17.50 Un recipiente recipiente abierto abierto con masa despreciable contiene 0.55 kg de hielo a -15oC. Se aporta aporta calor al recipiente a una razón razón constante de 800J/min durante 500 min. a) ¿Después ¿Después de cuántos cuántos minutos minutos comienz comienzaa a fundirse fundirse el hielo? hielo? b) ¿Cuántos ¿Cuántos minutos minutos después después de iniciad iniciadoo el calentamie calentamiento nto la temper temperatura atura comienza a elevarse por encima de 0 oC? a)
b)
t =
Q P
=
mL f P
mc∆T
=
P
=
(0.55kg )(2100 J / kgK )(15o C ) 800 J / min
(0.55kg )(334 103 J / kg )
=
230 min
800 J / min t tot = 21.7 min + 230 min = 251.7 min
=
21.7 min
Todo el hielo debe fundir
17.59 Un vaso aislado con masa despreciable contiene 0.25 kg de agua a 75 oC. ¿Cuántos kilogramos de hielo a -20 oC deben ponerse en el agua para que la temperatura final del sistema sea 30 oC? Agua a 75o hielo de -20 a 0oC Fusión hielo Hielo fundido magua cagua ∆T agua
+ mhielo chielo ∆T hielo + mhielo L f + mhielo cagua ∆T agua =
0
(0.25kg )(4190 J / kgK )(−45o C ) + mhielo chielo ∆T hielo + mhielo L f + mhielo cagua ∆T agua
(2100 J / kgK )(20 C ) + (334 10 J / kg ) + ( 4190 J / kgK )(30 C )
= 9.4 10
−2
kg
0
TRANSFERENCIA DE CALOR Hemos hablado de conductores y aislantes, materiales que permiten o impiden la transferencia de calor entre cuerpos.
Los 3
tipos de trasnferencia de calor son:
CONDUCCIÓN Transferencia entre cuerpos en contacto CONVECCIÓN Depende del movimiento de una masa de una región a otra (líquidos) RADIACIÓN Transferencia de calor por radiación electromagnética (Sol)
CONDUCCIÓN Si sujetamos el extremo de una varilla de metal y colocamos el otro en una flama, el extremo que sostenemos se calienta más y más, aunque no está en contacto directo con la flama. El calor llega al extremo más frío por conducción a través del material. En el nivel atómico, los átomos de las regiones más calientes tienen más energía cinética, en promedio, que los átomos de las regiones más frías, así que empujan a sus vecinos, transfiriendo la energía. Los vecinos empujan a sus vecinos continuando así a través del material. Los átomos no se mueven pero su energía sí. En los metales este efecto es mayor porque hay electrones libres que transfieren energía rápidamente de las regiones más calientes a las mas frías, y es por ello que los metales son buenos conductores de calor. Sólo hay transferencia de calor entre regiones que están a diferente temperatura, y la dirección de flujo siempre es de la temperatura más alta a la más baja.
T c A
T f
Consideremos una varilla de longitud L y área transversal A. El extremo izquierdo T c > T f se mantiene a una temperatura T c y el extremo derecho a una temperatura menor T F. El calor fluye de izquierda a L derecha. Suponemos que no hay transferencia de calor por los lados. Si se transfiere una cantidad de calor dQ por la varilla en un tiempo dt, la razón de flujo de calor es dQ/dt (corriente de calor H). La corriente de calor es proporcional al el área transversal A y a la diferencia de temperatura T c-T f, e inversamente proporcional a la longitud de la varilla L. Introduciendo una constante de proporcionalidad k, llamada conductividad térmica del material: H =
dQ
dt T c − T f
=
kA
T c
− T f
L
Gradiente de temperatura
H =
dQ dt
=
kA
T c
− T f
L
El valor numérico de k depende del material. k grande: buenos conductores k pequeña: aislantes
Las unidades de corriente de calor H son unidades de energía por tiempo, o sea, potencia (W=J/s). Las unidades de k son W/(mK). Si la temperatura varía de manera no uniforme a lo largo de la varilla conductora, introducimos una coordenada x a lo largo y generalizamos el gradiente de temperatura como dT/dx: dQ dT El signo negativo indica que H = = − kA el calor siempre fluye en la dt dx dirección de temperatura decreciente.
En el campo del aislamiento térmico de los edificios se usa el concepto de resistencia térmica R. La resistencia térmica de una placa de material con área A se define de modo que la corriente de calor H que atraviesa la placa es: H = A
T c
− T f
R
Entonces R es: R =
L [m 2 K ] k [W ]
L espesor de la placa
CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE UNA HIELERA Una caja de espuma de poliuretano para mantener frías las bebidas tiene un área de pared total (incluida la tapa) de 0.8 m 2 y un espesor de pared de 2 cm, y está llena con hielo, agua y latas de Omni-Cola a 0oC. Calcule la razón de flujo de calor hacia el interior si la temperatura exterior es de 30 oC. ¿Cuánto hielo se derrite en un día? (k = 0.01 W/mK) Suponemos que el flujo total de calor es aproximadamente el que habría a través de una plancha plana de 0.8 m2 de área y espesor L=2 cm. H = kA
T c
− T f
L
= (0.01W / mK )(0.8m
2
)
30o C − 0o C 0.02m
= 12W = 12 J / s
El flujo total de calor Q en un día es: Q = Ht = (12 J / s )(86400 s ) = 1.04 106 J mL f = Q
m=
Q L f
=
1.04 106 J 334 103 J / kg
= 3.1kg
Masa de hielo que se funde en un día
CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE DOS BARRAS Una barra de acero de 10 cm de longitud se suelda con una de cobre de 20 cm de longitud. Ambas están perfectamente aisladas por sus costados. Las barras 10 cm 20 cm oC tienen la misma sección transversal T c=100oC T =0 f T cuadrada de 2 cm por lado. El extremo libre de la barra de acero se mantiene a 100 oC colocándolo en contacto con vapor de agua, y el de la barra de cobre se mantiene a 0 oC colocándolo en contacto con hielo. Calcule la temperatura en la unión de las dos barras y la razón de flujo de calor total (kacero=50.2 W/mK, kcobre=385 W/mK).
acero
cobre
Las corrientes de calor en las dos barras deben ser iguales: H acero
=
k acero A
100o C − T Lacero
(50.2W / mK )(100o C − T ) 0.1m
= H cobre =
=
k cobre A
T − 0o C Lcobre
(385W / mK )(T − 0o C ) 0.2m
(50.2W / mK )(100o C − T ) 0.1m
=
(385W / mK )(T − 0o C ) 0.2m
50200W − (502W / K )T = (1925W / K )T 50200W = (2427W / K )T T = 20.7 o C
H acero H cobre
=
=
(50.2W / mK )(0.02m 2 )(100o C − 20.7 o C ) 0.1m (385W / mK )(0.02m 2 )(20.7 o C − 0o C ) 0.2m
= 15.9W
= 15.9W
17.67 Un carpintero construye una pared exterior con una capa de madera (k=0.08 W/m K) de 3 cm de espesor afuera y una capa de espuma de poliestireno (k=0.01 W/m K) de 2.2 cm de espesor adentro. La temperatura de la superficie interior es de 19 oC, y la exterior -10oC. Calcule la temperatura en la unión entre la madera y la espuma de poliestireno. madera Pol.
T f=-10oC H madera
T
T c=19oC
= H pol
k madera A
T − ( −10o C ) L
(0.08W / mK )
=
k pol A
T + 10o C
=
19o C − T
3 cm 2.2 cm
L
(0.01W / mK )
19o C − T
0.03m 0.022m (2.66W / K )T + 26.6W = 8.63W − (0.45W / K )T (3.11W / K )T = −17.97W T = −5.77 o C
