Coloración
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Coloración A diferencia de la Paridad o algunos otros temas que veremos, las coloraciones no son un concepto matemático claramente definido. Por ello, es más fácil ilustrar de qué se trata esto resolviendo algunos problemas: Problema 1.
¿Puede un tablero de ajedrez ser cubierto con fichas de tamaño 2 × 1, de tal manera que solamente las dos casillas de dos esquinas opuestas resulten descubiertas?
Solución .
La respuesta es no. Lo más importante para poder resolver este problema es no olvidar que lo que tenemos es un tablero de ajedrez, y no cualquier cuadrícula de 8 × 8. ¿Qué tiene de particular un tablero de ajedrez? Que sus casillas están coloreadas : hay 32 blancas y 32 negras. Notemos que, debido a la forma en la que están coloreadas las casillas del tablero, cada vez que colocamos una ficha de 2 × 1 sobre éste, ésta cubre siempre una casilla negra y una blanca. Pero las casillas que se encuentran en dos esquinas opuestas del tablero tienen siempre el mismo color, así que, sin contar estas esquinas, nos quedan por cubrir 30 casillas de un color y 32 del otro, lo cual no se puede hacer con fichas de 2 × 1, puesto que ya vimos que cada ficha cubre siempre una casilla blanca y una negra (si se pudiera necesitaríamos 31 fichas de 2 × 1 que ocuparían 31 casillas blancas y 31 casillas negras).
Observación.
Como es el caso de los problemas de paridad, los problemas de coloraciones muchas veces preguntan si algo es posible o no, y casi siempre la respuesta es no. En este primer problema las casillas ya estaban coloreadas, pero en otros las casillas estarán “en blanco” y tú tendrás que proponer una coloración que te sea útil para resolver el problema.
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Problema 2.
Considera un tablero cuadriculado de 9 × 9, al que se le han quitado 3 de sus esquinas (de 1 × 1). ¿Será posible cubrirlo con fichas de 3 × 1 sin que éstas se traslapen? Solución .
Ahora el problema ha cambiado, ya que no tenemos nuestro tablero “coloreado”. Por lo tanto, debemos encontrar una coloración que “nos convenga”.
La figura de arriba muestra nuestro tablero ya coloreado. ¿Qué tiene de especial nuestra coloración? Que la hemos realizado de tal forma que no importe cómo coloquemos las fichas de 3 × 1 sobre el tablero, éstas siempre ocuparán 2 casillas blancas y 1 casilla gris. Si observamos, tenemos un total de 27 casillas grises en el tablero, de las cuales se han eliminado 2 de ellas. Es decir, que si pudiéramos llenar el tablero con fichas de 3 × 1, necesitaríamos un total de (81 – 3)/3 = 26 fichas de 3 × 1, o bien 26 casillas grises. Pero ahora sólo disponemos de 25 casillas grises, por lo que nunca será posible cubrir completamente el tablero con las 26 fichas de 3 × 1. Por lo general, los problemas de Coloración pueden ser resueltos usando solamente 2 colores Problema 3.
Un piso rectangular es cubierto con mosaicos de 2 × 2 y de 4 × 1. Un mosaico se rompió, y sólo hay uno disponible del otro tipo. Muestre que no importa cómo se reacomoden los mosaicos, no se puede sustituir el roto por el nuevo.
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Solución .
Coloreemos el piso como se muestra en la figura. Un mosaico de 4 × 1 siempre cubre exactamente 0 o 2 cuadros negros. Un mosaico de 2 × 2 siempre cubre exactamente 1 cuadro negro. Por lo tanto, no importa el tipo que se rompa, siempre sobrará o hará falta un cuadro negro qué cubrir. A continuación, se propone una lista de problemas que han aparecido en algunos concursos.
Problemas Propuestos 1. ¿Es posible formar un rectángulo exactamente con los cinco tetraminos de abajo?
tetramino Recto
tetramino T
tetramino tetramino Cuadrado L
tetramino Torcido
2. Demuestra que un tablero cuadriculado de 10 × 10 no puede ser cubierto con 25 tetraminos rectos sin que éstos se traslapen. 3. Demuestra que un tablero de ajedrez no puede ser cubierto por con 15 tetraminos T y un tetramino cuadrado. 4. ¿Puede un caballo empezar en la esquina inferior izquierda y terminar en la esquina superior derecha de un tablero de ajedrez, visitando cada una de las casillas restantes solamente una vez? 5. Prueba que un tablero de 8 × 8 sin un cuadrado de la esquina (con 63 cuadrados restantes) no puede ser cubierto por 21 triminos rectos (piezas de 3 × 1). 6. Prueba que un tablero de 15 × 8 no puede ser cubierto por 2 tetraminos L y 28 tetraminos Torcidos. 7. Prueba que un cuadrado de 23 × 23 no puede ser cubierto con fichas de 2 × 2 y 3 × 3. 8. Demuestra que un rectángulo de 1 × n si n|a o n|b.
a× b
puede ser cubierto por rectángulos de
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9. Prueba que no hay manera de empacar 54 ladrillos de 1× 1 × 4 en una caja de 6 × 6 × 6. 10. El plano es coloreado con dos colores. Demuestra que existen tres puntos del mismo color, los cuales son vértices de un triángulo equilátero. 11. Un rectángulo de 6 × 6 es cubierto con dominós de 2 × 1. Prueba que no importa cómo haya sido cubierto, siempre hay al menos una línea recta que corta el rectángulo sin cortar algún dominó. 12. Se considera la gráfica dibujada sobre la superficie de un cubo como sigue: los vértices son los vértices del cubo y los centros de las caras del cubo; las aristas son los segmentos que unen cada centro de una cara con los 4 vértices del cubo que forman esa cara. ¿Es posible hacer un recorrido que pase exactamente una vez por cada uno de los vértices de la gráfica? 13. La figura de abajo muestra un mapa de carreteras que conectan 14 ciudades. ¿Existirá algún camino por el cual se pueda pasar por cada ciudad exactamente una vez?
14. Un cuadrado de 7 × 7 es cubierto por dieciséis piezas de 3 × 1 y una pieza de 1 × 1. ¿Cuáles son las posibles posiciones para la pieza de 1 × 1? 15. Demuestra que un tablero de 6 × 6 no puede ser cubierto con 9 tetraminos L. 16. El Problema de la Galería de Arte . Una galería de arte tiene forma de n-ágono (no necesariamente convexo). Demuestra que [ n/3] (la parte entera de n/3) es el mayor número de vigilantes que se necesitan para cuidar el edificio, sin importar cuán complicada sea su forma. Nota 1: las paredes del n-ágono son las
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únicas paredes, no hay paredes interiores. Nota 2: Suponemos que cada vigilante puede ver en todas las direcciones. Ejemplos:
Pentágono [5/3] = 1 1 vigilante puede cuidar el edificio
Heptágono [7/3] = 2 2 vigilantes pueden cuidar el edificio
17. ¿Hay forma de empacar 250 ladrillos de 1× 1 × 4 en una caja de 10 × 10 × 10? 18. Sea » un cubo de 12 × 12 × 12. Muestra que es imposible llenar exactamente a con cajas de 8 × 2 × 1.
»
19. Una cadena abierta de 54 cuadrados de 1 × 1 esta hecha de tal forma que cada pareja de cuadrados consecutivos está unida por un vértice, y cada cuadrado está unido a sus dos vecinos en vértices opuestos. ¿Es posible cubrir la superficie de un cubo de 3 × 3 × 3 con la cadena? 20. Dado un tablero de m × n, ¿cuál es el mínimo número de cuadrados de 1 × 1 que deben ser coloreados para que no haya lugar en los restantes cuadrados para un trimino L? 21. Los puntos de un plano son coloreados usando tres colores. Demuestra que hay dos puntos a distancia 1, teniendo ambos el mismo color. 22. En cada cuadrito de una cuadrícula de 9 × 9 se encuentra un insecto. En una señal, cada insecto se mueve en diagonal a un cuadrito vecino. Entonces puede ocurrir que varios insectos se encuentren en cuadritos iguales y ninguno en otros. Encuentra el mínimo número posible de cuadritos libres. 23. Considera una cuadrícula de 10 × 10. Demuestra que no se puede cubrir completamente con 25 tetraminos Torcidos. Demuestra que no se puede cubrir con 25 tetraminos T.
