Pada soal nantinya harus ditemukan/atau biasanya langsung diberikan soal rata-rata ( ) dan simpangan baku (). Langkah yang harus dilakukan setelah ditemukan ditemukan rata-rata dan simpangan baku adalah: 1. Cari z dengan rumus zi=xi−μσzi=xi−μσ 2. Sketsa daerah 3.
Dan hitung Luas daerahnya.
Contoh Soal Distrubusi Normal I
1. Sebuah pabrik batrai memproduksi batrai dengan daya tahan 400 jam. Jika simpangan 20 jam. Berapa peluang batrai tersebut hidup antara 400 hingga 434,4 jam! Pembahasan:
Diketahui : = = 400 ; = 20 ; x1 = 400 ; x 2=434,4. Tanya : P [400 jam < X < 434,4 jam] Jawab : zi=xi−μσzi=xi−μσ z1=x1−μσz1=x1−μσ z1=400−40020=0z1=400−40020=0
z2=x2−μσz2=x2−μσ z2=434,4−40020=1,72z2=434,4−40020=1,72 P [400 jam < X < 434,4 jam] = P [0 < z < 1,72]. Daerahnya bisa dilihat pada kurva yang diarsir berikut:
Berdasarkan tabel distribusi normal, maka nilai luas daerah untuk 1,72 adalah = 0,4573. Jadi peluang sebuah batrai bisa bertahan hingga hingga 400 sampai 434,4 jam adalah adalah 0,4573. Contoh Soal Distribusi Normal II
2. Sebuah permen dipotong dengan rata-rata 25 mm. Dengan simpangan baku 2 cm. Berapa persenkah kemungkinan kemungkinan permen diproduksi diproduksi dengan panjang dibawah 23 mm. Pembahasan:
Diketahui : = = 25 ; = 2 ; x1 = 23. Tanya : P [ X < 23 mm] Jawab: zi=xi−μσzi=xi−μσ z1=x1−μσz1=x1−μσ z1=23−252=−1z1=23−252=−1 P [ X < 23 mm] = P [ z < -1]. Ketika melihat tabel abaikan negatif, lihat nilai untuk 1,00 saja. Adapun nilai untuk z =1 adalah 0,3413. Namun ini belum hasil akhir, sebab daerahnya daerahnya adalah
Untuk nilai yang terlihat ditabel adalah daerah antara 0 dan -1 yang nilainya 0,3413. Sementara untuk daerah z< -1 adalah daerah yang arsir hijau. Ingat luas bagian kiri dan kanan adalah 0,5. Pada bagian kiri, daerah hijau didapat dari 0,5 - 0,3413 = 0,1587 atau 15,87%. Contoh Soal Distribusi Normal III
3. Sebuah alat elektronik diberikan jaminan tak akan rusak rata -rata selama 800 hari. Dengan standar deviasi 40 hari. Berapa peluang alat elektronik tersebut tak akan rusak antara 778 hari dan 834 hari. Pembahasan:
Diketahui : = 800 ; = 40 ; x1 = 778; x2=834. Tanya : P [ 778
z2=x2−μσz2=x2−μσ z2=834−80040=0,85z2=834−80040=0,85 P [ 778
Penyelesaiannya adalah luas daerah merah ditambah luas daerah biru. Anda bisa lihat luas daerah biru z = 0,85 yaitu 0,3023. Daerah merah z = -0,55 yaitu 0,2088. Jadi luas total dari semua (probabilitas) -nya adalah 0,3023+0,2088 = 0,5111.
Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva nor mal adalah:
1. Kurva berbentuk genta atau lonceng dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai ratarata hitung (µ) = median (Md) = modus (Mo). Nilai µ = Md = Mo yang berada di tengah membelah kurva menjadi dua bagian yaitu setengah di bawah nilai µ = Md = Mo dan setengah di atas nilai µ = Md = Mo. 2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya (µ). 3. Distribusi probabilitas dan kurva normal bersifat asimptotis. 4. Kurva mencapai puncak pada saat X = µ. 5. Luas daerah di bawah kurva normal adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.
Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah μ, dan standar deviasi σ, maka persamaan kurva normalnya adalah:
C. Distribusi Probabilitas Normal Baku
Distribusi normal baku adalah distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1.
Seringkali disebut dengan distribusi z.
Hal yang perlu dilakukan dalam rangka distribusi probabilitas normal baku adalah mengubah atau membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi norma baku yang dikenal dengan nilai Z atau skor Z
Nilai Z adalah jarak yang berbeda antara sebuah nilai X yang dipilih dari ratarata μ, dibagi dengan standar deviasinya, σ.
Rumus nilai Z adalah :
Z = Skor Z atau nilai normal baku
X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran
μ= Nilai rata-rata hitung suatu distribusi
σ= Standar deviasi Contoh Soal: Rata-rata berat sebuah kotak adalah 283 gram dan standar deviasinya 1,6 gram. Berapakah probabilitas sebuah kotak dibawah 284,5 gram ?
Transformasi dari X ke Z
Bila nilai X berada di antara X = x1 dan X = x2, maka variabel acak Z akan berada di antara nilai:
Transformasi ini juga mempertahankan luas di bawah kurvanya, artinya:
Contoh Soal:
Misalkan kita memilih 20 saham pada bulan Mei 2007. Harga saham ke-20 perusahaan tersebut berkisar antara Rp. 2.000 – 2.805 per lembarnya. Berapa probabilitas harga saham antara Rp. 2.500 sampai 2.805 per lembarnya. Diketahui μ = 2.500 sebagai nilai rata-rata hitung dan standar deviasinya 400.
Z = (X – μ) / σ
Z1 = (2.500 – 2500) / 400
Z1 = 0 / 400 = 0
Z2 = (2.805 – 2.805) / 400
Z2 = 0.76
D. Luas Daerah Di Bawah Kurva Normal
Kurva setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas di bawah kurva di antara kedua ordinat x = x1 dan x = x2 sama dengan peluang acak X mendapatkan harga antara x = x1 dan x = x2. Luas di bawah kurva antara dua ordinat sembarang tergantung pada harga µ dan σ.
Luas antara nilai Z (-1
E. Penerapan Kurva Normal Contoh Soal 1
PT GS mengklaim rata-rata berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.
Jawab:
Transformasi ke nilai z
AP(x< 250); P(x=250) = (250-350)/50=-2,00 Jadi P(x<250)=P(z<-2,00)
Lihat pada tabel luas di bawah kurva normal
P(z<-2,00)=0,4772
Luas sebelah kiri nilai tengah adalah 0,5. Oleh sebab itu, nilai daerah yang diarsir menjadi 0,5 – 0,4772=0,0228. Jadi probabilitas di bawah 250 gram adalah 0,0228 (2,28%). Dengan kata lain probabilitas konsumen protes karena berat buah mangga kurang dari 250 gram adalah 2,28%. Contoh Soal 2
PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya!
Jawab:
P(800
Hitung nilai Z
Z1 = (800-900)/50 = -2,00;
Z2 = (1.000-900)/50 = 2,00
Jadi: P(800
P(-2,002,00) = 0,4772
Sehingga luas daerah yang diarsir adalah = 0,4772+0,4772= 0,9544. Jadi P(800
Jadi 95,44% produksi berada pada kisaran 800-1.000 jam. Jadi jika PT Work Electric mengklaim bahwa lampu bohlamnya menyala 800-1.000 jam, mempunyai probabilitas benar 95,44%, sedang sisanya 4,56% harus dipersiapkan untuk garansi.
Fungsi Denitas Distribusi Normal Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut
dimana
π = 3,1416 e = 2,7183 µ = rata-rata σ = simpangan baku
Persamaan di atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti pada Gambar 1 berikut.
Gambar 1. kurva distribusi normal umum Sifat-sifat penting distribusi normal adalah sebagai berikut: 1. 2. 3. 4.
Grafiknya selalu berada di atas sumbu x Bentuknya simetris pada x = µ Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = µ Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian 1. Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ 2. Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ 3. Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ
Membuat kurva normal umum bukanlah suatu pekerjaan yang mudah. Lihat saja rumus untuk mencari fungsi densitasnya (nilai pada sumbu Y) begitu rumit. Oleh karena itu, orang tidak banyak menggunakannya. Orang lebih banyak menggunakan DISTIBUSI NORMAL BAKU. Kurva distribusi normal baku diperoleh dari distribusi normal umum dengan cara transformasi nilai x menjadi nilai z, dengan formula sbb:
Kurva distribusi normal baku disajikan pada Gambar 2 berikut ini.
Gambar 2. Kurva distribusi normal baku Kurva distribusi normal baku lebih sederhana dibanding kurva normal umum. Pada kurva distribusi normal baku, nilai µ = 0 dan nilai σ=1, sehingga terlihat lebih menyenangkan. Namun, sifat-sifatnya persis sama dengan sifat-sifat distribusi normal umum. Untuk keperluan praktis, para ahli statistika telah menyusun Tabel distribusi normal baku dan tabel tersebut dapat ditemukan hampir di semua buku teks Statistika. Tabel distribusi normal bakui disebut juga dengan Tabel Z dan dapat digunakan untuk mencari peluang di bawah kurva normal secara umum, asal saja nilai µ dan σ diketahui. Sebagai catatan nilai µ dan σ dapat diganti masing -masing dengan nilai dan S. Berikut adalah tabel distribusi normal standar, untuk P (X < x), atau dapat diilustrasikan dengan luas kurva normal standar dari X = minus takhingga sampai dengan X = x.
Tabel Z Contoh penggunaan tabel Z: Hitung P (X<1,25)
Penyelesaian: Pada tabel, carilah angka 1,2 pada kolom paling kiri. Selanjutnya, carilah angka 0,05 pada baris paling atas. Sel para pertemuan kolom dan baris tersebut adalah 0,8944.
Dengan demikian, P (X<1,25) adalah 0,8944.
Contoh kasus menggunakan rumus Z Rata-rata produktivitas padi di Aceh tahun 2009 adalah 6 ton per ha, dengan simpangan baku (s) 0,9 ton. Jika luas sawah di Aceh 100.000 ha dan produktivitas padi berdistribusi normal (data tentatif), tentukan 1. berapa luas sawah yang produktivitasnya lebih dari 8 ton ? Jawab: 1. Hitung nilai z dari nilai x = 8 ton dengan rumus
2. Hitung luas di bawah kurva normal pada z = 2,22. Caranya buka Tabel Z dan lihat sel pada perpotongan baris 2,20 dan kolom 0,02. Hasilnya adalah angka 0,98679 dan bila dijadikan persen menjadi 98,679%. Angka ini menunjukkan bahwa luas di bawah kurva normal baku dari titik 2,22 ke kiri kurva adalah sebesar 98,679%. Karena luas seluruh di bawah kurva normal adalah 100%, maka luas dari titik 2,22 ke kanan kurva adalah 100% – 98,679% = 1,321% (arsir warna hitam pada gambar). Oleh karena itu, luas sawah yang produktivitasnya lebih dari 8 ton adalah 1,321%, yaitu (1,321/100) x 100.000 ha = 1321 ha.
