CLAVE-101-2-M-1-00-2018_sK

CLAVE-101-2-M-1-00-2018_sK UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULT FACULTAD DE INGENIE IN GENIERÍA RÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO:

Matemática Básica 1

SEMESTRE:

Primero

CÓDIGO DEL CURSO:

101

TIPO DE EXAMEN:

Segundo Examen Parcial

FECHA DE EXAMEN:

15 de marzo de 2018

HORA DE EXAMEN:

7:00 a.m.

RESOLVIÓ EL EXAMEN:

Eddy Brandon de León

REVISÓ EL EXAMEN:

Ing. Mario Rivera

COORDINADOR:

Ing. Arturo Samayoa

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TEMA 1 Solución:

Primero se rotulan los demás ángulos en la figura,

Se utilizan los teoremas: Teorema 1:

1 AB + CD φ = 2



Teorema 2:







(1)

1 AB 2 

ψ =

(2)

Ángulo B AE No.

Ex Explicación

Operatoria

1

Ángulos suplementarios,

 B AE

2

Poner valores numéricos,

 B AE = 180

3

Simplificar,

+ B AF = 180 ◦

◦ −  B AF = 180 ◦ − 75◦

 B AE = 105

◦







Ángulo φ No.

Ex Explicación

Operatoria

1

Util Utiliizar zar el teor teorem emaa (2), donde ψ = B AF = 70 ◦

AB = 2 ψ

2

Colocar el valor numérico

AB = 2 (75◦ ) = 150 ◦

3

Util Utiliizar zar el teor teorem emaa (1), donde CD = 70 ◦

φ = ( 70◦ + 150◦ ) = 220 ◦







1 2

Respuesta: φ = 110 ◦ Ángulo β No.

Ex Explicación

Operatoria

1

Por ángulo ánguloss suplem suplement entaarios,

2

Simplificar,

β + φ = 180 ◦

β = 180 ◦

− φ = 180◦ − 110◦

Respuesta: β = 70 ◦ Ángulo θ No.

Ex Explicación

Operatoria 1 AB θ= 2

  

1

Utilizar el teorema (2),

2

U i li

l

éi

θ

1

( 150◦ )

75 ◦







TEMA 2 Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, 3) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas − x + y = 3 y − x − y = 1.

Solución:

No.

Ex Explicación

1

Se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar el centro.

2

Sumar las dos ecuaciones,

3

Operatoria

−

− −

−2x = 4 ⇒ x = −2

Sustituir x en alguna de las ecuaciones,

4

El centro ( h, k ) es

5

Hallar Hallar el radio radio con la fór fór-mula de la distancia,

6

Poner valores numéricos,

7

Utilizar Utilizar la ecuación ecuación general de la circunferencia,

7

Sustituir Sustituir los valores valores hallahallados, Respuesta: La Respuesta: La ecuación de la circunferencia es:

x + y = 3 x y = 1

y = 3 + x = 3

− 2 = 1

( h, k ) = ( 2, 1)

−

r 2 = ( x1

r2 = (0

(x

(x

− h)2 + ( y1 − k )2

− (−2))2 + (3 − 1)2 = 8

− h)2 + ( y − k )2 = r 2

− (−2))2 + ( y − 1)2 = 8.







TEMA 3 Un tanque tiene 10 metros de largo y su sección transversal es un semicírculo de 4 metros de diámetro, como se muestra en la figura. Calcule:

a. El volumen total del tanque. Solución:

Datos: L = 10 m r = 2 m V = A L

·

No.

Ex Explicación

1

Calcular el área,

2

Colocar los valores,

3

Calcular el volumen,

Operatoria A =

A =

1 2 π r 2

1 m2 π (2m)2 = 2 π m 2

V = (2π m m2 )( 10 m) = 20 π m m3

Respuesta: El Respuesta: El volumen total es 20 m 3, aproximadamente 62.8 m 3 .

b. Volum olumeen de agu agua cuand uandoo la altu altura ra de la supe superfi rfici ciee del del agu agua es h = 1. Solución:

El área sombreada es la diferencia entre el área del sector circular y el triángulo isósceles.









A = ASC

− A

Notar que el área del triángulo isósceles es el mismo que el del equilátero que se muesmues tra a continuación.

No.

Ex Explicación

1

Área del sector circular, circular,

2

El ángulo es 120◦ = 2π /3 /3 radianes,

3

Área del sector, sector,

4

Área del triángulo triángulo equiláequilátero,

Operatoria 1 2

ASC = θ r2

ASC

1 2π = (2 m ) 2 = 2 3

 

ASC =

A =

4π 2 m 3

√ 3 4

s2







Respuesta: El Respuesta: El volumen total cuando h = 1 es 4π √ 10 3 m3 − 3





c. El área del espejo de agua cuando h = 1. Solución:

A = b L

·

No. 1

Ex Explicación Calcular b. Se utiliza un triángu triángulo lo rectá rectángul nguloo con catetos 1 m y b /2 e hipotehipotenusa 2 m.

2

Despejar b

3

Calcular el área,

Operatoria (2)2 = (1)2 + ( b/2)2

√

b = 2 3 m

√

√

A = (2 3 m)(10 m) = 20 3 m2

Respuesta: El Respuesta: El área del espejo de agua cuando h = 1 es

√

20 3 m2







TEMA 4 Calcule el área sombreada de la figura que se muestra, si los lados del cuadrado miden 6 metros de longitud. Solución:

Se hacen las relaciones geométricas que se muestran en la siguiente figura:

No. 1

2

Ex Explicación

Calcular x por relaciones de triángulos semejantes, Área sombreada,

Operatoria 6−x x

=

A = ASC

6 ⇒ x = 2 3

− 2 · A − A









No.

Ex Explicación

Operatoria

5

Área del triángulo,

6

Colocar los valores de x ,

7

Área del cuadrado,

8

Área sombreada,

m2 A = 9 π m

9

Área sombreada,

A = ( = ( 9π

A =

1 x (6 − x ) 2

1 2

− 2) m2 = 4 m2

A = (2)(6

A = x 2 = 4 m 2

Respuesta: El Respuesta: El área sombreada es: = ( 9π A = (

− 12) m2

− 2(4 m 2 ) − 4 m 2

− 12) m2 ≈ 16.3 m2







TEMA 5 Dada la gráfica de la función de f ( x) que se muestra.

a. Determine el dominio y el rango de la función. Solución:

En base a la gráfica, el dominio es:

−3 ≤ x ≤ 7 Y el rango es:

0 ≤ y ≤ 3

b. Grafique f ( x − 2) , f (2x ) y 2 f ( x ). Solución:

La función f ( x − 2) es la traslación de f ( x) dos unidades a la derecha.









La función 2 f ( x) es el estiramiento vertical de f ( x) dos unidades a la derecha.

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