Conceptos Básicos de Cinética de Flotación •Si queremos diseñar diseñar un circuito de flotación, flotación, debemos debemos conocer el comportamiento comportamiento del mineral bajo condiciones óptimas de flotación, como por ejemplo el grado de molienda que nos permita obtener una recuperación y ley de concentrado aceptable. •Así, un mineral muy grueso esconderá el mineral útil dentro de la matriz y no flotará. Por otro lado, un tiempo excesivo de flotación permitirá que partículas no deseadas aparezcan en el concentrado bajando su ley. •De aquí se desprende la necesidad de definir la recuperación y ley para nuestro producto y ajustar los parámetros de operación para hacer una operación también óptima del punto de vista económico. Es decir, por ej., no moler más tiempo del necesario en una primera etapa e implementar remoliendas y etapas de limpieza posteriores. •Luego se ajustarán otras variables de flotación, como el pH, densidad de pulpa, reactivos, etc. •Ahora se está en condiciones de definir el tiempo necesario de la flotación para alcanzar nuestros requerimientos, teniendo en consideración los siguientes gráficos:
Conceptos Básicos de Cinética de Flotación
R
R
E C
E C U p
U p
Tiempo
Ley de concentrado
Conceptos Básicos de Cinética de Flotación
R
R
E C
E C U p
U p
Tiempo
Ley de concentrado
Conceptos Básicos de Cinética de Flotación n
n
n
La cinética de flotación es el estudio de la variación en cantidad del producto que rebasa en la espuma con el tiempo y la identificación cuantitativa de todas las variables que controlan la velocidad.
El enfoque cinético cinético aplicado aplicado al proceso de flotación flotación requiere requiere de una definición definición de variables dinámicas, especialmente respecto al tipo de flujo existente en la celda o banco de celdas. Además, es necesario separar lo concerniente a pruebas de laboratorio batch o semibatch con la operación en continuo de un circuito industrial. Por esta razón, las restricciones de los modelos aconsejan introducir la siguiente clasificación:
Consideraciones sobre flotación batch y contínua. En la flotación batch , se debe tener en cuenta que la pulpa contenida en la celda corresponde a una variedad de partículas de diferente forma, composición y tamaño, en una cierta cantidad de líquido, por la cual pasa aire para lograr la separación selectiva de las especies. La composición en la celda en un inicio(alimentación) será muy diferente a la del final de la flotación(cola), con un producto(concentrado) que habrá sido removido en el tiempo. Para mantener el nivel de la pulpa en la celda, debe adicionarse permanentemente agua, lo que también produce un fuerte cambio en el % sólido durante la flotación y dilución de reactivos. En la flotación contínua , en régimen permanente, la alimentación es en forma contínua, de tal manera que en todo momento el concentrado más la cola suman la cantidad de sólido alimentado, esto para cada constituyente. La agitación de la pulpa es tal que se puede considerar una mezcla casi perfecta. En un circuito de flotación en serie, la composición varía de celda en celda, en sus tres productos.
SISTEMA A) BATCH
CARACTERÍSTICA
TIPO
Variación de concentraciones
B) Variación de concentraciones SEMI - BATCH alimentación
Recipiente cerrado
Producto
No alcanza estado estacionario
C) La concentración es cte. en cualquier Producto CONTÍ NUO alimentación cte. pto. pero varía con constante la posición
Flujo tubular
D) CONTÍ NUO alimentación cte.
Flujo tanque alcanza estado estacionario
Concentración constante
Producto cte. (flujo contínuo en un reactor tipo tanque agitado)
De acuerdo con el ajuste de datos seleccionado:
Empíricos
Adecuando curvas a datos de Recuperación vs Tiempo
Semiempíricos
Eligiendo ecuaciones diferenciales que se integran entre límites adecuados. Es el más usado, pero no da información acerca de la física del proceso.
Análogos
Aplicación de ideas sacadas de la cinética química. Se requiere el orden de reacción
Analíticos
Aplicación de la hidrodinámica al encuentro partícula-burbuja, para obtener ecuaciones de la probabilidad y frecuencia del encuentro, captura y la velocidad de remoción de la masa de sólidos desde la
Cinética La velocidad de flotación, o de remoción de concentrado, es otro índice importante para la evaluación del comportamiento de mineral, junto con su recuperación y leyes de concentrado y cola. Existe una variedad de modelos matemáticos para describir la funcionalidad de la recuperación en el tiempo que transcurre la flotación. Algunos de los más usados son los siguientes: •Modelo de prim er orden García-Zúñiga
R
t
=
R ∞
[1 −
exp
(−
kt
)]
•Con m odif icación según Agar
•Modelo de pri mer or den con dist ribu ción rect angular de fl ot abili dades R. Klim pel
R
t
= R ∞ [1 − exp {− k (t + 0 )}]
1 R = R 1 − {1 − exp(− kt )} ∞ kt t
Modelo de Segundo Orden 2
R t
=
R ∞ kt 1
+ R ∞ kt
______________________________________________________________________ Analizando el caso más útil, de la celda de laboratorio, es decir semibatch, se tiene:
dC dt
= −k iC
ni i
en que, k = constante de velocidad de flotación(medida cuantitativa de la probabilidad que las partículas de una especie determinada sean recuperadas en el concentrado) n = orden de reacción C = concentración de especies flotables o ganga
Representación gráfica:
En esta ecuación, hacemos dos suposiciones importantes: 1.- La flotación obedece a una cinética de primer orden 2. Todas las partículas tienen idénticas flotabilidades y no hay distribución de
La primera suposición n=1, por lo tanto integrando se tiene que: C = Co e – kt , en que Co = concentración del material flotable al tiempo cero C = concentración del material flotable al tiempo t Para representar gráficamente la ecuación, la escribimos de la forma: ln
C 0 C
= kt , ln(C0 /C) k t
Introduciendo el concepto de recuperación a tiempo infinito: (*)
ln
− C ∞ = C − C ∞
C 0
kt
con C8 , la concentración de material sin flotar.
Si transformamos concentraciones en recuperaciones, se tiene: R 8 =(C0-C8 ) / C0 y R (t) =(C0 – C) / C 0 Desarrollando (*) (C - C8 ) = (C0 - C8 ) e-kt , dividiendo por C0, (C - C8 ) / C 0 = { (C0 - C8 )/C0 } e-kt , restando a ambos miembros:
{(C - C8 )/C0} – {(C0 - C8 )/C0} =[(C0 - C8 )/C0] e-kt – {(C0 - C8 )/C0 } y multiplicando por –1, queda:
Rt = R8 ( 1 – e -k t )
Gar cía Zúñiga
en que, R t = Recuperación de equilibrio al tiempo t R 8 = Recuperación de equilibrio a tiempo prolongado k = Constante de velocidad de primer orden Modificando la ecuación anterior: -kt, R /R - 1 = - e-kt, 1 - R -kt R /R /R t 8 =1 – e t 8 t 8 =e así: l n [ ( R8 - R t ) / R 8 ] = - k t
l n [ ( R8 - R t ) / R 8 ] - k
t, min
Modelo de R. Klimpel, Este modelo es ampliamente usado en la evaluación y selección de reactivos de flotación.
R(t )
1 El valor de este modelo está en la separación de cualquier = R∞ 1 − (1 − e −kt ) kt influencia en una operación particular de flotación, en dos
componentes: Un efecto de propiedades del mat erial, el cual influenciaría fundamentalmente la cantidad de aquellas partículas que pueden ser recuperadas sin considerar el tiempo requerido para ello (tiempo de equilibrio). 1.
Un efecto cinéti co o de velocidad, que ocasiona un cambio en la manera en la cual las partículas son removidas desde la celda de flotación. La principal tesis del modelo, es que el conocimiento del perfil tiempo-recuperación, que conduce a la recuperación de equilibrio, es a menudo más importante que conocer la recuperación de equlibrio real en sí misma. Esto puede ser verdadero en la evaluación de los cambios no químicos de la flotación (ej.:cambios de las RPM, velocidad de flujo de gas, temperatura de alimentación de la pulpa, etc.), en tan buena forma como para comparar distint reacti
Ejemplo de ajuste de datos al modelo de flotación de R. K.
Minimizando la ecuación de Klimpel:
q
∑ [ R j =1
(exp erimental ) − R(t ) j (calculada )]
2
(t ) j
en que k, R 8 y n son parámetros ajustables, q el número que corresponde a los
Así por ejemplo veamos el caso siguiente, que muestra un mineral flotado con dos fórmulas diferentes de reactivos.
Se aprecia que para tiempos inferiores a tk , uno de ellos presenta una mayor velocidad y alcanza recuperaciones parciales también mayores. Sin embargo, par t > t k la recuperación de equilibrio ( a t8 ), llega a ser mayor con la segunda fórmula de reactivos. Por lo tanto, en este caso en que se evalúan dos fórmulas de reactivos, no basta con determinar R
Fórmulas integrales de la ecuación de velocidad de flotación (dC/ dt ) = - kC n a)
Para un grupo de partículas en una flotación batch: C = C0 exp(-kt)
b)
Para un grupo simple de partículas en una celda contínua, en estado estacionario: ∞
∫
C = C 0 exp(− kt ) E (t )dt 0
en que E(t) representa la distribución de tiempos de residencia. c)
Para muchos grupos de partículas útiles con un rango de constantes de velocidad, para flotación batch: ∞
∫
C = C 0 exp(− kt ) f ( k ,0)dk 0
d)
Para muchos grupos de partículas útiles en celda contínua, en estado estacionario: ∞∞ ecuación aplicable a la operación de C = C 0 exp(− kt ) E (t ) f (k ,0 )dtdk plantas de flotación.
∫∫ 0 0
Circuito de Celdas de Flotación
Tabla
Determinación del tiempo óptimo de flotación
Espuma de flotación
Criterios para determinar el tiempo de residencia óptimo en c/circuito Según G.E. Agar, para flotación batch: 1.- No agregar al concentr ado material de ley menor a la de alim ent ación de esa etapa de separación. 2.- Maxim izar la diferencia en recuperación entr e el mineral deseado y l a ganga. 3.- Maximi zar la eficiencia de separación.
El criterio (1) es obvio, puesto que la flotación es fundamentalmente un proceso de concentración. Para analizar el criterio (2), consideremos una cinética de flotación simple, primer orden. Si ? = Rec.min.útil – Rec.ganga ?
= R.m.u. 8 ( 1 – e-k t ) - Rg 8 ( 1 – e-k gt )
?
=R.m.u. 8 - R.m.u. 8 e-k m .u
Maximizando:
∂∆
R
8
t
- Rg8 + Rg e-k g t
(k ) −
k m
u
t
R
(k ) −
k t
0
Criterios de Agar
n
(c2)
t =
ln R
m.u∞
(k
k m.u∞ / Rg∞ k g
m. u ∞
− k g )
Determinación del tiempo óptimo de flotación Un criterio metalúrgico útil para determinar el tiempo óptimo de flotación en una etapa dada, consiste en flotar hasta que la velocidad de flotación de la especie útil (U) sea igual a la velocidad de flotación de la ganga (G). Matemáticamente (*):
∂ RU = ∂ RG ∂t ∂t
Esta condición corresponde al tiempo en que la velocidad de transferencia del sólido a la fase espuma es igual para ambas componentes; lo que es equivalente al tiempo en que la ley instantánea del concentrado es igual a la ley de alimentación a dicha etapa Ver Figura
Determinación del tiempo óptimo de flotación
Criterios de Agar Respecto al criterio (3): La E.S. = ( R m.u. – R g) en el concentrado será máxima, cuando: 1.- La diferencia de recuperación entre la ganga y la especie útil sea máxima. 2.- Las velocidades de flotación entre la especie útil y la ganga sean iguales. Definiendo: M:contenido metálico del min.útil WcM (c − f ) c:ley del concentrado acumulativo E .S . = Ffc ( M − f ) F:peso de alimentación f: ley de cabeza el tiempo para el cual se hace máximo: W:peso del concentrado n n
n
n
(* ) ∂ E .S . = ∂t t
(c − f ) dW + W dc = 0 Ff ( M − f )) dt dt M
∫ GdW = Wc
, en que G: ley instantánea del concentrado
0
Diferenciando: G(dW/dt) = W(dc/dt) + c(dW/dt), luego
GdW = Wdc + cdW G = W(dc/dW) + c, multiplicando por dW/dt, se tiene: GdW/dt = W(dc/dt) + c(dW/dt), que al sustituirlo en ( * ) d ( E .S .) dt
=
M Ff ( M
−
f
c ) )
dW dt
−
f
dW dt
+G
dW dt
−c
dW dt
=
0
de donde, G = f Cuando la efi ciencia de separación alcanza el máx im o, la ley inst ant ánea del concentr ado se iguala a la ley de la alim entación. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo de determinación de la cte. k y del tiempo óptimo de flotación. t 1 2 4 8 16
% R (R 8 -R t)/R 8 49.1 61.5 69.8 76.5 83.5
0.4223 0.2765 0.1788 0.1000 0.0176
R − Rt ln ∞ R ∞ -0.86 -1.29 -1.72 -2.30 -4.04
∆ y = k ∆ x
-0.207
R m.u. = 0.85(1 – exp(-0.207(t+ 3.5))) De acuerdo con el crit erio 2, t= 11.3 min lo que está en acuerdo en general con los otr os dos crit erios.
Ejemplos de aplicación de los Criterios de Agar Según criterio (1), a los 12 min se igualan ley de cabeza y concentrado (Fig1). Según criterio (2), es decir usando la fórmula para t, (c2), t= 11.3 min. Como se observa en la fig.3, antes de t=11.3 la velocidad de flotación del niquel es superior a la de la ganga. Es claro por lo tanto que aquí debe terminar la flotación, de lo contrario se estaría ensuciando el concentrado. Usando el criterio (3), en la Fig. 1 se observa que la eficiencia de separación es máxima entre 8 y 16 min, lo que está de acuerdo con los criterios (1) y (2).
Banco de celdas convencionales
Ejemplo aplicación criterios Agar. En la flotación de un mineral de calcopirita conteniendo oro, se encuentran además otras especies, que en orden de abundancia son pirrotita y, pirita, con una ganga constituída por cuarzo, calcita y óxido de fierro. Se emplea como colector KAX, a pH alcalino. De acuerdo con la Fig 9, c(1): t = 4.2; c(2): t= 4.3 R cpy= 0.984(1-exp(-0.503(t+3.1))) R g = 1 (1-exp(-0.0084(t+5.2))), Diferenciando, c(3): t = 5.1. Se determina t=4.5 min, como promedio de los tiempos, para ser considerado pasando a la primera flotación cleaner. Al igual que en las pruebas anteriores, se colectó concentrado parcialmente, resultado que se muestra en la
Aplicaciones de los criterios de Agar c(1): t=1.5; c(2) t=1.4; c(3) t=1.7, De donde, t = 1.5 min Se decidió realizar otro test, incluyendo una flotación rougher de 4.5 min, cuyo concentrado alimentó un segundo cleaner: En la Fig siguiente se observa que: R cpy= 0.997(1-exp(-2.67t))) R g = 0.73(1-exp(-1.20t))), Diferenciando, t= 0.75 min Se seleccionó 0.75 min para los siguientes test.
Aplicaciones de los criterios de Agar
