Concurso Nacional de Matemática César
Vallejo 2011
Tema
P
Quinto Grado de Secundaria 1. Se cumple que
V : si p=F
x
P( x x))
1
0,1 – k
2
2k – 0,02
3
2k+0,04
4
k
5
k – 0,02
6
3k
7
2k+0,02
8
k
p q =
F: si p=V
además, el esquema molecular ( ∼ p → q) ∨ (∼ q ↔ r ) resultó falso. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I.
( p c q) c r
II.
r c q
r c q) c p p]] c (r c q) III. [( [(r A) VFF B) VFV C) FFV D) FFF 2.
Dada la siguiente tabla de distribuc distribución ión de frecuencias
li
xi
f i
[2-
〉
a
[ -
〉
7
[ -
〉
4a
[ -
〉
[ -
]
16
7
hi
Hi
0,25 0,75
4a
calcule la varianza. A) 21,75 B) 13,44 C) 13,52 D) 24,75
3. El número de toneladas de arroz que produce en una semana una empresa arrocera es una variable aleatoria discreta ( x) cuya distribución de probabilidad es como sigue.
La empresa arrocera recibe S/.400 por producir a lo más 2 toneladas y S/.500 por producir de 3 a 5 toneladas; S/.800 si produce más de 5 toneladas pero tiene un gastosemanaljoencomprasdeherramientasdeS/.134. Calculelautilidadsemanalesperadadedichaempresa. A) S/.500 C) S/.620
B) S/.482 D) S/.605
4. Se quiere organizar un puente aéreo entre 2 ciudades conplazassucientesdepasajeycargaparatransportar a1600personasy96toneladasdeequipaje.Losaviones disponibles son de 2 tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de uno del tipo A, que puede transportar a200personasy6toneladasdeequipaje,cuesta50000 dólares; la contratación de uno del tipo B, que transporta a100personasy15t a100personas y15toneladasdeeq oneladasdeequipaje,cuesta30 uipaje,cuesta30000 000 dólares. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mínimo? A) 4 de A y 8 de B B) 11 de A y 2 de B C) 11 de A y 8 de B D) 6 de A y 4 de B
Prueba Final - Quinto Grado de Secundaria 5. Sea f una función x −3
10. Si el sistema lineal 1
I.
Posee inversa cuando x ∈ 〈1; 2〉
ax + y + z = 1 2 x + ay + z = a 3 x + 2 y + az = a
II.
La función es creciente ∀ x ∈R–{1}
no tiene solución, determine a2+a.
f ( x ) =
x − 1
+
x2 − 2x + 1
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
III. La función es impar. A) VVV
B) VVF
C) FFV
D) VFF
ax + 1 − 2a ; x ∈R – {2} además x + 2 f *= f ; donde f *: la función inversa. Halle f *(4).
6. Sea f una función f ( x ) =
A) 1/4
B) 1/2
C) –1/2
D) –1/4
7. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda I. La ecuación x – y4=4 ; x ; y ∈Z , x:primotieneinnitas soluciones. II. La ecuación x4+ y4+ z4=2002w ; x ; y ; z ; w son enteros, tiene una solución. III. La ecuación x2+6 xy+8 y2+3 x+6 y=2; x ; y ∈ Z tiene cuatro soluciones.
A) 1
B) 2
C) 4
D) 3
11 Dos regiones pentagonales convexas se intersecan y de.
terminan regiones poligonales como las sombreadas en elgráco.
Calcule el número de diagonales del polígono que limita la región poligonal del máximo número de lados que se formaalintersecardichasregiones.
A) VVF
B) VVV
A) 20
B) 27
C) FFV
D) FVF
C) 35
D) 44
8. Sea f (x)unpolinomiodecoecientesenterostalque satisfacen f (0)=20. Además f ( x1)= f ( x2)= f ( x3)= . . . = f ( xn)=2011 donde x1 ; x2 , . . . xn son
12. Enunhexaedroregular(cubo) ABCD-EFGH , con centros en A y G ,
se trazan los arcos de radios AE y GH , respectivamen-
te, que se intersecan en P. Calcule la m APG.
enteros diferentes. Encuentre el máximo valor de n. A) 3
B) 5
C) 8
D) 4
9. Sean (a1 ; a2 ; a3 ; . . . ;an) ∈〈0; 1〉 y además tn =
n · a1 ·a2 . . . an a1 + a2 + . . . + an
n
con
A) 90°
B) 120°
C) 135°
D) 108°
13. Calcule la razón de volúmenes del cilindro de revolución y el octaedro regular P- ABCD-Q , inscrito en el cilin-
∑log a tn − ( n − 1) . n ≥ M ;
dro, de manera que PAB y QCD estén contenidos en las
i =1
bases.
i
n ≥ 3. A)
Halle el máximo valor de M.
1 π
A) 1
B) 0
C) 2
D) –1
C)
2
B)
π
3 π
D)
2 π
Concurso Nacional de Matemática César
14. Sea ABCD un tetraedro regular, tal que DH es la altura
18. Si x1 y x2 representan las dos menores soluciones po-
relativa a la cara ABC y M es punto medio de DH. Calcule
sitivas de la ecuación
la distancia de C al plano determinado por A , B y M, si la
5sen x – 12cos x=–13sen3 x
arista del tetraedro tiene como longitud .
donde
A)
C)
B)
2 2
D)
3
B) 3π/4
3
C) π/3
D) π
2
19. Calcule el valor de
2
π
C)
V
D)
3
2π
sen
10
3π
sen
10
4π 10
5
A) B)
sen
10
lumen V calcule el volumen del tetraedro ADHK .
9
calcule 2x1+x2.
A) π/2
15.Enunprismahexagonalregular ABCDEF -GHIJKL de vo-
A)
1 < x2 ,
sen
V
Vallejo 2011
16
2 V 9
5
B)
8
V
6
5 −1
C)
16.Apartirdelgrácoobtengaelvalorde AC si CD=1 y
8
5 −1
D)
4
BC =2. Considere mDCB=θ.
20. Un valor para x que cumple con la condición 5 cos
D
45º
B
A)
B)
π + 3 x + 3 cos 5 x − 5π = 0 es 2 2
π
−
arccos
2
2 3
1
π
−
2
arccos
2
2 3
C
C) 5
A)
+ sen θ
2
5
B)
2
C)
5
− sen θ
2
D)
2
−
2
arccos
2
1 3
+ 2 sen θ
D) 5
1
π
π
−
2
arccos
1 3
− 2 sen θ
21. A partir de la ecuación sen 2 x − 2 2 (sen x + cos x ) = 5
calcule el valor de
17. Calcule el valor de
cos 2 x + 2 2 (sen x + cos x )
csc10°+csc50°–csc70°. A) 4
B) 6
A) –4
B) 4
C) 7
D) 8
C) 2
D) 2 2
Prueba Final - Quinto Grado de Secundaria 22. Si ABCD es un rectángulo con BC =12 y AB=5, determine el mínimo perímetro del paralelogramo MNPQ .
27. Determine el rango de la función f , si 1
f ( x)=sen4 x+cos4 x – cos2 x+ sen22 x 4
A) 13
B
2
N
C
B) 13 C) 26
A) [0; 1]
B) [0; 2]
C) [–2; 2]
D) [1: 2]
P
D) 17
M
28.Enelgrácosemuestraunacircunferenciaconcentro en O y radio unitario, además el punto Q es tangente A
Q
D
con la semicircunferencia de diámetro BA. Si OD=2 y DP= 3 , entonces la medida del ángulo APB es
23. Calcule la suma de soluciones de la siguiente ecuación 2cos22 x+cos2xsen3 x+3sen22 x=3 si x ∈ 〈0; π〉 O
A) 5π/2
B) 8π/5
C) 2 π
D) 3π
P Q
D
24. Si x ; y representan números reales no nulos, determine el
B
A
máximo valor de la expresión x
2
−
x
A) arctan2 3
( x − 4 y) 2
2
+
4y
2
C) arctan 2
A)
B) arctan 3
B)
C) 1
2
(
D)
2
− 1)
3 2
D) arctan
3 3
29. Encuentre el número de soluciones de la ecuación
2 −1
sen x+sen2 x+sen3 x+sen4 x=cos x+cos2 x+cos3 x+cos4 x si x ∈ 〈0; 2π〉.
25. En un triángulo ABC se cumple m ABC − mACB =
2π 3
yelcircunradioesochoveces
A
el inradio. Entonces, sen
2
será igual a
A) 1/3
B) 1/4
C) 1/6
D) 1/8
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
30. Si A , B y C son las medidas de los ángulos de un triángulo, además se cumple 2tanB=tan A+tanC ,
26. Las soluciones de una ecuación de quinto grado son cos
π
, cos
10
3π 10
, cos
5π 10
, cos
7π 10
y
cos
cos A+cosC.
9π 10
entoncesdichaecuaciónes A) 8 x5 – 20 x3 – 5 x=0 5
3
C) 16 x – 20 x – 5 x=0
calcule el máximo valor de
A) B) 16 x5 – 20 x3+5 x=0 5
3
D) 16 x – 8 x – 5 x=0
C)
3 2 9
3 2 4
2
B)
D)
2 3
2 8
