Clase_13_IO

MODELOS DE LINEAS DE ESPERA

INVESTIGACION DE OPERACIONES

Propósito de aprendizaje: Cuando Ud. complete esta clase debe conocer y aplicar: 1. Entender las tres partes de un sistema de colas: la población potencial, la cola en sí misma y la instalación de servicio. 2. Describir las curvas de compensación del costo del tiempo de espera y del costo de servicio. 3. Describir las configuraciones básicas de los sistemas de colas. 4. Comprender las suposiciones de los modelos comunes. 5. Analizar las diversas características de operación de las líneas de espera. INVESTIGACION DE OPERACIONES

Modelos de líneas de espera


•

•

•

•

La teoría de colas es el estudio de líneas de espera. Es una de las técnicas de análisis cuantitativo más antiguas y más utilizadas. Los tres componentes básicos de un proceso de colas son:  Las llegadas  la disciplina en la línea de espera  y las instalaciones de servicio. Los modelos de líneas de espera ayudan a los Administradores a evaluar el costo y la eficacia del sistema de servicio.


Costos de líneas de espera

•

•

•

•

La mayoría de los problemas de líneas de espera se centran en encontrar el nivel de servicio ideal que debería proporcionar una empresa. En la mayoría de los casos, este nivel de servicio es una opción sobre la cual la administración tiene cierto control. Existe un equilibrio entre el costo de dar un buen servicio y el costo del tiempo de espera de los clientes. Cuando una organización en verdad tiene el control, por lo general tratan de encontrar el equilibrio entre dos extremos.


•

•

Una planilla grande de personal y muchas instalaciones de servicio generalmente dan como resultado altos niveles de servicio pero tienen costos altos. Tener un número mínimo de instalaciones de servicio mantiene bajo el costo de servicio, pero da como resultado clientes insatisfechos.

•

•

Las instalaciones de servicio se evalúan sobre la base del costo total esperado que es la suma de los costos de servicio y los costos de espera. Las organizaciones buscan determinar el nivel de servicio que minimiza el costo total esperado.


Costo de las líneas de espera y niveles de servicio

Costo COSTO TOTAL ESPERADO

Costo Total Mínimo

Costo de dar el SERVICIO

Costo de TIEMPO DE ESPERA

Nivel Óptimo de Servicio

Nivel de Servicio


Características de un Sistema de Líneas de espera


Características de un sistema de Líneas de espera: •

•

Existen tres partes en un sistema de colas: 1. Las llegadas o entradas al sistema (conocidas población potencial). 2. La disciplina en la cola o línea de espera. 3. La instalación de servicio.

como

Estos componentes tienen sus características propias que se deben examinar antes de que se desarrollen los modelos matemáticos de colas.

Sistema de colas

Llegadas Cola

Disciplina de la cola

Instalación del servicio

Salidas


Las llegadas tienen tres características principales:tamaño, patrón y comportamiento. •

El tamaño de la población potencial puede ser ilimitado (infinito) o limitado (finito). •

•

Ilimitado o infinito.- Llegada de automóviles a casetas de peaje en carreteras, compradores que llegan a un supermercado, etc. Limitado o finito.- Cabinas de internet con únicamente cinco máquinas.



•

Los clientes llegan a la instalación de servicio de acuerdo con algún patrón o bien aleatoriamente. Las llegadas aleatorias generalmente siguen una distribución conocida como distribución de Poisson.


Comportamiento de las llegadas: •

•

•

•

La mayoría de los sistemas de colas suponen que los clientes son pacientes y esperarán en la cola hasta que sean atendidos y no cambiarán de fila. La «elusión» se refiere a clientes que rechazan incorporarse a la fila.

Los querecibir se rehúsan entran a la cola pero les gana la impaciencia y seclientes retiran sin el servicio. La existencia de estos comportamientos acentúa la necesidad de aplicar la teoría de colas para administrar las líneas de espera.


Características de las líneas de espera: •

La disciplina en la cola se refiere a la regla con la que los clientes formados reciben el servicio. •

•

La regla más común es primeras entradas, primeras salidas (PEPS) también denominada primero en llegar, primero en ser servido (PLPS). Existen otras reglas basadas en otras características importantes, como por ejemplo: ULPS(ultimo en llegar, primero en ser servido), SEOA (servicio en orden aleatorio), etc.


Configuraciones de Modelos de Lineasbásicas de espera


Configuraciones básicas:

•

Los sistemas de servicio se clasifican en términos del número de canales o servidores. 

Los sistemas de un solo servidor, una sola fase son muy comunes.

COLA LLEGADAS

SERVIDOR

SALIDAS




Los sistemas multicanal de una sola fase, existen cuando múltiples servidores se alimentan por una línea de espera común.

COLA

LLEGADAS

SERVIDOR 1

SERVIDOR 2

SALIDAS

SERVIDOR 3




En un sistema de un solo canal, multifase, el cliente de una cola recibe el servicio en servidores en serie. (servicio de comida rápida)

COLA

LLEGADAS

SERVIDOR FASE 1

SERVIDOR FASE 2

SALIDAS




En un sistema multicanal y multifase, el cliente de una cola tiene que pasar a través de más de una estación de servicio. (Municipalidad, SUNARP, SUNAT)

COLA

SERVIDOR 1

SERVIDOR 1

SALIDAS

LLEGADAS SERVIDOR 2

SERVIDOR 2


Identificación de los modelos: Existe un sistema de notación para el sistema de colas establecido por KENDALL, la cual representa seis características las que son: 1. Naturaleza del proceso de llegada (Distribución de Poisson). 2. Naturaleza de tiempos de servicio (Distribución exponencial). 3. Número de servidores en Paralelo. 4. Disciplina de la cola. 5. Número máximo de clientes en el sistema, incluyendo los que esperan y los que están en ventanilla. 6. Tamaño de la población de la cual se toman los clientes.

1

2

3

4

5

6 INVESTIGACION DE OPERACIONES

1

2

3

4

6

5

Donde: 1: Tiempo de llegada 2: Tiempo de atención M: Distribución exponencial. D: tiempos de llegada y atención (determinística) G: Distribución general con media y varianza conocidas

3: 4: 5: 6:

Numero de servidores. Disciplina de cola PLPS (primero en llegar, primero en ser servido), ULPS(ultimo en llegar, primero en ser servido), SEOA (servicio en orden aleatorio), etc. Numero máximo de clientes. Tamaño de la población. INVESTIGACION DE OPERACIONES

Por ejemplo: M/M/1/PLPS/

/

significa:

Los tiempos de llegadas con distribuidos de poisson, tiempos de atención distribuidos exponencialmente. Un solo servidor, disciplina de cola PLPS (Primero en llegar y primero en ser servido), capacidad de cola ilimitada y población infinita. Cuando la disciplina de cola es PLPS, Numero de clientes y población son ilimitados (infinitos). La notación: M/M/1/PLPS/ /

puede ser reducido a M/M/1.

Distribución de Distribución de llegadas tiempos de servicio

Número de canales de servicio abiertos INVESTIGACION DE OPERACIONES

Ejercicio 1

Representar según la notación de Kendall; una clínica con 8 doctores: con tiempos poisson de llegada y exponencial de servicio, la disciplina en la cola es el primero que llega es el primero en ser servido, y una capacidad de 10 pacientes, con una población infinita.


Solución:

Según Kendall: Llegada de pacientes Poisson =M Atención exponencial =M Numero de Doctores = 8 Disciplina de cola = PLPS Numero máximo de clientes = 10 Población infinita

=

M/M/8/PLPS/10/


Medición del rendimiento de un sistema de línea de espera:

Los modelos de colas ayudan a los administradores que toman decisiones a balancear los costos de los servicios con los costos de espera de la línea. En un análisis de colas se obtienen comúnmente varias medidas del rendimiento en el sistema de línea de espera, a continuación se describen algunas de ellas: •

•

•

•

•

•

•

El tiempo promedio que cada cliente pasa en la cola, La longitud promedio de la cola, El tiempo promedio que cada cliente pasa en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio), El número promedio de clientes en el sistema, La probabilidad de que la instalación de servicio esté ociosa, El factor de utilización del sistema, La probabilidad de un número específico de clientes en el sistema.


Modelo de colas de un solo canal con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponencial

El caso más común de los problemas de colas involucra el canal sencillo o línea de espera con un servidor sencillo. Se asume que existen las siguientes condiciones en este tipo de sistema:

1. Las llegadas se atienden sobre la base PEPS. 2. No se elude ni se rehúsa la fila. 3. Las llegadas son independientes entre sí pero la tasa de llegadas es constante en el tiempo. 4. Las llegadas tienen una distribución de Poisson. 5. Los tiempos de servicio varían y son independientes entre sí, pero se conoce el promedio. 6. Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial. 7. La tasa de servicio promedio es mayor que la tasa de llegadas promedio. COLA LLEGADAS

SERVIDOR

SALIDAS


Fórmulas del Modelo: M/M/1/PLPS/

/

o M/M/1

= Tasa media de llegada µ = Tasa media de servicio λ

p = Factor de utilización del sistema.

p

 

Po = Probabilidad de que haya cero clientes en el sistema. (Es decir, que el sistema esté desocupado)

Po  1 

 

Pn = Probabilidad de que haya «n» (clientes) en el sistema.

Pn

 (1  )

n


Fórmulas del Modelo: M/M/1/PLPS/

/


LS = Número promedio clientes en el sistema. LS 



-

WS = Tiempo promedio que un cliente está en el sistema. (Tiempo de espera más tiempo de servicio)

WS 

1

 - INVESTIGACION DE OPERACIONES


Lq = Número promedio de clientes en la cola

Lq 

2  ( -  )

Wq = Tiempo promedio que un cliente espera en la cola.

Wq



  ( -  )


Ejercicio 2

A un cajero para automovilistas, sólo llega un promedio de 10 vehículos por hora. Suponga que el tiempo promedio de servicio para cada cliente es de 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales. a. de quede el automóviles cajero se encuentre vacío?en la b. ¿Cuál ¿Cuál es es la el probabilidad número promedio que esperan cola su turno? Se considera que un vehículo que está ocupando el cajero, no está en la cola esperando. c. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento, incluyendo el tiempo en el servicio? d. En promedio, ¿Cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático?


Solución: Identificamos el modelo: M/M/1/PLPS/

/

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero se encuentre vacío?

= Tasa media de llegada. µ = Tasa media de servicio en cada servidor. λ

= 10 vehículos/hora µ = 4 minutos por vehículo λ

 15vehiculos/hora

Convirtiendo tenemos: 4 minutos --------- 60 minutos ---------

x



Po  1 



1 vehículo x vehículos

60

 15vehiculos / hora 4 La probabilidad de que el cajero se encuentre vacío es P o  1

10

 0.33  15 El cajero estará vacío el 33% del tiempo. INVESTIGACION DE OPERACIONES NOTA: Es necesario recordarse siempre trabajar en las mismas unidades.

b. ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno? Se considera que un vehículo que está ocupando el cajero, no está en la cola esperando. λ

= 10 vehículos/hora

µ = 15 vehículos/ hora

Lq 

2  ( -  )



(10)

2

15(15 - 10)

 1.33

Esperan 1.33 Automóviles.


c. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento, incluyendo el tiempo en el servicio? λ

= 10 vehículos/hora

µ = 15 vehículos/ hora

WS 

1

 -



1  1  0.20 horas= 5 15 - 10

El tiempo promedio que pasa estacionamiento es: 12 minutos.

un

12minutos.

cliente

en

el


Solución d. En promedio, ¿Cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero ? Si el cajero estuviera ocupado siempre, podría atender 15 clientes por hora. Pero sabemos que solo se está ocupado 0.67 del tiempo (1

–

0.33).

Así que durante cada hora llegarán: 0.67 (15)= 10 clientes/hora



•

Existen tres partes en un sistema de colas: 1. Las llegadas o entradas al sistema (conocidas población potencial). 2. La disciplina en la cola o línea de espera. 3. La instalación de servicio.

como

Estos componentes tienen sus características propias que se deben examinar antes de que se desarrollen los modelos matemáticos de colas.

Sistema de colas

Llegadas Cola

Disciplina de la cola

Instalación del servicio

Salidas



1. Modelo de colas un solo canal con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponencial 2. Sistema Multicanal de una sola fase. 3. Modelo numero finito de clientes. 4. Modelo de tiempo de servicio constante.


Sistema Multicanal de una sola fase •

• • •

• •

• •

Aquí dos o más servidores están disponibles para manejar a los clientes que llegan. Las llegadas se atienden sobre la base PEPS. No se elude ni se rehúsa la fila. Las llegadas son independientes una de otra, pero la tasa de llegadas es constante en el tiempo. Las llegadas tienen una distribución de Poisson. Los tiempos de servicio varían y son independientes entre sí, pero el promedio es conocido. Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial negativa. La tasa de servicio promedio es mayor que la tasa de llegadas promedio.


Fórmulas sistema multicanal: M/M/m/PLPS/

/

o

M/M/m

m = Número de servicios abiertos. λ = Tasa media de llegada. µ = Tasa media de servicio en cada canal.

La probabilidad de que haya cero personas en el sistema:

P0



1

m  m      m! m     n0 n! m1



n

para m   








m INVESTIGACION DE OPERACIONES

m = Número de canales abiertos. λ = Tasa media de llegada. µ = Tasa media de servicio en cada canal. El número promedio de clientes en el sistema

Ls  Ws El tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema. (En la cola más en el servicio)

Ws  Wq 

1

 INVESTIGACION DE OPERACIONES

m = Número de canales abiertos. λ = Tasa media de llegada. µ = Tasa media de servicio en cada canal. El número promedio de clientes esperando en la cola para recibir el servicio. m

m 1

Lq  m  2 Po m!(1   ) El tiempo promedio que un cliente permanece en la cola.

Wq 

Lq

 INVESTIGACION DE OPERACIONES

Ejercicio 3

Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución de Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. a. Suponga que se coloca un segundo cajero bancario en el problema antes descrito. Calcule las condiciones en que trabaja el banco.


Solución: Modelo: M/M/m/PLPS/ / o M/M/m m= 2 servidores   7 clientes/hora µ = 10 clientes /hora. p = Factor de utilización del sistema.   7  7  p 0.35 m 2(10) 20 P0

P0





1

m  m        m! m n  0 n!    m 1

n

1 1  0 .35 0 094 .

1

2   7 0  7 1 7            20  20   20   0! 1 !   !2 () 10 2 7      

   

2(10)

 0.6925 3

 7  2   m   20   0.6925   L  P 0.1405 q o  7 ) 2 m!(1   )2 2!(1   20  m

Lq 

m 1

2


Solución

Wq  WS

LS

Lq 



 Wq 

 Ws

0.1405 7 1 



0.020hrs

 0.020 

1 10

 0.12hrs

 7(0 .12 )  0.84

Con dos cajeros las estadísticas de los clientes son: Los cajeros estarán ocupados el 35% La Probabilidad que no haya clientes es: 69.25%. El promedio de clientes en la cola es:

0.1405

El promedio de clientes en el banco es: 0.84 El promedio de espera en el banco es: 0.12 horas= 7.2 minutos. INVESTIGACION DE OPERACIONES El promedio de espera en la cola es: 0.020 horas = 1.2 minutos.

Modelo numero finito de clientes: M/M/1/PLPS/m/

•

•

El modelo tiene una capacidad total de “m” clientes, y cuando existen estos “m” clientes, todas las llegadas se regresan y el sistema las pierde para siempre. En este modelo de capacidad finita, llega un promedio de Pn, de esas llegadas encuentran al sistema lleno a toda capacidad y se van. Por lo tanto, en realidad entrará al sistema un promedio de =(1-Pm) llegadas por unidad de tiempo. Por ejemplo: Taller Automotriz, Centro de inspección vehicular, etc.


Formulas:

Probabilidad que haya cero clientes en el sistema (sistema desocupado). 1 

P0

Donde:

 1  m1

 p

Probabilidad que haya n clientes en el sistema (Donde m es el número de clientes en el sistema)

Pn

 1    n  m1  1      

Donde n=1,2,....m INVESTIGACION DE OPERACIONES

Formulas:

Numero promedio de clientes en el sistema.

Ls



 1 m  1 m m

m1



1     1   m 1

Numero promedio de clientes en la cola

Lq

 Ls  1  P0 


Formulas:

Tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema

Ws  Wq 

1



Tiempo promedio de espera en la cola

Wq 

Lq



Para: m


Ejercicio 4

Hay un promedio de 40 automóviles por hora, con tiempos poisson entre llegadas, que desean que se les atienda en la ventanilla de “servicio en su auto” . Si hay una cola de más de 4 vehículos, incluyendo el de la ventanilla, el automóvil que llegue se va. En promedio toman cuatro minutos en servir a un automóvil. a. Cuál es el número promedio de automóviles esperado en la cola, sin incluir al que está frente a la ventanilla? b. En promedio ¿a cuántos automóviles se atiende en cada hora? c. Acabo de formarme en la cola. En promedio ¿Cuánto tiempo pasará para que llegue a la ventanilla?


Solución M/M/1/PLPS/m /

Modelo:

= 40 automóviles/hora µ = 4 minutos/ automóvil = m= 4 λ

p

Po

40 15

15 automóviles/hora

 2.67

  1  m1    1  2 .67 5    1     1  2 .67 

0.012398

 1   n  m 1  1    

Pn  

P4

1  2 .67  4   2 . 67   5  1  2 .67 

0.63011 INVESTIGACION DE OPERACIONES

Solución



Ls

 1  m  1 m m

1 

m 1

 1 

2.67 289 66 .

Ls



Lq

 Ls (1P) o



.  134.69  1 67



m 1

 

773.39 224.93





Lq





4 1 2 67 44 2 67 .     .   . 41 1 267.  1 2 67

2.45 14.80



0 .1655

4 1

 

3.438 automóviles/hora

3.438 (  .1 0 012398 )

   (1 P4 )  40(1  0 .63011 )  Wq

 2.67 1

 2.45automoviles

14.80



9.9 minutos

a) Promedio de automóviles en la cola es L q = 2.45 automóviles. b) Promedio de automóviles atendidos cada hora es L s = 3.438 automóviles. c) Tiempo promedio de espera en la cola W = 9.9 minutos.INVESTIGACION DE OPERACIONES


1. Modelo de colas un solo canal con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponencial

2. Sistema Multicanal de una sola fase. 3. Modelo numero finito de clientes.

4. Modelo de tiempo de servicio constante.


Modelo de tiempo de servicio constante M/D/1/PLPS/

•

•

•

/

Los tiempos de servicio constante se usan cuando los clientes o las unidades se procesan de acuerdo con un ciclo fijo. Los valores de Lq, Wq, L y W siempre son menores de lo que serían en modelos con tiempo de servicio variable. De hecho, tanto la longitud promedio de la cola como el tiempo de espera promedio en la cola disminuyen a la mitad en el modelo de tasa de servicio constante.


Formulas: 1. Longitud promedio de la cola 2

Lq

2

(

)

2. Tiempo de espera promedio en la cola

Wq

2

( ) 3. Número promedio de clientes en el sistema

Ls  Lq 

 

4. Tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema

Ws  Wq 

1

 INVESTIGACION DE OPERACIONES

Ejercicio 5

Una compañía de reciclaje recolecta y compacta latas de aluminio y botellas de vidrio. Los conductores de sus camiones, quienes llegan a descargar dichos materiales para su reciclaje, esperan actualmente un promedio de 15 minutos antes de vaciar sus cargas. El costo del salario del conductor y el tiempo inactivo del camión mientras están en la cola se valoró en S/. 60. Se puede comprar un nuevo compactador automático, que procesaría las cargas de los camiones a una tasa constante de 12 vehículos por hora (5 minutos por camión). Los camiones llegan de acuerdo a una distribución de poisson a una tasa promedio de 8 por hora. Si se utiliza el nuevo compactador, su costo se amortizaría a una tasa de S/. 3 por camión descargado. Efectuar el análisis de comparación de costos con los beneficios de dicha compra.


Solución 8 camiones/hora µ = 12 camiones /hora



1. Longitud promedio de la cola Lq 

2 2(   )

 Lq 

8

2

2(12)(12  8) 2. Tiempo de espera promedio en la cola Wq





2(   )



Wq 

8 2(12)(12  8)





1 12

0.67camiones

 0.08hora

3. Número promedio de clientes en el sistema

Ls

 Lq 

 8  Ls  0.67    12

1.33camiones

4. Tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema

Ws

 Wq 

1



 W  0.08  1  s

12

0.17hora INVESTIGACION DE OPERACIONES

Solución Modelo:

M/D/1/PLPS/

/

Análisis de Costo Vs. Beneficio de compra. Sistema actual: Costo de espera/viaje = (¼ hora tiempo de espera)x(S/.60 /hora) = S/. 15 / viaje Nuevo sistema: λ = 8 camiones/hora

µ = 12 camiones/hora.

Tiempo de espera promedio en la cola:

Wq = 1/12 hora

Costo de espera/viaje =(1/12 hora tiempo de espera)x(S/.60 /hora) = S/. 5 / viaje Ahorros con equipo nuevo = sistema actual – sistema nuevo = S/.15/ viaje - S/.5 / viaje = S/. 10/viaje Ahorros Netos = Ahorros con equipo nuevo = S/. 10 - S/.3 = S/. 7/viaje

–

Amortización equipo INVESTIGACION DE OPERACIONES

Análisis de costos del sistema de colas


Análisis de costos del sistema de colas

Costo Total = (Costo de servicio) + (Costo de la espera)


Costo de las líneas de espera y niveles de servicio

Costo COSTO TOTAL ESPERADO

Costo Total Mínimo

Costo de dar el SERVICIO

Costo de TIEMPO DE ESPERA

Nivel Óptimo de Servicio

Nivel de Servicio


Ejercicio 6 Grupo Hinostroza SAC. división llantas, la gerencia está considerando contratar un nuevo mecánico para manejar todos los cambios de llantas para los clientes que ordenan nuevos juegos de llantas. Dos mecánicos han solicitado el trabajo. Uno de ellos tiene experiencia limitada y puede ser contratado pagándole S/. 5.00 la hora. Se espera que este mecánico pueda atender un promedio de 3 clientes por hora. El otro mecánico tiene varios años de experiencia, puede servir un promedio de 4 clientes por hora y se le pagaría 10.00 S/. la hora. Asuma que los clientes arriban a una tasa de 2 por hora. En el sistema es aplicable el modeloM/M/1/PLPS/ /

a. Calcule las características Operacionales con cada mecánico. b. Si el taller asigna un costo de espera a cada cliente de S/. 15 por hora, ¿Cuál mecánico proporciona el menor costo de operación? INVESTIGACION DE OPERACIONES

Solución: Primer mecánico: λ = 2 clientes por hora µ = 3 clientes atendidos por hora LS = Número promedio de clientes en el sistema.

L  S

 -

2



2clientes

3- 2




WS 

1

-



1 3- 2



1hora


Solución = 2 clientes por hora µ = 3 clientes atendidos por hora λ

Lq = Número promedio de clientes en la cola

Lq 

2 ( - )



2

2

3(3 - 2)



4



1 . 33clientes

3

Wq = Tiempo promedio que un cliente espera en la cola. Wq 

2   2 ( - ) 3(3 - 2) 3



0.67hora




2  p 3



0.67


Po

 1

 2  1  3

 0.33 INVESTIGACION DE OPERACIONES

Solución Segundo mecánico: λ = 2 clientes por hora µ = 4 clientes atendidos por hora LS = Número promedio de clientes en el sistema.

L  S

 -

2



1cliente

4-2




WS 

1

-



1 4- 2



1 2



0.5hora


Solución Segundo mecánico: λ = 2 clientes por hora µ = 4 clientes atendidos por hora Lq = Número promedio de clientes en la cola

Lq 

2 ( - )



22 4( 4 - 2)



4



0.5clientes

8

Wq = Tiempo promedio que una cliente espera en la cola. Wq 

2  2   ( - ) 4( 4 - 2) 8

 0.25hora






p 

2

 4  0.5


Po

 1

 

 1

2 4

 0.5 INVESTIGACION DE OPERACIONES

Solución

Costos de operación: Costo Total = (Costo de personal) + (Costo de la espera) CT del Mecánico 1 = S/. 5 + ( Lq1 ) S/. 15 CT del Mecánico 1 = S/. 5 + ( 1.33 ) S/. 15 = S/. 25 CT del Mecánico 2 = S/. 10 + ( Lq2 ) S/. 15 CT del Mecánico 2 = S/. 10 + ( 0.5 ) S/. 15 = S/. 17.5 El menor costo de operación lo proporciona el Mecánico 2


Ejemplo 7 Supongamos que todos los propietarios de automóviles llenan sus tanques de gasolina cuando están exactamente a la mitad. En la actualidad, llega un promedio de 7.5 clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba surtidora. Se necesita un promedio de 4 minutos para atender un automóvil. Suponga que tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de servicio son exponenciales. a. Para el caso actual, calcule L s y Ws b. Suponga que se presenta escasez de gasolina y que hay compras de pánico. Para modelar este fenómeno, suponga que todos los propietarios de automóvil compran gasolina cuando sus tanques están en el nivel exactamente ¾ partes. Como cada conductor pone menos gasolina al tanque durante cada visita a la gasolinera, suponga que el tiempo promedio de servicio se ha reducido a 3.33 minutos ¿Cómo afecto la compra de pánico a Ls y Ws?


Solución

M/M/1/PLPS/ / Modelo: a. Para el caso actual calcule Ls y Ws. = 7.5 vehículos/hora µ = 4 minutos por vehículo Convirtiendo tenemos: λ

 15vehiculos/hora

4 minutos --------- 60 minutos ---------

x LS 

 -

WS 

1

-






 60  15vehiculos/hora 4 7.5



15 - 7 .5 1 15 - 7 .5



1cliente

1 7. 5

 0.13 horas  7.8 minutos

Con estos resultados podemos observar que todo está bajo control y son improbables las largas colas.


Solución b.

λ

= 2(7.5) vehículos/hora= 15 vehículos/hora

µ = 3.33 minutos por vehículo = 18 vehículos/hora Convirtiendo tenemos: 3.33 minutos --------- 60 minutos ---------

x



60




18 vehiculos / hora

3.33 LS 

 -

WS 

1

-





15 18 - 15 1 18 - 15

 5 automóviles



1 3

 0.33 horas= 20 minutos

Las compras de pánico han srcinado colas mas largas y tiempos más largos en el sistema.


Ejemplo 8 En una aerolínea se debe revisar cada pasajero, así como su equipaje, para ver si trae armas. Suponga que al aeropuerto Internacional La Aurora llega un promedio de 10 pasajeros/minuto. Los tiempos entre llegadas son exponenciales. Para revisar a los pasajeros, el aeropuerto debe tener una estación que consiste en un detector de metales y una máquina de rayos X para el equipaje. Cuando está trabajando estación necesitan Una estación puede la revisar un se promedio dedos 12 empleados. pasajeros/min. Con la hipótesis que el aeropuerto sólo tiene una estación de verificación, responda las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser revisado? b. En promedio, ¿Cuántos pasajeros esperan en la cola para entrar a la estación? c. En promedio, ¿Cuánto tiempo pasará el pasajero en la estación de verificación?


Solución

M/M/1/PLPS/

Modelo:

/

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga qu esperar para ser revisado? = 10 pasajeros/minuto µ = 12 pasajeros/minuto λ

p = Factor de utilización del sistema. p

 10   0.833  12

La probabilidad de que el pasajero tenga que esperar para ser revisado es 83.33%.


Solución b. En promedio, ¿Cuántos pasajeros esperan en la cola para entrar a la estación? = 10 pasajeros/minuto µ = 12 pasajeros/minuto λ

2 (10)2 Lq  ( -  ) 12(12 -10 ) 

100 24



4.17

Esperan en promedio 4.17 pasajeros.


Solución c. En promedio, ¿Cuánto tiempo pasará el pasajero en la estación de verificación? = 10 pasajeros/minuto µ = 12 pasajeros/minuto λ

1

1

WS   -   12 - 10

1

2

0.5 min utos

Un pasajero pasará en la estación de verificación 0.5 minutos en promedio.


Ejemplo 9

En una peluquería hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegada tienen son poisson y llegada exponencial con promedio de 20 clientes posibles por hora. Los que llegan cuando la llena noa entran. El peluquero tarda un promedio de peluquería 12 minutosesta en atender cada cliente. a. En promedio ¿Cuántos cortes de pelo hará el peluquero? b. En promedio ¿Cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquería, cuando entra?


Solución

Identificamos el modelo: Llegada de pacientes Poisson = M Atención exponencial = M Numero de servidores = 1 Disciplina de cola = PLPS Numero máximo de clientes = 10 Población infinita = Modelo:

M/M/1/PLPS/ 10 /

a. En promedio ¿Cuántos cortes de pelo hará el peluquero? Una fracción de P10 de las llegadas encuentra que la peluquería esta llena. Por lo tanto, entrará a ella un promedio de (1-P10) por hora. Todos los clientes que desean que se les corte el cabello. Por lo tanto, el peluquero hará un promedio de (1-P10) cortes por hora.


Solución = 20 clientes/hora µ = 5 clientes/ hora (60/12) m = 10 λ

p

 



Pn  

20 5



4

1  m 1

  n  

Donde n=1,2,....m

1    1  4  10  3  P  4   1048576  11  1 4   4194303 

0.75

10

Los cortes de pelo en promedio:

 (1 Pn )

20 ( 1- 0.75)=

5 cortes/ hora INVESTIGACION DE OPERACIONES

Solución b. En promedio ¿Cuánto tiempo pasara un cliente en la peluquería? µ = 5 clientes/hora λ = 20 clientes/hora m = 10 Calculamos:  1 m   1 m m m  1  4 1 10  4 101     1 4 1010 Ls    1  m 1  1  1 4 10 11 4  

Po

  1 1m1    1  411     1 4 

0.000000715

Lq  Ls ( 1  P) o 9 67. ( 1. 0 000000715 ) Wq W s



Lq





8.67 5

 W  q

1





9.67clientes

8.67

1.73horas

W s

 1.73 

1 5

 1.93horas

Un cliente estará en la peluquería en promedio: 1.93 horas INVESTIGACION DE OPERACIONES

Clase_13_IO

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