e t a
Clase Clase 15: Sistemas Sistemas de Ecuacion Ecuaciones es y Matric Matrices es
Matem´aticas I
1.
e t a M
e t a M
P U
2013-2
P U
Sist Sistem emas as de Ecu Ecuac acio ione ness Lin Linea eale less
Una empresa produce tres bienes, A, B y C , los que procesa en tres m´aquinas. aquinas. El tiempo (en horas) requerido para procesar cada unidad est´ a dado en la tabla. La empresa dispone de la m´aquina aquina I por 110 horas, de la m´aquina aquina I I por 170 horas y de la m´aquina aquina I I I por 190 horas.
1 e t a
1 e t a M
M´aquina I M´aquina II M´aquina I II
A 1 1 1
B 2 2 10
C 3 6 5
e t a M
1. ¿Cuantas ¿Cuantas unidades de cada producto deber´ deber´ıan producirse con el ob jetivo jetivo de emplear todo el tiempo disponible de las tres m´aquinas? aquinas? 2. Si los tres productos no requieren ser procesados por la m´ aquina aquina I I I . ¿ Cuantas unidades de cada producto pr oducto deber´ıan ıan producirse pro ducirse con el objetivo ob jetivo de emplear todo t odo el tiempo disponible disp onible de las dos primeras m´aquinas? aquinas?
Suponga que la empresa produce x unidades del bien A , y unidades del bien B y z unidades del bien C . Entonces a la m´ aquina aquina I le toma x horas procesar el bien A, 2y horas procesar el bien B , y 3z horas procesar el bien C . Dado que la cantidad de horas que se dispone de la m´aquina aquina I es de 110 horas, es necesario que x + 2 y + 3z = = 110. An´alogamente, alogamente, para las otras dos m´aquinas aquinas tenemos
1 e t a
P U
1 e t a M
x + 2 y + 6 z = 170
P U
y x + 10 y + 5 z = = 190.
e t a M
Para encontrar el n´ umero de unidades que se producen de cada producto, de tal manera que umero se use todo el tiempo disponible de las tres m´ aquinas, debemos resolver las ecuaciones siaquinas, mult´ aneamente aneam ente y as´ı encontrar enc ontrar los valores de d e x , y y z . En el caso que los bienes no necesitan ser x , y y z que satisfagan a procesados por la m´ aquina aquina I I I , solo debemos encontrar los valores de x, las dos primeras ecuaciones. Definici´ on on 1.1. Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas ognitas es un conjunto
de ecuaciones que se representa por a11 x1 a21 x1
P U
.. .
am1 x1
+ a12x2 + . . . + a1nxn = b1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... ... + am2x2 + . . . + amn xn = bm ;
P U
(1)
donde las constantes aij , bi ∈ R son llamadas coeficientes del sistema. conjunto to soluci soluci´ ´ on on del El conjun del sist sistem emaa defin definid idoo por (??) es el conj conjun unto to de los los valor alores es x1 , x2 , . . . , xn que satisfacen las m ecuaciones al simult´ aneamente el cual se puede represenaneamente tar como un conjunto de puntos de la forma (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn.
1 e t a
1 e t a M
c 2013 Todos los derechos derechos reserv reservados. ados. Prohibida Prohibida su reproducci´ reproducci´ on on parcial o total.
1
e t a M
e t a M
e t a M
e t a
Ejemplo Ejemplo 1.2. En el problema inicial, para encontrar el n´ umero de unidades que se producen umero
de cada producto, de tal manera que se use todo el tiempo disponible de las tres m´ aquinas, aquinas, debemos encontrar la soluci´ on on del sistema x + 2y + 3z = 110 x + 2y + 6z = 170 x + 10y + 5z = 190
P P U U 1 1 e e t e t a t a a M M Ejemplos 1.3. Algunos ejemplos sencillos de sistemas de ecuaciones lineales y conjuntos solu-
ci´on on son los siguientes.
+
x y = 3 tiene tiene como unica u´nica soluci´on on x = 2 e y = 1 la cual denotamos como el par x−y = 1 ordenado (2, 1) y el conjunto soluci´ on on como {(2, 1)}. x−y = 1 −x + y = 2
no tiene soluci´ solucion. o´n. Por lo tanto su conjunto soluci´ on on es
.
∅
x−y = 1 puede reducirse reducirse a una sola sola ecuaci´ on. Esto significa que la unica u ´ nica con−x + y = −1 dici´on on es x − y = 1 o´ x = 1 + y . Entonces si y = k tenemos que x = 1 + k y por lo tanto el conjunto soluci´on on es {(1 + k, k ) : k ∈ R}.
Ejercicio 1.4. Grafique cada una de las rectas anteriores y el correspondiente conjunto soluci´ on.
¿C´omo omo se relaciona esto con un teorema dado anteriormente?
2.
Matrices
P U
P U
Definici´ on on 2.1. Si M = {1, 2, . . . , m} y N = {1, 2, . . . , n} definimos una matriz de orden (m, n) como una funci´ on on A : M × N → R. El orden se denota por m × n entendiendo que esto se refiere al par ordenado (m, n) y no al producto de m y n . Denotamos por a i j = A (i, j ) a los
1 e t a
1 e t a M
cuales llamamos elementos, entradas, o coeficientes de la matriz.
e t a M
2.2. Una matriz puede entonces representarse como un arreglo rectangular de n´umeros umeros reales en filas o columnas. Usaremos las siguientes notaciones para una matriz
Observaci´ on
A = A m
n
×
= (ai j )m
n
×
= (ai j
) = .. .
a11 a21
...
...
a1n a2n
am1 am2 . . . amn
Ejemplo 2.3. La matriz cero, denotada por 0m
n
×
Ejemplo 2.4. Construir la matriz A = (aij )4
×3
, es la matriz cuyos elementos son todos cero.
donde aij = i − 2 j .
P U
matriz A tiene 4 · 3 = 12 elementos. Tenemos a 11 = 1 − 2(1) = −1, a 12 = 1 − 2(2) = = 1 − 2(3) = −5, y as´ as´ı sucesivamente. sucesivamente. La matriz completa es
Soluci´ on. La
−3, a13
a12 . . . a22 . . .
...
1 e t a
P U
1 0 = 1
−3 −5 −2 −4 1 −3 0 −2
−
1 e t a M A
2
2
e t a M
e t a
e t a M
e t a M
Definici´ Definici´ on on 2.5. Una matriz cuadrada de orden n es una matriz de orden n × n y se denota por An en vez de An n . En una matriz cuadrada An = (aij )n n, los elementos a11, a22, . . . , ann forman la diagonal principal de la matriz. ×
×
2 3 7 Ejemplo 2.6. En la matriz cuadrada A = 1 −2 0 , la diagonal de A est´ a formada por los 0 1 5 elementos a11 = 2, a22 = −2, a33 = 5.
P U
P U
Considere el sistema de ecuaciones lineales
1 e t a
a11 x1 a21 x1
.. .
am1 x1
+ a12x2 + . . . + a1nxn = b1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 .. ... ... ... . + am2x2 + . . . + amn xn = bm ;
1 e t a M
(2)
e t a M
de m ecuaciones con n incognitas. Es natural representar los coeficientes de las inc´ ognitas ognitas xi de (??) por la matriz A de orden m × n
A =
a11 a21
a12 . . . a22 . . .
.. .
...
...
a1n a2n
...
am1 am2 . . . amn
(3)
En este caso, la matriz A se llama matriz de coeficientes de (??). Por ejemplo, las matrices de coeficientes de los sistemas de ecuaciones en el ejemplo inicial son
1 e t a
P U
1 1
2 3 2 6 1 10 5
y
P U
1
2 3 1 2 6
1 e t a M
e t a M
2.7. Existe una correspondencia entre las inc´ ognitas o variables del sistema lineal ognitas y las columnas de la matriz de coeficientes.
Observaci´ on
Definici´ on on 2.8. La matriz identidad, denotada por I n , es la matriz cuadrada cuya diagonal
principal esta formada por 1’s y el resto de sus elementos son ceros. Por ejemplo 1 0 0 e I 3 = 0 1 0 0 0 1
1 0 I 2 = 0 1
Definici´ on on 2.9. Una matriz cuadrada A es triangular superior cuando i > j implica a ij = 0. triangular inferior inferior cuando i < j implica aij = 0. Una matriz es diagonal cuando es A es triangular
triangular superior e inferior.
P U
P U
Ejemplo 2.10. Las siguientes matrices son triangular superior, triangular inferior y diagonal,
respectivamente.
1 e t a
3 0
1 e t a M 3 1
1 2 2 4 , 0 0 1
3 0
0 0 2 0 , 2 1 1
3
0 0 2 0 . 0 0 1
e t a M
e t a M
e t a M
e t a
Ejercicios Adicionales Ejercicios
1. En los siguientes problemas plantee el sistema de ecuaciones, identifique la matriz de coeficientes coeficientes y resuelva. resuelva. a )
b)
1 e t a c )
Un museo cobra 9 soles la entrada por adulto y 7 soles por menores de edad. En un d´ıa con una asistencia asistencia de 325 personas se recaud´ o 2495 soles. ¿Cu´ antos antos adultos y cu´antos antos menores men ores de edad fueron al museo ese d´ıa?
P U
P U
Un inversioni inversionista sta tiene 150 mil soles a su disposici´ disposicion. o´n. Los bonos b onos le dan un rendimiento rendimiento del 10 % anual anual y los certificad certificados os bancarios bancarios un rendimi rendimien ento to del 5 % anual. anual. Si bien los bonos dan un mayor rendimiento, en el mercado actual los certificados bancarios son m´as as seguros. Si el inversioni inversionista sta desea ganar 12 mil soles al t´ermino ermino de un a˜ no al invertir vertir todo su dinero, ¿c´ omo debe distribuir su inversi´on omo on entre estos dos instrumentos financieros?
1 e t a M
e t a M
Se desean adquirir 200 arreglos florales para un matrimonio. Un arreglo cuesta 25 soles por unidad y el otro 45 soles por unidad. Si el presupuesto es de 7400 soles, ¿Cu´antos antos arreglos de cada tipo se debe comprar?
d )
La empresa A usa tres toneladas del insumo 1 y dos toneladas del insumo 2. La empresa B usa una tonelada del insumo 1 y tres toneladas del insumo 2. La empresa A gasta siete millones de soles en insumos y la empresa B seis millones. Un estudio muestra que si estas empresas se fusionan la empresa resultante requerir´ a dos toneladas del insumo 1 y seis toneladas del insumo 2. ¿Cu´al al es el gasto en insumos de la empresa resultante? ¿Les conviene fusionarse?
e )
Anualmente, Anualmen te, en una poblaci´ poblaci´ on rural para producir una tonelada de trigo se requieren on a bueyes para arar la tierra. Para mantener un buey saludable se requieren b toneladas de trigo para alimentar a sus cuidadores. La poblaci´on on debe cubrir una demanda de nas. Si x es el n´ umero umero d toneladas de trigo para hacer trueque con poblaciones aleda˜ de toneladas de trigo que se deben cosechar, e y es el n´ umero de bueyes que se deben umero mantener, mantener, ¿cu´ al al es el valor de x e y en funci´on on de las constantes a, b, y d?
1 e t a
P U
Soluci´ on. Del
P U
1 e t a M
e t a M
enunciado se sigue que by representa la cantidad total de trigo que se requiere para alimentar a las familias de los cuidadores y d es la demanda de trigo de los otros pueblos. Por lo tanto x = by + d. Adem´as as ax representa la cantidad de bueyes que se requiere para arar la tierra, es decir y = ax . Finalmente x = by + d y = ax
P U
−→
A =
1
−b
−a
1
x =
d 1 − ab
y =
ad 1 − ab
−→
P U
2. Los siguientes problemas requieren el modelamiento modelamiento usando sistemas de ecuaciones lineales con tres inc´ ognitas. Plantee el sistema de ecuaciones lineales en cada caso (no es necesario ognitas. que los resuelva).
1 e t a a )
1 e t a M
e t a M
Se dispone de 50 mil soles que se quieren invertir en certificados bancarios, bonos, y acciones en la bolsa. Se estima que los certificados bancarios tienen un retorno de 4
e t a M
e t a M
e t a
5 % anual anual,, los los bonos bonos de de 9 % anua anual, l, y las las acci accione oness de 16 16 % anua anuall (asu (asumi miend endoo que que la econom´ econom´ıa siga creciendo). El inversionista desea un retorno total de 4000 soles al final de a˜ no. Plantee el sistema de ecuaciones e identifique la matriz de coeficientes del no. sistema. Para evitar demasiado riesgo se decide invertir tres veces m´ as as en certificados certificados bancarios que en las acciones de la bolsa. Plantee el nuevo sistema de ecuaciones e identifique la matriz de coeficientes del sistema.
P U
Soluci´ on. Hacemos x =
1 e t a b)
1 e t a
monto invertido en certificados bancarios, y = monto invertido en bonos, y = monto invertido en acciones de la bolsa. El problema nos dice entonces que la suma de montos es de 50000 soles, es decir x + y +z = = 50000. Al final del a˜ no no debemos tener un retorno total de 4000 soles, es decir 0.05x + 0.09y + 0.16z = = 4000. Finalmente como se decide invertir tres veces m´as as en certificados bancarios que en las acciones de la bolsa esto nos dice que x = 3z . La matriz de coeficientes para la segunda parte del problema es entonces
P U
1 e t a M 1 0 05 .
1
1 1 0.09 0.16 0 −3
e t a M
En un pueblo minero miner o se tiene tiene t iene un ferrocarril ferrocarr il y una planta de energ en erg´´ıa el´ectrica. ectrica. Para que la mina pueda producir el equivalente a un sol en oro, se deben gastar 20 centavos centavos de dicho oro, 10 centavos de transporte transpor te y 20 centavos de energ´ energ´ıa el´ectrica. ectrica. Para que el ferrocarril produzca el equivalente a 1 sol de transporte, se deben gastar 10 centavos ce ntavos en oro, 10 centavos c entavos de transpor trans porte te y 40 centavos ce ntavos de energ´ıa ıa el´ectrica. ectr ica. Para producir 1 sol de energ´ energ´ıa el´ectrica ectrica la planta requiere 20 centavos centavos de oro, 20 centavos centavos de transp t ransporte orte y 30 centavos de d e energ´ e nerg´ıa ıa el´ e l´ectrica. ectr ica. El present p resentee a˜ ano ˜ existe una demanda de 1.2 millones de soles en oro, 0.8 millones de soles en transporte y 1.5 millones de soles en energ´ energ´ıa el´ectrica. ectrica. Plantee el sistema e identifique la matriz de coeficientes.
P U
1 e t a M
Soluci´ on. Definimos
P U
e t a M
como x la producci´ on on total de oro en soles, y como la producci´ pro ducci´ on on total de transporte en soles, z como la producci´ on on total tot al de energ´ ene rg´ıa ıa el´ectric ect ricaa en e n sole s oles. s. La producci´ on total de oro debe igualar a la demanda total. La demanda de oro de on los diferentes sectores son 0.2 por unidad de oro, 0.1 por unidad de transporte y 0.4 por unidad unida d de d e energ´ e nerg´ıa. ıa. Adem´as as existe una demanda externa de 1200000. Por lo tanto + 1200000. x = (0.2)x + (0 .1)y + (0 .2)z +
De la misma manera vemos que
( 0.2)z + + 800000 y = (0.1)x + (0 .1)y + (0
∧
+ 1500000 z = (0.2)x + (0 .4)y + (0 .3)z +
Para calcular la matriz de coeficientes notamos que + 1200000 x = (0.2)x + (0 .1)y + (0 .2)z +
P U
←→
P U
(0.8)x − (0.1)y − (0.2)z = = 1200000
y haciendo lo mismo con las otras dos ecuaciones obtenemos
1 e t a
08 01
−0.1 −0.2 − . 0.9 −0.2 −0.2 −0.4 0.7 .
1 e t a M 5
e t a M
e t a
e t a M
e t a M
3. Si la matriz de coeficientes de un sistema es triangular superior, identifique c´ omo omo resolver el sistema. ¿Qu´e pasar´ pasar´ıa si la matriz es triangular inferior? ¿Y si fuese diagonal? 4. Tres rectas en el plano representan un sistema de tres ecuaciones con dos inc´ ognitas. a )
Si las tres rectas se interceptan en un solo punto, ¿cu´ al al es el conjunto soluci´on? on?
b)
Si las tres rectas rectas se interc intercepta eptan n en dos pun puntos, tos, ¿cu´ ¿cual ´ es el conjunto soluci´on? on?
c )
Si las tres rectas rectas se interc intercepta eptan n en tres puntos, puntos, ¿cu´ al es el conjunto soluci´on? on?
1 e t a 1 e t a 1 e t a
P U P U P U
1 e t a M 1 e t a M 1 e t a M 6
P U P U P U
e t a M e t a M e t a M
