REPUBLICA
ARGENTINA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIMENSURA DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E INFORMÁTICA Laboratorio de Tecnologías Digitales e Informática Industrial
APUNTES DE TEORÍA DE
SISTEMAS COMBINACIONALES
Revisión F Marzo 2013
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES INDICE CONTENIDO ........................................................ ............................................................ .......................................... 3
1.
INTRODUCCIÓN ................................................. ........................................................... ................................. 3
1.1. COMANDOS AUTOMÁTICOS A SALIDA CONTINUA Y DISCONTINUA ....................................... 3 1.2. NOCIONES ELEMENTALES DE CODIFICACION BINARIA ............................................................. .......................................................... ... 4 1.2.1. Códigos “naturaes! " “re#e$ados! ........................................................... .......................................... % 2.
SISTEMAS COMBINACIONALES ........................................................................................ ....................... 7
2.1. ALGEBRA LOGICA (ALGEBRA DE BOOLE)....................................................................................... 7 2.1.1. A&io'as de (ge)ra de Booe ........................................................................................................... ... * 2.1.2. Pro+iedades deri,adas de (ge)ra de Booe ...................................................... ....................................................................................... ................................. * 2.2. DERIVACIN DE FUNCIONES BOOLEANAS (LGICAS) ................................................................ 9 2.2.1. O+era-iones so)re una ni-a ,aria)e )ooeana ........................................................... ....................... / 2.2.2. O+era-iones so)re dos ,aria)es )ooeanas ........................................................ ............................... 10 2.2.. Ta)as de erdad ................................................................................................................................ 12 2.3. MINTERMINOS Y MA!TERMINOS ................................................................................................... 12 2..1. Teore'a #unda'enta .................................................... ............................................................................................................... ........................................................... ........... 1 2..2. Otras +ro+iedades ......................................................... ........................................................... ........... 1 2.4. INCLUSION. IM"LICACION. ................................................... .............................................................................................................. ............................................................. 13 2.#. TEOREMA DEL CONSENSO .................................................... ............................................................................................................... ............................................................. 14 2.$. DESARROLLOS CANONICOS DE FUNCIONES LGICAS ................................................... .............................................................. ........... 1# 2.3.1. Pri'era 4or'a Canóni-a ....................................................... .................................................................................................................. ........................................................... . 15 2.3.2. Segunda 4or'a Canóni-a....................................................... .................................................................................................................. ........................................................... . 15 2.3.. E$e'+o so)re una Ta)a de erdad ........................................................... ........................................ 13 2.7. RE"RESENTACIN DE FUNCIONES LGICAS ............................................................................... .............................................................................. . 1$ 2.6.1. 7e+resenta-ión Nu'8ri-a ....................................................... .................................................................................................................. ........................................................... . 13 2.6.2. 7e+resenta-ión 9rá#i-a: Ta)as de ;arnaug<..................................................... .................................................................................... ............................... 16 2.6.. Pasa$e de a re+resenta-ión grá#i-a a a nu'8ri-a ........................................................ ..................... 1/ 2.%. FUNCIONES INCOM"LETAS............................................................................................................... 19 2.9. SIM"LIFICACIN Y MINIMI&ACIN DE FUNCIONES BOOLEANAS .......................................... 2' 2./.1. E&+resión “irredundante! ó “irredu-i)e! ....................................................................................... . 21 2.1'. SIM"LIFICACIN GRÁFICA SOBRE EL MA"A DE ARNAUG .................................................. 21 2.10.1. Su)-u)os......................................................... ........................................................... ..................... 21 2.10.2. Síntesis “+or -eros! ....................................................................................................................... 2 2.11. FUNCIONES MINIMAS Y SUS "RO"IEDADES ................................................................................. 23 2.11.1. I'+i-ante +ri'o ............................................................................................. ............................... 2 2.11.2. I'+i-antes +ri'os “esen-iaes! " “se-undarios! ................................................... ........................................................................ ..................... 2% 2.12. USO DE LAS COMBINACIONES INDIFERENTES ............................................................................ 2# 2.13. ALEATORIOS TECNOLGICOS ......................................................................................................... 2# 2.1.1. Aeatorio -on te-noogía e8-tri-a ...................................................................................... ........... 23 2.1.2. Aeatorio -on te-noogía ee-tróni-a .................................................................................. ........... 23 2.1.. Te-noogía neu'áti-a .................................................................................................................... 26 2.1.%. Mani#esta-ión de aeatorio te-noógi-o ......................................................... ............................... 26 2.1.5. Ei'ina-ión de aeatorio so)re a #un-ión ..................................................... .................................................................................... ............................... 26 3.
BIBLIOGRAFÍA ................................................... ........................................................... ............................... 29
Página 2 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
CONTENIDO El presente documento es una recopilación de temas teóricos y prácticos desarrollados en la primera parte de las asignaturas: •
E-3.23.2: Sistemas Lógicos (carrera de Ingeniería Eléctrica)
•
M-4.25.1: Introducción a los Sistemas Lógicos y Comandos Automáticos (carrera de Ingeniería Mecánica)
1. 1.1.
INTRODUCCIÓN COMANDOS AUTOMÁTICOS A SALIDA CONTINUA Y DISCONTINUA
Un dispositivo de comando automático es uno en que la salida S(t) del sistema responde a los comandos impuestos a su entrada E(t) , teniendo en cuenta elementos perturbadores P(t) que actúan sobre el sistema. Es decir:
S(t) = f[E(t), P(t)] Según el caso, esta salida puede ser continua ó discontinua . Los comandos automáticos a salida continua están constituidos por los servomecanismos clásicos, funcionando en lazo cerrado:
P(t) S(t)
E(t)
Figura 11! Diagra"a #$ %&'u$ #$ u* $r+'"$a*i"' Esta disposición permite reducir el efecto de las perturbaciones, al mismo tiempo que acrecienta la precisión. Estos comandos automáticos se caracterizan por una auto-corrección permanente de sus desviaciones de funcionamiento. Esencialmente diferentes son los comandos automáticos a salida discontinua , los cuales funcionan a lazo abierto:
S(t)
E(t) Control
Figura 1-! Diagra"a #$ %&'u$ #$ u* '"a*#' #i'*ti*u' Estos sistemas son autocontrolados , pero no son (en general) autocorregidos , como es el caso de los sistemas continuos. Nuestro estudio se centrará en sistemas del segundo tipo, realizados con circuitos que denominaremos Circuitos de Conmutación .
Página 3 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES La distinción entre las dos grandes clases de sistemas automáticos se aplica igualmente a la naturaleza de las señales: se puede considerar la existencia de dos tipos de señales, las conti- nuas y las discretas . Una señal discreta es una señal breve, de duración finita; con frecuencia se presenta bajo la forma de un impulso. Por el contrario, una señal continua (llamada también analógica ) brinda una representación permanente de la magnitud que representa. Dentro de los circuitos de conmutación distinguiremos asimismo dos tipos: a.
aquellos en los que la noción de tiempo no interviene, y que denominaremos circuitos de combinación pura ó circuitos combinatorios
b.
los que hacen intervenir la noción de tiempo, y que denominaremos circuitos secuencia- les .
A grandes rasgos podemos decir que, en los circuitos combinatorios, el estado de los órganos comandados (salida) puede conocerse observando simplemente el estado de los órganos de comando (entrada), lo cual puede no ser cierto en los sistemas secuenciales. No obstante, tanto los circuitos combinatorios como los secuenciales se basan en una teoría común, deducida del Algebra Lógica ó Algebra de Boole , y el estudio de los circuitos secuenciales se apoya en el de los circuitos combinatorios. Además, como los circuitos de conmutación se materializan por medio de elementos físicos que poseen 2 estados característicos de funcionamiento (contacto abierto ó cerrado, transistor ó diodo conduciendo ó bloqueado, ..., etc) el sistema de numeración binario juega un papel preponderante en su estudio. En lo que sigue se asume un conocimiento previo de los sistemas de numeración en general y del sistema binario en particular, por lo que pasaremos a tratar (muy brevemente) el tema de codificación .
1.2.
NOCIONES ELEMENTALES DE CODIFICACION BINARIA
Al trabajar con el sistema binario surge el problema de representar con solamente dos símbolos (0 y 1) un conjunto de símbolos mucho más vasto: cifras decimales, letras mayúsculas y minúsculas, signos de puntuación, ..., etc. Una solución es tomar un grupo de símbolos binarios y asignar una ley de correspondencia ó código entre el conjunto de combinaciones válidas de los símbolos binarios y el conjunto de símbolos que queremos representar. La Figura 1.3 muestra algunas correspondencias del conocido Código ASCII . Veamos en particular la codificación de números decimales. n
Si agrupamos símbolos binarios formando un conjunto de n cifras, podemos formar 2 combin naciones diferentes de las mismas, lo cual permitiría constituir (2 )! permutaciones. Cada una n de estas permutaciones constituye un código válido para representar los 2 primeros números n enteros (desde 0 hasta 2 - 1), pero de todas ellas nos interesan solamente las de los denominados códigos reflejados , que emplearemos en la simplificación de funciones lógicas. 1.2.1.
Códigos “naturales” y “reflejados”
En un código natural en una base B , las cifras de un mismo rango ó posición de la serie indefinida de los enteros se siguen indefinidamente en el orden natural (0, 1, 2, ..., B -1), repitiéndorango se cada una de ellas un número de veces igual al peso ( B ) del rango considerado (recuérdese que los rangos se numeran, de izquierda a derecha, a partir de 0). La Tabla 1.1 ejemplifica el concepto para B =2 (código binario natural ), codificando con 4 bits. Obsérvese la repetibilidad en cada columna (Tabla 1.2).
Página 4 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
Figura 13! C.#ig' ASCII! a&gu*a 'rr$4'*#$*ia N° decimal
Código binario natural
Código binario reflejado
0
0000
0000
1
0001
0001
2
0010
0011
3
0011
0010
4
0100
0110
5
0101
0111
6
0110
0101
7
0111
0100
8
1000
1100
9
1001
1101
10
1010
1111
11
1011
1110
12
1100
1010
13
1101
1011
14
1110
1001
15
1111
1000
Ta%&a 11! C.#ig' /Bi*ari' Natura&0 /Bi*ari' R$f&$2a#'0 Rango
Repetibilidad 0
0
2 =1 (0,1,0,1, ...)
1
2 =2 (0,0,1,1,0,0,1,1, ...)
2
2 =4 (0,0,0,0,1,1,1,1, ...)
3
2 =8 (0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1, ...)
1 2 3
Ta%&a 1En un código reflejado en base B , las series se presentan alternadamente en el orden natural y en el orden inverso. En la Tabla 1.1 se ejemplifica el concepto para B =2 ( código binario re- flejado ). Nuevamente, obsérvese la repetibilidad en cada columna (Tabla 1.3) (en negrita se han resaltado las repeticiones en orden inverso).
Página # de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
Rango 0 1 2 3
Repetibilidad 0 2 =1 (0,1,1,0,0,1,1,0, ...) 1 2 =2 (0,0,1,1,1,1,0,0, ...) 2 2 =4 (0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0, ...) 3 2 =8 (0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1, 1,1,1,...)
Ta%&a 13 A diferencia del código natural, el código binario posee las siguientes propiedades: • adyacencia : una propiedad muy importante. Consideremos una representación de informa-
ción numérica por medio de una combinación de n cifras binarias (bits). Diremos que dos de tales combinaciones son adyacentes cuando difieren solamente en una posición ó rango. Así, por ejemplo, la combinación 1001 es adyacente a las combinaciones 0001, 1101, 1011 y 1000. Evidentemente, la cantidad de combinaciones adyacentes a una combinación dada es n . Los valores numéricos de dos combinaciones binarias adyacentes difieren siempre en una potencia de -. Cada combinación es adyacente a la combinación siguiente; • es un código cíclico : la última combinación es adyacente a la primera; • si separamos con un eje horizontal imaginario las combinaciones
-* y -*51 (*67, 1, ), las
combinaciones ubicadas simétricamente con respecto a dicho eje también son adyacentes (verificar). NOTA: para una base numérica B distinta de 2, la propiedad de adyacencia se define dicien- do que “dos números de n cifras son adyacentes cuando difieren solamente en una unidad en las cifras de una única posición ó rango. Las cifras 0 y B-1 se consideran también adyacentes ”.
Página $ de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
SISTEMAS COMBINACIONALES
2. 2.1.
ALGEBRA LOGICA (ALGEBRA DE BOOLE)
Los primeros escritos sobre lógica fueron hechos por Aristóteles en el siglo IV antes de Cristo. Fue necesario esperar hasta Leibnitz, filósofo alemán del siglo XVII, para encontrar las primeras bases de una lógica matemática. Pero estos trabajos quedaron en el olvido por f alta de una aplicación práctica en esa época. La primera contribución importante puede atribuirse a Shannon, en un artículo publicado en 1938: "A symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits ". En el mismo demostraba particularmente que el modo de cálculo que proponía era muy parecido a algunas partes elementales del cálculo de las proposiciones que él mismo derivara del álgebra lógica desarrollada por Georges Boole, matemático inglés del siglo XIX (The Mathematical Analysis of Logic , Cambridge, Inglaterra, 1847; An investigation of the Laws of Thought , Londres, 1854). Georges Boole fue el primero en utilizar un álgebra de dos valores para el estudio de la lógica. Un tratamiento matemático conveniente de los sistemas combinatorios debe permitirnos expresar sus estados con ayuda de cantidades que presenten dos valores. Definiremos como elemento lógico (físico) a un sistema simple cuyo comportamiento pueda caracterizarse por dos estados estables diferentes que se excluyan mutuamente. Por ejemplo, el contacto de un relé puede estar abierto ó cerrado, un transistor ó un diodo pueden conducir ó estar bloqueados, una proposición puede ser verdadera ó falsa. Hablando apropiadamente, una variable lógica (matemática) no tiene entonces un significado numérico preciso, dado que no existe nada con respecto a un estado que tenga un significado universalmente mensurable. De manera algo más precisa, una variable lógica dada podrá sim- bolizar el estado de un elemento ó de un grupo de elementos cuyo comportamiento sea binario. Desde el punto de vista práctico, con el empleo de los relés en los primeros tiempos de la telefonía, y posteriormente el desarrollo considerable de máquinas numéricas electrónicas que utilizan elementos cuyo comportamiento es binario, el Algebra de Boole ha encontrado un campo de aplicación más vasto que el del estudio de la lógica formal. Definiremos como variable booleana a una variable lógica para la cual habremos afectado el valor numérico 0 a uno de sus estados y el valor numérico 1 al otro. Estos dos valores están ligados por la relación de orden total:
781 El Algebra de Boole puede definirse entonces como el estudio del comportamiento de las variables que toman sus valores dentro del conjunto {0, 1}, y de las funciones de dichas variables que toman sus valores en el mismo conjunto. Si asociamos el símbolo X al estado de una variable lógica, el primer postulado del Algebra de Boole será:
9 6 7 si 9 ≠ ≠ 1 9 6 1 si 9 ≠ ≠ 7 Este primer postulado hace aparecer la noción de estado opuesto ó complementario de un estado dado: el estado opuesto del estado 0 es el estado 1, y viceversa. El Algebra de Boole consiste en: • un conjunto E que contenga al menos dos elementos, 7 y 1; • dos operaciones internas definidas sobre E : + y •.
* La operación "+" se denomina también " unión " ó " suma lógica ", y se define como sigue. Sean 9, A, B, , N elementos cualesquiera de E . Si formamos la expresión: 9 6 A 5 B 5 C 5 5 N Página 7 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
9 tendrá valor 1 cuando A :' B :' N tengan valor 1; 9 valdrá 7 en caso contrario (es decir, cuando A 6 B 6 6 N 6 7) * La operación "•" se denomina también "intersección " y "producto lógico ", y se define como sigue:
9 6 A • • B • • • • N 9 tendrá valor 7 cuando A :' B :' N tengan valor 7; 9 valdrá 1 en caso contrario (es decir, cuando A 6 B 6 6 N 6 1) 2.1.1. Axiomas del Àlgebra de Boole Uno de los roles de las matemáticas es exhibir un conjunto mínimo de propiedades (los axio- mas ) a partir de las cuales se puedan demostrar todas las demás (los teoremas ). Los axiomas que debe satisfacer el Algebra de Boole, para A, B y C elementos cualesquiera de E son:
Axioma
Propiedad
A1
Asociativa
A2
Conmutativa
A3
Elemento neutro
A4
Distributiva
A5
Existencia de complemento
Aplicación (A 5 B) 5 C 6 A 5 (B 5 C) (A • • B) • • C 6 A • • (B • • C) A 5 B 6 B 5 A A • • B 6 B • • A A 5 7 6 7 5 A 6 A (elemento neutro: 0) A • (elemento neutro: 1) • 1 6 1 • • A 6 A A • • (B 5 C) 6 A • • B 5 A • • C A 5 (B • • C) 6 (A 5 B) • • (A 5 C) ∀ ; ∃ A, tal que
A + A = 1 , y A • A = 7
Ta%&a -1! A
9 = A si se cumple que 9 6 1 cuando A 6 7, y viceversa. 2.1.2.
Propiedades derivadas del Àlgebra de Boole
Teniendo en cuenta los axiomas precedentes, pueden demostrarse las siguientes propiedades: P1:
A 5 1 6 1
P2:
A • • 7 6 7
P3:
(i#$"4't$*ia)
A 5 A 6 A A • • A 6 A
P4: P5:
(i*+'&ui.*)
A = A
P6:
(a%'ri.*)
A 5 A • • B 6 A
P7:
A • • ( A 5 B) 6 A
P8:
A + ( A • B) = A + B A • ( A + B) = A • B
P9:
Página % de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
P10:
(L$$ #$ D$ M'rga*)
A + B = A • B
P11:
A • B = A + B
P12:
Si: A + B = 1 y A • B = 7 , entonces: A = B
Un ejemplo de cómo puede demostrarse una propiedad derivada se presenta a continuación.
P1: A+1=1. En efecto: por el axioma A3 :
P2: A•0=0. En efecto: por el axioma A3 :
A + 1 = (A + 1) • 1 =
A • 7 = A • 7 + 7 =
6 (por el axioma A5 ) = (A + 1) • (A + A ) 6
6 (por el axioma A5 ) = A • 7 + A • A 6
6 (por el axioma A4 ) = A + > 1 • A = 6
6 (por el axioma A4 ) = A • > 7 + A = 6
6 (por el axioma A3 ) = A + A 6
6 (por el axioma A3 ) = A • A 6
6 (por el axioma A5 ) = 1
6 (por el axioma A5 ) = 7
De manera análoga pueden demostrarse las otras propiedades.
2.2.
DERIVACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS (LÓGICAS)
2.2.1. Operaciones sobre una única variable booleana Consideremos una variable booleana A, y apliquemos distintas operaciones lógicas F2 a la misma. La Tabla 2.2 muestra (todas) las operaciones posibles, y los resultados que pueden obtenerse, según los distintos valores de A:
A 0 1
F0
F1
F2
F3
0
0
1
1
0
1
0
1
Ta%&a --! O4$rai'*$ '%r$ u*a +aria%&$ &.gia Cada uno de los resultados corresponde a una operación sobre la variable A. Hay solamente 4 operaciones posibles: • la operación
F1 da un resultado igual al valor de la variable A.
• la operación
F- da un resultado opuesto al valor de la variable A: es la operación comple-
mentación ó negación . Por su empleo frecuente se la identifica con las siglas NOT (en inglés) (NO en castellano).
F7 y F3 dan resultados 7 y 1, respectivamente, independientemente del valor de la variable A (funciones triviales).
• finalmente, las operaciones
Resumiendo:
F 7 (A) = 7 F 1 (A) = A F - (A) = A F 3 (A) = 1 Página 9 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
2.2.2. Operaciones sobre dos variables booleanas Consideremos ahora dos variables booleanas, A y B. Procediendo en forma análoga a lo realizado para una variable, obtenemos la Tabla 2.3.
A
B
F0
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10 F11 F12 F13 F14 F15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Ta%&a -3! O4$rai'*$ '%r$ #' +aria%&$ &.gia Obsérvese que existe un eje vertical privilegiado entre las operaciones F= y F>: los resultados de la parte izquierda son simétricamente opuestos a los resultados de la parte derecha. Esta propiedad se observa también subdividiendo por mitades cada una de las partes, y así sucesivamente. Puede verificarse lo siguiente:
F7 y F1? dan resultado 7 y 1, respectivamente, independientemente de los valores de las variables (como en el caso de una variable con F7 y F3) (funciones triviales).
• las operaciones
• algunas operaciones ( F3,
F?, F17 y F1-) dan un resultado que depende de una sola varia-
ble:
F 3 (A, B) = A F ? (A, B) = B F 17 (A, B) = B F 1- (A, B) = A • aparecen finalmente otras funciones más o menos importantes, que dependen de ambas
variables, algunas de las cuales se examinan a continuación.
Operación F1 El resultado es 1 solamente cuando A6B61. Equivale, por lo tanto, a la operación producto lógico ( A• • B ) (ver Tabla 2.4).
Operación F7 El resultado es 7 solamente cuando A6B67. Equivale, por lo tanto, a la operación suma lógica ( A5B) (ver Tabla 2.4).
Operación F8 Los resultados de esta operación son exactamente los opuestos de la operación F7. Equivale, por lo tanto, a la operación complementación de la suma lógica . Esta operación es conmutativa pero no asociativa (ver Tabla 2.4).
F > (A) = A + B = A • B
Página 1' de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
Nombre nemotécnico
Operación
Operador
'"4&$"$*tai.* + *$gai.*
NOT
4r'#ut' &.gi'
AND
•
u"a &.gia > O@i*&ui+a =
OR
+
'"4&$"$*tai.* #$& 4r'#ut' &.gi'
Símbolo
NAND
'"4&$"$*tai.* #$ &a u"a &.gia
NOR
#i&$"a + O@$<&ui+a + #iu*i.*
9OR
i#$*ti#a# + $ui+a&$*ia +'*2u*i.*
⊕
A B
A
B
i*i%ii.* Ta%&a -! Fu*i'*$ &.gia #$ u' fr$u$*t$
Operación F14 Los resultados de esta operación son exactamente los opuestos de la operación F1. Equivale, por lo tanto, a la operación complementación del producto lógico . Esta operación es conmutativa pero no asociativa (ver Tabla 2.4).
F 1 (A) = A • B = A + B
Operación F6 El resultado es 1 solamente cuando A $ #iti*ta #$ B . Esta operación, de gran importancia en el cálculo binario, se denomina dilema , O-exclusiva ó disyunción (ver Tabla 2.4). La misma es conmutativa y asociativa, pero no idempotente. Puede verificarse que:
A ⊕ B = A • B + A • B A ⊕ 7 = A A ⊕ 1 = A
Operación F9 Es la operación opuesta a F6: solo vale 1 cuando A 6 B. Se la denomina identidad , equiva- lencia ó conjunción (ver Tabla 2.4). La misma es conmutativa y asociativa, pero no idempotente. Puede verificarse que:
A B = A ⊕ B = A • B + A • B A1 = A A7 = A Operaciones F2 y F4 La operación F2 es tal que si B 6 7, el resultado toma el valor de A. Si B 6 1 , el resultado vale 7, independientemente de A. Esta operación recibe el nombre de inhibición (de A por B). F4 representa la inhibición de B por A.
Página 11 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES 2.2.3.
Tablas de Verdad
Una forma común de representar una función es mediante el uso de una tabla, denominada “Tabla de Verdad ”, que reproduce todas las combinaciones posibles que pueden tomar las n variables, conjuntamente con el valor particular de la función para cada una de las combinaciones. En la Figura 2.1.se muestra esquemáticamente una Celda Sumadora Binaria ( CS ) con acarreos de entrada y salida (izquierda) y su conexión con otras celdas del mismo tipo (derecha) para conformar un sumador binario de * bits:
Figura -1! C$&#a Su"a#'ra Bi*aria La Tabla 2.5 es una Tabla de Verdad que describe el funcionamiento de una Celda Sumadora Binaria:
A
B
Ci
S = A+B+Ci
Co = acarreo de (A+B+Ci)
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 1 1 1
Ta%&a -?! Ta%&a #$ $r#a# 4ara &a C$&#a Su"a#'ra Bi*aria
2.3.
MINTERMINOS Y MAXTERMINOS
Sea A, B, , N un conjunto de variables lógicas. Definimos:
Mintérmino : término formado por el producto lógico de todas las variables del conjunto, sin omitir ni repetir ninguna; las variables pueden estar expresadas en su forma normal ó complementada. Maxtérmino : término formado por la suma lógica de todas las variables del conjunto, sin omitir ni repetir ninguna; las variables pueden estar expresadas en su forma normal ó por complementada. Propiedad: el complemento de un mintérmino es un maxtérmino, y viceversa . En efecto: sea " un mintérmino cualquiera en el conjunto de variables A, B, , N , por ejemplo:
" = A • B • L • N Si complementamos ", en virtud de la propiedad P11 (leyes de De Morgan) obtenemos:
" = A + B + L + N Página 12 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES y esta es la expresión de un maxtérmino del mismo conjunto. 2.3.1.
Teorema fundamental
En un conjunto de * variables, la suma de los 2 n mintérminos es igual a 1. Recíprocamente: el producto de los 2 n maxtérminos es igual a 0. La demostración se hace por inducción. Para *61 tenemos una sola variable (llamémosle A). El conjunto de todos los mintérminos posibles es:
A, A ? y (por el axioma A5) A + A = 1 Para *6- tenemos 2 variables: sean éstas A y B. El conjunto de todos los mintérminos posibles es: A • B , A • B, A • B , A • B . La suma de todos estos mintérminos da:
A • B + A • B + A • B + A • B = A • ( B + B) + A • ( B + B) = A + A = 1 Razonando por inducción se demuestra la validez del teorema para * variables. 2.3.2.
Otras propiedades
P13: El producto de 2 mintérminos distintos cualesquiera vale siempre 0 . En efecto: dos mintérminos son distintos cuando, al menos, una de sus variables componentes está en distinto estado en ambos. El producto de una variable lógica por su complemento es 0, lo que prueba la propiedad. P14: La suma de 2 maxtérminos distintos cualesquiera vale siempre 1 . En efecto: dos maxtérminos son distintos cuando, al menos, una de sus variables componentes está en distinto estado en ambos. La suma de una variable lógica y su complemento es 1, lo que prueba la propiedad. P15: En un conjunto de * variables, sean:
9 = ∑ "i* 2 -
H = ∑ "i* - * − - G
G
2
con G 8 * . Bajo estas condiciones, utilizando el Teorema Fundamental y la propiedad P13 puede verificarse que:
9 + H = 1 9 • H = 7 , 9 = H
y, por la propiedad P12:
P16: (correlativa de P15) En un conjunto de * variables, sean: 9 = ∏ Ma< 2 - G
H = ∏ Ma< 2 - * − - G
Bajo estas condiciones, utilizando el Teorema Fundamental y la propiedad P14 puede verificarse nuevamente que:
9 + H = 1 9 • H = 7 , y, por la propiedad P12:
2.4.
9 = H
INCLUSION. IMPLICACION.
Sean A y B dos variables lógicas. Diremos que " A i"4&ia a B ", y lo notaremos como: A ⇒ B si en todos los casos en que A 6 1, también B 6 1. La inversa no tiene por qué ser cierta.
Página 13 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES Los conocidos Diagramas de Venn utilizados en la Teoría de Conjuntos pueden facilitar la comprensión de algunas relaciones lógicas simples. Dibujemos con una curva cerrada el con junto de condiciones bajo las cuales B 6 1, y dentro de la misma otra curva cerrada representando el conjunto de condiciones bajo las cuales A 6 1:
Figura --! I*&ui.* : I"4&iai.* Es fácil ver que estos dos conjuntos guardan entre sí la relación definida para la implicación al comienzo del item. Las propiedades que surgen de esta implicación son: P17: A • B = A P18: A + B = B P19: A • B = 7 P20: A + B = 1 P21: B ⇒ A P22: Si: A ⇒ B , y además: B ⇒ C , entonces: A ⇒ C ( A ⇒ B ⇒ C ). P23: Si F es una función constituida por una suma de mintérminos dada ó por un producto de maxtérminos dado, entonces: cualquier mintérmino de la función implica a la función, y la función implica a cualquiera de sus máxtérminos. En símbolos:
"i* 2 ⇒ Ma< 2 ⇒ F ⇒ ⇒ P24: Si: A • D + B • D = 7 , entonces: B ⇒ D ⇒ A . Nota-ión: +or si'+i-idad@ en o su-esi,o o'itire'os >de ser +osi)e= e sí')oo de +rodu-to ógi-o • @ de)iendo entenderse ue AB es en reaidad e +rodu-to A• • B.
2.5.
TEOREMA DEL CONSENSO
El Teorema del Consenso se expresa con la siguiente igualdad:
A • 9 + B • 9 + A • B = A • 9 + B • 9 En la expresión (A • 9 + B • 9 + A • B) el término AB es redundante, por lo cual puede suprimirse sin alterar el valor lógico de la expresión, la que queda entonces reducida a (A • 9 + B • 9 = En efecto: cuando A• • B 6 1, tanto A como B deben valer 1, y por lo tanto:
A • 9 + B • 9 = 1 • 9 + 1 • 9 = 9 + 9 = 1 independientemente del valor de 9 . En otras palabras:
A • B ⇒ (A • 9 + B • 9 ) y aplicando la propiedad P18 se demuestra el postulado. En su forma recíproca, el Teorema del Consenso demuestra que:
(A + 9) • > B + 9 = • > A + B) = > A + 9) • > B + 9 = La utilidad de este Teorema se pondrá de manifiesto al tratar la simplificación de funciones (ver 2.11).
Página 14 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
2.6.
DESARROLLOS CANONICOS DE FUNCIONES LÓGICAS
2.6.1. Primera Forma Canónica Sea 9 una variable lógica, y f(9) una función lógica de la misma. Proponemos la siguiente expresión:
F(9) = 9 • f(7) + 9 • f(1) siendo f(7) y f(1) los valores de f(9) para los valores 7 y 1, respectivamente, de 9 . La verificación de la validez de esta expresión por simple sustitución es inmediata. Partiendo de ella, podemos ahora verificar la validez de una expresión similar, para 2 variables ( 9 e H ):
F(9,H) = 9 • H • f(7,7) + 9 • H • f(7,1) + 9 • H • f(1,7) + 9 • H • f(1,1) Y, aplicando un razonamiento inductivo, podemos obtener la expresión de una función para n variables A1 , A- , , A* como sigue:
f( A1 , A - ,, A* ) = A1 • A - • • A * • f(7,7,,7) + + A1 • A - • • A * @ 1 • A * • f(7,7,,7,1) + + A1 • A- • • A* @ 1 • A* • f(7,7,,1,7) +
,,,,,,,,,,,,,,.. + A1 • A- • • A*@1 • A* • f(1,1,,1,7) + + A1 • A- • • A* • f(1,1,,1)
Esta expresión se conoce bajo distintas denominaciones: - primera forma canónica - desarrollo en suma de productos - desarrollo “por unos ”. La denominación " desarrollo por unos " es nemotécnica, y está ligada al hecho de que en la expresión interesa considerar solamente aquellos sumandos para los cuales el valor de la función es 1. Los términos para los cuales el valor de la función es 7 no aportan nada a la función (son neutros) y pueden omitirse (véase el ejemplo en Tablas de Verdad ). 2.6.2. Segunda Forma Canónica Mediante un razonamiento equivalente podemos obtener el desarrollo de una función en su forma recíproca. Para una sola variable 9 :
F(9) = [ 9 + f(1)] • [9 + f(7)] y para * variables:
f( A1 , A- ,, A* ) = - A1 + A- + + A* + f(1,1,,1)] • • - A1 + A- + + A*@ 1 + A* • f(1,1,, 1,7)] • • - A1 + A- + + A* @1 + A* + f(1,1,, 7,1)] •
…………………………………….. • - A1 + A- + A* @1 + A* + f(7,7, ,,7,1)] • • - A1 + A- + A* + f(7,7,,7)]
Página 1# de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
Esta expresión se conoce bajo distintas denominaciones: - segunda forma canónica - desarrollo en producto de sumas - desarrollo “por ceros ”. La denominación " desarrollo por ceros " es nemotécnica, y está ligada al hecho de que en la expresión interesa considerar solamente aquellos sumandos para los cuales el valor de la función es 7. Los términos para los cuales el valor de la función es 1 no aportan nada a la función (son neutros) y pueden omitirse (véase el ejemplo en Tablas de Verdad ). 2.6.3. Ejemplo sobre una Tabla de Verdad Volviendo al ejemplo esquematizado en la Figura 2.1 (Celda Sumadora Binaria): aplicando la primera forma canónica , se obtiene:
S(A, B, C i ) = A • B • C + A • B • C + A • B • C + A • B • C C 7 (A, B,C i ) = A • B • C + A • B • C + A • B • C + A • B • C Obsérvese que cada uno de los sumandos en ambas expresiones es un "i*tJr"i*', es decir, contiene todas las variables. De la misma forma, aplicando la segunda forma canónica , se obtiene:
S(A, B,C i ) = (A + B + C) • (A + B + C ) • ( A + B + C ) • ( A + B + C) C 7 (A, B,C i ) = (A + B + C) • (A + B + C ) • (A + B + C) • ( A + B + C) Obsérvese que cada uno de los sumandos en ambas expresiones es un "a
2.7.
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
La representación de funciones tiene el propósito de mostrar las mismas en forma condensada, dejando claramente expresada su estructura y permitiendo su manipulación por el empleo de determinadas técnicas. 2.7.1. Representación Numérica Este tipo de representación es útil para el manejo de las funciones por medio de algoritmos computacionales. Se aplica a las formas canónicas de la función, reemplazando cada mintérmino ó maxtérmino por un número equivalente que lo simboliza. Consideremos una función expresada en su primera forma canónica como la siguiente:
f(A, B, C) = A • B • C + A • B • C + A • B • C + A • B • C + A • B • C Reemplacemos cada uno de los mintérminos por un número decimal equivalente que obtendremos de la siguiente manera: considerando la terna ordenada A, B, C , si la letra correspondiente está negada le asignamos el valor binario 0 ; de lo contrario le asignamos el valor binario 1. El número decimal equivalente al mintérmino será el conjunto de los tres bits expresado en notación decimal. Así:
Página 1$ de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
A • B • C ⇔ 177% = A • B • C ⇔ 717% = A • B • C ⇔ 111% = = A • B • C ⇔ 777% = 7 A • B • C ⇔ 117% = K con lo cual, la función precedente puede expresarse sintéticamente como sigue:
f(A, B, C) = ∑ (7,-,,K,= ) 3 donde el número 3 debajo del símbolo de sumatoria indica el número de variables lógicas que se están manejando. El orden dentro de los paréntesis es irrelevante, dada la propiedad conmutativa de la suma. La representación recíproca, en la segunda forma canónica, tiene también su equivalente numérico. En este caso reemplazaremos cada uno de los maxtérminos por un número decimal equivalente que obtendremos de la siguiente manera: considerando la terna ordenada A, B, C , si la letra correspondiente está negada le asignamos el valor binario 1; de lo contrario le asignamos el valor binario 7. El número decimal equivalente al maxtérmino será el conjunto de los tres bits expresado en notación decimal. Así, si:
f(A, B,C) = (A + B + C ) • (A + B + C ) • ( A + B + C ) entonces:
A + B + C ⇔ 771% = 1 A + B + C ⇔ 711% = 3 A + B + C ⇔ 171% = ? con lo cual, la función precedente puede expresarse sintéticamente como sigue:
f(A, B, C) = (1,3,?) 3
donde el número 3 debajo del símbolo de productoria indica el número de variables lógicas que se están manejando. El orden dentro de los paréntesis es irrelevante, dada la propiedad conmutativa del producto. Obsérvese que, en razón de la propiedad P15, resulta:
f(A, B, C) = ∑ (7,-,,K,= ) = ∑ (1,3,?) = (1,3,?) 3
3
3
2.7.2. Representación Gráfica: Tablas de Karnaugh La Tabla (ó Mapa) de Karnaugh es una representación matricial de la función, organizada en filas y columnas que se corresponden con cada una de las combinaciones de las variables booleanas consideradas. Las celdas que constituyen el interior de la Tabla se llenan con los valores de la función correspondientes a las combinaciones de las variables cuyas filas y columnas se interceptan en dicha celda. Por ejemplo, sea la función de 2 variables:
f(A, B) = ∑ (7,3) = A • B + A • B La representación gráfica puede adoptar la siguiente forma:
Página 17 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
A
0
1
0
1
0
1
0
1
B
Figura -3! Ta%&a #$ ar*aug #$ - +aria%&$ Para una función de 3 variables, tal como:
f(A, B, C) = ∑ (1,-,,=) = A • B • C + A • B • C + A • B • C + A • B • C 3 podríamos dibujar una Tabla de Karnaugh como la siguiente:
Figura -! Ta%&a #$ ar*aug #$ 3 +aria%&$ Un ejemplo para 4 variables:
f(A, B,C, D) = ∑ (3,?,>,13,1) = A • B • C • D + A • B • C • D + A • B • C • D + A • B • C • D + A • B • C • D
Figura -?! Ta%&a #$ ar*aug #$ +aria%&$ Como se indicó anteriormente, se escribe un 1 en la casilla de la tabla que corresponde a la combinación de las variables para las cuales la función representada vale 1, llenándose las restantes casillas con el valor 0 . Es importante notar que las líneas y columnas de la tabla se identifican utilizando el código binario reflejado . Como veremos, este tipo de escritura presenta una importancia particular para los métodos de simplificación de funciones lógicas: las combinaciones de las variables son, en efecto, “adyacentes ” (desde el punto de vista lógico), coincidiendo con la situación de adyacencia gráfica entre celdas contiguas que se observa en la figura. Nótese, particularmente, que las casillas correspondientes a las combinaciones ABCD 6 7777 y ABCD 6 1777 son adyacentes lógicamente (aunque no lo sean gráficamente, por sencillez de dibujo). Lo mismo puede decirse de las casillas ( 7771 con 1771), (7711 con 1711) y (7717 con 1717), y también de las celdas de la fila superior ( CD677) con las de la fila inferior (CD617).
Página 1% de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES Si el número de variables excede a 4, las Tablas de Karnaugh se vuelven relativamente complicadas, y se prefiere entonces extender el método de representación para 5, 6 ó más variables utilizando 2, 4 ó más tablas, respectivamente, de 4 variables cada una. 2.7.3. Pasaje de la representación gráfica a la numérica La figura siguiente muestra en un Mapa) de Karnaugh los equivalentes numéricos (entre corchetes) de los correspondientes mintérminos de una función de 4 variables:
Figura -K! Ta%&a #$ ar*aug! $ui+a&$*ia '* &a r$4r$$*tai.* *u"Jria 2.8.
FUNCIONES INCOMPLETAS
Hasta ahora hemos supuesto implícitamente que las funciones booleanas que estudiábamos estaban completamente definidas para todas y cada una de las combinaciones posibles de las variables. Pero, frecuentemente, se tienen situaciones en que el valor de la función no está especificado para algunas combinaciones, lo cual podría ser debido a que dichas combinaciones no pueden darse jamás en condiciones de funcionamiento normal del sistema, ó bien debido a que el valor de la función para dichas combinaciones puede ser, indiferentemente, 7 ó 1. Estas combinaciones, para las cuales el valor de la función no está definido, se denominan combinaciones indiferentes . En el siguiente ejemplo puede verse un pistón comandado por un distribuidor de doble efecto:
Figura -=! E2$"4&' 4ara $& $tu#i' #$ fu*i'*$ i*'"4&$ta Las llaves límites sensoras de final de carrera del recorrido del pistón (entradas) admiten las combinaciones: • 7 1 6 17 cuando el pistón está en un extremo • 7 1 6 77 cuando el pistón está transitando entre los 2 extremos) • 7 1 6 71 cuando el pistón está en el otro extremo pero no admiten la combinación 11, la que significaría que el pistón está, a la vez, en los dos extremos de su recorrido, lo que es imposible: la combinación 11 es indiferente .
Página 19 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES Con respecto a las salidas de control ( 7 y 1): para un sistema como el de la figura, una vez que se ha aplicado un comando para que el pistón cambie de posición, ya no es necesario mantenerlo sino hasta el próximo cambio de posición. Por ejemplo: si el pistón está en la posición 7 y se lo quiere enviar a la posición 1, deberá activarse la salida 0D 1601; una vez que el pistón comienza a desplazarse, dado que el distribuidor no posee muelle de retorno, conservará su posición tanto si se mantiene la salida 0D 1601 como si se aplica la salida 0D 1607. En resumen, tenemos 3 tipos de combinaciones: • aquellas para las que la función toma el valor 7 • aquellas para las que la función toma el valor 1 • aquellas para las que la función puede tomar, indiferentemente, el valor
7 ó 1. Este valor
indeterminado lo indicaremos con los símbolos “ − −” ó “Ø”. Por ejemplo, sea: F = ∑ (1,3,=,,17) + ∑ (-,,11)
donde el símbolo Q indica que las combinaciones correspondientes son indiferentes. Esta función puede representarse con la siguiente Tabla de Karnaugh:
Figura ->! Ta%&a #$ ar*aug 4ara $& $2$"4&' #$ &a Figura -= 2.9.
SIMPLIFICACIÓN Y MINIMIZACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS
NOTA: el criterio y los procedimientos de simplificación que siguen se aplican a una función expresada en su primera forma canónica (suma de productos). Las conclusiones finales se trasladarán directamente en su forma recíproca a las funciones expresadas en la segunda forma canónica (producto de sumas).
Simplificar una función booleana consiste en implementar métodos que permitan escribir la función ó realizar el circuito correspondiente bajo la forma más simple posible, conservando no obstante todas las características de la función. El problema no es puramente teórico, y el criterio de minimización que permita definir si se ha alcanzado la forma más simple de la función dependerá frecuentemente de la tecnología adoptada para la realización práctica de aquella. Así, por ejemplo, el deseo de simplificar la construcción podría eventualmente conducir a adoptar un montaje no mínimo, pero que bajo la óptica de la confiabilidad presentara los requisitos apropiados. El principio general de simplificación de una función lógica consiste en tratar de obtener una expresión mínima de la misma, aplicando algún criterio de costo . Entre los diversos criterios posibles, se aplicará el siguiente:
“Obtener el mínimo número de términos en una expresión en suma de productos, siem- pre y cuando no exista otra expresión similar con el mismo número de términos pero con menos literales”.
Página 2' de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES El término “literal ” se aplica a la enunciación de una variable, sea ésta en su forma natural ó complementada. 2.9.1.
Expresión “irredundante” ó “irreducible”
Se dice que una expresión en suma de productos (primera forma canónica) es irredundante ó irreducible cuando no pueda eliminarse ningún término ni ningún literal de la misma sin alterar su valor lógico. Lo explicamos con un ejemplo. Sea:
f(A, B,C) = ∑ (-,7,,3,= ,?) = A • B • C + A • B • C + A • B • C + A • B • C + A • B • C + A • B • C 3
cuya Tabla de Karnaugh es:
Figura -! Ta%&a #$ ar*aug 4ara $& $2$"4&' Agrupando, respectivamente, los términos (1° y 2°), (2° y 3°), (4° y 5°), y (5° y 6°), y aplicando los axiomas y propiedades, la expresión anterior se reduce a:
f(A, B, C) = A • C + B • C + B • C + A • C (un mismo término puede usarse varias veces, en virtud de la propiedad de idempotencia). La expresión obtenida es irredundante: eliminar cualquier término ó cualquier literal de un término daría una expresión no equivalente a la función. Obsérvese que la forma simplificada ya no está expresada, en general, en suma de mintérminios, sino de términos-producto más reducidos (con menor número de literales). Podemos obtener otras formas irredundantes. Por ejemplo: combinando los términos (1° y 2°), (3° y 6°) y (4° y 5°) se obtiene:
f(A, B, C) = A • C + A • B + B • C y combinando los términos (1° y 4°), (2° y 3°) y (5° y 6°):
f(A, B, C) = A • B + B • C + A • C Pueden obtenerse otras formas irredundantes usando diferentes combinaciones. Observamos que las dos últimas contienen un término menos que la primera y que ambas tienen igual “ co- sto ”: 3 términos con 2 literales cada uno. Puede verificarse que estas dos últimas son expresiones mínimas, mientras que, obviamente, la primera forma no lo es, a pesar de ser irredundante. En conclusión:
“Una expresión irredundante no es necesariamente mínima, y la expresión mínima no siempre es única”.
SIMPLIFICACIÓN GRÁFICA SOBRE EL MAPA DE KARNAUGH 2.10.1. Subcubos 2.10.
En un Mapa de Karnaugh de N variables, definiremos como “ subcubo ” a una colección de 2m casillas en donde la funcion vale 1, donde cada casilla es adyacente a otras m casillas de la colección. Cada subcubo puede expresarse como un término-producto compuesto por ( N – m )
Página 21 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES literales: los m literales excluidos del producto se eliminan debido a que sus 2m combinaciones (todos los mintérminos de las m variables) aparecen en el subcubo multiplicadas por un mismo factor: por el Teorema Fundamental, la suma de las 2m combinaciones da 1, quedando solamente el factor común. La tabla siguiente ejemplifica diversos subcubos, en tanto que el Mapa de Karnaugh que le sigue muestra algunos posibles.
m (orden del subcubo) 2m (tamaño del subcubo) 0
1 celda
1
2 celdas
2
4 celdas
3
8 celdas
4
16 celdas
.....
..... Subcubo
de orden 0 A.B 00
01
11
10
00
1
0
0
0
01
0
0
1
1
11
0
1
1
0
10
0
1
1
0
C.D
Subcubo
Subcubo de orden 1
de orden 2
Figura -17! Su%u%' Para obtener la expresión completa de la función debemos recubrir todos los unos de la tabla con subcubos, ya sea aislados ó parcialmente superpuestos (uso de la idempotencia). La función quedará representada por una suma de términos-producto correspondientes a los subcubos necesarios para cubrir todas las celdas con valor “ 1”. El número de términos será igual al número de subcubos, mientras que el número de literales en cada término dependerá del tamaño del subcubo. Para obtener una expresión mínima deben cubrirse todas las celdas con valor “ 1” con el menor número de subcubos, y tal que cada subcubo sea lo más grande posible, considerando que: • cuanto mayor sea el tamaño de un subcubo, tanto más sencilla será la expresión que repre-
sente (en términos de número de literales), si existe más de una forma de cubrir el mapa con un número mínimo de subcubos, debe seleccionarse la cobertura constituida por subcubos más grandes. • la expresión correspondiente a un subcubo es un término igual al producto de las variables
que conservan su valor en todas las celdas del subcubo: si la variable vale 1 aparecerá en el término sin complementar; si vale 7, aparecerá en su forma negada. Por ejemplo, en el Mapa del ejemplo precedente:
* el subcubo de orden 0 tiene por expresión: A • B • C • D * el subcubo de orden 1 tiene por expresión: A • C • D * el subcubo de orden 2 tiene por expresión: B • C Página 22 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES • un subcubo incluido totalmente dentro de otro subcubo no debe utilizarse, por cuanto cubre
sólo parcialmente los unos cubiertos por el segundo, el cual, en razón de su mayor tamaño, se representa con un término más sencillo • un subcubo recubierto totalmente por otros subcubos es redundante y no debe utilizarse,
por cuanto los unos que recubre ya están cubiertos por aquellos ( Teorema del Consenso ). Esto garantizará que la expresión de la función sea verdaderamente mínima, y que no exista ninguna otra expresión conteniendo el mismo número de términos pero con menos literales. La metodología práctica es la siguiente: a.
Cubrir con subcubos de orden 0 (1 casilla) los “1” aislados, que no pueden combinarse con otras casillas para formar subcubos de orden 1 (2 casillas).
b.
Cubrir con subcubos de orden 1 (2 casillas) los pares de “1” que no pueden combinarse con otras casillas para formar subcubos de orden 2 (4 casillas).
c.
Cubrir con subcubos de orden 2 (4 casillas) los conjuntos de cuatro “1” que no pueden combinarse con otras casillas para formar subcubos de orden 3 (8 casillas).
d.
Continuar de la misma manera hasta cubrir todos los “1” del mapa.
En el ejemplo de la Figura 2.10, la expresión mínima de la función será:
F = A • B • C • D + A • C • D + B • C 2.10.2. Síntesis “por ceros” Como se dijo, las conclusiones obtenidas hasta ahora pueden traducirse en términos de desarrollo por ceros, sin necesidad de efectuar un desarrollo paralelo. Aplicando el principio de reciprocidad, todo lo que tenemos que hacer es recubrir los “ 7” del mapa con subcubos, cada uno de los cuales tendrá por expresión un término-suma constituido por la unión de las variables que no cambian en el interior del subcubo: si la variable vale 7 aparecerá en el término sin complementar; si vale 1, aparecerá en su forma negada. En el ejemplo de la Figura 2.10, la expresión mínima de la función será:
F = (B + C ) • (A + C + D ) • ( B + C + D) • ( A + B + D) 2.11.
FUNCIONES MINIMAS Y SUS PROPIEDADES
2.11.1. Implicante primo La simplificación gráfica tiene, por supuesto, su contraparte teórica. Se denomina implicante primo de una función F expresada en suma de productos a un término-producto i4 que es cubierto por F (es decir, que i4 implica a F ), tal que la supresión de cualquier literal de i4 resulta en un nuevo término-producto que ya no es cubierto por F . Expresado de otra forma, i4 es un implicante primo de F sólo si i4 implica a F , pero no implica a ningún término-producto con menor cantidad de literales que a su vez implique a F (recuérdese que, por la propiedad P18, la suma de un implicante y su implicado da como resultado al segundo). Por ejemplo, en la función:
F = A • B + A • B • C + A • C
* puede verificarse que el término A • B no es un implicante primo, puesto que, aunque es cubierto por F , también es cubierto por B, que, a su vez, implica a F . En efecto, si B61, entonces: F = A • B + A • B • C + A • C ≡ A + A • C + A • C = A + A = 1 * por la misma razón, el término A • B • C tampoco es un implicante primo Página 23 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
* no obstante, el término A • C sí es un implicante primo, puesto que ni A ni C por sí solos implican a F . Puede demostrarse que esta función se simplifica a F = B + A • C Teorema:
Toda suma de productos irredundante equivalente a una función F es una unión de im- plicantes primos de F. Demostración: Sea F1 una expresión en suma de productos irredundante equivalente a F , y supongamos que F1 contiene un término-producto t4 que no es un implicante primo . Como t4 no es un implicante primo, es posible reemplazarlo por otro término producto que tenga un número de literales menor. Por lo tanto, F1 contiene literales redundantes, lo que contradice la hipótesis inicial. Nos proponemos ahora generar el conjunto de todos los implicantes primos de F , y de este conjunto seleccionar aquellos cuya unión produzca una expresión mínima para F . Supondremos que F está expresada en su primera forma canónica (en suma de productos). Entonces, aplicando la propiedad de adyacencia ( A • 9 + A • 9 = A ) a un par de mintérminos obtendremos un término-producto más sencillo que implica a F . Repetidas aplicaciones de la propiedad a todos los pares de términos que difieran en el valor de sólo una variable producirán un con junto de términos-producto, cada uno de los cuales implicará a F . Un término-producto que no pueda combinarse con ningún otro término-producto para dar un nuevo término-producto aún más pequeño (con menos literales) será un implicante primo de F . De este modo, el primer paso en la determinación de la expresión mínima de la función es una combinación sistemática de términos. El segundo paso, consistente en seleccionar el conjunto mínimo de implicantes primos, es, en general, más complicado. En el mapa de Karnaugh un implicante primo se corresponde con un subcubo que no está contenido dentro de otro subcubo de mayor tamaño. 2.11.2. Implicantes primos “esenciales” y “secundarios” Como su nombre indica, un implicante primo esencial ó principal es aquel que es imprescindible para la realización de la función. Por el contrario, un implicante primo secundario es un implicante primo redundante, que puede omitirse sin menoscabo de la función. Que sea redundante significa que su función ya ha sido cumplida por otros 2 ó más implicantes primos, es decir, que el implicante primo secundario está cubierto por 2 ó más implicantes primos esenciales.
Un implicante primo esencial no puede estar cubierto por ninguna unión de implicantes primos. Aclararemos el concepto con el siguiente ejemplo: A.B C
00
01
11
10
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
Implicante primo secundario
Implicante primo principal
Figura -11! I"4&ia*t$ 4ri"'
Página 24 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES La Figura 2.11 muestra dos implicantes primos esenciales. El implicante primo que recubre los unos de la columna AB 6 71 es secundario, puesto que cubre unos que ya han sido cubiertos por los esenciales. El “Teorema del Consenso ” (ver 2.4) explica por qué los implicantes primos secundarios pueden eliminarse de la expresión de la función. En la Figura 2.11:
A • B ⇒ A • C + B • C A • B + A • C + B • C = A • C + B • C .
por lo que:
Cuando se simplifican expresiones por medio de un Mapa de Karnaugh, se comienza seleccionando los implicantes primos esenciales. Esto se lleva a cabo formando primero los subcubos máximos de “1” que puedan combinarse para formar solamente un subcubo. Cualquier otro subcubo cuyos “1” estén contenidos en cualquier otro (u otros) subcubo(s) corresponde a un término redundante, y no necesita ser considerado. En conclusión:
“El conjunto de todos los implicantes primos esenciales debe estar contenido en cual- quier expresión irredundante en suma de productos, en tanto que cualquier implicante primo cubierto por la suma de los implicantes primos esenciales no debe estar conteni- do en una expresión irredundante”.
2.12.
USO DE LAS COMBINACIONES INDIFERENTES
Las combinaciones indiferentes pueden utilizarse con provecho para obtener expresiones de funciones más simples. En efecto: dado su carácter de indefinidas, es lícito asignarles cualquier valor útil, con el propósito de obtener subcubos de mayor tamaño (y por lo tanto, de expresión más simple). El siguiente ejemplo aclara el concepto: A.B C.D
00
01
11
10
0
0 1
00
0
01
1
0
0
11
1
1
0
0
0
10
1
Figura -1-! U' #$ '"%i*ai'*$ i*#if$r$*t$
* redundancia en ABCD67177: conviene asignarle el valor “ 7”, pues no se aumenta el tamaño de ningún subcubo asignándole el valor “ 1” * redundancias en ABCD61711 y 7717: conviene asignarles valor “ 1”, pues esto permite formar subcubos de orden 2
2.13.
ALEATORIOS TECNOLÓGICOS
Hasta este punto hemos supuesto implícitamente que los dispositivos físicos utilizados para sintetizar las funciones lógicas eran elementos lógicos perfectos , poseyendo solamente 2 estados estables mutuamente excluyentes . En su mayoría, los elementos lógicos disponibles comercialmente no se comportan como dispositivos perfectos, lo cual acarrea que las funciones sintetizadas mediante estos dispositivos puedan exhibir un comportamiento no esperado, tomando momentáneamente un valor 7 cuan-
Página 2# de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES do debería mantenerse en 1 ó viceversa. Al este fenómeno lo denominaremos comportamien- to aleatorio , y a la causa del mismo aleatorio tecnológico . 2.13.1. Aleatorio con tecnología eléctrica La Figura 2.13 muestra el esquema de una llave inversora, donde: • • •
C = contacto común (en inglés: C ommon ) NC = contacto normal cerrado (en inglés: NC = N ormally C losed ) NA = contacto normal abierto (en inglés: NO = N ormally O pen )
Figura -13! L&a+$ i*+$r'ra La corriente que entra por el contacto C se bifurca hacia el contacto NC ó hacia el contacto NA, según la posición de la llave. La llave esquematizada corresponde al funcionamiento “ abrir an- tes de hacer (contacto)” (break-before-make , en inglés): primero se abre el contacto NC y luego se cierra el contacto NA. Si designamos con X a una variable lógica que represente el estado de la llave, el contacto NC estará asociado con el estado de reposo de la misma ( 9 ), y el contacto NA estará asociado con el estado de “llave accionada” ( 9 ), y en cualquiera de estos dos estados se cumple el Algebra de Boole: 9 + 9 = 1 . Pero, si consideramos el breve momento en que el contacto está cambiando de NC a NA ó viceversa, durante ese período el contacto común C queda abierto, y el comportamiento físico viola el Algebra de Boole: 9 + 9 = 7 !. Existe otro tipo de llave en el que primero se cierra el contacto NA y luego se abre el contacto NC: corresponde al funcionamiento “hacer (contacto) antes de abrir ” (make-before-break , en inglés): su funcionamiento viola momentáneamente el Algebra de Boole haciendo 9 • 9 = 1 !. 2.13.2. Aleatorio con tecnología electrónica La Figura 2.14 muestra el esquema de una simple compuerta inversora, y la relación ideal entre su entrada y su salida: H U
L U
,>1= 'ín. A
,>0= 'á&.
A A
A
,>1= 'ín.
A A
,>0= 'á&. t1
.
Figura -1! C'"4u$rta i*+$r'ra! r$ai.* i#$a&
t2
Figura -1?! R$ai.* t4ia
No obstante, tal como se observa en las hojas de datos de fabricantes, ó como puede comprobarse con un buen osciloscopio, la relación real adopta la forma indicada en la Figura 2.15. Obsérvense los instantes t1 y t-, en donde realmente comienza la reacción de la salida ante la variación de la entrada aplicada: hasta que la entrada no alcanza los niveles correspondientes a dichos tiempos (+(1) "* y +(7) "< , respectivamente) la salida no comienza a variar. Pueden
Página 2$ de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES observarse dos franjas sombreadas, UH y UL, en donde el Algebra de Boole no se cumple: en UH: A • A = 1 ; en UL: A + A = 7 . 2.13.3. Tecnología neumática Las características físicas de los dispositivos neumáticos utilizados como elementos lógicos hacen que los mismos no presenten comportamientos aleatorios. 2.13.4.
Manifestación del aleatorio tecnológico
El hecho de que un elemento físico presente un comportamiento aleatorio no implica de por sí que su empleo en la síntesis de una función ocasione efectos aleatorios sobre la misma. Para que ello ocurra debe darse el caso de que: a. la función contenga uno ó más implicantes incluyendo cierta variable (llamémosla 9 ) y uno ó más implicantes incluyendo el complemento de dicha variable b. sea posible una ó más combinaciones de las variables que hagan que la función dependa del producto ó de la suma de 9 y su complemento Por ejemplo, sea: F = A • C + B • C . Si las entradas A y B toman respectivamente el valor 7 y 1,
F depende entonces de ( C + C) , quedando entonces expuesta al aleatorio tecnológico que se produciría al cambiar el estado de la variable C . Otro ejemplo: F = > A + C = • > B + C = . Si las entradas A y B toman respectivamente el valor 1 y
7, F depende entonces de (C • C ) , quedando entonces expuesta al aleatorio tecnológico que se produciría al cambiar el estado de la variable C . Las dos condiciones se encuentran cuando la función incluye al menos dos subcubos adyacentes. En efecto, • por ser subcubos diferentes, ello garantiza que se cumple la condición a. • por ser subcubos adyacentes, en la frontera de adyacencia cambia una única variable, per-
maneciendo constantes todas las demás, lo que hace que se cumpla la condición b. Los ejemplos citados arriba corresponden a la función cuya Tabla de Karnaugh está representada por la Figura 2.16. Obsérvese la frontera entre los subcubos y la evolución temporal de F :
Figura -1K! "a*if$tai.* #$& a&$at'ri' t$*'&.gi' Mientras AB 6 71 , F debería mantenerse en el valor 1; pero en la frontera entre los dos subcubos, F depende de > C + C) que, al cambiar C , toma momentáneamente el valor 7. 2.13.5. Eliminación del aleatorio sobre la función Si bien no podemos evitar que se produzca el aleatorio tecnológico, porque el mismo es un fenómeno constructivo del elemento físico, podemos no obstante “enmascarar” su efecto sobre la función, de modo que el aleatorio no se evidencie sobre esta última.
Página 27 de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES La solución es simple: consiste en agregar un subcubo que cubra las celdas en la frontera de conflicto, tal como muestra la Figura 2.17. Este subcubo corresponde a un implicante primo secundario (redundante, puesto que cubre 1s que ya han sido cubiertos por otros subcubos (implicantes primos principales)). A.B C
00
01
11
10
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
Implicante primo secundario
Figura -1=! $*"aara"i$*t' #$& a&$at'ri' t$*'&.gi' Con este agregado: F = A • C + B • C + A • B . Si las entradas A y B toman respectivamente el valor 7 y 1, F 6 1 independientemente de las variaciones de C .
Página 2% de 29
Teoría de SISTEMAS COMBINACIONALES
3.
BIBLIOGRAFÍA
•
World Wide Web (www)
•
www.wikipedia.com: recomendamos esta enciclopedia en-línea, donde pueden consultarse temas diversos, con numerosos enlaces y referencias para profundizar su estudio
•
Circuitos electrónicos digitales (Teoría y Práctica) – Mandado - Editorial Marcombo
•
Diseño digital: principios y prácticas – Wakerli - Editorial Prentice Hall Hispanoamericana
•
Circuitos Neumáticos, Eléctricos e Hidráulicos - E. Farrando
•
Servocomandos Neumáticos - Uggeri
•
Dispositivos Neumáticos - Depert
•
Serie Schaum: Principios Digitales - Tokheim
•
Elementos y Esquemas de la Neumática - Editorial MIR
•
Control de Motores Eléctricos - Editorial Marcombo
Página 29 de 29
