CONJUNTOS.DOC

COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE

5 TO Añ Año Secundaria

ARITMETICA / Si

TEOR2A DE CONJUNTOS

u n c on on ju jun to to t ie ien e =n> elementos elementos entonces entonces tendr5( tendr5( 7 n subconjuntos.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Intu Intuit itiv ivam amen ente te un conj conjun unto to es la reuni reunión, ón, colecc colección ión o agrupa agrupació ción n de objetos reales o ideales, a estos objetos se les les deno denomin mina a ELEM ELEMEN ENTO TOS S del del conjunto. Los Los conj conjun unto tos s gene genera ralm lmen ente te se denotan con letras maysculas !", #, $, %&' y sus elementos elementos separados separados por comas y encerrados entre llaves.

Se dice
∅ @ *a/ , *b/ , *a , b/ ∴ Numero de subconjuntos de B es( 77 ) ;

= A esta inclu4do en B> =A esta contenido en B> =A es subconjunto de B>

:'

Si(

" ) *p,
" ) *+, , -, / # ) *Las *Las 0niver 0niversid sidade ades s del del "

$ ) *a, b, ∆, 2/

B *8/ ∈ B *8/ ⊂ B **8// ⊂ B ***;/// ***;/// ⊂ B **;// ⊂ B ⊂ B ⊄

.r

.p .s

.<

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS o

en

Es cuan cuando do se pued pueden en indi indica carr e3pl4cita e3pl4citamente mente a cada uno de los e le lem en en to tos de un c on on ju junt o, o, enumer5nd enumer5ndolos olos o indic5nd indic5ndolos olos en 6orma sobre entendida. Ejemplos(

B

O($er+aci%n , "

II !or Co'*ren Co'*ren$i% $i%n n o en &or'a &or'a Con$#ruc#i+a Es cuando se menciona una o m5s c ar ar ac act er er 4s 4s ti ti ca cas c om om un un es es y e3cl e3clus usiv ivas as a los los elem elemen ento tos s del del conjunto.

# # # # # # #

% % % % % % %

!C' !C' !C' !C' !C' !D' !D'

B I0ua)dad Aos conjunt conjuntos os " y # son iguales iguales cuando tienen los m is ismos elementos sin importar el orden.

# ↔ ! ∀ 3 ∈ "' → 3 ∈ # " # ó #⊃"

∀( 1ara todo !$uanti?cador'

Se denota( " ) #

H

A1B

mismo mismo o es subcon subconjun junto to de s4 mismo.

A B B A

Ejemplo(

∀ " (

"

"

" ) *33 ∈ & ∧ 3 F 8 ) 3 7 B /

. El conjunto vac4o est5 incluido en

# ) *B8, ;/

todo conjunto.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

" ) *11 *11 es un nmero nmero primo primo ∧ 1:7/ # ) *3 7 3 ∈ N ∧ 3  9/ $ ) *33 es una vocal/

$onjunto )

Dormadel $aracter4s ticas elemento !1ropiedades'   Ejemplos( " ) *3 ;  !3 F 8' !3 F :' 3 !3B:' !3B8' ) H/

O($er+aci%n 3)B8 ( B: @ H @ : @ ∴ " ) *-: , : , H/

8

No#a No t od odo c on on ju junt o s e pue de de dete determ rmin inar ar por por e3ten 3tensi sión ón y comprensión a la veK.

Se de?ne(

- Todo Todo conjunto est5 incluido en s4

" ) *7, 8, 9, , ::/ # ) *:, ;, , :+, 79/ $ ) *a, e, i, o, u/

S3AR33B

A

&or'a or'a

# ) * 8, *8/, *;/, *;/, **;// /

Aar Aar su valo valorr de verd verdad ad de las las proposiciones( #

1er/

I !or !or E"#e "#en$i% n$i%n n Ta(u)ar

:7 ) B; 8

Es
Ejemplo 7(

Ejemplos(

Ejemplos(

B

Ejemplos( Ae la parte I

# ) *a, b/ Sub conjuntos de =#>(

Se denota. " ⊂ # Se lee(

3

Ejemplo :(

A Inc)u$i%n

NOCIÓN DE CONJUNTO

G7 B G G

RELACIÓN DE !ERTENENCIA !ERTENENCIA Si un obje objeto to es elem elemen ento to de un conjunto, se dice
Ae

S3AR33B

"(

3 F 8 F 3 7 B 

" ) *a, *a/, b, c/

“El nuevo símbolo de una buena educación...." educación...."

COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE a ∈ " e ∉ " *a/ ∈ "

*b/ ∉ " c ∈ " **c// ∉ "

5 TO Año Secundaria

ARITMETICA A

Ejemplos( " ) * 9, +, +, 9 / →

n

!"')7

n

Son regiones planas limitadas por ?guras geomtricas cerradas
!#' ) 7

@

# .;

" .:

" ) *:, -, 7, +;/

C Con6un#o$ Di7eren#e$ 8 9 .+;

.-



.7

O($er+aci%n

Ejemplo(

" y # son disjuntos ⇔ ∃ 33 ∈ " ∧ 3 ∉ #

Si (

Ejemplo(

" = { 7,8 ; } # = { 9, +, }

A B B A

# ) *H, :, 7, 8, ;/

NMERO CARDINAL

" y # son

Ae "( !3 R :'!3 R 7'!3 R 8' 3 ) H 3)H @ : @ 7 @ 8

Todos son nmeros complejos( $

.:

.7

.9

.

Con6un# E;ui*o#en#e$ Coordina()e$

R eales

.8

Aos conjuntos ser5n coordinables cuando el nmero de sus elementos son iguales.

A B


" = { :H,::,:7 } # = * m,n, p /

S3AR33B

=i

Imaginarios

Q acionales

Irracionales

< Enteros

Dracciones

negativoscero

positivos !Naturale 8N9

!ro*iedad:

Ejemplo(

Aos conjuntos " y # son comparables cuando sólo uno de ellos est5 incluido en el otro es decir(

8i

o

=1ara ablar de stos conjuntos de alguna 6orma, el proceso de contar sus elementos siempre termina> .

"

=

; B :H = ; :Hi

Co'*)e6o$

.+

.;

& .H

#

.7

e
" ) # ⇒ "  #

Imaginarios

D Con6un#o$ Co'*ara()e$ El nmero cardinal de un conjunto !"' nos indica la cantidad de elementos di6erentes
"

B8

.8

#

Pombres
#

B: "

Se observa
gr5?cas
CLASI&ICACIÓN DE LOS NMEROS ∴

Jr5?ca(

POMES M0QEES

Mujeres
" ⊂ # ⇒

" ) * 3!3R:'!3R7'!3R8' 3 ) H/

D0M"N NO D0M"N

Si (

disjuntos

Ejemplo( AI"J"M" AE LEIS $"OLL

Son representaciones sirven para indicar inclusión.

Se dice
Se de?ne(

A B

DIAGRAMAS LINEALES

∃ ( =E3iste alguno> !$uanti?cador'

Aos conjuntos son di6erentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento
Otro diagrama para representar gr5?camente a los conjuntos es(

A

E Con6un#o$ Di$6un#o$

!3R;'!3R8')H 3 ) R 8 ∨ ;

. B8

Ejemplo(

B

Si dos conjuntos son iguales, entonces son comparables@ lo contrario no siempre se cumple.

3); @ 9

"

%

O($er+aci%n:

# ) * 33 ∈ IN ∧ 8  3  + /

DIAGRAMAS DE 3ENN 4 EULER

B

Q R C ∴ " y # s o n O!ERACIONES ENTRE CONJUNTOS

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE I Uni%n o Reuni%n La unión de dos conjuntos ="> y =#> es el conjunto 6ormado por la agrupación de todos los elementos de ="> con todos los elementos de =#>. Notación( " ∪ # !" o #' Simbólicamente se de?ne(

A

B 1 =">" A " B?

!Elemento Neutro'

La intersección de dos conjuntos =">y =#> es el conjunto 6ormado por los elementos
A

= ∨  ó ( unión>

B 1 ">"

@ Di$#ri(u#i+a: " ∪ !# ∩ $' ) !" ∪ #' ∩ !" ∪ $' " ∩ !# ∪ $' ) !" ∩ #' ∪ !" ∩ $'

A " B

@ Le de A($orci%n: " ∪ !" ∩ #' ) " " ∩ !" ∪ #' ) "

=∧  y ( intersección>

" = { 7, 8 }   # = { 8, ; } 

" = { 8, ;, 9 }   # = { ;, 9, + } 

!OSICIONES RELATI3AS !ARA CONJUNTOS A Y B

#

#

"

"

#

0

#

Si ( # ⊂ " ⇒ " ∪ # ) "

!ro*iedade$: " ∪ # ) # ∪ " !$onmutativa' " ∪ !# ∪ $')!" ∪ #' ∪ $!"sociativa' " ∪ " ) " !Idempotencia'

1 n8B9

CLASES DE CONJUNTOS

0

"

A Con6un#o &ini#o 0n conjunto es ?nito, si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algn momento.

# 0

B A O($er+aci%n

n8A9

"

#

0

0

La di6erencia de dos conjuntos " y # !en ese orden' es el conjunto 6ormado por los elementos
2 Si ( # ⊂ " ⇒ " ∩ # ) # 2 Si ( " y # son conjuntos disjuntos ⇒ " ∩ # ) ∅

!ro*iedade$: " ∩ # ) # ∩ "

B Con6un#o Inni#o 0n conjunto es in?nito, si tiene una cantidad ilimitada de elementos di6erentes@ es decir el proceso de

!$onmutativa'


S3AR33B

nunca

Ejemplo( " ) *11 es un nmero primo/ # ) *33 ∈ I ∧ -  3  / $ ) *33 es una estrella del universo/

CONJUNTOS ES!ECIALES

Ejemplo( " ) * 33 es el actual IN$" 1er / # ) * 33 ∈ IN ∧   3  - /

del

= ∅> ó * / ⇒ " ) # ) ∅ ) * /

Notación(

No#a: El conjunto vac4o = ∅> subconjunto de todo conjunto.

es

- Con6un#o Uni#ario o Sin0)e#%n Es a
. Con6un#o Uni+er$a) 8 U 9

Ejemplo(

O($er+aci%n

elementos

Es a
IIIDi7erencia


"

0

" ∩ # ) *;, 9/

contar sus termina.

, Con6un#o Nu)o o 3aco

!" ∪ #' ⊂ $' ⇔ " ⊂ $ y # ⊂ $ Si ( " ⊂ # y $ ⊂ A ⇒ !" ∪ $' ⊂ !# ∪ A'

Ejemplo( " ∪ # ) *7, 8, ;/

∩ !# ∩ $')!" ∩ #' ∩ $!"sociativa' ∩ " ) " !Idempotencia' ∩ 0 ) " ∩ ∅ ) ∅ !Elemento Neutro'

!RO!IEDADES COM!LEMENTARIAS

O($er+aci%n

Ejemplo(

S3AR33B

ARITMETICA " " " "

II In#er$ecci%n

O($er+aci%n

"


" ∪ 0 ) 0 " ∪ ∅ ) "

Es un conjunto re6erencial para el estudio de una situación particular,

COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE # ) * 7, ;, 9, + / 1odr4an ser conjuntos universales


1!"' * φ , *7/,*8/, *7,8// =

 

0 ) * :, 7, 8, ;, 9, +,  / 0 ) * :, 7, 8, ;, 9, + / 0 ) * 33 ∈ IN /

nU1!"'V

5 Con6un#o !o#encia o Con6un#o de !ar#e$ Aado un conjunto ", el conjunto potencia de " est5 6ormado por toda la 6amilia de subconjuntos de ". Notación( 1 !"'

" ) * 7, 8 /

1!"')

Aeterminar el valor de verdad de cada proposición. " ) *∅,*∅/,**∅//,***∅//// B ∅ ∈ " %!C' B ∅ ⊂ " %!C' B **∅// ∈ " %!C' B **∅// ⊂ " %!C' B **∅// ∈ 1!"' %!C' B ***∅/// ⊂ 1!"' %!C' B ****∅//// ∈ 1!"' %!C'

*φ ,*a/, *b/,*c/,*c,b/,*a,c/,*b,c/, *a,b,c//                 ↓ vacio0nitarios #inarios Ternario

Notación( " R # Se lee( =" pero no #> !sólo "' Simbólicamente(

A 4 B =">" A " B? O($er+aci%n Si ( " ≠ # ⇒ " R # ≠ # R " Si ( " ) # ⇒ " R # ) # R " ) ∅

1 !"' V ) 78 ) -

Simbólicamente(


O($er+aci%n 2 S i un co nj unt o " ti ene =n> elementos entonces el nmero de subconjuntos de " es 7.


0

A 4 B O($er+aci%n

Ejemplo 7(

!8A91 =">" A?

S3AR33B

#

) 87

" ) * a, b, c /

n U

0

"

W subconjuntos propios de " ) 7 9 R : )8:

) ; ) 7 n!"' ) 77

Es a
Ejemplo(

0

nU1!"'V)7

/ Con6un#o de Con6un#o$ % 7a'i)ia de Con6un#o$

" ) * *9/ , *,/ , ∅ /

"

9

⇒ 0 ) *33 es americano/

Ejemplo(

# #

Si n!"')9 entonces el nmero de subconjuntos propios es(

Ejemplo(

" ) * 33 es peruano / # ) * 33 es colombiano / $ ) * 33 es me3icano/

"

Ejemplo :(

Subconjuntos 1ropiosde "

2 Jr5?camente el conjunto universal se representa generalmente mediante el rect5ngulo. Ejemplo(

ARITMETICA 2 Los subconjuntos propios de " son a
2 2

Si( # ⊂ " ⇒ # R " ) ∅ Si( " y # son conjuntos disjuntos "R#)" Ejemplo(

@

# R " )#

" = * 7,8, ; / 

  # = *8, ;,9,+ /

" − # = * 7/ # − " = *9,+ /

I3 Di7erencia Si'F#rica La di6erencia simtrica de dos conjuntos " y # es el conjunto 6ormado por los elementos
Simbólicamente se de?ne(

A B 1 =">" 8A 4 B9 " A9?

8B 4

ó

A B 1 =">" A " B?

B "

A


S3AR33B


COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE "

#

#


"

"

!RCTICA DE CLASE

"

Y$u5l de las siguientes relaciones es correcta, si N es el conjunto de los nmeros naturalesZ

0 AH

# 0

O($er+aci%n 2 Si( # ⊂ " ⇒ # R " ) ∅ 2 Si( " y # son conjuntos disjuntos " ∆ # ) " ∪ #

!ro*iedade$: 2 " ∆ # ) !" B #' ∪ !# B "' 2 " ∆ # ) !" ∪ #' B !" ∩ #' 2 " ∆ # ) ∅ 2 " ∆ ∅ ) " Ejemplo(

a' B7∈" 7∈" d' H∈"

O($er+aci%n $#" ) # R "

=

7.

φ X

=

0X

=

:7/ Y$u5l de las siguientes relaciones es incorrecta si & F es el conjunto de los enteros positivosZ

" !Involución'

0 φ

a' :7∉" d' 7∈"

8. " − # = " ∩ #X ;.

  "∆# = * 7,9/ # = *8,;, 9/ 

"

@ "C @ $ "

Simbólicamente(

A 1 =">" U " A? 1 U 4 A Aiagrama

S3AR33B

9. Leyes de Morgan

a' Todas d' II y IC

n n∈&@ Hn9/ 8

e' *

n7 − : n∈&@ Hn9/ 8

b' Sólo I e' Sólo III

c' Sólo II

")*7,*;,9/,;/ Y[u a?rmaciones son incorrectasZ

a' 7∈" b' 7⊄" c' *;,9/∈" d' ;∈" e' H∈" 5.Aetermine por comprensión conjunto " ) *:8@ 78@ :@ ;8/

O($er+aci%n :' n ! ∅ ')H 7' n !" ∪ #')n!"'Fn!#'Bn!" ∩ #' 8' Si " y # son conjunto disjuntos n!"∪#')n!"'Fn!#' ;' n !"∪#∪$' ) n!"'Fn!#'Fn!$' R -n!"∩#'Rn!"∩$' R Bn!#∩$'Fn!"∩#∩$'

a' *

n−:

n∈&@7n9/

8 n+: b' * n∈&@ :n+/ 8 n+: c' * n∈&@ 7n+/ 8

S3AR33B

K.Aado el conjunto # H *3 73 ∈ @ 3 ≤ ;/ calcular la suma de sus elementos a' :H d' 8H

b' 7H e' 87

c' 79

.Y$u5ntos

elementos tiene conjunto "Z " ) **8@ ; *9@ @ -/// a' 9 d' :

/.Aado(

"X ∩ !" ∪ #' = "X ∩ #


c' -∉"

*7,8/@ 8@ -/ Y$u5l !es' de las proposiciones son verdaderasZ I 7∈" II 8∈" III n!"')9 I3 n!"');

"X ∪ !" ∩ #' = "X ∪ # El complemento de ", es el conjunto 6ormado por los elementos
..Aado el siguiente conjunto( ")*H@

" ∪ "X= 0 " ∩ "X= φ

+. $aso particular de la absorción

3 Co'*)e'en#o

e' 8∉"

-.Aado el conjunto( ")*3 ∈&  73 ≤

!ro*iedade$ :. !"X'X

b' ;∈" c'

F

!" ∪ #'X = "X ∩ #X !" ∩ #'X = "X ∪ #X

" = * 7,8, ; /

Notación( "X @

d' *

,.Aado el conjunto( ")*3 ∈N83:H/

0

0

ARITMETICA

b' 7 e' H

el

c' 8

.Si( " )*33 7 R :83 F ;H ) H/, dar como respuesta la suma de los elementos de ". a' d' 9

b' :8 e' B8

c' 8

.Si

los siguientes conjuntos ")*8\FbB@ ;a/@ # ) *;+@ 9\F7b/ son unitarios, calcular( a 7 R b. a' H d' ;

b' 7 e' 9

c' 8

,.Aados el

los siguientes conjuntos iguales( ")*8 aFb@ -:/@ #)*8 bF7@ 7/@ calcular( bB a

a' H b' : c' 7 d' 8 e' B: ,,.Aado el conjunto unitario( " ) *aFb@ aF7bB8@ :7/@ calcular( a 7Fb7 a' -H d' H

b' ; e' 8

c' :H;

,-.Aado el siguiente conjunto unitario(


COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE " )*9\B;b@ 8+@ aFb/@ calcular( 7b B a a' + d' :7

b' e' B:9

c' :H

,..Si( n!"')H@ n!#')9H y n!" ∩#')87. allar n!" ∪#' a' +d' 9-

b' e' --

c' -

" ) *;@ 9@ +/ # )*+@ / $ ) *8@ 9@ @ / $u5ntos elementos tiene( E )!" B #' ∪ !"B$' b' ; e' :

c' 7

")*:@ 7@ 8@ ;/, #)*7@ ;@ +/, $)*7@ 8@ ;/ Pallar el nmero de elementos si( E ) U!"B#' ∪!"B$'V ∪U!#B$' ∪!#B"'V b' ; e' :

c' 8

" ) *33 ∈N ∧ 7≤ 3 ≤+/ # ) *33 ∈N ∧ 8≤ 3 ≤/ Pallar el nmero de subconjuntos de !"∆#' a' b' :+ c' :7d' 87 e' +; ,.Ae :HH alumnos se conoce
S3AR33B

no estudian ni trabajan@ 8H estudian@  estudian y trabajan. Y$u5ntas personas trabajan solamenteZ a' ;H d' 99

b' ;9 e' 89

a' -H d' H

b' :7

c' :H

b' 9H e' -H

a' 7+ d' 7

b' 87 e' 89

c' 77

-/.Ae una muestra recogida a 7 turistas se determino lo siguiente( 8H eran a6ricanos, ;H europeos y 9H eran msicos. Ae stos ltimos 7; eran a6ricanos y :+ era europeos. Y $u5 nt os de l os
c' +H

de Ingls y castellano con los siguientes datos( 7H aprueban castellano, :- aprueban ingls y :7 alumnos aprueban am bas asignaturas. Y$u5ntos alumnos no aprueban ninguno de estos dos cursos Z

a' :H d' ::

b' :7 e' -

c' 

-5.Ae :+H personas
c' 9

-,.En un grupo de personas se sabe
a' :H d' :9

b' 7H e' 79

c' 8H

-.Sabiendo
b'  e' N.a.

c' :H

..Si( " ) * 33 ∈ & ∧ 37  9 / # ) * 33 ∈ " ∧ 3F:  H / Palle el cardinal de( U!" ∩ #' 3 "V a' :7 d' :9

b'  e' :H

c' :-

/.Se tiene 7 conjuntos " y #, tales
b' :+ e' 79+

c' +;

n!J' 7 = adem5s( n!S' 8 nU1!S'V)9+ y ( n!J ∩ S' ) 7.

5.Sabiendo
Pallar ( n!J ∪ S'

EJERCICIOS !RO!UESTOS N , ,.Pallar el cardinal del conjunto " sabiendo
a' 9b' 9 c' 9; d' 99 e' +7 --." una ?esta asisten -H parejas, +H ombres usan anteojos, ay tantas personas con anteojos, como


c' 8H

d4a, 89 en la tarde y 79 en la noce. Y$u5ntos estudian en sólo dos turnos, si sólo uno estudia en tres turnosZ

-.8H alumnos se les toma e35menes

b' ; e' 

b' 79 e' +H

-..Ae 7 alumnos, 8+ estudian en el

c' 9H

se observó( -H consumieron bebida gaseosa, H consumieron bebidas alcoólicas y 8H no consumieron ningn tipo de be bi da. Y $u5 nt as pe rso na s consumieron las dos tipos de bebidaZ

a' 8 d' +

,K.Si(

a' -

mujeres
,.Ae un grupo de :7H personas@ ;9

a' ;H d' 8H

,5.Sean los conjuntos(

a' 9 d' 7

ARITMETICA

e' :;

,.En un salsódromo de :9H personas

,/.Si(

a' 8 d' 9


d' :+

a'  d' :7

S3AR33B

b' :H e' N.a.

c' ::

a' :8 d' :H

b' :7 e' N.".

c' :;

K.Y$u5ntos

elementos tiene el conjunto ", sabiendo
b' 9


c' +

NUMERACIÓN COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE d' 


ARITMETICA

e' -

.Sabiendo
a' 7; d' +8

b' 8H e' +7

Es la representación ?gurativa del nmero

c' +

/.Si( " ) * :, 7, 8, ;, 9 /

INTRODUCCIÓN

# ) * :, 8, 9, ,  / Pallar( n!"' F n!#' a' :7 d' :H

b' :; e' N.a.

c' ::

.Si " y # son 7 conjuntos disjuntos, tales
b' :9 e' :7

c' 8:

$alcule( !#3"'V a' 87 d' ;-

"ntiguamente los egipcios, griegos y romanos ten4an 6ormas distintas de representar los nmeros, la base de su numeración era decimal. Otros pueblos elaboraron distintos sistemas( por ejemplo, los babilonios ten4an como base el sesenta@ los mayas, en "mrica, desarrollaron un sistema de base veinte. En cambio, los indes ab4an desarrollado un pr5ctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las ci6ras. Los 5rabes dieron a conocer el sistema de Europa a partir de siglo CIII por eso, nuestras ci6ras se llaman indoar5bigas. En el siglo GCIII LeibnitK descubrió la numeración de base binaria y la posibilidad de in?nitos sistemas de numeración. En la actualidad el lenguaje de los nmeros en 6orma ablada y escrita tiene su al6abeto,
nU!"3#'∩!#3"'VFnU!"3#'R b' +; e' :7-

c' 79

5.Si se sabe
TAREA DOMICILIARIA ,. " y # son dos conjuntos tales
b' e' :H

subconjuntos c' 

a' ;d' +7

b' 9H e' 9-

c' +H

K.Simpli?car la e3presión conjuntista( *U"∩!$∆"'V ∪U#∆$V$ ∪ U#∪!"$ ∪#'$V/ a' " ∩ # X d' # ∪ $

b' " ∪ #

c' "∪#∪$

e' " ∪ # ∪ $

-.En un grupo de 99 personas, 79 ablan ingls, 87 6rancs, 88 alem5n y los 9 tres idiomas. Si todos ablan por lo menos un idioma. Y$u5ntas personas del grupo ablan e3actamente 7 de estos idiomasZ a' 79 d' :7

b' 7+ e' ;H

Nu'eraci%n

c' 87

Es la parte de la aritmtica
..Si se cumple( " ) * 3 83 ∈ N ∧ : 7 R 8 ≤  / # ) * 3 R 3 ;3 ∈ & ∧ 7  3  9/

S3AR33B


Ci7ra$ Los s4mbolos
SISTEMA !OSICIONAL DE NUMERACIÓN Es el conjunto de principios, normas y c on ve ni os < ue n os p erm it e la 6ormación, lectura y escritura de los naturales.

!RINCI!IOS &UNDAMENTALES A De) Orden Toda ci6ra


+

9

,

;

:

7

8

;

9

B De )a Ba$e Todo sistema de numeración tiene una base
Es la idea asociada a una cantidad
Nu'era)

S3AR33B

o

Ejemplo( Se puede representar(  , ≡, oo , 8, tres, etc.

NP'ero

$u5ntos subconjuntos propios tiene !"∆#'

simbólica


COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE $uatro Tres

:

H

Aos

ORDEN uno

:

7!8'

No#a: En 6orma pr5ctica la base nos indica de cuanto en cuanto estamos agrupando las unidades

Ba$ e 7 8 ; 9 +   :H :: :7

Conc)u$ione$: :. Toda ci6ra , se puede utiliKar =n> ci6ras di6erentes, las cuales son(

ci6ram53im ↓ H, :, 7, 8, .........., !n B :'           ↑ ci6rassigni?cat ivas ci6rano signi?cat iva " mayor numeral aparente le corresponde menor base. Ael ejemplo obtenemos( 87 ) ;H !-' ) ;;!' ) 7HH !;' ) :H:7 !8' Es decir, si :7H n ) ;9] $omo( :7H  ;9 "?rmamos( n  ]

ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN S3AR33B

5 TO Año Secundaria No'(re De) Si$#e'a

Ci7ra$

#inario Ternario $uaternar io [uinario Senario Peptanari o Octavario Nonario Aecimal 0ndecima l duodecim al

H,: H,:,7 H,:,7,8 H,:,7,8,; H,:,7,8,;,9 H,:,7,8, % + H,:,7,8, %  H,:,7,8, % H,:,7,8, %  H,:,7,8, % !:H' H,:,7,8,...!:H', !::'

ARITMETICA 0n numeral de 7 ci6ras de la base :H ab ∈*:H,::,:7, %, -, /.  0n numeral de 8 ci6ras en base . mnp ∈ * :HH, :H:, :H7, %, +++ / 

0n numeral de ; ci6ras consecutivas creciente en base .



:. Ae base =n> a base :H!n ≠H' Ejemplo( E3prese 97; +, en base :H 97;+)93+ 7F73+F;):+ ∴ 97;+):+ 7. Ae base :H a base =n> !n ≠H' Ejemplo( E3prese :+, en base +. :H + ; 87 7

a! a + :'!a+ 7'!aB 8' NUMERAL CA!2CUA

Ejemplos( 99@ 898-@

1or convención, cuando la ci6ra es mayor
mnppnm ]

+ 9

∴ :+ ) 97; +

Son a
No#a:

!ro*iedade$ A Numeral de ci6ras m53imas  ) :H R :  ) :H 7 R :  ) :H 8 R :

aan @ 3yyK- @

 - ) - R : - ) -7 R :  - ) -8 R :

En general(

!n B :'!nB :'...!n B :'          n ^]^ci6ras

DESCOM!OSICIÓN !OLINÓMICA

;!::'+!:H'!:9' ) ;β+α!:9' ) ;#+" !:9'

Ejemplo(

, Si'*)e

RE!RESENTACIÓN LITERAL DE LOS NMEROS

;897 ) ;3:H 8F83:H 7F9 3:H:F7  7H+;9 - ) 73- ;F+3- 7F;3- :F9  8HH9H; + ) 83+ 9F93+ 7F;  abcd] ) a]8Fb]7Fc]Fd

B

 :c

) n] R :

)nFc



:b:bn ) n F c F b



:a:b:c ) n F c F b F a n



$uando no se conocen las ci6ras de un numeral, stas se representan mediante letras teniendo en cuenta
- !or B)o;ue$ 7

;897 ) ;83:H F97 7H+;9 - ) 7H-3-8F+;-3-:F9

 



:8abc9 ) :89398F abc9 ababn ) abn 3 n7F abn



mnpmnp ] ) mnp] 3



mnp]

Ejemplos(


CAMBIO DE BASE

S3AR33B

]7F

En general(

:a:b:c:d

 :3n

) n F 3 F % FdFcFbFa

Ca$o$ E$*ecia)e$ de Con+er$i%n: , De (a$e n a (a$e n  1rocedimiento(  "l numeral dado se les separa en blo


COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE Ejemplo( E3presar :::H:::H::: 7 a base -

Re$o)uci%n: 8

$omo - ) a las ci6ras se separan en blo
- De (a$e n a (a$e n 1rocedimiento( $ada una de las ci6ras del  numeral se convierte a la base n, teniendo cuidado de obtener blo
Re$o)uci%n:


ARITMETICA .$alcular( a F aabc!' = babb!9'

-.Trasladar( I. ;79 a base  %%%.. %%%%%% II. :78; a base + %%%%%%%%% III. :;97 a base  %%%%%%%%% IC. - a base 9 .. %%%%%%%%% C. ;+ a base 8 %.. %%%%%%%%

a' ; d' 

.. ..

a'  d' 999

#ase  #ase 8

;

7

-

8

/.$alcular !aF b', si( ;8a F :ab )

7b F:;

: :

H 7

7 7

:H 8

b'  e' -

,.Trasladar al sistema decimal( I. I I. III. IC. C. S3AR33B

7;9!+' %%%%%%%%%%%% 8: ;7 !-' %%%%%%%%%%%% 7:9; !' %%%%%%%%%%%% :8;+ !-' %%%%%%%%%%%% :7 ;!::' %%%%%%%%%%%%

b' ; e' 

c' :H

b'  e' :H


,K.El cu5druplo de un nmero es de la 6orma ab , pero si al nmero se le

c' +

b' 7 e' 8

c' 9

,,.Pallar la base del sistema de

,.Y$u5l es el nmero comprendido

numeración en el cual el nmero 97 del sistema decimal se escribe como :H8

entre 8HH y ;HH tal
a' ; d' :7

b' + e' 9

c' 

b' 889e' 7;9-

c' 789-

b' 79 e' +;

c' 8+

,/."l convertir un nmero en 8 ci6ras consecutivas crecientes de la base a base :: se obtiene 8::. Y$u5l es la menor ci6ra de dico nmeroZ

c' 98

a' : d' -

b' 9 e' 

base =n> se escribe en el sistema eptanario como ;79. allar =n 7>

c' -

b' 97 e' +;

a' ; d' 8

,..El mayor nmero de tres ci6ras de la c' 

a' 9H d' 9;

multiplica por 8 y luego se le divide entre 7 se obtiene ba . Pallar !a B b'.

a' 798d' 779-

.Pallar( a F b, si( aba!' = ::b:!+' a' + d' 

c' +++

una base menor
K.Pallar =n> a' d' +

b' --e' 

,-.El nmero 9+; !n' est5 escrito en

:H9H !n' ) 7;n

!RACTICA DE CLASE

c' 9

a' 8 b' ; c' 9 d' + e'  ,5.0n nmero del sistema decimal se a convertido a dos sistemas de numeración de bases consecutivas y se obtuvieron los nmeros 7H; y 8:7. Pallar el nmero en el sistema decimal.

cumplen con la siguiente condiciónZ ab)!a F b'

a' 9 d' -

c' :H

5.$alcular !m F n F p F <' de( 87m9 , :8nm , :7pn ,
si(

,.Y$u5ntos nmeros de la 6orma ab

7

$omo  ) 8 , cada ci6ra del numeral se convierte a base 8, gener5ndose un blo
c,

sean iguales, sabiendo
I. 987!+' a base 9 %...%%.%%%% I I. : 8; :!9' a base  %...%%. %%%% III. -7!' a base - %...%%.%%%% IC. 78;: !+' a base :: %...%%. %%%% C. :78:7 !;'a base + %...%%. %%%%

b' :: e' -

F

.Pallar un nmero de 8 ci6ras
..Trasladar(

a'  d' :7

b'  e' -

b

S3AR33B

a' 8 d' 89

b' 8- e' N.a.

c' 88

,.Si( N ) 7!:'; F7!:' 8F7+F;!:' como se escribe el nmero =N> en base : a' 77;H9 d' 77 H9 

b' 7H;79 e ' 7 7; 9

c' 77H9

,.$alcular =n> si( !n B 8'!nB 7'!nB :'n = !n − ;'!n− 7'!n− 7'!n+:' a' ; d' 

b' 9 e' -

c' +

-.Pallar !a F b' en la siguiente e3presión(

abb!+' = n!n + :'!n+ 7'!n+ 8'!n+ ;'


COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE a'  d' ;

b' + e' 8

-,.Pallar !a F !7a'ba!+' = bab!'

c' 9 b'

a' :+ d' :8 si(

b' 7: e' 7H

c' 77

-..Pallar !aFbFc' aabc!' = b!b + :'Ha!' )H a' d' 

b'  e' :7

si(

c' :H

-/.Pallar( !aFbFc', si( a8b!$' = bcH!9' a' :7 d' +

b' :8 e' 

c' -

b' ; e' 

si(

c' 9

b' 77 e' :

c' ::H

,.Si a un nmero de tres ci6ras se le agrega un - al ?nal, el nmero original
a'  B ] d' ] B :

b' :H B ] e' ] F :

a'  d' ::


c' :H

,. 0n móvil recorre por ora ab ]ilómetros, observando oras le 6alta recorres abc ]ilómetros , Y$u5ntos ]ilómetros recorrió asta ese momento, si deb4a recorrer cab ]ilómetrosZ

c' :9

a' 7; d' 8+ c' 7:

b' 8H e' 9-

c' ;7

-. Si abc!9' = :abc8 escribir el mayor nmero abd!+' en base 9 a' :8: 9 d' 8:8 9

..Si(

c' ::B]

b' 7:8 9 e' 7:H9

aabb!' ) ::a;!'

a' :7 d' :;

b' + e' :H

b' :: e' :7

77,ab9 = ab,mn . Si@ !aFbFmFn'

K.

a'  d' :7

b' :H e' :8

a' ;: d' ;;

S3AR33B

b' ;7 e' ;9

Pallar(

c' ::

. Y$u5ntos nmeros se representan con numerales de tres ci6ras tanto en el sistema septenario como en el nonario a la veKZ a' 7; b' 7+7 c' +;d' 89; e' 7+: . Pallar =a>, si( 87a9 ):H-  a' 7 d' H

b' 8 e' :

c' ;

. Si( abcd− cda ):7- adem5s( ab+ cd )99 Pallar( a Fb Fc Fd a'  d' :8

b' :H e' :;

c' :7

,.

"l e3presar el nmero( ;;;;;;;;;;  en el sistema decimal, termina en la ci6ra(

Pallar el

a' ; d' :

b' 8 e' H

c' -

/. Pallar !mFn', si( 8 !m'):: !n' c' 77

c' -

c' ;:;9

valor de aFb

ab7m = bb9,n b' 78 e' 7+

b' e' :7

TAREA DOMICILIARIA

K.Pallar( a F b F m Fn Si( a9-m = bb9;n

a' 7; d' 79

c' :-

allar !aFbFc'

allar( a F b F c F d F e a' 7; d' 7H

b' : e' :+

.Si se cumple
veces la suma de sus d4gitos, el nmero
EJERCICIOS !RO!UESTOS N -

S3AR33B

a' 7H d' :

a' :H b' :; c' :7 d' :8 e' :: ..Pallar un nmero de ; ci6ras, cuya ci6ra inicial es 8, tal
a' :8 d' :H

allar( !b R a F n F p'

5.Si un entero de dos d4gitos es _

:8   :;:9:+ab  = :+7!-' allar( abF a F b

b' :H e' :H:

78a = 7bn = 8+ap

-.Si a un nmero de tres ci6ras, se le

a' :H d' :+

5. Pallar !mFn', si@ ;;,ab9 = ab,mn

.Sabiendo
/.Sabiendo
-K.Si(

a' 9 d' :::

c' :;

79;: ) 8 a F 8b F 8c F 8d F 8e

-5.Pallar !aFbFc', ab!a+ :'a!9' = bacb!;' a' 8 d' ::

b' :9 e' :

ARITMETICA

agrega un 9 al comienKo y otro 9 al ?nal, el nmero obtenido es :; veces el nmero original. Aar como respuesta la suma de las ci6ras del nmero original.

a' ; b' 9 c' + d'  e' --.Pallar !a F b' si ( :7; !a' ) :b a' :8 d' 78


c' ;8


c' 7



ARITMETICA

No#a:

TEOR A DE LA DI3ISIBILIDAD DE LOS NMEROS 0n nmero entero " se dice
" H

# _

Aonde( " ∈ & # ∈ &F _ ∈ &

Se dice( " es divisible entre # # es un divisor de " Ejemplos( Sea el nmero 7- y el  al dividir(

7-  H ; Se puede decir( 7- es divisible entre   es un divisor de 7-

Indicar
A 1 B de la división anterior Se dice( " es mltiplo de # # es un 6actor de " Ael ejemplo anterior

- 1  " / 7- es mltiplo de   es un 6actor de 7-

S3AR33B

e3pl4cita

los

o

⇒  ) ], ] ∈ & o :: (… B 88,B 77,B ::,H,::,77,

") o

#

⇒

o :: = ::], ] ∈ Ζ

Ejemplo( 7: )



B;9 )

o

 o



o B;+H ) :H o B9) :





 9

)

 H

)

 :;

o

8 B

+8 ) o B

:H

:H

"dem5s( N ) o F::⇒M ) o B:H

9

)

:. $alcule cu5ntos nmeros positivos de 8 ci6ras son( a. mltiplos de :9. b. mltiplos de  pero no de 9 c. mltiplo de . d. mltiplo de :8
o

8 o

7



o 79

pta( a. +H c. :7-

El cero es mltiplo de cual
b. -H d.

NMEROS NO DI3ISIBLES Si un nmero entero " al dividir entre el nmero entero positivo #, la división resulta ine3acta, se a?rma
Ejemplos( :. Indi
los

:, 7,8, ;, +,:7      

b. B:79(

1or de6ecto " # rd <

Aivisores

:, 9, 79,:79      Aivisores

Se observa

:H

A*)icacione$: , $alcule la suma de todos nmeros positivos de dos ci6ras, tal
- $alcule cu5ntos nmeros positivos de 8 ci6ras son

o F y adem5s

:8

dicos nmeros terminan en ci6ra dos. pta. 

!rinci*io$: I. Operaciones con nmeros mltiplos de un mismo módulo( a. 88 F 77 ) 99 o F o ) o

:: :: ::

" # re < F :

⇒

o F o ) o

n

n

n

b. 88 R 77 ) 99 rd F re ) #

S3AR33B

:H

1or e3ceso

Aonde(

7:

M ) o B+⇒M) o F;

A*)icaci%n:

No#a:

a. :7(

+8 ) :H 3 + F  +8 ) :H 3 



7:



abHH=

Ejemplo(

+8 ) o F8

b.

#



Si un nmero no es mltiplo de un módulo, se puede e3presar dico nmero respecto a este módulo, por de6ecto o por e3ceso.

o

a.  ( % B7:, B:;, B, H, , :;, 7:, %

Si un nmero entero " es mltiplo o divisible entre otro entero positivo # se denota( o ") 

MULTI!LICIDAD DE LOS NMEROS 0n nmero entero " es mltiplo de otro nmero entero positivo #, si e3iste un tercer nmero entero =_>, tal
7. Indi


o B o ) o

:: :: ::


COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE ⇒

o B o ) o

n

n

5 TO Año Secundaria o

ARITMETICA



o



o

" = 9 Entonces(⇒")

c. : )  o

:: 3 !:' ) 

⇒ "m )

o

" = -



o

Si " )

n o

n

o o = M$M!+,9,-' :7H

Si( m ∈ &F En Jeneral( Si(

A*)icaci%n: :. $alcule cu5l es el residuo al dividir entre :8. Si( N ) ::3 7 m F :H 3 7 m F :87 3 7 n n ∈ &F y m∈ &oF

II Si un nmero es mltiplo entre cierto módulo es mltiplo con cada divisor del módulo. Ejemplo( :9(

:, 8,9,:9      divisores

Entonces( :9 ) :9 ) :9 ) :9 )

o

" = a o



" = b Entonces( o

⇒")

" = c



o M$M!a,b,c'

o

  N = -+ 8  Entonces(  o N = :H+ 8 

BINOMIO DE NETON: Sea la multiplicación(

7. $alcule cu5ntos nmeros de 8 ci6ras son mltiplos de ; y pero no de 9. pta. +H

] :. !n± a') n± a

9 o

:9

III Si un nmero es mltiplo con varios módulos, entonces es mltiplo del M$M de dicos módulos. Ejemplo( Sea.

N=

o

o

o

o

o

o

Ejemplo(

F:'!

o M$M!a,b,c' + 8

! o

F7'!

o



o

o

o

n

Fa'!

o

n

o

n Fc'%! n F3') n Fa3b3$3%3G

A*)icacione$:

S3AR33B

o

o

o

Si _ es par  o  n+ a]  o !n± a']  Si _ esimpa   o ]  n− a

Ejemplos( !



!



Fb'!

o



 F8')  F+

o


o

= - +6



o

Su desarrollo(

( - +3)( - +2)= - + - + - + +

⇒

o

^]^6actores

7. o

Si(

S3AR33B

o

!n± a'!n± a'!n± a'3... 3!n± a' = !n± a']            

O($er+aci%n

o

o

7. $alcule el residuo al dividir " entre 77 si( " ) 78 3 7; 3 79 3 % 3 7 pta. 7

:. $alcule el menor nmero positivo de ; c i6 ra s, t al
N = .+ 8 

o

8

pta. +

⇒)

A*)icacione$

Ejemplo sea( o 

:

:. $alcule el residuo al dividir N entre  si( N ) ab:78 3 mn 3 3y:H8

o  N = a± r  o  N = b± r Entonces(  o N = c± r   o N= M$M!a,b, c' ± r

" = +

n

o o +  F7' ) 

+

F7

!



o



B 8' 7H )

o



F87H

o ) !: − 9';9



o : − 9;9


COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE o ) ! ;8 + :'abc




98) 9.97 )%%%%.. )! )

o ;8 + : o ) !- − :'ab8:



o - −:

) ;

9 )9.9

+

9

9 )9.9 pta. 8

+78 se e3presa en 7. Si( # ) !ab:H: 7' base -, calcule la ltima ci6ra. pta. 9

8.

ab

9

o

= +− :

adem5s

o

ab) 

)

Se llaman restos potenciales de un entero E!di6erente de cero' respecto a un módulo m a los residuos Ejemplo( $alcular los restos potenciales de 9 respecto al módulo . H

9 ) HF:)%%%%.. ) :

9 ) HF9

o

 F :

)%%%%. )



F9 7

9 )9.9

)%%%%.. )

o

o



F9'!

o



F-'

o

9

Toda potencia de 9 cuyo e3ponente sea mltiplo de + m5s 7, siempre deja como residuo .

o

 F9'!  F;'

o

o

 F7H)  F7 o

GAUSSIANO 8;9

o

o

SE llama gaussiano de un entero E respecto a un módulo m, a la cantidad de restos potenciales di6erentes entre s4 y di6erentes de cero
o

Ejemplo7(

 F9'!  F7'

o

o

 F:H)  F: o

o

 F9'!  F:'

o

 F9 o

 F9'!  F9'

o

 F79)  F

$alcular los restos potenciales de 8 respecto al módulo 9. 8H )

o

9

o

o

F: % )

o

o

87 )

9 F; % ) 9 F ;

9

o

o

o

F8

F8'!

o

9 o

F;' ) o

o

9

F7

9:, 9, 9:8, %, ++: 9

8;) !

Siempre dejar5n de resto 9 respecto al módulo 

89)!

9

8+)!

9 F8'! 9 F8') 9 F;

o

o

o

8)!

o

o

o

o

Las potencias( 9 8, 9, 9:9, %, ++ 8 9

Siempre dejar5n de resto - respecto al módulo 

o

F8'!

F8'!

9 o

9

F7'

F:')

9

F:

o

9

F8

Toda potencia de 8
S3AR33B

o

; F7 al ser

dividido entre 9 deja de resto ;. r);

O($er+acione$ Mediante la aplicación de estos potenciales se determina cual
N

) o

.......... .......... .....abcde 6gL= , 1or descomposición 1olinómica( N ) F:Hg F:H76F:H8eF:H ;dF:H 9cF:H +b F:H\F%

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

!+ 8'! + +'d+ !+ 8'! + ;'c+ !+ 8'! + 9'b          o o o !+ ;' !+9' !+:'

!+ 8'! + :'a + ...    o

!+ 8'

9 F8'! 9 F;') 9 F7

Los restos
 F 79 ) 


9

o

9 F;

N ) L F ! F 8'gF ! F 7'6 F !+ 8'! + 7'e+    o !+ +'

o

9

o

87+ ) ;+ 7 ) 8

o

9

F8 % )

Ejemplo( "l dividir 87+ entre 9. Y$u5l es el residuoZ

E3presando las potencias de :H segn módulo .

9 F:

8: )

88 ) !

Ejemplo(

F S3AR33B

o

o

98H7 ) ++ 7 ) + 

o

Obsrvese


o

o

 F;H)  F;

9-)9.9 )%%%%.. )! )

o

o

9)9.9+ )%%%%.. )!

calcule la suma de valores de ab pta. 88+

RESTOS !OTENCIALES

o

)%%%%.. )! )

!ARTICULAR: El 98H7 al dividirse entre , Y$u5nto deja como resultadoZ Solución( 98H7 F 

 F89)  F-

)%%%%.. )! )

A*)icacione$

ARITMETICA CASO

o

 F9'!  F'

9;)9.98 )%%%%.. ) !

9

:. $alcule el residuo al dividir( " ) !:888' 9H- entre ::

o

o

o

o

o

N ) L F ! F 8'gF !  F 7'6 F !+ +'e+ !+ ;'d o

o

o

+ !+ 9'c + !+ :'b + !+ 8'a + 




N ) 6F O tambin( o

o

bF

o

N ) L F ! F 8'gF !  F 7'6 F !− :'e + ! o

o

+ !−

o

7'c + !+ :'b+ !+ 8'a+ 

o

o

o

o

o

o

ARITMETICA o

o

; F eF ; F dF ; F cF ; F

8. S i( a8!b+ :'ba= :79 $alcule la suma de valores de !aFb' pta. :7

o

;F aF%

N)

o

N ) L F F 8gF  F 76 F − e + − 8d o

o

o

+ − 7c + + b + + 8a +  o

N ) + !L F 8gF 76 − e − 8d B 7c+ b + 8a In#er*re#aci%n: Si N es mltiplo de  entonces al multiplicar sus ci6ras de de dereca a iK
N

) o

.....................abcde6 !9' = ;

In#er*re#aci%n:



n)

 

E3presando N segn módulo ;( N)6F!;F:'eF!;F:'7dF!;F:' 8cF!;F:'; bF !;F:'9aF% 1or #inomio de Ne`ton aplicado a la divisibilidad( o o o N ) 6! F:'e F ! F:7'd F ! F:8'c

;

;

;

F ! S3AR33B

o

;

o

↔e )



8

↔ a F b F c F e ) o

c)

DI3ISIBILIDAD !OR ,, N ) abcd o

9↔ e= 9

o

8 o

8 o

8 o

3d )

8

o

d)

8 o

8 F7; → :7!eB7')

:7e )



o

8 → e R 7

FBFBF

o

o

+

:3d)

pta. :-

- ↔ cde= -

o

o

calcule !m F n F p' m53imo

7

o

:+

:+

7c )

mpn− @ pnm− 9 y mnpB

o

o

:,

;3c )





o

o

o

b)

o abc= 8 . $alcule cu5l es la

:,

783b)





7. Si(

o ↔ ) ; de ;

o

a)

↔ a F b F c F e ) o

o

o

N)

8 o

o

9a )

ltima ci6ra al e3presar. N ) ab:87ba7c en base 8 pta. 7

Aivisibilidad por 7 n y 9n

7

N)

:. Si

Sea el numero =N> Aonde( N ) abcd

N)



o

A*)icacione$:

CRITERIOS DE DI3ISIBILIDAD



Aescomponiendo 1olinómicamente( N ) 6 F9e F 9 7dF98cF9;bF97aF%

; , entonces la suma

de sus ci6ras tiene


N)

o

1ara
o



Ejemplo( 

Aivisibilidad por 8 y   N ) abcd

o

; F!6 Fe Fd Fc Fb Fa F%'

nmero debe ser mltiplo de dico módulo.

o

N ) :: ↔ a F c F e R b R d ) ::

o

:79 ↔ cde = :79

A*)icacione$: o

7. S i(

pta. ;

-36)

o

:,



Si el producto de dos nmeros enteros es mltiplo de cierto módulo y uno de los nmeros no es mltiplo del módulo, entonces el otro

9

S3AR33B

o

:,

o

o

ab8abab= ::

I3 !rinci*io de Ar;u'ede$

; F: 'b F ! ; F: 'a F %

B:+→-!6F7')

6 ) :,B7 ::3g) g)

pta. :9

7. Si ( !a − :'8ba= 79 $alcule al suma de los valores de !aFb' pta. :

o

∧6F7) :,

calcule !a F b' m53imo.

o

o

8 →e ) 8 F7

o

pta. 9

:. Si ( ;8:!a+ :'aa= $alcule( =a>




:. $alcule el residuo al dividir N ) aabccb89 entre ::

A*)icacione$

)



o

98

o

98

93)

F;;

F;

o

 F8

o

93L= +  8  +  :H


COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE o

 )  F7 3i )



o

:8

F:




N)



N)



N)

o

7

i) 

o

:8

78n )

78n ) n)

F8

o

7;

o

7;

Fd

_ K

o 7

K

o 8

o

i = :8+ : +  7+ 

ARITMETICA ,.Aeterminar cu5ntos nmeros de dos ci6ras son mltiplos de 8 y ; pero no de 

+ cd!K '

a' + d' 

+ bcd!K '

o



F:

B78

B:

N) o



3y:78 = + :78

o

o



a' 7 d' 9

mn::7 = ;+ ::7

ab:H: 8 = 7+ :H:8 o

o

cd:H:!7' = -+ :H:7

a' ;7 d' -8

o

-+ 9 

N)

o

 o

F8) %%.8g ) %.:H 8



M)





1)

-:+ :8



1 ) %%% !:8' !-:' 1 ) %%% :; !'



b' 8 e' +

c' ;

c' -H

a' :8 d' 78

b' : e' 7

c' :

cantidad de personas menor de 8HH@ si 7:: de los asistentes son mayores de edad, los 9: de los mismos son limeos. Y$u5ntos no son limeosZ

Entonces(

a' 77 d' :87

S3AR33B

b' 99 e' 797

a' :H; d' ::7

b' :: e' :H-

c' :+-

o

.$u5ntos nmeros son : en los 8HHH primeros enteros positivos. a' :9 d' :-

b' :+ e' :-H

c' :

.Y$u5ntos

nmeros de ; ci6ras terminados en 8 son divisibles por Z a' :7; d' :7

b' :79 e' :8H

c' :7+

,.Entre 9HHH y :7HHH. Y$u5ntos son mltiplos de : y terminan en ci6ra +.Z a' 8+ d' 8

b' 8 e' ;H

c' 8-

,,.Y$u5ntos de los nmeros de : a 7;H o

o

8 y ; pero no de 9Z

a' 7 d' :7H

b' -; e' :;;

c' +

,-.Y$u5ntos de los nmeros de 8 ci6ras son mltiplos de  pro no de 9Z

K." un evento deportivo asiste una

!RACTICA DE CLASE

menor valor
son

es divisible por(

o


b' 9H e' :+

5.El numeral( ab!7a'!7 siempre

F;) %; 

Sea( N ) abcd!_'

S3AR33B

c' 7-

, de ; en ; de + en + y siempre le sobra +, 8 y 9 ovejas respectivamente. $alcular cuantas ovejas tiene este pastor si el nmero es la menor cantidad posible.

o

7+ :H 

b' 7+ e' :H

/.0n pastor cuenta sus ovejas de  en

;+ 8 

II. "le3andra tiene una cantidad de estampillas, si los agrupa de  en  sobran 7@ si se agrupan de  en  le 6altan ; unidades para 6ormar un grupo m5s. Y$u5ntas estampillas posee si dica cantidad es el menor posible de 8 ci6rasZ pta. :; III. 0n nmero e3presado en cierta base es(  mltiplo de la base m5s la ltima ci6ra.  mltiplo de la base elevado al cuadrado m5s las dos ltimas ci6ras en dica base.  mltiplo de la base elevado al cubo m5s las tres ltimos ci6ras en dica base.

o

o

$alcule la suma de valores de abc pta. 799H

F;, entonces el

es mltiplo de :8.

+ 9

= :H

o

+

..$alcular el valor de =a> si la suma de a: con a7 con a8 asta a

o

;: abc

F7 y N )

a' 77 d' 7H

o

mn9 = + 9

I. Si( : abc+ 8 abc+ 9 + abc+  +

o

9

resto de dividir =N> entre 8H es(

ab8, = ,+ 8



A*)icacione$:

c' 

-.Si un nmero natural =N> es tal
Ejemplo(

7;

b' 9 e' -

o

. Si 8 " )  @ 9") o . Y$u5l es el -

a' 7+ d' :H7

b' :H+ e' :H8

c' :H-

,..Pallar el residuo de dividir a,b o

entre a:b8c  F7

c'  a' :

b' 7


c' 8

COLEGIO TALENTOSO LAMBAYEQUE d' ;

,/. Pal la r

e' 9 el

v al or


ARITMETICA -.El nmero de la 6orma( -ab;8

-,.Y$u5ntos mltiplos de 8 y 9 pero no de

=a .b>

s i(

) allar( a B b

de ; ay en( :,7,8,;, %%%%, :-Z

a' + d' B+

o

+a8:b= 9+ a' ; d' :H

a'  d' :H

b' + e' :7

c' -

a' 9 d' -

o

abbbba= ;9 b' + e' :7

entre ::

,. Si s e s abe < ue (

o

. :-m;8n= 88

b' 7 e' 9

c' 8

o

b' ; e' 

c' 9

entre ::

S3AR33B

b' ; e' :H

a' :Hd' 9

b' 7:8 e' 7;7

c' 9

c' 7:H

. N

o

o

o

o

)  F7F!  F9'!  F8'F!  B7'!

o

c' 7:-

a' 7 d' 9

b' 8 e' +

c' ;

K.Si 89a al ser dividido entre , el resto obtenido es ;. Pallar =a> a' : d' 9

b' 8 e' +

c' ;

c' :H7

. abc7 − cba7 siempre ser5 divisible entre(

EJERCICIOS !RO!UESTOS N .

b' ;9 e' 7


b' ; e' 7

c' 9

a' 9 d' :8

b' 7 e' ::

c' 

•

aaa....... = + 7     ..........    ........   ;Hci6ras

S3AR33B

,. 0n ganadero cuenta las reses
c' 799H

-. 0n cerrajero cuenta las llaves
b' ;H e' -+H

c' 7H

.. Ael : al 8HH , Y$u5ntos nmeros a' H d' -:

b' 8+ e' ;

c' 9

/. Y$u5ntos nmeros de tres ci6ras

.El nmero de la 6orma(

c' 8+

TAREA DOMICILIARIA

son mltiplos de ;Z

mltiplos de :-Z a' 9H d' ;-

a' d' 8

a' 799H d' 79H

 F8'

observa tres alumnos
b' :H9 e' 9

5.$alcular el residuo de dividir N entre

,.Y$u5ntos nmeros de 8 ci6ras son

-.Pallar el residuo de dividir( 8;7;+ a' 8 d' +

c' 7:

-5.En un salón de =LOA _ELCIN> se

a' H d' :H9

,.Pallar =3> si( :3-;= 8 a' 8 d' +

b' :7 e' :7-

los votos de 9 en 9 ó de  en  y siempre sobran 8. Y$u5ntos son los votos si est5n comprendidos entre 7:9 y :-+Z a' 7:H d' 778

c' 8

Pallar cu5ntos valores puede tomar mn a' : d' ;

a' 7;H d' 7-H

-/.Luego de una votación, se agrupan

c' 9

b' 7 e' 9

a' + b'  c'  d' 9 e' /.En el ospital ay :-H internos. Ae los
c' 9

8 ci6rasZ

,.Pallar el residuo de dividir +-ab: a' : d' ;

b' ; e' 

c' B;

=a>

-..Y$u5ntos mltiplos de  e3isten de

c' 

b' ; e' 

a' 8 d' +

b' ; e' H

..Si :a + 7a + 8a +  + :Ha ). Pallar

de ; ó 9 solamente, ay de 7 ci6rasZ

,K.Pallar el valor de =a> si( :9 ) :8Ha+a;8+HH a' 8 d' +

c' 

--.Y$u5ntos mltiplos de ; y 9 pero no

,5.Pallar el valor de =aFb> si se cumple
b' e' ::

Pallar  a 

son mltiplos de -Z a' :7d' ::-

b' :8+ e' ::7


c' :H-



ARITMETICA , , , -

5. Y$u5ntos nmeros de tres ci6ras son mltiplos de ; pero no de 8Z a' 779 d' :-H

b' :7H9 e' :9H

c' 7HH

K. En una división el divisor es F7, el cociente es

o

::

o ::F; y el resto

o

::F9, entonces el dividendo ser5( o

a'

::F:

d'

::F;

o

o

b'

::F7

e'

::F9

c'

o

::F8

o

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003

o

. Si N )  F8, entonces N 7 es( o

a'  F7 o

o

b'  F:

o

SOLUCIONARIO

c'  F8

o

e'  F+

N

. Y$u5l es el residuo de dividir =E>

, - . / 5 K    , ,, ,- ,. ,/ ,5 ,K

d'  F9

entre :. E ) 8 ;nF7F7.;8nF:F-Z a' 9 d' -

b' + e' 

c' 

. Y$u5l es el residuo de dividir =E> entre -. E )7: 7F787F797F%F8;8 7Z a' 8 d' +

b' ; e' 7

c' 9

,. Pallar =a F b F c> si se cumple
S3AR33B

b' :: e' :9

c' :7

,

E6ercicio$ .

$

"

"

A

#

A

E

$

E

$

A

A

"

$

$

$

A

"

#

"

E

E

#

$


S3AR33B


CONJUNTOS.DOC

Recommend Documents