Control e Instrumentación de Procesos Químicos

1. El problema de control de plantas químicas El proceso de producción de acetato de vinilo a partir de etileno y ácido acético, frecuentemente denominado proceso VAC, fue propuesto por Luyben y Tyreus (1998) como problema de referencia en el que testear diferentes metodologías de diseño de sistemas de control a escala de planta química completa completa,, lo que en la literatura especializada se conoce como “ plant wide control”. control”. El proceso de síntesis de acetato de vinilo, cuyo diagrama de flujos simplificado se muestra en la Figura 1, contiene operaciones unitarias unitar ias convencionales típicas de plantas químicas (intercambiadores de calor, columna de absorción, columna de destilación, reactor catalítico, etc.), así como corrientes de recirculación de materia e integración térmica entre distintas unidades del proceso. Se trata pues de un proceso químico típico que tiene todos los elementos que pueden representar un reto para su control. En el reactor de síntesis se dan principalmente dos reacciones: C2H4 + CH 3COOH + 1/2 O 2 C2H4 + 3 O2

CH = CHOCOCH 3 + H 2O

o

2CO 2 + 2H 2O

o

La primera es la reacción síntesis y la segunda es una reacción secundaria no no deseada que consume dos de los tres reactivos introducidos en el proceso, etileno y oxígeno. Ambas son exotérmicas y se pueden considerar irreversibles. Estas reacciones tienen lugar en un reactor catalítico multitubular. El catalizador, que se sinteriza a alta temperatura perdiendo su actividad, está contenido en los tubos, mientras que en el lado carcasa el calor de reacción transferido por convección produce vapor a presión. La conversión por paso de los reactivos no es completa de forma que en la corriente de salida del reactor hay H2O, acético y acetato (condensables) y C 2H4, CO2, O2 y C2H6 (el etano es una impureza que entra con la alimentación de etileno) que son gases incondensables. Esta corriente se enfría cediendo calor a la corriente de gas recirculado y posteriormente se enfría aún más en un intercambiador con agua de enfriamiento. Al separador llega una mezcla bifásica que se separa en una corriente líquida constituida principalmente por los componentes condensables y en una corriente gaseosa conteniendo los incondensables. Después de pasar por un compresor donde se aporta la pérdida de carga del circuito de gas, la corriente gaseosa se procesa en una torre de absorción donde se disuelve en acético el acetato que pueda arrastrar

1

el gas. La corriente líquida del separador junto con el efluente líquido del absorbedor se procesa en una columna de destilación azeotrópica. El tanque de reflujo hace de decantador para separar la fase orgánica (acetato) de la fase acuosa. Por el fondo de la columna se extrae el acético que se recircula, una parte al reactor y la otra parte al absorbedor. Recycle gas

Oxygen feed

Purge CO2 Exit CO2 Removal

Compresor

CO2 Purge

Steam Wash Acid Ethylene feed

Heater BFW Reactor

S e p a r a t o r

A b s o r b e r

Vent

Organic Product

Decanter C o l u m n

Ht. Ex. Acetic acid feed

Vaporizer

Reflux

Cooler

Aqueous Product

Acetic acid recycle

Figura 1. Planta de producción de Acetato de Vinilo Una fracción de la corriente de gas que sale del absorbedor se lleva a un sistema de separación de CO 2 con aminas cuyo detalle no se muestra en en el diagrama diagrama de flujos. fluj os. De la otra fracción, fracción, una parte se se purga para evitar la acumulación de etano (inerte) y el resto se recircula al reactor. El acético líquido recirculado se vaporiza junto con el acético fresco alimentado en un vaporizador. El oxígeno, el etileno fresco y el gas recirculado se mezclan con el acético vaporizado y después de calentarlos en un intercambiador de calor se alimentan al reactor.

2

el gas. La corriente líquida del separador junto con el efluente líquido del absorbedor se procesa en una columna de destilación azeotrópica. El tanque de reflujo hace de decantador para separar la fase orgánica (acetato) de la fase acuosa. Por el fondo de la columna se extrae el acético que se recircula, una parte al reactor y la otra parte al absorbedor. Recycle gas

Oxygen feed

Purge CO2 Exit CO2 Removal

Compresor

CO2 Purge

Steam Wash Acid Ethylene feed

Heater BFW Reactor

S e p a r a t o r

A b s o r b e r

Vent

Organic Product

Decanter C o l u m n

Ht. Ex. Acetic acid feed

Vaporizer

Reflux

Cooler

Aqueous Product

Acetic acid recycle

Figura 1. Planta de producción de Acetato de Vinilo Una fracción de la corriente de gas que sale del absorbedor se lleva a un sistema de separación de CO 2 con aminas cuyo detalle no se muestra en en el diagrama diagrama de flujos. fluj os. De la otra fracción, fracción, una parte se se purga para evitar la acumulación de etano (inerte) y el resto se recircula al reactor. El acético líquido recirculado se vaporiza junto con el acético fresco alimentado en un vaporizador. El oxígeno, el etileno fresco y el gas recirculado se mezclan con el acético vaporizado y después de calentarlos en un intercambiador de calor se alimentan al reactor.

2

Las fases orgánicas y acuosas se procesan en un tren de destilación que no se muestra para su posterior purificación. La planta química dispone de una serie de elementos, generalmente válvulas de regulación, para manipular los caudales de determinadas corrientes de proceso. La posición de estas válvulas (variables manipuladas, manipuladas, m) junto con los valores que tengan otras variables de entrada ( perturbaciones perturbaciones,, d) determinan el punto de operación de la planta, es decir el caudal, la composición, la temperatura y la presión de todas las corrientes del proceso (variables de salida, v ). ). La planta química puede visualizarse entones como un sistema (Figura 2) con dos conjuntos de variables de entrada entrada (variables manipuladas y variables de perturbación) y un conjunto de variables de salida. salida. d Perturbaciones

d1

d2

m1 m Variables manipuladas

m2

dd

v1

PLANTA QUÍMICA

mm

v2

v

vv

Variables de salida

Figura 2

Así por ejemplo, en la planta VAC son variables manipuladas, entre otros, los siguientes caudales caudales de corrientes de proceso:

x

x

x

Caudales de alimentación (fresca) de ácido acético, etileno y oxígeno. Caudales de ácido acético recirculado, purga pur ga y gas procesado en el sistema de captura y separación de CO2. Caudales de producto (acetato de vinilo) y de subproducto (fase acuosa) que salen como destilado de la columna azeotrópica.

También se manipulan, manipulan, entre otros, los siguientes siguientes caudales caudales de corrientes auxiliares:

x

Caudal de agua de enfriamiento en el enfriador de gas previo al separador de fases. 3

x x

Caudal de vapor calefactor al vaporizador de acético Caudal de agua de enfriamiento al condensador de la columna de destilación azeotrópica

En la planta VAC son variables de perturbación, entre otras, las siguientes:

x

x

x

x

x

Caudal de producto (acetato) demandado (nótese que coincide en este caso con una variable manipulada) Composición de la corriente de alimentación fresca de etileno (porcentaje de etano impureza) Temperatura del agua de enfriamiento empleada en cualquiera de los enfriadores de la planta (hay varios) Presión del vapor calefactor disponible en el sistema de suministro de vapor Actividad del catalizador (pierde actividad con el transcurso del tiempo)

El sistema de control de la planta es el encargado de posicionar en todo momento el grado de apertura de las válvulas (manipular las variables m) para satisfacer una serie de objetivos de control:

x

x

x

x

Mantener un punto de operación óptimo de la planta minimizando los costes de operación; por ejemplo, en un caso de producción impuesta se debe operar de forma que se minimice el consumo de materias primas (acético, etileno, oxígeno) y de auxiliares (vapor, agua de refrigeración, potencia eléctrica). Satisfacer restricciones de calidad de producto como que el porcentaje de impurezas en el acetato producido sea inferior a un valor dado. Satisfacer restricciones de seguridad como no entrar en el rango de inflamabilidad en el caso de una mezcla de oxígeno y gases combustibles Satisfacer restricciones operativas como que el caudal de vapor ascendente por una columna de platos esté entre un limite inferior que evite el lagrimeo de los platos y un límite superior que provoque la inundación de la columna

4

Es obvio que si no hubiera perturbaciones no sería necesario el sistema de control, ya que bastaría con determinar una única vez los la posición óptima de las válvulas (los valores óptimos de los caudales que minimizan los costes de operación al mismo tiempo que se satisfacen todas las restricciones) y dejarlas en esa posición indefinidamente. Sin embargo, la existencia de perturbaciones hace que los valores óptimos del conjunto m de variables manipuladas no sean siempre los mismos. En el caso de la planta VAC las dos variables de perturbación que mayor efecto tienen en régimen permanente sobre el punto óptimo de operación son probablemente la producción de acetato demandada en cada momentoy la pérdida de actividad del catalizador. Aunque en un principio cabría pensar en un optimizador-controlador que posicionara directamente todas las válvulas (Figura 3) para satisfacer los objetivos de control, la solución que normalmente se adopta es desagregar los problemas de optimización y de control, y seleccionar un conjunto y de variables a controlar (subconjunto de v , las variables de salida) de manera que sea el sistema de control el que se encargue de manipular las válvulas (Figura 4) para que esas variables controladas no se desvíen, por el efecto de las perturbaciones, de unos puntos de consigna (óptimos) calculados por un optimizador.

d

OPTIMIZADORCONTROLADOR

d

OPTIMIZADOR

yp,r

yp

mopt

PLANTA QUÍMICA

v yl

SISTEMA DE CONTROL I SISTEMA DE CONTROL II

mp,opt

ml

PLANTA QUÍMICA

v

yl,r

Figura 3 Figura 4

Como se verá con detalle en el Capítulo X dedicado a Control a Escala de Planta, el propio sistema de control también puede desagregarse en dos niveles, el nivel de control regulatorio o básico y el nivel de control supervisor o avanzado (Figura 5). El primero suele estar constituido por lazos simples (lazos SI SO, “simple input-simple output”) y rápidos de nivel, presión, caudal o temperatura con el objetivo de estabilizar elementos inestables (niveles de líquido) o rechazar rápidamente perturbaciones con un efecto local rápido. Los controladores de éste nivel manipulan directamente las válvulas de

5

control de la planta. El nivel de control supervisor, en cambio, es el que se encarga realmente de mantener el punto óptimo de operación de la planta controlando, generalmente, la composición o la temperatura de determinadas corrientes de proceso. Es la parte del sistema de control que hace frente a perturbaciones con efecto global, manipulando algunos puntos de consigna de controladores del nivel regulatorio o válvulas no usadas en ese nivel. En el nivel de control supervisor pueden emplearse lazos de control multivariable (lazos MIMO, “multiple input-multiple output”) con controladores capaces de actuar simultáneamente sobre varias variables manipuladas y también lazos simples con una única variable controlada y una única variable manipulada.

yp,r yp

NIVEL SUPERVISOR d y2,r m1,opt

y2 yl

NIVEL REGULATORIO

m2,opt ml

PLANTA QUÍMICA

v

yl,r

Figura 5

La Figura 6 muestra la planta VAC con un sistema de control implementado. En ella pueden apreciarse lazos de control del nivel regulatorio como, entre otros, los siguientes:

x

x

x

x

LC 01. Control de nivel en el drum del circuito de vapor asociado al reactor. Manipula la entrada de agua al circuito. TC 01. Control de la temperatura de entrada de gases al reactor. Manipula el aporte de vapor al recalentador de gases. TC 02. Control de temperatura a la entrada del separador de fase. Manipula el caudal de agua de enfriamiento al enfriador. FC 03. Control de caudal de acético usado como disolvente en el absorbedor. Manipula el propio caudal de acético.

En cuanto a lazos pertenecientes al nivel supervisor pueden citarse, entre otros, los siguientes:

6

2) Determinar qué variables de salida se van controlar en el nivel regulatorio y con qué variables manipuladas de formarán los lazos de control. 3) Determinar qué variables de salida se van controlar en el nivel supervisor y qué variables manipuladas están disponibles para ello (pueden ser, como se ha dicho, puntos de consigna de lazos del nivel básico). 4) Definir la estructura del nivel supervisor optando por un sistema completamente descentralizado constituido por lazos SI SO, por un sistema completamente centralizado con un único controlador MI MO o por uno mixto que combine los dos tipos de lazos o controladores. En el caso de optar por un sistema descentralizado hay que abordar el problema del emparejamiento, es decir, qué variable manipulada se va a usar para controlar cada una de las variables controladas. 5) Seleccionar las técnicas de control SI SO y MI MO que se van a emplear en cada uno de los lazos establecidos. Aquí se trata de decidir si se van a implementar lazos simples de realimentación, lazos con acción anticipativa o “feedforward”, lazos en cascada, controladores predictivos u otras técnicas de control. 6) Diseñar o sintonizar los controladores SI SO o MI MO que constituyen el sistema de control. 7) Implementar físicamente el sistema de control seleccionando la instrumentación de medida, los elementos finales de control (válvulas, actuadores) y los controladores adecuados. Tradicionalmente los libros de texto sobre Control de Procesos Químicos se han centrado fundamentalmente en los puntos 5, 6 y 7 de la relación anterior, obviando o dando por resuelta la definición de la estructura del sistema de control (puntos 1 a 4). En esos libros se trata con detalle el diseño de lazos SI SO como los mencionados más arriba en relación con la planta VAC. Son lazos de control de temperatura en reactores e intercambiadores de calor, o lazos de presión en columnas de destilación, lazos de caudal, etc., como los que se muestran en la Figura 6. En la mayoría de los libros de Control de Procesos también se trata el control de “operaciones unitarias”, siendo el control de columnas de destilación (Figura 7) el ejemplo más estudiado con diferencia. Este tipo de problemas contiene elementos que también aparecen en el control a escala de planta, como el decidir entre una estructura centralizada o una descentralizada, y resolver el emparejamiento variables manipuladasvariables controladas en este segundo caso.

8

En este libro, además de tratar con un enfoque moderno los puntos 5,6 y 7, se aborda con extensión el diseño de sistemas de control para plantas completas en el Capítulo X. En la literatura especializada se han propuesto numerosas metodologías para tratar este problema comenzando con la pionera de Buckley (1964) que aún se aplica a nivel industrial. En este libro, sin embargo, la única que se estudia con detalle es la propuesta por Skogestad (2000)

mw

w

P T1 T2

mD

mL L

D, yD

F, xF, TF

mV V mB B, yB

Figura 7. Columna de destilación simple

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Controlabilidad de Procesos Químicos

CONTROLABILIDAD DE PROCESOS

Autor: Pedro Ollero de Castro Octubre, 2006

1. Introducción La Figura 1 muestra una representación esquemática de proceso genérico SISO mediante un solo bloque con dos variables de entrada, la variable manipulada m y la de perturbación d , y una única variable de salida y. En el ejemplo del calentador continuo de agua la variable a controlar era la temperatura de salida del agua ( y), la variable de control o manipulada era la posición de la válvula de vapor (m) y una de las posibles variables de perturbación era la temperatura del agua de entrada (d ). A la hora de controlar un proceso, lo primero que hay que tener en cuenta es que el rango de variación de la variable de control está limitado y que como consecuencia de ello no es alcanzable cualquier valor de la variable de salida. En el calentador el caudal de vapor calefactor puede variar entre cero (válvula cerrada) y un valor máximo (válvula completamente abierta). Como consecuencia de ello, en régimen permanente, la temperatura de salida del agua podrá variar entre la de entrada y la máxima correspondiente al caudal máximo de vapor. Naturalmente, tanto ese valor mínimo como el máximo serán diferentes si cambia la temperatura de entrada, esto es, si cambia la perturbación. d m

y

PROCESO VALVULA, SENSOR Figura 1

Otra cuestión que se plantea es si será posible rechazar las perturbaciones, esto es, si se podrá mantener la variable de salida dentro de una banda de error especificada. Para responder a estas cuestiones es preciso hacer un análisis de controlabilidad . En este tema se discute la controlabilidad de sistemas lineales SISO aún sabiendo que los procesos químicos suelen ser sistemas no lineales. Por ello, los resultados que se obtengan sólo serán válidos en un entorno estrecho del punto nominal de operación ya que en ese entorno se puede asumir un comportamiento lineal y de hecho se dispondrá de las funciones de transferencia de la variable de salida respecto de las dos variables de entrada. En lo que sigue se empleará la representación del proceso es la que se muestra en la Figura 2, donde aparecen dos bloques, uno denotado por G P que representa el efecto real de m sobre y, y otro Gd que representa el efecto real de d sobre y. Sin embargo, lo que se conoce del proceso no son esas funciones de transferencia representativas del comportamiento real sino otras “aproximadas” 



que se obtienen por identificación, que se denotan por G P y Gd respectivamente. Recuérdese que los procesos químicos se suelen modelar mediante sistemas de primer orden con tiempo muerto, es decir mediante funciones de transferencia con tres parámetros, ganancia estática, constante de tiempo y tiempo muerto. Recuérdese también que cuando se emplean funciones de transferencia las variables m, d e y representan desviaciones respecto de sus valores nominales.

1


d

d

Gd +

m

+

Gp

y

m

Proceso

^

Gd + +

^ Gp

^ y

Modelo Figura 2

De acuerdo con la representación mediante dos bloques se puede escribir y  G P m  Gd d 



y  G P m  G d d 

donde se aprecia la diferencia entre el valor real de la variable de salida y el que se estimaría mediante las funciones de transferencia identificadas. El comportamiento real de un proceso químico suele cambiar de un punto de operación a otro y también con el paso del tiempo. Así, si cambia la actividad de un catalizador o los tubos de un intercambiador se van ensuciando, cambiará también la respuesta del proceso a las distintas variables de entrada, ya sean variables manipuladas o perturbaciones. Esta variabilidad en el comportamiento del proceso hará que varíe también la desviación entre modelo y comportamiento real. Las variables que aparecen en esas expresiones se pueden escalar para que su rango de variación sea -1 a 1 (valor absoluto ” 1). Para ello se utilizan las siguientes relaciones m* 

m mmax

d * 

d d max

y * 

y

e* 

emax

e emax

*

y r 

y r emax

Nótese como m se escala con la máxima variación que puede experimentar al estar limitada, y se escala con el error máximo admisible para la variable controlada, d con el cambio máximo que es razonable esperar en la perturbación y la variable de referencia yr se escala también con el error máximo admisible. Normalmente, el mayor cambio esperado en la referencia será mayor que emax y el mayor valor absoluto de la referencia será Rmax >1. (Ver el Apéndice A para más detalles sobre el escalado).Utilizando las relaciones de escalado se tiene y *  G P 

y  G P  *

mmax e max mmax emax

m *  Gd 

m  G d *

d max emax d max e max

* * * * d *  G P m  Gd d

d  *



* * G P m



 Gd * d *

En lo que sigue, se trabajará con las funciones de transferencia y con las variables escaladas, pero se suprimirá el superíndice * pera simplificar la notación. Por otro lado, el estudio que viene a continuación se basa en parte en el dominio de la frecuencia. Por ello, conviene recordar que cualquier variable o señal de entrada o salida no periódica se puede descomponer en una suma de funciones seno o coseno (armónicos) de diferente magnitud para cada frecuencia. La transformada

2


de Fourier (ver Apéndice B) de una señal permite obtener su contenido en frecuencias o espectro en frecuencias e identificar las frecuencias dominantes, esto es, la frecuencia de los componentes de mayor amplitud que componen la señal. Como todas las variables (m, y, d ) se supone escaladas, tendrán una magnitud menor que 1 a cualquier frecuencia.

2. Control anticipativo A la hora de abordar el control de un proceso se pueden distinguir dos tipos de problemas, el problema del seguimiento de la referencia yr ( problema del servomecanismo) y el problema de rechazar perturbaciones ( problema del regulador ).

2.1. Problema del seguimiento Este problema se puede enunciar de la siguiente forma: diseñar un controlador GC capaz de generar una acción de control m de manera que y = yr (control perfecto) o al menos GeG”1. La Figura 3 muestra una representación gráfica del problema. ? yr

m

Gc

Controlador

Gp

y

Proceso

Figura 3

La forma más “natural” de controlar un proceso es utilizando un controlador anticipativo como el que se describe a continuación. Considérese el controlador GC que genera la señal de control m ante cambios en la referencia yr (Figura 3). Si GC  G P 1 el seguimiento de la referencia en este sistema 1 de control anticipativo sería perfecto ya que y  G P GC y r  G P G P y r  y r . Sin embargo, esta

solución aparentemente tan sencilla tiene graves problemas que se pueden concretar en cuatro puntos: errores atribuibles al modelado o la variabilidad del proceso, la saturación de la acción de control , la realizabilidad física del controlador y la controlabilidad del mismo. 1) Errores de modelado o variabilidad del proceso 

Lo que se conoce del proceso es su modelo G P y no su comportamiento real. Por tanto, el diseño del controlador ha de basarse en el modelo del proceso GC 

1 

G P

Si la relación entre el comportamiento real y el modelo fuese 

G P 

G P 1  E P

3


es claro que la respuesta a un cambio en la referencia sería y  G P

1  E P G P

y r  (1  E P ) y r

El error de seguimiento sería e = yr – y = - E P yr que podrá ser menor o mayor que el máximo permitido, pero que en cualquier caso supone que un 10% de error en el modelo ( E P = 0,1) provoca un 10% de error en el seguimiento. Debido a los cambios que sufre el comportamiento del proceso real a lo largo del tiempo E P aumentará a menos que se vaya adaptando el modelo y también el diseño del controlador. 2) Saturación de la acción de control La acción de control (o cambio en la variable manipulada) que demanda el controlador basado en el modelo inverso del proceso es m

y r 

G P

y cabe preguntarse si esa actuación de control supera o no los límites de la variable manipulada. Para que ello no suceda, esto es, para que no se sature la variable controlada deberá satisfacerse la siguiente relación m 

y r 

G P

d1

Como el valor máximo de G yr Ges Rmax, no habrá saturación de la acción de control si Rmax 

G P

d1

Nótese que esta condición será tanto más difícil de cumplir cuanto menor sea el módulo de la función de transferencia del proceso, módulo que como se recordará disminuye al aumentar la frecuencia. En régimen permanente, por ejemplo ( &:0) el modelo del proceso es simplemente su ganancia estática K P y la saturación se producirá para ganancias estáticas (escaladas) menores que Rmax. Esto es lo mismo que decir que el cambio máximo en la referencia es inalcanzable. 3) Realizabilidad física Si como es habitual el proceso se modela como un sistema de primer orden con tiempo muerto, la función de transferencia del controlador requerido para un seguimiento perfecto de la referencia es GC 

1 ˆ  1  ˆ W P s e t s ˆ K d P

P

Pero este controlador no es realizable debido al “adelanto puro” y a que el grado del numerador es superior al del denominador. Un controlador físicamente realizable pero ya incapaz de un control perfecto sería

4


GC 

W P s 1 1  ˆ ˆ 1  D s K P

El adelanto puro es equivalente a predecir cuando va a cambiar yr para empezar a actuar sobre el proceso t dP (tiempo muerto de y respecto de m) unidades de tiempo antes de que se produzca realmente el cambio.

4) Inestabilidad del controlador Si el proceso presenta respuesta inversa, el controlador resultante de invertir el modelo del proceso es inestable y no debe emplearse. En efecto, considérese la función de transferencia de un proceso que presenta un tiempo muerto y una respuesta inversa (un cero positivo)  W1 P s ˆ t s ˆ 1  ˆ G P  K e P 1  ˆ W 2 P s dP

La función de transferencia del controlador sería GC 

W 2 P s ˆ t s 1 1  ˆ e ˆ 1  ˆ s W K 1 P P dP

que no solo es inestable sino que también presenta un adelanto puro.

2.2. Problema de rechazo de perturbaciones En este caso, al no haber cambio en la referencia ( yr = 0) el error es e  0  y  y . El efecto de la variable de perturbación sobre la variable controlada es y  Gd d . Por tanto, si

GGd G”1

es claro

que G yG”1 y que no sería necesario instalar un controlador. Recuérdese que esa condición debe producirse a cualquier frecuencia y que GGd G puede ser mayor o menor que 1 dependiendo de la frecuencia. El problema de rechazo de perturbaciones se puede enunciar de la siguiente manera: diseñar un controlador G F capaz de generar una acción de control que ante una perturbación d mantenga y dentro del error máximo permitido respecto de yr , esto es, en variables escaladas G yG”1. De acuerdo con el diagrama de bloques de la Figura 4 en el que aparece el controlador G F se puede escribir y  G d d  G F G P d  (Gd  G F G P ) d Por tanto, para rechazar completamente la perturbación (control perfecto) esto es para que y = 0 el controlador debería ser G G F   d G P

5


Sin embargo, el diseño del controlador ha de hacerse con lo que se conoce del proceso, que son las funciones de transferencia 

G F  

Gd 

G P

Desafortunadamente este diseño de controlador puede presentar los mismos problemas que tenía el controlador GC en el problema de seguimiento. Proceso d ? Controlador

Gd GF

+ m

Gp

+

y

Proceso Figura 4

1) Errores de modelado y cambios en el proceso Si la relación entre el comportamiento real y el modelo de comportamiento respecto de la perturbación fuese G d



Gd 

1  E d

el diseño del controlador sería G F  

1  E P Gd 1  E d G P

y la respuesta del sistema controlado ante un cambio en la perturbación y  (Gd 

ª E  E P º Gd ) d  « d »Gd d 1  E d 1  E d ¼ ¬

1  E P

Es evidente que el error sólo será nulo si los modelos representaran exactamente el comportamiento real del proceso, o si los errores de modelado fuesen exactamente iguales (extremadamente improbable). Así pues, los errores de modelado impiden rechazar completamente la perturbación si bien el término entre corchetes será normalmente menor que 1 y el controlador anticipativo contribuirá a rechazar o a disminuir el efecto de la perturbación.

6


2) Saturación de la acción de control La acción de control que demanda el controlador anticipativo es 

m

Gd 

G P

d

y de nuevo cabe preguntarse si esa actuación de control supera o no los límites de la variable manipulada. Para que ello no suceda, esto es, para que no se sature la variable controlada deberá satisfacerse la siguiente relación 

m 

Gd 

G P

d d 1

Como el valor máximo de

Gd Ges 1, no habrá saturación de la acción de control si



Gd 

G P

d1

Nótese que esta condición será tanto más difícil de cumplir cuanto menor sea el módulo de la función de transferencia respecto de la variable manipulada y mayor el módulo de la función de transferencia respecto de la perturbación, módulos que como se recordará cambian la frecuencia. En régimen permanente, por ejemplo (&:0) la saturación se producirá cuando el cociente de ganancias estáticas (escaladas) sea menor que 1. Si se relaja la exigencia y sólo se exige que el error sea menor que el máximo permitido (G yG”1) ante la mayor perturbación esperable (Gd G”1), es fácil demostrar que la condición necesaria para que el controlador no se sature es





G G P G•G Gd  1 G. Esta condicione es, a efectos prácticos, muy

similar a la anterior. 3) Realizabilidad física Si la respuesta a la variable de control m presenta un tiempo muerto superior que la respuesta a la perturbación es claro el controlador diseñado debería contener un adelanto puro que obviamente es irrealizable. 4) Controlador inestable Si el proceso presenta respuesta inversa, el controlador G F resultante es inestable y no debe emplearse. En efecto, considérese de nuevo la función de transferencia de un proceso que presenta un tiempo muerto y una respuesta inversa (un cero positivo)  W1 P s ˆ t s ˆ 1  ˆ G P  K e P 1  ˆ W 2 P s dP

Supóngase que la función de transferencia respecto de la variable de perturbación es

7


ˆ e ˆ t s K ˆ Gd  d W d s 1  ˆ dd

El controlador G F sería entonces ˆ K W 2 P s 1  ˆ  ˆ ˆ GC   d e ( t t ) s ˆ ( 1  ˆ W1 P s )( 1  ˆ W d s ) K P dd

dP

t dP ! ˆ t dd . que no solo es inestable sino que también presenta un adelanto puro si ˆ

En realidad, ambos problemas de control - el de seguimiento y el de rechazo de perturbaciones-, se han atacado de la forma en principio más lógica o natural posible; el controlador recibe información del cambio que experimenta la variable que perturba el estado del proceso (la referencia o la variable de perturbación propiamente dicha) y actúa sobre el proceso en base al conocimiento que se tiene sobre su comportamiento. Este concepto de control, denominado control anticipativo, tiene como se ha visto graves problemas derivados de los errores de modelado, saturación de la acción de control, realizabilidad física y estabilidad del propio controlador. Todos estos problemas, con la excepción de la saturación de la acción de control, se pueden evitar utilizando otro concepto de control que es el control por realimentación. En un lazo de control por realimentación, el controlador actúa sobre la variable de control en base a la información que recibe del error e = yr -y . Nótese que el controlador de realimentación precisa que haya error para ejercer una acción correctora y en consecuencia es incapaz de conseguir un control perfecto. En cambio, el diseño del controlador suele obedecer a una estructura fija, el algoritmo PID, que no presenta problemas de inestabilidad, realizabilidad física o serios inconvenientes derivados de un conocimiento impreciso o cambiante del comportamiento del proceso (robustez). Los parámetros involucrados en el algoritmo PID se obtienen a partir de un modelo nominal de comportamiento del proceso o incluso en línea (autotuning) a partir de la respuesta del proceso a determinadas excitaciones. A cambio de no tener problemas de inestabilidad del controlador o de realizabilidad física, la calidad de control que puede alcanzarse es teóricamente inferior.

3. Control por realimentación Considérese el proceso representado por el diagrama de bloques de la Figura 5a. El error ante una perturbación d cuando no hay control (m = 0), esto es, en lazo abierto, es e0  y r  y 0  y r  Gd d

[1]

En un lazo simple de control por realimentación (Figura 5b), la respuesta en lazo cerrado se puede escribir en la forma, y  (1  G P GC ) 1 G P GC y r  (1  G P GC ) 1 Gd d  Ty r  SG d d

[2]

En términos del error en lazo abierto (sin control) e  y r  y  Sy r  SG d d  Se0

[3]

8


donde S  (1  G P GC ) 1 es la función de sensibilidad y T  (1  S )  (1  G P GC ) 1 G P GC es la función complementaria de la sensitividad . Nótese que el efecto de la realimentación viene dado por la función S que relaciona el error en lazo abierto con el error en lazo cerrado A la vista de esta expresión es obvio que lo deseable para alcanzar una buena eficiencia de control es que T o 1 y S o 0 . En relación con este análisis se pueden hacer las siguientes observaciones: ƒ

ƒ ƒ

La calidad de control es buena a las frecuencias a las cuales la ganancia en lazo abierto L  G P GC es mucho mayor que 1 y consecuentemente S o 0 La acción integral hace que S = 0 en régimen permanente. La condición de estabilidad requiere que L  1 a las frecuencias a las que el ángulo de fase de L excede –180º.

La Figura 6 muestra cualitativamente cómo suelen ser las funciones S y L. En control simple por realimentación el ancho de banda se define como el rango de frecuencias > 1 , Z 2 @ en el que el control es efectivo. Como normalmente se requiere que el control sea muy preciso en

d Gd + m

+

e0

y -

Gp +

yr

a) Lazo abierto

d Gd + yr +

m

e

+

y

Gp

GC -

b) Lazo cerrado

Figura 5. Lazo abierto y lazo cerrado

 Z 2 . El término “efectivo” significa aquí que se obtiene un beneficio respecto del sistema no controlado, esto es, que e  e0 . A régimen permanente

1

 0 , y el ancho de banda es simplemente

B

la vista de todo lo anterior es claro que interesa que el ancho de banda sea lo mayor posible dado que:

9


ƒ

La realimentación sólo es efectiva, esto es, S  1 , a frecuencias menores que el ancho de



banda( ƒ

ƒ

B

)

A frecuencias intermedias (en torno a

Z

B

): hay un pico con S ! 1 y la realimentación

empeora la calidad de control. A altas frecuencias ( Z ! 5 B ): S | 1 y la realimentación no tiene efecto.

El ancho de banda & B del sistema de control por realimentación depende del proceso G P y del controlador GC . Un proceso lento (constante de tiempo efectiva elevada) con elevado tiempo muerto tendrá necesariamente un ancho de banda reducido por muy bien que se diseñe el controlador. El diseño del controlador está condicionado por el propio proceso y por la necesidad de obtener una respuesta estable y no muy oscilatoria. Así por ejemplo, es claro que al aumentar la ganancia proporcional de un controlador aumenta L y el ancho de banda se incrementa, pero nos acercamos a la inestabilidad y la respuesta será más oscilatoria. Por otra parte, el tiempo de respuesta en lazo cerrado, una medida de la velocidad de respuesta, es W  1 / c B y la conclusión es la misma, es deseable que el ancho de banda sea elevado lo cual es

3

10

2

10

L (jw) ) s 1 b 10 a ( s e d u t i l p 0 m10 A e d n o i c -1 a 10 l e R

S(jw)

-2

10

wC wB -3

10

-2

10

-1

0

10

10

Figura 6. Ancho de banda

10

1

10


más fácil de conseguir cuando la realimentación se utiliza localmente, esto es, cuando los retardos entre la variable manipulada y controlada son mínimos. Existen tres razones fundamentales por las que el control por realimentación es mejor que el control anticipativo o feedforward:

x Un proceso inestable en lazo abierto sólo puede ser estabilizado mediante realimentación. x Siempre hay perturbaciones no medibles que obviamente no son susceptibles de control anticipativo. x Como el controlador anticipativo está basado en un modelo de proceso que nunca es perfecto, siempre habrá un error. Por otro lado, el comportamiento del proceso puede variar de un punto de operación a otro, por lo que un control anticipativo basado en un modelo del proceso obtenido en las condiciones nominales de operación podrá dar lugar a errores inadmisibles en la variable controlada en otras condiciones de operación. En un lazo de realimentación el controlador se ajusta conociendo un modelo nominal de comportamiento del proceso. Naturalmente, el comportamiento real del proceso puede cambiar de un punto de operación de la planta a otro y también con el tiempo. Sea G P el comportamiento nominal del proceso y G P su comportamiento real. Supóngase que la relación entre ambos es G P  G P (1  E P ) y que la sintonización del controlador es la misma en ambos casos. Según se ha demostrado anteriormente, el error ante un cambio en la referencia en las condiciones nominales y en las actuales es e  S y r

y e  Sy r

Teniendo en cuenta las definiciones de las funciones S y T es fácil demostrar que 1 S  S 1  E P T Ahora bien como el controlador se ha diseñado para que T o 1 y S o 0 es claro que S o 0 y que, por tanto, a diferencia de lo que ocurre con un controlador anticipativo, el cambio de comportamiento del proceso no tendrá un efecto apreciable.

4.

Controlabilidad de Sistemas SISO

Antes de acometer el problema de diseño de un controlador para un proceso, es conveniente plantearse las siguientes cuestiones: ƒ ƒ ƒ

¿Se trata de un problema de control difícil? ¿Existe un controlador capaz de satisfacer las especificaciones? ¿Cómo debe cambiarse el proceso para hacer más sencillo el problema de control?

Todas estas cuestiones están relacionadas con el concepto de “controlabilidad”. Una planta es controlable si existe un controlador capaz de satisfacer el objetivos de control, esto es, ( e  1 ). Por tanto, la controlabilidad es una propiedad del proceso independiente del controlador, que sólo puede modificarse cambiando el proceso a través de modificaciones de diseño que afecten a las

11


variables que se miden, a la situación de los actuadores (válvulas), los objetivos de control y/o al diseño del proceso (añadir un tanque de amortiguamiento por ejemplo). Esta noción de controlabilidad se suele expresar como “input-output controllability” para que no haya confusión con “state controllability” que hace referencia a la capacidad de llevar un proceso de un estado inicial a un estado final con independencia del comportamiento dinámico entre estos estados. La controlabilidad de un proceso se puede evaluar cualitativamente si se toma como referencia control perfecto. Considérese la respuesta del proceso en lazo abierto y  G P m  G d d

Si en esta ecuación se hace y = yr y se despeja la m se obtiene la acción de control que permitiría alcanzar un control anticipativo o feedforward perfecto, m  G P 1 y r  G P 1Gd d

[4]

Si se emplea realimentación, la acción de control se puede expresar también en términos de seguimiento de la referencia yr en presencia de una perturbación d , m  G P 1Ty r  G P 1TG d d

[5]

Nótese que para frecuencias menores al ancho de banda (  Z B ), T :1 y el control por realimentación es equivalente al anticipativo. Por tanto, las limitaciones que se han expuesto anteriormente para el control anticipativo son aplicables en cierto modo al control por realimentación a la hora de valorar la controlabilidad. Así, la controlabilidad está limitada cuando no se puede implementar G P 1 debido a que: ƒ ƒ ƒ

Existe un retardo puro y el controlador debería contener un adelanto puro. Existe respuesta inversa, esto es, un cero positivo que conduce a un controlador inestable. Existen restricciones en las variables de entrada, esto es, la acción de control se satura.

Por tanto, se puede concluir que la controlabilidad será pobre cuando: ƒ ƒ ƒ

ƒ

ƒ

ƒ

ƒ

El proceso presente un tiempo muerto o una respuesta inversa. El orden del proceso sea elevado (proceso muy lento equivalente a tiempo muerto aparente). La ganancia del proceso es baja ( G P 1 elevada) por lo que será fácil que se sature la variable manipulada. La ganancia respecto de las perturbaciones es elevada (gran efecto de las perturbaciones que requiere una acción de control rápida e intensa para ser contrarestado). El proceso es inestable ( G P tiene polos con parte real positiva) y se requiere un lazo de realimentación que no es capaz de una actuación rápida e intensa sobre el proceso si este es lento. No se puede medir la variable de proceso a controlar con la frecuencia deseada y/o sin retardo puro. El proceso es fuertemente no lineal.

En el caso de procesos multivariables (MIMO) las Ecs. [1] a [5] son idénticas salvo que en lugar de variables escalares de entrada y salida se tendrán vectores de entrada y salida, y en lugar de las

12


funciones de transferencia habrá matrices de transferencia. Las limitaciones en la controlabilidad en los sistemas SISO tienen una correspondencia clara en los sistemas MIMO si bien con ciertas particularidades.

4.1 Análisis cuantitativo de controlabilidad El análisis cuantitativo de controlabilidad se hará en el dominio de la frecuencia evaluando la respuesta a señales de entrada sinusoidales en el rango de frecuencias de interés mediante el uso de la curva de relación de amplitudes del diagrama de Bode. 4.1.1 Controlabilidad frente a perturbaciones. ƒ

En ausencia de control la respuesta de la planta a una perturbación es y  Gd d . Por tanto, para que se satisfaga el objetivo de control ( e  y  1 ) frente a la peor perturbación ( d  1 ) se requiere que Gd  1 . En la Figura 7, donde se ha representado una respuesta en frecuencia típica de Gd se observa que para

&

 &d este requerimiento no se satisface y hay que controlar

el proceso para satisfacer el objetivo.

1

10

Gp

Gd

) 0 s b 10 a ( s e d u t i l p m a e d n o i c a 10-1 l e R

-2

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

1

10 10 Frecuencia (rad/s)

2

10

3

10

4

10

Figura 7. Respuestas en frecuencia típicas de G P y Gd Si se emplea control por realimentación éste deberá ser efectivo precisamente en ese rango de 13


frecuencias. Por tanto, el ancho de banda deberá ser

&

B

! &d . Más específicamente, con control por

realimentación, y  SGd d y el requerimiento de controlabilidad es ahora, SGd  1 o

1  L ! Gd

Por tanto, a las frecuencias a las que hay que rechazar la perturbación la ganancia en lazo abierto debe ser mayor que Gd (A efectos prácticos, 1+ L § L). Si Gd se modela como un sistema de primer orden con tiempo muerto perturbación será o

o

o

&

B

&

d

| K d / 2 d y el ancho de banda requerido para rechazar la

! K d / 2 d . De aquí se pueden extraer las siguientes observaciones:

Grandes perturbaciones ( K d elevada) con efecto rápido (2 d pequeño) requieren un control rápido (& B elevado) La regla cualitativa de SEBORG, “controlar las variables no autoreguladas” se cuantifica así: “controlar aquellas variables para las cuales Gd ! 1 a determinadas frecuencias. El tiempo muerto respecto de la perturbación t md no tiene ningún efecto en control por realimentación.

La Figura 8 muestra un caso en el hay un rango de frecuencias ( &1- &2) en el que el control no será efectivo al no cumplirse que 1  L ! Gd .

2

10

) s b a ( s e 1 d u 10 t i l p m A e d n o i c a l 0 e R 10

1+GcGp

Gd

w1

w2

-1

10

-2

10

-1

10

0

1

10 10 Frecuencia (rad/s)

Figura 8. Análisis de controlabilidad

14

2

10

3

10


4.1.2. Saturación de la acción de control Sea el proceso ya conocido y  G P m  Gd d y considérese la peor perturbación posible ( d  1 ). Si se quiere alcanzar un control perfecto ( y  0 ), para que la entrada no se sature ( m  1 ), deberá cumplirse que G P ! Gd . Por otro lado, si se quiere alcanzar con t rol perfecto ( y  y r ) sin que se sature la entrada, ante el mayor cambio esperado en el punto de consigna se deberá satisfacer que G P ! Rmax . De éste análisis se extraen las siguientes conclusiones: ƒ

ƒ

La regla cualitativa “seleccionar las variables manipulables que tengan un gran efecto sobre las salidas a controlar” se cuantifica del siguiente modo en términos de un modelo escalado, “ G P ! Gd a las frecuencias a las que Gd ! 1 y G P ! Rmax a las frecuencias a las que se debe seguir la referencia. Si se sustituye el requerimiento de control perfecto por el de control aceptable y  1 el requerimiento se relaja a G P ! Gd  1 pero esto tiene escasa repercusión práctica.

En la Figura 7 se observa que cabe esperar saturación de la entrada en el rango de frecuencias & y & . Para minimizar este problema se puede modificar el proceso instalando un tanque de 1 d amortiguamiento cuyo efecto es disminuir tanto

&d

como Gd .

Considérese ahora el proceso general cuya función de transferencia es, G P ( s ) 

K P e

 t m P s

( W z s  1)

W 1 s  1W 2 s  1W 3 s  1...

que tiene un cero con parte real positiva (respuesta inversa) en z  1 / 2 z y varias constantes de tiempo ordenadas de mayor a menor ( 2 1 ! 2 2 !

2

3

! ...) . En la práctica el retardo puro, los ceros con

parte real positiva y las pequeñas constantes de tiempo se pueden agrupar en retardo puro efectivo, t meff  t mP  2 z 

2

2

2

 ¦ 2 i it3

Para alcanzar un comportamiento satisfactorio en lazo cerrado (no demasiadas oscilaciones por estar cerca de la inestabilidad) es preciso que & B  1 / t meff . La Figura 9 resume los resultados del análisis cuantitativo de controlabilidad para sistemas SISO. A la vista de todo lo anterior se puede concluir que la controlabilidad será pobre cuando:

 1 / t mP y la

ƒ

Exista un tiempo muerto o respuesta inversa en G P ( s), dado que se requiere

ƒ

velocidad de respuesta será lenta. La dinámica de G P ( s) sea lenta (muchas constantes de tiempo); el retardo efectivo es elevado y se requiere & B  1 / t meff .

ƒ

La ganancia del proceso sea baja ya que se requiere que, G P ! Gd y G P ! Rmax para que no haya problemas de saturación con la entrada.

15

&

B


ƒ

ƒ

Existan grandes perturbaciones que exigen un control rápido

&

B

! &d y una amplia acción

correctora. El proceso sea inestable en lazo abierto. Entones se requiere control por realimentación que puede que no sea capaz de reaccionar de forma suficientemente rápida cuando haya un retardo efectivo elevado en el lazo.

Figura 9. Resumen de resultados de controlabilidad M 1: Márgen para que no se sature la entrada, m  1 . >G P t Gd @ M 2 : Márgen para eficacia de control, y  1 . L t Gd M 3 : Margen por un polo p positivo. M 4 : Margen por un cero z positivo. M 5 : Margen de estabilidad ‘G P ( j& g 180 )  180º M 6 : Margen por un retardo puro, t mP Los márgenes M 4- M 6 se pueden combinar en

&

B

 1 / t meff .

16


Anexo A: Escalado de sistemas SISO Para poder aplicar con propiedad los métodos de análisis de controlabilidad que se desarrollan en este capítulo es necesario escalar previamente las funciones de transferencia del proceso para que los rangos de las variables de salida y entrada escaladas sean aproximadamente iguales. Generalmente el escalado conduce a que las variables escaladas puedan variar entre –1 y +1, esto es, que el mayor valor absoluto sea 1. El escalado que se aplica a cada variable consiste en dividir la variable, que recuérdese es una variable de desviación, por el máximo cambio que puede o debe experimentar en torno al valor nominal. En el caso de una variable de entrada manipulada, sea m el valor nominal (Caudal nominal por ejemplo) y asúmase como es habitual que ese valor nominal es la mitad del valor máximo mmax que puede tomar la variable (Caudal máximo para válvula completamente abierta). Entonces, el máximo cambio que puede experimentar esta variable de entrada es r m . La variable de desviación escalada que podrá variar entre –1 y 1 es, m m m*   mmax m En el caso de una variable de perturbación, si r d max es el máximo cambio que cabe esperar en esa variable en torno al valor nominal, el escalado será d d *  d max Finalmente, en el caso de una variable de salida que se pretende controlar, el escalado consiste en dividirla por la máxima desviación permitida en torno al valor nominal. Si esa desviación es r emax , el escalado será, y y*  emax La señal de error que en sí misma ya es una variable de desviación se escala igual que la variable de salida, e e*  emax La referencia también se escala dividiéndola por emax. y * y r  r emax Generalmente, el máximo cambio esperado en la referencia es superior al máximo error permitido. Por ello, el cambio máximo en la referencia Rmax puede ser mayor que 1. Si en la representación del proceso y  G P m  Gd d se sustituyen las variables no escaladas se obtiene, y   G P

mmax emax

m   Gd

d max emax

   

    

 G P

Gd 

d 

17


Apéndice B: Transformada de Fourier La transformada de Fourier de una variable o señal no periódica x(t ) descompone esa señal en una suma se señales sinusoidales (armónicos) que cubren todo el espectro de frecuencias. Aquellos armónicos que tienen una amplitud significativa determinan las frecuencias dominantes en la señal. La transformada (discreta) de Fourier de una señal x (k ) muestreada con un periodo de muestreo T s es, X ( k  1) 

1

N 1

¦

x ( n  1)e



2 Œ kn N

i

N n 0

donde x(n+1) es el valor muestrado en t = n+1 y N es el número de muestreos en el intervalo seleccionado de la variable. X (k ) es un número complejo cuyo módulo es la amplitud correspondiente a la frecuencia &k . &

k



2Œ k NT s

k  1,..., N / 2

;

El conjunto X (1), X (2),… X ( N /2) es el contenido en frecuencia de la señal o variable discretizada x(1), x(2),…, x(N) en el rango de frecuencias 2Œ NT s

o

Œ

T s

La mayor frecuencia considerada

Œ

/ T s es la frecuencia de Nyquist relacionada con el teorema del

muestreo de Nyquist que establece que para poder reconstruir una señal muestreada es necesario que la velocidad de muestreo sea al menos 2 veces la mayor frecuencia contenida en la señal. La representación de los módulos o magnitudes de X frente a cada frecuencia se conoce como espectro de potencia dado que muestra la contribución de cada frecuencia al contenido total de energía de la señal.

18

REGLAS SINTONIZACION SIMC La regla SIMC para sintonizar un PI (Skogestad, 2003) se basa en la representación del proceso mediante una función de transferencia de primer orden ( 2P) con tiempo muerto (t mP ), K C



1 K P

2

P

I 

2

C  t mP

min( 2 P ,4( 2 C  t mP ))

2

En estas expresiones 2C es la constante de tiempo de la respuesta (pasado el tiempo muerto) en lazo cerrado a un escalón. Como un compromiso entre robustez y velocidad de respuesta Skogestad recomienda 2C = t mP lo que produce un margen de ganancia de aproximadamente 1,7 y una frecuencia de corte &C = 0,5/t mP . En el caso de que el proceso se representara por un sistema de 2º orden sobreamortiguado con constantes de tiempo 21 y 22 y se desease sintonizar un PID del tipo “interactivo” o “cascada” GC

 K C

I s  1

2

I s

( 2 D s  1)

2

la regla SIMC es K C



1 K P

2

1

C 

2

t mP

I 

2

min( 2 1 ,4( 2 C  t mP ))

D 

2

2

2

IDENTIFICACIÓN DE PROCESOS CON MODELOS AUTORREGRESIVOS Un modelo autorregresivo tipo ARX es un modelo discreto lineal en el que la salida en el instante de muestreo n se obtiene a partir de valores pasados de la salida y de la entrada (en n-1,n-2, etc.). Como ejemplo de modelo autorregresivo se puede proponer el siguiente, yn

= a1 yn −1 + a2 y n − 2 + b1un − 4

Los parámetros de un modelo lineal ARX como el anterior se determinan a partir de valores muestreados con un intervalo de tiempo T de la entrada y de la salida. Esta determinación se realiza mediante regresión lineal multivariable, esto es, se determinan los parámetros a1, a2 y b1 que minimizan la diferencia cuadrática entre los valores reales y los calculados por el modelo. En realidad los modelos ARX determinan los valores muestreados de la respuesta de un proceso lineal continuo a una entrada escalonada como la representada en la figura. Lo normal es que la variable de entrada no varíe de forma escalonada, aunque, como se aprecia en la figura, si el intervalo de muestreo es suficientemente pequeño la aproximación de la entrada real por una escalonada será buena.

y

u

un-6 un-5 un-4

t

yn-2 yn-1 yn yn+1

t

Como ejemplo de modelo ARX consideremos el equivalente a un sistema de primer orden con tiempo muerto de parámetros τ p, t d y K p, τ p

dy dt

+ y = K p u( t −

t d )

Asumiendo por un momento que t d = θ T , la transformada de Laplace con condición inicial y=yn-1 y entrada en escalón de magnitud un-1-θ retrasada θ intervalos de muestreo es, sτ p y( s ) − τ p yn −1 + y( s ) = K Reordenando,

un −1−θ s

y( s ) =

1 s + 1 / τ p

y n −1 +

K p / τ p 1 s + 1 / τ p s

un −1−θ

Aplicando la antitransformada y particularizando para t=T resulta, yn

=

ayn −1 + bun−1−θ con a = e

− T / τ p

y b = K p ( 1 − e

− T / τ p

)

El modelo ARX también se puede escribir en forma de función de transferencia en z . Aplicando la transformada z a la ecuación representativa del modelo se tiene, θ

1

1

y( z ) = az − y( z ) + bz −( + )u( z ) Reordenando,

G( z ) =

y( z ) u( z )

b

−( θ +1 )

= z

1 + az −1

Se trata de un modelo ARX (1,1, θ +1) es decir, con na=1, nb=1 y nk =θ +1. Los parámetros a y b del modelo ARX a partir de los cuales es inmediato calcular K p y τ p , se determinan mediante regresión lineal multivariable utilizando un conjunto de valores muestreados de las entrada y de las salidas. ¿Pero cómo se determina θ y en definitiva el tiempo muerto que es θ veces el periodo de muestreo T ? Para hacerlo se puede efectuar una breve experiencia de respuesta a un escalón y viendo el tiempo necesario para que la salida comience a variar tener una estimación del tiempo muerto. Con ella se obtiene un primer valor de θ con el que se obtienen los parámetros a y b y el error cuadrático. Posteriormente se repite el proceso ajuste de parámetros con valores de θ crecientes y decrecientes hasta obtener el menor error cuadrático. Como se verá posteriormente existe una herramienta de MATLAB que es capaz de determinar de forma automática el conjunto de órdenes del modelo ARX, na, nb y nk que minimizan el error cuadrático. Las ventajas de utilizar de esta forma los modelos ARX para identificar la dinámica de procesos químicos son: • •

No requieren que la entrada sea de tipo escalón No es preciso esperar a alcanzar un régimen permanente para poder determinar los parámetros.

Intervalo de muestreo Conforme menor sea el intervalo de muestreo menor error se comete al aproximar la entrada real por una muestreada. Sin embargo, mayor es el número de datos que hay que manejar para cubrir un periodo de tiempo determinado. Como intervalo de muestreo se recomienda T ≤ 0 ,1 ⋅ ( τ p + t d ) ,cuya aplicación requiere, obviamente, una estimación de

la constante de tiempo y del tiempo muerto, y una comprobación posterior.

Uso de MATLAB para identificar procesos El uso de MATLAB se va a explicar apoyándonos en la simulación de un sistema con SIMULINK. Valores muestreados de la respuesta del sistema a una entrada aleatoria se trasladan al “workspace” de MATLAB para disponer de un conjunto de valores muestreados que representarían a los valores reales obtenidos en una planta real. En concreto, el archivo pruebaident.mdl contiene el modelo para simular la respuesta del sistema G( s ) =

2e −10 s 10 s + 1

ante una entrada aleatoria tipo “band limited white noise”. Los bloques SCOPE que aparecen están configurados para que transfieran al “workspace” de MATLAB las señales muestreadas con un intervalo de muestreo T =0,5 (unidades de tiempo). A continuación hay que transformar los conjuntos de valores exportados a vectores u e y. Para ello hay que ejecutar en MATLAB las siguientes órdenes: u=u(:,2) y=y(:,2) El siguiente paso consiste en introducir en MATLAB la orden, Ident para arrancar la herramienta de identificación. Aparece una pantalla que es fácil de emplear para efectuar las siguientes operaciones: • • •

Importar los valores muestreados de las entrada y la salida Seleccionar el tipo de modelo, en nuestro caso será ARX Se acota el rango de valores correspondientes a órdenes del modelo o na : 1-10 o nb : 1-10 o nk : 1-30

El programa obtiene los órdenes que minimizan la diferencia cuadrática entre los valores muestreados y los estimados por el modelo. El resultado es el esperado, na=1, nb=1 y nk =21, esto es el modelo ARX(1 1 21). Expresado como función de transferencia en z el resultado es: G( z ) =

0 ,09754 z −21 1 − 0 ,9512 z −1

De aquí se obtiene,

− 21

= z

0 ,09754 1 − 0 ,9512 z −1

t d

= θ T =

τ p =

K p

20 ⋅ 0 ,5 = 10

T − ln a

=

= 10

b 1 − e −T / τ

=

2

Para obtener la función de transferencia se exporta el modelo ARX al “workspace” de MATLAB y se ejecuta la orden, h=tf([b],[1 a],T,’inputdelay’, θ ) MATLAB responde con la function de transferencia G(z) que se expuso antes. Para convertir el modelo discreto en uno continuo se ejecuta la orden, G(s)=d2c(h) y MATLAB responde con G( s ) =

2e −10 s 10 s + 1

Control Predictivo Monovariable

CONTROL PREDICTIVO MONOVARIABLE (SISO)

P. Ollero de Castro. Diciembre 2006.

1.

Estructura de un Sistema de Control Predictivo (SISO)

El Control Predictivo está basado en una forma natural de interpretar el control por realimentación. En efecto, considérese un proceso cuyo comportamiento real se expresa 

mediante la función de transferencia G P y sea G P el modelo disponible para ese proceso. Para que la variable controlada y siga a la referencia yr , el controlador mostrado en la Figura 1 debería ser GC  G P 1 . En efecto, en ese caso, la respuesta a cualquier cambio en la referencia sería y  G P GC y r  G P G P 1 y r  y r . Sin embargo, como lo que se conoce del proceso es su modelo G P , el controlador podrá ser en todo caso GC  G P 1 y 



1 la variable de salida no seguirá exactamente a la referencia, y  G P G P y r z y r ya que siempre hay errores de modelado. Como se ha visto en un capítulo anterior, esta forma de controlar el proceso se conoce como control anticipativo o feedforward. 

yr

GC

m

GP

y

Figura 1. Estructura de Control Anticipativo o Feedforward

Para reducir el error provocado por la diferencia que siempre existe entre el proceso real y su modelo, se “corrige” la referencia yr afectándola por la diferencia entre el valor real de la variable controlada y el valor que predice el modelo ante la misma señal de control. Esta es la idea básica del Control Predictivo que se ve plasmada en el diagrama de bloques de la Figura 2, donde T P representa la referencia corregida restando a la referencia real yr el “error de modelado”, E  y  y . En esta técnica de control, lo que se realimenta no es la variable controlada como en el caso de un lazo de control por realimentación convencional, sino el error de modelado E .Nótese además, que el efecto de la perturbación d se trata de igual forma que los errores de modelado y la 

Sistemas de Control Predictivo Monovariable referencia se “corrige” restándole el efecto que la perturbación tiene sobre la variable de salida controlada. d

Gd(s)

+ yr(s)

TP(s)

m

GCP (s)

+

GP (s)

y(s)

+ ^ y(s) -

^ GP (s) E(s)

Figura 2. Estructura de un Sistema de Control Predictivo (SISO)

Utilizando el álgebra de bloques es fácil obtener las siguientes funciones de transferencia correspondientes al lazo cerrado,

y ( s ) y r ( s )

y ( s ) d ( s )



GCP ( s )G P ( s )

>

@

[1]

@

[2]

1  GCP ( s ) G P ( s )  G P ( s ) 

1  GCP ( s )G P ( s ) Gd ( s ) 



>

1  GCP ( s ) G P ( s )  G P ( s ) 

Con esta estructura de control parece posible alcanzar un control perfecto con cualquier modelo de proceso, una simple ganancia estática G P  K P , por ejemplo. En efecto, 



sustituyendo GCP ( s )  G P 1 ( s) en las expresiones anteriores de las funciones de 

transferencia en lazo cerrado resulta, y ( s ) y r ( s ) y ( s ) d ( s )



 

G P ( s ) / G P ( s ) 1  G P ( s ) / G P ( s )  1 

>1  1@Gd ( s )

1

1  GCP ( s )>G P ( s )  G P ( s )@ 

0

Sin embargo, este resultado es engañoso. En efecto, utilizando de nuevo el álgebra de bloques es fácil obtener la acción de control para que el control sea perfecto ante una perturbación d (s),

2

Sistemas de Control Predictivo Monovariable

m( s ) 

G ( s )  Gd ( s )GCP ( s )  Gd ( s )GCP ( s ) d ( s )  d ( s )   d d ( s ) 1  GCP ( s )G P ( s )  1 G P ( s ) 1  GCP ( s )>G P ( s )  G P ( s )@ 

Este resultado indica claramente que la acción de control perfecta se basa en la inversión del proceso real y no del modelo. Pero hay básicamente cuatro razones por las que no se puede implementar un controlador cuyo comportamiento responda exactamente a la inversa del proceso:

o

o

o

o

La primera y más obvia es que el controlador sólo puede ser diseñado a partir del modelo del proceso y este nunca es perfecto. Si el proceso tiene tiempo muerto, el inverso del modelo contendría un adelanto puro. Por tanto, el controlador predictivo debería tener la capacidad de usar información del futuro para obtener el valor presente de la variable manipulada, lo cual no es posible. Si el proceso tuviera respuesta inversa, esto es, un cero positivo, el controlador tendría un polo positivo y sería un sistema inestable. Este controlador produciría un cambio no limitado en la variable manipulada y no es utilizable. La variable manipulada de proceso, la posición de la válvula por ejemplo, está sujeta a restricciones (0-100% o completamente cerradacompletamente abierta) y no hay garantía de que el controlador predictivo que se obtiene invirtiendo un modelo del proceso sea capaz de observar esas restricciones. Es decir, la señal de control se satura.

Para obtener una buena calidad de control es preciso que el modelo prediga bien el comportamiento del proceso. De hecho, si la diferencia entre el modelo del proceso y el proceso real es grande el sistema en lazo cerrado puede llegar a ser inestable.

Ejercicio 1. Comprobar que para que el error en régimen permanente sea nulo basta con ~ que el sistema en lazo abierto sea estable y que GCP (0)  1 / G P (0 ) o lo que es lo mismo ~ K CP  1 / K P

2.

Control con Modelo Interno (IMC)

El control IMC (“Internal Model Control”) se puede considerar como un caso particular del Control Predictivo y tiene una estructura de control idéntica a la de éste. (Figura 2). Como el controlador predictivo no suele ser realizable físicamente debido al tiempo muerto del proceso o a un cero positivo, para diseñar el controlador IMC el modelo del proceso se descompone en el producto de dos funciones de transferencia, una incluye la parte no invertible y la otra el resto,

3

Sistemas de Control Predictivo Monovariable G P ( s )  G P  ( s )G P  ( s ) 





donde G p ( s ) es la parte no invertible (contiene el tiempo muerto o el cero positivo). 

Entonces,

G IMC ( s )  F ( s )

1 G P  ( s ) 

donde F ( s) es un filtro que se incluye para que el grado del polinomio denominador de G IMC ( s) sea al menos igual al del polinomio numerador, esto es, para que la función de transferencia representativa sea estrictamente propia o al menos semipropia.. La función de transferencia del filtro es

F ( s ) 

1 (O s  1) n

siendo O un parámetro ajustable (cuanto menor sea correctora del controlador.

O )

más agresiva será la acción

Ejemplo 2. Sea un proceso cuyo modelo de función de transferencia incluyendo elemento final de control y sensor-transmisor es G P ( s ) 

2



10 s  1

e 3 s

La parte invertible es G P  ( s ) 

2



10 s  1

Utilizando un filtro de primer orden el controlador será G IMC ( s ) 

1  s

1

10s  1 2

Es decir, una red adelanto-retardo de ganancia 1/2. Asumiendo que el modelo empleado es perfecto, la respuesta a un cambio en el punto de consigna es y ( s )  G P ( s )m( s )  G P ( s )G IMC ( s ) y r ( s ) 

e 3 s s O

y r ( s )

1

Como se puede apreciar, la respuesta en lazo cerrado tiene ganancia estática unidad (por tanto el error en régimen permanente será nulo) y el mismo tiempo muerto que el proceso real (es inevitable) pero será más rápida que la respuesta en lazo abierto si  <10. Si el modelo empleado no hubiera sido perfecto, el error en régimen permanente

4


también sería nulo, salvo que debido a las diferencias entre el modelo y el proceso real el sistema hubiera sido inestable. (Ver Ejercicio 1).


5(3 s  1)



(10 s  1)(30 s  1)

La parte no invertible corresponde al polo con parte real positiva en s = 1/3, G P  (s)  (3s  1) 

El controlador IMC basado en la parte invertible del modelo y el filtro de segundo orden es G IMC 

1 (10 s  1)(30 s  1) (  s  1) 2

5

Asumiendo que el modelo empleado es perfecto, la respuesta a un cambio en el punto de consigna es y( s )  G P ( s )m( s )  G P ( s )G IMC ( s ) y r ( s ) 

( 3 s  1 ) ( O s  1 )2

y r ( s )

El sistema en lazo cerrado no tendrá error en régimen permanente (la ganancia estática es 1, pero si respuesta inversa que es inevitable. Cuanto menor sea la constante de tiempo más rápida será la respuesta pero también más sensible (menos robusta) a errores de modelado.

3.

Implementación digital de los Sistemas de Control Predictivo (SISO)

El sistema de control predictivo así como el sistema de control IMC son difíciles de 

implemetar analógicamente debido al retardo puro contenido en G P ( s ) .Sin embargo, son fáciles de implementar en forma discreta. En efecto, consideremos la implementación digital de un IMC. Asumiendo que el modelo del proceso es un sistema de primer orden con tiempo muerto se tiene,



G P ( s )  

K P e

 t mP s 

W P s  1 

Utilizando un filtro de primer orden el controlador IMC será entonces,

m( s ) T P ( s )

 G IMC ( s ) 

F ( s ) G p ( s ) 



1



2

s  1

P

K P  s  1 

5


El modelo dinámico del proceso se puede expresar en forma discreta de la siguiente manera,

y (n)  e 

T S / 2 P 

y m(n  1 )  K P ( 1  e 



T S / 2 P 

)m(n-T-1 )

[3]

donde 7  t mP / T S . Por otro lado, el controlador IMC es una red adelanto-retardo cuya 

expresión discreta es

1 1 W P / T S m( n)  m( n  1)  T P ( n)  T P (n  1) O / T S  1 K P O / T S  1 K P O / T S  1 O / T S

1

W P / T S 





[4]



En consecuencia, la ejecución del sistema de control predictivo en el paso n consiste en lo siguiente:

1) Calcular el valor predicho de la variable controlada con la ecuación [3] 2) Calcular la diferencia entre el valor medido y el predicho, E ( n )  y( n )  y( n ) 

3) Corregir el punto T P ( n )  y r ( n )  E ( n )

de

consigna

con

la

señal

de

realimentación,

4) Calcular el valor e la variable manipulada con la ecuación [4].

4.

Sintonización IMC de controladores PI o PID de realimentación

La estructura de control IMC mostrada en la Figura 2 se puede reordenar fácilmente para que aparezca en forma de estructura clásica de lazo de realimentación tal como se muestra en la Figura 3. Las dos estructuras son idénticas pero en la segunda se observa que los dos bloques enmarcados por la línea de trazos y que están unidos por una realimentación positiva juegan el mismo papel que un controlador PID en un lazo de realimentación, es decir, ante un error e( s) generan una señal de control m( s). La función de transferencia de ese conjunto constituido por el controlador predictivo IMC y el modelo de proceso se puede demostrar fácilmente que es

GC ( s ) 

GCP ( s )

1  GCP ( s )G P ( s ) 

[5]

Si esta función de transferencia se pudiera identificar con la de un controlador PID se obtendría la sintonización IMC del controlador. La función de transferencia de un PID ideal con filtro derivativo es

6


GC PID

ªW I W D s 2  W I s  1º ª 1 º ( s )  K C « »« » W I s ¬ ¼ ¬W F s  1¼

[6]

Por tanto, se trata de sustituir en la Ec.[5] las funciones de transferencia del proceso y del controlador predictivo y reordenar la expresión resultante para que adopte la forma de la Ec. [6]. PROCESO REAL

d

Gd(s)

GC (s) + yr(s)

e(s) + -

m

GCP (s)

GP (s)

+

y(s)

+

^ GP (s)

Figura 3. Equivalencia entre la estructura de control IMC y la de realimentación

Sin embargo, si como suele ser habitual el proceso se modela como un sistema de primer orden con tiempo muerto, es claro que GC ( s) no será un cociente de polinomios en s. Para conseguirlo se tiene que emplear la aproximación de Padé de primer orden del retardo puro

 0,5t mP s  1 | 0,5t mP s  1 

t mP s 

e



En efecto, con esta aproximación del tiempo muerto el controlador predictivo IMC ideal (el inverso de la parte invertible del modelo) sería (W P s  1)(0,5t mP s  1) 



GCP ( s ) 



K P

A este controlador habría que añadirle un filtro de 2º orden para que el orden del denominador también fuese 2. No obstante, en este caso, y sólo porque se desea obtener un PID ideal, (orden del numerador superior al del denominador cuando no se emplea el filtro derivativo) se emplea un filtro de primer orden y el controlador predictivo será

7

Sistemas de Control Predictivo Monovariable (W P s  1)(0,5t mP s  1) 



GCP ( s ) 

1



s O

K P

1

[7]

Sustituyendo en la expresión de GC (s) y reordenando resulta,

2 1 0,5W P t mP s  (W P  0,5) s  1 

GC ( s ) 





(O  0,5) s



K P

Esta expresión es idéntica a la de un PID ideal si los parámetros de éste son (W P  0,5t mP ) 



K C 

K p (O  0,5t nP ) 



W I

 W P  0,5t mP 

W D





W P t mP 



2W P  t mP 



Debido a que se ha empleado una aproximación para el retardo puro, un lazo de realimentación con este PID no tendrá exactamente el mismo comportamiento que el sistema de control predictivo. Por esta razón también, la constante  del filtro no puede hacerse demasiado pequeña y de hecho, se recomienda que  >0,8t mP

En lugar de utilizar la factorización simple que da lugar al controlador predictivo anterior (Ec.7) se puede emplear la factorización “todo pasa”. Para un modelo de proceso de sistema de primer orden con tiempo muerto que se aproxima empleando la aproximación de Padé de primer orden, la factorización “todo pasa” es



  G P ( s )  G P ( s )G P ( s )  





K P

( 0,5t mP s  1)

(W P s  1) (0,5t mP s  1) 

Con esta factorización, cuya parte invertible es la misma que se obtendría si no se hubiera empleado la aproximación de Padé, el controlador predictivo sería W P s  1 

GCP ( s ) 



K P

1 s  1 O

Y el controlador de realimentación equivalente

8

Sistemas de Control Predictivo Monovariable W P s 

1

1

K P O s  1 1 ( 0,5t mP s  1) 

GC ( s ) 

1

s O

 1 (0,5t mP s  1)

Este controlador es idéntico a un PID ideal con filtro si los parámetros se ajustan de la siguiente manera (W P  0,5t mP ) 



K C 

W I

K p (O  t mP ) 



 W P  0,5t mP

W D





W P t mP 





2W P  t mP 





W F



O t mP

2(t mP  O ) 

Con este controlador derivado de una factorización “todo pasa”, se recomienda que O t 0, 25t mP 

Ejemplo 4. Para un proceso modelado como sistema de primer orden con tiempo muerto, obtener la sintonización IMC de un PI despreciando el tiempo muerto del proceso.

En este caso, el controlador predictivo es el mismo que si no se despreciara el tiempo muerto del proceso. Invirtiendo el modelo de proceso y empleando un filtro de primer orden resulta W P s  1

1



GCP ( s ) 

s  1 O



K P

Por tanto, el controlador de realimentación equivalente será

W P s 

1

1



s O

K P

GC ( s ) 

W P s 

1

1

1 s O

W P s 





K P

1 K P



1



K P O s

 1 W P s  1 

Esta función de transferencia se puede escribir con una estructura de controlador PI

ª 1 º «1  » K P O ¬ W P s ¼ W P 

GC ( s ) 





9


De donde se obtiene inmediatamente la ganancia y el tiempo integral del controlador PI

W P 

K C 

W I



K P O

 W P 

Dado que esta sintonización se ha obtenido despreciando el tiempo muerto hay que ser muy conservador a la hora de ajustar el parámetro  . De hecho, se recomienda  >1,7t mP .

Ejercicio . Obtener la sintonización IMC de un controlador PI para un proceso cuyo *

modelo es K P e

 t mP s 

. (Nota: emplear la aproximación de Padé de primer orden)

Referencias:

x Marlin, T.E.; Process Control . (Chap.19) McGraw-Hill Int. Edition (1995)

x Bequette, B.W.; Process Control. (Chap. 8 and Chap. 9) Prentice Hall (2003)

10

CARACTERIZACION DINÁMICA DE PROCESOS: REGLA “HALF RULE”. Sea la función de transferencia genérica – j (  2 j 0 s  1)   s G0  k e 0 – i ( 2 i 0 s  1)

[1]

constituida por una ganancia estática k , varios ceros ( z j0 =1/ 2 j 0) con parte real positiva, varios polos ( pi0 =1/ 2i 0, que se ordenan de mayor ( i=1) a menor) con parte real negativa y un tiempo muerto  0. Esta función de transferencia se puede aproximar por la de un sistema de primer orden con una constante de tiempo efectiva 2 ef y un tiempo muerto efectivo  e ,f

1

G  k

ef s  1

e

  ef s

2

siendo ef 

2

10 

2

1 20

2

 ef   0 

1

T  ¦ 2 i 0  ¦ 2 j 0  s i t3

20

2

2

j

con T s el periodo de muestreo. En el caso de que se quisiera aproximar por un sistema de 2º orden (para que al diseñar un controlador IMC aparezca un PID en lugar de un PI) la regla a aplicar es la siguiente G  k

1   s e ef ( 2 1 s  1)( 2 2 s  1)

1  2 10

2  2 20 

2

 ef   0 

1 30

2

1

2

 ¦ 2 i 0  ¦ 2 j 0  it4

j

30 T s

2

2

Ejemplo

Sea el proceso representado por la función de transferencia ( s  0,1)e 3 s G0 ( s )  3 (5 s  1)( s  4) 2 (0,1 s  1) Poniendo esta función de transferencia en la forma [1] se tiene (10 s  1)e 3 s G ( s )  3  0,01875 2 16(5 s  1)(0,25 s  1) (0,1 s  1) (5 s  1)(0,25 s  1) 2 (0,1 s  1)  0,1( 10 s  1)e

3 s

Para aproximarla por un sistema de primer orden con tiempo muerto

ef  5 

2

0,25  5,125 2

 ef 

3

0,25  0,25  0,1  10  13,475 2

Control Predictivo Monovariable

CONTROL PREDICTIVO MONOVARIABLE (SISO)

P. Ollero de Castro. Diciembre 2006.

1.

Estructura de un Sistema de Control Predictivo (SISO)

El Control Predictivo está basado en una forma natural de interpretar el control por realimentación. En efecto, considérese un proceso cuyo comportamiento real se expresa 

mediante la función de transferencia G P y sea G P el modelo disponible para ese proceso. Para que la variable controlada y siga a la referencia yr , el controlador mostrado en la Figura 1 debería ser GC  G P 1 . En efecto, en ese caso, la respuesta a cualquier cambio en la referencia sería y  G P GC y r  G P G P 1 y r  y r . Sin embargo, como lo que se conoce del proceso es su modelo G P , el controlador podrá ser en todo caso GC  G P 1 y 



1 la variable de salida no seguirá exactamente a la referencia, y  G P G P y r z y r ya que siempre hay errores de modelado. Como se ha visto en un capítulo anterior, esta forma de controlar el proceso se conoce como control anticipativo o feedforward. 

yr

GC

m

GP

y

Figura 1. Estructura de Control Anticipativo o Feedforward

Para reducir el error provocado por la diferencia que siempre existe entre el proceso real y su modelo, se “corrige” la referencia yr afectándola por la diferencia entre el valor real de la variable controlada y el valor que predice el modelo ante la misma señal de control. Esta es la idea básica del Control Predictivo que se ve plasmada en el diagrama de bloques de la Figura 2, donde T P representa la referencia corregida restando a la referencia real yr el “error de modelado”, E  y  y . En esta técnica de control, lo que se realimenta no es la variable controlada como en el caso de un lazo de control por realimentación convencional, sino el error de modelado E .Nótese además, que el efecto de la perturbación d se trata de igual forma que los errores de modelado y la 

Sistemas de Control Predictivo Monovariable referencia se “corrige” restándole el efecto que la perturbación tiene sobre la variable de salida controlada. d

Gd(s)

+ yr(s)

TP(s)

m

GCP (s)

+

GP (s)

y(s)

+ ^ y(s) -

^ GP (s) E(s)

Figura 2. Estructura de un Sistema de Control Predictivo (SISO)

Utilizando el álgebra de bloques es fácil obtener las siguientes funciones de transferencia correspondientes al lazo cerrado,

y ( s ) y r ( s )

y ( s ) d ( s )



GCP ( s )G P ( s )

>

@

[1]

@

[2]

1  GCP ( s ) G P ( s )  G P ( s ) 

1  GCP ( s )G P ( s ) Gd ( s ) 



>

1  GCP ( s ) G P ( s )  G P ( s ) 

Con esta estructura de control parece posible alcanzar un control perfecto con cualquier modelo de proceso, una simple ganancia estática G P  K P , por ejemplo. En efecto, 



sustituyendo GCP ( s )  G P 1 ( s) en las expresiones anteriores de las funciones de 

transferencia en lazo cerrado resulta, y ( s ) y r ( s ) y ( s ) d ( s )



 

G P ( s ) / G P ( s ) 1  G P ( s ) / G P ( s )  1 

>1  1@Gd ( s )

1

1  GCP ( s )>G P ( s )  G P ( s )@ 

0

Sin embargo, este resultado es engañoso. En efecto, utilizando de nuevo el álgebra de bloques es fácil obtener la acción de control para que el control sea perfecto ante una perturbación d (s),

2


m( s ) 

G ( s )  Gd ( s )GCP ( s )  Gd ( s )GCP ( s ) d ( s )  d ( s )   d d ( s ) 1  GCP ( s )G P ( s )  1 G P ( s ) 1  GCP ( s )>G P ( s )  G P ( s )@ 

Este resultado indica claramente que la acción de control perfecta se basa en la inversión del proceso real y no del modelo. Pero hay básicamente cuatro razones por las que no se puede implementar un controlador cuyo comportamiento responda exactamente a la inversa del proceso:

o

o

o

o

La primera y más obvia es que el controlador sólo puede ser diseñado a partir del modelo del proceso y este nunca es perfecto. Si el proceso tiene tiempo muerto, el inverso del modelo contendría un adelanto puro. Por tanto, el controlador predictivo debería tener la capacidad de usar información del futuro para obtener el valor presente de la variable manipulada, lo cual no es posible. Si el proceso tuviera respuesta inversa, esto es, un cero positivo, el controlador tendría un polo positivo y sería un sistema inestable. Este controlador produciría un cambio no limitado en la variable manipulada y no es utilizable. La variable manipulada de proceso, la posición de la válvula por ejemplo, está sujeta a restricciones (0-100% o completamente cerradacompletamente abierta) y no hay garantía de que el controlador predictivo que se obtiene invirtiendo un modelo del proceso sea capaz de observar esas restricciones. Es decir, la señal de control se satura.

Para obtener una buena calidad de control es preciso que el modelo prediga bien el comportamiento del proceso. De hecho, si la diferencia entre el modelo del proceso y el proceso real es grande el sistema en lazo cerrado puede llegar a ser inestable.

Ejercicio 1. Comprobar que para que el error en régimen permanente sea nulo basta con ~ que el sistema en lazo abierto sea estable y que GCP (0)  1 / G P (0 ) o lo que es lo mismo ~ K CP  1 / K P

2.

Control con Modelo Interno (IMC)

El control IMC (“Internal Model Control”) se puede considerar como un caso particular del Control Predictivo y tiene una estructura de control idéntica a la de éste. (Figura 2). Como el controlador predictivo no suele ser realizable físicamente debido al tiempo muerto del proceso o a un cero positivo, para diseñar el controlador IMC el modelo del proceso se descompone en el producto de dos funciones de transferencia, una incluye la parte no invertible y la otra el resto,

3

Sistemas de Control Predictivo Monovariable G P ( s )  G P  ( s )G P  ( s ) 





donde G p ( s ) es la parte no invertible (contiene el tiempo muerto o el cero positivo). 

Entonces,

G IMC ( s )  F ( s )

1 G P  ( s ) 

donde F ( s) es un filtro que se incluye para que el grado del polinomio denominador de G IMC ( s) sea al menos igual al del polinomio numerador, esto es, para que la función de transferencia representativa sea estrictamente propia o al menos semipropia.. La función de transferencia del filtro es

F ( s ) 

1 (O s  1) n

siendo O un parámetro ajustable (cuanto menor sea correctora del controlador.

O )

más agresiva será la acción


2



10 s  1

e 3 s

La parte invertible es G P  ( s ) 

2



10 s  1

Utilizando un filtro de primer orden el controlador será G IMC ( s ) 

1  s

1

10s  1 2

Es decir, una red adelanto-retardo de ganancia 1/2. Asumiendo que el modelo empleado es perfecto, la respuesta a un cambio en el punto de consigna es y ( s )  G P ( s )m( s )  G P ( s )G IMC ( s ) y r ( s ) 

e 3 s s O

y r ( s )

1

Como se puede apreciar, la respuesta en lazo cerrado tiene ganancia estática unidad (por tanto el error en régimen permanente será nulo) y el mismo tiempo muerto que el proceso real (es inevitable) pero será más rápida que la respuesta en lazo abierto si  <10. Si el modelo empleado no hubiera sido perfecto, el error en régimen permanente

4


también sería nulo, salvo que debido a las diferencias entre el modelo y el proceso real el sistema hubiera sido inestable. (Ver Ejercicio 1).


5(3 s  1)



(10 s  1)(30 s  1)

La parte no invertible corresponde al polo con parte real positiva en s = 1/3, G P  (s)  (3s  1) 

El controlador IMC basado en la parte invertible del modelo y el filtro de segundo orden es G IMC 

1 (10 s  1)(30 s  1) (  s  1) 2

5

Asumiendo que el modelo empleado es perfecto, la respuesta a un cambio en el punto de consigna es y( s )  G P ( s )m( s )  G P ( s )G IMC ( s ) y r ( s ) 

( 3 s  1 ) ( O s  1 )2

y r ( s )

El sistema en lazo cerrado no tendrá error en régimen permanente (la ganancia estática es 1, pero si respuesta inversa que es inevitable. Cuanto menor sea la constante de tiempo más rápida será la respuesta pero también más sensible (menos robusta) a errores de modelado.

3.

Implementación digital de los Sistemas de Control Predictivo (SISO)

El sistema de control predictivo así como el sistema de control IMC son difíciles de 

implemetar analógicamente debido al retardo puro contenido en G P ( s ) .Sin embargo, son fáciles de implementar en forma discreta. En efecto, consideremos la implementación digital de un IMC. Asumiendo que el modelo del proceso es un sistema de primer orden con tiempo muerto se tiene,



G P ( s )  

K P e

 t mP s 

W P s  1 

Utilizando un filtro de primer orden el controlador IMC será entonces,

m( s ) T P ( s )

 G IMC ( s ) 

F ( s ) G p ( s ) 



1



2

s  1

P

K P  s  1 

5


El modelo dinámico del proceso se puede expresar en forma discreta de la siguiente manera,

y (n)  e 

T S / 2 P 

y m(n  1 )  K P ( 1  e 



T S / 2 P 

)m(n-T-1 )

[3]

donde 7  t mP / T S . Por otro lado, el controlador IMC es una red adelanto-retardo cuya 

expresión discreta es

1 1 W P / T S m( n)  m( n  1)  T P ( n)  T P (n  1) O / T S  1 K P O / T S  1 K P O / T S  1 O / T S

1

W P / T S 





[4]



En consecuencia, la ejecución del sistema de control predictivo en el paso n consiste en lo siguiente:

1) Calcular el valor predicho de la variable controlada con la ecuación [3] 2) Calcular la diferencia entre el valor medido y el predicho, E ( n )  y( n )  y( n ) 

3) Corregir el punto T P ( n )  y r ( n )  E ( n )

de

consigna

con

la

señal

de

realimentación,

4) Calcular el valor e la variable manipulada con la ecuación [4].

4.

Sintonización IMC de controladores PI o PID de realimentación

La estructura de control IMC mostrada en la Figura 2 se puede reordenar fácilmente para que aparezca en forma de estructura clásica de lazo de realimentación tal como se muestra en la Figura 3. Las dos estructuras son idénticas pero en la segunda se observa que los dos bloques enmarcados por la línea de trazos y que están unidos por una realimentación positiva juegan el mismo papel que un controlador PID en un lazo de realimentación, es decir, ante un error e( s) generan una señal de control m( s). La función de transferencia de ese conjunto constituido por el controlador predictivo IMC y el modelo de proceso se puede demostrar fácilmente que es

GC ( s ) 

GCP ( s )

1  GCP ( s )G P ( s ) 

[5]

Si esta función de transferencia se pudiera identificar con la de un controlador PID se obtendría la sintonización IMC del controlador. La función de transferencia de un PID ideal con filtro derivativo es

6


GC PID

ªW I W D s 2  W I s  1º ª 1 º ( s )  K C « »« » W I s ¬ ¼ ¬W F s  1¼

[6]

Por tanto, se trata de sustituir en la Ec.[5] las funciones de transferencia del proceso y del controlador predictivo y reordenar la expresión resultante para que adopte la forma de la Ec. [6]. PROCESO REAL

d

Gd(s)

GC (s) + yr(s)

e(s) + -

m

GCP (s)

GP (s)

+

y(s)

+

^ GP (s)

Figura 3. Equivalencia entre la estructura de control IMC y la de realimentación

Sin embargo, si como suele ser habitual el proceso se modela como un sistema de primer orden con tiempo muerto, es claro que GC ( s) no será un cociente de polinomios en s. Para conseguirlo se tiene que emplear la aproximación de Padé de primer orden del retardo puro

 0,5t mP s  1 | 0,5t mP s  1 

t mP s 

e



En efecto, con esta aproximación del tiempo muerto el controlador predictivo IMC ideal (el inverso de la parte invertible del modelo) sería (W P s  1)(0,5t mP s  1) 



GCP ( s ) 



K P

A este controlador habría que añadirle un filtro de 2º orden para que el orden del denominador también fuese 2. No obstante, en este caso, y sólo porque se desea obtener un PID ideal, (orden del numerador superior al del denominador cuando no se emplea el filtro derivativo) se emplea un filtro de primer orden y el controlador predictivo será

7

Sistemas de Control Predictivo Monovariable (W P s  1)(0,5t mP s  1) 



GCP ( s ) 

1



s O

K P

1

[7]

Sustituyendo en la expresión de GC (s) y reordenando resulta,

2 1 0,5W P t mP s  (W P  0,5) s  1 

GC ( s ) 





(O  0,5) s



K P

Esta expresión es idéntica a la de un PID ideal si los parámetros de éste son (W P  0,5t mP ) 



K C 

K p (O  0,5t nP ) 



W I

 W P  0,5t mP 

W D





W P t mP 



2W P  t mP 



Debido a que se ha empleado una aproximación para el retardo puro, un lazo de realimentación con este PID no tendrá exactamente el mismo comportamiento que el sistema de control predictivo. Por esta razón también, la constante  del filtro no puede hacerse demasiado pequeña y de hecho, se recomienda que  >0,8t mP

En lugar de utilizar la factorización simple que da lugar al controlador predictivo anterior (Ec.7) se puede emplear la factorización “todo pasa”. Para un modelo de proceso de sistema de primer orden con tiempo muerto que se aproxima empleando la aproximación de Padé de primer orden, la factorización “todo pasa” es



  G P ( s )  G P ( s )G P ( s )  





K P

( 0,5t mP s  1)

(W P s  1) (0,5t mP s  1) 

Con esta factorización, cuya parte invertible es la misma que se obtendría si no se hubiera empleado la aproximación de Padé, el controlador predictivo sería W P s  1 

GCP ( s ) 



K P

1 s  1 O

Y el controlador de realimentación equivalente

8

Sistemas de Control Predictivo Monovariable W P s 

1

1

K P O s  1 1 ( 0,5t mP s  1) 

GC ( s ) 

1

s O

 1 (0,5t mP s  1)

Este controlador es idéntico a un PID ideal con filtro si los parámetros se ajustan de la siguiente manera (W P  0,5t mP ) 



K C 

W I

K p (O  t mP ) 



 W P  0,5t mP

W D





W P t mP 





2W P  t mP 





W F



O t mP

2(t mP  O ) 

Con este controlador derivado de una factorización “todo pasa”, se recomienda que O t 0, 25t mP 

Ejemplo 4. Para un proceso modelado como sistema de primer orden con tiempo muerto, obtener la sintonización IMC de un PI despreciando el tiempo muerto del proceso.

En este caso, el controlador predictivo es el mismo que si no se despreciara el tiempo muerto del proceso. Invirtiendo el modelo de proceso y empleando un filtro de primer orden resulta W P s  1

1



GCP ( s ) 

s  1 O



K P

Por tanto, el controlador de realimentación equivalente será

W P s 

1

1



s O

K P

GC ( s ) 

W P s 

1

1

1 s O

W P s 





K P

1 K P



1



K P O s

 1 W P s  1 

Esta función de transferencia se puede escribir con una estructura de controlador PI

ª 1 º «1  » K P O ¬ W P s ¼ W P 

GC ( s ) 





9


De donde se obtiene inmediatamente la ganancia y el tiempo integral del controlador PI

W P 

K C 

W I



K P O

 W P 

Dado que esta sintonización se ha obtenido despreciando el tiempo muerto hay que ser muy conservador a la hora de ajustar el parámetro  . De hecho, se recomienda  >1,7t mP .

Ejercicio . Obtener la sintonización IMC de un controlador PI para un proceso cuyo *

modelo es K P e

 t mP s 

. (Nota: emplear la aproximación de Padé de primer orden)

Referencias:

x Marlin, T.E.; Process Control . (Chap.19) McGraw-Hill Int. Edition (1995)

x Bequette, B.W.; Process Control. (Chap. 8 and Chap. 9) Prentice Hall (2003)

10

PREGUNTAS DE TEST (actualizado Junio 2008) a) DINAMICA Y CONTROLABILIDAD DE PROCESOS Se tienen los dos procesos de mezcla siguientes (el caudal de líquido tratado es el mismo en ambos casos, los tanques de mezcla perfecta tienen rebosadero, los elementos de longitud L representan tuberías): L = 10m CA0

L = 10m CA1

A = 1m2

A

CA2

V = 10m3

L = 10m CA0

B

CA3

A = 1m2

CA1 CA2

A = 1m2

CA3 V = 10m3

V = 10m3

En relación con la respuesta dinámica de cA3 respecto de cA0, a) El sistema A presenta un tiempo muerto menor que el sistema B aunque su constante de tiempo es mayor. b) El sistema A presenta un tiempo muerto mayor que el sistema B aunque su constante de tiempo es menor. c) El sistema A presenta mayor tiempo muerto y mayor constante de tiempo que el sistema B. d) El sistema A presenta menor tiempo muerto y menor constante de tiempo que el sistema B.

La función de transferencia de un proceso es: GP ( s) 

a) b) c) d)

 4,5 (5s  1)(0,5s  1)

Como tiene al menos un polo menor que 1 el sistema es subamortiguado La ganancia estática es negativa y, por tanto, el sistema es inestable. El sistema es de segundo orden y sobreamortiguado. El sistema es no lineal y, ante entradas en escalón de la misma magnitud pero distinto signo ofrecerá respuestas diferentes.

3. Para aplicar el método de la curva de reacción a la hora de obtener un modelo empírico de un proceso, se requiere que la respuesta del sistema ante una entrada en escalón sea: a) b) c) d)

De tipo lineal Exactamente de primer orden con un tiempo muerto Que la ganancia estática sea positiva Sea sobreamortiguada y en forma de “S” tendida

Un sistema que presenta respuesta inversa: a) No puede representarse usando un modelo de primer orden con tiempo muerto, obtenido mediante el método de la curva de reacción aunque sí con un modelo ARX.

b) Se puede representar mediante un modelo de primer orden pero sin tiempo muerto. c) No puede representarse usando un modelo de primer orden con tiempo muerto. d) Corresponde a un sistema no lineal.

Señale la respuesta correcta a) La constante de tiempo de un tanque agitado es tanto mayor cuanto menor es el volumen del tanque b) El tiempo muerto asociado a una línea de proceso es tanto mayor cuanto menor es la velocidad de circulación del fluido c) Al linealizar el modelo de comportamieto de un proceso las variables que aparecen son adimensionales d) La ganancia estática de un proceso en el que se controla la temperatura es igual a la temperatura dividida por la posición de la válvula de control Señale la respuesta correcta a) En una función de transferencia el grado del numerador suele ser igual al del denominador b) Una función de transferencia con adelanto puro contiene el término e5s en el numerador c) Una función de transferencia que contenga un cero con parte real positiva presenta respuesta inversa. d) Un tiempo muerto se puede aproximar por una constante de tiempo muy grande Un proceso se modela con una función de transferencia en la que la constante de tiempo es negativa: K P  t s GP ( s )  e WP  0 (1  W P s ) mP

a) b) c) d)

El proceso es no lineal Es imposible que la constante de tiempo sea negativa El proceso es inestable El proceso es estable aunque presenta oscilaciones

ˆ y se expresa en La función de transferencia de un proceso en el que se quiere controlar una presión es G P bar/%. El error máximo permitido es ±0,2 bar. La función de transferencia escalada es: ˆ a) 2,5 G P ˆ b) 500 G

P

ˆ c) 250 G P d) Ninguna es cierta ˆ y se expresa en La función de transferencia de un proceso en el que se quiere controlar una presión es G P atm/mA. El error máximo permitido es ±0,16 atm. La función de transferencia escalada es: ˆ e) 0,02 G P ˆ f) 100 G P

ˆ g) 0,01 G P ˆ h) 50 G P

ˆ y se expresa en La función de transferencia de un proceso en el que se quiere controlar una presión es G P bar/mA. El error máximo permitido es ±0,1 bar. La función de transferencia escalada es:

ˆ i) 0,2 G P ˆ j) 80 G P

ˆ k) 5 G P ˆ l) 0,0125 G P ˆ y se expresa en La función de transferencia de un proceso en el que se quiere controlar una presión es G P bar/psi. El error máximo permitido es ±0,1 bar. La función de transferencia escalada es: ˆ a) 60 G P ˆ b) 500 G

P

ˆ c) 80 G P d) Ninguna es cierta

La ganancia estática de una variable controlada (una presión) respecto de una perturbación (una temperatura) es de 0,5 bar/ºC y respecto de una variable manipulada es de 0,05 bar/mA. ¿Cuál es el valor máximo que puede tener la perturbación para que la acción de control no se satura en régimen permanente? a) b) c) d)

0,8 ºC 1,25ºC 1,6ºC 0,8 bar

La ganancia estática de una variable controlada (una temperatura) respecto de una perturbación (una temperatura) es de 0,2 ºC/ºC y respecto de una variable manipulada es de 0,05 ºC/mA. ¿Cuál es el valor máximo que puede tener la perturbación para que la acción de control no se sature en régimen permanente? a) b) c) d)

20 ºC 5ºC 16ºC Ninguna es cierta

La función de transferencia de la variable controlada (una presión) respecto de la variable manipulada G P se expresa en bar/%. El error máximo permitido es ±0,2 bar. La función de transferencia escalada es: m) 0,2 GP n) 250 GP o) 50 GP p) 0,004 GP La ganancia estática de una variable controlada (una temperatura) respecto de una perturbación (un caudal) es de -2ºC/(l/min). Si el error máximo permitido es de ±0,5ºC. ¿Cuál es el valor máximo de la perturbación que no requiere control? a) b) c) d)

0,25 0,5 2 Ninguna respuesta es correcta

La ganancia estática de una variable controlada (una temperatura) respecto de una perturbación (un caudal) es de -5ºC/(l/min). Si el error máximo permitido es de ±1ºC. ¿Cuál es el valor máximo de la perturbación que no requiere control? a) b) c) d)

0,2 ºC 5 l/min 0,2 l/min Ninguna es cierta

La ganancia estática de una variable controlada (una presión) respecto de una perturbación (un caudal) es de 3 mbar/(l/min). Si la perturbación máxima que cabe esperar es de ±10 l/min , ¿Cuál es el error máximo que habría que permitir para no tener que controlar la variable? a) b) c) d)

0,3 mbar 3 mbar 30 mbar Ninguna respuesta es correcta

La ganancia estática de una variable controlada (una presión) respecto de una perturbación (una temperatura) es de 0,1 bar/ºC y respecto de una variable manipulada es de 0,05 bar/mA. ¿Cuál es el valor máximo que puede tener la perturbación para que la acción de control no se satura en régimen permanente? e) f) g) h)

2ºC 0,5ºC 4ºC Ninguna respuesta es correcta

La ganancia estática de una variable controlada (una temperatura) respecto de una perturbación (un caudal) es de -4ºC/(l/min). Si el error máximo permitido es de ±0,2ºC. ¿Cuál es el valor máximo de la perturbación que no requiere control? e) f) g) h)

0,05 0,5 2 Ninguna respuesta es correcta

La ganancia estática de una variable controlada (una presión) respecto de una perturbación (una temperatura) es de 0,2 bar/ºC y respecto de una variable manipulada es de 0,05 bar/mA. ¿Cuál es el valor máximo que puede tener la perturbación para que la acción de control no se satura en régimen permanente? e) f) g) h)

4ºC 0,5ºC 2ºC Ninguna respuesta es correcta

La ganancia estática de una variable controlada (una presión) respecto de una perturbación (una temperatura) es de 0,4 atm/ºC y respecto de una variable manipulada es de 0,02 atm/%. ¿Cuál es el valor máximo que puede tener la perturbación para que la acción de control no se sature en régimen permanente? i) 2,5ºC j) 0,4ºC k) 2,5 atm

l) Ninguna respuesta es correcta

En un proceso con un tiempo muerto de 2 min, el máximo ancho de banda alcanzable es de 0,5 rad/min. Una de las siguientes perturbaciones no podrá rechazarse. ¿Cuál es? a) b) c) d)

 s 1e 3 G  4s  1 10e 2 s * Gd  5s  1 5e 3s * Gd  20s  1 0,1e 2 s * Gd  0,5s  1 * d

En un proceso con un tiempo muerto de 2 min, el máximo ancho de banda alcanzable es de 0,3 rad/min. Sólo una de las siguientes perturbaciones podrá rechazarse. ¿Cuál es?

a)

* Gd

b)

* Gd

c)

* Gd

d)

* Gd

   

10e 3s 4s  1 8e 2 s 40 s  1 5e 3s 10s  1 20e 2 s 2s  1

En un proceso con un tiempo muerto de 10 min, el máximo ancho de banda alcanzable es de 0,08 rad/min. Sólo una de las siguientes perturbaciones no podrá rechazarse. ¿Cuál es? a) Gd *



5e 3s 4s  1

b)

Gd *



2e 2 s 100s  1

c)

Gd *



0,5e 3s s 1

d)

Gd *



5e 2 s 80 s  1

La función de transferencia respecto de una perturbación (temperatura de una corriente) de un proceso en el que ˆ (bar/ºC). El error máximo permitido es ±0,1 bar y la mayor perturbación se quiere controlar una presión es G d

esperada es ±20ºC. La función de transferencia escalada es: ˆ a) 0,005 G d ˆ b) 2 G d ˆ c) 200 G d ˆ d) 0,5 G d

Se va a emplear control anticipativo para afrontar un problema de seguimiento de un punto de consigna para un ˆ  10( 2 s  1 ) . El cambio máximo esperado e la proceso cuya función de transferencia escalada es G P ( 50s  1 ) referencia es R max=5. No se puede obtener un control perfecto debido a que: a) b) c) d)

El controlador requerido es inestable El controlador requerido no es realizable físicamente La acción de control se satura a cualquier frecuencia Ninguna de las otras respuestas es cierta

Se va a emplear control anticipativo para afrontar un problema de seguimiento de un punto de consigna para un 2(5s  1) proceso cuya función de transferencia escalada es Gˆ P  . El cambio máximo esperado e la referencia (20 s  1) es R mx.=10. No se puede obtener un control perfecto debido a que: e) f) g) h)

La acción de control se satura a cualquier frecuencia El controlador requerido es inestable El controlador requerido no es realizable físicamente Ninguna de las otras respuestas es cierta

La función de transferencia escalada de un proceso es Gˆ P 

10

. El cambio máximo esperado e la (50 s  1) referencia es R max=5. El controlador se saturará si la frecuencia de la referencia: a) b) c) d)

Mayor que 0,2 Mayor que 0,04 Menor que 0,2 Mayor que 0,02

La controlabilidad de un proceso es peor cuanto a) b) c) d)

Mayor sea K P y menor sea K d Mayores sean K P y 2P Mayor sea K d y menor sea 2d Menor sea 2P y mayor sea 2d

Nota: Se trata de valores escalados

En un sistema de control por realimentación la condición SGd  1 debe cumplirse para que: a) b) c) d)

El ancho de banda sea elevado No se sature la acción de control El controlador sea realizable físicamente Se rechace la peor perturbación

El ancho de banda de un sistema de control por realimentación es a) La frecuencia a la cual es sistema se hace inestable b) El rango de frecuencias en le que el sistema de controles eficaz c) La frecuencia a partir de la cual Gd  1

d) El rango de frecuencias en el que se satura la acción de control El ancho de banda de un sistema de control por realimentación es e) La frecuencia a la cual es sistema se hace inestable f) Ninguna es cierta g) La frecuencia a partir de la cual Gd  1 h) La frecuencia a la cual el margen de fase es nulo

El ancho de banda de un sistema de control por realimentación es a) La frecuencia a la cual es sistema se hace inestable b) El rango de frecuencias en el que S ! 1 c) La frecuencia a partir de la cual Gd  1 d) Ninguna es correcta El ancho de banda de un sistema de control por realimentación es a) La frecuencia a la cual es sistema se hace inestable b) El rango de frecuencias en el que S ! 1 c) La frecuencia a partir de la cual Gd  1 d) Ninguna es correcta

El ancho de banda de un sistema de control por realimentación es a) La frecuencia a la cual es sistema se hace inestable b) El rango de frecuencias en el que S  1 c) La frecuencia a partir de la cual Gd  1 d) El rango de frecuencias en el que se satura la acción de control

La función de transferencia (escalada) de una variable a controlar respecto de una perturbación es 5e 3s (*) Gd  . El ancho de banda requerido para rechazar la perturbación será aproximadamente de ( 20s  1) a) b) c) d)

3 rad/min 0,05 rad/min 0,25 rad/min 4 rad/min

(*)

La constante de tiempo está en minutos

Indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) El tiempo muerto del proceso no influye en el ancho de banda alcanzable en un lazo de realimentación b) Un valor de tiempo muerto del proceso alto implica un ancho de banda alcanzable pequeño c) El tiempo muerto asociado a la perturbación influye en la saturación

d) Un valor de tiempo muerto del proceso alto implica el uso de una acción de control más intensa

b) CONTROL POR REALIMENTACION PID Señale la respuesta incorrecta relativa a un sistema de control por realimentación a) b) c) d)

El controlador no se basa directamente en el modelo del proceso Es capaz de ejercer una acción correctora ante cualquier perturbación Requiere que las perturbaciones sean medibles El ancho de banda aumenta al incrementarse la ganancia del controlador

Señale la respuesta correcta relativa a un sistema de control por realimentación e) f) g) h)

El controlador tiene que tener acción integral Es capaz de ejercer una acción correctora ante cualquier perturbación Requiere que las perturbaciones sean medibles El ancho de banda disminuye al incrementarse la ganancia del controlador

Señale la respuesta correcta relativa a un sistema de control por realimentación a) b) c) d)

El controlador se basa directamente en el modelo del proceso Es capaz de rechazar cualquier perturbación si tiene acción integral Requiere que las perturbaciones sean medibles El ancho de banda aumenta al incrementarse la ganancia del controlador

Señale la respuesta correcta relativa a un sistema de control por realimentación a) b) c) d)

Como corrige en función del error no tendrá nunca error en régimen permanente Es capaz de rechazar cualquier perturbación si tiene acción integral No requiere que las perturbaciones sean medibles para actuar El ancho de banda aumenta al disminuir la ganancia del controlador

En relación con un sistema de control por realimentación, a) El controlador sólo es capaz de ejercer acción correctora sobre las perturbaciones medibles b) El ancho de banda disminuye al aumentar la ganancia del controlador c) Cuanto mayor es el tiempo muerto respecto de la variable manipulada menor es el ancho de banda alcanzable d) La acción de control nunca se saturará si la ganancia estática del proceso es negativa En un lazo de control por realimentación (*) a) b) c) d) (*)

El margen de fase disminuye al disminuir el tiempo integral del PID El margen de ganancia disminuye al incorporar acción derivativa a un PI El margen de fase disminuye al disminuir la ganancia del controlador Ninguna de las respuestas es correcta

Se entiende que dejando constantes los demás parámetros

En un proceso se logra reducir el tiempo muerto modificando la localización del sensor de medida de la variable que se desea controlar. Entonces: a) b) c) d)

La ganancia del controlador podrá aumentarse El tiempo integral deberá aumentarse Ninguna respuesta es correcta Será más probable que se sature la acción de control

Un controlador PI envía una señal 4-20 mA a la válvula de control. Cuando el error e(t) = 0 a) b) c) d)

La señal de salida será de 4 mA La señal de salida será de 20 mA La señal de salida será de 12 mA No se puede saber

Un controlador PI envía una señal 0-100 a la válvula de control. En un momento dado el error es nulo. Entonces, e) f) g) h)

La señal de salida será de 100 si la acción es inversa La señal de salida será de 0 si la acción es directa La señal de salida será de 50 en cualquier caso Ninguna tiene por qué ser cierta

La adición de acción derivativa a un PI a) b) c) d)

Elimina el error en régimen permanente Reduce el ancho de banda del lazo de control Permite aumentar la ganancia del controlador haciendo la respuesta más rápida Suele hacerse en controladores FC de caudal

La respuesta de un lazo de realimentación ante un cambio en escalón en la consigna será tanto más lenta cuanto a) b) c) d)

Mayor sea la ganancia del controlador Mayor sea el tiempo integral Mayor sea el tiempo derivativo Menor sea la magnitud del escalón

La adición de acción derivativa a un PI a) b) c) d)

Reduce significativamente el error en régimen permanente Obliga a reducir la ganancia del controlador Puede ser perjudicial en algunos casos Amortigua el ruido y por ello suele emplearse en lazos de control de caudal

La adición de acción derivativa a un PI e) Es favorable en cualquier caso f) No tiene efecto sobre el error en régimen permanente g) Obliga a reducir la ganancia del controlador

h) Amortigua el ruido y por ello suele emplearse en lazos de control de caudal

c) CONTROL PREDICTIVO

En un sistema de control predictivo IMC a) b) c) d)

Se realimenta la variable controlada para calcular el error No es posible rechazar perturbaciones Si el modelo disponible es perfecto, el control será perfecto (error nulo) Ninguna es cierta

En un sistema de control predictivo IMC e) f) g) h)

El controlador es un PID sintonizado con las reglas IMC Si el modelo disponible es perfecto, el control será perfecto (error nulo) Se realimenta la variable controlada para calcular el error Ninguna es cierta

Señalar la respuesta incorrecta relativa a un sistema de control predictivo IMC a) b) c) d)

Si no hay perturbación se realimenta la diferencia entre el valor de la variable controlada y la predicción El controlador contiene un retardo puro menor que el del proceso Aunque el modelo sea perfecto, el control puede que no lo sea El controlador es el inverso de la parte invertible del modelo

 2( s  0,5)e 5s El modelo de un proceso es G P  . En una estructura de control predictivo IMC el (40s  1)(10s  1) controlador GIMC admisible podría ser: a) b) c)

(40s  1)(10s  1) ( s  0,5)(Os  1)  (10s  1) (2s  1)  (50s  1)(10s  1)

(2s  1) d) Ninguna es correcta

El modelo de un proceso es GP 

2( s  0 ,5 )

. Si este modelo es perfecto y se emplea en un sistema de ( 50s  1 )( 10s  1 ) control predictivo IMC, ¿Cuál será la respuesta a un cambio en escalón de magnitud 0,1 en la referencia? a) b)

0 ,1( 1  2 s ) ( O s  1 )2

0 ,1( 2 s  1 ) ( O s  1 )2

c)

0 ,1( 1  2 s )

( O s  1 ) d) Ninguna es correcta


2( s  0,2)

. Si este modelo es perfecto y se emplea en un sistema de (5s  1)(20s  1) control predictivo IMC, La función de transferencia en lazo cerrado será e) 1 0,4(5s  1) f) (Os  1)2 0,1( s  0,2) g) (Os  1) (5s  1) h) (Os  1)2 El modelo de un proceso es G P 

5e 2 s

. Si este modelo es perfecto y se emplea en un sistema de ( 2 s  1)(10s  1) control predictivo IMC, ¿Cuál será la respuesta a un cambio en escalón de magnitud 0,5 en la referencia? a) b) c) d)

0,5e 2 s s (Os  1)

0,5 s(Os  1) 2

0,5e 2 s s( Os  1) 2

0,15e 2 s s( Os  1) 2

El modelo de un proceso es G P 

24e 2 s

. Si este modelo es perfecto y se emplea en un sistema de ( s  2)( s  110) control predictivo IMC, ¿Cuál será la respuesta a un cambio en escalón de magnitud 0,5 en la referencia? e) f) g) h)

12e 2 s s(O s  1)

0,5 s(O s  1)

2

0,5e 2 s s(O s  1) 2

125e 2 s s(O s  1) 2

8. El modelo de un proceso es G P 

4e 2 s ( 2 s  1)(5s  1)

. En una estructura de control predictivo IMC un

controlador GIMC apropiado podría ser: e) 4 f) Ninguna es aceptable 4(2 s  2)(5s  1) g) (O s  1) 2 h)

0,25(5s  1)(2 s  1) (O s  1) 2


3e 2 s ( s  2)( s  10)

. En una estructura de control predictivo IMC el controlador

GIMC podría ser: i) 20/3 j) 1/3 ( s  2)( s  10) k) (Os  1) 2 (0,5s  1)(0,1s  1) l) 3(Os  1) 2

El controlador de un lazo de realimentación equivalente a un sistema de control predictivo IMC debe tener la siguiente función de transferencia a)

ˆ G G P IMC ˆ G 1G P

IMC

ˆ G P b) ˆ G 1G P

c)

IMC

G IMC ˆ G 1G P

IMC

ˆ G G P IMC d) ˆ G 1 G P

IMC

d) CONTROL EN CASCADA, ANTICIPATIVO, SELECTIVO, RANGO PARTIDO Para que un sistema de control en cascada sea efectivo deben satisfacerse las siguientes condiciones: a) b) c) d)

Que la perturbación entre en el lazo interno (esclavo o secundario) y que éste sea lento Que la perturbación entre en el lazo externo (maestro o principal) y que éste sea lento Que la perturbación entre en el lazo interno (esclavo o secundario) y que éste sea rápido No importa dónde entre la perturbación ni la rapidez de los lazos

Se emplea un control en cascada cuando se satisfacen las siguientes condiciones: a) b) c) d)

La perturbación afecta directamente a la salida La perturbación es medible Existe una variable interna medible afectada por la perturbación Se dispone de un modelo de comportamiento de la variable controlada respecto de la perturbación

Para que sea posible o eficaz un control en cascada ante una perturbación a) La perturbación debe ser medible b) El tiempo muerto de la variable controlada respecto de la perturbación debe ser mayor que respecto de la variable manipulada c) La perturbación debe afectar lentamente a una variable interna medible d) La perturbación debe afectar rápidamente a una variable interna medible

Un control en cascada podrá ser eficaz ante una perturbación si e) La perturbación afecta rápidamente a una variable interna medible f) El tiempo muerto de la variable controlada respecto de la perturbación es mayor que respecto de la variable manipulada g) El controlador del lazo interno tiene acción integral h) El lazo interno tiene un ancho de banda pequeño En relación con la sintonización de los controladores de un sistema de control en cascada a) Es imprescindible que el controlador secundario o esclavo tenga acción integral b) La ganancia del controlador primario puede ser mayor que la del secundario c) Si el controlador secundario tiene acción integral no habrá error en régimen permanente en la variable principal a controlar d) Hay que sintonizar el controlador secundario con el primario en automático

En relación con control anticipativo o feedforward, a) No es apropiado para rechazar perturbaciones “a la salida” es decir aquellas que afectan directamente a la variable a controlar b) No puede usarse si el tiempo muerto respecto de la variable de perturbación es menor que respecto de la variable manipulada c) Su uso obliga a cambiar la sintonización del controlador de realimentación ya que altera el efecto de la variable manipulada sobre la variable controlada. d) Mejora la controlabilidad del proceso aun cuando éste tenga un retardo puro

En relación con control anticipativo o feedforward, e) Es apropiado para rechazar perturbaciones “a la entrada” es decir aquellas que afectan a una variable interna medible antes que a la variable a controlar f) Si no se acompaña con un lazo de realimentación lo más probable es que presente error en régimen permanente g) Es eficaz tanto para rechazar perturbaciones medibles como no medibles h) El controlador anticipativo será realizable si el tiempo muerto respecto de la perturbación es menor que el tiempo muerto respecto de la variable manipulada En relación con un control anticipativo o feedforward, a) Es apropiado para rechazar perturbaciones que afecten rápidamente a una variable interna b) No puede emplearse si el tiempo muerto respecto de la perturbación es menor que respecto de la variable manipulada c) Una vez implementado reduce el efecto de la perturbación sobre la variable manipulada d) El controlador anticipativo afecta a la dinámica del lazo de realimentación que siempre es conveniente.

En relación con un control anticipativo o feedforward, e) Es apropiado para rechazar cualquier tipo de perturbación f) No puede emplearse si el tiempo muerto respecto de la perturbación es menor que respecto de la variable manipulada g) Una vez implementado la controlabilidad se ve favorecida h) El controlador anticipativo afecta a la dinámica del lazo de realimentación. En relación con un sistema de control de ”rango partido” a) b) c) d)

Es un caso especial de control en cascada La misma señal de control llega a dos válvulas situadas en serie en la misma línea. Un único controlador permite tener bajo control dos variables Podría emplearse para controlar el pH de un tanque de neutralización manipulando la válvula de ácido o la de base según proceda.

En relación con un sistema de control de ”rango partido” e) f) g) h)

Es similar a un control de proporción o “ratio control” Es capaz de controlar varias variables con una sola variable manipulada Un único controlador actúa sobre dos válvulas diferentes. Es un caso especial de control por realimentación en el que el controlador no puede tener acción derivativa

En relación con un sistema de control de ”rango partido” i) j) k) l)

Es un caso especial de control anticipativo o feedforward Es capaz de controlar varias variables con una sola variable manipulada Un único controlador puede actuar sobre dos variables manipuladas. Es un caso especial de control por realimentación en el que el controlador no puede tener acción derivativa

En relación con un sistema de control de ”rango partido” m) n) o) p)

Es un caso especial de control anticipativo o feedforward Un único controlador es capaz de mantener bajo control dos variables Un único controlador manipula dos válvulas También suele denominarse “ratio control”

En un controlador VPC a) b) c) d)

El punto de consigna suele ser la posición deseada de una válvula. La variable manipulada tiene que ser forzosamente la posición de una válvula Se emplea en estructuras de control anticipativo Ninguna es cierta

En un controlador VPC e) f) g) h)

La variable a controlar es la señal de salida de un controlador La variable manipulada tiene que ser forzosamente la posición de una válvula No debe emplearse en control con restricciones Ninguna de las respuestas propuestas es correcta

En un controlador VPC i) j) k) l)

No se emplean controladores PI La variable a controlar es la posición de una válvula La variable manipulada no puede ser la posición de una válvula No debe emplearse en control con restricciones

En un sistema de control selectivo a) Un único controlador puede mantener bajo control varias variables b) Un único controlador manipula varias válvulas de control c) Se emplea en control con restricciones pero en ese caso es forzoso que haya un controlador por cada restricción d) El punto de consigan del controlador debe ser del 95% para no violar la restricción

En un sistema de control selectivo a) Suele emplearse para maximizar la capacidad de tratamiento de un equipo b) Un único controlador manipula varias válvulas de control c) Se emplea en control con restricciones pero en ese caso es forzoso que haya un controlador por cada restricción d) La sintonización del controlador es tan sencilla como en un lazo de realimentación simple

e) CONTROL MULTIVARIABLE

En relación con la martiz RGA(0) de un sistema de control multivariable descentralizado a) Los elementos  ij(0) son una medida de las interacciones entre variables a la frecuencia del ancho de banda b) Los elementos  ij(0) tienen las mismas dimensiones que las ganancias estáticas c) Es bueno que la RGA tenga elementos mucho mayores que uno. d) Nunca debe emparejarse con  ij(0) = -1

u1

Parte de la matriz RGA(0) de un sistema de control multivariables es

u2

u3

y1 ª 0,8

0,2

y 2  2

?

« « y 3 «¬ ?

? º

» ¿ A falta de más »  5»¼ ?

?

información, ¿Qué emparejamiento recomendaría? a) b) c) d)

Uno de los emparejamientos propuestos es correcto pero no se obtendrá una buena calidad de control u1-y1 u2-y2 u3-y3 u1-y3 u3-y1 u2-y2 u1-y1 u2-y3 u3-y2

u1 u 2

Parte de la matriz RGA(0) de un sistema de control multivariable es

u3

y1 ª  0,2

?

0,1º

« y 3 «¬ ?

?

» ? »¼

y 2 « 0,15

 0,15

¿ A falta de más ?»

información, ¿Qué emparejamiento recomendaría? e) f) g) h)

Ninguno de los propuestos es recomendable u1-y1 u2-y2 u3-y3 u1-y1 u3-y2 u2-y3 u3-y1 u2-y2 u1-y3

En relación con la matriz de ganancias relativas RGA(0) señalar la respuesta falsa a) b) c) d)

Se puede emparejar con una ganancia relativa nula La suma de los elementos de cualquier fila ha de ser 1 El signo de la ganancia relativa es el mismo que el de la ganancia estática Emparejar de acuerdo con el elemento positivo más próximo a 1 de cada fila de RGA(0) no da siempre el emparejamiento más adecuado.

En relación con la matriz RGA(0) de un sistema de control multivariable descentralizado a) Los elementos  ij(0) son una medida de la sensibilidad de las variables controladas respecto de las manipuladas en régimen permanente b) Los elementos  ij(0) no pueden ser negativos

c) Es mejor que la RGA tenga elementos mucho mayores que 1 a que la RGA sea la matriz unidad d) Puede suceder que aún siguiendo las reglas existentes el emparejamiento basado en la RGA(0) no sea el adecuado.

En relación con la matriz de ganancias relativas RGA(0) señalar la respuesta e) f) g) h)

El signo de la ganancia relativa es el mismo que el de la ganancia estática No se debe emparejar nunca con una ganancia relativa nula La suma de los elementos de cualquier fila ha de ser 0 Emparejar de acuerdo con el elemento positivo más próximo a 1 de cada fila de RGA(0) no da siempre el emparejamiento más adecuado.

u1 u 2


u3

y1 ª 0 ,8

?

4 ,9 º

« y 3 «¬ ?

» ?  4 ,6»¼

¿ A falta de más ? »

y 2 « 4 ?

información, ¿Qué emparejamiento recomendaría? i) j) k) l)

No hay información suficiente para resolver el emparejamiento u1-y1 u2-y2 u3-y3 u3-y1 u2-y2 u1-y3 u1-y1 u3-y2 u2-y3 u1 u 2


u3

y1 ª1,250

0,219

« y 3 «¬0,125

?

y 2 « ?

?

? º

¿ A falta de ? »

» 0,406»¼

más información, ¿Qué emparejamiento recomendaría? m) No hay información suficiente para resolver el emparejamiento n) u1-y1 u2-y2 u3-y3 o) u1-y1 u3-y2 u2-y3 p) u3-y1 u2-y2 u1-y3

En un sistema de control multivariable descentralizado a) La respuesta de una variable de salida a controlar a una variable manipulada no depende de que se cierren o no otros lazos b) La sintonización independiente de los controladores (esto es con los demás en lazo abierto) siempre da lugar a una calidad de control baja c) Es posible controlar la variable de salida “i” con la variable de entrada manipulada “j” aunque gij(s) sea nula d) Las interacciones entre los lazos son siempre desfavorables

P.1 Para un proceso en el que se pretende controlar una temperatura se han identificado las siguientes funciones de transferencia (se omite el acento circunflejo) G P 

5e 3 s 10 s  1

Gd 

º C / mA

0 ,5e 5 s 20 s  1

º C /º C

Se desea escalar las funciones de transferencia teniendo en cuenta los siguientes datos:

    

Rango sensor de temperatura: 0-200 ºC Límites señal de control a válvula: 4-20 mA Máxima perturbación: ± 20ºC Máximo error permitido: ± 2 ºC Máximo cambio esperado en punto de consigna: ± 15 ºC

Solución: Las funciones de transferencia se pueden escalar directamente sin necesidad de adimensionalizar antes G P . Por tanto, no es necesario el dato del rango del sensor de temperatura. Las funciones de transferencia adimensionalizadas son: * G P



mmax emax

G P 

8 2

G P 

20e 3 s 10 s  1

G*d



d max emax

Gd 

20 2

G P 

5e 5 s 20 s  1

Ambas funciones de transferencia son adimensionales. El cambio máximo (escalado) en la referencia es Rmax  15 / 2  7 ,5 . La función de transferencia que se requiere para sintonizar un controlador de realimentación es 5e 3 s § º C · 20  4 § mA · 0 ,4e 3 s G P  ¨ ¸ ¨ ¸ 10 s  1 © mA ¹ 200 © º C ¹ 10 s  1 Si se utilizara esta función de transferencia, que también es adimensional, para escalar, el valor de mmax a emplear es 0,5 y el de emax 2/200=0,01. Compruébese que el resultado final es el mismo.

P.2 Sea la función de transferencia (escalada) respecto de una perturbación Gd 

K d e 3 s

10 s  1 Nota: tanto la constante de tiempo como el tiempo muerto se expresan en minutos. Se pide: a) ¿Qué rango de valores puede tener K d para que no sea necesario controlar esa perturbación? b) Si K d = 5, ¿qué rango de frecuencias requiere control para rechazar la perturbación? c) ¿Qué ancho de banda es necesario para rechazar la perturbación? d) Qué influencia tiene el tiempo muerto de Gd ? sobre la saturación de la acción de control

Solución:

a) Si K d ”1, Gd d 1 para cualquier frecuencia y no se requiere controlar la perturbación b) La frecuencia a partir de la cual el módulo de Gd es menor que 1 es la solución de la ecuación K d 1 2 2 2 d &d  1 Muy aproximadamente esa solución es &

d

&

d

| K d / 2 d . En este caso particular resulta

| 0,5 rad/s . Por tanto, se requiere rechazar la perturbación para frecuencias menores de 0,5

rad/min. c) El ancho de banda requerido para rechazar la perturbación es

&

B

! &d . Por tanto, en este

caso el ancho de banda mínimo requerido es de 0,5 rad/s. En términos de tiempo de respuesta en lazo cerrado 2C este resultado es equivalente a decir que ese tiempo debe ser inferior a 2 d / K d  2 min. d) El tiempo muerto de Gd no tiene ningún efecto sobre la saturación de la acción de control.

 4e 5 s P3. La función de transferencia respecto de la variable manipulada de un proceso es G P  20 s  1 Para esta función de transferencia se ha sintonizado el controlador PI 1 º ª GC  0,37 «1  ¬ 20 s »¼ Nota: la unidad de tiempo es el minuto. Se pide: a) La frecuencia crítica (frecuencia a la cual el retardo de fase de G P GC es de 180º) y el margen de ganancia. b) El ancho de banda del sistema y el tiempo de respuesta en lazo cerrado. Solución: a) La función de transferencia del sistema en lazo abierto es L  G P GC 

1,48e 5 s

20 s La frecuencia crítica es la solución de la ecuación 3

 57,3 ˜ 5&c  90  180

que es &c= 0,314. La relación de amplitudes o magnitud de L a esa frecuencia es 1,48 ˜ 1 RA  L   0,236 20 ˜ 0,314

Por tanto, el margen de ganancia es 1 M f   4,24 (12,55 dB) RA(&c ) b) El ancho de banda es la frecuencia a la cual la magnitud de S es igual a 1. Dado que es un valor difícil de calcular debido al retardo puro, se aproximará por la frecuencia a la cual L es igual a 1. Esta frecuencia es la solución de la ecuación 1,48 ˜ 1 20& B

1

Por tanto, el ancho de banda aproximado es 0,074. La figura adjunta muestra las funciones L y S correspondientes a este caso.

1

10

L

d u t i n 100 g a M o s e d u t i l p m A e d n -1 o 10 i c a l e R

S

wB

wc

-2

10

-2

10

-1

10

0

10

Frecuencia (rad/min)

P4. La función de transferencia (escalada) respecto de la perturbación en el caso de un proceso cuya G P es la del problema P3 es Gd 

3,2e 3 s s  2

Se pide: a) ¿Es realizable un controlador anticipativo para conseguir un control perfecto? b) ¿Se saturará la acción de control del controlador anticipativo para la peor perturbación? c) Si se implementa un control por realimentación con el controlador PI del problema P3, ¿será capaz de rechazar la perturbación?

d) ¿Se saturará la acción de control del controlador de realimentación para la peor perturbación? Solución: a) Conviene expresar Gd en la forma habitual dividiendo por 2 numerador y denominador Gd 

1 ,6 0 ,5 s  1

La función de transferencia del controlador anticipativo es G F  

Gd G P

20 s  1

 0,4

0,5 s  1

e 2 s

Como puede observarse, debido a que el tiempo muerto respecto de la perturbación es menor que respecto de la variable de control, aparece un adelanto puro y el controlador no es realizable físicamente. Se puede implementar la parte realizable del controlador que es todo menos el adelanto puro. b) Suponiendo que sólo se instalara la parte realizable del controlador anticipativo, para que el controlador no se sature deberá cumplirse que G d  G P o que G F  1 . La frecuencia a la cual el módulo de G F es igual a 1 es la solución de la ecuación

0,4

400& 2  1

1

0,25& 2  1

Esa solución es & = 0,115 rad/min. Para frecuencias mayores que esta el controlador se saturará al ser Gd ! G P . La figura siguiente ilustra gráficamente este resultado. 1

10

Gp

0

10

Gd ) s b a ( -1 d u 10 t i n g a M

-2

10

-3

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10


1

10

2

10

c) La frecuencia a partir de la cual Gd  1 es &d = 2,5. Por tanto, para rechazar la perturbación el ancho de banda debería ser mayor que 2,5. En el problema P3 se obtuvo que & B § 0,08. Por tanto, el sistema de control por realimentación no podrá rechazar la perturbación en el rango de frecuencias 0,0fouriersiforier – 2,5.La siguiente figura ilustra este resultado.

1

10

0

10

) s b a ( d u t i n g a M

Gd S -1

10

wB

wd

-2

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10


) La saturación de la acción de control no depende del tipo de controlador sino exclusivamente del proceso, esto es, de las funciones de transferencia G P y Gd .

P 13

La figura adjunta muestra un destilador flash en el que una corriente líquida de alimentación, que puede ser calentada por una corriente de proceso y por una corriente de vapor, se separa en una corriente de producto vapor (V) y en un producto líquido (L). Se pide: a) Identificar las tres variables a controlar (objetivos de control) y comprobar que no es posible controlar ninguna variable más por falta de grados de libertad. (El caudal de alimentación es una perturbación). Ayuda: Utilizar un diagrama de equilibrio L-V. b) En la figura se observa que se pueden manipular cuatro corrientes. Diseñar una estrategia de control basada en lazos de realimentación que utilice las cuatro y que minimice el consumo de vapor calefactor. Explicar como respondería el sistema controlado ante un aumento del componente ligero de la alimentación. (Partir de una situación de régimen permanente). c) La temperatura es una buena medida para inferir el valor de una de las variables controladas que, por otra parte, presenta un elevado tiempo muerto en su sistema de medida. ¿Qué variable es esa? ¿Por qué la temperatura es una buena medida? Añadir al sistema de control diseñado los elementos necesarios para mejorarlo en base a lo tratado en este apartado. Justificar la respuesta. Ayuda: Se trata de un lazo anticipativo o de un lazo en cascada. Fluido de proceso

Vapor V3

V1

V

V2

PT TT

Alimentación

LT

AT

L V4

Solución:

a) Si se asume que el flash opera en equilibrio sólo se pueden especificar (controlar) el nivel de líquido, la presión (o la temperatura) y una composición (o la temperatura). En el diagrama de equilibrio a presión constante, se ve claramente que se puede especificar (controlar) una de las dos composiciones o la temperatura (fijada la composición está determinada la temperatura). b) Como hay tres variables controladas y tres controladores uno de ellos deberá manipular simultáneamente dos válvulas aplicando la técnica de rango partido. En la figura se observa como la presión se controla manipulando el caudal de producto vapor, el nivel manipulando el caudal de líquido y la temperatura actuando sobre el aporte de calor. La señal procedente del TC se lleva a las válvulas V1 y V2 que regulan el caudal de fluido de proceso caliente y el caudal de vapor. Si esa señal es inferior al 50% la válvula de vapor V2 estará cerrada y la temperatura se controla con V1. Cuando aumentan las necesidades energéticas porque el caudal de la alimentación aumenta por ejemplo, y la

señal del TC sobrepasa el 50%, comenzará a abrir la válvula de vapor. Así, mientras sea posible, se operará sólo con fluido de proceso caliente ahorrando el vapor. Si aumenta la cantidad de componente ligero en la alimentación, bajará la temperatura del equilibrio y el TC responderá aumentando el aporte de energía (incrementando el caudal de fluido de proceso si mTC < 50% o el de vapor si mTC > 50%). El caudal de vapor producido en el flash aumenta y con ello la presión. Por ello el PC ordenará abrir la válvula V3. El nivel de líquido en el flash tenderá a disminuir y por ello el LC ordenará cerrar la válvula V4. c) La composición es una variable difícil de medir que requiere una instrumentación cara que además suele aportar un retardo puro. En un sistema binario, si la presión es constante es claro que existe una relación biunívoca entre la temperatura y la composición de forma que especificando (controlando) una se determina (se controla) la otra. En un sistema multicomponente la temperatura sólo sería una medida aproximada de la composición ya que también puede variar, afectando con ello a la temperatura, la concentración de los restantes componentes. En este caso se podría añadir el lazo de composición que se muestra en la figura que manipularía el punto de consigna del lazo de temperatura.

Fluido de proceso

Vapor V3

V1

V

V2

PT PT TC

P PC C

SP

TT

SP Alimentación

LT LT

SP

AC

LC LC

SP

AT

L V4

P 14

La figura adjunta muestra un sistema de secado de papel con el sistema de control de la humedad del papel de salida. El secado se produce mediante aire que se calienta en un horno donde se quema un combustible. Se pide: a) Analizar y describir el sistema de control (tipo, variables manipulas, controladas y de perturbación). Dibujar el diagrama de bloques señalando qué representa cada bloque y cada flecha. b) Al poner en servicio el sistema se encontró que la humedad del papel presentaba excesivas oscilaciones. Después de comprobar que el controlador estaba bien sintonizado, se observó que la temperatura del aire de secado presentaba más variaciones que las esperadas debido a cambios en la temperatura del aire ambiente y a posibles perturbaciones de la cámara de combustión. Añadir al sistema original los elementos que estime necesarios para eliminar el problema. Dibujar el diagrama de bloques resultante. Justificar las decisiones. c) Poco tiempo después se detectó que la humedad del papel sufría desviaciones duraderas respecto de la consigna debido a cambios importantes y sostenidos en la humedad del papel de entrada. Añadir al sistema original los elementos que estime necesarios para paliar el problema. Dibujar el diagrama de bloques resultante. Justificar las decisiones. Salida aire de secadero

Papel

Papel SECADERO MT MC

SP

HORNO

Gases de combustión

Combustible Aire de combustión combustión Aire ambiente ambiente

Solución a) Se trata de un lazo simple de realimentación que controla la humedad del papel manipulando el caudal de combustible al horno. Las posibles variables de perturbación son: -

punto de consigna de humedad humedad humedad del papel a la entrada presión y calidad del combustible temperatura y humedad del aire ambiente, etc

+

MC -

VALVULA

Aire ambiente

Humedad papel entrada

HORNO

SECADERO

MT

b) Se añade un lazo de temperatura en cascada que tiene como variable controlada la temperatura del aire que sale del horno y como variable manipulada el caudal de combustible. Este lazo responderá a perturbaciones en el combustible y en el aire ambiente.

+

+

MC

Poder calorífico combustible

Aire ambiente

Humedad papel entrada

VALVUL A

HORNO

SE CA CADERO

TC

-

MT

TT

c) Se añade un lazo anticipativo que mide la humedad del papel de entrada y que, junto con el controlador de humedad MC, establece el punto de consigna de la temperatura del aire caliente que llega al secadero. Salida aire de secadero

Papel

Papel

SECADERO MT

MT

MC

FYm TC

SP

SP

T FY TT HORNO

Combustible

Gases de combustión

Aire de combustión combustión Aire ambiente

FY m

MT

VA LV LVU LA LA

HO RN RN O

Humedad del papel a la entrada

+ +

MC -

+

+

TC -

TT

SE CA CAD ER ERO

MT

P 15

La figura adjunta muestra un colector de vapor al que llegan aportaciones y del que varios usuarios extraen vapor. Para controlar la presión en el colector se dispone del vaporizador mostrado en la figura que inyecta más o menos vapor según sea el desequilibrio entre aportaciones y extracciones. Aportaciones

Extracciones

PT

FT

LC

Fluido calefactor

Agua líquida

Se pide: a) Diseñar un lazo simple de control. b) Diseñar una estructura de control en cascada sabiendo que se dispone del medidor de caudal de vapor mostrado en la figura. Citar al menos 3 perturbaciones para las que la estructura de control en cascada podría ser efectiva. c) Describir el comportamiento inicial del sistema de control en cascada ante un incremento en la presión del fluido calefactor aguas arriba de la válvula. d) Idem ante un incremento en una extracción de vapor.

Solución:

a) El controlador de presión manipula directamente la válvula de aporte de fluido calefactor PT

PC

SP

b) Se añade un lazo de control de caudal del vapor que sale del vaporizador. Este lazo tiene como variable manipulada el caudal de fluido calefactor. El lazo primario de presión manipula el punto de consigna del controlador de caudal. PT

FT

FC

PC

SP

El sistema de control completo es el que aparece en la siguiente figura, Aportaciones

Extracciones

PT FT

FC

PC

LC

Agua líquida

Fluido calefactor

El control en cascada es efectivo para las perturbaciones que entren en el lazo secundario siempre que éste sea más rápido que el primario. Perturbaciones que entran en el lazo secundario son: la temperatura del agua líquida, la presión del fluido calefactor aguas arriba de la válvula y la temperatura del fluido calefactor. c) Ante un incremento en la presión de suministro del fluido calefactor pasará más a través de la válvula y se generará más vapor en el calderín. Este incremento tiene dos efectos; por una parte reacciona el FC cerrando la válvula de fluido calefactor y, por otra, al aumentar la presión en el colector el PC reduce el punto de consigna del FC. Mientras tanto, el LC habrá corregido el descenso del nivel de líquido en el calderín incrementando la apertura de la válvula de agua. Ante un incremento en la extracción de vapor disminuye la presión en el colector y esto tiene dos efectos; por una parte aumenta el caudal de vapor que sale del calderín y por otra el PC aumenta el punto de consigna del FC. Esto produce un conflicto ya que por el primer efecto el FC trata de cerrar la válvula de fluido calefactor (respuesta errónea ya que se requiere aumentar el aporte de energía) y el segundo de abrirla más (respuesta correcta).

P1

La figura adjunta muestra un reactor discontinuo donde se desea controlar la temperatura manipulando sendas válvulas en las líneas de aporte de agua fría y agua caliente. Se pide:

a) ¿De qué tipo de técnica de control se trata? Identificar variables manipuladas, controladas y de perturbación. b) Si la válvula de agua fría es de “aire para cerrar” (AC) y está completamente cerrada cuando la señal que llega es de 9 psi (ó 50%), indicar el tipo de actuación del controlador (directa/inversa) cómo debe ser la válvula de agua caliente (AO ó AC). Dibujar la relación “% apertura-señal que llega (3 a 15 psi)” para ambas válvulas. c) Explicar con detalle cómo sintonizaría el PIC. SP TIC

REACTIVOS

TT

AGUA CAMISA AGUA

REFRIGERACION/CALENTAMIENTO

FRIA AGUA CALIENTE

Solución:

PRODUCTOS

a) Se trata de un control de rango partido; con un único controlador se controla la temperatura del reactor manipulando los caudales de dos corrientes, una fría y otra caliente. Las temperaturas de las dos corrientes son posibles variables de perturbación, además de variaciones en el aporte de reactivos. b) La válvula de agua fría cierra cuando la señal de salida del controlador aumenta de 3 a 9 psi (0-50%). El controlador tiene que ser de actuación inversa, ya que deberá aumentar su salida cuando disminuya la temperatura para así cerrar la válvula de agua fría o abrir la de agua caliente. La válvula de agua caliente, que debe ser de “aire para abrir”, comienza a abrir a partir de los 9 psi (50%) y estará totalmente abierta cuando la señal que le llegue sea de 15 psi (100%). c) La dinámica de la temperatura respecto de la manipulación del agua fría puede ser diferente que respecto del agua caliente. En ese caso, habría que sintonizar de acuerdo con una dinámica "media" o tener dos juegos de parámetros de sintonización y la posibilidad de cambiar de uno a otro automáticamente.

P2

La figura adjunta muestra el sistema de control de presión en un colector de vapor de baja presión que se alimenta de una línea de alta presión. El sistema incorpora además un lazo de control para evitar sobrepresiones en la línea de alta. Se pide:

a) ¿De qué tipo de técnica de control se trata? El elemento representado por un bloque en blanco, ¿qué instrumento es? ¿Cuál debe ser el punto de consigna del controlador PIC 102? b) Si la válvula en la línea de transferencia de vapor de alta a la línea de baja es de “aire para abrir”, ¿cuál debe ser el tipo de actuación (directa/inversa) de los controladores de presión PIC 101 y PIC 102? c) ¿Es necesario que los controladores tengan “antireset windup”? Explicar. Solución: LINEA DE ALTA PRESION

PT 102 PIC 102

SP= ?

PIC 101

SP= Pdeseada

PT 101 COLECTOR DE BAJA PRESION

a) Se trata de un caso de control selectivo cuyo objetivo es proteger al sistema de presiones elevadas. El instrumento en blanco es un selector de ALTA que selecciona la señal que demanda mayor apertura de válvula (Se supone que la válvula es de aire para abrir). El punto de consigna debe ser la presión máxima admisible en la línea de alta o, por razones de seguridad, una presión algo inferior. b) La actuación del controlador PIC-102 debe ser directa(al aumentar la presión aumenta su señal de salida para abrir más la válvula. La actuación del controlador PIC-101 debe ser inversa (al aumentar la presión en la línea de baja debe disminuir la señal de salida para cerrar más la válvula. c) Si es necesario, ya que el controlador cuya señal no llegue a la válvula estará acumulando error. Normalmente será el controlador PIC-102 pero, ocasionalmente, también podrá ocurrir lo mismo con el PIC-101.

P3

La figura adjunta muestra un reactor tipo tanque agitado dotado de un serpentín para aportar calor. Se pide:

a) Diseñar una estrategia de control, basada en lazos simples de realimentación y en cascada, capaz de mantener el caudal de alimentación y la temperatura en el reactor constantes. Una perturbación importante es la presión de suministro de fluido calefactor al serpentín. Dibujar el diagrama de bloques de esa estrategia. b) Se desea maximizar la alimentación al reactor pero evidentemente existe una limitación en la capacidad de aporte de calor. Teniendo en cuenta este hecho, se pide:

1) Identificar con precisión en que elemento está esa limitación 2) Sobre la estrategia diseñada anteriormente, montar la que sea necesaria para satisfacer el nuevo objetivo.(Ayuda: utilizar un VPC, controlador de posición de válvula) 3) Describir cómo funcionaría el sistema ante un incremento en la temperatura de la alimentación al reactor

a)

b) Cuanto mayor sea el caudal de alimentación mayor deberá ser el aporte de calor , que está limitado por la máxima apertura de la válvula situada en la línea de suministro de fluido calefactor. Para maximizar la alimentación la estrategia de control deberá mantener abierta dicha válvula al máximo posible sin que se pierda el control sobre la temperatura. Un controlador VPC con un punto de consigna del 95% sirve para lograr ese objetivo tal como se observa en la figura.

c) Partiendo de una situación de régimen permanente en la que la temperatura está en su punto de consigna y la válvula abierta al 95%, la respuesta del sistema ante un incremento en la temperatura de la alimentación sería la siguiente: x

x

x

aumenta la temperatura en el reactor el controlador de temperatura modifica su señal de salida para reducir la abertura de la válvula y el caudal de fluido calefactor el VPC al detectar un error incrementa su señal de salida que es el punto de consigna del lazo de control de caudal de la alimentación.

P4

La figura adjunta muestra un proceso de mezcla de una corriente que contiene A con otra de disolvente exenta de A. Se desea controlar la concentración de A en la corriente de mezcla manipulando el caudal de la corriente de A puro ( F S ! ! F A ) . La perturbación principal (medible) es la concentración c A0 de la corriente F que llega al punto de mezcla a través de una tubería de longitud Ld (sección de flujo S ) y de un tanque agitado de volumen V d. La corriente ( F S + F A ) llega al punto de mezcla a través de una tubería de longitud L1 (sección de flujo S ) y de dos tanque agitados de volúmenes V 1 y V 2. Para los dos casos que se muestran en la tabla adjunta, se pide:

a) Dibujar una estrategia de control anticipativo (incluyendo también el lazo de realimentación) y el diagrama de bloques correspondiente. b) Analizar si esa estrategia anticipativa será capaz de mejorar la calidad de control que se consigue con un lazo de realimentación exclusivamente. Asumir que la función de transferencia de todos los sensores-transmisores de concentración son iguales a 1. c) Discutir si la implementación del control anticipativo obliga o no a modificar la sintonización del controlador de realimentación. d) Asumiendo que las dos únicas concentraciones medibles son c A0 y c A , analizar si un control en cascada es o no recomendable o posible para este caso. Ayuda: la constante de tiempo de un tanque de mezcla es V/F y el tiempo muerto de una tubería es L·S/F. CASO L1S /( F A+ F S)

V 1/( F A+ F S )

V 2/( F A+ F S ) Ld /( F /S )

V d/ F

I

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

II

0,5

1,0

1,0

1,0

1,0

a)

b) Las funciones de transferencia en el caso I son:

Gc A , m 

K c A , m e  s

Gc A ,c A 0 

(1 s )2

K c A , c A 0 e  s (1 s )

La función de transferencia del controlador anticipativo debe ser entonces,

G FF  

Gc A , c A 0 Gc Am



K c A , c A 0 K c Am

(1 s )

En el caso II procediendo de forma análoga se llega al siguiente controlador anticipativo,

G FF  

K c A ,c A0 K c A m

(1 s )e  0,5 s

En estos cálculos se ha supuesto que la dinámica del analizador de composición que mide la perturbación es despreciable y que su ganancia estática es la unidad o está incluida en K c A,c A0 . En ambos casos resulta un controlador realizable. En consecuencia, la calidad de control mejorará respecto de la que se consigue con el lazo de realimentación.

c) No es preciso cambiar la sintonización del controlador ya que los elementos que implementan la compensación anticipativa están fuera del lazo de realimentación.

d) En este caso una estructura de control en cascada no es aconsejable. La perturbación entra necesariamente en el lazo externo, ya que su efecto sólo puede ser medido situando un analizador justamente en el mismo lugar donde está ya el sensor de la varia ble a controlar. Dicho de otra forma, el lazo externo y el interno han de coincidir necesariamente.

P5

La figura adjunta muestra un reactor tipo tanque agitado donde tiene lugar la reacción, A o B ( r A )

( 'H R ) 0 k1c A 1 k 2 c I

Se dispone de los sensores y de las válvulas que se muestran en la figura y estos no pueden ser instalados en otro lugar. Se desea controlar la concentración en el reactor mediante lazos simples y en cascada. Con estas restricciones diseñar el mejor sistema de control para hacer frente a las siguientes perturbaciones: (1) la presión de suministro del fluido calefactor p1, (2) la temperatura T D de la corriente de disolvente, (3) la presión p2 de suministro de reactivo y (4) la concentración de inhibidor c I en la corriente de disolvente. Dibujar también el diagrama de bloques completo.

Solución:

Las variables manipulables que afectan a la variable controlada (c A o c B) son el caudal de reactivo A, el caudal de disolvente (afecta a la concentración de reactivo y al tiempo de residencia en el reactor), los caudales de fluido calefactor a través del intercambiador de calor y a través del reactor. Cualquiera de ellas podría en principio utilizarse como varianle manipulada principal para controlar la composición en el reactor. Para seleccionar la más adecuada habría que hacer un análisis dinámico y estático de la respuesta de la variable controlada a cada una de las variables manipulables (un análisis de controlabilidad ). A falta de este estudio se tomará el caudal de reactivo A como la variable manipulada principal (con la misma probabilidad de acertar se podría haber elegido el aporte de calor al reactor).

A partir de esta decisión los lazos que deben formarse para minimizar el efecto de las perturbaciones son:

1. Lazo de control de caudal en la línea de reactivo que actúa sobre la perturbación p2. 2. Lazo que controla la temperatura en el reactor manipulando de caudal de fluido calefactor al serpentín que actúa sobre la perturbación p1. 3. Lazo que controla la temperatura del disolvente manipulando el caudal de fluido calefactor al intercambiador. Este lazo minimiza el efecto de la perturbación T D.

No es posible actuar frente a variaciones en la concentración de inhibidor dado que no existe ningún instrumento que mida esta variable o que pueda detectar rápidamente algún efecto asociado a la misma.

Además de los lazos mencionados debe implementarse, lógicamente, el lazo que controla la composición en el reactor manipulando el punto de consigna del lazo de control de caudal de reactivo.

Por otra parte, podría pensarse también en cerrar un lazo de control de caudal el la línea de disolvente. Este lazo, al tener el sensor de caudal después del punto de mezcla con el caudal de reactivo, potenciaría el efecto de la variable manipulada principal ya que, al aumentar el caudal de reactivo A este controlador reduciría el caudal de disolvente incrementando aun más la concentración de reactivo. No es previsible que haya interacción entre los lazos de control de composición y temperatura ya que al ser el calor de reacción nulo un cambio en el aporte de reactivo no afecta significativamente a la temperatura.

P6

En una central térmica se genera un gas de combustión con 400 ppm (v) de SO 2. Junto a esa central se ha construido una planta piloto que toma 10.000 Nm 3/h de ese gas para ensayar varias técnicas de desulfuración. Al objeto de poder probar dichas técnicas con gases con mayor contenido de SO 2 se ha instalado una planta de gasificación de SO 2 que consta de una cisterna elevada donde se almacena el SO 2 (hay líquido y vapor), un gasificador dotado de una resistencia eléctrica cuya potencia disipada se puede regular mediante un tiristor (si la señal que llega a este elemento es del 35% por ejemplo, la potencia disipada por la resistencia será un 35% de la nominal), y un recalentador dotado de una resistencia no regulable.

El gasificador está unido al espacio vapor de la cisterna mediante una tubería para igualar presiones. El objetivo global del sistema de control que manipule de forma automática la planta de gasificación es conseguir la concentración de SO 2 deseada (>400 ppm) en cada prueba desulfuración. Es necesario también que la resistencia eléctrica del gasificador esté siempre sumergida en SO 2 líquido y que la presión en el gasificador esté controlada. Se pide:

a) Relacionar posible variables de perturbación b) Diseñar una estrategia de control basada en lazos simples de realimentación (cabe emplear lazos en cascada) capaz de mantener la concentración deseada de SO2. Situar las válvulas que falten, los sensores, y los controladores. c) Describir como reacciona el sistema de control diseñado ante un cambio en el caudal de gas que procesa la planta piloto. d) ¿Sería factible plantear un control anticipativo para mejorar la calidad de control frente a cambios en el caudal de gas que procesa la planta piloto?

Solución: a) Las variables de perturbación más significativas son:

x

El caudal de gas de combustión que procesa la planta piloto.

x

La concentración en SO 2 de ese gas de combustión.

x

La concentración deseada en el gas de combustión que va a la planta piloto.

El nivel de SO2 líquido en la cisterna (no será una perturbación problemática dado que variará lentamente y de forma previsible)

b) La figura adjunta recoge dos alternativas de estrategia de control para este caso.

c) La primera alternativa de estrategia de control se comportará de la siguiente forma ante un incremento en el caudal de gas de combustión:

x

x

x

x

Baja la concentración de SO2 medida y el controlador de composición incrementará la apertura de la válvula en la línea de SO2 vapor aumentando el caudal de suministro Baja la presión en el gasificador y el controlador de presión incrementa la energía que aporta la resistencia eléctrica Aumenta la velocidad de vaporización de SO 2 y como consecuencia baja el nivel de líquido en el gasificador El controlador de nivel incrementa la apertura de la válvula de alimentación de SO 2 y aumenta el caudal de SO2 líquido al gasificador

La segunda alternativa reaccionará de la siguiente forma ante la misma perturbación:

1. Baja la concentración de SO2 medida y el controlador de composición incrementará el aporte de energía al gasificador 2. Aumenta la velocidad de vaporización de SO2 ,baja el nivel de líquido en el gasificador y aumenta la presión en el gasificador 3. El controlador de presión incrementará la apertura de la válvula en la línea de SO 2 vapor aumentando el caudal de suministro al conducto de gases de combustión 4. El controlador de nivel incrementa la apertura de la válvula de alimentación de SO 2 y aumenta el caudal de SO2 líquido al gasificador

De las dos alternativas propuestas, la primera responderá inicialmente de forma más rápida ya que hace uso directo del SO2 vapor acumulado en el gasificador y saca fuera del lazo de composición la dinámica del gasificador.

c) Es factible emplear un control anticipativo ya que el caudal de gas de combustión que procesa la planta

es fácil de medir. El controlador anticipativo requerirá una compensación dinámica fuerte ya que el efecto directo de esta perturbación sobre la variable controlada es muy rápido comparado con el efecto de variar el aporte de SO 2 a través del sistema de vaporización.

P7

La figura adjunta muestra un intercambiador de calor en el que se controla la temperatura de la corriente que se desea calentar mediante un lazo anticipativo que corrige cambios en la temperatura de entrada. Las funciones de transferencia implicadas son: Intercambiador

§ º C · 2 'T 2 ¨ ¸  ' F s (0,432 s  1) ¨© kg / h ¹¸ 0,2 e-0,1s § º C · 'T 2  ¨ ¸ 'T 1 (0,8 s  1) © º C ¹ válvula ' F s 'm



§ kg / h · ¨ ¸ (0,083 s  1) © mA ¹ 5,26

transmisor de temperatura 0,12 'm § mA ·  ¨ ¸ 'T 1 (0,024 s  1) © º C ¹ Se pide: a)

Si la señal que llega a la válvula se incrementa en 3 mA ¿qué incremento sufre la temperatura de salida T 2, una vez alcanzado el nuevo régimen permanente? (Asúmase lazo abierto y T 1 constante).

b)

¿Cuál es el rango del transmisor de la temperatura T 1? (Asúmase que el rango de la señal eléctrica es 4-20 mA y que cuando T 1 = 40 ºC, m = 10 mA).

c)

Dibujar el diagrama de bloques correspondiente a este proceso con el lazo de control anticipativo.

d)

Determinar la función de transferencia del controlador anticipativo e indicar se es físicamente realizable.

FS m m TT

T1

TT T2

Solución: a) El incremento es,

'T 2  K T F K F m 'm  2 ˜ 5,26 ˜ 3  31,56º C 2 s

s

b) La ecuación correspondiente al transmisor, supuesto lineal, es m  4

20  4 alcance

(T  T 0 )

donde el alcance es la diferencia entre la máxima y la mínima temperatura y T 0 es el cero del sensor, esto es, la temperatura a la cual la salida es 4 mA. La ganancia estática del sensor es,

wm 16   0,12 Ÿ alcance  133,3º C wT rp alcance Utilizando la ecuación del sensor se puede escribir, 10 

16 133,3

(40  T 0 ) Ÿ T 0  10º C

Por tanto, el rango del sensor de temperatura será: -10ºC - 123,3ºC. c) La función de transferencia del controlador anticipativo en este caso es, G FF  

Gd GT GV G p



0,2

(0,024 s  1)(0,083 s  1)(0,432 s  1)

0,12 ˜ 5,26 ˜ 2

(0,8 s  1)

e 0,1 s

Esta función de transferencia se puede aproximar por una red adelento-retardo despreciando la dinámica de la válvula y del sensor e incrementando algo, para compensar, la constante de tiempo del proceso, G FF  

0,158(0,5 s  1) (0,8 s  1)

e  0,1 s

P8

En el proceso mostrado en la figura se mezclan dos soluciones del componente A, una obtenida mezclando disolvente puro (caudal constante F s, l/min) con A puro ( F A l/min, c A0 A0 mol/l ) y la otra una solución residual de caudal F (l/min) (l/min) constante y concentración c Ae (mol/l) variable. Se desea controlar la concentración de A en la corriente de mezcla manipulando el caudal F A. Para ello se dispone de la instrumentación que aparece en la figura. Se pide: s)/ F F A ( s s) y c Ad ( s s) /c /c Ae ( s s) a) Las funciones de transferencia c A4 A4 ( s s)/m ( s) y c Am ( s s) /c /c Ae ( s s) b) Las funciones de transferencia c Am ( s

c) Sintonizar un controlador AC de realimentación (PI) indicando el tipo de actuación (directa/inversa) que debe tener. Dibujar el lazo de control con el AC sobre el diagrama. d) Implementar una estrategia y sintonizar el controlador correspondiente para mejorar la calidad de respuesta frente a la perturbación c Ae Ae. Dibujar el diagrama de bloques e) Implementar una estrategia y sintonizar el controlador correspondiente para mejorar la calidad de respuesta frente a perturbaciones en la presión de suministro de A puro. Dibujar el diagrama de bloques e indicar indicar si debería debería modificarse modificarse algo en la estrategia estrategia original de realimentación. realimentación. Nota:

No se dispone de más instrumentación inst rumentación que la que aparece en la figura del proceso.

Datos: F = F s =2 l/min; c Ae = 0,1 mol/l F A = 0,01 l/min ; c A0 A0 = 100 mol/l V = = 10 l ; V d d = 2l

Tiempo muerto en la línea L = t md md = 1 min Sensores de concentración: AT1 rango 0-2 mol/l

tiempo muerto: 1 min

AT2

rango 0-1 mol/l


AT3

rango 0-0,2 mol/l


Válvula de regulación: ‚

característica lineal y ' pv cte

‚

caudal máximo 0,025 l/min

‚

aire para abrir

Suposiciones: ‚

‚

‚

Mezcla perfecta en todos los tanques F A responde instantáneamente a la señal m (4-20 mA)

En el modelo dinámico y en las funciones de transferencia puede asumirse que F s + F A | F s = cte.

Nota Importante : ƒ

Para responder a las preguntas d) y e), en lugar de utilizar la función de transferencia c Am(s)/m(s)

deducida del modelo teórico obténgala a partir de la curva de respuesta de c Am a un cambio de +1 mA en la señal m (figura adjunta).

AT3 F, CAe

TUBERIA LARGA L C Ad Vd

FS CA1 V

CA2 CA3

AT1

CA4

V

CA

V V

AT2

m 4-20 mA

C Am (4-20 mA)

FA, CA0

Solución:

a) Para el primer tanque se tiene V

dc A1 dt

 F A c AO  F s c A1

donde F s+ F A se ha aproximado por F s ya que F A<< F s. Transformando por Lapace y reordenando, reordenando, c A1 ( s) F A ( s)



c A0 / F S (V / F s ) s  1

Para los tanques sucesivos V

dc Ai dt

 F s (c A   c Ai ) Ÿ i 1

c Ai ( s) c Ai 1 ( s)



1 (V / F s ) s !

Por tanto, c A4 ( s )

c A0 / F s



F A ( s )

(V / F s ) s  14

Procediendo de igual forma respecto de la perturbación c Ae, resulta c Ad ( s ) c Ae ( s )



1 (V d / F ) s  1

e

 t md s

En el punto de unión, mezcla de las dos corrientes, se tiene F s c A 4  Fc Ad  ( F  F s )c A Transformando por Laplace ( F s y F son son ctes.) resulta, c A ( s) 

F s

c A 4 ( s) 

F  F s

F

c Ad ( s )

F  F s

En consecuencia, G p 

Gd 

c A ( s) F A ( s)

c A ( s)





c Ae ( s )

c A0 /( F  F s ) ((V / F s ) s  1) 4

F /( F  F s ) (V d / F ) s  1

e

t md s

b) Como la válvula es de aire para abrir (AO) lineal y además se puede asumir que ' pv es constante, su ganancia estática es K v 

F max  0 l/min 20  4

mA

Si el rango del sensor de composición es 0-1 mol/l, su ganancia estática es 20  4 mA  16 K T  1 0 mol/l La función de transferencia del proceso será entonces F A max G P  GV G p GT 

F  F s

c A0

(V / F s ) s  14

e  s

mA mA

y la función de transferencia respecto de la perturbación G D  Gd GT 

16 F /( F  F s ) (V d / F ) s  1

Sustituyendo valores, resulta G P 

0,625 (5 s  1)

e

s

4

e

 2 s

mA mol/l

G D 

8 1 s  1

e  2 s

c) Se utilizará el método de Z-N de lazo cerrado. La frecuencia última es la solución de

 180  4 arctg(5Z v )  57,3 ˜ 1Z u o

Z u

 0,182 rad/m

La ganancia última es K u 

1  25Z 

2 4

1



R A (Z v )

u

0,625

 5,35

La actuación del controlador deberá ser inversa ( K C >0). La ganancia y el tiempo integral serán, K C  0,45·5,35  2,40 W I

 0,83

2S 0,182

 28,66 min

d) La función de transferencia del proceso se obtiene a partir de los datos experimentales (curva de respuesta). El 28% del cambio en régimen permanente es 0,28 · 0,625 = 0,1750 y se alcanza para un t28 = 14 min. El 63% del cambio final es 0,63 · 0,625 = 0,394 y se alcanza en un tiempo t 63 = 23 min. De aquí,

W p



3 2

(t 63  t 28 ) 

3 2

(23  14)  13,5 min

t mp  t 63  W p  23  13,5  9,5 min

La función de transferencia representativa del proceso es entonces, G p ( s ) 

c Am ( s ) m( s )



0,625e 9,5 s 13,5 s  1

Como c Ae es una perturbación a la salida se utiliza una estrategia anticipativa para compensar el efecto que produce. La función de transferencia respecto de la perturbación se obtuvo en el problema P1 y es, G D ( s ) 

F /( F  F s )e

 t d s

(V d / F ) s  1

K T e

 t T s



 8e 2 s

1 s  1

El diagrama de bloques correspondiente es,

GT3 CAe

GFF

m

GD

GP

CAm

Y la función de transferencia del controlador anticipativo, G FF  

G D GT 3G p



8(13,5 s  1) 0,625(16 / 0,2)( s  1)

e ( 29, 51) s  0,16

(13,5 s  1) ( s  1)

e 8, 5 s

Este controlador no es realizable físicamente. Sin embargo, se puede implementar uno que no tenga tiempo muerto, y en el que el adelanto se haya incrementado. Por ejemplo, (20 s  1) G FF  0,16 s  1 El efecto de la perturbación “presión de suministro de A puro” se detecta rápidamente con el sensor de concentración localizado en la descarga del tanque 1. Por tanto, es una perturbación a la entrada cuyo efecto puede ser corregido con un lazo en cascada como el representado en la figura. CAe

CAr +

CA1r GC -

m

+

GCi

VALVULA

FA

TANQUE 1

CA1

PROCESO

RESTO TANQUES

CAm

-

AT1

La función de transferencia de la parte de proceso incluida en el lazo interno es, G pi  GV GTanques GT 1 

F max

c A0 / F s

16

16 (V / F s ) s  1 2

e

t T 1 s



0,625e  s 5 s  1

De acuerdo con las reglas Z-N de lazo abierto, la sintonización del controlador de composición interna será, 0,9W p 0,9·5 K C    7,2 K p t mp 0,625·1 W I

 3,33t mp  3,33 min

La función de transferencia del proceso para el lazo externo cambiará ligeramente ya que el tanque 1 es sustituido por el lazo interno. La función de transferencia entre c A1 y la salida del controlador primario es c A1 ( s ) c A1r ( s )



GCi GV GTanque1 1  GCi GV GTanque1GT 1

donde

§

GCi  7,2¨1 

©

1 ·

¸  2,16 3,33 s ¹

3,33 s  1 s

GV 

0,025 16

 GTanque1 

50 5 s  1

GT 1  8e  s

Esta función de transferencia debe multiplicarse por c Am(s)/c A1(s) para obtener la función de transferencia del lazo externo abierto. Por otro lado, es claro que si se utilizan simultáneamente las dos estrategias, el

controlador anticipativo diseñado en el apartado anterior también tendrá que ser modificado.

AT3 F, CAe

TUBERIA LARGA L CAd Vd

FS FF

CA1 CA2

AY V

CA3 AT1

CA4

V

CA

V V AT2 CAm (4-20 mA) m

AC

AY

AC

4-20 mA CAr FA, CA0

P9

Considérese el reactor con camisa de refrigeración mostrado en la figura adjunta en el que se desea controlar la temperatura actuando sobre la válvula que regula la fracción de agua de refrigeración que se recircula al reactor. Se pide: a) Proponer una estrategia simple de control por realimentación. Indicar el tipo de actuación del controlador sabiendo que la válvula es de aire para cerrar (AC). b) Proponer y justificar una estrategia de control que sea efectiva ante cambios en la temperatura del agua de refrigeración. Dibujar también el diagrama de bloques. c) Proponer una estrategia que sea efectiva para hacer frente a cambios en la temperatura de la alimentación al reactor. Dibujar también el diagrama de bloques.

TT

Alimentación TT 8

Agua de Refrigeración Productos

Solución:

a) Al abrir la válvula de recirculación aumenta la temperatura del agua de refrigeración y aumenta la temperatura del tanque. Por tanto, al aumentar la temperatura en el tanque hay que cerrar válvula y como ésta es de “aire para cerrar” será necesario incrementar la salida del controlador. El controlador deberá ser de acción directa. b) Se propone una estrategia de control en cascada como la representada en la figura.

TC Alimentación

SP

TT

SP TC

TT 8

Agua de Refrigeración Productos

Esta estrategia es efectiva ante cambios en la temperatura y en la presión de suministro del agua fría que son rápidamente detectados en la temperatura de la camisa. La temperatura de la alimentación afecta antes a la temperatura del reactor que a la de la camisa. Por tanto, este lazo en cascada no será significativamente efectivo frente a esa perturbación.

c) Para esta perturbación es necesario utilizar una estrategia anticipativa como la que se muestra en la figura. A la hora de diseñar el controlador anticipativo será necesario incluir la recirculación del agua de refrigeración.

Solución:

a) El nivel en el proceso 1 se controla con la válvula V1. La temperatura del fluido producido en el proceso 1 se controla con el caudal de refrigerante. El caudal que se extrae del proceso 1 y que se alimenta al proceso 2 se controla con la válvula V2. La temperatura de la corriente que se envía al proceso 2 se controla con la válvula en la línea de fluido calefactor. Para evitar que se quede vacío o rebose se pueden instalar alarmas de alto o bajo nivel. Cuando se alcance una de estas alarmas el caudal de producto del proceso 1 y el demandado por el proceso 2 han de ser iguales; de lo contrario se violaría alguno de los límites de nivel. Para ello habría que “sacrificar al proceso 2” de forma que el caudal demandado por fuese igual al producido en el proceso 1. b) b1) Hay control de gama partida ya que los controladores LC y FC manipulan dos válvulas cada uno de ellos. Hay control selectivo ya que se selecciona una señal de dos para manipular la válvula V 3. b2) La posición de las válvulas sería: V3 = 90% V1 = completamente cerrada V2 = abierta un poco 10% En estas circunstancias el proceso 2 demanda un caudal de producto mayor que el que se está produciendo en el proceso 1. Por tanto, abriendo un poco la válvula V2 se aporta el exceso requerido, al mismo tiempo que la válvula V1 está completamente cerrada. Por tanto, sólo hay que calentar la diferencia entre el caudal demandado y el producido. b3) Cuando la salida del LC sobrepase el 50% comenzará a abrir la válvula V1 mientras que la V3 estará completamente abierta y la señal de salida del FC habrá disminuido con lo que la válvula V2 habrá cerrado. El 10% de incremento en la apertura de V3 se compensa con el 10% de decremento de V2. Cuando la salida del LC llega al 75%, la válvula V1 estará abierta un 50%. b4) Lo que persigue esta estrategia es enfriar o calentar, según sea el caso, la diferencia entre lo producido y lo demandado. Por tanto, es una estrategia de ahorro de energía.

P 11

La figura adjunta muestra un sistema de bombeo que suministra agua a dos usuarios. La velocidad de giro del motor de la bomba es regulable mediante la señal procedente de un PID que en esta caso actúa como controlador de velocidad. Se pide: a) Proponer un sistema de control para el caso de un único usuario que minimice el consumo energético de la bomba. b) Completar y justificar la estrategia de control esbozada en la figura, cuya finalidad es minimizar la energía consumida por la bomba al mismo tiempo que se satisface en todo momento la demanda variable de los usuarios. Nota: Recuérdese que controlar un caudal de una corriente de proceso con una válvula lo único que hace es variar la pérdida de carga en la línea mientras la bomba funciona a una velocidad de giro nominal. SP FC Motor con regulador de velocidad M

FT

SP=? ?C

?

Bomba

FT FC SP Solución:

a) Si existiera un sólo usuario el caudal demandado se podría satisfacer sin necesidad de colocar una válvula que provoque una pérdida de energía mecánica y un consumo energético. Bastaría con manipular la velocidad de giro de la bomba. Al haber más de un usuario hay que colocar una válvula por línea, ya que la demanda de caudal no es la misma para todos. La presión mínima de descarga de la bomba (y por tanto el menor consumo energético en ella), es aquella que logra satisfacer la demanda mayor con una apertura de válvula del 100%.

b) El controlador debe ser un VPC con un punto de consigna cercano al 100% (por ejemplo 90% para tener un margen). El selector que procesa las señales de posición de válvula debe ser un selector de alta. El controlador VPC reducirá la velocidad de giro hasta que una de las dos válvulas alcance el 90% de apertura. Si la demanda del otro usuario aumenta, la posición de la válvula correspondiente aumentará. Si llega a superar el 90% será ésta señal la que pase a través del HS y aumentará la velocidad de giro de la bomba; la otra válvula comenzará a cerrar para no incrementar el caudal que pasa a través de la misma.

P 12

La figura adjunta muestra un reactor tipo tanque agitado donde se produce una reacción exotérmica. El calor liberado por la reacción es tanto mayor cuanto mayor es el caudal de alimentación. La válvula de refrigeración es de “aire para cerrar” (AC). Se pide:

a) Dibujar el lazo simple de realimentación capaz de controlar la temperatura en el tanque e indicar razonadamente el tipo de actuación del controlador (directa/inversa) b) Añadirle un lazo en cascada capaz de actuar rápidamente ante cambios en la temperatura del agua de refrigeración. Indicar el tipo de actuación del controlador esclavo. ¿Debe cambiar el tipo de actuación del controlador maestro? Razonar todas las respuestas. c) Añadir a los dos anteriores un lazo anticipativo para hacer frente a variaciones en la temperatura de la alimentación. Discutir si ese controlador anticipativo deberá llevar o no compensación dinámica. d) Añadir a todo lo anterior una estrategia que permita maximizar la alimentación. Indicar el tipo de actuación del controlador y su punto de consigna. Razonar la respuesta.

TT

8

TC Tr AC

Solución: a) La ganancia de la válvula es negativa ( w F r/ wm < 0) y la del proceso también ( wT /w F r <0). Por tanto la ganancia del controlador debe ser positiva ( K C > 0), esto es, acción inversa. b) En primer lugar nótese que el sensor de temperatura debe estar colocado en la línea de salida, es decir, después de haber pasado por el serpentín de refrigeración. (La temperatura de entrada del agua de refrigeración no puede ser controlada mediante la válvula de caudal de refrigeración).El controlador del lazo interno o esclavo deberá tener actuación inversa ya que K V y K p (wT r/ w F r ) son negativas. El controlador del lazo principal también deberá tener actuación inversa ya que: K p  y K C deberá ser entonces > 0.

wT !0 wT rSP

Popurrí de cuestiones

CI PQ - Curso 2009/10

I NTRODUCCI ÓN A LA I NSTRUMENTACI ÓN DE PROCESOS QUÍ MI COS

1.

I ndique el significado de la simbología que aparece en el diagrama de la figura, referente a lazos de control, medidas y líneas de transmisión.

2.

Si, para un determinado instrumento de medida, se realiza una curva de calibración obteniendo para cada escalón porcentual en la entrada, tanto en el sentido ascendente, como en el descendente, tres conjuntos de valores (correspondientes a tres experimentos diferentes), que serían las salidas, y se incluyen, adicionalmente, dos columnas de datos con los valores medios de cada una de los tres conjuntos para cada uno de los escalones, así como el error entre la entrada y el valor medio, respectivamente, indique cómo obtendría la precisión, histéresis y repetibilidad (o repetitividad) del citado instrumento. ¿A qué tipo de características del instrumento se refieren estos conceptos? Defínalos.

3.

I ndique y defina tres características asociadas a todo instrumento de medida, una para cada una de los siguientes tipos: -

de operación estática dinámica

F. J . Gutiérrez Ortiz – Univ. Sevilla

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4. I ndique el significado de los siguientes símbolos, y dibuje asociados al primero de ellos una línea de transmisión de señal eléctrica, y asociado al segundo una línea de transmisión de señal neumática.

AT 327

LCI 47A

5. I ndique el significado de los siguientes símbolos, y dibuje asociados al primero de ellos una línea de transmisión de señal eléctrica, y asociado al segundo una línea de transmisión de señal neumática.

LT 347

TCI 27A


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MEDI DA DE TEMPERATURA TEORÍ A 1. I ndique la causa de que se prefiera usar un puente de Wheastone de tres hilos a uno de dos hilos como transductor de una termorresistencia. J ustifique su respuesta dibujando los esquemas correspondientes, y obteniendo las relaciones entre las distintas resistencias puestas en juego en cada montaje. Explique, en cada caso, qué ocurre cuando tiene lugar un cambio de temperatura. 2. Si se usa un pirómetro de radiación para medir la temperatura de pared dentro de un horno, indique qué tipo de pirómetro usaría, así como cuatro operaciones de acondicionamiento de señal para que se pueda recibir en un computador de control, sabiendo que el detector usado es de tipo fotoconductivo y que en el medio existen CO2. J ustifique sus repuestas. 3. I ndique cuáles son las características más deseables que debe tener una termorresistencia. Dibuje y explique el funcionamiento de un transductor de cuatro hilos con salida a un convertidor 4-20 mA. 4. Obtenga el coeficiente de temperatura de un termistor en función de su parámetro característico E, y particularizado para la temperatura de referencia del mismo, T0, a la que corresponde la resistencia de referencia del dispositivo, R0. I ndique cuál es su signo y explique el significado que tiene. Dibuje la curva de resistencia relativa de un termistor en función de la temperatura.

PROBLEMA 1 ¿Qué error (en ºF) se comete en la lectura realizada con un pirómetro de banda ancha calibrado para medir un objeto a 3000 ºF, con una emisividad de 0,9, si la emisividad del objeto cambia a 0,7? ¿Sería este problema más acusado en un pirómetro de banda estrecha?

PROBLEMA 2 Represente el circuito eléctrico equivalente de un termopar que se une a un instrumento de monitorización a través de hilos de extensión. Si con un termopar tipo J se mide una temperatura de proceso de 120ºC y se sabe que la temperatura ambiente es de 20 ºC, ¿cuál será la f.e.m. detectada por el monitor antes mencionado?


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MEDI DA DE PRESI ÓN Y NI VEL CUESTI ONES 1. Dibuje el esquema o circuito eléctrico de un transductor de presión de tipo potenciométrico. Obtenga la relación que existe entre la tensión V aplicada al potenciómetro y la tensión V0 de la señal o toma intermedia. 2. Suponga un depósito cilíndrico que es conductivo y que almacena un determinado líquido que no es conductivo. Si se usa un medidor de nivel de tipo capacitivo, dibuje la configuración del depósito y el circuito eléctrico equivalente. ¿Cómo variaría la configuración si el líquido es conductivo? Dibuje asimismo el nuevo circuito eléctrico. 3. Represente y explique brevemente la cadena de medida en un proceso de supervisión y control, usando como ejemplo la medida de presión con una galga extensiométrica. 4. ¿Qué detector de nivel procesa una señal de frecuencia modulada? Explique de modo gráfico el funcionamiento de este detector. Para estos detectores, ¿variará la señal recibida, para un nivel determinado, si se cambia el líquido (puro) que se almacena, permaneciendo el tanque, la posición del medidor, y las condiciones de presión y temperatura? J ustifique su respuesta. 5. I ndique diferentes formas de medir el nivel de interfase de una mezcla de líquidos inmiscibles. 6. En un depósito dado, tapado, que contiene agua, se pretende medir el nivel mediante un transmisor-receptor de ultrasonidos. Si el nivel se encuentra justo en la mitad del tanque, ¿variará la señal obtenida si en lugar de situar el transductor en la parte alta del tanque se pusiera en el fondo, es decir, si se cambiase la ubicación de este dispositivo, se obtendría la misma señal? ¿y si el tanque estuviese lleno al 25%? J ustifique sus respuestas indicando qué relación guardan las lecturas del transductor en función de la posición que ocupen.


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MEDI DA DE CAUDAL CUESTI ONES 1. ¿Qué principal inconveniente presenta una placa orificio para la determinación de grandes caudales? Plantee el sistema iterativo para el dimensionamiento de una placa orificio, partir del factor de dimensionamiento S m.

PROBLEMA 1 El caudal máximo de agua que atraviesa una línea es de 1200 l/h. La medida asociada a un transductor de presión diferencial es de 160 mbar. Esta señal de presión se corresponde con el límite máximo de la señal de transmisión 4-20 mA. ¿Qué rango de intensidad transmitida quedaría para la medida de caudal entre 0 y 300 l/h? ¿Qué conclusión se deduce de la respuesta anterior?

PROBLEMA 2 Un rotámetro ha sido calibrado para un gas a temperatura de 80ºC y presión de 8 bar. Sin embargo, aunque la temperatura sí se mantiene a 80ºC, la presión del gas a su paso por el rotámetro siempre es de 2 bar. La medida que se obtiene en la escala del rotámetro indica la cifra de 100 kg/h. ¿Cuál será la medida real? J ustifique la respuesta, indicando las hipótesis de cálculo que utilice.

PROBLEMA 3 Se dispone de una placa orificio para medir el caudal de una corriente de agua líquida. El rango de medida se halla entre 0 y 1.000 l/h. Asimismo, se tiene un sensor-transmisor de presión diferencial calibrado entre 0 y 100 mm c.a., con salida 4-20 mA, lineal con la presión diferencial medida. ¿Cuál es el rango de caudal que se podrá medir para un rango de salida comprendido entre 4 y 5 mA? ¿Qué conclusión deduce de la respuesta a la anterior pregunta?


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MI SCELÁNEO 1. A 433 ºF, un termopar tipo J con una unión de referencia a 32 ºF producirá una salida en milivoltios que está más cerca a: a. 9,04 b. 10,51 c. 12,05 d. 17,79

2.

El caudal de agua en una tubería de 6 pulgadas se mide con una placa de orificio y un transmisor de presión diferencial. Con un caudal de 200 GPM, la presión diferencial es de 35 pulgadas de agua. Con un caudal de 312 GPM, la presión diferencial es aproximadamente igual a: a. 16,4 "WC b. 32,5 "WC c. 85,4 "WC d. 100 "WC

3. El nivel de un tanque se mide mediante un transmisor de presión diferencial. El tanque está venteado a la atmósfera. El transmisor se monta a 1 pie del fondo del tanque y la pared del tanque es de 20 pies de altura. Un medidor de presión diferencial de 0-10 psig con una precisión de 0,25 % del span se conecta al tubo borboteador en el lado de alta presión (HP) del transmisor. El lado de baja presión (LP) se conecta a la parte superior del tanque. Si el tanque contiene un líquido con un peso específico de 1,1 y el nivel en el tanque es de 16 pies, la lectura de la medida en libras por pulgada cuadrada pulgada (PSI ) es casi igual a: a. 4,8 b. 9,35 c. 13 d. 7,1


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PROBLEMAS DE MEDIDA DE TEMPERATURA

PROBLEMA 1

Se tiene una termorresistencia (RTD) insertada en un conducto por el que circula gas a una velocidad de 15 m/s y donde la temperatura de 52ºC. En ese ambiente, la constante de disipación de la RTD es de 30 mW/ºC. Se sabe que la RTD tiene una resistencia eléctrica de 100  a una temperatura de 0ºC. La termorresistencia forma parte de un circuito puente con un montaje a cuatro hilos. La intensidad de la fuente de intensidad es constante y tiene un valor de 1,5 mA. El error de medida por autocalentamiento es de 0, 01 ºC, en estas condiciones. 1. Calcule el coeficiente de temperatura de la termorresistencia. Si el rango de medida para el que está calibrada la RTD es de 0 a 120ºC, y la salida del transmisor de 4-20 mA, 2. ¿Qué rango de tensiones de entrada tendrá el transmisor? Si la tensión a la entrada del transmisor fuese 200 mV, 3. ¿Qué intensidad de salida llegaría al indicador? ¿Cuál sería la temperatura? Si el instrumento tuviese una deriva del cero de +2% del alcance, al cabo de un año de servicio, 4. ¿Cuál sería el nuevo rango de medida? ¿Cuál será el alcance? 5. ¿Qué error se cometería si la intensidad a la salida fuese de 12 mA? ¿Cuál sería la temperatura verdadera? 6. Si el indicador marca 120 ºC, ¿cuál es la intensidad de salida del transmisor? Si la deriva anterior fuese de la sensibilidad, en lugar del cero 7. ¿Cuál sería el nuevo rango de medida? ¿Cuál será el alcance? 8. ¿Qué error se cometería si la intensidad a la salida fuese de 12 mA? ¿Cuál sería la temperatura verdadera? Si la fuente de intensidad fuese de 2 mA, en lugar de 1,5 mA, y nada más se modifica en todo el proceso de medida, indique cómo afecta, cuantificando la magnitud del cambio que se produciría, en lo siguiente: 9. Error de calentamiento a 52ºC 10. Coeficiente de temperatura de la RTD Por otro lado, en estas condiciones 11. ¿Qué valor de temperatura marcaría el indicador puesto a la salida, si la intensidad fuese de 20 mA? ¿Cuál sería el valor de la temperatura real en ese caso? 12. ¿Podría marcar 0ºC el citado indicador? ¿Cuál sería el valor de la temperatura real en ese caso? Nota: desprecie el término de error de calentamiento para responder todos los apartados, salvo en el 1º y el 9º.

PROBLEMA 2

Una termorresistencia (RTD) tiene un coeficiente de temperatura de 0,005ºC -1 y una resistencia eléctrica de 500  a 20ºC. La constante de disipación es de 30 mW/ºC, en las condiciones en las que se halla la RTD, y se mantiene constante entre 0 y 25 ºC. La RTD está montada en un circuito puente de tres hilos, en el que las resistencias fijas son iguales a 500  cada una, y la resistencia variable (R v) calibrada se usa para equilibrar el circuito puente. Si la fuente de tensión constante es de 10 V y la RTD se sitúa en un baño de agua con hielo, encuentre el valor que tomará Rv. La resistencia de los hilos de extensión del la RTD es de 30  cada una. PROBLEMA 3

La carta de datos de un termistor particular da la siguiente información: relación de resistencias (0ºC/50ºC) de 8,00 y resistencia a 25ºC de 5000 . Se pide: 1. Valor de  2. Resistencia del termistor a 15ºC 3. Equivalente del coeficiente de temperatura del termistor a una temperatura de 15ºC 4. Ecuación linealizada del termistor en torno a 15ºC 5. Cambio porcentual que experimenta la resistencia del termistor cuando la temperatura cambia de 15ºC a 16ºC. 6. Idem que en el apartado anterior, pero cuando el cambio que se produce es de 15ºC a 20ºC.

PROBLEMA 4

Si la unión fría de un termopar tipo J está a 25ºC, y se quiere medir la temperatura de un horno entre 110ºC y 220ºC, ¿qué f.e.m. debería generar el termopar para estas temperaturas? PROBLEMA 5

Si un termopar tipo J se utiliza para medir la temperatura de un líquido, y se registra una f.e.m. de 5,268 mV, siendo la temperatura ambiente del indicador al que está conectado el termopar de 25ºC, ¿a qué temperatura está el líquido?

SOLUCIONES:

PROBLEMA 1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

0,00641 (1/ºC) 0,15 – 0,2654 V 10,9324 mA; 52 ºC 2,4 – 122,4 ºC; 120 ºC Se medirían 11,68 mA, y 57,6 ºC 20 mA Rango: 0 – 122,4 ºC; alcance: 122,4 ºC 1,2 ºC; 58,8 ºC 0,0177 ºC No varía 120 ºC; 51,01 ºC Sí, para T < 0; -39 ºC

PROBLEMA 2

El error de autocalentamiento es de 1,601 ºC, de modo que Rv = 458,186 . PROBLEMA 3

1. 2. 3. 4. 5. 6.

3667,26 K 7665   = 0,0421 (1/K) RT = R288 (1+ (T – 288)) – 4,32 % – 19,53 %

PROBLEMA 4

10,61 V

PROBLEMA 5

123,4 V

Control e Instrumentación de Procesos Químicos

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