FORMULACIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOS INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I FORMULACION Y CONSTRUCCION DE MODELOS 1 Propuesta formal para a!a e"er##o $ue los estu!#a%tes !e&er'a% se(u#r para a!a pro&lema) • Def#%#r larame%te el pro&lema para a!a s#tua#*%+ pro&lema+ • Ela&orar u%a ta&la o es$uema $ue fa#l#te la ompre%s#*% !el pro&lema+ • I!e%t#f#ar o% pre#s#*% las ,ar#a&les !e !e#s#*%+ • Formular la fu%#*% o&"et#,o omo u%a e-pres#*% matem.t#a+ • Co%stru#r el mo!elo orrespo%!#e%te/ o%s#!era%!o el &ala%e !e las u%#!a!es ut#l#0a!as+ ut#l#0a!as+ U%a U%a !e&# !e&#l#l#!a !a! ! $ue $ue se pres prese% e%ta ta e% los los estu estu!# !#a% a%te tes/ s/ %o sola solame me%t %te e o% o% las las mate mater# r#as as !e I%,est#(a#*% !e Opera#o%es s# %o o% otras mater#as !e la arrera es la !#f#ulta! por formular larame%te el pro&lema $ue ,a% a solu#o%ar+ E% IO es pos#&le #%s#st#r e% este aspeto ua%!o %o se e-presa e% el te-to el pro&lema !el e"er##o 1 el estu!#a%te !e&e real#0ar el esfuer0o por formularlo+ 2 EJERCICIOS U% 3errero o% 45 6(s+ !e aero 1 785 6(s+ !e alum#%#o $u#ere 3aer &##letas !e paseo 1 !e mo%ta9a $ue $u#ere ,e%!er/ respet#,ame%te a 85+555 1 7:+555 pesos a!a u%a para saar el m.-#mo &e%ef##o+ Para la !e paseo emplear. 7 6(+ De aero 1 ; 6(s !e alum#%#o/ 1 para la !e mo%ta9a 8 6(s+ !e am&os metales+ %) !e &##letas !e paseo a fa&r#ar+ 1> %) !e &##letas !e mo%ta9a a fa&r#ar+ Ta&la !e mater#al emplea!o) Aero
Alum#%#o
Paseo
7
;
Mo%ta9a
8
8
Fu%#*% o&"et#,o) f?-/ 1@> 85+555-7:+5551 85+555-7:+5551
ma-#m#0ar+ ma-#m#0ar+
Restr##o%es)
1
Toma de Ejercicios adaptados de: MATHUR , Kamlesh y D. Solow, Investigación de Operaciones: el Arte en la Toma Decisiones. HILLIER, HILLIER, Frederic Frederick k S. y Gerald Gerald J. Lieberma Lieberma, , Introducción a la Investigación de Operaciones . TAHA, !amdy "., Investigación de Operaciones: Una Introducción . DAVIS, K. #oscoe. $ckeow %atrick, G, Modelos cuantitativos para la Administración.
7@ U% auto auto&B &Bss al# al#& &u( u(a a ofre ofree e as#e as#e%t %tos os para para fuma fuma!o !ore ress al pre pre#o #o !e 75+5 75+555 55 peso pesoss 1 a %o fuma!ores al pre#o !e +555 pesos+ Al %o fuma!or se le !e"a lle,ar :5 6(s+ !e peso 1 al fuma!or 85 6(s+ S# el auto&Bs t#e%e 5 as#e%tos 1 a!m#te u% e$u#pa"e !e 3asta ;+555 6(+ %) !e pla0as !e fuma!ores+ 1> %) !e pla0as !e %o fuma!ores+ La Fu%#*% o&"et#,o) f(x, y)=10.000x+6.000y maxm!a" Restr##o%es)
8@ U% omer#a%te omer#a%te au!e au!e al mera!o mera!o popular popular a omprar omprar %ara%"as %ara%"as o% :5+555 pesos+ pesos+ Le ofree% ofree% !os t#pos !e %ara%"as) las !e t#po A a :5 pesos el 6(+ 1 las !e t#po a 45 pesos+ el 6(+ Sa&#e%!o $ue s*lo !#spo%e !e su am#o%eta o% espa#o para tra%sportar 55 6(+ !e %ara%"as omo m.-#mo 1 $ue p#e%sa ,e%!er el 6(+ !e %ara%"as t#po A a :4 pesos+ 1 el 6(+ !e t#po a 5 pesos+ pla%tee u% mo!elo !e pro(rama#*% l#%eal $ue perm#ta resol,er la s#tua#*% a%ter#or+ S#a$ %a& 'a"a%#& # #*&$ -> 6(+ !e %ara%"as t#po A ompra!os+ 1> 6(+ !e %ara%"as t#po ompra!os+ La fu%#*% o&"et#,o $ue !a el &e%ef##o es)
Y las restr##o%es)
;@ el pro&lema !e 3aer o omprar !e steel ompa%1 steel ompa%1 pro!ue tres tama9os !e tu&os) A/ / C $ue so% ,e%!#!os/ respet#,ame%te e% H75/ H78 1 H por p#e+ Para fa&r#ar a!a p#e !el tu&o A se re$u#ere% 5+: m#%utos !e t#empo !e proesam#e%to so&re u% t#po part#ular !e ma$u#%a !e mo!ela!o+ Ca!a p#e !el tu&o re$u#ere 5+: m#%utos 1 a!a p#e !el tu&o C re$u#ere 5+ m#%utos+ DespuJs !e la pro!u#*%/ a!a p#e !e tu&o s#% #mportar el t#po re$u#ere 7 o%0a !e mater#al !e sol!ar+ El osto total se est#ma e% H;/ H 1 H por p#e !e los tu&os respet#,ame%te+ Para la s#(u#e%te sema%a/ mt, steel 3a re#&#!o pe!#!os e-ep#o%alme%te (ra%!es $ue total#0a% 8555 p#es !el tu&o A/ 555 p#es !el tu&o 1 :555 p#es !el tu&o C+ omo solo se !#spo%e !e 5 3oras !e t#empo !e ma$u#%a esta sema%a 1 solo se t#e%e% e% #%,e%tar#o ::55 o%0as !e mater#al !e sol!ar/ el !epartame%to !e pro!u#*% %o po!r. sat#sfaer esta !ema%!a $ue re$u#ere u% total !e 3oras !e t#empo !e ma$u#%a 1 77555 o%0as !e mater#al !e sol!ar+ No se espera $ue o%t#%uJ esta !ema%!a ta% alta+ Por lo ta%to e% lu(ar !e e-pa%!#r la apa#!a! !e las #%stala#o%es !e pro!u#*%/ la (ere%#a esta o%s#!era%!o la ompra !e al(u%os !e estos tu&os a pro,ee!ores !e Kap*% a u% osto !e e%tre(a !e H por p#e !el tu&o A/ H por p#e !el tu&o 1 H por p#e !el tu&o C+ estos !#,ersos !atos se resume% e% la s#(u#e%te ta&la+ Como (ere%te !el !epartame%to !e pro!u#*% se le 3a pe!#!o 3aer reome%!a#o%es respeto a la a%t#!a! !e pro!u#*% !e a!a t#po !e tu&o 1 la a%t#!a! !e ompra a Kap*% para sat#sfaer la !ema%!a 1 ma-#m#0ar las (a%a%#as !e la ompa9'a+ La s#(u#e%te ta&la prese%ta la #%forma#*% orrespo%!#e%te+ T- # / A 3 C Ca%t#!a! D#spo%#&le
"#* # '#$/a 75 78
T#m- # #ma$a ma2$a 8555 555 :555
5+: 5+: 5+5 5 oras
SOLUCI4N. Sea% las ,ar#a&les !e !e#s#*%) Ap) a%t#!a! !e p#es !e tu&o t#po A a fa&r#ar p) a%t#!a! !e p#es !e tu&o t#po a fa&r#ar Cp) a%t#!a! !e p#es !e tu&o t#po C a fa&r#ar A) a%t#!a! !e p#es !e tu&o t#po A a omprar a Kap*% ) a%t#!a! !e p#es !e tu&o t#po a omprar a Kap*% C) a%t#!a! !e p#es !e tu&o t#po C a omprar a Kap*% Restr##o%es) T#empo !#spo%#&le e% ma$u#%a !e mo!ela!o) 5+:Ap5+:p5+Cp>855 Mater#al !e sol!a!ura !#spo%#&le AppCp>::55
Ma/#"a% -a"a &%a" 7 7 7 ::55 O%0as
C&/ # -"**$
C&/ # *m-"a
;
Dema%!a ApA>8555 p>555 CpC>:555 ma-> 75?ApA@78?p@?CpC@;ApApCpC @ Al D#retor F#%a%#ero !e la Corpora#*% F#%a%#era Na#o%al le 3a% !a!o H:5+555+555 para $ue #%,#erta e% u% per'o!o !e tres a9os+ El D#retor 3a !eterm#%a!o $ue e-#ste% tres oportu%#!a!es !e #%,ers#*% !#spo%#&les e% el mome%to 1 $ue so% las s#(u#e%tes) la #%,ers#*% A r#%!e el 74 a%ual la #%,ers#*% r#%!e el 78 el pr#mer a9o 1 el 87 los a9os s#(u#e%tes 1 la #%,ers#*% C r#%!e el :: al f#%al !el terer a9o 1 %o se pue!e ,ol,er a #%,ert#r+ Tam&#J% 3a e%o%tra!o $ue al om#e%0o !el se(u%!o a9o e-#ste otra oportu%#!a! !e #%,ers#*%/ la D $ue pro!ue 8: al f#%al !el terer a9o 1 por u%a sola ,e0+ El D#retor F#%a%#ero !esea sa&er u.%to !#%ero #%,ert#r/ !*%!e 1 u.%!o e% tal forma $ue la a%t#!a! !e !#%ero !#spo%#&le al #%##o !el uarto a9o sea m.-#mo+ Pla%tear el a%ter#or pro&lema omo u% mo!elo !e Pro(rama#*% L#%eal+ Var#a&les !e !e#s#*%) A# ) D#%ero a #%,ert#r al om#e%0o !el a9o # e% la #%,ers#*% A # > 7/8/; # ) Ca%t#!a! #%,ert#!a e% pesos al #%##o !el a9o # e% la #%,ers#*% + C7 ) D#%ero a #%,ert#r al om#e%0o !el a9o 7 e% la #%,ers#*% C+ D8 ) Ca%t#!a! #%,ert#!a e% pesos al #%##o !el a9o 8 e% la #%,ers#*% D+ ) D#%ero a pr#%#p#o !el uarto a9o+ Modelo (Primal):
MAQ > :5555555 5+74 ?A 7 A8 A;@ ?5+787 5+878 5+87;@ 5+::C7 5+8:D8 Su"eta a) 7+ A7 7 C7 :5+555+555 8+ 5+74A7A8 5+787 8 C7D8 :5555555 ;+ 5+74A7 5+74A8 5+787 5+878 A; ;C7D8 :5555555
:@ U% &aro t#e%e tres &o!e(as) Proa/ popa 1 e%tro los l'm#tes !e apa#!a! para esas tres &o!e(as so%) 3ODE5AS
ESO ( T$ )
OLUMEN ( FT7 )
Proa
8555
755+555
Popa
7:55
;55+555
Ce%tro ;555 7;:+555 Se ofree% las s#(u#e%tes ar(as 1 los respo%sa&les !el &aro pue!e% aeptar to!o o parte !e a!a ar(a) OLUMEN CAR5AS CANTIDAD (T$) UTILIDAD( 9 8 T$ ) (T$8 FT7 ) A
555
555
C
8555
5
4
:5
:
8:
usa%!o o%ser,ar el e$u#l#&r#o e% el &aro/ el peso !e a!a &o!e(a !e&e ser propor#o%al a su apa#!a! e% to%ela!as+
CENTRO (7) Q A; Q; QC; ;555 7;:+555
CANTIDAD (T$) 555 555 8555 To% FT;
MAQ > ?Q A7 Q A8 Q A;@ 4 ? Q 7 Q8 Q;@ : ? QC7 QC8 QC;@ Co% las s#(u#e%tes restr##o%es)
7;+ ?Q A7Q7QC78555@ > ?Q A8Q8QC87:55@ > ?Q A;Q;QC;;555@
OLUMEN (T$8 FT7) 5 :5 8:
@ U% fa&r#a%te !e&e umpl#r u% o%trato a uatro meses !ura%te los uales ,ar#a% los ostos !e pro!u#*%+ El osto !e almae%am#e%to !e u%#!a!es pro!u#!as e% u% mes !eterm#%a!o 1 %o ,e%!#!as e% ese mes es !e 75 pesos por u%#!a! 1 por mes+ Se !#spo%e !e la s#(u#e%te #%forma#*%+ M#& 1 : 7 ;
C$/"a/ # '#$/a& #$ $a#& 85 ;5 :5 5
Ca-a*a # -"**$ #$ $a#& 5 :5 ;5 :5
C&/ $/a" # -"**$ #$ -#&& 75 75 7:5 75
Cual ser#a el pro(rama opt#mo !e pro!u#*% $ue umple o% el o%trato= Pla%tear u% mo!elo !e pro(rama#*% l#%eal $ue perm#ta o%testar la a%ter#or pre(u%ta+ Def#%##*% !e ,ar#a&les Sea% Q#" > %umero !e u%#!a!es pro!u#!as e% el mes # 1 ,e%!#!as e% el mes "+ !o%!e #>7/8/;/ "> 7/8/;/ "># m#%> 75?Q77Q78Q7;Q7@75?Q88Q8;Q8@7:5?Q;;Q;@75Q 75?Q78Q8; Q;@85?Q7;Q8@;5?Q7@ RESTRICCIONES Por apa#!a! !e pro!u#o% Q77Q78Q7;Q7>5 Q88Q8;Q8>:5 Q;;Q;>;5 Q>:5 Por o%trato !e ,e%tas Q77>85 Q78Q88>;5 Q7;Q8;Q;;>:5 Q7Q8Q;Q>5 @ U%a empresa !e o%fe#o%es pue!e pro!u#r 7555 pa%talo%es o ;555 &lusas ?o u%a om&#%a#*% !e am&os@ !#ar#ame%te+ El !epartame%to !e aa&a!o pue!e tra&a"ar so&re 7:55 pa%talo%es o so&re 8555 &lusas ?o u%a om&#%a#*% !e am&os@ a!a !'a el !epartame%to !e mera!eo re$u#ere $ue se pro!u0a% !#ar#ame%te al me%os 55 pa%talo%es+ S# el &e%ef##o !e u% pa%tal*% es !e H 555 1 el !e u%a &lusa es !e H ;555+ < Cu.%tas u%#!a!es se !e&e% !e pro!u#r !e a!a u%o para ma-#m#0ar las ut#l#!a!es =+ Pla%tear el a%ter#or pro&lema omo u% mo!elo !e Pro(rama#*% L#%eal+ Var#a&les !e !e#s#*%) Q7 ) Ca%t#!a! !e pa%talo%es a pro!u#r !#ar#ame%te+ Q8 ) NBmero !e &lusas a fa&r#ar por !'a+
MAQ > 555 Q7 ;555 Q8 Su"eta a)
4@ U%a #%!ustr#a pro!utora !e papel re#&e u% pe!#!o !e la s#(u#e%te forma) 55 rollos !e ;: pul(+ De a%3o ;55 rollos !e ;5 pul( !e a%3o 855 rollos !e 5 pul( !e a%3o 755 rollos !e :5 pul( !e a%3o La #%!ustr#a t#e%e e% sus &o!e(as rollos seme"a%tes/ pero !e 77 pul(+ De a%3o/ 1 e% a%t#!a! suf##e%te 1 !e#!e ut#l#0arlos para el pe!#!o/ ort.%!olos e% los !#fere%tes a%3os sol##ta!os+ Cual es la me"or forma !e ortar los rollos !e 77 pul(a!as !e a%3o para sat#sfaer el pe!#!o 1 m#%#m#0ar el !esper!##o !e papel= Es %eesar#o e%o%trar los patro%es !e orte e-#ste%tes para sat#sfaer el pe!#!o) A$*< #% "%% (-%) 70 7> ;0 >0 D#&-#"* (-%)
1 ; 5 5 5 8
: 5 ; 5 5
a/"$ 7 ; 7 5 5 5 8 5 5 8 7
# *"/# y > 6 8 8 7 5 5 7 5 5 7 7
"%%& /#$& ? @ 10 8 7 5 7 5 8 8 7 5 5 7 7 7 5 5 5 7
11 5 7 5 7 8
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El mo!elo ma-) 8Q7Q8Q;7Q7Q:7QQ7Q4QQ758Q778Q78 Do%!e Q#) a%t#!a! !e rollos !e 77 pul(+ !e a%3o a ortar se(B% el patr*% # #)7/8/;//78 Restr##o%es) ;-7-;8-:8-8--4-75>;55 ;-8-:8-48--75-77>55 8-;---75-78>855 8---77-78>755
-#>5 -# !e&e% perte%eer a los e%teros
@ U% fa&r#a%te !e eletro!omJst#os pro!ue uatro mo!elos !e la,a!oras L7/ L8/ L; 1 L+ Estos aparatos o%sta% fu%!ame%talme%te !e u% tam&or met.l#o reu&#erto o% u%a arasa/ el ual (#ra por efeto !e u% motor elJtr#o o%trola!o por u% m#roproesa!or eletr*%#o+ Los mo!elos L7 1 L; so% la,a!oras o% me%or apa#!a! !e ar(a ? 6(r@/ %ees#ta%!o : mt8 !e mater#al met.l#o/ m#e%tras $ue los mo!elos L8 1 L $ue ar(a% 75 6(r/ re$u#ere% 4/: mt8 !e mater#al met.l#o+ La a%t#!a! !e mater#al met.l#o !#spo%#&le es !e 75555 mt8+ Los mo!elos L7 1 L8 lle,a% u% motor !e%om#%a!o M7 1 u% m#roproesa!or P7 los mo!elos L; 1 L t#e%e% u% motor M8 1 u% m#roproesa!or P8+ El motor M7 es me%os pote%te $ue el M8 1 el m#roproesa!or P7 t#e%e me%os pro(ramas $ue el m#roproesa!or P8 el mater#al %eesar#o para fa&r#ar los motores pue!e o&te%erse pr.t#ame%te s#% l#m#ta#*%+ Los motores se e%sam&la% e% u%a %a,e !e mo%ta"e o% u%a apa#!a! !e tra&a"o !e ;555 3oras/ s#e%!o re$uer#!as u%a 3ora para mo%tar u% motor M7 1 7/: 3oras para e%sam&lar u% motor M8+ E% ua%to a los m#roproesa!ores se pue!e% fa&r#ar e% la prop#a empresa e% u%a se#*% !e la pla%ta !e mo%ta"e o se pue!e% e%ar(ar a u% fa&r#a%te !e mater#al eletr*%#o+ E% el pr#mer aso/ omp#te% o% la fa&r#a#*% !e los motores M7 1 M8 %ees#ta%!o 5/; 3oras la fa&r#a#*% !e P7 a u% osto !e H 755555 1 5/: 3oras la fa&r#a#*% !e P8 o% u% osto !e H 745555+ E% el se(u%!o aso/ el ,e%!e!or pue!e sum#%#strar ual$u#er a%t#!a! !e P7 1 P8 a u% pre#o !e H 745555 1 H ;5555 respet#,ame%te+ F#%alme%te/ las la,a!oras se mo%ta% e% otra %a,e !e aa&a!o o% apa#!a! !e :555 3oras/ s#e%!o pre#so u% t#empo !e 7/: 3oras para el mo!elo L7/ 8/; 3oras para el mo!elo L8/ ; 3oras para el mo!elo L; 1 /8 3oras para el mo!elo L+ Para sat#sfaer a to!os los se(me%tos/ el fa&r#a%te !e#!e $ue la pro!u#*% m'%#ma !e a!a mo!elo sea !e ;55 u%#!a!es+ Como !ato a!##o%al se o%oe/ se(B% #%forme !el !epartame%to !e mera!eo/$ue la !ema%!a !e mo!elos !e ma1or apa#!a! es s#empre super#or a la !ema%!a !e los mo!elos !e me%or apa#!a!/ por lo $ue la pro!u#*% om&#%a!a !e los mo!elos L8 1 L !e&e ser super#or a la pro!u#*% om&#%a!a !e los mo!elos L7 1 L;+ La ut#l#!a! propor#o%a!a es !e H75555 para el mo!elo L7/ H75555 para el mo!elo L8/ H745555 para el mo!elo L; 1 H855555 para el mo!elo L+ Pla%tear u% mo!elo !e Pro(rama#*% L#%eal para la pla%#f#a#*% !e la pro!u#*% !e las la,a!oras te%#e%!o omo o&"et#,o la ma-#m#0a#*% !e los &e%ef##os+ Def#%##*% !e ,ar#a&les) L7 ) NBmero !e la,a!oras L7 a fa&r#ar+ L8 ) Ca%t#!a! !e la,a!oras L7 a pro!u#r+ L; ) NBmero !e la,a!oras L; a fa&r#ar+ L ) Ca%t#!a! !e la,a!oras L a pro!u#r+ P7 ) NBmero !e m#roproesa!ores P7 a fa&r#ar e% la empresa+ P8 ) NBmero !e m#roproesa!ores P8 a pro!u#r e% la empresa+ P; ) Ca%t#!a! !e m#roproesa!ores P7 a omprar+ P ) Ca%t#!a! !e m#roproesa!ores P8 a omprar+ M7 ) NBmero !e motores M7 a fa&r#ar+
M8 ) Ca%t#!a! !e motores M8 a pro!u#r+ ) Fu%#*% !e ut#l#!a! orrespo%!#e%te a la (a%a%#a por la ,e%ta !e la,a!oras mo!elos L7/ L8/ L; 1 L+ MAQ > 75555 L7 75555 L8 745555 L; 855555 L 755555 P7 745555 P8 745555 P; ;5555 P
L7>;55 L8>;55 L;>;55 L>;55 L8LLIL; :L7+:L8:L;4+:L>75555 7+:L78+;L8;L;+8L>:555 M77+:M85+;P75+:P8>;555 P7P;>L7L8 P8P>L;L MI>LIL8 M8>L;L
75@ U% ,e%!e!or !e frutas %ees#ta 7 a"as !e %ara%"as/ : !e pl.ta%os 1 85 !e ma%0a%as+ Dos ma1or#stas est.% e% o%!##o%es !e sat#sfaer sus %ees#!a!es/ pero solo ,e%!e% la fruta e% o%te%e!ores ompletos+ El ma1or#sta A e%,'a e% a!a o%te%e!or 4 a"as !e %ara%"as/ 7 !e pl.ta%os 1 8 !e ma%0a%as+ El ma1or#sta e%,'a e% a!a o%te%e!or 8 a"as !e %ara%"as/ u%a !e pl.ta%os 1 !e ma%0a%as+ Sa&#e%!o $ue el ma1or#sta A se e%ue%tra a 7:5 m+ !e !#sta%#a 1 el ma1or#sta a ;55 m+/ alular u.%tos o%te%e!ores 3a&r. !e omprar a a!a ma1or#sta/ o% el o&"eto !e a3orrar t#empo 1 !#%ero/ re!u#e%!o al m'%#mo la !#sta%#a+ 77@ U% pro,ee!or !e&e preparar o% : &e&#!as !e fruta e% e-#ste%#a/ al me%os :55 (alo%es !e u% po%3e $ue o%te%(a por lo me%os 85 !e "u(o !e %ara%"a/ 75 !e "u(o !e toro%"a 1 : !e "u(o !e ar.%!a%o+ S# los !atos !el #%,e%tar#o so% los $ue se muestra% e% la ta&la s#(u#e%te
e&#!a A e&#!a
Ku(o !e Nara%"a 5 :
Ku(o !e Toro%"a 5 75
Ku(o !e E-#ste%#a Ar.%!a%o X(al 5 855 85 55
Costo XH(al 7/:5 5/:
e&#!a C e&#!a D e&#!a E
755 5 5
5 755 5
5 5 5
755 :5 455
8/55 7/: 5/8:
Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida.
S%*$ O&"et#,o) M#%#m#0ar ostos umpl#e%!o to!os los re$u#s#tos+ Var#a&les) X i ) a%t#!a! !e &e&#!a Z i Z e% (alo%es #%orpora!a al po%3e ? i=A..E @ C i ) osto por (al*% !e &e&#!a t#po Z i Z+ Co%sta%tes N i ) pore%ta"e !e "u(o !e %ara%"a e% &e&#!a t#po Z i Z+ T i ) pore%ta"e !e "u(o !e toro%"a e% &e&#!a t#po Z i Z+ Ai ) pore%ta"e !e "u(o !e ar.%!a%o e% &e&#!a t#po Z i Z+ E i ) e-#ste%#a !e &e&#!a t#po Z#Z E
∑ X ⋅ C
Fu%#*% O&"et#,o) M#%
i
i
i = A
Restr##o%es) E
7@
∑ X
?Ca%t#!a! !e po%3e re$uer#!a@
≥ 500
i
i = A
E
8@
E
∑ X ⋅ N ≥ 0.2⋅∑ X i
i
= A i
E
∑ X ⋅ T ≥ 0.1⋅∑ X i
i
= A i
?Propor#*% !e "u(o !e toro%"a re$uer#!a@
i
= A i
E
@
?Propor#*% !e "u(o !e %ara%"a re$uer#!a@
= A i
E
;@
i
E
∑ X ⋅ A ≥ 0.05⋅∑ X i
i = A
i
i
?Propor#*% !e "u(o !e ar.%!a%o re$uer#!a@
i = A
:@ Xi≤ Ei @ Xi≥ 0
. E ∀ i= A.
∀ i= A. . E
?No m.s !e la e-#ste%#a por &e&#!a@ ?Naturale0a !e las ,ar#a&les@
78@ U% empresar#o prete%!e fa&r#ar !os t#pos !e o%(ela!ores !e%om#%a!os A 1 + Ca!a u%o !e ellos !e&e pasar por tres opera#o%es a%tes !e su omer#al#0a#*%) E%sam&la"e/ p#%ta!o 1 o%trol !e al#!a!+ Los o%(ela!ores re$u#ere%/ respet#,ame%te/ 8/: 1 ; 3oras !e e%sam&la"e/ ; 1 6(+ !e esmalte para su p#%ta!o 1 7 1 75 3oras !e o%trol !e al#!a!+ Los ostos totales !e fa&r#a#*% por u%#!a! so%/ respet#,ame%te/ ;5 1 84/ 1 los pre#os !e ,e%ta :8 1 4/ to!os ellos e% m#les !e pesos+ El empresar#o !#spo%e sema%alme%te !e m.-#mo/ :55 3oras para e%sam&la"e/ !e m.-#mo 455 6(+ !e esmalte 1 85555 3oras m.-#mo/ para o%trol !e al#!a!+ Los estu!#os !e mera!o muestra% $ue la !ema%!a sema%al !e o%(ela!ores %o supera las 755 u%#!a!es 1 $ue/ e% part#ular/ la !e t#po A es !e/ al me%os 55 u%#!a!es+ S%*$ D#f$*$ # a"a%#& B = Ca$/a # -"*$#& #% a%m#$/ a $*%" #$ %a #/a a"a, D$# = 1, ... 6
F$*$ #/' F.O. M$ =
>B1 + ?B: + :B7 + ;>B; + 60B> + >0B6
R#&/"**$#& S.A
Restr##o%es so&re el o%te%#!o !e %utr#e%tes) 60B1 + >0B: + 1?>B; + 1>0B> + :00B6 = 17>0 10>B1 + ?>B: + 100B7 + :>B; + 1>0B> + 70B6 = >00 ?>B1 + @0B: + 10B; + >0B> + >B6 = 7>0 >0B1 + >0B: + 1:>B7 + >>B; + 100B> + @B6 = :00 7>B1 + 1>B: + ?@B7 + >0B> = 1>0 Restr##o%es so&re las por#o%es) B1 = 7 B: = : B7 = 1 B; = 1 B> = : B6 = 1.>
7;@ T[o allo1s/ A a%! / are ma!e [#t3 four !#ffere%t metals/ I/ II/ III a%! IV/ aor!#%( to t3e follo[#%( spe#f#at#o%s) A%%y A
S-#*f*a/$& At most 45 of I At most ;5 of II At least :5 of IV et[ee% 5 a%! 5 of II At least ;5 of III At most 5 of IV
T3e four metals are &e#%( e-trate! from t3ree !#ffere%t metal# m#%erals)
M#%eral 7 8 ;
Ma-#mum Wua%t#t1 ?to%@ 7555 8555 ;555
o%st#tute! &1 ?@ I 85 75 :
II 75 85 :
III ;5 ;5 5
IV ;5 ;5 85
Ot3ers 75 75 5
Pr#e ?Hto%@ ;5 5 :5
Assume t3at mar6et pr#es of allo1s A a%! are H855/ H;55 per to%+ S%*$ O#/' allar el pla% *pt#mo !e pro!u#*% $ue Ma-#m#e la ut#l#!a! por la ,e%ta !e las alea#o%es+ D#f$*$ # 'a"a%#&
Alea#o%es A1 A > H 855 To% / > H ;55 To%+
X ij > Ca%t#!a! !e to%ela!as !e m#%eral # > ?7/8/;@ e% alea#*% " > ?A/@+ T- # a"a%# Co%t#%ua+ F$*$ O#/' 855? x7A + x8 A + x; A@ + ;55? x7B + x8B + x;B @ MaU> [ ;5? x7A + x7B @ + 5? x8 A + x 8B @ + :5? x ; A + x ;B @] U=
H H 2 Ton ⇒ H #%(resos + 2 Ton ⇒ H e(resos To% To%
A% #f$" %a F$*$ O#/', ## &-$#"&# 2# / % 2# &# -"*# &# '#$#. S#/ a R#&/"**$#& -" &-$%a # ma/#"a%#& C7 > ineral 7 X7A + X7B ≤ 7555 [ To% > To%] C8 > ineral 8 X 8 A + X 8B ≤ 8555 [ To% > To% ] C; > ineral ; X ; A + X ; B ≤ ;555 [ To% > To% ]
R#&/"**$#& -" #&-#*f*a*$#& # %a& a%#a*$#&. C > 5+85 X7A + 5+75 X 8 A + 5+5: X ; A ≤ 5+45?Q7A + X 8 A + X ; A@ [ Ton ≤ Ton ] Metal I e% Alea#*% A C: > 5+75 x7A + 5+85 x8 A + 5+5: x; A ≤ 5+;5? x7A + x 8 A + x ; A@
[ Ton ≤ Ton ]
M#/a% II #$ A%#a*$ A CD > 5+;5 x7A + 5+;5 x8 A + 5+8 x; A ≥ 5+:5?x7A + x 8 A + x ; A@
[ Ton ≥ Ton ]
M#/a% I #$ A%#a*$ A. C G > 5+75 x7B + 5+85 x8B + 5+5: x;B ≥ 5+5?x7B + x 8B + x ;B@
5+75 x7B + 5+85 x8B + 5+5: x;B ≤ 5+5?x7B + x 8B + x ;B@
[ Ton ≥ Ton ] [ Ton ≤ Ton ]
M#/a% II #$ A%#a*$ 3. C4 > 5+;5 x7B + 5+;5 x8B + 5+ x;B ≥ 5+;5?x7B + x 8B + x ;B @
[ Ton ≥ Ton ]
M#/a% III #$ A%#a*$ 3. CE > 5+;5 x7B + 5+;5 x8B + 5+8 x;B ≤ 5+5?x7B + x 8B + x ;B @
M#/a% I #$ A%#a*$ 3.
[ Ton ≤ Ton ]
R#&/"**$ # N N#a/'a C75 > x ij ≥ 5 7@ Gu!#ela Gut#Jrre0 est. preoupa!a por su so&repeso 1 el osto !e la om#!a !#ar#a+ Ella sa&e/ $ue para &a"ar !e peso/ !e&e o%sum#r m.-#mo/ 7;:5 #loalor'as/ pero re$u#ere !e *mo m'%#mo !e :55 m( !e ,#tam#%a A/ ;:5 m( !e Cal#o/ 855 m( !e prote'%as 1 7:5 m( !e m#%erales+ De auer!o o% esto/ ella 3a ele(#!o al#me%tos/ $ue se(B% su r#ter#o so% r#os e% %utr#e%tes 1 !e &a"o osto)
Al#me%to
Por#*%
LECE UEVO ESPINACAS CULETAS PESCADO PASTEL
7 Ta0a 8 P#e0as 7 Ra#*% 8 P#e0as 7 T#lap#a 8 Re&+
V#tam#%a Cal#o Prote#%as M#%erales Costo #loalor'as A ?m(@ ?m(@ ?m(@ ?m(@ ?H@ 75: : :5 ;: : 5 : 45 :5 7: :5 755 78: 4 8 5 8: 75 :: : 7: 7:5 :5 755 :5 5 7:5 ;5 : 4 :5 855
Gu!#ela se 3a !a!o ue%ta $ue es mu1 pos#&le $ue om#e%!o #%o t#lap#a !#ar#as/ te%!r'a sat#sfe3as sus %ees#!a!es !e %utr#e%tes 1 !e #loalor'as pero %o est. !#spuesta a tal sar#f##o/ por ta%to/ ella 3a !e#!#!o $ue lo m.-#mo $ue pue!e omerse e% por#o%es !e le3e so% tres/ !e 3ue,o !os/ !e esp#%aas u%o/ !e 3uletas u%a/ !os !e pesa!o 1 !e pastel u%a 1 me!#a por#o%es+ Propor#o%ar a Gu!#ela el mo!elo !e Pro(rama#*% L#%eal $ue !eterm#%e la !#eta m.s eo%*m#a+ S%*$ D#f$*$ # a"a%#& B = Ca$/a # -"*$#& #% a%m#$/ a $*%" #$ %a #/a a"a, D$# = 1, ... 6 F$*$ #/' F.O. M$ =
>B1 + ?B: + :B7 + ;>B; + 60B> + >0B6
R#&/"**$#& S.A
Restr##o%es so&re el o%te%#!o !e %utr#e%tes) 60B1 + >0B: + 1?>B; + 1>0B> + :00B6 = 17>0 10>B1 + ?>B: + 100B7 + :>B; + 1>0B> + 70B6 = >00 ?>B1 + @0B: + 10B; + >0B> + >B6 = 7>0 >0B1 + >0B: + 1:>B7 + >>B; + 100B> + @B6 = :00 7>B1 + 1>B: + ?@B7 + >0B> = 1>0 Restr##o%es so&re las por#o%es) B1 = 7 B: = : B7 = 1 B; = 1
B> = : B6 = 1.> 7:@ U% pe$ue9o taller arma !#spos#t#,os me.%#os/ 1a sea omo u% pro!uto term#%a!o $ue e%tre(a al mera!o/ o omo u% proeso #%terme!#o para e%tre(ar a u%a (ra% f.&r#a+ Tra&a"a% ; perso%as e% "or%a!as !e 5 3oras sema%ales+ Dos !e estos o&reros %o al#f#a!os re#&e% H5+ por 3ora/ 1 el terero/ u% o&rero al#f#a!o/ re#&e H5+ por 3ora+ Los tres est.% !#spuestos a tra&a"ar 3asta 75 3oras a!##o%ales a la sema%a o% u% salar#o :5 super#or !ura%te este per'o!o+ Los ostos f#"os sema%ales so% !e H455+ Los (astos !e opera#*% ,ar#a&les so% !e H7+5 por 3ora !e tra&a"o !e o&rero %o al#f#a!o 1 H8+ por 3ora !e o&rero al#f#a!o+ Los !#spos#t#,os me.%#os s#% aa&ar so% ,e%!#!os a la pla%ta a H+: a!a u%o+ El taller t#e%e u% o%trato &a"o el ual !e&e e%tre(ar 755 !e estos !#spos#t#,os sema%alme%te a la empresa+ El !ue9o !el taller t#e%e omo pol't#a el pro!u#r %o m.s !e :5 !#spos#t#,os a la sema%a por so&re el o%trato+ Los !#spos#t#,os term#%a!os se ,e%!e% a H7: a!a u%o s#% restr##o%es !e mera!o+ Se re$u#ere% 5+: 3oras !e o&rero %o al#f#a!o 1 5+8: 3oras !e o&rero al#f#a!o para pro!u#r u% !#spos#t#,o s#% aa&ar l#sto para e%tre(ar a la empresa+ U%o !e estos !#spos#t#,os pue!e e%sam&larse 1 !e"arlo term#%a!o a(re(.%!ole 5+: 3oras !e tra&a"a!or al#f#a!o+ U% !#spos#t#,o aa&a!o l#sto para e%tre(ar al mera!o se pue!e pro!u#r o% 5+ 3oras !e o&rero %o al#f#a!o 1 5+: 3oras !e o&rero al#f#a!o+ Pla%tear el mo!elo !e pro(rama#*% l#%eal $ue perm#ta respo%!er la o%sulta) <*mo 1 u.%to pro!u#r para umpl#r el o%trato !e mo!o !e ma-#m#0ar las ut#l#!a!es=
7@ U%a pe$ue9a empresa fa&r#a !os t#pos !e partes automotr#es/ A 1 + Compra !el(a!as l.m#%as !e aero $ue !e&e% ser mol!ea!as/ perfora!as 1 pul#!as/ omo se #%!#a e% el ua!ro s#(u#e%te ?e% u%#!a!es por 3ora@) CAPACIDAD Mol!eo Perfora!o Pul#!o
PARTE A 8:3ora 843ora ;:3ora
PARTE 53ora ;:3ora 8:3ora
Las l.m#%as para la parte A uesta% H8 ?!*lares@ a!a u%a para la / H;+ So% ,e%!#!as a H: 1 H/ respet#,ame%te+ Las m.$u#%as $ue real#0a% las at#,#!a!es 1a se9ala!as t#e%e% ostos por 3ora !e opera#*% !e H85/ H7 1 H7+:/ respet#,ame%te+ Sup*%(ase $ue se pue!e ,e%!er ual$u#er om&#%a#*% !e parte A 1 / 1 $ue se !esea 3aer m.-#ma la ut#l#!a! !e la ompa9'a+ Formule u% mo!elo !e pro(rama#*% l#%eal+ S%*$ O#/' Determ#%ar el %Bmero !e partes !e a!a t#po $ue !e&e fa&r#ar la ompa9'a para ma-#m#0ar la ut#l#!a!+ Var#a&les !e !e#s#*%) Q# > a%t#!a! !e partes # ?A/ @ a fa&r#ar+ Q7 > \ !e partes t#po A Q8 > \ !e partes t#po C.lulos para !eterm#%ar los oef##e%tes !e la fu%#*% o&"et#,o) T#po A ?Ut#l#!a! (e%era!a por u%#!a! t#po A Costo !e l.m#%a por u%#!a! t#po A Costo !e opera#*% para u%#!a! t#po A@
E%to%es)
?H: H8 ?H858: H784 7+:;:@@ ?H; ?H5+4 H5+: H5+:@@ ?H; H7+4@ 7+8
T#po ?Ut#l#!a! (e%era!a por u%#!a! t#po Costo !e l.m#%a por u%#!a! t#po Costo !e opera#*% para u%#!a! t#po @ E%to%es)
?H H; ?H855 H7;: 7+:8:@@ ?H; ?H5+: H5+ H5+@@ ?H; H7+@ 7+ F+ O+ Ma- U > 7+8Q7 7+Q8 Para pla%tear las restr##o%es es %eesar#o tomar omo &ase la u%#!a! pro!u#!a e% a!a proeso ?mol!eo+ Perfora!o 1 pul#!o@+ Por e"emplo/ s# e% el proeso !e mol!eo para la parte t#po A/ se proesa% 8: u%#!a!es por 3ora/ se re$uer#r. 78: !e 3ora para pro!u#r u%a sola u%#!a! !e este t#po+ I(ual se alulo para los oef##e%tes !e las restr##o%es para el t#po ) X 1 &'
+
X & ()
≤1
Lo $ue s#(%#f#a la !es#(ual!a! a%ter#or es $ue la om&#%a#*% !e Q 7 1 Q8 $ue se !e#!a pro!u#r/ %o !e&e e-e!er la apa#!a! !e mol!eo !e por 3ora+ Por e"emplo/ s# se !e#!e pro!u#r 8: u%#!a!es !e Q 7/ e%to%es %o se pue!e pro!u#r %#%(u%a u%#!a! !e t#po / Q 8>5 Los tJrm#%os !e la !es#(ual!a! se pue!e% a(rupar/ as') X X *&'+ 1 + & ≤ 1*&'+ &' ()
*()+ X 1 +
&' X &
() X 1 + &' X &
⇒ X +
≤ &'*()+, ()
&' X &
1
()
≤ &'
finalmente se obtiene :
#e stricciones para Moldeo
S#(u#e%!o el proe!#m#e%to !e ma%era s#m#lar para el resto !e restr##o%es/ se o&t#e%e) ;:Q7 84Q8 > 45 Restr##o%es para Perfora!o 8:Q7 ;:Q8 > 4: Restr##o%es para Pul#!o Restr##*% !e %o %e(at#,#!a!) Q# > 5 7@ A su empresa 3a lle(a!o u% pe!#!o !e ;:55 u%#!a!es !e #erto pro!uto/ el ual pue!e uste! ma%ufaturar e% ual$u#era !e uatro m.$u#%as/ o% las s#(u#e%tes arater'st#as) MGHUINA
COSTO FIJO DE ALISTAMIENTO (9)
7 8
7:5 :5
COSTO DE RODUCCI4N (98$a) 7: ;
CAACIDAD ACTUAL (U$a#&) 7:55 855
;
;55 :85
+: 8
7455 7755
Formule u% mo!elo !e PL para !eterm#%ar e% u.les m.$u#%as !e&e uste! pro!u#r el pe!#!o 1 la a%t#!a! a pro!u#r e% a!a m.$u#%a/ o% el o&"eto !e m#%#m#0ar la suma !e los ostos f#"os !e al#stam#e%to 1 los ostos ,ar#a&les !e pro!u#*%+ S%*$ FUNCION O3JETIO M$m!a" *&/& ARIA3LES B = U$a#& a -"*" #$ %a& m2$a& = 1, :, 7, ; Y = C&/& f& #$ %a& m2$a& = 1, :, 7, ; F.O. = 1>B1 +7B: +?.>B7 + :B; + 1>0Y1 + ;>0Y: + 700Y7 + >:0Y; RESTRICCIONES B1 + B: + B7 + B; = 7>00 B1 1>00Y1 B: :00 Y: B7 1@00Y7 B; 1100Y; B, Y K 0 74@ El !epartame%to !e pol#'a !e la #u!a! !e Cal# est#ma los s#(u#e%tes re$uer#m#e%tos m'%#mos !#ar#os !e pol#'as) ORAS DEL DA :6 610 101; 1;1@ 1@:: :::
ERODO 7
MINIMO DE OLICIAS REHUERIDOS 85
8 ; :
:5 45 755 5 ;5
Note uste! $ue el per#o!o 7 s#(ue #%me!#atame%te al per#o!o + Ca!a pol#'a tra&a"o 4 3oras o%seut#,as+ El !epartame%to !e pol#'a &usa u% pro(rama !e tra&a"o !#ar#o $ue emplee el me%or %Bmero !e pol#'as e% el !epartame%to/ te%#e%!o prese%te a!a u%o !e los re$uer#m#e%tos a%ota!os+ S%*$ FUNCION O3JETIO M$m!a" #% $Pm#" # -%*Qa& ARIA3LES B = # -#"&$a& 2# &# "#2#"# -a"a *aa -#" = 1 = :6, : = 610, 7= 101;, ; = 1;1@, > = 1@::, 6 = ::: RESTRICCIONES
B1 + B: K :0 B: + B7 K >0 B7 + B; K @0 B; + B> K 100 B> + B6 K ;0 B6 + B1 K 70
B1 K 0
7@ La ompa9'a ]ets6# ]ater S6# es la m.s (ra%!e pro!utora !e s6#s para a(ua/ e-#ste u%a est#ma#*% !e alta !ema%!a/ o% u% m.-#mo e% los meses !e ,era%o 1 u% m'%#mo e% los meses !e #%,#er%o+ Co%o#e%!o los ostos 1 el pro%*st#o por tr#mestre formule u% pro(rama !e pro(rama#*% l#%eal $ue m#%#m#e los ostos 1 sat#sfa(a la !ema%!a+ TRIMESTRE
RON4STICO DE ENTAS (U$a#&)
1 : 7 ;
>0.000 1>0.000 :00.000 >:.000
Costo !e lle,ar #%,e%tar#o Pro!u#*% por emplea!o Fuer0a !e tra&a"o re(ular Capa#!a! e% 3oras e-tras Capa#!a! !e su&o%tratar ?ma$u#la@ Costo !e pro!u#*% re(ular Costo !e pro!u#*% e% 3oras e-tras Costo !e pro!u#*% su&o%trata!a
H;/55 Por par !e s6#s por tr#mestre 7+555 pares !e s6#s por tr#mestre :5 tra&a"a!ores :5+555 pares !e s6#s 5+555 pares !e s6#s H:5/55 por par !e s6#s H:/55 por par !e s6#s H4:/55 por par !e s6#s
S%*$ "**$ mxma -" /"m#&/"# *$ %a f#"!a # /"aa "#%a" 7+555 ?ParesEmplea!o@2:5?Emplea!os@ > :5+555 ps6#s+ ARIA3LES DE DECISI4N B > Pares !e s6#s a fa&r#ar o% la fuer0a !e tra&a"o re(ular e% el tr#mestre " Js#mo+ > Pares !e s6#s a fa&r#ar e% 3oras e-tras e% el tr#mestre "Js#mo+ M > Pares !e s6#s a fa&r#ar o% su&o%tratos e% el tr#mestre "Js#mo+ I > U%#!a!es e% #%,e%tar#o al f#%al !el tr#mestre "Js#mo+ D$# J = 1, :, 7 y ; a"a m$m!a" *&/& #% I0 = 0 y I; = 0. FUNCI4N O3JETIO M$m!a" = >0(B1 + B: + B7 + B;) + ?>(1 + : + 7 + ;) + @>(M1 + M: + M7 + M;) + 7(I1 + I: + I7) S#/ a B1 + 1 + M1 = >0.000 + I1 I1 +B: + : + M: = 1>0.000 + I: I: +B7 + 7 + M7 = :00.000 + I7 I7 +B; + ; + M; = >:.000 B = >0.000
= M = I ,B , , M =
>0.000 ;0.000 0
85@ Ram*% 1 %os+ S+A+ fa&r#a se#s pro!utos !#fere%tes e% su pla%ta !e Sa%to Dom#%(o+ El proeso pro!ut#,o re$u#ere $ue se use% uatro !epartame%tos+ Los !atos pert#%e%tes aparee% a o%t#%ua#*%/ ?e% 3oras u%#!a!@) "*/ A 3 C D E F D#spo%#&le Costo 3ora o#o
D-/. 1
D-/. :
D-/. 7
D-/. ;
7 8 7 ; 7 855 H:
7 8 8 7 ; 745 4
7 4 ; 8 7 ;55
; 8 ; 85
3#$#f* 8 $a H7: 85 7 74 75 7 oras
BA + :0B3 + 16BC + 1@BD + 10BE + 1;BF (>Y1 + @Y: + ?Y7 + 6Y;) 98U$BU$98"a*Y "a* = 9 S#/ a C1 = C:
=
C7
=
C;
=
"a& &-$%#& #$ #% D-/. 1 BA+ :B3 + BC + 7BE + BF = :00
"a&
"a& &-$%#& #$ #% D-/. : BA + :B3 + :BD + BE + 7BF = 1@0
"a&
"a& &-$%#& #$ #% D-/. 7 BA+ @B3 + 7BC + :BE + BF = 700 "a& "a& &-$%#& #$ #% D-/. ; ;BA + 7B3 + :BC + 7BD + ;BF = :;0 "a&
R#&/"**$#& -" "a&O* #$ %& #-a"/am#$/& C>
=
"a& O* #$ #% D-/. 1 Y1 = :00 (BA+:B3 + BC + 7BE + BF)
"a&
C6
=
"a& O* #$ #% D-/. : Y: = 1@0 (BA + :B3 + :BD + BE + 7BF)
"a&
C?
=
"a& O* #$ #% D-/. 7 Y7 = 700 (BA+ @B3 + 7BC + :BE + BF)
"a&
C@
=
"a& O* #$ #% D-/. ; Y; = :;0 (BA+ @B3 + 7BC + :BE + BF)
"a&
R#&/"**$ # N N#a/'a B , Y1 = 0 87@ Rea! t3#s ase a%! ma6e t3e orrespo%!#%( mo!el+ A fur%#ture e%terpr#se 3as t3ree ma%ufatur#%( pla%ts [3#3 re$u#re :55/ 55 a%! 55 to%s of [oo! [ee6l1+ All ma%ufatur#%( pla%ts a% &u1 t3e [oo! from t3ree !#ffere%t suppl#ers+ T3e f#rst t[o suppl#ers 3a,e ,#rtuall1 a% u%l#m#te! apa#t1/ [3#le t3e t3#r! o%e a% %ot suppl1 more t3a% 7;5 to%s per [ee6+ T3e f#rst suppl#er uses ra#lroa! as a tra%sportat#o% mo!e/ a%!/ #% t3#s ase/ t3ere #s %ot [e#(3t l#m#tat#o% #% tra%sportat#o%+ O% t3e ot3er 3a%!/ t3e ot3er t[o suppl#ers use tru6s as a [a1 of tra%sportat#o% a%! ea3 tru6 3as a apa#t1 of ; to%s as a ma-#mum [e#(3t to &e !el#,ere! to t3e pla%ts+ T3e follo[#%( ta&le s3o[s t3e tra%sportat#o% ost #% Hto%/ a%! t3e ma%a(er #%terest #s to selet t3e tra%sportat#o% mo!e [3#3 #mpl1 t3e selet#o% of suppl#ers+ Suppl#er 7 Suppl#er 8 Suppl#er ;
Pla%t 7 8 8/: ;
Pla%t 8 ; ;/
Pla%t ; : ;/ 8/;
S%*$ O#/' Sele#o%ar el mo!o !e tra%sporte $ue #mpl#$ue la sele#*% !e pro,ee!ores 1 m#%#m#e los ostos+ D#f$*$ # 'a"a%#&
x ij > Ca%t#!a! !e to%ela!as !e ma!era a tra%sportar !es!e el pro,ee!or
i *s1 , s& , s- + a la pla%ta
j *p1 , p& , p- + +
T- # a"a%#& Var#a&les e%teras
x ij ≥ 5 / e%teras
Y# > Var#a&le #%ar#a !e sele#*% 7/ sele#o%a ! i = 5/ %o sele#o%a Para sele#o%ar solo u% mo!o !e tra%sporte F$*$ O#/' M#%+ C > 8 x s7p7 + ;- s7p8 + :- s7p; + 8+:- s8p7 + - s8p8 + ;+G- s8p; +;- s;p7 + ;+- s;p8 + 8+;- s;p;
U=
H 2 Ton ⇒ H To%
S#/ a R#&/"**$ -" R#2#"m#$/& # %a& -%a$/a& planta 7/ 7 = - s7p7 + - s8p7 + - s;p7 = :55 planta 8/ 8 = - s7p8 + - s8p8 + - s;p8 planta ;/ ; = - s7p; + - s8p; + - s;p;
[ To% > To% ] = 55 [ To% > To% ] = 55 [ To% > To% ]
R#&/"*$#& -" Ca-a*a # %& -"'##"#& Supo%emos M > u% %Bmero mu1 (ra%!e
= xs7p7 + - s7p8 + - s7p; ≤ " 7 : = xs 8 p7 + - s8p8 + - s8p; ≤ " 8 D = xs ; p7 + - s;p8 + - s;p; ≤ 7;5 " 8
[ To% > To% ] [ To% > To% ] [ To% > To% ]
R#&/"**$ # #*&$) para ele(#r u% s*lo mo!o !e tra%sporte/ supo%#e%!o $ue se sele#o%a u% s*lo mo!o !e tra%sporte+
G = " 7 1 8 = 7 R#&/"**$ # N N#a/'a C4 > X ij ≥ 5
88@ SUCAFE/ pro!ue 1 !#str#&u1e !os t#pos !e afJ a los supermera!os !e la #u!a!) %ormal 1 proesa!o+ Para Jste mes suafe t#e%e 745 to%ela!as !e (ra%o !e afJ e% #%,e%tar#o 1 t#e%e pro(rama!as 3asta :5 3oras !e t#empo !e proesam#e%to para el tosta!o+ Ca!a to%ela!a !e afJ %ormal %ees#ta u%a to%ela!a !e (ra%o/ !os 3oras !e tosta!o 1 pro!ue u%a (a%a%#a !e H4+555+ Ca!a to%ela!a !e afJ proesa!o %ees#ta tam&#J% u%a to%ela!a !e (ra%o pero %ees#ta uatro 3oras !e tosta!o 1 pro!ue u%a (a%a%#a !e H+555+ Pla%tee u% mo!elo e pro(rama#*% l#%eal $ue le perm#ta a SUCAFE pla%ear su pro!u#*% para este mes+ • Def#%a el pro&lema e% forma ompleta+ • I!e%t#f#$ue ompletame%te las ,ar#a&les !e !e#s#*%+ • I!e%t#f#$ue la fu%#*% o&"et#,o+ • Co%stru1a el mo!elo orrespo%!#e%te/ 3a#e%!o u% &ala%e !e las u%#!a!es ut#l#0a!as+ SOLUCI4N.
DEFINICIÓN DEL PROLEMA) Suafe !esea o%oer la a%t#!a! !e to%ela!as $ue !e&e pro!u#r !e !os t#pos !e afJ e% el pr*-#mo mes para ma-#m#0ar las (a%a%#as+ IDENTIFICACIÓN DE VARIALES) Q7) NBmero !e to%ela!as a pro!u#r !e afJ Normal e% el pr*-#mo mes+ Q8) NBmero !e to%ela!as a pro!u#r !e afJ proesa!o e% el pr*-#mo mes+ IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OKETIVO) Ga%a%#as totales > Ga%a%#as afJ Normal Ga%a%#as afJ proesa!o+ Ma- Ga%a%#as > 4+555 Q7 +555 Q8
XH
IDENTIFICACIÓN DE RESTRICCIONES) Q7 Q8 8Q7 Q8 ?Q7/ Q8@
^ 745 ^ :5 _ 5
Xto%ela!as Gra%o !e afJ X3oras T#empo !e tosta!o No %e(at#,#!a!
8;@ Como (ere%te !e u%a aso#a#*% !e empresas para el re#la"e e% la re(#*% 3a s#!o as#(%a!o para tomar la !e#s#*% !e a $u#e% !e&e ,e%!erse u%os !esper!##os !e metal $ue fuero% reoleta!os+ Dos empresas) Metales Lt!a+ 1 #erros U%#!os/ est.% #%teresa!os e% la ompra !e los !esper!##os+ La pr#mera empresa/ $ue pa(a la to%ela!a !e metal a) H:55 %o esta #%teresa!a e% omprar mas !e :55 to%ela!as/ e% am&#o la se(u%!a/ $ue esta !#spuesta a pa(ar H55 por to%ela!a !e metal/ ofree omprar u% l'm#te m.-#mo !e 55 to%ela!as+ S#% em&ar(o la f#%a%#a#*% loal 3a l#m#ta!o las ompras formula%!o la s#(u#e%te o%!##*%) La a%t#!a! !e !esper!##o ,e%!#!a a la empresa Metales Lt!a+ NO pue!e superar el !o&le !e la a%t#!a! ,e%!#!a a #erros U%#!os+ Co%o#e%!o $ue la aso#a#*% !e empresas !#spo%e !e 7+555 to%ela!as !e !esper!##os met.l#os/ formule u% mo!elo !e pro(rama#*% l#%eal $ue perm#ta ala%0ar la me"or !e#s#*% para el (ere%te+ SOLUCI4N. DEFINICIÓN DEL PROLEMA) Como (ere%te !esea o%oer el %Bmero !e to%ela!as !e !esper!##o $ue !e&e ,e%!er a a!a u%a !e las empresas para as' ma-#m#0ar los #%(resos por ,e%tas+ IDENTIFICACIÓN DE VARIALES) Q7) NBmero !e to%ela!as !e !esper!##o a ,e%!er a la empresa Metales Lt!a+ Q8) NBmero !e to%ela!as !e !esper!##o a ,e%!er a la empresa #erro U%#!os+ IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OKETIVO) I%(resos totales > Ve%tas a Metales Lt!a+ 1 a #erro U%#!os+ Ma- I%(resos > :55 Q 7 55 Q8
XH
IDENTIFICACIÓN DE RESTRICCIONES) Q7
^ :55
Xto%ela!as
Compra Metales Lt!a
Q8 Q7 8Q8 Q7 Q8 ?Q7/ Q8@
^ ^ ^ _
55 5 7+555 5
Xto%ela!as Compra #erro U%#!os Xu%#!a!es Rela#*% !e ,e%ta Xto%ela!as D#spo%#&#l#!a! !esper!##os No %e(at#,#!a!
8@ RADIOLOCO/ fa&r#a !os t#pos !e ra!#os+ El B%#o reurso esaso $ue se %ees#ta para pro!u#r los ra!#os es la ma%o !e o&ra+ Atualme%te la empresa t#e%e !os tra&a"a!ores+ El tra&a"a!or A esta !#spuesto a tra&a"ar 3asta 5 3oras a la sema%a 1 se le pa(a H75+555 la 3ora+ El tra&a"a!or esta !#spuesto a tra&a"ar 3asta :5 3oras a la sema%a 1 se le pa(a H78+555 la 3ora+ E% la s#(u#e%te ta&la se prese%ta% los pre#os as' omo los reursos %eesar#os para o%stru#r a!a t#po !e ra!#o+ T#empo ut#l#0a!o ?oras@ Costo mater#a Pre#o !e ,e%ta pr#ma ?Hu%#!a!@ ?Hu%#!a!@ Operar#o A Operar#o Ra1
7
8
75+555
:5+555
Ra :
8
7
4+555
+555
Como As#ste%te !el Departame%to !e I%,est#(a#*% !e Opera#o%es !e RADIOLOCO/ uste! %ees#ta !eterm#%ar u% pla% !e pro!u#*% *pt#mo para esta sema%a+ SOLUCI4N. DEFINICIÓN DEL PROLEMA) Ra!#*loo !esea o%oer el %Bmero !e ra!#os $ue !e&e pro!u#r e% la sema%a para ma-#m#0ar sus ut#l#!a!es+ IDENTIFICACIÓN DE VARIALES) Q7) NBmero !e ra!#os t#po 7 a pro!u#r e% la sema%a Q8) NBmero !e ra!#os t#po 8 a pro!u#r e% la sema%a IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OKETIVO) Ut#l#!a!es totales > Ve%ta ?ostos !e ma%o !e o&ra ostos mater#a pr#ma@ RADIO 7 > :5+555 X?75+55527@ ?78+55528@ 75+555 > +555 Ma- > +555 Q 7 +555Q8
XH
IDENTIFICACIÓN DE RESTRICCIONES) Q7 8Q8 8Q7 Q8 ?Q7/ Q8@_
^ ^ 5
5 X3oras :5 X3oras No %e(at#,#!a!
Operar#o A Operar#o
8:@ U% (ra%"ero posee 855 er!os $ue o%sume% 5 l&+ !e om#!a espe#al to!os los !'as+ El al#me%to se prepara omo u%a me0la !e ma'0 1 3ar#%a !e so1a o% las s#(u#e%tes ompos##o%es) L#&ras por l#&ra !e al#me%to Al#me%to
Ca%*
"/#Q$a
F"a
C&/ (98%.)
MaQ! a"$a # &ya
5+557 5+558
5+5 5+5
5+58 5+5
;+555 +555
Los re$u#s#tos !#ar#os !e al#me%to !e los er!os so%) Cua%!o me%os 7 !e al#o Por lo me%os ;5 !e prote'%a M.-#mo : !e f#&ra Determ#%e la me0la !e al#me%tos $ue !e&e usar el (ra%"ero para me"orar la pro!u#*% !e er!os+ SOLUCI4N. DEFINICIÓN DEL PROLEMA) El (ra%"ero %ees#ta o%oer la a%t#!a! !e l#&ras $ue !e&e usar e% la me0la !e a!a u%o !e los al#me%tos para m#%#m#0ar los ostos !e la pro!u#*% !e er!os+ IDENTIFICACIÓN DE VARIALES) Q7) NBmero !e l#&ras !e ma'0 $ue !e&e usar e% la me0la e% el !'a Q8) NBmero !e l#&ras !e 3ar#%a !e so1a $ue !e&e usar e% la me0la e% el !'a IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OKETIVO) Costos > Costos por l#&ra !e ma'0 ostos por l#&ra !e 3ar#%a !e so1a M#%#m#0ar > ;+555 Q 7 +555Q8
XH
IDENTIFICACIÓN DE RESTRICCIONES) Q7 Q8 5+557Q 7 5+558Q8 5+5Q7 5+5Q8 5+58Q7 5+5Q8 ?Q7/ Q8@_
> _ _ ^ 5
5 Xl#&ras 5+57 Xpore%ta"e 5+; Xpore%ta"e 5+5: Xpore%ta"e No %e(at#,#!a!
D#spo%#&#l#!a! !e al#me%to Cal#o Prote'%a F#&ra
8@ Cosmet# Plus pro!ue el perfume SENSACIÓN/ el ual re$u#ere pro!utos $u'm#os 1 ma%o !e o&ra+ E-#ste% !os proesos !e pro!u#*%/ el proeso 7 tra%sforma u%a u%#!a! !e ma%o !e o&ra 1 8 u%#!a!es !e pro!utos $u'm#os e% ; o%0as !e perfume+ El proeso 8 tra%sforma 8 u%#!a!es !e ma%o !e o&ra 1 ; u%#!a!es !e pro!utos $u'm#os e% : o%0as !e perfume+ A osmet# plus le uesta H+555 a!$u#r#r u%a u%#!a! !e ma%o !e o&ra 1 H+555 omprar u%a u%#!a! !e pro!utos $u'm#os+ Se pue!e% o%se(u#r a%ualme%te 3asta 85+555 u%#!a!es !e ma%o !e o&ra 1 3asta ;:+555 u%#!a!es !e pro!utos $u'm#os+ Cosmet# ree $ue se pue!e% ,e%!er 7+555 o%0as !e perfume s#% real#0ar pu&l##!a!+ Para est#mular la !ema%!a/ osmet# plus pue!e o%tratar a la
top mo!el Clara L#0a+ Se le pa(a a Clara H45+555 por 3ora+ Se est#ma $ue a!a 3ora $ue Clara tra&a"a para la empresa/ la !ema%!a !el perfume se%sa#*% aume%ta e% 855 o%0as+ Ca!a o%0a !el perfume se%sa#*% se ,e%!e e% H7:5+555+ Formule u% mo!elo !e pro(rama#*% l#%eal para la s#tua#*% $ue prese%ta osmet# plus+ SOLUCI4N. DEFINICIÓN DEL PROLEMA) Cosmet# Plus !esea o%oer la me0la *pt#ma para el proeso !e pro!u#*% !el perfume se%sa#*% as' omo el %Bmero !e 3oras a o%tratar a la top mo!el/ !e tal ma%era $ue ma-#m#e sus ut#l#!a!es+ IDENTIFICACIÓN DE VARIALES) Q7) NBmero !e o%0as !el perfume se%sa#*% a pro!u#r e% el proeso 7 Q8) NBmero !e o%0as !el perfume se%sa#*% a pro!u#r e% el proeso 8 Q;) NBmero !e 3oras a o%tratar a la Top Mo!el+ IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OKETIVO) Ut#l#!a!es > Ve%ta ?ostos !e ma%o !e o&ra ostos !e pro!utos Wu'm#os ostos 3oras Top mo!el@ Ma- > :?;Q7 :Q8@ 555?Q7 8Q8@ 555?8Q 7 ;Q8@ 45+555Q;
XH
IDENTIFICACIÓN DE RESTRICCIONES) Q7 8Q8 8Q7 ;Q8 ;Q7 :Q8 ?Q7/ Q8/ Q;@
^ ^ ^ _
85+555 ;:+555 7+555 855 Q; 5
Xu%#!a!es Ma%o !e O&ra Xu%#!a!es Ptos Wu'm#os Xo%0as D!a perfume X%o %e(at#,#!a!
8@ U% (ra%"ero t#e%e tres f#%as e% #erta re(#*%+ La pro!u#*% !e a!a f#%a est. l#m#ta!a por el %Bmero !e 3et.reas 1 por la a%t#!a! !e a(ua !#spo%#&le+ Los !atos para la pr*-#ma s#em&ra so%) FINCA 1 : 7
ECTAREAS DISONI3LES 55 55 ;55
A5UA (m/&7)
DISONI3LE 7:55 m#les 8555 m#les 55 m#les
El (ra%"ero esta o%s#!era%!o la s#em&ra !e tres ose3as/ las uales !#f#ere% e% sus (a%a%#as espera!as por 3et.rea 1 e% sus re$u#s#tos por a(ua+ A!em.s/ el %Bmero total !e 3et.reas $ue Jl pue!e sem&rar !e a!a ose3a est. l#m#ta!o por el e$u#po $ue t#e%e+
COSECA
ECTGREAS DISONI3LES
A 3 C
55 455 ;55
REHUISITOS DE A5UA(m%#& # 7 m/& 8<#*/"#a : ;
5ANANCIA ESERADA OR ECTGREA (9) 55 ;55 755
Para ma%te%er u% %#,el !e tra&a"o u%#forme e% las f#%as/ el (ra%"ero t#e%e la pol't#a $ue el/ pore%ta"e !e 3et.reas sem&ra!as e% a!a f#%a t#e%e $ue ser el m#smo e% a!a u%a !e ellas+ S#% em&ar(o/ ual$u#er om&#%a#*% !e ose3as pue!e sem&rarse e% a!a f#%a+ El (ra%"ero !esea opt#m#0ar la pro!u#*% !e las ose3as ut#l#0a%!o omo 3erram#e%ta la pro(rama#*% l#%eal/ formule u% mo!elo !e pro(rama#*% l#%eal $ue a1u!e al (ra%"ero a ala%0ar Jste o&"et#,o+ SOLUCI4N. DEFINICIÓN DEL PROLEMA) El (ra%"ero !esea o%oer el %Bmero !e 3et.reas $ue !e&e ult#,ar !e tres ose3as e% tres f#%as/ esto le perm#te o%oer ual es la (a%a%#a total $ue ala%0ar'a+ IDENTIFICACIÓN DE VARIALES) Qij ) NBmero !e 3et.reas a ult#,ar !e la ose3a i e% la f#%a " ∴ i > ose3as/ CA/ C/ CC j > f#%as/ F7/ F8/ F; QCAF7 > NBmero !e 3et.reas a ult#,ar !e la ose3a A e% la f#%a 7+ IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OKETIVO) Ma-#m#0ar (a%a%#as totales > 55 ?Q CAF7/ QCAF8/ QCAF;@ ;55 ?QCF7/ QCF8/ QCF;@ 755 ?QCCF7/ QCCF8/ QCCF;@ XH IDENTIFICACIÓN DE RESTRICCIONES) •
Restr##o%es so&re !#spo%#&#l#!a! !e t#erra QCAF7 QCF7 QCCF7 QCAF8 QCF8 QCCF8 QCAF; QCF; QCCF;
•
^ ^ ^
F#%a 7 F#%a 8 F#%a ;
7+:55 X3et.reas 8+555 X3et.reas 55 X3et.reas
F#%a 7 F#%a 8 F#%a ;
Pol't#a !e s#em&ra para las f#%as QCAF7 QCAF8 QCAF; QCF7 QCF8 QCF; QCCF7 QCCF8 QCCF;
•
X3et.reas X3et.reas X3et.reas
Restr##o%es so&re !#spo%#&#l#!a! !e t#erra :QCAF7 QCF7 ;QCCF7 ^ :QCAF8 QCF8 ;QCCF8 ^ :QCAF; QCF; ;QCCF; ^
•
55 55 ;55
^ ^ ^
55 455 ;55
X3et.reas X3et.reas X3et.reas
Cose3a A Cose3a Cose3a C
Pore%ta"e !e s#em&ra para las ose3as e% las f#%as+ X CA 1 + X C! 1 X CC1 ())
=
X CA & + X C! & X CC - ))
55 ?QCAF7 QCF7 QCCF7@ 55 ?QCAF8 QCF8 QCCF8@ > 5 ;55 ?QCAF8 QCF8 QCCF8@ 55 ?QCAF; QCF; QCCF;@ > 5 ∀ X ij ≥ )
No %e(at#,#!a!
84@ U% (ra%"ero !e la sa&a%a !e o(ot. ult#,a tr#(o 1 ma'0 e% su (ra%"a !e : 3et.reas+ Pue!e ,e%!er a lo m.s a 75 &ultos !e tr#(o 1 a lo m.s 785 &ultos !e ma'0+ Ca!a 3et.rea ult#,a!a pro!ue : &ultos !e tr#(o o &ultos !e ma'0+ El tr#(o se ,e%!e a H;5+555 el &ulto 1 el ma'0 a H:5+555 el &ulto+ Se %ees#ta% 3oras !e ma%o !e o&ra para ose3ar u%a 3et.rea !e tr#(o 1 75 3oras !e ma%o !e o&ra para ose3ar u%a 3et.rea !e ma'0+ Se pue!e% a!$u#r#r ;:5 3oras !e ma%o !e o&ra a H75+555 la 3ora+ Formule u% mo!elo !e pro(rama#*% l#%eal $ue le perm#ta al (ra%"ero pro(ramar la pro!u#*% !e ma'0 1 tr#(o+ SOLUCI4N. DEFINICIÓN DEL PROLEMA) El (ra%"ero !esea o%oer el %Bmero !e 3et.reas !e ma'0 1 tr#(o a ult#,ar/ as' omo el %Bmero !e 3oras !e ma%o !e o&ra a ut#l#0ar e% la ose3a !e tal ma%era $ue se ma-#m#e% las ut#l#!a!es totales+ IDENTIFICACIÓN DE VARIALES) Q7) NBmero !e 3et.reas !e tr#(o a ult#,ar Q8) NBmero !e 3et.reas !e ma'0 a ult#,ar Q;) NBmero !e 3oras !e ma%o !e o&ra a o%tratar para la ose3a+ IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OKETIVO) Ut#l#!a!es totales > ,e%tas ostos !e ma%o !e o&ra Ma-+ UT > 7:5+555Q7 855+555Q8 75+555Q; IDENTIFICACIÓN DE RESTRICCIONES) •
Total ult#,os !e ma'0 1 tr#(o Q7 8Q8
•
^ 75
^ 785
Xultos
L'm#te !e 3oras ut#l#0a!as Q7 75Q8 Q;
•
Xultos
L'm#te ult#,o !e ma'0 Q8
•
X3et.reas
L'm#te ult#,o !e tr#(o :Q7
•
^ :
^ 5 X3oras
L'm#te !e 3oras a o%tratar Q;
^ ;:5
X3oras
XH
•
No %e(at#,#!a! ?Q7/ Q8/ Q;@
_ 5
8@ Co% ru&'es 1 0af#ros la Ko1er'a Dora!a pro!ue tres t#pos !e a%#llos+ El a%#llo t#po 7 re$u#ere 8 ru&'es/ ; 0af#ros 1 7 3ora !e tra&a"o !e u% "o1ero+ El a%#llo t#po 8 re$u#ere ; ru&'es/ 8 0af#ros 1 8 3oras !e tra&a"o !e u% "o1ero+ Ca!a a%#llo t#po 7 se ,e%!e a H55+555 1 a!a a%#llo t#po 8 se ,e%!e a H:55+555+ Atualme%te la "o1er'a !#spo%e !e 755 ru&'es/ 785 0af#ros 1 5 3oras !e tra&a"o !e u% "o1ero+ Se pue!e% omprar m.s ru&'es a u% osto !e H45+555 el ru&'+ La !ema%!a !el mera!o re$u#ere u%a pro!u#*% !e por lo me%os 85 a%#llos t#po7 1 por lo me%os 8: a%#llos t#po8+ Formule la s#tua#*% !e la "o1er'a omo u% mo!elo !e pro(rama#*% l#%eal+ SOLUCI4N. DEFINICIÓN DEL PROLEMA) La "o1er'a !esea !eterm#%ar el %Bmero !e a%#llos t#po 7 1 t#po 8 a pro!u#r/ as' omo el %Bmero !e ru&'es a omprar para ma-#m#0ar sus ut#l#!a!es totales+ IDENTIFICACIÓN DE VARIALES) Q7) NBmero !e a%#llos t#po 7 a pro!u#r Q8) NBmero !e a%#llos t#po 8 a pro!u#r Q;) NBmero !e ru&'es a omprar+ IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OKETIVO) Ut#l#!a!es totales > ,e%tas ostos !e ompra !e ru&'es Ma-+ UT > 55+555Q7 :55+555Q8 45+555Q; XH IDENTIFICACIÓN DE RESTRICCIONES) •
D#spo%#&#l#!a! !e ru&'es 8Q7 ;Q8 Q;
•
Xu%#!a!es 0af#ros
^ 5
X3oras
_ ;:5
Xu%#!a!es
Re$uer#m#e%to pro!u#*% a%#llos t#po 8 Q8
•
^ 785
Re$uer#m#e%to pro!u#*% a%#llos t#po 7 Q7
•
Xu%#!a!es ru&'es
D#spo%#&#l#!a! !e 3oras !el "o1ero Q7 8Q8
•
755
D#spo%#&#l#!a! !e 0af#ros ;Q7 8Q8
•
^
_ ;:5
No %e(at#,#!a!
Xu%#!a!es
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