Proceso de resolver un problema grande descomponiéndolo en uno o mas
simples de resolver que el problema original. Cada subproblema se resuelve de forma similar, repitiendo la descomposición hasta generar subproblemas tan simples .
La solución del problema original se obtiene combinando las soluciones de los .
Recur Re currencia rencia m atemátic atemática: a: Define una función f
en términos de ella misma.
En el ejemplo ejemplo del factorial de un número natural, se tiene: n! = n (n-1)!
ALGORITMOS AV AVANZADOS Dra. Mónica Villanueva
En el ejemplo del factorial de un número natural, se tiene: n! = n (n-1)! Ejemplo 2.6: Números de Fibonacci Fn = Fn-1 + Fn-2 F0 = 0 F1 = 1.
n
≥ 2
La recursividad es una propiedad de la estrategia para resolver un problema y no del problema en sí. Algoritmo recursivo: procedimiento que se invoca a sí mismo, debe parar al ingresar una instancia simple de resolver.
Esta recursión en programación se puede dar de dos formas:
procedimiento.
Procedimiento P
llamada a P
ii) Indirecta: el procedimiento llama a otro procedimiento, éste a su vez llama al primero. Asimismo, si un procedimiento llama a otros y, en algún momento, alguno de éstos llama al primero también estamos frente a recursión indirecta.
En toda definición recursiva de un problema se debe establecer una condición de borde, es decir, una condición que no requiera otra definición recursiva para resolverse. Esta determina el criterio de parada del algoritmo recursivo.
ALGORITMOS AVANZADOS Dra. Mónica Villanueva
realizado por Karen Ávila
Para el ejemplo 2.4 del factorial de un número natural, se tiene por definición:
0! = 1 2! = 1 * 2 3! = 1 * 2 * 3 etc. Al definir 3! estamos usando 2!, y así hasta llegar al 0. La definición recursiva de factorial es
1
si n=0
!=
n
n
*(n-1)!
si n > 0
En esta definición se da una condición de borde que es el factorial de cero (0!=1). Observamos entonces que el problema ya no se llama a sí mismo para resolverse, sino que entrega el resultado y se detiene. En otras palabras, se asigna un valor directamente.
Algoritmo Factorial Recursivo Dado n Factorial = n * F(n-1) devolver Factorial. Procedimiento F k Si k= 0 o 1 entonces devolver 1 caso contrario devolver k*F(k-1). La complejidad de un algoritmo recursivo se expresa a través de una ecuación de Recurrencia. Sea T(n) = tiempo para calcular n!, entonces T(n)
= T(n-1) + 1 T(1) = 1.
si n > 1
ALGORITMOS AVANZADOS Dra. Mónica Villanueva
realizado por Karen Ávila
Si resolvemos de un modo sencillo esta ecuación, nos encontramos con que: T(n)
Observación: son iguales. Esta situación no siempre se tiene, en algunos problemas el algoritmo recursivo es más eficiente; en otros problemas el algoritmo no recursivo es más eficiente. En algunos problemas no es posible desarrollar un algoritmo recursivo y uno no recursivo que no sea simulación de la recursión. La secuencia de Fibonacci es un ejemplo en el cual el algoritmo .
Complejidad: Dado que un algoritmo recursivo se invoca a sí mismo, al expresar el orden T(n) de su complejidad se obtiene una ecuación de recurrencia. subproblemas.
ALGORITMOS AVANZADOS Dra. Mónica Villanueva
realizado por Karen Ávila
Reducción por sustracción: Si el tamaño n del problema decrece en una cantidad constante b en cada llamada, se realizan a llamadas recursivas y las operaciones correspondientes a la parte no recursiva del algoritmo toman un tiempo O(nk) entonces:
-
k
.
La solución de esta ecuación de recurrencia es de la forma:
T n
≡
⎧ ⎪
n n
⎪a ⎩
k
k +1 n
<1 si a = 1 .
si a
b
si a
>1
Reducción por división: Si el algoritmo con un problema de tamaño n realiza a llamadas recursivas con subproblemas de tamaño n/ b y las operaciones correspondientes a la parte no recursiva, que corresponde a descomponer el problema en los subproblemas y luego combinar las soluciones de éstos, toman un tiempo O(nk) entonces: T (n )
= a T (n/b) +
O(n
k
) si n ≥ b.
La solución de esta ecuación de recurrencia es de la forma:
