los límites de control LCL y UCL toman los valores de la tolerancia inferior y superior respectivamente, y el valor nominal coincide con LC. ¿Cuál es la proporción esperada de piezas defectuosas? 11.5. En una máquina que produce bobinas de papel aparecen en promedio 0.7 manchas cada 10 metros. Cada treinta minutos el operador observa pasar 10 m de papel y anota el número de manchas en un gráfico. ¿Cuál es el gráfico adecuado y cuáles son los límites de control? 11.6. Una máquina produce piezas de mica. Se toman 50 piezas consecutivas y se mide el grosor: 8.0 10.0 12.0 12.0 11.5

12.5 10.5 10.5 12.5 9.0

12.5 8.0 13.5 15.5 9.5

14.0 15.0 11.5 13.5 11.5

13.5 9.0 12.0 12.5 12.5

12.0 13.0 15.5 17.0 14.0

14.0 11.0 14.0 8.0 11.5

12.0 10.0 7.5 11.0 13.0

10.0 14.0 11.5 11.5 13.0

14.5 11.0 11.0 17.0 15.0

275


π


a) Realizar el estudio de capacidad de los datos anteriores, dando el valor de la media, la desviación tipo y la capacidad de la máquina. b) Si se consideran aceptables las piezas entre 6.75 y 15.75, ¿es capaz dicha máquina? ¿Cúal es su Cp? ¿Qué fracción de la producción será defectuosa? c) Hacer el estudio gráfico para que sólo el 1% de las piezas sean más grandes de 14.0 y sólo un 3% sean más pequeñas que 7. ¿Cuáles serán los nuevos valores de la media, desviación tipo y capacidad? 11.7. Una característica de calidad de un producto con tolerancias (7.9, 12.1), se distribuye según una normal N(10, 1). El proceso se descentra y pasa a fabricar alrededor de 10.5. ¿Qué se puede decir de la capacidad del proceso? 11.8. Un fabricante de botellas de PVC detecta que el número de botellas producidas es inferior al que debería ser, dado el consumo de materia prima (PVC). Se sospecha que la diferencia es debida a que se producen botellas con un peso superior al especificado (33 ± 0.4gr.) Para comprobarlo se decide realizar un estudio de capacidad pesando 50 botellas. Los datos recogidos, en gramos, son: 33.0 32.6 33.0 32.8 32.6

276

32.7 32.9 32.8 33.4 33.3

33.0 32.8 33.0 33.5 33.0

33.2 33.4 32.4 32.6 33.1

32.7 32.7 33.1 33.4 32.9

33.1 33.0 33.0 32.7 32.9

32.9 33.4 33.2 32.8 33.1

33.1 32.9 33.1 32.8 33.1

33.2 33.0 33.3 33.1 32.5

32.9 33.2 32.9 32.9 33.0

a) Realizar un estudio de capacidad, determinando la media y la desviación tipo. b) ¿Qué porcentaje de piezas se puede esperar que no estén dentro de los límites especificados? c) Según el estudio realizado, para conseguir que como máximo se produjesen el 1% de botellas con exceso de peso y un 5% con un peso inferior al especificado, ¿debería variar la media? ¿Y la desviación tipo? ¿Cuáles son los valores que se deberían tomar? 11.9. Una empresa de helados se dedica en una de sus plantas a la fabricación de helados de chocolate. El helado es vendido en tarrinas de 1.5 dl. Se decide comenzar un estudio de control del proceso, y para ello se extraen cuatro tarrinas durante la producción, a intervalos de tiempo de 10 minutos. Las medidas de las pesadas están en la tabla que sigue: N1 GRUPO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

202 200 202 201 210 202 198 206 206 208 198 204

201 202 201 200 196 206 196 204 204 214 201 204

198 212 208 200 200 205 202 204 203 213 199 202

199 202 201 202 198 203 199 206 204 207 198 206

R 4 12 7 2 14 4 6 2 3 7 3 4

X

N1 GRUPO

200.00 204.00 203.00 200.75 201.00 204.00 198.75 205.00 204.25 210.50 199.00 204.00

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

203 214 192 207 205 204 205 202 204 206 204 206

204 212 198 208 214 208 204 202 206 206 202 205

204 206 204 206 215 196 205 208 209 206 204 204

203 208 198 204 212 196 204 208 202 210 207 202

R 1 8 12 4 10 12 1 6 7 4 5 4

X

203.50 210.00 198.00 206.25 211.50 201.00 204.50 205.00 205.25 207.00 204.25 204.25 X = 203.95

Hacer un estudio del proceso e interpretarlo.

© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.


















Control-y-Mejora-de-la-Calidad

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