COLUMNAS
9.1 INTRODUCCION
Hasta Hasta ahora, ahora, las discus discusion iones es sobre sobre el análi análisis sis y diseño diseño de elemen elementos tos estructurales lo hicimos bajo dos puntos de vista: 1.
La resistencia de la estructura; es decir, su capacidad para soportar el sistema de cargas sin sufrir esfuerzos excesivos
2.
La capacidad de la estructura para soportar el sistema de cargas sin experimentar deformaciones inaceptables i naceptables
!or lo tanto, la resistencia y la rigidez son factores importantes en el diseño, como se vio en los cap"tulos anteriores #n este cap"tulo nos interesa la estabilidad de la estructura para soportar el
Los tres estados de e%uilibrio pueden ilustrarse con una pelota de tenis inm$vil sobre una superficie, como se muestra en la figura &' La pelota de la figu figura ra (a) (a) está está en una una posi posici ci$n $n de e%ui e%uililibr brio io esta establ ble e en el fond fondo o de la concavidad, debido a %ue la gravedad lo obliga a regresar a su posici$n de e%uilibrio si es perturbada La pelota de la figura (b) se encuentra en una posi posici ci$n $n neut neutra rall de e%ui e%uililibr brio io sobr sobre e el plan plano o hori horizo zont ntal al,, debi debido do a %ue %ue permanecerá en cual%uier nueva posici$n a la cuál sea desplazada, sin tender a regresar ni a seguir movi*ndose +in embargo, la pelota de la figura (c) se encuentra en una posici$n inestable de e%uilibrio en la parte superior de un promontorio, ya %ue, si es perturbada, la gravedad hará %ue se mueva an más lejos de su ubicaci$n original hasta %ue, finalmente encuentre una posici$n estable de e%uilibrio como en (a)
Los tres estados de e%uilibrio pueden ilustrarse con una pelota de tenis inm$vil sobre una superficie, como se muestra en la figura &' La pelota de la figu figura ra (a) (a) está está en una una posi posici ci$n $n de e%ui e%uililibr brio io esta establ ble e en el fond fondo o de la concavidad, debido a %ue la gravedad lo obliga a regresar a su posici$n de e%uilibrio si es perturbada La pelota de la figura (b) se encuentra en una posi posici ci$n $n neut neutra rall de e%ui e%uililibr brio io sobr sobre e el plan plano o hori horizo zont ntal al,, debi debido do a %ue %ue permanecerá en cual%uier nueva posici$n a la cuál sea desplazada, sin tender a regresar ni a seguir movi*ndose +in embargo, la pelota de la figura (c) se encuentra en una posici$n inestable de e%uilibrio en la parte superior de un promontorio, ya %ue, si es perturbada, la gravedad hará %ue se mueva an más lejos de su ubicaci$n original hasta %ue, finalmente encuentre una posici$n estable de e%uilibrio como en (a)
#$U%L%&'%O #S(A&L# , se tiene cuando la columna soporta carga inferior a la de pandeo y el desplazamiento producido por cual%uier perturbaci$n lateral es totalmente recuperable cuando se retire dicha perturbaci$n
#$U%L%&'%O N#U('O , es cuando la columna soporta la carga de pandeo, y entonces te$ricamente debe ser posible deformar ligeramente las columnas formando una onda sinusoidal de amplitud pe%ueña #sto puede demostrarse fácilmente aplicando suavemente cargas de compresi$n a largas tiras de metal delgado
#$U%L%&'%O %N#S(A&L# , en teor"a es posible %ue las columnas alcancen e%uilibrio inestable cuando las cargas superan a la carga de pandeo, entonces una m"nima perturbaci$n lateral producirá falla por pandeo #l pandeo es una de las principales causas de fallas en estructuras por lo %ue la posibilidad de %ue ocurra, siempre debe considerarse en el diseño
Figura 9.2 1iagrama de e%uilibrio para
#n la figura &4 se muestra una columna esbelta recta de longitud articulada en los extremos, sujeta a fuerzas axiales de compresi$n P en cada uno de los extremos
(#O'%A # #UL#' a. Columna con e!tremos articulados 5onsid*rese la columna con carga axial P %ue se muestra en la figura &6 %ue produce una deflexi$n *y+ a una distancia ! de un extremo Los extremos de la columna tienen juntas articuladas, de modo %ue no existe momento en ellos La columna es perfectamente recta y está hecha de un material elástico lineal %ue obedece la ley de Hoo7e; como se supone %ue no tiene imperfecciones se llama columna ideal. !ara fines de análisis, consideramos un sistema coordenado con su origen en el soporte 8 y con el eje ! a lo largo del eje longitudinal de la columna
-igura &6 / +i hacemos: 0
P
+"
C ' ,
la ecuaci$n (&3) se reduce a y / % lo %ue nos indica %ue la
columna no se habrá pandeado an #ntonces la soluci$n %ue se re%uiere es:
1en
y despejando P ,
P "I
P
P n /
/
"I
"I
/
n
&2
&?
Cargas Criticas
La menor carga cr"tica para una columna con extremos articulados se obtiene cuando n / 1, en la ecuaci$n (&?)
el menor valor de P %ue
producirá la condici$n de pandeo con ar%ueo simple viene a ser el P cr : P cr
2 EI 2
9.9
-ig &3 9odos de falla de columnas 1e la ecuaci$n de la elástica (&') notamos %ue el valor de la deflexi$n máxima:
y m C ' ,
es indeterminado #sto se debe a %ue la ".D (&/) es una
aproximaci$n linealizada de la ".D real %ue gobierna la curva elástica
inercia 8s" por ejemplo en la secci$n rectangular de base *b+ y altura *!+6 el min es con respecto al eje centroidal paralelo a ! e igual a :
I
! b4 '/
#l valor del esfuerzo debido a la carga crtica se denomina es4uer;o crtico:
cr cr
La relaci$n
P Cr A
E ( A r 2 )
2
A
2
2
E
r
2
/ r
recuerde que : A r 2
9.11
se denomina la relación de es2elte4 de la columna #l
radio de giro mnimo r debera considerarse para el c
=
#n una secci$n circular el momento de inercia es igual para ambos ejes
principales
+e considera %ue este l"mite es el punto en el cual el esfuerzo
de "uler es
igual al esfuerzo de fluencia y ; es decir, el punto donde la carga de la P y >
columna es:
8hora, la carga de "uler puede expresarse en la forma: P e C
/
"I
( &'/)
/
donde la constante C depende de la condici$n de los extremos de la columna !or lo tanto, en la condici$n l"mite o cr"tica: > C
y
/
"I
/
C
/
">R / /
(&'4)
condiciones de e,tremos, como extremos empotrados, libres y elásticos Las
cargas cr"ticas para columnas con diversos tipos de condiciones en los soportes pueden determinarse con la ecuaci$n diferencial de la curva de deflexi$n siguiendo el procedimiento descrito en la secci$n anterior al analizar la columna de extremos articulados La figura &2 nos muestra cuatro casos t"picos de columnas Longitudes efectivas de columnas:
a) 8rticuladaB
b) #mpotrada libre
articulada P cr
2 EI 2
l
@ Le @ AL
c) #mpotradaB empotrada
P cr
2 EI
2 4
4 2 EI P cr 2
d) #mpotradaB articulada 2.046 2 EI P cr 2
COLUMNAS CON CA'-AS #9C:N('%CAS ?ORU> D" > "C>NT"
#n las secciones anteriores de este cap"tulo
! e
analizamos columnas ideales en %ue las cargas
C
axiales actan sobre los centroides de las secciones transversales +upondremos ahora %ue la carga se aplica con una pe%ueña excentricidad e medida desde el eje de la columna 5onsideramos
D
columna
articulada
en
sus
extremos (figura &?) #l momento flector en la secci$n localizada en la posici$n x: @ &P #y@e)
C y
Las condiciones de frontera para determinar C 1 y C B se obtienen de las deflexiones en los extremos de la columna #n x @ , y @
5/ @ e
#n x @ , y @
: C ' sen A e' cos A
de donde,
#sta
C '
expresi$n
trigonom*tricas:
e ' cos 0 sen 0
de
5'
podemos
transformarla
usando
identidades
' cos / / sen/
sen 0 /e sen/ 0 F / / C ' e /sen 0 cos 0 cos 0 / / /
(&
C
/
la ecuacion de la elastica :
sen/ 0 cos/ 0 / / ' e cos0 /
/ '
e sec 0
&'>
Geemplazando la expresi$n de A , %ueda la siguiente expresi$n para la deflexi$n máxima:
P e sec ' "I /
(&'>a)
5on este valor, tenemos para el momento flector máximo: > / P # @ e) #l cuál genera esfuerzos de flexi$n (similar al caso de vigas) tanto de tracci$n como de compresi$n delimitados por la l"nea neutra
. .>C
. .>C
sec 0 / ' e
P e
P e
sec( 0 /)
(&'2 )
#l esfuerzo normal de compresi$n debe tomar en cuenta tanto al de flexi$n
%ue es la e!presión de la Secante para columna articulada en los extremos con carga excéntrica
La f$rmula de la secante da el esfuerzo máximo de compresi$n en funci$n del esfuerzo de compresi$n promedio P=>6 el m$dulo de elasticidad #, la relaci$n de esbeltez =R y la relaci5n de e,centricidad :
Ge laci5n de e,centrici dad
ec r /
(&'&)
5omo su nombre lo indica, la relaci$n de excentricidad es una medida de la excentricidad de la carga en comparaci$n con las dimensiones de la secci$n transversal +u valor num*rico depende de la posici$n de la carga, pero los valores caracter"sticos caen en el intervalo de a 4, siendo los valores mas comunes menores %ue ' 5on objeto de hacer uso efectivo de la ecuaci$n &'?, pueden dibujarse curvas %ue muestren a P=> y =r para diferentes valores de ec=r B para
f$rmula de #uler puede usarse para analizar columnas con relaciones de esbeltez grandes !ara casos diferentes a los de la deducci$n, dependiendo de las condiciones de apoyo, I es la longitud e%uivalente
+LM5NO.
5aso a) Los dos extremos articulados
P cr
/
"I
/
+egn el enunciado del problema, el pandeo ocurre alrededor del eje x
I
/ , 6 '/
4
4/ 4
pu lg6
!ara calcular la máxima presi$n %ue puede soportar el cilindro, debemos comparar los valores de P cr
y
considerar el menor valor #n el caso espec"fico del problema los dos valores son iguales
P ma,
464 , '3
6
/3 /
P ma, >&6>? psi
!roblema &/ Mna columna esbelta está empotrada en un extremo y tiene una carga exc*ntrica de > A. en el extremo libre La columna se fabrica de un tubo de acero de '3 mm de diámetro externo y '/3 mm de diámetro
!or la ecuaci$n &'> obtenemos para la deflexi$n del extremo libre:
0 / e sec ' /
P A "I
P cr
/
"I
/
/
"I
P P cr
0
P cr
lo que nos da
0
' /
0
P P cr
y esta expresi$n lo reemplazamos en la ecuaci$n del
/
P
/
P cr
/
luego,
P P cr
> 2362'?>
/?& rad '>>Q
reemplazando valores en la expresi$n del
>
e igualando al valor de
//3 9pa 1 e150 / 2 225 600000 sec(166º ) 150 2 125 2 150 4 125 4 64 4 225 111 .12 3.6 e la sec ción)
e 93.4 mm
(respecto al centro de
#n textos universitarios se presentan f$rmulas emp"ricas %ue relacionan el esfuerzo cr"tico
cr
con la relaci$n de esbeltez
R
#stas formulaciones son
el resultado de los esfuerzos por extender la curva de #uler; la cuál como hemos visto es válida para razones de esbeltez grandes, a la regi$n de las razones de esbeltez intermedias y pe%ueñas #sencialmente, en el rango de los valores intermedios y pe%ueños de
R
se utilizan una l"nea recta y una
parábola tangentes a la curva de "uler (ver la figura &'') #stas f$rmulas emp"ricas tienen la forma: ab > R P
Los valores de las constantes dependen del rango de
R
, el material utilizado y
de la aplicaci$n industrial espec"fica #n el diseño se utiliza un -actor de +eguridad %ue depende generalmente de la compañ"a en la %ue se trabaja #n algunas oportunidades la f$rmula y el
?.
%ue se utilicen se determinan en
2.
-$rmula parab$lica:
P
/
'6 ; a b (&/4) R > R
P
/
Para el >cero : '33 /4 Ag4 / (&/6) > R cm 3.
-ormula de Pordon Gan7ine:
P >
Para el acero :
P >
FG 1B% #>IC)
a
R
/
(&/3)
' b
'/>>
'
'? R '
Ag4 /
cm/
(&/>)
!G0L#98 &4 1os perfiles laminados de acero (canales de /36 cm x
42' AgFm) están fijados por placas de amarre formando una columna de secci$n compuesta La separaci$n de los perfiles es de '/2 cm, tal como se muestra en la figura; y la longitud de la columna es de 2>/ m 5alcular la máxima carga axial admisible y
/36 cm
x
!lacas de uni$n
x
P
y '/2
y
+LM5N. 9omentos de inercia con respecto al centroide del conjunto #n eje x no hay variaci$n, se mantiene en el centro #con7unto) @
/ (cada perfil)
R #con7unto) @ GC(cada perfil)
R #con7unto) @ ?6 cm
#n yR :
FG @
I y '
R y '
2 A
/ F (cada perfil) S / 8 d/
2 I y 2 A d 2
2 A
2 A I C
d 2 2 A A 2
R d 2 y
2
12.7 R y ' 1.73 1.57 8.10 cm 2 2
T ! 0
U ?!"
/ pies D
5
1
8
+LM5NO.
1e tablas del 8N+5, para el perfil U ? x '3 @ 6? pulg6 ;
IC
ID
@ 46' pulg6
madera Las f$rmulas dan los esfuerzos permisibles en t*rminos de la geometr"a de la estructura, como longitud, dimensiones transversales y condiciones de apoyo 8s" pues para una columna dada, el
esfuerzo permisible puede
obtenerse con facilidad 8 menudo la elecci$n de una columna re%uiere un procedimiento iterativo o de tanteos al procedimiento es necesario siempre %ue no conozcamos de antemano %u* f$rmula de diseño usar !uesto %ue cada f$rmula es válida s$lo para un cierto intervalo de relaciones de esbeltez y se desconoce la relaci$n de esbeltez en tanto no se elija la columna, por lo general no se sabe %u* f$rmula es aplicable hasta no hacer un tanteo por lo menos Mn procedimiento comn de tanteos para escoger una columna %ue deba soportar una carga axial dada es el siguiente: ') +e estima el esfuerzo permisible ( .ote en las gráficas %ue un l"mite superior para
perm
es el esfuerzo permisible para una columna de
longitud cero) #ste esfuerzo se obtiene con facilidad a partir de las
permisible es mucho mayor %ue la carga dada, se toma una columna menor y se repite el proceso
#n algunos casos puede hallarse un procedimiento directo de diseño %ue evite los pasos del procedimiento de tanteos
AC#'O #S('UC(U'AL
Las f$rmulas usadas en la actualidad en #stados Mnidos se basan en investigaciones realizadas hace muchos años por el tructural tability Researc! Council #RC)6 %ue es una organizaci$n profesional de ingenier"a
Las f$rmulas propuestas por el RC dan el esfuerzo máximo en la columna 5uando la relaci$n de esbeltez =r es grande, el esfuerzo máximo se basa en la carga de #uler
A r C
/ / " F
(&/&)
+i la relaci$n de esbeltez real es igual o mayor %ue ( A=r )5 puede usarse la f$rmula de #uler para el esfuerzo máximo (#c &/2) La relaci$n de esbeltez cr"tica dada por la ecuaci$n (&/&) determina la frontera entre el pandeo elástico y el inelástico para columnas laminadas de acero La ecuaci$n (&/2) puede expresarse en forma adimensional dividiendo entre el esfuerzo de fluencia máx Y
2 E
KL r
Y
2
y
KL r
y luego sustituyendo en la ecuaci$n (&/&):
2
2
KL r C
2
KL $ r r C
KL
(9.30)
#sta ecuaci$n está graficada en la figura &'/ y marcada como curva de "uler.
!ara la regi$n de pandeo inelástico donde
A
A
, el esfuerzo máximo
-igura &'/ -$rmulas de diseño para columnas de acero estructural
Las f$rmulas >IC para los esfuerzos permisibles se obtienen dividiendo los esfuerzos máximos 2 KL 1 r adm 1 2 n1 Y KL 2 r C
m<,
entre los factores de seguridad apropiados; es decir:
KL r r C
KL
2 KL r adm 2 Y KL 2 n2 r C
(9.34)
KL $ r r C
KL
(9.35)
#stas ecuaciones para los esfuerzos admisibles tambi*n están trazadas en la figura &'/ Las especificaciones de la 8N+5 fijan un l"mite superior de / para la relaci$n de esbeltez
0 r
%
#luminio
Las f$rmulas de diseño para columnas de aluminio se presentan en las especificaciones de la >luminium >sociation ambi*n se basan en las curvas de #uler %
adera
Las National Designe "speci4ication 4or ood Construction publicadas por la 8merican -orest and !aper 8ssociation rigen por lo general, el diseño de los miembros estructurales de madera Las f$rmulas
>?P>
para los esfuerzos permisibles en
columnas rectangulares de madera cortas, intermedias y largas con unidades inglesas o unidades I se presentan en la tabla &/
