´ UNIVERSIDAD SANTO TOMAS ´ CON AGUA COHETE A PROPULSION
Autor(es) del proyecto Gonzalez Lait´on on Jimy Avenicio jumy.gonzalez@usan
[email protected] toto.edu.co Yesica Paola Lopez Torres
[email protected] Ria˜ no no Far´ Far´ıas Aura Julieth Juli eth
[email protected] Rico Osma Liseth Natalia
[email protected]
Docente(s) orientador(es) del proyecto Jossitt Williams Vargas Cruz
[email protected] [email protected] leidy Johana Suarez Gomez
[email protected]
Materias involucradas F´ısic ıs icaa Mec M ec´´anica anica Calculo Integral
´Indice 1. Introducci´ Introducci´ on on
2
2. Objetiv Objetivos os
2
2.1. Objetivos Objetivos Genera Generales les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Objetivos Ob jetivos Espec´ Espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2
3. Descri Descripci´ pci´ on on Del Proyecto
3
4. Justificaci´ Justificaci´ on on Del Proyecto
3
5. Antecede Antecedente ntess
3
6. Marco Marco Te´ Te´ orico orico
4
6.1.. Leyes 6.1 Leyes De Newt Newton on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. 6.1.1. Primera Primera Ley De De Newton Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. 6.1.2. Segunda Segunda Ley De De Newton Newton O Ley De Acele Aceleraci´ raci´ on on O Ley De Fuerza 6.1.3. 6.1.3. Tercera ercera Ley De Newton Newton O Ley De Acci´ Acci´on on Y Reacci´on on . . . . . . 6.2. Mov Movimien imiento to Parab´ Parab´ olico olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. 6.2.1. Ecuacione Ecuacioness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. 6.2 .2. Ecuac Ecuaci´ i´ on on De Aceleraci´on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. 6.2 .3. Ecuac Ecuaci´ i´ on on De Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
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4 5 5 6 6 6 7 7
´ 7. Area Bajo La Curva
7
7.1. Metodolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Funcionamiento Del Cohete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. An´ alisis De Resultados
8.1. 8.2. 8.3. 8.4.
Altura Maxima . . . Velocidad Inicial . . Tiempo De Vuelo . . ´ Area Bajo La Curva
7 7 7
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8 8 8 9
9. Derivada Masa Con Respecto Al Tiempo
10
10.Conclusiones
10
Abstract A water rocket may be as simple as a plastic bottle for carbonated beverages that contain water and pressurizedair. The air pressure expels water through the nozzle when you open the CAP which, in turn, increases the speed of the bottle so that it can be propelled over significant distances orheights. This paper describes a project based learning field practices on the theme of water rockets. The main objective is to design a water rocket, in addition the air filled and system, in order to achieve a goal or reach a m´aximum distance of launch. You have to perform the necessary calculations and experimental tests to estimate the optimal launchingparameters allowing to achieve the proposed objective.
Resumen Un cohete de agua puede estar formado por algo tan simple como una botella de pl´astico para refresco en la que se introduce agua y aire a presi´on. El aire presurizado expulsa un chorro de agua por la boquilla al abrir el tap´on, lo que provoca un aumento de la velocidad de la botella y su propulsi´on a distancias o alturas importantes. El objetivo es dise˜nar un cohete de agua, as´ı como su sistema de llenado de aire y de disparo, para que alcance un blanco concreto o bien una distancia m´axima. Se realizaran los c´alculos te´ oricos y las pruebas experimentales necesarias para estimar los par´ametros ´optimos de lanzamiento que permitan alcanzar el objetivo propuesto.
1.
Introducci´ on
Partiendo de los conocimientos b´asicos de las leyes de newton, y de los conceptos de presi´on como de fuerza, de los estudios te´oricos aprendidos en clase: del movimiento uniformemente acelerado, movimiento parab´ olico y ca´ıda libre, se busc´o dise˜ nar y construir un cohete propulsado por agua, teniendo en cuenta las diferentes variables que intervienen y afectan la din´amica del cuerpo, antes y despu´ es del lanzamiento, utilizando modelos de principios y teor´ıas, que permiten su descripci´on, poni´endolo a prueba observando sus resultandos y similitudes entre la pr´actica f´ısica y el planteamiento matem´atico.
2. 2.1.
Objetivos Objetivos Generales Dise˜ nar y construir un prototipo a escala de un cohete a propulsi´on con agua, para determinar, aplicar y estudiar el empuje de presi´on y la fuerza ejercida por un fluido (agua).
2.2.
Objetivos Espec´ıficos Prep´aranos los con nuestras habilidades de ingenieros para desarrollar c´alculos y formular ecuaciones adecuadas para los problemas cotidianos en un futuro. 2
Identificar las leyes de Newton y como se ejercen, ya que la tercera ley es la que explica el funcionamiento del cohete. Reconocer los principios de movimiento uniformemente acelerado, movimiento parab´olico y ca´ıda libre los cuales se ven evidenciados en el desarrollo del proyecto. Plantear y desarrollar las ecuaciones correspondientes que expliquen el desarrollo del proyecto. Realizar el proyecto para ver como lo estudiado en clase se puede comprobar de manera sencilla para demostrar que estas leyes intervienen en cualquier actividad que realicemos.
3.
Descripci´ on Del Proyecto
Estudiar y aplicar los estudios f´ısicos de cinem´ atica, est´atica, din´ amica entre ellas las leyes de Newton, teniendo en cuenta la trayectoria para ser una predicci´on de la parte en la cual va a caer, a partir del fluido que se le suministre, en este caso la masa suministrada al prototipo; asiendo as´ı el c´ alculo de las velocidades de las firmezas que tengan soporte sin dejar a un lado el Angulo con el cual va ser lanzado nuestro cohete.
4.
Justificaci´ on Del Proyecto
Con este proyecto se pretende desarrollar habilidades motoras y de imaginaci´on mediante el dise˜no y construcci´ on de un cohete a propulsi´on con agua. Es un proyecto muy ´util porque se puede utilizar en muchas a´reas para explicar muchos conceptos, pero se debe realizar con mucha precauci´on en campo abierto para poder lograr el objetivo; en este caso tomaremos en evidencia un video en el cual lograremos ver los c´ alculos que se obtuvieron, corroborando con un programa que nos dar´a con exactitud lo realizado en campo.
5.
Antecedentes
Alrededor del a˜ no 1960, Jap´on importo cohetes de agua fabricados en Alemania y los Estados Unidos. A mediados de 1980 se realizaron competiciones de cohetes de agua en Escocia. Las botellas de polietileno tereftalato para bebidas gaseosas, que es el material que se utiliza generalmente para fabricar cohetes de agua, fueron empleadas por primera vez en 1974 en los Estados Unidos y su uso aumento r´apidamente a medida que se difund´ıan entre los consumidores. La idea de fabricar cohetes impulsados por aire a presi´on surgi´ o en el a˜ no 1983 como proyecto de carrera en una universidad de EEUU. Desde entonces, el prototipo de cohete propulsado con agua ha ido ganando popularidad hasta ser usado por la NASA en busca de nuevos talentos por colegios americanos (ver [3]). Propulsi´ on a Chorro: Sus principios datan de hace m´as de 2.000 a˜ nos, cuando Her´on de Alejandr´ıa invento un artefacto conocido como eol´ıpila la cual est´a constituida por una c´amara de aire (generalmente una esfera o un cilindro), con tubos curvos por donde es expulsado el vapor. La fuerza resultante por esta expulsi´on hace que el mecanismo comience a girar, seg´un la ley de acci´on y reacci´on. Normalmente, el agua es calentada en otra c´amara, y unida a la anterior mediante tubos por donde pasa el vapor, aunque tambi´ en puede ser calentada en la misma c´amara desde donde se expulsa el vapor. La aplicaci´on de ciertos principios te´oricos a una situaci´on real (Bose, 1983; Gale, 1970; Gowdy, 1995). El proceso de ense˜ nanza-aprendizaje de estos principios, sin embargo, es mucho m´as ilustrativo si los estudiantes pueden observar, e incluso llevar a cabo, experimentos que permitan validar la pura teor´ıa. Obviamente, la experimentaci´ on real con cohetes espaciales a nivel universitario es, si no imposible, bastante complicada. En este sentido, la coheter´ıa (esto es, las maquetas de cohetes a muy peque˜ na escala) ha jugado un papel muy importante como un medio de iniciar a futuros t´ ecnicos tanto en la investigaci´ on b´ asica como en los procedimientos utilizados en Aeron´autica con los cohetes reales (Nelson y Wilson, 1976; Nelson, Bradshaw, Leinung y Mullen, 1976). El uso, importancia y extensi´on de esta actividad en pa´ıses como los Estados Unidos se puede comprobar si se visita la p´agina oficial de la Asociaci´on Nacional de Coheter´ıa Norteamericana1; un ejemplo mucho m´ as visual de esta pr´actica se puede ver en la pel´ıcula titulada Cielo de octubre2. Al igual que en los cohetes reales, en este tipo de maquetas se utiliza un proceso de combusti´on para obtener el chorro de gases de propulsi´on, tal como se muestra en la figura 1; sin embargo, no es necesario que exista una combusti´ on para obtener un empuje elemental. Un chorro de propulsi´on se puede conseguir al mezclar agua 3
y aire comprimido en un recipiente adecuado, y este es precisamente el principio de operaci´on de los cohetes de agua. Un cohete de agua se puede construir con algo tan simple como una botella de pl´astico para refresco en la que se ajusta una v´alvula de bicicleta. En su interior se vierte un volumen de agua determinado y, a continuaci´on, se introduce aire a presi´on (por ejemplo, con una bomba de mano) a trav´ es de la v´alvula. Al dar la vuelta a la botella (esto es, al situar el tap´on en su parte inferior) el aire sube hasta la parte superior debido a su menor densidad, de tal forma que no podr´a salir al exterior hasta que se haya expulsado todo el volumen de agua. Por tanto, al abrir el tap´on se produce la salida de un chorro de agua por la boquilla debido a la presi´on del aire comprimido. Este chorro origina un incremento significativo de la velocidad de la botella por el principio de acci´on y reacci´on, lo que hace que pueda ser propulsada a gran distancia o altura. Los cohetes de agua presentan algunas ventajas evidentes sobre las maquetas propulsadas mediante combusti´on: son m´ as seguros, muy baratos y f´aciles de construir y de ensayar. Todas estas caracter´ısticas hacen que los cohetes de agua sean muy atractivos a distinto niveles educativos desde un punto de vista pedag´ogico. Se pueden mostrar a nivel de estudios primarios simplemente como algo divertido y muy espectacular que permite introducir a los alumnos en el apasionante mundo de la F´ısica. Los cohetes de agua tambi´ en se pueden utilizar, a nivel de secundaria o de bachillerato, como una demostraci´on pr´actica del principio de acci´ on-reacci´ on. En este caso, los alumnos pueden incluso llevar a cabo medidas de campo para comprobar la influencia de las distintas variables de ensayo (b´asicamente el volumen de agua, la presi´on del aire y el ´angulo de disparo) en la distancia o en la altura alcanzada por el cohete. La experimentaci´on con cohetes de agua tambi´ en se puede plantear como una actividad a nivel universitario (Tomita, Watanabe y Nebylov, 2007) si se propone a los alumnos un objetivo m´as ambicioso, como puede ser, por ejemplo, acertar en un blanco o alcanzar una distancia o una altura m´axima con una presi´on de aire limitada. Esta actividad se puede complementar, dentro del ´ambito de un curso de F´ısica o de Mec´ anica de Fluidos, con un modelo matem´ atico del cohete que se deba resolver para estimar los par´ametros de ensayo ´optimos que permitan alcanzar el objetivo propuesto (Finney, 2000; Ota y Umemura, 2001; Prusa, 2000). En este art´ıculo se describe ´ una pr´actica de campo que se lleva realizando en el Area de Mec´anica de Fluidos de la Universidad de Oviedo desde hace varios a˜nos (Blanco, Mart´ınez, Barrio, Arg¨uelles y Galdo, 2009). La pr´actica est´a basada en el m´etodo de proyectos, y su ob jetivo es que los alumnos dise˜nen un cohete de agua, junto con su sistema de llenado de aire y de lanzamiento, y que realicen los c´alculos necesarios (validando los resultados mediante pruebas de campo) para superar una prueba final que es objeto de evaluaci´on. Para ello se forman equipos de un m´aximo de 4 alumnos y, tras una sesi´on introductoria, se les pide que elaboren un plan de trabajo para realizar la pr´actica dentro de un plazo de tiempo determinado, durante el cual el profesor s´olo ejerce de orientador. La evaluaci´on final de los proyectos se realiza mediante un concurso p´ublico en el que cada grupo debe demostrar que su dise˜ no es capaz de superar la prueba utilizando las variables de ensayo obtenidas en los c´alculos. Siguiendo las directrices marcadas por Bolonia, esta metodolog´ıa docente se evalu´o al finalizar el curso pasado mediante una encuesta de satisfacci´on proporcionada a los estudiantes cuyos resultados se presentan en la parte final del trabajo .
6. 6.1.
Marco Te´ orico Leyes De Newton
Son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas planteados por la mec´anica, en particular, aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. Revolucionaron los conceptos b´ asicos de la f´ısica y el movimiento de los cuerpos en el universo. En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos aspectos: • Por un lado, constituyen, junto con la transformaci´on de Galileo, la base de la mec´anica cl´asica. • Por otro, al combinar estas leyes con la ley de gravitaci´on universal, se pueden deducir y explicar las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. As´ı, las leyes de Newton permiten explicar tanto el movimiento de los astros, como el movimiento de los proyectiles artificiales creados por el ser humano, as´ı como toda la mec´anica de funcionamiento de las m´aquinas. Su formulaci´on matem´ atica fue publicada por Isaac Newton en 1687 en su obra “Philosoophiae Naturalis Principia Mathematica”. FUNDAMENTOS: La base te´ orica que permiti´o a Newton establecer sus leyes est´a tambi´ en precisada en sus Philosoophiae 4
Naturalis Principia Mathematica”. El primer concepto que maneja es el de masa, que identifica con “cantidad de materia”. La importancia de esta precisi´on est´ a en que permite prescindir de toda cualidad que no sea f´ısica matem´ atica a la hora de tratar la din´ amica de los cuerpos. Con todo, utiliza la idea de ´eter para poder mecanizar todo aquello no reducible a su concepto de masa. Newton no asume a continuaci´on que la cantidad de movimiento es el resultado del producto de la masa por la velocidad, y define dos tipos de fuerzas: la vis insita, que es proporcional a la masa y que refleja la inercia de la materia, y la vis impressa (momento de fuerza), que es la acci´on que cambia el estado de un cuerpo, sea cual sea ese estado; la vis impressa, adem´as de producirse por choque o presi´on, puede deberse a la vis centr´ıpeta (fuerza centr´ıpeta), una fuerza que lleva al cuerpo hacia alg´un punto determinado. A diferencia de las otras causas, que son acciones de contacto, la vis centr´ıpeta es una acci´on a distancia. En esta distingue Newton tres tipos de cantidades de fuerza: una absoluta, otra aceleradora y motora, que es la que interviene en la ley fundamental del movimiento. En tercer lugar, precisa la importancia de distinguir entre lo absoluto y relativo siempre que se hable de tiempo, espacio, lugar o movimiento. En este sentido, Newton, que entiende el movimiento como una traslaci´on de un cuerpo de un lugar a otro, para llegar al movimiento absoluto y verdadero de un cuerpo. Newton establece que los movimientos aparentes son las diferencias de los movimientos verdaderos y que las fuerzas son causas y efectos de estos. Consecuentemente, la fuerza en Newton tiene un car´acter absoluto, no relativo. 6.1.1.
Primera Ley De Newton
En esta primera ley, Newton expone que “Todo cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o movimiento uniforme y rectil´ıneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas ejercidas sobre ´el”. Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por s´ı solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectil´ıneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza neta sobre ´el. Newton toma en cuenta, s´ı, que los cuerpos en movimiento est´an sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricci´ on, que los frena de forma progresiva. Por ejemplo, los proyectiles contin´uan en su movimiento mientras no sean retardados por la resistencia del aire e impulsados hacia abajo por la fuerza de gravedad.
6.1.2.
Segunda Ley De Newton O Ley De Aceleraci´ on O Ley De Fuerza
La segunda ley del movimiento de Newton dice que “Cuando se aplica una fuerza a un objeto, ´este se acelera. Dicha a aceleraci´on es en direcci´on a la fuerza y es proporcional a su intensidad y es inversamente proporcional a la masa que se mueve”. Esta ley explica qu´e ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qu´e ser constante) act´ ua una fuerza neta: la fuerza modificar´a el estado de movimiento, cambiando la velocidad en m´odulo o direcci´ on. En concreto, los cambios experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la direcci´on de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos.
5
6.1.3.
Tercera Ley De Newton O Ley De Acci´ on Y Reacci´ on
Expone que por cada fuerza que act´ua sobre un cuerpo, ´este realiza una fuerza de igual intensidad y direcci´ on pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo. Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud, sentido opuesto y est´ an situadas sobre la misma recta.
6.2.
Movimiento Parab´ olico
Se trata de un “movimiento rectil´ıneo uniforme” en su desarrollo horizontal y un “movimiento uniformemente variado” en su desarrollo vertical. En el eje vertical se comporta como el movimiento de “TIRO VERTICAL”. La composici´on de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una par´abola * Un MRU horizontal de velocidad Vx constante. * Un MRUA vertical con velocidad inicial Voy hacia arriba. Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes “x” e “y”, en el eje “y” se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje “x” como M.R.U. 6.2.1.
Ecuaciones ˆ v0 = v 0 Cosφˆi + v0 Sinφ j
(1)
a = − g jˆ
(2)
Donde: v0 , es el m´ odulo de la velocidad inicial. φ , es el ´angulo de la velocidad inicial sobre la horizontal. g , es la aceleraci´on de la gravedad. ˆi, jˆ son dos vectores unitarios en el plano.
6
La velocidad inicial se compone de dos partes: v0 cosφ que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial. En lo sucesivo v0x , v0 sin φ que se denomina componente vertical de la velocidad inicial. En lo sucesivo v0y Se puede expresar la velocidad inicial de este modo: ˆ v0 = v 0xˆi + v0y j Ser´ a la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ´angulo de la velocidad inicial. 6.2.2.
Ecuaci´ on De Aceleraci´ on
La u ´nica aceleraci´on que interviene en este movimiento es la constante de la gravedad, que corresponde a la ecuaci´on: ˆ (3) a = − g j que es vertical y hacia abajo.
6.2.3.
Ecuaci´ on De Velocidad
La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parab´olica se puede obtener integrando la siguiente ecuaci´ on: {a = dd = −g jˆ v0 = v0 xˆi + v 0 yˆj La integraci´on es muy sencilla por tratarse de una ecuaci´on diferencial de primer orden y el re- sultado final es: vt = v0 xˆi + (v0y − g.t ) jˆ Partiendo de la ecuaci´on que establece la velocidad del m´ovil con la relaci´on al tiempo y de la definic´on de velocidad, la posici´ on puede ser d ˆ encontrada integrando de la siguiente ecuaci´on diferencial: { a = d = v 0 xˆi +(v0y − g.t ) j r0 = v 0 xt + x0ˆi + y0 jˆ La integraci´on es muy sencilla por tratarse de una ecuaci´on diferencial de primer orden y el resultado final es: r t = (v0x t + x0ˆi) − ( 1 g.t 2 + voy t + y0 ) jˆ v t
v t
2
´ Area Bajo La Curva
7.
Es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El ´area bajo la curva formada por el trazo de la funci´on f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rect´angulos de anchura finita y altura f igual al valor de la funci´on en el centro del intervalo (ver [3]).
7.1.
Metodolog´ıa
7.1.1.
Funcionamiento Del Cohete
El cohete presenta una serie de piezas fundamentales para su funcionamiento: Las alas, representan la relaci´ on con el aire, teniendo en cuenta su dureza y su equidistancia “separaci´on entre ellas”. Tiene un sistema de centro de gravedad y peso que permite que el proyectil adquiera una trayectoria (un vuelo totalmente parab´ olico). Para lograr el objetivo se implement´o y dise˜ no un sistema de lanzamiento con un ´angulo de tiro ◦ ideal a 45 permitiendo un alcance m´aximo, con una presi´on que se ejerce mediante una bomba de aire y se mide con un bar´ometro, este mecanismo permite mantener la presi´on estable (no perder presi´on), para este fin se preciso un cantidad de 70 psi.
8.
An´ alisis De Resultados Valores obtenidos en los lanzamientos del cohete, a una presi´on constante de 70 psi, de: promedio de las distancias. su desviaci´on est´ andar. 7
Distancias
x(m) 115 112 115 112 115 110 110 112 112 113 112 110 112 113 110 112 112 115 112 1,75
X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 16 X 17 X 18
Promedio Desviaci´ o n Estandar
presi´ on 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi 70 psi
Cuadro 1: Datos Recopilados De Los Lanzamientos
8.1.
Altura Maxima hmax =
V 0 2 Sen 2 θ 2g
(4)
23,42 sm 2 Sen 2 45 hmax = 2,9,8 sm
(5)
hmax = 13,99metros 14
(6)
V 0 2 Sen 2 θ Y max = 2g
(7)
2
2
8.2.
Velocidad Inicial
vi vi =
2 = 2 ∗ 9 8
.g.Y max Sen 2 θ ,
(8)
m ,14m s2
Sen 2 45 m vi = 23, 42 s
(9)
(10)
La velocidad del cohete en el traker nos da un valor de 24,5 hall´andolo con la ecuaci´on 8 nos da un valor de 23,42 como se pude observar en el resultado de la ecuacion 10.
8.3.
Tiempo De Vuelo
5 Segundos, este valor esta dado por un programa llamado traker, calculado con un video previamente editado en camara lenta para posteriormente ser utilizarlo.
8
8.4.
´ Area Bajo La Curva
Por medio de los valores obtenidos en traker, graficamos en excel y se obtuvo la ecuaci´on 11 para hallar el area que genera con la parabola que gener´o el cohete con su trayectoria.
(a) Area Bajo La Curva
Figura 1: Con los datos obtenidos en traker graficamos y obtuvimos la grafica presentada anteriormente 112
−14x2 + 56x − 42 dx
(11)
1,10
112
112
2
−14x
1,10
112
+ 56 − 56 − − 42 2 − 28 − 42 x
1,10
−14x3 3
x2
l´ım +(
x→1,10
112
x
1,10
−14x3 3 Evaluamos cada limite en la funci´on:
42 dx
1,10
112
2
x
x
1,10
−14x3 − 28x2 − 42x) 3 = −6, 1087
−14x3 − 28x2 − 42x) 3 2070, 8576 = 3
l´ım −(
x→112
(12)
(13)
Hallamos el ´area: =(
2070, 8576 ) − (−6, 1087) 3 = 6,90286x106 u2
9
(14)
(a) Derivada Masa VS Tiempo
Figura 2: Con los datos obtenidos en traker graficamos y obtuvimos la grafica presentada anteriormente, mirando la variacion de la masa con respecto al tiempo, es decir el intervalo de tiempo en que tarda perder la masa al ser expulsado con diferentes presiones.
9.
Derivada Masa Con Respecto Al Tiempo M (t) = 143, 99Ln(t) − 183, 81 M (t) =
(15)
143, 99 t
Al remplazar el tiempo, que es igual a 5 Segundos tenemos una variaci´on de 0.5.
10.
Conclusiones Con la realizaci´on del cohete a propulsi´on con agua podemos concluir que para que movimiento parab´ olico sea ideal se debe poner un litro (1lt) de agua que es equivalente a 13 del espacio de la botella. La distancia m´ axima recorrida por el cohete tambi´ en depende de la presi´on de aire que se ejerza”fuerza de rozamiento”, peron esta no fue tenida en cuenta. Para lograr que el cohete se elevara, el dise˜no de sus alas fue resistentes y le dimos una equidistancia para que lograra cortar el viento correctamente. La ecuaci´on del movimiento parabolico 2 proporcionada por los datos experimentales tiene relacion con una funci´on parabolica puesto que se dio un Ln (Logaritmo Natural)como lo podemos evidenciar en (ver [1]), permiti´endonos evidenciar la precisi´on que tuvimos al relizar el proyecto. Para lograr el tiro parabolico es necesario tener un ´angulo ideal de 45◦ .
Referencias [1] Fisica universitaria-sears-zemansky-12va-edicion-vol1 [2] FISICA DE FLUIDOS Y TERMODINAMICA (FERNANDO RODRIGUEZ-UECC) [3] RED. Docencia Universitaria en la Sociedad del Conocimiento, n´umero 2 (Barrio Perotti)
10
