e t a
e t a M
Clase Clase 16: Operaci Operaciones ones con Matric Matrices es
Matem´aticas I
1.
P U
e t a M 2013-2
Operaciones B´ asicas asicas
P U
Definici´ on on 1.1. Decimos que dos matrices A = (aij )m n y B = (bij )m n son iguales y escribiremos A = B , cuando aij = b ij para todo i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n.
1 e t a
×
Ejemplo 1.2. Las matrices
1
e t a M
2t − 1
4
t
u−5
y
×
e t a M
3 2u − 8 2 1
son iguales si y s´olo olo si t = 2 y u = 6.
Definici´ on on 1.3. Sean A = (aij )m n , B = (bij )m la suma de las matrices A y B como la matriz ×
n
×
matrices del mismo orden y α ∈ R, definimos
A + B = (aij + bij )m
n
×
y el producto escalar de la matriz A por el n´ umero umero real α como la matriz
P U
α · A = (α · aij )m
n.
×
P U
De la definiciones anteriores obtenemos las siguientes propiedades.
1 e t a M
matrices del mismo orden y α, β n´ umeros reales, entonces: Proposici´ on on 1.4. Sean A, A, B , C matrices
1 e t a
A + B = B + A
(A + B ) + C = A + ( B + C ).
Existe una matriz 0 0 m para toda matriz A.
n tal
×
e t a M
Para toda matriz A existe una matriz D del mismo orden tal que A + D = 0.
(α + β ) · A = α · A + β · · A.
que A A +0 = A
α · ( · (A + B ) = α · A + α · B .
Demostraci´ on. Para la primera propiedad hacemos A + B = (aij + b ij )m n = (bij + aij )m n = B + A. La segunda es similar. La tercera hace referencia a la matriz cero. Para la cuarta hacemos u ´ ltimas dos se prueban de forma similar. dij = −aij . Las ultimas ×
×
Definici´ on on 1.5. La traspuesta de una matriz A m n es la matriz de orden n × m definida por T T A = (aij )m n = (a ji )n m , es decir, el resultado de intercambiar filas por columnas. ×
×
×
P
Ejemplo 1.6.
1 e t a
U
2 3 7 1 −2 0 0 1 5
T
2 1 0 = 3 −2 1 , 7 0 5
1 e t a M
P U
2 3 7 1 −2 0
T
2 1 = 3 −2 7 0
c 2013 Todos los derechos derechos reserv reservados. ados. Prohibida Prohibida su reproducci´ reproducci´ on on parcial o total.
1
e t a M
e t a 2. 2.
e t a M X
e t a M
Produ Product cto o Matr Matric icia iall
Definici´ on o n 2.1. 2.1. Sean A = (aik )m p y B = (bkj ) p n . El producto producto matricial matricial de A y B se denota por C = A · B y se define como la matriz C = (cij )m n cuyo elemento en la i-´esim es imaa fila fil a y j -´esima esi ma column col umnaa es ×
×
×
p
cij =
P U
aik bkj = a i1 b1 j + ai2 b2 j + · + · · · + · + aip b pj
k=1
P U 1 e t a
Una manera de visualizar el producto matricial es la siguiente:
1 e t a
b11 . . . b1 j . . . b1n
.. .
...
...
.. .
...
...
a11 . . .
a1k . . .
a1 p
b p1 . . . b pj . . . b pn c11 . . . c 1 j . . . c1n
ai1 . . .
aik . . .
aip
ci1
.. . .. .
e t a M
bk1 . . . bkj . . . bkn
... ...
M ...
.. .
...
am1 . . . amk . . . amp
.. .
...
...
...
cij . . .
cin
...
...
cm1 . . . cmj . . . cmn
m× p
p×n
m×n
Observaci´ on 2.2. Notemos que el producto A ·B solo est´ a definido cuando el n´ umero umero de columnas de la matriz A es igual al n´ umero de filas de la matriz B . umero
P U
P U
x + y = 3 p + q = x Ejempl Ejemplo o 2.3. 2.3. Dado el sistema se nos nos dicen dicen adem adem´ as a´s que . 2 p − q = y x−y = 1 Tenemos dos formas de encontrar p y q . La primera es encontrar x e y del primer sistema y
1 e t a
1 e t a M
reemplazarlo en el segundo. La segunda es reemplazar el segundo sistema en el primero obteniendo un sistema en p y q que no depende de x e y . Esto ultimo u ´ ltimo es realmente el producto de las 3 p + 0 q = 3 matrices de coeficientes. En efecto, haciendo lo primero obtenemos el sistema − p + 2 q = 1 el cual tiene matriz de coeficientes igual al producto
1 1 1 1 3 0 . = · 1 −1 2 −1 −1 2
1 x Ejemplo 2.4. Sean las matrices A = y 2 si y solo si x = 1 e y = −2.
5 ,B= 4 2
2×
, C =
2×1
9 −2
P U
e t a M
entonces AB = C 2×2
Teorema 2.5. Si A, B , C son matrices del orden apropiado entonces
P U
(AB )C = A (BC ) A(B + C ) = AB + AC
1 e t a
(A + B )C = AC + BC B C
1 e t a M
I mAm
n
×
= A m
n I n
×
= A m
n.
×
e t a M
Observaci´ on 2.6. Es importante resaltar que en general si An y Bn son matrices cuadradas entonces no es cierto que A · B = B · A.
2
e t a 3. 3.
e t a M
e t a M
Repr Repres esen enta taci ci´ o on ´n Matricial de Sistemas Lineales
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales general y hagamos
A =
P U
As´ As´ı, tenemo ten emoss que
1 e t a
a11 a21
.. .
a12 . . . a22 . . .
...
..
.
a1n a2n
, x =
...
am1 am2 . . . amn
.. .
xn
, b =
b1 b2
.. .
P U bm
+ a12x2 + . . . + a1nxn = b1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... ... + am2x2 + . . . + amn xn = bm ;
a11 x1 a21 x1
.. .
x1 x2
1 e t a M
am1 x1
se puede escribir como Ax = b .
.
(1)
e t a M (2)
Ejemplo 3.1. En el ejemplo visto anteriormente tenemos que el sistema se puede escribir de la forma Ax = b , donde
1 2 3 A = 1 2 6 , 1 10 5
en el primer caso y
P U
en el segundo.
1 e t a 1 e t a
P U
1 2 3 A = , 1 2 6
x =
x =
x y z
x y z
110 y b = 170 190
P U
y b =
1 e t a M 1 e t a M 3
110 170
P U
e t a M e t a M
e t a M
e t a M
e t a
Ejercicios Adicionales Ejercicios
1. Represente los sistemas de ecuaciones de la clase anterior en forma matricial. 2. En los siguientes problemas A y B son matrices cuadradas del mismo orden. a ) Encuentre A y B tales que AB 6 = B A.
b ) Muestre que si A y B son matrices diagonales entonces AB = B A. ¿Ser´ a esto cierto
P U
P U
para matrices triangulares?
3. Muestre que
1 e t a
T
T
1 e t a
(A + B ) = A + B
T
T
(αA) = α A
T
(AB )T = B T AT
4. Las matrices A, B , C , D, E y F se definen de la siguiente manera: A =
3 2 , −1 1
B=
1 1 1 , −1 0 1
M
D = 4 2 ,
2 E = −1 , −3
C =
−2 1 0
0
1 0
,
1 0 −1 F = −1 1 0 0 1 −1
Calcule Calcule las matrices matrices dadas o explique explique por qu´ e no se pueden calcular: a ) C − B
e ) AD
i ) F E
b ) B − C
f ) ) AE
j ) EF
c ) 4B − 5C
g ) C E
k ) BF
d ) D + E
h ) EC
l ) F C
1 e t a
P U
1 e t a M
e t a M
m ) A3
P U n ) F 2
n ˜ ) BC
o ) BF + C
e t a M
x x 5. Consideremos las matrices se˜ naladas n aladas en el problema anterior. Si X = 11 12 es una x21 x22 matriz de variables, calcule X o explique por p or qu´e no se puede pue de calcular. ca lcular. a ) 2X + + A = C B T b ) DX = 0
c ) X B = 0
d ) 2X + + A = 0
g ) 2X + + A = I 2
e ) DX = I 2
h ) X D = 0
f ) ) X B = 0
i ) BX = 0
1 1 calcule A2 , A3 , A4 y deduzca una formula para An . Demuestre dicha 0 1 formula usando inducci´ on. on.
6. Si A =
P U
1 1 calcule A2 , A3 , A4 y deduzca una formula para An . Demuestre dicha 1 1 formula usando inducci´ on. on.
P U
7. Si A =
1 e t a M
8. Diariament Diariamentee una empresa de electrodom´ electrodom´esticos esticos produce las siguientes siguientes cantidades de tres productos diferentes en sus tres plantas indicadas en la primera tabla. En la segunda
1 e t a
4
e t a M
e t a
e t a M
e t a M " #
tabla tabla se muestran muestran las ganancias ganancias diarias diarias en los dos ultimos ´ meses por la venta de cada electrod elect rodom´ om´estico estic o producid pro ducido. o. Licua Licuador doras as Batid Batidora orass Cono Norte 30 50 Cono Sur 80 10 Cercado 40 30
"
P U
Microo Microond ndas as 40 20 60
Marz Marzoo Ab Abri rill Licuadoras 5 4 Batidoras 4 2 Micro ondas 10 7
#
P U
A la matriz representada por la primera tabla la llamamos A y la segunda B . a ) Calcule A · B y B T · A.
1 e t a
1 e t a M
b ) ¿Cu´ al fue la ganancia diaria de la planta del Cono Sur en Abril? al
c ) ¿Cu´ al fue la ganancia diaria de la empresa en Marzo? al
e t a M
d ) ¿Cu´ al fue la ganancia diaria de la empresa en Marzo por la producci´ al on on de Microon-
1 e t a 1 e t a
das?
P U P U
1 e t a M 1 e t a M 5
P U P U
e t a M e t a M
