Prof. Juan Serrano, MA Rodrigo Solis
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1
Medida angular
Trigonometría de ángulos rectos
Funciones trigonométricas de ángulo
Ley de senos
Ley de cosenos © copywriter
2
Las funciones trigonométricas se pueden dividir en dos maneras distintas pero equivalentes; como funciones de números reales o como funciones de ángulos.
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3
Un ángulo de medida 1 se forma al rotar el lado inicial 1/360 de una revolución completa. En cálculo y otras ramas de la matemáticas, se usa un modo más natural de medir ángulos, la medida en radianes. La cantidad que se abre un ángulo se mide a largo del arco de un círculo de radio 1 con su centro en el vértice del ángulo.
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4
R2 B Lado terminal
A O
O
R1
Lado inicial
R1 A
Lado inicial ángulo positivo
B
Lado terminal ángulo negativo
R2
La medida de un ángulo es la cantidad de rotación respecto al vértice requerido para mover R1 sobre R2 . Esto es cuando se abre el ángulo.
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5
Si un círculo de radio 1 se traza con el vértice de un ángulo en un centro, entonces la medida de este ángulo en radianes (rad) es la longitud del arco que subtiende el ángulo.
θ
Medida de θ en radianes
1
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6
La circunferencia de radio 1 es 2π y, por lo tanto, una revolución completa tiene 2π rad, un ángulo llano tiene medida de π rad y un ángulo recto tiene medida de π/2 rad. π/2 rad π rad 1 rad
o
o
1
1
o
1
1 1 Puesto que una revolución completa medida en grados es 3600 y medida en radianes 2π, se obtiene la siguiente relación entre dos métodos de medición de ángulo.
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o
2 rad
1 7
180 1 rad = π
180 = π rad
a) Para convertir grados a radianes, multiplique por
b) Para convertir radianes a grados, multiplique por
o
1 =
π 180
rad
π 180 180
π
Medida θ = 1 rad ≈ 57.296o θ
1
Para tener cierta idea del tamaño de un radian, vea: 1 rad ≈ 57.296o
1 © copywriter
y
1o ≈ 0.01745 rad
8
a)
Exprese 60o en radianes π π 60 = 60 rad = rad 3 180 o
b)
Exprese π/6 rad en grados
Cuando no hay mayor información, se supone que el ángulo se mide en radianes.
π 180 o rad = = 30 6 6 π
π
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9
De grados a radines:
3π π 1) 540 = 54 rad = ≈ 0.942rad 10 180 3) 39600 =
3) 202.50 = De radianes a grados:
4) -
3π 3π 180 =- ⋅ = −2700 2 2 π
5) 3.40 =
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10
Un ángulo está en posición estándar si se dibuja en el plano xy con su vertice en el origen y su lado inicial en el eje x positivo. Ejemplo en posición estándar:
y
c) a)
y
y
O
b)
O
O
x
x
x y
d) Dos ángulos son coterminales si coinciden sus lados. En las figuras anteriores a) y c) son coterminales.
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O
x
11
Encuentre ángulos que son coterminales con el ángulo θ = 30o en posición estándar.
Encuentre ángulos que son coterminales con el ángulo θ = π/3 en posición estándar.
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12
a)
Encuentre ángulos que son coterminales con el ángulo θ = 30o en posición estándar. 30o y 30o + 360o = 390o y
y
30o O
390o O
x
x
Para hallar ángulos negativos que son coterminales, se resta cualquier multiplo de 360o. 30o – 360 = -330 30o – 720o = -690o y
y
- 330o - 690o O
x
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O
x
13
b)
Para hallar ángulos positivos que son coterminales con θ, se suma cualquier múltiplo de 2π. Por lo tanto:
π 3
+ 2π =
7π 3
π 3
+ 4π =
13π 3
Para hallar ángulos negativos que son coterminales, se resta cualquier multiplo de 2π.
π 3
− 2π = −
5π 3
π 3
− 4π = −
11π 3 Veamos en forma de gráfica
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14
En forma de gráfica: y
π 3 y
O
O
x
x
−
7π 3
5π 3
y
O
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x
15
Encuentre un ángulo con medida entre 0o y 360o que coterminal con el ángulo de medida 1290o en posición estándar.
Solución: Se puede restar 360 cuantas veces desees, el ángulo que resulte, será el coterminal con 1290.
3 360 1290 1080 210 → Por lo tanto, 210o
y
210o O
x
es el ángulo deseado.
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16
Un ángulo cuya medida en radianes es θ está subtendido por un arco que es la fracción θ/(2$) de la circunferencia de un círculo. Así un círculo de radio r, la longitud s de un arco que subtiende el ángulo θ es;
θ ⋅ circunferencia 2π θ s= (2 π r ) = θ r 2π
s=
θ
s
r s =θ r © copywriter
17
En un círculo de radio r, la longitud s de un arco que subtiende un ángulo central de θ radianes es;
s = rθ
Cuando despejas θ, se obtiene la fórmula importante;
θ
r
s θ= r
Esta formula permite definir la medida en radianes por medio de un círculo de cualquier r. La medida en radianes de un ángulo θ es s/r, donde s es la longitud del arco circular que subtiene θ en un círculo de radio r. © copywriter
1 rad
r
r 2 rad θ
r
18
Encuentre la longitud de un arco de un círculo con radio 10m que subtiende un ángulo central de 300.
Un ángulo central θ es un círculo de radio 4m es subtendido por un arco de longitud 6m.
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19
a) Ya sabemos que: 300 =
longitud de un arco
π 6
s = rθ =
(10)
π 6
=
5π m 3
s se tiene lo siguiente: r 6 3 s longitud del arco = = rad θ= → 4 2 r radio
b) Por la fórmula:
θ=
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20
Area de un círculo; A = π r 2 Un sector de este círculo con ángulo central θ tiene un área que es la fracción:
A=
θ
A
=
A=
r
θ ⋅ área del círculo (2π ) θ ( π r2 ) (2π ) 1 2 rθ 2
Ejercicios pág. 475; 59 - 66 © copywriter
21
Ejercicio 59; pág. 475
80o A 8
A=
1 2 rθ 2
A=
1 (64)(80o ) → cambia grados a radianes 2
π = 32 80 180 4π = 32 9 4π 128π = 32 ≈ 1.70 pies = 9 9
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22
Un niño hace girar una piedra en una honda de 3 pies de largo a una velocidad de 15 revoluciones cada 10 segundos. Encuentre las velocidades angular y lineal de la piedra. Solución; En 10s, el ángulo θ cambia en 15 (2π) = 30π radianes:
Velocidad angular : w = w=
θ t
=
θ t
→
ángulo tiempo
30π rad = 3π ≈ 9.42 rad / s 10 s
Solución; La distancia recorrida por la piedra en 10s es s = 15 (2πr) = 15 (2π) (3) = 90π pies. La velocidad lineal es:
Velocidad lineal : v =
s distancia recorrida 15 (2π ) 3 pies = = t tiempo 10 s 90 π pies = 10 s = 9π ≈ 28.27pies/s
Ejercicios pág. 476; 67 – 84: Asign: 68, 70, 72, 74, 76 © copywriter
23
Ejercicio 67: Pág. 476 Distancia recorrida Las ruedas de un automovil miden 28 pulgadas de diámetro. ¿Qué tan lejos viajará el automovil (en millas) si sus ruedas giran 10 000 veces sin deslizamiento? Velocidad lineal : v =
s distancia recorrida = t tiempo 1 pies 1 millas = 10000(28π ) ⋅ 12 pul 5280 pies 1 millas 12 (5280)pulg 28000 π millas = 63360 pulg = 10000(28π )
=
879645.943 millas ≈ 13.88 millas 63360 pulg
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24
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25
3 2 θ 5
Encuentra las seis relaciones trigonométricas: hipotenusa 3 csc θ = = cateto opuesto 2 senθ = = cateto opuesto 2 hipotenusa 3 hipotenusa 3 = cateto adyacente 5
cateto adyacente 5 cos θ = = hipotenusa 3
sec θ =
cateto opuesto 2 tan θ = = cateto adyacente 5
cateto adyacente = 5 cot θ = 2 cateto opuesto
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26
Si cos α =
3 , halla otras cinco relaciones trigonométricas. 4
4 cos α =
adyacente hipotenusa
7 θ 3
Hay que hallar el lado que falta: se conoce como opuesto. Se utiliza el Teorema de Pitágoras. El lado que falta es: 7 7 senθ = 4 4 csc θ = 7
3 cos θ = 4 4 secθ = 3
tan θ =
7 3
cot θ =
3 7 © copywriter
27
Ciertos triángulos rectángulares tienen relaciones que se pueden calcular fácilmente a partir del teorema de Pitágoras. Ej. 1: Se dibuja un triángulo de lado 1, y se obtiene la hipotenusa.
Ej. 2: Se dibuja un triángulo equilátero de lado 2. B
2
45o
1
30o
2
45o
3
1 60o
A 1
C
Ejercicios pág. 484; 1-5; Resolver en el salón © copywriter
28
Θ en grados
30
45
60
Θ en radianes
π 6
π 4
π 3
senΘ
cos Θ
tan Θ
csc Θ
sec Θ
cot Θ
1 2
3 2
3 3
2
2 3 3
3
2 2
2 2
1
2
3 2
1 2
3
2 3 3
2
1
2
3 3
Hay que recordar estas relaciones trigonométricas especiales porque se presentan con frecuencia En la calculadora solo se proporcionan seno, coseno y tangente las otras relaciones se pueden calcular de este modo, llamadas relaciones recíprocas:
csc t =
1 sent
sec t =
1 cos t
cot t =
1 tan t
Pág. 40 © copywriter
41 29
Colocar la calculadora en modo de grados y escribir los resultados hasta cinco valores decimales: Halla:
sen 17 o ≈ 0.29237 1 ≈ 28.65371 sec 88 = cos 88 o
Colocar la calculadora en modo de radianes y escribir los resultados hasta cinco valores decimales: Halla:
cos1.2 ≈ 0.36236 1 ≈ 0.03081 cot 1.54 = tan 1.54 © copywriter
30
Resuelve el triángulo ABC:
Solución:
B
a) Recuerda colocar calculadora en grados: El ángulo B = 60o .
12 a 30o
Para hallar a: A 30o = a/12
b
C
30o = b/12
a = 12 sen 30o 1 = 12 = 6 2
b = 12 cos 30o 3 =6 3 b = 12 2
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31
La capacidad para resolver triángulos rectángulos es fundamental en muchos problemas de navegación, levantamiento de planos, astronomía y medición de distancias.
Veamos
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32
Hallar la altura de un árbol
Un árbol proyecta una sombra de 150 mtr de largo. Encuentre la altura del árbol si el ángulo de elevación del Sol es 25.7o. Solución:
opuesto = tan α adyacente h 25.7o 150 mtr
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33
Una escalera de 40 mtr está apoyada de un edificio. Si la base de la escalera está separada 6 pies de la base del edificio, ¿cuál es su altura? Solución: Si θ es el ángulo entre la escalera y el edificio, entonces:
θ 40 mtr
6 senθ = ≈ 0.15 40 Para hallar el ángulo se usa una calculadora, en modo de grados, usando la tecla sen -1.
6 mtr
θ ≈ 8.60
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34
Halla la altura de la Bandera
k h
opuesto = tan θ adyacente h = tan 240 500 h = 500 tan 24 0 h = 500(0.4452 ) ≈ 223 pies Altura del Edificio 223 pies
k = tan 27 0 500 k = 500 tan 27 0
27 24
k = 500(0.5095) ≈ 255 pies
500 pies
Altura hasta la parte superior del asta
La altura de la bandera es : 255 - 233 = 32 pies
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35
Encuentre los valores exactos de las seis relaciones trigonométricas del ángulo θ en el triángulo.
1)
5
Evalua la expresión sin usar calculadora
23) sen
θ
sen
3
π 6
π 6
+ cos
=
1 2
π 6
cos
π 6
=
3 2
1 3 1+ 3 + = 2 2 2
4
senθ =
opuesto hipotenusa
=
4 5
csc θ =
hipotenusa opuesto
=
5 4
cos θ =
adyacente hipotenusa
=
3 5
sec θ =
hipotenusa adyacente
=
5 3
tan θ =
opuesto adyacente
=
4 3
cot θ =
adyacente opuesto
=
3 4
( )
( )
26) sen 600 + cos 600 2
3 1 2 1 2 + 2 = Círculo unitario
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36
46) Un avión está volando dentro de la vista del Gateway Arch en San Luis, Missouri, a una altura de 35000 pies. Al piloto le gustaría estimar su distancia desde el Gateway Arch. Encuentra que el ángulo de depresión restecto a un punto sobre el suelo debajo del arco es 22 grados. a) ¿Cuál es la distancia entre el avión y el arco?
x 220
senθ =
r
35 000
h
sen 220 =
opuesto y = hipotenusa r
35000 93431.38 pies 35000 ≈ = r= sen 220 r
b) ¿Cuál es la distancia entre el punto sobre el
x
suelo directamente abajo del avión y el arco? tan θ =
tan 220 =
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opuesto y = adyacente x 35000 35000 ≈ 86 628 pies = x= tan 220 x 37
48) Distancia del mar Desde la parte superior de un faro de 200 pies, el ángulo de depresión respecto a un barco en el océano es de 23 grados. ¿Qué tan lejos está el barco desde la base del faro?
tan θ =
opuesto y = adyacente x
x 23
r
200 tan 230 = x
y = 200
200 ≈ 471.17 pies x= 0 tan 23
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h
x
38
50) Escalera apoyada Una escalera de 20 pies se apoya sobre un edificio. Si la base de la escalera está a 6 pies de la base del edificio. ¿cuál es el ángulo de elevación de la escalera? ¿Qué altura tiene el edificio? a) ¿cuál es el ángulo de elevación de la escalera?
adyacente x = hipotenusa r 6 cos θ = = 0.3 ⇒ θ = cos −1 0.3 ≈ 1.266 rad. ≈ 72.50 20 cos θ =
20 pies
b) ¿Qué altura tiene el edificio?
h2 = c2 − a2
h = 400 − 36
h 2 = 20 2 − 6 2
h = 364 ≈ 19.07 pies
h 2 = 400 − 36
θ 6 pies
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39
52) Altura de una torre Un cable de sujeción de 600 pies se une a la parte superior de una torre de comunicaciones. Si el alambre forma un ángulo de 65 grados con el suelo. ¿Cuál es la altura de la torre de comunicaciones?
senθ =
sen650 = 600 pies
opuesto h = hipotenusa r
h 600
h = 600sen650 h ≈ 543.78 pies
60 0
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40
54) Cálculo de una distancia Una mujer parada sobre un colina ve un asta de bandera que sabe tiene 60 pies de altura. El ángulo de depresión respecto de la parte inferior del asta es 14 grados y el ángulo de elevación de la parte superior del asta es 18 grados. Encuentre la distancia x desde el asta.
tan θ =
h1
opuesto h = adyacente x
180
x
140
h1 + h2 = 60 0
0
x tan 18 + x tan 14 = 60
(
)
h2
0.5742 x = 60 x=
60 ≈ 104.5 pies 0.5742
x tan 180 + tan 140 = 60 x(0.3249 + 0.2493) = 60 © copywriter
41
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42
En la sección se amplían las relaciones trigonométricas a todos los ángulos definiendo las funciones trigonométricas de ángulos. Con estas funciones se pueden resolver problemas prácticos en los que los ángulos NO necesariamente son agudos. P
Hipotenusa
y Cateto Opuesto
P(x, y)
r y
Q
θ O
θ Cateto Adyacente
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O
x 43
Sea θ un ángulo en posición estándar y sea P(x, y) un punto sobre el lado terminal. Si r = x 2 + y 2 es la distancia del origen al P(x, y), entonces; y
senθ =
y r
csc θ =
r (y ≠ 0 ) y
cos θ =
x r
sec θ =
r (x ≠ 0 ) x
tan θ =
y (x ≠ 0 ) x
cot θ =
x (y ≠ 0 ) y
P ( x, y ) r
θ O
x
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44
a) cos 135
3π 4 ( − x, y )
r
y
π 4 ( x, y )
135
y
b) tan 390 5π 6
( − x, y ) 150
r
30
x
O
π 6
45
-x
( x, y )
-x
x
O
Solución:
π 180
π cos1350 = 1350 180 3π = 4 =
0 tan 3900 = 390
13π 6 14π 13π = − 6 6
=
3π 4π − 4 4
=−
π 4
cos1350 = −
2 2
=
π 6
tan 3900 = 300 = © copywriter
3 3 45
Encuentre el valor exacto de la función trigonométrica
1 π π 12) cos − 60 = 60 = = cos 600 = 2 180 3
(
0
)
π 7π = cot 30 0 = 1 = 3 16) cot 210 = 210 = 0 tan 30 6 180 0
26)
tan 5π 4π 5π π 3 = − = − tan = − 1 = − 6 6 6 6 3 3 29 © copywriter
46
Angulo de referencia Sea θ un ángulo de referencia en posición estándar. El ángulo de referencia relacionado con θ es el ángulo formado por el lado terminal de θ y el eje x .
y
y θ =θ
O
x
y θ
θ
O
y θ
x
θ
θ
O
θ
x
O
θ
x
ES UTIL CONOCER EL CUADRANTE DE REFERENCIA EN QUE SE LOCALIZA EL LADO TERMINAL DEL ANGULO.
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47
Encuentre el ángulo de referencia para El ángulo de referencia es el ángulo 5π agudo formado por el lado terminal de 3 5π a) θ = 3 5π θ = 2π − 3 π = 3
y 5π 3
θ
x
θ
O
Los ángulos 870 y 150 son coterminales [porque 870 – 2(360) = 150]. Por lo tanto, el lado terminal de este ángulo en el cuadrante II. b) θ = 870 0
y
θ = 180 − 150 870
= 30 0
θ
θ
O © copywriter
x 48
Halla el ángulo de referencia para:
1.a) 1500 = 180 − 150 = 30 1.b) 3300 = 360 − 330 = 30
1.c) - 300 = −(− 30) = 30
Halla el ángulo de referencia para el ángulo dado:
4π − 3π π 4π 6.a) = = 3 3 3 33π 33π − 32π = π = 6.b) 4 4 4 23π 24π − 23π π 6.c) = = 6 6 6
8.a) 2.3π = 2.3π − 2π = 0.3π
8.b) 2.3 = π − 2.3 ≈ 0.84
8.c) − 10π = 10π − 10π = 0
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49
y
Encuentre: a) sen 240 240
b) cot 495 θ
θ
O
x
Solución Este ángulo tiene su lado terminal en el cuadrante III, como vemos en la figura.
sen 2400 = 2400 − 1800 = 60 0 Por lo tanto:
sen 2400 = − sen 600 = − SIGNO
3 2
SOLUCION
ANGULO DE REFERENCIA
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50
y
Encuentre: a) sen 240 b) cot 495
495
θ
θ O
x
Solución El ángulo 495 es coterminal con el ángulo 135 y el lado terminal de este ángulo está en el cuadrante II.
cot 4950 = cot 1350 = − cot 450 = − 1
Angulos Coterminales
Signo
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Angulo de Referencia
51
Encuentre:
a) sen
16π 3
a) El ángulo 16π/3 es coterminal con 4π/3 y estos ángulos están en el cuadrante III.
4π π −π = 3 3 sen
y 4π 3
16π 4π π 3 = sen = − sen = − 3 3 3 2
Angulos Coterminales
Signo
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θ
θ
O
x
Angulo de Referencia
52
Encuentre:
π b) sec − 4 El ángulo –π/4 está en el cuadrante IV y su ángulo de referencia es π/4. La secante en este cuadrante es positiva. y 2 π π sec − = + sec = 2 4 4 θ
O
θ −
π
x
4
Angulo de Referencia
Signo
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53
Identidades recíprocas
1 csc θ = senθ
1 sec θ = cos θ
1 cot θ = tan θ y
senθ tan θ = cos θ
r
cos θ cot θ = senθ
sen 2θ + cos 2 θ = 1
tan 2 θ + 1 = sec 2 θ
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y
θ
O
Identidades pitagóricas
( x, y )
x
1 + cos 2 θ = csc 2 θ 54
a) Exprese sen θ en términos de cos θ Solución: A partir de la primera identidad pitágorica se obtiene:
senθ = ± 1− cos 2 θ donde el signo depende del cuadrante. En este caso θ está en el cuadrante III o IV, sen θ es negativo.
senθ = − 1− cos 2 θ En estos cuadrantes, III o IV los senos son negativos.
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55
b) Exprese tan θ en términos de sen θ, donde θ está en cuadrante II. Solución: Como tan θ = sen θ/cos θ, se necesita escribir cos θ en términos de sen θ.
cos θ = ± 1 − sen 2θ donde el signo depende del cuadrante. En este caso θ está en el cuadrante II, sen θ es negativo.
tan θ =
senθ senθ = cos θ − 1 − sen 2θ
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56
38) cotθ , senθ ; θ en el cuadrante II cos θ cotθ = senθ
Definición de cotangente
sen 2θ + cos 2 θ = 1
Identidad pitágorica
cos 2 θ = 1 − sen 2θ
Despejar para coseno
cos 2 θ = ± 1 − sen 2θ cot θ =
cos θ = ± 1 − sen 2θ senθ − 1 − sen 2θ cot = senθ © copywriter
Aplicación; en el cuadrante II, la cotangentes es negativa. Solución
57
Las funciones trigonométricas se pueden usar tambien para resolver triángulos oblicuos, esto significa que son triángulos sin ángulos rectos. Para resolver este tipo de problemas se estudia la ley de los senos y los cosenos mas adelante. Se recomienda al momento de resolver uno de estos problemas, que se haga un bosquejo, para conocer si tenemos información suficiente. C b
a
A
B c
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Un triángulo está determinado por tres de sus seis partes. Veamos: 1. Un lado y sus dos ángulos (LAA) 2. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos lados (LLA) 3. Dos lados y el ángulo incluido (LAL) 4. Tres lados (LLL)
58
Ley de los senos En el triángulo ABC se tiene;
A b
senA senB senC = = a b c
c
h = b sen c
B
C a
Ej. 1: Rastreo de un satélite Un satélite que orbita la Tierra pasa directamente arriba de las estaciones de observación en Phoenix y Los Angeles, apartadas a 340 millas. En un instante cuando el satélite está entre estas dos estaciones, su ángulo de elevación es observado de manera simultánea como 60 grados en Phoenix y 75 grados en Los Angeles. ¿Qué tan lejos está el satelite de Los Angeles? En otras palabras encuentre la distancia entre AC.
Paso 1 sujerido: Hacer un bosquejo © copywriter
59
C
Solución Siempre que se conozcan dos ángulos de un triángulo, podemos conocer el otro. Por el teorema de ángulos internos.
Satélite
El tercer ángulo mide: 45 grados a
b
A
75
Los Angeles
senB senC = b c 60
340 millas
sen60 sen45 = b 340
B Phoenix
bsen450 = 340sen600
340sen600 416 millas ≈ b= 0 sen45
Punto de cotejo: Ej. 34 © copywriter
60
Utiliza la ley de los senos para hallar el lado indicado por x o el ángulo θ. C
Para hallar b: 50
0
185
88.8
102
A
0
280
x 144 .9
B
Primero: ∠C = 1800 − 1020 − 280 = 500
senC senA = c a a senC c= senA
senB senA = b a a senB b= senA 185 sen280 b= sen1020
b ≈ 88.8
185 sen500 144.9 ≈ c= 0 sen102 © copywriter
61
65a .1
B
25
C
Segundo hallamos lado b:
c = 80.4 b .5 134 20
A
Primero hallamos
senA senC = a c c senA a= senC 80.4 sen200 ≈ 65.1 a= 0 sen25
senB senC = b c c senB b= senC 80.4 sen1350 a= ≈ 134.5 0 sen25
© copywriter
62
34) Distancia a través de un lago Los puntos A y B están separados por un lago. Para hallar la distancia entre ellos, un topógrafo localiza un punto C sobre el suelo tal que
A 48.6
c
b = 312 pies
26.4
B
105
a = 527 pies
senA senB = a b senA sen∠ABC = senB = b a 312sen48.6 sen∠ABC = senB = ≈ 0.444088527 527
C
B ≈ sen −1 (0.444088527) B ≈ 26.40
senA senC = a c a senC 527 sen1050 c= = ≈ 678.6 pies senA sen48.6 © copywriter
∴ Distancia entre AC = 678.6 pies
63
Considera el siguiente triángulo con sus lados a, b y A. (h = b sen A) Condiciones necesarias: C
C
C
C
a b
b h
b
h a
b
a h
A
A
A es agudo
A
A es agudo a=h Uno
a
a a
B
A es agudo a≥b Uno
h
A
B
A es agudo h
Dos
a b
a
b A
A es obtuso a≤b Ninguno
A
A es obtuso a>b Uno © copywriter
64
A = 22 pulg. B
Halla los lados y los ángulos que faltan: Para hallar
C b = 12 pulg. c 42
A
Para hallar el ángulo C:
C ≈ 180 − 42 − 21.410 C = 116.59
senB senA = b a senA senB = b a sen42 senB = 12 22
B ≈ 21.410
Para hallar los lados que faltan:
senC senA = c a asenC 22 sen116.9 c= = ≈ 29.40 pu lg . senA sen 42 © copywriter
65
a = 15
b = 25 h 85
senB senA = b a senA senB = b a sen85 senB = 25 15
A
B ≈ 1.660 0 > 1
Este es un caso contradictorio ya que senB < 1. Entonces no es un triángulo.
© copywriter
66
Para B1 ≈ 64.80
senB senA = b a senA senB = b a
a senC senA 12 sen94.7 c= sen 20.5
c=
sen 20.5 senB = 31 12 B ≈ 64.8 B1 ≈ 64.8 C = 180 − 20.5 − 64.8 = 94.7
B2 ≈ 180 − 64.8 = 115.2
Si se restan estos valores a 180 = 0 grados.
C = 180 − 20.5 − 115.2 = 44.3
© copywriter
c ≈ 34.15
Para B2 ≈ 115.2 0 c=
c=
a senC senA
12 sen 44.3 c ≈ 23.93 sen 20.5
67
C b = 31 m
20.5
A
94.7 a = 12 m
C
64.8
C = 34.15 m
44.3
B1 b = 31 m
a = 12 m 115.2 20.5
A
© copywriter
C = 23.93 m
B1
68
61) Altura de un cohete La trayectoria de un cohete en posición recta es seguida por un observador sobre el suelo a milla de distancia. a) Muestre que cuando el ángulo de elevación es θ, la altura del cohete en pies h = 5280 tan θ. b) Complete la tabla para encontrar la altura del cohete a los ángulos de elevación dados.
θ
20
60
80
85
h
1922
9145
29944
60350
tan θ =
op h = = 5280 tan θ pies hip 1 milla h = 5280 tan θ pies h = 5280 tan(___ 0 ) pies
h
h ≈ ______ pies
θ 1 milla
© copywriter
69
64) Resistencia de una viga La resistencia de una viga es prporcinal al ancho y al cuadrado de la profundidad. Se corta un viga de un tronco. Exprese la resistencia de la viga como una función del ángulo θ. ancho
20 cm 20 cm profundidad
θ θ fuerza = k (ancho)( profundidad ) 2
profundidad = ancho =
opuesto = senθ = 20senθ hipotenusa adyacente = cos θ = 20 cos θ hipotenusa © copywriter
fuerza = k (20 cos θ )(20 senθ ) 2 fuerza = k (20)(20) 2 (cos θ )(senθ ) fuerza = 8000 k cos θsenθ 70
66) Transporte en trineo El tiempo en segundos que tarda un trineo en bajar una colina en un ángulo θ es:
t=
d 16 sen θ
donde d es la longitud de la pendiente en pies. Encuentra el tiempo que tarda en bajar una pendiente de 2000 pies inclinada a 30 grados. Sustitución:
2000
t=
d 2000 = 16 sen θ 16 sen θ t=
θ
2000 8
t = 250 t = 5 10 ≈ 15.8 seg
© copywriter
71
32) Vuelo de un avión Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determina los ángulos de depresión hasta dos postes de millage apartados a 5 millas, ángulos de 32 grados y 48 grados. a)
Encuentra la distancia del avión al punto B: D 32 0
3.77millas
1000
2.69millas
a=
senθ =
d senA senD 0
32 0
A
a=
480
B d = 5 millas
C
senC senA = c a 0 a senC 2.69sen48 ≈ 3.77millas AD = c = = 0 sen32 senA
5sen32 sen1000
DC ≈ 2.69millas hipot. =
Halla la altura
opuesto hipotenusa h sen480 = 2.69
senD senA = d a
480
h ≈ 2 millas
b)
h ≈ 2.69 sen480
h ≈ 1.99millas h ≈ 2 millas
2 ≈ 3.77 millas sen 320 © copywriter
72
36) Antena de radio Una antena de radio de onda corta está apoyada por dos cables cuyos longitudes son 165 y 180 pies. Cada alambre está fijo a la parte superior de la antena y anclada al suelo en dos puntos de anclaje en lados opuestos de la antena. El cable más corto forma un ángulo de 67 grados con el suelo. ¿Qué tan apartados están los puntos de anclaje?
Para hallar la distancia desde AC = h:
C
165
h ≈ 151 h .9 pies
senB senA = h a a senB h= senA
180
67 0
B
64
A
D
165 sen 67 0 h= sen 90
h ≈ 151.9 pies
Para hallar la distancia desde BA:
AC 2 + BA2 = BC 2 (51.9)2 + BA2 = (165)2 2
2
BA2 = (165) − (51.9)
BA2 = 27225 − 23073.61 BA2 = 4151.39
BA = 4151.39 BA = 64
Buscar AD, próxima página © copywriter
73
C
165
h ≈ 151 h .9 pies
180
67 0
64
B
A
96.6
D
160.6 Para hallar la distancia desde AD:
Para hallar la distancia desde BD:
AD 2 + AC 2 = DC 2 2
AB + AD = BD
2
AD = DC − AC 2
2 2
AD = (180) − (151.9 ) 2
64 + 96.6 = BD 160.6 = BD
AD 2 = 32400 − 23073.61 AD 2 = 9326.39 AD = 9626.39 AD ≈ 96.6 © copywriter
74
38) Longitud de un cable de sujeción Una torre de comunicaciones se localiza en la cima de una colina. El ángulo de inclinación de la colina es 58 grados. Se fijará un cable de sujeción a la parte superior de la torre y al suelo, 100 millas de colina abajo de la torre. El ángulo α, se determina como12 grados. Encuentre la longitud del cable requerido.
C 20
155 pies x pies
12
A
0
senB sec C = b c c senB 100 sen 1480 b= = 61 pies ≈ 154.9 pies =155 pies 0 senC sen 20
b ≈ 155 pies B 1480 100 pies
0
580
Encuentre la altura de la Torre:
senA sec B = a b b senA 155 sen 120 a= = ≈ 60.81 pies = 61 pies 0 senB sen 148
a ≈ 61 pies © copywriter
75
La ley de los senos no se pueden usar de manera directa para resolver triángulos si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos o si se conocen los tres lados. En estos dos casos, se aplica la ley de los cosenos. Ley de los cosenos
C
En cualquier triángulo ABC se tiene; b
a
A
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A B
c
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
La ley de los cosenos dice que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos del doble producto de esos dos lados por el coseno del ángulo incluido. Si uno de los ángulos de un triángulo, por ejemplo
76
Se construirá un túnel por una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo hace las mediciones mostradas. Use los datos del topógrafo para aproximar la longitud del túnel. Para aproximar la longitud c del túnel, se usa la ley de los cosenos:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C B
417 A
82.40
212 pies
388 pies
c 2 = 3882 + 2122 − 2(388)(212) cos 82.40
c 2 = 173730.2367 c ≈ 173730.2367
C
c ≈ 416.8 El túnel medirá alrededor de 417 pies de largo.
© copywriter
77
C
1)
C
2)
x
21
x
B
15 39
A
B
42
7)
C
A
24 30
x
18
B
30
A
© copywriter
78
Los lados de un triángulo son a = 5, b = 8 y c = 12. Encuentre los ángulos del triángulo. C b=8
Se encuentra el
180 A
B
c = 12
El uso de calculadora: cos −1 ó
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A b2 + c2 − a 2 cos A = 2bc 82 + 12 2 − 52 = 2(8)(12)
183 192 −1 cos A ≈ 0.953125 / cos = 0.953125 =
inv cos ó
∠A ≈ 180
arc cos
continúa... © copywriter
79
Los lados de un triángulo son a = 5, b = 8 y c = 12. Encuentre los ángulos del triángulo. C b=8
0
133
a=5
29 0
180 A
De la misma forma los demás;
c = 12
B
a 2 + b2 − c2 cos C = 2ab
a2 + c2 − b2 cos B = 2ac 52 + 12 2 − 82 = 2(5)(12 ) 105 0 = = 0.875 / cos −1 = 0.875 ∠B ≈ 29 120
52 + 82 − 12 2 = 2(5)(8) =
− 55 = −0.6875 / cos −1 = −0.6875 80
∠C ≈ 1330
∠A ≈ 180 + ∠B ≈ 290 + ∠C ≈ 133 = 1800 © copywriter
80
C b= 10.5
Se puede hallar a por la ley de los cosenos
98.2
0
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A a 2 = (10.5) 2 + (18) 2 − 2(10.5)(18) cos 46.50
350
46.50 A
13 a = .2
c = 18
B
a 2 ≈ 174.05 ≈ a ≈ 174.05 ≈ a ≈ 13.2
Se puede hallar
a 2 + c 2 − b 2 (13.2 )2 + (18)2 − (10.5)2 387.99 cos B = = 0.816477 = = 2ac 2(13.2)(18) 475.20 0 cos −1 = 0.816477 ∠B ≈ 35 a 2 + b 2 − c 2 (13.2 )2 + (10.5)2 − (18)2 − 39.51 cos C = = −0.1425324 = = 2ab 2(13.2 )(10.5) 277.20 −1 cos = −0.1425324 ∠C ≈ 98.20 0 0 0 0 46.5 + 35 + 98.2 = 180 © copywriter
81
Dato biográfico: biográfico: Se conocía como Herón el viejo de Alejandría. Fue un ingeniero griego, que destacó en Alejandría en la provincia de romana de Egipto. Después de que desapareció el Imperio Alejandrino y con él la ciencia griega, todavía existieron algunos destellos de genialidad. Uno de estos genios fue Herón, que desplegó una actitud casi moderna para la mecánica.
Fórmula de Herón El área A de un triángulo ABC está dada por: Α = s (s − a )(s − b )(s − c ) donde s = 1 (a + b + c ) es el semiperímetro del triángulo; es 2
decir s es la mitad del perímetro.
© copywriter
82
El semiperímetro del lote es:
s=
a+b+c 2
125 + 280 + 315 2 720 s= 2 s = 360 s=
Por la fórmula de Herón el área es: 125 pies
A = s ( s − a)( s − b)( s − c) A = 360(360 − 125)(360 − 280)(360 − 315) A ≈ 17 451.6 Así, el área aproximada es:
17 451.6 pies 2 © copywriter 83
