Com1_Resueltos_T04

Ejercicios COM1 (Cabrera, Fernández-Rubi Fernánde z-Rubio) o)

1

ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACION UPC http://www.etsetb.upc.es/

Asignatura: COMUNICACIONES I Ejercicios resueltos

Autores: (Profesores de la asignatura) Margarita Margarita Cabre ra Beán Juan Juan A. Fernández Rubio http://gps-tsc.upc.es http://gps -tsc.upc.es/comm/ /comm/

Noviembre 2004-11-24


1 2

2

INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................................3 PROCE PRO CESOS SOS ALEAT AL EATORI ORIOS OS ............ .................. ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ .........3 ...3 2.1 Ejercicio Ejer cicio 1 de Examen Exam en de control cont rol 8 Abril A bril 2003 ............ .................. ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ .......3 .3 2.1.1 Enunciado.........................................................................................................................................................3 2.1.2 Resolución........................................................................................................................................................4 2.2 Ejercici Ejer cicioo de Examen Exam en de control cont rol 8 Abril Abri l 2003 2003...... ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ...........6 .....6 2.2.1 Enunciado.........................................................................................................................................................6 2.2.2 Resolución........................................................................................................................................................7 2.3 Ejercicio de Examen de control Octubre 2004 Grupo 10...................................................................................9 2.3.1 Enunciado.........................................................................................................................................................9 2.3.2 Resolución......................................................................................................................................................10 2.4 Ejercici Ejer cicioo de Examen Ex amen de d e control con trol Novie N oviembre mbre 2004 2 004 Grupo G rupo 10 1 0 ............ .................. ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ........12 ..12 2.4.1 Enunciado.......................................................................................................................................................12 2.4.2 Resolución......................................................................................................................................................13 2.5 Ejercicio Ejerc icio 1 de Examen Exame n Final Junio 2004 ............ .................. ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ...........14 .....14 2.5.1 Enunciado.......................................................................................................................................................14 2.5.2 Resolución......................................................................................................................................................15 3 PROCES PRO CESOS OS ALEATO ALE ATORIO RIOS S PASO PAS O - BANDA ............ .................. ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............18 ......18 3.1 Ejercicio Ejercic io de Exame E xamenn de contro co ntroll Noviemb Nov iembre re 2004 200 4 Grupo Gru po 10 ............ .................. ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ........18 ..18 3.1.1 Enunciado.......................................................................................................................................................18 3.1.2 Resolución......................................................................................................................................................19 4 FM ..................................................................................................................................................................................... 23 4.1 Ejercicio 3 de Examen Final de P03.....................................................................................................................23 4.1.1 Enunciado.......................................................................................................................................................23 4.1.2 Resolución......................................................................................................................................................24 5 Modula Mod ulacio ciones nes Digita Dig itales les ................................................................................................................................................. 27 5.1 Ejercicio 3 de Examen Exa men Final Fin al de T04 ............. ................... ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ...........27 .....27 5.1.1 Enunciado.......................................................................................................................................................27 5.1.2 Resolución......................................................................................................................................................28


3

1 INTRODUCCIÓN 2 PROCESOS ALEATORIOS 2.1 2.1 Ejercicio 1 de Examen de contro l 8 Ab ril 200 2003 3

2.1.1 Enunciado Sea X(t ) un proceso aleatorio cicloestacionario, y

T c el periodo de su función de autocorrelación:

R X (t + τ , t ) = RX (t + Tc + τ , t +T c ) . Su densidad espectral es

S X ( f ) = TF ( Rˆ X (τ ) ) siendo Rˆ X (τ ) =

1 RX (t + τ ,t )dt la correlación T c

∫

promediada temporalmente. tempo ralmente. Sea Y(t) el proceso obtenido a la salida de un sistema lineal invariante de respuesta impulsional entrada se presenta X( presenta X(t). t). a) Demuestre que Y(t) es también cicloestacionario. Para ello calcule su correlación

h (t ) cuando a la

RY (t + τ , t ) en

función de R X (t + τ , t ) y de h (t ) . (NOTA: No es necesario que realice el cálculo para la media, dada la analogía con el desarrollo para la correlación). b) Calcule la correlación promediada temporalmente del proceso de salida y de

Rˆ Y (τ ) en función de Rˆ X (τ )

h (t ) .

c) Calcule su densidad espectral

SY ( f ) = TF ( RˆY (τ ) ) en función de S X ( f ) y de H ( f ) . Observe

que se obtiene la misma relación que para procesos estacionarios. d) Si X ( t) = cos(2π 1000 t ) + W (t ) , con W (t ) ruido blanco estacionario, de media nula y densidad espectral

N 0 2

,y

h (t ) la respuesta de un filtro filtro paso bajo ideal de ancho de banda 2KHz, calcule

Rˆ X (τ ) , T c y SY ( f ) .

Ejercicios COM1 (Cabrera, Fernández-Rubio)

4

2.1.2 Resolución SOLUCION

En todo el ejercicio se consideran los procesos como señales aleatorias reales. Apartado a)

X (t )

Y (t )

h(t)

+∞  +∞  R y ( t + τ ,t ) = E [y (t + τ ) y (t ) ] = E  ∫ x (t + τ − α )h (α )dα ∫ x (t − λ )h (λ )d λ  =  −∞  −∞ +∞+∞

+∞+∞

−∞−∞

−∞−∞

∫ ∫ E [x (t + τ − α )x (t − λ )] h(α )dα h( λ )d λ = ∫ ∫ R (t +τ −α , t − λ )h α( )dα h(λ )d λ x

R y ( t + τ , t ) , respecto al origen de tiempos t , viene dada a través de la autocorrelación del proceso de entrada R x (t + τ , t ) Dado que la dependencia de la autocorrelación del proceso de salida

R X (t + τ , t ) = RX (t + Tc + τ , t + T c )

⇒ R (t + , t) = R (t + T + ,t +T ) Y

τ

Y

c

τ

c

Por tanto el proceso de salida es cicloestacioario y tiene el mismo cicloperiodo que el proceso de entrada: T c

Apartado b)

1 Rˆ Y (τ ) = RY (t + τ ,t )dt = T c

∫

T c

+∞+∞

CambioVariable :  γ = t − λ 

∫ ∫ ∫

R x (t + τ − α , t − λ )dth (α )dα h( λ)d λ = 

1 T c

−∞−∞ +∞+∞

0 T c −λ

∫ ∫ ∫ R (γ + λ + τ − α ,γ )dγ h (α )dα h(λ)d λ = 1 T c

−∞−∞ +∞+∞

x

−λ

∫ ∫ Rˆ (τ + λ − α )hα( )dα h(λ )d λ = Rˆ (τ )*h(τ )*h (−τ ) x

x

−∞−∞

La relación que se cumple para la correla ción de procesos estacionarios a través de sistemas invariantes lineales, puede por tanto aplicarse a la correlación promediada de procesos cicloestacionarios a través de sistemas invariantes lineales. Apartado c )

La relación que se cumple para la densidad espectral de procesos estacionarios a través de sistemas invariantes lineales, puede por tanto aplicarse a la densidad espectral de procesos cicloestacionarios a través de sistemas invariantes lineales.


5

SY ( f ) = TF ( Rˆ Y(τ )) = TF ( Rˆ x(τ )* h(τ )* h (−τ )) = 2 2 TF ( Rˆ x (τ ) ) H ( f ) = S X ( f ) H ( f )

Apartado d)

Proceso de entrada: Cálculo de autocorrelación.

R X (t + τ , t ) = E [x (t + τ ) x(t ) ] = E [ cos(2π1000( t + τ ))cos(2π 1000t ) ] + E [W ( t + τ )W (t ) ] = 1 2

cos(2π 1000(2t + τ )) + 12 cos(2π 1000τ ) + N 20 δ (τ ) Tc =

1 2000

= 0.5mseg

Dado que el proceso es cicloestacionario, calculamos su autocorrelación promediada:

Rˆ X (τ ) = 12 cos(2π 1000τ ) + N 20 δ (τ ) Densidad espectral:

S x ( f ) = 14 δ ( f − 1000) + 14δ ( f + 1000) + N 20

f Densidad espectral del proceso de salida: Considerando q ue H ( f ) = Π ( 4000 )

2

 f    4000 

SY ( f ) = S X ( f ) H ( f ) = 14 δ ( f − 1000) + 14 δ ( f + 1000) + N 20 Π 


6

2.2 Ejercicio d e Examen de contro l 8 Ab ril 2003

2.2.1 Enunciado En un enlace de radiocomunicaciones (canal AWGN) se coloca una estación repetidora, de modo que el esquema resultante total es el siguiente. w1(t) S T x(t)

w2(t)

z (t ) h1(t) CANAL 1

+

HG(f) SISTEMA REPETIDOR

h2(t)

+

y D (t ) = xD (t ) + nD (t )

HR (f)

CANAL 2

Considere todas las señales reales, aleatorias, estacionarias y estadísticamente independientes entre sí;

Sw1 ( f ) = Sw2 ( f ) = N 20 ; h1( t) = h2 ( t) = αδ ( t − td ) , HG ( f ) = G Π ( 2 f B x ) , B x ancho de banda de X(t), H R ( f ) = Π ( 2 f B x ) . a) Calcule la relación de potencias señal a ruido función de los parámetros

SNR1 sobre la señal de salida del repetidor z(t) en

ST ,α , N0 , Bx .

SNR1 y de α , para que la potencia transmitida por el sistema repetidor sea igual a la transmitida por el transmisor: ST = E  z2 (t) 

b) Calcule el valor necesario de G en función de

SNR D y la pérdida en dB respecto a SNR1 Evalúe dicha pérdida si ST = 1watt ,α = 0.5, N0 = 5.10 −6 watts / Hz, Bx = 5 KHz

c) Calcule la relación de potencias señal a ruido

Suponga a partir de este punto que el segundo tramo de canal deja de ser ideal:

H 2 ( f ) =

α

1+ β e

− j (π f / 2 Bx )

y el

resto de sistemas y señales no cambian respecto al planteamiento inicial. d) Demuestre que s i a continuación del filtro receptor H R ( f ) , se coloca un ecualizador FIR de respuesta

hQ (t ) = δ (t ) + βδ( t −T ) , se elimina totalmente la distorsión producida sobre la señal útil. Halle el valor adecuado del retardo T . e) Identifique los términos de señal útil y de ruido a la salida del ecualizador y obtenga y dibuje la densidad espectral de ruido en este punto. f) Calcule la relación señal a ruido a la salida del ecualizador en función de los parámetros que considere necesarios.


7

2.2.2 Resolución Apartado a)

Salida sistema repetidor: Con

z (t ) = Gα x (t − t d ) + n1 (t )

n1 (t ) = w1 (t) * hG (t ) 2

Potencia señal útil: Potencia señal de ruido:

S D = E ( Gα x (t − td ) ) 

+ B x

= E  ( n1 (t ) )  = G ∫ N 2 df = GBx N 0 − B 2

D

 = Gα 2 P = Gα 2 S x T  0

x

Relación de potencias:

SNR1 =

α 2 S T

B x N 0

Apartado b)

Se desea que

ST = E  z2 (t )  = Gα 2 ST + GB x N 0

Por tanto:

G=

ST SNR1 = 2 2 α ST + Bx N 0 α (1 + SNR1 )

Apartado c )

A la salida del filtro H R ( f ) se tiene:

y D (t ) = Gα 2 x (t − 2t d ) + n1 (t ) + n2 (t ) Con

n1 (t ) = w1 (t) * hG (t) * h2 (t) * hR (t )

Potencia señal útil:

Potencia señal de ruido:

n2 (t ) = w2 (t) * h R (t )

S D = E ( Gα 2 x(t − 2td ) )  D

2

 = Gα 4 P = Gα 4S x T 

2 = E  ( n1 (t) + n2 ( t) )  = Gα 2 Bx N0 + Bx N 0

Gα 4ST Gα 2 SNR1 = SNR1 2 = SNR1 Relación de potencias: SNR D = 2 (Gα + 1) B x N 0 Gα + 1 2SNR1 + 1  SNR1  Pérdidas en dB: 10log10    2SNR1 + 1  Sustituyendo los valores dados:

SNR1 =

α 2 S T

B x N 0

= 10

Pérdidas en dB=-3,22

Apartado d)

Función de transferencia del ecualizador: Con lo que:

HQ ( f ) = 1+ β e − j 2π fT

1 + β e− j 2π fT − j2π ftd Π ( 2 fB x ) = Gα 2Π ( 2 Bf x ) e− j2π ft d H1( f ) HG ( f ) H 2 ( f ) H R ( f ) HQ ( f ) = Gα − jπ f / 2 B x e 1+ βe 2


8

y por tanto a la salida del filtro H R ( f ) se tiene:

y D (t ) = Gα 2 x (t − t d ) + n1( t ) + n2 (t ) Con

n1 (t ) = w1 (t) * hG (t) * h2 (t) * hR (t) * hQ (t )

n2 (t ) = w2 (t) * h R (t) * hQ (t )

De modo que la señal útil no presenta distorsión, siempre que

T = 4 B1 x

Apartado e )

En y D (t ) = xD (t ) + nD ( t) = Gα 2 x (t − t d ) + n1 (t) + n2 (t ) , el primer sumando es la señal útil y el resto la señal de ruido: Densidad espectral de ruido: 2

Sn D ( f ) = S w1 ( f ) HG ( f )H 2 ( f ) H R ( f ) H Q ( f ) + S w2 ( f ) H R ( f )H Q ( f ) 2

= N2 ( Gα 2 + 1 + β e − j2π fT ) Π ( 2 B f ) = 0

x

N 0 2

2

( Gα 2 + 1 + β 2 + 2 β cos(2π fT ) ) Π ( 2 Bf ) x

Apartado f)

Potencia señal útil

S D = Gα 4 Px = G α 4S T


N D = E  (n D (t ) )  = 2

+ B x

∫ S

n D

( f )df = N 0B x (Gα 2 + 1 + β 2 + 4πβ )

− B x

α 2 S T Gα 4 ST = SNR1 Relación señal a ruido: SNR D = 2 2 4β N0 B x (Gα + 1 + β + π ) (Gα 2 + 1 + β 2 + 4πβ )


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2.3 Ejercicio d e Examen d e co ntro l Octu bre 2004 Grup o 10

2.3.1 Enunciado Sea un proceso aleatorio complejo z ( t ) = x (t ) + jy (t ) tal que las partes real (t ) e imaginaria vez procesos aleatorios caracterizados por las funciones de R x ( t + τ , t ) , R y ( t + τ, t ) , Rxy ( t + τ, t ) , Ryx ( t + τ,t ) . 1. Obtenga la función de autocorrelación

y (t ) son a su correlación

R z ( t + τ , t ) = E [ z (t + τ ) z * (t )] en función de

R x ( t + τ , t ) , R y ( t + τ, t ) , Rxy ( t + τ,t ) , Ryx ( t + τ ,t ) . Un proceso aleatorio complejo se denomina circularmente simétrico cuando se cumple

R zz* ( t + τ , t ) = E [ z (t + τ ) z (t ) ] = 0 2. Obtenga las condiciones que deben cumplir las funciones R x ( t + τ , t ) , R y ( t + τ, t ) , Rxy ( t + τ,t ) , Ryx ( t + τ ,t ) para que el proceso z ( t) = x (t ) + jy (t ) sea circularmente simétrico. 3. Si h (t ) es la respuesta impulsional de un sistema lineal e invariante y z ( t ) = x (t ) + jy (t ) es un proceso aleatorio circularmente simétrico, averigüe si v (t ) = z (t) * h( t) es o no es circularmente simétrico. 4. Si z ( t ) = x (t ) + jy (t ) es un proceso aleatorio circularmente simétrico av erigüe si v (t ) = z (t) e j 2π fct es o no es circularmente simétrico. Calcule también su función de autocorrelación

Rv ( t + τ , t ) en

función de R z ( t + τ , t ) 5. Sea el proceso z ( t ) = e j(ϕ +2 π t ) en el que ϕ es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad

f ϕ (ϕ ) =

1 2π

Π ( 2ϕπ ) .

Calcule

R z ( t + τ , t ) , R zz* ( t + τ , t ) , S z ( f ) y P z . ¿Es z (t )

z (t ) circularmente simétrico? Obtenga R x ( t + τ , t ) , R y ( t + τ, t ) , Rxy ( t + τ,t ) , Ryx ( t + τ ,t ) a partir de las correlaciones anteriores. estacionario?

¿Es


10

2.3.2 Resolución Apartado 1

R z ( t + τ , t ) = E [z (t + τ ) z * (t )] = E ( x (t + τ ) + jy ( t + τ ) )( x (t ) − jy (t ))  = E [ x(t + τ )x( t )] + E [y (t + τ ) y( t )] − jE [x (t + τ ) y (t )] + jE [ y (t + τ ) x( t ) ] = R x ( t + τ , t ) + R y ( t + τ ,t ) − j ( Rxy ( t + τ , t ) − R yx ( t +τ , t ) ) Apartado 2

R zz* ( t + τ ,t ) = E [z (t + τ )z( t )] = E ( x(t +τ ) + jy(t + τ )) ( x (t ) + jy (t ))  = E [ x(t + τ )x( t )] − E [ y (t + τ ) y( t )] + jE [x (t + τ ) y( t )] + jE [ y (t + τ ) x(t )] = R x ( t + τ , t ) − Ry ( t + τ ,t ) + j ( Rxy ( t + τ , t ) + R yx ( t + τ , t ) ) = 0 ⇒ R x ( t + τ , t ) = Ry ( t + τ , t ) R xy ( t +τ , t ) = − Ryx ( t + τ , t ) Apartado 3

Rvv* ( t + τ , t ) = E [v (t + τ )v( t )] = E  z (t + τ − λ )h (λ )dλ z (t − γ )h (γ )d γ  =

∫

∫

∫∫ E [z (t + τ − λ )z(t − γ )]h (λ )dλh(γ )d γ = ∫∫ R

zz*

Por tanto

(t +τ − λ ,t − γ ) h (λ )d λh ( γ )d γ = 0

v (t ) = z (t) * h( t) SI es circularmente simétrico

Apartado 4

Rvv* ( t + τ , t ) = E [v (t + τ )v( t )] = E  z (t + τ )e j 2π f c ( t +τ ) z (t )e j2π fc t  = R zz* ( t + τ , t ) e j2π fc (2 t +τ ) = 0 Por tanto

v (t) = z (t) e j 2π fct SI es circularmente simétrico

Cálculo de la función de autocorrelación:

Rvv ( t + τ , t ) = E [v (t + τ )v * (t )] = E  z (t + τ )e j 2π f c ( t +τ ) z *(t )e − j2π fc t  = R z ( t + τ , t ) e j 2π f cτ Apartado 5

R z ( t + τ , t ) = E [z (t + τ ) z * (t )] = E e j( 2π (t +τ ) +ϕ )e − j (2π t+ϕ )  = E e j 2πτ  = e j 2πτ

R zz* ( t + τ ,t ) = E [ z ( t + τ ) z( t) ] = E  e j (2π (t +τ ) +ϕ ) e j (2π t +ϕ )  = e j2π (2 t+τ ) E e j2ϕ  = e j2 π (2 t+τ )

+π 1 2π

∫ e

+π

j 2ϕ

dϕ = e j2 π (2 t +τ )

−π

sen ( 2π )  j 2ϕ  1 e = =0  2π  2π  2 j  − π

Por tanto z ( t ) = e j(ϕ +2 π t ) SI es circularmente simétrico Además como es de media estadística nula

E  e

j (2 π t +ϕ )

 = e

j 2 πt 1 2π

+π

∫ e

−π

jϕ

d ϕ = 0 , SI es estacionario


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S z ( f ) = TF  Rz (τ )  = δ ( f − 1)

∫

P z = Rz ( 0 ) = S z ( f )df = 1 Por otro lado, aplicando las condiciones para procesos circularmente simétricos obtenidos en el apartado 2 :

R z ( t + τ , t ) = Rz (τ ) = Rx ( t + τ , t ) + Ry ( t +τ ,t ) − j ( Rxy ( t +τ , t ) − R yx ( t + τ , t ) ) = 2 R x ( t + τ ) + j2 Ryx ( t + τ ) = 2 R x (τ ) + j 2R y x (τ ) = e j2πτ ⇒ R x (τ ) = Ry (τ ) = 12 cos ( 2πτ ) R yx (τ ) = −R xy (τ ) = 12 sen ( 2πτ )


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2.4 Ejercicio de Exam en de con trol Noviembr e 2004 Gru po 10

2.4.1 Enunciado Un mensaje (proceso aleatorio y estacionario)

(t ) de densidad espectral S x ( f ) , potencia P x y ancho de

banda B x , se transmite por un sistema de comunicaciones analógico y en banda base. La función de transferencia del canal es H c ( f ) y la densidad espectral del ruido aditivo es Se contemplan dos opciones para el diseño del transmisor y del receptor:

S T

(t )

HT (f)

w(t)

Hc (f)

+

HR (f)

y D(t)

HT ( f ), H R ( f ) se diseñan como Filtros Terminales Óptimos y en detección resulta ST P x

Opci ón 1:

( N S ) FTO =

Sw ( f ) .

∫

S x ( f ) S w ( f ) Hc ( f )

Opci ón 2: H T ( f

)=

df

2

KT K R , H R ( f ) = H C ( f ) H C ( f )

S Obtenga la ( N )D− 2 en función de la potencia transmitida S T , P x , S x ( f ) , H c ( f ) , Sw ( f ) para la opción 2. S b. ( N )D− 2 es mayor o menor que ( N S ) FTO ? ¿Qué condición para los datos del enunciado se ha de

a.

cumplir para que ambos cocientes resulten iguales?


2.4.2 Resolución S a. Obtenga la ( N ) D− 2

13

en función de la potencia transmitida

S T , P x , S x ( f ) , H c ( f ) , Sw ( f ) para la

opción 2. Solución:

Debido a que se cumple la condición de ecualización:

HT ( f ) Hc ( f )H R ( f ) =

KT H c ( f )

Hc ( f )

K R Hc ( f )

= K T K R

⇒ hT (t) * hc (t) * hR (t ) = K T K Rδ (t ) La señal a la salida del sistema (detección) puede expresarse como señal útil sin distorsión más señal de ruido.

y D (t ) = xD (t ) + nD (t ) = KT K Rx (t ) + w(t) * hR (t ) Potencia de la señal útil en detección:

S D = KT 2 KR 2 Px

Potencia de la señal transmitida:

ST = S x ( f ) HT ( f ) df = K T 2

2

∫

∫

Sx ( f ) H c ( f )

df

Potencia de la señal de ruido en detección: 2

D

= ∫ S w ( f ) H R ( f ) df = K R2 ∫ HS (( f f )) df w

c

Relación SNR en detección: S N D− 2

( )

b.

( N S )D− 2

=

S D N D

es mayor o menor que

KT 2 K R 2 Px = 2 Sw ( f ) = K R H c ( f ) df

∫

∫

PxS T Sx( f ) Sw ( f ) H c ( f ) df Hc ( f ) df

∫

( N S ) FTO ? ¿Qué condición para los datos del enunciado se ha de

cumplir para que ambos cocientes resulten iguales? Solución:

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene:

( NS ) D− 2 =

∫

P x ST ≤ S x ( f ) Sw ( f ) Hc ( f ) df Hc ( f ) df

∫

Px S T

∫

S x ( f ) S w ( f ) Hc ( f )

df

2

= ( S N ) FTO

Para que ambas relaciones sean iguales debe cumplirse: S x ( f ) Hc ( f )

=λ

Sw ( f ) H c ( f )

siendo λ una constante real y positiva cualquiera.

⇒ S x ( f ) =

λ Sw ( f )


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2.5 Ejercicio 1 de Examen Final Ju nio 2004

2.5.1 Enunciado Se desea trasmitir una señal banda base

(t )

HT ( f )

S T

(t ) a través del sistema de la figura:

H c ( f )

H R ( f )

+

n (t) ;

S ( ) D

S n ( f ) = Kf 2

(t ) es un proceso estacionario con potencia P x y densidad espectral uniforme en el intervalo 1 f ≤ B x , y el canal es un filtro paso bajo de respuesta H c ( f ) = . α es una constante real. 1 + j( α Bf x )

La señal

El objetivo de este ejercicio es comparar dos diseños de los filtros transmisor y receptor: a) Los filtros Transmisor y Receptor se diseñan como filtros terminales óptimos que maximizan para una potencia transmitida dada pide que calcule la

S ( ) D

S T y que conjuntamente ecualizan el canal. Para esta solución se

S ( ) D , en función de ST , K , Bx ,α . Justifique el resultado aplicando la

desigualdad de Swartz (

∫u

2

∫

2

∫

2

d (.) v d (.) ≥ uvd (.) ). No es necesario que calcule las funciones

de transferencia de los dos filtros. b) El filtro transmisor tiene como respuesta H T ( f

) = 1 + j( α f B x ) y el filtro receptor es filtro paso bajo S ideal ajustado al ancho de banda B x . Para esta solución se p ide que calcule la ( ) D , en función de ST , K , Bx ,α .

c) El filtro receptor tiene como respuesta H R ( f

 f   y el filtro transmisor es el 2 B  x 

) = 1 + j( α f B x )  Π 

filtro paso bajo ideal ajustado al ancho de banda B x . Para esta solución se pide que calcule la

ST , K , B x ,α . S d) Compare la ( ) D en los casos b) y c) respecto de los filtros terminales óptimos del caso a). en función de

Inicialmente dé el resultado del cociente en función de α y posteriormente particularice para α → ∞ , α = 1 y para α = 0 .

S ( ) D ,


15

2.5.2 Resolución a) Filtros terminales óptimos Condición de ecualización:

H T ( f )H c ( f )H R ( f ) = ce − j 2π ft d = H ( f )

Potencia en destino:

S D =

Ruido en destino:

D

ST

Potencia transmitida: Relación S S S ( ) D = ( ) D T = N N S T

∞

2

∫ ∫ S ( f )df = c P = ∫ S ( f ) H ( f ) df = ∫ S ( f ) H ( f ) df −∞ ∞

S x ( f ) H ( f ) df = c 2 n

−∞ ∞

−∞

∫

2

−∞

x

R

2

x

señal/ruido c P x

T

en

destino

S T ∞

∫

S n ( f ) HR ( f ) df

−∞

2

x

2

2

∞

∞

(1)

−∞

1/2 n

2

S x ( f ) HT ( f ) df

1/2 x

Identificando u @ S ( f ) HR ( f ) ; v @ S ( f ) HT ( f ) y aplicando Swartz S c 2 P x c 2 Px = ( ) D ≤ 2 2 donde se ha hecho uso de la ∞ 1/2 1/2 1/ 2 N 1/2 ∞ cS ( f ) S ( f ) S ( f ) H R ( f ) S x ( f ) HT ( f ) n x −∞ n −∞ Hc ( f )

∫

∫

relación (1)

S ( ) Dopt = N

P x f Π ( ) y la expresión de la densidad espectral de ruido se obtiene: 2 B x 2 B x ST B x

S x ( f ) =

Teniendo en cuenta que

P x ST P K x 2 B x

B x

∫

− B x

f df Hc( f )

2

=

2K

Bx

∫ 0

f df H c ( f )

2

Donde se ha tenido en cuenta que el integrando es una función par y por tanto la integral se dobla. Teniendo en cuenta que

Hc ( f ) =

1/2

1 2 1/ 2

  f   1 +    α B   x  

y que

3/ 2

  f  2    f  2  1 2 ∫ f 1 +  α B x   df = 3 (α Bx ) 1+  α Bx   se    

obtiene finalmente:

S ( ) Dopt = N

9 ST 2

  1   2 Kα 4 B x3  1 + ( )2  − 1    α 

b) Potencia transmitida

Potencia en destino Potencia de ruido

3/2

=

9α 2 S T 2 KB x3  (α 2 + 1)3/2 − α 3 

2

  f  2  1   + = + df P 1 (1 ∫ ∫ −∞   α Bx    x 3α 2 )   2 ∞ ∞ S D = ∫ S x ( f ) HT ( f )H c ( f ) H R ( f ) df = ∫ S x ( f )df = Px −∞ −∞

P ST = −∞ S x ( f ) HT ( f ) df = x 2 B x 2

∞

∞

2 D = ∫−∞ Kf Π (

f ) df = 2 B x

∞

2 Kf 2df = KB x3 − B x 3 B x

∫


16

S P x ST 3 9α 2S T = = Relación señal/ruido ( ) Db = 2 3 1 2 KB x3 2 KB 3x (3α 2 + 1) N KB 1 + 2 3 x 3α c) Potencia transmitida

ST =

∫

−∞

S D =

Potencia en destino

2

∞

S x ( f ) HT ( f ) df =

∫

∞

−∞

N D =

d)

∫

S( −∞ n

∞

∫ −∞ Π (

f )df = Px 2 Bx

2

S x ( f ) HT ( f )Hc ( f ) H R ( f ) df =

Potencia ∞

P x 2 B x

B x

∫

− B x

S x ( f )df = Px

de 2

f ) HR ( f ) df =

B x

∫

− B x

ruido

  f   df = 2KBx3 (1 + 1 2 ) Kf  1+   3 5α   α B x   2

2

S P x 15α 2S T = Relación señal/ruido ( ) Dc = 3 2 1 + 3) 3 1 α N 2 KB (5 x 2 KB x ( + 2 ) 3 5α

S 3 2 3/2 3 2 2 3/2 3 2 ( ) Db 2     α α α α + − + − 2 KB ( 1) ( 1) 9α S T x   = Γb (α ) = N = 3 2 2 2 S + + 1) α α α 2 KB (3 1) 9 S (3 x T ( ) Dopt N S 3 2 3/2 3 2 2 3/2 3 2 ( ) Dc 2     + − + − α α α α 2 KB ( 1) 5 ( 1) α 15 S x    T N Γc (α ) = = = 3 2 2 S + α α 2 KB (5 3) 9 S 3(5α 2 + 3) x T ( ) Dopt N 5 9

Γb (0) = 1; Γc (0) = ; 2

2

2

(α 2 + 1)3/ 2 − α 3  (α 2 + 1)3/ 2 + α 3  (α 2 + 1)3 − α 6  9 3 = = = lim Γb (α ) = lim lim 2 2 α →∞ α →∞ α →∞ 2 2 3/2 3 2 2 3/2 3 12 4 (3α + 1)  (α + 1) + α  (3α + 1)  (α + 1) + α  lim Γ c (α ) = lim

α →∞

α →∞

10*log10(3/4)

5  (α 2 + 1) 3 − α 6 

2

3(5α 2 + 3)  (α 2 + 1) 3/2 + α 3 

2

=

45 3 = 60 4


17

Pérdidas en dBs respecto de los FTO 0

-0.5

Γ b (α ) -1

s B d

-1.5

10log(3/4)

Γ c (α ) -2

-2.5

-3 0

1

2

3

4

5 alfa

6

7

8

9

α


3

18

PROCESOS ALEATORIOS PASO - BANDA

3.1 Ejercicio de Examen de con trol Noviemb re 2004 Gru po 10

3.1.1 Enunciado Sean dos procesos aleatorios estacionarios (t) , y (t ) de media nula y estadísticamente independientes entre sí. Presentan las densidades espectrales de la figura.

K x

S x ( f ) B x = B

K y

S y ( f ) By = B

Los dos mensajes se utilizan para formar una señal modulada paso banda

s( t ) a partir de la portadora

c (t ) = Ac cos ( 2π f ct ) y tal que b s (t ) = ax (t) + ja *y (t ) . 1. Obtenga las componentes i s (t ), q s (t ) en función de (t) , y (t ) . 2. ¿Qué condiciones debe cumplir el equivalente paso bajo de un proceso aleatorio paso banda a fin de que éste resulte estacionario en correlación?. Averigüe si estas condiciones se cumplen para el proceso s( t ) de este ejercicio. 3. Calcule Rb s (t + τ , t ) = E [ bs (t + τ )bs * (t )] : autocorrelación de b s (t ) en función de R x (τ ) y de

R y (τ ) . 4. Calcule

Sb s ( f ) : densidad espectral de b s (t ) en función de S x ( f ), S y ( f ) y dibújela. Dado que

S s + ( f ) = 14 Ac2 Sb s ( f − fc ) . ¿Qué ancho de banda se necesita para transmitir la señal modulada s( t ) ? 5. Calcule P e s : potencia de la envolvente de s( t ) en función de las potencias P x , P y y de los parámetros que considere necesarios. 6. Si la señal s( t ) se transmite por un canal ideal de atenuación 0dB y ruido aditivo de media nula e incorrelado con

s( t ) , de densidad espectral Sw ( f ) =

N 0 2

w(t ) estacionario,

, dibuje el diagrama de

bloques de un receptor y demodulador que recupere de forma separada las señales (t) , y (t ) . Para ello incluya las siguientes etapas: • Etapa 1: Filtro Receptor paso banda. Indique la banda de paso. • Etapa 2: Demodulador coherente con dos salidas I&Q. Dibuje los elementos necesarios de este demodulador. • Etapa 3: A diseñar, utilizando los sumadores, amplificadores y transformadores de Hilbert que considere necesarios para separar las señales (t) , y (t ) Dé las expresiones de las señales a las salidas del sistema y verifique que el sistema funciona correctamente en ausencia de ruido. 7. Calcule la SNR en detección obtenida para cada una de las dos señales detectadas (t) , y (t ) , en función de P e s y de los parámetros que considere necesarios. Si mayor SNR?

P y = 2 P x ¿Qué señal se detectará con


19

3.1.2 Resolución 1. Obtenga las componentes i s (t ), q s (t ) en función de

(t) , y (t ) .

Solución:

b s (t ) = a x (t ) + jay * (t ) = x (t ) + jxˆ (t ) + j (y (t ) − jyˆ (t )) = x (t ) + yˆ ( t ) + j ( y( t ) + xˆ (t )) ⇒ i s (t ) = x( t ) + yˆ (t ) q s (t ) = y (t ) + xˆ (t ) 2. ¿Qué condiciones debe cumplir el equivalente paso bajo de un proceso aleatorio paso banda a fin de que éste resulte estacionario en correlación? Averigüe si estas condiciones se cumplen para el proceso s( t ) de este ejercicio. Solución:

Las condiciones que se deben cumplir son:

Ri s (τ ) = Rq s (τ ); Rqs is ( τ) = − Ris qs (τ ); (t) , y (t ) son procesos aleatorios de media nula y estadísticamente independientes entre sí, ⇒ R xy (τ ) = Rxyˆ (τ ) = Rxy ˆ (τ ) = R xy ˆˆ (τ ) = 0 . Por tanto: En el proceso de este ejercicio

Ri s (τ ) = R x (τ ) + Ryˆ (τ ) + Rxyˆ (τ ) + Rˆyx (τ )= Rx τ( )+ R y (τ ) Rq s (τ ) = R y (τ ) + Rxˆ (τ ) + Ryxˆ (τ ) + Rˆxy τ( ) = R x τ( ) + R y (τ ) Rq i (τ ) = Ryx (τ ) + Ryyˆ (τ ) + Rxxˆ (τ ) + Rxyˆˆ (τ ) = Rˆ x (τ ) − Rˆ y (τ ) s s

Ri s qs (τ ) = Rxy (τ ) + Rxxˆ (τ ) + Ryyˆ (τ ) + Ryˆ ˆx (τ ) = − Rˆ x (τ ) + Rˆ y (τ ) Con lo que sí se cumplen las dos condiciones requeridas para que el proceso s(t) sea estacionario. 3. Calcule Rb s (t + τ , t ) = E [ bs (t + τ )bs *

(t )] : autocorrelación de b s (t ) en función de R x (τ ) y de

R y (τ ) . Solución:

Rb s (τ ) = E bs (t + τ )bs* (t )  = E  (is (t + τ ) + jq s (t + τ) )(i s (t ) − jqs (t ))  = Ri s (τ ) + Rqs (τ ) + j ( Rqs is (τ ) − Ris qs (τ ) ) = 2Ris (τ ) + j ( 2Rqs is (τ ) ) = 2 R x (τ ) + 2R y (τ ) + j 2 Rˆ x (τ ) − j 2Rˆ y (τ ) = 2a R x (τ ) + 2a Ry * (τ )

Ejercicios COM1 (Cabrera, Fernández-Rubio) 4. Calcule

20

Sb s ( f ) : densidad espectral de b s (t ) en función de S x ( f ), S y ( f ) y dibújela. Dado que

S s + ( f ) = 14 Ac2 Sb s ( f − fc ) . ¿Qué ancho de banda se necesita para transmitir la señal modulada s( t ) ? Solución:

Sb s ( f ) = TF  Rbs (τ )  = 2 ( S x ( f ) + S y ( f ) + j ( − jsign( f )) S x ( f ) − j ( − jsign( f )) S x ( f ) ) = 2 S x ( f ) (1 + sign( f )) + 2S y ( f ) (1− sign( f ) ) = 4 Sx + ( f ) + 4S y − ( f ) 4ρ

− B

Sb s ( f )

+B

El ancho de banda de transmisión necesario para transmitir la señal modulada es por tanto:

B s = By + Bx = 2B

5. Calcule P e s : potencia de la envolvente de s( t ) en función de las potencias P x , P y y de los parámetros que considere necesarios. Solución:

Dado que

e s 2 (t ) = Ac2i s2 (t ) + Ac2 qs 2 (t ) , su potencia es :

Pe s = E  es2 (t )  = Ac2 ( Pis + Pqs ) = Ac2 2 ( Px + P y ) 6. Si la señal s( t ) se transmite por un canal ideal de atenuación 0dB y ruido aditivo de media nula e incorrelado con

s( t ) , de densidad espectral Sw ( f ) =

N 0 2

w(t ) estacionario,

, dibuje el diagrama de

bloques de un receptor y demodulador que recupere de forma separada las señales (t) , y (t ) . Para ello incluya las siguientes etapas: a. Etapa 1: Filtro Receptor paso banda. Indique la banda de paso. b. Etapa 2: Demodulador coherente con dos salidas I&Q. Dibuje los elementos necesarios de este demodulador. c. Etapa 3: A diseñar, utilizando los sumadores, amplificadores y transformadores de Hilbert que considere necesarios para separar las señales (t) , y (t ) d. Dé las expresiones de las señales a las salidas del sistema y verifique que el sistema funciona correctamente en ausencia de ruido.


21

Solución:

⊗ y R (t ) F.PBda(fc,Bs)

y R

F.P:Bajo ( B)

( t ) TH

⊕

-

:

+

z y (t )

2cos ( 2π fc t )

+ π2

+

-2sen ( 2π ct )

⊗

F.P:Bajo ( B )

q y R ( t )

TH

-

⊕

z x (t )

Análisis sin ruido:

i y R ( t ) = Ac ( x (t ) + yˆ (t ) ) q y R (t ) = Ac ( y (t ) + xˆ (t ) ) z x (t ) = i y R (t) − qˆ yR (t ) = 2 Ac x(t ) z y (t ) = q y R (t )− iˆyR (t ) = 2 Ac y(t ) Análisis con ruido:

i y R ( t ) = Ac ( x (t ) + yˆ (t ) ) + in (t ) q y R (t ) = Ac ( y (t ) + xˆ (t )) + qn (t ) z x (t ) = i y R ( t) − qˆ yR (t ) = 2 Ac x (t ) + in (t ) − qˆn (t ) z y (t ) = q y R ( t )− iˆyR (t ) = 2 Ac y (t ) + q n (t ) − iˆn (t ) 7. Calcule la SNR en detección obtenida para cada una de las dos señales detectadas función de P e s y de los parámetros que considere necesarios. Si

P y = 2 P x ¿Qué señal se detectará con

mayor SNR?

Solución:

Para la salida z x (t ) = 2 Ac x (t ) + in (t ) − qˆn (t ) Se tiene:

S D = Ac2 4 Px = 2 P x P +xP y Pe s

Y por tanto:

( NS ) Dx = P P + P x

x

y

D

= Pi + Pq = 2 N 0 B

D

= Pi + Pq = 2 N 0 B

n

n

P es N0 B

Para la salida z y (t ) = 2 Ac y (t ) + qn (t ) − iˆn (t ) Se tiene:

P

S D = Ac2 4 Py = 2 P x +yP y Pe s

Y por tanto:

( NS ) Dy =

P y P es P x + Py N 0 B

n

n

(t) , y (t ) , en

Ejercicios COM1 (Cabrera, Fernández-Rubio) Si P y

P e s

= 2 P x , se obtiene ( NS ) Dx = 13 N B ,

dB más de calidad que la señal

0

22 P e s

( NS ) Dy = 23 N B , por lo que la señal y (t ) 0

(t ) :

10log10 ( ( NS ) Dy ) = 3 + 10log10 ( ( N S ) Dx )

se detecta con 3


23

4 FM 4.1 Ejercic io 3 de Examen Final de P03

4.1.1 Enunciado En un demodulador FM convencional el ruido en detección presenta una densidad espectral de forma parabólica, lo cual en general puede evitarse mediante el uso de filtros de pre-énfasis y de-énfasis. En este ejercicio se propone diseñar ambos filtros: H P ( f ), HD ( f ) , de forma que se maximice la SNR en detección, es decir, como filtros terminales óptimos. Para ello se propone el esquema siguiente: (1)

x(t)

HP (f)

Md.FM

Considere: • El canal es ideal:

•

w(t)

(2) hc(t)

hc (t ) =

1 δ L

HR (f)

(4)

HD (f)

Dm.FM

(5)

(t )

El ruido es aditivo estacionario de media nula, estadísticamente independiente a la señal útil y presenta densidad espectral

Sw ( f ) =

N 0 2

.

(t ) , presenta una densidad espectral plana: S x ( f ) =

•

El mensaje

• •

Los filtros terminales cumplen:

•

+

(3)

P x 2B x

Π ( 2 Bf ) x

H P ( f )H D ( f ) = 1

La señal en el punto (1), a la que denominaremos 1 (t ) , debe presentar potencia P 1 , para garantizar que la señal a la entrada del modulador de FM está normalizada a la unidad. Los parámetros del modulador de FM, amplitud de portadora, frecuencia portadora y sensibilidad de frecuencia son Ac , fc , f D = K f , respectivamente.

Se pide: 1. Expresión de la potencia P 1 en función de P x , H P ( f ) y de los parámetros que considere necesarios. 2. Expresión de la señal transmitida: Punto (2) del esquema, en función de (t ) y de los parámetros y funciones que considere necesarios. Calcule la potencia transmitida. 3. Especifique el ancho de banda que debe tener el filtro paso banda H R (f) centrado a f c . 4. Expresión de señal en el punto (3). Primero distinga entre señal útil y ruido. A continuación aproxime el ruido de fase, suponiendo que la SNR en este punto es alta (> 10 dB). 5. Expresión de señal en el punto (4). Distinga entre señal útil y ruido. Ca lcule y dibuje la densidad espectral de ruido en este punto. Puede suponer que el último elemento del demodulador de FM es un filtro paso bajo de ancho de banda B x . 6. Escriba la expresión de señal en el punto (5). Distinga entre señal útil y ruido.

H D ( f ) y de los parámetros que considere necesarios. En dicha expresión sustituya la potencia P x en función de P 1 , utilizando la expresión obtenida en el

7. Obtenga la SNR en el punto (5) en función de primer apartado.

8. Obtenga las expresiones de H P ( f ) y H D ( f ) que maximizan la SNR en el punto (5). Aplique por tanto la teoría de filtros terminales óptimos. 9. Calcule la máxima SNR en el punto (5). Utilizando las expresiones de

H P ( f ) y H D ( f ) obtenidas:


24

10. Calcule y dibuje la densidad espectral de la señal útil en el punto (1). Comente los resultados. 11. Calcule y dibuje la densidad espectral de la señal de ruido en el punto (5). Comente los resultados

4.1.2 Resolución 1. Expresión de la potencia P 1 en función de P x , H P ( f ) y de los parámetros que considere necesarios. Solución: 2

2

S x1 ( f ) = S x ( f ) HP ( f ) = 2 P B x x H P ( f ) Π ( 2 Bf x )

∫

P1 = S x1 ( f )df =

P x 2 B x

+ B x

∫ H

2

( f ) df

P

− B x

2. Expresión de la señal transmitida: Punto (2) del esquema, en función de funciones que considere necesarios. Calcule la potencia transmitida. Solución:

(t ) y de los parámetros y

t

∫

s( t ) = Ac cos(2π f c + 2π f D x1 (λ )d λ ) con

1

(t ) = x(t) * h P (t )

0

Potencia transmitida:

2

S T = A2c

3. Especifique el ancho de banda que debe tener el filtro paso banda H R (f) centrado a Solución: Es el ancho de banda de transmisión de la señal FM, por tanto, dado que la señal la unidad y aplicando la regla de Carlson:

1

f c .

(t ) está normalizada a

BT = 2( B f D x + 2) Bx 4. Expresión de señal en el punto (3). Primero distinga entre señal útil y ruido. A continuación aproxime e l ruido de fase, suponiendo que la SNR en este punto es alta (> 10 dB). Solución: t

Considerando

∫

φ (t ) = 2π f D x1 (λ )d λ 0

y3 (t ) = s( Lt ) + w( t) * h R (t ) = Ac L

cos(2π f c + φ (t )) + i n ()cos(2 π f ct ) − qn ()sin(2 π f c t ) t t

≅ e3 ()cos(2 π fc + φ ( t) + A L qn (t) ) t c

5. Expresión de señal en el punto (4). Distinga entre señal útil y ruido. Calcule y dibuje la densidad espectral de ruido en este punto. Puede suponer que el último elemento del demodulador de FM es un filtro paso bajo de ancho de banda B x . Solución:

y4 (t) = ( ∂∂t ( 2π f c + φ ( t) +

L Ac

qn (t) ) − DC ) * hPBajo ( t) = f D x1 (t ) + ´2πLAc ∂∂t q n (t) * hPBajo (t )

El primer sumando es el término de señal útil y el segundo el término de ruido. Dado que para la componente en cuadratura se tiene:

Sqn ( f ) = N 0 Π ( B f T ) ,la densidad espectral de ruido en el punto (4 ) es:


25

Sn4 ( f ) = A L2 N0 f 2 Π ( 2 f B x ) c

6. Escriba la expresión de señal en el punto (5). Distinga entre señal útil y ruido. Solución:

y5 (t ) = y4 (t) * h D (t ) = f Dx (t ) + ´2π L Ac ∂∂t q n (t) * hPBajo (t) * hD (t ) El primer sumando es el término de señal útil y el segundo el término de ruido.

H D ( f ) y de los parámetros que considere necesarios. En dicha expresión sustituya la potencia P x en función de P 1 , utilizando la expresión obtenida en el

7. Obtenga la SNR en el punto (5) en función de primer apartado. Solución:

2 S D = E ( f D x(t ))  = f D2 Px

Potencia señal útil:

+ B x

2 2 2 L   HD ( f ) df D = E ( n5 (t ) )  = ∫ Sn ( f )df = ∫ A N 0 f − B


2 c

5

x

Relación señal a ruido:

SNR5 =

f D2 Px

=

+ B x

∫

− B x

L Ac2

2

0

f D2 Ac2 2 B xP 1

f 2 H D ( f ) df

+ Bx

LN0

∫

2

f 2 HD ( f ) df

− Bx

=

+ Bx

∫ H

2

( f ) df

P

− Bx

f D2 Ac2 2B x P 1 + B x

LN 0

∫

f

2

2

H D ( f ) df

− B x

+ Bx

1 2 df H ( f ) − Bx D

∫

8. Obtenga las expresiones de H P ( f ) y H D ( f ) que maximizan la SNR en el punto (5). Aplique por tanto la teoría de filtros terminales óptimos. Solución: Aplicando Schwartz, debe cumplirse que

f H D ( f ) = K

1 H D ( f )

K ; f

H P ( f )

con lo que: 2

H D ( f ) =

2

1 f K

Siendo K una constante arbitraria que se elegirá de tal modo que la potencia de

1

(t ) sea P 1 .

9. Calcule la máxima SNR en el punto (5) Solución:

SNR5 =

f D2 Ac2 2B x P1 2

  LN 0  ∫ f df   − B    + B x

x

=

f D2 Ac2 2 Bx P1 LN0 ( B x2 )

2

4 β 2S T P 1 = LN 0 B x


Utilizando las expresiones de

26

H P ( f ) y H D ( f ) obtenidas:

10. Calcule y dibuje la densidad espectral de la señal útil en el punto (1). Comente los resultados. Solución: f x S x1 ( f ) = 2 P B xK f Π ( 2 Bx )

donde la constante K se obtiene de

P 1 = P2 x K Bx

11. Calcule y dibuje la densidad espectral de la señal de ruido en el punto (5). Comente los resultados Solución: 2

Sn5 ( f ) = A L2 N0 f 2 H D ( f ) Π ( 2 fB x ) = c

L Ac2

N0 K f Π ( 2 f Bx )

La forma ya no es parabólica, es lineal con la frecuencia.


27

5 Modulaciones Digitales 5.1 Ejercic io 3 de Examen Final de T04

5.1.1 Enunciado Sea el siguiente proceso aleatorio

s1 (t ) =

sen ( 2T π ( t − ε ) ) . Considere K , T como parámetros

K 2T

deterministas y ε como una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [0, T ) a) Calcule la media estadística y la función de autocorrelación del proceso: m s1 (t) , Rs1 ( t + τ , t ) y clasifique el proceso según sea estacionario, cicloestacionario, etc… b) Calcule la potencia y la densidad espectral de s1 (t ) : P1 , S1( f ) El proceso anterior se utiliza como señal de reloj y para la obtención del sincronismo de símbolo de un sistema de comunicaciones digitales. Considerando una modulación s2 ( t ) digital binaria polar de símbolos equiprobables se transmite:

s( t) = s1 ( t) + s2 (t ) = Con a [ n ] = ±

2

y p(t ) =

1 T

K 2T

sen (

2π T

( t − ε )) +

+∞

∑ a [ n] p (t − ε − nT )

n=− ∞

Π ( t −T T / 2 )

c) Calcule la media estadística y la función de autocorrelación del proceso s2 ( t ) : m s2 (t) , Rs2 ( t + τ ,t ) y clasifique el proceso según sea estacionario, cicloestacionario, etc…Puede dejar el resultado en función de la autocorrelación del pulso p(t ) y del resto de parámetros que considere necesarios. d) Calcule la potencia y la densidad espectral de

s2 (t ) : P2 , S2 ( f )

s( t ) cumple P s = P1 + P 2 y dé la expresión de dicha potencia P s . El proceso s( t ) se transmite por un canal ideal ( hc (t ) = δ (t ) ) de ruido aditivo gaussiano y blanco de densidad e) Justifique que la potencia del proceso N

espectral Sw ( f ) = 20 y se recibe según la siguiente figura. El bloque SINC simboliza el sistema de extracción de sincronismo de símbolo, es decir, proporciona los instantes óptimos de muestreo para muestrear la señal a la salida del filtro adaptado.

y(t k ) s( t ) hc (t )

aˆ [ k ]

p (T − t )

⊕

SINC

tk = (k +1)T + ε

i)

w ( t ) Calcule la energía media transmitida por bit E b sobre la señal a transmitir s( t ) , es decir, la energía de la señal s( t ) en el tiempo de bit T . Deje el resultado en función de los parámetros que considere necesarios. Si para su obtención utiliza algún parámetro o función calculados en los apartados anteriores, anote las expresiones utilizadas al principio de este apartado. Calcule de forma detallada la expresión obtenida para las muestras de señal a la salida del filtro adaptado: y( t k ) Obtenga la potencia de las muestras de ruido a la salida del filtro adaptado. Dé la densidad de probabilidad de dichas muestras. Calcule las funciones de densidad de probabilidad condicionadas f y ( y + 2 ) ; f y ( y − 2A ) , con y = y (t k )

j)

Suponiendo umbral = 0 en detección, calcule la BER en función de

f)

g) h)

E b N 0

y del resto de parámetros que

considere necesarios. k) Calcule la probabilidad anterior para Comente los resultados.

E b N 0

= 10

y las dos siguientes situaciones: K = A , K = 2 A .


28

5.1.2 Resolución a) Calcule la media estadística y la función de autocorrelación del proceso: m s1 (t) , Rs1 ( t + τ , t ) y clasifique el proceso según sea estacionario, cicloestacionario, etc… Solución: +∞

m s1 (t ) = E [ s1 (t )] =

T

∫ s (t ) f (ε )dε = ∫ 1

ε

−∞

K 2T

sen ( 2Tπ ( t − ε )) 1T d ε =

0

K 1 2T T

2π

 cos ( 2Tπ (t − ε )) 2T π  0 = 0

+∞

R s1 ( t + τ ,t ) = E [ s1 (t + τ ) s1 (t )] =

∫ s (t + τ )s (t ) f (ε )d ε = 1

1

ε

−∞ T K 2 2T

∫

T

2

0

K 2 4T 2

∫

sen ( 2Tπ ( t + τ − ε ) ) sen ( 2Tπ ( t − ε )) T1 d ε = 4K T 2 cos ( 2Tπ (2 t + τ − 2ε )) +cos ( 2Tπ τ ) d ε =

0

cos ( τ ) = R s1 (τ ) 2π T

El proceso resulta estacionario.

b) Calcule la potencia y la densidad espectral de

s1 (t ) : P1 , S1( f )

Solución:

Por ser estacionario: 2

P1 = R s1 (0) = K 4T 2 S1 ( f ) = TF  R s1 (τ )  =

K 2 8T 2

( δ( f − T1 ) + δ ( f + T 1 ))

c) Calcule la media estadística y la función de autocorrelación del proceso s2 ( t ) : m s2 (t) , Rs2 ( t + τ ,t ) y clasifique el proceso según sea estacionario, cicloestacionario, etc…Puede dejar el resultado en función de la autocorrelación del pulso p(t ) y del resto de parámetros que considere necesarios. Solución:

m s2 (t ) = E [ s2 ( t )] =

+∞

T +∞

∫ s (t ) f (ε )dε = ∫ ∑ a [n] p (t − ε − nT ) 2

ε

−∞ +∞

∑

1 T

d ε =

0 n=−∞

T

∫

E a [ n] p (t − ε − nT ) 1T d ε = 0

n=−∞

0

donde se ha utilizado que E a [n ] = 12 A2 − 21 A2 = 0 Previamente al cálculo de la autocorrelación del proceso s2 ( t ) , es conveniente considerar: 2

E a [n ]a [ m ]  = A4 δ [ n − m ] Por tanto:


29 +∞

R s2 ( t + τ ,t ) = E [ s2 (t + τ ) s2 (t )] =

∫ s (t + τ )s (t ) f (ε )d ε = 2

2

ε

−∞ +∞

+∞

∑∑

T

∫

E a [n ] a [ m] p (t + τ − ε − nT ) p (t − ε − mT ) T 1 d ε =

n=−∞ m =−∞

+∞ T

∑∫

A2 4T

0

p(t + τ − ε − nT )p (t − ε − nT )d ε =

n=−∞ 0 A2 4T

+∞ T −ε − mT

∑ ∫

A2 4T

p (τ + λ ) p(λ )d λ =

n =−∞ − ε − mT

+∞

∫ p (τ + λ) p(λ) d λ =

A2 4T

−∞

R p (τ ) = Rs2 (τ )

El proceso resulta estacionario.

d) Calcule la potencia y la densidad espectral de

s2 (t ) : P2 , S2 ( f )

Solución:

Por ser estacionario:

P2 = R s2 (0) =

A2 4T

E p =

A2 4T 2

S2 ( f ) = TF  R s2 (τ )  = A4T S p ( f ) =

e) Justifique que la potencia del proceso

2 A2 sen ( π fT ) 2 2 2 4T π f

2

= A4 sinc2 ( fT )

s( t ) cumple P s = P1 + P 2 y dé la expresión de dicha potencia P s .

Solución:

P s = E  s2 (t )  = E s12 (t )  + E s2 2 (t )  + 2 E [ s1 ( t) s2 ( t )] = P1 + P2 + 2

+∞

∑

n =−∞

T

∫

E a [ n ] T 1 p(t − ε − nT ) s1 (t )d ε = P1 + P 2 0

T

∫

dado que E a [n ] = 0 y además es fácilmente comprobable que p(t − ε − nT )s1 (t )d ε = 0 0

f)

Calcule la energía media transmitida por bit E b sobre la señal a transmitir s( t ) , es decir, la energía de la señal s( t ) en el tiempo de bit T . Deje el resultado en función de los parámetros que considere necesarios. Si para su obtención utiliza algún parámetro o función calculados en los apartados anteriores, anote las expresiones utilizadas al principio de este apartado.

Solución:

La energía resulta: 2

2

Eb = PT = 4 + K 4 s Por ser la modulación binaria, no es necesario distinguir entre energía media por bit o por símbolo, ya que coinciden.


30

g) Calcule de forma detallada la expresión obtenida para las muestras de señal a la salida del filtro adaptado: y( t k ) Solución:

y ( t ) = ( s( t) * hc (t ) + w(t) ) * p (T − t ) = +∞

∑ a [n] p (t − ε − nT ) * p(T − t ) +

K 2T

n=−∞

+∞

∑

n=−∞

sen ( 2T π ( t − ε ) ) * p(T − t) + n(t ) =

T

a [ n] R p ( t − ε −( n + 1) T ) +

K 2T

∫ sen (

2π T

( t − λ − ε )) dt + n( t) =

0

+∞

∑ a [n] R (t − ε −( n + 1)T )+ n(t ) ⇒ p

n=−∞

y ( tk ) =

+∞

∑ a [ n] R ((k − n ) T ) + n(t ) = a [ k ]+ n(t ) p

k

k

n =−∞

h) Obtenga la potencia de las muestras de ruido a la salida del filtro adaptado. Dé la densidad de probabilidad de dichas muestras. Solución:

El ruido resulta gaussiano:

fn ( n) : N ( A2 ,σ 2 ); σ2

0

fn ( n) =

i)

2

= N2 ∫ P ( f ) df = N 2 1 2πσ

0

exp ( − 2σ1 2 n2 )

Calcule las funciones de densidad de probabilidad condicionadas f y ( y + 2 ) ; f y ( y − 2A ) , con y = y (t k )

Solución:

Dado que y ( tk ) = a [ k ] + n( t k ) ⇒ f y ( y a ) = fn (n − a )

f y ( y + A2 ) : N ( A2 , σ 2 ); f y ( y + A2 ) =

j)

1 2πσ

exp ( − 2σ1 2 ( y − A2 )

f y ( y − A2 ) : N ( A2 , σ 2 ); 2

)

f y ( y − A2 ) =

Suponiendo umbral = 0 en detección, calcule la BER en función de considere necesarios.

Solución:

BER=

1 2πσ

E b N 0

exp (− 2σ1 2 ( y + A2 )

2

)

y del resto de parámetros que

Com1_Resueltos_T04

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