CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS ELECTROMAGNÉTICOS TEMA 5 CORRIENTE Y CONDUCTORES CONDUCTORES
Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez Ciclo Ene ± Abr 2010 San Cristóbal, RD
TABLA DE CONTENIDO
1.
CORRIENTE Y DENSIDAD DE CORRIENTE
2. CONTINUIDAD DE LA CORRIENTE 3. CONDUCTORES METÁLICOS 4. CONDICIONES DE FRONTERA 5. EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES 6. SEMICONDUCTORES
CORRIENTE Y DENSIDAD DE CORRIENTE Corriente
Densi Densida dad d de Corri Corrien ente te
Corriente Carg argas eléctri tricas en movimiento. En esencia es la razón de cambio del movimiento de las cargas al pasa por un punto de referencia conocido.
La dens densid idad ad de cor corrien riente te en un punto dado es la corriente a través de un área unitaria normal en ese punto. La densidad de corriente J es un vector y se expresa en Amperes por metro cuadrado (A/m2).
Se expresa: I !
dQ dt
[Ampere (A)]
Para Para obte obtene nerr la corr corrie ient ntee total total se considera:
Integrando, Integrando, resulta resulta : I
´ J d S S
( I ! J N (S ( I ! J (S
1
CORRIENTE Y DENSIDAD DE CORRIENTE (CONT.) Rela Relaci ción ón Densi Densidad dad de Corri Corrien ente te ² Velo Veloci cidad dad Carg Cargaa Volu Volumé métr tric icaa
Consideremos un elemento de carga, ( ! V v (v ! V v (S ( L , orientado como se muestra muestra en la figura figura (a) (a).
Supongamos que en un intervalo de tiempo ¨t, el elemento se mueve una distancia ¨x, como se muestra en la figura (b). 2
CORRIENTE Y DENSIDAD DE CORRIENTE (CONT.) Rela Relaci ción ón Densi Densidad dad de Corri Corrien ente te ² Velo Veloci cidad dad Carg Cargaa Volu Volumé métr tric icaa (C (Con ont. t.))
Por lo anterior, el elemento de carga se expresa: (Q ! V v (v ! V v (S ( x
De la definición de corriente: ( I !
(Q
! V v (S
(t ( I ! V v (Sv x
( x (t
representa la componente x de la velocidad v. Por tanto, en términos de la densidad, se tiene: tra que las carga argass en movim vimiento conforman J ! V v v J ! V v v demuestra una corriente. J también se llama corriente de convección . y a vv se le llama densidad de corriente de convección. vx
x
x
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CORRIENTE Y DENSIDAD DE CORRIENTE (CONT.) D5.1
Un vector de densidad de corriente está dado Ejercicio para realizar en el salón. por J ! 10 V 2 z a 4 V cos 2 J aJ mA/m2. Respuestas: r
a) Encontrar Encontrar la densid densidad ad de corri corriente ente en
V ! 3, J ! 30 , z ! 2
P
Q
a) b)
180a-9a mA/m2 3.26 A
b) Determinar la corriente total que pasa a través de una banda banda circular circular V ! 3,0 J 2T ,2 z 2.8
4
CONTINUIDAD DE LA CORRIENTE Prin Princi cipi pioo de Cons Conser ervación de la Carga rga
Las cargas no se crean ni se destruyen, aunqu aunquee cantid cantidade adess iguale igualess de cargas cargas positivas vas y negati ativas pueden ser simult simultáne áneamen amente te cre creadas adas,, obtenid obtenidas as por separación, destruidas o perdidas por recombinación. Ecuaci Ecuación ón de Contin Continuid uidad ad
Consideremos una corriente que circ circul ulaa a trav través és de una una sup super erfficie icie cerrada:
´
I ! J d S
De acuerdo al principio de conservación de la carga, la rapidez de reducción de la carga dentro de un volumen dado debe ser igual al flujo neto de corriente hacia fuera a través de la superficie cerrada del volumen, volumen, es decir: decir: I fue ! ´ J d S ! S
dQent d t t
en donde, Qent es la carga total encerrada por la superficie cerrada.
S
5
CONTINUIDAD DE LA CORRIENTE (CONT.) Ecuac Ecuació ión n de Cont Contin inui uida dad d (C (Con ont. t.))
Aplicando el Teorema de la Divergencia:
´ J d S ! ´ Jd v S
v
y considerando que: dQent xV d ! ´ V v dv ! ´ v dv xt dt dt v v Se tiene:
´
Jdv !
v
J !
x V v xt
x V v ´v xt dv
La ecuación de continuidad establ tableece que no puede habe aber acumulación de carga en ningún punto. Para Para corr corrie ient ntes es esta estaci cion onar aria ias, s, se tiene que: x V v !0 xt Por tanto: J ! 0 Esta ecuación indica que la carga total que sale de un volumen es la misma que la carga total que que entra entra a él. En qué Ley están pensando «? ¿
Ecuación de continuidad de la corriente
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CONTINUIDAD DE LA CORRIENTE (CONT.) D5.2
La densidad de corriente está dada en coordenadas cilíndricas J ! 10 z 1. a A/m2 en la región 0 20 m; para 20 m, J=0. 6
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z
a) Enco Encont ntrrar la cor corrien riente te tot total que cruza ruza la superficie z=0.1 m en la dirección de az.
Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) -39.7 A b) -15.8 mC/m3 c) 29.0 m/s
b) Si la velocidad de la carga es 2x106 m/s en z=0.1m, encontr encontrar ar v. c) Si la densidad de carg arga volumétrica en z=0.15m es -2000 C/m3, encontrar la velocidad velocidad de la carga.
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CONDUCTORES METÁLICOS Un conductor posee abundante carga con libertad de desplazamiento. Supo Supong ngam amos os un cond conduc ucto torr aisl aislad adoo como se muestra a continuación:
Si aplicamos un campo eléctrico externo, las cargas libres son impulsadas en igual dirección que la del campo aplicado, y las cargas libres en sentido contrario.
Las cargas libres hace acen dos cosas: (1) Se acumulan en la superficie del conductor, formando una carga superfici superficial al inducida.
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CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.) Cargas Cargas Libres Libres « (2) Las cargas inducidas establecen un campo inducido interno que anula al campo externo aplicado, como se muestra muestra a continuació continuación: n:
De este resultado se desprende una propiedad importante de un conductor, y es que: Un conductor perfecto no puede contener un campo electrostático. A un conductor se le llama cuerpo equipotencial E
! V ! 0
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CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.) Ley de Ohm
Par Para mante antenner una dens densiidad de cor corrient ientee fin init itaa en un cond conduc ucto torr perfecto ( ), es necesario que el campo E 0.
Consideremos un conductor sometido a una diferencia de potencial V, como se muestra en la siguiente figura:
J ! W E
También se confirme mediante la ley de Gauss, ya que si E=0, la densidad de carga carga volu volumé métr tric icaa v debe debe ser ser cero ce ro,, por por tant tanto, o, en un cond conduc ucto torr perfecto no puede existir un campo electrostático v=0, Vab=0 E=0, dentro de un conductor
Observaciones: (1) E 0. (2) No hay equilibrio estático, debido a que el conductor está conectado a una fuente de fuerza electromotriz.
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CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.) Conductividad
La conductivid vidad se mide en sieme iemens ns por por me metr troo [S/m] /m]. Un siemens es la unidad básica de conductancia en el sistema SI y se define como un Ampere por volt . Veamos Veamos alguno algunoss valores valores [S/m] [S/m]:: (1) Al 3.82 x (2) Cu 5.80 x 107. (3) Ag 6.17 x 107. 107.
Para Para vari varios os me meta tale les, s, la resi resist sten enci ciaa cae abruptamente a cero a temperaturas de unos cuantos grados Kelvin, a esta propiedad se le conoce como superconductividad. Ej. Al es superconductor a temperatura temperaturass inferior inferiores es a 1.14K. La conductividad se puede expresar en función de la densidad de carga y de la movilidad del electrón, esto es:
W ! V e Q e
La conductividad es una función de la temperatura., y es el recíproco de la resistividad. 11
CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.) La estructura de bandas de energía en tres diferentes tipos de materiales a 0° K. (a) El conductor no presenta una brecha de energía entre las bandas de valencia y conduc conducció ciónn. (b) (b) El aisl aislan ante te tien tienee una una gran gran brec brecha ha de ener energí gíaa. (c) El semiconductor tiene solamente una pequeña brecha de energía.
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CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.) Resistencia
Por tanto:
La magni agnitu tud d del del campo ampo eléc eléctr tric icoo está dada por:
R
E !
Normalmente Normalmente se expresa: expresa:
L
Puesto que el conductor posee una secc secció iónn tran transv sver ersa sall unif unifor orme me,, se tiene: J !
I S
S
! W E !
!
L
W S
!
V I
V L Secc Secció iónn tran transv sver ersa sall S es S uniforme c
En donde, V del material.
Sustituyendo en la ley de ohm, se tiene: I
R
!
W L
c
!
1 W
es la resistividad
Si los los camp campos os no son son unif unifor orme mes, s, a entonces: R
!
V ab
I
!
´ E d L b
´ W E d S S
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CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.) Potencia
La potencia P (en watts) es la rapidez de cambio de la energía W (en joules) o fuerza por velocidad. Así: P
En caso de un conductor con sección transve transvers rsal al unifor uniforme me dv=dS dv=dS.dL, dL, la ecuación ecuación se transform transformaa en: P !
´ E Jdv ! ´ Ed L ´ JdS ! V I v
L
S
P ! I 2 R
! ´ E Jd v v
Ley de Joule La dens ensidad dad de pote potenc nciia wP (en watts/m3) está está dada por: por: w P !
dP dv
! E J ! W E
2
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CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.) D5.3
Calcular la magnitud de la densidad de corriente en una muestra de plata que tiene = 6.17 x 107 S/m y e = 0.0056 m2/V.s : a) Si la la velocidad velocidad de de arrastre arrastre es de 1.5 m/s. b) Si la in inte tens nsiidad dad de camp campoo eléc eléctr triico es de 1mV/m.
Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) 16.5 kA/m2 b) 61.7 kA/m2 c) 9.9 MA/m2 d) 80.0 kA/m2
c) Si la la muestr muestraa es un un cubo cubo de de 2.5 mm de lado y tiene un voltaje de 0.4 mV entre las caras opuestas. d) Si la muestra es un cubo de 2 .5 mm de lado y transporta un corriente total de 0.5A.
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CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.) D5.4
Un conductor de cobre tiene un diámetro de 0.6 pulgadas y una longitud de 1200 pies. Suponer que transporta una corriente total de cd de 5 0 A. Encontrar: a) La resis resistencia tencia total del del conduct conductor or. b) La densidad de corriente corriente del conductor conductor.
Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) 0.035 b) 2.74 x 105 A/m2 c) 1.73 V d) 86.4 W
c) El voltaje de cd entre los extremos del conductor. d) La potencia que disipa el alambre.
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CONDICIONES DE FRONTERA Condiciones de Frontera entre un Cond Conduc ucto torr y el Espa Espaci cioo Li Libr bree
En el análisis : (1) Descomponga el campo eléctrico en dos dos comp compon onen ente tess : tang tangeenc ncia iall y normal. (2) Se determina la componente tangencial, tangencial, aplicando aplicando la ecuación:
´ E d L ! 0 y para esto, se separa la integral a lo larg largoo de la pequ pequeñ eñaa tray trayec ecto tori riaa abcda, esto es: b
c
a
b
d
a
c
d
´´´´! 0 17
CONDICIONES DE FRONTERA (CONT.) (3) Recordar que E = 0 dentro del conductor. Sea ¨w y ¨h las dime dimens nsio ione ness de la traye trayect ctor oria ia cerrada, cerr ada, entonces: entonces: E t ( E
1 ,en _ b
2
0
(5) Por tanto: E t
!0
´ D d S ! Q
1
S
2
y sepa separrando ando la in inte tegr gral al para para la superficie del cilindro, se tiene:
(h E ,en _ a (h ! 0
(4) Aproximamos ¨h a cero y ¨w se mantie mantiene ne pequeñ pequeñoo pero pero finito finito,, resultando: E t (w !
(6) Ahora Ahora evalu evaluemo emoss la compo componen nente te normal, normal, basado en la ley de de Gauss: Gauss:
´
arriba
´
abajo
´!Q
lad os os
(7) Aproximando ¨h a cero y evaluando evaluando las integrales, integrales, resulta: resulta: D N (S ! Q ! V S (S D N ! V S 18
CONDICIONES DE FRONTERA (CONT.) En resumen, los principios aplicables a campos campos electro electrostá státic ticos os consid consideran eran::
(1) La intensidad de campo eléctrico dentro de un conductor es cero. (2) La intensidad de campo eléctrico estático es normal a la superficie del conductor. (3) La superficie del conductor tor es una superficie equipotencial. Ejemplo: Dado el potencial V ! 100 x 2 y 2
En el punto P(2,-1,3) ubicado en la frontera entre el conductor y el espacio libre. Encontrar V, E, D y s en P, y también encontrar la ecuación de la superficie del conductor. 19
CONDICIONES DE FRONTERA (CONT.) (4) El campo en el punto P es:
Solu Soluci ción ón Ej Ejem empl ploo «
(1) Se determina el potencial V del punto P. Esto es:
?
V ! 100 2
2
1 A! 300 Volt ios 2
(2) La ecuación de la superficie del conductor que representa el lugar geométrico de todos los puntos que tiene un potencial de 300 Voltios es: 2 2 300 ! 100? x y A x
2
y 2 ! 3
E V
! 400a 200a y V m x
(5) Como D=0E, entonces: D V ! 8.854 v 10 D V !
12
E V
3.54a 1.77a y nC x
m
(6) Como el campo es normal a la superficie equipotencial: D N ! D P ! 3.96 nC
m
2
(3) El campo es menos gradiente de (7) Por tanto, la densidad de potencial, por tanto: carga superfic superficial ial es: es: 2 2 E ! V ! 100 x y ! 200 xa 200 ya y V S , ! ! 3.96 n 2 x
P
m
20
2
CONDICIONES DE FRONTERA (CONT.) D5.5
Determine la ecuación de las líneas de flujo que pasa por P en el ejemplo anterior.
Ejercicio para realizar en el salón.
D5.6
Respuesta D.5: xy=-2
Dado un campo de potencial en el espacio libre V=100senh 5xsen5y Voltios y un punto P(0.1, 0.2,0.3), encontrar encontrar en el punto punto P: (a) V (b) E (c) |E| (d) |s| si se conoce que el punto P se localiza en la superficie del conductor.
Respuesta D.6: a) 43.8 V b) -474ax-140.8ay V/m c) 495 V/m d) 4.38 nC/m2
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EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES RECORDANDO A la mitad entre las dos cargas que forman un dipolo existe una superfic superficie ie equipotenci equipotencial al infinita infinita con potencial igual a cero. Tamb Tambié ién, n, la inte intens nsid idad ad de campo campo eléctrico es normal a la superficie.
Si reempl reemplaza azamos mos la config configur uraci ación ón del dipolo por una sóla carga y un plano conductor, los campos de la mitad superior de ambos casos son iguales.
Por Por tan tanto, to, se pued uede mant antener ener el mism mi smoo camp campo, o, quit quitan ando do la carg cargaa disponible y colocando una carga de signo contraria en posición simétrica del otro lado del plano . A esta carga se le conoce como IMAGEN de la carga carga origin original al. 22
EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES (CONT.) La carac aracte terríst ística de linealidad permite construir el escenario de la IMAGEN de una configuración de cargas, como se muestra en el siguiente siguiente gráfico gráfico. (a) Una conf confiigur guraci ación de carga argass dada ubicada arriba de un plano conductor infinito puede reemplazars reemplazarsee por; (b) La configuración de cargas dadas más su configuración imagen sin el plano conductor.
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EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES (CONT.) Ejempl Ejem ploo : Encuéntrese la densidad de carg cargaa supe superf rfic icia iall en P(2, P(2,5, 5,0) en un plano plano cond conduc ucto torr z=0 si exist xistee una una línea de carga de 30 nC/m localizada en x=0, z=3 como se muestra en la gráfica (a). Solución: (1) Quitamos el plano e introducimos una lín íneea de carg arga, que sea la imagen de la anterior, de -30nC/m en x=0, z=-3, como se muestra en (b). (2) El campo en P se puede obtener por superposición de los campos conocidos de las líneas de carga, y para esto determinamos las distancias radiales, esto es: R+=2ax3az, R-=2ax+3az.
(3) Se obtienen individuales: E
!
V L
2TI 0 R
a R
los !
30 v 10 2a
30 v 10
!
2TI 0 13
9
2TI 0 13
9
E
campos
x
2a x
3a
z
13
3a z
13
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EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES (CONT.) Solu Soluci ción ón «
(4) Sumamos los campos obtenidos en el punto anterior. E
!
180 v 10
9
2TI 0 13
a z
! 249a z V
m
(5) Conocido en el campo en P, encontramos la densidad de carga superficial. D
! I 0E ! 2.20a z nC
m
2
(6) Por tanto: tanto: V S ! 2.20 n
m2 25
EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES (CONT.) D5.7
Un plano perfectamente conductor está ubicado Ejercicio para realizar en el en el espacio libre en x=4, y una línea de carga salón. infinita y uniforme de 40 nC/m se ubica a lo Respuestas: largo de la línea x=6, y=3 . Sea V=0 en el plano a) 317 V b) -45.3ax-99.2ay V/m conductor. En el punto P(7,-1,5), encont encontrar rar:: (a) V (b) E
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SEMICONDUCTORES TÉRMINOS TÉRMINOS A MANEJA MANEJAR R (1) Portado Portadores res de carga carga (2) Banda Banda de Valenc Valencia ia (3) Banda Banda Prohib Prohibida ida (4) Banda de Conducció Conducciónn (5) (5) Cris Cristal tal (6) (6) Huec Huecoo (7) Elec Electr trón ón (8) Mate Materi rial al In Intr trín ínse seco co (9) (9) Im Impu pure rezas zas (10) Proceso Dopado Contaminación. (11) Material Material Donador Donador tipo n (12) Material Material Aceptor Aceptor tipo p
Conductividad
La conductividad es una función de las las conc concen entr trac acio ione ness y movi movili lida dade dess tanto de huecos como de electrones, es decir: W ! V e Q e V h Q h La concentración de electrones y de huecos huecos dependen dependen de la temperatura temperatura. PUNTUALIZACIONES (a) Los semico semicondu nducto ctores res intrín intrínsec secos os satisfacen la ley puntual de ohm. (b) El número de portad tadores y la conductividad depende de la cantidad cantidad de impurezas impurezas. 27
SEMICONDUCTORES SEMICONDUCTORES (CONT.) D5.8
Utilizando los valores de movilidad de electrones y huecos en el silicio a 3 00°K [e=0.12, h=0.025], y suponiendo densidades de carga de huecos y elec electr tron ones es de 0.0029 C/m3 y -0.0029 C/m3, respectivam respectivamente, ente, encontrar: encontrar:
Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) 7.25 S/m b) 348 S/m c) 421 S/m
(a) (a) La comp compon onen ente te de la cond conduc ucti tivi vid dad que que producen los huecos. (b) (b) La comp compon onen ente te de la cond conduc ucti tivi vid dad que que producen los electrones. (c) La conductividad.
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GRACIAS POR SU ATENCIÓN
