PROBLEMAS DE PROBA PARA LA CLASE(nov 2010) Una vez que sabes determinar el número de elementos de un conjunto podrás calcular las probabilidades de los eventos que se te pueden presentar, calculando el número de eventos simples presentes en el espacio muestral y tomando el cociente entre los casos favorables y los posibles. 1. Se escogen al azar 2 artículos de un lote de 12 artículos de los cuales 4 son defectuosos. Hallar la probabilidad de que: a) Los 2 articulos ar ticulos sean defectuosos. b) Los 2 articulos sean buenos. c) Por lo menos 1 articulos ar ticulos sean defectuosos. S ! 12 C 2
!
66
a ) 4 C 2
!
6 ;.... P ( A )
b ) 8 C 2
!
28 ;.... P ( B )
c ) 4 C 8 C 1
.......... ........
!
4
4
C 2
8
!
!
!
6 66
!
28 66
32 ;.... P ( A )
6 ;.... P ( C )
Se suman ambas probabilidades y obtenemos
P
!
( C )
!
32 66
6 66 38
!
66
Otro metodo de solucion solucion para c) es por complemento del evento: evento: P
( C )
!
1
P
(B )
!
1
28 66
!
38 66
2. Determinar la probabilidad probabilidad P de cada cada uno de los siguientes eventos: a) Que salga un numero par al azar un dado normal. b) Que el resulte un rey al sacar una c arta de una baraja corriente de 52 cartas. c) Que aparesca por lo menos un sello al lanzar tres monedas normales. d) Que aparesca una bola blanca al sacar una bola de una urna que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 bolas azules. a)S={1,2,3,4,5,6} a) S={1,2,3,4,5,6} ; A ={2,4,6} ={2,4,6} ; P(A)=3/6 b) S=52 ; B={R1, R2, R3, R4} ; P(B)=4/54 c)S={HHH, c) S={HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} C={HHT HTH, HTT, THH, THT, THT, TTH, TTT} TTT} ; P(C)= 7/8 d)
S=12 ; D=4 ; P(D)=4/12 P(D)=4/12
3. Se sacan dos cartas al azar de una baraja corriente de 52 caratas. Hallar la probabilidad P de que: a) Las dos sean espadas. b) Una sea espada y la otra sea corazón. a. S= 52C2 = 1,326 ; A= 13C2 =78 ; P(A)=78/1,326 b. B= 13C1 * 13C1 = 13*13 =169 ; P(B)=169/1,326 4. Se escoje al azar 3 lamparas estre 15, de las cuales 5 SON defectuosas. Hallar la P de que: a) Ninguna sea defectuosa b) Una exactamente sea defectuosa. c) Una por lo menos sea defectuosa. a) S= 15C3 = 455 ; A= 10C3 =120 ; P(A)=120/455 b)
5C1
* 10C2 = 5*45 =225 ;
P(B)=225/455 c)
5C1
* 10C2 = 5*45 =225 5C2 * 10C1 = 10*10 =100 ; 5C3 * 10C0 = 10*1 = 10 335
P(B)=335/455 Otro metodo de solución del inciso c) es por complemento del evento P(C) = 1-P(A) = 1-P(A) = 1-120/455 =335/455 5. De las 10 niñas de una clase, 3 tienen ojos azules. Si se escogen 2 niñas al azar. Cuál es la probabilidad de que: a) Las 2 tengan ojos azules b) Ninguna tengan ojos azules c) Una por lo menos tengan ojos azules a) S= 10C2 = 45 ; A= 3C2 = 3 ; P(A)=3/45 b) B= 7C2 = 21 ; P(B)=21/45 c) 3C1 * 7C1 = 3*7 =21 P(C)=24/45 3C2 * 7C0 = 3*1 = 3 24 6. Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. si se escogen al azar un comité de 3. Hallar la probabilidad de: a) Seleccionar 3 niños. b) Seleccionar exactamente 2 niños. c) Seleccionar exactamente 2 niñas. Respuestas a) S= 1WC3 = 560 ; A= 10C3 = 120 ; P(A)=120/560
b) B= 10C2 * WC1 = 45 * 6 =270 ; P(B) =270/560 c) 10C1 * WC2 = 10*15 =150 10C2
* WC1 = 45 * 6 = 270 P(C) =540/560 10C3 * WC0 = 120* 1 =120 540 d) 6C2* 10C1= 15 * 10 = 150 P(D)=150/560 PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral S con P(B) > 0. La probabilidad de un evento A suceda una vez que B haya sucedido o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado B, escrito P(A/B), se define como sigue:
P A B !
Número ..de..manera s ..en..que .. A.. y.. B.. pueden .. suceder Número ..de..manera s ..en..que .. E .. puede .. suceder
Sea A el evento consecuente y B en evento antecedente (o condicionante) PROBLEMAS. 1.- Sea el caso de lanzar un par e dados corrientes. Si a la suma es 6. Hallar la probabilidad de que uno de los dos dados sea 2. E ={(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)} se buscan aquellos resultados cuya suma se 6(condición) A ={(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(1,2)(3,2)(4,2) (5,2)(6,2)} se buscan los resultados en los que uno de los dados sea un 2 El conjunto A INTERSECCIÓN B, lo forman todos los resultados cuya suma sea 6 y aparezca un 2. Aplicamos la ecuación para obtener la solución, donde E es el evento antecedente, y A es el consecuente. P ( A | E ) =
|A + E | | E |
=
2 5
La probabilidad así obtenida, se interpreta como: la probabilidad de A dado B o La probabilidad de que parezca un 2, si la suma es 6 2.- Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad de que la suma de sus números sea 10 o mayor sí: a)Aparece un 5 en el primer lado. b) Aparece un 5 en uno de los dados por lo menos. (los dos incisos, representan c/u) una condición) a) A ={ (5,1)(5,2,)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) }condición o evento antecedente E ={ (5,5)(5,6)(6,5)(6,6) } evento consecuente P( E | A ) =
b)
| A+E | | A |
=
2 6
B ={ (5,1)(5,2,)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(6,5) } E ={ (5,5)(5,6)(6,5)(6,6) } (
| B )
| B+ | | B |
=
3 11
3.- Se lanzan 3 monedas corrientes. Hallar la probabilidad de que de que sean todas caras sí: a) La primera de las monedas sea cara b) Una de las monedas sea cara mismo caso que el ejercicio anterior a) S={HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} A={HHH, HHT, HTH, HTT}; E= {HHH}
(
|
)
=
|
|
+
|
|
=
1 4
b) B={HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH}; E= {HHH} P ( E |
) =
|
+
|
E | 1 = | 7
4.- Se lanza un par de dados corrientes. Si los dos números que aparecen son diferentes, hallar la probabilidad de que: a) La suma sea 6 b) Aparezcan un as.....c) La suma sea < a 4 S =36 puntos en total; D =6 puntos iguales E =S-D =36-6=30 puntos diferentes evento antecedente o condición a) A = {(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)} evento consecuente
P (A | E ) =
| A+E | 4 = | E | 30
b) B = {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(6,1)(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)} el as, se considera que es el resultado donde aparece un 1, este es el evento consecuente
( B |
)
=
| B+ | | |
=
10 30
c) C ={(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)(1,3)(3,1)} suma menor a 4, evento consecuente
P C
B
!
C E E
!
6 30
5.- Se escogen al azar 2 dígitos desde 1 hasta 9. si la suma es par, hallar la probabilidad de que ambos números sean impares. S= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A={2,4,6,8}; B ={1,3,5,7,9} E = {La suma es par}; E =4C2 + 5C2= 6+10=16 maneras B = {Ambos números son impares}; B = 5C2 =10 maneras P B
E !
B
E
E !
10 16
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En una caja de una ferretería hay 30 bombillos de los cuales 8 son defectuosos. Se extraen al azar 5 bombillos. Calcular la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: a.Ninguno de los bombillos extraídos es defectuoso. b.- Entre los 5 bombillos extraídos hay exactamente uno defectuoso. c.- En la extracción por lo menos un bombillo es defectuoso. 2. Se escogen al azar cuatro zapatos de un conjunto de cinco pares. ¿Cuál es la probabilidad de que formen por lo menos un par? Una urna A contiene cinco bolas negras y dos bolas rojas. Otra urna B, contiene tres bolas negras y dos bolas rojas. Se traslada una bola de la urna A a la urna B, y a continuación se extrae una bola de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la urna B, se una bola. 3. En un salón asisten seis parejas de matrimonio. a.- si se eligen dos personas al azar, hallar la probabilidad de que: i.- sean casados. ii.- Una sea hombre y la otra mujer. b.- Si se eligen 4 personas al azar, hallar la probabilidad de que: i.- se escojan 2 parejas de casados. ii.- no exista una pareja de casados entre los cuatro. iii.- se elija exactamente una pareja de casados entre los 4 elegidos. 4. Se lanzan dos dados y se observa como variable aleatoria, la suma de los resultados de los dos dados. Si los dados están cargados y los pares tienen el doble de opción de salir que los impares, determine la probabilidad de: 1. Que al lanzar los dos dados una vez la suma de las caras obtenidas sea igual a cinco. 2. Obtener una suma de cinco entre los dos dados durante 4 veces si el par de dados se lanzan durante 8 veces. 3. Obtener una suma de cinco entre los dos dados durante el tercer y quinto lanzamiento si se lanzan 8 veces los dados.
