Clase Clase 19: 19: Invers Inversa a y Rango Rango
Matem´aticas I
1.
e t a M
e t a M
P U
Inversa
2013-2
P U 1 e e t t a a M M
Definici´ on on 1.1. Si A Si An es una matriz cuadrada y B y Bn es una matriz que cumple A cumple A·· B = B · A = I = I n entonces decimos que B es una matriz inversa de A.
1 e t a
1 2 0 0 1 0 2 Ejemplo 1.2. Es sencillo mostrar que la inversa de . Sin embargo A embargo A = = 1 es 0 3 0 3 0 0 a b no tiene inversa (asumiendo que B = es una inversa de A · B · B = I I obtenemos una c d contradicci´ on). on).
Teorema 1.3. La matriz cuadrada An tiene inversa si y s´ olo si |A| 6 = 0. En este caso dicha inversa es ´ unica y se denota por A 1 . −
Vemos que en el ejemplo anterior la primera matriz tenia determinante 2/ 2/3 lo cual nos dice que posee una inversa. Sin embargo la segunda matriz tiene determinante cero y por lo tanto la inversa no existe. Para calcular la inversa de una matriz An primero construimos la matriz [A|I n ]. Usando eliminaci´on on gaussiana es posible reducir la matriz a la forma [I [I n |B ]. Es posible 1 entonces demostrar que B = A .
P U
−
P U
1 2 3 Para calcular la inversa de 1 2 6 aumentamos la identidad y reducimos 1 10 5 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 0 0 1 2 6 0 1 0 0 8 2 1 0 1 0 1 0 1 10 10 5 0 0 1 0 0 3 1 1 0 0 0 1 0 . Es un ejercicio sencillo comprobar que A · B = I · B = B · B · A A = I donde
Ejemplo 1.4.
1 e t a 2.
1 e t a M
←→
− −
Rango
12 1
− 24 − 13
←→
3
25
25
12 1
− 24 − 13
P U
e t a M
− 56 − 14 1 1 − 12 8 1 3
− 56 − 14 1 1 − 12 8 1 3
0
Recordemos que un sistema lineal de ecuaciones puede tener soluci´ on on unica, u ´ nica, infinitas soluciones, o ninguna soluci´ on. Deseamos dar condiciones para reconocer cuando un sistema tiene on. cualquiera de estos tres tipos de conjunto soluci´ on on y mostrar qu´e se puede hacer cuando el sistema no tiene soluci´on. on. Consideremos el sistema Ax = b donde A tiene orden m × n. Ya vimos que la regla de Cramer expresa la soluci´on on de un sistema en funci´on on de un cociente de determinantes en el caso que A sea cuadrada. De hecho podemos afirmar que
1 e t a
P U
1 e t a M
c 2013 Todos los derechos derechos reserv reservados. ados. Prohibida Prohibida su reproducci´ reproducci´ on on parcial o total.
1
e t a M
e t a M
e t a M
e t a
Teorema 2.1. Cuando A es cuadrada el sistema An x = b tiene soluci´ on unica ´ si y s´ olo si |An | = 6 0.
on que asigna a una matriz el n´ on numero u´mero de pivotes de la maDefinici´ on on 2.2. El rango es una funci´ triz reducida obtenida al aplicar eliminaci´ on gaussiana. Denotamos este n´ on umero umero por rango(A rango(A).
Ejemplo 2.3. El rango de las siguientes matrices es 2 excepto por la pen´ ultima ultima que tiene rango
1.
1 0 1 0 , 0 1
0 0
0 1 0 1 3 1 , 0 0 0 0
P U
1 e t a
×n
P U
0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 , 0 0 1 −2 0 0 0 0
1 e t a M
Definici´ on on 2.4. El sistema A sistema A m
vac´ va c´ıo.
0 0
1 −1 0 0 0 1 , 0 0 0 0
x = b se dice consistente cuando el conjunto soluci´ on on no es
A m n x = b es consistente si y s´ olo si rango(A rango(Am Teorema 2.5. El sistema A de la matriz aumentada del sistema. ×
×n
e t a M
) es igual al rango
Vimos anteriormente que si una matriz aumentada tiene una fila de la forma [0 · · · 0|1] el sistema no tiene soluci´on. on. Esta fila aumenta el rango y por lo tanto el sistema es inconsistente. Teorema 2.6. Cuando Am rango(A rango(Am n ) = n .
×n
×
x = b es consistente el sistema tiene soluci´ on unica ´ si y s´ olo si
Recordemos que existe una correspondencia entre las columnas de la matriz de coeficientes y las variables del sistema. Si reducimos la matriz aumentada y obtenemos un pivote por cada columna esto significa que cada variable queda completamente determinada y por lo tanto la soluci´on o n es unica. u ´nica.
P U
Ejemplo 2.7. Analice Ana lice bajo ba jo qu´e condiciones el sistema
1 e t a
1 e t a M x − z + y + + (h ( h + 1)z 1) z x + y x + y + y + + z z −x + y + y + + (h ( h + 3)z 3) z
P U
= 2 = h + 3 = 3 = −h
tiene soluci´on on unica, u ´nica, infinitas soluciones, o no tiene soluci´on. on.
e t a M
Soluci´ on. Usando eliminaci´ on gaussiana es posible reducir la matriz aumentada a on
1 0 0 0
P U
0 −1 2 1 2 1 0 h h 0 0 1 − 2h
P U
De donde podemos concluir que si h = 1/2 el sistema es consistente y tiene soluci´on on unica. u ´nica. Caso contrario el sistema es inconsistente.
1 e t a
1 e t a M 2
e t a M
e t a M
e t a M
e t a
Ejercicios Adicionales Ejercicios
1. Construya el sistema de ecuaciones lineales sin soluci´on on m´as as peque pe que˜ no n˜o posible donde se tengan m´ as as inc´ognitas ognitas que ecuaciones. 2. Describa las condiciones para que el sistema
x + y + y = b1 0x + y + y = b2 2x + 3y 3y = b3
P U
sea consistente.
1 e t a
P U
1 e t a M
3. Si la unica u ´ nica soluci´ solucion o´n del sistema A sistema A x = 0 es x es x 1 = x 2 = · = · · · = · = x x n = 0, calcule el rango de A. 4. Sean A Sean A y B matrices invertibles. Demuestre las siguientes proposiciones. −1
a ) (AB) AB ) b ) (A
−1
)
= B
−1
−1
−1
A , Es decir AB es AB es invertible
= A
c ) (k.A) k.A )
= k1 A 1, donde k es un n´ umero umero real no nulo.
d ) (AT )
= (A 1 )T , Es decir A decir A T es invertible.
−1
−1
−
−
5. Encuentre los valores de x e y, y , tales que A y B no admitan inversa.
1 ) A = x
a
1 x 0 −1 6 −1 0
P U
3 y y b ) B = 1 −1 0 3 −2 0
e t a M
P U 1 e e t t a a M M
6. Demostrar que si ad − bc 6 = 0 entonces la inversa de la matriz
1 e t a es
A =
B =
7. Encontrar la inversa de
a b c d
1
d −b ad − bc −c a
1 2 3 A = 2 5 3 , 1 0 8
¿Cu´al al es el rango de A 1 ? −
P U
¿Qu´e condicio co ndiciones nes deben deb en satisf s atisfacer acer b1 , b2 y b3 para que el sistema de ecuaciones
1 e t a
P U
sea consistente?
+ x2 + 2x 2 x3 = b 1 x1 + x x1 + x + x3 = b 2 2x1 + x + x2 + 3x 3 x3 = b 3
