Profesor: R. Carlos Proleón Patricio
Condensadores Está form formad ado o Condensador: Está por dos conductores con cargas de igual magnitud pero de signo opuesto .
E= q A
ε o
donde A: A: área de las placas d : distancia entre las placas q: carga de las placas
La superficie de un conductor es equi equipo pote tenc ncia iall por por eso eso pode podemo mos s calcular la diferencia de potencial entre entre los conducto conductores res V=V +–V –. Esta diferencia V es proporcional a la magnitud de la carga q de los
conductores
q=CV donde Ces la capacidad del cond conden ensa sado dor, r, es una una cons consta tant nte e que depende de la geometría de los conductores. Unidades: Unidades: En el S.I. la unidad de capacitancia es el faradio
1faradio=1f =1 =1Coulomb/1Vol tio Condensador de placas paralelas: paralelas: El campo eléctrico entre las placas es
La
dif difere erencia ncia de pot potenc encial ial es V =Ed , por lo tanto la capacitancia es
C=εo A/d En unida idades podemos
más
ε0=8,85 pF∙m-1.
apropiadas escribir
Profesor: R. Carlos Proleón Patricio Energía potencial de un condensador La energía U de un condensador es 2
La capacidad
2
U=(1/2)CV =q /2C
Ejemplos 1. Un condensador de placas paralelas tiene un área de 2×10 4 m2 y una separación de 1mm. Se aplica al condensador una diferencia de potencial de 10000V. Calcular: a)
La capacidad del condensador
o
C=ε A/d
C = 8,85
pF m
×
2 ×10
4
−
1×10
m
3
−
una diferencia de potencial de 120V.
C=εoπr2/d C=8,85pf∙m -1π8,22×104 m2/1.3×10 -3 C=143,8pf
La carga en cada lámina q=CV=143,8pf×120V q=17,256nC
Condensadores en paralelo: Dos o más condensadores están paralelo cuando la diferencia potencial entre ellos es la misma
en de
2
m
luego, C=1,77pf b) La carga en cada lámina
q=CV=1,77pf×104V=17,7nC
La carga en cada condensador es q1=C1V y q2=C2 V . La carga total es q=q1+q2, luego q=(C1+C2)V . Definimos el condensador equivalente por la relación Ceq q/V , luego
c) La intensidad del campo eléctrico en el condensador E=V/d=104V/10-3m=107V/m d) La energía del condensador
U=(1/2)1,77pf×(104V)2=8 8,5μ J 1. Dos placas paralelas circulares de radio igual a 8,2cm y separadas 1,3mm forman un condensador. Determine a) su capacidad, b) la carga en las placas al aplicársele
=
Ceq=C1+C2. En
general
para
n
condensadores
Ceq=∑ Ci De esta manera podemos calcular la carga total haciendo
q=CeqV y la energía del sistema con la ecuación
Profesor: R. Carlos Proleón Patricio U1=q12/2C1=(500
U=(1/2)CeqV 2
Ejemplos 1. Dos condensadores de C1= 3μf
y C2=2μf están conectados en paralelo a una fuente de 200v. a)¿Cuál es la carga almacenada por ambos condensadores, b) ¿cuál es la energía almacenada por ambos condensadores?
μC)2/2×1μf=0,125 J U2=q22/2C2=(1000
μC)2/2×2μf=0,25 J
3. Dos condensadores de C 1= 5μf
y C2=12μf están conectados en paralelo. Si la carga en el condensador C2 es q2=600μC, a)¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas de los condensadores?, b)¿Cuál es la carga del condensador C 1? C) ¿cuál es la energía almacenada en cada condensador?
2. Dos condensadores de C1= 1μf
y C2=2μf están conectados en paralelo. Si la carga en el condensador C1 es q1=500μC, a)¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas de los condensadores, b)¿Cuál es la carga del condensador C2? C) ¿cuál es la energía almacenada en cada condensador?
4. La carga total almacenada
en dos condensadores conectados en paralelo es 200μC. Si las capacidades de los condensadores son C1= 3μf y C2= 2μf, a) ¿cuál es el voltaje entre las placas de los condensadores? Y b) ¿Cuál es la carga de cada condensador?
Solución
Como los condensadores están en paralelo la diferencia de potencial entre ambos es la misma luego V =q1/C1=500μC/1μf=500v
En el segundo condensador la carga es q2=C2V=2 μf×500v=1000μC
La energía en cada condensador es
Solución
La
capacidad
equivalente
luego Ceq=C1+C2=5μf, diferencia de potencial es V =q/Ceq=200μC/5μf =40v.
es la
Profesor: R. Carlos Proleón Patricio
La carga en cada condensador es q1=3μf×40v=120μC q2=2μf×40V=80μC
luego que los condensadores son cargados se colocan de la forma
5. La carga total almacenada
en dos condensadores conectados en paralelo es 4500μC. Si las capacidades de los condensadores son C1= 4μf y C2= 5μf, a) ¿cuál es el voltaje entre las placas de los condensadores?, b) ¿cuál es la carga de cada condensador? C)¿Cuál es la energía almacenada en cada condensador? 6. Un condensador de 1μf y otro de 2μf se conectan en paralelo a una batería de 1200V. Calcular: a) la carga de cada condensador y su voltaje. Los condensadores cargados se desconectan de la batería y son conectados entre sí con las placas de carga opuesta en contacto. b) Calcular la carga final de cada condensador y su voltaje.
Inicialmente tenemos el circuito dispuesto de la forma Solución
C1=1μf y C2=2μf , luego q1=1μf×1200V=1200μC q2=2μf×1200V=2400μC
La carga total se redistribuye de manera que al final tenemos
q’1+q’2=q1+q2=1200μC
además q’1=C1V y q’2=C2V, luego 1μf V +2μf V =1200μC
De donde finalmente
V =400voltios,
q’1=1μf×400v=400μC q’1=2μf×400v=800μC 7. Un condensador de C1=3,55μf se carga con un potencial de Vo=6,3v. El condensador se aísla del potencial y se conecta a otro de C2=8,95μf descargado. De esta manera la carga del condensador C1 se desplaza al condensador C2 hasta que se establece el equilibrio. a) ¿Cuál es el valor final del potencial entre los condensadores?, b) ¿Con qué
Profesor: R. Carlos Proleón Patricio carga queda cada condensador en el equilibrio? Solución
serie cuando la suma diferencia de potencial entre los condensadores es igual a la diferencia de potencial del sistema
El condensador C1 adquiere una carga Tenemos las ecuaciones
q0 =C1V0 =3,55μf×6,3v=22,365μC Cuando se conectan los condensadores estos quedan en paralelo de manera que la capacidad equivalente es
Vab=q/C1 y Vbc=q/C2 Como Vac=Vab+Vbc tenemos
Vac=q/C1+q/C2 luego, como Ceq=q/Vac, tenemos
Ceq=C1+C2=12,5μf y el potencial condensadores es
de
los
Ceq–1=C1–1+C2–1 En general para n
V=q0/Ceq=22,365μC/12,5μf=1,7 892v La carga final condensador es
en
cada
condensadores
Ceq–1 =∑ Ci –1
Ejemplos q1=C1×V=3,55μf×1,7892v=6,3 5μC q2=C2×V=8,95μf×1,7892v=16, 0μC Condensador C1 siendo cargado Condensador C1 condensador C2
acoplado
al
8. Tenemos dos condensadores conectados en serie de C1=5μf y capacidades
C2=12μf tienen una diferencia de potencial entre sus extremos de 9v. Calcular a. La capacidad equivalente Ceq–1=5μf –1+12μf –1
Condensadores en serie: Dos o más condensadores están en
Ceq=(60/17)μf=3,53 μf. b. La carga de cada condensador
Profesor: R. Carlos Proleón Patricio 3. Determine a) la capacidad
Es la misma que la condensador equivalente
del
q=CeqV=3,53 μf×9v=31,77μC c. La diferencia de potencial entre cada condensador
V 1=q/C1=31,77μC/5μf=6,35v V 2=q/C2=31,77μC/12μf=2,64v d. La energía almacenada ambos condensadores
equivalente del sistema mostrado, b)la carga total almacenada cuando de aplica una diferencia de potencial de 100v entre los bornes y c)la energía del sistema.(C=12pf). d)L a carga en cada condensador.
por
U=0,5qV=0,5×31,77μC×9v U=142,965μJoules. 1. Dos condensadores de C1= 3μf
y C2=2μf están conectados en serie a una fuente de 200v. a) ¿Cuál es la carga almacenada por ambos condensadores, b) ¿cuál es la energía almacenada por ambos condensadores?
Solución a) La capacidad equivalente es Ceq–1=C–1+(2C)–1+(2C)–1 Ceq=C/2=6pf b) La carga almacenada total es
2. Un condensador de 6,0μf está conectado en serie a otro de 4,0μf. Se aplica una diferencia de potencial de 200v al sistema. a) Calcule la capacitancia equivalente, b) ¿Cuál es la carga sobre cada condensador, c) Determine la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador.
q=CeqV=6pf×100v=0,6μC c) La energía almacenada es U=0,5×CeqV2=(0,5)×6pf×(10 0v)2 U=30000 Joules 1. Determine a) la capacidad
equivalente del sistema mostrado, b) la carga total almacenada cuando de aplica una diferencia de
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potencial de 200v entre los bornes y c)la energía del sistema. (C=15mf). d) La carga en cada condensador.
and V 0=18V.
4. Determine la energía almacenada por C4 cuando C1 2. Determine a) la capacidad
equivalente del sistema mostrado, b) la carga total almacenada cuando de aplica una diferencia de potencial de 100v entre los bornes y c)la energía del sistema. (C=24mf). d) La carga en cada condensador
= 20 µF, C2 = 10 µF, C3 = 14 µF, C4 = 30 µF, and V 0 = 45 V.
Condensadores dieléctricos 3. Determine la energía almacenada en C2 cuando C1 = 15 µF, C2 = 10 µF, C3 = 20 µF,
con
Cuando introducimos un dieléctrico entre las placas de un condensador la permitividad eléctrica del vacio εo se cambia por la permitividad eléctrica del medio dieléctrico ε dada por
ε=κ εo donde κ es la constante dieléctrica del material. De esta manera la capacidad del
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condensador con dieléctrico está dada por
y en un condensador de placas paralelas con dieléctrico de constante
κ
C=ε A/d , y el campo entre las placas está dado por
E= q ε
A
C= κ Caire Los dieléctricos poseen una rigidez dieléctrica que es el valor máximo del valor del campo que el material puede soportar.
Material
Rigidez dieléctrcia (kV/mm)
Aire
3
Polietileno
24
3,4
Papel
16
Papel
3,5
Pírex
14
Pírex
4,7
Mica
5,4
Porcelana
6,6
Silicio
12
Material
Constante dieléctrica κ
Aire
1,00054
Teflón
2,1
Acrílico (plexiglás)
Por definición la constante dieléctrica del vacío es igual a uno y como la constante dieléctrica del aire es aire es apenas un poco mayor que la del vacío podemos considerar en un condensador de placas paralelas que
Caire=ε0 A/d
5. Se tiene una pieza de plástico cuya constante dieléctrica se desea medir usando dos placas paralelas, una batería de 4v y un voltímetro. Se carga las placas con la batería y luego se desconectan. Después introduce el plástico completamente entre las placas y el voltímetro indica una caída de voltaje de 4v. a 3,6v. ¿cuál es la constante dieléctrica de este plástico? Antes de clocar el plástico, la carga en el condensador es
q=Caire ×4v
Profesor: R. Carlos Proleón Patricio máxima de 652v. ¿Cuál de los dieléctricos expuestos en la tabla puede ser usado? U= κ CaireV2
Cuando se coloca el dieléctrico la capacidad aumenta a
C=κCaire
1 2
Como la carga se mantiene constasnte el nuevo potencial es
κ 7,4pf(652v) 2
7,4 μ J= 1
3v=q/C=( Caire ×4v)/( κCaire)
2
κ = 2×106/(652)2=4,7 de donde
κ=4/3=1,33 6. Se conecta una batería de 200volt a un condensador de placas paralelas de 0.50-μf lleno de aire. Ahora la batería se desconecta tomando cuidado de no descargar las places del condensador. Se inserta vidrio de Pírex entre los platos, llenando completamente el espacio entre las placas. ¿Cuál es la diferencia de potencial final entre la placas? (La constante dieléctrica del Pyrex is κ = 5.6.) Inicialmente C=0,5μf, con una carga de q=0,5μf×200v=100μC. Con el dieléctrico C’=5,6×0,5μf=2,8μf y como la carga se mantiene constante
V=100μC/2,8μf=35,7v 7. Dado un condensador lleno de aire de 7,4pf de capacidad, pedimos que se proyecte un condensador capaz de almacenar 7,4 μJ de energía con una diferencia de potencial
El material es el Pírex.
8. Una cierta substancia posee una constante dieléctrica de 2,8 y una rigidez dieléctrica de 18Mv/m. Si usamos esta substancia como material dieléctrico a ser usado en un capacitador de placas paralelas, ¿cuál será el área mínima que las placas del condensador deben tener para que su capacidad sea 7,2×10 2 μf y para que sea capaz de resistir una diferencia de potencial de 4,0Kv?
dmin=
=0,22×10–
=
V E max
4 kV 18MV / m
3
m
Amin=
=
Cd min κ oε
7, 2 × 10 2 µ f × 0,22 × 10
−3
−
2,8 × 8,85 pf ⋅ m
Amin=0,639m2
−1
Profesor: R. Carlos Proleón Patricio
9. Queremos construir un condensador de placas paralelas separadas por aire capaz de almacenar 100kJ de energía. A) ¿qué volumen mínimo debe existir entre las placas del condensador? B) Si disponemos de un dieléctrico que pueda resistir 3×10 8V/m y su constante dieléctrica es 5, ¿qué volumen de este condensador situado entre las placas del condensador se necesitará para almacenar 100KJ de energía? 10.Considere un condensador de placas paralelas en el cual el espacio entre las placas es llenado con teflón. Manteniendo la carga fija el teflón es reemplazado por acrílico. Si en el primer caso la diferencia de potencial entre
las placas es 600v, ¿Cuánto es el valor de la diferencia de potencial en el segundo caso? (fishbane ejerció 45 cap 25) 11.Un condensador de placas paralelas de dimensiones 28cm×20cm y una separación de 1,6cm contiene un dieléctrico de 0,6cm de espesor y 1,8 de constante dieléctrica.la diferencia de potencial entre las placas es 600v. ¿cuál es el valor del campo eléctrico en los espacios vacios y dentro del dieléctrico?
