´ n Gaussian Clase Clase 17: Eliminac Eliminaciion o Gaussiana a
Matem´aticas I
2013-2
P U 1 e e t t a a M M
on on Gaussian Gaussiana a es un proceso que nos permite resolver un sistema lineal de La eliminaci´ ecuaciones de forma sistem´atica. atica. Recordemos que est´abamos abamos interesados en resolver el sistema Ax = b , donde 1 2 3 110 x y b = 170 A = 1 2 6 , x = y 1 10 5 190 z
1 e t a
P U
Este sistema se puede representar aumentado una columna a la matriz de coeficientes x + 2 y + 3 z = 110 x + 2 y + 6 z = 170 x + 10 y + 5 z = 190
←→
1 2 3 11110 1 2 6 11770 1 10 5 190
A esta matriz se le conoce como la matriz aumentada del sistema. Para resolver el sistema deseamos manipular las ecuaciones en la izquierda, pero en vez de repetir las inc´ognitas x , y , z s´olo olo prestamos atenci´on on a los coeficientes. Por ejemplo, si deseamos eliminar x de la segunda y tercera ecuaci´on on debemos multiplicar por -1 la primera fila y sumar el resultado a la ecuaci´on on correspondiente. corresp ondiente. As´ As´ı el sistema se reduce red uce a
P U
x + 2y + 3 z = 110 3z = 60 8y + 2 z = 80
←→
P U
1 0
2 3 1 10 0 3 60 0 8 2 80
1 e t a M
Otras acciones que podemos tomar para resolver el sistema es cambiar el orden de las ecuaciones y re-escalar una ecuaci´on on por una constante diferente de cero. Esto se refleja en la matriz aumentada como un cambio en el orden de las filas y un re-escalamiento de una fila. Si continuamos de esta manera encontramos la siguiente secuencia de matrices aumentadas que representan sistemas con la misma soluci´on. on.
1 e t a
1 1
2 3 11110 2 6 11770 1 10 5 190
P U
−→
1 2 3 11 0 0 0 3 60 0 8 2 80
−→
1 0 0 40 0 1 0 5 0 0 1 20
−→
←→
1 2 3 1 10 0 1 0.25 10 0 0 1 20 x = 40 y = 5 z = 20
P U
e t a M
40 El sistema tiene entonces soluci´on on unica u ´ nica y el conjunto soluci´on on es 5 . 20
1 e t a
1 e t a M
c 2013 Todos los derechos derechos reserv reservados. ados. Prohibida Prohibida su reproducci´ reproducci´ on on parcial o total.
1
e t a M
e t a
e t a M
e t a M
Definici´ Definici´ on o n 1. Dado el sistema lineal
a11 x1 a21 x1
.. .
a
m1
+ a12 x2 + a22 x2 ...
x1 + a
m2
+ . . . + a1 x + . . . + a2 x .. ... . + ... + a x
x2
n
n
n
n
mn
n
= b1 = b2 ... = b
m
P U
se define la matriz aumentada asociada a dicho sistema como
1 e t a
P U
a11 a21
.. .
a12 . . . a22 . . .
...
...
a1 a2
n
n
...
b1 b2
...
1 e t a M a
m1
a
m2
. .. a
mn
b
m
e t a M
Definici´ on o n 2. Una fila de una matriz se dice nula cuando todos sus elementos son ceros. El pivote de una fila no nula es el primer elemento no nulo de dicha fila. Una matriz se dice escalonada cuando cumple las siguientes condiciones:
1. Las filas nulas est´an an por debajo de las filas no nulas.
2. El pivote de cada fila esta a la derecha del pivote de la fila anterior.
Ejemplo 3. Los siguientes son ejemplos de matrices escalonadas
1 0 2 0 0 1
0 1 0 −2 3 1 , 0 0 0 0
,
P U
0 2 1 −1 0 0 0 1 , 0 0 0 0
0 0 1 1 −3 4 1 0 0 0 0 0 , 0 0 7 2 0 0 0 0
P U
cuando cumple cumple las siguie siguient ntes es dos Definici´ on o n 4. Una matriz escalonada se dice reducida cuando condiciones:
1 e t a
1 e t a M
1. Todos los pivotes son iguales a 1.
2. Los otros elementos elementos de una columna que contiene contiene un pivote son ceros.
1 0 0 0
Ejemplo 5. Los siguientes son ejemplos de matrices reducidas
1 0
0 1 0 1 ,
0 1 0 1 3 1 , 0 0 0 0
0 1 −1 0 0 0 0 1 , 0 0 0 0
0 1 0 0
e t a M
∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 1 ∗ ∗
0 0 0 0
0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 0 , 0 0 1 −2 0 0 0 0
Definici´ on o n 6. Una operaci´ on elemental en las filas de una matriz es cualquiera de las on
siguientes operaciones.
P U
Intercambiar dos filas.
P U
Re-escalar una fila por una constante diferente de cero.
1 e t a M
Re-escalar una fila y sumarla a otra.
1 e t a
e t a M
Dos matrices se dicen equivalen equivalentes tes por filas cuando realizando operaciones elementales en una tiene como resultado la otra. 2
e t a
e t a M
Teorema Teorema 7. Toda matriz es equivalente por filas a una ´ unica matriz reducida.
e t a M
El proceso de reducir una matriz se conoce como eliminaci´ on on Gaussiana. Cuando la matriz est´a reducida es muy sencillo describir el conjunto soluci´on. on. Las variables correspondientes a las columnas que contienen pivotes son dependientes y el resto son independientes. En la segunda parte del ejemplo inicial obtenemos
1
2 3 11 0 1 2 6 170
←→
P U
1 2 0 50 0 0 1 20
←→
1x + 2 y + 0 z = 50 0x + 0 y + 1 z = 20
P U
←→
x + 2y = 50 = 20 z
En este caso vemos que y puede asumir cualquier valor. Todas la posibles soluciones son entonces
1 e t a
1 e t a M
x = 50 − 2y y = y 20 z =
←→
50 2 20 : − y y
y∈
R
e t a M
Regresamos ahora al problema original para interpretar la respuesta que hemos encontrado. El significado de las variables es el n´umero umero de cada bien que debe ser producido para usar la capacidad total de las m´aquinas aquinas disponibles. En este caso tiene sentido requerir que dicho n´umero umero sea entero y mayor o igual a cero. Por lo tanto se necesita que y∈
Z,
50 − 2y ≥ 0,
y ≥ 0,
20 ≥ 0
de donde vemos que las soluciones para este problema son
P U
50 2 : 20 − y y
y∈Z
∧
25
P U
0≤y≤
.
ultima Observaci´ on 8. Si al reducir una matriz aumentada obtenemos una fila con pivote en la ´ultima
1 e t a M
columna eso quiere decir que el sistema no tiene soluci´on. En efecto, si tuvi´esemos esemos una fila de la forma [0 · · · 0 | 1] eso quiere decir que 0 x1 + · · · + · + 0x = 1 pero entonces 0 = 1. Esta contradicci´ on nos dice que el sistema no tiene soluci´on. on on.
1 e t a 1 e t a
P U
1 e t a M 3
n
P U
e t a M e t a M
e t a M
e t a M
e t a
Ejercicios Adicionales Ejercicios
1. Resuelv Resuelvaa los sistemas sistemas lineales planteados planteados en la secci´ seccion ´on anterior.
2. Encuentr Encuentree todas las posibles formas reducidas reducidas de una matriz matriz triangular triangular superior de orden dos. Encuentre todas las posibles formas reducidas de una matriz diagonal de orden tres.
3. Resuelva la ecuaci´on on AX − B + C = 0, siendo:
P U A =
4 1 −1 1
1
2 0 −1 B= −2 −11 1 0
1 e t a M
P U C =
0 1
−1
0
2 1 . −3 0
4. Una persona gana 1200 soles. Con todo su sueldo puede comprar 6 camisas, 2 pantalones y 3 pares de zapatos o 5 camisas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos qued´andole andole 100 soles o puede comprar 12 camisas, 2 pares de zapatos y 1 pantal´on on qued´ andole andole 50 soles. Hallar el precio de cada art´ art´ıculo.
1 e t a
e t a M
5. Un empresari empresarioo tiene tres tres m´aquinas aquinas que son empleadas en la fabricaci´on on de cuatro productos diferentes. Las m´aquinas aquina s est´an an en operaci´on on 8 horas diarias. El n´umero umero de horas que cada m´aquina aquina es usada en la producci´ on de cada uno de los cuatro productos est´a dado on por M´aquina 1 M´aquina 2 M´aquina 3
P U
Produ oducto 1 1 2 1
Producto 2 2 0 2
Produ oducto 3 1 1 3
P U
Producto 4 2 1 0
Encuentre el n´umero u mero entero de unidades que se deben producir de cada uno de los 4 productos en un d´ıa para utilizar completamente las tres m´aquinas. aquinas.
