Derivadas El concepto de derivada está unido directamente al de límite . Para comenzar debemos debemos recordar cual es la l a ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos conocidos (a, b) y (a',b') :
El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta , y nos da la inclinación o pendiente que tiene la l a recta respecto a la horizontal .
Si tenemos una función f (x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos) :
Por lo tanto tendremos que :
Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por :
Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0 ) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto)
Concepto de derivada
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La ecuación de la recta tangente vendrá dada por :
h = Dx Donde la pendiente es :
Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto :
= m = tg a Concepto de derivada.- Se llama derivada de la función y = f(x) en el punto x0 al límite, si existe, del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando éste tiende a cero:
y'0 =
= f ' (x0)
Tasa de variación media (cociente incremental): la tasa de variación de una función da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece la función en un determinada intervalo . La tasa de variación media viene a responder a la pregunta : ¿ cuántas unidades crece la variable y por cada una que crece la x?
La tasa de variación media puede ser positiva , negativa o nula , dependiendo de la función y del intervalo .Es decir , la derivada es la tasa de variación instantánea .
Concepto de derivada
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Si el límite existe se dice que la función es derivable en ese punto . Ejemplo: calcular la derivada de y = x2 + 8 en el punto x0 = 2 :
Interpretación geométrica de la derivada : la derivada es la pendiente m de la recta tangente en ese punto .Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a ese punto será :
=m
¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto? Puesto que la derivada es un límite , calculémoslo. Veamos un ejemplo: Sea la función f (x) = x2 vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3
h =Dx Si sustituimos el punto x0 = 1 obtendremos que : f '(1) = 2 · 1 = 2 Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2. Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la función es creciente , es decir , al aumentar la x aumenta la y . ¿Para que se puede utilizar el concepto de derivada ? Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x 0 = -1 obtendremos que f '(-1) = 2 · (-1) = -2 En este caso la pendiente es negativa por lo que la función en este punto es decreciente . Si analizamos en general el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera , vemos que si x0 es positivo , la derivada f '(x0) es positiva y por
Concepto de derivada
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lo tanto la función es creciente y si el punto x0 es negativo la derivada f '(x 0) es negativa y por lo tanto la función es decreciente . ¿Qué ocurre en el punto x 0 =0? Pues que ni es creciente ni decreciente si no que tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha .
La derivada amplía y optimiza el estudio de las funciones
Tabla de derivadas En la práctica el cálculo de derivadas no se hace a partir de los límites ya que sería muy engorroso. Lo que se suele hacer es utilizar una tabla de derivadas, deducidas con anterioridad mediante la regla de los 4 pasos, que es un conjunto de reglas que nos salva de tener que calcular los límites . Derivadas de las funciones elementales :
y k x
y' 0 1
y
y'
x n
nx n-1
un
nun-1u'
ax
ax lna
au
au·lna·u'
ex
ex
eu
eu·u'
u v
v·u v-1·u'+u v ·lnu·v'
Concepto de derivada
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logax
logau
lnx
lnu
senx cosx tgx
cosx -senx
senu cosu tgu
cotgx
cotgu
secx
secu
cosecx
cosecu
arc senx
arc senu
arc cosx
arc cosu
arc tgx
arc tgu
arc cotgx
arc cotgu
arc secx
arc secu
arc cosecx
arc cosecu
cosu·u' -senu·u'
Operaciones con derivadas : se deducen a partir de la definición de límite y derivada . O (f+g) ' = f ' + g ' (f·g) ' = f '·g + f·g ' (k·f)' = k·f '
