CONDENSACIÓN ESTÁTICA

Análisis Matricial

CONDENSACIÓN ESTÁTICA

Laura Navarro

Lima, Agosto 2012

1.-Viga empotrada en un extremo y fija en el otro Si se produce un giro unitario en el extremo fijo  6 EI    L2   Vi      6 EI    Vj      M    L2  i 2 EI     M j       L  4 EI    L   

Momento que hay que aplicar en j para hacerlo girar un radian en j

Análisis Matricial de Esttructuras

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2.-Viga empotrada en ambos extremos Si se produce un desplazamiento vertical unitario en un extremo  12 EI    L3   Vi      12 EI    Vj     L3  M     i   6 EI  M j    L      6 EI    L  

Momentos que se genera en los extremos debido a un asentamiento unitario del empotramiento derecho

Ejercicio Calcule la Matriz de Rigidez total y lateral del pórtico mostrado en la figura, asumiendo que los elementos son axialmente rígidos

Análisis Matricial de Esttructuras

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Solución: Podemos usar cualquier método estándar para resolver el pórtico, incluyendo distribución de momento, usaremos la definición de los coeficientes de rigidez de influencia

Si damos un desplazamiento unitario en el grado de libertad 1 y restringimos los demás

k 21 

 EI c  24 h 3    EI c   6 2   h   6 EI c  2   h  

6 EIc h2

k31 

6 EIc h2

k11 

212 EIc  h3

Así obtenemos nuestra primera columna de nuestra matriz

Si aplicamos un desplazamiento unitario en el grado de libertad 2( giro ) y restringimos los demás

k 22 

4 EI c 4 EI b  h2 h2

k32 

2 EI b h2 k12 

Obtenemos nuestra segunda columna de nuestra matriz de rigidez

Análisis Matricial de Esttructuras

6 EIc h3

 EI c  6 h 2    EI c   6  h    EI c    h  

3

Si aplicamos un desplazamiento unitario en el grado de libertad 3( giro ) y restringimos los demás

k 23 

2 EI b h2

k33 

4 EI c 4 EI b  h2 h2

k13 

Obtenemos nuestra tercera columna de nuestra matriz de rigidez:

6 EI c h2

 EI c  6 h 2    EI c     h   6 EI c   h   

Uniendo las tres columnas y asumiendo Ib=Ic Matriz de Rigidez Total considerando los 3 gdls. libres EI c  24 h 3  EI  6 2c  h  6 EI c  h 2

EI c h2 EI 6 c h EI c h 6

EI c  h 2   u1   Q1  EI c       u 2   Q2  h     EI u3  Q3  6 c h  6

Factorizando el termino común 24 EI c  6h h3  6h

Análisis Matricial de Esttructuras

6h 6h 2 h2

6h  u1  Q1      h 2  u2   Q2     6h 2   u3  Q3 

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Calculemos ahora la Matriz de Rigidez Lateral . Primero creamos una matriz de cargas solo con cargas laterales

24 EI c  6h 3  h 6h

6h 6h 2 h2

6h  u1   fs      h 2  u2    0     6h 2   u3   0 

Segundo: Despejamos los giros en función del desplazamiento lateral 6h  u1   fs  24 6h EI c     2 2  6 h 6 h h u  0 2  h3     6h h 2 6h 2   u3   0 

De la 2da y 3ra ecuación, la Rotación de los Nudos puede ser expresado en términos del Desplazamiento Lateral

6 h 2 6 h  6h u1   2   h 6 h 2 u2      2  h u3 

Análisis Matricial de Esttructuras

h 2  u2    0 6h 2  u3 

h2   6 h 2 

1

6 h 6 1 6 h u1   1 u1 7 h    

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Tercero: Reemplazando los giros en función de u1 en la primera ecuación:

 24 EI c EI c 6 6 h fs    3 3 7 h h h 

1  96  EI c 6 h     u1   7  h3 1 

 u1 

De este modo, la RIGIDEZ LATERAL del pórtico es:

 fs   96 EI3c  u1 7 h 

 96 EI c  klat   3  7 h 

El procedimiento para expresar las rotaciones u2 y u3 en función del desplazamiento lateral u1, es conocido como el Método de Condensación Estática.

Deformada real considerando tres grados de libertad.

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