MODULOS ELÁSTICOS DE ROCAS
CONST CONSTANTE ANTESS ELÁSTICAS ELÁSTICAS ESTÁTICAS •
•
Relaciones esfuerzos-deformaciones se representan mediante constantes llamadas co cons nsta tan nte tess elá lásstic icaas de un
material. Medidas en el laboratorio
CONST CONSTANTE ANTESS ELÁSTICAS ELÁSTICAS ESTÁTICAS •
•
Relaciones esfuerzos-deformaciones se representan mediante constantes llamadas co cons nsta tan nte tess elá lásstic icaas de un
material. Medidas en el laboratorio
CONST CONSTANTE ANTESS ELÁSTICAS ELÁSTICAS ESTÁTICAS • Principales
constantes elásticas: Módulo de Young (E) Relación de Poisson ( ) Módulo
de Rigidez (G)
Módu ódulo
Volumé luméttrico rico (K) (K)
Constante
de Lamé ()
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO σ
σ
Elástico: ε
ε
(a) (a) Perf Perfec ecta tame ment ntee el elás ásti tico co σ
(b) (b) Elás Elásti tico co con con hist histér éres esis is
Material vuelve a la forma original durante la descarga
σ
Ley de Hooke
ε
(c) Elástico lineal
ε
(d) Inelástico (plástico)
https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQVtKy Ow6O7aU2ZeVX8yvR_a7tbytLlXj-OkFNbAbx4buoP7owfBGvGsKKM
Módulo de Young (E) Prue Pr ueba ba de lab labor orat ator orio io
Rela Re lació ción n co cons nstit titut utiv ivaa
E
y ΔL
Esfuerzo Esfuerzo
Resu Re sulta ltado do pr prue ueba ba de compresión σ
Deformaci Deformació ón
L
E
ε
F L E A L !!!!! !!! !!
Inelás Ine lástic tico o o no no-li -line nealm alment entee elá elásti stico, co, el módulo de Young no es
una constante, pero puede ser definido como función del esfuerzo para cual cualqu quie ierr mate materi rial al que que se apro aproxi xime me al comp compor orta tami mien ento to elás elásti tico co
Módulo de Young (E) •
Módulo Elástico (Y), (fuerza/área)
•
Constante de proporcionalidad o gradiente de la curva en una gráfica de esfuerzo vs. deformación
•
Corresponde a una propiedad constante para un material elástico-lineal
•
Su valor, en la mayoría de los casos es muy alto, del orden de 109 Pascales
•
Valores de referencia : : Acero, 200 GPa; Cobre, 110 GPa; Aluminio, 70 GPa; y para Rocas varía entre 1 y 100 GPa Comportamiento ideal de los materiales
Módulo de Young (E) E
Alta resistencia, roca mas rígida Mas frágil
E
Mas dúctil, FH embedment
Comportamiento ideal de los materiales
Relación de Poisson ( ) Prueba de laboratorio
Relación constitutiva
D ΔD
y
v ΔL
D L L
L D
•
v
x y
Deformación lateral/ Deformación longitudinal
• Parámetro
adimensional
Relación de Poisson ( )
Para diferentes materiales elásticos varía entre
0 y 0.5
Entre más se aproxime a cero, el material es
mas compresible
Materiales con igual a 0.5 (incompresibles) (mantienen el volumen constante independientemente del esfuerzo aplicado).
Relación de Poisson ( ) • Ejemplos:
=0.0 (material compresible)
Rocas porosas débiles cercano a cero
http://3.bp.blogspot.com/_1tFt1PhCcH4/Sc2agD7cjI/AAAAAAAAEyg/XDcSrfNItvE/s1600/corcho.jpg
=0.5 (prácticamente incompresible) https://encryptedtbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSVVkyTQcSv IeXjFSve9JYS9_oS5DpcGcfjOWpcOL8EqlGlH5dquQ
Relación de Poisson ( ) • Ejemplos: • Corcho
=0.0
(material compresible)
Rocas porosas débiles cercano a cero • Caucho
http://3.bp.blogspot.com/_1tFt1PhCcH4/Sc2agD7cjI/AAAAAAAAEyg/XDcSrfNItvE/s1600/corcho.jpg
=0.5
(prácticamente incompresible) https://encryptedtbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSVVkyTQcSv IeXjFSve9JYS9_oS5DpcGcfjOWpcOL8EqlGlH5dquQ
Relación de Poisson ( ) Rocas, el signo negativo normalmente se omite y se trabaja con el valor absoluto. La literatura presenta diferentes rangos para la relación
de Poisson en rocas: 0.25 - 0.33 (Twiss and Moore, 1992) 0.1 - 0.3 (Pollard and Fletcher, 2005)
El Módulo de Young y la Relación de Poisson, son suficientes para http://us.cdn2.123rf.com/168nwm/studi oindigo/studioindigo0911/studioindigo09 1100002/5847980-pointing-hand-sign-inblack-and-white.jpg
describir completamente el comportamiento de materiales isotrópicos y elástico lineales.
Aplicaciones constantes elásticas Fracturamiento hidráulico: E y , propiedades de resistencia elástica que describen la manera como la roca se deformará frente a esfuerzos aplicados, buscando generar la FH
repercusión en la geometría de fractura. Relación de Módulo de Young Poisson
Zona de interés
E
–
Módulo de Rigidez Prueba de laboratorio
• •
Relación constitutiva G
Esfuerzo de corte Deformació n de corte
G
Conocido también como Módulo de cizalla o de corte Relación entre el esfuerzo de corte y la deformación de corte
DEFORMACIÓN DE CIZALLA Deformación por cizalla Involucra un cambio de ángulo
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/torsion/torsion.htm
Pequeños ángulos de desplazamiento
(Módulo de Cizalla o de Rigidez)
Módulo Volumétrico Prueba de laboratorio
Relación constitutiva
P
P P P
K
p
V / V
P
•
Conocido también como Módulo de Incompresibilidad
Módulo Volumétrico •
Mide la resistencia a la compresión uniforme
Este módulo se define como la relación entre el esfuerzo hidrostático (presión hidrostática) y la deformación volumétrica en una prueba de compresión hidrostática. •
x
K
p
V / V
y
z
Constante de Lamé
Caracteriza el comportamiento elástico de un material Se relaciona con el Módulo de Young y la Relación de Poisson, mediante la siguiente expresión:
E v
1 v 1 2 v
Caracteriza un abanico de comportamientos de materiales
Perfectamente compresibles = 0, en los cuales =0; Hasta materiales incompresibles = 0.5, en los cuales = infinito.
VALORES TÍPICOS Módulos elásticos en rocas
Tipo de Roca
Módulo de Young (E) (GPa)
Relación de Poisson ( )
Módulo de Rigidez (G) (GPa)
Anhidrita Pizarra Conglomerado Diorita Granito Caliza Shale Arenisca Sal
73 35.4 91.01 100.8 38.98 65.71 31.16 26.0 33.03
0.295 0.10 0.26 0.19 0.17 0.14 0.27 0.06
28 16.48 43.44 44.26 11.79 28.06 15.38 15.58
(Tomado de Lama y Vutukuri, 1978. 315-453p)
RELACIONES ENTRE CONSTANTES ELÁSTICAS ESTÁTICAS
Relaciones entre constantes elásticas estáticas Todos
los módulos elásticos de materiales isotrópicos están interrelacionados, de manera que conociendo solo dos de estos módulos se pueden calcular los demás. se cumple solo para materiales isotrópicos que se comportan elásticamente lineales . Esto
Relaciones entre constantes elásticas estáticas E
G
E-
K
E
2 1 v
E-G
E
E v
3(1 - 2 )
1 v 1 2 v
E 2 G
E G
2G
E-K
3 K E 6 K
E-
*
-G 2G1 v
33G E
G (2G E )
E 3G
3 E K 3 K ( 3 K E )
9 K E
9 K E **
***
2 3
G
1 v
2G v
1 2v
1 2 v
Relaciones entre constantes elásticas estáticas E
G
-K 3 K 1 2v
-
v
G-K G-
1 v1 2v
3 K 1 2v
3 K v
21 v
1 v
1 2v
1 v
2v
3v
9 KG
3 K 2G
3 K G
3 K 2G
3
23 K G
G ( 3 2G)
G
K-
K
2 ( G )
9 K ( K )
3 K
3 K
3 K
2
2 3
G
MÓDULOS ELÁSTICOS DINÁMICOS •
Determinadas a partir de mediciones de
velocidades de ondas elásticas •
Estas velocidades pueden ser determinadas en el laboratorio, mediante pruebas de resonancia y de pulso ultrasónico
•
También pueden ser determinadas en campo, usando el método de propagación
de ondas sísmicas.
ONDAS ELÁSTICAS Ondas de superficie
Solo pueden viajar a lo largo de la superficie de la roca
Ondas de cuerpo
Viajan a través del interior del cuerpo de la roca
• Ondas
P
onda S
d u t i l p m a
• Ondas
onda P
S tiempo
ONDAS P
http://www.funvisis.gob.ve/images/glosario/ondas_p.jpg
Conocidas ondas primarias, longitudinales o
de compresión
Las partículas se mueven paralelamente a la dirección de la propagación de la onda Pueden propagarse en sólidos, líquidos y gases y Tienen valores de velocidades más altas que las ondas S
ONDAS S
http://www.funvisis.gob.ve/images/glosario/ondas_s.jpg
Conocidas ondas secundarias, de cizalla o
Las
transversales
partículas
se mueven perpendicularmente a la dirección de la propagación de la onda Solo se propagan en sólidos (líquidos y gases no presentan esfuerzos de corte)
Ecuaciones de velocidad de ondas elásticas 1
• Ondas
• Ondas
P
S
V p
E ( 1 v) ( 1 v) ( 1 2 v) 1
V s
2
2
G E 2 ( 1 v)
1
2
Donde: Vp es la velocidad de las ondas compresionales en m/s o in/s Vs es la velocidad de las ondas de cizalla E es el módulo dinámico de elasticidad, en Pa o lbf/in2 G es el módulo dinámico de rigidez en Pa o lbf/in2 es la relación de Poisson es la densidad en kg/m3
Módulos elásticos y velocidades de onda velocidades de ondas P y S
Módulo Módulo de Young (E) Relación de Poisson ( ) Módulo de Rigidez (G) Módulo volumétrico (K) Constante de Lamé ( )
Ecuación Vs
E
2 3Vp 2
4 Vs 2
Vp2 Vs 2
v
2 2 2 Vp Vs
Vp
2
2 Vs 2
G Vs
K Vp
2
Vp
2
2
4
V s 3
2
2 Vs2
Valores típicos algunas rocas Tipo de roca Arcilla Arenisca Caliza Dolomita Anhidrita Basalto Granito
Vp (m/s)
Vs (m/s)
(g/cm3)
500 – 2800
110 – 1500
1.25 – 2.32
1800 – 4300
672 – 1023
2.22 – 2.69
2000 – 6250
1800 – 3800
1.75 – 2.88
2000 – 6250
2900 – 3740
1.75 – 2.88
4500 – 6500
750 – 3600
2.15 – 2.44
5400 – 6400
2700 – 3200
2.44 – 3.00
4600 – 6000
2800 – 3200
2.56 – 2.75
Tomado de Barton (2007, 12) y Shuck (2007,346)
Rangos amplios por variaciones de porosidad, composición
mineralógica, textura, anisotropía, densidad, contenido de agua, temperatura.
Constantes elásticas estáticas y dinámicas Tipo de EEstático EDinámico roca Limolita Cuarzodiorita Caliza Granito
Estático
Dinámico
1.9 3.1
3.9 4.4
0.05 0.05
0.08 0.19
9.7 0.8
10.3 2.2
0.25 0.04
0.28 0.10
(Tomado de Lama y Vutukuri, 1974. 233p)
Una de las principales ventajas de obtener los módulos elásticos de manera dinámica es que las muestras de roca no se destruyen, como ocurre en las mediciones estáticas
MODELO LINEAL ELÁSTICO
MODELO LINEAL ELASTICO •
Literatura diversos modelos esfuerzo – deformación)
constitutivos
(relaciones
•
Ejemplo: elasto-plásticos; visco-elásticos; elasto-viscoplásticos; y otros.
•
El más comúnmente utilizado es el modelo lineal elástico, ya que requiere menor número de parámetros, con relación a otros modelos más complicados.
•
Este modelo es la base para evaluar el potencial de inestabilidad mecánica en un pozo.
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Procedimiento general para resolver un problema desde la aplicación de las fuerzas hasta el desplazamiento
Fuerzas
Relaciones deformación desplazamiento
Desplazamiento
Condiciones límite y Condiciones de equilibrio
Deformaciones
Esfuerzos
Relaciones esfuerzo – deformación y Condiciones de compatibilidad
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Todos los puntos en todas las direcciones, dentro de un cuerpo isotrópico elástico, involucra 15 incógnitas
Seis componentes de esfuerzo: x, y, z, xy, yz y zx
Seis componentes de deformación: x, y, z, xy, xy y xy
Y, tres componentes de desplazamiento: u, v, w
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA SOLUCIÓN: •
Condiciones límite establecidas en las superficies exteriores
•
Condiciones de equilibrio
•
Relaciones esfuerzo – deformación
•
Condiciones de compatibilidad
•
Relaciones deformación – desplazamiento.
REQUERIMEINTOS DE LA TEORÍA DE ELÁSTICIDAD F A
a) Condiciones límite L’
L
F
b) Condiciones de equilibrio
F A
F
c) Relaciones esfuerzo – deformación
0
E
d) Condiciones de compatibilidad, ecuaciones dadas en términos de esfuerzos se deben expresar en términos de deformaciones e) Relaciones deformación – desplazamiento.
L
L' L L L
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Relaciones constitutivas para rocas 3D Material homogéneo, isotrópico y lineal elástico Ley de Hooke
(cizalla)
(normal) x
1 x E
v y
z
xy
1 y y E
v x z
xz
1 z z E
v x y
yz
1 G 1 G
xy
xz
1 yz G
G
E
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Esfuerzos en función de deformaciones: x
y
E (1 v) (1 2v) E (1 v) (1 2v)
(1 v)
x
v
E z (1 v) (1 2v)
x
v y
(1 2v) y
v
x
v y
v z
v z
(1 v) z
xy
G
yz
zx
xy
G
G
yz
zx
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Términos matriciales: x E y (1 v) (1 2v) z
xy yz zx
1 v v v
G
v
1 v v
xy yz zx
v x
v 1 v
y z
ESFUERZOS ALREDEDOR DE UN POZO Ecuaciones Fundamentales
ESTADO DE ESFUERZOS ALREDEDOR DE UN POZO v
h
+ + + + + + + + + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
H
(Modificado de McLean y Addis, 1990,15)
–
Ecuaciones de equilibrio (esfuerzos)
–
Ecuaciones de compatibilidad (deformaciones)
–
Relaciones constitutivas (relaciones esfuerzo
–
Condiciones límite
–
deformación)
Esfuerzos alrededor de un pozo
http://geologyanddrillingproblems.wikispaces.com/file/view/DE POSITACION.jpg/339666312/395x664/DEPOSITACION.jpg
r
Pw
(Modificado de Osorio, 2009)
Esfuerzos alrededor de un pozo zz z P (x,y,z) (r,,z) z
z
Coordenadas cilíndricas
rz
r
rz
y
r
r
x
rr
z
(Tomado de Brady y Brown, 1985, 38)
a
r
z
pp z
x
r
y
ECUACIONES DE EQUILIBRIO Esfuerzos alrededor de un pozo
EQ - Coordenadas cilíndricas r r r r
1 r r
1 r
rz z z z
r
2 r
r
r
R
0
Posición de esfuerzos alrededor en un pozo a
r
0 z
pp
rz r
1 z r
z
z z
rz r
x
Z 0
r , z, , rz, r y z; esfuerzos en coordenadas cilí ndricas;
r
y
(Modificado de Aadnoy y Looyeh, 2011, 155)
R, , Z representan los componente de la fuerza, en las direcciones r, y z.
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Esfuerzos alrededor de un pozo
EQ - Coordenadas cilíndricas 2
(r r ) r
2
r
(r )
r z 2
z z
2
(r ) z
2
r, , z representan las direcciones r, y z.
r
2
2
rz
2
r
1 r
2
2
z z
r
2
r r
2
2
r r z
r r
2
z z 2
r
z z z
z r z
RELACIONES CONSTITUTIVAS Esfuerzos alrededor de un pozo
EQ - Coordenadas cilíndricas
r
1 E
1
r v z
r
v r z
z
1 z G
zr
1 zr G
1 E
1 z z E
v r
G
r
CONDICIONES LIMITE Esfuerzos alrededor de un pozo
Las ecuaciones anteriores deben ser resueltas usando las condiciones de frontera apropiadas
r = Pw r = a
en en
r = a r =
EJEMPLO
Ejemplo La figura ilustra una muestra cilíndrica de arenisca de 1.5´´ de diámetro, la cual será sometida a un esfuerzo compresivo, para producir un cambio de diámetro de 10-4 pulgadas en la muestra.
Calcule: -Deformación lateral -Deformación longitudinal -Esfuerzo normal (psi) -Fuerza para producir el cambio de diámetro
Arenisca: E= 26.0 Gpa;
=0.27
F
D
D’