1. Considere el modelo de ecuaciones simultáneas: y1t = 11 x1t + u1t y2t = 12 y1t + 22 x2t + u2t y3t = 13 y1t + 23 y2t + 23 x2t + 33 x3t + u3t a) Analice la identificación de las ecuaciones del modelo. Qué método sugiere para la estimación de los coeficientes de cada ecuación. b) Se dispone de la in formación de de la matriz de productos en desviaciones desviaciones de media para una muestra de 20 observaciones:
(X´X)-1 =
y1
y2
y3
x1
x2
x3
y1
10
-4
3
6
-1
3
y2
-4
16
-2
4
2
-2
y3
3
-2
9
1
3
4
x1
6
4
1
12
-8
3
x2
-1
2
3
-8
20
4
x3
3
-2
4
3
4
16
0.1350
0.0622
-0.0409
0.0622
0.0813
-0.0320
-0.0409
-0.0320
0.0782
Para los coeficientes de la ecuación 2, obtener: b1) El estimador de MC2E b2) La matriz de covarianzas de los estimadores.
DESARROLLO:
1°Considere el modelo de ecuaciones simultáneas: y1t = 11 x1t + u1t y2t = 12 y1t + 22 x2t + u2t y3t = 13 y1t + 23 y2t + 23 x2t + 33 x3t + u3t
a. Analice la identificación de las ecuaciones del modelo. Qué método sugiere para la estimación de los coeficientes de cada ecuación.
Para conocer si las ecuaciones del modelo de ecuaciones simultáneas están identificadas se debe acudir a las llamadas condiciones de orden y de rango de identificación. En la cual, si bien la primera es una condición necesaria, no es suficiente para identificar a una ecuación. Sin embargo, con la ayuda de las condiciones de rango podemos asegurarnos de que una ecuación sea efectivamente identificada, pues será una condición necesaria y suficiente. Antes que nada, debemos recordar la condición de orden para la identificación:
En un modelo de N ecuaciones simultáneas (N variables endógenas), para que una ecuación esté identificada, el número de variables predeterminadas excluidas de esa ecuación no debe ser menor que el número de variables endógenas incluidas en la ecuación menos 1; es decir,
− ≥ −1
Donde: K: Número de variables predeterminadas en el modelo. k: Número de variables predeterminadas en una ecuación. n: Número de variables endógenas en una ecuación. Si K-k=n-1, la ecuación está exactamente identifi cada, pero si sobreidentificada.
− > −1
, estará
En el caso de nuestro modelo, esta tiene 3 va riables endógena y 3 exógenas.
− ≥ −1 − ≥ −1 − ≥ −1
ecuación:
2> 0
ecuación:
ecuación:
y1t = 11 x1t + u1t
Sobreidentificada.
y2t = 12 y1t + 22 x2t + u2t
2> 1
Sobreidentificada.
y3t = 13 y1t + 23 y2t + 23 x2t + 33 x3t + u3t
1< 2
No identificada.
A pesar de tener estos resultados, aún no podemos estar seguros si efectivamente estas ecuaciones están identificadas, por lo que continuaremos con las condiciones de rango: Se dice que en un modelo que contiene N ecuaciones en N variables endógenas, una ecuación está identificada sí y solo si puede construirse por lo menos un determinante diferente de cero, de orden (N-1)(N-1), a partir de los coeficientes de las variables (endógenas y predeterminadas) excluidas de esa e cuación particular, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo.
ecuación:
-y1t +11 x1t + u1t =0
Coeficientes de las variables # de ecuaciones 1era
y1
y2
y3
x1
x2
x3
0
0
0
0
2da
12 -1
0
0
0
3era
13 23
-1
0
-1
Para que esta ecuación esté identificada, se debe obtener por lo menos un determinante diferente de cero de orden 2x2, a partir de los coeficientes de las variables excluidas de esta ecuación, pero incluidas en otras.
Tenemos nuestra matriz A :
= −13 −10
0 3 33 4
El rango de matriz A es 2 y esta es igual a N-1 (que también es igual a 2). Concluimos que la ecuación 1 está sobreidentificada.
# de ecuaciones 1era
ecuación:
y1 -1
-y2t +12 y1t + 22 x2t + u2t =0
Coeficientes de las variables y2 x2 y3 x1 x3 0
0
0
0
2da
12 -1
0
0
0
3era
13 23
-1
0
Tenemos una matriz B :
= −10 0 0333
El rango de matriz B es 2 y esta es igual a N-1 (que también es igual a 2). Concluimos que la ecuación 2 está sobreidentificada.
ecuación: -y3t+13 y1t + 23 y2t +23 x2t + 33 x3t +
u3t =0
# de ecuaciones 1era
y1
Coeficientes de las variables y3 x2 y2 x1 x3 0
0
0
0
2da
12 -1
0
0
0
3era
13 23
-1
0
-1
= [ 0]
El rango de matriz C es 1 y esta es menos a N-1 (que es igual a 2). Concluimos que la ecuación 3 no está identificada. FInalmente, tenemos 2 métodos como opciones : Mínimos cuadrados indirectos y Mínimos cuadrados en 2 etapas. Empero, el primero solo se aplicaría en el caso de que estén exactamente identificados: se obtienen las estimaciones de los coeficientes estructurales a partir de las estimaciones por MCO de los coeficientes en forma reducida. Por ende, debemos aplicar el método de mínimos cuadrados en 2 etapas. Aunque debemos tener en cuenta que tiene una desventaja : en muestras pequeñas, el procedimiento de MC2E puede conducir a estimaciones sesgados.
b.1) Estimador de Mínimos Cuadrados en 2 etapas:
Z2´X =
X´Z2 =
6 -8
-1 20
6 -1 3
-8 20 4
3 4
matriz Z2´X(X´X)-1 X´Z2: 0.6251 0.196 0.021 0.0004 1 0
[ Z2´X(X´X)-1 X´Z2]-1=
6 -1 3
-8 20 4
0.28 0.01 0.01 0.05
matriz Z2´X(X´X)-1 X´Y2: 0.6251 0.196 0.021 0.0004 1 0
4 2 = -2
2.85 2.002
a2*(MC2E) =
0.827 0.141
entonces la ecuación estimada: y2t = 0.83y1t + 0.14x2t + u2t
2) Ecuación 2:
Z3´X =
X'Z3=
6 4 -8 3
-1 2 20 4
3 -2 4 16
6 -1 3
4 2 -2
-8 20 4
3 4 16
matriz Z3´X(X´X)-1 X´Z3 0.6251 0.7462 0.0004 -0.0006
0.1959 0.4754 1.0004 -0.0002
=
3.6183 2.8498 -0.998 2.9981
[ Z3´X(X´X)-1 X´Z3]-1=
0.0212 -0.384 0 1.0005
6 -1 3
4 2 -2
-8 20 4
2.8498 -0.998 2.9981 4.7036 2.0024 -2.0038 2.0024 20.0048 4.0028 -2.0038 4.0028 16.0054 3.9E+15 3.3E+15 7.9E+14 1.34E+15 3.3E+15 -3E+15 6.6E+14 -1.1E+15 7.9E+14 6.6E+14 1.6E+14 2.72E+14 1.3E+15 -1E+15 2.7E+14 -4.6E+14
matriz Z3´X(X´X)-1 X´Y3 0.6251 0.7462 0.0004 -0.0006
0.1959 0.4754 1.0004 -0.0002
a3*(MC2E) =
0.0212 -0.384 0 1.0005 1 -1 0.125 0.5
entonces la ecuación estimada: y3t = y1t - y2t + 0.125x2t + 0.5x3t + u3t
1 3 = 4
1.298 0.636 3.002 4.001
3 4 16
b.2)Estimación de la matriz de covarianza: σ22 = e2'e2/T-K = [y2'y2-a2'z2'y2]/(20-2) =1/18 [
16 -
0.827 0.14
-4 ] 2
=1/18 [
16 - -3.024 ]
σ22 =
1.057
σ33= e3'e3/T-K = [y3'y3-a3'z3'y3]/(20-4)
=1/16 [
9
-
1
-1
0.125
0.5
3 -2 3 4
]= 0.102 =1/16 [
9
-
7.375
e2'e3= (y2-z2a2)'(y3-z3a3) = y2'y3 -y2'z3a3 - a2'z2'y3 + a2'z2'z3a3 :
=
=
-2
-2
-
-4
-
20.75
=
16
-
2
-2
2.9 +
-2 -
1 -1 0.125 0.5
0.83
8.12456613 3.02369378 2.000068 3.045101
-20.8 -
2.9 +
= 28.82 σ12 = e1'e2/[(t-k1)(T-k2)]1/2 =1.7 Entonces:
S=
-
1.06
1.70
12.9208192
0.14
3 3 +
1 -1 0.125 0.5
1.70
0.10
