cl _
tituye el circuito magnético es de acero macizo laminado en frío. Las dos bobinas de 700 espiras cada una están conectadas en serie. Hallar la inducción magnética aproximada en el entrehierro cuando la intensidad de la corriente que circula por el devanado es de 2,5 A. La velocidad del disco es tal que la fuerza magnetomotriz desimanadora creada por las corrientes del disco es de 2 000 ampere-espira.
B
c
CIRCUITOS
94
MAGNÉTICOS
CA
PI
TU
LO
IV
8 En la figura 26 puede verse el circuito magnético de una dinam o pequeña especia l. El rotor (inducido) es de hierro puro; el estator es de acero de fundición y tiene sección recta cuadrad a. , . jCu én to s am pe re -e sp ir a nec esi ta el de va na do de l est ato r pa ra cre ar en el en tre hie rro un a i n d u c c i ó n ma g né t ic a me di a de IT ? J - J J 9. Desarróllese una fórmula par a la perm eanci a del camino de pérdidas entre T
Groso r de la estruct ura
2.5 mm ~M r * ' 12
F io . 26.
5 m m
*) I ' 1 2
12,5 mm
5 mm
Imanes permanentes y energía del campo magnético Las mejoras logradas en los últimos años en las propiedades magnéticas de mate ria es magnéticamente duros ha n hecho posible una extensión considera de la utilización práctica de estos materiales. En algunas aplicaciones modern se utiliza n imanes en vez de'elec troiman es los cuales presentan un a pérdida de e ner en su devanado de excitación. En otras muchas aplicaciones, los dispositivos ta como altavoces de radio, instrumentos de medida, motores y generadores de poten mfenor a 1 CV y relojes eléctricos, no sólo se ha logrado hacerlos más compac sino que han variado totalmente su aspecto al emplear las nuevas aleaciones poseen may or energ ía magnética por uni dad 'de masa o de volumen
Circuito magnético de la dinamo pequeñ a especial del problema 8.
dos cilindros largos paralelos de material ferromagnètico. El radio de cada cilindro esr y la distancia entre los ejes de ambos 2a, que es grande frente a r. La permeancia deberá expresarse en weber por ampere-espira, por cada metro de longitud de cilindro.
La utilización de Alnico aglutinado en los instrumentos de medida modernos en lugar del ac al cromo ha obligado a un cambio radical de la forma y tamaño del circuito magnético. (Corte
de General Electric Co.)
Todos los materiales que presentan las propiedades convenientes para im permanente tienen en común una característica: que están constituidos de mane que los momen tos magnéticos de sus domin ios se pued en orie ntar de -nuevo c relativa dificultad. La imanación inicial de estos materiales requiere fuerzas magn tomotric es relativ amente grandes que, afortun adamente, sólo es n eoe sario aplicar l durante poco tiempo. Las curvas de imanación normal y los ciclos de histeres de los materiales aptos para imanes permanentes están indicados en las figuras 1 y 156 del capítulo I. El estado cristalino que da la condición de dureza magnéti se obtiene mediante tratami entos metalú rgico s que, frecuenteme nte srci na dureza física o fra gili dad del mat eria l \ La fr agil idad es notab le en las aleacion aluminio-níquel-cobalto tales como el Alnico, que no pueden trabajarse satisfa tori amen te por lo que suelen fundirse inic ial ment e moldeándolas en la forma desea y limándolas donde sea necesario un ajuste preciso. 1
J. O. ADAMS, «Alnico—Its Properties and Possibilities». G. E. Rev., 41(1938), 818-52%.
95
CIRCUITOS
96
MAGNÉTICOS
Un método empleado corrientemente para imanar simultáneamente grupos de imanes circulares o en forma de U consiste en colocar un conductor grande que pase por el centro de varios de ellos y hacer pasar por el conductor un pulso de corriente que tenga un valor máximo de varios millares de ampere. Durante la operación, se pontea el extremo abierto de cada imán —es decir, su entrehierro— con un trozo de material ferromagnótico, con lo que casi toda la fuerza magnetomotriz aplicada se emplea en vencer la reluctancia del propio imán. Al quitar el puente, disminuye el flujo en una cantidad que depende de las dimensiones del imán y su entrehierro, de la retentividad, coercitividad y de la forma de la curva de desimanación del material. Si vuelve a cerrarse el entrehierro, el flujo podrá aumentar algo, pero no volverá a alcanzar el valor que tenía antes de quitar por primera vez el puente. No obstante, la apertura y cierre subsiguientes del entrehierro no srcinan cambio permanente apreciable del flujo. Solamente se produce una variación cíclica y se con sidera que el imán ha alcanzado su estado permanente. Cuando el imán es una barra recta , se puede iman ar colocándolo entre los polos de un electroimán adec uado, o dentro de un solenoide. Las dimensiones de la sección y longitud apropiadas de un imán permanente que tenga que mantener un campo magnético determinado en un entrehierro dado se pueden prefijar con una aproximación satisfactoria para la mayoría de los fines *. Las dimensiones dependen de:a) la longitud y área de la sección recta del entrehierro, b) la inducción magnética que se desea tener en el entrehierro, c) las pro piedades magnéticas del material en cuestiónd)yotros factores cuyo significado se verá en este capítulo. 1.
CIRCUITOS
MAGNÉTICOS
QU E CON TIEN EN IMANES
PER MAN EN TES
La s propiedades magn éticas de un a aleación suelen venir dadas en forma de cu rva de desimanación obtenida experimentalmente por un método equivalente al ensayo de una muestra del material constituyendo un circuito magnético cerrado de sección B
F io . 1.
Curv a de un material de imán permanente imanado hasta la saturación y luego des imanado.
S. EVER8HID, «Perm anent Magnets in Theory and Prao tioe», (1920), 780-837, I. E. E.J.,58 y 83 (19 26), 726-821. •
CIRCUITOS
98
IMANES
MAGNÉTICOS
recta uniforme y sin entrehierro. Se aplica a la muestra una fuerza magnetomotriz suficientemente grande para alcanzar la saturación y luego se halla la rama descen dente de la curva en la forma descrita en el apartado 5 del capítulo I. Las curvas de la figura 1 representan la relación existente entre la inducción magnética y el campo magnético durante el proceso de imanación. La intersección con el eje B es la retentividad B y la intersección con el eje de abscisas es la coercitividad H. La parte de curva descendente comprendida entre estas dos intersecciones recibe el nombre de curva de desimanación-, los puntos de funcionamiento asociados a un material para imán permanente suelen hallarse sobre esta curva o cerca de ella. En la figura 2 pueden ve rse curvas de aleac iones utilizadas como m ater ial para im a nes permanentes. El método para hallar el flujo o la inducción magnética en el entrehierro de un imán permanente puede ilustrarse mejor haciendo referencia a un circuito magnético simple de sección recta uniforme de área A y longitud l con un entrehierro corto de longitud l . En este estudio previo se desprecian los flujos de dispersión y de pérdi da. Pon teand o temporalme nte el entrehierro con un pedazo de hierro dulce, se mand a al devanado iman ador una corriente de intensid ad sufi ciente para saturar el circuito magnético (véase fig. 3). Una vez anulada la fuerza magnetomotriz, la inducción magnética permanece al valor de la retentividad B mientras el circuito r
c
m
m
a
T
magnético esté cerrado puentesigue de hierro dulce. el puente, la fuerzase magnetomotriz aplicadapor al el circuito siendo nulaAly quitar la inducción magnética reduce aún más hasta alcanzar un valor tal que la elevación del potencial magné tico U o HJ siguiendo el imán en el sentido de las agujas del reloj del polo negativo al positivo sea igual a la caída de potencial magnético U en el entrehierro. Esta condición viene representada por el punto de funcionamiento P(— H Bj) de la figura 1. El cálculo específico solamente indicaría cómo se halla este punto para el caso de un imán de dimensiones dadas. El imán de la figura 3 está constituido por acero con un 36 % de cobalto con una sección recta de área 1,6 c m y longitud 15 cm. La longitud del entrehierro es de 15000 1,3 mm . ¿Cuál es el flujo en el ent rehi erro ? m
m
a
v
2
10000"
Y
ENERGÍA
5000
*
/ F io . 3.
Imán permanente con su deva nado imanador.
DISEÑ O PAB A EMPLEA
R LA
MÍNIMA
CANTIDA
D DE
MATE BIAL MAGNÉTICO
El costo relativamente elevado de los materiales para imanes permanentes necesidad de ahorrar espacio en muchas aplicaciones haeen deseable un diseño requiera el menor volumen posible de material. Un imán de la forma de la figur que tenga una longitud l y una sección recta de áreaA , tiene un volumen l„ La elevación del potencial magnético en el imán HJ„ es igual a la caída en entrehierro, o sea m
a
y, despreciando la pérdida, el flujo <¡> en el entrehierro es igual al flujo en el im de donde, a
-2 400
F io . 4 .
MAGNÉTICO
U
7 3 000
CAMPO
Al prin cipio de este apart ado se dijo que algunas de las aleaciones moder son superiores a los materiales antiguos tales como los aceros al wolframio cobalto. Sería interesante hallar qué flujo habría si el imán del ejemplo ante fuera de Alnico en vez de acero al cobalto. La recta negativa del entrehierro e misma de antes y la curva para la parte de Alnico es análoga a la curva del Aln de la figura 2 sin más que m ulti plic ar sus abscisas por 0,15 X 79,58 y sus ordena por 1,6. En la figura 4 se ha trazado punteada la parte útil de esta curva y cort la recta negativ a del entrehierro en un punt o al que corresponde un flujo de 1 0 500 El imán será más débil, pues, cuando se construya con Alnico que cuando se co truya con acero al cobalto. El fallo reside en el empleo inadecuado del Alnico e nuevo diseño, según se verá en el apartado siguiente.
m
7
DEL
1
2.
PERMANENTES
El m étodo de solución es el descrito en el apartado 4 del capítulo III, y puede co tir en u n prooeso gráfico di rect o en e l qu e la c ur va del fluj o en función de la elev de potencial magnético HJbn en el imán se representa en la forma indicada en la figu E st a curva es ig ual que la del acero al cobalto de la figura 2, con la diferencia que l cala de abscisas de la figura 2 está multiplicada por la longitud del camino en el a 15 cm, y la escala de ordenadas está multiplicada por el área de la sección recta del a 1,6 cm . La recta negativa del entrehierro se ha trazado con pendiente negativa i a la perme ancia del entrehierro que, en u n sistema mix to de unidades, es igual a G/A- esp . La intersecci ón de la, recta negati va del entrehierro con la curva da par flujo en el circui to magnético un valo r de 13 0 00 Mx . También puede obtenerse la solución por el método de prueba y error evita de esta manera, la necesidad de construir curvas adicionales. Sin la ayuda de la sol anterior, parecería razonable un primer ensayo de 7 500 G, ya que el entrehierro es c y no hará caer much o la inducción a lo largo de la curv a. A los 7 500 G corre spond el acero al cobalto un cam po m agnético de 82 Oe. Lá elevación de potencial m agnétic el acero al cob alt o será, pues, como 1 Oe = 79,58 L = x0,15 82 x 79,58 = 980amp espira. En el entrehierro, el campo magnético es de 7 850 Oe y la caída de potencial 0,0013x 7 850 x 79,5 8 = 810 ampere-esp ir a qu e no conc uer da con los 980 amp espira en el acero. Un a ind ucción mayor increme ntarla la caída de potenc ial en el e hierro y la disminuirla en el acero. Cuando la estimación final sea de 7 800 G, la eleva en el acero será de 0,15 x 70 x 79,58 = 836 am p ere- esp ir a. La ca lda en el entrehie rro ría 0,0013x 8 150 X 79,58 = 843 am pere-espi ra que consti tuye una buena com probac
-1 S00
-1200
-C00
0
U en ampere-espira Solución gráfica para hallar el f lujo en
el entrehierro de un imán permanente.
CIRCUITOS
100
IMANES
MAGNÉTICOS
El volumen del material magnético viene dado por el producto de las ecuacio nes (i) y(2), / A (3) La caída en el entrehierroU se puede expresar en función de las dimensiones del entrehierro y de
\max
7.
(11)
=
Ri
v
+
e,
(
donde R es la resistencia efectiva del devanado excitador y e es la fuerza cont electromotriz inducida. La resistencia de un devanado de transformador usual es tan baja que la ca óhmica debida a la corriente de excitación es depreciable frente a la tensión entre terminales. En un transformador de potencia que funcione en vacío, con tens normal y frecuencia normal, el valor eficaz de la caída óhmica en el devanado ex tado suele ser inferior al 0,1 % de la tensión eficaz aplicada. En tales condiciones v a la fue puede despreciar la caída óhmica e igualar la tensión entre terminales e inducida por el flujo variable q>\ así, eontraelectromotriz
v=e=N ^ ,
(
donde N es el número de espiras del devanado excitado. El flujo debe ajustarse sí mismo de manera que la fuerza eontraelectromotriz generada por la variac * Cuando a un transformador con núcleo de hierro se aplica bruscamente una tensión nusoidal, el valor de pico instantáneo de la inducción magnética transitoria puede ser alrede del doble de su valor de pico en su estado estacionario normal; y a causa de la saturación que tal instante tiene el núcleo, el valor de pico correspondiente de la corriente de excitación tran toria puede ser varias veces mayor que su intensidad en el estado estacionario normal. P estudio s de estos tr ansitorios vé ase L . BLUME, F. editor, Transformer Engineering (New Yo John Wiley & Sons, 1938), 23-36. El siguiente estudio se limita a las condiciones de régi estacionario.
162
CIRCUITOS
EXCITACIÓN
MAGNÉTICOS
de flujo sea casi igual a la tensión aplicada, y ea. consecuencia, la corriente de excita ción deberá ajustarse por sí misma para crear este flujo. Si la forma de onda de la tensión aplicada es sinusoidal, la forma de onda del flujo también será casi sinu soidal. En los transformadores de potencia, esta condición suele cumplirse muy aproximadamente. Si,
max . ( derivando, e = coN^ eos cot. s /. La mayor parte del flujo mutuo de un transformador con núcleo de hierro se halla confinada en el núcleo y, a causa de la falta de linealidad magnética del hie rro, no es proporcional a la fuerza magnetomotriz que lo crea. En cambio, el flujo de fuga se halla en el aire en gran parte de su longitud. Luego, la reluctancia de la porción de hierro de los caminos del flujo de fuga es pequeña frente a la reluc tancia de los caminos en el aire. 12 /i y como suma de flujos compo nentes creados por cada corriente actuando por sí sola **; así, 1 u al flujo total
e n
max
POR
CORRIENTE
ALTERNA
cifican las condiciones eléctricas de funcionamiento (E y /). Constituye la rela general entre el valor eficaz de la tensión generada por un flujo variable sinusoi mente y el valor máximo de dicho flujo.^
14
)
(15)
En los diversos casos en que es despreciable la caída óhmica, la tensión gener por el flujo es casi igual a la tensión entre terminales. Por tanto, cuando se ap una tensión sinus oidal a los terminales de un devanado, el valor máximo del f en el núcleo viene determinado por el valor eficaz y la frecuencia de la tensión a cada, y el número de espiras del devanado. Es decir, de la ecuación (18),
La tensión inducida adelanta al flujo en 90°, según se indica en la figura 8a, en la cual e es la fuerza electromotriz o elevación de potencial en el sentido del tornillo inverso respecto al flujo posit ivo, tal como se explicó en el apartado 4. Si se repre-
•
E
4,44/iV
tf»^ vendrá dado en weber. Si se tiene E en vo Cuando E esté expresada en volt, se quiere tener en max we ll , multipliqúese el segundo mie mbro de la ecuación por 10». E
(a) F io . 8.
• El val or del flujo es independiente de las dimens iones y ca lid ad del n magnético mientras la caída óhmica sea despreciable a la tensión entre los termina Las dimensiones y calidad del núcleo determinan, no obstante, la intensidad d corriente de excitación requerida para crear el flujo en el núcleo.^
(b)
Relaciones de fase entre el flujo y la tensión inducida.
8.
E y , el diagrama vectorial será el de sentan la tensión y el flujo por los vectores la figura 86. Si es / la frecu encia, la relación entre los valo res máxi mos de la tensión y del flujo es: (16) = **x = lm
El valor eficaz
E de la tensión generada es: e =-^m^,
(i?)
o sea, = 4, 44 / EA^ .
•( IS )
Esta ecuación sirve para cualquier sistema coherente de unidades. Luego, si se expresa 0^ en weber, Ese obtendrá en volt . Si se expresa en maxw ell , obtendrá en uem de potencial y si se quisiera tener en volt, habría que multiplicar el segundo miembro de esta ecuac ión por 1 0 .
E se
- 8
• La ecuación ( 18) es una de las relacione s más imp ort ant es de la teoría de todos los aparatos electromagnéticos de corriente alterna, puesto que relaciona el diseño del devanado
(N espiras) con la carga magnética del núcleo (^«aJ cuando se espe-
FO RM A
DE
ON DA
DE
LA
COR RIEN
TE
DE
EXCITAC
IÓN
PARA
FL UJ O
SI NUSOI
Debido a la forma peculiar del ciclo de histeresis de la mayoría de los materi magnéticos para núcleos, la forma de onda de la corriente de excitación no es s soidal cuando el flujo varía sinusoidalmente. En la figura 9 pueden verse oscilogra de la tensió n sinusoid al e ind ucid a en e l secundario en circuito abierto, y de la corri de excitación i no sinusoidal del primario, cuando se excita con una tensión s soidal el transformador de la figura 10. Como este transformador tiene el mi número de espiras en el primario que en el secundario, y como en el funcionami e medida en el secundari en vacío es despreciable la fuga magnética, la tensión circuito abierto es casi igual a la tensión inducida en el primario. Esta tensión in cida es casi igual a la aplicada. A u n cu an do fr ec uen te me nt e care ce de im po rt an ci a, en num ero so s pr ob le deberá considerarse la forma de onda de la corriente de excitación. Por ejem la distorsión introducida por la corriente de excitación es importante en los tr formadores para comunicaciones. Los armónicos de la corriente de excitación de transformadores de potencia suelen tener un efecto importante sobre la interfere inductiva entre las líneas de potencia adyacentes y los circuitos de comunicacio A vec es, la s carac terí sti cas de un ban co de tr an sf or ma do re s pol ifás icos se ve n ma damente afectadas por los armónicos de la corriente de excitación. Dichos armó pueden exagerarse en ocasiones a causa de efectos de resonancia con las capacid de las líneas de transmisión o de los cables. En la figura l i o puede verse la sinusoide de la tensión inducida e, dibuja v
164
CIRCUITOS
MAGNÉTICOS
EXCITACIÓN POR CORRIENTE ALTERNA
De las dimensiones del núcleo
J6
y de su factor de apilamiento de 0,90, deducimos
área total 895 000 = 81 200 líneas/pulg . 3,50 x 3,50 X 0,90 81 200 = 12 600 G, os ea 1,26 T. 6,45 2
(21 (22 (23
Ciclo estático(jj) F I G . 9.
Oscilog rama de la corriente de excitación del transformador de la figura 10 con tensión inducida eficaz de 200 V a una frecuencia de 60 Hz.
partir del oscilograma de la figura 9, y la onda de flujo 9 9 correspondiente, retrasada respecto a la tensión inducida en 90°, como en la figura 8. De la ecuación (19) y de
W////////A
Altur a pi la =3 y pulg. Factor de apilamiento = 0,90 N¡ = JV = 84 espiras 2
V ////////A F io . 10.
los datos de las figuras 9
Núcleo de un pequeño transformador experimen tal,
y 10, resulta que la amp
li tud de esta ond a de flujo es :
200 4,44 X 60 x 84 0,00895 weber u 895 000 maxwells.
(20)
F io . 11.
Construcción gráfica para la determinación de la corriente de excitación del trans formador de la figura 10.
Esta es aproximadamente la inducción magnética corrientemente empleada en los ciclo estático transformadores de potencia de 50-60 Hz. La curva continua titulada en la figura 116 es la mitad de un ciclo simétrico flujo-intensidad de corriente corres pondiente a este mismo flujo máximo, determinado por medio de un galvanómetro balístico. De este ciclo y de la variación conocida del flujo con el tiempo, puede determinarse la variación correspondiente de la intensidad * con el tiempo indicada en la figura l i a , de manera análoga a la ilu str ada en la figura 6. Por simetr ía, la forma de onda de los hemiciclos negativos es igual a la del positivo indicado. Si se desprecia el efecto magnético de las corrientes de Foucault, la intensidad t es la de la corriente de excitación. Puede tenerse en cuenta, en forma aproximada, el efecto de las corrientes de Foucault, de la manera siguiente. Como en el estudio realizado en el apartado 2 del capítulo V, las corrientes de Foucault son proporcionales a la variación en unidad de tiem po de la inducción magnética y por tanto de forma de on da sin uso idal y proporcionales en cada instante a la fuerza electromotriz inducida en el devanado excitador. El sentido de las corrientes de Foucault es el que se opone a toda fuerza magnetomotriz aplicada exteriormente que tienda a hacer variar el flujo; es decir, mientras la derivada respecto al tiempo del flujo sea positiva, las corrientes de Fou cault circularán por las láminas en el sentido del tornillo inverso respecto al sentido pos itiv o del flujo. Po r tanto, habrá que suminis trar , mediant e el devanad o, una •com ponente sinusoidal de la fuerza magnetomotriz en el sentido positivo o del tornillo
CIRCUITOS
166
MAGNÉTICOS
EXCITACIÓN
directo, a fin de compensar el efecto de las corrientes de Foucault y permitir que la variación de flujo permanezca inalterada al valor que induce en el devanado la fuerza contraelectromotriz necesaria. Esta componente de la corriente de excitación está en fase con la fuerza contraelectromotriz e, tal como indica la curva de trazos repre sentativa de la onda sinusoidal i de la figura li a . La cor riente i suministra la poten cia absorbida por las pérdidas por corrientes de Foucault en el núcleo. Así, pues, la inte nsid ad eficaz de la componente de la corriente de excitación correspondiente a las corrientes de Foucault será: e
e
J,=
(24)
donde E es el valor eficaz de la fuerza contraelectromotriz y P es la pérdida por corrientes de Foucault. Esta puede determinarse a partir de los valores medidos de la pérdida en el núcleo a distintas frecuencias y a inducción magnética constante, tal como se describió en el apartado 7 del capítulo V. De los datos así obtenidos, la pérdida por corriente de Foucault en el transformador al que corresponden las figuras 9, 10 y 11, resulta ser de 36 W cuando la tensión inducida es de 200 V y la frecuencia de 60 Hz, como en la figura 11. Luego, en este ejemplo,
POR
CORRIENTE
ALTERNA
1
Es interesante el efecto de las corrientes de Fouc ault sobre el ciclo flujo -inte sidad. Como las corrientes de Foucault en el núcleo se oponen a la variación de fluj la componente i de la corriente de excitación que compensa sus efectos tend un sentido tal que ayude a la variación de flujo. Luego, si a las abscisas i del cic estático de la figura 116 se añade esta componente compensadora proporcion a dy/dt, se obtendrá un ciclo dinámico más ancho, indicado por la línea de trazos la figura 116. El área del ciclo estático es proporcional a la pérdida por histeres por ciclo, mientras que el área del ciclo dinámico es proporcional a la pérdida tot en el núcleo por ciclo. e
PROP
9.
IEDADES
GEN
ERA
LES
DE
LAS
SERIES
DE
FOUR
IER
e
e
= ^ =/ l , 8 A .
(25)
Como la corriente de excitación correspondiente al régimen permanente es un función periódica y puede desarrollarse en serie de Fourier, vamos a estudiar algun cuestiones de interés general en el análisis de Fourier de corrientes y tensiones sinusoidales. El trat amien to detal lado de los métodos de a nálisis de Four ier pue verse en los textos de Análisis Matemático . Toda función periódica uniforme puede expresarse mediante una serie de Fouri que contiene un término constante y un número infinito de términos seno y cose cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Luego, si/(<) función periódica del tiempo, 3
i, de la corrient e de excitación debi da a La amplitud de la componente sinusoidal las corrientes de Fouc aul t de la figura l i a será , por tanto, V 2I , o sea, 0,25 A. La i es: intensidad resultante de la corriente de excitación
f(t) = -~- + % eos a>t + «2 eos 2cot + " ' '
e
-f 6j sen iüt + 6 sen 2wt + • • •,
i = i + i v
(26)
t
^( 2
2
v
donde co es la pulsación de la función. Las a's y las 6's son coeficientes constant definidos por las integrales
y está representada por la curva de trazos de la figura l i a . En la figura 12 puede verse una comparación de la corriente de excitación calculada con el oscilograma de la figura 9. Concuerdan dentro de los errores experimentales tolerables.
/" .i/u
a = - | f(t) eos iicot dt n J -„ , = doble del valor medio de f(t) eos ncot n
M
(28
la
C'J 1
b„= - I
iuot dt
/( í) sen
(2
(3
= doble del valor medio de/(í) sen
ruot
(3
En estas ecuaciones, n indica el orden del armónico y los valores medios se calcula a es el valor de a cuando n se anul para un período completo. La constante es decir, 0
n
JI/1U
f(t) dt,
(3
/ —nlm y por tanto el término constante a
0
/2 de la ecuación (27) es:
^? = val or medi o de/(<).
7 F i a . 12.
0
(3
90°
Compar ación do las ondas calculadas y medida d e la corriente de exci tación.
a
Véase , por ejemplo , J . R E Y PASTOR,
P. PÍ CALLEJA,
tomo II I, cap. XX V , Kapelusz, Buenos Aires, 196 1.
C. A. TBEJO:
Análisis Matemátic
168
CIRCUITOS
EXCITACIÓN
MAGNÉTICOS
/(') = V + i c
c o s
donde,
M + i) + a
c
20
0 8
POR
CORRIENTE
ALTERNA
1
Las funciones seno, en cambio, son impares; es decir,
Puede obtenerse otra forma de la serie de Fourier agrupando los términos seno y coseno de igual frecuencia; así,
sen (—x) = — sen x.
(2 w< + a¡¡)+ • • •
^(34)
c„ = VoJ + bl
(35)
a» = — are tg
(36)
Las series de Fourier para las funciones del tiempo que trata este libro suelen con verger rápidamente, por lo que bastarán pocos términos para representar la fun ción con precisión técnica. Si se da la función f(t) en forma analítica, pueden determinarse los coeficientes de la serie madiante las ecuaciones (28) a (33). Cuando la función/(<) se da en forma gráfica, exist en muc hos métodos de determinación de los coeficiente s *. A u n cuando el análisis cuantitativo exige la determinación de los valores numéricos de los coe ficient es, un estudio relati vament e simple de la forma de onda de/ (í) revela algunos hechos útiles referentes al carácter general de la serie de Fo ur ie r que rep resenta a la función del tiempo. Pasamos a estudiar algunas de estas cuestiones generales.
(^Q
La parte coseno de la serie de la ecuación (27) es, pues, una función-par, y la part seno, impar.
y Po r tant o, si la función f(t) es impar, su serie de Fourier (Ec. 27) contendr solamente componentes seno; pero si /(<) es función par, no habrán componente seno. Si/(<) n o es función pa r ni im pa r, existirán todos los términos de la ecuación (27) .« Por ejempl o, consideremos la onda tria ngul ar de la figura 13. Si se toma el srce en O, esta onda triangular es función impar y su serie de Fourier sólo contendr términos seno. En cambio, si se toma O' como src en, la onda represent ará una fun ción par y en su desarrollo en serie ie Fourier sólo habrán términos coseno. No obstante, el srcen de la figura 9 no puede
F io . 13.
Onda en dientes de sierra,
tomarse de manera que haga función par o impar a la corriente de excitación, por lo que la serie de Fourier dada por la ecua
. Término constante. El términounaconsta nte oo una /2 de las ecuaciones (27) y/2 (34) es el9ovalor medio de/(í), y si/(í) representa intensidad tensión, o es su componente continua. Una componente continua de la corriente puede crearse mediante una fuerza electromotriz continua, o por una acción de rectificación en un circuito cualquiera cuya característica tensión-intensidad para un sentido de la corriente no sea igual a la característica para el sentido contrario cambiada de signo.
ción (27) para la corriente de excitación deberá tener términos seno y término coseno. 9c . Armónicos pares e impares. Frec uent emen te, la función periódica face la relación
• En los prob lema s de cir cuit os eléctricos, el exa men de las posibles causas de una componente conti nua suele s er suficient e, por tanto, p ara deter minar la presencia de una componente constante en/(<). Si no existe ninguna componente de corriente contin ua, las área s de las partes positi va y negati va de cada ciclo son iguales .^
donde T es el período de la función y es el intervalo de tiempo entre valores iguale sucesivos de la función. La ecuación (41) establece que la sucesión de valores de la función durante un semiperíodo cualquiera es igual, cambiados de signo, a la délo que se encuentran en el semiperíodo inmediato anterior o posterior; es decir, la forma de onda de los hemiciclos positivos y negativos es la misma, salvo el signo,
0
0
9 6. Funciones pares e impares *. La s funciones cosen o son funciones pares de sus variables; es decir, cos (—x) = cos x. (39) Véase, por ejemplo, The Mathematics of Circuit Analysis, cap. VII. The Technology Press, Massachu setts Instituto of Tec hnology. * Se define una funciópar n como aquella que al cambiar solamente el signo de la variable independiente no varía el valor de la función. Una función impar es aquella en que al cambiar solamente el signo de la variable independiente la función invierte su signo sin variar su valor absoluto. Así, si la funciónf(t) cumple con la propiedad 4
se dice que es funciónpar. Pero si
, ,.
/(—«)=/(O
(37)
. / ( - ' ) - -1(D (38) la tunción esxmpar. Observe el lector la diferencia entre los significados de los términos «par» e «impar» cuando se emplean para describir funciones que tienen las formas de simetría respecto al srcen dadas por las ecuaciones (37) y (38), y los mismos términos cuando se aplican al orden de los armónicos. Por ejemplo, el tercer armónioo ooseno o, cos Scot de la ecuación (27) es unafunción par,si bien
satis
/ ( « ± ^ - ) =-/( <),
(41
^ La se rie de Four ie r pa ra una función de esta clase contendrá solament e armó nicos impares —hecho que puede probarse viendo que los armónicos impares satis facen la ecuación (41) y los pares no, por lo que no podrán existir si la funcionen cuestión satisface a la ecuación (41).«| Consideremos el n-simo término coseno de la ecuación (27). El valor de este armó nico para t ± (T¡2) es:
a„ cos |nco j¿ ± -^ -j j = a cos |nco< -^ -j±neo n
(42)
A
es un armónico impar de /(*)•
Pero la relación entre el periodo y la frecuencia es: T
=j .
(43)
CIRCUITOS
170
MAGNÉTICOS
EXCITACIÓN POR CORRIENTE ALTERNA
Para un intervalo de tiempo cualquiera át, la potencia media es:
de donde,
T n
m
nw
n2nf
- 2 = - 2 f = -2f =
¡ ± A n 7 t
-
(4
.
4)
Por tanto,
a eos |mo> |< ± -^ jj = a„ eos (nwt ± nn). n
(45)
Si n es impar, el ángulo de fase nn es igual a un número de semiperíodos, y, por tanto, a„ eos (nwt ± nn) = — «„ eos nwt, (46) de donde, a eos |w« |í n
± -^-jj =
— «„ eos MOJÍ.
(47)
An ál og am en te , p ar a el n- si mo té rm in o se no , cu an do n es impar, = — 6„ sen »coí.
6. sen
(48)
Luego, cuando n es impar, los términos seno y coseno satisfacen a la ecuación (41), y por tanto el desarrollo en serie de Fourier de una función que cumple esta condi ción podrá contener armónicos impares. En cambio, si n es par, el ángulo de fase nn de la ecuación (45) equivale a un número entero de períodos, y, por tanto, (49) a eos (no)t ± nn) = + a„ eos nwt, o sea, n
a eos | na> |í ± -~ j j = + a„ eos nwt. n
= + 6„ sen
nwt.
v(t) = V c + V 2 V eos (c oi + Vi) + V 2V, eos (2coí + >, yH i(t) = I + V2^ eos (wt + aj) + V 2/ eos (2arf + a ) + • • ; C
(5 (5
t
cc
t
8
donde
Veo Ice son las componentes continúas, V\> V , • • •, I\> * ' ' son los valores eficaces de los armónicos. Según la ecuación (35), el valor eficaz de cada armónico es igual a la raíz cuadrad de la suma de los cuadrados de sus componentes seno y coseno. Estas ecuacione dueden expresarse en forma mas compacta de la manera siguiente: »W = Ve + £V 2eos Vk (¿coi + y*) k
(51)
Lue go, e n el desarrollo en serie de Fouri er de una función que satisfaga la ecuación ( 41) no podrán existir armónicos impares, ya que no satisfacen a dicha ecuación. Los oscilogramas de las figur as 4 y 9 constit uyen ejemplos de ondas cuyos he mi ciclos positivos y negativos son iguales salvo el signo. En consecuencia, estas fun ciones tienen la propiedad expresada en la ecuación (41). Las series de Fourier para estas corrientes y tensiones sólo contienen armónicos impares. Como las ondas no son funciones pares ni impares, deberán existir tanto armónicos seno como coseno. 9rf. Potencia. La expr esión de la pote ncia instantá nea abso rbid a por un ele mento de circuito a lo largo del cual cae el potencial una cantidad v(t) en el sentido de la intensidad de la corriente i(t), es:
p(t) = v(t)i(t).
VI eos 6, • (S donde V e I son los valores eficaces de la tensión y la intensidad variables sin soidalmente y 6 es la diferencia de fase entre ellas. Frecuentemente hay que determinar la potencia cuando la intensidad y tensión no son funciones sinusoidales del tiempo. En el estudio siguiente se supo que la intensidad y la tensión son ambas funciones periódicas del mismo períod Podrán desarrollarse en serie de Fourier. En el estudio que realizamos a continuació resulta conveniente la forma de serie de Fourier dada por la ecuación (34); así,
t
(50)
An ál og am en te , cu an do n es par,
b„ se n \nw\t ± ~ \
Estas ecuaciones son expresiones totalmente generales y pueden calcularse exp citamente cuando se conocen las funciones del tiempo v(t) e i(t). En régimen perm nente, la potencia instantáneap(t) es función periódica y el valor medio de la ecu ción (53) puede tomarse para un número entero cualquiera de períodos de la poteno instantánea. Cuando tensión e intensidad son funciones sinusoidales del tiempo y tien la misma frecuencia, la potencia instantánea es la suma de una componente con tante mas otra sinusoidal cuya frecuencia es el doble de la de la corriente y tensión El término de frecuencia doble representa una oscilación de la potencia, pero potencia media debida a esta componente es nula. La componente constante es potencia media y su valor es: _
^(52)
(5
i(t) = Ice + £ V 2I eos (nwi + a„).
(5
K
La potencia instantánea es: p(t) = v(t)i(t) =
VcJcc
+ _
-
[£ V * 2 v
* • Véa se E . A .GUILLEMIN:
V YS n
+
(™>* n V Vk eos (kwt + y> ) 2I
cc
2
0
0
8
+
O»)
k
k
(*«>í + V* )] [ £ V 2 / , eos+(na* o») ].
(59) n Introducción a la teoría de loa circuitos, cap. VII, pags. 321-32
0 0 8
Editorial Reverte, Barcelona, 1959.
CIRCUITOS
172
EXCITACIÓN POR CORRIENTE ALTERNA
MAGNÉTICOS
para todos los armónicos de tensión e intensidad de la misma frecuencia. En con cuencia, la potencia media es:
Cuando se desarrolla el último término del segundo miembro de la ecuación (59), un término genjeral es:
= VcJcc + eos £ V„I„ 0„. ,
[\/2 Vk eos (kcot + v*)l [V n ( + «»)] = 2 Vkh eos (kcot + y>) eos (ncot + a„). 2I
c o 8
>
n
n(ot
(60)
k
Aplicando la relación trigonométrica,
• La pote ncia medi a, pues, es igu al a la suma de las potencias debidas a las c ponentes de igual frecuencia de tensión e intensidad. La potencia media debid V I , y la debida a cada armónico es V„I„ eos las componentes continuas es igual que en el caso de tensiones e intensidades sinusoidales (Ec. 54). Una tens de una frecuencia y una intensidad de frecuencia diferente srcinan componen alternas de potencia instantánea, pero la potencia media re sultan te de ellas es ce ro CC CC
eos x eos y = £[cos (x + y) + eos (x — y)] ,
(61)
la ecuación (60) se convierte en,
9e. Valores eficaces . Por definic ión, la int ens ida d eficaz de una corrie i(t) es la raíz cuadrada del valor medio variable periódicamente de intensidad [i(t)] *. Exp res ado en form a de ecuación, la int ens idad eficaz / e s: 6
[V~1V eos (kcot + v>*)] [V 27« eos (ncot + a,)] k
= V I„ eos [(i + n)cot + ip + a ] + VJ eos [(* — w)ft)<— +a„ y> ]. k
k
n
n
k
(62)
Así , un tér mi no ge ne ra l de l de sa rr ol lo de l úl ti mo té rm in o de l se gu nd o mi em br o de la ecuación (59) se puede expresar como suma de dos componentes coseno cuyas frecuencias son, respectivamente, la suma y la diferencia de las frecuencias de los armónicos de la tensión y de la intensidad. El último término del segundo miembro de la ecuación (59) es la suma de todos esos términos. • Po r tan to, la poten cia insta ntáne a p(t) contiene armónicos cuyas frecuencias son las sumas y diferencias .de las frecuencias de todos los armónicos de la tensión y la intensidad.«| La potencia media es el valor medio de la potencia instantánea a lo largo de un ciclo completo. En la ecuación (59), el primer término es constante, y por tanto su valor medio es V Icc- El segundo y tercer términos representan armónicos cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Estos términos representan oscilaciones armónicas de la potencia srcinadas por la interacción de componentes alternas y continuas, pero el valor medio de cada una de esas compo nentes para un número entero de ciclos es nul o. La ecuación (62 ) ind ica que cuand o k no es igual a n, la potencia resultante del producto de una tensión armónica de una frecuencia por una intensidad armónica de frecuencia diferente de la anterior —c om o, po r ej em pl o, el úl ti mo té rm in o de la ec ua ci ón (5 9) — es la su ma de do s componentes alternas y por tanto sus valores medios son nulos. En cambio, cuando k y n son iguales, el último término de la ecuación (62) se convierte en cc
V„I eos (y>„ — a„) = VJ„ eos 6„, n
V WO]*^.
donde T es el período de i(t). Análogamente, el valor eficaz una tensión v(t) variable periódicamente con el tiempo, es:
V = Vvalor medio de
[v(t)] =
2
l'*
•( 6
V (o tensión eficaz)
[v(tj] Jo
2
dt.
•(
• Obsérve se que el val or medio de l cuadr ado de la. inte nsi dad no es lo mis que el cuadrado de la intensidad media.<| Las ecuaciones (65) y (66) son expresiones generales de los valores eficaces. Cuan la tensión o la intensidad es función sinusoidal del tiempo, estas ecuaciones dan \J 2 . Conocido resultado de que el valor eficaz es igual a la amplitud dividida por A m en ud o e s n ec es ar io de te rm in ar el va lo r e fic az d e u n a te nsi ón o i nt en s id ad expresada en forma de serie de Fourier. Por ejemplo, sea,
i(t) = I + jy~2I„ eos (ncot + a„) n
(
cc
donde I es la componente continua e /„ es el El cuadrado de i(t) es cc
palor eficaz del armónico n-sim
•(63)
donde Q„ = y>„ — ct„ es la dif ere nci a de fase entre los armóni cos n-si mos de l a t en sión y la intensidad. El valor medio del último término de la ecuación (59) es, pues, nulo para armónicos de tensión e intensidad de frecuencias diferentes, pero es: £F,,/„cos0„
[i(t)]* = jAfT
/ = \/valor medio de
(63')
W0 ] = P« + 2 / £ V 2 / „ eos (ncot + a ) 2
n
c c
n
+ [£V 2/» eos (ncot + a»)] . 2
(
Ejemplos interesantesde cálculo de valores eficaces pueden verse en W. H . TIMBIB F. J .RICKEB: FundamentosdeElectricidad para radiotécnicos. Editorial Reverte, Barcelona, 19
CIRCUITOS
174
EXCITACIÓN
MAGNÉTICOS
El valo r medio del prim er término de la ecuación (68) es J J . El segundo término representa un cierto número de componentes alternas cuyo valor medio es nulo. El último término representa los productos cruzados de todos los armónicos. Por ejemplo, un término general del desarrollo del último término de la ecuación (68) es el prod ucto d e los armónicos ra-simo y ifc-ésimo de la i nten sid ad y, a l igu al que e n las ecuaciones (60) a (62), este término puede expresarse en la forma e
tV 2/ * eos (ko>t + o*)] [V 2/ „ eos (ncot + <*„)] = /*/,, eos [(k + n)coí + a + a,] -f l I eos [(* —n)o)t 4- a* — a„ ]. k
k
POR
CORRIENTE
ALTERNA
la intensidad de la corriente de excitación será:
i = V2 [I' sen coi + 1$ sen 3coí 4-I's sen 5a>t + • • • 4- I'i eos coi 4- ¡i' eos 3cot + 1$ eos 5co¿ + • • •]. 9
L
Se ha introducido la y 2 en la ecuación (72) a fin de que las I sean las intensida eficaces de las corrientes componentes. Cuando se dé en forma gráfica la varia con el tiempo de la corriente de excitación, se podrán hallar por métodos gráf los valores numéricos de los armónicos . En la tabla siguiente se consignan intensidades eficaces, en ampere, de los armónicos de la corriente de excitació calculada de la figura 11. 7
(69)
n
El último término de la ecuación (68) es la suma de todos esos términos. La ecua ción (69) indica que los productos cruzados de armónicos de frecuencias diferentes (cuando k es distinto de n) dan srcen a componentes alternas de valor medio nulo. En cambio, cuando k y n son iguales, el último tónnino de la ecuación (69) es Jj¡, y por tanto el valor medio del último término de la ecuación (69) es la suma de los cuadrados de los valores eficaces de todos los armónicos. En consecuencia, el valor eficaz I es:
• El val or eficaz de una tensió n o intens ida d periódica expres ada en form a de serie de Fourier es, pues, igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores eficace s de tod os sus armónicos. ^
Componentes seno
Componentes coseno
I¡ = +4,50
![' = 4- 0,87 = —0 ,1 5 7 ¡' = 4- 0,05 o iy =
^ = —2 ,1 0 I' 4= 0,50 i; = _ 0,10 6
El armónico fundamental consta de una componente seno,
i[ = sen ycoi ~2I[
(
en fase con el flujo, y una componente coseno, 1 0. ANÁLISIS
DE SINUSOIDAL
FOUB
IER
DE
LA
CORRIEN
TE
DE
EXCITACIÓN
PARA
FLU JO
Debido a la forma peculiar del ciclo de histeresis, la corriente de excitación que dé lugar a un flujo sinu soid al tendrá una for ma de ond a de picos asimétricos que puede obtenerse a partir del ciclo flujo-intensidad correspondiente al núcleo por medio de la con strucción gráfica indi cada en la figura 11. Est a curva calcula da es la de trazos de la figura 11, y la figura 12 muestra que la intensidad de excitación calculada concuerda satisfactoriamente con la forma de onda real determi nada por el oscilo grama de la figura 9. A causa de su forma de onda particular, la corriente de exci tación podrá expresarse convenientemente en forma de serie de Fourier. La variación con el tiempo de la corriente de excitación consta de una compo nente fundamental y una serie de armónicos impares. No existen armónicos pares cuando el ciclo de histeresis es simétrico, ya que los hemiciclos positivo y negativo son iguales salvo el signo *. Obsérvese que la corriente de excitación no es función par ni impar, y en consecuencia, cuando se exprese en forma de serie de Fourier —c om o en la ec ua ci ón (2 7) — ex is te n tér mi nos sen o y tér mi nos cos eno a la ve z j\ A s i , el eg id o e l or ig en , c om o e n l a fi gu ra l i a , de ma ne ra qu e la va ri ac ió n de fl uj o sea una función seno,
Véaae el apartado 9c . Véaae el apartado9b.
V i'i 2/=í' eos coi en fase con la fuerza contraelectromotriz bida por el núcleo es:
(
y 2 E eos coi. La potencia media
P ab c
Pc = EI'', X
puesto que 1'^ tiene ig ual frecu encia y fas e que la tensió n induc ida E. En lo suces a esta compon ente que inte rpr eta por sí sola la pérdida tot al P en el núc se designará por I y recibe el nombre de componente de la pérdida en el núcleo la corriente de excitación o, más brevemente, corriente de pérdida en el núcleo. Es de c
c
Luego, de la ecuación 75
Ic = l'i-
(
Ic = ^ -
•
' Puede verse un estudio de los métodos g ráficos para la determinaci ón de los armón en The Mathemalics of Circuit Analyeis, cap. VII. The Technology Press, Massachusetts Instit of Technology. Y un método particularmente conveniente para el análisis de la corriente de e taciónen el artículode J . ALBEBT WOOD, JB. A Qraphical Methodof WaveAnalyais, Cor University Engineering Experiment Station, Boletín N.° 22 (julio 1936).
CIRCUITOS
176
MAGNÉTICOS
EXCITACIÓN
La componente seno fundame ntal no contr ibuye a la potencia medi a absorbida por el núcleo, ya que está en cuadratura con la tensión inducida. Ninguna de las restantes componentes de la intensidad contribuye a la potencia media absorbida por el núcleo, por ser sus frecuencias diferentes de la de la tensión inducida *. Representando gráficamente ¿| en función del tiempo y determinando a partir I de esta curva el valor medio de ¿|, tendremos /#, cuadrado de la intensidad eficaz i . También puede expresarse la intensidad eficaz en de la corriente de excitación función de los armónicos en la forma,
POR CORRIENTE
ALTERNA
cual presenta los resultados superpuestos de cuatro oscilogramas de la corri de excitación del transformador de la figura 10. Al aumentar la inducción magné aumenta el valor relativo (%) del tercer armónico y disminuye el del armó fundamental . Cua ndo la forma de onda de la corrien te de excitación pro d una distorsión importante, como puede ocurrir en los circuitos de comunicacio 8
9
9
h = V m
2
+ n +
c á+T + • • ••
(78)t
Si se desprecian los armónicos posteriores al séptimo, la intensidad eficaz calculada de la corriente i de la figura l i a es: v
/ „ = 5,07 A .
(79)
El valor eficaz medido de la corriente de excitación es 5,35 A. La forma de onda de la corriente de excitación presenta picos muy agudos y por tan to la int ens ida d eficaz no es igu al a la máxima div id id a por 2, sino que es mucho menor. Par a la corriente de la figu ra l i a , _ W = 0,484. _
(80)
=
10,5
Iipímax)
El armónico fundamental resultante
Fi o. 14.
I de la corriente de excitación es:
= 4,59 A .
(82)
que constituye el 90,5 % de la intensidad de la corriente de excitación. El principal de los armónicos superiores es el tercero. La intensidad resultante del tercer armó nico es: =
i
(83)
n
= 2,10 A .
(84)
que constituye el 41,5 % de la intensidad de la corriente de excitación. Al tercer armónico se debe en gran parte el pico agudo de la forma de onda de la corriente. En la figura 14 pueden verse los armónicos fundamental y tercero. La discrepancia más evidente son los dos puntos de inflexión de la curva resultante de la figura 14 y que están situados aproximadamente a — 15° y +1 5° . Se debe a la omisión de los i' armónicos superiores, el principal de los cuales es la quinta componente seno En general, si se incrementa la inducción magnética máxima, la corriente de exci tación adopta una forma de onda más aguda, tal como se indica en la figura 15 la * f
Véase el apartado 9d. Véase el apartad o 9e.
Armóni cos fundamental y tercero de la corriente do excitación.
n
se reduce dicha distorsión evitando el funcionamiento a inducciones magnét elevadas. 10a. Efecto de un entrehierro. Ins erta ndo en el núcleo un pequeño entre rro, la corriente de excitación se puede hacer más sinusoidal. Por ejemplo, co deremos un entrehierro de 0,100 pulgadas (2,54 mm) —aproximadamente el 0, da la longitud media del circuito magnético— practicado en el núcleo de'la figura Si la tensión aplicada sigue siendo de 200 V, como en el ejemplo anterior, el f máximo seguirá siendo de 0,00895 Wb (ec. 20) si la caída óhmica en el devan sigue siendo despreciable. Luego, prescindiendo de la dispersión, la inducción m nética máxima en el entrehierro es:
B "max
y
=
* área 0,00895 3,5 X 3,5 X 6,45 x 10~
4
1,13 T.
En las siguientes referencias pueden encontrarse datos concernientes a la variación de armónicos de la corriente de excitación con la inducción magnética: L. F. BLUME, editor, Transformer Engineering (New York: John Wiley & Sons, 1938), O. G.'C. DAHL, Tomo T: Short-Circuit Currents Electric Circuits,Theoryand Applications. (New York: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1928), 226. Steady-State Theory J. W. BUTLER y E. B . POPE, «The Effect of Overexciting Transformers on System Volt Wave Shapes and Power Factor, *A. /. E.E. Trans., 60(1941), 49-53.
178
CIRCUITOS
EXCITACIÓN
MAGNÉTICOS
El valor máximo de la fuerza magnetomotriz requerida por el entrehierro es:
B
max
=
F
eh
X longitud entrehierro —
—
_ U 3 ^ 0 , 1 0 0 X 2,54 x 10-¿ 4TT X 10-'
=
2 g5
.
e s p i r a
( 8 6 )
El valor máximo de la componente añadida a la corriente de excitación por la in serción del entrehierro es: F 2 285 2 7 2 =A
eh
( 8 7 )
POR
CORRIENTE
ALTERNA
ejemplo (Ec. 84), es ahora solamente el 8,7 % de la corriente de excitación. tanto, la forma de onda de la corriente de excitación es ahora casi sinusoidal. Frecuentemente se introducen entrehierros en los núcleos de las bobinas de r ción a fin de reducir la falta de constancia del coeficiente de autoinducción de al hierro. Como, por otra parte, también reducen el coeficiente de autoinducc habrá que llegar a una solución de compromiso entre la constancia de la aut ducción y el tamaño de una bobina diseñada para tener una autoinducción de minada. Cuando por el devanado de una bobina circulan simultáneamente corr tes continuas y alternas, suele insertarse un entrehierro para evitar la satura debida al flujo creado por la corriente continua. En los apartados 1 4 y 1 5 se e diarán estas condiciones. Ta"mbién pueden emplearse entrehierros para obtener cociente grande entre la autoinducción y la resistencia aparente, cuestión qu ve en el capítulo VII, apartado 5. 11.
REP RESE NTA CIÓ N VECTORIAL
DE LA CORRIEN
TE DE EXCITACIÓN
La corriente de excitación de un transformador suele ser poco intensa. ejemplo, la de un transformador de potencia suele estar comprendida entre el y el 8 % de la intensidad del primario a plena carga. Frecuentemente, puede des
ut Fi o. 15.
Efectos dela inducciónmagnética máxima sobrela forma deonda de la corriente
de excitaci ón La s cuatro curvas corresponden a las siguientes inducciones magnéticas máxi mas: (1) 7 500 G; (2) 10 000 G; (3) 12 500 G; (4) 15 000 G.
Esta componente de la corriente es sinusoidal, puesto que el flujo varía sinusoi dalmente. Luego, su valor eficaz I será 27, 2/ ^2 = 19,3 A. Como esta compo nente adicional está en fase con el flujo, se suma directamente a la componente seno fun dam ent al de la corri ente de excitaci ón. La s demás componentes de la corriente de excitación permanecen prácticamente invariables, ya que no se alte ran esencialmente las condiciones en la parte de hierro del núcleo magnético. Por tanto, el entrehierro incrementa el valor eficaz de la corriente de excitación hasta B 1 valor eh
V(/í+W +1 (/á)+ \-Y 2
=24,0A (I*) +••• 2
(8 8 )
A u n cu an do los arm óni cos ma nt ie ne n in va ri ad a su in te ns id ad , su va lo r re la ti vo a la corriente de excitación incrementada es mucho menor; el tercer armónico, por
ciarse la forma de onda peculiar de esta débilutilizarse corrientemétodos y tratarvectoriales. la corrient excitación como sinusoidal. En tal caso podrán simplificación suele llevar a resultados suficientemente precisos en los cálculos ferentes a la distribución de potencia y potencia aparente reactiva en el aná de sistemas de potencia. No obstante, en otros problemas despreciar la form onda peculiar de la corriente de excitación equivalente a ignorar fenómenos b cos de importancia fundamental. En la introducción al apartado 8 se mencio algunos de estos problemas. En el estudio que se realiza a continuación, se supone que el flujo varía si soidalmente, condición que se cumple casi siempre muy aproximadamente en transformadores de potencia. En tal caso, el flujo, la tensión inducida y las co nentes fundamentales seno y coseno son todas ondas sinusoidales y, por tanto, drán representarse por vectores en la forma indicada en la figura 1 6. Sin emba este diagrama vectorial ignora por completo el efecto de los armónicos de la rriente de excitación. Los armónicos no contribuyen en absoluto a la pote puesto que sus frecuencias son diferentes de la de la tensión inducida *, pero in mentan la intensidad eficaz de la corriente de excitación. • Así, pues, el efecto de los armónicos sobre la int ens ida d eficaz de la corr i de excitación es análoga al de una componente de intens idad en cuad ra con la tensión; es decir, incrementan la intensidad eficaz de igual manera la componente reactiva de una intensidad sinusoidal incrementa la intensidad caz de la corriente. Se a I„ la intensidad eficaz de la corriente reactiva que incluye a lo? armón Entonces, l = VVí) Vi? + + + ••• m
Véase el apartado 9d.
2
CIRCUITOS
180
EXCITACIÓN POR CORRIENTE ALTERNA
MAGNÉTICOS
Es decir, la intensidad eficaz de la corriente reactiva total es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de todas las componentes de la corriente de excitación, excepto la componente I de pérdidas en el núcleo. En el ejempl o del aparta do 10, la componente fundamental I' de la corriente reactiva es de 4,50 A, pero la co I suele llamársele rriente reactiva total es de 5,00 A. La corriente reactiva total corriente magnetizante. Si se prescinde de su forma de onda peculiar, la corriente c
x
m
la corriente de excitación suele ser débil, la representación vectorial mediante on sinusoidales, equivalentes, suele ser satisfactoria. Como la corriente magnetizante consta de todas las componentes de la corrie de excitación i excepto la componente de pérdidas en el núcleo i , la intensi instantánea de la corriente magnetizante es v
c
im = i — i v
(
c
En la figura 18 pueden verse las formas de onda de la corriente de excitación y sus dos componentes: corriente de pérdida en el núcleo y corriente magnetizan
í
0 *
Fi o. 16. Diagrama vectoria l de las componen tes fundamentales de la corriente de exci tación.
Fi o. 17. Diagrama vector ial de las componen tes equivalentes sinusoidales de la corriente de excitación.
magnetizante podrá representarse por un vector I en cuadratura con la tensión inducida y, por tanto, en fase con el flujo, según se indica en la figura 17. Como la intensidad eficaz 7 de la corriente de excitación es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de todos sus armónicos, todos los cuales excepto la corriente de pérdidas I están incluidos en la corriente magnetizante, entonces M
9
e
/ , = y/?
+1* = 5,07 A
•(«>)
Puesto que los armónicos se combinan de la misma manera que se suman las com I? de la corriente de exci ponentes sinusoidales en cuadratura, la intensidad eficaz tación viene dada correctamente por el módulo del vector suma de la componente de las pérdidas en el núcleo I más la componente magnetizante I de la figura 17. Las formas de onda de las corrientes magnetizantes y de excitación, en cambio, están muy lejos de ser sinusoidales. C
F io . 18.
(91)
M
• Los vectores I e 1^ de la figura 17 no representan mas que intensidades sinu soidales equivalentes de valores eficaces iguales a los de las corrientes no sinusoi dales reales que producen la misma potencia media que dichas corrientes. Es decir, la longitud del vector L, de la figura 17 es la intensidad eficaz de la corriente de excitación, y el ángulo de fase de esta onda sinusoidal de corriente equivalente viene dada por M
En el análisis de un caso en que la corriente de excitación se combina con ot corriente que varía sinusoidalmente, la representación de la corriente de excitaci por una onda sinusoidal equivalente no es estrictamente adecuada. En rigor, armónico fundamental de la corriente de excitación debería combinarse vectoria mente con la segunda corriente; habría que tomar la raíz cuadrada de la suma los cuadrados de la componente fundamental resultante y de todos los armónico a fin de combinar los armónicos con la intensidad fundamental resultante. Es proceso rigurosamente correcto es bastante laborioso y exige un conocimiento, siempre posible de tener, de los armónicos de la corriente de excitación. Por e se trata frecuentemente la corriente de excitación sinusoidal equivalente como fuera una verdadera onda sinusoidal que pueda sumarse vectorialmente con otr corrientes sinusoidales. No obstante, debe tenerse en cuenta que el tratamien vectorial de la corriente de excitación con otras corrientes es solamente una apr ximación que no siempre puede justificarse.
•(92)
eos 6 =
12.
donde P es la pérdida en el núcleo y E e I son los valores eficaces que se leerían en instrumentos de medida ordinarios para corriente alterna. ^ c
For mas de onda de las componentes magnetizante y de pérdida en el núcleo de corriente de excitación.
9
Así , pu es , la det erm ina ció n de l di ag ra ma ve ct or ia l de la fi gu ra 17, me di an te medidas con instrumentos ordinarios para corriente alterna, resulta sencilla. Como
CARACTERÍSTICAS
DE
LA
EXCITACIÓ
N EN
CORRIE
NTE
AL TE RN A
Las características magnéticas en corriente alterna de los materiales de l núcleos se suelen representar gráficamente en la forma indicada en las figuras 19 y 2 Estas curvas, junto con las curvas de pérdida en el núcleo de la figura 20, son útil para comparar las calidades magnéticas de los materiales de los núcleos y predec
Campo magnético eficaz NIJl en ampere-espira por pulgada F i o . 19.
Curvas de imanaci ón eficaz para flujo sinusoidal.
fe. 00
CIRCUITOS
MAGNÉTICOS
EXCITACIÓN
POR
CORRIENTE
ALTERNA
185
un valor aproximado de la intensidad eficaz de la corriente de excitación de un trans formador de potencia *. Las tres figuras corresponden a láminas de acero de buena cal ida d con un 4,25 % de sili cio , ensay adas con un flujo sinu soi dal . La s caraeterí s ticas de imanación de las figuras 19 y 21 son los promedios de medidas realizadas sobre muestras en forma de anillos sin entrehierros y representan el dominio de luncionamiento que puede esperarse dentro de los límites de frecuencias de potencia y galgas de chapa comerciales. Las curvas de pérdida en el núcleo de la figura 20 corresponden a láminas de la galga 29 ensayadas en una estructura Epstein en la form a descr ita en el apa rta do 5, del capítulo V. En la figura 19 puede verse la relaci ón entre el valor máximo de la inducción magnética sinusoidal y el valor eficaz del campo magnético no sinusoidal en ampere-espiras eficaces por pulgada. Su empleo para calcular la intensidad eficaz de la componente magnetizante de la corriente de exci tación para un flujo determinado en el núcleo es análogo al empleo de la curva de imanación en corriente continua en problemas análogos de corriente continua. La figura 21, en la que puede verse la relación entre la inducción magnética máxima y los volt-ampere eficaces reactivos por libra, presenta en esencia la misma infor mación que la figura 19, pero en una forma que a veces resulta más útil. Obsérvese que los volt-ampere reactivos requeridos para excitar núcleos del mismo material a la misma inducción magnética máxima dependen únicamente de la frecuencia y de los pesos de los núcleos. Como este hecho también se cumple para la pérdida en el núcleo, el factor de potencia de un transformador en vacío depende únicamen te de la frecuencia y de la inducción mag nética máxima, y la excitación total en volt-ampere eficaces EI queda determi nada por la frecuencia, la inducción mag nética máxima y el peso del núcleo y es independiente del número de espiras del devanado de excitación. Las curvas de las figuras 19, 20 y 21 deben utilizarse con extraordinaria precau ción y deberán aplicarse factores de co rrección empíricos para tener en cuen ta los efectos de las presiones de apilamiento, corrientes de Foucault entre láminas, ali neamiento de los granos, ángulos del nú F io . 22. Caminos del flujo en una junta cleo y junturas en el circuito magnético. solapada, a) Junta solapada en un ángulo Una junta franca equivale a un pequeño del núcleo; 6) jun ta solapada recta ; c) am entrehierro de longitud ligeramente mayor pliación de 6) mostrando los caminos apro que el espesor del aislante de papel en la ximados del flujo. j u n t a . L a s ju nt as so la pa da s co mo la s de los ángulos de un núcleo, que se pr esenta n en la figura 22a, p rese ntan efectos de sat u ración. Sin embargo, para mayor sencillez, consideremos la junta solapada recta de la figura 226, repetida ampliada y vistas de perfil las láminas en la figura 22c. 9
A m pl i t u d de la i ndu cc ión magné tic a al te rn a en kilomaxwell por pulgada cuadrada F io . 21.
Caracte rísti cas de volt-ampere reactivos para flujo sinusoida l.
* En las figuras 9 y 1 0 del capítulo V se dan curva s de pérdi da en el núcleo que cubren un amplio dominio de frecuencias e inducciones magnéticas.
CIRCUITOS
186
MAGNÉTICOS
EXCITACIÓN
Luego la inducción magnética es mayor que la normal en las partes de las láminas próximas a la junta y la relación entre la inducción magnética y la fuerza magnetomotriz requerida por la junta es, por tanto, no lineal °. 12a. Ejemplo de diseño de una bobina con núcleo de hierro. Conside remos una bobina con núcleo rectangular de lámina de acero con 4,25 % de silicio de la galga 29 cuyas características se dan en las figuras 19, 20 y 21. En la figura 23 se dan las
, ,
,
ALTERNA
105 x 1,85= 194 VAR
/ e
=
w
=
Alt ura de la p i l a 3 pulB .
o.*, juntas solapadas. E l devanado tiene 14o espiras. El problema consiste en determi nar la pérdida en el núcleo y la intensidad eficaz de la corriente de excitación cuando Ai •„ ,i„ se apli ca a la bobi na una t ensión de 220 V
CO RRIENTE
5 V AR /l b
(100
Las componentes de pérdida en el núcleo y magnetizante de la corriente de excita ción pueden ya calcularse; así,
dimensiones del núcleo. Este está cons¬ tr ui do con láminas en fo rm a de L con
, ,
POR
De la figura 21, a 60 Hz y 70, 3 kilolín eas/p ulg*, la potencia reactiva es de 1,8 y, por tanto, la potencia total reactiva es:
0
'
3
4
A
-
< > 1 01
194
Faaor de ap,iamien,o-=
^
*T. i
F ia . 23.
Núcleo de la bobina del ejemp lo
j i u u-
I m=
La inten sida d eficaz
"220" =0,
88
de la corriente de
A
-
excitación
< > 102
vendrá,
pues, dad a por,
I = V (0 ,3 4) « + (0,88)« = 0,94 A.
™r
(103
v
desarrollado en el apartado 12a. y frecuencia 60 Hz . Solución: A un cuando la fuerza magneto motriz requerid a por las juntas pueda ser importante, en la resolución de este problema despreciaremos los efectos de las juntas. La longitud media del camino magnético (línea central en la figura 23), es de 48 pul gadas (1,22 m). Por tanto, el volumen total de acero en el núcleo es:
También puede calcularse a partir de la figura 19 la intensidad eficaz I„ de la co rriente magnetizante. De dich a cu rva, a una inducc ión magnética máxima de 7 0,3 kilo líneas/pu lg', el cam po magnético eficaz es de 2,7 ampe re-e spir a/pul gada eficaces y, com la long itud medi a del circuito magnético es de 48 pulgadas, la fuerza magnetomotri será 48 x 2,7 ámpere-espira eficaces. El devan ado tiene 145 espiras, por lo que la in
3
48 X 3 X 3 x 0,90 = 389pulg 4,25 % de silicio es de 0,27 lb/pulg
L a densidad del acero con núcleo es:
(94) 3
tensidad eficaz I de la corriente magnetizante es: m
, por lo que el peso del
,
Im = 0,27 x 389 = 105Ib.
En consecuencia, la intensidad eficaz
En virtud de la ecuación =
j. =
max
Y
(19), el valor máximo 220 E 4,44/i V
(104)
I de la corriente de excitación es: 9
,„ „,
4,44 x 60 x
=I V(0 ,3 4) « + (0,89)' = 0,96 A.
(96)
9
145
= 0,00570 Wb
Luego, l a inducción magnética máxima
48 X 2,7 = 0,89 A. 140
(95)
(97)
Bmax es:
(fimax área total 0,00570 = 1,09 T 3 x 3 x 0,90 x 6,45 X 10~
(105)
Los dos métodos para calcular la corriente de excitación dan, sustancialmente, los mism os resultados . Obsérvese que las intensidades eficaces de las corrientes magn eti zantes y de excita ción no difieren mu cho . A men udo se pre scinde de esta diferencia y se supone que la intensidad eficaz de la corriente de excitación es igual a la de la corriente magnetizante.
(98)
13.
4
K«te flujo equivale a 70,3 kilolíneas/pulg y de la figura 2 0 resulta que, a 60 Hz, la pér dida en el núcleo es de 0,70 W/lb, y, por tanto, la pérdida total en el núcleo es:
CntcüTros EQUIVALENTES
2
105
X 0,70 = 74 W
(99)
" Puede verse una curva de saturaciónpara juntas solapadasen L. F. BLÜME editor, Trans forma- Engincering(New York: John Wiley & Sons, 1938), 10. Según tal curva de saturación, cada junta solapada requiere una fuerza magnetomotriz unas diez veces mayor que los ampereespira eficaces por pulgada en el hierro en el dominio de inducciones magnéticas normalmente usado en el diseño de transformadores de potencia (50-90 kMx/pulg ). La tuerza magnetomotriz requerida por las juntas se halla afectada por varias variables, tales como las tolerancias de fa bricación, presiones de apüamiento y otros factores que dependen de la habilidad con que se ha ensamblado el núcleo. 2
En análisis de circuitos, las bobinas con núcleos de hierro suelen representarse por un circuito equivalente aproximado consistente en elementos de parámetros localizados, conectados de manera que sus características de impedencia representen aprox imada mente los efe ctos de la bobina como elemento de circuito. Cuand o pueden despreciarse los efectos de la falta de linealidad magnética de las formas de onda de la tensión y de la inten sid ad puede hall arse una com binación serie o parale lo de una resistencia y una autoinducción, a cual quier tensión eficaz V aplicada y cualquier pul sación co, que absorba la misma potencia media P y conduzca un a corriente de igual intensidad eficaz / que la bobina. En las figuras 24a y 246 pueden versé estos cir cuitos equivalentes. Si son equivalentes a la bobina, sus constantes deberán estar
CIRCUITOS
188
EXCITACIÓN
MAGNÉTICOS
relacionadas con la tensión, intensidad y potencia consumidas por la bobina, de la manera siguiente: En la fi gur a 24a
En la fi gur a 246
A = -£-
•d06)
G = ^
•(IOS)
a
•(109)
POR
a
a a a
es la resistencia aparente, es la reactancia aparente, es la conductancia aparente, es la susceptaneia aparente de la bobina.
V
(a) F io . 24.
I.
J *
I,
V
(b)
1
c
m
c
A cau sa de la fa lt a de li ne al id ad magn éti ca de la bo bi na , los par áme tro s pu ed en no ser constantes, sino que pueden depender de la tensión y la frecuencia a que se miden. I-
ALTERNA
c
a
donde R X G B
CORRIENTE
son independientes de la tensión equivale a suponer que la intensidad de la corrie es proporcional al flujo y que la pérdida en el núcleo varía como el cuadrado flujo. Los dos circuitos equivalentes dan los mismos resultados y se utilizará el q sea más conveniente. En la bobina o transformador real la intensidad de la corrie crece más rápidamente que el flujo, la pérdida por corrientes de Foucault varía co el cuadrado del flujo y la pérdida por histeresis se puede suponer a menudo q también varía como el cu adra do del flujo. r y g son constant Si varía la frecuencia, y si se supone que las resistencias X y b tienen coeficientes de autoinducción consta y que los elementos de circuito tes, los circuitos equivalentes de las figuras 24c y 24c? dan resultados diferent En estas circunstancias, el circuito equivalente de la figura 24c no es satisfactor puest o que la pérdida aparent e en el núcleo calcu lad a a par ti - de este circ uit o aproximadamente proporcional al cuadrado del flujo pero es independiente de frecuencia. En cambio, el circuito paralelo de la figura 24«?, con g constante y coe ciente de autoinducción constante en la rama magnetizante, puede constituir u representación suficientemente precisa de la bobina. Con estas hipótesis, en figura 24d la corriente magnetizante tiene una intensidad proporcional al flujo y pérdida total en el núcleo es proporcional al cuadrado de la tensión inducida. Es es la manera en que varía en la bobina la pérdida por corrientes de Foucault *, bien la pérdida'por histeresis varía como la primera potencia de la frecuencia. Cuan
(c)
sea muy bobinas pequeñay latransformadores amplitud de la utilizados inducción en magnética como ocurre muchas circuitosalterna, de comunicaciones, falta de linealidad de las características magnéticas carece, a menudo, de impo tancia, siendo justificable la hipótesis de autoinducción constante.
(ti)
Circuitos equivalente s de una bobina co n núcleo do hierro.
• Po r ta nto , el cir cui to equivale nte de la figura 2 4c?, con g constante e indu tancia magnetizante constante, se podrá emplear frecuentemente para represent una bobina con núcleo de hierro en un amplio dominio de frecuencias, si la pérdi por histeresis es despreciable frente a la pérdida por corrientes de Foucault y si pequeña la amplitud de la inducción magnética alterna . ^ c
En los circuitos de las figuras 24a y 246, R y G srcinan una pérdida de potencia igual a la pérdida total de potencia P en la bobina, consistente en la pérdida en el núcleo P más la pérdida en el cobre PR, donde R es la resistencia efectiva del R es devanado. Así, según se estableció en el apartado 1, la resistencia aparente R del devanado. Las pérdidas en el cobre y en el mayor que la resistencia efectiva, núcleo varían de diferentes maneras con las variaciones de la tensión y la frecuencia y con los cambios en el diseño de los devanados y del núcleo. Luego, será usual¬ mente conveniente indicar las componentes de las pérdidas mediante resistencias separadas, como en las figuras 24c y 24<7, en las que R es la resistencia efectiva del devanado, y r o g interpretan la pérdida en el núcleo. En la teoría de los transfor X en una componente madores también conviene resolver la reactancia aparente debida a la fuga de flujo y otra debida al flujo en el núcleo. A u n cu an do en un tr an sf or ma do r en ca rg a es im po rt an te la fug a mag nét ica , en la bobina con núcleo de hierro suele ser muy pequeña, así como en los transfor X será prácticamente igual a la madores en vacío. Luego la reactancia aparente debida al flujo en el núcleo. A pes ar de las pr op ie da de s magn éti cas pe cul ia re s de l hi er ro , fre cu ent eme nt e se puede representar una bobina con núcleo de hierro o un transformador por un circuito equivalente cuyos parámetros se suponen constantes e independientes de la tensión y la frecuencia, sin que se cometa un error excesivo. Si se mantiene cons r , X , g y b de las figuras 24c y 24c? tante la frecuencia, suponer que los parámetros a
a
c
a
c
c
a
a
c
a
c
m
10
Sin embargo, a las inducciones magnéticas usualmente empleadas en aparat de potencia la pérdida por histeresis suele ser mayor que la pérdida por corrient de Foucault. En estas condiciones, probablemente es más preciso suponer que l resistencias de r y g de las figuras 24c y 24c? son proporcionales a la frecuencia que los elementos de circuito X y b tienen coeficientes de autoinducción constante Es decir, suponer que: c
c
a
m
En la figu ra 24c,
En la fi gu ra 24c?.
Tc^OjR'
Xa = coL' *
(110) (lll)
6
g^—Lm =
(H 2
coR 1
(113)
OJ L I
Véase el apartado 2 del capítulo V. Para un ulterior estudiode estecircuito equivalente, véaseL. B. A B G U I M B A U , «Losse in Audio-Frequency Coils»,Gen. Rad. Exp., 11, N . ° 6 (noviem bre 1936 ), 1-4; P. K. MCELBOY R. F. Field, «How Good Is an Iron-Cored Coilf tOen. Rad. Exp., 16,N.° 10 (marzo 1942), 1-1 10
CIRCUITOS
¡90
EXCITACIÓN
MAGNÉTICOS
donde 11' L' /»"' y / / ' son constantes. Con es tas hipót esis puede demostrarse que los dos circuitos equivalentes de las figuras 24c y 24í? dan los mismos resultados; o sea que la inten sid ad de la corriente es prop orc ion al al flujo y la pérdida en el núcleo es proporcional a la frecuencia y al cuadrado del flujo. Este resultado cons tituye la variación correcta con el flujo de la pérdida total en el núcleo. No obstante, cuando so suponen constantes las autoinducciones, todos los circuitos equivalentes desprecian los efectos de la saturación sobre la corriente magnetizante, k Los circuito.-* equiv alent es dan corrient es sinusoidal es cuando es sinu soi dal la forma de onda- de la tensión aplicada, v, por tanto, sólo se podrán aplicar cuando sea suficientemente preciso representar la intensidad de la corriente por una onda sinusoidal equivalente. Afortunadamente, esto es posible a menudo. «J
POR
CORRIENTE
ALTERNA
Una característica importante del hierro es su permeabilidad incremental pa componente alterna del campo magnético. Esta permeabilidad incremental es AB/AH de los ciclos pequ ximadamente proporcional a la pendiente media Su valor puede calcularse mediante la relación, Permeabilid ad incremental
=
«
o, cuando se suponen variaciones sinusoidales, la permeabilidad incrementa puede definirse como
La inducción magnética B ¡ es el valor eficaz de la componente alterna de la in ción magnética que induce la tensión alterna de la bobina, y el campo magnético es la compo nente del camp o magnético sinus oida l equivale nte en fase con el f e
14 .
CARACTE
RÍSTIC
AS
SUP ERP UE STO A
D E L OTRO
HIE RRO CONTIN
SOME TIDO
A
UN
CAMPO
MAGNÉTICO
AL TE RNO
UO
Hasta ahora, nuestro estudio se ha referido al comportamiento de los materiales ferromacméticos en condiciones en las cuales los materiales se hallaban sometidos a campos magnéticos estacionarios o continuos, y también cuando se hallaban some tidos a campos magnéticos alternos. Si n embargo, en la práctica los materiales se hallan a menudo so metidos a campos magnéticos alternos y estacionarios superpuestos. Por ejemplo, en muchos circuitos de mando se, emplean a menudo excitaciones continuas y alternas superpuestas en los núcleos de hierro, a fi nde asegurar un resul tado det erminad o. También en muchos circuitos asociados a aparatos electrónicos es necesaria una componente unidireccional de la co rriente, además de la componente alterna. En todas esas aplicaciones es importante conocer la manera en que responde el hierro a las excitaciones combinadas. Frecuentemente, el problema estriba en determinar el efecto que la corriente continua que circula por el de vanado de un a bobina con núcleo de hierro tiene sobre su autoinducción aparente. En este apartado se presentan brevemente ciertas características del hierro sometido a excitaciones con F I G . 25. Cie los de hi ste resis tinua y alterna superpuestas. Se introduce una nueva desplazados a causa de la su expresión, que es la permeabilidad incrcmental, y se perposición de un campo mag nético continuo y uno alterno. explican los casos en que puede utilizarse eficazmente. Cuando se aplican simultáneamente un campo mag nético unidireccional v uno alterno mediante un devanado excitador, el ciclo de histeresis resultante es asimétrico v diferente para valores diferentes del campo magnético unidireccional. En la figura 2 5 puede verse una familia de cielos en la cual la compo H es diferente para cada ciclo siendo siempre nente estacionaria del campo magnético la misma la amplitud de la componente alterna de la inducción magnética J? . » J . D . BALL, «rhe Unsymmetrical Hystcresis Loop»,A. I. E. E., Trans., 34, segunda 11
parte (1915), 2693-2715.
y Como las componentes alternas de B y H no tiene n la mism a forma de o la permeabilidad fj, definida por la ecuación (115) es un valor medio o permeabil fi es el coci equivalente. Esta expresión sólo tiene significado en el sentido de que B y H. <| entre los valores eficaces de las componentes alternas de ca
ca
y De las formas y tamaños de los ciclos de la figura 25 pueden extraerse ¡u generalizaciones cualitativas. La primera es que la permeabilidad incremental marcadamente inferior a la pendiente de la curva de imanación normal en el p H. Es deci de funcionamiento correspondiente a la componente unidireccional de permeabilidad aparente del material para variaciones cíclicas del campo magn no puede determinarse midiendo la pendiente de la curva de imanación normal. segunda generalización es que cuanto más intenso se haga el campo magn continuo, tanto menor se hace la permeabilidad incremental. Esta generaliza se ilustra en la figura 25 donde se ve que aumenta la amplitud de la variación d B cuando se in correspondiente a una amplitud determinada de la variación de H, y aún se ve mejor examinando las cu menta la componente.unidireccional de de permeabilidad incremental de la figura 26. <| El enunciado matemático exacto de estas generalizaciones es prácticam imposible a causa de la naturaleza no lineal de las relaciones que intervienen. únicos medios practicables para determinar el funcionamiento de las bobinas núcleo de hierro que tengan superpuestas excitaciones continua y alterna cons en aplicar métodos aproximados de análisis que utilicen datos expresados en fo gráfica, o la experimentación sobre modelos o aparatos de tamaño natural. El blema es, en esencia, el mismo que el estudiado anteriormente en este capít H es una nueva varia exceptuando que ahora el campo magnético continuo El estudio anterior referente a la falta de linealidad, formas de onda, sinusoid equivalentes, etc., se aplica aquí casi directamente para cualquier valor dado de con la consideración adicional de que el ciclo de histeresis se halla ahora desplaz del srcen y es asimétrico. Una manera útil de describir las propiedades del hierro sometido a imanacio continua y alterna superpuestas es mediante curvas que den la permeabilidad hi cc
192
CIRCUITOS
EXCITACIÓN POR CORRIENTE ALTERNA
MAGNÉTICOS
B mental o eficaz fi en función del valor máximo de la componente alterna H como parámetro. En la figura 26 p la inducción magnética y que tengan verse una de dichas familias de curvas. Los datos para trazar la figura 26 se to ron de un núcleo constituido por láminas en L, apiladas interfoliadas. Los d deben considerarse como orientadores del orden de los mismos solamente, y mente podrán aplicarse cuantitativamente a un material particular cuand utilice en condiciones magnéticas análogas a las que se aplicaron cuando se o vieron los datos. Aun cuando se emplee el mismo material, si se emplea en una fo distinta de troquelado, o cuando sé apilen en forma diferente, como por eje con juntas solapadas en vez de interfoliadas, los datos son algo diferentes. embargo, independientemente de estas limitaciones, los datos, adecuadam interpretados, servirán para cualquier cálculo aproximado para diseño. En el a tado 15 se estudia el empleo de la permeabilidad incremental, definida por la e ción (115), para el cálculo del funcionamiento de las bobinas de reacción. Cuando se desee una permeabilidad incremental grande (como, por ejem en el caso de transformadores de audiofrecuencia empleados en los amplificadore válvulas de vacío) la componente continua del campo magnético, aun cuando puede evitarse fácilmente, no es conveniente porque tiende a hacer disminuir autoinducciones de los devanados del transformador y por tanto su coeficiente acoplo. En muchas aplicaciones de las bobinas de choke de los filtros para re ca
cc
ficadores, conviene una permeabilidad incremental grande junto con un gran ca magnético continuo. Cuando se incrementa el campo magnético continuo, el de mento de permeabilidad incremental hace disminuir la autoinducción aparente elemento y da srcen al término «choke oscilante». Estos chokes oscilantes se empl eficaz y económicame nte en ciertos filtros par a rectificadores. A veces se hace la variación de permeabilidad incremental realice una función útil en un gran nú de dispositivos de mando. La gran ventaja de estos dispositivos proviene pri palmente de la facilidad con que puede variarse la permeabilidad increment eficaz del material del núcleo variando el campo magnético continuo. En las aplicaciones en que tengan importancia las formas de onda puede conv otra definición de la permeabilidad en corriente alterna. Si limitamos el estud los casos en que se aplica una tensión sinusoidal a la bobina y la resistencia de es despreciable, la variación de la inducción magnética es esencialmente sinusoi En tal caso puede definirse la permeabilidad como el cociente entre la compon sinusoidal de B y la componente fundamental de H que está en fase con B. Tam podrán encontrarse una o más clases de permeabilidades «armónicas», defin como cocientes entre la componente fundamental de Ti y un armónico especific cualquiera de H. Obsérvese que como el ciclo desplazado de histeresis es asimétr en el campo magnético habrán tanto armónicos pares como impares. Las perme lidades armónicas son importantes cuando interese una reproducción exacta de señales; no estudiaremos aquí su medida y empleo. Cuando se utiliza una bobina en un circuito sintonizado, suele convenir sea grande la razón de la reactancia a la resistencia aparente, y, si las pérdidas el hierro constituyen una parte sustancial de la pérdida total, su efecto es importa ya que la razón de la reactancia a la resistencia disminuye cuando crece la resiste aparente. En otras aplicaciones, la contribución de la pérdida en el núcleo a la re tencia aparente en corriente alterna de la bobina puede tener relativamente p
]')4
CIRCUITOS
EXCITACIÓN
MAGNÉTICOS
importancia, como ocurre en los filtros para rectificadores en donde es importante la resistencia del devanado en corriente continua porque incrementa la regulación del generador de corriente continua. Experimentalmente, pueden obtenerse importantes (latos referentes a las pérdidas en el hierro sometido a excitaciones continua y alterna superpuestas, creando en la muestra condiciones magnéticas análogas a aquellas para las cuales interesen los datos.
POR
CORRIENTE
ALTERNA
15a. Ejemplo de cálculo de una autoinducción aparente. Supongamos quiere hallar la autoinducción aparente de una bobina con núcleo de hierro an a la empleada frecuentemente como elemento de acoplo en un circuito de vá de vacío. Es corriente emplear un núcleo consistente en láminas apiladas de altura de media pulgada (12,7 mm) y reunidas en la forma indicada en la figur
qu
lintrehierro — 0,005" ir>.
BOB INAS SUPERPUE
CON
NÚ CL EO
DE
HIERR
O CON
EXCITACI
ONE S CONTI
NUA
Y AL TE RN A
STAS
La superposición de las excitaciones continua y alterna en el hierro se presenta de dos maneras principales en las bobinas con núcleo de hierro. En una de ellas se utiliza la excitación continua para gobernar la reactancia efectiva, y las fuerzas magnetomotrices continua y alterna actúan so bre circuitos magnéticos diferentes que tienen Flujo Flujo alguna parte común. En la figura 27 puede verse continuo alterno una bobina de esto tipo con bobinas de corriente alterna conectadas en serie. Cuando la excitación continua es nula, el flujo magnético alterno circula solamente por el camino exterior, si las bobinas de corriente alterna son iguales y están conectadas en serie o paralelo a sus fuerzas mag netomotrices que ayudan a que el flujo siga este camino. Cuando se aplica la fuerza magnetomotriz continua, crea un flujo unidireccional que recorre todo el núcleo en la forma indicada y, en primera aproximación, en un instante dado cualquier a del ciclo al terno de imanación ayu da al flujo alterno en una de las ramas exteriores y Kro. 27. Bo bin a do tros ramas conse resta de él en la otra rama exterior. En reali dad, a causa de los efectos de saturación, la devanados para c.e. y c.a. cantidad sustraída de una rama no es igual a la añadida en la otr a. E n otras palab ras , no podemos apli car aquí la superp osi ción lineal. La experiencia indica que la reactancia aparente del devanado de corriente alterna en la mencionada bobina puede variarse entre amplios límites sin más que variar la intensidad de la corriente continua. En consecuencia, las bobinas que utilizan este principio hallan muchas aplicaciones en los circuitos de mando. El análisis de estas I lobinas se rea liza en f orma análoga a la presenta da en la par te a) de este apartado. La segunda manera de superponer las excitaciones en una bobina consiste en aplicar las dos fuerzas magnetomotrices mediante el mismo devanado, con lo que los caminos de los flujos continuo y alterno coinciden. Cuando el camino del flujo en el hierro tiene una sección recta sustancialmente uniforme a lo largo de toda su longitud, a partir de datos como los de la figura 26 podrá determinarse de manera relativamente fácil el funcionamiento aproximado de las bobinas de esta forma. En la parte a) de este apartado se desarrolla la teoría de dicho análisis mediante un ejemplo numérico particular.
A l t u r a p il a =
p u lg
Factor de apilamicnto — 0,94 5000 espiras Fr o. 2S.
Núcleo de una bobina de inducción.
Un material muy utilizado para estos casos es acero al silicio con un 4 % de. sil para el cual la figura 29 representa la curva de imanación normal y la figura 2 las curvas de permeabilidad incremental. El factor de apilamicnto para el conj
indi cad o se supone igu al a 0,94. Supongam os que la bobina tiene 5 000 espir está arrollada sobre la rama central del núcleo. Como ejemplo, supongamos que la bobina conduce una corriente conti de 0,020 A y que se busca la autoinducción aparente cuando se aplica a la bo una tensión eficaz de 50 V a 120 Hz. Xo hay devanados en las ramas exteriores.
CIRCUITOS
196
MAGNÉTICOS
EXCITACIÓN
Solución: El procedimiento general do solución consiste en determ inar primera mente al campo magnético continuo H en el acero. Se calcula entonces la inducción magnética
POR
CORRIENTE
ALTERNA
1
El área equivalente del entrehierro de la rama central es:
cc
alterna máxima correspondiente a la componente alterna de la tensión. Con estos datos se determina, a partir de la figura 26, la permeabilidad incremental aparente del acero. Se calcula entonces el coeficiente de autoinducción aparente suponiendo lineal el circuito magnético en el dominio de la fuerza magnetomotriz alterna superpuesta. Para determinar el valor de H , hay que dividir el campo magnético continuo total entre los entrehierros y el acero con la condición de que el flujo a través de los entrehierros es igual al flujo a través del hierro. Para este cálculo puede dividirse el núcleo en dos partes puestas magnéticamente en paralelo, según indica el plano aa perpendicular al papel en la figura 28. Las dimensiones magnéticas de una mitad se pueden tratar o calcular solas, exceptuando que el flujo total que atraviesa la bobina es el doble que el que atra viesa una u otra mitad del núcleo. La obtención gráfica del campo magnético continuo H viene dada por las curvas de la figura 29. El método seguido es igual que el descrito en la solución del segundo ejemplo del apartado 8, del capítulo III. Los valores numéricos utilizados en la figura 29 para esta solución se obtienen de la manera siguiente. La fuerza magnetomotriz continua F es:
(0,50 + 0,005)(0,50 +0,005) = 0,255p u l g 2
y por tanto el área equivalente a uno y otro lado del plano central aa de la figura 28 0 2^ -•rrr = 0,1275pulg , o se a, 0,82 cm 2
cc
cc
2
2
a
F
CÍ
= 100 ampe re- esp ira o sea,
"
l,
cc
F - = 5 000x 0,020
2
A u n cu and o este área eq uiv ale nte es lig era men te me nor que el área eq uiv al en te entrehierro de la rama exterior, los cálculos subsiguientes se basan en la hipótesis de q el efecto combinado de ambos entrehierros es el mismo que el efecto de un solo entr hierro cuya área A sea de 0,83 cm (ec. 120) y cuya longit udl sea de 0,0254 cm (ec. 11 Mediante las ecuaciones (17) y (18) del capítulo III, se determina la situación de recta negat iva del entre hierro. La intersec ción de dicha recta con eT e je de H las a
11,2 Oe 11,2
(12
1 2 6
y su intersección con el eje de lasB es: 126 gilb ert
(H*>) 0
Para calcular la longitud l, del camino del flujo en el núcleo de acero, supongamos que el flujo se curv a en los ángulos del acero con un radio medio de 1/8 de pulgada. Ent once s
a
1,00
cc
ft A Fl A„
0,83 x
0,76 x
a
126 x
0,0254
= 5 420 G
(12
donde ¡i es la permeabilidad del vacío. La s coordenadas de l punto de intersecci ón de la cur va de imanación con la rec negativa del entrehierro da los valores del campo magnético continuoH y de la indu ción magnética en el acero, en ausencia de cam po magnético alt erno. De la figura 29 r sulta que el valor de H que hay que utilizar en la figura 26 es, aproximadamente, 0,55 O Para poder obtener la permeabilidad incremental fi , deberemos calcular el val máximo B de la compone nte alt erna de la inducción magnética en el hierro. Pa determinar B x hay que calcular el valor máximo <¡>ma de la componente alterna d flujo necesario para generar una tensión eficaz de 50 V a 120 Hz . Est e es, en vir tud la ecuación (19), 50 _ E 4,44/^ - 4,44 120 x 5 000 9mox '0
cc
= 4,4 pul g. , o sea 11,2 c.m.
(117)
cc
ca
El área de la sección rectaA, del acero es
max
ma
A, = (0,94x 0,25 x 0,50) = 0,117 pulg , o sea, 0,76 cm 2
!
(118)
X
x
La longitud total
l de los entrehierros en serie con el camino del flujo magnético es: 0
= 1,88X 10Wb. o sea, 1 880 Mx. s
=la 0,010 pu lg , o sea, 0,0254 cm
(119)
El área de la sección recta equivalente A del entrehierro se determina a partir de la dispersión de las líneas de fuerza. Para tener en cuenta la dispersión, puede suponerse que cada entrehierro tiene unas dimensiones de la sección recta eficaz superiores en la longitud del entrehierro a las dimensiones del acero *. Aun cuando en este ejemplo esta corre cción no afectar á al área en un a cant idad suficientemente grande como para s er apreciable numéricamente, incluiremos dicha corrección para que sea completo el estu dio que se re aliza. Así pues, el área equivalente del entrehierro de la ram a exterior es: a
A = (0,25 + 0,005)(0,5 + 0,005) a
= 0,129 pulg , o sea, 0,83 cm» 2
*
Véase la ecuación (3), del capítulo III.
(120)
(12
Para un factor de apilamiento de 0,94, el área total del acero en la rama central, q transporta el flujo total, es 0,94 X 0,500 X 0,500 = 0,235 p u lg ' = 1,52 c m '
(12
Luego la componente alterna de la inducción magnética en el acero es:
B
max
= l?
- = 1 240 G. 1,52
(12
8 0
De la figura 26 resulta que lapermeabilidad incremental relativa ficalnt correspondien a un H de 0,55 Oe y una B de 1240 G es , aproximad amen te, de 2 000. Lu ego , en un dades Giorgi racionalizadas, cc
max
= 2 000 X 4* X 10-' Hea
(12
198
CIRCUITOS
EXCITACIÓN
MAGNÉTICOS
POR
CORRIENTE
ALTERNA
Kste tlujo atr avi esa ."> 000 espiras; l uego el coeficiente de auto inducc ión es:
y en unidades Giorgi sin racionalizar, = Hca2 000 x 10"'
(126bis)
L = -f-
•(13
a
Para calcular el coeficiente de autoinducción aparente se determinan los flujos incre méntales por ampere que atraviesan la bobina, calculando previamente la reluctancia del circuito magnético. Como el plano ua de la figura 28 divide al circuito magnético en dos partes iguales puestas en paralelo, la reluctancia es la mitad del valor de una de esas dos partes. Ex pres and o todas las cantidades en unida des Giorgi, el coef iciente de auto inducción vendrá dado en henry. La reluctancia R de la parte de acero del camino en cada mitad de la bobina es s
Rs =
< > 12 7
l'caA s
y sustituyendo los valores de l y A (ec. 117 y 118) convertirlos al sistema Giorgi no racionalizado, se tiene: 0,112 .Ti, = 2 000x 10"' X 0,76 y 10 s
s
1
0,74 X unidades 10 Giorgi no relacionada s.
(128 )
7
en el sistema Giorgi racionalizado, el valor sería este dividido porin. Como en los cálculos anteriores, los entrehierros de cada mitad del circuito magné tico se consideran equivalentes a un solo entrehierro cuya longitudl viene dada por la ecuación (119) y cuya área A„ vien e dad a por la ecuación (120). Po r tanto , la reluc tanci a de los entrehierrosen cada mitad del circuito magnético es: a
l fi A
0,0254x 10
a
0
10-'
a
x
0,83 x
X = 3,06 10' unidades
Giorgi
2
10
4
no raciona lizadas.
(129)
La reluctancia eficaz de cada mitad del circuito magnético es la suma délas ecuaciones (128) y (129), y la reluctancia combinada de las dos mitades en paralelo es: R
=
0,74 + 3,06
x
1 ( ) 7
X = 1,90 10' unidades
Giorgi
no raciona lizadas .
(130 )
El coeficiente do autoinducción aparente L en henry es elfiujoque atraviesa la bobina debido a cada ampere do intensidad de la corriente que circula por ella. Un ampere en la bobin a crea un a fuerza m agnetom otriz do 5 000 ampero-es pira (que en el sistema Giorgi no racionalizado sería 4JT x 5 00 0 u. g.). La re luctan cia dada por la ecuación (129), para expresarla en el sistema Giorgi racionalizado basta dividirla por 4TI. Por tanto, el flujo creado por la fuerza magnetomotriz de 5 0 00 ampero-espir a es: a
á = r
- °° 1,90 x 10'
4 7 1
X
5
0
0,00330 Wb .
resultado que coinc ide con el que se obtendría emplea
(131)
ndo las magnitu des expresadas
en el sistema sin racionalizar, pues en él, la fuerza magnetomotriz vale 4.T X 5 000.
- 5 000 x 0,0.0330:. -= 16,5 H,
(13 que es el resultado buscado. Obsérvese que la determinación de H a part ir de la cur va de imanación norm a y por tanto, los valores do ¡i y Ií , no son de gran precisión. No obstante, el termin correspondiente al acero sólo constituye un 2 0 % de la reluctan cia total ; por tant el resultado total es mucho más preciso que el valor de la reluctancia del acero. En re lidad, los datos más inciertos do estos cálculos son probablemente las longitudes do lo entrehierros, las cuales no pueden conocerse con la misma precisión que los demás dato En estos cálculos no suelo sor necesaria una gran precisión, admitiéndose siempre u error comprendido entro el 5 y el 10 %. cc
ca
s
El ejemplo anterior ilustra el cálculo del funcionamiento de una bobina deter minada. En la práctica, el problema más corriente es el de diseñar la bobina má pequeña o más económica que tenga unas características prefijadas. Ello entrañ la selección de la mejor forma y tamaño del núcleo que pueda construirse con lámina troqueladas con los troqueles de que se dispone, y la determinación del entrehierr óptimo. En general, el diseño de tales bobinas lleva consigo cálculos del tipo ante riormente presentado, junto con extensiones o generalizaciones para determinar lo efectos que aparecerían sobre el funcionamiento al variar las dimensiones de la bobin La teoría de modelos que se presenta brevemente en el capítulo V I I suele ser mu útil para dicho diseño. PROBLEMAS 1. .So ajusta una corriente d e excitació n sinusoidal aplic ada a un devana do de u transformador con núcleo de hierro do manera (pie la inducción magnética máxima e el núcleo sea de 10000 G. En la tabla siguiente so consig nan datos correspondi entes la mitad superior del ciclo simétrico de histeresis pura dicha inducción magnética máxim
— gai mu
H -
(1 2.000 4.000 6.00(1 7.000 8.000 9.000 10.000 9.500 9.000 8.000 7.000 (1.000 4.000 2.000 0
+
oersted
0,00 -j- 0,05 -f 0,73 -;- 0,92 - i - 1,07 -;- 1,30 4- 1,70 -!- 2,43 t- 1,00 + 0,53 4- 0,03 0,23 0,37 0,50 0,57 -- 0,60
Supónganse despreciaUleb las corrientes de Foucault y los efectos de las juntas exis tentes en el circuito magnético.
200
CIRCUITOS
a) Repres entar gráficamente escalas:
EXCITACIÓN
MAGNÉTICOS
la forma de
onda del flujo.
Se sugiere las siguientes
1000 gauss por cm 0,5 oersted por cm 15° por cm
b) Repre senta r gráficamente la torma de onda de la tensión ind uci da. 2. A un devanado del transformador del problema 1, se aplica una ten sión sinusoi dal que crea una inducción magnética máxima de 10000 G. Dibujar el ciclo B(H) resul tante cuando la intensidad eficaz de la componente de la corriente de pérdida por co rrientes de Foucault de la corriente de excitación es el 10 % de la intensidad eficaz total de la c orrie nte, de excitación. 3. Ha lla r las admitancia s de excitaci ón Iy/E, para el transformador del problema 1, par a las siguientes condi ciones : 1.°, inducción magnética máxima 10 000 G, tensión ap li cada de laforma: e = Eynax sen coi — 0,3E sen 3co£, 2.°, inducción magnética máxima 10 000 G, tensión apli cada de la form a: e E^x = sen tai. 4. Si la t ensión ind uci da en una bobi na es de la form E asen coi + kE sen 3coí, ¿qué valor máximo puede tener k para que el ciclo de histeresis no presente lacitos se cundario s ¿ a) Si A; es posi tivo ? b) si k es negativo ? 5. Un transfor mador para 240 V, 60 Hz se conec ta a un generado r sinusoi dal de 240 V, 60 Hz a través de una línea de resis tencia 1 0 ohm. E ntr e los terminales del t rans formador se conecta un condensador variable en la forma indicada en la figura 30. Cuando el transformador funciona en vacío, la inten sidad eficaz que indica el amperímetro A resulta ser mínima cuando se ajusta el con densador a una capacidad de 21 fxF. En tal caso, la intensidad eficaz es de 0,60 A y un F io . 30. Conexió n del transformador del regi stro oscilográfico ind ic a que su con teni do problema 5. de armóni cos es: imax
x
x
i= 1 ,- ^2 ( 00 8 coi — 2,57 sen 3coí + 0,19 eos 3cuí + 0,69 sen 5coí)
(134)
si la tensión del generador está expresada por e =
Ey/
2 eostot.
(135)
POR
CORRIENTE
20
2
El ensayo para la aceptación del transformador de repuesto de 60 Hz, ha dado lo siguientes datos de funcionamiento en vacío: Tensión = 2400 V aplicada al devanado de baja tensión. Intensidad de la corriente de excitación en el devanado de baj a tensión = 11,3 A. Pérdida en el núcleo = 7,15 kW . Frecuencia = 60 Hz. Los valores del tercer armónico de la corriente de excitación, expresados en tant por ciento del valor eficaz de la corriente de excitación total, para diferentes valores d la inducción magnética máxima, son los siguientes consignados en la tabla:
Bmax (kMx/pulg ) a
% del tercer armónico
65 29,5
70 33,1
75 36,9
80 41,0
85 45,
7. Un transforma dor monofásico par a 660 0 V 60 Hz tiene un núcleo lam ina do d acero con 4,25 % de silicio (para el cual las características magnéticas son las consignada en las figuras 19, 20 y 21), siendo el factor de apilamiento igual a 0,90. El área de la sec ción recta del núcleo es aproximadamente igual a 35 pulg», la longitud media es 88 pulg y hay cuatro juntas solapadas. Cada una de ellas debe considerarse que requiere die veces más ampere-espiras reactivos que los requeridos por pulgada de núcleo. Si el transformador debe trabajar a la tensión y frecuencia características y con un inducción magnética máxima de 70 kMx/pulg : a) ¿Cuántas espiras debe contener el devan ado de 6600 V? b) i Qué inten sida d eficaz rea ctiv a exige el núcleo? c) ¿Cuál será la inte nsida d de pérdida en el núcleo ? d) ¿Cuál será la intensidad total en vacío? e) ¿Qué intensidad eficaz de la corriente en vacío consumiría el transformador s se insertara en el núcleo un entrehierro de longitud 0,2 pulg? La forma de onda de l corriente en vacío sin entrehierro es J
i = I\max [sen coi - -f0,35 sen (3coí )+ a+ 0,05 sen (5co í + a ,) . 3
Despreciando la resistencia del devanado del transformador, hallar: La forma de onda de la t ensión induc ida en el transformador, La intensidad e ficaz de la corriente suminis trada po r el generador expresada como tanto por ciento de la intensidad eficaz de la corriente de excitación del transformador. 6. En una regi ón en que dos distri bucio nes de potenc ia de frecuencias 50 Hz y 60 H z, alimentan zonas adyacentes, una tormenta avería un transformador de potencia de 1000 k V A para 1100 0 : 220 0 V, 50 Hz . Es te transformador se sustituye temporalmente por otro de repuesto prestado por el sistema de distribución de 60 Hz y cuyas característi cas son: 1000 kV A, 12000 : 2400 V, 60 H z . Surg e la cuestión de si los terceros armónicos de la corriente de excitación ocasionarán interferencia inductiva en un circuito tele fónico adyacente a la línea de transmisión de 11000 V, 50 Hz que alimentaría el pri mario del transformador de recambio. Como primera etapa en la resolución de este problema, determinar el valor eficaz del tercer armónico de la corriente de excitación en la línea de 11000 V, 50 Hz , cuando se util iza la unid ad de 60 Hz en el sistema de 50 H z .
a) b)
ALTERNA
Se dispone de los siguientes datos referentes a la constitución del transformado de reserva para 60 H z: Número de espiras del devanado de alta tensión = 400. Número de espiras del devanado de baja tensión = 80. Material del núcleo: acero con un 4,25 % de silicio (sus características son la de las figuras 19, 20 y 21). Ar ea de la secc ión re ct a de l núc leo = 1 7 2 pu . lg Factor de apilamiento = 0,90.
(136)
8. Se qu iere construir una bobina para 115 V q ue tenga una reactancia de 10 0 ohm a 60 Hz con una pérdida no superior a 22 W. Se dispone de láminas troqueladas de las di mensiones indicadas en la figur a 31. El ma 2" terial es acero al silicio de característics igua les a las dadas por las figuras 19, 20 y 21. Lám inas Determinar las dimensiones del núcleo y galga 29 el número de espiras que habría que utili zar para reunir los requisitos. Formúlense hipótesis apropiadas referentes al factor de apilamiento y a la fuerza ma gnetomotriz I— 2"requerida por las juntas. Desprecíese la pér F ia . 31. Lámina troquelada, Problema 8. dida en el cobre.
CIRCUITOS
202
EXCITACIÓN
MAGNÉTICOS
9. Un a bobina de choke consta de 1 000 espiras de hilo núm. 16, devanadas sobr e un núcleo de acero al silicio 4,25 % cuyas dimensiones son las indicadas en la figura 32. Sus características m agnéticas son las representadas en las figuras 19, 20 y 21. 7 * Supóngase que la longitud media por -0 03" espira es de 15 pulgadas y que la resis t tencia efectiva del hilo es 1,01 veces su 2" resistencia a la corriente continua. 1 Calcular un circuito equivalente de la Altur a pila - 2 pulí 6' Facio r de apil amient o = 0.90 forma indicada en la figura 24rZ:
POR
CORRIENTE
ALTERNA
20
11. En la figura 33, puede verse la sección recta de un núcleo lami nado para bobin construido con acero al silicio del 3,6 %, galga 29. Los datos magnéticos son los de la figuras 26 y 29. C on este núcleo hay que diseñar una bo bina que ha de utilizarse en u
;
«—2-"—-
Laminas nalga 2»)
Altura pila = 1 pulii.
a) Par a una ten sión aplica da de 900 V, 60 Hz
Factor de apilamiento = 0.90 Núcleo constituido por láminas troqueladas en L. intfrfoliadas
b) Pa ra una tens ión aplica da de F ie . 32.
Láiiiinn troquelada. Problema 9.
450 V, 60 H z .
10 La s tablas siguientes corresponden a un transform ador monofásico de 10 kV A 2400 : 240 V, 60 Hz . La resistencia efectiva del devanado de 240 V a 60 Hz , es aprox i madamente igual a 0,05 olim. A
SU
Fi o. 33.
Núcleo de la bobina del problema 11.
TE NSION CARACTE RISTICA
Frecuencia, Hz
Corriente excitación,
de A
Pérdida en
núcleo,
el
W
filtro rectificador de poca potencia. La intensidad máxima de efica trans portarpara la bobina es 60 mA. La tensión alterna aplicada continua a la bobina tieneque un ha valor de 140 V y una frecuencia de 120 Hz . a) ¿Cuál es el mínimo número de espiras que hay que emplear para lograr un autoinducción no inferior a 2 H cuando I = 60 ni A? 6) ¿Cuál serí a el coeficiente de autoin ducción de la bobi na cuando I =15 in si estuviera devanada con el número de espiras calculado en el apartado a)1 cc
71,0 54,5 50,0 47,3
4,32 1,63 1,27 1,16
40 50 60 70
cc
Entrehierro ajustable
A
SU
F R E C UE N CIA CARACTE RISTICA
Tensión entre /erminales, 1 180 220 260 300
Corriente excitación,
de A
1,02 1,16 1,45 1,90
21
J Pérdida en el j núcleo, W
1 i
32,0 44,5 61,0 78,5
a) De term inar los parámetros de circuitos equivalent es de l os tipos de la s figuras 24 c y 24d, a partir de los datos consignados en las tablas anteriores. b) A partir d e los circuitos equivalentes hallados en el apartado a), mant eniend o constantes los parámetros, trazar las cu rvas de la pérdida en el núcleo y de la corriente magnetizante en función de la tensión y do la frecuencia. Comparar estas curvas con las curvas trazadas a partir de los datos srcinales.
Numero de espiras ^= 4000 Factor de apilamiento = 0.92 Altu ra pi la = 3 /4 pulg
Fi o. 34.
-1; Bo bina con entrehierro ajustable, Problema 12
12. Se construye una bobina especial para laboratorio con entrehierro variab le del tipo indicado en la figura 34. Los datos magnéticos son los consignados en las figura 26 y 29. o) ¿A qué longitud habrá que ajustar el entrehierro para lograr la tensión, intensi dad de corriente y autoinducción del problema lia? 6) ¿Cuál sera el coeficiente de autoinduc ción de la bobina , con el entrehierro ajus tado en la forma obtenida en el apartado a), para la tensión e intensidad especificadas e el problema 116?
C AP
IT
U LO
VII
MODELOS
Y
DISEÑO
DE
BOBINAS
2
Aso = área de la sección recta del material magnético en cualquier sección co veniente del núcleo ¿JO =• long itu d media del camino del f lujo, = número de espiras del devanado, R = resistencia del devanado, V = tensión eficaz aplicada, I = intensidad eficaz de la corriente, P = potencia media absorbida por la bobina.
Teoría de modelos y diseño de bobinas con núcleo de hierro
0
Q
0
0
Como los materiales magnéticos de los núcleos carecen de linealidad en sus pro piedades, la manera más fácil de determinar las características de los aparatos que los contienen suele ser la determinación experimental. El análisis, aun siendo valio sísimo, es en gran parte empírico y por tanto deberá verificarse mediante datos experimentales verdaderos. Sin embargo, utilizando la teoría de modelos, los datos experimentales obtenidos de un prototipo pueden aplicarse rigurosamente a todos los tipos semejantes geométricamente, independientemente de su tamaño, con tal que se observen ciertas condiciones de semejanza. Este concepto es muy importante y se aplica a todos los sistemas no lineales en general, aun cuando aquí sólo se consi derará su aplicación a aparatos que contienen núcleos de hierro. Podemos decir que la condición fundamental de semejanza eléctrica entre dos
A pa rt ir de est os val or es me di os , pu ed en cal cu la rs e las sig uie nte s can ti da de s: Zo tt
= impedancia aparente de la bobina (
h
eos Bao = factor de potencia aparente (
R o = resistencia aparente
bobinas (u otros dos aparatos) de igual forma pero diferente tamaño es que los valores de las variables que caracterizan ei estado del medio no lineal deben ser los mismos para puntos correspondientes de las dos bobinas. En otras palabras, si se realizan representaciones tridimensionales de los campos en el interior y en las proximidades de dos bobinas semejantes, y luego se reduce o amplía una representación hasta alcan zar el tamaño de la otra, ambas deberán coincidir. Considerando algunos ejemplos específicos se aclarará esta idea.
a
p =
Z
a 0
eos
d
a0
^(
= —
Xao = reactancia aparente
= Z se n Sao = V X ó--R?o 2
a0
1. RELACIO
NES
GENE
RALE
L
S
Consideremos, en primer lugar, una bobina cuyas características se conozcan B en una parte del núcleo. En el estudio que en función de la inducción magnética vamos a realizar, a esta bobina se le llamará prototipo. Para mayor sencillez, la tensión aplicada y la inducción magnética se supondrán de forma de onda sinusoidal y de frecuencia constante. En todo el análisis supondremos que la frecuencia es suficien temente baja para poder despreciar los efectos de las capacidades distribuidas del devanado. Esta hipótesis se hace para simplificar el estudio y fijar la atención en los principales puntos del argumento, cuales son los principios generales de la teoría de modelos apücados a dispositivos no lineales. Sin embargo, el lector puede comprender que los efectos de las capacidades pueden hacerse muy importantes a frecuencias elevadas y que el análisis que se presenta en este capítulo debe extenderse para incluir los efectos capacitivos cuando se aplique la teoría de modelos a problemas de alta frecuencia. Supongamos que los valores indicados a continuación con el subíndice 0 han sido observados en la bobina prototipo. Puede utilizarse cualquier sistema compatible de unidades no racionalizadas. 204
a
0
= coeficiente de autoinducción aparente •(5)
Xo a
Muchas aplicaciones de por la resistencia sea y puede considerársele autoinducción deseada tipo es
las bobinas exigen que el cociente de la reactancia partid grande. Este cociente suele representarse por el símbolo Q, a l como un factor de calidad. En una bobina de alta se asocia una pérdida pequeña. La Q de la bobina proto
Q
XQ a
O) Lían
donde.
Too = * — const ante de tie mpo . Para estudiar los efectos de los cambios en el diseño deberán separarse los efectos del núcleo de los del devanado. En el apartado 13 del capítulo VI se ha visto que la
(7
206
CIRCUITOS
MAGNÉTICOS
MODELOS Y DISEÑO DE BOBINAS
lio-bina, puede representarse por un circuito equivalente que comprende la resistencia del devanado en combinación con un montaje serie o paralelo de una resistencia y una autoinducción, tal como se indica en la figura 1. En estos circuitos,
del núcleo vistos desde el devanado —y que de ahora en adelante llamaremos ad tancia vectorial del núcleo— es: = admitancia vectorial del núcleo
E = tensión eficaz inducida por el flujo. 9
~ í7<-o jb + m0
Las r elacione s entre los parámetros de los circ ras \a y 16, son:
uitos equ ivale ntes de las fi
Z a = impedancia vectorial del núcleo r
1 =
|.'n¡. I.
no = resistencia equivalente serie de la pérdida en el núc —- pa rt e re al de Z, ,
Circuitos equivalentes para una bobina om mí1<"I<;. 2. Dia grama vectoria l rico de bierro. para una bobin a con núcleo de hierro.
(
—
K
= V
0
- I
0
*
0
.
2
(8)
La pérdida en el núcleo puede determinarse a partir de la potencia de entrada me dida: así. Pea = pérdida en el núcleo - P -/gtf 0
0
.
~~ a
Kn la figura 2 puede verso el diagrama vectorial, del cual resulta la ecuación vectorial 0
T ^T
J-
6
2
'
( 1
Obsérvese que r wo e-i igual a 1 /g <¡. X o = reactancia equivalente serie c0
c
a
= parte imaginaria de
7^
— 6„,o
(9)
:/
La intensidad puede descomponerse en sus componentes de pérdida en el núcleo y magnet izan te y los parámetros del circ uit o equiva lent e de la figura la pueden determinarse de la siguiente manera:
Las condiciones magnéticas en el núcleo son las siguientes: /„ = valor eficaz del flujo alterno que atraviesa toda la bobina
T = componente de pérdida en el núcleo de la intensidad r0
PcO
(LO)
" ' ¿'o í7 = conductancia de pérdida en el núcleo (0
Ico
Peo
(1
ID
<¡>o = valor eficaz del flujo alterno a través de cada espira -
A
(1
(11)
B = v alor eficaz de la inducción magnética en n
la sección recta de ár ea
T,, ~ componente magnetizante de la intensidad m
•
\/|í
'%
12
•(2
-ha
E = valor eficaz de ia fuerza magnetomotriz
0
ImO
- T-
<)
6„, s~ susceptancia magnetizante
u
(13)
1 T.V.,/„„,
(
//,, = valor eficaz de la fuerza magnetomotriz por unidad de longitud líl signo negativo de la ecuación (13) indica que b„n es una susceptancia inductiva. Kn la figura \a, la admitancia vectorial del circuito paralelo que representa los efectos
• '-'
CIRCUITOS
208
MAGNÉTICOS
MODELOS
Las ecuaciones (19) y (20) suponen que todo el flujo se halla canalizado por el núcleo A*>. y que la inducción magnética es uniforme en toda la sección recta de área Si el flujo se hallara totalmente confinado en el núcleo y la inducción magnética fuera constante en todas las secciones, en todos los puntos la inducción magnética 3ería H . No obstante, aun cuando igual a B , y la intensidad del campo magnético sería la inducción magnética varíe de un punto a otro, las condiciones magnéticas en el B media en una núcleo se pueden especificar por completo en función de una H medio, y por tanto el siguiente análisis sección conveniente cualquiera y un incluye los efectos de las fugas magnéticas y es aplicable a núcleos de forma arbi 0
Y
DISEÑO
DE
BOBINAS
Para la misma pérdida en el núcleo
Pcl PcO E aE Icl Ico F ^^ Err - ¿ ia*E
Ico a
la == —^-^r- = — x
0
!7el=
0
=
x
=
00
(
ffeo
(3
a*
=
0
0
traria.
Para la misma fuerza magnetomotriz pero un número de espiras
• A par tir de los resultados obtenidos en el pro totip o (Ees. 1-22), puede prede cirse el funcionamiento de cualquier bobina semejante geométricamente al prototipo para condiciones de funcion amient o que den las mismas condic iones magnética s en puntos correspondientes. ^
a Iml
a*E
x
0
(3 Y e
n
CAMBIO S EN
a* '
Luego, la admitancia vectorial del núcleo es:
Y = g i + jb EFE CTO S DE LOS
(3
°i*0
ImO
E
En los apartados siguientes se ilustran varias aplicaciones de estos principios.
2.
a veces mayor,
ImO
Iml —
= - ~ .
mi
(3
EL DEVA NADO
Luego, la impedancia del núoleo es:
Consideremos a continuación una bo bina co n un núcleo igual al del prot otipo y una bobina de igual peso y distribución geométrica, pero cuyo número de espiras sea a veces mayor, con lo que se precisará, naturalmente, un hilo más fino. La nueva bobina debe funcionar a la misma frecuencia que el prototipo. Aun cuando en el estudio que se realiza a continuación se desprecian las capacidades de las espiras, sus efectos pueden ser importantes. Un aumento del número de espiras lleva consigo aumentos de la autoinducción y de las capacidades, y por tanto se disminuye la frecuencia a la cual se hacen importa ntes los efe ctos capacitiv os. A un cuand o en el prototipo puedan carecer de importancia los efectos capacitivos, podrán tenerla en la nueva bobina a la misma frecuencia si las espiras son mayores que las del proto tipo. Designando con el subíndice 1 a los valores correspondientes a la nueva bobina, por semejanza •(23)
H
=
1
•(24)
H
0
y como los núcleos son iguales
(25)
F
(26)
1
Pero
F
=
0
(27)
Pcl = PcON
=
r
aN , 0
Z*i = a»Z*>
(3
y sus componentes serie resistencia y reactancia son:
r X i = a'Xao.
= aVeo
(3
cí
•(3
a
Para el mismo peso de cobre e iguales disposiciones geométricas y factores espacial de los devanados, el nuevo devanado tiene una longitud de hilo a veces" mayor, bien su sección recta deberá ser l/a del área de la sección recta del hilo del prototip Por tanto, la resistencia del devanado de la nueva bobina es:
R = o»JB. 1
(3
0
Según la figura 16, la resistencia aparente es la suma de xa resistencia del devana mas la resistencia serie de pérdida en el núcleo, luego,
R.i = Bi + r = a*(B + r#) = a*B«. cl
0
^(4
De las ecuaciones (38) y (40), el factor de calidadQ, de la nueva bobina es: x
(28)
y por tanto, para el mismo flujo,
X = oA r
E
x
(29)
0
— aE . 0
•(30)
a veces mayor, tiene una reactar ú • Así, la bobin a cuyo número de espira s sea Q, de aparente o* veces mayor que la resistencia aparente. No obstante, la razón reactancias la resistencia, es la misma que en el prototipo.^
CIRCUITOS
210
MODELOS Y DISEÑO DE BOBINAS
MAGNÉTICOS
v como la longit ud medi a del camino del flujo en la prototipo, F, = kF .
Como tanto las componentes de pérdida en el núcleo y magnetizante de la corriente son ambas 1 ¡a de los valores en el prototipo, la 'intensidad de la corriente en la nueva bobina es: = -°.
L
• t
a
1
nueva bo bina, es k veces la
0
4 2
)
La pérdida en el cobre en el devanado de la nueva bobina es:
W 4sí p ara una distribución geométrica fija del devanado y un peso constan te del cobre, la pérdida por efecto Joule en el devanado es independiente del número de espiras mientras no se alteren las condiciones magnéticas en el núcleo. ^
La ecuación (48) supone que la fuerza magnetomotriz requerida por las juntas e núcleo es prop orc ion al a las dimens iones lin eales —hipótesis que puede ser erróne Por tanto, la ecuación (48) puede no ser precisa si son importantes las juntas. volumen del núcleo de la nueva bobina es F veces mayor que el del prototipo y tanto, para la misma frecuencia, inducción magnética y espesor de las lámi
En la ecuación (49) se desprecian los efectos de las variaciones de presión de ap miento, corrientes de Foucault entre láminas y otras variables más o menos in terminadas. El número de espiras en una y otra bobina es el mismo, o sea,
La caída óhmica en el devanado de la nueva bobina es:
N = N, 2
7 i f = -° a^ a 1
1
0
= a/ iZ 0
0
(44)
0
k <¡) , el flujo total que atraviesa la bobina es:
y por tanto, para un flujo
2
n
x
1
y la tensión inducida es:
n
•(
: k*E. n
De las ecuaciones (49) y (52),
k*Po = kl
4 5
0
(
kX 2
Por la ecuación (30), la tensión inducida E es igual a » £ „ y por tanto la ten sión aplicada, que. es igual a la suma vectorial de la tensión inducida y de la caída ohmica en el devanado, es •í ) V = aV .
c
c0
Así pa ra las con di ci one s de se me ja nz a (Ee s. 23 y 24), la nu ev a bo bi na deb erá a veces mayor que la del prototipo. La intensidad funcionar a una tensión aplicada do la corriente en la nueva bobina es l/o de la intensidad en el prototipo, siendo igua les en ambas bobinas la potencia y los vot-ampere.^
kI o k*E
J7í0
c
9V2 =
(
y
0
Para una fuerza magnetomotriz kF y el mismo número de espiras, la corrie magnetizante en la nueva bobina tiene una intensidad 0
3.
EF EC TOS
DE
LOS
CAMBIOS
EN
LAS
DIME NSIONES
LI NEA LE S
/ „, =
Como segunda modificación, consideremos una bobina que tenga el mismo número do espiras que el prototipo, pero que tenga todas las dimensiones lineales salvo el k veces mayores que las del pro espesor de las láminas (que permanece inalterado) totipo. La nueva bobina debe funcionar a la misma frecuencia que el prototipo. Si so designan por el subíndice 2 los nuevos valores, por semejanza,
B
2
=
t
0
0
Com o el área de' la sección recta del núcleo de la nuev que la del prototipo,
= b—
- —
m2
-
Por tanto, la admitancia vectorial del núcleo es:
B
H = H
•
y la suseeptancia magnetizante es:
•
(«)
a bobi na es
Y
k veces mayor 2
la impedancia del núcleo es:
f
2
= e/e» jb +
m2
=
~ k
CIRCUITOS
212
MAGNÉTICOS
MODELOS Y DISEÑO DE BOBINAS
y sus componentes resistiva y reactiva son:
r
= Icrco
£ 2
(59)
X = kXao.
•(60)
ai
Para distribuciones geométricas semejantes e iguales factores espaciales, el nuevo devanado tiene un hilo ifc veces más largo, pero el área de la sección recta del hilo del nuevo devanado es ¡fc veces el área de la sección recta del hilo del prototipo. Por tanto, la resistencia del devanado de la nueva bobina es: s
^= ^- kR• = 4 -0R. ~¥
(61)
n
La resistencia aparente es:
R R 2 = R + r = -¿ + kr . 2
tt
El factor de calidad
c2
^(62)
cü
1c
Q de la nueva bobina es: a2
X i= = -¡j— Qai
kX o
a
~r> XaO
a
p
=
k./A3N K )
•
6 3
En la bobina k veces mayo r existen diferencias fundamentales respecto al proto tipo. El factor de calidad es más elevado para k mayor que la unidad. • Así, si se hace ma yo r la bobin a, podrá incr ementa rse la
a
Obsérvese, sin embargo, que Q se incrementa solamente a causa de la reduc ción de resistencia del devanado; o sea, a
R
'
=
¡a^L.
2
R
(64) 0
El cociente de dividir la reactancia por la resistencia serie de pérdida en el núcleo es el mismo que en el prototipo; o sea,
Xa2 r
kXa kr
ei
c0
• (65)
ro c
• En consecuencia, existe una limitación definida al incremento de únicamente al aum ento d e tamaño. ^
3
Resu miend o a grandes ras gos las variaciones producidas en bobinas semejan resulta que al variar el número de espiras (manteniendo constante el peso del dev nado) sólo varían la resistencia y la inductancia sin que varíe su cociente. En camb al variar el tamaño varía la constante de tiempo. Si se desea una variación de co tant e de tiem po sin que varíe la autoinducci ón, se fija la constante de tiempo vari el tamaño y a continuación una variación adecuada del número de espiras dará autoinducción deseada. Estas dos variaciones, de número de espiras y de tamaño, son las únicas que pu den realizarse manteniendo la bobina geométricamente semejante al prototip No obstante, se podrá calcular con bastante precisión el efecto de variaciones demasiado grandes en la altura de la pila de láminas del núcleo modificando l principios anteriores. En el análisis anterior no se ha hecho mención a ninguna excitación contin superpuesta. S in embargo, si se mantiene el campo magnético continuo al valor d prototipo, al igual que se mantiene el campo magnético alterno, los cambios número de espiras o de tamaño no alteran las condiciones en el material del núcl y se aplican las mismas relaciones de semejanza. 4.
Q de una bobina de
forma fija.^
Y
• Así, par a el func iona mie nto a la mis ma fre cuenci a e inducción magnét ica volt-ampere reactivos necesarios para excitar la bobina k veces mayor es igu a P veces los volt-ampere requeridos por el prototipo. En cierto modo, pues «potencia característica» de la bobina k veces mayor es k veces mayor que la prototi po. ^
Q debido a
De las ecuaciones (52) y (55)
CONSIDERACIONES
•(66)
an
ENEBGÉTIOAS
El estudio de los apartados anteriores se basa en la teoría de circuitos de l bobi nas con núcleo de hierr o; es decir, se consid era la bobi na como un cir cuit o ma nético eslabonado con un circuito eléctrico. La teoría de la bobina puede tambié desarrollarse basándose en la teoría del campo, considerando la bobina como u campo magnético eslabonado con un campo eléctrico. Los fenómenos principal asociados al campo magnético, la mayor parte del cual se halla confinado en núcleo, son la acumulación de energía y la conversión de energía en calor srcinad por las pérdidas en el núcleo. El c irc uit o eléctrico tiene asocia dos fenómenos análog debidos a la corrie nte y a la tensión en el devana do. A u n cuando la e nergía acu mul ad en el campo eléctrico (en las capacidades distribuidas entre espiras) pueden ser mu imp orta ntes a frecuencia s elevadas, en el estudio que sigue a continuación se despre ci porque en él tratar emos prin cipa lment e de los fen ómenos asociados al núcleo ma nético. Los campos eléctrico y magnético se relacionan mediante la ecuación de l fuerza magnetomotriz, la ecuación de la tensión inducida y las dimensiones y pr piedades de los materiales del núcleo y devanados. Muchas de las características importantes de una bobina con núcleo de hierr se pueden deducir en función de la densidad de energía acumulada en el camp magnético, de la densidad de pérdida del núcleo, de la densidad de pérdida en cobre y de los volúmenes del núcleo y devanados. Este concepto es especialment útil como base para el diseño no sólo de bobinas con núcleo de hierro, sino tambié
M
EJ = WEoI^.
t
de la mayoría de aparatos electromagnéticos, ya que pueden realizarse amplias gen
214
CIRCUITOS
MAGNÉTICOS
MODELOS
ralizacion.es sin más que considerar las masas de los materiales que intervienen y las inducciones magnéticas y densidades de corriente a las que se hacen funcionar. A fi n de si mp li fi ca r la ex pos ic ió n de ma ne ra que los pu nt os im po rt an te s des taquen con toda claridad, en el estudio que sigue se desprecia la falta de linealidad de las características magnéticas del hierro. Es decir, se supone constante la per meabilidad del núcleo, con lo que el coeficiente de autoinducción queda constante y la forma de onda de la corriente de excitación para un flujo sinusoidal, es tam bién sinusoidal. También se supone que el flujo se halla confinado totalmente en el núcleo y que éste tiene unas proporciones tales que en todo el hierro se tenga la misma inducción magnética. A pesar de estas hipótesis, sin embargo, resultará evidente que los prin cipal es resultados serán aplicables a bobinas con núcleo de hierro de forma cualquiera, y que cuando tengan importancia las fugas magnéticas y la no linealidad, sus efectos podrán determinarse a partir de medidas realizadas en un modelo. Ademas de los símbolos ya definidos, sean
J
= valor eficaz de la densidad de corriente en el devanado resistividad del cobre del devanado permeabilidad del núcleo de acero
Q n,
A cu
Y
DISEÑO
DE
• La potencia r eact iva abs orbid a por una autoind ucción constante es, pues, igu al producto de 2a> por la energía magnética media acumulada. Este concepto 2a naturaleza física de la potencia reactiva en un circuito inductivo, resulta m útil.^ En el apartado 5 del capítulo IV se vio que la energía acumulada en un cam magnético por unidad do volumen es (empleando un sistema de unidades no raci nalizado) W/STI/J, donde 6 es el valor instantáneo de la inducción magnética y (supuesta constante) es la permeabilidad del medio en que existe el campo. Si inducción magnética es alterna, la energía media acumulada por unidad de volumen e
b
valor medio de
Pero el valor medio de
b es el cuadrado de su valor eficaz. Por tanto, 2
B
meá
2
« W =
Como la principal misión de una bobina es absorber potencia reactiva, para poder comprender claramente los fenómenos asociados al comportamiento de las bobinas con núcleo de hierro habrá que conocer la naturaleza física de la potencia reactiva. En loa tratados de Electricidad se demuestra que «la potencia reactiva puede interpretarse físicamente como la amplitud de la oscilación de la potencia resultante de la componente de la intensidad de corriente que está en cuadratura con la tensión», Como esta oscilación de la potencia se debe al intercambio de ener gía entre el generador y el campo magnético, se deduce que la potencia reactiva está asociada con la energía magnética almacenada. La relación puede deducirse del hecho conocido de que la energía acumulada en una autoinducción constante L i. Con una corriente es \Li cuando la üitensidad instantánea de la corriente es alterna permanente, la energía acumulada varía cíclicamente entre cero y un valor máximo. El valor medio de la energía almacenada es
(7
donde B es la inducción magnética eficaz. As í, si se pr es ci nd e de la s fug as mag nét ic as, si se su pon e que la ind uc ci ón ma nética es la misma en todas las partes del núcleo y si se supone constante la pe meabilidad del núcleo, la energía media acumulada en el campo magnético de un bobina es
W^i = w^a-Y, =
Y,.
De las ecuaciones (6 9) y (72 ) resu lta que la potencia r bobina con núcleo de hierro puede expresarse en la forma,
PX = 2a>W - = 2a>w Y , a
mea
med
(73
s
2
=
\LP,
a
InfB por consiguiente,
t es el cuadrado de la intensidad eficaz, y en consecuencia,
Wned
donde X es la reactancia aparente. Pero, de la ecuación (71),
(67)
(68)
2
fB
^ (72
eact iva abs orbida p or un
2
Pero el valor medio de
2
8^
w
Wmej = \L X (valor medio de t»)
>.(6
PX la potencia reactiva.
=
volumen del cobre del devanado volumen del núcleo de acero valor medio de la energía magnética almacenada en el núcleo Wmcd = WmedjYs energía media acumulada por unidad de volumen en el núcleo Pe SE Pc/Ys pérdida en el núcleo por unidad de volumen de éste.
2
mtd
donde X es la reactancia inductiva, siendo
= área total de cobre en una sección del devanado = longitud media de una espira del devanado
Ycu Y,
BOBINAS
donde I es la intensidad eficaz de la corriente. Multiplicando ambos miembr po r 2w se tiene: 2o>W = coLP = PX,
2
CIRCUITOS
216
MODELOS
MAGNÉTICOS
La ecuación (75) presenta varios hechos importantes relativos al diseño de apa ratos co n núcleo de h ierr o. Corrí entórnente, la fr ecuencia / esta especificada p or los requisitos de funcionamiento, el valor óptimo de la inducción magnética efi caz B está determinado por las propiedades magnéticas del núcleo (tales como p, saturación magnética y generación de armónicos) y la permeabilidad magnética está fijada por la inducción magnética. • Especificadas fiBy fi , la potencia reactiva absorbida por una bobina es pro porcional al volumen del núcleo y es independiente del diseño del devanado. Estos hechos son muy útiles en el diseño de una bobina para absorber una potencia reac tiva determinada a una frecuencia dada, ya que el volumen del núcleo puede deter minarse en el momento en que se seleccione el valor de la inducción magnética. As i, de la ecuación (75), ±.na\ 2¿u»(volt-ampere reactivos) t
Au n cuand o la potenc ia rea ctiv a es indep endien te de la disposición del deva nado cuando son despreciables las fugas magnéticas, el diseño del devanado influye sobre el factor de calidad Q„ según veremos en seguid a. ^
Y
DISEÑO
Xa & = -— = p
DE
BOBINAS
21
PX
a
(8
rc
=
2W pérdida en el núcleo M
mea
r(8 4
entonces, la razón de pérdidas de la bobina (Ec. 80) puedo expresarse en la forma
Así , la s va ri ab le s que d et er mi na n lo s fa ct or es de ca li d ad de l de va na do y de l núc le se podrán estudiar por separado y luego combinar los resultados en la forma indicada por la ecuación (85). El factor de calidad del núcleo puede expresarse en la forma, 2o)w -
2cúw Ys
mea
me ¡ l
= Qc = — — ñ , - —
•(86)
Según el circuito serie de la figura 16, el factor de calidad Q„ es:
w es la energía media donde p es la pérdida en el núcleo por unidad de volumen y acumulada por unidad de volumen. Si se especifica el espesor de las láminas, la pér dida por u nida d de volum en queda deter minada por la frecuencia, induc ción ma gné tica y propiedades magnéticas del material del núcleo —las mismas variables que determinan la energía acumulada por unidad de volumen. La pérdida en el núcleo por unidad de volumen es independiente del tamaño del núcleo si son despreciables las corrientes de Foucault entre láminas. c
*-T-ifr
7)
(7
Multiplicando numerador y denominador porP queda,
«•-«msr
81
17
En la ecuación (78),PX, es la potencia reactiva, PB es la pérdida en el cobre del devanado, e Pr es la pérdida en el núcleo. Con auxilio de la ecuación (73), pues, podremos interpretar físicamente el factor de calidad como e
_ ~~
±na\
2oj(energía m edia acum ulad a) pérdida en el cobre -f pérdida en el núcleo
En el estudio que sigue, es conveniente utilizar larazón de pérdidas; es decir, el recíproco del factor de calidad, o sea 1 Q„
_
B, _ X,
pérdida en el cobre + pérdida en el núcleo 2a>(energía media acum ulad a)
w
v
B
PB
• Lue go, para un espesor fijo de las láminas, el facto r de ca lida d Q del núcleo queda determinado por la frecuencia y la inducción magnética y os independiente del volumen del núcleo. ^ c
En cambio, el factor de calidad del devanado depende de un cierto número de variables. La inducción magnética, la permeabilidad y la longitud media núcleo determinan la fuerza magnetomotriz que debe crear el devanado. Así,
•(80)
Si se definen los factores de calidad del devanado y del núcleo, respectivamente, en la forma, = * Q L . « *
md
(81) K
'
4nNI = Hl = — m
(87)
ls
o sea, .
NI = m
(88)
todo ello empleando un sistema de unidades no racionalizado. Además de la corriente I ,el deva nado deberá tran spo rtar una corriente magnetizante reactiva m
pérdida en el cobre
s
1, del
que
CIRCUITOS
218
MAGNÉTICOS
MODELOS
transporte la energía perdida en el núcleo, y como estas componentes están en cua dratura, la intensidad de la corriente resultante vendrá dada por p = n + n
=
- 4 (fifi
Pérdida en el cobre = |
a m
C
'
e r
^
2
(gg
w
cu
cu
(91)
Q'
219 v
P e-espiras|
A
m
m
BOBINAS
Obsérvese que glm/Acues la resistencia de una tira maciza de cobre de longitud lm, sección recta de área A. Si se sustituye la ecuación (93) en la (99), la pérdida en el cobre podrá expresarse en función de las condiciones magnéticas del núcleo; así,
donde E es la tensión inducida por el flujo. Pero EI es la potencia perdida en el núcleo y EI es la potencia reactiva. En consecuencia, en la ecuación (90), EI
DE
= (ampere-espiras) .
+
= J L , llí-
DISEÑO
m
(89)
i
n\
Y
donde l , es la longitud media de una espira. Sustituyendo en la ecuación Í95t las (90) y (97), se tiene,
c
y de las ecuaciones ( 90) y (91 ) resul ta como relación entre la inten total y la de su componente magnetizante
sid ad de la corriente
^
-
"
•
*
•
-
(
'
M
í
o
»
)
El factor de calidad del devanado podrá expresarse en la forma: '-'-r
/
l
+
- 3 T
2)
potencia reactiva pérdida en el cobre
,9
N y sustituy endo en el resul
Multiplicando la ecuación (92) por el número de espiras
y, de las ecuaciones (75) y (100),
tado la ecuación (88),
NI = ampere-espiras =
-r— lA + -T™4:Jlfl y s
y
(93)
Q =
^
d
2)
(10
c
Esta ecuación da la relación entre la fuerza magnetomotriz que debe desarrollar el devanado y las condiciones magnéticas en el núcleo. El producto NI es igual a la intensidad de la corriente total que enlaza ei circuito magnético. No obstante, en el análisis que sigue no es necesario considerar el número de espiras, ya que la fuerza magnetomotriz puede considerarse como el resultado de una capa de corriente de intensidad NI, más bien que como el result ado de la corri ente de intensidad I circulando por N espiras. Esta capa de corriente puede expresarse convenientemente en función de la densidad de corriente J y del área total A del cobre en una sección del devanado; así,
/i+_M
m
°
m
q1
Obsérvese que en la ecuación (103),
cu
N I = ampere-espiras
JA .
=
es la permeancia del núcleo, y
(94)
ctt
Acu glmi
La pérdida en el cobre puede expresarse en función de la densidad de corriente; a S
''
Pérdida en el cobre =
(95)
PQVc*.
La ecuación (95) es la expresión general de la pérdida en el cobre en un volumen "V u de cobre de resistividad g por el que circula una corriente de densidad J. La densidad de corriente puede expresarse en función de la capa de corriente J A ; así, C
es la conduc tancia de una tir a maciz a de long itud
y sección recta de área
Acu
• La ecuación (103 ) indi ca que el factor de cal ida d Q del devanado depende de las dimensiones del núcleo y devanados. Es independiente del número de espiras del devanado. ^ d
c u
=
J ACU amper e-espiras J= —
.
„
(tfo)
c
El volumen de cobre puede expresarse en la forma, Ve = lm,A , cu
A u n cu an do en la ec ua ci ón (103) no ap ar ec e ex pl íc it am en te la in du cc ió n m ag nética, fi, y Q están determinadas por ella y por tanto Q está influido por las con diciones magnéticas del núcleo. Según la ecuación (103), la mejor disposición geo métrica para una bobina de Q grande sería aquella para la cual las razones área: longitud para el camino del flujo y para el de la corriente fueran ambas lo mayores posible. Para una forma fija de bobina, la multiplicación por k de todas las dimen-
(97)
d
CIRCUITOS
220
MAGNÉTICOS
8Íones lineales lleva consigo la multiplicación de las razones es decir, k, con lo que Qd quedaría multiplicado por k*.
MODELOS
A ¡l por el factor
k*/k,
• Así, segú n se indicó en el apart ado 3, aum ent and o el tamaño puede asegurarse un factor de cali dad Qd más ele vado para el devanado de una forma dada cua lquier a. En cambio, el factor de calidad Q del núcleo depende únicamente de las condiciones magnéticas del núcleo y es independiente del volumen y disposición del material magnético. Fijadas B y / , Q no varía al aumentar el tamaño. Por tanto, el factor de calidad Q del núcleo puede convertirse en la característica limitadora al deter minar el factor de calidad combinado Q de la bobina. ^ c
c
c
a
5 . EFEC
TOS
DE
x rs ENTB
Y
DISEÑO
DE
BOBINAS
La reluctancia R es la combinación serie de las reluctancias del camino en el y en el entrehierro, o sea, * = S ,
+ ^= -
^
J L
+
,
;
(
1
0
donde el subíndice a se refiere al acero y el a al aire (entrehierro). Cuando se varía la inducción magnética, también varía el ooeficiente de aut inducción a causa de las variaciones de permeabibdad del acero. Para un dete minado dominio de inducciones magnéticas se conocen los valores máximo y míni de la permeabilidad y por tanto la variación máxima de coeficiente de autoinducci en este dominio de inducciones magnéticas es:
EHIEKKO
La inserción de un entrehierro en el circuito magnético de una bobina con núcleo de hierro altera las características de la bobina de diversas maneras. Salvo para las bobinas sometidas a campos magnéticos continuo y alterno superpuestos, la inser ción srcina una disminución de autoinducción. En cambio, si la bobina funciona con campos magnéticos alterno y continuo superpuestos, la inserción de un pequeño entrehierro puede ocasionar un aumento de la permeabilidad incremental a causa de la disminución de la componente unidir eccion al del flujo . El entrehierro red
J
uce
también los efectosdeldeentrehierro las características no delineales del núcleo. Así, pues, la inserción hace que magnéticas el coeficiente autoinducción se haga constante ante las variaciones de inducción magnética, y también srcina una reduc ción de la distorsión por armónicos *. Otr o efecto de la inserción de un entrehi erro es una variación del factor de calidad de la bobina. Según veremos, la inserción incre menta el factor de calidad del circuito magnético, pero hace disminuir el factor de calidad del devanado. 5a . Reducción de los efectos no lineales por medio de un entrehierro. En el dise ño de bobinas con núcl eo de hierro que deban funcionar en un ampli o domini o de induc ciones magnéticas surge frecuentemente el problema de determinar la longitud del entrehierro que hay que insertar en el núcleo para reducir las variaciones de coefi ciente de autoinducción de manera que queden comprendidas dentro de las tole rancias especificadas. En el análisis siguiente se supone que el flujo y la intensidad de la corriente tienen formas de onda sinusoidales y que la componente de las pér dida s en el núcleo de la corriente es tan pequeña frente a la compo nente magn etiza nte que la intensidad de la corriente total es prácticamente igual a la de su componente magnetizante. El coeficiente de autoinducción L puede, pues, expresarse en la forma,
=
Í
H
¿
-
J
¿
)
RmaxRmtn X R¡,
ÍH
y por tanto,
Una expresión aproximada del coeficiente de autoinducción es:
tnN*
T
Luego, la variación fraccional máxima de coeficiente de autoinducción para el do minio especificado de inducciones magnéticas resulta ser, por división de la ecu ción (111) por la (112), AL
_
R ^ — R„
(113
Ra M
_ |L
—
(114
1—
= 4mN*
la
(105)
(JLaA
dond e <¡> es el va lo r del f lujo y F el valor eficaz de la fuerza magnetomotriz. Ahora bien, F/
¿=
~ la
a
A, \p u,
IM.maxJ
tm
(115)
(106) -
Véase el apartado 10a, del capí tulo VI .
<«
donde JU y R ^ son los valores máximo y mínimo de la reluctancia. Si la may parte de la re luctan cia corresponde al entrehierro,
-
-4 -,
*
aee
i
r
-
i
1
-
—)•
("•)
CIRCUITOS
222
MAGNÉTICOS
MODELOS
Y
DISEÑO
DE
BOBINAS
tesis, el valor eficaz de la inducción magnética en el núcleo es constante. La pér en el núcleo P y la tensión inducida E son, por tanto, constantes. Como
donde fi max y fis minson los valores máximo y.mínimo de la permeabilidad del acero en el dominio de inducciones magnéticas mencionado. La ecuación (116) sugiere un método de ataque del problema de diseñar una bobina cuyo coeficiente de autoinducción no deba variar en más de una cantidad determinada al variar las condiciones de funcionamiento. Así, si es <5 la tolerancia de la variación unitaria de coeficiente de autoinducción, s
c
I
< - -~E' P
I c
(
la intensidad de la corriente de pérdida en el núcleo I es también constante. Lue en la ecuación (121) solamente queda afectada por las variaciones de longitud entrehierro la intensidad I de la corriente reactiva magnetizante. Esta deb ajustarse por sí misma para crear el mismo flujo a pesar de las variaciones de rel tancia debidas a las variaciones en el entrehierro. La ecuación (121) indica que la razón de pérdidas se halla afectada de dos maner El primer efecto producido por el aumento de longitud del entrehierro es una mej del factor de calidad Q del circuito magnético. Así, la razón de pérdidas del circu magnético (incluido el entrehierro) es c
6=^ - , L '
(H7)
y en virtud de la ecuación (116) la razón de la longitud de entrehierro a la longitud del camino en el acero puede expresarse en función de ó en la forma,
la 1 A fia L l d A¡ fls min \ a
s
fls \ min fii I
m
c
^(11 8)
m a x
1
Corrientemente, la primera etapa del diseño consiste en elegir el dominio de induc ciones magnéticas para el funcionamiento. Hecho esto pueden determinarse ¡j,, „,„ y as max La razón de las áreas A.\A, de la ecuación (118) se puede estimar supo
Pc
~Q7EI ' =
m
y por tanto la intensificación de la corriente magnetizante hace disminuir la raz de pérdidas; es decir, mejora la Q . Podía esperarse este resultado porque se produc pérdidas en el núcleo cuando se almacena energía pulsante en el hierro, pero noJi pérdidas cuando se almacena en el aire. La manera de incrementar ' Q es, pu acumular más energía en el aire; en otras palabras, insertar un entrehierro en circuito magnético o incrementar la longitud del existente. Por otra parte, el segun efecto de intensificar la corriente magnetizante es una reducción del factor de ca da d Q del devanado. La razón de pérdidas del devanado es: c
niendo un factor de apilamiento y una corrección para la dispersión. El valor mínimo del cociente l /l, necesario para satisfacer la tolerancia específica <5 se puede calcular entonces a partir de la ecuación (118). 5b Efectos de un entrehierro sobre el factor de calidad. Consideremos los electos que produce la variación de longitud de un entrehierro en el circuito magnético de una bobina determinada. La razón de pérdida de la bobina podrá expresarse en la forma, 1 pérdida en el núcleo + pérdida en el cobre . Razón de pérdi das = — = volt-a mpere reactivos a
e
d
1 Q
=
P
< +
P
(120)
R
EI
m
P
c
+
1
_£ ^ _
Qd
EI -
I
+ IjR '
2
EI
m
m
( 1 2
y como la intensidad I de la corriente magnetizante suele ser considerablemen mayor que la I de las pérdidas en el núcleo, la pérdida en el cobre es aproximad mente proporcional al cuadrado de la intensidad de la corriente magnetizant Así , cu an do se in te ns if ic a la co rr ie nt e ma gn et iz an te al ar ga nd o el en tr eh ie rr o, pérdida en el cobre aumenta más que la potencia reactiva. Por tanto, la razón pérdidas del devanado aumenta y el factor de calidad Q disminuye al increment la longitud del entrehierro. La razón de pérdidas de la bobina es la suma de las razones de pérdidas d circuito magnético y del devanado, una de las cuales disminuye mientras la ot aument a al aumenta r la long itud de l entrehierro. ¿Hasta cuánto se in tensifi cará corriente magnetizante al insertar un entrehierro cuando se desea una razón pérdidas total mínima? De la ecuación (121), m
c
I*B
+
IjR
EIm
donde,
(121)
d
P = E = I = I = I = R = c
c
m
pérdida en el núcleo , tensión eficaz ind uci da , intens idad efica z igua l a \ I + /*, in ten sid ad eficaz de la compone nte de pérdida en el núcleo, inten sidad efic az de la componente magnetizante de la corriente, resistencia del devanado. 2
p
Mantengamos constante la frecuencia y el valor eficaz del flujo (ajusfando la tensión aplicada al variar el entrehierro), y supongamos que la forma de onda del flujo es sinusoidal; despreciemos también los efectos de las variaciones de las fugas magné ticas ocasionados por las variaciones de longitud del entrehierro. Con estas hipó-
Razón de pérdidas total =
i
+Z
e
rj p
D
r
,
T
EI
m
(12 E
y si son constantes la frecuencia y la inducción magnética, la única variable existen cuando varía la longitud del entrehierro es I„. Para dererrninar el valor de I que m
CIRCUITOS
224
MAGNÉTICOS
MODELOS Y DISEÑO DE BOBINAS
I y se anula
una razón de pérdidas mínima, se deriva la ecuación (125) respeóto a la derivada; así,
m
o sea,
P R = P + P Rm
c
(127)
e
Por tanto, si se mantienen constantes la frecuencia y el valor eficaz de la inducción magnética se obtendrá la razón de pérdidas mínima cuando se ajuste la longitud del entrehierro, de manera que la pérdida en el cobre debida a la corriente magneti zante sea igual a la suma de la pérdida en el núcleo más la pérdida en el cobre debida a la corriente correspondiente a las pérdidas en el núcleo.
6.
TEO RÍA DE
MODELOS
APLICAD
3.
t = tiempo, e, = fuerza electromotriz instantánea del generador, v = caída instantánea de tensión en una ram a del circu ito, i = inten sid ad instantán ea de la corrien te, q = carga instantánea.
A A BE DE S
ís = k,t<>.
Lo s int erva los de tie mpo entre sucesos en la red deriv ada deben ser mayores que los intervalos correspondientes en el prototipo.
(12
Los tiempos se miden a partir de puntos de referencia cuando en las dos redes teng lugar sucesos correspondientes —por ejemplo, cuando se cierran interrupto
es creaenla el acción deseada del no circuito. Unaque aplicación útil depor la teoría de valores mode los quien se halla diseño de redes lineales deban tener, ejemplo, deterniinados de la tensión y la intensidad y deban comportarse respecto al tiempo de una manera determinada. La tensión, intensidad y constantes de tiempo de la red buscada pueden ser grandes y el aparato, por tanto, caro. Se puede, sin embargo, construir un prototipo de disposición semejante a la de la red buscada, pero que tenga tensión, intensidad y constantes de tiempo menores y ajustarlo hasta que tenga las características adecuadas. Entonces podrá construirse la red deseada sin más que cambiar de escala las dimensiones y parámetros. Supongamos que se ha construido la red prototipo y se ha ajustado de manera que se comporte de la manera deseada. Hay que diseñar una nueva red que se comporte en forma análoga, pero habrá que realizar los siguientes cambios de escala:
2.
efec
Designemos con el subíndice 0 a los valores pertenecientes al prototipo y con subíndice 3 los pertenecientes a la red derivada. Las variables y parámetros ambas redes se expresarán en el mismo sistema de unidades. De acuerdo con factor de escala, se tendrán instantes de tiempo correspondientes cuando
En muchas aplicaciones de elementos de circuito no lineales a las redes hay que tener en cuenta los efectos del elemento no lineal sobre la red total. En muchos circuitos de mando que utilizan elementos no lineales; por ejemplo, la no linealidad
1.
6a. Relaciones entre las variables. Consideremos, en prim er lugar, los de los factores de escala sobre las relaciones entre las variables de ambas redes. S
correspondientes—. De acuerdo con los factores de escala para tensión e intensida en instantes de tiempos correspondientes e»s(ís) = he^k)
(1
Mh) = krV (to)
(1
ia(h) = kfáte).
(1
0
La relación entre valores instantáneos correspondientes de las cargas y de l velocidades de variación de las intensidades correspondientes en ambos circuit puede determinarse ahora a partir de las ecuaciones (128) y (131). Derivando ecuación (128),
k, veces
Tod as las tensiones de la red der iva da deben ser fc, veces mayores que en el prototipo. Tod as las corrientes en la red deriv ada deben s er k veces más intensas.
di,
y derivando la ecuación (131),
di¡ di.
t
Los factores de escala ifc, k, y h pueden elegirse arbitrariamente. ¿Qué variaciones deben realizarse en los parámetros del circuito y en el diseño de la bobina para que la red derivada se comporte semejantemente a la red prototipo? Esta pregunta puede contestarse por comparación de las ecuaciones diferenciales de las ramas correspondientes de las dos red es , tal como se indica en el análisis siguiente. t
1
* Otro estudio se realizarl a mediante el análisi s dimensional. Por ejemplo^FBBDKM véase CK E . FOWLE, editor, Smühsonicm Phytical Tableé (octava ed. revisada; Washington: The Smitsonian Institution, 1933), p. xxxiii.
k,
(13
Wío,
(13
k,
(13
kidio.
(13
o sea,
o sea,
En las ecuaciones (134), (135) y siguientes se omite la notación funcional, entendié dose que los símbolos de las variables significan sus valores en instantes corre pondientes de tiempo dados por la ecuación (128). Las ecuaciones (133) y (13 dt en el prototipo corresponde en la red der indican que un incremento de tiempo 0
vada a un incremento de tiempo
dt que es k, veces mayor que el incremento corre t
226
CIRCUITOS
MODELOS
MAGNÉTICOS
0
dtj
dt
,
^
rf¿3 _ 0
0
3
y sustituyendo en la ecuación (136) las ecuaciones (132) y (134), i
rf 3
h
=
dt
3
(137)
k, dt
k kt
DISEÑO
di,
v
DE
k, _ .
La carga en la red derivada es:
0
io
oH
(
q» {
n
'< n
k k
Obsérvese que = k
iadt + ?s(0),
j ¿3rf< 3 significa | "
?s(0)
siendo
3
la
c a r
8
a
en
el
instante en
que t es igual a 0. Si se expresa i en función del valor correspondiente de y dt en función de dt (ec. 133), la ecuación (138) queda en la forma, a
i (ec. 131)
3
0
0
qa = k,k, j iodc = kik,q . 0
(139)
0
^ La carga en la red der iva da es hk, veces mayor que la carga instantánea corres pondiente en el prototipo, porque la intensidad de la corriente es k, veces mayor y dicha intensidad dura un tiempo k, veces mayor. ^ 66 . Relaciones entre los parámetros lineales correspondientes. Podemos deter minar ahora las relaciones entre parámetros correspondientes en las partes lineales de ambas redes comparando las ecuaciones de la tensión de dos ramas correspon dientes. Así, para la red derivada tendríamos la ecuación de una rama
y para el prototipo en el instante correspondiente de tiempo „
v
k
y
3
k
0
^ En inst antes correspondient es de tie mpo , la ve loci dad d e variación de la inten sidad de la corriente en la red derivad a es ki¡k, veces mayor que en el prototipo, porque el incremento de la intensidad es k¡ veces mayor y el incremento de tiempo lo es k, veces. ^
en donde
BOBINAS
), (137 ) y (139)— la ecuación
k v = „ = _ _| + _ R + _ U Comparando las ecuaciones (140) y (142) puede verse que los coeficientes de términos correspondientes de las dos ecuaciones diferenciales deben ser igua En condiciones análogas con los factores de escala deseados para tiempo, ten e intensidad, las relaciones entre los parámetros correspondientes en las pa lineales de ambas redes deberán ser, pues, v
dt di dt '
3
Y
der ivad a —según i ndi can las ecuaciones (130), (131 se convierte en
pondiente dt en el prototipo. La derivada respecto al tiempo de la intensidad en el prototipo se puede expresar en la forma,
0
=
L
0
^+ +i ?JÍ , i 0
0
expresando las variables en función de las variables correspondientes en la red
3
( 1
'*o 0
0
(
Es decir, las constantes de tiempo del circuito derivado son k, veces mayores que constantes de tiempo correspondientes del prototipo. 6c. Relaciones entre las bobinas prototipo y derivada. Si quiere manteners e semejanza geométrica estricta entre la bobina derivada y el prototipo pueden r lizarse dos variaciones: número de espiras y tamaño. En vez de restringir el anál a bobinas semejantes geométricamente como en los apartados 2 y 3, en el aná siguient e se supone que puede n despreciarse las fug as magnéticas *. El mét odo análisis que presentamos no hace más que ilustrar una línea de razonamiento puede aplicarse ante varias hipótesis. La hipótesis de ausencia de fugas perm variar el área de la sección recta del núcleo independientemente de su longit sometiéndola a las siguientes restricciones cuando el área de la sección recta no la misma a lo largo de todo el núcleo: Primero, las áreas de las secciones rectas varían, deben variar todas en la misma razón; segundo, las longitudes de las par del núcleo, si varían, deben variar todas en la misma razón. No obstante, las razo de las áreas y de las longitudes pueden ser diferentes. Este enunciado incluy cualquier entrehierro que pueda haber en el circuito magnético. La condición que no puede alterarse, si deben mantenerse las relaciones de se ja nz a en tr e la bo bi na d er iv ad a y el pr ot ot ip o, es que la s co nd ic io ne s de B y H d eb ser iguales en puntos correspondientes de los dos núcleos. Así, si 6 = inducción magnética instantánea, h - int ens ida d instantán ea del campo magnético,
(141)
donde L, C y R son parámetros lineales. Multiplicando la ecuación (141) por
R
RÍCÍ — k,R C .
k, y
* La hipótesis de ausencia de fugas se podía haber empleado igualmente como punto partida para la teoría de modelos de las bobinas, análoga a la dada en los apartados 2 y 3, resultados algo diferentes.
CIRCUITOS
22«
MODELOS
MAGNÉTICOS
se tiene,
&,(<,) = M*o>
< >
*»(«,) = *«(' a)-
< >
14 8
14 9
Las tensiones inducidas en las bobinas en instantes correspondientes son
e, = ^
^
8
co = 2 M o
rfí
(150) (15D
0
i
»/^_. N A db /dt 0
Pero como 6
8
0
0
a
0
_
dt dt
0
0
a
. •(155)
0
• Par a mantene r las mismas condiciones de B y H en el núcleo, el producto espi h,k por el pro ras-área N A de la bobina derivada debe ser igual al producto de ducto espiras-área N Ao del prototipo, porque la tensión en la bobina derivada es ¡fe, veces mayor y la velocidad de variación de la inducción magnética es 1/fc, veces mayo r. ^ t
t
(15
-
(16
lo
k
t
•(16
No
• Pa ra manten er en el núcleo la s mismas condiciones de B y H, la razón longitu espiras l /N de la bobina derivada debe ser igual al producto de k¡ por la raz 3
longitud-espiras ces m ayo r. ^
En consecuencia, la ecuación (152) queda en la forma,
t
0
r- = "o
3
(153)
N,A, = k,k,N A .
h (ec. 149) y de la escala
Por tanto, la ecuación (158) se reduce a
3
o sea,
"oro
3
N
9
_ 1 k, '
BOBINAS
h
es igual a o„, el cociente de las derivadas de la ecuación (152) es:
dbjdt db ¡dt
DE
h es igual a
No
(152)
r f 6
0
DISEÑO
ero Pero para instantes correspondientes, intensidades (ec. 131),
A el área de la sección recta en el punto en que donde 2V es el número de espiras y la inducción magnética es 6. De acuerdo con la escala de tensiones deseada, la ten k, veces la tensión inducida en el pro sión inducida en la bobina derivada debe ser totipo en los instantes correspondientes, y, por tanto, dividiendo miembro a miem bro las ecuaciones (150) y (151) se tiene, A = k, = - M « e '
Y
donde l es la longitud del núcleo. Dividiendo miembro a miembro las ecuacio (156 y (157),
l /N del prototipo cuando la intensidad de la corriente es 0
0
k, v
En el diseño de una bobina pueden realizarse tres cambios: en el número de esp ras N, en la longitud del núcleo l, y en el área de la sección recta del núcleo A. Pe sólo deberán satisfacerse para estos cambios las dos condiciones expresadas por l B y H en tiemp ecuaciones (155) y (161) para tener las mismas condiciones de correspondientes y con factores de escala para tiempo, tensión e intensidad esp cificados. Por tant o, habrá que el egir arbitraria mente un a condición adici on —p or ej em pl o, ma nt en er co ns ta nt e el núm ero de es pi ras . El ca mb io de ten si podría ponerse de manifiesto alterando el área de la sección recta del núcleo co en la ecuación (155), y el cambio de intensidad de corriente alterando la longitu del núcleo como en la ecuación (161). Va l e la pe na an ot ar la s rel aci one s en tr e las ener gías ac um ul ad as en lo s dos si temas. Puede demostrarse que la razón de la energía W a la W es: a
0
t
0
También debe variarse el diseño de la bobina de manera que para las mismas condiciones de B y H la intensidad de la corriente se halle afectada por el factor k,. Las relaciones entre las intensidades de las corrientes de escala de intensidades y de los campos magnéticos en ambas bobinas son: 4nN»ii = h»l»
(156)
4^JVo»o = Wo ,
(I ) 57
Ji j ^ L L_ I M W, \Gov% =
\Lo¡*
,,A2 {
volumen del núcleo 3 volumen del núcleo 0 En las ecuaciones (148) y (149) se halla implícita una restricción que pudier no ser evidente. La relación B(H) debe ser la misma en el prototipo y en la bobin B(H) verdadera, incluido el efecto de las corrien derivada. Luego, la característica tes de Foucault, debe ser la misma para ambas. Si se cambia la escala de tiempo se alteran los efectos de las corrientes de Foucault y por tanto la característica de una bobina no será igual a la de la otra, a menos que al mismo tiempo se cambi
B(
230
CIRCUITOS
MAGNÉTICOS
MODELOS
en forma adecuada el espesor de las láminas. En la práctica, esta restricción tendrá poca imp orta ncia por lo gene ral, pero debe mos señal arla para evit ar las dificultades que pudieran presentarse en casos poco corrientes. A vec es po dr án su rgi r di fi cu lt ad es po rq ue las co ns ta nte s de ti em po de ap ar a tos inducti vos pequeños son inherentemente menores que las de los aparatos gran des, a menos que se emplee un valor adecuado de k¡.
y El concepto de c ircuitos no lineales semejantes es mu y impor tante y tiene muchas aplicaciones prácticas a problemas que podrían ser muy difíciles, económica o ana líticamente, de resolver sin él. Siempre que se tengan que desarrollar o diseñar aparatos no lineales de cualquier clase, eléctricos o no, habrá que tener en cuenta el método de los modelos.^ PROBL EMAS 1. Un transformado r de 500 k V A 11 000 V, 60 Hz consume en vacío 3,35 A y 2 960 W cuando se le aplica la tensión de funcionamiento a la frecuencia de funcionamiento. Otro transformador tiene un núcleo cuyas dimensiones lineales son todas y/ 2 veces mayores que las correspondientes del núcleo del primer transformador y cuyas propie dades magnéticas son idén ticas que las del primer t ransformad or. E n ambos transfo rma dores pueden despreciarse las pérdidas en el cobre del primario y la caída de tensión por reactancia de fugas en vacío. Si en los primarios se emple a el mismo número de espiras, ¿qué corriente y potenc ia en vacío consumirá el segundo transformador cuando se aplique a su primario una ten sión de 22 000 V a 60 Hz? 2. Lo s siguient es datos .corresponden a una bob ina tipo coraza con un devana do de 1 000 espiras:
Frecuencia
Tensión entre terminales 180 V 160 140 120
60 H z 60 60 60 Suponiend el número de mente con un tensión entre
Intensidad 0,0624 A 0,0239 0,0145 0,0106
Y
o despreciables la pérdida en el cobre y l a caída óhmica efectiva hallar espiras y el factor de escala k que den una bobina semejante geométrica a pérdida de potenc ia de 10 W y una inten sidad de corrie nte de 0,30 A a una terminales de 120 V, 6 0 H z.
DE
BOBINAS
231
peroTrabajando por encimadicho de lacircuito cual la acorriente intensifica 60 Hz sesehan obtenidomuy los rápidamente. datos siguientes:
Intensidad de la corriente
R -WW/v*A-
Potencia 1,13 W 0,91 0,71 0,54
DISEÑO
3. En la figura 3 puede v erse una s ección del núcleo de una bob ina. En la figura mism a se consignan lo s datos del núcleo y del devanado . E n las figu réis 19, 20 y 21, pp 182, 1^3 y 184, pueden hallarse los datos magnéticos del material del núcleo. a) Calcu lar el factor de calidad de la bob ina para una tensión sinusoidal aplicada Hz. de 50 V a 60 6) Calcul ar el factor de calidad de una bobi na semejante geométricamente y quo funcione con la misma inducción magnética y el mismo coeficiente de autoinducción eficaz, pero con una tensión de 150 V a 60 Hz . 4. Se quiere practi car en la bobi na del prob lema 3 un entrehierro de longitud t al que la inductancia no varíe en más de un 5 %, referido a su valor máximo, cuando se varíe una tensi ón sinusoidal aplic ada de 25 a 60 V a 60 H z. a) Hal lar la longitud máxima presu mible del entrehierr o. 6) Dense especificaciones completas para el caso de una bobin a de 1 H a 50 V, y un 5 % de variación de la induct ancia en el intervalo entre 20,8 y 50 V a 60 Hz . 5. Ha ll ar la longitud del entrehierro que hay que practicar en el núcleo de la bob ina del prob lema 3, p ara obtener un factor de ca lidad m áximo si la induc ción magnética se mantiene al valor emp leado en dicho probl ema. Compa rar el valor del factor de calid ad obtenido con el entrehierro, con el obtenido en el problema 3. 6. En la figura 4 puede verse un circuito no lineal que emplea una bobina con nú cleo de hierro que se utiliza en ciertos sistemas de mando. Dicho circuito puede diseñarse para tener una tensión crítica por debajo de la cual circula una corriente muy débil,
: Bobina con núcleo de hierro
F io . 4. Circuito no lineal para dar una tensión crítica de gobierno . Pr oble ma 6.
0,02 A 0,02 0,02 0,12 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40
Tensión 10 V 50 80 95 100 102 107 116 128
En el circuito en que se obtuvieron estos datos la resistencia R era de 67 ohm y la capacidad 25 /tF. Los datos en la bobina con núcleo de hierro son los siguientes: Longitud media del circuito magnético = 7,4 pulg. Ar ea de la ra ma ce ntr al de l núcl eo = 1 , 3 pul g*. Devanado: 480 espiras.
Facio r de apilami cnto 0.95 Altur a de la pila 3 4 pulg 4.25 ". <• Acero al silicio Devanado: 500espiras de hilo de cobre 24 A W ü
Sección de un núcleo de bobina. Problema 3. Fia. 3.
Se quiere construir un circuito de este tipo para actuar como regulador de tensión sobre un sistema de 50 Hz cuando la tensión alcance los 117 V. En serie con los elementos de la figura 4, se conecta un pequeño relé, de poca autoinducción. Este relé se dispara con una corriente de 1 A y pone en funcionamiento el regulador. Determinar los valores de R y C que, utilizados con una bobina adecuada, den el funcionamiento más sensible en la aplicación descrita. Para la condición de que la bobina del nuevo circuito de mando esté constituida de láminas troqueladas iguales a las de la bobina experimental, determinar el área de su núcleo y el número de espiras. Supóngase que el relé magnético no tiene efecto alguno sobre las características eléctricas del cir cuito.
CIRCUITOS
232
MAGNÉTICOS
CA
PI
TU
L O
VIII
7. Dos ramas no lineales del tipo estudiado en el problema 6 dan un circuito de extraordinariaselectividad de tensiones cuando se montan en puente. Como la salida de dioho circuito puede utilizarse para cerrar un contactor magnético, el circuito es ade26 (iF
76 Q 1
F io . 6.
Propiedades térmicas y circulación del calor
21|iF
E, •
1
Circuito puente no lineal se lector de tension es.
cuado como relé selector de tensiones. En la figura S puede verse el circuito relé completo. De este circuito se obtuvieron los siguientes datos a la frecuencia de 60 Hz:
Ei—volt
E,—volt
60 00 100 109 110 111 120 130
0 1 2 10 88 12 3 2
Se quieren conectar dos de estos circuitos selectivos en paralelo con un sistema de E¡ a las que son 1 000 Hz para gobernar dos relés diferentes. Las tensiones de entrada E, de cada sensibles los circuito* han de ser 80 y 120 V. La tensión máxima de salida circuito puente ha de ser 60 V. Si todas las bobinas con núcleo de hierro son semejantes geométricamente al modelo, especificar la razón a de números de espiras y el factor de escala lineal k para cada bobina. Especificar también las resistencias y capacidades. Supóngase que los relés magnéticos no tienen efecto sobre las características eléctricas de los cirovitos.
En general, todas las pérdidas de energía en los aparatos eléctricos de potenci se convierten en calor a razón de 860 kilocalorías por cada kilowatthora de energí así convertida. Cuando se alcanza una temperatura de funcionamiento estaciona ria, el calor extraído por los efectos combinados de conducción, convección y ra diación debe ser igual al calor producido por conversión a partir de las formas d energía eléctrica y mecánica. El criterio más universal para calibrar la maquinari eléctrica en punto a su potencia de salida es la elevación de temperatura. La carg continuada máxima permisible para un funcionamiento seguro es aquella a la cua la temperatura estacionaria tiene su valor máximo de seguridad. Como es el calen tamiento, más que las consideraciones mecánicas o eléctricas, quien determina la pot enci a útil permis ible de una máquina, el estudio de las propie dades térmica y de la circulación del calor resulta ser un importantísimo elemento en el diseño
1.
EF EC TOS
DE L CALOR
SOBRE
LOS MATE RIAL ES
En la maquinaria eléctrica, los materiales aislantes son los que más sufren con el sobrecalentamiento, si bien no es despreciable el efecto del calor sobre el cobre conductor de la corriente y sobre los materiales magnéticos. En un amplio dominio de temperaturas, la resistencia del cobre varía proporcionalmente a su exceso de temperatura sobre los —234,5°C. En consecuencia, la pérdida en el cobre por efecto Joule a una temperatura 40°C por encima de la temperatura ambiente es un 15 % superior a la correspondiente a la temperatura ambiente. La s pérdidas en el núcleo del circ uit o magnético se reducen ligerame nte cuand o la temperatura sufre su elevación normal —aproximadamente 40°C— asociada al funcionamiento a plena carga. Los materiales aislantes de uso corriente en maquinaria y equipos eléctricos han sido clasificados por el American Institute of Electrical Engineers en los cua tro grupos consignados en la tabla I. El American Institute of Electrical Engineers, ha establecido a efectos de nor malización, los siguientes valores máximos de «mancha más caliente» para las tem peraturas: Clase O
90° C
Clase A
105° C
Clase B
130°C
Clase C
No hay limite 233
señalado
CIRCUITOS
234
MAGNÉTICOS
PROPIEDADES
La temperatura ambiente límite normal del aire se toma igual á 40 °C, que es pró xima al máximo hallado en la mayor parte del territorio de los Estados Unidos. El deterioro de los aislantes orgánicos de las clases A y B, a temperaturas eleva das es gradual y resulta ser una función de la temperatura carente de pendientes ni cambios bruscos. Se manifiesta principalmente por resecarse y carbonizarse el material, lo que lo hace quebradizo, haciéndole perder resistencia mecánica más que rigidez dieléctrica. Tras una carbonización severa, la rigidez dieléctrica puede quedar muy perjudicada, pero el fallo se asocia más generalmente a defectos mecánicos del aislante srcinados por vibraciones o esfuerzos mecánicos en los cortocircuitos.
TAB
CLASIFICACION DE
LOS
LA 1
MA TER IAL ES
AISLAN
TES
1
Clase 0
Descripción del material La clase O de los aislantes está cons titu ida por algodón, seda, papel y materia les orgánicos similares que no estén impregnados ni sumergidos en líquido dieléctrico. A La clase A d e los aisla ntes está con sti tui da por : 1, algo dón, sed a, p ape l y mate rial es orgánicos análogos cuando estén impregnados o sumergidos en líquido dieléctrico; 2, materiales moldeados y laminados con henchidor de celulosa, resinas fenóli'cas y otras resinas de propiedades análogas; 3, películas y hojas de acetato de celulosa y otros derivados do la celulosa de propiedades análogas, y 4, barnizes (esmalte) aplicados a los conductores. B La clas e B de l os a islantes está constituid a por mica, ami anto, fibra de vid rio y materiales inorgánicos análogos en forma reforzada con sustancias orgánicas aglutinantes. Con fines estructurales solamente, pueden emplearse materiales de la clase A en pequeña proporción. C La clase C de los ai slantes es tá constituida enteramente por mica, porcelan a, vidrio, cuarzo y materiales inorgánicos análogos. Principies De «American Instituto of Klecttrical Engin eers Standards», núrn.General 1: upon Which Temperatura Umita are Based in the Rating of ülectrical Machinery and Appa¬ ratus (New York: American Instituto of Eleetrical Engineers, 1940), 6.
2 . CONDUCCIÓN
TÉRMICAS Y CIRCULACIÓN DEL CALOR
23
D E L CALOR
La conducción del calor por el volumen de una sustancia es muy aproximada mente proporcional al gradiente de temperatura. La conducción estacionari del calor por un volumen cualquiera es un fenómeno de campo análogo, matemát camente, a otros muchos, tales como el paso de un flujo eléctrico a través de un die léctrico no conductor o del flujo magnético a través de un campo. Si se genera e calor en el interior del volumen del material que lo conduce, el problema es análog al del campo eléctrico con carga espacial. El ejemplo más sencillo de circulación de calor es aquel en que la dirección de circulación del calor es paralela en todos lo puntos a una dirección dada, y entonces el calor que circula por unidad de tiemp y por grado de diferencia de temperatura a través de una placa de material es igua simplemente, al producto de la conductibilidad calorífica por el área de la secció y dividido por el espesor. Expresado en forma de ecuación, la diferencia de tempe ratura resultante de una cierta circulación de calor es
donde,
6 y d son las temperaturas estacionarias a uno y otro lado, P es la cantidad de calor que circula en unidad de tiempo, d es el espesor en la dirección de circulación del calor, A es el área de la sección en un plano perpendicular a la dirección de 2
l
calor, k es la conductibilidad calorífica. En el caso de un flujo radial simple entre los radios r
2
y r de una capa cilindrica x
1
V. M. M O N T S I N G E R ha demostrado, mediante pruebas repetidas, que la velo °C. cidad de deterioro mecánico se duplica en cada incremento de temperatura de 8 El deterioro es más rápido cuando existe impregnación con aceite que cuando no. Los aislantes impregnados con aceite de la clase A, perdían su rigidez a la tensión al cabo de 18 semanas a 110°C, al cabo de 40 semanas a 100°C y al cabo de 85 sema nas a 90°C. A u n cuando la presencia de acei te u otro material impreg nador pueda ace lerar el deterioro del aislante fibroso, tiene en compensación las ventajas de incremen tar la conductibilidad calorífica y la rigidez dieléctrica.
P , . r ln r. 2nk u
"
1
t
(2
8
El aceite caliente, en presencia de aire u oxígeno, se oxida lentamente y forma un barro. E n lo s aparatos refrigerados por acei te, tales como los transformadores, este barro, al adherirse a las superficies, perjudica a la convección y a la extracción del calor de los lugares en que se genera. La oxidación y la formación de barro se combaten mediante el empleo de gases inertes sobre el aceite y con un filtrado e inspección continuos y cambiando el aceite cuando sea necesario. V. M.
MON TSINGER abril, 1930, 776-790. !
,
«Loading Transformers by Temperature», A. I. E. E. Trans., 40,
donde P es el calor que circula en unidad de tiempo por unidad de longitud de cilindro. Es conveniente y de aplicación muy general, al abordar problemas térmicos aso ciados a la maquinaria eléctrica, emplear las unidades: watts, centímetros y grado centígrados. El elemento tiem po se halla incl uido en la unidad watt , que es una ener gía que circula por unidad de tiempo. La tabla II presenta valores aproximados de conductibilidades caloríficas, resis tividades caloríficas y capacidades caloríficas específicas de materiales empleado corrientemente en equipos eléctricos de potencia. La conductibilidad calorífica de u material es el calor que circula en unidad de tiempo a través de un cubo unitario po unidad de diferencia de temperatura entre las dos caras opuestas. De la ecuación (1) u
k = A
P 7T7- , (&2 - Al)'
(3
CIRCUITOS
236
MAGNÉTICOS
TA BL A
PROPIEDADES
II
PROPIEDADES TERMICAS APROXIMADAS DE LOS MATERIALES
Î
Resistividad °C cmjW
Material
Conductibilidad] W¡°C cm
0,28 0,76 1,3 2,3 2,5 5,8 38-130 360 500 640 640
Cobre Al um in io Hierro batido Chapa de acero al carbón Hierro colado Ac er o a l sil ici o (l ong itu din al ) Chapas de acero al silicio (transversal) Mic a (transv ersal) Batista barnizada Goma Cartón prensado, aceitado Ladrillo Cartón prensado, seco Tejido sin tratar o fieltro
1000 1000-1300 150
3,6 1,3 0,79
°'tl 0,39 0,17 0,03-0,008 0,003 0,002 0,002 0,002
Capacidad calorífica específica J/cm' °C 3,3 2,3 3,7 3,7 3,7 3,7 3, 7 2,0 1.4 1.4
0,001 0,0008-0,001 0,00063
donde (0¡¡ — d )jd es el gradiente de temperatura. De la ecuación (3), resulta que las dimensiones de la conductibilidad térmica en el sistema cegesimal son: x
[watt]
_
TÉRMICAS
3.
2
La resistividad térmica es el recíproco de la conductibilidad térmica y se puede expre sar en grados centígrado centímetro por watt. La capacidad calorífica específica de un materi al es la ene rgía c alo rífi ca acumul ada en la u nid ad de volu men por uni dad de elevación de temperatura y puede expresarse en joules por centímetro cúbico por grado centígrado. La condu ctib ili dad térmica , segú n se ha dicho, se increment a mucho en los mate riales fibrosos impregnados. El aislante relativamente nuevo que es la fibra de vidrio, sin impregnación, podría soportar con éxito una temperatura sorprendentemente elevada; pero esta ventaja queda anulada por su baja conductibilidad calorífica. Con impregnación, su máxima temperatura de funcionamiento seguro se debe más al mat eria l impreg nador que a la fibra. La conducción transversal del calor a través de pilas de láminas delgadas de acero halla principalmente la resistencia térmica en los espacios ocupados por el barniz y el aire entre las láminas. Cualquier variación del espesor del barniz y de la compa cida d del apilam iento tendrá su efec to correspondie nte sob re la resistivi dad trans-
DEL CALOR
RADIACIÓ
N DEL
CALOR
El cal or radi ado es energía en forma de ondas electromagnéticas infr arro ja El proceso de radiación no tiene mucha importancia en la refrigeración de la maqu naria eléctrica de potencia; pero, para dispositivos pequeños poco ventilados s electo es apreciable. La refrigeración de los ánodos en determinadas válvulas te moionicas depende en gran manera de la radiación. El aire limpio y, claro está, el vacío, mantienen la radiación sin pérdida apre ciable. El vi drio , part icula rmente el que contie ne óxido ferro so PeO, tiene una absor ción considerable; el agua aún tiene más. La ley fundamental de la radiación térmica por una sustancia a una temperatur de 6 grados centígrados es P = Ze (273 + 6)\
[watt]
[cm] - - [cm]
Y CIRCULACIÓN
versal. En general, los datos de la tabla II deben considerarse solamente co aproximados. Para estudiar la circulación general bidimensional de calor, que es el caso un ind uci do o ind uct or ranura do largo, puede utiliza rse el traza do de líne as del camp En muchos problemas prácticos existe generación de calor en el material conduct Ello complica el problema, y suele utilizarse para la solución un método de prue y error. A veces, se divide el volumen arbitrariamente en capas y se suman l caídas a lo largo de las distintas capas. Se suman entonces las pérdidas calorífic en las sucesivas capas hasta llegar a la circulación total de calor. El cálculo completo de la circulación del calor en máquinas complicadas des el punto de vista geométrico es un problema de diseño demasiado intrincado pa ilustrarlo aquí por completo. En las referencias consignadas en la bibliografía encuentran tratamientos más completos.
( 5
conocida con el nombre de ley de Stefan de la emisión. En ella
P es el calor emitido en unidad de tiempo, K es una constante que depende principalmente del tamaño de la superficie
2 73 -f- 6 es la temperatura absoluta, e es el coeficiente de emisividad del material de la superficie.
El dominio de e va desde la unidad para el cuerpo negro ideal hasta aproximada mente 0,025 para una superficie especular pulida. Como el calor radiado por un cuerpo rugoso, irregular o replegado, puede alcanzar otras partes del mismo cuerpo, y la determinación analítica precisa de los efectos de radiación, constituirá un complicadísimo problema que dependerá de la geometría exa cta del cuerpo en cuestión y de sus alre dedor es, así como de sus coeficientes micos. No obstante, para muchos fines bastará con un método aproximado sencillo. La ley de Stefan que da el calor radiado en watt por centímetro cuadrado es: 273\ *
= 5
' (~T5oo-) 7 e
w/cm2
tér
4
-
<> 6
CIRCUITOS MAGNÉTICOS
238
TAB LA
COE FICIE
NTE S DE
PROPIEDADES TÉRMICAS Y CIRCULACIÓN DEL CALOR
EMISIVIDAD TÉRMICA
Material
APROX
IMADOS
Una elevación de temperatura de 40°C srcinaría, pues, un desprendimiento de menos de 1/40 W/cm» por radiación si la emisividad fuera próxima a la unidad. Para elevaoiones muy grandes de la temperatura por encima de la temperatura ambiente, el calor absorbido por el cuerpo caliente de la radiación emitida por los cuerpos que lo rodean puede ser despreciable y podemos considerar como calor total radiado el calor total emitido. Puede demostrarse que el coeficiente de emisividad eficaz e entre superficies para lelas de coeficientes de emisividad e, y e es
Emisividad e
Cuerpo negro ideal Negro de humo Mate rial aislante rugoso Hie rro oxidado Cobre oxida do Al um in io ox ida do Al um in io pul ido Cobre puli do Plat a pulida
1,0 0 0,98 0,90 0,75 0,65 0,15 0,05 0,04 0,0 25
2
273\ 000 /
4
\
+ 273 1 000
W/cm . 2
1(
l s
[ ( e +J ) « —flj]
Si A es pequeña frente a
x
2
A y una emisi e. , la emisividad x
2
eficaz viene dada por
x
i;
3
a
(8 )
a
12
Para un cuerpo radiante pequeño cuya superficie tiene un área vidad e rodeado por una superficie mayor de área A y emisividad
Obsérvese que cuando y cuando A y A, son igua AJA, es nulo, e se hace igual a e les, esta expresión se convierte en la correspondiente a superficies paralelas. Según A . D . M O O R E , los incrementos de radiación obtenidos con ranuras cuadr a das son los consignados en la tabla IV. Las superficies replegadas suelen dar mayor radiación que las planas de igual área proyectada.
a
= 5,7elO- (403,/J +
(12)
(7)
En la refrigeración de la maquinaria eléctrica ordinaria, la diferencia entre la temperatura de la máquina caliente y la del recinto en que se halla (es decir, las caras interiores de las paredes y el techo) es una fracción pequeña, quizá una décima, de la temperatura absoluta. Si es 6 + A la temperatura absoluta del dispositivo, y 6 la de las paredes que lo rodean, la radiación total es: i) = 5,7el0-
1 _
e =
El cuerpo que irradia calor obedeciendo a esta ley estará recibiendo calor por radia ción de los cuerpos que lo rodean. Si la temperatura del cuerpo es de 6 grados centí grados y está rodeado totalmente por un recinto mucho mayor de temperatura 0 la radiación total de calor será
p = 5,7e
239
Si se supone una temperatura ambiente de 25°C, la radiación total por centímetro cuadrado resulta ser, p « 0,00060e¿l W/cm».
III
TAB LA
6d%A + í6 A + A*) 2
3
a
EF EC TO APROXI
6,
MADO DE LAS
RANU
IV
RAS CUADRAD
AS SOBRE
LA RADIACI
ÓN DE
L CALOR
a
p x 5 ,7el0-
12
( 4 ^zl)
W/cm
2
.
Coeficiente de emisión de una superficie plana
(9)
Así pue s, cu an do la di fe re nc ia de te mp er at ur a es peq ueñ a, los wa tt s r ad ia do s p or ce n tímetro cuadrado son, aproximadamente,
p * 0,0228e í ^ — ) A 2
W/cm
2
,
0,26 0,50 0,75 1,00
(10) *
donde A es la elevación de temperatura por encima de la ambiente. La variación de p co n A es aproximadamente lineal para elevaciones de temperatura pequeñas.
Coeficienteeficaz * con ranuras cuadradas 0,48 0,75 0,89 1,00
Est e es el coeficie nte de emisión eficaz a utiliz ar con el área proye ctada .
• A. D. MOOKE,
(New York: McGraw-Hill Fundamentals of Electrical Design
Book Company, y
Inc., 1927), 116.
1
CIRCUITOS
240 4.
CONVECC
IÓN
DE L CALO
MAGNÉTICOS
PROPIEDADES
TÉRMICAS
E
Y CIRCULACIÓN DEL CALOR
TAB LA
A u n cu an do e l ai re e s m u y m a l co nd uc to r de l ca lo r, t od o cu er po c al ie nt e su me rg id o en una atmósfera fría creará corrientes naturales de convección que ayudarán mate rialmente a la refrigeración. La cantidad de calor disipada por la convección natural del aire es deí mismo orden de magnitud que la disipada por radiación, para dife rencias de tempe ratur a como las e xistentes ordinar iamente en la maq uina ria eléc trica, Sin embargo, utilizando corrientes forzadas de aire u otros gases, o utilizando fluidos tales com o el aceite y el agua que tien en una ca paci dad caloríf ica (en volu men) mucho mayor, que el aire, puede incrementarse mucho la disipación del calor. La cantidad de calor extraída por la convección natural en el aire es función no lineal del tamaño, forma, material de la superficie, condición y orientación del cuerpo caliente; de su temperatura y de la del aire que le rodea; y del carácter de sus alrededores especialmente en lo que puedan afectar a la circulación libre de las corrientes de aire. Es evidente que no pueden existir constantes de la convección general, ya que las relaciones no son lineales. No obstante, la tabla V, nos puede dar una idea general de las cantidades que intervienen. La disipación total en unidad de tiempo varía como la potencia 1,25 de la dife rencia de temperaturas en cada caso. Para la posición primera.
DISIPACIÓN
CONVECC
Eleva ción °C
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p = 0.000243Z1 ' W/cm 1 25
2
,
(14)
IÓN NATU
D EL CALOR EN WATT
RAL POR
UN A PLACA CU
Cara horizontal hacia arriba
POR
24
V PUL GAD A CUADRAD
ADR ADA DE ALUMINIO
Vertical
A DE BID A A LA
O ACERO DE TRES PIES
Cara horizontal hacia abajo
Por °C
Total
Por °C
Total
Por °C
Total
0,0027 0,0033 0,0036 0,0039 0,0041 0,0043 0,0045 0,0047 0,0048
0 0,027 0,066 0,108 0,156 0,205 0,258 0,315 0,376 0,432 0,490
0,0021 0,0025 0,0029 0,0031 0,0033 0,0034 0,0035 0,0036 0,0037 0,0038
0 0,021 0,050 0,087 0,124 0,165 0,204 0,245 0,288 0,333 0,380
0,0014 0,0017 0,0019 0,0021 0,0022 0,0023 0,0024 0,0024 0,0025 0,0025
0 0,014 0,034 0,057 0,084 0,110 0,138 0,168 0,192 0,225 0,250
0,0049
De E . GRIFFITHS y A. H. DAVIS, «The Transmissionof Heat b y Radiation and Convec tion*, Special Report,9 (Londres: H. M. Stationery Office,1931). Véase también A D MOOBB Fundamentals of Electrical Design (New York: McGraw-H ill Book Company, Inc 1927 ) 119* 4
donde A es la elevación de temperatura en grados centígrados. Para la posición segunda (vertical), p = 0,000191zl W/cm y para la tercera, p = O.OOOmzl - W/cm . lí5
1
25
2
2
(15) 5. .PvEFBIGEBACIÓ N DE L OS APARAT OS ELÉCTR ICOS
(16)
En general, los cuerpos más pequeños son capaces de disipar más calor por cen tímetro cuadrado debido a ejercer un efecto menor sobre la temperatura del aire loca l por parte de otras porciones del cuerpo cal iente. El aire al que se hal la expuesto el centro de una pl aca cu adr ada calient e de un metro de lado está caliente a c ausa de la gran superficie caliente adyacente; una superficie pequeña a igual temperatura dispon dría de mucho más aire fresco para extraer el calor, siendo iguales las demás cosas. El calor extraído mediante ventilación forzada varía casi linealmente con la velocidad, para velocidades de hasta 1 500 metros por minuto, y más despacio para velocidades mayores. En los tubos largos o conductos de refrigeración, el aire es más frío a la entrada y por ello la disipación de calor por centrímetro cuadrado de super ficie del conducto dis minuy e al aument ar la long itud , siendo iguales las de más con diciones. Debido a la no linealidad de la variación de la disipación con la forma, tamaño y longitud del conducto, así como con la velocidad, los datos de refrigera ción utilizables requieren, para su presentación adecuada, varias familias de curvas. Estas pueden encontrarse en diversos tratados de diseño de maquinaria eléctrica. Una expresión poco aproximada pero que da el orden de magnitud de la disipación en conductos es 0,0 05 W / c m por cada 1 000 metros por minuto y por grado centí
De todo lo visto anteriormente se deduce que la disipación total de calor por medios natur ales , radiación y convecció n, es del orden de 1/15 W /c m* par a una elevación de temperatura de 40°C en dispositivos tales como relés y motores pequeños encerrados. Este número debe considerarse como base aproximada para el diseño conservador de aparatos que dependen de una refrigeración natural. Con aislantes orgánicos, una disipación que superara a un sexto de watt por centí metro cua drado en f orma contin uada, probabl emente or igin aría perturbaciones. En las máquinas grandes, la disipación de calor por centímetro cuadrado aún sería menor si no se toman disposiciones especiales para la refrigeración. En la maquinaria electromagnética, las densidades de corriente y las inducciones magnéticas son del mismo orden de magnitud en las máquinas pequeñas que en las grandes, y, por tanto, las pérdidas varían aproximadamente como el volumen, o sea, como el cubo de las dimensiones lineales. La superficie, al variar como el cuadrado de las dimensiones lineales, crece con el tamaño más lentamente que las pérdidas. En consecuencia, cuanto mayor sea la máquina, tanto mayor será, en general, el diseño de un sistema de refrigeración adecuado. El problema de la refrigeración aumenta su importancia en forma análoga a como ocurre con el tamaño y la potencia característica de las válvulas electrónicas.
grado de ex ceso de temperatur
Sin embarg o, el problem a que nos ocupa es de disti
2
a sobre la temperatur
a media de l aire.
nta natura leza ya que por lo
menos
CIRCUITOS
242
MAGNÉTICOS
PROPIEDADES
el cátodo debe traba jar a una te mpe rat ura de vario s centenares de grados, a fin de proveer la emisión electrónica necesaria. A él hay que aplicar calentamiento en vez de refrigeración. En las válvulas ordinarias no hay aislante orgánico, por lo que son permisibles temperaturas más elevadas, aun cuando en ciertas aplicaciones el ruido térmico desarrollado en la válvula puede hacer conveniente una temperatura de cátodo lo más baja posible. La variación de forma y tamaño con el calentamiento afecta al funcionamiento de las válvulas en ciertos circuitos críticos. En las válvulas de mucha potencia son corrientes los ánodos refrigerados por agua. No obstante, en general, la refrigeración de dispositivos electrónicos, aun siendo imprescindible para su funcionamiento satisfactorio, tiene una solución proporcionalmente menos cos tosa que la refrigeración de la maquinaria de potencia. 5a . Transformadores *. Los transformadores de no má s de 100 k V A que funcionan a baja tensión pueden refrigerarse satisfactoriamente mediante una circu lación natural de aire alrededor de los devanados y de la coraza exterior. En tamaños mayores, y muy frecuentemente también en tamaños inferiores a los lOkVA, la coraza del transformador se llena de aceite, con lo que se propor ciona refrigeración y se incrementa la rigidez dieléctrica. En un transformador con aceite se pueden dejar huelgos menores y puede lograrse un diseño más compacto. El aceite es tan eficaz en la extracción del calor de los devanados y núcleo que el principal problema térmico del transformador autorrefrigerado por inmersión en aceité es el del paso del calor de la coraza al exterior. Puede utilizarse una coraza mayor, pero para transform adores de 30 k V A en adelante su ele aumentarse la super ficie refrig erador a por corrugación, o por el uso de radiado res exterio res unido s al tanque y que transportan el aceite en circulación. En los transformadores muy grandes, a veces se hace circular agua por el interior del cobre sumergido en aceite. Este método de refrigeración requiere grandes canti dades de agua, pero el costo inicial suele ser inferior que el de los transformadores equipados con los grandes radiadores que, de otra manera, serían necesarios. A vec es, se hac e ci rc ul ar el ace it e me di an te bo mb as a tra vés de un a tub erí a exterior sumergida en agua. Este método tiene la ventaja de evitar la formación de incrustaciones en el interior de las tuberías. Toda incrustación debida a las impurezas del agua se formará en el exterior, donde puede limpiarse con relativa facilidad. Puede aumentarse la capacidad de seguridad de los transformadores autorrefrigerados por inmersión en aceite, añadiendo ventiladores que fuercen el aire sobre las.super ficies de l os radiadores. Po r ejemplo, los transfo rmadores del extremo receptor de la línea de transmisión que va de Bo ul de r D am a Lo s Angeles ** son de 48 750 k V A cada uno cuando están autorrefrigerados y de 65 000 kV A cuando funcio nan con ventiladores. El incremento de la potencia es de un 33 / %. 56. Máquinas giratorias. Lo s núcleos de ind uci dos de moto res y generadores están constituidos de láminas de chapa de acero o de láminas troqueladas y se divi den en secciones, corrientemente de 5 a 8 cm de longitud, separados por conductos de ventilación. La anchura de éstos suele estar comprendida entre 1 cm y 1,25 cm, y la separación suelen proporcionarla pequeñas vigas en I soldadas por puntos a una lámina en una de sus caras. El giro de la máquina srcina un gran arrastre del aire, 1
8
* Pa ra un ulteri or estudio de la refrigeración de los transformad ores, véase el apartado 3 del capítulo XI. **
Eatoe t ranaforma dorea pueden verse en la figura 4 del capítu lo X.
TÉRMICAS
Y
CIRCUL ACIÓN
DEL
CALOR
y para incrementar la circulación suelen unirse a un extremo del motor, por lo m palas de un ventilador. Hay que insuflar enormes cantidades de aire refrigerante mediante turbo-alt dores muy grandes. Por ejemplo, una unidad de 50 000 kW que funcione co rendimiento del 98 % tendría pérdidas de 1 000 kW que requerirían un caud 1 700 m de aire por minuto, en la hipótesis de que la temperatura del aire se 30°C al pasar por la máquina. Para hacer pasar esta enorme cantidad de aire p conductores y entrehierros habría que utilizar velocidades de huracán y las pér por rozamiento serían muy grandes. Para reducir estas pérdidas por rozamiento y tener una refrigeración mejo ha sustituido el aire por el hidrógeno en los modernos generadores rápidos y e reactores síncronos. En estas máquinas se hace necesario que estén encerrada completo, de manera que con pocas precauciones contra las fugas se haga po utilizar hidrógeno en vez de aire. El refrigerante, sea aire o hidrógeno, suele cir por unidades refrigerantes y lavadoras y vuelve a la máquina. por unid El hidrógeno tiene, aproximadamente, el mismo calor específico volumen que el aire, a pesar de ser 14 veces más ligero. Su viscosidad es meno energía neces aria para acelerarl o a un a vel oci dad dada es mucho m enor. En el del hidrógeno, las pérdidas t-ji .les en su circulación sólo son el diez po r ciento d existentes en el caso del aire. El hidrógeno es mejor conductor del calor. Las cubiertas que rodean las máquinas refrigeradas por hidrógeno suelen ñarse con suficiente rigidez como para evitar daños exteriores debidos a una e sión del hidrógeno contenido cuando se mezcla con aire en la proporción que mezcla más explosiva. En un aspecto, el empleo de hidrógeno en lugar de ai seguridad, porque el hidrógeno no soporta la combustión del material org aislante. También parece probable que el deterioro con el tiempo se retarde algo a c de la eliminación de la oxidación lenta. No se dispone de una evidencia concluy de esto a causa del poco tiempo que lleva empleándose la refrigeración por hidró 3
6.
CALE
NTAM
IENT
O TRANSITORI
O
Para determinar la capacidad de sobrecarga corta de las máquinas y conduct eléctricos se precisa de un conocimiento de sus características de calentami transitorio. Ello también será interesante para determinar el tiempo que pu circular corrientes de cortocircuito de diversas intensidades sin dañar seriam al aislante. Problema relacionado con esto es la determinación del calentami debido a cargas cíclicas. Las comentes de cortocircuito intensas srcinan un calentamiento tan rá que la disipación de calor tiene entonces una importancia secundaria. Si se desp por completo la disipación, y se supone que todo el calor producido por efecto J t nece permanece en el conductor, puede calcularse directamente el tiempo para llevar un conductor desde una temperatura inicial 0 hasta una temperatu a causa de una corriente estacionaria de / amperes iniciada en el instante t PR, donde R es la r El calentamiento en unidad de tiempo, expresado en watt es tencia del conductor en ohm. Puesto que la resistencia del cobre varía como 234,5 o
0
2 4 4
CIRCUITOS
PROPIEDADES
MAGNÉTICOS
en el intervalo considerado, el calentamiento por unidad de tiempo y unidad de longi tud de conductor es
Í Üo x 2 3 4 A ± J A 234,5 + 0
w a
(17)
tt,
o
donde p o es la resi sti vid ad a 0 grados centígrados y A es el área de la sección. Representando por G la capacidad calorífica por un idad de vo lume n del m ateri al conductor, AG será la capacidad calorífica de la unidad de longitud del conductor. La elevación de temperatura en unidad de tiempo es proporcional al calor desarro llado por segundo e inversamente proporcional a la capacidad calorífica, luego, O
dd ^Pe» 234,5 + 0 dt A*G 234,5 + 6
(lg)
0
Integrando esta ecuación se tiene,
AG 2
f
„
= ^ (234,5 + 0
,
o
234,5
) l n—
- -
5
+ 6
9
o
,, 1Q
(19)
S .
Para el cobre a 0„ = 20°C,
„ 234,5 A + 0 < = 5, 1 2 x l 0 °— l n — ^ s , 2
,
(20)
9 A
.
donde A viene dada en centímetros cuadrados e / en amperes. Ejemplo. ¿Qué tie mpo emplea ría un pedazo de alambre de cobre del Núm. 0000 en calentarse desde 20°C hasta 200°C si conduce una corriente de 10 000 A? Solución: La sección del N.° 0000 es de 0,11 cm ' 0,11»
t = 5 12x 10 — 8
10 000 a
, ln
434,5
TÉRMICAS
Y CIRCULACIÓN DEL
CALOR
A mu ch as máqu inas eléc tric as se les exi ge un fu nc io na mi en to cíc lic o. El ca l tamiento no será siempre el factor limitador si las cargas son muy cortas e intens En ciclos cortos de variación de la carga puede calcularse el calor como debido una corriente hipotética de carga de intensidad constante igual a la intensi eficaz de la corriente verdadera durante el ciclo de carga, más las pérdidas const tes tales como pérdida en el núcleo, pérdida del campo en el cobre, y en el devana Para que sea adecuado este método, el ciclo de carga debe solamente ser una fr ción pequeña de la constante de tiempo térmica de la máquina. En estas condicion la variación cíclica de temperatura sólo será una pequeña fracción de la elevac total sobre la temperatura ambiente y puede despreciarse. Ejemplos de ciclos de trabajo cortos son los de los generadores y transformado para soldadura eléctrica; los de motores de máquinas herramientas tales co limadoras y cepilladoras, en las que se precisa inversión; y en los ascensores, mon cargas de minas y laminadores. En ciclos de trabajo que cubran un tiempo comparable o superior que la co tante de tiempo térmica de la máquina deben considerarse la capacidad calorífi la conductancia térmica y la disipación de la máquina, ya que existirá una variac cíclica considerable de la temperatura. El hablar de una simple «constante de tiempo térmica» de una máquina, a siendo conve nient e, es en real ida d una supersim plificación. La s disti nta s partes una máquina no alcanzan sus temperaturas finales respectivas a carga consta siguiendo la misma curva, ni siquiera curvas semejantes. Los ciclos largos de trabajo se presentan en los generadores, transformado y cables de sistemas de potencia (ciclo de 24 horas) y en los motores que accion perforadoras o tornos que requieren a veces varias horas para realizar un traba Los transformadores que alimentan hornos o baños electroquímicos, o arcos el tricos, pueden tener ciclos de trabajo largos. Hasta la fecha no existe ningún méto normal izado para ca librar máquin as sometidas a tales ciclos *, observánd ose gr interés en esta cuestión en las publicaciones técnicas modernas. Sugerimos consul las referencias consignadas en la bibliografía.
254,5 * En el apartado 8 el d capítulo XI V, s e estudian las normasamericanas pro puestas p calibrar los transformadores de potencia y de distribución.
= 3,1 s.
Puede justificarse la omisión de las pérdidas de calor durante este corto período de tiempo comparando los watt de calor disipados a 200°C con la potencia convertida en calor por efecto Joule. En el problema específico, este método es total mente satisfactorio, dada la pequenez del cociente entre el calor disipado y el desarro llado. Por otra parte, si el mismo alambre transportara una corriente de 1 000 A sola mente (la décima parte que antes) no se calentaría en modo alguno hasta 200°C en 310 8, según indica la fórmula, ya que la disipación de calor sería un factor regulador. En la maquinaria eléctrica, las características de calentamiento transitorio suelen expresarse dando la capacidad a la sobrecarga durante un período de media hora, una hora o dos horas, a continuación de un tiempo de funcionamiento continuo a plena carga. Por ejemplo, una máquina normal que presente una elevación de tem peratura de 40«C funcionando continuamente a plena carga puede soportar el 125 % de su plena carga durante dos horas con una elevación total de temperatura de 55°C sobre la temperatura ambiente.
PR
CA PI TU L O
IX
Consideraciones generales de diseño y costo Hasta ahora se han considerado individualmente diversos tipos de fenómenos de campo y de circuito: eléctricos, dieléctricos, magnéticos y térmicos. De ahora en adelante estudiaremos los tipos más importantes de aparatos y maquinaria eléctrica. Las teorías de las que pueden calcularse sus características eléctricas se desarro llarán combinando los conceptos fundamentales de los circuitos eléctricos, dieléc tricos, magnéticos y térmicos contenidos. 1
MAQUINA RIA
ELÉ CTRICA
El mejor diseño es el mejor compromiso entre los diversos elementos conten dientes que deban entrar en él. En maquinaria eléctrica son: 1. El circu ito (o circuitos) eléctrico, 2. E l circuito magnético,
Parte II TRANSF
ORMADORE
S
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
El circuito circuito térmico dieléct rico El , (aislamiento), El circuit o mecánico (medi os para soportar los diferentes esfuerzos mecánicos), Balance del costo, Fa cilid ad de fab rica ción , Fa cilid ad de mantenimiento y rep ara ció n, Caract erísticas acústicas (funcionamien to razonablemente silencioso).
El costo es esencial en ingeniería y constituye un factor regulador en el diseño de la maquinaria eléctrica. Prácticamente todas las máquinas existentes pueden volver a diseñarse con facilidad para lograr mayores rendimientos y mejores carac terísticas de funcionamiento, a expensas de un mayor costo de fabricación; pero, cuando el diseño existente se ha realizado adecuadamen te a la luz de lo s conocimientos técnicos del momento, el costo incremental correspondiente a la mejora del rendi miento o de otras características será mayor que el valor de dicha mejora. Específi camente, el rendimiento de una máquina de un cierto diseño es el mejor posible si la suma del costo inicial y el valor actual de las pérdidas-a lo largo de toda su vida útil prevista es mínima, siendo igual todo lo demás. La competencia de precios puede forzar a un diseño de costo más bajo, pero esa economía es falsa. La elección de los materiales está influida por los costos y el continuo desarrollo de materiales mejores mantiene al diseño en continua evolución, como ocurre con el aumento de conocimientos técnicos. El cobre es superior en conductibilidad a todos los demás metales menos la plata, por lo que se emplea casi exclusivamente en los devanados de las máquinas, ya que el costo de la plata es unas 50 veces mayor. El aluminio suele competir en costo con el cobre (costo por mho-metro), pero a causa de su mayor tamaño para una conductanc ia dada no suele s er adecua do para devanados, ya que el espacio disponible debe repartirse celosamente entre los mate riales magnético y aislante y los medios de refrigeración —conductos y demás— 240
250
TRANSFORMADORES
así como entre los mismos conductores. Los rotores en jaula de ardilla de los motores de inducción se hacen muchas veces de aluminio fundido, por razones que más adelante se verán. A las gra nde s in du cc io ne s magn éti cas ut il iz ad as en la ma qu in ar ia eléc tric a de potencia, los mejores materiales magnéticos son el hierro puro y el hierro dulce, desde los puntos de vista del costo y del funcionamiento. A inducciones magnéticas bajas, las aleaciones níquel-hierro (grupo «permalloy») y el hierro muy puro son superiores, y así hallan su aplicación en los transformadores para comunicaciones y en las bobinas de choke. Para reducir los efectos de las corrientes de Foucault inducidas por los flujos variables con el tiempo, el circuito magnético suele construirse con láminas barnizad as de acero al silici o, cu yo espesor es el det ermi nado por el compromiso óptimo entre el gasto de fabricación y la ganancia en características de funcionamiento. En los transformadores para sistemas de potencia suelen emplearse láminas de espesor 0,014 pulgadas (0,36 mm). Las caras y piezas polares que soportan principalmente un flujo continuo al que se encuentra superpuesto un cierto rizado, suelen emplear láminas mucho más gruesas. Los rotores de los alternadores movidos por turbina de vapor rápidas están constituidos por piezas de forja macizas de acero, a causa de los grandes esfuerzos centrífugos que deben soportar, a pesar de la exis tencia de pérdidas ocasionadas por el rizado. Incidentalmente, en este caso todo el diseño está afectado por la gran velocidad y la máquina se construye relativamente larga y delgada a fin de reducir al mínimo los esfuerzos centrífugos y las pérdidas por generación de viento. Las características de la máquina motriz, que exigen gran velocidad para tener buen rendimiento, afectan al diseño en forma primordial. La resistencia mecánica de las diversas partes de la máquina suele ser varias veces mayor que las fuerzas de carga normales. Hay que proporcionar una robus tez suficiente para soportar las fuerzas de cortocircuito, las fuerzas de inercia debidas a disminuciones bruscas de velocidad o a inversión rápida y a los fuertes golpes que siempre pueden esperarse en la práctica. Las máquinas giratorias que no tienen que realizar trabajo exterior, tales como los motores síncronos sobreexcitados y los convertidores sincrónicos suelen estar dotados de árboles mucho más ligeros que los motores de igual potencia aparente. En la fabricación de maquinaria eléctrica se procura utilizar piezas individuales normalizadas en los diseños del mayor número de máquinas. Por ejemplo, en docenas de motores de velo cidade s, tens iones, po tenc ias, número de fases e inclus o tipo s, se emplea el mismo diseño de laminación. Puede servirse un encargo de un motor especial de tamaño moderado sin recurrir al método prohibitivo, por lo caro, de realizar un diseño completo nuevo, sino seleccionando primeramente un tamaño adecuado de armadura, luego de láminas, de bobinas preformadas y de otras partes normalizadas que pueden conjuntarse en una máquina que reúna los requisitos pedidos. Muy frecuentemente, el diseñador se guía por dos o más objetivos y debe realizar una valorización relativa de ellos. Por ejemplo, un motor de inducción tiene unas características de funcionamiento limitadas por su par máximo y por el calentamiento de su estator. Hay que decidir cuántas veces mayor que el par a plena carga ha de ser el par máximo. Una reactancia síncrona debe poder consumir potencia reactiva adelantada o atrasada. Hay que decidir cuál es el valor adecuado del cociente entre las dos capacidades.
CONSIDERACIONES
GENERALES
DE
DISEÑO
Y
COSTO
Las máquinas giratorias suelen llevar los devanados dentro de ranuras y el f magnético de la máquina encuentra la parte más restringida de su camino en el hie en los dientes que limitan dichas ranuras. Hay que tener un cuidado especial e valoración de la inducción ma gnética en las parte s más est rechas de los dien a causa de la rapidez con que crecen con la inducción magnética por encima del c de la curva de saturación, las pérdidas en el núcleo y el campo magnético. Si en dientes es débil la inducción magnética, el diseño es pobre porque se desperd mucho material y peso en otras partes del circuito magnético en donde la inducc magnética es a ún menor . Ha y. mu y poca tole ranc ia para un buen diseño. No pretendemos presentar aquí, ni aún brevemente, los detalles del diseño máquinas eléctricas, sino simplemente indicar algunos de los principios básicos lo guían. El conocimiento y la apreciación de estos principios sirven para dar perspectiva en el estudio de la teoría del funcionamiento y de sus características
2 . SISTEM
AS
DE
POTE NCIA
El diseño adecuado de un sistema de potencia, utilizando equipe y unida individuales de máquinas está guiado por los mismos principios fundamenta que el diseño de las propias unidades. Las características de los dispositivos de ca imponen ciertos requisitos definidos. La potencia eléctrica suministrada por sistema estará caracterizada por su tensión constante o casi constante, segurid fases equilibradas (si es polifásico), forma de onda sinusoidal y frecuencia constan Ad em ás de esto s re qu is it os im pu es to s po r la s car gas , ha y que co mb at ir la in te r rencia inductiva con circuitos de comunicaciones y todo el sistema debe estar di ñado para que realice las funciones requeridas con un costo anual total míni Las centrales generadoras hidroeléctricas deberán complementarse con térmi si son de esperar períodos de estiaje. Las centrales térmicas deberán instalarse lugares en que sea fácil una refrigeración por agua adecuada y sea económico el tra porte del combustible. Entre los problemas que debe tratar el diseñador de un siste de potencia se cuentan: la selección del tamaño de los generadores y el número unidades auxiliares; la alección de la frecuencia, tensión, número de fases, tipo sistema de distribución y la determinación de los tipos de pararrayos y grado protección contra las descargas atmosféricas y tipo y número de relés automáti protectores.
3. DISPOSITIVOS
EL ECT RÓNIC
OS
En comunicaciones, mando y otros circuitos se utilizan dispositivos eléctri y electrónicos de poca potencia. En tales equipos, la disipación del calor no cons tuye problema alguno y la potencia consumida podrá despreciarse salvo en lo q afecta al funcionamiento general. Para tales dispositivos, entre los que se cuent las válvulas de vacío para recepción, condensadores pequeños, relés, bobinas choke, altavoces, etc., el criterio de diseño contiene un equilibrio entre el co incremental y la calidad del funcionamiento. En los aparatos de gran cal idad y peque tamaño, la consideración del costo puede quedar relegada a segundo término duran
252
TRANSFORMADORES
el desarrollo del diseño, hasta que se considere el problema de la producción. Esto no vale para apar atos grandes. La s válvulas de gran potenci a para transmisión requi eren que se les proporcione refrigeración a los ánodos, siendo muy común la circulación de agua por el ánodo. El empleo de los mejores materiales para los cátodos y para las demás partes, el montaje robusto para reducir al mínimo las vibraciones y el microfonismo y la situación y separación precisas de los diversos electrodos, aun teniendo importancia, no aumentan prácticamente el costo de la válvula cuando se trata de grandes cantidades. La limitación de potencia de las válvulas puede deberse a su capa cid ad de tensión, a la facilidad de establecerse descargas disruptivas entre el ánodo y los otros elec trodos o, en los tubos de gas, a su tensión inversa disruptiva. La limitación de la intensidad de la corriente puede deberse al calentamiento del ánodo o a la emisión catódica modificada por efecto de la carga espacial. A frecuencias ultraelevadas, el tiempo de tránsito de los electrones tiene gran importancia y en las válvulas ordi narias puede exigir una modificación drástica del tamaño y disposición de los elec trodos. Para una válvula de potencia dada cualquiera, la elección por los diseñadores de la tensión de placa y de la intensidad de la corriente características representa un compromiso al que se llega considerando los costos increméntales relativos de la válvula y también los costos de los generadores de potencia y de otros elementos de circuito y dispositivos que se tengan que usar con las válvulas. Por ejemplo, una válv ula de 5 W diseñada par a 500 V y 10 mA es much o más económi ca que ot ra que se dise ñe para 5 0 V y 100 m A, porqu e la gra n emisión catódica, las grandes capacidades requeridas por los" circuitos exteriores y el bajo rendimiento de recti ficación asociados a la segunda válvula incrementarán los costos mucho más que los hará disminuir el pequeño ahorro debido a la menor separación y al menor aislante requerido por la nueva tensión disruptiva. Existen tantos tipos de válvulas electrónicas que cualquier estudio breve de los principios de diseño sólo podrán reducirse a cuestiones muy generales. Partiendo de un diseño de prueba, se justifica todo cambio que aumente de alguna manera la efectividad de la válvula a menos que su ventaja quede anulada por alguna otra disminución de efectividad, o a menos que el costo del diseño reformado pese más que la ganancia en las características de la válvula. En el mercado se halla un gran número de diseños de válvulas. Una consideración importante en el diseño de toda una serie de válvulas es el equilibrio adecuado entre, po r una parte, l a normalización de rela tiv ame nte pocos dise ños a fin de obtener los beneficios máximos de la producción en masa y el mínimo número de requisitos de catálogo y, por otra parte, la producción de un número relativamente grande de diseños a fin de poder disponer de válvulas diseñadas individual y específicamente para un campo de aplicación más reducido y especializado. Por ejemplo, entre las válvula s de recep ción deben haber re ctificadoras, indic adoras, conversoras, amp li ficador as de tensió n, detectoras y amplifi cador as de potencia . P ar a la mayoría de las aplicaciones a radiorreceptores bastan aproximadamente 30 válvulas de entre todas esas categorías, si bien se fabrican varios centenares.
CONSIDERACIONES
4.
CIRCU
ITOS
GENERALES
ELE CTR ÓN ICO S Y DE
OTRO
DE
DISEÑO
Y
COSTO
S TIPOS
Los análisis de muchos circuitos y dispositivos que utilizan elementos de gobie electrónicos o de otro tipo de poco consumo, se caracterizan por una gran com j i da d, es pe ci al me nt e cu an do se co ns id er an ci rc ui to s eq ui va le nt es . El dis eña do estos dispositivos suele considerar suficiente seleccionar entre las unidades di nibles en el mercado aquella s que son más adecuadas y dispon er su circuit o de man que se obtengan los resultados deseados de la manera más sencilla y directa. Ha un cierto límite, pueden utilizarse provechosamente los métodos experimentale diseño, ya que el análisis teórico completo del circuito podría ser muy engorro casi imposible, y por tanto costoso. En cambio, el costo de los métodos experime les de prueba y error, bien dirigidos, puede ser relativamente bajo a causa de los b costos de los elementos y del montaje del conjunto experimental de todos ello En los circuitos de señalización y mando, la seguridad debe ser el único crit importante. Por ejemplo, en la señalización de ferrocarriles el fallo de un mecanis de un circuito, o de una fuente de alimentación de potencia puede hacer que maquinista de locomotora perciba la señal de peligro en vez de la luz verde. fallos de los circuitos pueden reducirse empleando relés de contactos dobles, e incl cableado en paralelo. En el diseño de circuitos de mando y para otros fines espe les, puede surgir el conflicto entre el costo inicial y el de mantenimiento. Por ejem el empleo de un relé que realice varias funciones puede reducir materialment número de relés de un circuito; pero los ajustes que habrá que realizar sobre él se probablemente más críticos y más difícil la formación de personal para su m tenimiento. No es faro encontrar que un tipo particular de dispositivos se pueda volve diseñar repetidamente con el máximo cuidado para un fin específico, sin po cu mpl ir adecuad ament e la función par a la que se dest ina . Es ta situación es, a menu precursora de la invención de un método totalmente nuevo para conseguir el result deseado. Si dicha invención es importante, suele pasar por una serie de desarro y perfeccionamientos del diseño. Ejemplos de esto son el arte de «cargar» las lín telefónicas, debido a HEAVISIDE y posteriormente perfeccionado por M. I. P U y G. A. CAMPBELL ; el invento del triodo termoiónico amplificador, que desplazó «repetidor» electromecánico; y el tubo de modulación de la velocidad, generador frecuencias ultraelevadas que evita las perturbaciones debidas al tiempo de trán de los electrones haciendo uso de él, que representa una seria limitación en válvul as ordina rias. En la técnica hay que realizar continuamente compromisos y el mejor técn es aquel que reconoce y valora mejor las fuerzas pertinentes que actúan sobre diseño, aplicación y funcionamiento, y con imaginación, precisión, destreza y recur sabe elegir el mejor compromiso.
C AP
IT
U LO
TRANSFORMADORES:
X
Transformadores: Principios generales En su forma más simple, un transformador consiste en dos devanados conduc tores que se ejercen inducción mutua. El primario es el devanado que recibe la potencia eléctrica, y el secundario es el que puede entregarla a una red exterior. Los devanados suelen estarlo sobre un núcleo laminado de material magnético, o constit uido por una aleación pulver izad a y comp rimi da, y entonces se h abla de un transformador con núcleo de hierro. A veces, como ocurre en muchos transfor madores de radiofrecuencia, no hay núcleo alguno y se dice que se trata de un transformador con núcleo de aire. En otros tipos, como ocurre en la bobina de induc ción, el núcleo puede estar constituido por un haz compacto de alambres finos de hierro, constituyendo el aire el camino de retorno para el flujo magnético. Otros ejemplos de esta construcción abierta se encuentran en los transformadores utili zados en teléfonos y algunos tipos de transformadores de radiofrecuencia.
1.
TEO RÍA
F io.
ELE ME NT AL DE L TRANSFORMADOR
1.
Esquem a de un transformado r, indicando lo s sentidos positivos de las corri ent tensiones que figuran en las ecuaciones (1) y (2)
x
2
x
+ c,
x x
GENERALES
corrientes que los crean y, en consecuencia, por el principio de superposición, po expresarse los flujos totales como suma de las componentes creadas por cada corri actuando por sí sola. Es decir, X = L i + Mi l = L i + Mi
Cuando se desprecian las corrientes de desplazamiento debidas a las capacidades de los devanados, los principios fundamentales a partir de los cuales se desarrolla la teoría de los transformadores vienen expresados por las ecuaciones
v = R i+ ^- =
PRINCIPIOS
Para estos sentidos positivos, los signos algebraicos de las ecuaciones fundament son los que figuran en las ecuaciones (1) y (2) *. Para utilizar las ecuaciones (1) y (2) es necesario hallar las relaciones existe entre los flujos y las intensidades de corriente en los devanados. Si es constant permeabilidad del núcleo, los flujos serán proporcionales a las intensidades de
(1)
x x
2 2
2
v
donde L y L son los coeficientes de autoinducción de los devanados y M es el L i es la compo nente del f ficiente de inducción mut ua. En esta s ecuaciones, que atraviesa el primario creada por la corriente primaria, y Mi es la compon del flujo que atraviesa el primario creada por la corriente del otro devanado. logamente, L i y Mi son las componentes de autoinducción y de inducción m L , L y M son las consta del flujo que atraviesa el secundario. Los coeficientes de proporcionalidad que relacionan las componentes de los flujos con las corrie que las crean. Entonces, según la teoría clásica de los circuitos lineales acopla las ecuaciones fundamentales pueden escribirse en la forma x
2
x x
V = Ri + 2
=
2 2
2
#2*2 + 2 ,
( )
e
2
2 2
donde los subíndices
1 y 2 se refieren a los devanados primario y secundario, y
v y v son las tensiones instantáneas terminales, i, e i son las intensidades instantáneas de las corrientes, R\ y R son las resistencias efectivas, X y X son los flujos instantáneos que atraviesan todas las espiras de primario y secundario, e y e son las tensiones instantáneas inducidas en primario y secundario por los flujos variables con el tiempo. Puede emplearse cualquier sistema compatible de unidades. En estas ecuaciones, los sentidos positivos de las tensiones se toman como caídas de potencial en el sentido de un tornillo directo respecto a un sentido del flujo tomado como positivo y se indican con los signos + y — en la figura 1. También es conveniente considerar sentidos positivos para las corrientes de primario y secundario en este mismo sentido del i e i de la figura 1. tornillo directo respecto al flujo positivo, según indican las flechas x
2
2
x
x
2
2
x
x
2
v = R i + L % + M
l í
x
2
x
254
2
v^R.H + L
^+M ^
La permeabilidad del núcleo de hierro de un transformador no es constant por tanto sus coeficientes de autoinducción no son constantes; sus valores depe de las condiciones magnéticas instantáneas en el núcleo. Así, pues, es evidente q «
Con relaoión a estos signos algebraicos, repésese el apartado 4 del capitul o VI.
TRANSFORMADORES
256
TRANSFORMADORES:
aplicación de las ecuaciones (3), (4), (5) y (6) con coeficientes de autoinducción cons tantes, a un transformador con núcleo de hierro, no es rigurosa, si bien se utilizan a menudo como base para el análisis de dichos transformadores y los resultados así obtenidos, adecuadamente interpretados, suelen concordar satisfactoriamente con los resultado s experimentales. En el capítulo XV I I se estudia este método de aná lisis, pero de momento es aconsejable adoptar otro método particularme nte adecuado para el análisis de los transformadores con núcleo de hierro y que no implica la super posición de componentes del flujo, proceso éste que requiere una considerable justi ficación cuando se aplica a núcleos magnéticos no lineales. Para obtener un concepto físico del comportamiento de un transformador con núcleo de hierro y una primera aproximación a la teoría de su comportamiento, supongamos que todo el flujo se halla confinado en el núcleo magnético de gran per meabilidad y que por tanto atraviesa a todas las espiras de ambos devanados. Luego se estudiarán los efectos de las fugas magnéticas. De acuerdo con esta hipótesis, los flujos totales que atraviesan a primario y secundario son: A = Na
(7) (8)
x
/ = N
t
donde N, y Ndel sonflujo los en números de (o espiras de primario y secundario es el valor
v ^B i + N
^ ^ B i
+ e
í
(9)
t>, = Bfa + N^ = B i + e ,
(10)
1
l l
l
í
t t
l
a
donde e, y e. son las tensiones inducidas por el flujo variable con el tie mpo en el núcleo Consideremos, en primer lugar, las condiciones existentes cuando está abierto el secundario y a los terminales del primario se aplica una tensión alterna de amplitud y frecuencia constantes. Según la ecuación (9), el flujo deberá ajustarse por sí mismo de manera que la suma de la calda óhmica en el primario más la fuerza contraelectromotriz inducida por el flujo variable con el tiempo equilibre exactamente a la tensión aplicada, y la corriente del primario que crea el flujo debe ajustar su inten sidad para satisf acer esta s condiciones. Co mo la caída ó hmica en vacío en el primario suele ser muy pequeña, la tensión inducida en el primario será casi igual a la tensión aplicada. El flujo en el núcleo induce también una tensión en el secundario y como la mayoría del flujo está confinado en el núcleo, la razón de la tensión en el primario a la tensión en el secundario es casi igual a la razón del número de espiras del primario al número de espiras del secundario. De esta manera, este sencillo dispositivo está-
PRINCIPIOS
GENERALES
tico es capaz de cam biar la tensión a la cual se dispone de la potencia de un genera de corriente alterna. Si se conecta el secundario a un circuito de utilización, circulará corriente po secundario. El núcleo se halla ahora accionado por la fuerza magnetomotriz d corriente del secundario pero, a pesar de esta fuerza magnetomotriz, el flujo e núcleo queda prácticamente inalterado, puesto que en virtud de la ecuación este flujo debe induc ir aún una fuerza contraelectromotriz en el primario que difi de la tensión a él aplicada solamente en la caída óhmica en el primario, que s ser pequeña incluso a plena carga. L uego , cuando por el secundario circula corrie la intensidad de la corriente del primario varía de manera que compense a la fue contraelectromotriz de la corriente del secundario. Suele convenir considerar la corriente del primario como suma de una co nente de excitación »¿ y una componente de carga i' . Es decir, L
i
1 =
%; + i' .
(
L
La corriente de excitación t¿ es la componente de la corriente del primario que suficiente por sí misma para crear el flujo requerido para inducir la fuerza cont electromotriz en el primar io y es igu al a la intensidad de la corriente en vacío corr pondiente a unas condiciones en vacío para las cuales el flujo en el núcleo se mismo que en carga. La componente de cargai' de la corriente del primario c una fuerza magnetomotriz que se opone y equilibra exactamente a la fuerza mag tomotriz de la corriente del secundario. Si se toman en el mismo sentido respe al núcleo los sentidos positivos de las corrientes de primario y secundario —co i e t en la figura 1— la relación entre la intensidad de la corriente de secundari y la componente de cargai' de la corriente del primario es: L
t
a
L
NJ'L = — N i . t
2
Por tanto, cuando se conecta el secundario a un circuito de utilización, la corrie consumida por la carga srcina una variación compensadora en la corriente primario.
2 . TRANS
FORMADOR
IDEAL
El moderno transformador con núcleo de hierro se acerca tanto a la perfecc que puede considerarse eri muchos problemas como un dispositivo transfor dor perfecto. E n la forma más sencilla de la teoría del transformador se supo que: 1. Son desprecia bles la s resistencia s de los devanados; 2. Es despreciable la pérdida en el núcleo; 3. ,E1 flujo magnético total atraviesa todas las esp iras de ambos devanados; 4. La permeabilida d del núcleo es tan elevada q ue con una fuerza magneto triz despreciable se consigue el flujo necesario; 5. L as capacidades de los devanados son despreciables .
TRANSFORMADORES
258
TRANSFORMADORES:
2
«, = «,-1», l
A V , + N i = 0. 2 t
»1
y
A",
• (18)
Nr
2
Así , pa ra un tr an sf or ma do r id ea l, las te nsi one s inst antán eas en tre te rm in al es son proporcionales a los números de espiras de los devanados y sus formas de onda son exactamente iguales. Además, cuando se recorren los devanados de la figura 1 desde sus terminales marcados con punto hasta sus terminales sin marcar, el nú cleo se halla rodeado en el mismo sentido por ambos devanados y por tanto, para un transformador ideal, las tensiones entre terminales de primario y secundario están en concordancia de fase cuando se toman sus sentidos positivos en los senti dos indicados por los signos + y — de la figura 1. Es decir, en un instante cual quiera, el terminal del primario marcado con un punto, tiene, en realidad, la misma polaridad relativa que el terminal del secundario marcado con un punto. • Obsé rves e que el funcion amiento d e un transform ador depende del flujo vari a ble con el tiempo y por tanto, en el estado permanente, el transformador funciona únicamente con tensión alterna.^
El signo menos de la ecuación (20) indica que las corrientes crean fuerzas ma (19) y (20) c tomotrices de sentidos opuestos. Cuando se emplean las ecuaciones aproximaciones para un transformador real, no se aplicarán a las corrientes tinuas estacionarias que puedan existir en los devanados debido a causas e riores. Obsérvese que las flechas i e i de la figura 1, sólo indican los sentidos po vos de las corrientes, supuestos ambos en el sentido del tornillo directo, resp i circule al flujo positivo. Las flechas no significan que mientras la corriente su sentido positivo, la corriente del secundario circule también en su sentido posit Como las corrientes de primario y secundario crean fuerzas magnetomotrices op tas, las corrientes de primario y secundario en el sentido directo en un transfor dor ideal, están en oposición de fase, según indica el signo menos, de la ecuación Es decir, mientras la corriente del primario penetra por el terminal marcado un punt o, la corriente del secundario sale por el te rmina l marcado con pu y entra en el terminal correspondiente del circuito de utilización. (18) por la (20), Multiplicando la ecuación x
v,%
El transformado r ideal se estudia basándose en las ecuaciones de los circuitos acoplados y se demuestra que, según la hipótesis 3, los cocientes entre los coeficientes de autoinducción de un transformador ideal son L, M JV, 2
=
=
L, L.
L„ INA* \ N» j
3)
2
x
Según las hipótesis 2 y 4, la fuerza magnetomotriz total necesaria para crear el flujo resultante es nula. La fuerza magnetomotriz total es la resultante de los
M
^2
•
donde q> es el flujo resultante creado por la acción simultánea de las corrientes de primario y secundario. Luego l>!
GENERALES
Es decir, para un transformador ideal, la corriente de excitación es nula y por ta en virtud de la ecuación (11), la corriente del primario coincide con su compon de carga y la ecuación (12) se reduce a la (19), para un transformador ideal,
««i
d
PRINCIPIOS
ampere-espiras de primario y secundario y por tanto, si se toman los sentidos sitivos de las corrientes de primario y secundario en el mismo sentido respect núcleo, como en la figura 1,
Es decir, se supone que el transformador tiene unas características que se aproximan a las de un transformador ideal, sin pérdidas, sin fugas magnéticas y sin corriente de excitación . De acuerdo con las hipótesis 1 y 3, las ecuaciones (9) y (10) se reducen para un transformador ideal a
(]
N., ( U
9
Es decir, para un transformador ideal, las potencias instantáneas en primari secundario son numéricamente iguales. El signo menos demuestra que, mient el secundario entrega potencia al circuito de utilización, el primario absorbe tencia del generador. Dividiendo la ecuación (18) por la (20) se tiene,
)
El coeficiente de acoplo k, definido por
k = -
M
....
d»)
es una cantidad útil en la teoría de los circuitos acoplados. De las ecuaciones (13) y (14) resulta que el coeficiente de acoplo de un transformador ideal es la unidad. Según la hipótesis 4, los coeficientes de autoinducción dé un transformador ideal son infinitamente grandes, pero entre ellos se cumplen las relaciones indicadas en las ecuaciones (13) y (14).
o sea,
Si se conecta al secundar io una carga resistiva como se indi ca en la figura la corriente instantánea que circula por la carga, tiene el mismo sentido que la ca
TRANSFORMADORES
260
TRANSFORMADORES:
v la tensión entre los terminales del se instantánea de potencia en la carga. Si es cundario de la figura 2, la intensidad de la corriente que atraviesa la carga en el i¡.. sentido de la caída de potencia es Obsérvese que, en la figura 2, 2
(24) Luego, v, F ie . 2. Esquem a simplificado de un transfo ro mador. Los terminales marcados con punto son de igual polaridad relativa y corresponden a los terminales marcados con punto en la figura 1
=
RLÍL
=
—
(25)
RLÚ
sea, (26)
RL
De las ecuaciones (23) y (26),
N
(27)
RL 9
Así , en la pa rt e de l pr im ar io , la com bin aci ón de la car ga y el tr an sf or ma do r eq ui vale a una resistencia • (28) conectada en el circuito del primario. Este resultado puede extenderse a un trans Z conectada a los terminales del secundario. formador ideal con una impedancia Luego, si se interpone un transformador entre una carga y un generador, la impe dancia aparente que la carga presenta al generador se puede transformar en un valor diferente del de la impedancia real de la carga.
MADOR
p
f
t
^ Por tant o, puede decirse que un transformador es un dispos itivo que transform a tensiones alternas, intensidades de corriente alterna, o impedancias. También pue de servir para aislar un circuito de otro o para aislar la corriente continua, man teniendo al mismo tiempo la continuidad de la corriente alterna entre los circuitos.^
Usos D E LOS TRANSFOR
GENERALES
L
L
'.i.
PRINCIPIOS
misión a 125 V se necesitarán unos 34 000 000 kg de cob re, y so lam ent e ge n sitarían 3 400 kg para la transmisión a 12 500 V. SI el cable de cobre cuesta a 25 setas kilo, el costo de los cables de transmisión, solamente sería en el primer c de 850 000 000 de pta, y en el segundo , solo d e 85 000 pts. Un tran sfo rmad or 500 k V A que reduzca la tensión de la línea de 1 2 500 Va 125 V, cu esta unas 110 pesetas. Su rendimient o a plena carga es , apr oxima dament e del 98,5 %. El sistema de transmisión y distribución por corriente alterna se ha hecho c universal a causa de que el transformador hace posible el funcionamiento de diferentes partes del sistema a sus tensiones más adecuadas. Otros factores imp tantes que favorecen los sistemas de corriente alterna son las excelentes cualida de los generadores sincrónicos y de los motores de inducción. No es exagerado a mar que sin la simplicidad, manejabilidad y gran rendimiento del transformad hubiera sido imposible el enorme desarrollo de los sistemas de transmisión y tribución eléctrica de los últimos cincuenta años. En el campo de las comunicaciones eléctricas, .también es indispensable el tra formador. Entre otros empleos, hace posible una transmisión máxima de poten de una sección a otra de un circuito. Por ejemplo, consideremos un amplifica lineal (clase A) de válvula de vacío, que suministre potencia a un altavoz. P la corriente alterna, la salida de un amplificador lineal se puede considerar co fie,, en serie con la resistencia dinámica un generador de fuerza electromotriz es placa r de la válvula, donde fi es el factor de amplificación de la válvula y e tensión alterna de señal aplicada entre reja y cátodo. Consideremos una válv amplificadora que tenga un factor de amplificación de 5 y una resistencia de pl de 2 000 ohm y que suminis tre potenc ia a un altavoz dinámico que, en pr im aproximación, puede considerarse como resistencia pura R de 10 ohm. Si se nectara directamente en serie el altavoz de 10 ohm con el circuito de placa de la v vula y si el valor eficaz ¡j,E de la tensión alterna dé señal fuera 100 V, la poten suministrada al altavoz, sería
ES
En la distribución de potencia eléctrica, razones de seguridad exigen que la tensión a que Se suministre la potencia a los usuarios no supere los 300 V. En la mayoría de las localidades españolas, la tensión de suministro es de 125 V, si bien modernamente se tiende a adoptar las de 220 V para alumbrado y 380 V para usos industriales. Supongamos que en un lugar situado a 15 km de la estación genera dora exista una demanda de 500 kW de una potencia suministrada en forma de corriente monofásica de tensión 125 V con un factor de potencia unidad. Si se ajusta (I R) la cantidad de cobre de los hilos de manera que las pérdidas por transmisión sean de 75 k W , o sea, un rendimient o del 87 %, para realizar la trans2
Según se sabe, la potencia suministrada a una resistencia es máxima cuando é es igual a la resistencia interna del generador (se supone que no existen reactanc y que la fuerza electromotriz y resistencia del generador son constantes). Lue si fuera despreciable la distorsión, la potencia máxima que se podría obtener .d e válvula amplifi cadora cuy a fuerza electrom otriz es de 1 00 "V y cuya resistencia int na es de 2 000 ohm se tendría para una resistencia de carga de 2 000 ohm y se
{^mf 2 000 X
= 1,25 W
(
En los amplificadores reales, la distorsión obliga muchas veces a que la resisten de carga sea doble o triple que la resistencia de placa de la válvula. En este ejemp si el altavoz estuviera conectado al circuito de placa de la válvula a través de N /N fuera igual a V 500, la ecuación (28) nos indi transformador ideal cuya razón qué la carga aparecería como una resistencia de 5 000 ohm, o sea 2,5 r>, conectada 1
i
262
TRANSFORMADORES:
TRANSFORMADORES
PRINCIPIOS
GENERALES
2
circuito de placa de la válvula. La potencia entregada al altavoz para la mis intensidad de señal sería
/ 100
V
(T~OOO)
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0
2
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(3
o sea, unas 41 veces mayor que sin transformador. La pérdida en un transformad real es muy pequeña frente a la gran ganancia de potencia que se logra. Los transformadores son, probablemente, los aparatos electromagnéticos m ampliamente utilizados. Varían muchísimo en tamaño y deben diseñarse para reun los requisitos de una gran variedad de condiciones de funcionamiento. Por ejemp los empleados en circuitos de comunicación suelen funcionar con tensiones y fr cuencias muy variables y deben introducir diferencias lo menores posibles entre l formas de onda de las tensiones y corrientes de los lados de primario y de secundari Por otra parte, los transformadores de sistemas de potencia suelen funcionar c tensión y frecuencia nominalmente constantes y tiene más importancia un bu rendimiento que en los transformadores para comunicaciones, puesto que la potenc que interviene suele ser mucho mayor. * Los transformadore s utiliza dos en circuitos de comunicaciones suelen clasificar de acuerdo con el dominio de frecuencias en que deben utilizarse en: transformado
F io . 5.
Fio. 3 y 4. Contrastes entre tamaños y aplic aciones de los transformadores. La ' n* ' » ^ unidad de la figura 3 es el conjunto núcleo-bobina de un autotransformador utilizado en el cMo de un audífon o. Tiene una autoinduc ción incrementa! de 20 H. La figura 4 presenta un banco trifásico de autotransformadores de 275000 V, instalado en el extremo_receptor de la hnea de transmisión que va de Boulder Dam á Los Angeles. Cada unidad tiene ventiladores ^££ZS ^tr~** para refrigerar el aceite cuando Circule por los radiadores externes. Cada unidad, con los ventiladores en funcionamiento, tiene una potenc.a aparente de 65000 kVA. 1
Diversos transformado res para comunicaciones, de for mas clásicas
de radiofrecuencia, frecuencias i ntermedias y audiofrecuencia. Dentro de estas clas de frecuencias, también se clasifican con arreglo a su misión en transformadores entrada, de acoplo interetapa y de salida. Los transformadores de entrada suel emplearse para conectar un micrófono u otro generador de señales a los terminal rejacatodo de una válvula de vacío de tal manera que aplique a la reja una tensi lo más elevada posible compatible con las características razonables de respues a las frecuencias *. La potencia entregada suele ser de pocos microwatt. Los tra formadores de acoplo interetapa se utilizan a veces en los amplificadores de válvul *
Las caract erísti cas de respu esta a las frecuenci as se estudian en el capítul o X V I I I .
264
TRANSFORMADORES
TRANSFORMADORES:
de vacío para conectar el circuito de placa de una válvula con el circuito de reja de la siguiente y deben realizar, por lo general, la misma función que los transformadores de entrada. Los transformadores de salida suelen tener fijado el dominio de frecuencias de funcionamiento y deben suministrar la máxima potencia sin distorsión a un cir-
PRINCIPIOS
GENERALES
26
a los filamentos de las válvulas de vacío en los sistemas de comunicaciones y mand Se emplean transformadores en los circuitos «fantasma» telefónicos para permiti transportar simultáneamente tres señales de audiofrecuencia por dos pares d hilos, y en circuitos «simplex» para permitir el funcionamiento simultáneo de un señal telegráfica y una telefónica por un par de hilos; en estas aplicaciones, lo transformadores reciben el nombre de bobinas repetidoras. Los transformadore separan la corriente alterna, o de «voz», de la continua en un circuito transmiso telefónico con batería local y transmiten a las líneas solamente la corriente de «voz bobinas de inducción* en estas aplicaciones, los transformadores reciben el nombre de Los transformadores de los sistemas de potencia se clasifican en transformadore de potencia y transformadores de distribución según que se utilicen ordinariament en las centrales y subcentrales generadoras de potencia o en las redes de distribu
F I G . 7. Dos transfor madores de distribución F io . 8. Transformadores de distribuci ón al de 37 i kVA montados sobre una plataforma macenados en una compañía suministradora elevada. El banco se usa para transformar de de energía. Algunos son usados y otros un circuito de distribución trifásico de 4 hilos nuevos. y 416 V a un circuito de distribución bifásico de 5 hilos y 120/240 V. F IG . 6. fransformador para filame nto de una válvula rectificadora para radio. La válvula •e monta en el zócalo aislado soportado por el transformador. La altura total de la unidad es de 30 cm
cuito de utilización tal como un altavoz, una línea de transmisión o una antena emisora. La potencia suministrada puede variar desde una fracción de watt hasta varios centenares de k ilo watt. Lostransformadores moduladores sirven para super poner una señal de audiofrecuencia a una onda portadora de frecuencia elevada. En ciertas emisoras de radio, el transformador modulador pesa varias toneladas. L os transformadores para filam entos son de uso universal para suministrar
potencia
ción. Los transformadores montados en lo alto de postes o subterráneos, que cons tituyen la última transformación de tensión entre el sistema de la central y el transformadores de dis consumidor de la energía eléctrica reciben el nombre de tribución. Constituyen un elemento importantísimo entre los transformadores fabricados. Los transformadores de distribución se fabrican de tensión y frecuencia normali zadas y de potencias aparentes que llegan has ta los 500 k V A **. Se fabrican * En el capít ulo X X , se realiza un estudio más extenso de las aplicacion es de los transfor madores a circuitos telefónicos. ** En el apéndice A, se consignan los valores normalizado s de los transformadores de dis tribución.
266
TRANSFORMADORES
TRANSFORMADORES:
en serie y los menores suelen encontrarse siempre en el comercio. Los transformadores grandes cuyas potencia s aparentes son superiores a los 500 k V A reciben el nombre de transformadores de potencia. Se han construido unidades monofásicas de potencia aparente en funcionami ento continuo d e 65 000 kV A y de 80 000 k V A en funcio namiento de dos horas con ventiladores auxiliares; también existen bancos trifá sicos conectados e n estrella con tensione s entre fase y fase de 275 000 V. E n la figura 4 puede verse uno de estos bancos trifásicos. Cada transformador pesa más de 180 tonela das *. También se ha n cons trui do transfor mador es para d ar más de un millón de volt, destinados a laboratorios de alta tensión.
AL ZA DO - UNI DA D N.° 2 DE LA RE D
bbOClUIN
En sistemas de potencia y para fines especiales se emplean otros muchos trans formadores **. Por ejemplo, para suministrar una corriente de intensidad eficaz nominalmente constante a un sistema de alumbrado urbano de lámparas conec tadas en serie se emplean transformadores de distribución de intensidad constante. Par a regular la ten sión de circuitos indivi dual es o de partes de un sistema se emplea n * W. G. JAMES y F. J . V O G E L , «Power Transformersfor 287,5 kV Service», A. 1. E. E . Trans., 55(mayo, 1936), 438-444: ** En el capítulo XI X , se estudian algu nas de e stas aplicaciones especi ales.
GENERALES
26
v
4.
Fi o. 9. Instalació n subte rránea. El transformador de inmer sión en aceite de 1 500 kV A, 60 Hz, recibe potencia de un circuito trifásico a 13800 V, y suministra potencia a una red de distribución trifásica de 4 hilos conectada en estrella, de 2300/4000 V. El transformador está equipado con un cambiador automático de tomas que regula la tensión de salida. La cueva contiene disyuntores automáticos conectados en el circuito de salida del .transformador y en cada uno de los cuatro circuitos de salida de 4000 V, con sus mandos asociados una batería, y ven tiladores. Cuando se produce una operación automática a causa de una perturbación surgida en la cueva o en uno de los circuitos de salida, se transmiten señales tanto a la salida del recinto como por hilos telefónicos a un punto central donde se halla un operario.
PRINCIPIOS
transformadores reguladores de tensión. En inst rume nto s de medid a v relés de mand se utilizan transformadores para instrumentos, cuvas tensión e intensidad en e secundario son casi proporcionales a la ten sión e intensidad del prim ario Los tra ns forjadores para instrumentos se llaman transformadores de potencial o trans madores de intensidad según que su misión sea medir tensiones o intensidades A de m as de su uti liz aci ón en si st em as de co mu ni ca ci ón pote ncia los tran sfor madores también se util iz an en much as aplica ciones domésticas v especiales tale como el accio nami ento de tim bres eléctri cos, circuit os termostáticos tubos lum ino sos y cercas eléctricas; para las bujías y bobinas de ignición v para otros muchos fines EVOL UC IÓN
DE LOS TRANSFO
RMADORE
S
En el desarrollo y perfeccionamiento de los transformadores han influido varios fac tores. Las propiedades físicas de los materia les de que están construidos —especialmente los aislantes y materiales magnéticos para núcleos— han- mejo rado en gran maner a. La experiencia ha llevado a un empleo más eficaz de los materiales disponibles y a me jo ra r lo s mé to do s de co nj un ta m ie nt o de los mismos. El empleo del aceite como aislante y como medio de refrigeración ha hecho posi ble la construcción de grandes transforma dores de potencia de alta tensión. Para el cálculo de los detalles del diseño se han desa rrollado métodos más exactos. Los funda mentos sobre los que se apoya gran parte de este progreso son los principios de los campos eléctrico y magnético y de la inducción elec tromagnética. Los mismos principios se aplican al di minu to transform ador del radiorreceptor qu e al gigantesco de un sistema de potencia. No obstante, no debe concluirse que sea suficiente el conocimiento de esto s princip ios para rea li zar el anál isis de un transf orma dor, y a que rar a vez conviene, o es posible, aplicarlos exac tamente. Los métodos matemáticos disponi F I G . 10. Cambio de forma y tamaño de los bles o son inadecuados o demasiado compli transform adores de intensidad de 69000 V, 400 A, debido a perfeccionamientos en el di cados para poder tratar las configuraciones seño, materiales y métodos de producción. reales de los campos eléctrico y magnético El transformador de la izquierda fue cons existentes en un transformador, por lo que ha truid o en 1 929; el de la derecha en 1940. sido necesario idear métodos de análisis apro ximado s que salven esta s dificultades. La ele cción del método apr oxim ado apr opiado al anáfisis de un problema específico cualquiera, no sólo depende de un conocimiento completo de la teoría física, sino, también, de la experiencia.
TRANSFORMADORES:
TRANSFORMADORES
26« 5 . PRO BLE MAS
DE LOS
TRANSF
ORMADO
RES
A u n cu an do mu ch os pr ob le ma s ref ere nte s a las ap li cac io ne s de los tr an sf or ma do re s se puedan resolver satisfactoriamente considerando el transformador como un dis-, positivo perfeeto, otros muchos problemas surgen a causa de la divergencia de las características respecto a las de un transformador ideal. La solución satisfactoria de tales problemas es importante en el diseño, y también porque estas características del transformador suelen afectar notablemente al comportamiento de la red eléc trica de la que forma parte el transformador. A continuación se estudiarán breve mente algunos de estos problemas y el resto de este libro se dedicará principal mente a la solución de algunos de ellos. 5a . Pérdidas. El rendi mient o de un trans formad or está determ inado por las pérdidas en el cobre de los devanados y por las pérdidas por histeresis y corrientes de Foucault en el núcleo. El costo de estas pérdidas es tema de gran importancia para la mayoría de los transformadores que suministren potencias de algunos watt. Como el aumento del rendimiento suele llevar consigo el encarecimiento del trans formador, el diseño correspondiente a la mejor economía total depende principal mente del equilibrio adecuado entre el costo anual de las pérdidas y los costos anua les de capital del transformador. Aun cuando el costo de las pérdidas no suele tener importancia en muchos transformadores pequeños para comunicaciones, las pérdidas pueden tener importancia en otro sentido: por lo que afectan a la ampli ficación, distorsión y característic as de respue sta de l cir cui to a las frecue ncias. Luego, será importante para el diseñador poder predecir las pérdidas y para el téc nico que utilice el transformador, comprender sus efectos y la manera en que varían con las condiciones de funcionamiento. En el análisis de problemas en que intervienen pérdidas de potencia, suele ser suficientemente preciso el despreciar las fugas magnéticas y la corriente de excitación. Refrigeración. La s pérdidas desarr ollan calor en el interior de los deva 56. nados y del núcleo; la eficacia con que se disipe determina la elevación de temperatura a una carga dada y por tanto la duración del aislante *. El costo del transformador y su duración determinan las cargas anuales de depreciación. Como la reducción de la elevación de temperatura a una carga dada incrementa el costo del transfor mador, la carga de seguridad máxima o potencia aparente característica del trans formador estará determinada principalmente por el balance entre la duración del transformador y su costo inicial que dé srcen al costo anual de capital más bajo. As í, la s pér did as d an lu ga r a mu ch os pr ob le ma s té rmi cos de i mp or t an ci a ec onó mi ca. A u n cu an do en lo s tr an sf or ma do re s pe que ño s lo s pr ob le ma s té rmi cos su el en ser relativamente sencillos, se hacen extraordinariamente complicados en los grandes transformadores de potencia, puesto que, al aumentar el tamaño, las pérdidas crecen más de prisa que el área de la superficie que debe disiparlas en forma de calor. Es interesante observar que el diseño de un transformador grande, el incre mento del rendimiento por encima del valor mínimo aceptable puede dar lugar, en realidad, a un costo más bajo, a causa de la disminución del costo de los medios de refrigeración. 5c. Fugas magnéticas. *
Si no hub ie ran fugas magnéticas, la
Véase el apartadoI, del capítuloVIII .
razón de la ten¬
PRINCIPIOS
GENERALES
2
sión entre terminales del primario a la del secundario diferiría de la razón de números de espiras tan sólo en las caídas óhmicas, relativamente pequeñas, los devanados indicados en las ecuaciones (9) y (10). No obstante, las fugas m néticas contribuyen a la caída de tensión a través del transformador con una co ponente reactiva adicional y aumentan la diferencia entre la razón de las tension y la razón ideal. Como esta caída de tensión es inductiva, no sólo dependerá de carga sino que crece con la frecuencia y la razón de tensiones de un transformad para comunicaciones será diferente a frecuencias elevadas que a bajas. La dete minación de estas características de respuesta a las frecuencias es un problema extr ordinariamente importante en los circuitos de comunicaciones. A u n cu an do la fr ec ue nci a d e un si st em a de po te nc ia es su st an ci al me nt e c on st an t el consumo varía y por tanto variará la tensión de secundario de un transformad de un sistema de potencia aun cuando se mantenga constante la tensión del primari Esta nociva regulación de tensión está determinada principalmente por las fug magnéticas. Por otra parte, las fugas magnéticas tienen un efecto beneficioso reducir las corrientes excesivamente intensas debidas a cortocircuitos accidental en los sistemas de potencia. Estas corrientes de cortocircuito crean en los devanad grandes fuerzas electromagnéticas y por tanto afectan al diseño mecánico de l transformadores de los sistemas de potencia. De esta manera, las fugas magnéticas introducen varios problemas important en los circuitos de comunicaciones y de potencia. En el análisis de estos problem suele permitirse el despreciar la corriente de excitación y las pérdidas en el núcl y también suele permitirse el despreciar las resistencias de los devanados. 5d. Corriente de excitación. La corrie nte de excitación da lugar a un cier número de problemas estudiados en el capítulo VI y que aquí bastará mencionarl brevemente. En los circuitos de comunicaciones la corriente de excitación srci una caída de tensión en la impedancia interna del generador al que está conecta el primario del transformador y así hace que la tensión entre los terminales d primario sea diferente de la fuerza electromotriz del generador. Este efecto es part cularmente importante a frecuencias bajas, cuando la corriente de excitación pue ser relativamente intensa. Luego, el extremo de baja frecuencia de la característic de respuesta a las frecuencias está determinado principalmente por la corriente l excitación y además de este efecto —que existiría aun cuando fueran lineales propiedades magnéticas del núcleo— la falta de linealidad del núcleo introduce arm nicos en la forma de onda de la tensión. Así, pues, la corriente de excitación se importante en los problemas en que intervenga la respuesta a las frecuencias y l distorsión por armónicos en los circuitos de comunicaciones. En los sistemas de potencia, la corriente de excitación suele hacer disminu el factor de potencia y por tanto intensifica la corriente requerida para alimenta a una determinada carga de kilowatt, incrementa las pérdidas en el cobre en l líneas de transmisión y generadores, incrementa la potencia aparente necesaria d los generadores e incrementa la regulación de tensión. Además de estos efectos noc vos, los armónicos de las corrientes de excitación de los transformadores de u sistema de potencia puede srcinar una fuerte interferencia inductiva en los circuito de comunicaciones adyacentes. Por tanto, las corrientes de excitación de los transformadores tanto de potenci como para comunicaciones se mantienen tan débiles como sea compatible con un cost
270
TRANSFORMADORES:
TRANSFORMADORES
razonable. En el análisis de problemas en los que interviene la corriente de excita ción suele ser permisible despreciar las fugas magnéticas, y en los problemas de sistemas de potencia suelen despreciarse también las impedancias de los circuitos primarios. 5e. Campo eléctrico. Exi st en varias c lases de problemas que afectan a la dis tribución del campo eléctrico en la proximidad de los devanados. Este campo hace que los devanados tengan capacidades propias y mutuas, y capacidades a tierra y a los circuitos adyacentes. En los circuitos de comunicaciones, los efectos de estas capacidades pueden ser importantes a frecuencias suficientemente elevadas y pue den hacer que el transformador se comporte de una manera totalmente diferente de la que sería previsible si se despreciaran las capacidades. En los transformadores que deban funcionar a más de unos centenares de volt, es problema importante el diseño del aislante. El gradiente de potencial en el ais lante en condiciones normales de funcionamiento afecta a la duración del aislante v por tanto es un factor importante en la determinación del valor de la tensión normal de funcionamiento. En condiciones anormales, los esfuerzos debidos a pulsos de tensión srcinados por descargas atmosféricas y otras causas pueden ser mucho mayores que durante el funcionamiento normal. Es particularmente importante qué los transformadores de sistemas de potencia se diseñen para soportar estos esfuerzos anormales. 5/. Problemas de fabricación. Además de estos prob lema s perten ecient es a las características eléctricas, térmicas y mecánicas de los transformadores, el diseñador debe enfrentarse a un gran número de problemas de fabricación de tanta impor tancia, al menos, como los anteriores. La meta que se quiere alcanzar es el mejor compromiso entre la calidad del producto y su costo. Algunos de los principales factores que contribuyen a un costo reducido son la producción en cantidad por procesos mecanizados, normalización de las partes, desarrollo de diseños normali zados convenientes para una variedad de aplicaciones generales y la eliminación de materiales de desperdicio. 5g. Otras consideraciones. Otro s factores a consi derar por el diseñador y el técnico de la aplicación son el costo de la instalación, mantenimiento y reparaciones. El transporte puede tener un efecto importante sobre el diseño, especialmente en unidades grandes. Algunas veces hay que considerar ante todo el tamaño o peso, el ruido magnético, la apariencia y el peligro de incendio. El estudio que sigue se dedica principalmente al análisis del comportamiento eléctrico del transformador, ya que éste es de importancia fundamental y deter mina el efecto del transformador sobre la red de la que forma parte. Sin embargo, para el diseñador son de importancia primordial los problemas térmicos, dieléctri cos, mecánicos y de fabricación. PROBL
EMAS
1 . En cada uno de los esquemas de la figura 11 puede verse l a po larid ad instantá nea de la tensión del primario de un transformador (supuesto ideal) para un instante del ciclo. (2) los Indicar: (1) la polaridad de la tensión instantánea inducida en el secundario y sentidos de las corrientes instantáneas existentes en primario y secundario cuando se conecta cada secundario a una carga resistiva. 2. Con referencia a los esquemas de la figura 11; sea el sentido positivo de la tensión en terminales del primario la indicada. Utilizando los convenios establecidos en este
)P
PRINCIPIOS
GENERALES
)P
s (a) F I G . 11.
(b)
(c)
(d)
Devanados de 'transf ormador con las polari dades indicada s, Problema 1
capítulo, indica r los sentidos positivos nominales para: (1) el f lujo en el núcleo, tensión entre terminales del secundario, y (3) las cor rientes i e ?: en primario 'y secu dario. l
(2) l
2
3. Em ple and o los convenios de est e capítulo para los sentidos positivos de tension e e intensidades de las corrientes que circulan por un transformador, dibujar a escala de 2A por cm y de 20 V por cm un diagrama vectorial para un transformador ideal ali mentado por una tensión sinusoidal en el primario de 240 V. La razón del número d espiras del primar io al de las de secundario es 2 : 1, y la carga es una impeda ncia de 8 ,0 jñ,3 ohm. Incluyase en el diagrama vectores que representen los valores eficaces de la tensiones entre terminales de primario y secundario, fuerzas electromotrices inducida en primario y secundario, intensidades de las corrientes de primario y secundario, y u vector que indique la fase del flujo en el núcleo. Indíquese en un esquema del transfor mador los sentidos positivos. 4. En el transform ador ideal de la figura 12, en el instante en que la tensió n instan tánea del prim ario es igual a + 100 V y está creciendo , ¿cuáles son los valores instantá
N, N,
V,
F io . 12.
= 141.4 se n .17 7/
N¡ = 250
espiras
N, = 500
espiras
Circuito del transformador del problema 4.
neos y los sentidos de las corrientes y el valor instantáneo y polaridad de la tensión d secundario:
a) ¿Para una resist encia de carga de 100 ohm? b) ¿Para una carga induct iva de imped ancia 50 + ¿86, 6 ohm ? c) ¿Par a una carga capacitiva de impedancia 0 —¿ 10 0 ohm ? 5. En una subcentral eléctrica se conecta un transformador monofásico de 66 000 : 2 400 V a una línea corta a 2 400 V que alimenta una carga monofásica. El extremo recep tor de la línea se conecta a la carga por medio de un transformador 2 400 : 480 V. La línea tiene una resistencia de 0,40 ohm y una reactancia de 0,60 ohm (ambos conductores). La carga puede considerarse equivalente a una impeda ncia de 0, 30 ¡- ¿0,34 ohm . Supón gase que ambos transformadores pueden considerarse ideales.
a)
De term inar la impedancia total de la líne a y la carga vistas des de el lado de ali a tensión del transformador 66 000 : 2400 V. En este sistema se d esea un factor de potencia unid ad en el lado de 66 000 V del circuito monofásico. Para lograrlo hay que conectar un condensador en pa ralelo con el segundo transformador en el lado de 2400 V o en el de 480 V. Ha ll ar: (1) la capac idad necesaria si el condensador se conecta en el lado de lo s 2400 V y (2) la capacid ad necesaria s i se conectara el condensador del lado de lo s 480 V.
b)
TRANSFORMADORES
272
c)
El costo de los condensadores par a 480 V en dólares es igual a 1,16 por la potenc ia aparente en k V A. Lo s costos de los condensadores para 2400 V correspondientes a diferentes potencias aparentes son los siguientes:
k VA
Costoen dólares
270 360 540 720 1.080 1.260
690 780 960 1.140 1.500 1.680
-eíem V, « d o eb onam eb OÍBOO 13 .AVi loq aovaineo 03 eb Be oinemevísa eb ioí*v r» l 00.0S eb se .tartj « «empleo «aq le «Utó , , . . . • * , °° oinemeioni t w omoo ea-wnebianoo edeby sob sol oh «b-o eb otmuBMummAnouawq eb Bobemizoiqe salaíol aelairn* aoiaoo sol I E ¡ £ ? * .aaiso Bise avtq loharmolaruní M
Transformador de 7,6 kVA: 52 W Transformador de 10 kVA: 57 W
Pérdidaenelcobre Tran sform ador de 7,5 k V A: 136 W a la carga característ ica Tran sform ador de 10 k V A: 188 W a la carg a característ ica El costo de las pérdidas es de 0,9 centavos/kWh. El costo anual de impuestos, seguros y demás cargas es el 7 % del costo srcinal del transformador. La depreciación puede cargarse en cantidades anuales iguales sobre la duración del transformador. La inversión en el transformador se hace menor cada año, por lo que hay que cargar el interés sobre la inversión restante —no sobre el costo ori ginal. El interés anual viene dado por (32)
donde
C es el costo srcin al del transformad or, en dólares n es el número de años d e duración previ sta del transf ormador 5 es el val or d e salvamento del transf ormador tras n años r es el tanto por ciento anu al de interés sobre la inversión y puede igual al 4 %. La vid a prevista del transformador de 10 k
1
,0lm
X
Pérdidaenelnúcleo
8)
8
a
6. Lo s técnicos de una compañía reali zan un estudio par a determina r si los trans formadores de distribución utilizados para transportar un cierto tipo de carga deben ser d e 7, 6 kV A o de 10 kV A. L a carga estudiada equivale a 9 kV A durante l os tiemp os de pico y está presente unas 900 horas por año. La carga durante el resto del año es des preciab le. Como la carga de pico es corta , el transformador de 7,5 k V A es capaz de trans portarla. Las pérdidas en el transformador incluyen la pérdida en el núcleo, que es constante durante todo el año, y la pérdida en el cobre que en un transformador es proporcional al cuadr ado de la carga en k V A. Los datos sobre las pérdidas son:
dólares, ~ ]
ns eb esnso a .eonem son*5 aom, se AVd 3,7 eb-.obermot nos B9lem i-io BOÍBOO ao J .sfaavelo asm
100,36 AVjia.r eb -lobtunndianeiT I 00.SII AVi 01 ei> lobAtrnolsrwiT
Suponien do que se pueda n compr ar condensadores de cu alquie r potenc ia aparente, hallar los costos de un condensador adecuado de 2400 V y de otro de 480 V.
Int eré s = - ¡ - [*7 -
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considerarse
V A es 22 años, mientras que la del trari
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CARACTERÍSTICAS FÍSICAS
XI
Características físicas de los transformadores El servicio que debe realizar un transformador dicta las características físicas da su construcción. El principal servicio que se exige de los transformadores para comunicaciones suele ser su fidelidad en la reproducción de las señales dentro de un amplio dominio de frecuencias y tensiones. En tales transformadores, los materiales y proporciones del núcleo y la disposición de los devanados están regidas por la necesidad de obtener características eléctricas y magnéticas que den srcen a una característica de respuesta a las frecuencias satisfactorias y una distorsión tole rable. En la mayoría de los transformadores para comunicaciones el calentamiento tiene una importancia secundaria. En cambio, son otras cuestiones totalmente dife rentes las que influyen en el diseño de los transformadores para sistemas de potencia. Las características eléctricas que interesan entonces son gran rendimiento, baja regulación de tensión y gran rigidez dieléctrica. Con ellas, el calentamiento es un factor primordial para la determinación de sus características físicas. 1.
NUCLEOS
tipo de núcleo, Los dos tipos fundamentales de estructura de transformador son el en el cual dos grupos de devanados abrazan a un núcleo único, según se indica en
Fi o. 1.
Transformador tipo núcleo
F io . 3.
F io . 2.
Transformador tipo acorazado
Transformador tipo acorazado distribuido
la figura 1, y el tipo acorazado, en el cual el flujo que atraviesa a un único grupo de devanados está compuesto, al menos, por dos componentes existentes en circuitos magnéticos en paralelo, según se indica en la figura 2. Una modificación de este tipo es el llamado
tipo acorazado distribuido, indicado en la figura 3, corrientemente 274
DE
LOS
TRANSFORMADORES
empleado en transformadores de distribución de determinadas potencias. El tip de núcleo se utiliza corrientemente en transformadores grandes de distribució para alta tensión y en transformadores de potencia. La sección recta del núcleo sue ser cuadrada o rectangular en los transformadores pequeños, pero en los grandes aprovecha más eficazmente la abertura circular de las bobinas agrupando las lámin en capas de anchura variable de manera que constituyan un núcleo circular escal nado, como indican las figuras 4 y 5. Ad emá s de po r la ne ce si da d de ob te ne r un as carac terí sti cas eléc tric as co nv en ie tes, la elección del tipo de construcción del núcleo se ve influida por un cierto núme de consideraci ones prácticas, tal es com o el costo de const rucción y reparaci one exigencias de espacio, refrigeración, aislamiento y robustez mecánica. Como frecue temente el núcleo sirve de estructura, deberá ser robusto. Bajo carga normal, lo esfuerzos mecánicos a que se halla sometido el transformador son poco mayore que los debidos a los pesos de sus distintas partes. En cambio, en condiciones d cortocircuito los esfuerzos electromagnéticos pueden hacerse enormes, ya que so proporcionales a los cuadrados de las intensidades de las corrientes que circula por los devanados. Si se mantiene aplicada al primario de un transformador ord nario de un sistema de potencia la tensión de funcionamiento normal, estando corto circuitado el secundario, las intensidades de las corrienes suelen ser de 10 a 25 vece mayores que las correspondientes a plena carga y los esfuerzos electromagnético de 100 a 625 veces mayores que los valores de plena carga. Las corrientes transito rias pueden ser aún mayores. Estas fuerzas han destruido bastantes tansforma dores. En los transformadores muy grandes, las fuerzas de cortocircuito que tiende a separar el primario del secundario pueden ser de hasta 700 000 kilos . Los núcleos de transformadores para sistemas de potencia suelen construirse co láminas de acero recocido adecuadamente. En los tipos tradicionales indicados e las figuras 1, 2 y 3, se emplea generalmente acero al silicio que contiene un 4 % d silicio, puesto que este material proporciona un buen compromiso entre el cost facilidad de manipulación, pérdidas pequeñas por histeresis y por corrientes d Foueault y gran permeabilidad a inducciones magnéticas relativamente elevada Los núcleos se suelen hacer funcionar a inducciones magnéticas alterna máximas comprendidas entre 1,0 y 1,4 tesla. En los transformadores pequeño la capa de óxido que se forma entre las láminas puede constituir un aislante sufi ciente para evitar las corrientes de Foueault entre láminas, pero en los núcleo mayores las láminas se barnizan o revisten de una capa delgada de vidrio adhesiv al acero. Aun cuando aún pueden reducirse más las pérdidas por corrientes d Foueault empleando láminas más delgadas, el costo de las láminas y de la cons trucción del núcleo se elevan y se reduce el factor de apilamiento. En los trans formadores normales de 60 Hz con láminas de la galga 29 (0,014 pulgadas), la pérdidas por corrientes de Foueault son solamente un quinto de la pérdida tota en el núcleo. Poco se ganaría, pues, empleando láminas más delgadas para reduci esta componente relativamente pequeña de la pérdida total en el núcleo. Cuando s sujetan entre sí las láminas, los remaches o roblones de sujeción no deben constitui caminos para las corrientes de Foueault. Las construcciones tradicionales de núcleos representadas en las figuras 1, 2 y 1
1
K. K.
PALUEV,
Power Transformers with Concentric Windings A. , I. E.E. Trans., 5
(junio, 1936), 649-659.
2
276
TRANSFORMADORES
Fi o. 4. La s dos ramas princip ales y el yugo inferior de un transformador de potencia del ti po de núcleo , de 55000 kVA. En el esquema adjunto de la sección recta del núcleo puede verse BU construcción ciroular escalonada y los conductos de ventilación. Este núcleo forma parte de un transformador monofásico utilizado en uno de los bancos trifásicos del extremo emisor de la línea de transmisión que va de Boulder Dam a Los Angeles. Elevan la tensión del generador de 16320 V a 287500 V.
CARACTERISTICAS
FÍSICAS
DE
LOS
TRANSFORMADORES
tien en tres serios inconve niente s. P rim ero , en estas formas de. núcleo deben hab dos o tres entrehierros independientemente de las formas de troquelado que empleen. Segundo, para emsamblar o apilar las láminas se requiere un gran trab manual, ya que las láminas deben solaparse en cada junta. Tercero, existen siemp ciertos lugares del núcleo en donde el flujo tiene dirección perpendicular a la laminado del metal, aumentándose así la pérdida en el núcleo j la corriente excitación. A pesar de estas dificultades, estos tres diseños se emplean muchísi para transformadores de potencia y de distribución de tamaños grandes. Recientemente, ciertos perfeccionamientos en la técnica de fabricación h producido núcleo en los cuales el flujo magnético es casi paralelo a la dirección de minación del acero en todos los puntos del núcleo y en los cuales se reducen muc los entrehierros y se ahorra trabajo de ensamblado. En la figura 6 puede segui la construcción de un tipo acorazado formando cada uno de los dos núcleos a par de una sola cinta continua de acero soldada por puntos en sus extremos para ma tener rígida la cinta. Tras el recocido, se devanan los núcleos a través de la abert de bobinas preformadas por el ingenioso procedimiento indicado en la figura . la figura 7 se ven tiras de acero que se curvan en una máquina y se solapan forman dos núcleos en forma de D que se recuecen después de haber sido curvados. El méto para devanar las bobinas alrededor del núcleo es el indicado en la figura 7. En figura 8 se dev anan sobre una forma cintas de anchuras diferentes haciendo 2
núcleo continuo cruciforme que se recuece después. Las bobinas se devanan al dedor del núcleo, por medio del ingenioso dispositivo accionado por motor indica en la figura 8. Otro avance importante en el diseño y construcción de núcleos de transforma es el empleo de Hipersil, un acero al silicio que a las excitaciones corrientes p senta una permeabilidad superior en una tercera parte a la que suelen tener aceros al silicio ordinarios . El Hipersil debe emplearse de manera que el flujo s paralelo a la dirección de laminación de la tira. Este requisito se logra en los tra formadores de distribución pequeños devanando el núcleo con una tira contin sobre un mandril rectangular. Se recuece el núcleo sobre el mandril y luego se co según indica la figura 9 para permitir la colocación de las bobinas en la abertura núcleo y formar un transformador de tipo acorazado. Para las potencias más e vadas, se ensamblan tiras sueltas de Hipersil con las juntas cortadas a 45° y so padas en capas alternas, tal como se indica en la figura 10. Con esta construcci los caminos del flujo en los ángulos del núcleo tienen una dirección más próxi a la del laminado del acero que en el tipo convencional de junta solapada. En los circuitos para comunicaciones, los transformadores de entrada sue funcionar con una inducción magnética alterna relativamente débil, frecuenteme de sólo una fracción de gauss. Para estos transformadores convendrá un núc de un material que tenga gran permeabilidad a bajas intensidades de campo. E primario puede existir una corriente continua relativamente intensa, que pu crear una componente continua de la inducción magnética de varios miles de gau En tal caso convendrá para el núcleo un material que tenga permeabilidad inc 3
Fi o. 5. Núcleo y bobinas de un transformad or de acoplo de 180 kW empleado en la cuarta etapa del amplificador de audiofrecuencia de una emisora de radio. El devanado de entrada consta de dos partes separadas, entrelazadas simétricamente respecto al devanado único de salida, y alimentadas por las sali das de dos válvula s de vacío independientes. Cada devanado de entrada puede funcionar a 10200 V, de pico y el de salida a 6000 V, de pico. El conjunto de la figura pesa 12250 kg, de los cuales el acero de la chapa del circuito magnético pesa 11700 Kg.
• E. D. TBEANOB, «The Wound-Core Distribution Transformer», A. I. E. E.Trani., (noviembre, 1938), 622-625. . « J . K. HODNBTTE y C. C.HORSTMAN, «Hipersil,a NewMagnetic Steel andIts Use ín rr formers», (agosto 1941), 52-56.
The Westinghowie Engineer, 1
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TRANSFORMADORES
CARACTERÍSTICAS
FÍSICAS
DE
LOS
TRANSFORMADORES
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mental relativamente grande a polarizaciones elevadas. Como la histeresis introduce distorsión, las pérdidas por histeresis han de ser bajas. Como las corrientes de Fou¬ cault producen un efecto de apantallamiento y por tanto reducen la permeabilidad eficaz en corriente alterna, las corrientes de Foucault deberán reducirse al mínimo, empleando láminas delgadas de un material para núcleos de gran resistividad. A vec es, los núcl eos de tr an sf or ma do re s pa ra co mun ic aci on es se mo ld ea n co n po lv o prensado, según se describe en el apartado 6 del capítulo I. En la figura 20 del capí tulo I pueden verse núcleos toroidales fabricados de esta manera. A menudo interesa tener una permeabilidad constante a lo largo del dominio de funcionamiento. Suelen emplearse diversos aceros al silicio y permalloys . Como las propiedades magnéticas de algunas de estas aleaciones quedan perjudicadas por los esfuerzos mecánicos, deberá tenerse cuidado en la fabricación y en el diseño de la estructura de evitar los esfuerzos en las láminas. Cuando se forman los núcleos con láminas planas troqueladas para transforma dores de sistemas de potencia suelen colocarse las láminas con las juntas entre ellas solapadas en capas sucesivas, tal como se in dica en la figura 22 o del capítulo VI . Este sistema da un núcleo rígido y reduce la reluctancia introducida por las interrup ciones de las láminas en cada ángulo. A veces las láminas de capas sucesivas no están interfoliadas, dando una junta franca que tiene un pequeño entrehierro y una mayor 4
reluctancia que unasejunta solapada. Como la junta franca es más fáciltransformadores de ensamblar de que la solapada, emplea frecuentemente en los núcleos para audiofrecuencia en los que no es importante la robustez mecánica. En un transfor mador de audiofrecuencia por cuyo primario circule una corriente continua rela tivamente intensa, la introducción de un pequeño entrehierro en el núcleo reduce el flujo debido a la corriente continua y puede, por tanto, aumentar tanto la permea bilidad incremental en corriente alterna que la adición del entrehierro haga dis minuir en realidad la reluctancia eficaz del núcleo a la componente alterna del flujo. En un transformador del tipo acorazado construido con láminas troqueladas, el núcleo se forma alrededor de las bobinas preformadas, según se indica en la figu ra 11. Cuando hay que reemplazar una bobina del tipo acorazado averiada hay que sacar todo el núcleo. En un transformador tipo acorazado, el núcleo tiene forma C. H . CRAWFORD y E. J . THOMAS, «SiliconSteel in CommunicationEquipment», A. I. E. E. embre, 1935) , 1348-1353 . Trans., 54(dici A. G . GANZ y A. G . LAIRD, «Im provem entsin Communication Transformers»,A. I. E. E. Trans., 54 (dici embre, 1935), 13 67-137 3. G . W. ELMEN, «MagneticAiloys of Iron, Nickel a nd Cobalt», A. I. E. E.Trans., 54 (diciem bre, 1935), 1292-1299. F io . 6. Varia s etapas de la construcción de un pequeño transformado r Spirakore de núcleo devanado. Primeramente se arrolla el núcleo a partir de una tira continua de acero laminado en frío y se coloca entre dos rodillos accionados por motor, como eti oj , cerca de las bobinas ya devanadas. Se ensarta entonces la espira exterior del núcleo entre las bobinas y se abraza tem poralmente a la espira siguiente, como se indica en b). En c), el acero ha sido desenrollado todo él de su rodillo, se fija al aislante de la bobina la espira interior, se saca el rodillo interior y se suelta la espira exterior para que se pueda dar rigidez al conjunto. Los rodillos accionados (arriba, a la derecha en cada figura), se apoyan contra el núcleo y tiran de él por rozamiento. Esta opera ción forma el conjunto rígido que se ve dj, en que se mantiene firme gracias a una soldadura por puntos de la capa exterior a la adyacente. Una vez se ha colocado el segundo núcleo por al mismo procedim iento, el núcleo y las bobinas presentan el aspecto de e), mientras que el conjunto final de núcleo y bobina, con terminales y estructura, es el queenf). se ve
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CARACTERÍSTICAS
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de U, como en la figura 4, y por sus ramas verticales se dejan deslizar las bobinas preformadas, añadiendo después el yugo superior. Cuando hay que sustituir una bobina averiada basta quitar el yugo superior. 2.
DEVANADOS
Los devanados suelen consistir en bobinas devanadas sobre horma y cubiertas de cinta aislante, tratadas al vacío, impregnadas de barniz aislante y cocidas. En
FÍSICAS
LOS
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(O
(a) A
DE
los transformadores pequeños para baja tensión se emplea hilo redondo, pero en lo transformadores grandes los conductores suelen ser rectangulares. Si la secció recta de un conductor macizo es grande o la frecuencia es alta, la resistencia de u conductor a la corriente alterna puede ser apreciablemente mayor que su resistencia a la corriente continua. Para reducir la pérdida adicional debida a la distribució no uniforme de la corriente por el interior del conductor, los conductores grande suelen subdividirse en hebras o cabos ligeramente aislados entre sí y traspuesto adecuadamente en el devanado según puede verse en la figura 13. Si se traspone
B
(b)
Fi o. 7. Cuatro etapa s del ensambla do de núcl eos y bobinas de un transformador de distri bución de hierro curvado. Se forman primeramente las dos secciones del núcleo en una pleeadora mecánica y se recuecen, quedando en la forma indicada en «J. Se abren entonces las láminas b). A continuación se devanan las bobinas alrededor del núcleo haciendo y se fijan a una estructura girar la estructura, como enj. E n< ij puede verse e l c onjunto una vez sumergido en un compuesto C
aislante y cocido.
(d)
F io . 8. Div ersas etapas de la produoción de un transformado r de distribución de devanado redondo. El núcleo se construye con tiras continuas de acero arrolladas sobre una horma, segú b) se coloca el núcleo en una má se indica en a), y luego se recuece. Para devanar las bobinas quina que hace girar la horma de la bobina entre un par de ruedas. Cuando la bobina se hall totalmente devanada, se quitan las ruedas. El conjunto final de núcleo y bobinas es el indicado en c). El oorte d) del transformador completo muestra cómo se montan las distintas partes El nivel del aoeite es suficientemente elevado para que el núcleo y las bobinas queden totalment sumergidos, pero no cubra los pasatapas de porcelana.
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TRANSFORMA
DORES
CARACTERÍSTICAS
FISICAS
DE
LOS
TRANSFORMADORES
F io . 9. Núcleo y bobinas de un transformador de distribución de núcleo devanado que utiliza Hipersil como material para el núcleo. Los núcleos se forman devanando una tira continua de acero sobre una horma, luego se sierran en dos partes para permitir la inserción de las bobinas, en la forma indicada por el núcleo de la izquierda.
Fia. 11.
F io 10 Núcleo de lá minas d e Hipers il en donde se indican las juntas solapadas modi ficadas con los ángulos cortados diagonalmente para hacer que el flujo circule en la dirección del grano.
Apila do de las láminas en un transformador del tipo acorazado.
284
TRANSFORMADORES
cabo s de igual tamaño de manera que cada uno abrace el mismo flujo t ota l, la corrie nte total se divide por igual entre los cabos y se reducen a un mínimo las pérdidas en el cobre. En el transformador del tipo de núcleo, primario y secundario se dividen cada uno en dos partes iguales, co locand o una en una ra ma ve rti cal de l núcleo, y otr a en la otra rama vertical. El fin de esta subdivisión de los devanados es reducir la fuga magnética entre primario y secundario. Los devanados suelen ser coaxiles con el devanado de baja tensión situado inmediato al núcleo, estando separados del núcleo y del otro devanado mediante barreras aislantes. En los transformadores con núcleo escalonado de sección circular pueden emplearse bobinas de sección circu- Oreje ta pa ra elevación Perno aislado del yugo Perno aislado del núcleo Ai sl am ie nt o de la est ruc tur a extrema
Núcleo A ni l l o de presi ón aju stab le Conductos de refrigeración Bloques a presión aislantes
Devanado alta Devanado baja Bloques centradores Tubos aisladores Estructuras extremas An il l o de presión F io . 12. Transforma dor de distribuci ón del tipo de núcleo, refrigerado por aire con núcleo escalonado de sección circul ar y devanados de alt a y baja tensión cilindricos y coaxiles.
lar, las cuales son fáciles de aislar y tienen una gran resistencia mecánica. De este tipo son las bobinas de la figura 12. Cada una de las dos bobinas de baja tensión puede devanarse en forma de hélice continua, como se ve en la figura 13; pero, si la tensión por bobina supera unos miles de volt, suele subdividirse el devanado. En tal caso suelen emplearse bobinas en forma de disco circular. En la figura 14 puede verse una gran bobina de esta forma colocada en la máquina devanadora. Un devanado completo consiste en un cierto número de estas bobinas apiladas una sobre otra, tal como se indica en la figura 15. Los discos suelen llevar entre ellos separadores de madera que faciliten la refrigeración. En el transformador del tipo acorazado distribuido las bobinas suelen ser coaxi les, con el devanado de alta tensión colocado emparedado entre las dos mitades del devanado de baja. Este tipo de devanado rara vez se emplea para tensiones
CARACTERISTICAS
FISICAS
DE
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2
superiores a los 5 000 V. También puede emplearse esta disposición de los devanad en transformadores de baja.tensión del tipo de núcleo. Esta disposición de los dev nados da fugas magnéticas menores que la disposición coaxil simple, pero tiene costo de fabricación más elevado. En los transformadores pequeños del tipo acorazado para baja tensión pue emplearse indistintamente la disposición coaxil simple o la de devanados inte puestos. Estas disposiciones son corrientes en los transformadores d'e audiofrecue cia. En los transformadores grandes del tipo acorazado suelen emplearse bobin delgadas como la ind ica da en la figur a 16. Se dispo nen apilad as, alternándose bob nas de alta y de baja tensión y entre cada dos de ellas se coloca un separador q facilita la refrigeración y el aislamiento. A fin de aprovechar eficazmente la abertu del núcleo en el transformador de núcleo devanado de la figura 6, se hace más anc el devanado de alta tensión que el de baja y se coloca en medio de la abertura. L devanados completos tienen entonces una sección recta cruciforme. 3.
REFR IGERA
CIÓ N Y AISLAMIENTO
*
En los transformadores muy pequeños, la superficie es relativamente gran frente al volumen. La refrigeración por radiación y por convección natural sue ser suficiente para mantener la temperatura de funcionamiento por debajo d máximo que puede soportar el aislante sin reducir seriamente su duración. Si embargo, al aumentar el tamaño de un objeto, el volumen crece como el cubo de su dimensiones lineales mientras que el área de su superficie lo hace como el cuadrad Así , pa ra un a pér did a da da po r un id ad de vo lu me n de las pa rt es en fu nc io na mi en t el calor que hay que disipar por unidad de superficie crece proporcionalmente a la dimensiones lineales. Luego, al ir aumentando el tamaño, o hay que aumentar e área de la superficie o hay que proveer medios artificiales para acelerar la disipació del calor. A menudo se combinan estos dos medios para facilitar la refrigeración Ad em ás , al au me nt ar la s di me ns io ne s li ne ale s, au me nt an las di st an ci as de las pa rt e interiores a la superficie, por lo que hay que dotar de conductos de ventilación los devanados y al núcleo. 3a . Refrigeración por aire. En ciertas instalaciones hay q ue reduci r al mínim el peligro de incendio a causa del transformador, por lo que no resultan conveniente los transformadores refrigerados por aceite. Ejemplos de este caso son los transfor madores instalados en el interior de edificios para transformar la tensión de circuito de 600 V, 480 V y 240 V en 120 V para alumbrado. A este fin se adaptan bien lo transformadores refrigerados por aire, a través de los cuales circula el aire po convección. Las dimensiones de un transformador refrigerado por convección del air son algo mayores que las de un transformador de igual potencia refrigerado por aceite 36. Refrigeración por corriente de aire. Cuan do la tensión es infe rior a 4 000 y convenga reducir todo lo posible el peso y el espacio requerido, puede refrige rarse el transformador mediante un ventilador. Una aplicación común de este tip de refrigeración se encuentra en los transformadores empleados en las locomotora movidas por corriente alterna y en los ferrocarriles de varias unidades. * Los efectos de la temperatura sobre los materiales aislante s se estudian en elapartado 1 del capítulo VIII,mientras que en le apartado 5 del mismo capítulo se realiza un breve estudio
de la refrige ración de aparat os eléctricos.
286
TRANSFORMADORES
CARACTERÍSTICAS
Fi o. 13. Devanado h elicoidal en construcción. F.stacs una bobina de baja tensión devanada parcialmen te, destinada a un transformador de potencia trifásica de 3 000 kVA, 60 Hz, 4 000 : 400 V de inm ersión en aceite.
Bobinas de discos
Fi o. 15. Sección de un par de devanados coaxiles compuesto el deva nado de alta tensión de discos circulares. Fi o. 14. Devanando una bobina tipo disco para el arrolla miento de 230 000 V, de un transformador monofásico de kVA. 40 000
F io . 16. Bob ina plana empleada en transformadores del tipo acorazado para alta tensión. Se ha cortado par cialmente la barrera aislante para mostrar la bobina.
FÍSICAS
DE
LOS
TRANSFORMADORES
3c. Aceite para transformadores. Un o de loa medios más satis factor ios refrigeración consiste en sumergir en aceite las partes del transformador que fu cionan, lo cual sirve para el doble propósito, de facilitar la extracción del calor d núcleo y devanados y al propio tiempo proporcionar unas propiedades aislant apreciablemente buenas. El aceite deberá tener gran rigidez dieléctrica, paca viscosidad, punto de congela ción bajo y punto de ignición eleva do, debiendo estar exento de ácidos corrosivos, álcalis y azufre. El aceite no debe oxidarse ni formar barros. Desgraciadamente, la presencia de peque ñas cantidades de hume dad o de partículas en suspensión afecta seriamente a la rigidez dieléctrica del aceite, por lo que los transfor madores grandes se proveen de me dios especiales para evitar la pene tración de humedad. 3d. Inmersión en aceite, autorrefrigeración. La mayoría de los transformadores de distribución y muchos transformadores de potencia F ia . 17. Transformador refrig erado por aire pa son de este tipo. En los de tamaño su uso en el interior de edificios a fin de proporcion pequeño, un tanque liso proporcio energía eléctrica para alumbrado a partir de un si na una superficie suficiente para tema de tensi ón más elevada. Este transfor mad enfriar el aceite. En los de tamaño es mono fásico de 50 kV A, 240/480V, en primari a 120/240V en secundari o. mediano, las paredes exteriores del tanque están provistas de aletas, pliegues o tubos verticales por los que circula el aceite hacia abajo al ir enfriá dose. En los de mayores tamaños se distribuyen grandes radiadores sobre tod la superficie disponible. 3e. Inmersión en aceite, refrigeración por aire forzado. Par a manda r aire fresc a los radiadores pueden instalarse inyectores de aire o un cierto número de pequ ños ventiladores regulados por termostato. Los transformadores de este tipo tiene dos potencias características: la menor corresponde a la autorrefrigeración po convección natural y la mayor a la refrigeración por aire forzado. 3/ . Inmersión en aceite, refrigeración por agua. Cuan do se disp one de u manantial adecuado de agua refrigerante y deba conservarse el espacio, puede refr gerarse el aceite caliente mediante agua que circule por un serpentín de tuberí de cobre que rodee al tanque por su parte interior. 3g. Refrigeración por aceite forzado. El aceite caliente del transfo rmado puede hacerse circular mediante bombas por un refrigerador exterior, el cual suel estar refrigerado por agua. Este método de refrigeración es corriente en Europa El aceite para transformadores es muy volátil y si se vaporiza hay riesgos d explosión peligrosa. Aun cuando no explotara, el aceite puede quemarse produciend una llama intensa y calor. Por ello, los transformadores refrigerados por aceit
TRANSFORMADORES
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CARACTERISTICAS
FISICAS
DE
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deben funcionar en el exterior, y si estuvieran en un interior, deberán hallarse in talados en recintos especia les a prueba de incendio que cumplan las exigencia s de lo aseguradores. Este inconveniente del aceite del transformador se elimina empleand compuestos líquidos especiales incombustibles. 3h. Pyranol, Inerteen o Chlorextol. Se ha mencio nado la refrigeración po aire para los transformadores que deban hallarse en el interior de edificios. Si embargo, las limitaciones de la refrigeración por aire son importantes cuando l tensión es elevada, con lo que pueden ser nocivos los depósitos de polvo lo sobre devanados, o cuando se disponga de poco espacio. Para sustituir al aceite, hse a desarrollado compuestos químicos que llevan los nombres comerciales de Pyranol Inerteen, o Chlorextol. Estos compuestos no son volátiles, ni combustibles, ni explo sivos, y son lo suficientemente fluidos para circular libremente en torno a los deva nados. Tienen gran rigidez dieléctrica y así, al igual que el aceite para transformado res, sirve tanto para aislar como para refrigerar los devanados. 4.
TANQU ES
Los transformadores que empleen la refrigeración por líquido deben tener su núcleos y devanados necesariamente encerrados en tanques que eviten las pérdida (a)
(W
(c)
F i o. 18. Trea transform adores de distribución m onofásicos 400: 2 12 0/240 V, 60 Hz, en los que puede verse el efecto de la potencia característica sobre las medidas adoptadas para disipar el calor. El transformadora) es de 15 kVA y su tanque es liso, el transformador b ) es de 76 kVA y su tan que es ru goso, mientras que c) tiene una capacidad de 100 kV A y está refrigerado por tubos exteriores soldados al tanque principal. Las figuras tienen aproximadamente la misma c) es de 180 cm. escala. La altura total de base a parte superior del transformador
del refrigerante, cuales o están construidos de acero y pueden form redonda, ovalada,loselíptica rectangular. Deben tenersoldado un huelgo para tener permitir l dilatación y contracción térmicas del aceite. En los transformadores de distribución, es corriente utilizar un tanque estanco al aire con una cámara de aire suficiente
Fi o. 20. Transform ador m onof ásico de 60 0 kV A, 25 Hz, 11 000: 460 V, de un vagón de ferrocarril eléctrico de varias unidades. Para aislamiento y disipación del calor se emplea Pyra nol refrigerado por una ventilación forzada de aire . El pasatapas de a lta tensión aparece a la izquierda y los terminales de baja tensión a la derecha.
F io . 19. Transformador tr ifásico de 1 50 0 kV A, 13 200 : 4 330 V, equipado con ventiladores auxiliares para enfriar el aceite. Cuando funcionan los ventiladores, la potencia aparente del transformador asciende a 2 000 kVA.
entre la tapa y el aceite para permitir que éste comprima o dilate el aire encerrado. En algunos transformadores grandes, la cámara sobre el aceite Be llena de nitró geno mantenido a una presión ligeramente superior a la atmosférica por medio de una válvula automática accionada por la presión, que admite nitrógeno seco de un cilindro que lo contiene comprimido. También hay una válvula de seguridad.
CARACTERISTICAS
TRANSFORMADORES
290
A lo s tr an sf or ma do re s gra nde s se les pe rm it e más co rr ie nt em en te «resp irar». Un método corriente para ello consiste en montar sobre el tanque un tambor horizontal llamado «conservador del aceite» que se conecta al tanque mediante un tubo en U, como puede verse en la figura 27. El aceite llena el tanque por completo y parcial mente el tambor de expansión. En la parte superior de éste existe una abertura de respiración a la atmósfera. Este respiradero puede ir equipado de un filtro químico que elimine la humedad y el oxígeno del aire que penetre en el conservador. Este está equipado de un sumidero para la extracción ocasional de barro y humedad. En caso de cortocircuito dentro del transformador podrán formarse burbujas rápi damente; luego, la tapa deberá ir provista de una tubería proyectora cerrada por un diafragma delgado de seguridad que se rompa ante una presión excesiva y evite así la explosión del tanque. El peligro de explosión resultante de burbujas gaseosas calientes se elimina excluyendo el oxígeno de la parte superior del tanque. 5.
PASATAPAS
Cuando las tensiones son moderadas, se extraen los conductores terminales por la parte superior del transformador a través de pasatapas de porcelana o de juntas en contacto con la funda de plomo de los cables subterráneos. Para tensiones ele vadas existen dos tipos comunes de pasatapas, el tipo lleno de aceite y el tipo con densador, cuyo aspecto exterior es parecido, pero que difieren en su principio de funcionamiento. El pasatapas lleno de aceite consiste en una varilla conductora rodeada de un
6 . DISPOSITI
F IG . 21.
Partes principale s do un pasatap as lleno de aceite.
F IG . 22.
Pasatapas conden sador para 288 00(1 V.
FISICAS
DE
LOS
TRANSFORMADORES
cierto número de cilindros delgados coaxiles de material aislante separados por sepa radores d e madera dura tratada. L a varilla y los cilindros aislantes están soportado en el interior de dos conos huecos de porcelana, como se indica en la figura 21. Lo espacios libres del pasatapas se llenan de aceite aislante. El exterior de los aisla dores lleva campanas a fin de incrementar la distancia desarrollada entre los ter minales y el tanque puesto a tierra. El cono inferior penetra bajo el nivel del aceit y requiere menor distancia desarrollada que el cono superior, que está expuesto a l intemperie. El pasatapas está proporcionado de manera que, a lo largo de su super ficie, el gradiente de po tencial sea casi un iforme. El pasatapas condensador de la figura 22 está constituido por capas alternada de aislante y hojas de metal arrolladas alrededor de una varilla conductora centra se monta en el interior de un cono huec La parte superior de este conjunto interno de porcelana, como en el pasatapas lleno de aceite. E l extremo inferior penetra e el aceite del transformador. La misión de la hoja metálica es producir en el interio del aislante un gradiente de potencial casi uniforme. Si se suprimiera la hoja metá lica, el gradiente de potencial entre la varilla y la funda variaría aproximadament en razón inversa a la distancia radial al eje de la varilla, y, por tanto, el gradiente e el aislante inmediato a la varilla sería mucho mayor que cerca de la funda, a meno que fuera muy grande el diámetro de la varilla. La hoja metálica descompone a aislante en un cierto número de condensadores en serie. Las tensiones en los conden sadores en serie son inversamente proporcionales a sus capacidades. Si las capa de aislante son todas de igual espesor, las capacidades de los condensadores so proporcionales al área de sus superficies. Si las capacidades son iguales, las ten siones entre las capas de aislante son iguales. Luego si las longitudes axiles de la capas varían inversamente con sus diámetros, el esfuerzo máximo sobre el aislant en las fibras interiores de cada capa es aproximadamente el mismo y el materia se utiliza eficazmente y con seguridad.
VOS
DE PROTEC
CIÓN
Los transformadores utilizados en sistemas de potencia o en aplicaciones indus triales precisan ser instalados de manera que se hallen protegidos contra tensione excesivamente elevadas y contra sobrecargas peligrosas; deben disponerse de maner que sea fácil su mantenimiento y la instalación no debe constituir un serio peligr de incendio o de accidente. Existen dos causas que pueden producir tensiones exce sivas entre los terminales. La primera, el rayo, produce ondas progresivas de frent de onda muy pronunciado que se propagan en ambos sentidos desde el punto d se reflejan en los extremos y en los empalmes incidencia en las líneas de hilos y srcinando una serie de picos de tensión agudos. Cuando alcanza los terminales de u transformador una de estas ondas de alta tensión, puede atravesar el aislante entr espiras, o entre espiras y tanque. La manera inmediata de reducir al mínimo el efect de estas ondas es conectar un dispositivo entre la línea de potencia y tierra, el cua proporciona un camino para corriente intensa alrededor del transformador y a disipa la energía de la onda sin efectos nocivos. Los dispositivos utilizados para est fin reciben el nombre de pararrayos. Se fabrican de una gran variedad de formas materiales, pero todos presentan la propiedad de resistencia no lineal. El element
29
292
TRANSFORMADORES
CARACTERÍSTICAS
íi o. 23. Pararrayos de 37 000 V, visto en sección para mostr ar su es truc tura intern a. L a parte inferior de l a unida d consisto en bloques cerámicos porosos, cuya característica interisidad-tensión no es linea l Aun cua ndo a tensión normal c.rcula una corriente despreciable, los bloques conducen 1 500 A a una tensión 2,1 veces mayor que l a rnorna l. La parte superior del pararrayos consiste en una serie de espacios de aire.
FÍSICAS
US
de
un
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Tre s par arr ayo s d e , . protegiendo un banco trifásico monofásicos en una subcentral exterior. k V
de
transformadores
LOS
TRANSFORMADORES
l o en
30 A ant elv di ' Hi ri ' £ , V K? ^ Í ? n " dirse. Esto fusible está lleno de un uquitto para extinguir el arco y tiene una capacidad de interrupción de 6 400 A.
Fw . 24 .
DE
activo es una sustancia química, en forma de polvo, pildoras o bloque prensa cuya resistencia eléctrica se hace menor al elevarse el gradiente de potencíale elemento. En la mayoría de los pararrayos se colocan en serie con el elemento resistencia no lineal varios espacios de aire. A través de éstos salta la chispa al ¿L el frente de onda de alta tensión y así presentan una resistencia despreciable en con los elementos principales. En cambio, cuando ya casi ha pasado el frente de on el arco que salta, en os espacios de aire desapar ece cuando se anula la corrie y de entonces en adelante no circula corriente de conducción alguna a través pararrayos a menos que llegue otro frente de onda brusco La segunda causa de tensión peligrosamente es alta una descarga que se produz a ca a f l el sistema de potencia o de un error en lf co^mutadón solución en este caso también es el empleo de pararrayos. Hay que tener cuida en asegurarse que el pararrayos que se elija para una aplicación cualquiera sopo
6
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*™ atienen un material extin' instalados en un circuito de 66 000 V. Estos fusibles pueden interrum pir 7 000 A a 66 000 V. 2
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bien la tensión a él aplicada continuamente de la línea de potencia durante un tallo a tierra de otra fase. Esta tensión es, para muchos sistemas trifásicos, mucho mayor que la tensión normal aplicada al pararrayos.
294
TRANSFORMADORES
CARACTERÍSTICAS
FÍSICAS
DE
LOS
TRANSFORMADORES
295
F io . 28. Trans formad or CSP trifásico de 600 kV A, 13 200 : 4 330 V, que tiene todos los dispositivos auxiliares necesarios montados ya en la fábrica. Los distintos compartimientos montados en la parte frontal del transformador son: arriba, a la derecha, mecanismo para cam biar las tomas bajo carg a; arriba a la derecha, disyuntor de 4 330 V; abajo, a la derecha, relés de sobrecarga, potencia inversa y restablecimiento de la continuidad; abajo, a la izquierda, mando del cambiador de tomas e indicador de la temperatura del aceite. Los pararrayos necesarios están montados encima del alojamiento principal. Cuando están cerradas todas las puertas y el armario conectado a tierra no quedan partes activas expuestas bajo la cubierta superior.
F io . 27. Subcen tral de tipo abierto para dar energía a un sistema de 13 800 V, y otro de 4 800 V, a partir de una línea de. transmisión de Cfi 000 V. El banco principal de transformadores en primer término consta de tres unidades monofásicas do 500 kVA. Los pararrayos de 66 kV, están montados en la parte do atrás de la estructura, un poco por encima del centro, y los pararra yos de 13,8 kV, a la derecha, inmediatamente bajo el centro. Fusibles llenos de líquido protegen los circuitos de 66 k V. La línea saliente do 13 800 V, do la derecha, está regulada y protegida por un disyuntor de aceite. Un transformador trifásico
sistema de distribución. Los dos pequeños transformadores de distribución de la derecha su ministran energía para ser consumida en la misma central. Cada banco de transformadores tiene su propio dispositivo de desconexión para interrup ción manual durante las reparaciones o el trabajo de mantenimiento. Los interruptores desconectadores en el aire de 66 kV, de la parte superior de la estructura, se emplean para seccionalizar Ta línea de alta tensión en uno y otro sentido, y pueden abrirse mientras se transporte una carga normal. Toda la estructura de acero, los tanques metálicos y las cercas de seguridad están conectadas a una tierra próxima a la subcentral mediante conductores gruesos. El conductor a tierra de la línea de 66 kV, está conectado a la estructura puesta a tierra en la parte superior derecha.
296
CARACTERÍST1CAS
TRANSFORMADORES
Los transformadores no sólo han de estar provistos de una adecuada protec ción contra las descargas, sino que también deben desconectarse automáticamente del generador de potencia si hay una corriente en los devanados que sea peligrosa mente intensa, sea a causa de una sobrecarga anormal, o como resultado de un fallo interno del aislante del transformador. Esta protección contra las sobreintensidades la dan o fusibles o disyuntores automáticos que abren el circuito antes de que el efecto calefactor de las sobreintensidades se haga excesivo. La protección usual contra sobreintensidades, ya sea por fusibles o por disyuntores, se ajusta con una «característica de tiempo inverso», lo cual significa que el circuito se interrumpe al cabo de un periodo de tiempo más corto para corrientes muy intensas que para otros que lo sean menos. Se dispone, para la protección de transformadores, de fusibles de hasta 138 000 V. En los fusibles de alta tensión, el principal problema es extin guir rápidamente el arco. Esto se realiza de varias maneras: incluyendo la acción de soplo resultante de la expansión de un gas en un tubo que contenga el arco ca liente; la separación rápida, bajo la acción de un resorte, de los terminales de uno y otro lado de un fusible, y la extinción del arco en un líquido tal como tetracloruro de carbono. Para que la instalación de un transformador sea razonablemente segura desde el punto de vista de accidentes, todos los terminales desnudos deberán estar fuera del alcance o protegidos por un metal a tierra o por pantallas aisladoras. Los tanques metálicos deberán estar bien conectados a tierra y las señales de alta tensión deberán estar bien visibles si los transformadores se hallan en un lugar accesible al público o a los empleados no encargados de su mantenimiento. Los transformadores que tienen terminales de alta tensión desnudos deberán siempre estar en un recinto vallado y cerrado y, si contienen aceite refrigerante inflamable, deberán montarse sobre un lecho de piedra picada o rodeados de una valla baja de hormigón que evite que se escape el aceite durante un incendio. Lo s transform adore s refrigerados co n aceite ordina rio pres entan un riesgo mu y ligero a la explosión. Un arco sostenido en el interior del tanque vaporizará el aceite y cuando se haya acumulado una cantidad suficiente de vapor del aceite podrá producirse una explosión a menos que exista un dispositivo de seguridad para la presión. No será, pues, aconsejable permitir que en la proximidad de los grandes transformadores de potencia se estacione o trabaje gente de una forma sistemática. Un avance reciente en los transformadores de distribución es el llamado transfor mador autoprotegido CSP (completely self-protecting). Contiene su propio para rrayos y fusibles con indicadores que muestran si están fundidos o en funciona miento. Todos los transformadores de distribución, potencia o instrumento deben ins talarse con dispositivos desconectadores adecuados que puedan abrirse para permitir el acceso seguro a las partes eléctricas para inspección, mantenimiento o reparación. Los fusibles para transformadores de distribución sueler estar situados en el interior de un alojamiento de porcelana. Para desconectar el transformador se tira de los fusible s. No obstant e, en los transf ormad ores grandes de pote ncia existe un in te rru pto r aparte • que desconecta los fusibl es o disyu ntor es al mism o tiem po que el transformador. Si existe alguna posibilidad de alimentación en los dos sentidos, deberán colocarse interruptores para desconectar los dos devanados. Muchos transformadores de tensión para interiores están dotados de portafu-
FISICAS
DE
LOS
TRANSFORMADORES
297
sibles y fusibles en serie con los devanados de alta tensión, a fin de proteger la línea contra los cortocircuitos resultantes de un fallo en el interior del transformador. Cuando un transformador de tensión no sea suministrado con sus propios fusibles habrá que instalarlo siempre con fusibles aparte en serie con el devanado de alta tensión. Los fusibles utilizados para proteger los transformadores de tensión deberán siempre ir equipados o instalados en serie con resistencias limitadoras de la inten sidad que eviten la formación de arcos de potencia destructores dentro de los fusibles, cuando éstos se funden.
7.
BLIND AJE
A u n cu an do se pr ot ej a un tr an sf or ma do r co n pa ra rr ay os , la te nsi ón lo ca l en tr e espiras puede hacerse excesiva entre ciertas partes de los devanados. En otras pala bras, la distribución del gradiente de potencial puede no ser uniforme. Un proce dimiento para mejorar esta situación consiste en proporcionar una pantalla metá lica bien diseñada colocada respecto a los devanados de manera que los gradientes
(a)
(b)
F io . 29. Cortocircuito de primari o, utilizado tanto para fusible como para medio de des conexión en transformadores de dist ribuci ón. E l fusible está contenido en el interior del cilin dro de fibrasoportado por la tapaarticulada, como puede verseen,a). Para abrir el circuito, se tira hacia la derecha de la tapa. Si se funde el fusible, el extremo roto cae fuera del cilindro y el re sorte de arriba echa el cilindro hacia abajo, con lo que emerge por debajo del alojamiento de en b). porcelana, indicando la condición de fundido, tal corno puede verse
TRA
298
NSFORMADORES
CARACTERÍSTICAS
FÍSICAS
DE
LOS
TRANSFORMADORES
299
de potencial se mantengan dentro de los valores de seguridad para todos los devana dos. El sistema se conoce con el nombre de blindaje electrostático. En los transforma dores, par a comunica ciones se emplea comúnmen te el blinda je electrostático para evitar que en uno de los devanados aparezcan tensiones induci das a causa de una tensión existente en el otro, y para evitar una interferencia estática similar entre los devanados del transformador y otros circuitos cercanos. Este blindaje electrostático realiza también la importante misión de fijar definiti vamente las capacidades devanado a tierra e interespiras. Los transformadores para comunicaciones están provistos a veces de blindaje magnético en forma de una caja de acero, con el fin de reducir al mínimo la interferencia electromagnética entre el transformador y otros elementos de circuito.
31.
Pequeño transformador de audiofrecuencia montado en dajes de gran permeabilidad.
una caja con
tres blin
C AP
IT
U LO
FUGAS
XII
Fugas magnéticas en los transformadores
DE
LOS
TRANSFORMADORES
30
t
En la teoría más simple dada en el apartado 2 del capítulo X, el transformador se consideraba perfecto eléctricamente. Debemos, sin embargo, desarrollar una teoría más completa de,sus características eléctricas, en la cual se tengan en cuenta, al menos en forma aproximada, las siguientes imperfecciones existentes en los trans formadores con núcleo de hierro: 1. 2. 3. 4.
MAGNÉTICAS
un devanado nos ayudará a comprender las condiciones más complicadas e impo tantísimas que se tienen cuándo circulan corrientes por los dos devanados. Consideremos las dos bobinas con núcleo de aire de la figura 1, que constituye i la intensidad de la corriente que circula por l un transformador elemental. Si es bobi na 1 y la 2 está en circ uit o abier to, el carácter general del cam po magnétic creado por ¿, es el indicado burdamente por las líneas de fuerza dibujadas en l
bobina
bobina 2
Los devanados tienen resistencia; Exi st en fugas magné ticas; Pa ra crear el flujo se preci sa una corri ente de excitación; En el núcleo se pro duce n pérdidas por histeresis y por corrientes de Fou cau lt .
En ciertos problemas en los que intervienen frecuencias elevadas es preciso tener en cuenta, también, las capacidades de los devanados, si bien las despreciaremos en el análisis siguiente. Así, pues, según las ecuaciones (1) y (2) del capítulo X, las
(b) Fi o. 1.
relaciones de tensiones son: dL
n •
=
,
.
+ ~
>(2)
donde,
Campos magnéticos creados por bobinas compactas con núcleo de aire; (a), sól circula corriente por la bobina 1; (b), sólo circula corriente por la bobina 2.
figura l a . Como las espiras de la bobina 1 están concentradas formando una bobina N espiras. compacta, prácticamente todo el flujo creado por la bobina 1 abraza a sus Sea
n
21
y v son las tensiones instantáneas entre los terminales de primario y secun dario, respectivamente, ¿i e i las intensidades instantáneas de las corrientes, # i Y #2 ' resistencias efectivas de los devanados, /j y x¡¡ son los flujos instantáneos que atraviesan primario y secundario, resul tantes de los efectos de ambas corrientes. 2
n
2
80n
a s
An te s de re so lv er est as ecu aci one s es pr eci so de te rm in ar la s rel aci one s exi st en te s entre los flujos y las intensidades de las corrientes, teniendo en cuenta las fugas magnéticas y las propiedades magnéticas del núcleo. El resto de este capítulo se dedica al estudio de estas cuestiones y de las aproximaciones simplificadoras nece sarias para obtener una solución útil.
2
M
2
12
2
—fj? ij.
FUG AS MAGNÉTICAS
EN VACÍO
Las fugas magnéticas ejercen un efecto importante sobre las características de carga de todas las máquina s de corriente alt ern a. A u n cuando las fugas magn éticas en un transformador con núcleo de hierro suelen ser muy pequeñas cuando trabaja en vacío, el estudio del campo magnético creado por la corriente que circula por 300
(3)
Este flujo de fuga está representado por las líneas de fuerza de trazo continuo de la figura la. El campo magnético creado cuando la bobina 2 está excitada análogamente por una corriente de intensidad instantánea i y la bobina 1 en circuito abierto, es el representado en la figura 16. Si el flujo total que atraviesa a la bobina 2 es
Este flujo de fuga está representado por las líneas de fuerza de trazo continuo de la figura 16. En el caso de las bobinas compactas de la figura 1 los flujos mutuo y de fuga quedan bastante bien delimitados. Sin embargo, los devanados de un transformador real no son bobinas compactas, por lo que es necesario tener en cuenta los efectos del campo magnético en el interior de las regiones ocupadas por los devanados.
FUGAS
TRANSFORMADORES
302
MAGNÉTICAS
EN
LOS
TRANSFORMADORES
30
pío las líneas c, sólo atraviesan algunas espiras del devanado 1. Las líneas tal como 6 y c atraviesan solamente las espiras del devanado 1, pero las líneas tal 2b indi como a atraviesan también parte de las espiras del devanado 2. La figura que, debido a los flujos parciales producidos por flujos (a y c) cuyos cam inos pasa por entre las espiras de los devanados, la distinción entre flujos mutuo y de fuga un transformador real resulta mucho menos clara que en las bobinas compactas la figura 1. Debido a la facilidad pon que pueden verse los flujos mutuo y de fuga en las bob nas compactas convendrá simplificar el aspecto del campo magnético en un tran formador, introduciendo el concepto de flujos equivalentes de la siguiente maner Sea Á el flujo que atraviesa al devanado 1 creado por la corriente que por él circul Una pequeña contribución al flujo A se debe al flujo (líneas c de fig. 26) que atr
Por ejemplo, consideremos los campos representados en la figura 2 en la que puede verse, en sección, el núcleo y las bobinas de un transformador del tipo de núcleo con devanados coaxiles. En la figura 2 sólo circula corriente por el devanado interior 1, según indican los puntos y cruces que representan las puntas y colas de flechas diri gidas en el sentido de la corriente i . En la figura 2a se han representado las compo i La mayor parte del flujo está confinado en nentes principales del lujo creado por el núcleo y por tanto atraviesa a todas las espiras de uno y otro devanado, según L
v
n
n
n
l(
?n c b a Fia. 2. ('amp un transíorinad*
(a)
El flujo 9?
n
= ^ -
(
es el flujo medio por espira del devanado 1. Parte de este flujo atravies 2 1
(b)
también al devanado Sea / parte el flujo a través 2 creado porflujo la corrient del devanado 1. Una 2.pequeña del flujo A del devanado está creada por el (líneas a figura 26) que atravi esa solam ente un a fracción del número to ta l de espiras de devanado 2. Sea cp un flujo equivalente por espira que atraviesa las iV espiras de devanado 2 y cree un flujo a su través N cp igual al flujo real X. . Entonces,
i( o debido a la corriente que eircula por el devanad o interior de r del tipil de núcleo. Kn (a),¡Hieden verse los flujos principales, y en (b), puede 1 caraeti i general dei campo en el cuadrante superior izquierdo de (a)
21
o inatziut i
n
n
21
2
2
21
i
V
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2
El flujo
n
tl
n
(7
21
= -
(a) Km. 3.
iS
n
(b)
Campo magnético dcl>idn n la corriente (pie circul a por el devanado exterior de figura 1'.
la
Así , pue s, la dis tri buci ón re al de l flu jo de la fi gur a 26 es eq ui va le nt e a la im ag e 2a, en la cual el campo magnético creado por i se repre simplificada de la fig ura senta mediante un flujo mutuo equivalente cp , indicado por las líneas de trazos d la figura 2a, que atraviesa todas las espiras de ambos devanados, y un flujo de fuga y, I, pero a ninguna del devanado 2 que atraviesa a todas las espiras del devanado 2a. En tal caso, pucc' representado por las líneas de trazo continuo de la figura visualizarse el campo magnético de un transformador real en función de compo nentes equi valen tes de fug a y mut ua análogas a las de las bobina s compac tas di: ¿ figura 1. Cuando se expresan estos flujos equivalentes como valores medios de V x
n
indican las líneas de trazos de la figura 2. Las líneas continuas finas representan un finjo adicional no confinado totalmente en el núcleo. En la figura 2« pueden verse las trayectorias aproximadas de este flujo en el aire, y en la figura 26 se representa 2a. Examinando el campo magnético en el cuadrante superior izquierdo de la figura a y b, la figura 2b puede verse que parte del flujo en (¡1 aire, por ejemplo las líneas atraviesan todas las espiras del devanado 1, mientras que otra parte de él, por ejem-
TRANSFORMADORES
304
FUGAS
flujos por espira, como en las ecuaciones (6), (7) y (8), tienen en cuenta correctamente los flujos parciales creados por el campo magnético en el interior de los devanados. Análo game nte, si por el deva nado 2 circ ula una corriente de inte nsid i es ad tando en circuito abierto el devanado 1, la distribución del flujo es aproximada mente la indicada en la figura 36. El flujo medio por espira a> en el devanado 2 es:
Con lo que las ecuaciones
MAGNÉTICAS
EN
LOS
TRANSFORMADORES
1 y 2 pueden escribirse en la forma
2
" i = ih R
+
N
^ ^
Í
T
•(1
22
-v^L= .Ri + N 2
A„.
2 2
^
2
donde A es el flujo total que atraviesa el devanado 2 creado por su propia corriente El flujo mutuo medio por espira g? a través del devanado 1 es: 2 2
12
Escribimos las ecuaciones en esta forma porque los flujos equivalentes pued verse más fácilmente que el campo magnético real. Aun cuando la mayor pa del flujo atraviesa ambos devanados, también hay flujos de fuga que atravies un devanado, pero no el otro. Los flujos cp y
-4r>
0)
(1
donde A es el flujo total que atraviesa el devanado 1 creado por la corriente del devanado 2. El flujo de fuga del devanado 2 respecto al devanado 1 es: M
95/2
= a>M
"
— 9 ?is
A
2 2
N
2
^12
(12)
N,-
En la figura 3a están representados los flujos equivalentes
2
• Por tanto , a pesar de la no linealida d magnét ica del hierro, el flujo de fuga es casi directamente proporcional a la intensidad de la corriente que lo srcina. Esta importante propiedad del flujo de fuga simplifica mucho el estudio analítico de los transformadores con núcleo de hierro.^
2.
ECU ACIO NES DI
TENSIONE
S Y DISTBI BÜCIÓN
DE FLU JO BAJO
CABG A
Cuando circulan corrientes por ambos devanados, los flujos resultantes yA A de las ecuaciones 1 y 2 están creados por los efectos combinados de ambas corrien tes y se deben, en parte, a los enlaces parciales del campo magnético entre las espi ras. Para fijar ideas, sean
x
(
(9)
Ni
t
2
2
1. El flujo de fuga debid o a la corriente del devanad o; 2 . El flujo mutu o compo nente debido a la corriente del deva nado ; 3 . El flujo mutu o compo nente debido a la corrien te del otro devan ado. As í, pu es , los fluj os re su lt an te s 9^ y cp de las ecuaciones sarse en la forma,
(15) y (16) pueden expr (1 (1
Los flujos con doble subíndice son las componentes creadas por una sola corrien actuando sobre sí misma. Es decir,
2
21
v
12
2
En las figuras 2 y 3 de este capítulo se indican los caminos de estos flujos comp nentes y sus sentidos positivos, y el campo magnético resultante en un instante cual * No ea necesario postular un núcleo de permeabi lidad constante si se consideran los fluj en presencia de la otr componentes como componentes debidas a cada corriente actuando No obstante, es más fácil ver los flujos componentes suponiendo permeabilidad constante y l resultados de este ejemplo pueden extenderse fácilmente a la aplicación a un transformad
con núcleo de hierro, según se verá a continuación.
FUGAS
TRANSFORMADORES
306
nuiera puede considerarse como el resultado de superponer estos campos compo nentes haciendo las consideraciones pertinentes acerca de sus valores instantáneos v sentidos, según se indica en la parte 6) de este apartado. ' ' l a su ma q +
21
fi
(19)
Así -núes po r sup erp osi ció n, el fl uj o re su lt an te cp, a través de una sección del pri mario se puede expresar como suma del flujo creado por la corriente del primario sola más el flujo mutuo
12
l2
í2
¿2
(
M
)
Fste método de combinar los flujos componentes conduce a las conocidas ecuaciones de l os ci rc ui to s ac op la do s en función de la s au to in du cc io ne s ^ ^ ^ ^ de io s devana dos, que se estudian en l os ca pítu los XV I I y XV I I I . El introducir ahora la s ecua cione s (19) y ( 20) se ha ce so lamente c on la i nten ció n de R e n t a d o que las ecuaciones clásicas de los circuitos acoplados pueden deducirse de la misma teoría fundamental que el método de análisis que se estudia en el resto de este ^ LoÍflujos componentes de las ecuaciones (17) y (18) pueden obtenerse también de otra manera especialmente conveniente para el análisis de los transformadores con núcleo de hierro. Obsérvese que el flujo mutuo resultante creado por la acción combinada de las corrientes de primario y secundario es la suma de las compo nentes debidas a cada corriente actuando por sí sola. Representando por tp a este flujo mut uo result ante, .£i) Luego, las ecuaciones
EN
LOS
TRANSFORMADORES
1
T l l
T l
MAGNÉTICAS
el lector debe tener una idea bien clara de los significados de los flujos compone en esas ecuaciones. En particular, es importante que no tenga confusiones ac de la manera en que se relacionan dichos flujos componentes con la distribu real del flujo en un transformador en carga Por tanto , el estudio que se realiza a continuación describirá, por medio de mapas de líneas de fuerza trazados burdamente, la ma nera en que varía con el tiempo el campo magnético en un transforma dor en carga. Consideremos un transformador cargado que tenga igual número de espiras en primario que en secunda rio. Según se vio en el apartado 1 del capítulo X, la corriente de secunda. i ,,antón<.a.Hd e las corrien rio crea una fuerza magnetomotriz de priman.) y secundario, que tiende a ojjonerse a la fuerza magnetomotriz de la corriente del primario, y, por tanto, si se toman en el mi sentido respecto al flujo positivo los sentidos positivos de ambas corrientes, é son aproximadamente, aunque no exactamente, de igual intensidad y fases opues como se indica en la figura 4. Las intensidades y la relación de fases de las come de primario y secundario dependen do la naturaleza do la carga así como de características del transformador. En el instante í do la figura 4 la intensidad ¿ de la corriente del secundario nula y la distribución resultante del flujo en ese instante es la misma que si estuvi abierto el secundario. Si el primario os el devanado interior 1 de las figuras 2 t. es la ¡ndieada en la figur de este capítulo, la distribución del flujo en el instante i En el instante t posterior, es nula la intensidad de la corriente del primario campo magnético es, entonces, el representado en la figura 3. Durante la prim t y t la intensidad instantánea de la come parte del intervalo de tiempo entre de primario es mayor que la intensidad instantánea de la corriente del secund y la corriente del primario es la que mayor influencia tiene sobre la distribu del flujo; es decir, el flujo de fuga situado en el aire atraviesa al primario y se di hacia abajo por los espacios de aire existentes entre los devanados de la rama izquie del núcleo, como se indica en la figura 2. Durante la última parte del interval tiempo entre í y t la intensidad instantánea do la corriente del secundario mayor que la de la del primario y es el secundario quien más influye en la dis bución del flujo; es decir, el flujo de fuga en el aire atraviesa al secundario y se di hacia arriba por los espacios de aire entre los devanados de la rama izquierda núcleo, como se indica en la figura 3. Así, pues, durante el intervalo de tie
(17) y (18) pueden escribirse en la forma
F l( 4
0
Wa d (
>s
lw
2
n
1
1
0
0
Es decir, el flujo resultante a través de una sección de un devanado puede expresarse como suma del flujo de fuga debido únicamente a la comente del devanado mas el flujo mutuo resultante debido a las fuerzas magnetomotnces combinadas de las comentes de p rimari o y secundario actuando ^ « ^ ^ H Í a i ^ modo las compo nente s en las ecuaciones (1 7) y (18) se llega al me wu o estudiado en los apartados 3 y 4. ba il ar l o 2b Distribución resultante del ¡lujo. Antes de entrar e n un estudio detallad o del tra tam ie nto analítico que pued e desarroll arse a par ti r de las ecuaciones (.2) y ( 23 „
Illt t
v
v
Es interesante leer críticamente las diferentes ideas de varios autores acerca de la di bución del flujo en los transformadores, expresados en los estudios y publicaciones de K. B. EACHRON, «MagneticFlux Distribution in Transformers»,A. I. E. E. Trans., 41 (1922), 247,O. G. C. DAHL, «SepárateLeakage Reactance of TransformorWindmgs», A. I. E. E. Trans. (1925), 785-791; A . BOYAJIAX, «Resolutionof Transformer Reactance into Primaryand Se 1
dary
Reactances», A.I.E.E.
Trans.,
44 (1925),
805-810.
TRANSFORMADORES
308
FUGAS
entre í y í la distribución del flujo sufre una transición desde la forma de la figura 2 a la de la figura 3; el flujo en los espacios de aire entre los devanados (dirigido hacia abajo en t ) disminuye, invierte su sentido, y luego crece, cambiando simultánea t„) a cami mente su situación en el hierro desde caminos que abrazan el primario (en nos que abrazan el secundario (en íj). Durante todo este intervalo de tiempo, las corrientes instantáneas de primario y secundario son relativamente débiles y, por tanto, el flujo de fuga es pequeño. Entre los instantes í y í de la figura 4, las corrientes en los devanados crean fuerzas magnetomotrices opuestas, predominando la fuerza magnetomotriz de la intensidad positiva ¿ de la corriente del secundario. Por tanto, el flujo mutuo resul i , según indican las líneas de tante a> tiene el sentido de la fuerza magnetomotriz de trazos de la figura 5a en la cual pueden verse también, representados por lineas de
MAGNÉTICAS
EN
LOS
TRANSFORMADORES
309
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líneas de fuerza del campo magnético resultante. La distribución resultante de
(e) (d) F io . 5. Campo m agnétic o en el cuadrante superior izquierdo del transformado r de la fi gura 2, debido a las fuerzas magnetomotrices de sentidos opuestos de primario y secundario a) Flujos componentes y b) campo resultante cuando i mayor que i¡. c) Campo resultante cuando i es igual a i . d) Flujos componentes ye) campo resultante cuando ii es mayor que i . 2
2
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TRANSFORMADORES
no
FUGAS
flujo es la combinación de las componentes y está representada aproxi madam ente en la figura 5e. Obsérvese que las líneas de fuerza que abrazan instantáneamente ambos devanados, indicadas mediante líneas de trazos en la figura 5e, no representan a la componente resultante 99 de la figura 5d, y que la mayor parte del flujo en el aire, representado en la figura 5e por línea s de trazo contin uo, abraza al pri mari o, pero no al secundario. Al au me nt ar el ti em po de í a t (fig. 4), las intensidades instantáneas de las t sólo circula corriente por el primario, corrientes aumentan, hasta que finalmente en como en í , con la diferencia que la corriente del primario es ahora de sentido con t será, pues, análoga, pero de sentido trario al anterior. La distribución del flujo en contrario a la indicada en la figura 2. Podemos resumir los puntos más importantes de este estudio de la manera siguiente: 3
2
3
MAGNÉTICAS
EN
LOS
311
TRANSFORMADORES
de fuga son casi directamente proporcionales a las intensidades de las corrientes qu los crean, ya que los caminos de los flujos de fuga transcurren por el aire en la mayo parte de su longitud. • Luego las componentes de las autoind ucciones de los de vanados debidas a lo flujos de fuga son muy aproximadamente constantes, por lo que conviene introduci parámetr os de induc tanc ia que inter prete n las tensiones induci das por los flujo de fuga. ^
0
3
• La distribución del fluj o en un tra nsf orm ado r no sólo depende de la geometría instantáneas y sentidos de su núcleo y devanados, sino también de las intensidades de las corrientes. Así, durante el hemiciclo de í a t , la distribución del flujo varía continua mente, adoptan do sucesivamente las formas pres entadas en las figu ras 2, 3 y 5. 4| 0
DE FUG A
Cuando se expresan los flujos resultantes de las ecuaciones (15) y (16) como suma de los componentes de las ecuaciones (22) y (23), las ecuaciones de las tensiones del transformador quedan en la forma, +
+
•(26) Aná lo gam ent e, la in du ct an ci a de fu ga L¡ del devanado 2 respecto al devanado 1 es s
com
• Cuando circulan cor rientes insta ntán eas por ambos devanados, la ma yor parte del flujo en el aire abraza al devanado que cree mayor fuerza magnetomotriz, y las líneas de fuerza que abrazan a un devanado sin abrazar al otro no represen tan al flujo de fuga componente de este devanado respecto al otro. ^
CIAS
n
3
• Los flujos tuo identificarse y de fuga de ecuaciones ( 22)líneas y (23)de no sondel mas que ponentes, y no mu pueden conlasningunas de las fuerza campo magnético resultante, salvo cuando sólo circula corriente por un devanado, como ocurre en las figuras 2 y 3. ^
3 . INDUCTAN
La componente de la autoinducción del devanado 1 debida al flujo de fuga 95/ inductancia de fuga del devanado 1 res del devanado 1 respecto al 2 se define como pecto al devanado 2. Así, pues, la inductancia de fuga L del devanado 1 respecto al 2 es el flujo de fuga que, por unidad de intensidad de corriente, atraviesa todo e primario, o sea,
V l
=
Rlil
+
L
l
l
* = R>H + L
A pes ar de la no li ne al id ad mag nét ica de l núc leo de hi er ro , los flu jo s com pon ent e,:
l2
•( 27)
S
Obsérvese que la inductancia de fuga es una propiedad de un devanado respecto a otro. Si el devanado tuviera más de dos devanados independientes, la inductancia de fuga del primario respecto al secundario suele ser diferente de la inductancia de fuga del primario respecto al tercer devanado *. Sin embargo, en el caso de u transformador de dos devanados no hay ambigüedad alguna si a la inductancia de fuga del primario respecto al secundario se le llama, abreviadamente, inductancia de fuga primaria. En el resto del estudio de los transformadores de dos devanado utilizaremos siempre esta terminología abreviada. Si se expresan en función de las inductancias de fuga las tensiones inducida por los flujos de fuga de primario y secundario, las ecuaciones (24) y (25) queda en la forma,
(«)
luego cada tensión entre terminales puede expresarse como suma de una caída óhmica, una tensión inducida por el flujo de fuga y otra inducida por el flujo mutuo resultante 99. Los flujos componentes de fuga 95/1y 95/2inducen tensiones solamente 95 abraza en el devanado al que están asociados, pero el flujo mutuo resultante ambos devanados e induce en ellos tensiones cuyo cociente es igual al cociente entre los números de espiras correspondientes, como en el transformador ideal.
L
^í?.
k
d
l
t
+
d
^
N
l
+
^ =
N
i
d
Rlil
^ R*>= +
+ L
n
§ + H +
N28) *> 29
cp. Obsérves donde e y e son las tensiones inducidas por el flujo mutuo resultante que las resistencias y las inductancias de fuga de las ecuaciones (28) y (29) so parámetros esencialmente constantes y que el único efecto de las propiedade magnéticas no lineales del núcleo sobre la teoría expresada en las ecuaciones (28 y (29) está en la relación entre el flujo mutuo resultante 93 y la fuerza magnetomotriz requerida para crearlo. En el apartado 4 se estudiará este aspecto de la teoría. x
*
2
En el capítulo X XV II , se estudian los transfor madores multicircuito.
TRA
312 4.
COMP ONEN TES DE
EXCITAC
FUGAS
NSFORMADORES
IÓN y
DE CARGA DE
LA
CORRIEN
TE DEL PRI
MARIO
El flujo mutuo resultanteq> está creado por la acción combin ada de las corrientes de primario y secundario. En el análisis del transformador con núcleo de hierro de dos devanados se supone casi siempre que el flujo mutuo se halla enteramente confinado en el núcleo y usualmente que el flujo de fuga es tan débil frente al flujo mutuo resultante q>, que éste puede considerarse igual al flujo en el núcleo. Esta hipótesis no es estrictamente cierta, puesto que las fugas incrementan positivamente el flujo en ciertas partes del núcleo y negativamente en otras, según puede verse en la figura 5. Aun cuando es posible tener en cuenta aproximadamente los efectos de los flujos de fuga sobre las propiedades magnéticas del núcleo, rara vez es necesario hacerlo. Si se desprecian estos efectos secundarios de las fugas magnéticas, las fuerzas magnetomotrices de primario y secundario serán igualmente eficaces para crear un flujo mutuo, independientemente de la distinta disposición de estos deva nados sobre el núcleo. En virtud de la ecuación (28), el flujo mutuo resultante
primario y secundario, cuya fuerza magnetomotriz resultante crea el flujo mutuo resultante, deben ajustarse por sí mismas para satisfacer estas condiciones. Según se vio en el apartado 1 de l capítul o X, conviene descomponer la corrie nte del primario en una componente de carga i' , cuya fuerza magnetomotriz equilibre exactamente a la fuerza magnetomotriz del secundario, y unacomponente de excitación »¿ cuya fuerza magnetomo triz sea suficien te por sí mis ma para crear el flujo mutuo resultante requerido para satisfacer la ecuación que da la tensión del primario. La intensi dad i de la corriente del primario es la suma de estas componentes; así,
MAGNÉTICAS
EN
LOS
TRANSFORMADORES
313
se supone, como se ha hecho antes, que el flujo en el núcleo es igual al flujo mutuo resultante
CIRCUITO
EQU IVALE NTE
Ex ami nan do la ecuación (28) se ve que se aplica a un circuito en el cua l la tevnsión entre los terminales del primario está aplicada a la resistencia del primario en serie con la inductancia de fuga y con la fuerza contraelectromotriz e inducida en el primario por el flujo mutuo resultante, tal como se representa en la parte (a) de la figura 6. Como la corriente de excitación depende del flujo mut uo resultante
x
L
x
ideal. También la componente i' de la corriente del primario está relacionada L
L
x
*L +
*'i =
<
°)
Si se toman en el mismo sentido respecto al flujo los sentidos positivos de las corrientes de primario y secundario, la relación entre la intensidad de la corriente del secundario y la componente de carga de la corriente del pr imario es, p or definición,
o sea,
N¿'i.=—N*t
( ) 31
(32) Es decir, la componente de carga de la corriente del primario es, en cada instante, proporcional a.la intensidad de la corriente del secundario y tiene sentido contrario respecto al flujo. Así, pues, la intensidad de la corriente del secundario y la compo nente de carga del primario están relacionadas entre sí como lo está n las intensi dades de las corrientes de secundario y primario en un transformador ideal. La relación entre el flujo resultante en el núcleo y la corriente de excitación es un ciclo flujo-intensidad de corriente análogo al de la
(a)
(c)
(d)
3
figura 3 del capítulo VI . Cuando
F io . 6. Circuito equivalente representativo de un transformador con núcleo de hierro. Las características de excitación están representadas por la bobina con núcleo de hierro (b), cuyo devanado no tiene resistencia. El oociente entre los números de espiras del transformador ideal (c), es igual aNJN,.
con la intensidad de la corriente del secundario (ees. 31 y 32) como lo están las inten sidades de las corrientes de primario y secundario en un transformador ideal. Luego la razón de los números de espiras del transformador real puede representarse me diante un transformador ideal, como on la parte (cj de la figura 6. La relación entre la tensión inducida en el secundario ey la tensión entre terminales del secundario v (ec. 29), es también la representada por la impedandia en serie en la parte (d) de la figura 6. Luego basándose en las hipótesis del apartado 4 referentes a los factores que influyen sobre las características de excitación del núcleo, el cirouito de la figura 6 tiene iguales características eléctricas que el transfo rmad or real . Una ventaja del circuito equivalente es que pone de manifiesto, probablemente en forma más clara que las ecuaciones, las imperfecciones del transformador real. Las resistencias de los devanados y las inductancias de fuga introducen caídas de tensión en primario y secundario que haoen que el cociente entre las tensiones de a
t
FUGAS
TRANSFORMADORES
314
primario y secundario sea diferente del cociente de sus números de espiras. Además, la corrient e de excitación hace que el cociente entre las intensi dades de las corrientes de primario y secundario sea diferente del cociente entre los recíprocos de los núme ros de espiras cambiado de signo, cosa que indica la bobina conectada en paralelo de la figura 6.
Otra ventaja del concepto de inductancia de fuga y del circuito equivalente resultante es que los efectos de la no linealidad magnética del núcleo de hierro quedan segregados en la bobina en paralelo representativa de las características de excitación. Exceptuando esta consideración, el transformador con núcleo de hierro tiene esencialmente las propiedades de un circuito lineal, puesto que las resistencias de los devanados y las inductancias de fuga son muy aproximadamente constantes. En el apartado 6 se estudia esta importante consideración. 6.
EFE CT OS DEL NÚCL
EO DE
HIERRO Y
APROXIMACIONES SIM
PLIFI CATTVAS
Si quiere determinarse analíticamente el funcionamiento de un transformador con núcleo de hierro como relación entre la corriente de excitación y el flujo mutuo resul tante, c onvendrá tom ar una relación más senci lla que la real del ciclo fluj ointensidad de corriente. Como la corriente de excitación suele ser débil, frecuente mente podrá realizarse el estudio mediante métodos aproximados. Existen varias alternativas. 1. Pued e presci ndirse de la for ma de ond a pecu lia r de la corri ente de excitación y suponer que en las condiciones de corriente alterna permanente la corriente de excitación es sinu soid al, como en el apa rtad o 11 del capítulo V I . Las componentes de pérdida en el núcleo y magnetizante de la corriente de excitación sinusoidal equivalente pueden ajustarse con los cambios de frecuencia y flujo en el núcleo de acuerdo con las características reales del transformador. Así, pues, la no linealidad del núcleo puede tenerse en cuenta hasta el punto en que afecte a las intensidades eficaces de las componentes de la corriente de excitación, pero se desprecian los armónicos de la corriente de excitación debidos a la no linealidad del núcleo. Para unas condiciones de funcionamiento determinadas, la bobina con núcleo de hierro de la figura 6 que representa las caracterís ticas de excitación del núcleo eq uiva le, entonces, a una combinación serie o paralelo de resistencia y autoinducción, como en lo s circui tos equivale ntes del aparta do 13 del capítulo V I . De acuerdo con estas hipótesis, para unas condiciones de funcionamiento dadas se considera que el trans formador se comporta como elemento de circuito lineal, si bien los parámetros de cir cuito que representan sus características de excitación varían sus valores cuando varía el flujo mutuo resultante o la frecuencia. 2. Se obtiene una ulter ior simpli ficación si se for mul an hip ótesis apro piad as acerca de los parámetros de circui to que repres entan las característica s de excitación. Así , a me nu do se pu ed e su po ne r qu e la s car act erí sti cas de ex ci ta ci ón so n re pr es en tables por una combinación paralelo de una resistencia constante y de una auto inducción constante. Los efectos de estas hipótesis se estudian detalladamente en el aparta do 13 del capítulo V I . 3. En muchos problemas en que int erv ien en las car acteríst icas de un trans for mador como elemento de circuito puede despreciarse la pérdida en el núcleo y supo ner que el flujo en el núcleo es, en cada instante, proporcional a la intensidad de la
MAGNÉTICAS
EN
LOS
TRANSFORMADORES
315
corriente magnetiza nte. Es decir, para unas condiciones de funcion amiento dadas, puede suponerse que las autoinducciones e inducciones mutuas no varían cíclica mente, y por consiguiente se podrá aplicar al transformador con núcleo de hierro la teoría clásica de los circuitos acoplados magnéticamente. A pesar de la no linealidad magnética del núcleo, las características de un transformador dependen en última instancia de una fuga magnética esencialmente lineal y de una corriente de exci tación no lineal que, no obstante, es a menudo tan débil que puede prescindirse de sus peculiaridades. L uego, a l princi pio del anál isi s, el transform ador puede consi derarse a menudo como elemento de circuito lineal. Esta alternativa se usa frecuen temente en el análisis de las redes de comunicaciones, como ocurre en los capítu los X V I I y X V I I I . Los efecto s de la no lineali dad magn ética pueden tenerse en cuenta parcial mente median te las variaciones de las inductancias correspondientes a los cambios de las condiciones de funcionamiento. 4. Pued e simpli ficars e aún más la tercera alte rna tiv a suponie ndo constantes las inductancias ante los cambios de las condiciones de funcionamiento. 5. Com o la corrient e de excitación es a menud o déb il frente a la componente de carga de la corriente del primario, frecuentemente podrá despreciarse por com pleto la corriente de excitación. Esta es la alternativa más simple y se emplea a men udo el anális is del com port ami ento de los trans forma dores conectados en redes de potencia. También es aplicable a los transformadores de audiofrecuencia a las audiofrecuencias elevadas. Con esta hipótesis puede suprimirse la bobina en paralelo del circuito equivalente de la figura 6 y el transformador equivale a las impedancias de fuga en serie con un transformador ideal. Esto conduce al impor tante concepto de impedancia equivalente que se estudia en el apartado 6 del capí tulo XIII. PROBLE
MAS
1. Do s bobin as rectangu lares muy largas se disponen concéntricamente en el mismo plano con sus lados largos paralelos, tal como indica la sección de la figura 7. La anchura de la bobina exterior es doble que la de la interior. Cada uno de los conductores tiene un diámetro 2r. Suponiendo que las bobinas tengan ?2 una longitud l tan grande que pue dan despreciarse los efectos de los extremos y despreciando los flujos a través del interior de los conduc tores, determinar la inducción mutua, la inductancia de fuga de la bobina interior respecto a la exterior, y la inductancia de fuga de la d bobina exterior respecto a la interior. 2. Det ermina r, para el transformador elemental con núcl eo de aire del problema 1, los flujos instantáneos de fuga en un instante en que las corrientes de ambas bobinas son de igual intensidad, pero 91 de sentidos c ontrari os. Compárense estos resultados con los valores t de lo s flujos de fuga calcula dos en el proble ma 1. ¿Cómo se c ompa -02 ran los flujos de fuga instantáneos en un instante cualquiera del ciclo con los flujos de fuga de cada devanado respecto al otro? Fio. 7. Secci ón transversal de las 3. En los esquemas de la figura 8 puede verse un corte de los devanados de un transformador especial del tipo de núcleo (con bo bobinas planas de los problemas 1 y 2. binas sobre una sola rama). Los devanados principales, numera dos 1 y 2, son par a 110 V, 60 Hz , 11,4 A y const an de 84 espiras devanadas en tres capas de 28 cada una. Los devanados I, II, III, IV, y V son bobinas exploradoras, cada una de las cuales tiene una sola capa de 21 espiras de hilo fino. En un ensayo para determinar los valores relativos de los flujos de fuga en distintos
TRANSFORMADORES
316
FUGAS
puntos alrededor de loa devanados, se aplica primeramente a la bobina 1 con la 2 en circuito abierto una tensión de 11 V a 60 H z, y luego se hace lo mismo a la bobin a 2 con la 1 en circuito abierto. La corriente en vacio a esta tensión es de 125 mA y se observa que su forma de onda es casi sinusoidal. En cada parte del ensayo, se conectan sucesivamente las bobinas exploradoras I-V
I
1
p
I
III II
I I *
I
lil I
II III IVI
I
V IV
x
EN
LOS
ili
I
Corriente de excitación = 0,0104 A Vi = 16,2 V. Vi — Vn =4,03 x 10- » . Vu— Vm = 0,08 x 10 -» . F i n — ^i v = 8,06 x 10" ».
I
X J
J
IV o
o 1\
K
ll
n
L
3i P
F io . 8.
31
IV v
I I
(a) bobina 1 conduce; bobina 2 en circuito abierto
TRANSFORMADORES
Hallar un valor aproximado de la inductancia de fuga del devanado de alta tensió del transformador respecto al devanado de baja. Anótense discútanse y las hipótesi y aproximaciones necesarias para llegar a una solución.
t
1
V¡1V
MAGNÉTICAS
Teniendo en circuito abierto los devanados de 240 V y aplicando al de alta tensió P una tensión de 240 V, 60 Hz, se registraron los siguientes datos:
(b) bobina 2 conduce; bobina 1 en circuito abierto
P le
s
5
Corte transversal de un transformador espeoial con bobinas exploradoras. Problemas 3 y 4.
en oposición cada una con la siguiente y se mide la diferencia de potencial. Los datos obtenidos son los de la siguiente tabla: BO BI NA 1
COND UCE ; BOB INA
2 EN CIRCUITO
Conexión de las bobinas exploradoras II-I III-II IV-III V - P7 COND UCE ; BOB INA 1 EN
II-I III-II IV-III V-IV
AB IE RTO
Tensión, V 0,0059 0,0001 0,0039 0,0097
Sección transvers al de un transformador con bobinas exploradoras. Proble ma 5.
6. Los devana dos primarios y secundarios de un transformador con núcleo d e hierr de razón 1 : 1 consisten en un par de hilos arrollados uno junto a otro en la forma indica d en la figura 10. A los terminales de los primarios P y JP, se aplica la tensión de funciona miento con los secundarios en circuito abierto, y se mide la corriente del primario. a) Si P esté conectado a P{ y se mide la tensión entre P y P con un voltímetr de gran resistencia, ¿qué constante del transformador puede calcularse? ¿E s necesari conocer la forma de ond a y la intensi dad eficaz de la corrien te ? 6) Si se conec taP[ a, S[y se mide la tensión entre P y S con un voltímetro d gran resistencia, ¿qué constante del transformador puede calcularse? ¿Es necesario co nocer la forma de onda y la intensidad eficaz de la corriente? 7. Se conectan en paralelo primar io y secundario de un transformador con núcle de hierro de razón 1 :1 , interc alando amperímetros que mida n las intensidades de la corrientes de primario y secundario. Si se desprecian las resistencias de primario y se1
t
En la hipótesis de que lo s caminos del fl ujo de fuga pueden aprox imarse en la forma indicada por las flechas de trazos de la figura 8 y que la corriente en vacío es enteramente magnetizante, calcular el flujo de fuga equivalente de la bobina 1 respecto a la bobina 2, el flujo de fuga equivalente de la bobina 2 respecto a la 1, y las inductancias de fuga de cada devan ado respecto al otro. Anótense las a proxima ciones y las hipótesis formulad as para llegar a una solución. 4. Dibújense esquemáticamente Ios -flu jos componentes y el flujo resultan te del trans formador del problema 3 en un instante intermedio entre los instantes í y í de la figura 4, en que las corrientes en ambas bobinas tienen la misma intensidad. 5. La figura 9 es un corte transversal del núcleo y devanados de un transformador de distr ibución del tipo acorazado, de 1 0 kV A, 2 400 : 240 V, 60 Hz . En la forma indic ada se devanan cuatro bobinas exploradoras (señaladas en el esquema con I, II, III y IV), 0
t
Fi o. 10.
2
2
2
CIRCUITO 0,0047 0,0063 0,0050 0,0004
cada una de las cuales tiene el mismo número de espiras.
F ia . 9.
2
Devanados de un transformad or con bobinas exp loradoras, Problema 6.
cundar io, ¿qué infor mación podremo s determinar referente á la s constantes del trans forma dor? ¿Aumen taría la precisión del cálculo si se conoc iera n las formas de onda de las corrientes? Considérese que a) se conectan en paralelo los terminales de igual polaridad, o bj los de polar idad opuesta.
C A P IT
U L O
INDUCTANCIAS
XIII
Inductancias de fuga En el ca pítulo X I I se han estudi ado los principales factores de la teoría del transformador, y se ha visto la importancia que tienen las fugas magnéticas, que las inductancias de fuga son casi constantes y que la no linealidad del núcleo de hierro sólo afecta a la forma de onda de la corriente de excitación. Como ésta suele ser débil, frecuentemente se podrá despreciar aquella no linealidad, con lo que la corriente de excitación correspondiente a un flujo sinusoidal puede considerarse a menudo como una onda sinusoidal equivalente. En tal caso podrán utilizarse métodos vecto riales de cálculo. El presente capítulo desarrolla estos principios generales en una teoría cuanti tativa que puede representarse mediante diagramas vectoriales y circuitos equiva lentes y que muchas veces se puede simplifiar. Se indican ensayos con los que pueden medirse las constantes requeridas por la teoría general y se da una ilustración del cálculo de estas constantes.
DE
FUGA
319
tencia e inductancia de fuga del primario del transformador. Luego, los armónico hacen que las formas de onda de las tensiones inducidas en el transformador sean diferentes de la forma de onda sinusoidal de la fuerza electromotriz del generador Si son grandes los armónicos de la corriente de excitación y las impedancias del cir cuito de primario, la distorsión adquiriría importancia en los circuitos de comunica ciones, por lo que suele evitarse esta condición. En los circuitos de potencia, la corriente de excitación y la impedancia del circuito de primario suelen ser tan insig nificantes que las caídas de tensión armónicas son despreciables y las formas de onda de las tensiones suelen ser casi sinusoidales. A causa de su complejidad, resulta prác ticamente imposible una solución precisa que tenga en cuenta los armónicos de la corriente de excitación, por lo que suele suponerse que la corriente de excitación es una onda sinusoidal equivalente en todos los problemas salvo en los relacionados directamente con los efectos de los armónicos. En tal caso, puede tratarse el circuito en conjunto mediante métodos vectoriales sencillos. Cuando se supone que corrientes y tensiones varían sinusoidalmente, las ecua ciones de las tensiones de primario y secundario (ees. 28 y 29, cap. XII) pueden escribirse en forma vectorial de la manera siguiente:
y = {B+jX )l + ^ i
1
ll
1
•(!)
1
V = LR +¿JT, )I + E , 1
1
2
2
k 2)
1
(
donde, 1.
DIAGRAM
AS VECT ORIALES
Y UN CIRCUITO
EQUI VALE NTE
Vi y V son los vectores que representan las tensiones entre terminales, E y E -s on los vectores que representan las tensiones inducidas por el mutuo resultante, Ii e I son los vectores que representan las corrientes, i Y ^2 l resistencias efectivas de los devanados, X/i y X¡ son las reactancias de fuga; es decir, 2
Consideremos un transformador con núcleo de hierro que suministre potencia a una carga, tal como el indicado en la figura 1. En muchas aplicaciones de los trans formadores en sistemas de comunicaciones se encontrará este circuito. Supongamos
x
2
flujo
2
R
s o n
a
s
2
Xn = coLn X¡ = wL,, 2
^,3) ^(4)
2
siendo L¡x y L¡ las inductancias de fuga. Los sentidos positivos de las corrientes y tensiones de las ecuaciones 1 y 2 están i e i son el del tornillo directo indicados en la figura 1. Los sentidos positivos de respecto a un sentido del flujo tomado como positivo, y las tensiones son todas caídas de potencial y se toman en el mismo sentido. Puede decirse, también, que las tensiones inducidas t y e son fuerzas electromotrices, o elevaciones de potencial, en el sentido de un tornillo inverso respecto al flujo positivo. La ventaja de tomar los sentidos positivos para las corrientes y tensiones en ambos devanados en el mismo sentido respecto al flujo es que los signos algebraicos en ambas ecuaciones de las tensiones son los mismos, como se ve en las ecuaciones (1) y (2). Estas ecuaciones de las tensiones se aplican al transformador independientemente del sentido de circulación de la potencia —es decir, independientemente de que actúe como pri mario el devanado 1 ó el 2. Un problema que surge frecuentemente en el análisis de sistemas de potencia es el de determinar la tensión que hay que aplicar al primario para mantener entro 2
t
x
Fi o. 1. Circuito en el que una carga está conectada a un generador por mediación de un transformador
e del generador varíe sinusoidalmente, que el gene que la fuerza electromotriz R constante, y que la carga tenga características rador tenga una resistencia interna lineales. Salvo por lo que se refiere a los efectos de los armónicos de la corriente de excitación, el circuito en conjunto tiene características lineales. Según se vio en el apartado 5 de l capítulo V I , los armónicos de la corriente de excitación srci nan caídas de tensión armónicas en la impedancia interna del generador y en la resisa
G
318
2
2
TRANSFORMADORES
i 20
INDUCTANCIAS
los terminales del secundario una tensión prefijada, conociéndose la carga del secun dario v el factor de potencia. El análisis de este problema constituye una ilustración comeniente de las relaciones vectoriales expresadas por las ecuaciones (1) y (2). Por tanto, en el estudio que sigue, supondremos conocidos la tensión entre los ter minales del secundario, la corriente que por él circula y el factor de potencia de la carga; y habrá que determinar la tensión entre los terminales del primario, la inten sidad de la corriente que ha de circular por él y el factor de potencia del primario, correspondientes a estas condiciones específicas del lado del secundario. También se suponen conocidas las resistencias, reactancias de fuga y la razón de los números de espiras, y que se dispone de datos que den las pérdidas en el núcleo y la corriente de excitación en función de la tensión inducida. A continuación se estudia la deter minación de las resistencias y de las reactancias de fuga y las características de pérdida en el núcleo y de corriente de excitación pueden determinarse mediante un ensayo en vacío con tensión variable, como el del apartado 8 de este capítulo, o a parti r d e cálculo s como e n el apart ado 12 del ca pítulo VI . Los diagramas vectoriales que ilustran las relaciones expresadas en las ecuaciones (1) y (2) pueden construirse de la manera siguiente: Como el secundario está entregando potencia a la carga, la corriente en ésta tendrá el sentido de la caída de potencial a través de la carga durante la mayor parte v es el indicado de cada hemiciclo. Si el sentido positivo de la tensión de secundario en la figura 1, el sentido positivo de la corriente entregada a la carga en el sentido de la caída de potencial a través de ella es el de i¿ de la figura 1. Así, si i> e II son los vectores representativos de v e ÍL, SU relación de fase es el ángulo que determina V como vector de referencia, I será el factor de potencia de la carga. Si se toma 2a, el cual se ha trazado a partir de la forma indicada vectorialmente en la figura Q . Obsérvese que, en la figura 1, de una carga inductiva de factor de potencia eos i es igual y opuesta a i . Luego, vectorialmente, I será opuesto a I , según se ve en la figura 2a. Obsérvese que II representa la corriente en el devanado secundario en el sentido del tornillo inverso respecto al flujo positivo, y que E representa la fuerza electromotriz del secundario (subida de potencial) en el mismo sentido. Al escribir las ecuaciones fundamentales del transformador conviene suponer que las corrientes de primario y secundario son ambas positivas en el sentido del tornillo directo respecto al flujo positivo, como 7 e 7 en las ecuaciones (1) y (2). Sin embargo, en el análisis de problemas en los cuales so conoce definitivamente el sentido de circu lación de la potencia, puede ser más conveniente tratar con la corriente I¿ del secun dario (o sea —1 ), creada por la fuerza electromotriz (de sentido del tornillo inverso) del secundario E , puesto que I¿ es la corriente suministrada a la carga en el sentido de la fuerza electromotriz E que la crea. 2
2
2
2
L
L
L
2
2
L
2
X
2
2
2
2
Según la ecuación (2),
E = V -l (R +jX ) 2
2
2
2
(5)
l2
o, en función de la intensidad I¿ de la corriente suministrada a la carga,
E = V + I (R +jX ). 2
2
L
2
¡2
Es decir, la fuerza electromotriz E es la suma vectorial de la tensión entre termi nales más la caída de tensión debida a la impedancia interna y a la corriente creada 2
DE
FUGA
por la fuerza electromotriz, igual que en un generador. En la figura sentado vectorialmente la ecuación 6 mediante los vectores V jl X, adelantado 90° respecto a l , y su suma vectorial E . L
2
L
32 2
, I¿R
2
2a se ha repre en fase con I *
2
F ia . 2. Diag ramas vectoriales para un transformado r cuya razón de los números de espira A, /A 2 es igual a 1/2. E n (a) se han representado las tensiones y comentes ,|,.| secundario, y e (b), las del primario. T
Las tensiones E y E están inducidas por el flujo mutuo resultante, y sus valore eficaces están relacionados con el valor máximo de este flujo en la forma indicada por la ecuación 18 del capítulo VI . Los valore s de E y E son proporcionales a'los números de espiras de los devanados, y cuando los sentidos positivos de estas ten siones inducidas representan ambos fuerzas electromotrices dirigidas en el sentido de avance de un tornillo inverso respecto al sentido del flujo, °como ocurre aquí están en conc ord anci a de fas e y ade lan tan al flujo en 90°, como en la figura 8 del capítulo VI. En consecuencia, el flujo mutuo resultante está retrasado en 90 res 0 de la figura 2. pecto a las tensiones inducidas, según indica el vector Según se vio en el apartado 4 del capítulo XI I , la corriente del primario puede considerarse como suma de la componente, de carga que contrarresta la fuerza magnet omotr iz del secund ario, más una componente de excitación que crea el flujo mutuo resultante requerido. La intensidad de la componente de carga de la corriente del primario y la de la corriente del secundario son inversamente proporcionales a los números de espiras de primario y secundario, respectivamente, y la componente de carga de la corriente del primario tiene sentido opuesto al de la corriente del secun dari o. Según se vio en el apar tad o 11 del capítulo V I , la corriente de excitación consta de una componente de pérdidas en el núcleo, en fase con la tensión inducida, y una componente magnetizante en fase con el flujo. Si se considera la corriente mag netizante como una onda sinusoidal equivalente, se podrá representar vectorialmente. En la figura 2b pueden verse la corriente del primario y sus componentes, repre sentadas vectorialment e. La componente de carga de la corriente del primari o I¿, opuesta a la corriente del secundario I (sentido del tornillo directo) es (sentido del tornillo directo), o sea en fase con la corriente del secundario I¿ (sentido del tornillo inverso). Como en la figura 2 la razón A\/N es igua l a \, la inte nsida d da l' será el doble de la corriente del secundario. La componente de pérdidas en el núcleo l' en fase con la tensión inducida E de la corriente de excitación en y la corriente magnetizante es l en fase con el flujo 0. La corriente de excitación es I¿, y la corriente del primario I es la suma vectorial de la corriente de excitación I*' y t
2
t
2
2
2
(6)
L
c
l P
m
t
9
la componente de carga
I' . L
INDUCTANCIAS
TRANSFORMADORES
322
X
1
DE
FUGA
32
Ya se ve que la s re lac io ne s fu nd am en ta le s re pr es en ta da s po r las ecu aci one s (1) (2), (5) y (6), y los dia gramas ve ctori ales de la figura 2 son apli cable s al cir cui t equivalente de la figura 3. Una ventaja de los diagramas vectoriales y los circuito equivalentes es que ponen de manifiesto, probablemente en forma más clara que la mismas ecuaciones, las relaciones entre intensidades y tensiones expresadas en la ecuaciones fundamentales.
Según la ecuación (1), la tensión Vj entre los terminales del primario es la suma ~E inducida por el flujo mutuo resultante vectorial de la fuerza contraelectromotriz y la caída de tensión en la impedancia de fuga del primario I {R + jXn), según se 6 . Así, pues, a partir indica en la figura 26. El factor de potencia del primario eos de las ecuaciones (1) y (2) y de las características de excitación podrá determinarse el funcionamiento completo del transformador. Cuando se considera la corriente de excitación como una onda sinusoidal equivalente, estas relaciones pueden repre sentarse por los diagramas vectoriales de la figura 2. En la figura 2, las tensiones V, y V presentan una pequeña diferencia de fase debida a los efectos de las caídas de tensión en las impedancias de fuga, como tam bién las corrientes I, e I¿ a causa de los efectos de la corriente de excitación. Sin embargo, en estos diagramas vectoriales se han exagerado las caídas de tensión en las resistencias y en las impedancias de fuga. En un transformador para sistema de potencia que funcione a su carga normal, las caídas óhmicas son inferiores al 1 % de la tensión de funcionamiento, las caídas en las reactancias de fuga suelen ser del 2-4 % de la tensión de funcionamiento, y la corriente de excitación del 4-8 % de la intensidad de la corriente de funcionamiento normal. Por tanto, las tensiones Vj y V„ ent re los te rm in al es de pr im ar io y se cu nd ar io su el en es tar cas i en fase , al igual que la corriente I (tornillo directo) del primario con la Ix (tornillo inverso) 1
1
2.
TRAN SFORM ADOR CON
IGUAL
NÚM ERO DE
ESPIRAS
EN PRIMARIO
Y EN SECUNDAR
I
2
Cuando primario y secundario tienen igual número de espiras, las tensione Ej y E inducidas por el flujo mutuo resultante son iguales y la componente de carg I' de la corriente del primario (tornillo directo) es igual a la corriente I del secun dario (tornillo inverso). Convendrá, pues, combinar los diagramas vectoriales d la figura 2, como en la figura 4a, en la que E es la fuerza electromotriz (tornillo inverso l es la corrient inducida en uno y otro devanado por el flujo mutuo resultante e de carga (tornillo inverso), igual a la componente de carga de la corriente del pri mario (tornillo directo). En la figura 4a se ve que la fuerza electromotriz E (tornill inverso) inducida en el secundario es el suma vectorial de la tensión entre los termina2
L
L
L
t
del secundario. parte dede primario cada hemiciclo, pues, tendrán los terminales marcados en la Durante figura 1 laconmayor un punto y secundario la misma polaridad relativa y, durante la mayor parte del tiempo en que la corriente penetra por el terminal del primario marcado con punto, la corriente está saliendo simult»neamento por el terminal con punto del secundario y penetrando en la carga por el terminal correspondiente. Según se vio en el apart ado 5 del capítulo X I I , las características eléctricas de un transformador pueden representarse por el circuito equivalente de la figura 6 del capítul o X I I . Cuando se supone sinusoidales las tension es y corrientes, est e circuito equivalente se convierte en el de la figura 3, en el cual se representan las características de excitación del transformador por la combinación paralelo de una resistencia y una reactancia, como en la primera alternativa del apartado 6 del capít ulo X I I . A veces también se uti liz a una combinación serie. Par a variaciones pequeñas de la tensión inducida y de la frecuencia, se adoptan a menudo para las constantes de la rama de excitación las hipótesis simplificativas estudiadas en el apartado 13 del capítu lo VI , que constituy en la segunda alte rnat iva del apartado 6 del ca pítul o XI I .
ib) F io . 4.
F ia . 3.
Circui to equivalente
ideal cuando se eupono para la sinusoidal equivalente.
Diagra ma vectorial y cir cuito equival ente para un transfo rmador .con de espiras en primario y secundario.
igual número
les deJ secundario más la caída de tensión en la impedancia de fuga debida a la corriente I¿ del secundario (tornillo inverso). La corriente de excitación I es la suma vecto I en fase con la tensión inducida E y rial de la componente de pérdida en el núcleo 9
corriente
de
excitación
una
onda
c
la componente magnetizante I
m
en fase con el flujo mutuo resultante
0. La corriente
del primario I es la suma vectorial de la componente de carga, que es igual a la corriente del secundario I¿, más la componente de excitación I,,. La tensión entre terminales del primario es la suma vectorial de la fuerza contraelectromotriz indu cida E más la caída de tensión en la impedancia de fuga debida a la corriente del prim ario . . . Cuando primario y secundario tienen igual número de espiras, puede supri mirse, en el circuito equivalente de la figura 3 , el transformador ideal, como se hace en la figura 46 . Basándonos en las hipó tesis del capítulo XI I , este circuit o tiene las mismas características eléctricas que el transformador real. En realidad, este circuito equivalente puede emplearse para reemplazar al transformador real en el circuito del cual forme parte, con tal que una conexión entre un terminal del primario y el terminal del secundario de igual polaridad relativa no altere las condiciones del circuito. x
3.
INDUCTANCIAS
TRANSFORMADORES
324
RAZ ÓN
DE TRANSFORM
ACIÓN
El cociente entre las tensiones en terminales de un transformador ideal es exac tamente igual al cociente entre los números de espiras. Sin embargo, en un trans formador real, el cociente de las tensiones entre terminales puede ser superior o inferior en un pequeño tanto por ciento al cociente entre los números de espiras a causa de las caídas de tensión en las impedancias de fuga de los devanados. Como estas caídas de tensión dependen de la magnitud y factor de potencia de la carga, el cociente de las tensiones entre terminales no será una constante característica del transformador sólo, ya que depende de la carga. Por esta razón, conviene definir la razón de transformación como el cociente entre los números de espiras, en lugar de como cociente de las tensiones entre terminales, ya que el cociente entre los números de espiras es una constante definida fijada solamente por el transformador. Ya puede verse que el cociente entre los números de espiras es una cantidad importante en la teoría de los transformadores. El cociente entre los números de espiras es tam bién igual al cociente entre las tensiones inducidas por el flujo mutuo resultante. Es decir, si es a la razón de transformación, o cociente entre los números de espiras, se tiene
La razón de transformación es sólo aproximadamente igual al cociente de las ten siones entre terminales. La razón de las tensiones que figuran en la placa indicadora a entre números de de los transformadores para sistemas de potencia es el cociente espiras y puede diferir en un pequeño tanto por ciento del cociente de las tensiones entre terminales, cuando el transformador está bajo carga. Como en vacío es muy pequeña la caída de tensión en la impedancia de fuga del primario debida a la corriente de excitación, el cociente de las tensiones entre ter minales en vacío es muy aproximadamente igual a la razón de transformación, por lo que ésta podrá determinarse con buena aproximación midiendo en vacio las tensiones entre los terminales de primario y secundario. En los ensayos de trans formadores muy pequeños, es esencial que la corriente que circule por el voltímetro
DE
FUGA
32
que mide la tensión del secundario sea lo suficientemente débil para que las caída de tensión en la impedancia de fuga debidas a ella sean despreciables. En el apar tado 3 6 del capítu lo X V I I se estudian otros métodos aproximados para medir l razón de transformación. 4.
TRAN SFORM ADOR EQUIVAL
ENT E DE RAZÓN UNO
ES A UNO
En un transformador que tenga el mismo Húmero de espiras en primario que e secundario, las tensiones inducidas E y E¡¡ en uno y otro devanado son iguales y l I' de la corriente del primario (tornillo directo) componente de carga es igual II (tornillo inverso). Estos hechos hacen convenient la corriente de secundario combinar los diagramas vectoriales de primario y secundario y permiten, también la supresión en el circuito equivalente del transformador ideal hipotético, tal com se ha hecho en la figura 4. Empl ean do los siguientes artificios, pueden realizarse la mismas simplificaciones en la teoría del transformador cuya razón es dintinta d la unidad. Consideremos el problema estudiado en el apartado 1, en el que se dan las con diciones de la carga del secundario. En tal caso, puede trazarse el diagrama vecto 2a, lo que se indica con lo rial del secundario como se hizo en el apartado 1, figura x
L
JILXH, vectores , l , Iz.R , de en corriente la figura del 5o . primario Como la(tornillo fuerza magnet NjI de laV componente carga EI£ yde0 la directo omo tr 2
L
2
2
L
F io . 5.
Diag rama vectorial y circuito equivalente
referido al secundario . L a razó n de tr ans
form ación Ni/Nj se representa por a.
326
TRANSFORMADORES
equilibra a la fuerza magnetomotriz ción entre dichas corrientes es:
INDUCTANCIAS
N IL de la corriente del secundario I¿, la rela 2
DE
FUGA
327
La corriente del primario referida al secundario es la corriente en un primario N del secundario y que produce equivalente que tiene el mismo número de espiras el mismo efecto magnético que la verdadera corriente del primario Ij circulando por las N espiras del primario real. Por ejemplo, si el primario tuviera doble número de espiras que "el secunda rio, el pri mar io equival ente de N espiras tendrá la mitad de es piras que el real y para producir el mismo efecto magnético deberá circular por él una corriente de intensidad doble. La corriente del primario y sus componentes de excita ción y carga referidas al secundario tendrán, pues, intensidades doble de las de la co rriente verdadera del primario y sus componentes. Corrientemente se supone que una fuerza magnetomotriz dada en el primario o en el secundario produce el mismo efecto magnético independientemente de las diferentes disposiciones de los devanados sobre el núcleo. Con esta hipótesis, la componente de carga de la corriente del primario II dé la corriente del (tornillo directo) referida al secundario, es igual a la intensidad secundario (tornillo inverso), y la corriente de excitación referida al secundario es la corriente de excitación que circula por un devanado de N espiras y es, por tanto, la corriente de excitación medida desde el lado del secundario a una tensión inducida E . 2
ÍL=^IÍ = alí.
•(S)
x
Luego, el vector II representa tanto a la corriente del secundario como a la com ponente de carga de la corriente del primario multiplicada por la razón de trans formación, o sea al' . Si también se mul tip lic a por la razón de transformación a la componente de excitación de la corriente del primario y se suma vectorialmente co n al' , el resultado es la corriente del primario multiplicada por la razón de trans formación, y e stá indi cad a por el vector a l en la figura 5a. La corriente del primario a recibe el nombre de corriente del multiplicada por la razón de transformación primario referida al secundario. La relación entre las tensiones inducidas en primario y secundario es: L
L
x
2
2
2
As í, pu es , el ve ct or E representa tanto a la fuerza electromotriz del secundario (tornillo inverso), como a la fuerza contraelectromotriz del primario dividida por la razón de transformación, o se a Ej / a . Si se div ide también por a la caída de tensión en la impedanci a de fuga del primar io y se suma vectorialmente con Ej /a , el resultado es la tensión entre los terminales del primario dividida por la razón de transforma ción y está representada por el vector Vj/a en la figura 5a. Este vector es, pues, proporcional a la tensión entre terminales del primario. Esta, dividida por la razón a, recibe el nombre de tensión entre los terminales del primario de transformación referida al secundario. La caída de tensión en la impedancia de fuga del primario dividida por la razón de transformación a es la caída de en la impedancia de fuga del primario referida al secundario, y es igual a: 2
donde al j es la corri ente del pr imari o referida al secundario. La imped ancia -Ri + jX re ci be el no mb re de impedancia de fuga del primario referida al secuntl
—;
dário, donde R /a es la resistencia del primario referida al secundario y Xn/a es la reactancia de fuga del primario referida al secundario. Así, pues el diagrama vectorial para las tensiones del primario de la figura 5a representa a la ecuación 1 dividida por la razón NJN^ Referir al secundario las tensiones, corrientes e impedancias del primario, como se acaba de hacer, puede parecer simplemente una manipulación matemática equi valente a un cambio de escala que permita representar sobre un mismo diagrama las cantidades de primario y secundario, como en la figura 5a. Sin embargo, las tensiones, corrientes e impedancias del primario referidas al secundario tienen también significados físicos definidos, cuyo conocimiento facilita el recordar las relaciones entre las verdaderas tensiones, intensidades e impedancias del primario x
2
con los valores correspondientes referidos al secundario.
2
An ál og am en te , la ten sió n in d uc id a en el pr im a ri o re fe ri da al se cu nd ar io es la tensión inducida en un primario equivalente de igual número de espiras que el secun dario, y por tanto es igual a la tensión inducida en el secundario E . La resistencia y reactancia de fuga del primario referidas al secundario, también tienen significado físico definido; así, si el primario de N espiras equivalente magné N espiras, ticamente ocupa exactamente el mismo espacio que el primario real de la impedancia de fuga del devanado equivalente de N espiras es igual a la impe dancia de fuga del primario referida al secundario. Por ejemplo, supongamos que el primario real tenga doble número de espiras que el secundario, es decir, a es igual a 2. El devanado equivalente que tiene igual número de espiras que el secundario tendrá la mitad del número de espiras del primario real. Para la misma distribución geométrica, el devanado equivalente tendrá la mitad de longitud de cobre, pero cada conductor tendrá una sección recta doble. Suponemos que los factores de espacio del primario real y del devanado equivalente son iguales. Como la resistencia es proporcional a la longitud e inversamente proporcional a la sección del conductor, la resistencia del conductor equivalente es un cuarto de la del primario real, o sea RJa , donde R es la resistencia del primario real. Pero, por definición, R/a es la resistencia del primario referida al secundario. Obsérvese que, puesto que la corriente del prim ari o referida al secundario es al , , la pérdida en el cobre R (alj) --— en el devanado equivalente es igual a la pérdida en el cobre I\R en el 2
2
T
2
2
x
2
X
primario real. Además, si el primario equivalente tiene exactamente la misma dis posición geométrica que el real, el campo magnético de fuga es el mismo para la N espiras y en su equivalente misma fuerza magnetomotriz en el primario real de de N espiras. Sin embargo, en el devanado equivalente de mitad del número de espiras este flujo abraza la mitad de espiras y por tanto, se precisa una intensidad de corriente doble para crearlo. Como la inductancia de fuga es el flujo de fuga por ampere, la inductancia de fuga de este devanado equivalente es un cuarto de Xn/a , donde Xn es la reac la del devanado actual, o sea su reactancia de fuga es Xn/a es la reactancia de fuga tancia de fuga del primario real. Pero por definición 1
2
2
2
328
INDUCTANCIAS
TRANSFORMADORES
del primario referida al secundario. Obsérvese que la expresión de los volt-ampere
DE
FUGA
329
vi rt ud de la ecuación (8 ),. la corriente de secundari o (tornillo inverso) referid a al I' de la corriente del pri primario, o sea Ix/a, es igual a la componente de carga mario (tornillo directo). Por tanto, puede superponerse el diagrama vectorial para el primario a los vectores del secundario, según se hace en la figura 6a. Exceptuan do el cambio de escala y el significado de los vectores, la figura 6a es igual que la 5a. Cuando se refieren al primario la corriente, tensiones e impedancias del secun dario, el circuito equivalente es el de la figura 66. A menudo se snprime el trans formador ideal; entonces, la corriente, tensiones e impedancias de la parte del cir cuito equivalente que representa al secundario son dichas cantidades referidas al primario. También puede referirse al primario la carga del secundario. Así, como L
(al^ — q u e e s igua l a
reactivos en el campo de fuga del devanado equivalente es los volt-ampere reactivos
2
I\Xn en el campo de fuga del primario real.
y Así, pues, las cor rientes, tensiones e imped ancias del prim ario referidas al se cundario, son las del primario de un transformador equivalente de razón 1 : 1 y de N espiras cuyo primario tuviera exactamente el mismo factor de espacio y dis posición geométrica que el primario del transformador real.^ 2
Cuando se refieren al secundario las tensiones, corrientes e impedancias del primario, el circuito equivalente es el de la figura 56, en el cual I¿' es la corriente de excitación referida al lado del secundario y es igual a al ,, donde I¿ es la co rriente de excitación del primario y a es la razón de transformación. La conduc g' ' y la susceptancia magnetizante b'„' son los tancia de pérdida en el núcleo valores referidos al lado del secundario. Como la admitancia es el recíproco de la impedancia, y como una impedancia del circuito del primario se refiere al secundario dividiéndola por a , la admitancia de excitación del primario se referirá al secun dario multiplicándola por a . Es decir, si es g' + jb' la admitancia de excitación del lado del primario, la admitancia de excitación referida al lado del secundario -
c
2
2
será:
c
9'c' +
=
m
a'OÍ + ja*b .
}{U)
m
A menudo se suprime del circuito equivalente el transformador ideal hipotético. Las corrientes y tensiones en la parte del circuito equivalente que representa al primario son, en tal caso, dichas cantidades referidas al secundario. Frecuentemente conviene referir al primario las corrientes, tensiones e impe dancias del secundario. Ello puede hacerse utilizando los recíprocos de los factores de reducción utilizados para referir al secundario las cantidades del primario. Así, la ecuación de las tensiones para el secundario (ec. 6) podrá multiplicarse por la NJN = a, dando, razón de transformación t
o E = a V + a(R + jX )I . 2
2
2
l2
(12)
L
Los términos de la ecuación (12) reciben el nombre de tensiones del secundario refe ridas al primario. La caida de tensión en la impedancia de fuga del secundario referida al primario puede expresarse en la forma,
a(R + jX )I = (a*R + ja*X) - - , 2
n
L
2
•(13)
n
a
2
2
primario, o sea oE
2
2
, es igual a la tensión inducida en el primario E
Diagra ma vectorial y circuito equivalente r eferido al primario
se vio en el apartado 2, del capítulo X, la combinación del transformador ideal y su carga del secundario de impedancia Z¿ es equivalente a una carga de impedan cia a Z¿ conectada directamente a los terminales 2' que representan al secundario referido al primario. La impedancia a Z recibe el nombre de impedancia de carga referida al primario. Se impone concluir este estudio recapitulando las hipótesis en las que se basan los diagramas vectoriales y los circuitos equivalentes de las figuras 5 y 6. Según sé indicó en los aparta dos 3 y 4 del capítulo X I I , estas hipótesis son: 2
donde a R y a Xi son la resistencia y reactancia de fuga del secundario referidas al primario e 1/,/a es la corriente del secundario referida al primario. La corriente, tensiones e impedancias del secundario referidas al primario son las que habría en un secundario equivalente magnéticamente que tenga el mismo número de espiras que el primario y el mismo factor de espacio y disposición geométrica que el secun dario. En virtud de la ecuación (7), la tensión inducida en el secundario referida al 2
(b) F io . 6.
x
; también, en
2
1. 2.
L
Lo s efectos de las capaci dades de los devan ados son despre ciables ; Las resistencias efectivas y las inductanc ias de fuga son constantes;
'
TRANSFORMADORES
330
INDUCTANCIAS
3. Las condi ciones magnéticas en el núcleo est án det ermi nada s por la frecuen cia y el flujo mutuo resultante, y por tanto, la pérdida en el núcleo y la corriente de excitación dependen de la frecuencia, magnitud y forma de onda de la tensión inducida en uno y otro devanado por el flujo mutuo resultante; 4. Un a fuerza magnet omotriz dada en uno u otro devanado produce n el mis mo efecto magnético en el núcleo, independientemente de las disposiciones diferen tes de los devanados primario y secundario; 5. También se supone en las fi guras 5 y 6, que la corriente de excitación puede tratarse como una onda sinusoidal equivalente. Basándose en estas hipótesis, las figuras 5 y 6 son representaciones «exactas» de la teoría. Esta teoría puede considerarse como una contribución al análisis exacto, mientras pueda desarrollarse sin complicaciones excesivas, y tiene una precisión más que suficiente para la resolución de la mayoría de los problemas prácticos, exceptuándose aquellos en que tengan importancia las capacidades de los devana dos o la forma de onda de la corriente de excitación.
Las constantes del primari
DE
FUGA
~o*
7,5 = 0,28 ohm 25^0
X
19,0
R¡
_
tl
25,0
DE LAS RELAC IONES
VECT ORIALE
(15)
Obsérvese que la resistencia y reactancia de fuga del primari o referidas al secundario son del mismo orden de magnitud que la resistencia y reactancia de fuga del secundario como suele ocurrir casi siempre. El diagrama vectorial es el de la figura 5a. A la potencia de salida nominal, la inten sidad de la corriente de carga es: 100 000
. 41,7 A.
i
2 400
x
n
(16)
Si se toma como vector de referencia la tensión entre los terminales del secundario, la expresión vectorial de la corriente de carga es: 41,7 / — 36 ,9 ° A
L
EJ EM PL O ILUSTRATIVO
(14)
= 0,76ohm
I= 41,7 / are eos 0,80, ret rasa da = 5.
331
o referid as al secundario son:
= 41,7( 0,80— ¿0,60)
S «EXAC TAS»
=
(17)
33,4 —¿ 25 ,0 A
(18)
La caída óhmica en el secundario es
El secundario de un transfo rmador de distrib ución de 100 kV A , 60 H z, 12 000 : 2 400 V suministra su potencia aparente nominal con la tensión nominal de secun dario, a una carga inductiva de factor de potencia 0,80. Determinar la tensión, corriente y factor de potencia del j)rimarío. Las resistencias y reactancias de fuga de los devanados son
I¿-R = (33,4 — ¿25, 0) 0,30
jí=X¿(33, 4 — ¿2 5, 0) 0,75 L
/?! = 7,0 ohm
R = 0,30 ohm Xn = 0,75 ohm
n
=
h
V,
=
=E sum a vect oria l 2
aplicada,
Corriente
V
2 400 2 500 2 000
de
excitación,
A
(19)
18,8 + ¿2 5,0
(20)
2 400 - f ¿0 = 2 428,8 + ¿17, 5 V
Los resultados tabulados de un ensayo en circuito abierto, tomados del lado de baja tensión son: Tensión
10, 0— ¿7,5 V
La tensión entre los terminales de secundario es
2
X = 19,0 ohm
=
2
La caída en la reactancia de fuga del secundario es:
Pérdida en el núcleo,W
1,50 1,07 1,87
940 1 020 1 110
=
2 429 /0,4<>
N r •i Razó n de transform ación o =
T>
-
, .
N,
12 000 — =
Los datos dan la resistencia y reactancia de fuga con dos cifras significativas y por tanto, en las ecuaciones 19 y 20 de las caídas de tensión, hay que redondear el resultado al volt. En lo que sigue se supondrá que la tensión V entre terminales del secundario está redondeada también al volt. Las décimas de volt, se arrastran en todos los cálculos y al final se redondea n los resultados al volt referidos al lado de baja tensión. Au n cuando en un circuito real, rara vez se conoce con la precisión de un volt en 2 400 la tensión entre los terminales del secundario, ni tampoco del primario, a efectos de cálculo mantendre mos las cuatro cifras significativas ya que se usarán más adelante los resultados para com pararlos con los del ejemplo del apartado 7. Además, a menudo es la variación de ten¬ * El módulo de Epuede calcularse rápidamente y con precisión a partir de los dos primeros términos de la expresión binómica; así, si A sony B las partes real e imaginaria de la expresión compleja de E , cuando B
2 400
2
2
E A= y/ + T'TB* *
_
2
=
5,00
(22)
(23)*
2
Solución: Como los datos de excitación están dados en función del lado del secunda rio de baja tensión, convendrá referir al secundario las cantidades del primario.
(21)
cuando B vale 0,3.4, el error es inferior al 0,1 %.
p(24)
TRANSFORMADORES
332
1NDUCTANCIAS
gión incidente para cargar el transformador la que es más importante que los mismos valores reales de las tensi ones entre terminales. E st a variación de tensión, expresada como fracción decimal o tanto por ciento de la tensión nominal, recibe el nombre de regulación de tensión y se estudia en el apartado 1 de l capítulo XI V . La regulació n de tensión sue le ser de un uno o dos por ciento, por lo que si hay que calcular esta variación de tensión con dos cifras significativas, como lo permite la precisión de los datos de la impedancia de fuga, deberán suponerse cuatro cifras significativas en los valores de las tensiones entre terminales. A cont inua ció n es nec esa rio , pa ra de te rm ina r la cor rie nte de pr im ar io , de te rmi na r la corriente de excitación la cual se sumará después con la componente de carga de la corriente del primario. La corriente de excitación referida al secundario es igual a la corriente en vacío medida desde el lado de baja tensión para una condición de carga nula en la cual la tensión inducida en vacío es igual a 2 429 V que es el valor de la tensión indu cida en el secundari o bajo carga dado por la ecuación (23). Lo s datos del ensayo en circuito abierto indi can que, en primera aproximación, esta corriente de excitación es de 1,5 A aproximadamente. Como la impedancia de fuga del devanado de baja tensión es, aproximadamente, de 0,8 ohm, la caída de tensión en la impedancia de fuga para esta condición de carga nula será de 1,5 X 0,8 = 1,2 V, y por tanto, es despreciable. Así, pues, la tensión inducida en vacío es casi exactamente igual a la tensión aplicada, y por tanto la corriente de excitación para una tensión inducida de 2 429 V bajo carga es igual a la corriente en vacío para una tensión aplicada casi igual — p. ej. 2 430 V. Por interpo lación entre los datos en circuito abierto, a 2 430 V
JJ,' = 1,55 A = 963PW c El factor de potencia en vacío es:
(28)
Pero la corriente de carga es, en virtud de la ecuación (18), = IoI¿ L
= 33.4 — ¿25,0
La suma vectorial es:
aL,
= 33 , 8— ¿26,5 A = 43,0 / —3 8, 1 °.
(29) (30 )
Podemos ahora determinar la tensión entre los terminales del primario sumando las caldas de tensión en la resistencia y en la reacta ncia de fuga con la tensión induc Referidas al secundario, estas caídas de tensión son: a l! ^ i - = (33 ,8— ¿26 ,5) 0,2 8 o»
j a l , J^L. = ¿(33,8 —¿ 26 ,5 )0 ,7 6
=
= 2 459!0¿°.
=
9, 5— ¿7 ,4 V.
= 20,2 + ¿25,7
(31)
(32)
T
Ii
=
al, a
43,0 - = 8,60 A. 5,00
V, — a ^-L
ida.
( 3
n ( M
= 5,00 x 2 459 = 12 290 V .
(3
La corriente del primario está retrasada respecto a la tensión entre terminales del prim rio en 0! = 38,1" + 0,8° = 38,9°.
Luego el factor de potencia del primario es:
6.
Es decir, la corriente de excitación está retrasada respecto a la tensión inducida en el era eos 0, 256 o sea, 75 ,2. °. Co mo E , se hall a desfasada en -f 0 ,4° (véase ec. 23), la expresión vectorial de la corriente de excitación es:
(
Luego los resultados son:
eos 6¡ = 0,778, corriente retrasada
(27)
( 3
su ma vectoria l — 2 458,5 + ¿35,8 V.
(25)
I¿' = alj = 1,55 / — 74 ,8 ° = 0,41 — ¿ 1,50 A
FUGA
= 2 428,8 +¿ 17 , 5
a
(26)
= 0,256 2 430 X 1,55
DE
y en virtud de la ecuación (22),
ClECUITOS
EQUIVA LENTES
SIMPLIFICADOS;
IMPEDAN
(3
CIA EQUIVA LENTE
Como la corriente de excitación y las caídas de tensión en la impedancia de fu suelen ser débiles, suele ser permisible realizar más aproximaciones simplificativa Las tensiones entre terminales no acostumbran a ser muy diferentes de las tensi nes inducidas por el flujo mutuo resultante, y por tanto, el error cometido al toma la corriente de excitación como de intensidad igual a la correspondiente a una otra tensión entre terminales —los que más convenga— en lugar de a la «exact correspondiente a la tensión inducida, suele ser pequeño. Además, la caída de tensió en la imp eda nci a de fuga debida a la cor rient e de excitación suele ser muy pequeñ por lo que suele ser despreciable el error cometido al calcular la caída de tensión en l impedancia de fuga, al suponer que las corrientes de primario y secundario son iguale al estar referidas a un mismo lado. En consecuencia, los circuitos equivalentes d las figuras 56 y 66, se pueden a menudo simplificar quitando de, su posición centra la rama en paralelo, que representa la corriente de excitación en estos circuito equivalentes «exactos», y conectándola en paralelo con el primario o el secundari según convenga. Por ejemplo , si se altera el c ircuito e quivalente «exacto » de la f gura 56, pasando la admitancia de excitación a la izquierda de la impedancia d fuga del primario, se obtiene el circuito de la figura Ta. El transformador qued entonces representado por un transformador ideal en combinación con una admi tancia paralelo y una sola impedancia en serie. Evidentemente, la admitancia e paralelo y la impedancia en serie podrían trasladarse a la izquierda del transfor mador ideal refiriéndose previamente al primario. A u n cu an do he mos de du ci do el
ci rc ui to eq ui va le nt e de la fi gu ra la co m
INDUCTANCIAS DE FUGA
TRANSFORMADORES
aproximación simplificativa del circuito equivalente «exacto» de la figura 56, en reali dad un circuito de la forma del de la figura 7a, pero con parámetros ligeramente diferentes, es un circuito equivalente «exacto» del transformador. Esto se verá brevemente en el apartado 8c de este capítulo y de nuevo en el apartado 5 del capí tul o XV I1 . impedancia equivalente La impedaneia serie de la figura 7a, recibe el nombre de resistencia equivalente, es la suma de las resistencias efecti del transformador. La reactancia vas do primario y secundario, ambas referidas a un mismo lado, y la equivalente es la suma de las reactancias de fuga de primario y secundario, ambas referidas al mismo lado. A la reactancia equivalente se le llama también reactancia
3
Aná lo gam ent e, la im pe da ne ia eq ui va le nt e Z referida al primario es: eal
Zeal = Real ~\-jX gl
•(
e
= B + a*R + j(X + a*X ). Cuando se coloca la admitancia de excitación a la izquierda de la impedan de fuga del primario, como en la figura 7a, la corriente que circula por la impedane equivalente es la corriente del secundario, que es también igual a la compone de carga de la corriente del primario, cuando se refieren ambas corrientes al mis lado y se toman sus sentidos positivos como sentidos de las corrientes que crearí fuerzas magnetomotrioes opuestas. Las caídas de tensión en las impodancias fuga de primario y secundario, podrán, pues, combinarse en la forma indicada el diagrama vectorial de la figura 76. Las caídas de tensión en la impedaneia eq valente de la figura 76, difieren ligeramente de la suma de las caídas de tensi en las impedancias de fuga de primario y secundario en el diagrama vectorial «ex to» de la figura 5a, pero solo a causa de que por la impedaneia de fuga del primar de la figura 7a no circula la corriente de excitación; suprimiremos, pues, de la gura 76 la componente de la caída de tensión en la impedaneia del primario, debi a la corriente de excitación. La corriente de excitación de la figura 76 se toma co corriente en vacío correspondiente a la tensión entre terminales del primario y p tanto, difiere ligeramente, tanto en fase como en intensidad, de la corriente excitación del diagrama vectorial «exacto» de la figura 5a. X
7.
EJE MP LO IL USTRATIVO
n
2
DE LAS
RELACION
lt
ES VECTORIAL
ES SI MPLIFI CADAS
A con tin uac ión ca lc ul ar em os los re su lt ad os de l ej em pl o de l ap ar ta do 5, u t i l zando el diagrama vectorial simplificado de la figura 76. Solución: De las ecuaciones ( 14) y (15) y de los datos tabula dos en el apartado la resistencia equivalente y la reactancia equivalente referidas al secundario son: R = 0,28 + 0,30 = 0,58 oh m Reai = —f- + R, A '/ i
(4
+ X = 0,76 + 0,75 = 1,51ohms.
(4 a Tomando como vector de referencia el representativo de la tensión entre los terminal del secundario, la corriente del secundario vendrá dada, en virtud de las ecuaciones (1 y (18) por 2
lt
I = 33,4—¿25,0 A
(4
L
de fuqa total y a veces reactancia de las reactancias de fuga individuales a la pecto al otro. Así, pues, si es equivalente Z referida al secundario e 4 2
La tensi ón entre terminales del p rimari o referida al secundario s o deter mina p cálculo de los vectores representativos de la caída de tensión en la resistencia equivalen y en la reactancia equivalente referidas al secundario, sumándolos al representativo la tensión entre terminales del secundario; así
fuga del transformador y debe distinguirse de X y X de cada uno de sus devanados res NJN , la impedaneia razón de transformación es: n
n
Iiif = (33, 4—¿25 ,0)0,58 = 19 ,4 —¿1 4,5 V. jl X ¿(33,4 = —¿2 5,0 )1, 51 = 37,8 + ¿50, 5
2
Z
f í 2
= B„ + jX t
•(39)
eg2
egl
V
2
^ 2 400,0 + ¿0
(4
-íí- = suma vectorial = 2 457,2 + ¿3 6,0 V. a
s
L
5-+*«+'(-5
+
z
m
4
>
(4 (4
f í 2
L
= 2 458 /0, 8. o
(4 (5
TRANSFORMADORES
jj 6
INDUCTANC1AS DE
Comp áres e con el valor V, /a = 2 459 /0,8dado por la ecuación (35) en la solución «exac ta». El error de la solución aproximada sólo es del 0,04 %. La tensión entre terminales del primario es: 1*! = 5,00 x 2 458 = 12 290 V (51)
FUGA
11
o
Obsérvese que si sólo se pidie ra la tensión del p rim al io, no haría falt a conocer la corriente de excitación. En muchos problemas, tales como aquellos en que interviene la regulación de tensión, las tensiones son importantes pero la importancia de la corriente real del primario es relativamente pequeña. En el análisis de estos problemas, los efectos de la corriente de excitación son despreciables y el transformador puede representarse muy simplemente por su impedancia equivalente en serie con un transformador ideal, como se indica en la quinta alternativa del apartado 6 del capítulo XII. No obstante, si se desean valores precisos de la intensidad de la corriente y del factor de potencia del primario, deberá determinarse la intensidad de la corriente de excitación. Según el circuito equivalente de la figura la, la comente de excitación se toma como corriente en vacío correspondiente a la tensión entre los terminales del primario. Luego la corriente de excitación referida al secundario es la corriente en vacío a 2 458 V (ec. 50). Interpolando entre los datos para circuito abierto consignados en el apartado 5, = 1,60 A 987 W
P =
(52) (53)
r
8.
DETER MINA CIÓN
DE LOS PARÁMETROS
co
s 6nl
p —
= 0,251 2 458 X 1,60
ENSAYOS
Mediante ensayos en circuito abierto y en cortocircuito, pueden determinars las características de excitación y los parámetros de los circuitos equivalentes. 8a . Ensayos en circuito abierto. Cuando se hall a en circuito abierto un devanad y se aplica al otro una tensión alterna, la tensión inducida en el devanado excitad es casi igual a la tensión aplicada y la corriente que circula por el devanado exc tado es la corriente de excitación correspondiente, referida a dicho devanado. Tam bién suele ser despreciable la pérdida en el cobre debida a la corriente de excitació y por tanto, la potencia de entrada es casi igual a la pérdida en el núcleo, para valor correspondiente de la tensión inducida. En el caso de transformadores para comunicaciones, las medidas suelen hacers mediante un puente adecuado. * Los transformadores para sistemas de potenci suelen ensayarse aplicando una tensión sinusoidal a uno u otro devanado —el qu más convenga y midiendo la tensión aplicada, corriente de excitación y potenci de entrada con instrumentos ordinarios de corriente alterna. Si el devanado exc tado es el primario y la corriente de excitación se supone equivalente a una corrient sinusoidal , en la forma indi cada en el apartado 13 del ca pítul o VI , las conducta cias y susceptancias que representan las características de excitación referidas primario son
El factor de potencia en vacío es =
MEDIA NTE
(54)
9od =
« g'
•( 5
fc = - | /
(^f -gin
c
/
Es decir, la corriente de excitación está retrasada respecto a la tensión aplicada en un ángulo 6„i de 75,5 °. Como el ángulo de V, es de + 0,8°, la expresión vect orialT'deserá
ort
*b ,
•( 6
m
donde 0,42A—j V' = 1,60 / — 74,7° = 1,54
(55)
P, F e l , son las lecturas de los instrumentos, corr egida s si fuera nece sario par los efectos de las corrientes que circulan por los instrumentos, g ci y boci son la conductancia y la susceptancia aparente en circuito abiert g' y b' son la conductancia y susceptancia de la admitancia de excitación ref ridas al primario.
Pero, de la ecuación 45,
0
oi;
= Iz ,
=3 3, 4— ¿2 5, 0
a l , = suma
m
= 33,8 — ¿ 26,5 A = 43,0 / — 38,1 °
(56 ) (57 )
Com párense las ecuaciones (55-57) con los resulta dos del análisis «exacto» (ees. 28-30, apartado 5). Los resultados tienen tres cifras significativas coincidentes. La corriente del primario está retrasada respecto a la tensión entre terminales del primario en
0 = 38,1 + 0,8 = 38,9° 1
El error resulta de calcular la conductancia de pérdida en el núcleo y la susceptanci magnetizante en la forma indicada por las ecuaciones (59) y (60) suele ser despreci ble, ya que la potencia de entrada P es casi igual a la pérdida en el núcleo y la te sión aplicada V es casi igual a la tensión inducida. Según se indicó en el apartado 3, puede determinarse un valor muy aproximad de la razón de transformación midiendo la tensión aplicada al devanado excitad y la del devanado en circuito abierto. Así, pues, la razón de transformación ser muy aproximadam ente, a
y por tanto, el factor de potencia del primario es: cos = 8, 0,778, corriente retra sada. Este resultado es exactamente igual al de la ecuación (38) del apartado 5.
(58)
s
=
N2 *
E
i
x
'i E2 E 2 l
•(ei)
0C
Para un ulterior estudio de las medidas de impedancia en transformadores para comu n
caciones, véase el apartado 3 del capítulo XVII.
INDUCTANCIAS
TRANSFORMADORES
338
]\ es la tensión aplicada al primario y E es la tensión del secundario en circuito abierto. En la ecuación (61) se desprecíala caída de tensión en la impedancia de fuga del primario debida a la corriente de excitación. Debido a esta caída de ten sión, la te nsión l'j ap licada al prima rio es ligeramente mayor que la tens ión induci da en el primario, y por tanto la razón V\¡Ecz es muy poco mayor que la razón de trans formación NJX ., . Además, las tensiones compl ejas V i y E no están exactamente en concordancia de fase. Es decir, el cociente V'i/Eorj es un número complejo de pequeño argumento. 86. Ensayo* en cortocircuito. Si se cortocircuita el secundario de un transfor¬ a figura (>h so reduce al indicado en la figura 8«. mador el circuito equivalente de O
C
2
0
í ( !
Ä.+j-Y,, a*n,+ja>X ,—\W—'CroTT —i—VW—TÜTOT" —i h
1
Terminales del primario
DE
FUGA
Como la corriente de excitación a la tensión nominal suele tener una intensidad ap ximadamente igual al 5 % de la intensidad nominal, la componente de excitac de la corriente del primario cuando el secundario está eortocireuitado es solame el 0,03 X 5, ó sea el 0,15 % de la intensidad de la corriente del primario y por ta os completamente insignificante. Así, pues, la corriente que circula por la ad tancia de excitación del circuito equivalente de la figura 8a, es despreciable; y tanto la impedanc ia en cortocircu ito es muy aproxima damen te igu al a la im dancia equivalente. Además, como las pérdidas en el núcleo varían aproxima mente como el cuadrado del flujo, la pérdida en ol núcleo en cortocircuito tend aproximadamente, un valor que será (0,03) , o sea, 0,0009 de la pérdida en el núc a tensión normal. Como la pérdida en ol núcleo a tensión normal suele ser me que las pérdidas en el cobre combinadas de primario y secundario a una corrie do intensidad nominal, la pérdida en ol núcleo en cortocircuito suele ser inferio 0,0009 veces la pérdida en ol cobre y por tanto os totalmente despreciable fre P a la pérdida en ol cobre. Luego, en cortocircuito, la potencia de entrada PR . casi igual a la pérdida en la resistencia equivalente Si son V, I y P, las lecturas del voltímetro, amperímetro y wattímetro de figura 86, el valo r de la imped ancia en cor tocircui to es: 2
ea
(a) V ÍG. S.
Transí'.irm aclor eortocireui tado; n) circui to equivalente referido al prim a rio b) y co-
Z = sc
noxiones para ol ensayo de la impedancia en cortocircuito
Si se desprecia la corriente do excitación, la figura 8« indica que la impedancia entro terminales del primario es igual a la impedancia equivalente del transformador referida al primario. La impedancia en cortocircuito de un transformador para comunicaciones suele medirse mediante un puente adecuado. Kn el caso do transformadores para sistemas
tanto. I.i, tn -s centésimas de su intensidad nominal.
* Z
Vf
R = l * R P sc
t9
•( •(
eQ
X = V Zl -~R\ *
•(
sc
donde Z , R , X son la impedan cia, resistencia y reactanci a en cortocircu y Z , R , X son la impedancia, resistencia y reactancia equivalentes. Evidentemente, cualquiera do los dos devanados puede servir de prima La impedancia equivalente es su valor referido al devanado excitado. Si se de Z„ es la impedancia equi oste valor puede referirse al otro devanado. Así, si lente referi da al lado de baja tensión o medi da desde él, la. imp eda nci a equivale Z H referida al lado de alta tensión es: sc
ea
ea
¡c
sc
eQ
x
EI
Z
eqH
=
ifiZeaX,
NH/NXdonde a es la razón de transformación Como la caída de tensión en un transformador suele estar determinada con t precisión a partir de su impedancia equivalente, rara vez será necesario conocer impedancias de fuga reales de uno y otro devanado, salvo en el análisis de proble que se refieran a los efectos de los armónicos. Los ensayos para medir por separ las impedancias de fuga de cada devanado son a lgo complicados . Cuan do se n sita un valor aproximado, se supone a menudo que las impedancias de fuga do • Un estudiode estos ensayos puede verse en O. O . O. DAHL, Applications, Vol. I: Short-Cucuit dment* and HtcdyÜUUc Thcory Book Company, Inc., HI28). capítulo ii.
Electric C»rcu»V«, r/»t«r^ (New
\ ork:
McGraw-
TRANSFORMADORES
340
INDUCTANCIAS
a la razón de trans
devanados son iguales al referirlas a un mismo lado. Así, si es formación N /N , 1
R, + jX * a R + ja X< * 2
a
2
2
+j ^
(66)
X
2
o sea.
h
a
+
J
X
l
t
X
* -•- + J
-,-ri-,
T
Rn
(68)
Rcc2
2
idea!. razón =
X¡i ^ Rcci X¡
a]
*• R2 + jX
C
+i^»).
n
(70)
8c. Circuito equivalente «exacto» determinado a partir de ensayos. Si se supon e que la admitancia de excitación referida al lado del primario es igual a la admitancia en circuito abierto medida desde el primario (como en las ees. 59 y 60), que la razón de transformación es igual al cociente de las tensiones en circuito abierto (como en la ec. 61) y que la impedancia equivalente referida al secundario es igual a la impedancia en cortocircuito medida desde el lado del secundario (como en las ees. 62, 63 y 64), el circuito equivalente de la figura la se convierte en el de la figura 9a cuand o se refiere al pri mar io la adm ita nci a de excitación de la figura 7a. A u n cu an do est e ci rc ui to se de du jo en el ap ar ta do 6 co mo sim pli fic aci ón ap ro xi ma tiva del circuito equivalente «exacto» de la figura 56, el circuito de la figura 9a puede deducirse de una manera que pone de manifiesto que se trata de un circuito equiva lente «exacto» del transformador. Si se supone que la corriente de excitación puede tratarse como onda sinusoidal equivalente y que la admitancia de excitación es constante para pequeñas varia ciones de tensión, el transformador se podrá considerar como elemento de circuito lineal, al cua' puede aplicarse el teorema de Thévenin. Según este teorema, el trans formador visto desde los terminales del secundario equivale a una fuerza electro motriz igual a la tensión del secundario en circuito abierto E en serie con la impe dancia Z¡c2 medida entre los terminales del secundario con los terminales del primario cortocirc uitados. Si es V i / E la razón de transformación del transformador ideal, su tensión entre los terminales del primario será igual a la tensión V del trans form ador real. En el apar tado 5 del capítulo XV I I pued e verse que si se conecta entre los terminales del primario del transformador ideal, la admitancia en circuito o c 2
o c 2
x
E
zo n
F io . 9.
tica + a n c2
¡ de
V, ra
(a)
de donde
ú
FUGA
ocl
(67)
2
Al te rn at i va me nt e , se su po ne a vec es qu e la s re si st en ci as ef ec ti va s y la s re ac ta nc ia s de fuga se hallan en la misma razón que las resistencias a la corriente continua Rea y -R<-c2 de los devanados; es decir, .fij ^
DE
abierto g + jb , el circuito de la figura 9a es «exactamente» equivalen transformador tanto en el lado del primario como en el del secundario. Claramente se ve que si se realizan en el lado del secundario las medidas e cuito abierto y en el del primario las medidas en cortocircuito, el circuito figura 96 es también un equiv alente «exacto» del transfo rmado r. ocl
2
( b )
Dos circuitos equivalentes «exac tos»
Se llega así a la conclusión rela tivam ente sorpren dente de que la com ción de los efectos de un cierto número de aproximaciones dan un resu «exacto». El coc ient e V i / E es un número complejo de argumento muy pequeño tanto, en rigor, el transformador ideal de la figura 9a debe considerarse que no transforma los valores de tensiones e intensidades en forma inversa, sino que tam introduce un ligero defasaje entre las tensiones de secundario y primario y defasaje igual y opuesto entre las intensidades de las corrientes de primario y se dario. No obstante, en los transformadores para sistemas de potencia, el def en circuito abierto es de pocas centésimas de grado, por lo que los circuitos eq lentes de la figura 9 son casi «exactos» si se toma la razón de transformación del tr formador ideal como número real igual al módulo del cociente de tensiones en cuito abierto. o c 2
9.
DETER MINA CIÓN DE L OS PARÁMETROS A
PARTÍS DE
LAS DI MENSIONES
La determinación de los parámetros a partir de las dimensiones y propied de los materiales constituye, evidentemente, una parte importantísima del tra del diseñador. Aun cuando una exposición detallada del método de diseño se del ámbito de este li bro , el breve estudio que vamos á" real izar a continuación se para ilustrar los métodos mediante los cuales se aplica la teoría fundamental al blema del diseñador de determinar las constantes del circuito del transforma En el capítulo VI se describen con detalle las características de excitación, po que no será preciso ampliar aquí el estudio de su determinación. El resto de apartado se dedica al estudio de la determinación de la impedancia equivalent Consideremos un transformador de razón de transformación 1 : 1 que sumini potencia a una carga, tal como se indica en la figura 10a, en la que pueden v unidos un terminal del primario y uno del secundario, ambos de igual polari
1NDUCTANCIAS
TRANSFORMADORES
342
l será casi igual a Si la corriente de excitación es débil, la corriente del primario I . Si ambas corrientes fueran la corriente directamente opuesta del secundario exactamente iguales, no se alterarían las condiciones en primario y secundario si se conectara el circuito en la forma indicada en la figura 106. Así, pues, un transt
L
Mi
¡ÍI o
o o li li
Carga
oo 5
t
DE
FUGA
3
se supone que en las regiones por encima y por debajo de las bobinas el flujo se d persa rápidamente, la inducción magnética es débil y la mayor parte del flujo hal camino de retorno por el núcleo de hierro. Se supone, pues, corrientemente, que reluctancia de los caminos del flujo de fuga por encima y por debajo de la bobina nula. Esto equivale a suponer que las bobinas se hallan rodeadas de hieiro de p meabilidad infinita, como se indica en la figura 116. Con estas hipótesis, la reactanc
Carga
1
»
(b)
(a)
F io . 10. Donde puede v erse que la impedancia equi valente de un transf ormador de razón 1 : 1 es igual a su impedancia en serie como bobina con las fuerzas electromotrices de primario y se cundario en oposición
formador de razón 1 : 1 equivale a una impedancia en serie si se desprecia la corriente de excitación. Del estudio del apartado 6 puede verse que esta impedancia en serie es la impedancia equivalente del transformador. Por tanto, el cálculo de la impe dancia equivalente se de reduce la resistencia y reactancia un trans formador equivalente razóna determinar 1 : 1 conectado como bobina con sus defuerzas magnetomotrices de primario y secundario en oposición. La resistencia en corriente continua de cada devanado puede calcularse a partir del número de espiras, la longitud media de una espira y la sección del conductor. En el caso de transformadores grandes o a frecuencias elevadas, las resistencias efectivas a la corriente alterna pueden ser considerablemente mayores que las resistencias a la corriente continua a causa del efecto cortical y de las pérdidas pará sitas, El'aumento de resistencia debido al efecto cortical puede reducirse utilizando conductores constituidos por hebras adecuadamente interpuestas. Las pérdidas parásitas debidas a las corrientes de Foucault creadas por el campo de fuga suelen calcularse por métodos empíricos. La resistencia equivalente es la suma de las resis tencias efectivas de primario y secundario, ambas referidas a un mismo lado. La reactancia equivalente se determina a partir del campo de fuga debido a comentes iguales y opuestas en primario y secundario. En estas condiciones, el carácter general del campo magnético en un transformador del tipo de núcleo con devanados cilindri cos coaxiles es el indica do en la figura 5c del capítulo XI I . Es te tipo de transformador constituye un ejemplo sencillo del método de resolución del problema del cálculo de la reactancia equivalente, e ilustra la aplicación de hipótesis simplificativas a un problema muy difícil de resolver rigurosamente. Cuando primario y secundario tienen la misma altura h de pila de láminas, suele suponerse que el flujo de fuga es paralelo a los ejes de las bobinas cilindricas en las regiones abcd de la figura l i a . Compárese con la figur a 5c del capítulo X I I . Según esta hipótesis, la inducción magnética será uniforme en una dirección para lela a los ejes de las bobinas desde un extremo de las bobinas hasta el otro. También 2
« Cuando los devanados no tienen la misma altura de p ila , pueden descomponerse en deva¬ nados equivalente s de tal manera que el método aquí presentado siga siendo ut iliz a ole. Véase L. F. BLÜME, editor, Transformar Engineering, New York: John Wiley & Sons, (íaáS), su.
Fi o. 11. Una rama de un t ransforma dor del tipo de núcleo; a) disposición do los devanad y el núcleo, b) equivalente magnético, c) distribución del campo magnético.
equivalente es la reactancia de dos bobinas de N espiras devanadas sobre el circuit magnético simple de la figura 116 y conectadas en serie, con sus fuerzas magneto N de cada bobina es igual al númer motrices en oposición. Si el número de espiras de espiras N del primario, el resultado es la reactancia equivalente referida a primario. Consideremos el camino 1 Hel flujo que atraviesa las espiras del primario en l x
figura 116. Este camino se cierra por el hierro a la izquierda de las bobinas y abraz
TRANSFORMADORES
344
INDUCTANCÍAS
la fracción x/t del número de espiras del primario. Si es / la intensidad de la corriente, F a lo largo de este camino cerrado es: la fuerza magnetomotriz x
x
F = 4nNI^-
(71)
x
expresión válida para cualquier sistema de unidades no racionalizado. Como se supone infinita la permeabilidad del hierro y la inducción magnética en el aire se supone uniforme, el campo magnético H a lo largo de la línea e/de la figura 116 será constante e igual a x
=
F
4jcNIx h M
± =
(72)
B
B 1 C B — \ — dB = B
s
H^-^í.
(73)
h
J
i^f^j
N
B,
[¿«H* = ^—,
2
(
f
donde /¿ es la permeabilidad del vacío en un sistema no racionalizado de unidad La energía acumulada en el campo de fuga de la figura 11 es la integral de expresión de la ecuación (76) extendida a todo el volumen. h , es La energía elemental dW acumulada en un anillo cilindrico de altura H , es: sor dx y radio (r + x), en el que el campo magnético es 0
x
x
x
dW = ¿p H\ x (volumen infini tesima l del anillo) x
(
oTl
según se indica en la figura 11c. Es evidente que se obtendría el mismo resultado si se supusiera que el camino del flujo se cierra rodeando al primario que al secundario. En el interior del espacio ocupado por las espiras del secundario, el campo mag nético disminuye uniformemente en la forma indicada en la figura 11c. Consideremos el camino 2 del flujo (fig. 116) que atraviesa las espiras del secundario. Si el camino del flujo se cierra a la izquierda y rodea al primario, tal como se indica, el camino rodea las N espiras del primario y
ea
HdB
- f Í7l
x
del aislante es:
2
En el aire, esta energía por unidad de volumen es:
1
t en su exte Al au me nt ar x desde cero en el interior de la bobina del primario hasta 4nNI¡h en x = í„ según rior, el campo magnético crece linealmente hasta el valor se indica en la figura 11c. En el espacio aislante entre las espiras, Ja fuerza magnetomotriz a lo largo de un camino cerrado tal como el 3 de la figura 116, es la fuerza magnetomotriz total de un solo devanado. En el interior de esta región, la fuerza magnetomotriz es H en el espacio independiente de la distancia radial y el campo magnético constante
FUGA
1
x
H
DE
lada en el campo magnético. Como la permeabilidad del hierro se supone infini esta energía se acumula por completo en el volumen cilindrico ocupado por el co y el aislante entre los devanados. Llamando / a la intensidad de la corriente ¡ L P. circula por el devanado, la energía acumulada es igual En el apartado 5 del capítulo IV se vio que la energía por unidad de volu en un campo magnético cuando la inducción magnética crece desde cero hasta
espiras del secundario
= p H12TZ (r + x)h dx. x
De la ecuación (72)
cuya fuerza
y se mide magnetomotriz tiene sentido opuesto a la del primario. Obsérvese que desde fuera del secu ndari o, a fin de si mpli fica r el cálculo mirando hacia el interior F en el camino 2 es: que sigue. La fuerza magnetomotriz
= -~-¿¡— {ri + *)*dx. Por tanto, la energía total
(
W acumulada en el volumen por el devanado primario x
y
(r
^i = ^ % — /
= 4:71 |
W
Jo
in^fi^P
y el campo magnético
(
1
+
x)x>dx
1
x
(8
An álo gam en te , la ener gía W acumulada en la región ocupada por el devana secundario es: z
H es: y
H
._ ^
N
1
V .
(75)
W = 2
Este es el mismo resultado que se obtendría suponiendo que el camino 2 del flujo se ce rrara por la derecha, rodeando la fracción y/í, del número de espiras del secundario. La inductancia equivalente
ír
L
e<¡
puede calcularse a partir de la energía acumu-
r
i
Jo
(r — y)y2 dy 2
TRANSFORMADORES
34b
INDUCTANCIAS
La energía W acumulada en el espacio entre los devanados, donde el campo magné tico H es independiente de la distancia radial, es: 3
3
u
W, =
H
2
-• X (volumen del espacio entre devanados)
(82)
n
donde r es el radio medio del cilindro aislante entre los devanados. ¡ L I , de donde, La energía total acumulada es igual a 3lned
1
W 4t
87T ,(/ A' 2
0
2
ea
2
W) 3
(.-*Mí-*)"
2
r
imedh
DE
FUGA
34
a) Tra zar un circuito equivalente. b) Señalar con letras lo s vecto res del diagr ama y deducir convenios para los sentido positivos. c) Indi car en el esquema del circui to equivalen te lo s sent idos positivos de toda las tensiones, corrientes y fuerzas electromotrices representados en los diagramas vec toriales e indicar el sentido de circulación de la potencia. 2. Par a sumini strar potencia a una carga indu ctiv a so emplea un transforma do de 5 k VA , 2 300 : 230 V, 60 Hz . L os valores medidos en el l ado de alta ten sión de la ten sión entre terminales, intensidad de la corriente y potencia de entrada son, respectiva ment e: 2 360 V, 1,96 A y .4,16 kW. La s corrientes ma gneti zante y de pérdida en el nú cleo correspondientes a las condiciones nominales de plena carga tienen por intensidade 0,10 A y 0,02 A. (Se despre cia la variación de la corr iente de ex citación a c ausa de un variación de tensión inducida.) La impedancia de fuga del primario es 11,5 + ¿21 oh y la impedancia de fuga del secundario es 0,112 + j 0,206 ohm. Suponiendo que no hay caída de tensión en la línea que une los terminales del secun dario del transformador con la carga, determinar la potencia suministrada a la carga la tensión en la carga y el factor de potencia.
• (83)
donde A es el número de espiras del devanado al (pie se refiere la inductancia equi valente. Las dimensiones son las de la figura 116. Obsérvese que r es el radio interior r es el radio exterior del devanado de fuera. En el sis del devanado de dentro, pero tema Giorgi no racionalizado, la inductancia viene dada en henry, las distancias en metros y ¡u„ = 10 . í'i t es aproximadamente Esta fórmula puede simplificarse observando que , 3 4 t-, donde i\„ i es el radio medio de l prima rio. Análogamente ' — ~ es apro xi x
2
7
let
Diadamente
igual
., „_ donde j a i"ied r
:i
L,
,. i es OI r-lmed
radio
me
r\medt\ l'imedti h
"3
3
r l i o del secunda rio. Luego
r-¿medh
• (84)
La fórmula puede también expresarse en función de la longitud media do una espira, o del volumen del cobre y aislante, o de otras diversas maneras. Como en un transformador real hay cierta reluctancia en las regiones por encima y por debajo del espacio de los devanados, la fuga magnética no es tan grande como en ¡augura 116 v el flujo empieza a dispersarse antes de abandonar el espacio de los deva nados, como se indica en la figura 5c del capítulo XII. Luego las ecuaciones (83) y (84) dan valores demasiado grandes, por lo que suelen emplearse factores empíricos de corrección inferiores a la unidad. PROBLEMAS
v
(c) F I G. 12.
Diagramas vec toriales de transfor madore s, problema 1
1. Cada uno de los diagramas'vec toriales de la fi gura 12 s e aplica a u n transformador. Los vectores representativos de tensiones y fuerzas electromotrices inducidas se indican por medio de una flecha normal —• , los represe ntativos de corriente s por • >' los de
3. El transformador que ti ene como circui to equivalente el de la fig ura 13 se emplea para conectar un generador de impedancia interna 10 000 j 0 + ohm a una carga de impedancia 4 -f j 0 ohm. Si hay que rebobinar el secundario del transformador con el mismo volu men de cobre pero con el número correcto de espiras para suministrar potencia máxima a la
fluj os por
carga a una frecuencia de
o. Par a cada uno de es tos diagramas vectoriales:
1 000 Hz , ¿cuál se ría la nuev a razó n de transformació n?
1NDUCTANCIAS
TRANSFORMADORES
148
60 Hz-
S e t¡
en
en
S Íg
UÍ6
nte
S da
to
DE
FUGA
349 1 00 0 kV A, 6 6 000 : 600 V,
transform ador de
S de u n
Frecuencia
Tensión
Intensidad
Potencia
Terminales de baja tensión corto60 Hz
3 240 V
60
6 600
a = 50:l
tf, = 250 ohm
L¡ = 0,10 H F io . 13.
R = 0,1 ohm G = despreciable L = 0,04 mH r„ = 0,125 l/H z
c
Circuito equ ivalente de un transfor mador adaptador, pr oblema 3
4. Se tienen los siguientes datos de un transform ador de 7,5 kV A 2 080 : 208 V 60 Hz cuando funciona a la frecuencia nominal y a la tensión inducida normal:
Determinar la tensión que hay que aplicar al lado de alta tensión de este transforma dor para mantener 208 V entre los terminales del secundario cuando la carga es de 40 A con un factor de potencia unidad. Desprecíese la variación de la corriente de excitación que acompaña a una variación de la carga. 5. Cal cul ar la tensión en terminale s, la intensidad de la corriente y el factor de po tencia del primario del transformador a que se hace referencia en los ejemplos de los apartados 5 y 7 si se supone conectada a los terminales del secundario la admitancia de excitación. 6. Se tienen los siguientes datos de un trans forma dor trifásico de 3 ílli.'i kV A, 60 H z, 55 000 : 6 600 V. ENSAYO EX CORTOCIRCUITO
V
9 300
Supóngase que las resistencias de pri mari o y secundario son iguales al referirlas a un mismo lado y que las reactancias de fuga de primario y secundario son anáWrTnte* iguales. Supóngase también que la corriente magnetizante tiene forma de onda !nÍ soidal y que su intensidad varía como la primera potencia de la tensión correspom!én£ al f lujo mutuo y que la pér did a en el núcl eo va ría como el cuadrado de e s t a S S Í
a) Si a los termínales de baja tensión de este transforma dor se conecta una car ea indu ctiv a que conduzca un a corriente d e 152 A de intensidad a un. factor de potend a 0,8 0 ¿que tensi ón de l primario es necesaria para mantener aplicados 6 680 V a l T o S S oj ¿Cuál es la impe danc ia aparente de este trans forma dor entre los termínales del primari o cuando sumini stra la carga anterior? "omín ales ael 8. Se conectan en serie y oposición los devan ados prim ario y secun dario de un transformador con núcleo de hierro de razón 1 .- 1. Cuando a los terminalesexteriores » H a P n a ° ° ' te n s i ó n e n T p Z a r " 2 son IhJvTsT , ^ 'í ' - ^ primario y secundario dario? ° de fuga de primario y secun-
T
esr67v
6 0
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6
8
Intensidad,
C
2 3
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de
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1 0A
l a
8tenc ¡
as
9. El prima rio y el secundario de un trans forma dor con núcleo de hierr o de razón 1 • 1 consiste en un par de hilos devanados uno junto a otro. (Véase prob. 6 y F ig . 10, cap XI I) Los terminales de secundario y S> están cortocircuitados y a los terminalesP vP f a c ^ ™ de , i * " niideTa útÍnsTdad Jé tr^°fo™tóorUn utilizando ,°' este Tvalor ° °y constantes del * ™ de la r rintensidad, transtormadoi e
t6nS1Ón
f
a l
l gUa l
f 0
Tensión,
9,1
Sl
(Devanado de alta tensión excitado) Hz
7 490 W
8
Resistencia del primario: 7,5 ohm. Reactancia de fuga del primario: 14,0 ohm. Resistencia del secundario: 0,07 ohm. Reactancia de fuga del secundario: 0,15 ohm. Corriente de pérdida en el núcleo: 1,0 A. Corriente magnetizante: 2,0 A.
Frecuencia,
15,2 A
Terminales de alta tensión en cir-
(
A
Potencia,
\V
5
r
Ó
%
n
d
P
e
l a
d
r
n0mÍna L
a
btR
ner
SP
ac er
ca
d e
la
s
a) Ta tensión P P¿ con P, y P¡ conectados? b) la tensión S[S' ? c) la tensión P' S¡ con P[ y S[ conectados. 2
t
00
3 800
60,6
18 850
a) ¿Cuál es la máxima variación porcentu al que puede sufrir la tensión entre los terminales del secundario al pasar la potencia de salida desde carga nula a plena carga, cuando funciona el transformador a la frecuencia nominal y con la tensión del primario mantenida constante al valor que da a plena carga la tensión nominal al secundario? Exprésese la variación de tensión en tanto por ciento de la tensión nominal del secundario. 6 j ¿Cuál es la máx ima variación porce ntua l que puede sufrir el flujo mutuo en las anteriores condiciones? c) ¿Cuál es el factor de poten cia de la carg a para el cual se produ cen las condic iones anteriores ? Supóngase que las resistencias y las reactancias de fuga de primario y secundario son iguales al referirlas a un mismo lado.
2
c L Í a ten sió n dt fi fl ín n ' r ^ ° J ' ° de una H n ; t S A o ^ . para a limentar una carga a través o es 10 750 V v7a e o : °f terminales del secunda'\°^ ía ™te no!í «,, °°T f 8 del secundario tiene una intensidad de 90 A. Hallar ia potencia suministrada a la carga. a i
r6f6rid a
PhCad aa
P
P
e
+
anClí
de c a r
ciertas:
Tn
dfq
ue
Se
Cu
(a) Z = aZ (b) Z, = a Z , (c) Y, , , = a'Yoc, (d ) Y¿ ' = o'Y¿. 2
f 9 1
cl
2
eg2
J C
ál
os
A e
la
s
3
2
l
S
d
V
a
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S
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hao
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ter mulal
La
t6n
S ÍÓ
n
6ntr e
lo
s
a
siguientes igualda es son exacta o aproximadamente (1
TRANSFORMADORES
150
12. Lo s sigui entes datos pertenecen 100 kVA, 11 000 : 2 300 V yHz: 60
a
un
INDUCTANCIAS transformador
de
valores
nominales
R = 0,273 ohm
X = 22 ,7 oh m
X = 0,954 ohm
t
h
tl
b = 0,000681 mho
¿a = V» Pulg r
con Z
í o
Z y Z , y V /E„ v
M
1
con NJN.
i
2
7a P"lg
t
C 2
h —• 6 pulg 13. De ducir una ex presión para la induct ancia equivalente de un transform ador devanado en la forma indicada en la figura 14. Sea el número de espiras del secundario igual al del primario y la mitad de las espiras del secundario se hallen sobre la bobina interior y la otra mitad sobre la exterior. Formúlense hipótesis simplificativas correspon dientes a las del apartado 9. a) Dado s los siguientes valores, calcular la induct ancia de fuga de un transforma dor del tipo indicado en la figura 14: «! = «, = V»
P g u l
( > 12
7
m m
)
< = 1 pulg (25,4 mm) 2
ta = <* = Vs P g u l
h — 6 pulg N = N = 1 000 espiras p
s
-t
F io . 14.
,—
Sección de un transformador , problema 13
3 5 1
del tipo de la h
ti = t¡ = 1 pulg
m2
cl
M
FUGA
figura 11, para el cual
i¿! = 6,21 ohm ,000172 mho g = 0 Comparar Z
DE
b) Compárese esta inducta ncia de fuga con la de un transformador
Xp = N = 1 000 espiras s
(Los símbolos son los empleados en la figura 11).
CA
PI
TU
LO
Regulación de tensión, rendimiento y valores nominales La teoría general del transformador desarrollada en los dos capítulos anteriores vale para la mayoría de los problemas, salvo para los concernientes a las capacidades de los devanados o a los armónicos de la corriente de excitación. A continuación vamos a estudiar las aplicaciones de esa teoría a la resolución de problemas de regu lación de tensión, rendimiento y asignación de valores nominales de transformadores utilizados en sistemas de potencia. En el análisis de estos problemas y de otros análogos suele ser conveniente expresar las intensidades de corrientes y tensiones como tanto por ciento o fracción decimal de sus valores nominales normales; en forma análoga pueden expresarse la potencia, impedancia, admitancia y otras can tidades. En los apartados 6 y 7 se estudian ciertas ventajas del sistema de unidades por uno o por ciento.
1.
REGULACIÓN
XIV
REG ULA CIÓ N DE TENSIÓN
Como las lámparas eléctricas, estufas o motores funcionan más eficazmente a la tensión nominal, convendrá suministrar a estas cargas la tensión nominal, la cual deberá mantenerse lo más constante posible. Una tensión excesivamente elevada tenderá a acortar la duración del equipo eléctrico, mientras que una tensión inferior a la normal ocasionará una iluminación insuficiente en las lámparas, un funciona miento inadecuado de las estufas y pares motores demasiado bajos en los motores. Un a tensió n anormal —baj a o ele vada — srcinar á, pues, di ficultades al servicio público: por otra parte, la satisfacción del usuario respecto a un funcionamiento a la tensión nominal constituye un nuevo estímulo para el empleo de la energía eléctrica en usos adicionales. Por otra parte, una tensión inferior a la normal significa un precio más bajo de la energía y una pérdida económica para la compañía suministradora. La energía consumida por motores y estufas no varía materialmente en función de la tensión aplicad a en el domin io de ten siones utiliz ado en la p ráctic a incluso cuando no sea satisfactoria la regulación de tensión. Ahora bien, la potencia consumida por las lámparas de incandescencia varía aproximadamente como la tensión de la lámpara elevada a la potencia 1,56, con una variación correspondiente en el consumo de energía. Como la caída de tensión debida a la regulación del circuito es, probable mente, más importante durante las horas de la noche, cuando la carga está cons tituida principalmente por el alumbrado, el exponente 1,56 constituye una guía satisfactoria para la valoración de las pérdidas económicas debidas a una tensión inferior a la norma l. Sup ongamos que la carga suminis trad a por un alimentado r dist ribu idor es de 500 kW durante un pico que dure cuatro horas di arias y que la tensión media suministrada sea inferior a la normal en un 4 %. Si el equipo regu-
TENSIÓN
3S3
la durac ión d el pico de la
(1)
Luego, el cuatro por ciento por debajo de la tensión normal da srcen a una pérdida de venta de 31 kW durante cuatro horas diarias. A un precio de 2 pesetas el kilowatthora, representa una disminución de ingresos de 90 500 pesetas al año. Es evi dente que una compañía su min ist rad ora tiene razones económicas para mante ner la tensión adecuada, lo cual justifica que se realicen inversiones considerables en los equipos reguladores de tensión. En ausencia de equipo automático de regulación de tensión, la tensión del con sumidor varía con la carga del circuito de distribución desde el cual se alimenta, a causa de las variaciones de la caída en la impedancia con las fluctuaciones de la carga del circuito. Una de las componentes de esta caída en la impedancia es la que se produce en los transformadores. Consid eremos el trans for mad or de 10 0 k V A , 12 000 : 2 400 V citad o en los apar tados 5 y 7 del capítulo X I I I , sumi nistran do su potencia nomin al a 2 400 V a una carga inductiva con un factor de potencia 0,80. En la solución del apartado 7 del capítu lo X I I I , se vio que la te nsión q ue hay que aplicar al primari o para mantener en el secundario la tensión nominal con esta carga es de 12 290 V, o sea, que la ten sión del primario referida al secundario es de 2 458 V. En esta solución se despreciaba la caída de tensión en la impe dan cia de fuga del pri mar io debi da a la corrie nte de excitación. Si la tensión aplicada se mantuviera constantemente igual a 12 290 V y se suprimiera la carga, la tensión entre los terminales del secundario subiría a 2 458 V, si se siguie ra despre ciando la caída de tensión en la imp eda nci a de fuga del primario debida a la corriente de excitación. La variación de la tensión del secundario al suprimir la carga y mantener cons tante la tensión del primario, expresada como fracción o tanto por ciento de la regulación de tensión del trans tensión del secundario bajo carga es, por definición, la V por formador para la carga especificada. Es decir, manteniendo constante definición, 1
Regulación-, =
v
°
^(2)
c 2
V es la tensión entre donde E es la tensión del secundario en circuito abierto y los terminales del secundario bajo carga. A menos que se especifique otra cosa, la carga se toma como potencia aparente (kVA) nominal a la tensión nominal del secun dario y a un cierto factor de potencia determinado. Es corriente que las cargas comer ciales tengan un factor de potencia aproximado de 0,8 con corriente retrasada. Así , pue s, pa ra un fa ct or de po te nc ia de 0,80 co n co rri en te re tr as ad a, la regu laci ón de ten sión del transf ormado r del apartado 7 del capítulo XI I I es: oc2
2
Regulación = -
^ " ¡ ¡ ^ ^ 100 X = + 2,4 %.
(3)
Industr ial Standards,» N° C57: Proposed American Standards; 1940 ), pá Transformers, Regulators, and Reactora (New Yor k: American Standards Association, 1
«American Eng ineer ing and
rrafo 1064, pág. 11. 352
DE
lador de tensión mant uvie ra la tensió n nor mal durante carga, la potencia de salida sería, aproximadamente, 1.56 500X == 531 k W
REGULACIÓN DE TENSIÓN
TRANSFORMADORES
La regulación calculada en la ecuación (3) se basa en el circuito equivalente de la figura 7a del capítulo X I I I , que prescinde de la caí da de ten sión en la impe danci a de fuga del primario debida a la corriente de excitación y supone que la impedancia en serie del transformador es igual a su impedancia equivalente. No obstante, el error introducido por estas aproximaciones es completamente despreciable, según se deduce de los resulta dos de los aparta dos 5 y 7 del capítulo X I I I . En la solución simple del apartado 7, se desprecia la corriente de excitación y por tanto se supone que la corriente del primario referida al secundario es igual a la corriente de carga del secundario, y la tensión entre terminales del primario referida al secundario resulta ser -2 458/0,8° V. En realidad, la corriente del primario referida al secundario es la suma vectorial de la corriente de carga del secundario más la corriente de exci tación VJ referida al secundario. Así, pues, el verdadero valor de la tensión entre los terminales del primario referido al secundario es la suma vectorial del valor calculado en el apartado 7 del capítulo X I I I , más la c aída de tensi ón adiciona l en la impedancia de fuga del primario debida a la corriente de excitación. Es decir, i ;+' .j
r
2
2
2
l
L
0
-
2 458A8 » + ( ^ + j
rt'-li'),
e
ta2
= V + Ix.Re
Según la sol ución del apartado 5 del capítulo X I I I , este verdadero valor es 2 459/0,8°. Si se suprime la carga y se mantiene la tensión entre terminales del primario refer ida al secundario a 2 459/0,8° , la tensión ind uc id a es la tensión entre ter mi nales del primario menos (vectorialmente) la caída de tensión en la impedancia de fuga del primario debida a la corriente de excitación en vacío. Esta tensión inducida referida al secundario es igual a la tensión entre terminales del secundario en vacío, o sea, V iR X \ E = —- verdadero — (—^ + j —^11'' (5) a \a? a? I c 2
+ jX „i)
V + IL ( CO S 0 -~j se n 6 ){B
— = a
(4)
2
o
5
L
y
^ verda dero = 2 458/0^8° +
3 $
En realidad, cuando se determina la impedancia equivalente midiendo la impe dan cia en co rto cir cui to desde el lado del secund ario, la regulación de tensión así calculada es el valor «exacto», puesto que, en vir tud del teorema de Thévenin, la tensión del secun dario en circuito abierto es igual a la tensión del secundario bajo carga más la caída de tensión de bida a la corriente del secundario y a la impedancia en cortocircuito medida desde el lado del secunda^it rio, como en el circuito equivalente de la figura 9o del capítulo XIII. Fi o. 1. Diagrama vectorial refe¬ En la figura 1 puede verse el diagrama vectorial i<*o al secundario, referido al secundario. Cuando se especifican la car ga y el factor de potencia, se conocen V , II y BL- Si se conocen la resistencia equi valente y la reactancia equivalente y es V el vector de referencia, la tensión entre terminales del primario referida al secundario viene dada vectorialmente por
(6)
2
+ j(I X eos BL — ILR«2 sen BJ) L
= A+jB,
donde A es la parte real y i? la imaginaria de
V + 1LRK eos B + ILX sen B
B
L
= /
• Por tan to, cuando se calcul a la regulación, se presci nde siempre de la corrien te de excitación y se representa el transformador simplemente por su impedancia equivalente. ^
2
2
I
W
2
eo s
OL
L
—
ILR^
(7) (8)
VJa; es decir,
A =
{Ü2
se n
(9)
L
Q.
(10)
L
Obsérvese que BL es positivo para corriente retrasada. Este sentido tomado como positivo es conveniente porque los factores de potencia de las cargas comerciales suelen ser inductivos, con lo que BL suele ser cantidad positiva. Como B es pequeño frente a A, el módulo de VJa es, casi exactamente, V
donde I¿' es la corriente de excitación bajo carga de I¡¡' es la corriente de excita ción en vacío, ambas referidas al secundario. Así, pues, el verdadero valor de la ten sión entre terminales del secundario en vacío difiere del valor aproximado de 2 458 V calculado en el apartado 7 del capítulo X I I I , solamente en el ef ecto sob re el valo r srcinado por la pequeña diferencia entre las corrientes do excitación bajo carga y en vacío. El valor aproximado de la regulación de tensión dado por la ecua ción (3), pues, no desprecia ni siquiera una cantidad tan pequeña como la caída de tensión en la impedancia de fuga del primario debida a la corriente de excitación, sino que desprecia solamente el efecto de segundo orden de la variación de esta pequeña cantidad.
tQ2
,
B 2
a
2A
Como B /2A es el efecto de una pequeña componente perpendicular a la parte principal de VJa, el error será totalmente despreciable si se sustituye la A del deno minador por su valor aproximado V . Así, 2
2
Despreciando la corriente de excitación en vacío, terminales del secundario al suprimir la carga,
VJa es igual a la tensión entre E . Luego, de la ecuación (2), oe2
356
TRANSFORMADORES
RENDIMIENTO
Sustituyendo las ecuaciones (9) y (10) en la (13) se tiene:
Regulación =
+
iLReqi COS 6L + ¡¡.XeqiSen 8L
Pérdida eqi eos 6 — ILROH sen 6 L
L
2\
• (14)
La regulación porcentual es el valor dado por la ecuación (14) multiplicado por 100. De la ecuación (14) se obtiene el mismo resultado tanto si se toma como secundario el devanado de alta como el de baja tensión. Según las normas American Engineering and Industrial Stan dards, la resistencia equivalente debe tomarse a 75°C. En el apartado 3b se estudian las correcciones para variaciones de temperatura. 6 L es positivo y la regu Con cargas inductivas, lación de tensión es positiva, es decir, la tensión del Fi o. 2. Diagrama v ectori al con secundario crece al suprimir la carga y mantener corriente adelantada. constante la tensión del primario. En cambio, con BL), cargas capacitivas (0¿ es negativo y también sen 2
VJa puede , según puede ser menor que delVsecundario se indica en al la suprimir figura la 2; carga. la regulación puede ser negativa y la tensión disminuir 2
RENDIMIENTO
2.
El rendimiento de potencia de una máquina cualquiera es, por definición, la razón de la potencia útil de salida a la potencia de entrada. El rendimiento puede deter minarse mediante la medida simultánea de la salida y la entrada; pero, especialmente en las máquinas grandes, dicho ensayo no es conveniente y sí caro de realizar. Ade más , cu an do el re nd im ie nt o es el ev ad o deb erá log rar se ma yo r prec isi ón si se expresa el rendimiento en función de las pérdidas de potencia; así, sal ida ent rad a — pérdidas Ren dimi ent o = ¡- = —; entrada entrada ^ pérdid as ^ pérdid as entrada salida + pérdida s Si pueden determinarse las la ecuación (16). Cuando el de la maquinaria eléctrica, Por ejemplo, supongamos que trabaj a exactamen te
(lo)
•(16)
pérdidas, el rendimiento podrá determinarse mediante rendimiento es elevado, como ocurre en la mayor parte puede determinarse de esta manera con gran precisión. que la pérdi da total en un transf ormador de 1 00 k V A a plena carga con un factor de p otencia unid ad se a
2,04
Entrada"
To^O ±
=
«Ameri can Eng ineer ing and Industrial St andards», N° C57: Proposed American Standares. Transformers, ltegidators, and Rcactors(N ew Yor k: American Standards Associ ation, 1940),
2
± 0.0004.
0200
Re nd imi ent o = 1 — 0,0200 ± 0 ,0004 = 0,9800 ± 0,0004. • El tan to por ciento de error en el ren dim ien to result ante de un error del 2 °/ en la pérdida es, solamente, el 0,04 %. Este valor, pues, es mucho más preciso que el que ss obtendría midiendo simultáneamente la potencia de entrada y la de salida Obsérvese también la conv enie ncia de la ecuación (16). Es ta ecuació n perm ite e l empleo de una regla de cálculo de 25 cm para calcular rendimientos superiores al 90 °/ con cuatro o más cifras significativas, según suele justificarse por la precisión con que se conocen las pérdidas. ^ Las pérdidas en un trans for mado r son la pérdida en el núcleo deb ida al fluj o principal en el núcleo, la pérdida en el cobre de sus devanados, y las pérdidas pará sitas debidas a corrientes de Poucault inducidas por los flujos de fuga en el tanque sujeciones y partes diversas de la estru ctura. ' 2a. Pérdida en el núcleo. En un tra nsf orm ado r cargado, casi todo el flujo mutuo resultante se halla confinado en el núcleo. No obstante, como el camino de retorno de la mayor parte del flujo de fuga está en el núcleo, la inducción magnética verdadera en el núcleo no es exact amente la d eter minad a solamente por el flujo mut uo resultante , según explicó en el apartad o 4 del capítulo X I I . Así, pues, el flujo de fuga puede incrementar en ciertas regiones del núcleo a la inducción magné tica, mientras la disminuye en otras. Sin embargo, será probablemente muy preciso suponer que, por término medio, la inducción magnética en el núcleo está deter min ada por el fluj o mut uo result ante . Basándose en esto, la pérd ida en e l núcleo bajo carga es igual a la pérdida en el núcleo en vacío para las mismas tensión in ducida y frecuencia. 3
26. Pérdida en la carga. La s pérdidas debid as a las corrient es que cir cul an PR como en corriente continua por los devanados son las pérdidas por efecto Joule mas las perdidas ad.cionales debidas a las corrientes de Foucault inducidas por los flujos de luga . C uando estas corrientes de Fouc aul t existen en el inte rior de los ^ c o n d u c t o r e s , dan luga r al efecto cortica l. Al prod ucir se en dive rsa s part es estructurales srcinan las pérdidas parásitas. Como los flujos de fuga que srcinan Tue c i r c u Z ^ P P ™ ^ • 1- int ens ida des de 1 corrfentes r
^D r on o r c L n T ".
o
Í T ^ . V ° ° P P ement es d e Foucault cuadrado del flujo que las srcina, estas pérdidas adicionales son Fos devana" \ ° * intensidades de las corrientes que circulan por os Z S ' °J * ° ' ^ oorrientea que circulan por altero, 2 Podr a interpretars e util izand o resistencias efectivas para corriente a ue rdo oI " * tado 3 del capítulo VI . Así, si devanados, R¡ las acuerd connTlas hipótesisT delf apar son R, y de a
p
C
l o
a n t
CUadradosd
m
toda
érdida
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C 0 IT
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Í e n t e
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C0
nt
in
ua
d e
l o s
riníJeTA^Z^tluf 5"?°^ ^ " ' ' Transferir Enginee015 y 2016, pág. 16. y l-iew York. America n Standards Assocat ion , 1940), párrafos 2 F
párrafo 3U35, pág. 2f>.
% = °>
Por tanto, de la ecuación (16),
U
2
357
2,04 kW ± 2 %. La ent rad a es 102,04 ± 0,041 kW , y la pé rdida exp res ada como fracción de la entrada es
BLÜME
e d ltor
TRA
358
NSFORMADORES
RENDIMIENTO
resistencias efectivas a la corriente alterna de los devanados, la combinación de las pérdidas en el cobre y parásitas, conocida como pérdida en la carga, es I\R + I\R Como las pérdidas en el cobre de los devanados son las componentes principales las pérdidas en la ca rga, y como la pérdida en la carg a varía con los cuadra dos de u > intensidades de las corrientes, como lo hace una verdadera pérdida en el cobre, a la pérdida en la carga se le llama a menudo pérdida en el cobre y puede designarse por el símbolo P , aun cuando parte de la pérdida en la carga no esté asociada direc tamente con el cobre. Obsérvese que se obtiene la misma pérdida cuando se refiere a un mismo devanado las corrientes y las resistencias; así, si la razón de transfor mación NJN es igual a a, X
cu
2
P
lRl
3.
RENDIMIEN
+ I\R = IIR, + {^j a*R = (a/,) Z
2
2
^ + I\R.
(17)
t
TO CONVENCIONAL
Si están determinadas las pérdidas, el rendimiento para una carga dada puede calcularse a partir de la ecuación (16). Como un error relativamente grande en el valor de las pérdidas srcina un error mucho menor en el rendimiento calculado, podrán realizarse aproximaciones que simplifiquen mucho los cálculos y el método experimental de medida de las pérdidas y que, a pesar de ello, sigan introduciendo m error muy pequeño en el valor del rendimiento calculado. Se han acordado, a fines de normalización, ciertos procedimientos y métodos de cálculo. El rendimiento calculado de acuerdo con estos'métodos normalizados recibe el nombre de rendi miento convencional y es suficientemente próximo al verdadero valor para todos los fines prácticos. Ex pon emo s a continuación e stos métodos norm ali zado s. 3a . Pérdida en el núcleo. Según se indic ó en el ap ar ta do 2, la pérdida en el núcleo bajo carga es casi igual a la pérdida en el núcleo en vacío para las mismas tensión inducida y frecuencia. Como la corriente de excitación para la tensión y frecuencia normales es, aproximadamente 0.05 de la intensidad a plena carga, la pérdida en el cobre en vacío debida a la corriente de excitación será, aproximada mente, (0,05) , ó sea, 0,0025 de la pérdida en el cobre del primario a plena carga. Las pérdidas en el cobre en primario y secundario son aproximadamente iguales; luego, la pérdida en el cobre en vacío es solamente Va X 0,0025 de la pérdida total en el cobre a plena carga. En un transformador de distribución, la pérdida total en el cobre a plena carga suele ser aproximadamente el doble de la pérdida en el núcleo a la frecuencia y tensión nominales. Por tanto, en vacío, la pérdida en el cobre del primario es aproximadamente sólo ¡ X 0,0025 X 2, ó sea, 0,0025 de la pér dida en el núcleo, lo cual es totalmente despreciable. También en vacío, la caída de tensión en la impedancia de fuga del primario debida a la corriente de excitación es aproximadamente igual a 0,05 de su valor correspondiente a la intensidad nominal de la corriente. Como esta caída para la intensidad nominal suele ser de unas 0,03 de la tensión nominal, la caída de tensión en la impedancia de fuga del primario debida a la corriente de excitación en vacío será de 0,05 X 0,03, ó sea, 0,0015 de la tensión nominal y por tanto, también es despreciable. Así, la pérdida en el núcleo 4
2
1
2
' «Ameri can Eng ineeri ng and Industrial Standards », N« C57: Proposed American Standards; (New York: American Standards Association, 1940), Transforme™, Regulators, and Reactora párrafos 201 5 y 2016, pág. 16.
359
bajo carga es muy aproximadamente igual a la potencia de entrada en vacío a una tensión y frecuencia igual a la tensión inducida bajo carga. • Incl uso a ple na carga, la tensión ind uci da no difiere mu cho de la tensión entre terminales. A fin de simplificar los ensayos y los cálculos, la pérdida en el núcleo bajo carga se tomará, pues, como valor correspondiente a la tensión entre termi nales del secundario, en lugar del valor, probablemente más preciso, correspon diente a la tensión inducida.^ Por ejemplo, consideremos el transfo rmador de 100 k V A citado en el apartado 5 del capítu lo XI I I . Cuan do trab aja a plena carga con un factor de potencia 0,80, corriente retr asad a, la tensión entre los termi nale s del secundar io es de 2 400 V y la tensió n indu cid a (ec. 23, ca p. X I I I ) es de 2 429 V. Así, si se supone que la pérdid a en el núcleo bajo carga es de 940 W correspondiente a una tensión entre terminales del secunda rio de 2 400 V, en vez del valo r probab leme nte más preciso de 963 W correspondiente a una tensión inducida de 2 429 V (véanse da tos en el apa rta do 5 del capítulo X I I I ) , el er ror es de 23 W, o sea un 2,4 % de la p érdida en el núcleo. Como la pot enci a de entra da baj o carga es algo m ay or que los 80 kW de sal ida , este error en la pérdida en el núcleo es algo menor que 23/80 000, ó sea 0,0003 de la potencia de entrada, o sea que el rendimiento resulta demasiado elevado en 0,0003. Este error es tan pequeño que no vale la pena gastar el tiempo en buscar el valor que se supone más aproximado. Para el rendimiento convencional se supone que el flujo varía sinusoidalmente y por tant o el generador q ue se emplee en el ensayo en vacío deberá tener una fuerza electromotriz sinusoidal y una impedancia interna muy baja. La tensión aplicada no deberá ajustarse mediante una impedancia variable en serie, ya que las caídas de tensión armónicas debidas a los armónicos de la corriente de excitación deformarían la forma de onda de la tensión. Como con las variaciones de temperatura sólo varía apreciablemente la com ponente relativamente pequeña de las pérdidas por corrientes de Foucault en el núcleo, suele suponerse que la pérdida en el núcleo es independiente de la tem peratura. 36. Pérdida en la carga. Según la ecuación (17), la pérdida en la carga debida a las comentes que circulan por los devanados es la suma de las pérdidas efectivas 1 ti por efecto Joule. Si se desprecia la corriente de excitación, las intensidades de las comentes de primario y secundario referidas a un mismo lado son iguales y la perdida en la carga es PR , donde / y R están referidas a un mismo lado. Podemos estimar, para el transformador tipo del apartado 5 del capít ulo XI II , el error introducido al despreciar la corriente de excitación. Así, cuando se incluye en la corriente del primario la corriente de excitación, las corrientes de primario y secundario determinadas en dicho apartado tenían intensidades de 8,60 A y 41 ,7 A, y la pérdida en la carga es: e<¡
eq
(8,60) x 7,0 + (41,7) x 0,30 = 1 040 W, siendo 7,0 y 3,0 ohm las resistencias efectivas de primario y secundario. La resis tencia equivalente referida al secundario es de 0,58 ohm. Luego, si se desprecia la corriente de excitación, la pérdida en la carga es: 2
2
(41,7)
2
x 0,58 = 1 010 W.
RENDIMIENTO
TRANSFORMADORES
360
Despreciando la corriente de excitación, el error en la pérdida en el cobre del pri mari o es de unos 30 W. La en tra da es de algo más que 80 k W , luego el error es de 30/80 000, ó sea 0,0004 de la potencia de entrada. Por tanto, despreciando la corriente de excitación se eleva en 0,0004 el rendimiento calculado. Este error se desprecia al calcular el rendimiento convencional y se supone que la pérdida en la carga es igual a Puta-
4.
EJE MP LO DE
2
cc
c
Resistencias a la corriente continua medida25°C s a RccH = 2,80 oh m H = 0,0276 oh m ccX
Solución: La intensidad nomina l de la corriente que circul a por el devana do de alta
tensión es:
I h
e <¡
n R
.
tl¡ m
_ 45+
309,5
, +
r j K
D (fl
)
—
, , i q
(22)
[
-*W ,75> = 5.56 x 1,19 + (6,07 — 5,56) — - — = 7,05 ohm. (23) 1,19 iento c onvenci onal median te la ecu ación (16),
Puede ahora, determinarse el rendim ae la manera siguiente:
. 234,5 + 0 '
( 21)
ccX
*>
—30 9^ «t»i
Mc
P-
am
RccH + a*R = 2,80 + 2,76 = 5,56 oh m a 25°C
(í
_
t "
5
El factor de corrección de tem pera tu ra 309,5/(234,5 + la ecuación 20 es 309,5/259,5 0) de = 1,19. Por tant o, de la ecuación (20 ), a 75°C,
Como las pérdidas parasitarias constituyen una parte relativamente pequeña de las pérdidas en la carga, esta corrección para la temperatura se considera suficientemente precisa. Así, pues, la resistencia equivalente a 75°C es: Retas* = -"«*» 234 5 -j-e
6,2
Re„H = -jr-= - j ^ - = 6,07 ohm a 25°C.
•
7 5
15 000 TZnTT = 2 400
Para calcular la resistencia equivalente a 75°C, hay que determinar la componente correspondiente a la comente continua de la resistencia equivalente. La razón de transíormaci ón es 10, y de las resistencias a la corrien te cont inu a
234, 5 + 8
.
23
=
El ensayo en cortocircuito se realizó a la intensidad nominal de la corriente, según se acostumbra a hacer. De los datos en cortocircuito,
l* '
Por otra parte, las pérdidas por corrientes de Foucault disminuyen al crecer la temperatura, ya que son inversamente proporcionales a las resistividades de los materiales en que existen. Algunas de estas corrientes de Foucault se hallan en los propios conductores, mientras otras se hallan en las partes estructurales de hierro y acero. Si la temperatura de funcionamiento de todas las partes estructurales fuera 75°C y el coeficiente de temperatura de la resistencia de todas las partes fuera el mismo que el del cobre, * la componente correspondiente a las corrientes de Foucault de la resistencia equivalente a 75°C sería: [R -Rcm]
x
x
Frecuenc ia = 60 Hz
Los datos anteriores han sido corregidos de las pérdidas en los instrumentos cuando ha sido necesaria dicha corrección.
2
2345+
Ensayo en circuito abierto Vx — 240 V i = i,70 A p = 84 W
Frecuencia = 60 Hz 0 = 25°C
cc
Ratm = Rea» 0 •
Y DE L RENDIMIENTO
H
e
corriente alterna referida al mismo lado, la componente de la resistencia equivalente debida a las pérdidas por corrientes de Foucault en los conductores y en diversas partes estructurales es R m — Rc«e>- Las resistencias a la corriente continua crecen con la temperatura y la resistencia equivalente a la corriente continua a 75°C es: 234,5 + 75
361
IÓN
Ensayo en cortocircuito VH = 74, 5V I = 6,25 A PH = 237 W
Hay que corregir la pérdida en la carga dando su valor a 75°C, que es la tempe¬ ratura que se considera de funcionamiento normal a plena carga. Así, pues, si son Red y Rccz las resistencias a la corriente continua de los devanados a la temperatura de 0 grados centígrados que tienen los devanados en el ensayo en cortocircuito, la componente de la resistencia equivalente a la temperatura 0 debida a las resis R i + a ñ « referida al primario, tencias a la corriente continua de los devanados es R m esta resistencia referida o bien (R ci¡a ) + Ra referida al secundario. Si es R q«n la resistencia equivalente efectiva para la al lado que más convenga y es 2
LA REGULAC
Calcular la regulación y el rendimiento a plena carga, factor de potencia 0 80 corriente retrasada, del transformador de distribución de 15 k V A 2 400 • 240 v" 60 Hz al cual corresponden los siguientes datos. (El subíndice H significa devanado de alta tensióny el subíndice X, devanado de baja).
k Según se vio en el apartad o 86 del capítulo X I I I , la potencia de ent rada en cortocircuito es PR«, siendo mu y pequeñas la corrient e de excitación y la pérdida en la carga. Así, para calcular el rendimiento convencional, se toma como pérdida en la carga la potencia de entrada en cortocircuito para la misma corriente. ^
C
CÁLCULO DE
'
• El coeficiente de temperat ura de la resistencia del hierro y del acero varía considerable m ente con la com posición y el tratam iento térm ico pero es alrededor de 0,003 a 20oC, m ientras que el del cobre es 0,00393.
¿*-R«jr<„, = (6,25)»7, 05 = Pérdida en el núcleo =
276 W 84
Pérdida tota l = sum a
360
Sal ida 0,80 En tra da = Pérdidas Ent ra da
x 15 000 suma _ 360 ~ 12360
=
=
= 0 ,0
= 12 000 12 360 291
Ren di mi en t o = 1 — 0,0291 = 0,9709
(24)
RENDIMIENTO
TRANSFORMADORES
362
El cálculo de la regulación de tensión requiere haber hallado la reactancia equivalente. De los datos en cortocircuito,
7
V
74,5
-
h
(25)
11,92ohm
6,25
(26)
KMObsérveseque para determinar XeaH deberá utilizarse el valor de R del ensayo. Luego, XeqH = Vll^^^efiV = 10,27 ohm.
egH
a la temperatura (27)
Como las constantes se refieren al lado de alta tensión, este devanado debe considerarse como secundario al calcular la regulación. Así, en la ecuación (14), sen 6
eos 0 = 0,800 ílMw= 6,25 X 7,05 = 44,1
L
L
Il.X
e
= + 0,600 = ,25 6 X 10,27 = 64,2.
Simplificando la notación, en la ecuación (14),
IR eos 6 IX sen 8
Diferencia
Suma = 73,8
_L | *^ '^ I 2 \ 2 400 /
' = 0,0308 2 400 7
3
8
=
Horas
25,0 = de spr eci abl e.
Luego,
RENDIMIEN
TO
ENERGÉTICO;
EJEMP
LO
A u n cu an do el re n di m ie nt o de l a tra ns mis ión d e po te nc ia co ns ti tu ye u n im p or tante factor de mérito, de importancia aún mayor es el rendimiento de la trans misión de energía; es decir, la razón de los kilowatthora de salida a los de entrada. 0,90f-P
15 10 5 1
0,90 0,80 0,80 0,70
La s pérdidas son la pérdida constante en el núcleo, que debe suministrarse co ntinua mente, y la pérdida en la carga, que varía con el cuadrado de la intensidad de la corriente. Así , la energí a di si pa da en pérd idas en el núcl eo es: 24 X 84 = 2,02 kW h diariame nte 1 000
(29)
La salida diaria y la pérdida en la carga pueden calcularse y tabularse en la forma indicada a continuación. Para el cálculo de la pérdida en la carga se toma como resisten cia equi valente el val or medio de sus valores en caliente y en frío; es decir, de las ecua ciones (22) y (23), 6,07 + 7,05 (30) = 6,56ohm. KeqH — 2
15
% 10 b
Kilowatt de salidaFactor de potencia
2 4 7 11
(28)
Regulac ión = 0,0308, o sea, 3,80 % 5.
s
Solución: El exame n de la figura 3 indica que el ciclo diario de carga puede resumirse de la manera siguiente:
7X c os 6 = 51,4 IR sen 8 = 26,4
35,3 38,5
363
Este rendimiento energético no sólo depende de las características del transformador ino también del ciclo de carga. Puesto que, si la tensión es constante, la pérdida en el núcleo es casi constante la energía consumida diariamente, expresada en kilowatthoras, por las pérdidas en el núcleo es igual al producto de la pérdida en el núcleo, expresada en kilowatt por el número de horas que funciona diariamente el transformador. Sin embargo' la pérdida en la carga depende del cuadrado de la intensidad de la corriente de carga V por tanto es muc ho más difíc il su cálculo, puest o que la carga s uele fluctuar El cálculo de la energía consumida en la pérdida en la carga se estudia con detalle en el apartado 3 del capí tulo X V I . En cambio, si quisiera considerarse la curva diaria de carga como función escalonada constituida por un cierto número de períodos de carga cons tante , como se in dic a en la figura 3, los cálculos son rel ati vamente sencillos. Por ejemplo, intentemos determinar el rendimiento energético del transformador de 15 k V A del apar tad o 4 func iona ndo con el ciclo de carga represe ntado en la figura 3.
H 80 f.p/
Salida
Horas
2 4 7 11
0,70 f.p. ' 12 2
4
kW
0,80f-P-
0,80f-P
6
8
10
12
2
4
6
8
Mediodía F ia Mañana . 3. Curva de carga diaria simpli Tarde ficad a.
12 10
Salida
15 10 1
total =11 6
kWh
F. p.
30 40 35 11
0,90 0,80 0,80 0,70
kW h
IH kVA 16,67 12,5 6,25 1,43
6,94 5,20 2,60 0,595
kW 0,316 0,177 0,0443 0,0023
Pérdida total en la carga =
Pérdida en la carga kWh 0,632 0,709 0,310 0,025
1,67 6 kW h
TRA
364
NSFORMADORES
VALORES
Pérdida
1,6k8W h diariamente
tota l en la oarga =
Pérdida total en el núcleo = Pérdida
tot al =
0-400
= 0 ,0
2,02 ,70 3
Salida = 116,00 Entrada = 119,70
Luego „ , . , pérdidas , 3,70 Rendi mi ent o energético = 1 — — — = 1 — entrada 119,7 6.
TAN TOS POR
CIEN TO Y POR
, „, ,
= 0,9691
UN O
En el estudio de los aparatos de potencia es corriente expresar los valores de las intensidades y tensiones como tanto por ciento o por uno de sus valores nominales a plena carga. * El valor de la intensidad o de la tensión expresado como tanto por ciento o por uno de este valor de base se define como tanto por ciento o por uno de la intensidad o de la tensión.
NOMINALES 365
caída ohmica equivalente referida al devanado de alta tensión de este transfo es de 44,1 V a la intensidad nominal de la corriente, esta caída de tensión es"" 44,1
Puede calcularse ahora el rendimiento energético a partir de la energía de salida y de las pérdidas, de la manera siguiente:
(31)
1 84 P
°
r Un
o
'
0 se
%• ' '
a
el !
8 4
(34,
Se da más información referente a la importancia relativa de la caída óhmica dando su valor en tanto por uno o por ciento, que en volt. An ál og am en te , la s im pe da nc ia s pu ed en ex pr es ar se co nv en ie nt em en te en va lo re s porcentuales o fraccionarios. Así, el valor normal o de base de la impedancia es el número de ohm dado por la razón de la tensión normal en volt a la intensidad ñor mal en ampere, y el valor de una impedancia expresado como fracción o como tanto por ciento de la impedancia normal se define como tanto por uno o por ciento de la impedancia. Puede también decirse que el tanto por uno de caída de tensión a la intensi dad nor mal es igual al tanto por uno de la impedancia. Por ejemplo si la resistencia equivalente referida al devanado de alta tensión del transformador de 15 k V A del apar tado 4 es 7,05 ohm , la caíd a óhmica a la inte nsi dad nomi nal es: 6,25 7,05 X= 44,1 V .
(
35)
Frecuentemente, este método de expresar los valores de las intensidades y ten siones lleva consigo más información respecto a los aparatos que la expresión de las intensid ades y tensiones en ampere y vol t. Así, en el aparta do 4 se dice que la corriente de excitación de un tran sfor mado r de distribución de 15 k V A , 2 400 : 240 V tiene una intensidad de 1,70 A, medida desde el lado de baja tensión a la tensión nominal. Para determinar la importancia de esta corriente de excitación, es necesario expresar la intensidad como fracción (tanto por uno) o tanto por ciento de la intensidad nomi nal. Así, la intensidad nominal de la corriente que circula por el devanado de baja tensión es:
Luego, el tanto por uno o por ciento de resistencia viene dado por la ecuación (34) A la in te ns id ad no r ma l de la co rr ie nt e, el ta nt o po r un o de im pe da nc ia y el ta nt o por uno de caída de tensión en la. impedancia son numéricamente iguales. También la admitancia puede expresarse en tanto por uno o por ciento Así la admitancia normal es la razón de la intensidad normal en ampere a la tensión normal en volt, y se define el tanto por uno de una admitancia como la razón de su valor al valor normal. También puede decirse que el tanto por uno de intensidad resultante cuando se aplica la tensión normal a un elemento de circuito es igual al tanto por uno de su admitancia. Por ejemplo, si el valor de la admitancia de exci¬ tac ion de e ste tra nsfo rma dor de 15 k V A es 0,00708 mho med ida desde su lado de baja tensión, la intensidad de la corriente de excitación a la tensión normal es:
Luego, la intensidad de la corriente de excitación expresada como fracción de la intensidad nominal es: 1 70 = 0,0272 . 62,5
° ° ° de excitación viene dado por la ecua tr' f w ' A I ción (0-0). A la tensión normal, el tanto por uno de admitancia y el tanto por uno fcuaíes 1 e 1» a dmi tan cia son numéricamente
240 x 0,00708 = 1,70 A.
Decir que la intensidad de la corriente de excitación es el 0,0272 por uno, o el 2,72 %. da inmediatamente información referente a su importancia relativa en lo que afecta a las características del transformador. En la expresión de las tensiones en tanto por uno o por ciento se encuentran ventajas análogas. Por ejemplo, si la
61
(33)
tant
k
P
C0rr
r
U n
de
adm
iente
ita
ue
nci
con
(36)
a
duc
. y aparente pueden también expresarse en ^ > P maHnr H° i r ° , ™ » ° ° J P > ^ Pedida en el cobre de este transfor¬ mador de 15 k W A es de 276 W a la intensida d nomina l de corriente, e s: V l d e n t e m e n t e P
r
P
l a
r
real
otencia
P
r e
l a
e m
l o
s i
276 J^000 = °' 8 > ó sea 1,84 % 0 1
4
* Los valores normales o de base de las intensidades y tensiones no tienen por qué ser los valores nominales a plena carga. En el análisis de sistemas de potencia en los que interviene la e ten CÍaa se P ar en tedeba - Obsérvese que a la intensidad nominal de corriente, interconexión de un cierto número de generadores, transformadores y otras máquinas de dife e i tÍr,r 1 tanto por uno de pérdida en el cobre, el tanto por uno de caída óhmica en la resisrentes calibres, pueden elegirse valores de base convenientes cualesquiera. No obstante, cuando eneja equivalente y el tanto por uno de resistencia equivalente son numéricamente se trate de un solo aparato, tal como un transformador, conviene elegir como valores de base los valores nominales de la tensión y la intensidad a plena carga.
(37)
VALORES
TRANSFORMADORES
366
Las relaciones entre los tantos por uno y los valores absolutos en volt-ampere¬ ohm pueden resumirse de la manera siguiente: intensidad en ampere —--— -,—¡ n.° de amp ere de base tensión en volt Tanto por uno de tensión = — n.° de vo lt de baso imped anci a en ohm Ta nto por uno de imp eda nci a =-, , n.° de oh m de base (imp edan cia en ohm)(n.° de amper e de base) n.° de volt de base admitancia en mho Tanto por uno do admitancia -= ¡—-—¡ n.° de mho de base (admitancia en mho)(n.° de volt de base) n.° de ampere de base potencia en kil o watt Tanto por uno do potencia = —-——r^/r—,—,
Tanto por uno de intensidad =
H-ío)
1
W/om
1
367
2
2
.
2
1
^ WMO\
1
±.IAA\ vv">
n.° de k V A de base Una importante ventaja del sistema de unidades a tanto por uno o por ciento es que transformadores grandes y pequeños de tensiones nominales muy diferentes resultan muy parecidos cuando se expresan sus constantes como tanto por uno o por ciento de sus valores nominales tomados como base. Así, aun cuando la corriente de excitación de un tran sfo rma dor de distribución de 2 k V A , 2 400 V sea menor que 0,1 A. mientras que la corriente de excitación de un transformador de potencia de 20 000 k V A , 13 800 V es de unos 70 A, estas corrientes de excitació n, expresad as en tanto por uno o por ciento, son del mismo orden de magnitud. Así, es fácil recor dar unos cuantos tantos por uno o por ciento de algunas cantidades importantes, y dichos valores serán correctos aproximadamente tanto para aparatos grandes como-pequeños de diseño normal. Así, la corriente de excitación do un transformador cualquiera, do distribución o de potencia, para 60 Hz suele ser del 4-8 %. la pér dida en el núcleo suelo ser del 0,5-2 %, la resistencia equivalente (es decir, la pérdida en el cobre a plena carga) suele ser del 0,5-2 %, y la reactancia equivalente (os decir, caída en la reactancia a plena carga) suele ser del 3-10 %. En general, ol tanto por ciento de corriente do excitación, de pérdida en el núcleo y do resistencia, disminuye al aumentar el tamaño, y el tanto por ciento de reactancia croco con la tensión. Cuando so expresan en tanto por ciento o por uno las intensidades, tensiones, importancias y admitancias do un transformador, éste puede analizarse como de razón 1.: 1 sin el empleo de factores de reducción para referir las cantidades del primario ai secundario, o viceversa; es decir, el tanto por uno de una intensidad, tensión, impedancia o admitancia medida en un lado es también igual a su tanto por uno referido al otro lado. Por ejemplo, si la tensión inducida en el secundario es de E volt, esta tensión referida al primario es do aE„ volt, siendo a la razón de transformación NJX . No obstante, como la tensión nominal del primario es igual al producto de a por la tensión nominal del secundario, aE volt representa e l 1
NOMINALES
Por tanto, el tanto por uno de tensión del secundario es igual también a su tanto por uno referido al primario. La razón de transformación que refiere el número de espiras de un lado al otro, entra en el sistema de unidades a tanto por uno mediante los diferentes valores de las tensiones de base de primario y secundario. Análoga mente, si la corriente de secundario tiene una intensidad de i, ampere, esta inten sidad referida al primario es de I /a ampere. Ahora bien, la intensidad nominal del primario es igual al producto de l/a por la intensid ad nom inal del s ecundario. Así , pue s, I fa ampere es el mismo tanto por ciento de la intensidad nominal del primario que I lo es de la intensidad nominal del secundario, o sea, que el tanto por uno de intensidad de corriente en el secundario es también igual a su valor en tanto por uno referido al primario. Análogamente, el valor en tanto por uno de una impedancia o admitancia referida al lado del secundario es también igual a su valor en tanto por uno referido al primario. Existen otras ventajas de cálculo en el empleo de los tantos por uno o por ciento. Por ejemplo, a la intensidad nominal de la corriente, los valores a tanto por uno de la resistencia R, de la caída óhmica IR y de. la pérdida en el cobre PR son numéri camente iguales. También los tanto por uno de reactancia X, de caída en la reac tancia IX y de volt-ampere reactivos PX son numéricamente iguales. Análogamente, a la tensión nominal los tantos por uno de admitancia Y, de intensidad de corriente VY, y de los volt-ampere V Y consumidos por una admitancia, son numéricamente
1
2
2
iguales. Como los cálculos se realizan a menudo a la tensión e intensidad nominales, estas simplificaciones permiten ahorrar tiempo. Por ejemplo, consideremos la ecua ción 14 que expresa la regulación en función de las caídas de tensión en la resistencia y reactancia equivalentes, de la tensión y del factor de potencia. Obsérvese que a la tensión nominal I R jV e I X ífV son simplemente los valores a tanto por uno de las caídas en la resistencia y reactancia equivalente. Luego, cuando se expresen estas caídas en tanto por uno, la ecuación (14) se reduce a L
e a2
2
L
eq
2
Regulación = IR eos 6 + IX sen 6L + {IXea eos 8L — IRea sen dr,). L
eq
eQ
2
2
(45)
donde IR e IX son las caídas de tensión en la resistencia y reactancia equiva lentes expresadas en tanto por uno. A la intensidad nominal, estas caídas de tensión son iguales a los valores a tanto por uno de la resistencia y reactancia equivalentes. El uso de cantidades expresadas en tanto por uno introduce ciertas simplifica ciones en los cálculos de los circuitos trifásicos. * En dichos cálculos aparece frecuen temente el f acto r \' 3 en las conversi ones de cant idad es entre fase y fase o entre fase y neutro cuando se realizan los cálculos con volt y ampere. En cambio, cuando se expresan las magnitudes en tantos por uno puede suprimirse este factor. Por ejemplo, si el tanto por uno dé tensión respecto al neutro de un sistema trifásico en estrella equilibrado es 1,1 veces el normal (o a tanto por uno), la tensión entre tase y fase es también 1,1 veces la normal (o a tanto por uno). Sin embargo, el valor normal o de base de la tensión entre fase y fase es \/3 veces mayor que el valor normal de la tensión entre fase y nuetro. Es decir, el factor V3 queda absorbido por ios diferentes valores en volt de la tensión de base para las tensiones entre fase y íase y entre fase y neutro. ea
ea
2
2
mismo porcentaje de la tensión nominal del primario que
E de la del secundario 2
™ *i f j 'l ? ' expresadas a tanto por uno en problemas trifásicos se estudia en el apartado 26 del capítulo XXII. EI
n
Pl
d e oa
nt
dado s
TRANSFORMADORES
368
VALORES EJ EM PL O ILUSTRAT
IVO DE L SISTEMA
DE TANTOS POR
UNO
y»
1,27+jl,76 ohm 'T>"ööo
15,1 + 764 , ,0
0,0105 + ¿0,0445 por unidad de impedancia
" 7
1,27 + ¿1,76
2 300v
57,5
17
f
0,0221 +j0,03 06
(47)
123 2'400
=
°'
=
P
051 3
' da d de tensión
o r un
I = 1,00 por uni dad de intensidad 1,05
line a alta tensión
trans.
línea baja tensión %
\
Carga
Circuito para el ejemplo del apartado 7. a) Esquem a del circuito. equivalente basado en los tantos por uno.
0,0105 por unidad de potencia
100
0,766 +¿0,575
Como la tensión es la caída en la imped anci a a la intens idad norma l de corriente s u tanto por uno es igual al de la impedancia equivalente y además, como la potencia es la por-
(b) F io . 4.
— -0,0221 -f ¿0 ,0 30 6 por un id ad de im pe da nc ia
Convirtiendo los datos de cortocircuito del transformador en tantos por uno:
(a) 0,0105 + ¿0,0503
(4g)
y de la línea de baja tensión es
%
_ 1
0,0105 + ¿0,0445
369
impedancia de la línea de alta tensión es
Se conecta un transformador de distribución de 100 k V A , 12 000 : 2 400 V, 60 Hz a un colector monofásico de tensión VB (nominalmente 12 000 V) mediante una línea de alta tensión de impedancia 15,1 + j64 ,0 ohm, y suministra potencia 15,1+¿64,0 ohm 'TOW línea alta tensión
NOMINALES
De los datos y valores de las impedancias de base resulta que el tanto por uno d»
6) Circuito
a un a carga in duc tiv a a través de un a línea de baja tensión de impe dan cia 1,27 + j l , 7 6 ohm, en la forma indicada en la figura 4. VB necesaria para mantener 2 300 V en la Determinar la tensión del colector carga cuando por ésta circule la intensidad nominal del transformador con un factor de potencia de 0,80. Los datos obtenidos de un ensayo en cortocircuito en el que se realizaron las medidas en el lado de baja tensión, son:
dida en e l cobre a la intensidad n orma l, su ta nto por uno es igu al al de la resistencia equivalente. Luego, el tanto por uno de reactancia equivalente del transformador es^0,0513" — 0,0105« = 0,0503 por un idad de imp edanci a
Z — 0,0105 + ,7'0,0503 por unidad de im peda nc ia eq
2 300
_
„
,
,
•IR de base =
100 000
12 000 = 8,34 A
Z¡¡ de base =
12 000 8,34 1 440 ohm
x
,
,
2 400 V
100 000 lx ae base = 2 400 = 41,7 A _ , , 2 400 Zxde base 41,7 = 57,5 ohm
T
Como la corriente de carga tiene la intensidad nominal, la carga equivale a una impen ot enei«T n ™ n Í ° ° ° « factor de potencia es 0,800 inductivo, el tanto por uno de la impedancia de carga (vectorial) es: n
V de base =
H
,
(«0)
9 5 8
V de base = 12 000 V _
„
2-400 = ° '
Solución: Es te probl ema se resuelve en forma conveniente con el empleo de canti dades expresadas a tanto por uno. En consecuencia, el primer paso será expresar todas las constantes del circuito en tantos por uno de los valores nominales del transformador tomados como base. Representando con los subíndices H y X los circuitos de alta y baja tensión, respectivamente,
(49)
El tanto por uno de tensión de carga es:
V = 123 V
/ = 41,7 A P = 1,05kW .
(48)
El tanto por uno de impedancia equivalente del transformador es:
e
n
a
n
t
P
r
W
68
¡g
Ua
l
al
de
la
te
n s
i
ó
n en
la
o ar
a
C
o
m
o
el
0,958(0,800 + ¿0, 600) = 0,766 + ¿0, 575 por un ida d de im pedanc ia
.]Z°Z1
VB
l a
í P^ m
dan
7^LZ E n oor
ciade
f o* K ' ° v1 J\A * excita Avalent! . 8 ^ «lente en sene con los las t , » cuatro componentes 1
in
P
co
tensió n
68
,
i
a i
mp e
m 8 I
d an
ci
te
r
me P
n
c ante
a de
l c ir c ui
(51)
alta tensión sólo esel 0,05 por uno (ec.46) yun corriente de excitación del transformado r (no con°' ° ^P eda nc ia d e l a lí ne a d e alta excitación seria aproximadamente 0,05 x 0,05 = 0,0025 ' r o r que se introduce al despreciar la corriente de y transformador se representaré por su impedancia equialimentadores, como se indica en la figura 46 t o total vis ta desde las barras de alta tensión es la suma de dadas por las ecuaciones (46), (47), (49) y (51), y es línea
la
ns
U
id
o
ad
n
nt
61
d e
d
e
Va
la
l
r
d6
la
C
a í
d
a
en
la
e de
r tanto
e l e r
el
0,809 + ¿0,7 00 = 1,07/e por uni dad de im pedan ci a.
VALORES NOMINALES
TRANSFORMADORES
370
Como la corriente tiene la intensidad normal, este tanto por uno de impedancia es también igual al tanto por uno de tensión en barras del extremo emisor. Luego, la tensión en barras V es VB = 1,07 por unidad de tensión B
= 1,07 x 12 000, o sea,
8.
VAL ORE S NOMINALES DE
LOS
TRANSFOR
12 850 V
MADORES DE
POTENC
(52)
IA Y DE
DIS TRI
BUCIÓN
3 7
3. Lo s transformadore s de inmersión en aceite refrigerados por agua pueden car garse en forma cont inua un 1 °„ sobre l os kV A nominales por cada grado centígrado que la temperatura media diaria del medio refrigerante (agua) se halle por debajo de 25°C. 4. Xo son recomenda bles cargas continuas superiores al 1 30 % de los k V A nom i nales, aun cuando la temperatura del aire fuera inferior a 0°C, ni cargas continuas su periores al 125 % de los kV A nominales en el caso de transformadores refrigerados por agua.
Las condiciones de funcionamiento para las cuales se diseña un transformador constituyen sus valores nominales. En el caso de una transformación de potencia o de distribución, estas condicion es son la fre cuencia, tensiones eficaces de pri mar io y secundario y capacidad de potencia aparente (kVA) normales. Este último valor es al que más frecuentemente se hace referencia en el lenguaje técnico. Los valores nominales de un transformador están limitados por la temperatura que alcanzan los materiales aislantes debida al calor desprendido a causa de las pérdidas en el transformador. Los valores nominales consignados en la placa indicadora de la mayoría de tipos transformadores dan la carga que puede transportar el transfor mador en forma continua sin deteriorarse ni acortar su duración, a altitudes no supe
El efecto de la temperatura del aire que rodea al transformador, llamada técni camente temperatura ambiente, constituye un elemento importante en el funciona miento de los transformadores. En el norte de los Estados Unidos, los picos de carga en los transformadores de potencia suelen presentarse durante los meses de invierno. Es posible, entonces, aprovechar la mayor capacidad de carga de los transformadores que funcionan al aire libre y emplear transformadores menores que los que sería posible en un clima más cálido. En la época de Navidad, muchos transformadores
riores a 1máxima 000 m con aire que circule libremente en suenderredor peratura de 40°C y una temperatura media 24 horasque de tenga 30°C. una Las tem tem peraturas excesivas de los aislantes debidas a sobrecargas fuertes, srcinan el dete rioro de los aislantes y acortan la vida del transformador. * Por otra parte, si se sobrecarga un transformador durante períodos cortos, el calor específico de sus partes metálicas da lugar a una gran capacidad de absorción del calor, por lo que las sobre cargas temporales no srcinan una temperatura tan elevada de los devanados como la que se alcanzaría si la sobrecarga fuera continuada. ** La American Standard As so ci at io n ha ap ro ba do , a tí tul o de en sa yo , la s cu rv as in di ca da s en las fi gur as 5 y 6 para los multipucadores para sobrecargas de corta duración, que son aplicables a los valores nominales para carga continua de los transformadores fabricados a partir de 1939. Si el transformador funciona en aire ambiente que se halle a menos de 30°C, se permiten los siguientes incrementos de carga, de acuerdo con las nor mas A.S.A. propuestas:
de transportan cargas Simáximas extraordinarias durante algunasmayores horas cadapotencia noche durante una semana. fuera necesario instalar transformadores en todos los lugares a fin de subvenir a las necesidades que representan estas cargas máximas de Navidad tan intensas, el gasto inherente sería enormemente elevado. Desde luego, hay que instalar transformadores especiales que contribuyan a la capa cidad total, tales como para el alumbrado decorativo de las principales vías comer ciales, o para zonas residenciales en las que se instalen alumbrados navideños extra ordinariamente intensos. En muchas compañías suministradoras, se tiende a utilizar durante los cortos períodos de carga máxima, transformadores de distribución sobrecargados dentro do los límites señalados por las curvas de las figuras 5 y 6. Como ejemplo, damos el siguiente: Una compañía registra las siguientes mejoras en el uso económico de la capacidad del transformador conectado a ciertos circuitos de distribución, durante un período de tres años:
5
1. Lo s transformadore s autorrefrigerados de inmersión en aceite puede n cargarse contin uame nte un 1 % por encima de los k V A nominales por cada grado c entígrado que se halle por debajo de los 30°C la temperatura media diaria del medio refrigerante (aire). 2. Un transforma dor autorrefrigerado , de i nmersión en aceite, con refri geraci ón por aire forzado puede car garse en forma cont inua por encima de los k V A nominales co rrespondientes a la ref riger ación por aire forzado un 1 % de sus kV A nominal es corres pondientes a la autorrefrigeración por cada grado centígrado que se halle por debajo de 30°C la temperatura media diaria del medio refrigerante (aire). Por ejemplo, si el valor nominal para autorrefrigerac ión es 10 000 kV A y el correspondiente a refrigeración por * ** >
Véase el apartado 1 del capít ulo VI H . Véase el apartado 0 del capítulo VIII. Americ an Engine ering and Industrial Standards, «X" l'roposid C57: American Standard*: Transformen; Regulators, and Reactors (New York: American Standards Association. 1940), párrafo 11004 (c), pág. 87.
¡
ai re , forzado es 1 3 333 kV A, la carga continua permisible con una temperatura media dia ria de 0 °C sería 1 3 333 + (0,30 x 10 000) = 16 333 k V A con refriger ación por aire forzado. Este incremento asciende al 0,75 % de su valor nominal para refrigeración por aire forzado por cada grado centígrado que la temperatura ambiente se halle por debajo de 30°C.
Año
Capacidad del transformador de distribución, kVA
Demanda adicional de máxima potencia aparente de los circuitos que intervienen, k VA
1932 1935
74 782 70 415
41 175 47 224
de
Factor utilización
0,55 0,67
Al re al iz ar me jo ra s en la uti li zac ión de lo s tr an sf or ma do re s, lo s té cni co s de la co m pañía esperan que algunos do los transformadores se sobrecarguen suficientemente para p rod ucir fallos ocasionales.
Se cree que es más económico tener algunos
fallos
TRANSFORMADORES
372
VALORES
NOMINALES
373
" Si u
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u u « (i • i 1) i •O ¡ s •« U u •o 1 3 -tí ' O -o -o ts =c .£22 =«c = g c O O o O U o <<<
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F io . o. Sobrecargas cortas recurrentes para tra nsformadores de inmersión en aceite de más de 100 kVA, autorrefrigerados con aire a 30°C, o refrigerados por agua a 25°C. Para trans formadores de inmersión en aceite refrigerados por aire forzado, utilícese el 75 % del incremento sobre la intensidad nominal de la corriente de carga que indican estas curvas. (Una sobrecarga corta recurrente es una impuesta ocasionalmente, a intervalos no inferiores a una vez cada 24 horas, aproximadamente.
F io . 6. Sobrecargas cortas para transformadores de inmersión en aceite, de 100 kV A y menores por debajo de los 15 000 V; y para transformadores de red de 500 kVA y menores, autorrefrigerados por aire a 30"C, o por agua a 25°C. Para transformadores de inmersión en aceite refrigerados por aire forzado, empléese el 75 % del incremento sobre la intensidad nominal de la corriente de carga que indican estas curvas. (Una sobrecarga corta recurrente es una impuerta ocasional¬ mente, a intervalos no inferiores a una vez cada 24 horas, aproximadamente.
TRANSFORMADORES
374
VALORES
a causa de sobrecargas que evitarlos haciendo funcionar varios transformadores a capacidad reducida. Sobre la conveniencia de sobrecargar los transformadores existen dos consi deraciones que ejercen una influencia negativa: la regulación de tensión y el creci miento futuro de la carga. Como la caída de tensión en la impedancia de un trans por formador crece con la carga, la carga máxima permisible podrá estar limitada la caída de tensión tanto como por el calentamiento. Durante los picos de carga, Jas caídas de tensión en los conductores del secundario y en el c ableado de los edificios son máximas: luego la caída de tensión máxima simultánea en el transformador puede ser una limitación de l a calidad del servicio. Por lo que respecta al crecimiento de la carga, en la selección del transfo rmador debe considerars e cualqui er incremento de carga que pueda considerarse razonablemente cierto con una anticipación de unos dos años. Por ejemplo, en una zona en que se van adoptando rápidamente cocinas eléctricas y otros aparatos electrodomésticos, el sentido común indica que hay que instalar los transformadores con un cierto margen de capacidad a fin de poder aten der al incremento de carga previsible para un futuro próximo.
PROBL
NOMINALES
Tensión
Frecuencia Dev anado s de al ta tensión en cir cuito abierto Terminale s de baja tensión cortocircuitados
60 H z
240 V
60
57,7
Pea = 3,68 ohm
B
CC1
375 Intensidad 0,533 A
4,17
Potencia 63,3
W
142
= 0, 0428 ohm
a) Represent ar gr áficame nte el tanto por ciento de regu lación de tensión en fun ción del factor de potencia a la tensión y potencia aparente de salida nominales para valores del factor de potencia comprendidos entre 0,5 retrasada y 0,5 adelantada. b) Representa r gráfic amente el rendimiento conven cional de este transformad or a la potencia aparente de salida nominal en función del factor de potencia para las condi ciones especificadas en la parte a). 5 Un transformad or de 1 000 k V A , 60 H z, 66 000 : 11 00 0 V tiene una impedanci a equivalente de 1,0 + ¿4,9 ohm, referida al lado de baja tensión, y una pérdida en vacío de 5 500 W a la tensión nominal entre terminales. a) Cuand o funciona est e transformador a la frecuencia y tens ión nomi nal del secun
EMAS
1. De mostra r que la ecuac ión (1 4) para la regula ción a plena carga puede en la forma
Regulaci ón = - ^ í - eos (9„ —0 ) + 4" I
s e n
L
<" ~ ° 9
l )
*•
ponerse
(63)
dario, ¿a qué potencia aparente de salida presenta un máximo su rendimientoT b) ¿Cuál es el valor del rendimie nto máxim o? c) Si el transformad or suminis tra su potenci a aparente nomina l a la tensi ón no mina l a una carga de factor de potencia varia ble, ja qué factor de potencia de la carga es nula la regulación de tensión? 6. El transformador cuyos datos se consignan en el probl ema 5 funciona a la tensión nominal del secundario siguiendo un ciclo de carga representado por los siguientes valores:
donde V es la tensión entre terminales del secundario correspondiente a la intensidad nominal de la corriente con el primario cortocircuitado, V es la tensión nominal entre terminales del secundario, 6 es el ángulo del factor de potencia de la carga (considerado sc
2
L
positivo para corriente retrasada), y 6
SC
=are eos
"
, donde
P e I son, respecsc
Horas
sc
V se se 1
tivamente, la potencia de entrada y la intensidad de la corriente en la condición especi ficada de cortocircuito. 2. Dígase si es verdad que el tanto por ciento de regu lación de tensión de un trans formador es exactamente el mismo, independientemente de cual de los dos devanados sea el secundario. Probar la conclusión enunciada. 3 Un transform ador de 5 000 k V A , 60 Hz , 69 200: 19 020 V consume 14 0 00y W 3,65 A cuando funciona a la frecuencia y tensión de secundario nominales (19 020 \ ) con el primario en circuito abierto. Cuando funciona a la tensión e intensidad de comente de primario nominales con el secundario cortocircuitado, el transformador consume 32 000 k V A a 5 220 V. o) Calcul ar el tanto por ciento de regulac ión de tensi ón de este transformado r pa ra una carga inductiva de 4 600 kW a la tensión nominal del secundario y factor de poten cia 0,91. 6) Calcu lar el rendimie nto del transforma dor cuando suministra la carga indicada en a). Desprecíense las variaciones con la temperatura de la pérdida en la carga. 4
Lo s siguientes
datos se obtuvie ron ensayando a
tribució n de 10 k V A , 60 Hz , 2 400 : 240 V.
25°C un transformador de
dis
1 2 1 5 15
Tanto por ciento Factor de carga en k VA de potencia 125 100 50 12 0
0,80 0,84 0,90 0,98 —
a) ¿Cuál es el rendimi ento energéti co del transformador? 6) ¿Cuál sería el rend imie nto energético si la resist encia equ ivale nte fuese al 150 % del valor dado en el problema 5? 7. La demanda medi a de carga para un periodo de 24 horas de un transformad or monofásic o de 500 k V A, 60 H z, 11 000 : 2 300 V es la indicada en la f igura 7. Cuando se ensaya el transformador en circuito abierto con una tensión de 2 300 V aplicada al secun dario a la frecuencia nomi nal, la potencia de e ntrada es de 2 960 W. Cuando se ensaya en cortocircuito aplicando al primario 345 V a la frecuencia nominal, la potencia de entrada es de 3 370 W y la intensidad de la corriente de 45,5 A. Determinar el rendimiento energético del transformador, suponiendo que la tensión del secundario se mantiene a su valor nominal.
.176
VALORES
TRANSFORMADORES
8. Un transform ador de 1/ 2 kV A, 60 Hz , 220 : 110 V tien e una resistencia de pri mario de 0,970 ohm, u na induct anci a de fuga del primari o de 12,8 mH y una intensid ad de la corriente de excitación a tensión normal del 0,100 por uno a un factor de potenc ia de 0,100. El primario es el devanado de tensión más elevada. Un ensayo con el primario cortocircuitado da una potencia de 0,02 por uno a 11 V con una intensidad de corriente del 100 %. o) Mientr as el transformador funciona bajo una carga indu ctiv a desconocida, la tensión, intensidad y potencia del primario son, respectivamente, 200 V, 3 A y 500 W. Hallar la tensión en terminales, intensidad de corriente del secundario y el factor de po tencia de la carga. b) Ha lla r la regulaci ón a plena carga, factor de potenci a unidad y tensi ón nominal del secundario. c) Ha lla r el rendimien to para la s condiciones (6). de Factor de potencia 0,75
iJATOS
EN
NOMINALES CORTOCIRCUITO
Traiisfor mador N.° 1 Frecuencia Tensión en terminales pri mario Intensidad de la corriente Potencia de entrada
Transformador N.° •>
60 H z
60 H z
0,060 1,0 0,010
0,054 1,0 0,012
Todos los valores excepto el de la frecuencia están dados en tanto por uno. La base para todo valor en tanto por uno es el valor nominal correspondiente del transformador. a) De term inar el tanto por ciento de regulac ión de tens ión en la carga.
6) En tre los puntos a y 6 se conecta otra línea de distribución que transporta una carga constante de 60 k V A con factor de potencia unid ad. D eter minar el tanto por ciento de variación de la tensión entre o 6y correspondiente a una variación de la carge srcinal desde ce ro hasta 80 k V A. L a tensión de la subcentra l se mant iene constante a un valor que da 230 V en la carga srcinal cuando ésta es de 60 kV A. 10. La pérdida en el núc leo a la tensió n y frecuencia nominales del transformador numero 1 del problema 9 es del 0,011 por uno; la del transformador número 2 es del 0,009 por uno. Las bases para los valores unitarios son los kV.\ nominales ríe los trans formadores. Para la tabla de carga indicada a continuación, determinar el rendimiento energético del sistema de distribución del problema 9 a.
12 13 F ia . 7.
Curva carga-demanda, problema
9. Un a subcentra l suministra potencia a una carga indu ctiv a a través de una lí nea de distribución corta terminada en cada extremo por transformadores en la forma indicada en la figura 8. L a carga consume 80 k V A a un factor de potencia de 0.90 y 230 V, y la línea
«— Línea—»
Horas 9 : 00-12 00 12 00-14 00 14 00-16 00 16 00-17 : 00 17 00- 9 : 00
Carga, k VA
Factor de potencia
90 50 90 20
0,9 0,9 0,9 0,95
—
—
bupongase que se regula la tensión de la subcentral para mantener en la carga la tensión nominal y que las pérdidas en el núcleo de los transformadores son proporcionales a los cuadrados de sus tensiones de secundario. Supóngase que los transformadores funcionan continuamente, y que la carga es despreciable desde las 17 : 00 a las 9 : 00 del día siguiente
1 F io . 8.
6 2 Circuito de distribuci ón, problema 8.
tiene una impedan cia de 0,20 + ¿0, 36 ohm. E l transformad or número 1 es d e 150 kV A, 60 Hz y 13 800 : 2 300 V. El transforma dor número 2 es de 100 kV A , 60 Hz y 2 300 : 230 V. Ensayos convencionales en cortocircuito de los transformadores dan los datos siguientes:
C A P IT
U L O
AUTOTRANSFORMADORES
XV
} J 9
de los devanados serie y común, respectivamente y están en concordancia de fase en los sentidos positivos indicados en la figura 1, de donde, F
Aut otr an sfo rma dor es y de las ecuaciones (3), (4) y Un transformador ordinario de dos circuitos cuyos devanados 1 y 2 se conecten autotransformador. en serie, tal como se indica en la figura 1, recibe el nombre de El devanado 1 suele llamarse devanado serie y el devanado 2 devanado común. Los autotransformadores pueden utilizarse para transformar potencia disponible a una tensión VH en potencia a una tensión inferior Vx, o al revés. Aun cuando el análisis de este capítulo se realiza en la hipótesis de que el transformador entrega potencia al lado de baja tensión, las conclusiones son independientes del sentido en que se transmita la potencia.
1.
RELA CION ES
DE TENSIONES
I V L
F
(5), < N
i
,
i \
N
i +
N
E -.
(6)
A
La raz ón de tra nsforma ción entr e los circuitos de alt a y baja tens ión es E/ r / E * y difiere solamente de la razón entre las tensiones terminales en los efectos de las pequeñas caídas de tensión en las impedancias de fuga; es decir,
Vx ~ E * -
N
2
'
( 7 )
También puede verse en la figura 1 que la corriente 1 en el circuito de alta ten sión es la corriente Ij en el devanado serie y que la corriente 1* en el circuito de baja tensión es la suma vectorial de la corriente I en el devanado serie más la H
Y CORRIENTES
En la figura 1 puede verse que la tensión V* en el lado de baja tensión es la ten sión entre terminales V¡¡ del devanado común y que la tensión V del lado de alta tensión es la suma vectorial de las tensiones en los terminales de los devanados serie v común; es decir V* = V ^(1) ^(2) V = V, + V,. 2
t
corriente I¿ en el devanado común; es d°cir, = Ii
•(» )
ÍH
I , = Ij + i .
•O)
L
2
H
Las tensiones Vj y V
difieren de las tensiones inducidas por el flujo resultante en el núcleo, tan sólo en las caídas de tensión relativamente pequeñas que se producen en las reactancias de fuga de los devana dos. Como las tensiones inducidas Ej y E¡¡ están en concordancia de fase, las tensiones entre terminales V y V también están casi en fase y la suma vectorial de las tensiones en los devanados expresada en la ecuación (2) resulta casi igual, en módulo, a la suma de los módulos. La tensión inducida E* que aparece en el circuito de baja tensión es la tensión inducida E en Fi o. 1. Conexione s de un autotransformador el devanado común, y la tensión E# que aparece en el circuito de alta tensión es la combinación serie de las tensiones indu cidas en los dos devanados; así, 2
t
2
2
E* = E E/f = E j + E .
(3) (4)
2
2
Las tensiones inducidas E
x
y E¡¡ son proporcionales a los números de espiras 378
N y A r
2
Si se desprecia la corriente de excitación, las corrientes que circulan por los deva nados crean fuerzas magnetomotrices iguales y opuestas; de donde la relación entre las corrientes directamente opuestas I e I¿ que circulan por los devanados es: x
A J i x Nl.
(10)
2 L
Las corrientes que circulan por los devanados se hallan casi en concordancia de fase, por lo que su suma vectorial de la ecuación (9) es, en módulo, casi igual a la suma de los módulos. De las ecuaciones (8), (9) y (10), la relación entre las corrientes que circulan por los circuitos exteriores es, muy aproximadamente,
o sea, IH
lx
A
r
1
A + N
(1?) 2
• Desde el punt o de vista de la estruct ura, la únic a diferencia entre un transformador y un transformador ordinario de dos circuitos estriba en que el deva nado serie del autotransformador debe estar aislado para una tensión igual a la tensión a tierra del circuito de alta tensión —tensión mayor que la inducida en el devanado mismo—. En todos los demás aspectos, un autotransformador no es más
auto-
380
TRA
AUTOTRANSFORMADORES
NSFORMADORES
11 500 x 52,2 IOOO
Las características sobresalientes de los autotransformadores pueden deducirse fácilmente comparando los valores nominales, pérdidas, corriente de excitación y características de impedancia de un transformador de dos circuitos cuando se conectan como autotransformador, con las características correspondientes cuando se conecta como transformador ordinario de dos circuitos.
2 . VALORES
mien to en tre el d evan ado de 2 300 V y tie rra . Si la tensión entre terminales del devanado de 11 500 V tiene su valor nominal, la tensión entre term inal es del devan ado de 2 300 V tendrá un valor muy próximo al suyo nominal, ya que las 11500 V g 70 A caídas de tensión en las impedancias de fuga suelen ser muy pequeñas. Como las tensiones en los devanados están casi en concordancia de F io . 2. Transformador con devana fase, la tensión en el circuito de alta tensión es dos do 2 30 0 V y 11 500 V conectados muy aproximadamente igual a la suma de las oom o autot ransformador de 13 800 : tensiones en los devanados, o sea, 13 800 V. Por 11 500 V. tanto, cuando este transformador se conecte como autotransformador, podrá servir para interconectar dos circuitos cuyas ten siones nominales sean 13 800 V y 11 500 V. La intensidad nominal de la corriente que circula por el devanado de 2 300 V es: 52,2 A
13800 V
100 000 = 43,5A. 2 300
(13)
Si circula esta corriente por el devanado serie y es despreciable la corriente de exci tación, !a corrie nte que circ ula po r el devan ado c omún tendrá su int ens ida d nominal de (14)
Como las corrientes directamente opuestas que circulan por los devanados están I de la corriente que circula por el circasi en concordancia de fase, la intensidad X
n n
60
,
0 KV
, -
A
<> 15
13 800 X 43,5 = 600 k V A . 1 000
Consideremos un transformador cuyos valores nominales como transformador ord inar io de dos circ uito s sean 10 0 kV A , 11 500 : 2 300 V. Si conectamo s sus dev a nados en la forma indicada en la figura 2, este 43,5 A transformador podrá utilizarse como autotrans formador con tal que haya suficiente aisla
100 000 = 8,70 A. 11 500
„
=
Si se desprecian las caídas de tensión en las impedancias de fuga y la corriente de excitación, la potencia aparente de salida será igual también a la de entrada proce dente del circuito de alta tensión, o sea,
NOMINALES
2300 Vj
381
cuito exterior de baja tensión es casi igual a la suma aritmética de las intensidades de las corrientes que circulan por los devanados serie y común, o sea, 52,2 A. Si el transformador suministra potencia al circuito de baja tensión, la potencia aparente de salida es:
que un transformador ordinario de dos devanados conectados de manera que queden en serie. El comportamiento interno del autotransformador no es diferente del transformador ordinario de dos circuitos, pero a causa del método de conexión las relaciones entre las tensiones y las corrientes en los circuitos exteriores y las que circulan por los devanados son las dadas en las ecuaciones (1), (2), (8) y (9).^
(16)
• Este transformador, cuya potencia nominal como transformador de dos cir cuitos es só lo de 10 0 kV A , es, por tanto , capaz de transfo rmar 600 k V A conec tado como autotransformador. ^ En un transformador ordinario de dos circuitos, toda la potencia entregada en los terminales de baja tensión se transmite por inducción electromagnética desde el lado de alta tensión al de baja. El autotransformador posee la importante pro piedad de que sólo una parte de la potencia se transmite por inducción electromag nética. En este ejemplo, el único cambio que se pide al transformador es una reduc ción de tensión de 2 300 V y un incremento de intensidad de 8,70 A. La reducción de tensión es la fracción 13 800
= I
(17) '
6
v
de la tensión de entrada, o en general la fracción E,
_ E
E + E<¿
- E
H
X
( 1 8 )
EH
X
E E son las tensiones nominales de de la tensión del lado de alta tensión, donde los devanados y EH, EX las tensi ones nominales de los circuitos exteriores. Cuando son despreciables las caídas de tensión en las impedancias de fuga, estas tensiones nominales son iguales a las tensiones inducidas. En general, si las intensidades y tensiones tienen sus valores correspondientes a plena carga, la potencia aparente nominal del devanado serie es: V
2
EJ = (E — E )I , X
H
X
(19)
K
que es también ia potencia aparente nom inal de l devanado común. Est e es el valor nominal del transformador cuando se utiliza como transformador ordinario de dos circuitos. E h cambio, el valor nominal como autotransformador es EHIH- Luego estos dos valores nominales dan la razón, Va lo r n om in al como autotransformador Va lo r no mi na l com o tr an sf or ma do r d e 2 ci rc ui to s
EH
EH — E
kwo m X
AUTOTRANSFORMADORES
TRANSFORMADORES
382
383
formador de dos circuitos puede ser importante cuando EH/EX sea inferior a 2, si bien estas ventajas del autotransformador no son tan significativas para valores mayores de la razón de transformación EH/E .
En este ejemplo, el valor nominal como autotransformador es:
X
13 800— 11500
'
1
veces el valor nominal como transformador de dos circuitos. Es decir, este dispo sitivo, cuya potencia nominal como transformador de dos circuitos es solamente de 100 k V A , tiene una potencia de 600 k V A cuando se conecta como autotransfor mador y es por tanto equivalent e a un transfo rmador de dos circuitos de 600 k V A . Evidentemente, el autotransformador es menor y cuesta menos que el transformador de dos circ uito s de 600 kV A . Lo s tamaños rela tivo s de las partes, el peso y el costo de un autotransformador comparados con los de un transformador de dos circuitos (E — E )/E . para la misma aplicación dependen de la razón H
3 . PÉRDIDAS
X
4.
CORR IENT E DE EXCITACIÓN
La corriente de excitación tiene menos importancia cuando el transformador funciona como autotransformador que cuando lo hace como transformador de dos circuitos. Si las tensiones de los devanados tienen su valores nominales a carga nula, el flujo en el núcleo tiene su valor nominal y los ampere-espira totales en vacío son
H
Y RENDIMIENTO
Por otra parte, el rendimiento es más elevado cuando se realiza la conexión de autotran sformado r. Por ejemplo, si el rendimie nto del transfo rmador de 10 0 k V A a plena carga con factor de potencia unidad es 0,9825 cuando se conecta como trans formador de dos circuitos, sus pérdidas son: 0,0r75_^100 0,9825
=
Cuando se conecta como autotransformador, sus pérdidas a plena carga siguen siendo 1,78 k W , pero estas pérdidas son ahora solam ente 1 78
601,78
0,00296
(23) E H — Ex Via.3.
de la potencia de entrada. En consecuencia, su rendimiento a plena carga con factor de potencia unidad como autotransformador es 0,99704. ¡Casi perfecto! En general, el cociente entre el tanto por ciento o por uno de pérdidas de un transformador dado conectado como autotransformador y sus pérdidas como transformador ordinario de dos circuitos es el recíproco del cociente entre las potencias nominales para estas dos conexiones. Así, pues, por la ecuación (20).
EH
•(24)
. E n la figura 3 puede verse la variación de {EH — EX)\EH con el cociente EH/E Así, pue s, cu an do la raz ón de tra nsf orm aci ón EH/EX entre los circuitos de alta y baja (E — EX)/EH que puede tensión es inferior a 2 : 1, la variación unitaria de tensión dar el transformador es menor que / . Po r tant o, el ahorro de tamaño y costo y el aumento del rendimiento cuando se utiliza un autotransformador en vez de un transX
H
1
2
E
en funciónde la razón de tensiones H
de los circuitosEH/EX-
Pérdidas a plena carga en % del valor nominal del autotransformador Pérdidas a plena carga en % del valor nominal del transformador de 2 circuitos EH — Ex
Variaciónunitaria de tensión
los mismos tanto si el transformador está conectado como autotransformador como si lo está como transformador ordinario de dos circuitos. La corriente de excitación varía inversamente con el número de espiras por las que circula la corriente de exci tación. Como las tensiones nominales son proporcionales a los números de espiras, los volt-ampere de excitación a la tensión normal son los mismos tanto si el transfor mador está conectado como autotransformador como si lo está como transformador ordinario de dos circuitos. Por ejemplo, si los volt-ampere de excitación del trans formador de 100 k V A de la figura 2 funcionando como transfor mador de dos cir cuitos son el 3 %, o sea 3 k V A sus volt -amp ere de excitación conectado como auto tran sfo rmad or siguen siendo 3 kV A . No obst ante, esto no es más que el 0,5 % de su potencia nomina l de 600 k V A que tiene funcionando como auto transform ador. En general, se deduce de la ecuación (20) que,
I en % como autotransformador l en % como transformador de dos circuitos v
v
EHEx — EH
^ _
384
AUTOTRANSFORMADORES
TRANSFORMADORES
Esta relación es aplicable a un transformador dado conectado como autotransformador o como trans forma dor de dos circuit os. Es sólo a proxi madame nte la razón de la corriente de excitación de un autotransformador a la de un transformador de dos circuitos diferentes pero de igual valor nominal, ya que el porcentaje de la co rriente de excitación en los diseños normales varía algo con el tamaño. El despreciar la corriente de excitación en un transformador ordinario de dos circuitos suele introducir un error pequeño, excepto en el análisis de problemas relacionados directamente con los fenómenos de excitación, especialmente de aque llos en los que interviene el comportamiento de los armónicos. Como, por lo general, la corriente de excitación de un autotransformador es muy débil, el despreciarla introduce un error aún menor.
5.
CIRCUITOS
EQUIVA
LENT ES Y FENÓMEN
385
de la figura 5. Los circuitos equivalentes son útiles para la determinación del compor tamiento externo de los autotransformadores como elementos de circuito. Interiormente, el autotransformador es exactamente igual que un transforma dor ordinario de dos circuitos, y por tanto, pueden deducirse circuitos equivalentes de la teoría de los transformadores de dos circuitos. En el estudio que sigue, dare mos esta otra manera de deducción a fin de poner de manifiesto las relaciones entre el autotransformador y el transformador ordinario de dos circuitos.
OS DE IMPEDANCIA
Si se desprecia la no lincalidad de las características de excitación, el autotrans formador puede representarse por uno de los circuitos de la figura 4. Según el teorema de Thévenin, el autotransformador visto desde sus terminales de baja tensión
(a) F io . 5.
ideal
ideal
(b)
Circuitos equivalentes aproximados de un autotransfor mador
Si se desprecia la corriente de excitación, la relación entre las tensiones termi nales V y V de los devanados se puede escribir en función de las corrientes que cir culan por ellos, de la impedancia equivalente entre devanados y de la razón de transformación. Así, pues, como en la teoría del transformador de dos circuitos, x
2
V ^ I j Z ^ + i v
F io . 4.
1
Circuitos equivalentes «exactos» dp un autotransformador
E equivale a una fuerza electromotr iz igual a la tensión en circuito abierto medida entre los terminales de baja tensión, en serie con la impedancia Z medida entre los terminales de baja tensión con los terminales de alta cortocircuitados, como en la parte de la derecha del transformador ideal de la figura 4a. Si la razón de transforma ción del transfor mador ideal es V # / E , la tensión en sus termi nales de alta es igual a la alta tensión V del autotransformador real. Esta razón (N + N )/N , de tensiones en circuito abierto es muy aproximadamente igual a donde N y A son los números de espiras de los devanados serie y común, respec tivame nte. Puede demostrarse que si se conecta entre los terminale s de alta del autotransformador ideal la admitancia en circuito abierto Y ¡ medida desde el lado de alta tensión del transformador real, el circuito de la figura 4a es un circuito equivalente «exacto» del autotransformador tanto para el lado do alta tensiórí como para el de baja. Evidentemente, si se realizan las medidas en circuito abierto en el lado de baja tensión y las medidas en cortocircuito desde el lado de alta tensión, tambié n el circu ito de la figura 46 s erá un circui to equiv alente «exacto» del autotransformador. Cuando se desprecia la corriente de excitación, los circuitos equiva lentes «exactos» de la figura 4 se reducen a los circuitos equivalentes aproximados
ocX
SCX
2
1
±
T
2
OCL
2
2
(26)
2
eQ
2
V i + V = I ^ i +V , . 2
N
l
o c W
H
*
donde (N IN )V es la tensión entre los terminales del devanado común, referida al devanado serie. Excepto a los efectos de la corriente de excitación, la impedancia equivalente Z i es igua l a la imped anci a en corto circu ito, medi da entre los ter mi nales del devanado serie con el devanado común cortocircuitado, como en la teoría del transformador de dos circuitos. Sumando V a ambos miembros de la ecuación (26), n
N
*
(27)
•"2
En esta ecuación V + V es i gual a la tensión V# entre los termina les de alt a ten sión cuando se conecta el transformador como autotransformador (véase Fig. 1), I es la corriente Ly que circula por el circuito de alta tensión, y V es la tensión V* entre los terminales de baja. Así, la ecuación que relaciona las tensiones entre los terminales externos de un autotransformador puede escribirse en la forma, X
2
t
8
VH = IHZ
C 41
+
i ™
5
- Vjr .
(28)
•"2
Esta ecuación para el transformador, es también aplicable al circuito equivalente de la figura 56, consistente en una impedancia Z i en serie con un autotransfor mador ideal. Si la corriente de excitación es despreciable, la relación entre las coea
AUTOTRANSFORMADORES
TRANSFORMADORES
386
mentes que circulan por los circuitos de alta y baja tensión del autotransformador es, en virtud de la ecuación (12),
I„ =
J
A
Iv,
N + N
H
x
2
(29)
'
x
como en el autotransformador ideal de la figura 56. Por tanto, el circuito equiva lente de la figura 56, representa correctamente al autotransformador. L a ecuación (29) pone de manifiesto que la impedancia equivalente Z H del autotransformador, referida a su lado de alta tensión, es la misma que la impe dancia equivalente 7, \ referida al devanado serie cuando el transformador fun ciona como transformador ordinario de dos circuitos; es decir, EQ
ea
=
ZeqH
Z
% de caída en la impedancia a plena carga en autotransformador % de caída en la impedancia a plena carga en transformador de 2 circuitos
tos
En — En
(30)
i.
f 4
autotr ansfor mador de 600 k V A (como en la Fig . 2), la tensi ón nomina l en el lado de alt a tensión es de 13 800 V. La caída de tensión en la imp eda nci a equi vale nte referida al lado de alta tensión, sigue siendo de 138 V, pero ahora no representa más que un 1 % de la alta tensión nominal. En general, la caída en la impedancia a plena carga expresada como tanto por ciento de la tensión nominal cuando se conecta el transformador como autotransformador está relacionada con su caída en la impedancia (expresada en tanto por ciento), cuando está conectada como transformador de dos circuitos por la razón
•(34)
Ex Esta impedancia puede determinarse midiendo la impedancia entre los terminales del devanado serie con el devanado común cortocircuitado, como en el ensayo de un transformador ordinario de dos circuitos. También puede determinarse cortocir¬ cuitando los terminales de baja tensión del autotransformador y aplicando una tensión reducida a los terminales de alta. Debido al cortocircuito, la tensión queda
Como la regulación de tensión es muy aproximadamente proporcional al tanto por ciento de impedancia, para la regulación de tensión a plena carga y a un fac tor de potencia especificado, será aproximadamente válida una expresión del tipo de la ecuación 34. Es decir,
aplicada la misma directamente impedancia. al devanado serie, por lo que en estos dos ensayos se mide A vec es pue de obt ene rse un ci rc ui to eq ui va le nt e más co nv en ie nt e, re fi ri end o la impedancia equivalente al circuito de baja tensión. Multiplicando la ecuación 28 po r N ¡{N + N ), el resultado puede expresarse en la forma, 2
1
2
N
2
„
x+*r
N, + N v
"-^r
2
.J
t
N
2
y
* t * , + *.)* ~
1
+ v
-
1311
= lxZeqX + Vx,
() 32
Regulación como autotransform ador Regulación como transformador de 2 circuitos
En — Ex EH
^(35)
Como la intensidad de la corriente de cortocircuito cuando se mantiene en el primario su tensión nominal es inversamente proporcional a la impedancia en cor tocircuito, la intensidad de la corriente de cortocircuito en un autotransformador es mayor que cuando se conecta el mismo dispositivo como transformador de dos circuitos. El cociente entre las intensidades de las corrientes de cortocircuito es:
donde
b^r)"*-
1
En la ecuación 32, Z es la impedancia equivalente eaX
ri da a su lado de baj a tensión, y
* " .. V
-" 1
133
del autotransformador refe
V es la tensión entre terminales del lado H
+ ^2
de alta tensión referida al lado de baja. La ecuación 32 puede representarse me diante un transformador ideal en serie con la impedancia en serie Z x, como en Z puede medirse mediante la figura 5a. L a impedancia equivalente un ensayo en cortoci rcuito, con corto circu itada y una tensi ón reduci da aplic ada a los ter minales de baja tensión. Consideremos de nuevo el transformador de dos circuitos de 100 UVA, 11 ;>00 : 2 300 V del aparta do 2. Sup ongamos que cuando funciona como transf ormador de dos circuitos, su caída de tensión en la impedancia equivalente, a la intensidad nominal a plena carga, es el 6 % de su tensión nominal. Es decir, su caída de ten sión en la imped anci a equivalente I i ^ i referida al devanado de 2 300 V es 138 V, ea
e¡¡x
f 9
cuando fj tiene su intensidad nominal. Cuando el transformador funciona como
Intensidad de ce. como autotransformador Intensidad de ce. como transformador de 2 circuitos
EH EH — Ex
W. •(36)
Cuand o se uti liz a como trans formad or ordinario de d os circuitos el de 100 k V A , 11 500 : 2 300 V, su ta nto por uno de imped ancia equivalent e es 0,06 y la intens idad de la corriente de cortocircuito a la tensión nominal es 1/0,06, o sea 16,7 veces mayor que la intensidad de la corriente a plena carga. De la ecuación 36 resulta que cuando se conecta como autotransformador de 13 800 : 11 500 V, la intensidad de su corriente de cortocircuito a la tensión nominal es 6 X 16,7, o sea 100 veces mayor que la intensidad normal de la corriente. Esto tiene mucha importancia, porque las fuerzas destructoras en un cortocircuito son proporcionales al cuadrado de la intensidad de la corriente de cortocircuito. Principalmente por esto, el empleo de los autotransformadores se limita a aplicaciones en las que el circuito del pri mario contenga una impedancia suficiente para limitar la corriente de cortocircuito a una intensidad mucho menor que la que se obtendría si durante el cortocircuito se mantuviera constante la tensión entre los terminales del primario. Obsérvese que las ecuaciones (34), (35) y (36) son aplicables al mismo transfor-
TRANSFORMADORES
388
AUTOTRANSFORMADORES
mador conectado como autotransformador o como transformador de dos circuitos. No son aplicables a ur¡ autotransformador y a otro transformador de dos circuitos
389
2. Lo s ensayos clási cos en cortocircui to y en circuito abierto realizados sobr e u transformad or de dos de vanados de 100 kV A, 60 H z , 4 400 : 2 200 V dan lo s datos si guientes:
de igual potencia nominal.
ENSAYO EN CORTOCIRCUITO; DEVANADO DE ALTA TENSIÓN EXCITADO 6.
CONCLUSIONES
Puede ahora verse que un autotransformador diseñado económicamente, tiene alguna o todas las ventajas siguientes sobre un transformador ordinario de dos circuitos de igual potencia nominal:
60 H z
1. 2.
ransform ador tiene las
228 V
Frecuencia
Tensión
60 H z
desventajas siguientes:
Potencia
22,8 A
1 300 W
Intensidad
2 200 V
1,08 A
Potencia 525 W
Si se conecta este transformador como autotransformador 6 600 : 4 400 V: a) ¿Cuál será su potenc ia nominal ? b) ¿Qué tanto por ciento de la tensió n nominal hay que aplicar a los terminale de 6 600 V para mantener la tensión nominal del secu ndario en un a carga de 250 k V A co factor de potencia 0,85 inductivo? cj ¿Cuál serí a su rendimie nto funcionand o en las condiciones b) ? 3. Un autotran sformado r de 25 kV A, 6 0 Hz , 660 : 220 V, al excitar su lado de alt tensión con 27,6 V estando cortocircuitados sus terminales de baja tensión, consume l corriente nomi nal del prim ario con una pot encia de entrad a de 320 W. S u pérdi da en e núcleo a la tensión nominal es de 360 W. a) Si se utili za el transform ador para alimen tar una carga indu ctiv a de 220 V 25 k V A y factor de potenci a 0,90, determi nar su tanto por ciento de re gulaci ón y su ren dimiento. b) Si se volv iera a conectar el transforma dor de mane ra que sus tensiones nominale fueran 660 : 440 V, ¿cuál s ería su potencia aparente nomi nal y su regulac ión y rendimie nt cuando se alimenta la carga nominal con el factor de potencia especificado ena) ?
Corrientes de cortocircui to más intensas, Conexión con duc tiv a entre los circu itos de baja y alt a tensión
Desde luego, estas características se hallan sujetas a grandes variaciones en el diseño. Por ejemplo, se puede diseñar un autotransformador y un transformador ordinario de dos circuitos que tengan iguales sus potencias nominales y sus ren dimientos. En dicho diseño, el autotransformador es menor y cuesta menos que el transformador de dos circuitos. Por otra parte, también se puede diseñar un autotransformador y un transformador de dos circuitos de potencias y costos igua les. En dicho diseño, el autotransformador tiene mayor rendimiento. Será econó mico aquel diseño en el que se logre un equilibrio entre el costo y otras cargas fijas por un lado y las pérdidas y otros gastos de funcionamiento por otro. Dicho diseño económico constituye un compromiso en el que el autotransformador cuesta algo menos que el transformador de dos circuitos y tiene un rendimiento algo mayor. ^ La convenie ncia de las car acterí sticas del autot rans form ador depende del co ciente entre las tensiones de los circuitos y poco se gana cuando este cociente E ¡E tiene un. valor gra nde .^ H
PROBL
Intensidad
ENSAYO EN CIRCUITO ABIERTO; DEVANADO DE BAJA TENSIÓN EXCITADO
1. Men or tamaño , 2. Costo más bajo, 3. Mayo r rendimiento, 4. Men or corrien te de excitación, 5. Mej or regulación de tensión. Por otra parte, el autot
Tensión
Frecuencia
a
X
b
EMAS
1. Se quiere utiliz ar un autotransforma dor par a alime ntar una carga de 1 80 A a 150 V desde una línea de 220 V. Si puede considerarse ideal el transformador:
a) ¡Cuál debe ser la razón entre los números de espiras de los dev anad os serie y com ún? b) ¿Cuál será la intensidad de la corriente extraída del generador de 220 V? c) ¿Qué tanto por ciento de la potenc ia sumini strada a la carga circula cond ucti vam ente? d) ¿Cuále s deber ían ser la tensión y potencia aparente nominales del transformador si se utilizara como transformador ordinario de dos devanados?
c Fi o. 6.
Conexio nes de un autotransformador, problema 6
4. En la figura 6 puede verse un esquema de un autotran sformado r de 10 k V be y se aplica a los ab un 440 : 220 V, 60 Hz . Cuand o se cortocircuit an los terminales tensión de 19,2 V, 60 H z , por lo s devanados circul a una corriente igual a la de plena carga En estas condiciones, la potencia consumida es de 176 W. Cuando a uno u otro par de ter
390
TRANSFORMADORES
CA
mínales se aplica su tensión nominal a 60 Hz manteniendo el otro par en circuito abierto, la potencia consumida es de 142 W. a) Apli cand o a los terminales ac 440 V a 60 Hz con los terminales be cortocircuitados, ¿qué tanto por ciento de la intensidad de la corriente a plena carga circula rá por cada devanado? b) Si desde los terminales be se alimenta la carga nominal con un factor de potencia 0,75 a la tensión nominal, determinar el rendimiento y el tanto por ciento de regulación. c) Si se utiliz a el autotransformador como transformado r regular de 220 V 60 Hz con razón de tr ansforma ción unidad y se apl ica al primari o una tensión de 220 V, 60 H z, teniendo cortocircuitado el secundario, ¿qué tanto por ciento de la intensidad de la co rriente a plena carga circulará por cada devanado? ún se indica en d) Si so conecta el transformador como transformador regular, seg el apartado c) y desde los terminales de su secundario se alime nta una carga de 5 k V A a un factor de potencia de 0,75 y tensión nominal, determinar su rendimiento y el tanto por ciento de su regulación. 5. Se alime nta el autotransfo rmador del probl ema 2 por medio de una lín ea de im pedancia 6 + jlO ohm desde una fase de un gran banco trifásico de transformadores. La tensión entre terminales del secundario del banco trifásico es de 6 720 V y se puede con siderar constante. Si se produce un fallo en el secundario del autotransformador, ocasionando un corto circuito, hallar: a) La intensidad de la corriente en el fallo, y
b)
Las intensidades
de l as corrientes en cada devanado del autotransformad
or.
PI
TU
LO
XV
I
Economía en las aplicaciones de los transformadores de sistemas de potencia La posesión y funcionamiento de un sistema eléctrico de potencia cualquiera lleva consigo gastos de dos tipos: fijos, que son inherentes a la propiedad y que existen tanto si se utiliza el equipo como si no; y de funcionamiento, los cuales están relacionados con la forma de empleo. Ambos tipos dependen de los métodos de diseño y producción empleados por el fabricante del equipo. Aun cuando los transforma dores tiene n, de por sí, un gran rendi mie nto y por tant o los gastos de su func io namiento son relativamente reducidos, servirán para ilustrar los principios generales de costo que son co munes a todos los tipos de aparatos eléctricos. Re su lt an evident es las pequeñas diferencias de detalles tales como los gastos por rozamiento y pérdidas por viento creado en el movimiento de las máquinas giratorias y las pérdidas por arco que se encuentran en los dispositivos electrónicos. En general, existen tres puntos de vista diferentes que son importantes en relación con los gastos del transformador: los del fabricante del transform ador, los de la compañía suminis trador a del fluido eléctrico y los del industrial que utiliza los transformadores. El fabricante del transformador se enfrenta con varios problemas económicos importantes. Primeramente, debe procurar mantener los costos de fabricación lo más bajos posible compatible con la buena candad que se espera de su producto. La necesidad de reducción de los costos de fabricación ha conducido frecuentemente a mejoras físicas verdaderas en los transformadores; por ejemplo, de ello han resultado importantes reducciones de tamaño y peso en los transformadores de corriente para alta tensión, indicadas en la figura 10 del capítulo X. El fabricante debe estar enterado de los cambios generales de las características de las cargas de los transformadores, porque las tendencias de las cargas guardan una importante relación económica con las características de pérdidas convenientes para el transformador. Por último, el fabricante debe construir transformadores de manera que su registro de servicio resulte satisfactorio a los usuarios, tendiendo así a ampbar el mercado de su producto. Los mayores usuarios de transformadores para instrumentos y de potencia son las compañías suministradoras de fluido eléctrico, cuyas necesidades dictan en gran manera el progreso de desarrollo en las características de funcionamiento de los transformadores y en sus accesorios. El rápido crecimiento en el suministro de ener gía eléctrica por parte de las centrales desde 1910 hasta 1940 ha hecho conveniente transmitir la potencia a grandes distancias desde lugares en los que resulta barata su generación hasta los centros de utilización. La transmisión de potencia a larga dist ancia sólo es económica cuando la tensión de funcion amiento es m uy elevada; por eso las compañías suministradoras piden a los fabricantes transformadores de tensiones nominales cada vez más elevadas. La extensión del servicio eléctrico a zonas rurales ha exigido que los transformadores de distribución para líneas eléc tricas rurales tengan el precio de venta más bajo posible y también ha hecho que se 391
ECONOMtA
TRANSFORMADORES
392
mejoraran notablemente los métodos de protección de los transformadores contra los rayos. Los ferrocarriles y los usuarios industriales de la electricidad están interesados vitalmente en la aplicación económica de los transformadores. Casi todas las empresas industriales consumen grandes cantidades de energía eléctrica y suelen utilizar uno o más bancos de transformadores para reducir la tensión suministrada por la compañía hasta el valor de utilización en la fábrica. Cuando el usuario industrial posee estos transformadores reductores, la energía que se le vende es la medida en sus lados de alta tensión. Por ellos, el costo de las pérdidas en el transformador es importante para el usuario, ya que estas pérdidas se hallan incluidas en la energía medida que se le vende y por tanto ocasionan una carga que hay que pagar como gasto de funcionamiento definido. Si la instalación industrial tiene su propio equipo generador, los costos de capital y generador necesarios para subvenir a las pérdidas en el transformador son un elemento de los costos globales en los gastos de produc ción que hay que reducir a un mínimo. Pueden realizarse interesantes estudios de inversión relativos al método de ins talar los transformadores. ¿Puede comprarse un transformador normal para ser colocado al aire libre, o deberá colocarse en el interior de un edificio, en un recinto a prue ba de incen dio? ¿Puede comprars e un tran sfo rmad or especial que conten ga un líqu ido aislante no combust ible ni explos ivo, p ara ser montado en el int erior de un edificio? ¿Deberá colocarse el trans form ador pa ra exterior es sobre el suelo en un recinto vallado, o deberá colocarse montado sobre uno o más postes? ¿Deberán comprarse los cambiadores de tomas, pararrayos, interruptores de aceite, fusibles, interruptores de desconexión, equipos de medida, transformadores de instrumentos, ventiladores y demás dispositivos auxiliares formando una unidad única alojada ju nt o co n el tr an sf or ma do r (com o se ve en la fig ura 28 de l cap ítu lo X I ) , o deb en instal arse sep aradame nte por el usuario? Como banc o trifásico , ¿se utilizar án tres transformadores monofásicos o un sólo transformador trifásico? No solamente importan al técnico estas cuestiones de instalación; también le interesan los costos relativos de funcionamiento de diversos transformadores adecuados. El menor costo de funcionamiento que puede lograrse en una instalación cualquiera de trans formadores depende principalmente del ciclo de carga impuesto al banco de trans formadores. Por tanto, será necesario conocer las características probables de carga para preparar una estimación de los costos de funcionamiento. Las estimaciones de los costos de instalación y funcionamiento de los distintos planes de instalación junto con las consideraciones de seguridad, conveniencia y aspecto, dictan la decisión siem pre que quiera erigi rse una subcentral trans formadora nueva. En los apartados siguientes se tratan los elementos esenciales de la econjmía de un transformador, como guía para la resolución de problemas prácticos de transformadores.
ELE ME NT OS DE
LOS
COST OS DE TRANSFORMAD
ORES
La consideración de los costos detallados de fabricación de un transformador es un problema especializado que se sale del ámbito de un texto de principios funda mentales. Sin embargo, es posible bosquejar y discutir los elementos generales del costo que intervienen en el' empleo de los transformadores. Un transformado r pro-
SISTEMAS
DE
POTENCIA
3
utilización) 1. Dire cto s (costos de las pérdidas inte rnas del trans form ador) a. Costo de la pérdida en el núcleo (prácticamente constante) b. Costo de la pérdida en la carga (prop orcio nal al cuadrado de la int ens id de la corriente) c. Costo de la energía cons umid a por el equipo auxi li ar de refrigera ción d. Costo del agua de refrigera ción 2. Indi rect os (aumento de costo de las pérdidas en circ uito s exteriore s srci na por el transformador y gastos de mantenimiento) a. Pérdida adi cio nal en el cobre del circu ito y del generado r que ali men ta transformador, resultante de la corriente de excitación y pérdidas del transformado b. Par te de las pérdidas en el regul ador de tensión del alim enta dor necesar para mantener constante la tensión de salida del transformador. c. Gastos de mante nimie nto a. Comproba ción periódica del aceite b. Fil tra do o cambio del aceite c. Reparaciones d. Comprobació n periódica de la carga e. Sustitución del gas inert e y de los producto s químicos desoxi dante 2.
1.
EN
piedad de una compañía suministradora de fluido eléctrico puede tener gastos los tipos indicados a continuación: A. Cos to s fi jo s (suj eto s a la cuan tía de la inve rsi ón) 1. Dire ctos (derivados del costo de instalación del tra nsfo rmad or y de s disp osit ivos asociados de mand o y protección) * a. Interés b. Impuestos c. Seguro d. Depreciación e. Administración 2, Indi rect os (costo s fijos en otras partes de la fábrica, ocasionados por el tra n formador. a. Aum en to de los costos fijos en otras partes de la fábrica, resultant es d tamaño adicional de la fábrica debido a las pérdidas del transformador y la corrien de excitación. b. Par te de las cargas fijas sobre regulado res de tensión del alim ent ado r o co densadores necesarios pa ra compe nsar la caíd a de tensión en la impe dan cia d transformador. B. Costos de funcionam iento (variables, dependientes de las c ondiciones
COSTOS
DIRECTOS
FIJOS
Como norma general, los costos directos fijos asociados a la propiedad y funci namiento )de un transformad or superan a los costos de funcionamiento. Los cost directos fijos tipo 1 anuales suelen considerarse proporcionales al costo inicial de * Obsérv ese que e l costo deinstalación in cluye gastos asignados a instalación la del tran formador de los gastos globales generales de la compañía propietaria del transformador, incl yendo gastos de adm inistración, gastos de cálculo y los gastos globales directos de instalaci descritos en el apartado 2.
TRA
394
NSFORMADORES
ECONOMÍA
instalación del transformador. El costo de instalación incluye, además del material, trabajo y bienes raíces, un cierto número de costos globales asociados a la instalación. Estos se refieren a vigilacia de la construcción, ingemería, herramientas, interés durante la construcción, compensación de los empleados y seguros, y otros capítulos menos importantes. Los réditos anuales a cargar en concepto de interés, impuestos y seguros varían tanto con las condiciones locales y normas de la compañía que creemos preferible no presentar aquí tantos por ciento definidos a emplear en los estudios de costos, sino más bien sugerir que se investigue cada caso como problema individual. Por ejemplo, en las localidades en que los transformadores son clasificados por asesores como propiedad personal exenta de impuestos la compañía propietaria de un trans formador no paga impuestos por él, aun cuando se paguen impuestos sobre bienes raíces por la estructura que rodea a la subcentral; mientras que si se monta el trans formador sobre un poste, hay que pagar por el poste soportante. Muchas compañías no aseguran los transformadores a menos que estén colocados en edificios y prefieren considerar un fallo ocasional como parte de la base general para réditos de deprecia ción. No pueden evitarse las cargas por interés, ya que, aun cuando se disponga de fondos para comprar e instalar un transformador sin necesidad de préstamos, el dinero gastado en el transformador y en su instalación podría, haberse invertido de otra manera que produjera interés. La valoración de la depreciación varía mucho en compañías diferentes y en diver sos tipos de industrias. Los riesgos de trabajo son mayores en las industrias de fabricación que en las compañías suministradoras de fluido; por eso los fabricantes suelen amortizar la inversión en equipo, incluidos los transformadores, más rápida mente que las compañías suministradoras. Si queda anticuado un proceso de fabri cación que precise la utilización de un transformador, el valor de rescate de éste estará determinado por el precio en el mercado de los transformadores usados. Por otra parte, una compañía suministradora puede trasladar fácilmente los trans formadores de un lugar a otro, manteniendo en servicio activo la mayoría de los mismos. Por tanto, una compañía suministradora del fluido eléctrico puede esperar que el tanto por uno de depreciación de los transformadores esté determinado por la duración media en servicio más que por caer en desuso. Los transformadores tienen, por término medio, una vida útil bastante larga, aun cuando un transformador puede fallar ocasionalmente al cabo de un corto tiempo de servicio, a causa de una sobrecarga excesiva, un rayo u otras causas. En un sistema en el que se emplee un gran número de transformadores, mantenidos en forma adecuada y comprobadas periódicamente sus condiciones de carga, puede esperarse, sin exageración, una vida media de unos 25 años . Existe, por tanto, un comercio activo de transformadores usados y las administraciones de las industrias adqu iere n frecuen tement e equipos usados con el fin de -educir las cargas fijas inme diatas. Para obtener una seguridad razonable de una duración en servicio satisfac torio, con una reducción correspondiente en las cargas fijas, el comprador de un transformador usado deberá obtener una garantía conveniente del vendedor del transformador, o deberá exigir la condición de una inspección minuciosa de los devanad os y del. aceite aisl ante. 1
R. WINFBEY, «StatisticafAnalyses of Industrial Property Retirem ents», Iowa State Collf geEngineering Experiment Station Bulletin 125 (diciembre, 1935). 1
EN
SISTEMAS
DE
POTENCIA
39
Una parte de los gastos generales de administración de una compañía se carg anualmente como carga fija a todo el capital de la compañía, incluidos los trans formadores. Los gastos de administración incluyen una parte de los salarios de admi nistración, gastos de cálculo del capital fijo, gastos de registros técnicos, costos legales salarios y gastos del departamento de impuestos y seguros, y otros costos similares 3.
COSTOS
DIRECTOS
DE FUNCIONA
MIENTO
Los costos de funcionamiento de un transformador son funciones directas de l manera en que se utilice dicho transformador. Exceptuando una parte de los gasto de manten imien to, los costos de funcionamiento cesan en el momento en que s quita de servicio el transformador. Si el transformador está refrigerado por un equip exterior, tal como ventiladores o circulación de agua, el costo de funcionamient de dicho equipo es un costo directo de funcionamiento. La mayoría de los trans formadores se hallan accionados continuamente a una tensión aproximadament igual a la nominal, por lo que siempre hay pérdida en el núcleo. Si un transformado se halla accionado continuamente, su pérdida de energía debida a la pérdida en e núcleo, expresada en kilowatthora por año, es: Pérdida anua l de ener gía en el núcleo = (pérdida en el núcleo en k W )
X
8 760 k W • d
Por o tra part e, las pérdidas en la carga son proporcionales al cuadrado de la intensida de la corriente de carga (cuando es despreciable la corriente de excitación), y son má difíciles de calcular que la pérdida en el núcleo. Las pérdidas en la carga incluye la pérdida calorífica en los devanados del transformador y las pérdidas parásita en la carga que se producen en las partes de hierro, las cuales resultan de las condi ciones de carga, seg ún se estudia en el apartado 26 del capítulo X I V . Pa ra estar d acuerdo con el léxico comunmente empleado, de ahora en adelante con la expresió pérdida en el cobre significaremos la pérdida en la carga, que incluye tanto las pérdida por efecto Joule en los devanados como las pérdidas parásitas. La pérdida en e cobre correspondiente a la corriente a plena carga puede emplearse para determina la pérdida anual de energía resultante de las pérdidas variables en el cobre, utili zando un método que se describirá en párrafos posteriores. Ciertos términos que se utilizan aquí solamente para los transformadores, son d aplicación general a todos los aparatos de potencia eléctrica utilizados en el servici Demanda es la carga de un sistem y resultan esenciales para el estudio del método. o dispositivo eléctrico promediado para un intervalo de tiempo determinado. La unidades comunes para la medida de la demanda son kilowatt, kilovoltampere kilovoltampere reactivos o kilovar. El concepto de demanda es muy importante e el sumini stro de poten cia. Como la mag nit ud de las c argas suele variar frecuentement entre amplios límites, incluso en un tiempo de pocos segundos, será poco important el empleo de valores momentáneos * de la carga máxima para la determinación de la capacidad de transporte de corriente necesaria de los aparatos de potencia, si bie * Est e término momentáneo que introducimos, significa el valor que señalaría un instru mento de medida normal, en oposició n con el valor instantáneo que indicaría un instrument oscilográfico.
TRANSFORMADORES
396
ECONOMIA
los picos momentáneos son importantes a causa de su efecto sobre la regulación de tensi ón No obstante, el valor medio de la carga tomado en un interva lo de tiempo adecuado, tal como 15 minutos, 30 minutos o una hora, constituye una medida de los requisitos de transporte de corriente del equipo de potencia. Teóricamente, el valor eficaz de la carga durante un tiempo determinado es una medida mas precis a del calor generado por las pérdidas que la c arga m edi a, p ero en la pr ác tica se usa el valor medio para determinar la demanda porque el valor medio durante varios minutos se puede medir con dispositivos de medida más sencillos que los reque ridos para medir el valor eficaz durante dicho intervalo. Si se determina la demanda para cada uno de los intervalos de una sene de inter valos de demanda básicos consecutivos (p. e. 24 intervalos consecutivos de una hora dura nte -un día), la demanda eficaz para el período total transcurrido corres pondiente es el valor eficaz de las demandas de los intervalos básicos para dicho período Intro ducimo s aquí el térm ino demanda efic az por su uti lid ad en el calculo de la energía consumida por las pérdidas en el cobre de un transformador. Supon gamos que las demandas de una hora consignadas a continuación representan la carga de un transformador durante un período de 24 horas:
Demanda
EN
180
1
1 1
160
p
70 k V A
5
100 k V A
5
140 £
•'
2
X 8) + (50*
X 6) + (70» X5) + (lu b^+ 6) ]
= 61, 4 k VA . La demanda máxima de un sistema o dispositivo eléctrico es la mayor de todas las demandas que se han producido durante un tiempo determinado. La demanda máxima se utüiza para determinar la responsabilidad de una carga individual cual quiera que contribuye a la carga del sistema total, y también para determinar los valores eficaces del equipo necesario para alimentar una carga dada. Factor de carga de un sistema o dispositivo eléctrico es el cociente entre la carga media y la carga máxima durante un tiempo determinado, estando medidas las cargas media y máxima en las mismas unidades. El término factor de carga se emplea mucho como medida de la constancia de una carga. Si la carga se mantiene constante durante el intervalo de tiempo en cuestión, tiene un factor de carga del 100 /„. Ordinariamente, el factor de carga se mide para intervalos de tiempo de un día, mes o año. El factor de carga no da idea alguna de en cuánto está cargado un dispo sitivo que tenga determinados valores nominales; así, por ejemplo, un transformador puede funcionar con un factor de carga del 100 % y estar cargado solamente con el 70 % de su potencia n omin al.
formador
¡/
1
• r
1
-
\
ii
120
a E 2 100 o
/
J
A
La demanda eficaz para este período de 24 horas es: Dem and a eficaz = V W O
POTENCIA
y 1
B
8 6
DE
¡
Mencia nominal del trans
Número de horas
10 k V A 50 k V A
SISTEMAS
En el ejemplo que damos a continuación puede verse el significado físico de diversos términos definidos anteriormente. En la figura 1, las curvas A y B re p sentan las características de dos cargas diferentes, medidas en kilovoltampe durante 24 horas. El área bajo la curva A es de 1 910 k V A h ; el área bajo la cruv a es de 2 230 k V A h . Si se toma de una hora el interv alo de demanda , el ár ea bajo u curva para una hora, dividida por 1, da la demanda de una hora para dicha ho
'0
(2)
4
Fi o. 1.
1
/
6
8
10
12 Tiempo
14
16
20
22
24
Dos curvas de carg a que ilustran la diferencia entre el factor de carga y la razón de demanda eficaz.
( > 3
Por ejemplo, el área bajo la curva B de 6 a 7 de la tar de es de 124 k V A h , con que la demanda durant e dicha hora es de 12 4 kV A . Como ejemplo de un inter va de demanda de 15 minutos, el área bajo la curva A entre las 7 y las 7 : 15 es 8,75 k V A h . La demanda de 15 minutos será , pues, 8,75/0,25, ó sea 35 kV A . La manda máxima para un intervalo de una hora es, para la curva A, 167 k VA ; pa la B, 125 k V A . Los factores de carga son: 1 910/24 ( Factor de carga, curva A = — 167 ^ — x 100 = 47,7 % Factor de carga, curva
B —
2 230/24 125
X 100 = 74,3 %
La carga B es más constante que la A y por ello tiene mayor factor de carga. S embargo, el factor de carga indica, no la verdadera carga transportada por el tran formador, sino simplemente la mayor o menor constancia de esta carga. La deman eficaz, calculada de la manera indicada en la ecuación (2) y por intervalos básic
(
TRANSFORMADORES
3 9 8
ECONOMÍA EN SISTEMAS DE POTENCIA
de una hora es, para la curva A, 92,0 k V A ; para la B, 95,6 k V A . La ra zón de la demanda eficaz diaria a la potencia nominal del transformador es: Demanda eficaz diaria, curva A _ 92,0 Poten cia nomi nal del trans formad or 150 Demanda eficaz diaria, curva B_ Potenc ia nomi nal del transf ormador
=
95,6 150 =
Por definición do valor eficaz, la intensidad eficaz anual de la corriente carga /„ es:
1/ ] f ' 18760./. **> 8 760
^
= Q g l 4
7
C 3 Q8
(7
de donde,
)
8 760
W
,
del transf ormador, . = pérdida en el cobre conocida en kilowatt a la comento nominal de plena carga, p = pérdida momentánea en el cobre en kilowatt, t = tiempo en horas, i = int ens ida d momentánea de la corrient e de carga en ampero eficaces, I = intensidad nominal a plena carga en ampere eficaces, I =int ens ida d eficaz de la corriente de carga en ampere to mad a para un tiempo de un año, tal como se define en la ecuación (10), A = I„/I„. Las intensidades i, I„ e /„ están referidas al mismo lado del transformador, o bien se expresan todas en tanto por uno. La pérdida momentánea en el cobre p, que es propo rciona l al cuadrad o de a intensidad momentánea de la corriente de carga, puedo expresarse en función de la pérdida en el cobre conocida a piona carga y de la intensidad conocida de la comente a plena carga; así:
P
cu
n
a
p
8 760
pdt = --™
donde 8 760 es el número de horas de un año.
o
?.rfí,
a
2
P = cu
8
760PP
c t t
.
Demanda máxima en kV A Potenci a nominal del transfo rmador en k V A
/'8 7G0
|
W = 8 760 J A J
La ecuación (12) determina la pérdida anual de energía resultante de las pérd en el cobro del transformador. Si se empleara 'a curva de carga anual de la corrie momentánea, el cálculo riguroso de la intensidad eficaz anual I de la corriente carga sería muy engorroso y puedo simplificarse de la manera siguiente. C ya so ha definido, X es la razón do la intensidad eficaz anual a la intensidad a pl carga de la corriente; no obstante, suponiendo constante la tensión do salida transformador, 1 os análogamente la raz ón de la dema nda eficaz anual en k V A la carga a la potencia nomi nal a plena carga en k V A del transformado r. La dema efica z anua l en k V A necesaria para halla r / puede determinarse fáci lmen te a pa de un sistema de curvas de carga tomadas para algunos días representativos año, por el método de la ecuación (2). El costo del servicio eléctrico depende no sólo de los costos de funcionamien sino también de los gastos fijos. En consecuencia, las tasas eléctricas incluyen, general, una carga de energía para cubrir los costos de funcionamiento y una ca de demanda, basada en la demanda máxima, para cubrir los gastos fijos. Co las pérdidas srcinan por sí mismas una demanda, el costo do las pérdidas del tra formador incluyen un costo de demanda además del costo de energía. La dema máxima debida al cobre es: Demanda máxima de pérdida en el cobre =
La pérdida total anual en el cobre os:
/
Sustituyendo la ecuación (11) en la (9), se tiene:
a
= pérdida anual de energía en kilowatthora debida a las pérdidas en el cobre
a
di = 8 760 II.
¿2
Esta comparación ilustra el hecho de que no existe ninguna relación general entre el factor de carga y la razón de la demanda eficaz a la potencia nominal del trans formador Est o debe comprenderse bien, pues existen caso s en la liter atur a técn ica en los que ambos términos se usan, incorrectamente desde luego, dándoles el mismo signifi cado El término facto r de carga tendrá poca aplicación en las cuestiones que se tratarán a continuación y sólo lo hemos presentado para poner bien de manifiesto esta distin ción. , Para determinar una expresión de la pérdida anual de energía resultante de las pérdidas en el cobre del transformador, sean:
3
(9)
Obsérve se que ésta noes la intensi dad instantánea. Véase nota de l pie de la página 395.
La suma do las energías on la pérdida en el núcleo y en la pérdida en el cobre det minan el costo total resultante de las pérdidas del transformador. Análogamen la suma do la demanda máxima debida a la pérdida on el núcleo más la debida a pérdida on el cobro determinan el costo total do la demanda resultante de las p didas del transformador. Si el transformador usa potencia medida, estos dos cos so establecen por el tanto pagado por el servicio eléctrico marcado en el contad si el transformador lo utiliza una compañía suministradora, frecuentemente se to como costo do la energía el costo real do generación do la electricidad en la instalac de potencia, cifra que os probable so halle comprendida entre 0,10 centavos de dó y 0,75 centavo do dólar por kilowatthora. Cada compañía suministradora cono
(
TRANSFORMADORES
400
ECONOMÍA
por experiencia, el coste fijo anual medio por kilovoltampere de demanda que so aplica a cada distrito servido por la compañía; este costo unitario se emplea como carga de demanda anual para las pérdidas. Las condiciones existentes en los Estados Unidos pueden representarse por una carga anual do demanda de 15,00 S por kilo voltampere de demanda.
EN
SISTEMAS
EJE MP LO : COMPARACIÓN DE
TRANSFORM
ADORES
USADOS
Y NUEV OS
Un a empresa indust rial consume potencia sumin istrad a por un sistema t rifá sico de 2 400 V. Una ampliación de la fábrica exige la instalación de un banco de trans formadores de 1 50 kV A para reduc ir la tensión a 2 4 0 V para la distribución trifá sica en el nuevo edificio. La empresa será propietaria y se encargará del funciona miento de los transformadores. Se tienen en consideración los dos siguientes tipos de instalación para los transformadores: Pla n A: Tres transfo rmadores monofásicos usados trece años, de 5 0 k V A cada uno. Plan 13: Un transformador trifásico nuevo de 1 50 kVA
POTENCIA
Plan A
Plan B
(transformadores usados) Precio de entrega del banco de trans formadores
4.
DE
Los costos de instalación para ambos planes son los siguientes:
(transformador
375,00$
1 030,00 $
Precio de instalación del contratista* Gastos de instalación, al 15 %
400,00
375,00
116,00
211,00
Costo total de la instalación Va lo r de sa lv am en to al fi na l de la du ra ción prevista
891,00 8
Costo inicial de la instalación menos el valor de salvamento
1 616,00$
50,00
150,00
841,00 8
1 466,00 $
* El precio del contratista incluye el suministro e instalac rrayos, tierras y conexiones, necesarios.
En uno "y otro plan , la carga tr ansp ort ada por el banco de transf ormado res es tá representada por las curvas de demanda diaria de la figura 2. Estas curvas presentan las demandas horarias en kilovoltampere en épocas del año características y para cargas en días en que la fábrica no trabaja. La tasa pagada para electricidad, medida en los terminales de entrada del banco de transformadores, es:
Io Hi
ión de lo s cortacircuitos, p
1 4 0
12 0
i—
<
Gastos de demanda mensual
Gasto
energético
£>
- g
C U H 80
Primeros 10 k V A de demand a máxima 1,80 S por kV A Siguientes 40 k V A de dem anda máxi ma 1,3 0 >> » De man da adicio nal en exceso sobre 50 k V A 0,90 » »
-
u
-a „ 60 e o
Mu
mensual
E B 40
Primero s 1 000 kW h Siguientes 4 000 kW h Energía adicional, en exceso sobre 5 000 kWh
0,03 S por kW h 0,02 » » 0,01
»
20
Los datos de pérdida para ambos planes son los siguientes:
Plan A (transformadores Pérdida en el núcleo en watt Cada transform ador Par a el banco Pérdida en el cobre a plena carga en watt Cada transformador Par a el banco
Sábados . Domingo s y fest ivos Plan
usados)
18
Tiempo Dias laborables,Ab ril a Septiembre. Días laborables,Octubre a Marzo -
»
B
(transformad or
230 690
480
630 1 890
1 700
F io . 2.
20
222*
1
.—.—
Curvas de demanda de la instala ción industri al estudiada en el apartado 4.
nuevo)
La inversión en los transformadores usados se amortiza en tres años, pero p el nuevo puede esperarse un tiempo de depreciación de diez años. Hay que apli el método lineal para el cálculo de la depreciación; es decir, el gasto o carga an de depreciación es: Depreciación anual =
costo de instalación menos valor de salvamento duración prevista
(
TRANSFORMADORES
402
ECONOMIA
L as tasas anuales pa ra gastos fijos distintos de la depreciació n son: Interés de la inversión 6 % Impuestos 2 % Seguro 1.5 % Administración % Gasto fijo anual tot al, excl uida la depreciación 12,5 % 3
SISTEMAS
Demanda eficaz anual = V V ^ K " = 74, 5kV A. 1
El suministrador de los transformadores usados conviene en limpiar y secar los devanados y el tanque y poner aceite nuevo antes de entregar los transformadores, incluyendo estos servicios en el precio de venta citado. También ofrece una garantía de un año contra defectos, la cual conviene al futuro comprador.
Cálculo de las pérdidas anuales en la carga: La pérdida de energía anual debida a las pérdidas en la carga del transformado r está determinad a por la ecuación (12), que vol ve mos a escribir: W = 8 760A»P , (15) donde, W = pérdida energética anual debida a pérdidas en la carga, en kuowattho ra I a la intensidad nominal a plena % = razón de la intensidad eficaz anual carga de la corriente, P = pérdida en el cobre en kilowatt a la intensidad nominal a plena carga a
EN
DE
POTENCIA
403
Los valores em pl eados en las ecuaciones (1618) se han tom ado de las gráficas de la figura 2. Por ejemplo, los domingos se tiene una carga de 10 kVA durante 9 horas y de 20 kVA durante 15 horas. A continuación se deter mina la deman da eficaz anual a partir de los valores eficaces diarios dados por las ecuaciones (16-18); así: 7
X
11
7
) + C . " X 7 7
3
1 2 4
) + (100,5x 124)] 2
(19)
A tensión constant e, ^_ = 0,246.
demanda eficaz anual en k V A potencia nominal del transformador
_
74,5 _ Q ^gg 150
X>
(21 )
Mediante la ecuación (15), puede determinarse ahora la energía anual consumida en las pérdidas en la carga. Para los tres transformadores monofásicos del plan A,
W =8 760(0,246 )(1,89)= 4 070 kWh por año. a
(22 )
ell
Para el transformador trifásico del plan B,
a
W =8 760(0,24 6)(1,70)= 3 660 kWh por año.
a
cu
de la corriente. X es la misma para las demandas de kV A que Si se supone constante la tensión, la razón para las de corrientes. Para determinar A, debe calcularse la demanda eficaz anual. Durante 117 días la instalación del transformador está cargada en la forma que indican las líneas de trazo y punto de la figura 2. Estos 117 días incluyen 52 sábados, 52 domingos, 8 fiestas y 5 días de cierre por inventario. De los restantes 248 días del año, 124 corres ponden a las líneas de trazo continuo que representan las condiciones desde abril a sep tiembre, y 124 corresponden a las líneas de trazos que indican las condiciones existentes entre octubre y marzo. Es evidente que, en la práctica, no existe una distinción tan tajante pero las condiciones medias representadas en estos gráficos de carga son sufi cientemente buenas para nuestros fines. dios únicos representativos: Primeramente se calculan las demandas eficaces para Domingos, etc.. Demanda eficaz = VV ML UO » X
9) + (20x 15)] a
= 17 kVA.
() 16
Días laborables de abril a septiembre, Demanda efi caz = V ^ t ^ O * X 9) + (50« x 4) + (70 » x 3) + (12 0« x 8)] = 77,3 kVA. (> 17
Dfas laborables de octubre a marzo, Demanda eficaz = V/ [( 3 0» x 9) + (90« x 6) + (140» X 8) + (170* x = 100,5 kVA. 1
í4
1)] (18)
a
(23)
Cálculo de las pérdidas anuales en el núcleo: La energía W consumida en pérdidas en el núcleo es, según la ecuación (1): c
Para el plan A,
W= 8 760(0,69 ) = 6 050 kWh por año.
(24)
W =8 760(0,48 ) = 4 210 kWh por año.
(25 )
c
Para el plan B, c
Cálculo de la demanda resultante de las pérdidas: La demanda adicional ocasionada por las pérdidas del transformador depende de la carga de pico, la cual es 120/150, ó sea el 80 % del valor nominal durante seis meses, y 170/150, ó sea el 113 % del valor nominal durante seis meses cada año. Para simplificar, supongamos que el factor de potencia correspondiente al pico de carga es del 90 % ó mejor, con lo que la demanda kW resul tante de las pérdida s se suma casi aritméticamen te a la demanda de k V A de la carga . Tabulamos a continuación el efecto de las pérdidas sobre la demanda: Plan A Plan B (transformadores usados) (transformador nuevo) Demanda máxima adicional debida a pérdidasenelcobre.abril-septiembre (0,80)» x 1,89= 21 1, kW (0,80)"x 1,70= 1,09kW Demanda máxima adicional debida a pérdidasen el cobre, octubre-m arzo (1,13)» X 1,89 = 2,40 kW (1,13)« X 1,70=2,18 kW Demanda máxima adicional media de bid a a pérdidas en el cobre 1,80 kW 1,64 kW Demanda máxima adicional debida a pérdidas en el núcleo 0,69 kW 0,48 kW Demanda máxima adicional media de bida a las pérdidas totales del trans formador 2,49 kW 2,12 kW
404
TRANSFORMADORES
ECONOMÍA
Comparación de los costos finales: En cada m es del año, la dem anda m áxim a de la carga es superior a 50 kVA, con lo que, a fines de comparación entre los dos planes, se carga el efecto de las pérdidas del transformador sobre la demanda en el conce pto' de 0,90 $ de los gastos de demanda. De la gráfica de carga para el intervalo de tiempo entre abril y septiembre, el consumo de kilovoltamperehora para dicho intervalo resulta ser R20 x 9) + (50 x 4) + (70 X 3) + (120 x 8)], o sea, 1 550 k V Ah po r día labora ble. Es evidente que, con cualquier valor práctico del factor de potencia, el consumo mensual de energía por parte de la carga será bastante mayor que 5000 kWh. Luego, el costo total de las pérdidas del transformador se cargará en el concepto de tasa de energía de 1 centavo por kWh. Pueden ahora compararse los costos anuales de ambos planes, según se hace en la siguiente tabl a: ' Plan A pum B (transformadores usados) (transformador nuevo) Inve rsión 891,00$ 1616,00$ Costos anuales Dep reciación (ec. 14) 280,30$ 146,00 $ Otros gastos fijos al 12,5 % del costo de instalación 111,40 202 00 Gasto de demanda debido a pérdidas a 0,90$ po r kVA (1 2 x 0,90 x kW de dem anda debida a pérdidas) 26,90 22 90 Gastos de energía debido a pérdidas en el cobre a 0,01 $ por kWh 40,70 36 60 Gasto de energía debido a pérdidas en el núcleo 60,50 42,10 Mantenimiento, estimado 50,00 3000
5.
COSTOS
EN
SISTEMAS
DE
POTENCIA
405
INDIRECTOS
Junto a los costos fijos y de funcionamiento cargables a él directamente, el transformador srcina aumentos en los costos fijos y de funcionamiento del circuito que acciona. Los costos fijos indirectos resultantes de un transformador son menos evidentes y relativamente menos importantes que los costos fijos directos estudiados en el apartado 2. Las pérdidas de energía en un transformador constituyen una energía que debe ser suministrada por un generador y transmitida mediante otros trans formadores, reguladores de tensión de alimentadores, conductores delínea, inte rrup tores y otros dispositivos de circuitos. El equipo generador y transmisor debe, pues, tener un tamaño adecuado para transportar, no sólo la carga útil, sino también la carga resultante de las pérdidas del transformador. El equipo generador y trans misor también debe suministrar la componente reactiva de la corriente de excitación del transformador y, a los factores de potencia corrientes de las cargas comerciales, la corriente de excitación incrementa la carga enkilovoltampere del sistema.En casos individuales, estas consideraciones pueden parecer triviales, pero las magnitudes que intervienen en la carga adicional de un sistema grande son verdaderamente importantes. Por ejemplo, en 1935 una compañía suministradora utilizaba trans formadores de distribución que tenían una potencia nominal adicional de 70 415 kVA sobre circuitos de distribución que tenían una carga de pico adicional de 47 224 kVA. Si se supone que durante el pico del sistema los transformadores funcionaban con un rendimiento medio del 97 %, las estaciones generadoras tenían que desarrollar 2
alrededor de 1 400 kWdel solamen para a las pérdi en los transforma dores, sobre independientemente efectotede lasproveer pérdidas y de lasdas corrientes de excitación los circuitos existentes entre los generadores y los transformadores. La inversión en la planta reservada para generar estos 1 400 kW representa gastos fijos del tipo consignado como costos fijos indirectos, artículo A2a del apartado 1. Los costos fijos indirectos adicionales son los resultantes de la regulación de tensión del transformador. En los sistemas de las compañías suministradoras, los cambiadores de tomas o los reguladores de tensión de los alimentadores varían la anualescontra ellos seránentonce s de 569,8 0 $ menos 280,3 0 $, o sea de 28 9,50 $ . tensión de entrada a la línea de transmisión o alimentador para compensar aproxi Así, si la duración de servicio de los transformadores usados se extendiera más allá madamente la caída de tensión total en el sistema entre el generador y la carga *. de su vida prevista de tres años, el transformador nuevo costaría más de propiedad y funcionamiento que los transformadores usados, porque los gastos de depreciación Si el regulador de tensión del alimentador eleva en un 10 % la tensión a plena carga, y si la caída de tensión a través de los transformadores de distribución es de un 1,5 %, contra el transformador nuevo persistirán durante siete años más. El exceso del entonces el 15 % de los gastos fijos del regulador se cargarán a los transformadores costo anual del plan B sobre el plan A durante estos siete años restantes es de servidos por el alimentador conectado al regulador. Este tipo de gasto fijo indirecto 480,20 $ me nos 289 ,50 $, o sea190,70 $. Si la posición de ca pital de la empresa es está indicado como artículo A26 en el apartado 1. sólida, el costo superior de propiedad del transformador nueve, tomado para un Además de ocasionar gastos fijos adicionales, la carga adicional producida por período de diez años, se justificaría probablemente por la mayor seguridad que ofrece. las pérdidas internas y la corriente de excitación de un transformador srcina nuevas En cambio, si la posición de capital de la empresa fuese insegura, con lo que el factor guía sería el desembolso inmediato mínimo, probablemente se elegirían los pérdidas en el circuito que suministra la energía. El costo de estas nuevas pérdidas es un gasto indirecto de funcionamiento que se carga al transformador y está con transformadores usados en la esperanza de que su utilidad de servicio se prolongara signado en el artículo B2a del apartado 1. Estas pérdidas exteriores dependen del a más de tres años. Es interesante ver que la diferencia entre los costos anuales de las pérdidas de ambos planes, resultante de un mayor rendimiento de la unidad C. H. LEWIS y E. H. SNYDHK, «Distribution Transformer Load Supervising Methods», nueva, sólo es de 26,50 %, cantidad muy pequeña comparada con el costo total de Edison Electric Institute Bulletin 5 (1937), 329-333. * En el capítulo XIX se estudian los transfo rmadores con tomas variables y os l regula la energía eléctrica transportada por los transformadores. Costo comparativo anual total cargable a los transformadores
569,80 $
480,20$
La comparación indica que, durante los tres primeros años de propiedad, los costos anuales del transformador trifásico nuevo serán inferiores en 89,60 $ a los costos anuales de los transformadores usados. Transcurridos tres años,' la depre ciación de los transformadores usados (plan A) se habrá amortizado y los gastos
1
dores de tensión.
406
TRANSFORMADORES
efecto que ejerce sobre la corriente total suministrada al transformador la corriente de excitación y la carga srcinadas por las pérdidas. A la carga nominal con factor de potencia unidad , la corriente de excitación tiene un efecto despreciable sobre el circuito exterior. No obstante, cuando se disminuye la intensidad de la corriente de carga o el factor de potencia se hace más inductivo, la corriente de excitación ejerce un efecto cada vez más apreciable sobre la corriente del circuito exterior, con lo' que hay que hacer un gasto correspondiente a las pérdidas srcinadas por la corriente de excitación del transformador. Este costo indirecto de funciona miento es pequeño frente a los costos directos del transformador. Parte de las pérdidas en el regulador de tensión del alimentador situado en el circuito que alimen ta el transformador tamb ién pueden cargarse como costo de funcionamiento del transformador. La parte de las pérdidas del regulador de tensión cargable al transformador suele determinarse a partir del cociente entre el tanto por ciento de regulación de tensión del transformador y el tanto por ciento de ele vación de tensión realizado por el regulador. Este tipo de costo indirecto de funcio namiento está consignado en el artículo B26 del apartado 1. 6.
COSTOS
DE MANTENIMIEN
TO
Los transformadores necesitan muy poco mantenimiento, pero a intervalos de tiempo definidos se les debe prestar cierto tipo de atenciones consignadas en el artículoaislante B3 del de apartado 1. Debe comprobarse anualmente dieléctrica del aceite los grandes transformadores de potencia yladerigidez los transformadores subterráneos. La humedad y los barros en el aceite tienden a disminuir su rigidez dieléctrica y provocar, en consecuencia, fallos en los devanados. Si el examen del aceite indica condiciones inferiores a las normales, debe filtrarse el aceite o, en casos más graves, cambiarlo. En algunos transformadores de gran potencia, el espacio por encima del aceite se llena de un gas inerte, para evitar la oxidación de aquél. El gas inerte puede ((respirar» mediante productos químicos que extraen cualquier traza de oxígeno del gas. Hay que mantener el suministro de gas inerte y de pro ductos desoxidantes, lo cual lleva consigo un pequeño gaseo de mantenimiento. A veces son necesarias pequeñas reparac iones, tales como la sustitución de un pasa tapas roto, de un fusible protector fundido, el ajuste de los contactos de los dis yuntores, la sustitución de pararrayos rotos, la comprobación de la resistencia a tierra y el mantenimiento de buenas condiciones de puesta a tierra. Una actividad de mantenimiento importante relativa a los transformadores es la vigilancia de la carga del transformador la cual, en las compañías suministra doras, se organiza sobre una base definida con personal especializado asignado a ella. Los métodos satisfactorios de estudio de la carga de los transformadores in cluyen:
a) Comprobaciones per iódicas en varios lugares de las cargas del transforma dor por medio de amperímetros de núcleo partido. 6) Cálculo de las cargas del transformador a partir de mapas del territ orio servido, haciendo también uso de registros de las lecturas de los contadores de los usuarios y de factores de carga bien establecidos y de factores de diversidad; c) Observación de las lecturas de los ter mómetros instalad os en forma per-
ECONOM1A
EN
SISTEMAS
DE
POTENCIA
407
manente, los cuales indican la temperatura máxima alcanzada por el aceite del transformador; d) Registro s gráficos de la carga obtenidos en instrume ntos registradores (sola mente aplicables en instalaciones de potencia grandes, habida cuenta de lo elevado del costo de compra y mantenimiento de los instrumentos registradores). Los métodos más corrientemente empleados son los consignados en a) y c), si bien b) en las compa se obtienen resultados excelentes mediante el método de cálculo ñías que lo utilizan. Todos los métodos entrañan cierto gasto. Las referencias dadas en la bibliografía ofrecen una información más detallada referente a las técnicas de ensayo de carga de los transformadores. 7.
DETER MINAC IÓN DE LA RAZÓN DE
PÉRDIDA
MÁS ECONÓMICA
El diseñador puede fijar en gran manera el precio del transformador, ya que dentro de ciertos límites el costo de producción es inversamente proporcional al producto de la pérdida en el núcleo por la pérdida en el cobre a plena carga. Co rrientemente, el diseñador puede rebajar el costo del transformador, y por tanto, disminuir los gastos fijos que lo gravan, aumentando cualquiera de sus pérdidas, con el correspondiente incremento del costo de funcionamiento. También puede variar el diseñador la razón de la pérdida en el núcleo a la pér di da en el cobre a plen a carga. Como la pérdida en el núcleo existe sie mpre que esté accionado el transformador, pero la pérdida en el cobre sólo tiene importancia cuando el transformador está cargado, la razón de pérdida constituye un factor en la determinación del costo de funcionamiento para cualquier curva de carga especializada. Puede deducirse una relación general importante para la determinación de la razón de pérdida más económica para un producto de pérdida especificado cual quiera y una razón de demanda eficaz anual. Sean 3
L = producto de pérdid a conocido en kil owat t al cuadrado para un trans formador standard cuya potencia nominal sea la deseada, P = pérdida en el núcleo desconocida, kilowatt, P = pérdida desconocida en el cobre a la carga nominal, kilowatt, m = razón de la demanda máxima en kV A de la carga a la potencia no mi nal en k V A del transformador, D =gasto de dem anda para las pérdidas del transformad or, dólares, por año y por kVA, E = gasto de energía para las pérdidas del transformador, dólares por kilowatthora c
cu
Si se suman las pérdidas en el núcleo y en el cobre, y si se supone que la demanda en k V A debida a las pérdid as se suma aritméti camente con la demanda en k V A debida a la carga (lo que es muy aproximadamente cierto para factores de potencia 3
W. A . SUMNEK
(1935),
1586-1588.
y J. B. HODTUM,
«RealigningTransform rswith e Distrib ution», Elec.W., IOS
408
ECONOMIA
TRANSFORMADORES
de la carga próximos a la unidad), los costos anuales de las pérdidas del transfor mador son Costo anual de energía = 8 760^(P + A P« ) dólares (26) Costo anual de demanda = D(P + w P ) dólares (27) Costo anual total de pérdidas (28) = (D + 8 160E)P + (mtD + 8 160X E)P 2
C
2
C
CH
2
C
CU
Como en todas las deduciones que siguen aparecen los coeficientes (w D + 8 760/ .E), hagamos a = D + 8 760E, b = m?D + 8 760A £ 2
EN
SISTEMAS
DE
POTENCIA
409
La ecuación (36) dice que, para máxima economía de funcionamiento, la razón de la pérdida en el cobre a plena carga a la pérdida en el núcleo debe ser igual a la razón del costo anual por kilowatt de pérdida en el núcleo al costo anual de pér dida en el cobre por k V A eficaz de demanda. En la figura 3 se ha representa do grá ficamente la expresión de la razón de pérdida de la ecuación (36), pudiendo verse el efecto de las variaciones de cualquiera de las cuatro cantidades m, X, D y E. El hecho más. sobresaliente es la pendiente marcadamente negativa de todas las curvas al representar gráficamente la razón de pérdida para economía máxima en
( D + 8 760¿5) y
2
(29) (30)
2
En las ecuaciones (29) y (30) el símbolo a representa la componente de pérdida en el núcleo de costo unitario, expresada en dólares por año y por kilowatt de pérdida en el núcleo; mientras b representa la componente de pérdida en el cobre de costo unitari o, expresada en dólares por año y por kV A eficaz de demanda. * Por las definiciones de los símbolos, =
(31)
Pcu
Sustituyendo las ecuaciones (29), (30) y (31) en la ecuación (28) se tiene: Costo anual total de pérdidas += —Jr—• aP
(32)
c
Pe
P del costo
Para hallar el costo anual mínimo, anularemos la derivada respecto a anual de pérdidas:
d af
, „ „ (costo anual) =—. 0 = a
c
(33)
Razón de demanda eficaz anual X
P*
c
de donde,
bL,
P c = y ^ ,
p P
_ C
U
*
L
a»
_ 1 /
- ~ P7 -
a L
F io . 3. Razón de pérdida para costo anual minimo de pérdidas en función de las variables m, A, D y E. x
*
•(35)
V~b~-
La razón de pérdida correspondiente al costo anual mínimo es Razón de pérdida = - ~ - = ^~ = ~.
^(36)
* Se entiende por demanda eficaz en kVA a la demanda durante todo el año, corregida de su efecto sobre el costo según se determina por la forma de la tasa eléctrica.
función de la razón X de demanda eficaz anual. La pendiente negativa indica, al igual que la ecuación (36), que al crecer la pérdida en el cobre a causa del crecimiento de las cargas, la razón conveniente de la pérdida en el cobre a la pérdida en el núcleo, disminuye. Se ve, pues, que, en general, un transformador de subcentral cuya carga es probable que tenga una razón X de demanda eficaz relativamente elevad a, debe rá tener una razón de pérdida inferior a la de un transformador de distribución. La anterior solución teórica no da indicación numérica alguna de la importan cia de las desviaciones respecto a los valores óptimos. Será, pues, interesante calcu lar los resultados de vari ar la razón de pérdid a en un caso ordinari o. Un trans formador de distri bución de 10 kV A, diseñado en 1940, tiene un produc to de pérdida d e aproxi madamen te 10 700 W , o sea 0,0107 k W . Supóngase que se desea estudiar los cost os de pérdidas de dicho transformador de 10 k V A, manteniendo 2
2
410
ECONOMIA
TRANSFORMADORES
constante el producto de pérdida. Supóngase las siguientes condiciones de funcio namiento: m = 1,15 X = 0,16 2
2
D = 10,00 $ por año y por kVA de demanda E = 0,009 $ por kWh Según la ecuación (36), la razón de pérdida para economía máxima es 10 + 8 760(0 ,009) = 3; 1,15(10 ) + 8 760(0,16)(0, 009)
Razón de pérdida =
(37)
En la tabla I se consigna el costo anual de pérdida correspondiente a diferentes valores de las razones de pérdida. TABLA I COMPARACION DE LOS COSTOS ANUALES DE PERDIDAS EN UN TRANS FORMADOR DE DISTRIBUCION DE 10 kVA, AL SER AFECTADO POR LA RAZON DE PERDIDA 1. 2. 3. 4. 5.
Razón d e pérdida(supuesta) 6,00 Producto de pérdida, kW 0,0107 Pérdida en el núcleo P , kW 0,0422 P , kW Pérdida en el cobre 0,254 Energía anual gastada en pér 2
c
cu
en el anual núcleo,gastada kWh en pér 370 6. didas Energía didas en el cobre, kWh 356 7. Pérdida anual total, kWh 726 8. Dema nda máxima debida a la pérdida en el cobre, kW 0,292 9. Dema nda máxima debida a la pérdida total, kVA 0,334 10. Costo anual de la energía, dó lares 6,54 11. Costo anual de la demanda, dólares 3,34 12. Costo anual total de las pér didas 9,88
4,50 3,69* 2,80 2,00 0,0107 0,0107 0,0107 0,0107 0,0488 0,05390,0619 0,0731 0,219 0,199 0,173 0,146 428 307 735 0,251 0,300 6,62
472
279 751
542
640
243 785
204 844
0,229 0,199 0,283
0,261
6,76
7,07
3,00
2,83
2,61
9,62
9,59
9,68
Razón teórica para costo anual mínimo 1 /línea 2 Línea 3 1/lír \'íTr. línea 1 línea 2 Línea 4 — línea 3 Línea 5 = 8 76 0 X línea 3 Línea 6 =8 750 A X línea 4 = 1 00 4 X línea 4 Línea 7 = línea 5 + nea lí 6 Línea 8 = m x lí nea 4 = 1,1 5 x línea 4 Línea 9 = línea 3 + línea 8 Línea 10 E= X línea 7 = $0,009 x línea 7 Línea 11 D = x línea 9 =$10,00 x línea 9 Línea 12 = línea 10 + línea II =
2
0,168 0,168 0,241 7,59 2,41 10,00
EN
SISTEMAS
DE
411
POTENCIA
La tabla I nos ayuda a conservar el sentido de la proporción. De la ecuación (36) podía haberse sacado la impresión de que el valor óptimo de la razón de pérdida da costos anuales muy inferiores a los resultados de otras razones de pérdida. La tabulación pone de manifiesto que una desviación razonable respecto al valor óp timo de la razón de pérdida no tiene mucha importancia, por lo que la de razón pérdida seleccionada puede tener un valor cualquiera, razonablemente próximo al correcto, que sea más práctico desde el punto de vista del fabricante del transfor mador. Sería mejor utilizar transformadores cuya razón de pérdida Pcu/Pc sea algo menor que el valor óptimo, en vez de mayor, a fin de lograr una economía máxima durante "un número de años durante el cual la razón X de demanda eficaz tienda, probablemente, a aumentar. Como los transformadores de distribu ción se utilizan en gran cantidad, una desviación grande de laderazón pérdida teórica sería ruinosa. Por ejemplo, si en el caso que nos ocupa se utilizara una razón de pérdida de 2,00 en lugar de 3,69, el costo anual de pérdidas por mil transforma dores de 10 kVA sería superior en 410 $ al costo necesario, posible ahorro que jus tifica ampliamente el costo de un estudio para determinar la mejor de razón pér dida. Los transformadores standard de distribución tienen, en general, razones de pérdida apropiadas para las condiciones de carga qué prevalecen en la práctica en el instante de la fabricación, y el subcomité de transformadores del American Ins¬ titute of Electrical Engineers proporciona una oportunidad a los fabricantes y usuarios de estudiar tendencias de las condiciones de carga y recomendar normas futuras para el diseño de transformadores para un costo mínimo de pérdidas. 8.
DETERM INAC IÓN DEL PRODUCTO DE
PÉRDIDA
MÁS ECONÓMICO
El precio de un transformador es, dentro de ciertos límites, inversamente pro porcional al producto de su pérdida en el núcleo por su pérdida en el cobre a plena carga. Cuando se paga una tasa relativamente elevada por la electricidad y en con diciones de carga muy intensa, se justifica la compra de un transformador cuyo producto de pérdida sea inferior al normal y cuyo precio sea correspondientemente más elevado. Inversamente, si se aumenta el producto de pérdida de un transfor mador, con las provisiones especiales adecuadas de refrigeración, el inferior precio resultante puede ser conveniente en determinadas circunstancias. La combinación ideal de producto de pérdida y razón de pérdida, se puede determinar analíticamente. Además de los símbolos utilizados en el apartado 7, sean G, = precio en dólares del transformador que tiene el producto de pérdida normal L . I = P Pcu = producto de pérdida en kW para una economía otal máxima, incluidos los gastos fijos, c = precio en dólares del transformador que tiene el producto de pérdida i, F = tasa * de los gastos fijos anuales, parte decimal del costo de producción. Como el precio se supone inversamente proporcional al producto de pérdida, s
2
c
+
2
c = °étL
Incluye interés, impuestos, seguro, depreciación, etc.
(38)
412
TRANSFORMADORES
ECONOMÍA
y, por las definiciones de los símbolos,
Pe, =
(39)
El gasto fijo anual es cF, o sea G,LF/l. que se suma a la ecuación (32) (sustituyendo en la ecuación (32)L por l) para dar el costo total anual. Hagamos, por conveniencia s
¿
g = C,L,F.
(40)
Entonces, Costo anual total de pérdidas y gastos fijos + = + —. aP c
(41)
Para hallar el costo mínimo anual, se anularán las dos derivadas parciales del costo anual . Entonces 4
bi IT
a P
<
+
-p7
_b Pe
g +
(42)
T
g_ P
(43)
EN
SISTEMAS
DE
POTENCIA
El producto de pérdida l hallado por la ecuación (48) puede ser menor, igual o mayor que el producto de pérdida conocido L¡ de un transformador standard autorrefrigerado. Si es l menor que L„ podrá justificarse la compra del transformador a un precio mayor que el standard, pues el ahorro en el costo de las pérdidas puede ser mayor que los gastos fijos adicionales resultantes del precio más elevado. Si es l mayor que L,, con lo que es teóricamente deseable comprar un transfor mador cuyo producto de pérdida es superior al normal, se puede comprar un trans formador: a) de diseño norm al, o b) de rendimiento inferior al normal, o c) de potenci a nom inal con autor refrigeración inferio r a la potencia nomina l con autorrefrigeración normal requerida por la carga, pero con sistema auxiliar de refrigeración para ser utilizado en los picos de carga. Para aplicaciones de distribución se seguirán,' en general, las alternativas a) y b). Determinadas líneas de transformadores de distribución se fabrican con dos clases de rendimientos llamados, respectivamente, transformadores de gran rendimiento y de bajo rendimiento. Si se fabrica un transformador de bajo rendimiento que sea adecuado para la aplicación en cuestión, sus costos totales probablemente serán inferio res a los del transformador standard de gran rendimien to, cuando l es mayor que L . Para aplicación en una subcentral, es corriente comprar un transformador de dos potencias nominales, una correspondiente al transformador autorrefrigerado s
l=\l^
(44)
yla otra correspondiente a la refrigeración con ventiladores, tal como se sugiere en alternativa c). 9.
(46)
Pl ^ W ^ T
•( 4 7)
b Peu
*«>
=
L a razón de pérdidaP jP correspondiente a econom íatotal m áxim a es: cu
c
Razón de pérdida
=
•(50)
com o en la ecuación (36).
*
VéaseF .
S . WOODS,
Advanced Cutculus (nueva ed.; Boston: Ginn & Company, 1934),
117.
RES UM EN DE L ESTUD IO DEL
COST O DE UN TRANSFO RMADOR
Los transformadores son los representantes de todo el'equipo de potencia eléc trico por lo que concierne a los principales elementos de costo. Por tanto, el estudio de los factores de costo de los transformadores sirve como guía para los métodos de análisis de costo para otros tipos de aparatos de potencia. No obstante, los trans formadores tienen un rendimiento tan elevado que las diferencias numéricas resul tantes de las variaciones en los factores que rigen el costo no son, en general, dema siado grandes; luego no es necesario el empleo de los valores óptimos absolutos de los factores que rigen el costo. La pérdida anual resultante de la pérdida en el núcleo es una constante, pero la pérdida anual por pérdida en el cobre es una función de la razón de la demanda eficaz anual a la potencia nominal del transformador a plena carga. Desde el punto de vista económico, una razón de demanda eficaz baja indica una razón de pérdida en el cobre a pérdida en el núcleo, de valor elevado; y una demanda eficaz alta indica una razón de pérdida baja. Los gastos fijos suelen ser el elemento más caro de los costos del transformador, las pérdidas son algo menos costosas, mientras que los gastos de mantenimiento son pequeños frente a los costos de los gastos fijos y pérdidas. Es conveniente sobrecargar los transformadores durante tiempos cortos, * dentro * Véaseel apartado8 del capítulo XI V.
413
414
TRANSFORMADORES
ECONOMIA
de los límites establecidos por la American Standard Association (o las normas adecuadas en boga en la época en que se fabricó el transformador), a fin de llevar a cabo los gastos fijos menores resultantes del ahorro de tamaño del transformador. Una vez seleccionada una potencia nominal para el transformador no habrá por qué dejar tolerancias grandes para un futuro desarrollo, salvo en localidades en las que se sabe que los incrementos de carga se producen con rapidez.
PROBLEMAS
Gasto de demanda mensual 2,00 $ por kW 1,50 $ por kW 1,00 $ por kW
Gasto de energía Primeros 1 200 kW h por mes 1 300 kW h siguientes por mes Energía adicional
Descuento por compra de potencia a 2 400 V, transformadores propios
SISTEMAS
DE
POTENCIA
415
Pérdida en vacío 400 W Pérdida en el cobre a plena carga 655 W La s pérd idas del transform ador de 150 k V A son: Pérdida en vacio 540 W Pérdida en el cobre a plena carga 1 240 W La experiencia del fabricante prevé los siguientes gastos:
1. Un fabricante compra p otencia para su fábr ica a una co mpañía suministradora a 2 400 V. El contador de la compañía suministradora registra no solamente la demanda real y los requisitos de energía de la carga de la fábrica, sino también, además, las pérdi das en el transformador de la fábrica que reduce la tensión al valor de utilización en dicha fábrica. El contador señala la potencia con una aproximación de 0,5 kW de demanda y la energía consumida en un mes con una aproximación de 10 kWh. La potencia se paga de acuerdo con la siguiente tasa:
Primeros 10 kW de demanda 50 kW siguientes de demanda Demanda adicional
EN
Las pérdidas de cada uno de los transformad ores de 75 kVA,son:
% 0,0 35por kWh 0,02 % por kWh 0,0125 % por kWh 10 % del total factur a cada mes
La subcentral del fabricante consiste en un transformador de 75 kVA, comprado ori ginalmente 17 años atrás, en cuya época se previo amortizar la inversión en el transfor mador en 15 años. El equipo auxiliar, incluidos fu sibles prot ector es y pararrayos, se han mantenido y remplazado cuando ha sido necesario y se hallan aún en condiciones satis factorias para continuar en servicio. En la actualidad se espera que los requisitos de potencia de la-fábrica aumenten, y puede optarse por una de las dos soluciones siguientes: 1) Un comerciante en transformadores usados ofrece entregar uno de 75 kV A de características exactamente iguales a las del transformador en servicio, a un precio de entrega de 120 $, garantizan do todo defecto de funcionamiento durante u n año. E ste % 60,00 transformador podría ponerse en paralelo con el ya existente, costando su ins talación, según oferta de un contratista. Puede esperarse, razonablemente, una duración de 5 años para los dos transformadores de 75 kV A. 2) Un fabrican te ofr ece ent regar un trans formador nuevo de 150 kV A al precio de 753 $ franco sobre fábrica. El porte del transformad or cuesta 18,00 $ y la can tidad estimada por el contra tista pa ra entrega e instalación es de 60,00 $. E l comerci ante en transformadores usados ofrece 60,00 $ por el transformador viej o de 75 kV A, corriendo de su cuenta los trabajos de traslado.
Interés 7 % anual sobre la inversión Impuestos Nointervienenen esteproblema Seguro 1.5 % sobre el precio de compra Depreciación Método linea l — 15 años para el transformador nuevo, 5 años para el usado MantenimientoNo hay diferencia en favor de uno u otro plan, pero existe la probabilidad de que el transformador viejo precise cambio del aceite a 25 centavos el galó n. E l transformad or de 75 k VA contiene 54 galones de aceite. La curva de carga media mensual estimada para la nueva carga es:
kVA en % de la Factor de potencia Horas por mes a la potencia nominal en% carga enunciada a plena carga 100 75 25 6
80 70 60 100
72 216 72 360
Deterniinar cual de las dos alternativas debe adoptar el fabricante en cada una de las siguient es circunstancias: a) El negocio del fabricante es muy estable y goza de un crédito excelente. L a firma tiene buena reputación por su rapidez en las entregas, y por tanto valora en mucho la pérdida ocasionada por las interrupciones del trabajo. b) El negocio es inestable, el crédito mar gin al, y lo que sostiene el negocio son sus productos barato s en lugar de una buena reputació n en ca lidad y servicio.
Nota: Una instalación de este tamaño sería, normalmente, trifásica, pero este pro blema es totalmente representativo, aun cuando se resuelva como problema monofásico. 2. La oficina técnica de una compañía fabrica nte de transformadores realiza u n estudio para determinar la mejor razón de pérdida para un nuevo diseño de transforma dores de distribución. Los datos para este estudio los suministran diversas compañías
TRANSFORMADORES
416
CA
suministradoras de energía eléctrica, entre las que existe una divergencia considerable entre las normas referentes a la demanda de la carga en edificios, estructura de tarifas y técnicas. Se deben estudiar los datos recibidos de cada compañía para determinar el mejor diseño de transformador correspondiente a los requisitos de cada compañía, tras lo cual se realizará un diseño standard que parezca ser el mejor compromiso para una venta general a todas las compañías suministradoras. Nueve compañías suministradoras facilitan datos referentes a sus técnicas. Algunas de ellas quieren evaluar parte de las pérdidas del transformador a razón de lo que habría que pagar por la energía por parte de los usuarios, mientras otras compañías evalúan las pérdidas a los costos de energía suministrada a los transformadores. En la tabla siguiente se consignan los costos de las pérdidas en cada una de las nueve compañías:
Número de la compañía
Crostode demanda D en dólares por ano y por k VA de demanda màxima 0 0 0 10,00 10,00 10,00 24,00 24,00 24,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,030 0,020 0,010 0,030 0,020 0,010 0,020
0,010 0,005
LO
XV II
Se vio en el capítulo XI I que los flujos que atraviesan primario y secundario pueden expresarse de dos maneras. Un método de combinar las componentes repre senta a los flujos resultantes que atraviesan cada devanado como suma de un flujo de fuga y de un flujo mutuo resultante *; así,
(1)
% = fu +
donde,
(2)
(p y (p son los flujos resultantes que atraviesan, respectivamente, a prima rio y secundario,
2
El otro método expresa los flujos resultantes
2
(3)
(4)
donde,
C
2
TU
Auto induc cion es e inducciones mutuas
Oasto de energia E en dólares por kilowaUhora
Este problema demuestra el efecto de las condiciones de carga y de la tasa eléctrica sobre la razón de pérdida conveniente. Los estudiantes pueden dividirse en grupos, cada uno de los cuales complete la solución aplicable a la tasa para pérdidas en una de las compañías suministradoras. Cada grupo de estudiantes debe determinar la razón de pérdida P JP que dé el costo de funcionamiento anual mínimo para una de las com pañías anteriormente consignadas, utilizando valores de A iguales a 0,20; 0,30; 0,40; 0,50 y 0,60 y suponiendo que la demanda máxima es la carga nominal. Además, el ahorro del costo anual de pérdida debido a emplear esta razón de pérdida óptima en vez de la razón de pérdida standard, deberá determinarse para cada valor de A para un grupo de oien transf ormadores de 15 k VA . La razón de pér dida standard de un transformador de dist ribuci ón de 15 k VA puede tomarse igual a 3,40 y el producto de pérdida stan dard igual a 20 100 W. Las razones de pérdida convenientes halladas por los distintos grupos de estudiantes se pueden representar gráficamente en función de la razón d 3 demanda eficaz A para cada tasa eléctrica, como comprobación de la precisión de los resultados y para poner de mani fiesto el efecto de cambiar los valores de las variables. C
PI
x
n
2
22
n
12
Las ecuaciones (1) y (2) son la base del método de análisis estudiado en los apar tados 3 y 4 del capítulo X I I y desarrollado endetalle en los capítulos XII I y XIV, mientras que las ecuaciones(3) y (4) son la base de la teoría clásica de los circuitos acoplados electromagnéticamente, en virtud de la cual pueden escribirse las ecua ciones de la tensión en la forma,
* **
+ L*-£ + m!±
VL
=
V t
= R i t
T
+
L
T
Á
- ±+ M ^ ,
Véanse las ecuaciones (22) y (23) del capítulo XII . Véanse las ecuaciones (19) y (20) del capítulo XII . 417
t (5)
•(6)
418
AUTOINDUCCIONES
TRANSFORMADORES
donde, i> y v son las tensiones instantáneas entre los terminales de los devanados, ¿! e ¿j son las intensidades instantáneas de las corrientes que por ellos cir culan, 7?! y R son sus resistencias efectivas, L y L.¡ son sus coeficientes de autoinducción, M es el coeficiente de inducción mutua. x
2
E
INDUCCIONES
MUTUAS
419
de un transformador con núcleo do hierro como el análisis en función de los flujos de fuga y mutuo resultante, resulta igualmente útil, a pesar de todo, para la deter minación de las características externasde un transformador como elemento de circuito cuando se desprecian la pérdida en el núcleoy la no linealidad. magnética.
2
x
El propósito de este capítulo es desarrollar la teoría del transformador desde el punto de vista de los circuitos acoplados. En las ecuaciones (5) y (6) se desprecian las capacidades distribuidas de los deva nados. También se desprecia la pérdida en el núcleo y, por basarse las ecuaciones en la superposición de flujos componentes creados por cada una de las corrientes actuando por sí solas, implican relaciones lineales entre cada flujo componente y la corriente que lo crea. La pérdida en el núcleo de un transformador con núcleo de hierro suele tener poco efecto sobre cualquier característica de funcionamiento salvo sobre el rendimiento y, a pesar de las características magnéticas no lineales del hierro, las ecuaciones (5) y (6) se aplican frecuentemente al análisis de dichos transformadores. Es interesante comparar este método de análisis con la teoría analítica basada en los flujos de fuga y mutuo resultante de las ecuaciones (1) y (2) y revisar algunos de los puntos importantes estudiados en el capít ulo XI I. Basándose en las ecuaciones (1) y (2), se demuestra en el apartado 5 del capí el circuito equivalente de tulo X II que se puede representar un transformador por la figura 6 del capítulo XI I, consistente en un transformador ideal cuya razón de transformación sea igual al.cociente entre los números de espiras de los devanados, en combinación con una red que represente a las imperfecciones del transformador real. Este circuito equivalente presenta los factores que son importantes en la deter minación de las características eléctricas de los transformadores, y sus partes com ponentes tienen significados físicos bastante claros en relación con las condiciones magnéticas en un transformador cargado. Así los flujos de fuga inducen caídas de tensión que pueden interpretar las inductancias de fuga en serie con el transformador ideal y como los flujos de fuga se hallan parcialmente en el aire, estas inductancias de fuga son aproximadamente constantes. En un transformador con núcleo de hierro, el flujo mutuo resultante es aproximadamente igual al flujo en el núcleo y por tanto se supone que la no linealidad de las características magnéticas del núcleo sólo afectan a la relación entre este flujo mutuo resultante y la corriente de excita ción. Si ésta es débil frente a la componente de carga de la corriente del primario, o si la amplitud de la variación del flujo mutuo resultante es relativamente pequeña, los efectos de la no linealidad magnética son relativamente poco importantes y, en tales condiciones, el transformador con núcleo de hierro se comporta como ele mento de circuito esencialmente lineal. Por ello, la teoría clásica de los circuitos lineales acoplados, expresada por las ecuaciones (5) y (6), es aplicable a menudo a los transformadores con núcleo de hierro, particularmente en el análisis de circuitos de comunicaciones y de transformadores con más de dos devanados *. Aun cuando la teoría clásica desarrollada en función de los coeficientes de autoinducción y de inducción mutua no conduce a un concepto físico tan claro de los fenómenosinternos *
En el capítulo X X V II se estudian los transformadores multicirouito.
1.
ECU ACIO NES PARA
CIRCUI TOS ACOPLADOS
Consideremos el transformador de la figura1. Cuando se desprecian la pérdida en el núcleoy las capacidades distribuidas y se suponen constantes las inductancias, I,
F io . 1.
Sentidos positivos de lascorrientes y tensiones que figuran en las ecuaciones 7, 8, 9 y 10
las ecuaciones instantáneas para las tensiones pueden es cribirse en la forma de las ecuaciones 5) ( y (6). Si se supone que las intensidades y tensiones varían sinusoi¬ dalmente, estas ecuaciones pueden expresarse en la forma vectorial Vj = (Ri + jcoL^L + jc»Ml V = (R + jwL )I + jcoMI
K ) 7
2
2
2
2
2
•(&*)
v
donde V y V son los vectores que representan a las tensiones entre los terminales de los dos devanados, e l e I son los vectores que representan a las corrientes que circulan por ellos. Los signos algebraicos de estas ecuaciones dependen de los sentidos que se tomen como positivos para corrientes y tensiones. En las ecuaciones (7) y (8), V\ y V representan caída s de potencial a través de los devanados en el mismo sentido en torno al núcleo, mientras I e I representan las corrientes en los mismos sentidos positivos. Como corrientes positivas en los sentidos de í e I de la figura 1 crean flujos componentes del mismo sentido, los términos de las ecuaciones (7) y (8) en que intervienen los coeficientes de autoinduccióny de inducción mutua tienen signos iguales. Como la corriente del secundario suele crear una fuerza magnetomotriz que tiende a oponerse a la de la corriente del primario, las corrientes l e I suelen estar 'aproximadamente en oposición de fase. El sentido de circulación de la potencia está indicado por las relaciones de fase entro las corrientes y las tensiones. Así, si el devanado 1 actúa como primario, V e I tendrán una diferencia de fase menor que90°, pero V e I diferirán en más de 90°. Debido a su simetría, las ecuaciones(7) y (8) resultan convenientes para el estudio x
2
x
2
2
x
2
x
2
x
x
2
2
x
2
TRANSFORMADORES
420
AUTOINDUCCIONES
de problomas generales en los que no se especifica el sentido de circulación de la potencia. No obstante, cuando se sabe que el devanado 2 entrega potencia a una carga, puede parecer más natural tomar como sentido positivo de la corriente entre V a través de la carga, gada a la carga el sentido positivo de la caída de potencial
E
INDUCCIONES
MUTUAS
¡ 4
2
circuitos de primario y secundario. Los sentidos positivos son los indicados en la figura 2. Estas ecuaciones pueden escribirse en forma más compacta en función de las impedancias de autoinducción e inducción mutua de los circuitos. Así,
2
E = Z I + Z I¿ G
Ro ,
www 0
Para el circuito de la figura
1 1
1
z
n
n = u+JX
F io . 2.
Z
Circuito consistente en un generador, transformador y carga resistiva
x
(14)
2 2
2 , las autoimpedancias Z y Z z
tal como indica la flecha I¿ de la figura 1. Corrientemente, durante la mayor parte del hemiciclo en que la corriente penetra por el extremo marcado con punto del devanado 1, sale simultáneamente la corriente por el extremo marcado con punto en el devanado 2, y por tanto las corrientes I e I¿ suelen estar aproximadamente en fase. Las ecuaciones de las tensiones pueden escribirse en forma vectorial en fun ción del vector Ir. representativo de la corriente suministrada a la carga en la forma
(13)
12
= i J i + Z I¿.
R
2 2
son (15)
n
M — a + jX , R
22
(16)
donde,
R = R + R = autorresistencia de la malla que comprende el generador y el primario del transformador, (17) R22 — RL-+ R = autorresistencia de la malla que comprende la carga y el secundar io del transformador, (18) U
G
1
2
u
•(9)
V = jcoMl^ — (B+ ja>L)I . t
2
2
•(10)
L
Para un estudio ulterior, considérese el circuito de la figura 2 , consistente en un generador de resistencia interna RG, conectado a los terminales del primario de un RLtransformador cuyo secundario suministra potencia a una resistencia de carga Este circuito es de gran importancia en los circuitos de comunicaciones, en donde el generador suele ser una válvula de vacío. En los textos de Electrónica se demuestra que frecuentemente puede representarse una válvula de vacío por un generador de resistencia interna constante cuya fuerza electromotriz es proporcional a la tensión aplicada a su reja. El circuito de salida de la válvula contiene a menudo una batería (no indicada en la figura 2) , que crea una corriente continua en el primario del trans formador. Los flujos creados por la tensión alterna del generador se superponen a la imanación producida por la corriente continua y por tanto, por lo que respecta a las L L y M, son las corrientes alternas, las inductancias eficaces del transformador, inductancias increméntales estudiadas en los apartados 14 y 15 del capítulo VI. Si se supone que la tensión alterna del generador y las componentes alternas de las corrientes de primario y secundario varían sinusoidalmente, las ecuaciones vectoria les del circuito de la figura 2 son: v
^(11)
0 = —jtoMl!+ (RL + R + JCJLJIL,
•(12)
G
1
L
2
22
2
donde EG es el vector que representa la fuerza electromotriz del generador e I , Iz. son los vectores representativos de las corrientes alternas que circulan por los x
(19) (20) 2, la impedancia
1 2
Z = —jX ,
(21)
X = wM - reactancia mutua.
(22)
12
m
donde, m
De las ecuaciones (13) y (14) pueden deducirse fácilmente expresiones para las comentes de primario y secundario. De la ecuación (14), la relación vectorial entre las corrientes resulta ser
2
E = (R + R + jmLJli —j(oMl C
X = CÜLJ = autorreactancia de la malla del primario, X =
h. = -^I v
(23)
Sustituyendo la ecuación (23) en la (13), se tiene:
E
De la ecuación (24),
e= (z u- fj |) li -
( 24)
422
TRANSFORMADORES
AUTOINDUCCIONES
y de las ecuaciones (23) y (25), T,
-- • " Z
=
E
'Vl 22
í
(26)
c
tj
/J
12
(25) y (26) en función de sus com (25) se convierte en
Si se expresan las impedancias de las ecuaciones ponentes de resistencia y reactancia, la ecuación T
(-^22 + j X
—
2 8
)E
, .
G
~ (* u + j * n ) (-Bu +
2 7
+
1
XI
( 22 + 3X22)^0 R
RR
_
n
22
- (X X U
- XI)
22
+ j(RnX
RR U
22
- (X X U
N
- XI)
2 2
423
(34)
^22 _ S
donde,
-
MUTUAS
h
n
Análo gamen te, la ecuaci ón (26) se convierte en lL
INDUCCIONES
•(28)
R22X )
+
22
E
Como las características de los circuitos acoplados magnéticamente dependen en gran manera de las fugas magnéticas, el coeficiente de fuga resulta ser una cantidad importante en la teoría de los transformadores y también en la de otros muchos tipos de aparatos electromagnéticos. El significado del coeficiente de acoplo en función de los flujos a que se refiere la teoría del transformador puede ponerse de manifiesto por medio de las relaciones entre dichos flujos y los coeficientes de autoinducción e inducción mutua. Por defi nición, la autoinducción de un devanado es el cociente entre el flujo que lo atraviesa creado por su propia corriente y la intensidad de ésta; de donde,
+ j(R X n
22
+
Ki y ^22 fu Y 922
R X) 22
s o n
U
s o n
Las ecuaciones (28) y (29) expresan los vectores representativos de las corrientes de primario y secundario de la figura 2 en función de la tensión del generador E&- y de los parámetros del transformador y de los circuitos conectados a él.
(35)
l°s flujos totales creados por las corrientes flujos equivalentes *.
i e i , respectivamente, t
2
Análog ament e, la in du ct an ci a mu tu a de dos dev anad os se define como el fluj o que atraviesa un devanado por unidad de intensidad de la corriente del otro. En un sis tema conservativo, la inductancia mutua del devanado 1 con respecto al deva 1
nado 2 es igual a la del devanado 2.
COEFIC IENTE DE
ACOPLO
Y COEFICIENTE DE
Conviene ahora introducir dos nuevos factores: el coeficiente de acoplo y el de fuga. Por definición, el coeficiente de acoplo entre dos circuitos acoplados magné ticamente es: k
-jM=,
S
V
•(SO) 2
(31)
V -^11-^22 El coeficiente de acoplo es una medida de lo estrechamente enlazados que están los campos magnéticos de los dos circuitos. Si no hubiera fuga magnética alguna, el coeficiente de acoplo k sería igual a la unidad, que es el mayor valor posible. Es frecuente que el coeficiente de acoplo de un transformador con núcleo de hierro llegue a valer 0,998, si bien en el caso de transformadores con núcleo de aire los valores de k no inferiores a 0 ,5 sólo se logran con diseños especiales. El coeficiente de fuga a se define en la forma
o = l —P
•(32)
MZ 1
Y2 *
A
12
Nl
A es el flujo que atraviesa todo el devanado A es el flujo que atraviesa todo el devanado fluj os .mutuos equivalentes. fzi y ^IÍ 21
8
k•
=1
1; as í ,
donde, 12
L,L
o en función de las autorreactancias y reactancias mutuas, =
2 con respecto al devanado
FUGA
•
(33)
2 creado por la corriente i 1 creado por la corriente ¿ , lt
2
0 n
A pa rt ir de estas ecuac iones se pue den exp res ar lo s fluj os en funci ón de las in du ctancias; así: LA,
(38)
(39)
Mi, =
9>2i
(40)
Mi
2
c o no e
R
L
flu
WBENCE
8
AUTOINDUCCIONES
TRANSFORMADORES
424
Definamos k^ como razón del flujo mutuo (p creado por la corriente i al flujo total (p creado por t^; así: 21
x
n
= • kj, (42)
E
INDUCCIONES
U
N =
t
N
= ^ .
l
(43)
1
Aná log ame nte , seak la razón del flujo mutuo
12
22
A _ . lll_ h
s
2
(45)
2
1J L, En virtud de la ecuación (30), el segundo miembro de la ecuación (45) resulta ser el cuadrado del coeficiente de acoplo, de donde este coeficiente k podrá expresarse en la forma, X
2
* = V*E = l /j^í •
(*6)
Por tanto, el coeficiente de acoplo k es igual a la media geométrica de las razones de los flujos mutuos a los totales creados por los efectos separados de cada corriente. En las ecuaciones (28) y (29) se expresan las corrientes del circuito de la figura 2 en función de las autorreactancias y reactancias mutuas del transformador y de las resistencias de los circuitos primario y secundario. Se puede eliminar la reactancia mutua en estas ecuaciones e introducir en ellas los coeficientes de acoplo y fuga. De la ecuación (31),
X = k\ ~X„X~ l
2
(47)
2
y de la ecuación (33),
X X -X = aX X . 2 m
11
(48)
22
Sust ituy endo las ecuaciones (47) y (48) en las (28) y (29), pueden expresarse las corrientes del circuito de la figura 2 en la forma, j
(fo¡2 + j X )E c
K49)
M
1
-^11-^22
°"-^ll-^22 + j(-^11-^2 8 + -^22^1l)
jky XX E U
Ru^n — °X X U
22
2
22
2
2
se
3.
M
k¿ = jr-jr •
m
1
^2
9
22
425
(44)
=
922
Multiplicando miembro a miembro las ecuaciones (43) y (44) se tiene,
11
MUTUAS
En el caso de un transformador con núcleo de aire, los coeficientes de autoinduc ción mutua son constantes y el coeficiente de fuga es relativamente grande. Aquellos pueden determinarse fácilmente a partir de ensayos en circuito abierto y, si son despreciables los efectos de las capacidades distribuidas, puede calcularse satis factoriamente el funcionamiento del transformador con núcleo de aire sustituyendo en las ecuaciones (28) y (29) los valores medidos de las resistencias y de los coeficien tes de autoinducción e inducción mutua. En cambio, cuando el transformador tiene núcleo de hierro la situación es com pletamente diferente. Consideremos la cantidad X X — X , del denominador de las ecuaciones (28) y (29). Como el coeficiente de acoplo es casi igual a la unidad, X$, será muy poco inferior a ^ Z y por tanto se tendrá muy poca precisión si se calculan las corrientes empleando los valores medios de la autorreactancia y de la reactancia mutua en las ecuaciones (28) y (29), ya que la importantísima cantidad -^11-^22— %m determinarí a como diferencia entre dos componentes gr andes casi iguales. Esta dificultad se evita en las ecuaciones (49) y (50), puesto que el coeficiente de acoplo se puede determinar con buena precisión a partir de ensayos en circuito abierto y en cortocircuito, tal como se describe en el apartado 3.
22
^
G
+ j(üuX
2 2
+
Ü X ) 2 2
U
5
0
J
ME DIDA
DE LOS PABÁME TBOS
Cuando son despreciables la pérdida en el núcleo, la no linealidad magnética y los efectos de las capacidades distribuidas, las características eléctricas de un trans formador de dos devanados se pueden expresar en función de cinco parámetros inde pendientes. En las ecuaciones (5) y (6) para circuitos acoplados, estos parámetros son las autoinducciones y resistencias efectivas de los dos devanados y el coefi ciente de inducción mutua entre ellos. Como en las ecuaciones básicas de los cir cuitos acoplados hay cinco parámetros independientes, el número de parámetros independientes que figurarán en todas las ecuaciones que se deduzcan de ellas serán cinco también, aun cuando se expresen por conveniencia de maneras diferentes de las de las ecuaciones srcinales para los circuitos acoplados. Por ejemplo, las corrien tes del circuito de la figura 2 se expresan en las ecuaciones (49) y (50) en función de las dos resistencias de los devanados, de sus dos autorreactancias y del coeficiente de fuga a —ci nco parámetros del tra nsform ador— . E l coefici ente de acoplo ¡ fc que aparece en la ecuación (5 0) no es un sexto parámetro indepe ndiente, ya que puede determinarse a partir del coeficiente de fuga a por medio de la ecuación (32). A fin de pre dec ir las caracte rísticas de fun cio na mie nto de l tra nsf orm ado r, pue s, deberán conocerse cinco constantes características independientes. Los ensayos simples que pueden realizarse para determinar los cinco parámetros son: 1. 2. 3. 4. 5.
Medidas de las res istencias a la cor riente continua de los dos devanados, Medidas de las dos autoinduccio nes, Medida s de la inducció n mut ua, Medidas de la r azón de tensi ones con un devanad o en circuito abierto. Medidas de la resistencia y autoinducc ión con un devanado cortocircuit ado
Debe realizarse un número de ensayos suficiente para dar los valores de los cinco parámetros independientes requeridos. La selección del mejor procedimiento de
426
TRANSFORMADORES
AUTOINDUCCIONES
ensayo depende de numerosas consideraciones tales como el tipo y potencia nominal del transformador a ensayar, la precisión deseada y los aparatos disponibles. Las resistencias de los devanados a la corriente continua pueden determinarse con un puente de Wheatstone, o midiendo la caída de tensión en el devanado cuando es asiento de una corriente continua conocida. En el caso de transformadores peque ños, las resistencias de los devanados a la corriente continua suelen considerarse iguales a sus resistencias efectivas. Los coeficientes de autoinducción e inducción mutua y las razones de las autoinducciones a las inducciones mutuas pueden deter minarse a partir de ensayos con un devanado en circuito abierto, y los ensayos en cortocircuito proporcionan un medio para determinar el coeficiente de fuga y el coeficiente de acoplo. Las cinco constantes de un transformador de dos devanados con núcleo de aire pueden determinarse fácilmente midiendo la autoimpedancia de cada uno de sus devanados teniendo el otro en circuito abierto, y midiendo la inducción mutua. Corrientemente, las medidas se realizan mediante puentes adecuados para corriente alterna. Las únicas dificultades que pueden, probablemente, encontrarse son las resultantes de los efectos de las capacidades parásitas, los cuales pueden ser muy importantes a frecuencias elevadas. Como no hay pérdidas en el núcleo, la resistencia aparente de cada devanado con el otro en circuito abierto es su resistencia efectiva a la frecuencia empleada en la medida. Si son despreciables los efectos de las capa cidades distribuidas y el efecto cortical, las resistencias e inductancias son prácti camente constantes. En cambio, cuando el transformador tiene núcleo de hierro las medidas se com plican mucho a causa de las características magnéticas no lineales del hierro y de la existencia de pérdida en el núcleo. A causa de ésta, la resistencia aparente de un devanado cuando el otro está en circuito abierto no es su resistencia efectiva, sino una resistencia mayor; las resistencias efectivas de los devanados no pueden, pues, obtenerse a partir de ensayos en circuito abierto. Además, los valores de los coefi cientes de autoinducción e inducción mutua dependen de la amplitud de la inducción magnética alterna y, cuando por uno de los devanados circula corriente continua, de la intensidad de ésta. Por tanto, las inductancias deberán medirse en condiciones que se aproximen todo lo posible a las condiciones de utilización del transformador. Los valores de las inductancias dependen también de la historia magnética del núcleo, ya que el magnetismo remanente tiene un efecto apreciable sobre la permeabilidad aparente del material del núcleo. Por otra parte, los coeficientes aparentes de auto inducción e inducción mutua dependen de la forma de onda de la variación de flujo y los valores medidos dependen también del método de medida. Por todas estas razones, resulta inútil intentar lograr una gran precisión en la medida de los coefi cientes de autoinducción e inducción mutua, puesto que es prácticamente cierto que los valores de las induc tanci as en condiciones de fun jiona miento no serán exac tamente iguales a los valores medidos. Las características de un transformador dependen en gran manera de las fugas magnéticas y, afortunadamente, éstas pueden determinarse con precisión a partir de los ensayos en cortocircuito descritos en la parte c) de este apartado. Además, la variabilidad de los coeficientes de autoinducción e inducción mutua tiene relati-
E
INDUCCIONES
MUTUAS
427
vamente poco importancia cuando sea pequeña la amplitud de la inducción magné tica alterna, como suele ocurrir en los transformadores para comunicaciones. 3a. Medida de autoinducciones. Las autoinducciones se pueden med ir por varios procedimientos. La elección del mejor está influida por los valores de la inten sidad de corriente, tensión y potencia que intervienen; por la frecuencia a la que se realicen las medidas; y por el hecho de si h ay que medir las inductan cias incre méntales en presencia de corriente continua. Cuando se realizan las medidas a frecuencias del orden de las de los sistemas de potencia y cuando la corriente en vacío, tensión y poten cia son suficientemente grandes, la impedancia en circuito abierto de un transformador por cuyos devanados no circule corriente continua se puede medir utilizando instrumentos tipo par a corriente a ltern a, ta l como se indi ca en Fi o. 3. Ensayo en circuito abierto con la figur a 3. E n ell a se ha re prese ntad o un en instrumentos tipo para corriente alterna sayo en circuito abierto para determinar la pér dida en el núcleo y la corriente de excitación de un transformador para sistema de potencia. La autoimpedancia Z del devanado excitado es: oc
V Zoc = - ,
(51)
r
donde V es el valor eficaz de la tensión aplic ada leído en el voltímetro I ese la intensidad eficaz de la corriente de excitación determinada por la lectura del ampe rímetro A corregida, si fuera necesario de las corrientes que circulan por el voltí metro y por el devanado de tensión del watímetro. La resistencia aparente R es: 9
oc
Roc = ~-,
(52)
donde P„¡ es la potencia absorbida por el transformador determinada por la lectura del watímetro W corregida si fuera necesario de las pérdidas de potencia en el vol R no es tímetro y en el devanado de tensión del watímetro. Obsérvese que la resistencia efectiva del devanado excitado. La autorreactancia del devanado es igual a su reactancia en circuito abierto X y es: oc
oc
2
E . PETERSON, 528-534.
CircuitElement»,A. I. E. E. Trans., 46(1927) «Impedance of a Nonlinear
X„c = VzSc— BU,
(53)
de donde puede calcularse el coeficiente de autoinducción si se conoce la frecuencia. En el caso de frecuencias más elevadas y corrientes más débiles, las autoinduc ciones se pueden medir satisfactoriamente empleando un puente para corriente alterna adecuado. Las medidas deben realizarse a frecuencias suficientemente bajas para evitar los errores debidos a las capacidades parásitas. Si hay que medir la inductancia incremental circulando corriente continua por el devanado excitado, el circuito puente deberá disponerse de manera que proporcione un camino a la corriente continua, y la impedancia del generador de continua no deberá entrar
TRANSFORMADORES
428
AUTOINDUCCIONES
en la medida. La modificación del puente de Hay , indi cada en la figura 4, reúne satisfactoriamente estos requisitos. En la figura 4, ce es un generador ajustable de corriente continua, A es un amperímetro para corriente continua, det es un detector adecuado, y Tr es el transformador que se ensaya. Los condensadores confinan a la corriente continua al camino determinado por R y el transformador y como el puente puede equilibrarse ajusfando R y Rb, la corriente continua no se verá alterada por el proceso de obtención del equilibrio. Puede demostrarse que cuando está equilibrado el puente, la inductancia incremental en circuito abierto ÍI„ del transformador es: 3
E
INDUCCIONES
MUTUAS
429
transformador. Las magnitudes de las componente» alternas de las caídas de tensión ^23 y ^13 entre los puntos indicados en el esquema del circuito se pueden medir conectando sucesivamente un voltímetro de válvula adecuado entre los dis tintos pares de puntos. El voltímetro de válvula debe ser de un tipo que sólo indique
c
R
2
a
R RcGb a
1 y la resistencia aparente
+
(R coC ) ' b
b
(54)
2
(a)
R es: BC
Roe =
R R Re(wGf a
b
b
1 + [RbCoGof
?IG. 5.
Cuando se equilibra el puente para los armónicos fundamentales de las corrientes, no está equilibrado para los armónicos superiores introducidos por el núcleo de hierro del transformador, por lo que será imposible obtener una señal nula en un detector que sea sensible a los armónicos. Esta dificultad puede salvarse utilizando un detector selectivo, tal como un dor de ondas, sintonizado a laanaliza frecuen cia fundamental. Para frecuencias del orden de 250-500 Hz, el detector puede ser un receptor telefónico, utilizado con un filtro pasa-baja para reducir su sensibilidad a los armónicos superiores. La inducción magnética alterna en el transformador es muy aproximadamen te proporcional a la componen te alterna de su tensión en terminales dividida por la frecuencia. Se puede medir esta tensión alterna mediante un voltímetro FIG. 4. Puente de Hay para la medida de la de válvula de un tipo que sólo mide ten inductancia incremental. siones alternas. Si se supone que la ten sión alterna varía sinusoidalmente, la amplitud del flujo alterno se podrá calcular mediante la ecuación (19) del capítulo VI . Cuando la intensidad o la tensión es tan grande que no resulten convenientes los métodos de puente, la inductancia incremental podrá medirse por medio del circuito serie indicado en la figura 5a, que comprende un generador de tensión alterna sinusoidal, una resistencia no inductiva R.de valor conocido, un generador ajustable de corriente continua y un amperímetro A para corriente continua en serie con el • Para una de scripción mas mpleta co de ste e puente, éase v TWRTAKS F. E. ,,Measurements in Radio Engineering(New York: McGraw-Hill Book Company, Inc. , 1935), 53 -58. Para otra disposición del puentede Hay véaseB. HAGUE, Alternating-Current Bridge Methods (4a. d., e
Londres: Sir IsaacitPm an & Sons, Lt d. , 1938 ), 391 -392.
Circuito serie para la medida de la inductancia incremental
(55) tensiones alternas. Si estas tensiones alternas se suponen sinusoidales, podrán repre sentarse por los vectores V , V y V de la figura 56, que forman un triángulo. El factor de potencia del transformador en circuito abierto puede calcularse a partir de las lecturas V , V y V ; viene dado por: 12
u
rs
2 3
1 3
13
eos 0 = -
13
La inten sida d
(56)
1 2
de la corriente alter na de excitación es: J_12 . R'
(57)
y puede calcularse a par tir de la lect ura F del voltímetro y de la resistencia cono cida R. La inductancia incremental L viene entonces dada por: 1 2
oc
PJ S sen
6
(58)
Si el factor de potencia en circuito abierto es tan pequeño que la caída react ancia (fig. 56) es sustanc ialmente igua l a F , entonces,
V en la x
23
^23
=
^ R .
(59)
36. Medida de inducciones mutuas. También el coeficiente de inducción mut ua puede determinarse mediante un ensayo en circuito abierto, bien sea por medio de un puente adecuado o por medida de la intensidad de la corriente alterna que circula por el devanado excitado y de la tensión inducida en el devanado en circuito abierto. Como la corriente que circula por el voltímetro deberá ser suficientemente débil para tener un efecto despreciable sobre la corriente que circula por el devanado excitado y para producir caídas de tensión despreciables en el transformador, en los
430
AUTOINDUCCIONES
TRANSFORMADORES
transformadores pequeños habrá que emplear un voltímetro de válvula. Si se excita el primario y se deja el secundario en circuito abierto, la reactancia mutuaX es: m
X = f*
,
m
INDUCCIONES
L_ 1 N M~ k N '
(60)
E
E
x
x
donde E 2 es la tensión inducida en el secundario en circuito abierto I e es la intensidad de la corriente alterna de excitación del primario. Esta ecuación supone que la componente de pér dida en el núcleo de la corriente de excitación es despreiable y que la intensidad eficaz de la corriente de excitación es, por tanto, sustanialmente igual al valor eficaz de su componente reactiva o magnetizante. Suele ser más útil el cociente entre los coeficientes de inducción mutua y auto inducción que el valor verdadero del coeficiente de inducción mutua, ya que dicho cociente es sustancialmente constante a pesar de la naturaleza variable de las inducE inducida en el tancias. Puede determinarse dicho cociente midiendo la tensión V aplicada al devanado excitado. devanado en circuito abierto y la tensión alterna Así , si se exc ita el pri ma rio y se deja el secu ndar io en cir cui to abi erto , las ecuac iones vectoriales para las tensiones son: OC
vX
V = (R+jX )I, x
x
xx
m
x
xx
i +
x
Xrr
m
Un
(63)
Por tanto,
"
1
Anál ogam ente , si se apl ica al secu ndar io un a tensión V y se mide una tensión indu cida E„ \ en el primario en circuito abierto, 2
c
Am _ M _ E
ocX
XZ ,~L ,~
~V , i
1
+
y •
(6
5)
donde R es la resistencia efectiva del secundario. Si la frecuencia fuera tan elevada que las resistencias de los devanados resul taran pequeñas frente a sus autorreaetaneias, los cocientes de inductancias serían muy aproximadamente iguales a los cocientes entre las tensiones de las ecuacio nes (64) y (65). No obstante, las medidas deben realizarse a frecuencias suficiente mente bajas para evitar los errores introducidos por los efectos de las capacidades dif tril •uidíis. 2
x
> ) (66
2
y de la ecuación (44), • (67)
L ~ *N k
2
2
donde k y h„ son los cocientes entre el flujo mutuo y el flujo total creados por cada corriente actuando por sí sola. Como en los transformadores con núcleo de hierro la mayor parte del flujo atraviesa ambos devanados. k y k son casi iguales a la unidad. x
x
2
• Lue go, de las ecuaciones (66) y (67) resulta que LJM es ligeramente superior a la razón de transformaciónN /N , y L /M ligeramente inferior.^ x
2
2
La media geométrica de los dos cocientes de inductancias dados en las ecua ciones (66) y (67) es:
(62)
? 1
donde R es la(61) resistencia efectiva entre del primario X y es su autorreactancia. De ser: las ecuaciones y (62), el cociente las magnitudes de las tensiones resulta
v y * i oí X A2
431
(61)
x
E „ = jA' I , c 2
MUTUAS
En un transformador con núcleo de hierro, el cociente entre la inducción mutua y la autoinducción es aproximadamente igual al cociente enire los números de espiras. Así , de la ecuación (43),
M
L
2
N V k 2
x
o sea,
• La raíz cua drada del cociente entre las autoind uccion es es, pues, c asi igua l al cociente entre los números de espiras de un transformador con núcleo de hierro.^ Corrientemente, los cocientes entre inductancias de las ecuaciones (66), (67) y (68) difieren del cociente entre los números de espiras en un tanto por ciento muy pequeño y por tanto, se suele suponer que estos cocientes de inductancias son iguales al cociente entre los números de espiras. Sin embargo, no existen medidas eléctricas a partir de las cuales pueda determinarse exactamente el cociente entre los números de espiras. 3c. Ensayos en cortocircuito. La impedancia en eo rtocircuito de un trans formador es la impedancia medida entre los terminales de un devanado cuando el otro está cortocircuitado. En el apartado 86 del capítulo XIII se describe el ensayo en cortocircuito tal como suele aplicarse a transformadores de sistemas de potencia, y se ve que la impedancia en cortocircuito es casi igual a la impedancia equivalente referida al devanado excitado. Así, pues, el ensayo en cortocircuito es un medio sencillo de determinación del efecto combinado de las fugas magnéticas en ambos devanados. En este apartado se estudian algunos de los factores que deben consi derarse al medir la impedancia en cortocircuito de un transformador para comu nicaciones, y se pone de manifiesto que los coeficientes de fuga y de acoplo pueden determinarse a partir de los resultados de un ensayo en cortocircuito y un ensayo en circuito abierto.
TRANSFORMADORES
432
AUTOINDUCCIONES E INDUCCIONES MUTUAS
En los transformadores para comunicaciones, la impedancia en cortocircuito suele poderse medir satisfactoriamente por medio de un puente para corriente alterna adecuado. Como la reactancia en cortocircuito se debe casi por completo a los flujos de fuga, los cuales no se hallan afectados apreciablemente por la condición magnética del núcleo, no será necesario medir la impedancia en cortocircuito con una corriente continua superpuesta en el transformador, aun cuando éste deba funcionar de tal manera. Además, salvo por lo que respecta a los efectos de las capacidades distri buidas y al efecto cortical, las resistencias e inductancias en cortocircuito son sustancialmente constantes, y por tanto si dichos efectos no fueran despreciables, las medi das se podrían realizar a cualquier tensión y frecuencia convenientes. En los trans formadores de audiofrecuencia, las medidas se suelen hacer a unos 500 Hz porque es una frecuencia conveniente para las medidas con puente y también porque es aproximadamente la media geométrica del intervalo de frecuencias en el que suelen operar estos transformadores. Las medidas pueden hacerse con uno u otro devanado cortocircuitado y el otro excitado, con tal que para ambas disposiciones sean despreciables los efectos de las capacidades distribuidas a la frecuencia empleada en el ensayo. Suelen ser despre ciables en los transformadores reductores de salida utilizados en los circuitos de comunicaciones para acoplar la salida de un amplificador a una carga de impedancia baja, tal como un altavoz. En cambio, en los transformadores elevadores utilizados para acoplar un generador de impedancia baja a la reja de una válvula amplificadora, los efectos de las capacidades distribuidas suelen ser más importantes y por tanto
scl
7
rj
^1
Zf
2
Anál ogam ente , la imp eda nc ia en cort oci rcu ito med ida desde el lado del secu ndar io con el primario cortocircuitado es: Z
Í C 2
= Z
2
- | i -=
2
- J .
Z2í +
Si se cortocircuita el secundario y se aplica una tensión V! a los terminales del primario; las ecuaciones vectoriales para las tensiones son:
u
x
1 2
I
(69)
2
m
2 2
1
M
— R
-4<¡Y -
2 + jA
-i-
2 2
R
mi 2~jX ) 22
donde R R son las resistencias efectivas de los devanados yX„, X son sus aütorreactancias. La resistencia en cortocircuito es: R ' lt
2
22
s cl
X -jjrfñ-- R» 2
Rsci = R 1
V = Znl, + Z
>
Si se expresan las impedancias complejas Zy Z en función de las resistencias y autorreactanc ias de los devanados, la impeda ncia en cortocircu ito Z,,, se noriVÍ expresar en la forma,
X
se hace frecuentemente necesario medir sobre su primario (baja tensión) con el secun dario (alta tensión) cortocircuitado, la impedancia en cortocircuito de dicho trans formador de entrada. Así se reducen a un mínimo los efectos de dichas capacidades, puesto que el devanado al que corresponde mayor capacidad está cortocircuitado.
433
formador solo L a impedancia en cortocircuito Z medida desde el lado del primario con el secundario cortocircuitado es:
+
(77)
y la reactancia en cortocircuito X es scl
0 = Z I + Z I , 1 2
donde Z y Z mutua Z es: u
2 2
X
son las autoimpedancia
8
2 2
de
(70)
2
los
devanados.
La
1 2
Z
1 2
X,*-X
XI n
(7
= ±jX = ±jcoM,
(71)
m
donde X es la reactancia mutua. El signo algebraico de la ecuación (71) está deter minado por el sentido positivo supuesto para la corriente del secundario. Elimi nando la corriente del secundario entre las ecuaciones (69) y (70) se tiene, m
Obsérvese que la resistencia en cortocircuito es mayor que la resistencia efectiva del prim ari o, debido a que el secundario cortocircui tado absorbe potencia Por otra parte, la reactancia en cortocircuito es menor que la autorreactancia del pri mari o, a causa del ef ecto desmagnetiza nte de la corriente del secundario E st a modificación de la resistencia y reactancia aparentes es una propiedad general de las corrientes inducidas que circulan por circuitos limitados, como ocurre en este análisis o como ocurre con las corrientes de Fou ca ult que circ ulan por masas de metal Es interesante el hecho de que el factor X J(R\ + X ) de las ecuaciones (77) y (78) —que en cierto modo «refiere» al primario la resistencia y reactancia del secundario— sea igual al cuadrado del cociente de las tensiones en circuito abierto Es decir, 2
v
'
-
(
z
'
—
(
8)
impedancia
,
2
)
Compárese con la ecuación (24) de este mismo capítulo. La única diferencia existente entre las ecuaciones (24) y (72) es que en la ecuación (24) están incluidas las impedancias del generador y de la carga, mientras que la ecuación (72) se aplica al trans-
2 2
AU TO IN DU CC ION ES
TRANSFORMADORES
434
donde E i es la tensión que se induciría en el primario si estuviera en circuito abierto y se aplicara al secundario la te nsión F¡¡. Salvo a frecuencias muy bajas, el cociente entre las tensiones en circuito abierto de un transformador con núcleo de hierro es casi igual al cociente entre los núme ros de espiras y por tanto, por la ecuación (77), oc
R
iCl X
R
l +
(^i-)
2
R.
(80)
2
Por definición (véase apartado 6, cap. XIII), el segundo miembro de la ecuación (80) es la resistencia equivalente referida al primario, y por tanto, la resistencia en cor tocircuito es casi igual a la resistencia equivalente. Este hecho está de acuerdo con la conclusión a la que se llegó por otro camino en el apartado 86 del capítulo XIII. La suma de las resistencias efectivas de los dos devanados referidas a un mismo lado se puede determinar midiendo la resistencia en cortocircuito, pero a partir de esta medida, no hay manera de determinar exactamente la resistencia efectiva de cada devanado por separado. Afortunadamente es su valor combinado, resistencia equivalente o en cortocircuito, cuanto se suele necesitar para determinar la caída óhmica total en el transformador con precisión suficiente para la mayoría de los fines. En los transformadores pequeños para audiofrecuencia las resistencias efec tivas de los devanados suelen suponerse iguales a sus resistencias a la corriente continua. Si se mide la impedancia en cortocircuito a una frecuencia tan elevada que la autoreactancia del secundario se haga mucho mayor que la resistencia del secun dario, de las ecuaciones (77) y (78) resultan las siguientes expresiones aproximadas:
E
IN DU CC ION ES
M UT UA S
435
valores medidos de las reactancias en cortocircuito y en circuito abierto. Así, de la ecuación (83), A.cl 0
El coeficiente de acoplo por la ecua k está relacionado con el coeficiente de afuga ción (32); de donde, (85) k = y l—a
•(86) Aun cuando las expresiones aproximadas de las ecuaciones (81) a (86) suelen tener suficiente precisión, hay que hacer notar que al despreciar la resistencia del secun dario se introduce un error mucho mayor en la ecuación (82) que en la (81), ya que el segundo miembro de la ecuación (82) es la diferencia entre dos cantidades casi iguales. De la ecuación (78) puede deducirse la expresión exacta del coeficiente de fuga, que es: o- =
(
Xs cl
X cl 0
V (l
\ XI
).
Xscl
\
22
(87)
Xi I oc
Como la razón de la reactancia en cortocircuito a la en circuito abierto de un trans formador con núcleo de hierro suele ser menor que 0,01, la cantidad (1 es casi igual a uno, y por tanto, cuando (/XiJ ) sea despreciable frente X cilX a \ se podrá utilizar la expresión aproximada a para de la ecuación (84). 2
22
2
S
oc
3rf. Conclusiones referentes alas medidas de los parámetros. Según se indicó
'»-(^)
,
i
" - » ( -^;> r
,
)
l82
y por tanto, de la ecuación (33), X,ci « aX = aXoci,
•(83)
u
donde a es el coeficiente de fuga y la autorreactancia X es igual a la reactancia Xi medida desdi; el lado del primario con el secundario en circuito abierto. A la reac tancia aX se le llama a veces reactancia encortocircuito ideal y es el valor hipoté tico de la reactancia en cortocircuito para resistencia nula del secundario. La reac tancia en cortocircuito ideal aX es una cantidad importante no solamente en la teoría del transformador sino también en la teoría de muchos tipos de máquinas eléctricas giratorias. A menudo la resistencia del secundario es tan pequeña que la reactancia en cortocircuito real X \ es aproximadamente igual a la resistencia en cortocircuito ideal aX , como se indica en la ecuación (83). El valor aproximado del coeficiente de fuga puede determinarse a partir de los n
n
n
sc
n
oc
al principio de este apartado, cuando se desprecian los efectos de las capacidades, la pérdida en el núcleo y la no linealidad magnética, el funcionamiento del trans formador como elemento de circuito puede expresarse en función de cinco pará metros independientes, tres de los cuales se refieren a las inductancias y dos a las resistencias. Los coeficientes de autoinducción e inducción mutua pueden determinarse por medio de los ensayos en circuito abierto descritos en lasa)partes y 6) de este apar tado, y las inductancias en cortocircuito se pueden determinar a partir del ensayo en cortocircuito descrito en la parte c). Para determinar los valores de los tres pará metros de inductancia deberán realizarse al menos tres medidas de inductancias independientes y dada la importancia de las fugas magnéticas, una de estas medi das ha de ser un ensayo en cortocircuito. Por ejemplo, los tres parámetros induc tivos pueden determinarse a partir de medidas de la inductancia en cortocircuito de un lado, la inductancia en circuito abierto de un devanado, y el tercer ensayo puede ser una medida de la inductancia en circuito abierto del otro devanado (para las mismas condiciones magnéticas en el núcleo), o una medida de la razón de ten siones en circuito abierto (a partir de la cual puede determinarse la razón del coe ficiente de autoinducción al de inducción mutua). Por lo que respecta a las resistencias, suele ser posible formular hipótesis simplificativas. La resistencia combinada de ambos devanados, medida en cortocir-
436
TRANSFORMADORES
AUTOINDUCCIONES
cuito, suele ser cuanto se necesita para determinar la caída óhmica total en el trans formador. Sin embargo, si se precisa un valor aproximado de la resistencia efectiva de cada devanado, pueden medirse las resistencias a la corriente continua y deter minar la razón de la resistencia efectiva a la resistencia en corriente continua com parando la resistencia medida en cortocircuito con la resistencia en cortocircuito (81). calculada por sustitución de las resistencias en corriente continua en la ecuación Frecuentemente se puede suponer que las resistencias efectivas son iguales a las resistencias en comento continua.
4.
INDUC TANCIA
DE FUGA
Como el factor k introducido en la ecuación (42), es la razón del flujo mutuo
21
v
n
n
l_i.
1
l_ í? i.
=
m
=
Pero la diferencia entre el flujo total
21
1-ife^^^'í,
donde Ln es la inductancia de fuga del devanado
(89)
1 respecto al 2. De la ecuación (89),
L = (1 — kJL^ = Í-! — k L n
y sustituyendo la ecuación
t
t
(90)
(43) en la (90),
L = L, -^ M. n
(91)
Análogament e, la ind uct anc ia de fuga Ln del devanado 2 respecto al 1 puede expre sarse en la forma,
L
l
t
= L
2
-jM.
(92)
En la ecuación (91), (NJNJM es la inductancia mutua referida al primario y es la componente de la autoinducción del primario debida al flujo mutuo. Análoga mente, en la ecuación (92), (N /N )M es.la inductancia mutua referida al secundario. Obsérvese que si los devanados tuvieran igual número de espiras, las inductancias de fuga serían las diferencias entre los coeficientes de autoinducción y de inducción mutua. Aun cuando los coeficientes de autoinducción e inducción mutua de un transformador con núcleo de hierro no son constantes, la diferencia entre el coefi ciente de autoinducción de un devanado y el de inducción mutua referido a dicho devanado es igual a la inductancia de fuga, según indican las ecuaciones (91) y (92), t
1
E
INDUCCIONES
MUTUAS
437
y por tanto es casi constante, ya que los flujos de fuga se asientan parcialmente en el aire. Las ecuaciones (91) y (92) sugieren un método teóricamente posible para la deter minación de las inductancias de fuga. Así, si sé conoce la razón de los números de espiras y se miden o calculan a partir de los datos de diseño los coeficientes de auto inducción e inducción mutua, estas ecuaciones dan las inductan cias de fuga. No obs tante , este método es mu y poco preciso cuando se emplean los valores medidos de los coeficientes de autoinducción e inducción mutua de un transformador con núcleo de hierro. La inductancia de fuga de un tal transformador es, frecuentemente, del orden de un 0,2 % de su coeficiente de autoinducción. Por ejemplo, si el coeficiente de auto inducción de un devanado es de 10 H, su inductancia de fuga puede ser de unos 0,20 H. Si hay que determinar hasta el milihenry (o con una aproximación del 5 % de su valor) (91), habrá que medir el el valor de la inductancia de fuga a partir de la ecuación coeficiente de autoinducción con la precisión del milihenry, lo que representa un error menor que el 0,01 % de su verdadero valor, y el coeficiente de inducción mutua deberá medirse con igual tanto por ciento de precisión. En el caso de transformadores con núcleo de hierro es imposible realizar medidas tan precisas. A u n cua ndo no pued an deter minar se con precisión las indu cta ncia s de fuga de un transformador con núcleo de hierro sustituyendo en las ecuaciones (91) y (9,2) los valores medidos de los coeficientes de autoinducción e inducción mutua, dichas ecuaciones se uti liz an ocasi onalmente en cálculos de diseñ o *. C uando así ocurre, los coeficientes de autoinducción e inducción mutua se calculan a partir de la geo metría de los devanados y luego se determinan inductancias de el fuga mediante las ecuaciones. Como las inductancias de fuga no las están afectadas por flujo que se halla totalmente confinado en el núcleo, basta calcular solamente los coeficientes de autoinducción e inducción mutua debidos a los flujos que se hallan parcialmente fuera del núcleo, a los que se refieren las líneas finas de trazo continuo de las figuras 2 6 y 36 del capítulo XII. Suelen realizarse aproximaciones simplificativas referentes a la geometría de estos campos de fuga del núcleo y a los resultados calculados se apli can factores empíricos de corrección. Como los campos de fuga no se hallan muy afectados,por el núcleo, a veces se de sprecia por completo el efecto del núcleo de hierro y se calculan las inductancias de fuga como en las ecuaciones (91) y (92) a partir de fórmulas que dan los coeficientes de autoinducción e inducción mutua de bobi nas c on núcleo de air e *. 5.
CrBctnros EQUIVALEN
TES PABA TRANSPORMADO
RES DE D OS DEVANADOS
Suele ser muy útil en el análisis poder representar un transformador, válvula electrónica o máquina giratoria por un circuito equivalente que comprenda ele mentos resistivos, inductivos y capacitivos. Los circuitos equivalentes ayudan fre cuentemente a ver las relaciones expresadas en la teoría fundamental. Por ejemplo, el circuito equivalente de la figura 6 del capítulo X I I pone claramente de manifiesto editor, Transformer « L. F. BLUME, Engineering(NewYork: John Wiley& Sons, 1938), 76-78. » E . B . ROSA y F. W. GROVEK, «Form ulas and Tables for theCalculationof Mutual and Sci. Paper Nat. Bur. Stand., N° 169 (3a. ed. (revisada); Washington: Govern Self Inductance», m ent Prin ting Office , 1916).
TRANSFORMADORES
438
AUTOINDUCCIONES
los factores de importancia en la teoría de los transformadores y por tanto sirve para sugerir las simplificaciones que pueden hacerse a menudo en un estudio ana lítico, como el desarrollado en el capítulo XIII. No es ese, sin embargo, el único circuito equivalente que puede utilizarse para representar un transformador de dos devanados, ya que existen una infinidad de circuitos equivalentes, algunos de los cuales pueden tener un empleo especial. Siempre que se represente un dispositivo por un circuito «equivalente», es de la máxima importancia examinar con cuidado en qué aspectos el dispositivo real y su circuito «equivalente» son equivalentes y en qué se diferencian. El circuito «equivalente» no puede ser equivalente al dispositivo real en todos los aspectos a menos que fuera idéntico al dispositivo real. La falta de comprensión de las limi taciones de un circuito equivalente puede conducir fácilmente a conclusiones erróneas. Los circuitos equivalentes que so deducirán en este apartado se basan en la teoría de circuitos acoplados, según se expresa en las ecuaciones (5) y (6). Estas ecuaciones, y por tanto los circuitos equivalentes, prescinden de los efectos de la no lineal idad magnética, de la pérdida en el núcleo y de las capacidades distribuidas de los devanados. Las ecuaciones de las tensiones en circuitos acoplados aplicadas a un trans formador, formuladas en las ecuaciones (5) y (6) son: (93)
v
2
^ . =
Ri
2 2
, +
di,
L -^ 2
+
x
INDUCCIONES
MUTUAS
439 x
2
x
2
2
Vi = (f l + jX )l + jX I V = (R + jX )I + jX I . xl
x
2
2
S2
x
m
2
m
(95) (96)
t
x
Estas ecuaciones, en las que intervienen las cinco constantes del transformador (JB,, R , L , L y M), determinan unívocamente sus características eléctricas cuando se dan dos cualesquiera de los vectores corriente o tensión, sea explícitamente o por medio de relaciones vectoriales. Además de las cinco constantes fundamentales, puede introducirse una sexta cantidad si se desean las relaciones en una forma espe cial conveniente en el análisis o en la interpretación física. Así, si se multiplica la 2
x
2
ecuación (96) porI, un A, elegido y se divide por en A la del secundario lasnúmero ecuaciones de lasarbitrariamente, tensiones se pueden escribir la corriente forma,
di,
3
M^,
(94)
V, = (R + JXA)I + jAX x
donde v y v son las tensiones instantáneas en los terminales de los dos devanados e i , i son las intensidades instantáneas de las corrientes. Los sentidos positivos de estas corrientes y tensiones son los indicados en la figura 6a. Examinando estas ecuaciones se ve que son aplicables, no solamente al transformador, sino también x
E
las condiciones del circuito que afectan al problema en consideración. Obsérvese que si los devanados tienen igual número de espiras, las inductancias L— M y L — M de las ramas son las inductancias de fuga de primario y secundario. En cambio, si la razón de los números de espiras no es la unidad, Lo — M o bien L — M es casi siempre negativa. En general, una indüctancia negativa es una cantidad ficticia, pero a una frecuencia única una indüctancia negativaL —tiene una impedancia — jwL que es igual a la impedancia 1jjwCde un condensador cuya capacidad C es igual a l/co £. Para proseguir el estudio, supongamos que las corrientes y tensiones varían sinusoidalmente, con lo que podrán escribirse las ecuaciones de las tensiones en forma vectorial de la manera siguiente:
X1
X
(97)
m
2
2
''—VWí
A V = A*(ií + jX ) A + jAX I 2
2
22
m
A
(98)
x
I.
I"55OTOT -J-'000000* WW—•' V
,
_L
F io. 6.
(a) (b) Un transformador y su circuito equivalente deducido de las ecuaciones y (94) (93)
al circuito de la figura 66 que, por tanto, será equivalente al transformador en cuanto sus características eléctricas vienen especificadas por las ecuaciones (93) y (94). Obsérvese que este circuito equivalente representa a las ecuaciones tanto en las condiciones de estado permanente como transitorio. En la red de la que forma parte el transformador, éste puede sustituirse por el circuito equivalente de la figura 66, con tal que o exista una conexión directa entre terminales de igual polaridad (indi cada por la línea de trazos de la figura 6a) o que pueda realizarse sin alteración de
F ia . 7. Circuitos equivalentes generalizados para un transformador y su carga Si en las ecuaciones (97) y (98) A fuera igual a la razón de transformación N /N , entonces A V , I /A , A (R + jX ) y jAX serían la tensión del secundario, la corriente del secundario, la autoimpedancia del secundario y la impedancia mutua referida al primario, definidas en el apartado 4 del capítulo XIII. Así, pues, las ecuaciones (97) y (98) se pueden considerar como ecuaciones para el circuito aco plado con la tensión de secundario, corriente del secundario e impedancia «refe ridas» al primario en un sentido más general que cuando A es la razón de transfor mación. x
2
2
2
2
22
m
t
440
AUTOINDUCCIONES
TRANSFORMADORES
Obsérvese que las ecuaciones (97) y (98) son aplicables al circuito T de la figura 7a, en el cual la impedancia mutua 7/ «referida» al primario es: m
Z' m
Z;=jAX
m
,
E
INDUCCIONES
MUTUAS
441
Si A es igual a la razón de los números de espiras XJN,, la impedan cia Z' e s en vi rtu d de la ecuación (99), '
(99)
- i t Y ~ N N
3
< )
m
2
10 6
y las impedancias de las ramasZ{ y Z' son, en virtud de las ecuaciones (100) y (101), 2
y las impedancias de las ramas Z[ y Z «referidas» al primario son: 2
Zí = Z - Z ; = R, + j(X- AX ) u
u
Zj = A Z
Z'
2
2 2
M
= A £ + j(A X 2
2
2
Z Í = *i + i ( x
(100)
m
^+J 2 2
- AX ) = A*R -+ J A |z, m
2
t
(101)
M
- ^A
u
A
^-|T
m
)
(107)
(ios)
2
Por las ecuaciones (91) y ( 92), las re actancia X s— (NJN )X y A — (NJN,)X son las reactancias de fugaX del primario y X del secundario, respectivamente' Luego, cuando A es igual a NJN , n
n
donde Z y Z son las autoimpedancias vectoriales de los devanados. Si el secunda rio de un transformador suministra potencia a una carga cuya impedancia esZL, la carga equivalente en la cual una tensión A crearía V una corriente I/ A tendría una impedancia A Z L , como se indica en la figura 76 , tanto si A es un número real como si es complejo. S i A es real, l a tensión Ay Vla intensidad I / A están rel aci o nadas con la tensión verdadera del secundario yV con la intensidad de la corriente del secundario I como lo están las tensiones e intensidades de primario y secundario n
2 2
2
2
6 Y
2
—
Z
"
-I L
y
(no)
n
M
En estas condiciones, las ecuaciones (99), (100) y (101) se reducen a Z
(102)
(104)
+jx).
referidas al primario, y la impedancia Z' es la reactancia mutua o magnetizante referida al primario. Por tanto, cuando A es igual a la razón de los números de espiras el circuito equivalente de la figura 7 se convierte en el de la figura 66 del capítulo XIII (pérdida en el núcleo despreciable). Así, pues, los circuitos equivalentes en que inter vienen mductancias de fuga pueden considerarse como casos particulares del cir cuito equivalente general de la figura 7. Caso II: A = 1.
m=jX
(ni)
m
M
(103)
2
2
í = -Si +j(X — X )
(H2)
Z' = R + j(X — X„).
(H3)
z
v
N \
^1
Las impedancias Z[ y Z' son las impedancias de fuga de primario y secundario
1 2
Y
(pQg)
n
(
2
en un transformador cuya razón deserá transformación sea A, como se 7c. Así, pues, ideal un transformador equivalente eléctricamente al indica circuitoenT la figura de la figura 7a con la carga equivalente A Z¿ de la figura 76 o bien al transformador ideal de la figura 7c conectado a los terminales 2' del circuito T. Como A puede tener un valor arbitrario cualquiera, existe una infinidad de cir cuitos equivalentes de éstos, correspondiendo cada uno a un valor A. Como todo circuito T puede sustituirse por un circuito TI equivalente, existirá también una infinidad de circuitos n equivalentes de la forma indicada en la figura Id, correspon diendo cada uno de ellos a un sistema particular de valores de las impedancias de la T de la figura 7a. Las relaciones vectoriales entre las admitancias den la Y , « i ma de la figura Id y las impedancias de la T Z[, Z y Z' de la figura 7a son:
2 2
2
2
2
m
Z[ = i?j + jX
2
2
2
2
l2
u
2
2
m
22
El circuito equivalente de la figura 7 se reduce entonces al de la figura 66 de este capitulo.
Caso III:
A =
j/
h •
Para este valor de A puede demostrarse fácilmente que
donde D,
= z;z + z z; + z;z;. 2
2
(105)
El estudio siguiente trata algunos de los circuitos equivalentes particulares que pueden deducirse del circuito equivalente general de la figura 7 mediante el uso de valores apropiados de A. Caso /: A = NJNg.
Z
z
m = Í ^ n
( 11 4)
í = -ffi+j(l — k)X
(H5)
u
2=
z
2
R 2
—k)X, u
11 6) (
442
TRANSFORMADORES
AVi ¿INDUCCIONES
E
INDUCCIONES
MUTUAS
443
donde k es el coeficiente de acoplo. Este circuito equivalente es el que se presenta marión y de las inductancias paralelo y serie de las figuras 86 y 8c son tan pequeñas Z[ ias y Z' son iguales en la figura 8a. Obsérvese que las reactanc ias de las impedanc ordinariamente que pueden considerarse por completo inapreciables. en este circuito equivalente. Si se supone que la pérdida en el núcleo varía como el cuadrado de la tensión entre los extremos de la rama kL paralelo , la pérdida en el Caso VI: A = . " = - Z L kL designada núcleo podrá disiparse en una resistencia conectada en paralelo con jX E 2 por r en la figura 8a. Una de las formas más útiles de circuito equivalente se obtiene cuando el factor A es el cociente complejo entre la autoimpedancia y la impedancia mutua. Obsérvese Caso IV: A = • 2
Z
x
v
m
0 C
c
M
k \ L 2
R, fa-k)L^ z > V r ' R 2
En estas condiciones, de las ecuaciones (99), (100) y (101),
Z;=jX
Z = JJ + j O 1
:
1
(117)
u
(118)
1
ZáH^I
* . + ¿ ^ .
< >
(a)
119
dondea es le coeficient e de fuga y es igua l a k1 . — En la figur a 86 puede verse el circuito equivalente. En éste, la inductancia serie responsable de la fuga magnética se halla totalmente en el lado del secundario de la inductancia paralelo responsable o~X es la reactancia en cortocircuito de la corriente magnetizante. La reactancia ideal, que es ligeramente inferior a la reactancia en cortocircuito X \ medida desde el ladodel primario (véase e c. 87), y por tan to la reactan aX cia /k de la ecua X i- o ción (119) es muy aproximadamente igual a la reactancia en cortocircuit L puede conectarse una resistencia r que disipe la pérdida en el En paralelo con núcleo si se considera que ésta varía como el cuadrado de la tensión entre los extremos de la inductancia paralelo. Como esta tensión es la tensión entre terminales del pri mario menos la caída óhmica del primario, es la tensión inducida por todo el flujo (tanto do fuga como mutuo) que atraviesa el primario.
ideal
2
M
n
sc
u
pri. L¡
2
sc
x
Gaso
V:
(b)
c
A= ~ = k
ideal
(O
ideal
pn.
Para este valor de A, las impedancias son:
Z' =jkX m
2
(120)
n
Z = R +jaX 1
1
(121)
u
tM\ 2
Z = 2
y-
*i +¿0.
(122)
Véase la figura 8c. En este circuito la inductancia serie se halla en el lado de primario de la inductancia paralelo, y el empleo de una resistencia r en paralelo que disipe la pérdida en el núcleo se basa enla hipótosis de que la pérdida en el núcleovaría como el cuadrado de la tensión inducida por el flujo resultante que atraviesa el secundario. c
¡k) Y (1 LJL de la figura 86 y el Obsérvese que variando A entre el valor Fi o. 8. Algunos de os l circuitos equivalentes queden pue deducirse de lafigura 7 k \ JJJL de la figura 8c el punto de unión de la inductancia paralelo se traslada que el cociente entre la autoimpedancia y la impedancia mutua es igual a la razón de uno a otro extremo de la inductancia serie y varía ligeramente la razón del transde as tensiones ve ctoriales en circuito abierto; así dividiendo las ecuaciones61() iOrmador ideal y los valores de las ramas paralelo y serie del circuito equivalente. y (62), se tiene, ' El coeficiente de acoplo de los transformadores con núcleo de hierro suele ser tan _Y_L = A. próximo a la unidad que las diferencias entre los valores de la razón de transfor(123) jXm E/,c2 2
2
A UT OI ND UC CI ON ES
TRANSFORMADORES
444
donde E« es la tensión vectorial en circuito abierto inducida en el secundario cuando se aplica al primario una tensión representada por el vector Vj. Cuando A= Z /jA se sustituye en las ecuaciones (99), (100) y (101), a
u
m
Z ' - Z „ - Z « ,
(124)
2 ¡ _ 0
( 12 5 )
Pero, en virtud de la ecuación (75), Z
22
+ ^ = Z« ,
(129)
2
donde Z „ es la impedancia en cortocircuito medida desde el lado del secundario. En consecuencia, 2
Por tanto el circuito equivalente.se podrá trazar como en la figura 8a\ Si se «refiere» al lado del secundario del transformador ideal la impedancia en cortocircuito, el cir cuito equivalente se convierte en el de la figura 8e, que puede compararse con el de la figu ra 9a del capítulo XI I I . En la figur a 8e, el transfo rmador se represen ta, como en el teorema de Thévenin, por su impedancia en cortocircuito Z« en sene con su tensión del secundario en circuito abierto E 2 , la razón dé transformación se repre senta por un transformador ideal cuya razón es el cociente entre las tensiones vec toriales en circuito abierto VJEoct, y la corriente de excitación estará transportada por la impedancia en circuito abierto conectada entre los terminales del primario. a
0 C
Caso
VIL A = ^ = ^-
Puede demostrarse fácilmente que el cociente complejo entre la impedancia mutua y la autoimpedancia del secundario es igual al cociente entre la tensión E « i (vector) en circuito abierto medida desde el lado del primario y la tensión V (vector) apli cada al secundario, y que cuando A és igual a este cociente complejo el circuito equivalente se convierte en el de la figura 8/, que puede compararse con el de la figura 96 del capítulo XIII. Los circuitos equivalentes de las figuras 8e y 8/ son especialmente convenientes para representar un transformador en función de los valores medidos de sus cons tantes, puesto que los parámetros de estos circuitos equivalentes se pueden medir
E
IN DU CC IO NE S
MU TU A S
445
con facilidad por los métodos descritos en el apartado 3. Corrientemente, el argu mento del cociente complejo de las tensiones en circuito abierto es despreciable v por tanto puede determinarse un circuito casi equivalente al transformador midiendo la resistencia en cortocircuito y la reactancia de un lado, la resistencia en circuito abierto y la reactancia del otro módulo y el del cociente de tensiones en circuito abierto. (i.
RESUMEN*
Reviste gran interés contrastar los circuitos equivalentes en los que intervienen inductancias de fuga con el circuito equivalente general de la figura 7. Si el factor A de las ecuaciones (97) y (98) es la razón de números de espiras, las inductancias serie del circuito equivalente de la figura 7 se convierten en las inductancias de fuga, lo cual da un concepto físico de los fenómenos que intervienen. Por otra parte, si el factor A es otro número cualquiera, el análisis se reduce a un problema puramente matemático en el cual se realizan ciertas transformaciones que ayudan a obtener la solución buscada. Estas transformaciones matemáticas se eligen sin atender a su significado físico. Es suficiente que sean herramientas útiles. Ambos métodos de análisis se fundan en las mismas leyes físicas deducidas de los resultados obser vados de ciertos fenómenos. El concepto físico se ha creado como ayuda para la comprensión de estos fenó menos y, aun cuando no pretende constituir una representación completa, ha demos trado ser de inestimable valor para reforzar la apreciación del significado de las leyes físicas sobre las que se asienta el análisis. Posiblemente, el más famoso de estos conceptos fue propuesto FARADAY por para ayudar a dar una imagen de los fenó menos de mediante inducción líneas electromagnética. Su concepto del influencia campo magnético y su repre sentación de fuerza han tenido gran en el desarrollo de dispositivos eléctricos. A pesar del gran valor que posee el concepto físico, la insistencia en que sea a pli cado a la solución de ciertos problemas puede revelar ciertas desventajas. Ejemplo de ello lo tenemos en la teoría del transformador. Si se utiliza el concepto de inductancia de fuga, solamente se tendrá un circuito equivalente. Por otra parte, si se manejan las ecuaciones de los circuitos acoplados como si el problema fuera pura mente matemático, el factor A de las ecuaciones y (98) (97)puede tomar un valor cualquiera y se obtiene un número infinito de circuitos equivalentes. En el análisis de ciertos problemas puede ocurrir que uno de esos circuitos equivalentes resulta preferible a cualquier otro. Es decir, puede ser mejor operar con las relaciones físicas iniciales sobre las (pie debe edificarse la solución, en un sentido estrictamente mate mático sin intentar formar un concepto físico de las operaciones. Así, pues, podemos concluir que estos dos métodos de análisis se complementan y que sería absurdo rio desarrollar la capacidad de aplicar uno u otro.
2
PROBLEMAS
1. Pr >bar que vil todo transformador la razón de la intensidad de la corriente del primario a la del secundario con el secundario eortocircuitado es igual a la razón de la ftwion del secundario a la del primario con el primario en circuito abierto, sidespr se e cian los electos de las carnetpristióos niaenét icas no lineales delnúcleo.
TRA
446
NS FORMADO RES
AU TO IN DU CC IO NE S
2. Cuando se aplica una tensión de 10 V a 600 Hz al primar io de un transformador con núcleo do aire estando el secundario en circuito abierto, la corriente y potencia del primario son de 2 A y 16 W y la tensión del secundario es do 8 V. Cuando se aplica al secundario una tensión de 20 V a 000 Hz con el primario en circuito abierto, la corriente y potencia son de 1,0 A y 16 W. a) ¿Cuáles son los valores de las dos autoinducciones y de la inducción mutua? b) ¿Cuáles son los valores del confidente de acoplo k y del coeficiente de fuga al c) Si entre los terminales del secundario se conecta una resistencia no indu ctiv a de 14 ohm, ¿qué intensidad de corriente y qué potencia consumirá el primario cuando entre sus terminales se aplique una tensión de 30 V a 600 Hz? 3. Los datos siguientes se obtuvier on de un transformador con núcleo de aire, empleando un puente para corriente alterna accionado a 1 000 Hz: Resistencia del Inductancia del Resistencia del Inductancia del Induc tanci a de
devanado primari o = 3,0 ohm primario con el secundario en circuito abierto —- 217 mH devanado secundario = 12,2 ohm secundario con el primario en circuito abierto = 867 mH primario y secundario conectados en serie = 1,84 H.
Además, se lian medido a 1 000 Hz la razón de tensiones en circ uito a bierto y la impedancia en cortocircuito referida al primario, dando:
E C2 0
172 V 100 V
Isa
10 V 5,5 mA
Utilizando estos datos para calcular las cons tantes del transformador, se halla que al menos una de las medidas debe ser errónea. Si puede suponerse incorrecta sólo una de las medidas, a) ¿Cuál de ellas es errónea? b) ¿Cuáles son los valores correctos de L„ L M, k, y al Fio. 9. Transformador con núcleo de aire, problema 4 4. Un transformador con núcleo de aire con igual número de espiras en primario que en secundario se ensaya en la forma indicada en la figura 9. Cuando se aplica al pri A señala 1,00 A yV 10,0 V. Cuando se inter mario una tensión de 110 V a 1 000 Hz, A señala 0,95 A yV 13,7 V. Las resistencias cambian los devanados y se repite el ensayo, de primario y secundario se sabe que son 5,0 ohm y 5,2 ohm, respectivamente. La resis tencia del amperímetro y la conductan cia del voltímetro son ieaprcc iables. v
a) ¿Existe alguna incom patibi lidad entre los datos? b) ¿Cuáles son los valores deL¡, L.¡, M, k y cr? 5. Se han realizado las siguientes medidas en un transformador de salida con núcleo de hierro para audiofrecuencia: 1) Se han medido con un puente de corriente continua las resistencias de los deva nados, resultando ser: R = 310 ohm R = 2,22 ohm x
2
E
IN DU CC ION ES
M UT UA S
447
2) Con un puente para comente alterna accionado a 600 H z, la resistencia en corto circuito y la inductancia del primario han resultado ser: 760 ohm
0,104 H
3) Con el secundario en circuito abierto y el primari o conectado en la forma indicad a en la figura 5 y alimentado por un generador de 600 Hz, se obtuvo el siguiente sistema de valores:
v» v y» R E ct 23
0
= 49,7 V, = 40,0 V, = 65,3 V, = 50 000 — 3,98 V
c. a. c. a. c. a. ohm
Hallar, a partir de estos datos: rga a) La resistencia aparente del pri mario b) Una estimación de la resistencia efectiva del primario o) Una estimación de la resistencia efectiva del secundario d) La autoinducción del primario e) La autoinducción del secundario í) La inducción mutua pro 9) El coeficiente de fuga Fio. 10. Transformador blema 7con toma media, h) El coeficiente de acoplo. 6. En un transformador ordinario de audiofrecuencia para comunicaciones la razón de la inductancia en cortocircuito ideal a la inductancia en circuito abierto es de 0,01 aproximadamente. Calcular los errores porcentuales en las relaciones aproximadas siguientes para cada una de las tres hipótesis que se especifican:
\
L,
~ Z L . ~ AV
M
~
~ N,
M
;
£
2
„ ' ~ N • N
t
a) Supóngase todo el flujo de fuga asociado al primar io. b) Supóngase todo el flujo de fuga asociado al secundario. c) Supóngase que para ambos devanados los cocientes entre la fuga y la autoin ducción son los mismos. 7. Un amplificador de potencia con dos válvulas de vacío trabajando en contrafase (push-pull) se acopla a su carga mediante un transformador con toma media en el pri mario, tal como se indica en la figura 10. En dicha disposición, las tensiones alternas aplicadas entre los terminales exteriores del primario y la toma media están en oposición de fase y son aproximadamente iguales. Tomando las polaridades del transformador y los sentidos de las corrientes en la forma indicada en la figura 10 y suponiendo que la carga puede representarse por una resistencia pura:
a) Esc ribi r las ecuaciones de los circuitos acoplados para esta red. b) Dib uja r un circuito equivalente que no contenga transformadores. 8. Un amplificador de válvula de vacío que opera en un dominio restringi do y con una entrada sinusoidal puede representarse a menudo por un generador equivalente de onda sinusoidal con una resistencia en serie. Un amplificador para el cual sean ciertas estas condiciones ha de suministrar potencia a una carga que puede representarse por
448
Características de frecuencia
TRANSFORMADORES
una resistencia pura de 8,0 ohm. El circuito equivalente del amplificador de válvula está constituido por un generador de onda sinusoidal de 100 V en serie con una resisten cia de 800 ohm. Para acoplar el amplificador a la carga se ha de emplear un transformador de adaptación, de los cuales disponemos de dos. Los datos correspondientes se consig nan más adelante. ¿Cuál de estos transformadores hay que emplear para suministrar la potencia máxima a la carga a una frecu encia de 1 000 Hz ? Desprecíense la pérdida en el núcleo en ambos transformadores y supóngase que la fem y la resistencia interna equivalentes del ampli ficador de válvula de vacío son constantes. DAT OS
DE L
TRANSFORMADOR
Transformador
A
57 m H
10 00 HERT Z
Transformador
B
62 mH 12
10 ¿«i
A
300 ohm 45 mH
400 ohm 36 mH
RESISTENCIAS A LA CORRIENTE CONTINUA
Transformador R, Rt¡
182 ohm 1,90
A
Transformador
B
140 ohm 1,01
9. Especificar, para elTransformador A del problema 8, los valores de los paráme tros para circuitos equivalentes de los tipos indicados en las figuras 66, 8a, 86Sd.y Formúlense las hipótesis necesarias. 10. Para un transformador en el que se conecten los termina les de polaridad d i ferente, hallar:
a) Un circuito equivalente que no contenga transformadores ideales. b) Un circuito equivalente qu e contenga un transformador ideal cuya razón de tensiones sea
Los trans formador es de sistemas de potencia suelen func ionar a tensión y frecuen cía sustancialmente constantes y las características eléctricas recomendables suelen ser gran rendimiento, poca regulación de tensión y corriente de excitación débil 6»n em barg o, en m uch as a pli cac ion es i mpo rta nte s de l os tra nsf orma dor es la tensión y la frecuencia varían entre ampl ios límites. La más imp orta nte de estas aplic aciones es, probablemente, la transmisión de la palabra y de la música, en la cual los trans íormadores deben funcionar en toda la banda de frecuencias audibles * En este capitulo se estudiarán algunas de las características importantes de los transforma dores par a servicios de frecuencia varia ble. Au n cuando hagamo s hincapié en los cir curtos de audiofrecuencia par a comunicaciones, los transformadores par a frecuencia variable tienen gran aplicación en los circuitos de medida y mando. En un sistema de comunicación, el transformador suele ser un elemento que conecta un generador de fuerza electromotriz —por ejemplo, un micrófono— con una carga tal como un altavoz. La fuerza electromotriz del generador está creada por la palabra o la música que se trasmite y la función del circuito interconector es amplificar la potencia de salida del generador y aplicar a la carga una tensión cuya for ma de onda se adapte todo lo posible a la de la fuerza el ectromotriz del gene rador. Aun cuando las formas de onda de las fuerzas electromotrices debidas a la palabra y a la música son extraordinariamente complicadas y son, en realidad semitransitorias, del conocimiento de la respuesta del circuito a las tensiones sinu soidalesdel aplicadas información. función periódica man tenida tiempo puede obtenerse expresarsemucha en serie de FourierToda de componentes armónicas sinusoida les cada una de las cuales tiene una frecuen cia múltiplo de la frecuenc ia fundamental. ** FOURIER , descubridor de esta serie, también descubrió que toda función transitoria o no periódica del tiempo puede resolverse en un espectro continuo de componentes armónicas sinusoidales mantenidas. Esta extensión de la serie de Four ier se conoce como el méto do de anál isis de la integral de F ouri er * Por su perposición combinada con los métodos de análisis de Fourier puede predecirse la respuesta de todo circuito lineal a tensiones permanente? o transitorias de forma cualquiera si se conoce vectorialmente su respuesta a la tensión de un generador de íorma de onda sinusoidal en todo el dominio de frecuencias en cuestión. La curva que indica como varía con la frecuencia el valor de la razón de la tensión de la carga a la tensión del generador sinusoi dal recibe el nombre de característica de frecuencia o res¬ del circuito, y la curva que da el ángulo de defasaje entre dichas puesta a la frecuencia r^rnní , ?% ^ í * ° ' P '»a dam ent e, 16 y 20 0 00 Hz, pero se obti ene una reproduccon satisfactoria de la música si se suprimen de esta banda de frecuencias las octavas interior y superior. Para una transmisión inteligible de la palabra es necesario transmitir solav f " ° «^Prendida entre 250 y 2 750 Hz. Véase D. G. FINK, Engineering ¿Z,LIZ ,7 Electronics New ( Yor k: McGraw- HiU Book Company, Inc., 1938) 272 ** Véase el apartado 9, capítulo VI. J
O S U r aÍ,
d e
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Aires, 196L * * *
PAS T
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AnáiUit
449
Matemático, tomo III Kapelusz, Buenos
TRA
450
CARACTERÍSTICAS
NSFORMADORES
tensiones en función de la frecuencia se conoce con el nombre de característica de fase *. Estas características no sólo dependen de las constantes del transformador que puedan existir en el circuito sino también de las impedancias internas del generador y de la carga. Para tener una reproducción satisfactoria de la palabra y de la música, las formas de onda de la tensión de carga y de la tensión de generador han de ser lo más iguales posible, independientemente de la tensión y de la frecuencia. Es decir, la res puesta del circuito a las tensiones de generadores sinusoidales debe ser esencialmente lineal respecto a las variaciones de magnitud de la tensión del generador, la caracte rística de frecuenci a debe ser c asi «plana» y el retraso de ti emp o entre la tensión del generador y la tensión de la carga debe ser pequeño e independiente de la frecuencia. Entre las aplicaciones más importantes de los transformadores a los circuitos de- comunicaciones se hallan sus usos para cambiar la tensión de un generador, para cambiar la impedancia aparente de una carga, para aislar la corriente continua entre un circuito y otro, para permitir puestas a tierra independientes de los cir cuitos primario y secundario y para invertir la fase de una tensión. Por ejemplo, a la entrada de un amplificador suele conectarse un generador de tensión de señal por medio de un transformador de entrada cuya misión es elevar la tensión de señal antes de aplicarla a la reja de la primera válvula del amplificador. El transformador de entrada puede servir también para proporcionar un camino a la corriente continua que pueda haber en el generador —por ejemplo, si éste es un micrófono de carbón. En los amplificadores multietapa constituidos por varias válvulas de vacío en cas cada, se utilizan a veces transformadores interetapa para acoplar la salida de una válvula a la reja de la etapa de amplificación siguiente. de transformación elevadora, el transformador interetapa puedeEmpleando emplearse una pararazón aumen tar la amplificación de tensión. Ejemplo de transformación de impedancia lo cons tituye el transformador de salida, utilizado frecuentemente para acoplar una carga, tal como un altavoz, a la salida de la última válvula del amplificador. El fin del transformador de salida es cambiar la impedancia aparente de la carga vista desde el lado del primario del transformador hasta un valor que permita a la válvula entre gar la máxima potencia a la carga, con una distorsión tolerable. El transformador de salida evita también que la corriente continua de la salida de la válvula circule por la carga. En todas estas apücaciones, las características de frecuencia y fase son muy importantes si el circuito debe funcionar en una banda amplia de frecuencias.
DE
FRECUENCIA
451
formador se supone ideal. Un transformador real tiene aproximadamente las carac terísticas de un transformador ideal en tanto que la impedancia de carga sea grande frente a la impedancia serie equivalente del transformador y en tanto que la impe dancia de excitación paralelo del transformador sea grande frente a la impedancia de carga (estando referidas todas esas impedancias a un mismo lado del transformador). La aplicación probablemente más común de los transformadores al cambiar impedancias es su utilización para aumentar la potencia entregada a una carga por un generador de impedancia interna y fuerza electromotriz fijas. Cuando puedan ajustarse independientemente la resistencia y la reactancia de la carga, la potencia suministrada a la carga será máxima cuando su impedancia compleja sea conjugada de la impedancia compleja del generador. Si la carga es puramente resistiva, la con dición de potencia máxima se tiene cuando la resistencia de carga es igual al módulo de la impedancia del generador. En los circuitos de comunicaciones se presenta fre cuentemente el caso sencillo en que las impedancias del generador y de la carga sean ambas resistencias puras, en tal caso, la carga recibirá la máxima potencia cuando su resistencia y la del generador sean iguales. Se dice entonces que las resistencias de la carga y el generador están adaptadas.Así, interponiendo un transformador ade cuado entre una carga resistiva y un generador resistivo, de resistencias fijas una y otro, se puede cambiar la resistencia aparente de la carga de manera que dé un gran incremento a la potencia suministrada a la carga. Au n cuan do l a pot enci a su min ist rad a a un a resi stenc ia de carga e s máxima cuand o su resistencia aparente es igual a la impedancia interna del generador, la potencia suministrada a la carga no será muy inferior al valor máximo posible cuando la resistencia de carga aparente difiera, incluso apreciablemente, de la impedancia del R su generador. Así, si es E el valor eficaz de la fuerza electromotriz del generador y impedancia interna (supuesta puramente resistiva), se entregará la potencia máxima PL máxa una carga resistiva cuando la resistencia aparente de la carga sea igual a Re. Para estas condiciones, la intensidad / de la corriente que circula por el circuito serie es: G
G
1=-^-, 2R '
(1)
G
y la potencia máxima entregada a la carga es:
PL máx = I X (resistencia aparente de carga) PRa=
(
2
1 . RELACIONES DE
POTENCIA
Los transformadores se emplean a menudo en circuitos de mando, medida y comunicaciones, por su propiedad de cambiar la impedancia aparente de una carga. Si a los terminales del secundario de un transformador se conecta una carga cuya impedancia es Z¿, la impedancia aparente de esta carga vista desde el lado del pri mario del transformador es a Z¿, donde o es la razón de transformación y el trans¬
Para cualquier otro valor de la corriente es:
r 0
G
L
Esta s dos curvasdan la amplitud y fase de la razón vectorial de la tensión de carga a
y la potencia'Px. entregada a la carga es:
(*)
E a
G +
R
la tensión del generador en función de la frecuencia. Mejor sería llamar a la característica am
plitud-frecuenciacaracterística de amplitud, pero la terminología común llama impropiamente a la característica amplitud-frecuencia por el nombre de la variable independiente —la frecuen cia^— si bien a la característica fase-frecuencia se la designa con el nombre de su variable función: fase.
4R
(3)
R' de la resistencia aparente de la carga, la intensidad /' / ' , =,
2
*
R
=
'L
R
)
2
TRANSFORMADORES
4 5 2
CARACTERÍST1CAS
La razón (lo la potencia de carga P a la potencia de carga máxima posible L
P máx es: L
(6)
Ec 2
4R R' R' f G
L
(Rr.
(7)
L
• (8)
R; 2
' t
+
En la figura 1 puede verse la curva de la razón de potencias PLJPL en función de la razón de resistencias ll'JR representada a escala logarítmica. De la ecua ción (8) resulta que si R'JHa es igual a 3 (ó ¡ ), la razón P \Pi.má* es igual a -/«. c
1
3
L
2.
"0,1
0>2
0,3 0,4
0,6 0,8 1
2
3
4
6
8
10
Razón e d resistencia s,jf-
F io.
1.
Curva de razónde potencias P lR max L
L
e n
función de la razónde resistencias RHS . a
DE
FRECUENCIA
453
mstrada a una carga es el del transformador de salida utilizado para acoplar la salida de la válvula final de un amplificador a la carga, que puede ser un iltavoz de impedancia baja. En estas aplicaciones, .las características de la válvula pueden introducir distorsión a menos que se ajuste adecuadamente la impedancia dé eam-, a la válvula, Así, cuando una válvula func iona line almc nte (clase A) la variación de su intensidad do placa srcinada por la tensión variable de señal aplicada a su reja debe restringirse a un intervalo limitado, y por tanto la impedancia aparente de la carga debe ser ta l que la válvula no se vea obligad a a funcio nar fuera d o los limites de la intensidad de placa. * Es decir, la impedancia aparente de la oanm h« de ser tal que, para una distorsión determinada, se entregue a la carga la potencia máxima. Para un triodo que funcione como amplificador lineal, esta impedancia de carga suele ser más del doble de la resistencia dinámica de placa de la válvulapara un pentodo, la impedancia de placa apropiada es solamente una fracción dé la resistencia dinámica de placa. En otras aplicaciones, como en los amplificadores que trabajan en contrafase (push-pull), » la potencia máxima de salida puede (.star limitada por la potencia que pueden disipar las válvulas sin peligro; en diversos casos de válvulas, pues «.1 valor adecuado de la impedancia de carga aparente puede resistir casi cualquier relación con las resistencias dinámicas de placa de las válvulas CARACTERÍSTICAS DE FRECUENC SALIDA
IA Y
FASE DE LOS
TRANSFORMADORES DE
Para conectar la bobina de baja impedancia del altavoz con el circuito de salida de la válvula amplificadora de potencia de un radiorreceptor se emplean, frecuente mente, trans formadores de s alida c uya razón de los número s de espiras es de 1 0 ó 20 a 1 La impedancia de la bobina móvil de un altavoz dinámico es del orden de magnitud de 10 ohm, mientras que la resistencia de carga adecuada para una válvula amplifi cadora de potencia suele ser de varios miles de ohm. Si la razón a del número de espiras del primario al de espiras del secundario es 20, la impedancia aparente de una carga de 10 ohm es 4 000 ohm observada desde los terminales del primario y por ello el empleo de un transformador de salida que tenga una razón de números de espiras adecuada permite ajustar adecuadamente la carga a la válvula En contraste con los transformadores de entrada e interetapa. estudiados en el apartado 3, los transformadores de salida de ben entregar potencias considerables (hasta de 20 W en los radiorreceptores ordinarios). Las corrientes de carga, pues, serán bastante inten sas, en los transformadores de salida, frente a las corrientes parásitas de audiofrecuencia debi da* a las capacidades distribuidas; éstas tendrán, pites, efectos despreciables sobre las caracterís Fio. Circuito que coni iene un trans formador de salida. ticas de frecuencia y fase y suelen despreciarse en el análisis de los transformadores de salida. En la figura 2 pueden verse los elementos esenciales de un circuito tipo que conR
c
Es decir, si la resistencia aparente de la carga R' difiere de la resistencia del gene rador Ra en la razón de 3:1, la potencia suministrada a la carga tiene todavía un valor igual a los / del valor máximo posible. Así, puei, las condiciones del cir cuito para una transmisión de potencia satisfactoria no dependen críticamente de una igualdad exacta entre las resistencias de generador y carga, y el empleo de un transformador de adaptación proporcionará un incremento pequeño de la potencia entregada a la carga si las resistencias de carga y del generador se halla n en una razón inferior a la de 3:1. En realidad, muchas aplicaciones exigen que la resistencia aparente de la carga no sea igual a la resistencia del generador. Uno de los empleos más importantes de los transformadores cambiadores de impedancia para aumentar la potencia sumiL
3
4
-J^3X££ 3
till,
^ ~ '* *~ *
L
^ *****
Los amplificadores contrafase se estudian en la obra citada.
V
positivos
TRANSFORMADORES
454
CARACTERÍSTICAS
tiene un transformador de salida. El generador tiene una fuerza electromotriz E y una resistencia interna RG y puede representar a la salida alterna de una válvula de vacío. La carga es una resistencia R . La impedancia de entrada de un altavoz ni es puramente resistiva ni constante, sino que varía apreciablemente con la fre cuencia y también, hasta cierto punto, con las características acústicas del recinto en que se halle el altavoz. No obstante, como resultaría muy difícil tener en cuenta las variaciones de impedancia de carga, las características de frecuencia y fase se especifican basadas en cargas resistivas constantes. Aun cuando las características para carga resistiva constante puedan diferir algo de las características reales cuando la carga sea un altavoz, el análisis que se realizará a continuación, en el cual se supone constante R , da resultados que se aproximan bastante a las características de un transformador de salida en servicio real. En el análisis teórico del circuito de la figura 2, el transformador puede tratarse de dos maneras diferentes. Puede desarrollarse la teoría a partir de las ecuaciones clásicas de los circuitos acoplados, o puede representarse el transformador por su circuito equivalente. Las ecuaciones de los circuitos acoplados dan fácilmente una solución rigurosa pero complicada. En cambio, el circuito equivalente se presta fácilmente a simplificaciones que conducen a una solución aproximada sencilla suficientemente precisa desde el punto de vista técnico. Aun cuando podría alcanzarse la misma solución aproximada despreciando ciertos términos pequeños en las expre siones matemáticas resultantes de la teoría de los circuitos acoplados, el circuito equivalente da, probablemente, un concepto más claro de los significados físicos de G
DE
FRECUENCIA
455
donde a es el coeficient e de fuga, definido en la ecuac ión (33 ) de l capítulo XV II . Dividiendo por X numerador y denominador de la ecuación (11), se tiene: 22
L
Xm A
B
+ B
u
n
v
22
(12)
+ j loX.
^11^221 -^22
/
o)L
I
E
M
L
estas aproximaciones. Como cada- método tiene sus ventajas, vamos a presentar ambos. La experiencia indica que los efectos de la pérdida en el núcleo sobre las carac terísticas de frecuencia y fase son despreciables en todo el dominio normal de funcio namiento de los transformadores de salida. Cuando se desprecian la pérdida en el núcleo y las capacidades distribuidas, las ecuaciones de las tensiones (vector) para el circuito de la figura 2 son, según la teoría de los circuitos acoplados,
Ec = {B +jX )I —jX J 0 = — iX l + (R + jX )l , ll
ll
l
l
22
L
L
LaL, \
v
2
2
n
fí
\\ 22fí
n
n
fí
22
2
P
l¡ Y A> 22
n
(o L
1
(14)
mL
2
x
y por tanto, de la ecuación (13),
j-t<2
T
EG
/ — T ^ T T
9
EG es el vector que representa a la fuerza electromotriz sinusoidal del generador, l e I son los vectores de las corrientes de primario y secundario, X y X son las autorreactancias increméntales de primario y secundario, X es la reactancia mutua incremental, R es la resistencia serie del circuito primario y es igual a la suma de la resistencia del generadorRe y la resistencia del primario R R es la resistencia serie del circuit o secundario y es igual a la suma de la resistencia R del secundario y la resistencia de cargaR . n
i
donde L L y M son los coeficientes de autoinducción incremental y de inducción mutua incremental del transformador. El término R R /wL del denominador de la ecuación (13) puede expresarse en la forma,
T.
donde,
l
^ *22 + j h
<> (10)
L
22
m t
(13)
Un +
* u + r^+jUaL, -^2
I
wL
\
)
<15
T~ 22 I
""ll
J
x
Multiplicando la ecuación (15) por LJM se tiene,
22
m U
V
¿2
E
T
2
L
I
= -
.
-^11 ^22 +
XE m
^22 -^11
^
c
+ ÍÍC-XIIAJJ
— RR ) N
22
^ u y- ^22 h 6)
r
*u +
L
Resolviendo este sistema de ecuaciones puede obtenerse una expresión de la corriente de carga1 . Es ta solución es la dada por la ecuac ión ( 50) del capítul o X V II y puede expresarse en la forma,
C
- L _=
22
r
{
^22 + j \ OO-L, 2 \ l
L
La tensión en la cargaV es: = I i A =XL
R
(1
1
(oL
I
r
L
/ | £, o *u + y R22 + j\ yaL, \ -^2 1
_.. (1 7) S - fí \ ~f~ 22 I ""ll — —±1 u)L I L
n
t
i
456
TRA
CARACTERISTICAS
NS FORMADO RES
(18)
M
FRECUENCIA
457
M L
Z
1
1
(21)
~'L\
EG
Del estudio de las •cuaciones anteriores surgen varios hechos interesantes. El factor LJM del primer miembro de la ecuación 16 es muy aproximadamente igual a la razón R,¡R N /N del número de espiras del secundario al de espiras del primario, y por tanto, el primer miembro de la ecuación (16) será aproximada mente igual a la corriente de carga referida al primario. Análogamente, LJM es aproximada mente igual a N /N , y por tanto, el primer miembro de la ecuación (18) es muy aproxima damente igual a la tensión en la carga referida F IG . 3. Circuito serR ioLS de earac al primario. También el factor LJL que apa rece con la resistencia de cargaR y con la re terístieas de frecuencia y fase iguale; a las del circuito de la Fig. 2. sistencia del circuito secundario R es muy 2
DE
ciones (19) y (20), la razón de la tensión en la carga a la fuerza electromotriz del generador es:
Multiplicando la ecuación (17) porLJM se tiene,
R', x
R
x
N
o>L
# n -i -
(22)
R R[
i
+j
1
l
2
li 4- R' u
En la ecuación (22), R + R es la resistencia ser io total del generador, deva na dos del trans forma dor y carga «refer ida» al prim ario, mientras R que R^I(fí + ' ) s la resistencia de la combinación paralelo de las resistencias do los cir cuitos primario y secundario «referidas» al primario. A fin de simplificar aún más la notación, sea, 22
u
n
R
22
u
e
R + R = R' , 22
u
2
R
u
(23)
se
#11^22 -f- R'
(24)
= Kar
22
2
L
22
aproximadamente igual a (N /N ) , y por tanto (L /L )R y (L /L )R son muy aproximadamente iguales a las resistencias de carga y de secundario referidas al primario. Para simplificar la notación, hagamos l
L
2
L
1
2
2
Introduciendo en la ecuación (22) esta notación simplificada y expresando el se gundo miembro en forma polar, se tiene,
2
M
R'
L
E
c
1
~-
/ a re tg [Kar
22
R
de carga referida al prim ario = R' resistencia x
L
(19)
L
-^p- R = R' xresistenci a del secunda rio referida al prim ario 22
(20)
22
(
R'
W(TL 1
O)
X
ocl
n
22
x
n
22
w aL ~~RL~
2
l
coa L R'
x
(25)
¡
Kar
(26)
co L 0
1
es análoga a la frecuencia de resonancia del circuito serie RLS de la figura 3. A esta frecuencia, la razón de tensiones tiene su valor máximo y el defasaje es nulo. De la ecuación (26), esta frecuencia /„ resulta ser, 1
KarKe 271
x
L
\
x
0
X
scl
L
Las características de frecuencia y fase son el módulo y argumento de esta expresión dados en función de la frecuencia. La frecuencia a» /2 jr par a la cua l, 0
Obsérvese también que la inductancia GL es muy aproximadamente igual a la inductancia en cortocircuito L medida desde el lado del primario del trans formador, y que la autoinducción incrementalL es igual a la autoinducción en circuito abierto L medida con la corriente continua adecuada circulando por el primario. Es interesante el hecho de que la ecuación (16) tiene la misma forma que la ex presión de la intensidad de la corriente que circula por un circuito serie RLS cuya resistencia sea i ? -f- R , cuya autoinducción seaaL y cuya elastancia sea R R' ¡L . La ecuación (18) es la expresión de la tensión entre los extremos de la porción R' de la resistencia de este circuito. El circuito de la figura 3 tiene unas características de frecuencia y fase exactamente iguales a las del circuito de salida del transfor mador de la figura 2. En virtud de la ecuación (18), y utilizando la notación simplificada de las ecua-
par
L rr L 1
2TI
l
L oL 1
• (27) 1
y como aL es muy aproximadamente igual a la inductancia en cortocircuito L \ medida desde el lado del primario, x
sc
1
I
R, J!L~
458
TRANSFORMADORES
CARACTERISTICAS
A esta fre cue nci a, la razón de tensi ones es:
M R'
L
(
•(29)
E )» G
1
0
A otra frec uen cia cua lqu ier a, la ma gn it ud rel ati va de la razón de tens iones exp re sada como fracción de su valor a la frecuencia f es: 1 •(30) Razón de tensiones relativa = 0
DE
FRECUENCIA
459
citiva predomina sobre la inductiva a frecuencias inferiores a la de resonancia. Por tanto, en virtud de las ecuaciones (30) y (31), al disminuir la frecuencia dismi nuye la razón de tensiones relativa y la tensión en la carga adelanta su fase respecto a la fuerza electromotriz del generador. Por otra parte, si crece la frecuencia por encima de/ , crece la razón maL jR' y se hace cada voz más elevada que la razón l 'rar/ °I i> como en el circuito serioRLS de la figura 3 a frecuencias superiores a la de resonancia, cuando predomina la reactancia inductiva. Por tanto, la razón de tensiones relativa también disminuye a frecuencias elevadas, si bien la tensión en la carga se retrasa respecto a la fuerza electromotriz del generador. No obstante, si las razonesR' /(o¡L y u> aL^IR' son suficientemente pequeñas, la frecuencia {
se
J
(
par
l
ü
se
y el ángulo de fase es: An gu lo de fase = are tg
cooL
RL
x
• (31)
~RT.
x
En la figura 4 pueden verse características tipo de frecuencia y fase representadas en una escala logarítmica de frecuencias, la cual es conveniente para mostrar un amplio dominio de frecuencias y que corresponde a la naturaleza logarítmica de la
Ra: son
1,0
1 ¡
I O-
8
/
|1
40° í*"u 1
1
S 0,6 o
Z
?
1 ~~ "
°.4
•o
T
o-
E efasaje
« a
3 40° §
i
¡
8 0,2
ai
80V
\ 5
2
2 100
10
F Í O . 4.
80"
1
a
5
2
2
1000 Frecuencia hertz
10000
Características de frecuencia y ase f de un circuito que contiene un transformador de salida.
escala musical. A la frecue ncia «de resonancia» /„ , defini da por la ecuación (27), la razón de tensiones relativa es igual a la unidad, la razón de tensiones real está dada en la ecuación (29), y el defasaje entre Vy E es nulo. Si disminuye la fre cuencia, la razón R' ¡u>L crece y se hace cada vez mayor que la razón (oaL /R' , como en el circuito RLS de la figura 3, en el cual la reactancia capaLa escala de tensiones también se expresa logarítmicamente —esdecibel. decir, En en la 4
L
vaT
1
c
x
se
obra de L. y dispositivoselectrónicos, Ed . Reverte, Barcelona, A L B E R T , Electrónica 1961, puede
verse la manera de emplear escalas logarítmicas para trazar las característi cas del amplificador.
(O (d) Fi e. 5. Circuitos equivalentes para un transformador de salida. E l circuito (a) es aplicable a todo el dominio de las audiofrecuencias. El (b) es un circuito equivalente aproximado para frecuencias elevadas. El (c) os un circuito equivalente aproximado para frecuencias bajas. El(d) es un circuito equivalente aproximado para la región central del dominio de las audiofrecuencias.
deberá variar estas octavas por encima o por debajo de la frecuencia «de resonancia» antes que se haga apreciable uno u otro de dichos términos, y por tanto la razón de tensiones se mantiene casi constante para un amplio dominio de frecuencias, según puede verse en la figura 4. El circuitoRLS análogo de la figura 3 tiene una razón de la reactancia a frecuencia de resonancia a la resistencia, de pequeño valor. En una escala logarítmica de frecuencias, la característica de frecuencia es simétrica respecto a / . Ant es de est udia r las apr oxi mac ion es sim pli fic ati vas que pue den real izars e en este análisis teórico «exacto», convendrá desarrollar una teoría aproximada partiendo del circuito equivalente del transformador. El equivalente del circuito de la figura 2 cuando se desprecian las capacidades y la pérdida en el núcleo es el indicado en la figura 5a, en el cual se ha sustitui do el transformador por su circuito equivalente que comprende las resistencias de sus devanadosR y a R , sus inductancias de fuga L y a L , y su inductancia magnetizante aM, todas referidas al primario. La resis tencia de carga referida al primario es a~R , y la tensión .en la carga referida al pri mario es a V . siendo a la razón del número de espiras del primario al de espiras del secundario. 0
x
n
l
n
L
L
2
2
460
CARACTERISTICAS
TRANSFORMADORES
Como la inductancia de fuga de un transformador normal con núcleo de hierro es una fracción muy pequeña de la inductancia magnetizante, estas inductancias no tendrán importancia simultáneamente. Así, cuando la frecuencia es suficiente mente elevada para hacer importantes las caídas de tensión en las inductancias de fuga, la reactancia magnetizante será tan grande que su efecto por estar en paralelo será despreciable y por tanto, a las audiofrecuencias elevadas podrá simplificarse el circuito equivalente suprimiendo la rama magnetizante, tal como se indica en la figura 5b donde R i y L \ son la resistencia e inductancia equivalentes referidas al primario. Por otra parte, a frecuencias bajas la reactancia magnetizante coaM es relativamente pequeña y su efecto por estar en paralelo se hace importante, pero las caídas de tensión en serie en las inductancias de fuga son entonces despreciables. Así , a frecu enci as baja s, el cir cui to equ iva len te puede simp lifi cars e en la for ma in di cada en la figura 5c. En el caso de un transformador de salida normal suele existir un intervalo de frecuencias centrales de varias octavas en el cual la reactancia mag netizante es tan elevada que su efecto por estar en paralelo es despreciable pero, al mismo tiempo, las reactancias de fuga son tan bajas que no ocasionan caídas de tensión apreciables. Para este dominio de frecuencias centrales, el circuito equiva lente puede aproximarse en la forma indicada en la figura 5d. ea
DE
FRECUENCIA
461
Así pues, de la ecuación (35) res ulta expre sand o en form a pola r el resu lta do, V, .
. . . . a frecuencias elevadas =
'L
1
1
R
/
,
coL \
/
et
eQ
De la figura 5d resulta que, a frecuencias centrales,
se
e gl
s cl
Razón de tensiones relativa a frecuencias elevadas =
_
1
^(37)
'(üLscÁ 2
\ K I
y el defasaje a frecuencias elevadas es: (32)
aR 2
Obsérvese que R'JaR' es la razón de tensiones a frecuencias centrales y que la inductancia equivalente L es casi igual a la inductancia en cortocircuito L medida desde el lado del primario. De la ecuación (36) resulta que la magnitud de la razón de tensiones relativa a frecuencias elevadas es:
j— Defasaje a frecuencias elevadas = are tg
22
^ - |.
f t)
J 1
^(38)
donde,
a R es la resisten cia de carga referida al primario, R es la resistencia total del circuito primario, a R es la resistencia total del circuito secundario referida al primario. 2
L
n
2
22
En el caso de un transformador con núcleo de hierro, la discrepancia entre los valores de a y de la razón de inductancias LJL suele ser tan pequeña que llega a ser indé tectable, y por tanto las resistenciasa R y a R son muy aproximadamente iguales a las resistencias R' y R' de las ecuaciones (19) y (20), y el denominador de la ecuación (32) es muy aproximadamente igual a la resistencia serie R' de la ecua ción (23). Así pues, de la ecuación (32), resulta: 2
V está retrasada El signo menos de la ecuación (38) indica que la tensión en la carga respecto a la fuerza electromotriz del generador aE frecuencias elevadas El análisis del circuito equivalente aproximado de la figura 5c indica que a frecuencias bajas, L
c
2
2
L
L
2
~r=^-a frecuencias bajas = —
22
\
.
L
r
o
+ „ / nr \ R
,on\
22
se
a frecuencias centrales = E
G
a
R
(33)
se
a y del cociente Como la discrepancia entre los valores de la razón de transformación de inductancias L J M es insignificante, la ecuación (33) es casi exactamente igual a la (29). Del circuito equivalente de la figura 56 resulta que, a frecuencias elevadas,
f
\coaM]
donde R' es la resistencia formada porR y a R en paralelo y es muy aproxi madamente igual a la resistencia R' de la ecuación (24). Como la inductancia magnetizante aM es muy aproximadamente igual a la inductancia en circuito abierto L del primario, la razón de tensiones relativa a frecuencias bajas es: mr
n
2
22
par
o cl
Razón de tensiones relat iva a frecuencias bajas =
^(40) \K>Locl}
J
y el defasaje a frecuencias bajas es: / 'par \ ^ \. Defasaje a frecuencias bajas = arc tg— R
\wL ]' ocl
^(41)
CARACTERÍSTICAS
TRANSFORMADORES
462 tiz ant
ei
que
DE
FRECUENCIA
463
de un transformador de sahda si se conocen: las resistencias de carga, del generador y de los devanados; las inductancias en cortocircuito y en circuito abierto; y la razón de transformación. Por ejemplo, supongamos que se quieren determinar las carac-
El análisis aproximado anterior supone a la inductancia de fuga tan pequeña E l anális i ap rc, inductancias no tengan nunca d ic has
Dominio Domi nio de baja frecuencia central Domi nio de alta frecuencia 1,0
an S^ sH ex aT o En las ecuacio nes (30) y (31), si la autoi nducció n L, es suficie nteanal sis exacto >_r.n relativamente baja cuando f r ec
uen
c ia
de
r
be
ser
' ^ - °per
^ :^ tír X ,^Ta
si eicoeficient f a
V
p ueño, la razón " o - I , / ^ ser á también muy pequeñ a pues, con un coeficiente de fuga pequeño, las ecuaciones (30) y (31) se reducen frecuencias elevadas a Razón de tensiones relativa a frecuencias elevadas x ^ , g
q
-
o* I I
0,8 0,7
S
40"
§0,6
20
0,5
J -SCIoSaJC
(42)
/
•o r* v
«
Defasaje a frecuencias elevadasxare tg |
j
v a frecuencias bajas 1 ,
60'H 80' 0,5 0,7 1
*
1,5 2
3
0,2 0,3
0,5 0,7 1
4 5
^
Como las resistencias de las ecuaciones (30) y (31) difieren de las resistencias correspldlntesde la s ecu ac io ne s (3 7- 41 ) so lam ent e en la f ^ ^ ^ e muy i * T IT v «2 v como la nductanci a en cortocircuito ideal OL, es muy S^nt ^euallínmpedanc^ en cortocircuito real L , los resultados : pr °oxi m o T d e 1 ecuac Íone7(42-45), obtenidos simplificando las expresiones X a c t T s ! de las ecuac iones (30) y (31), son prácti camen te igua les a los resu ltad os obtenidos a partir de los circuitos equivalentes aproximados. Según las ecuaciones (40) y (41), a bajas frecuencias la razón de tensiones re ativa y el defasaje están determinados principalmente por el valor de la razón L m r t e d o ía izquierda de la figu ra 6 muestra g ráfic amen te las relaci ones exist entes y razón « M t A las razó n de tensiones es aproximadamente constante y e 1 d e fl ^/ ; 3 f ° ; . cuencias elevadas, la razón de tensiones relativa y el defasaje dependen principal mente del valor de la razón o>L ¡R' , según indican las ecuaciones (37) y (38) y se ve gráficamente en la parte derecha de la figura 6. Las curvas de la figura 6 son aplicables a cualquier tra ns for ma dor ie sah da puesto que las var iables que intervienen est án e xpresadas e n ^ ° ™ a d' ™ « ™ « Con ayuda de estas curvas es fácil calcular las características de frecuencia y fase 8
X
1,6 2
3
K
Rl A \ Fi o. 6.
3
40*1
0,2
(44)
Defasaje a frecuencias bajasxare tg ^¿ ^J -
20"
y f
0, 0,2 0,3
x Razón de tensiones relativa a frecuencias bajas
—
0,1
(43)
^j ,
Razón -
-
j
A
Características universales de frecuencia y ase f de los transformadores de salida.*
terísticas de frecuencia y fase del circuito y transformador a los que se aplican los siguientes datos:
R = 2 000 ohm
R = 10,0 ohm
J?i = 200 ohm
R¡¡ = 0,5 ohm
G
L
Loa = 10,0 H
L = 0,100 H J C1
sA
P
S^^ía^L-tic»
1
A par tir de estos datos ,
a s a
e
n
D
r i n
A
i
r
a
e
R
= 2 200
R
=
n
ti
lí
¡ cí
Y
a = NJN,, = 20,0
1
K
1
SegúnF . E . TERMAN (enero,1936), 30-32.
(46) (47)
= 4 200
(48)
= 6 400
(49)
2 200 x 4 200 , (50) ^—nrx = 1 440. 6 400 y R.E . I NOEBRETSEN, «Output Transformer Responso», Electronics, 9
Z'oor=
¡e
10,5
464
TRANSFORMADORES
De la ecuación (40) o de las curvas de la figura 6 resulta que la razón de tensiones a frecuencias bajas es 1/V~2> sea, el 70,7 % devalor su a las frecuencias centrales cuando la frecuencia es /;, cuyo valor da, 0
coiL,
CARACTERISTICAS
con coi
(51)
'var
R
o se a, 'par
R
•(52)
mi = Locl
1 440
144.
~1(T
DE
FRECUENCIA
Como la ra zón de la induc tanci a en cortocircuito a la inductanc es muy aproximadamente igual al coeficiente de fuga a, 1 R'„ a R'
•(60)
Dar
De las ecuaciones (37) y (40) resulta que la razón de tensiones relativa a la baja frecuencia /, es igual a la razón de tensiones relativa a la alta frecuencia/* si estas frecuencias tuvieran valores tales que,
(53)
~
<
acl
La frecuencia corresp ondie nte// es 144/2 :71, o sea 23,0 Hz . También de la ecuación (37) o de las curvas de la f igura 6 resulta que, a frecuencias elevadas, la razón de te n siones relativa es igual al 70,7 % cuando la frecuencia es//,, valor para el cual,
CQHL , S
(54)
6 400 = 64 000.
(56)
o se a,
)
61
Es decir, la respuesta «cae» lo mismo a baja frecuencia que a alta frecuencia si di chas frecuencias son tales que satisfagan a la ecuación (61). En escala logarítmica 08ea
1
R'
465
ia en circuito abierto
CUenCia
^°
C n d
PUDt0
medÍ
°
entre
- ' -* /
y
/
6 8
l a
media
8
eométr
i c a de /, y J \ k
/o = VAA
Lscl
0,100
La frecuencia correspondi ente// , es de 64 000/2?t, o sea 10 200 H z. E n forma análoga pueden determinarse otros puntos de las características de frecuencia y fase. Cuando la razón de tensiones relativa es igual a 0,707 la potencia entregada a la carga con una fuerza electromotriz del generador es (0.707) , o sea, la mitad del valor correspondiente a las frecuencias centrales, por lo que se llama a las frecuencias a las cuales la razón de tensiones relativa vale 0,707,de potencia mitad. La puntos razón entre las frecuencias de los puntos de potencia mitad de alta y baja frecuencia constituye una medida del dominio de frecuencias en que puede operar el circuito sin hacer que la potencia de la carga caiga por debajo de la mitad de su valor a la frecuencia mejor de funcionamiento. La relación entre esta razón de frecuencias W A / C O ; y ' núm erode octavas n existentes entre los dos puntos de potencia mitad es: 2
c
de donde,
(OH = 2», 0)1 log OH OJn CO, —¡ — = 3,32 log . coi log 2
De las ecuaciones (52) y (55) resulta:
(57)
....
(58
Obsérvese que esta frecuencia media geométrica es igual a la frecuencia correspon diente a la máxima razón de tensiones deducida del análisis «exacto» y expresada en la ecuació n (28). Como la induct ancia en cor tocircuito es muy aproximadamente igual a oLoci,
'•- -es -- y ? 1
* •»
Las relaciones expresadas en las ecuaciones (59), (60)y (63) son de la máxima impor tancia en el diseño y aplicación de los transformadores de salida. • La ecuación (59) indica que la razón de la frecuencia más elevada a la más baja a las. que puede utilizarse s atisfactoriament e el transformador es proporc ional a la raz ón de la inductanc ia en circui to abierto a la inductanc ia en cortocircuito y es totalmente indep endiente de las magnitudes de estas inductanc ias. Así, pues, el primer requisito de un teansformador que quiera utilizarse en un dominio de fre cuencias amplio es que debe tener una razón elevada de la autoinducción a la induc tancia de fuga o, en otras palabras, un coeficiente de fuga pequeño. 4 La razón de la autoinducción a la inductancia de fuga se hace grande empleando todos los medios posibles de increme ntar la autoindu cción sin incrementar al mis mo tiempo la inductancia de fuga, y de reducir la inductancia de fuga sin disminuir al mismo tiemp o la auto ind uct anc ia. Así pues, la autoinducción puede hacerse grande sm srcinar una gran inductancia de fuga utilizando un núcleo de gran permeabilidad con un entrehierro adecuado que reduzca al mínimo la disminución de la permeabi lidad incremental a causa de la imanación debida a la corriente continua. La induc-
466
CARACTERISTICAS
TRANSFORMADORES
tancia de fuga puede cüsminuirse sin disminuir la autoinducción interfoliando los devanados primario y secundario y proporcionando en forma adecuada el espacio no enl;re devanados. Obsérvese, sin embargo, que el dominio de frecuencia COA/CÜ; puede ampliarse aumentando los números de espiras de los devanados. Aumen tando los números de espiras de ambos devanados (manteniendo la misma razón de transformación) se incrementan la autoinducción y la inductancia de fuga sin pro ducir un aumento apreciable del coeficiente de fuga. La respuesta a las bajas fre cuencias se mejora aumentando la autoinducción, pero la respuesta a las frecuencias elevadas queda afectada en forma adversa por el incremento de la inductancia de fuga. La frecuencia media geométrica disminuye, según indica la ecuación (63), pero-la razón w*/to; no varía apreciablemente. Un transformador de forma fija y con un factor de espacio fijo para sus devanados tiene aproximadamente el mismo coeficiente de fuga independientemente de los números de espiras de sus devanados. La experiencia adquirida permite, pues, al diseñador, anticipar aproximadamente el dominio de frecuencias que puede esperarse para un núcleo y disposición de deva nados particulares, independientemente de los números de espiras de los devanados. Sin embargo, los números de espiras determinan la frecuencia media geométrica, por lo que en las aplicaciones de audiofrecuencia se ajustan de manera que la fre cuencia media geométrica (ec. 63) sea de unos 500 Hz cuando se utilice el transfor mador con el generador y carga para los que se ha diseñado. Un transformador de salida no sólo debe tener buenas características de frecuencia y fase sino que también debe tener la capacidad de potencia requerida. La capacidad de transporte de corrien te está limitada po r el exces o de temperatura dé los devanados, como en los transformadores para sistemas de potencia. El factor más importante en la determinación de la tensión nominal es la distorsión tolerable. La distorsión ocasionada por la forma de onda peculiar de la corriente de excitación depende de las características magnéticas del material del núcleo, de la longitud del entrehierro del núcleo, de la imanación debida a la corriente continua, de la amplitud de la com ponente alterna de la inducción magnética en el núcleo y de la impedancia interna del generador. En el diseño de un transformador de salida debe considerarse la in fluencia de todos esos factores sobre las formas de ond a. Co mo la amp lit ud de la componente alterna de la inducción magnética en el núcleo es proporcional a la tensión inducida e inversamente proporcional a la frecuencia, el límite inferior del dominio de frecuencias de un transformador de salida lo establecerá la distorsión debida a señales intensas mas que la caída de la característica de frecuencia.
DE
FRECUENCIA
467
Consideremos el circuito de la figura 7 que comprende un transformador, un generador de resistencia interna R y una carga de capacidad C . Cuando se unen un terminal del primario y uno del secundario del transformador, sus capacidades distribuidas pueden representarse aproximadamente por las tres capacidades locaL
G
Fi o. 7. Circuito que contiene un transformador de entrada o interetapa.
Fi o. 8. Circuito equivalente a frecuencias bajas o centrales.
lizadas C C y C de la figura 7. Supongamos que la fuerza electromotriz del gene rador varíe sinusoidalmente y sea E el vector que la representa. Si generador y transformador se comportan como elementos de circuito esencialmente lineales, como debe ocurrir cuando sea importante la fidelidad de la forma de onda, la tensión en la carga también variará sinusoidalmente y podrá representarse por un vector V. En un circuito diseñado para tener una respuesta a las frecuencias razonable mente «plana» en la banda de audiofrecuencias, los efectos de las capacidades de la válvula y del transformador suelen ser despreciables cuando la frecuencia es inferior al punto medio del dominio. Así, para frecuencias bajas y centrales, el circuito puede analizarse como si el secundario del transformador estuviera en circuito abierto, según se indica en el circuito equivalente aproximado de la figura 8. En consecuen cia, las ecuaciones de las tensiones para los circuitos primario y secundario son: v
2
1Z
c
L
E =( R +>i )Ii V =jcoMI c
L
J
1 1
(64) (65)
1
v
donde,
R es la resis tencia total del circuito prim ario y es igual a la resistenci R a del generador más la resistenciaR del primario del transformador, L es la autoinducción incremental del primario, M es la inducción mutua incremental, I es el vector corriente del primario, que es totalmente corriente de excitación puesto que el secundario está en circuito abierto. n
G
t
x
x
3.
CARACTERÍST ICAS DE FRECUEN E INTERETAPA
CIA Y FASE DE LOS TRANSFORMADORES
DE ENTRADA
. Los transformadores de entrada e interetapa se emplean para fines análogos, cuales son conectar un generador de tensión de señal a la reja de una válvula de vacío. En muchas aplicaciones de las válvulas de vacío como amplificadores lineales la potencia requerida, por la reja de la válvula es muy pequeña y la corriente de reja es muy aproximadamente la que circularía por la pequeña capacidad de reja a cátodo de la válvula. Esta capacidad y las capacidades distribuidas del transfor mador tienen efectos importantes sobre las características de frecuencia y fase del circuito.
La razón de la tensión en la carga a la fuerza electromotriz del generador es: V jcoM _ ¿
E :
jcoM
1
(66)
• (67)
TRANSFORMADORES
468
CARACTERISTICAS
A las frec uencia s centr ales, la resis tenci a R del circuito primario suele ser des preciable frente a la reactancia del primario wL y por tanto en este dominio de las frecuencias centrales la razón de tensiones es aproximadamente igual a M¡L que es muy poco diferente de la razón del número de espiras del secundario al de espiras del primario. Así pues, las tensiones están aproximadamente en concordancia de fase y la razón de sus magnitudes es casi independiente de la frecuencia e igual a la razón entre los- números de espiras, como en el transf ormado r ideal . En l a figura 9 pueden verse las características de frecuencia y fase de dicho circuito. Obsérvese la horizontalidad de la característica de frecuencia en el dominio de las frecuencias centrales. Al di smi nui r la frec uenc ia, dis min uye la rea cta nci a del pr ima ri o
lt
10
12
2 0
2
x
L
a
FRECUENCIA
L
Frecuencia, hertz F io . 9. Características de frecuencia y fase de un circuito que contieneun transformador de entrada o interetapa, poniéndose de manifiesto los efectos de variar la resistencia del secundario.
generador E , según se ve en la parte de frecuencias bajas de la figura 9. Las fre cuencias' bajas, pues, no se transmiten tan fácilmente como las centrales y el circuito no mantiene las relaciones correctas en magnitud y fase entre las componentes de frecuencias bajas y centrales de una tensión de señal que tuviera una forma de onda complicada. Los efectos de las capacidades del transformador y de la carga se van haciendo más importantes al ir aumentando la frecuencia por encima de la región central. En la figura MVi puede verse un circuito equivalente aproximado que incluye estas
469
G es la capacidad paralelo del primario. C es la capacidad entre devanados , C es la capac idad combina da de la carga y el secundario del transformad or, J?i y R son las resistencias efectivas de los devanados, L/i y La son las induc tanci as de fuge M es la inducción mutua incremental, a es la razón del número de espiras del primar io al de espiras del secundario. Los efectos de las capacidades y sus efectos sobre el funcionamiento del circuito no sólo dependen de las disposiciones interiores de los devanados sino también de la
x
xx
DE
capacidades y en el que se ha conectado un terminal del primario con uno del secundaño. En la figura 10a,
u
c
(O
Fi o. 10 Circuitos equivalentes para audiofrecuencias elevadas.
polaridad relativa de los terminales de primario y secundario que estén unidos. En el siguiente análisis se supondrán conectados los terminales de igual polaridad. También se supone que los parámetros del circuito equivalente de la figura 10a son
CARACTERISTICAS
TRANSFORMADORES
470
independientes de la frecuencia, aun cuando esta hipótesis sólo será válida para un dominio de frecuencias limitado. En análisis, es conveniente «referir» las capacidades al primario, de manera que puedan transferirse al lado del primario del transformador ideal, como en la figura 106, donde C' , C y C' son capacidades que producen el mismo efecto sobre el circuito que las capacidades C , C y C de la figura 10a. Las capacidades de la figura 10a forman un circuito n, como puede verse en la figura 10c, en donde la caja representa la parte inductiva de la red de la figura 10«. Si se considera como nudo de referencia el terminal común 0, las corrientes Li e L que penetran por los nudos 1 y 2 de la figura 10c pueden expresarse en la forma, 1B
471
FRECUENCIA
g
2
0
=
- ' C
(79)
l t
l2
2 0
20
1 0
12
2
I = ¿ ( C + C )V — jcoC V L = jco(C + C )V - jcoC V c l
W
12
1 0
20
2
1
U
12
L
12
(68) (69)
L
l
Estas ecuaciones pueden manejarse tomando como variables la intensidad y la ten sión del secundario referidas al primario —es decir, I /a y aV . Asi, si se divide por a la ecuación (69) y se multiplica V po r a, las ecuaciones (68) y (69) se con vierten en L
c 2
£
la = > ( C Jf__
a
DE
y de las ecuaciones (74) y (76),
= j m
1 0
+ C )Y - jco ^f- aV 12
X
\
J
a
(70)
L
aV -jco °± V,
(^!L+^L\
(71)
L
I
2
Así, pues , l as ec uaci ones (74), (7 8), y (80) d an l os v alo res r efer idos de la s capaci dade s en función de los valores reales. En un trans formador elevador, la razón de transfor mación a es inferior a la unidad y en consecuencia la componente G |l —J de 12
la ecuación (78) es negativa y la capacidad del primario C[ de la figura 106 puede ser una capacid ad hipotét icamente negati va. El anál isis completo del circ uito equival ente de la figura 10 6 es demasiado com plicado para ser empleado en la técnica y además no vale la pena puesto que la re presentación de las capacidades distr ibuida s del tr ansformador por tres capacidades constantes es sólo aproximadamente correcta cuando varía la frecuencia. No obs tante, puede simplificarse el circuito equivalente de manera que se ponga de mani fiesto la natural eza de los fenó menos que interv ienen. A las audio frec uenci as eleva das, la rea cta nci a coM de la rama magnetizante 0
suele sers, tan elevada queG'su conducción despreciable y por tanto suele supriniirse. Ad ema la cap aci dad de la figuraes106 puede ignorarse a menudo ya que sus
a
10
Cuando se refieren al primario las capacidades y se conectan en el lado del primario del transformador ideal, como en las figuras 106 y 10rf, la corriente que penetra por el nudo 2' de la figura 10c? es I / a y la tensió n de este nud o es a. VLas ecuaciones de las corrientes para los nudos 1 ' y 2' de la figura lOd son: c 2
L
Ici = j
12
2
(72)
L
— = jco(C + C )aV -jcoC' V a 20
12
L
12
(73)
v
Comparando las ecuaciones (72) y (73) con las ecuaciones (70) y (71) puede verse que las relaciones entre los valores referidos de las capacidades de las figuras 106 y 10d y sus valores reales de las figuras 10a y 10c deben ser:
=
C
12 1
(7*)
a
C'12+=C„ Cío + C
1 0
r. j - c
-
C
-°
^20 T ^12 — De las ecuaciones (74) y (75), resulta, Cío = C
1 0
= C
1 0
1 2
C
I
2
ü
C'
12
(l - | ),
(b)
efectos suelen carecer, relativamente, de importancia a causa de su posición en el circuito. El circuito equivalente, pues, puede simplificarse en la forma indicada en la figura li a , donde i íeai y Ltti 1 » resisten cia y reactancia equivalentes del trans formador referidas al lado de su primario. Para frecuencias inferiores a aquella en que la capacidad equivalente G' entre devanados se halla en resonancia paralelo con la inductancia equivalente L i, la reactancia aparente de esta combinación paralelo es una reactancia inductiva y la resistencia aparente es mayo r que la resistencia equivalente Au n cuando los valores de la indu ctanc ia y resistencia aparentes varían con la frecuencia, se puede lograr una buena aproximación a la forma de la característica de frecuencia supo niendo un valor constante para la inductancia aparente y prescindiendo del efecto de derivación de G' con la resistencia. En consecuencia, el circuito equrwdente puede simplificarse aún m ás adoptando la for ma indi cada en la figura 116, donde R' 8011
<
>
75
(76)
C l 2
a
+ C — +
+
(a)
F io . 11. Circuitos equivalentes aproximados para frecuencias elevadas.
V
(77) (78)
it
CQ
X2
CARACTERISTICAS
TRANSFORMADORES
472
es la resistencia del generador más la resistencia equivalente del transformador y L' es la inductancia aparente de la combinación parelelo de L y C^ . La frecuencia resonante / de este circuito serie es: eQl
2
0
f
y en la resonancia, la razón
" ~ 2n\J17C ~ i
(81)
0
Q de la reactancia aparente a la resistencia es: 0
<2o = ^
.
r
(82)
Para valores elevados de Qo, la tensión en la capacidad en condiciones de resonan Qo es cia puede ser superior a la tensión del generador y por tanto, cuando grande, la característica de frecuencia presenta un máximo agudo a la frecuencia Qo = 2,0 en la figura 9. Este de resonancia, tal como el de la curva señalada con máximo puede no ser conveniente porque exagera las componentes de alta frecuencia de la tensión de señal. Para valores inferiores de Q , desaparace el pico de resonancia; y si Q se halla comprendido entre 0,7 y 1,0 la característica de frecuencia es sustancialmente plana en el intervalo de frecuencias en que las capacidades cuentan, se gún puede verse en la figura 9. Al ir aumentando la frecuencia por encima de la de 0
0
resonancia, se hacen menores reactancias de las capacidades y eventualmente pueden, prácticamente, anularse,lasreduciendo la tensión de carga a un valor muy pe queño según se indica en la figura 9. El comportamiento del circuito a frecuencias altas y bajas está notablemente afectado por las resistencias y capacidades de generador y carga y por tanto el gene rador, transformador y carga de un amplificador deberán acomodarse adecuadamente unos a otros. El estudio de las características del amplificador completo puede verse en los textos de Electrónica, en los cuales se estudian las propiedades de las válvulas electrónicas. No obstante, del presente estudio pueden sacarse algunas conclusiones importantes referentes a las cualidades convenientes y Umitaoiones de diseño de los transformadores de entrada e interetapa para amplificadores de banda ancha. Las características deseables para un tal amplificador son que la porción plana de su característica de frecuencia cubra el dominio de frecuencias a transmitir, que la distorsión introducida por las características de imanación del transformador no sea intolerable y que la razón del número de espiras para elevación sea lo más elevado posible a fin de incrementar la ganancia de tensión del amplificador. El diseño de un transformador de audiofrecuencia que reúna estos requisitos constituye un equilibrio entre factores Contrapuestos. A frecuen cias bajas , la característica de frecu encia es casi pl an a, mie ntra s la resistencia total R del circuito de primario sea pequeña frente a la autorreactancia
x
x
x
G
DE
FRECUENCIA
473
dismi nuyend o: 1) las inductancias de fuga, 2) la capacida d entre devanados o 6) las capacidades del secundario y de la carga. A fin de obten er auto indu ccio nes increméntales de pri mar io elevad as, los núcleos se fabrican con materiales magnéticos de gran permeabilidad y pérdidas bajas Es comente el empleo de láminas de acero al silicio, y los núcleos de los transforma dores interetapa suelen tener un pequeño entrehierro a fin de reducir la ima nación debida a la componente continua de la corriente de la placa de la válvula y por tanto reducir al mínimo los efectos adversos de la imanación continua u «j i-? j incre menta l. Par a transformadores de audiofrecuencia de alta fidelidad se utilizan a veces núcleos de aleaciones especiales, tales como el per malloy. Como la permeabilidad incremental del permalloy queda muy perjudicada por la imanación debida a corriente continua, se dispone el circuito del amplificador de manera que se elimine del devanado primario la corriente continua cuando el transformador, tenga núcleo de permalloy. Esta disposición se conoce con el nombre de «alimentación paralelo» y está descrita en casi todos los textos de Electrónica lambién se obtiene una gran autoinducción incremental de primario haciendo lo mayor posible la sección del núcleo y el número de espiras del prima rio mien tras sea compatible con otros requisitos. Aumentando la sección del núcleo y el número de espiras del primario se reduce la amplitud de la componente alterna de la induc ción magnética y por tanto se tiene el beneficio de reducir la distorsión debida a la no lineahdad de la característica magnética; sin embargo, al mismo tiempo la res puesta a frecuencias elevadas queda afectada desfavorablemente. Así pues, un aumento del numero de espiras del primario exige otro aumento del número de espiras del secundario, si se mantiene la razón de transformación, y la inductancia de fuga au menta con el numero de espiras. Análogamente, aumentando la sección manteniendo fijo el numero de espiras, aumentan las capacidades y las inductancias de fuga El aumento de estas capacidades o de las inductancias de fuga presenta el inconve niente de disminuir la frecuencia de resonancia (véase ec. 81). Interfoliando los devanados prim ario y secundario se reducen las inductanci as de fuga pero esta ventaja queda parcialmente contrarrestada por el aumento de la capacidad entre los devanados srcinado por la interfoliación, por lo que ésta debe realizarse con cuidado. El aumento de la razón de transformación elevadora con el fin de incrementar ia ganancia de tensión va acompañada de una disminución de la autoinducción del primario o de aumentos de la inductancia de fuga del secundario y de la capacidad dis tri buid a o de las tres cosas a la vez. En consecuencia, el domin io de frecuencias en el que la razón de tensiones se mantiene esencialmente constante se estrecha al aumentar la razón de transformación, y la razón máxima práctica resulta ser aproximadamente de 1 : 4 para los transformadores interetapa de audiofrecuencia. Otra deducion basada en las curvas de la figura 9 es que para evitar un pico no conveniente de la respuesta a frecuencias elevadas próximas a la resonancia, la (¿ del circuito (ec. 82) no debe ser mayor que 1,0. La Q puede reducirse a este valor haciendo diminuir la inductancia de fuga (lo cual también aumenta la fre cuencia de resonancia) o aumentando la suma de la resistencia del generador y las resistencias de los devanados del transformador. No obstante, el aumento de la resistencia del devanado primario, o de la resistencia del generador, afecta desfa vorablemente la respuesta a las frecuencias bajas. Por otra parte, la resistencia del e
0
m e a
a
TRA
474
NSFORMADORES
CARACTERÍSTICAS
devanado secundario no afecta a la respuesta a las frecuencias bajas; por ello los secundarios de ciertos transformadores interetapa se devanan con hilo de gran resistividad para mejorar la respuesta a las frecuencias elevadas. La Q eñcaz del circuito puede también disminuirse y suprimir el pico de la resonancia conectando una resistencia elevada entre los terminales del secundario del transformador, aun cuando esto entrañe cierto sacrificio de la ganancia de tensión a todas las frecuencias. 0
DE
FRECUENCIA
e= 15 sen 11 500« + 5 sen 34 500<
(83)
G
PROBLEMAS
1. Un gener ador de corrient e alterna de fuerza electromotriz fij a JE y resistencia interna Re suministra potencia a una resistencia de carga J?¿. Supóngase que para todo Valor de R¡, se dispone de un transformador cuya razón de los números de espiras corres ponde a potencia máxima entregada a la carga. ¿Cuál deberá ser el valor del cociente BL/RG antes de que se garantice el empleo del transformador, si o) el rendimiento del transfor mador es del 85 %? b) el rendimiento del transformador es del 50 % ? 2. Se conocen los datos sigui entes de un tr ansformador de audiofrecuencia con núcleo de hierro:
y una resistencia de 1 500 ohm, se conecta entre los terminales del primario del trans formador de entradajcuyo circuito equivalente es el de la figura 12. o) Representar grá ficamente la forma de onda de la tensi ón de entrada. 6) Representar la forma d e onda de la t ensió n de salida, empleando las misma s escalas para tensión y tienpo que en la parte a). Para determinar esta forma de onda puede hacerse cualquier aproximación justificable. jj 200JIJIF
1500 ohm
Resistencia efectiva del devanado primario = 300 ohm Resistencia efectiva del devanado secundario = 2 ohm Inductanci a del primario en circuito abierto = 11 H Inductancia del primario en cortocircuito = 0,09 H Razón de transformación = 20 Si el circuito primario exterior al transformador es una resistencia pura de 2 000 ohm en serie con una fuerza electromotriz de 125 V a 500 Hz: o) ¿Qué resi stencia de carga se precisa para hacer que 500 Hz sea la frecuencia a la cual la razón de tensiones es máxima? 6) ¿Cuál es la potencia suministrada a la carga a 500 Hz si la resi stencia de carga tiene el valor hallado ena) ? 3. Partiendo de la ecuac ión (25) de este capítulo y no haciendo más aproximacio nes, deducir expresiones para: a) La s pulsaciones co* ycoi superior inferior de potencia mitad. 6) La anchura de banda c u* — co¡.
c) El factor de selectividad
— O>H — coi d) Indic ar qué términos o factores deben despreciarse en las expresiones de to* y cu; deducidas en la parte o) para que dichas expresiones sean iguales a las de las ecuaciones (52) y (55). 4. Se quiere utilizar un transformador para conectar un mic rófon o dinámic o a una linea de transmisión de 600 ohm de resistencia. Las reactancias del micrófono y de la línea son despreciables. El transformador debe tener la razón de números de espiras adecuada para que haya transmisión máxima de potencia y debe tener una razón de caídas de tensión para el máximo de no más del 5 % y un defasaje de no más de 20° en el intervalo entre 50 H z y 8 000 H z. Suponiendo d esprecia bles las resis tencias del trans formador, hallar sus inductancias de primario y secundario y el coeficiente de acoplo. 5. En el registro de un laboratorio, parte de la informa ción que se da concerniente a los transformadores de adaptación está constituida por los valores de la resistencia exterior de los circuitos primario y secundario que daría máxima transmisión de potencia a 600 Hz para una tensión dada en el circuito primario. Se desea uti liz ar un receptor telefónico de 10 000 ohm de resistencia y autoinducción
475
despreciable como detector que funcione a 1 500 Hz en un puente para corriente alterna que presenta una resistencia equivalente de 100 ohm entfe sus terminales de salida Si las resistencias de los devanados del transformador son suficientemente pequeñas par a despreciarlas, ¿cuáles serían las resistencias exteriores nominale s para el transfor mador más apropiado para acoplar el receptor telefónico al puente? 6. Un generador que tiene una tensión generada de
1 20 0 1 600 ohm 80 mH75 mH hm o rwp—vw—. -v///—1W • ¿100/ ÍMF
|60 h
1
I
L
1:3
4=400^F
1
Fro . 12. Circuito equivalente para el transformador de entrada del problema 6. 7.
De un transformador interetapa se han tomado lo s datos si guientes:
Inductan cia del primario en cortocircuito = 108 mH Resistencia del devanado primario = 550 ohm Resistencia del devanado secundario = 6 080 ohm Razón de ten siones en circuito abierto a 200 Hz = 1 : 2,5 Inductanci a del primario en circuito abierto = 20 H Adem ás, se encue ntra que con los terminale s del prim ario del transform ador corto crrcuitados y el secundario excitado, la resonancia paralelo se produce a 6 500 Hz o) Dete rminar la razó n de tension es a la frecuenc ia de resonancia s i se conecta el transformador por la parte de su primario a un generador cuya impedancia interna es una resistencia de 20 000 ohm. Desprecíese la capacidad entre devanados y la capaci¬ dad de la carga. < b) Dete rminar la frec uencia del punto de potencia mitad de menor frecu encia a). cuando se utiliza el transformador en las condiciones de 8. Un transformador de entrada con una razón de transf ormac ión de 1 : 4 y una ¿á^u ^ P cortocircuito de 320 mH tiene como frecuencia de resonancia 4 i) W Mz. Cuando está alimentado por un generador de resistencia interna de 20 000 ohm, la razón V ¡E en condiciones de resonancia vale 3,2 : 1. Si pueden despreciarse la re sistencia, inducción mutua y capacidad equivalente paralelo del primario del transiorm ador , ¿cuáles son los valores de: o) La capacidad equivalente entre devanados? C, b) La capacidad equivalente del secundario ?C 1
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APLICACIONES
Aplicaciones de los transformadores en sistemas de potencia En los sistemas de potencia se emplean muchos transformadores para accionar instrumentos de medida y relés de mando, para obtener corriente de intensidad eficaz constante en circuitos de alumbrado público conectado en serie y para regu lar la tensión o la circulación de potencia reactiva en una línea de transmisión o en un alimehtador. En este capítulo se estudiarán brevemente algunos de estos transformadores. 1. TRANSFO RMADORE S PARA INSTRUMENTOS
Los instrumentos de medida y relés para el accionamiento de dispositivos pro tectores y de mando suelen conectarse a los circuitos de potencia de corriente al terna a través de transformadores para instrumentos si la tensión del circuito es mayor que unos centenares de volt. De esta manera se evita la conexión directa entre los instrumentos y los circuitos de alta tensión, que sería peligroso para los operarios y requeriría cuadros de instrumentos caros y con un aislamiento especial. Au n en el caso en que la tensión del cir cui to no fuera pel igros a por lo ele vada , co rrientemente se emplean transformadores para instrumentos cuando se quieren medir corrientes muy intensas, evitando así el llevar cargas fuertes a los cuadros de instrumentos. Los transformadores para instrumentos se califican en transformadores de poten cial y transformadores de intensidad, según se destinen a la medida de diferencias de potencial o de intensidades de corriente. El primario se conecta conveniente mente al circuito cuya tensión o intensidad de corriente quiera medirse, y el secun dario se conecta a los instrumentos o relés. Cuando se instalan transformadores para instrumentos de razones de transformación apropiadas, para circuitos de ten sión e intensidad nominales cualesquiera se emplean instrumentos y relés de 150 V y 5 A. Con esta normalización, aceptada plenamente en América, pueden reducirse al mínimo los costos de instrumentos y circuitos de mando. l a . Transformador de potencial. El primario de un transformador de potencial, devanado para la frecuencia y tensión a medir, aproximadamente, se conecta a ésta; el secundario, devanado para 115 V aproximadamente, se conecta a los ins trumentos de medida de 150 V. El circuito secundario debe estar conectado a tie rra para proteger al operario en el caso de un fallo del aislante y evitar también la acumulación de carga electrostática que pudiera afectar a las indicaciones de los instrumentos. La tensión V entre las líneas a las que está conectado el primario del transformador de potencial viene dada por
V = (razón de tensiones del transformador)
X(indicación del voltíme tro)
Las escalas de los voltímetros del cuadro pueden estar graduadas de manera que indique directamente la tensión de la línea. 476
(1)
EN
SISTEMAS
DE
POTENCIA
477
La teoría del transformador de potencial es exactamente la misma que la de cualquier otro transformador con núcleo de hierro. Si no luera por las caídas de tensión en las impedancias de fuga, la razón de las tensiones en terminales sería constante, independiente de la tensión y de la intensidad de la corriente que el secundario suministra para hacer funcionar los instrumentos. Esta razón constante sería igual a la razón de los números de espiras de los dos devanados. Como la razón de las tensiones en terminales debe ser lo más constante posible, los transformadores de potencial se diseñan de manera que tengan resistencias y reactancias de fuga muy pequeñas. La carga del secundario de un transformador de potencial suele consistir en instrumentos de medida de tensión, por lo que casi puede considerarse como una resistencia no inductiva. Debido a las caídas de tensión en las impedan cias de fuga, puede haber un pequeño defásaje entre las tensiones de primario y secundario dé polaridad correspondiente. Este defasaje puede introducir un error, generalmente pequeño, en la indicación de un watímetro cuyo devanado de tensión esté conectado al secundario del transfor mador. Como la indicación del de watímetro prola porcional al coseno del ángulo defasaje esentre tensión aplicada al devanado de tensión y la co rriente que circula por el devanado de intensidad, un desplazamiento angular dado en la tensión FIG. 1. Transform ador de poten produce mayor error en la indicación del watí cia l de 13 800 : 115 V para inte rio metro cuando el defasaje entre tensión e inten res, con fusibles limitadores de la inten sida d, lo s termin ales de salida sidad es próximo a 90° que cuando es próximo están alojados en la tapa metálica a cero. situada en la parte anterior. Se diseñan fácilmente transformadores de po ten cial cuyas razones de tension es sólo varían en una pequeña fracción por cie nto, al variar las condiciones de tensión y cargas y cuyos defasajes son inferiores a 0,1°. Au n cuand o su sal ida es de pocos volt -amp ere , las dimens iones y peso de un transformador de potencial para alta tensión pueden ser grandes, por requerirse aislamiento adecuado para alta tensión. 16. Transformador de intensidad. El prima rio de un transform ador de inte n sidad consta de pocas espiras —a veces una sola— que se conectan en serie con el circuito cuya intensidad de corriente se quiere medir y el secundario se conecta a los instrumentos de medida de la intensidad. Como en el empleo de los transfor madores de potencia], deben ponerse a tierra los circuitos secundarios de los trans formadores de intensidad. La intensidad / de la corriente que circula por el pri mario viene dada por / = (razón de intensidades del transformado r) x (indicación del amperímetro) Las escalas de los amperímetros del cuadro pueden graduarse para dar directa mente la intensidad de la corriente que circula por la línea del primario.
(2)
478
APLICACIONES
TRANSFORMADORES
EN
SISTEMAS
DE
POTENCIA
479
secundario referida al primario y puede ser solamente de una fracción de volt. Si es constante la impedancia de los instrumentos, tanto la tensión inducida como el flujo mutuo son directamente proporcionales a la intensidad de la corriente del secundario. Si no fuera por la corriente de excitación, las intensidades de las corrientes de primario y secundario serían inversamente proporcionales a los núme ros de espiras de los devanados y estarían también en concordancia de fase al con siderarlas en sentidos opuestos respecto al núcleo. Si la componente magnetizante de la corriente de excitación fuera proporcional al flujo mutuo y si la pérdida en el núcleo fuera proporcional al cuadrado del flujo mutuo, la intensidad de la co rriente de excitación sería proporcional a la intensidad de la corriente del secun dario y guardaría con ella una relación de fase fija. Sin embargo, a causa de la no linealidad del circuito magnético, la corriente de excitación no es proporcional a la de la corriente del secundario ni es constante sü ángulo de defasaje. Como la corriente de excitación altera la razón y el defasaje entre las corrientes de primario y secundario, se hace lo menor posible utilizando acero de permeabi lidad elevada y de pérdidas reducidas en la construcción del circuito magnético. Se han desarrollado esquemas ingeniosos que compensan casi por completo los efec tos de la corriente de excitación. La impedancia de fuga del secundario y las impedancias de los conductores que salen del secundario y de los instrumentos, debe F io . 2. Transformador de intensidad para interi ores, del diseño utilizado para corrientes de rán también, ser lo menor posible ya que cualquier incremento de estas impedan1 000 A a 5 000 A a unos 25 000 V. El primario consiste en una varilla o barra recta que constituye una espira única rodeada por el núcleo. En la figura 10 del capítulo X pueden verse transformadores cias incrementa el flujo en el núcleo, y por tanto, la corriente de excitación. de intensidad para circuitos de tensiones más elevadas La corriente de excitación depende del grado de saturación del núcleo. Por esta razón, no se permitirá que circule corriente continua por un transformador de generador o motor polifásico y T'C, T"C representan dos transformadores de intensidad a menos que después se desimane por completo para eliminar el mag intensidad iguales. La bobina del relé R se conecta en paralelo con los secundarios netismo residual. Además, el secundario no deberá nunca quedar en circuito abierto de ambos transformadores, cuyos terminales de secundario se conectan entre sí mientras el primario transporte corriente. Si se abriera el circuito secundario en de manera que se unan los de polaridad tal que la corriente que circule por la bo estas condiciones, la corriente del primario permanecería prácticamente invariable bina del relé sea la diferencia vectorial entre las corrientes del secundario de los por estar determinada casi por completo por el circuito en que está situado el pri 3. Si el aislante dos transformadores de intensidad, tal como se indica en la figura mario. Al suprimir el efecto desmagnetizante de la corriente del secundario, el del devanado D está en buenas condiciones, las flujo se eleva entonces hasta un valor determinado por la corriente del primario. corrientes que circulan por ambos transforma T'C TC Como los transformadores de intensidad suelen funcionar a inducción magnética dores son iguales y por la bobina del relé no '000000' • • débil, el flujo puede aumentar considerablemente hasta quedar limitado por la sa circula corriente. Sin embargo, si fallara el deva turación, y el valor eficaz de la tensión en los terminales del secundario en circuito nado, las corrientes en sus dos extremos difieren abierto puede elevarse hasta unos pocos centenares de volt. A causa de la distorsión en la que se deriva por el fallo y por la bobina debida a la condición de saturación del núcleo entonces existente, la tensión indu del relé circula una corriente proporcional que cida tendrá una forma de onda muy aguda y su valor de pico puede ser suficientemen i: puede disponerse para accionar un disyuntor que te elevado para ser peligroso para la duración y para el aislante del transformador. Fi o. 3. Esquema elemental de cir desconecte la máquina averiada. Este circuito Otra causa de sobretensiones peligrosas en los transformadores de intensidad constituye la base del esquema diferencial de cuito en el que puede verse el empleo son los picos de intensidad debidos a los rayos y a los transitorios creados en los de transformadores de intensidad en relé, empleando corrientemente para proteger interruptores. Para reducir los efectos de estas sobretensiones suelen conectarse en un relé de corriente diferencial. máquinas, alimentadores cortos, circuitos para paralelo con los primarios de los transformadores de corriente protectores derivados lelos y otras instalaciones. análogos a-los pararrayos. La teoría del transformador de intensidad es la misma que la de cualquier otro le . Conexiones trifásicas. * Los transformado res para instru mentos suelen cotransformador con núcleo de hierro. El secundario se cierra a través de la impe dancia de los instrumentos conectados a él. Normalmente son instrumentos para Para una descripción de varios dispositivos com pensadores véase B. HAOÜE, Instrument ndres: Sü - Isaac Pit m an & Sons, Lt d. , 1936), 73 -102. Transjormers (Lo cinco amper e. La tensión, entre los termi nale s del secun dario es la caída a través * El tema gene ral de las conex iones trifásicas de los transformadores se estudia os ca en de los instrumentos, está adelantada respecto a la corriente y suele ser de pocos volt. pítulos XXI-XXIV. La tensión entre terminales del primario es aproximadamente igual a la tensión del
Los transformadores de intensidad se utilizan también para comparar dos co rrientes que circulen por circuitos diferentes o por partes diferentes de un mismo circuito. Por ejemplo, en la figura 3, D representa el devanado de una fase de un
1
1
l
480
TRANSFORMADORES
APLICACIONES EN
nectarse de muy diversas formas para medir la tensión, intensidad y potencia en los circuitos trifásicos. Por ejemplo, si se conectan en triángulo-triángulo tres trans formadores de potencial, podrán medirse las tensiones en la línea mediante voltí metros conectados entre cada par de terminales secundarios. Si se conectan los primarios de tres transformadores de intensidad, uno en serie con cada línea, me diante el circuito de la figura 4, podrán medirse las intensidades de las tres corrien-
SISTEMAS DE POTENCIA
481
las intensidades de las corrientes que circulan por las líneas A y C. La primera ley de Kirchhoff aplicada al nudo n, da como relación entre las corrientes de los se cúndanos. =ia0,+ ib + i (3) c
y como i e i son proporcionalesa las intensidades de las corrientes de líne a de los primarios i e i respectivamente, la intensidad i que señala el amperímetroA es proporcional también a la intensidad i de la corriente del primario si es nula tt
c
A
c
b
b
B
Circuito 'trifásico
F io 4. Transformadores de intensidad conectado s en estrella tes de la línea; los secundarios están conectad os en estrella puest a a tie rra y los amperímetros también están conectados en estrella. Si el circuito de potencia es un circuito de tres hilos sin hilo neutro, la suma instantánea de las tres corrientes de línea que circulan por los primarios hacia la carga, debe ser nula, y por tanto, la suma de las corrientes de secundario también debe ser nula si los tres transfor madores son iguales. En consecuencia, puede suprimirse la conexión entre el neutro de los secundarios conectados en estrella y el de los amperímetros, señalada en la figura 4 con línea de trazos.. En cambio , esta conexión es necesaria cuand o el cir cuito de potencia tiene un hilo neutro. Las tensiones, intensidades y potencia en un circuito trifásico de tres hilos se pueden medir por medio de dos transformadores iguales de potencial y dos trans formadores de intensidad iguales conectados en la forma indicada en la figura 5.
Fi o. 6. Equi po de medida trifásico de tres hilos de 23 000 V 200 A aislado por aceite, para exteriores. Cada uno de los dos pasatapas delan teros contiene dos conductores que lle van la oorriente a los terminales primarios de un transformador monofásico de intensidad. La tensión en cada primario de los transformadores de intensidad está limitada por el protector derivado montado en la parte superior del pasatapas. El pasatapas de atrás contiene un conductor de potencial, estando conectados dentro del tanque los conductores de potencial que llevan a las otras dos fases. Las conexiones son las indicadas en la figura 5. Los transformadores de potencial monofásicos para alta tensión tienen un aspecto parecido al de este equipo de medida, pero sólo tienen dos pasatapas y no tienen protectores derivados
la suma de intensidades dé las corrientes de primario, como debe ocurrir si el cir cuito de potencia es un circuito de tres hilos. A menudo-se montan en una misma cubiert a los transformadores de potencia e int ensidad, como se muestra en la figura 6, a fin de ahorrar espacio, peso y costo. A la combinación se le llama entoncesequipo de medida.La potencia en un circuito trifásico de tres hilos puede medirse por el método de los dos watímetros si se conectan dos watímetros con sus devanados de intensidad en serie con los amperímetrosA y A (Fig. 56) y con sus devanados V y V * respectivamente (Fig. 5a). Obsér de tensión excitados por las tensiones vese que esta disposición da la potencia trifásica y la intensidad en la B fase tan solo cuando el circuito trifásico es un sistema trifásico sin hilo neutro. a
ab
(b) (a) F io . 5. Conexiones de transformadores de instrumentos para circuitos trifásicosde tres b) dos trans hilos; a) conexión en triángulo abierto de dos transformadores de potencial, formadores de intensidad La conexión de los transformadores de potencial de la figura 5a se conoce con el nombre de conexión en triángulo abierto. Se describe detalladamente en el apar A y A están direc tado 5 del capítulo XX I . E n la figura 56, los amperím etros tamente en serie con los dos transformadores de intensidad, y por tanto, indican a
c
2.
TRANSFORM
ADOR
DE INTENSIDAD
c
c
CONSTANTE
En el alumbrado público se conectan frecuentemente en serie lámparas de arco,
de incandescencia o de descarga en gas. En un circuito serie, cada lámpara es asiento de la misma corriente y la corriente de la línea es mucho más dé bil que lo sería si
las lámparas estuvieran alimentadas por un circuito paralelo a tensión constante.
482
APLICACIONES EN SISTEMAS DE POTENCIA
TRANSFORMADORES
Para la conexión en serie, las lámparas deben ser todas de igual intensidad nomi nal y debe regularse la corriente en el circuito de manera que se mantenga cons tantemente al valor nominal. Para estos circuitos serie, son corrientes intensidades nominales de 6,6 A y 7,5 A. Para dichos circuitos se utilizan casi umversalmente transformadores de intensidad constante.
La figura 7 es una fotografía de un transformador de intensidad constante y la figura 8 es un esquema simplificado de una disposición ligeramente distinta. Sin
483
El flujo de fuga en el núcleo debido a la corriente del primario se ha represen tado en la figura 8 por líneas de trazos. El sentido instantáneo de este flujo de fuga del primario está indicado para los hemiciclos en que la corriente del primario circula en el sentido indicado en la figura por los puntos y las cruces (indicativos de puntas y colas de flechas dirigidas en el sentido de la corriente). Como las corrientes de primario y secundario están casi en oposición de fase, el sentido de la corriente de sencundario es opuesto al de la de primario salvo durante una parte muy pequeña de cada ciclo. Por la regla de la mano izquierda para la determinación del sentido de la fuerza que actúa sobre un conductor que transporte corriente, se ve que cuando
E ; r - ¿ r Bobina móvil 2
Bobina fija 1 F io . 8.
F io . 7. Transformador de intensidad constante utilizado para suministrar potencia a un sis tema serie de alumbrado urbano. Se ha quitado la envoltura de alambre protector que rodea el transformador cuando está en servicio. os L valores nominales son 2 300 V en primario, 6,6 A en secundario, 60 Hz, 60 kW de salida
embargo, ambos tipos funcionan sobre los mismos principios, cuyas características principales se indican en la figura 8. El circuito magnético está dispuesto como el de un transformador de tipo acorazado, exceptuándose que el núcleo es suficiente mente largo para permitir una separación considerable de los devanados primario y secundario. El núcleo de hierro CCG de la figura 8 funciona a una inducción mag nética suficientemente elevada para que el flujo de fuga en el núcleo sea mayor que en un transformador de potencia para tensión constante. Los devanados primario y secundario 1 y 2 rodean la rama central del núcleo. Un devanado está fijo; el otro P. La reactancia de fuga es móvil y está soportado por un brazo que pivota en de dicho transformador es relativamente grande y crece al separar las bobinas. El W colgado del peso del devanado móvil está compensado en parte por un peso sector S unido al brazo que pivota. El primario puede ser, tanto el devanado fijo como el móvil. En el estudio siguiente se supondrá que el primario es el devanado fijo 1.
Esqu ema de la disposición del núcleo y devanados de un transformador de intensidad constante
las corrientes tienen los sentidos indicados en la figura 8, sobre el secundario se ejerce una fuerza hacia arriba. Medio período más tarde, se han invertido los sentidos de ambas corrientes; el flujo de fuga se ha invertido también y la fuerza sigue estando dirigida hacia arriba. Durante todo el período, salvo en la pequeña parte en que ambas corrientes tienen el mismo sentido y son débiles, la fuerza que se ejerce sobre el secundario está dirigida hacia arriba. La fuerza hacia arriba, al ser proporcional al producto de las intensidades alternas de primario y secundario, es una cantidad pulsátil de frecuencia doble de la de la línea y que tiene un valor medio que tiende a separar los devanados. Habida cuenta de la masa del secundario, la variación de frecuencia doble de la fuerza no srcina movimiento alguno apreciable del secundario, si bien puede contribuir apreciablemente al ruido radiado por el transformador. Debido a la fuerza electromagnética de repulsión entre ambos devanados, el secundario móvil ajusta su posición respecto al primario fijo de manera que la fuerza equilibre exactamente al peso del brazo y la bobina. Sise cüsminuyela impedancia de la carga, aumenta la intensidad de la corriente y la fuerza de repul sión entre las bobinas y el devanado 2 se aleja más del 1, aumentando la reactancia de fuga y disminuyendo la intensidad de la corriente. A fin de evitar que oscile el deva nado 2 alrededor de su posición de equilibrio se provee algún medio de amortigua miento de las oscilaciones, tal como un amortiguador conectado al sistema móvil. Aju st and o adecua damen te el contrap eso W, la forma de los sectores £ y el ángulo al que se ha construido, el transformador puede regularse para corriente de inten-
484
APLICACIONES
TRANSFORMADORES
sidad casi constante para cualquier dominio conveniente de carga, e incluso cuando el secundario esté cortocircuitado, con tal que el núcleo sea suficientemente largo para permitir una separación suficiente de los devanados. Cuando el secundario está cortocircuitado, el transformador no alimenta a ninguna carga, pues su tensión de salida es nula. Al crecer la resistencia de la carga, los devanados se aproximan a fin de desarrollar la tensión que es ahora necesaria para mantener constante la intensidad de la corriente del secundario. Al ser ésta constante, la potencia de salida crece con la resistencia de carga hasta que, por último, entran en contacto los deva nados. En ese momento la potencia de salida tiene su valor máximo. Una vez en contacto los devanados, todo incremento ulterior de la resistencia de carga hace disminuir la intensidad de la corriente de secundario y la potencia de salida, como en el transformador ordinario de tensión constante. En un transformador de intensidad constante ajustado en forma adecuada, la intensidad de la corriente de secundario es constante. Si no lo fuera para la varia ción de intensidad y fase de la corriente de excitación, la intensidad de la corriente del primario también sería, constante. Por tanto, el primario funciona a tensión Circuito serie constante y a intensidad aproximadamente cons de alta tensión tante, y la variación de potencia de entrada srcinada por una variación de la carga se debe -'O00O0'principalmente a una variación del factor de potencia del primario. El secundario entrega potencia a intensidad constante y tensión varia rotectores ble y a un factor de potencia determinado por derivados Fia. 9 Circuito que utiliza un transla carga. Para una carga de lámparas de incan formador aislador de bucles descencia, el factor de potencia de salida es casi igual a la unidad. Los transformadores de intensidad constante se ponen en servicio llevando su secundario a la posición más elevada posible bien sea manualmente o por medios automáticos. Después de cerrar el interruptor de primario, se suel ta el secundario dejándole que adopte la posición correspondiente a la carga del transformador. La tensión a tierra de ciertas partes de los circuitos serie de alumbrado urbano puede alcanzar valores peligrosos —de varios miles de volt. Para evitar la existencia de esas tensiones entre la instalación del alumbrado y tierra, los circuitos de alumbrado urbano suelen estar divid idos en varios bucles, alimentado cada uno de ellos por un transformador cuyo primario está en serie con el circuito principal, según se indica en la figura 9 . Un trans formador utilizado de esta guisa recibe el nombre de transforma dor aislador de bucles,porque proporciona aislamiento entre el circuito serie principal y el bucle, de manera que éste puede ponerse a tierra. Por medio de la razón de transformación de
EN
SISTEMAS
DE
POTENCIA
485
intensidades apropiada, un transformador aislador de bucles puede tambián utilizarse para alimentar un bucle consistente en lámparas cuya intensidad nominal es diferente de la del circuito principal. Para evitar la interrupción del circuito serie total al fundirse una de las lámparas, éstas y los primarios de los transformadores aisladores de bucles suelen ir provistos de protectores derivados conectados en paralelo con ellos. Si se fundiera una lámpara, la tensión total del circuito serie quedaría aplicada a su pro tector. La tensión excesiva perfora la película aislante del protector derivado que se hace así conductor y permite que el resto del circuito siga funcionando. 3.
TRANS FORMADOR DE RAZÓN
AJUS TAB LE O CON CAMBIO
DE TOMAS
Si se suministra potencia a un transformador a través de un circuito de trans misión, de impedancia relativamente elevada, la tensión entre terminales del pri mario podrá variar con las variaciones de carga a lo largo de un dominio demasiado
/
7
F io . 10. Transformador aislador utili zado para suministrar una co mente de 20 A a baja tensión a una o dos lámparas del alumbrado urba no, desde un circuito de corriente constante de 6,6 A a alta tensión. Este transformador está destinado a ser instalado en la base de un poste orna mental para alumbrado
F io . 11. Mecanismo cambiador de tomas de un transformador de potencia grande. Los co ntac tores se accionan en un orden definido mediante levas montadas sobre un árbol giratorio. El conjunto está sumergido en aceite aislante
amplio, a causa de las variaciones de caída de tensión en la impedancia del circuito de transmisión. En tales casos, podrá convenir disponer de tomas en el devanado primario a fin de mantener la tensión del secundario a su valor nominal ante las
TRANSFORMADORES
486
APLICACIONES
condiciones variables de carga y factor de potencia. El número de espiras a utilizar en el primario se elige por una disposición de los contactores tal que la tensión inducida en el primario por espira del primario se mantenga casi constante. El flujo será, pues, casi constante, así como la tensión inducida en el secundario. Los transformadores grandes de potencia con cambiador de tomas se emplean también frecuentemente para regular la circulación de potencia reactiva entre dos sistemas de potencia 'interconectad os o entre partes componentes de un mis mo sistema, permitiendo al propio tiempo mantener a los valores deseados las tensiones en puntos especificados. Frecuentemente, los aparatos cambiadores de tomas deben diseñarse de manera que pueda ajustarse la razón de transformación en carga sin que se interrumpa la -4D
CAMB
SISTEMAS
DE
POTENCIA
487
TAB LA I IO DE T OMAS Contactor
Posición 1
,
Terminales del primario
EN
siado grande en la impedancia de la bobina durante las etapas de transición 2 y 4, se diseña a veces el núcleo de la bobina de tal manera que se sature cuando la corriente que circule por una u otra mitad tenga una intensidad próxima a la de
Secundario
1.
Toma 1
2.
Transición 0
2
0
3.
Toma 11/2
4.
Transición
0
5.
Toma 2
0
0
3 0
0
_7 F io . 12.
Circuito elemental para cambiar tomas en carga
corriente de carga. En la figura 12 pueden verse los elementos esenciales para lograr dicho fin. La bobina X es una bobina con núcleo de hierro y toma media y 1, 2 y 3 son contactores. Supongamos que el transformador funciona sobre la toma 1 cuando un aumento de la carga reduce la tensión del primario de manera que sea conve niente pasar a la toma 2 a fin de mantener constante la tensión del secundario. Si no debe'interrumpirse el circuito primario, deberá cerrarse el contactor 2 antes de que se abra el 1. El fin de la bobina es evitar que queden en cortocircuito las espiras entre 1 y 2 cuando los contactores 1 y 2 estén ambos cerrados. Aun cuandc la tensión inducida por el flujo en el núcleo en las espiras situadas entre las tomas 1 y 2 sólo es una pequeña fracción de la tensión del primario, la impedancia de fuga de estas espiras es también pequeña. En consecuencia, si las tomas 1 y 2 estuvierar cortocircuitadas, la intensidad de la corriente que circula por las espiras situadas entre estas tomas podría ser 10 ó 20 veces mayor que la intensidad nominal. La sucesión de hechos al pasar de la toma 1 a la 2 es la consignada en la tabla I El gobierno de los contactores puede ser manual o automático. En la posición d< funcionamiento normal, el contactor 3 está cerrado, cortocircuitando la bobina La corriente del primario se divide, entonces, por igual entre las dos mitades de lí bobina y como dichas corrientes tendrán sentidos opuestos, su fuerza magnetomo triz resultante es nula, así como el flujo en el núcleo de la bobina. La impedancia de ésta es, pues, igual solamente a la mitad de la impedancia de fuga de una de la; secciones de su devanado respecto a la otra. En las etapas segunda y cuarta de la tabla la corriente sólo circula por una mitad de la bobina. No habiendo en la otra mitat corriente continua de sentido opuesto, la fuerza magnetomotriz que actúa sobr su circuito magnético es igual al producto de la intensidad de la corriente del primarii por el número de espiras de la mitad de la bobina. A fin de evitar una caída dema
0
0 = interruptor cerrado
plena carga de la corriente del primario. En la tercera etapa indicada en la tabla, la bobina está conectada en paralelo con las espiras comprendidas entre las tomas 1 y 2. La corriente que circula por las espiras del transformador situadas entre las tomas está limitada por la reactancia magnetizante de la bobina. Si esta reactancia es suficientemente grande, la corriente que circule por las espiras del transformador no será demasiado intensa. Así pues, el diseño de la bobina es un compromiso que reúna todos los requisitos de la manera más satisfactoria posible. 4 . TBANSFOB
MADOBES
BEGU LADOBES
DE TENSIÓN
Cuando varios alimentadores reciben energía de un colector, suele ser necesario regular, independientemente unas de otras, Jas tensiones de los diferentes alimen tadores. Para este fin existen dos tipos de transformadores reguladores de tensión que se emplean muy corrientemente, cuales son el regulador por etapas y el regu lador por inducción. 4o. Regulador por etapas. El regulador por etapas suele consistir en un autotransformador cuyo devanado serie posee un cierto número de tomas que pueden cambiarse bajo carga y que son seleccionadas automáticamente por un circuito de mando sensible a la tensión. El devanado serie está conectado de tal manera que su tensión se sume o reste con la tensión del devanado común. En la figura 15 puede verse uno de los dispositivos más sencillos de regulador por etapas, en el cual se conecta la salida al punto medio del devanado serie de manera que seleccionando las tomas por encima o por debajo de este punto medio, puede hacerse que
APLICACIONES EN SISTEMAS DE POTENCIA
489
la tensión del devanado serie sea superior o inferior a la tensión de entrada. Las tomas las seleccionan dos cursores que deslizan sobre un sistema de contactos fijos. La bobina de reacción X limita la intensidad de la corriente en las espiras cortocircuitadas cuando los cursores se hallan en posiciones que ponteen dos tomas sucesivas. Si la corriente fuera dema siado intensa para ser interrumpida por los cursores sin que se produzca un arco serio, Salida se conectan en serie con ellos unos contac tores auxiliares, tal como se indica en la figu ra 15. 46. Regulador por inducción. El regulador Entrada monofásico por inducción es, enesencia, un
F io . 13. Regulador de tensión por etapas de un alimentador trifásico, de diseño típico para valores nominales inferi ores a 750 kV A a tensiones de menos de 15 000 V. Este regulador cubre un dominio de tensiones d e ± 10 % en 32 etapas de 5/8 porciento cada una
F io . 14.
Mecanismo cambiadorde tomas para el regulador trifásico de la figura 13. Los contac tos funcionan en un baño de aceite
transformador, uno de cuyos devanados está F ia . 15. Esquema de circuito para re montado de manera que pueda girarse adop gulador por etapas tando posiciones diferentes respecto al otro. En la figura 1 6 puede verse un esquema del regulador. En ella, 1 y 2 son los lados de las bobinas de los devanados primario y secundario respectivamente, y 3 indica los lados de las bobinas de un devanado cortocircuitado situado en cuadratura con el primario. Para mayor sencillez, los devanados primario y secundario se indi can como si cada uno de ellos se hallara concentrado en un solo par de ranuras. Sin embargo, en la realidad estos devanados se hallan alojados en un cierto número 17 de ranuras distribuidas sobre las periferias del estator y el rotor. En la figura puede verse la disposición de los devanados del rotor 1 y 3. Cuando estén alineados los ejes de los devanados primario y secundario, la inducción mutua es máxima y la tensión inducida en el secundario también lo será. Cuando dichos ejes sean per pendiculares, la inducción mutua es nula y también lo será la tensión inducida en el secundario. Puede obtenerse cualquier valor intermedio de la tensión inducida en el secundario. El primario del regulador se conecta en paralelo con la línea cuya tensión quiere regularse. El secundario suele conectarse en serie con la línea tal como se indica en la figura 18. La tensión in ducida en el secundario se suma o se resta, entonces, de la tensión de línea del primario según sean las posiciones relativas Fi o. 16. E squema de los devanados primario y secundario. de regulador mono Cuando estén en cuadratura primario y secundario, no ha fásico por inducción brá reacción entre ellos y la autoimpedanciadel devanado se cund ario quedaría en serie con la línea de transmisión si no fuera por el d evana do cortocircuitado 3, cuya misión es reducir la impedancia del secundario. Cuando los devanados primario y secundario están en cuadratura, el devanado compensa dor (el cortocircuitado) actúa respecto al secundario como el secundario en cortocircui to de un transformador y reduce la reactancia aparente del devanado secundario. La impedancia en cortocircuito es mucho menor que la autoimpedancia del secundario. El regulador polifásico por inducción consiste en un devanado primario poli fásico estacionario y un devanado secundario polifásico móvil que puede girarse adoptando diferentes posiciones respecto al primario. En la figura 19 pueden verse A, B y C del Jas conexiones de un regulador trifásico por inducción. Los devanados
490
TRANSFORMADORES
AP LI CA CI ON ES
A, B y C de la primario o estator se conectan en estrella a los-terminales primarios línea. Los devanados del secundario o rotor a, b y c se conectan en serie con los terminales secundarios a, b y c de la línea.
Fi o. 17. Rotor de un regu lador de tensión monofásico por inducción refrigerado por aceite. Las bobinas de la iz quierda pertenecen al circuito activo; las de la derecha son las bobinas compensadoras. Las conexiones con el circuito ex terior se realizan mediante los cables flexibles de la parte superior
EN
SI ST EM AS
DE
PO TE NC IA
491
en magnitud cuando se mueve el rotor adoptando posiciones diferentes. Otra dife rencia entre los dos tipos es que el polifásico no requiere devanado compensador. La elección del mejor tipo de regulador de tensión para un alimentador es un problema técnico clásico en el que la economía es el elemento principal. A título
F io . 19.
Conexiones del regulador trifásico por inducción Fi o. 20. Diagra ma vectorial de las tensiones en un regula dor polifásico por inducción
de orientación, puede decirse que los reguladores de tensión automáticos del tipo de inducción para alimentadores serán aplicables principalmente en zonas que tengan densidades de carga más bien grandes, estando el costo del regulador repartido en La teoría del regulador polifásico por inducción es igual que la del motor de inducción polifásico de rotor devanado . Según la teoría del motor de inducción polifásico, las corrientes que circulan por los devanados primarios crean un campo magnético giratorio de amplitud constante en el entrehierro, que induce en los devanados secundarios tensiones de valor eficaz 2 constante cuyos defasajes respecto a las tensiones del primario varían cuando se hace girar el rotor adop Salida Entrada tando diferentes posiciones respecto al estator. Si se desprecia la pequeña caída de tensión en la impedancia de fuga del secundario, la tensión en el terminal F io . 18. Conexiones de un regu de la fase o del secundario es igual a la suma vectorial lador monofásico por inducción de la tensión en el terminal de la fase A del prima rio \A más la tensión en el terminal de la fase a del secundario E inducida por el campo magnético giratorio. Para una tensión de primario fija, el lugar geométrico de la tensión V del terminal del secundario es aproximadamente un círculo, tal como se indica en la figura 20. Así pues, podrá obtenerse, girando el rotor, un valor cualquiera de la tensión V del terminal del secundario comprendido entre la suma y la difere ncia aritmética de VA J E . Pa ra los valores inte rmedios de V , existirá una rotación de fase entre VA y V«. En este aspecto, el regulador polifásico por inducción se diferencia del monofásico. En el regulador monofásico por inducción, la tensión indu cida en el secundario está casi en fase con la tensión del pri mari o, pero varía 2
a
a
A
A
A
Véase R. R. LAWRENCE, Principies of Alternating-Current Machinery (3a, ed.; New York: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1940), 480.
F io . 21. Autotransformador ajust able para uso en laboratorio. La tensión de salida puede variarse suavemente en un amplio dominio de tensiones por medio de un contacto deslizante. Los valores nominales de este dispositivo son 115 V de entrada, 60 Hz, 2 kVA
un gran volumen de negocio. Los grandes reguladores de tensión por etapas suelen utilizarse para regular las cargas de circuitos de interconexión entre colectores de subcentrales, mientras que para mantener burdamente la tensión adecuada en líneas
APLICACIONES EN SISTEMAS DE POTENCIA
TRANSFORMADORES
492
de potencia de poca densidad de carga, tales como las líneas rurales, se emplean reguladores pequeños de tensión por etapas para alimentadores . El elevado costo de inversión de los reguladores de tensión por inducción no suele justificar su apli cación a líneas poco cargadas, dado lo relativamente baratos que son los reguladores de tensión por etapas. En los laboratorios, suele convenir disponer de un generador de potencia de corriente alterna de pocos kilovoltampere de capacidad y ajustable en un amplio dominio de tensiones. Dicho generador puede obtenerse adecuadamente de un trans formador pequeño con razón de tensiones variable. En el mercado existen varios tipos de transformadores de tensión ajustable, uno de los cuales es el presentado en la figura 21. 3
493
que los devanadosA y B y están devanados en el mismo sentido; el devanado C tiene el mismo número de espiras que el devanado B'. El transformador de dos etapas suele emplearse en instrumentos que tengan dos bobinas de intensidad separadas —una para conducir la corriente procedente de los devanados B y B' y la otra para conducir la co rriente procedente del devanadoC. Explicar, para el caso de un transformador de dos etapas utiliz ado de esta manera, cómo se realiza la reducción de los errores de defasaje y de razón de transformación. Si fuera ideal el núcleo auxil iar, ¿serla total la eliminación de estos errores? Línea Núcleo auxiliar
Núcleo principal
te
C a la bobina de intensidad
PROBLEMAS
1. Un transfo rmador de intensidad cuya razón d e transfo rmació n nominal es de 8 : 1 y cuya intensidad de corriente del secundario es de 5 A tiene las siguientes constantes:
R = 0.5 L = 0,0010 5 H
JV, = 25 espiras A' = 196 espiras
1
2
o
n
H
2
La longitud media del circuito magnético del transformador es de 20 pulgadas (50,8 cm) y su sección recta es de 4,0 pulgadas cuadradas (25,8). cm El material del núcleo pesa 0,272 libras por pulgada cúbica (7,53 g/cm ) y tiene las características magnéticas para 2
3
valores bajos de saturación dadas por la siguiente tabla:
B 450 G 400 350 300 240 180 120 60
H 0,320 Oe 0,315 0,305 0,290 0,259 0,224 0,173 0,105
a la bobina de intensidad F io . 22. Transformador de dos etapas, problema 2
m
Pérdida en el núcleo por libra a 60 H z 0,0098 W 0,0082 0,0067 0,0052 0,0036 0,0021 0,0008 0,00016
Para simplificar los cálculos puede suponerse sinusoidal la corriente magnetizante. Si se utiliza este transformador en un circuito de 60 Hz con un amperímetro de 5 A que tenga una resistencia de 0,178 ohm y un coeficiente de autoinducción de 0,000147 H: a) ¿Cuál es la verda dera razón de transformación cuando el instru mento señala 5,0 A? b) ¿Cuál es el ángulo de fase del transf ormador cuando el instrumen to señala 5,0 A? 2. Par a reducir los errores de defasaje y de razón de transformación se util iza a veces, en lugar de un transformador de intensidad ordinaria, un transformador de inten sidad llamado de dos etapas. En la figura 22 puede verse un esquema de dicho trans formador. Los devanadosA' y B' tienen, respectivamente, igual número de espiras G. H. LANDIS, «Voltage Regulation and Control in theDevelopmentof a Rural Distri¬ bution System», A. I. E. E. Trans.,57 (septiembre, 1938), 541-547.
3 La potenci a trifásica entrega da por una línea de transmisión de tres hilos a una carga equilibr ada se mide con el dispositivo esquematizado en la figura 23. El watímet ro 1 que tiene su devanado de intensidad en serie con la fase o y su denadado de tensión en paralelo con ab, señala 138 W; el watímetro 2, que tiene su devanado de intensidad en serie con la fase c y su devanado de tensión en paralelo señala 406 W. Las razones cb,con de de los transformadores para esta e instrumentos son: retraso la ten sióndefasajes del secundario de los transformadores de carga potencial respecto a la tensión deldeprimario, 0,167°; adelanto de la corriente de secundario de los transformadores de intensidad Transformadores deintensidad
— A Orden de las fases ABC B
Transformadores swLr de potencial
Devanados de tensión del watímetro
Am perím etros
Devanados de intensidad del watímetro
Fi o. 23. Conexiones para medida en tres hilos, problema 3 respecto a la corriente del primario 0,833°; razón de la tensión del primario de los trans formadores de pote ncia l a la tensión del secun dario (20 800 : 100) X 1,004; razón de la corrient e del prim ario de los transformadores de intensidad a la corriente del secundario (300 : 5) X 1,006. Determinar la potencia total entregada a la carga y el factor de poten cia de dicha carga. 4. Un transformador de intensidad con stante de 4 kV A, 60 Hz con una razón del número de espiras del primario al de espiras del secundario igual a 1 : 3,2 y tensión no minal de primario de 230 V se ajusta para entregar una corriente de secundario de inten-
494
APLICACIONES
TRANSFORMADORES
sidad constante igual a 6,6 A, para un dominio de carga comprendido entre salida cortocircuitada y potencia aparente de salida nominal. Si se mantiene el secundario móvil apretado hacia abajo contra el primario, una tensión de 63,5 V aplicada a los terminales del primario hace circular por el secundario una corriente de 6,6 A cuando se cortocir¬ cuita este último con un amperímetro de impedancia baja. La intensidad de la corriente del primario y la potencia para este ensayo son 22,0 A y 220 W.
V-1,0
i
i.
V-1. 0
,
DE
POTENCIA
495
Transformador de potencial, razón = 2400: 120 V
-?SiSSl£SL>—
-í'OOOW-
Transformador \ d c intensidad, razón = 250: 5 A Regulador por inducción
B'
•ñ-1,5 ohm
B
X= 2,5 ohm
Linea de transm isión
4000 kW
SISTEMAS
c 6
a) Si se suelta el secundario dejándolo flotante, ¿cuál es la reacta ncia de fuga en cortocircuito expresada como tanto por ciento de la reactancia de fuga a plena carga? b) Si se desprecian la corriente de excitación y la pérdida en el núcleo, ¿cuál es el factor de potencia de entrada cuando el transformador alimenta una carga resistiva de: (1) 50 ohm, (2) 125 ohm? 5. En el sistema de distribución de potencia de la figuraA 24, y B son centrales generadoras conectadas mediante transformadores por una línea de transmisión de alta tensión. A las barras de baja tensión de cada extremo de la línea están conectadas car-
EN
de la figura 25, la caída de tensión Vreferida al lado de alta tensión del transformad or de potencial es igual a la caída de tensión en la impedancia^de la línea de potencia entre los terminales de salidaBB' del regulador y la carga.
1
•—'OOOOCT — * ' K b
0
Carga
Carga
F io . 25.
Regulador por inducción y compensador de la caída eri la línea, problema 6
P=6000 kW
Q-2000 kVAR inductivo F io . 24. Sistema elemental de poencia, problema 5
La línea suministra a la carga una salida a plena carga normal de 150 A y 2 400 V. Cuando se s uminis tra a tensión norm al a la carga una corriente I¿ del 0,75 por uno co n un factor de potenc ia induc tivo de 0,80, ¿cuál es el valor complejo por uno de la tensión de salida N B' referida a la tensión de carga como base ? 7. En la figura 26 pueden verse las conexiones de un regulador por inducción. El devanado 1 tiene como valores nominales 10 A y 220 V; el devanado 2, 20 A y 110 V. B
gas de potencia. En el funcionamiento normal, la potencia de salida de la central A se -mantiene constante al valor indicado en el esquema y las fluctuaciones de carga las ma nipula la central B. Para todas las cargas, se mantienen constantes y al mismo valor las tensiones en amba s centrales generadoras por regulación de los camp os de excitación de los generadores. La impedancia de la línea y de los transformadores es j 0,05 0,36 + por uno referida a la tensión nomi nal en uno u otro extre mo de la línea y a una base de 6 000kVA.
a) Hal lar, pa ra el valor de la carga e speci ficado en el esq uema, la potencia reac tiva entregada a A por la línea. b) Como este tipo de operación srcina una circulación noci va de potenci a reactiva a la linea de transmisión para ciertos dominios de carga, se decide cambiar el transfor mador situado en B por un transformador con cambio de tomas que regula la circulación de potencia reactiva. Supóngase que permanece invariable la impedancia de la línea de transmisión y de los transformadores y que no la afecta apreciable mente un cambio de toma en un transformador. Hallar, para la carga especificada en la figura 24, la varia ción en tanto por uno de la alta tensión en el extremo B de la línea que debe alimentar el transformador cambiador de tomas a fin de reducir a cero la potencia reactiva suminis trada a la estaciónA. 6. La figura 25 representa las conexiones básicas de un regulador automático de tensión por inducción para un alimentador, y uri circuito de regulación conocido con el nombre de compensador de caída de línea. La bobina K del relé gobierna al motor rota tivo regulador de manera que mantenga una tensión constante entre los extremos K de para todas las cargas de funcionamiento normal. La impedancia de la bobina K es tan elevada que I < I salvo a cargas extraordinariamen te pequeñas. La impe dancia R + jX del compensador de caída en la línea se ajusta de manera que, para los valores p
c
Fi o. 26.
Regulador por inducción, problema .
a) ¿De qué dominios de tensión se dispone en el regulador si se supone ideal? b) ¿Cuál es la intens idad nominal de la corriente de salida? c) Con el interrup tor
CA
PI
TU
L O
APLICACIONES EN SISTEMAS TELEFÓNICOS
XX
icación de los transformadores en sistemas telefónicos En el capítulo XVIII se hizo referencia a los transformadores de entrada, interetapa y salida utilizados en los amplificadores. En este capítulo veremos algunas otras aplicaciones de los transformadores a las comunicaciones. Entre ellas se cuen tan utilizaciones de los transformadores en las que llevan los nombres de bobina de inducción, bobina repetidora y bobina híbrida o transformador de tres devanados.
1.
BOB INA
DE INDUCCIÓN
497
de la posible transmisión telefónica. Probablemente, la bobina de inducción consti tuye el tipo mas oomún de transformador, ya que prácticamente en cada teléfono se emplea una. Las bobinas de inducción se acostumbraba a construirlas con un mazo de alam bres de hierro como núcleo, extremos cuadrados de carrete de madera o de fibra para sujetar los devanados, y un devanado primario y otro secundario. Los extremos de los devanados se llevaban al exterior a terminales montados sobre los extremos del carrete. Dichas bobinas tenían coeficientes de acoplo suficientemente elevados y rendimientos satisfactorios, y los campos parásitos que creaban no constituían una desventaja seria mientras no se colocaran dos sistemas telefónicos cerca uno de otro, o cuando el empleo de cajas de timbres metálicas evitara un acoplo mag nético serio entre sistemas adyacentes. En la figura 3 puede verse una de dichas bobi nas. Sin embargo, en 1930 el uso de los sistemas del abonado Bakelite hizo que el problema del acoplo aumentara en importancia y se dictaron normas que exigían que los sistemas telefónicos estuvieran separados, uno de otro, al menos doce pulga-
La primera aplicación comercial del transformador a las comunicaciones fue el empleo de la bobina de inducción en telefonía, en el año 1877, para conectar el trans misor (micrófono) de carbón a la línea. Para transmisión a distancias cortas, IQS
Linea
Fio . 1.
Circuito telefónico
Berie
transmisores y receptores pueden conectarse en serie con la línea, como en la figura 1, pero para transmisión a gran distancia este circuito no era factible a causa de la tensión de batería que hacía falta. En consecuencia, se conectaban en serie con el transmisor la batería y el primario de la bobina de inducción, y el receptor
Fi o. 2. Circuito telefónico de batería local que utiliza bobinasde inducción y el secundario de la bobina se conectaban en serie con la línea, como se indica en la figura 2. Utilizada de esta manera, la-bobina de inducción puede considerarse como filtro elemental, ya que sirve para separar la portadora de corriente continua de las componentes alternas de la señal que transportan la inteligencia, y por tanto reduce las pérdidas en la línea. También sirve para adaptar la impedancia baja del transmisor (de 20 a 40 ohm) a la impedancia elevada de la línea (de 400 a 600 ohm) utilizando una razón de transformación elevadora. Con ello se amplía el dominio 496
Fi o. 3. Bobi na de inducción para batería local
Fi o. 4. B obina de inducción moderna para evitar la autopercepciór para batería local con circuito mag nético cerrado. Las divisiones de la regla son pulgadas
das. Más recientemente, se han construido bobinas de inducción con circuito magné tico cerrado, hecho de láminas de acero al silicio, para evitar el acoplo con sistemas adyacentes y permitiendo así colocar juntas las cajas de timbres. En la figura 4 puede verse una de dichas bobinas. En el circuito de la figura 2 puede verse que si el sistema de la izquierda del esquema tiene que transmitir la palabra, el receptor local absorbe parte de la salida de la bobina de inducción. Al hecho de que el locutor escuche su propia voz recibe el nombre de autopercepción. Cuando ésta tiene mayor volumen que la señal reci bida, el locutor es menos sensible, temporalmente, a la señal que le interesa recibir, con lo que se reduce el rendimiento efectivo del circuito. Para evitar esta dificultad se han desarrollado sistemas antiautopercepción que reducen la escucha propia. El primer sistema telefónico antiautopercepción de uso común se desarrolló para telefonistas operadoras de los cuadros de conmutación. El circuito es el de la
498
APLICACIONES
TRANSFORMADORES
figura 5. Utiliza dos bobinas de inducción con primarios iguales P, y P„ conectados en paralelo. Lo s secundariosS, y S están co nectados en ser ie y tienen el mismo numero de espiras, si bienS se ha devanado con un hilo menor, con lo que su resis tencia es unos 350 ohm más elevada que la de S Los secundarios, receptor y línea 2
2
v
PC L
EN
SISTEMAS
TELEFÓNICOS
499
común de una central telefónica a las líneas, empleándose dicha energía para las señales de llamada y luego para la conversación. El método de conexión es el de la figura 7. La corriente continua circula por cada espira para excitar los transmisores y proporcionar corriente de señalización para el funcionamiento de los relés supervisores (no indicados en el dibujo). La corriente alterna de uno y otro transmisor pasa a la otra malla a través de la bobina repe-
Linca
F ic . 7. F I G . 5.
Sistema telefónico antiautopercepeión para telefonista
están montados en puente, según se indica en la figura 5 en la que el incremento de 3.)0 ohm de
2
t
exactamente a la línea, en estas condiciones de transmisión no circula corriente alguna por el re ceptor. En la condición normal de equilibrio apro ximado, la corriente que circula por el receptor, o autopercepción, es pequeña. El sistema de batería común para abonados se hace antiautopercepeión por medio de un tercer devanado colocado en la bobina de inducción como F IG . 6. Circuito de la bo bina dese indica en la figura 6. El tercer devanado y red están proporcionados de tal manera que cuando el inducción antiautopercepeión para batería común sistema transmite, la caída de tensión en el recep tor es pequeña . Los sistemas antiautopercepeión no llegaron al abonado corriente hasta 1932 Debido al gran número de sistemas telefónicos existente en los Estados Unidos (unos 25 000 000) la conversión ha sido cara y lenta, no habiéndose completado aún 1
2. BOB INA
REPETIDORA
La siguiente-forma de transformador, telefónico que pasó a ser de uso fue la bobina repetidora, patentada en 1892. Las primeras bobinas repetidoras estaban consti tuidas por cuatro devanados iguales montados sobre un núcleo para asegurar un acoplo fuerte . E sta s bobinas- servían para tra nsm itir energía desde una batería GIBBON „.•• r?,™^ e x P lic ac í ó n funcionamiento do estecircuito, véase C. O. «An Exnl» . T"j, 17*abr1¡" 193st nat^noftheCommonBatteryAnti-sidetone Subscríber Set', P
d o 1
S
Bob ina repetidora que suministracorriente de la batería a dos mallas ¡nterconectadas de dos abonados
tidora. Como las bobinas tienen igual número de espiras en primario que en secun dario, las corrientes alternas que circulan por primario y secundario señaladascon flechas en la figura 7 tiene n intensidades casi iguale s, y la única corrien te alte rna que puede circular por la batería es la débil corriente de excitación de la bobina repetidora. La caída de tensión alterna en la batería es la caída óhmica en ella debida a la corriente de excitación y es, por tanto, muy pequeña. En consecuencia, podrá conectarse a través de bobinas repetidoras un número cualquiera de circuitos alimentados por la misma batería sin que se interfieran las partes comunicantes. Las bobinas repetidoras primitivas se construían como las bobinas de inducción primitivas. Sin embargo, se les dio un nombre diferente porque servían para trans ferir o repetir de una malla a otra la energía de la palabra en forma de corriente alterna. Las bobinas repetidoras actuales suelen estar devanadas sobre núcleos toroidales de material magnético. Cuando se conectan líneas de características diferentes, para adaptar impedancias se utilizan bobinas repetidoras de razón de transformación distinta de la unidad. Muchas líneas tienen impedancias características del orden de 600 ohm. Muchas lineas cargadas tienen impedancias más elevadas. Es corriente utilizar bobinas repetidoras para reducir las impedancias de todos los circuitos que llegan a una central cualquiera a un nivel común, por ejemplo de 600 ohm. Hecho esto, todos los circuitos que terminan en la central se podrán interconectar sin efectos de reflexión. Otra utilización muy importante de la bobina repetidora es proporcionarun cir cuito fantasma o superpuesto a dos circuitos existentes. Si están conectados dos puntos distantes por dos circuitos telefónicos, colocando bobinas repetidoras iguales en cada terminal de cada lado del circuito, como se indica en la figura 8, puede pro porcionarse un tercer circuito o circuito fantasma. Estas bobinas repetidoras suelen ser de razón unidad. Los lados de las bobinas de la parte de la línea están consti tuidos por dos devanados iguales cuidadosamente interdevanados de man era que el punto de interconexión sea exactamente el punto medio. La corriente procedente del hilo superior del circuito fantasma llega al punto medio y se divide por igual entre los dos devanados y los dos hilos del circuito de la parte superior (si las resis-
500
TRANSFORMADORES
APLICACIONES
tencuas, mductancias y capacidades son iguales). Por ello, dicha corriente no crea flujo alguno en el núcleo ni acoplo con el circuito de esta parte. Las mismas condi ciones existen en los otros tres transformadores y en consecuencia no hay interferen cia entre el circuito fantasma y los circuitos laterales.
Lado 1
EN
SISTEMAS
TELEFÓNICOS
501
ficadores en una línea de dos hüos consiste en emplear dos bobinas híbridas o trans lormaderes de tres devanados, y dos redes equilibradoras. En la figura 10 puede verse un repetidor de dos hilos con dos amplificadores eñ dos bobinas híbridas y dos redes equilibradoras. Cada bobina híbrida consiste tres devanados arrollados sobre un núcleo común. Los devanados 3-4 y 7-8 son iguales con tomas centrales 3T y 8T situadas con precisión. La red equilibradora está dise nada para tener una característica impedancia-frecuencia lo más igual posible a Amplificador O a E
Fantasma
15» Lado 2
F io . 8.
Telefónico
Telefónico
Telegráficoa tierra Telegráficoa tierra Fi o. 9. Uso de bobinas repetidoras para formar un circuito simplex Otra aplicación de la bobina repetidora es para formar lo que se llama un cir cuito simplex. En los dos extremos de un circuito telefónico se colocan bobinas repe tidoras, tal como se indica en la figura 9. En tal caso, la toma central de la bobina repetidora sirve para hacer posible la utilización de los dos hilos de la línea telefónica en paralelo, para línea de un circuito telegráfico de retorno por tierra. Este, claro está puede utüizarse para cualq uier otro gobiern o por frecuencia audible La s bobinas repetidoras con devanados bien aislados se utilizan frecuentemente para conectar sistemas telefónicos a una línea telefónica que se halle en paralelo con un a línea de potencia a alta tensión, para reducir el riesgo de sacudidas a los operarios de la central y a los demás usuarios de dichos teléfonos.
BOB INA HÍBEID A O TRANSFORMADOR
DE TRES DEVANADOS
Cuando se hace tan largo un circuito telefónico que para una transmisión satis factoria de la palabra se precisan amplificadores de válvulas de vacío, en el repetidor deberán proporcionarse ciertos medios para que cada amplificador funcione en la dirección de transmisión adecuada. Una manera corriente de introducir los dos ampli
J L~ _ J
3T, 8T 8T
'
Uso de bobinas de repetición para formar un circuito fantasma
La s bobinas repetidoras utilizadas para formar un circuito fantasma deben tener en sus núcleos suficiente material magnético para dejar pasar la corriente usual de 20 Hz para los timbres. Frecuentemente se practica un entrehierro en el núcleo, eon lo que éste se desimana fácilmente una vez ha pasado la corriente continua por los devanados.
3.
Linea oeste
7
g/wwg!
— •'COOOOj2 r\f oeste este
• 7
1
ün c a
cs lc
' 1 6
Fio. 10.
Amplicador E a O Repetidor de dos hilos que emplea dos amplificadores, dos bobinas híbri das y dos redes equilibradoras
la de la línea que sea económicamente factible. La salida del amplificador E a O trabaja sobre el devanado 2-5, cuya impedancia está adaptada a la impedancia de salida de la válvula amplificad ora. Si la red equilib ra a la lín ea perfectamente la mitad de la salida del amplificador se disipa en la red y se pierde, mientras la otra mitad se envía a la línea hacia el oeste. Entre los puntos del puente 3T-8T no exist e diferencia de tensi ón alguna. Port ant e, al amplificador O a E no va nada de la salida del amplific ador E a O. Si la red de la derecha equilib ra la línea este al ampli ficador E a O no irá nada de la salida del amplificador O a E. Si no fuera perfecto el equilibrio entre la línea y la red, parte de la salida del amplificador E a O iría a la entrada del amplificador O a E. La misma condición puede existir en el terminal este. La suma de las dos amplificaciones, expresada en decibel, no debe ser igual 2-5 hasta los puntos del puen a la suma de las pérdidas desde los devanados serie te 3T-8T, pues se srcinaría oscilación y el circuito se haría inoperante. La entrada a la bobina híbrida desde la línea oeste se divide entre la entrada al amplificador O a E y la salida del amplificador E a O. La primera se amplifica y J^trr* > mientras la últim a se disipa. Si la impedancia entre , * y 31-81 es la mitad de las de la línea y red, no habrá tensión en la red. I a
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LO
XX
Conexiones trifásicas; consideraciones generales Casi toda la energía eléctrica se genera en generadores trifásicos y se transmite por líneas de transmisión trifásicas. Como a menudo es necesario elevar y reducir la tensión varias veces entre los generadores y las cargas, en los sistemas trifásicos se utilizan muchísimos transformadores. Las transformaciones pueden realizarse me diante bancos de transformadores monofás icos adecuadamente conectados, o mediante transformadores trifásicos en los que se enlazan entre sí los circuitos magnéticos de las tres fases. Los transformadores trifásicos, algunas de cuyas carac terísticas pueden ser diferentes de las de un banco de transformadores monofásicos conectad os análo gament e, se estudian en detalle en el capítulo X V I . A u n cua ndo cas i to da la transmisi ón de pot enc ia eléctrica se rea li za por med io de sistemas trifásicos, aproximadamente la mitad de la energía se utiliza eventual¬ mente en forma de potencia monofásica para fines domésticos o de poca potencia. Las cargas mon ofásic as se alim enta n desde los secundarios de baja tensión de trans formadores de distr ibución cuyos primari os se conectan al si stema trifásic o de tra ns misión, distribuyéndose las cargas monofásicas entre las fases del sistema trifásico de manera que resulte una carga tr ifásica aproximadam ente equil ibrad a. El análisis detallado de las conexiones de transformadores trifásicos responderá a preguntas como estas: ¿Cuáles son las relaciones entre las intensidades y las ten siones en los transfor mador es y las existentes en los circu itos trifásicos? ¿Cuáles deben se r los valores nominales de los transformadores para a liment ar a una carga dada? ¿Puede utilizarse el banco para alimentar simultáneamente cargas mono fásicas y trifásicas? ¿Cuále s son los efectos de desigualdades en las impe danc ias equ i vale ntes, características de excitación, o razones de números de espiras? ¿Cuales son los efectos de los armónicos sobre las corrientes de excitación? ¿Cómo afectan las impedancias equivalentes al sistema de tensiones en condiciones normales? ¿Cómo infl uyen las conexiones, impedancia s y méto dos de puesta a tierr a del trans formador sobre las tensiones y corrientes durante los fallos? Estas y otras cuestiones pueden responderse analíticamente partiendo de la teoría para un transfor mador único ju nto con las relaciones existentes entre corrientes y tensio nes en los circuitos trifásicos . En su forma c ompleta, la teorí a para un tr ans formador debe tener en cuenta impedancias de fuga, corrientes de excitación, no linealidad magnética y. a veces, capacidades distribuidas de los devanados. Afortu nadamente, rara vez es necesario tener que considerar simultáneamente en detalle todos esos factores. Muchas de las características importantes de las diversas cone xiones se pueden deducir fácilmente de un análisis en el cual los transformadores se suponen ide ales. En este capítulo se da ese análisis simpli fica do de un cier to numero de conexiones trifásicas comunes de los transformadores monofásicos, junto con un estudio cualitativo de algunos de los efectos de las impedancias de fuga y de las corrientes de excitación en los transformadores reales. En los capítulos siguientes se realizarán análisis detallados de los fenómenos debidos a las impedancias y a la excitación. 502
CONEXIONES
I
TRIFASICAS
503
Pa ra ser empleado s en circuito s trifási cos, los transformadores pueden conectarse según diversas disposiciones, unas simétricas y otras asimétricas. Si la conexión es simétrica, cada fase del primario es igual que las otras dos, y lo mismo ocurre con las fase s del secundario. Por ejempl o, si se conectan tres transformadores iguales con sus primarios en triángulo o en estrella y también en triángulo o en estrella sus
F i o. 1. Conexión triángulo-triángulo
secundarios, la disposició n es simétri ca. Ex ist en cuat ro de dichas conexiones si mé tricas de transformadores de dos devanados, cuales «on: 1) Triángulo-triángulo 2) Estrella-estrella
3) Triángulo-estrella 4) Estrella-triángulo. Ejemplo importante de disposición asimétrica es la conexión en V o triángulo abierto que emplea sólo dos transformadores. Como las conexiones simétricas no sólo son las más sencillas de analizar sino también las mas frecuentemente empleadas, las estudiaremos primero. 1.
CON EXIÓ N TRIÁNODXO-TRIÁNOUXO
La disposición triángulo-triángulo puede emplearse cuando no se precise cone xión trifásica con neutro ni en primario ni en secundario. Por las razones que se verán a continuación, la conexión triángulo encuentra sus principales aplicaciones en los circuitos de tensión moderada o baja, o cuando la corriente es muy intensa. En la figura 1 puede verse el esquema elemental de conexión. Los devanados pri mario y secundario de un mismo transformador están dibujados paralelos. En los dos lados primario y secundario, se unen los terminales de polaridad opuesta para formar un triángulo. El esquema de conexiones puede dibujarse también en la forma indicada en la figura 2, en la que puede ve rse un banco de transformadores de di s tribución conectados en triángulo-triángulo, protegidos por fusibles y pararrayos en los lados de los primarios. El tipo de los fusibles y pararrayos depende de la inten sidad de la corriente y de la tensión; de la exposición a los rayos de la línea de alta tensión; de la situación de la instalación sobre un poste, el suelo o en un túnel; y de la experiencia y preferencia de la compañía. Cuando los transformadores tienen dos devanados da 120 V en sus lados de baja tensión, a uno de los transformadores podrá conectarse un circuito monofásico de tres hilos y 120/240 V para alumbrado, mientras el banco suministra simultáneamente potencia trifásica a 240 V. La salida
CONEXIONES TRIFÁSICAS
TRA NSFORMADORES
504
monofásica desequilibra la carga del banco, por lo que, si esta salida «»n«tì*uye u T p a r t e apreciable de la catga total, en la f ase que la suministra d eber á emplea rse un transformador mayor.
A B• C
505
tercio de la carga trifásica. Las tensiones en terminales de primario y secundario de los transformadores son iguales a las tensiones trifásicas de línea correspondientes y por tanto, si prescindimos de la diferencia introducida por las caídas de tensión debidas a las impedancias de fuga, el cociente entre las tensiones de línea de primario y secundario es igual al cociente entre los números de espiras de los transformadores.
^Pararrayos
P Fusible
Circuito de
-
alumbrado < a de 120 240 V i
•
Circuito trifasico de 240 V
P<™ Fio. 2. Conexión triángulo-triángulo de transformadores de táneas tri fásicasde 240 V y monofásica de 120/24 0 V
simu1
'
Para tener un funcionamiento satisfactorio en una conexión triángulo-triángulo, los transformadores deben tener razones iguales de los números de espiras; de otro modo existiría a tr avés de los transformadores una corriente circulante incluso c uando el banco no tuviera que aumentar a ninguna carga *. En el caso de una <«ff \to ft« ca equilibrada, los transformadores deberán tener también impedancias equivalentes iguales si deben repartirse la carga por igual. Si no fueran iguales las ^pedancias equivalentes, el transformador de menor impedancia equivalente sería asiento de la cL ie nt e mas intensa, comportándose en este aspecto el banco en a como lo hacen la s impedancias en paralelo. En el apartado 16 del capí tulo X X I V se aplicar á el e studio de esta im portante propie dad de la conexión triángu lo-tri angulo ^ Por el momento basta observar que entre cada par de terminales de linea de un banco triángulo-triángulo existen caminos en paralelo y que las comentes se dividen entre ell os de una manera determ inada por las impedancias . Asi si a una carga equi librada le suministran potencia tres transformadores de igual potencia nominal conectados en triángulo-triángulo pero cuyas impedancias equivalentes son dife rentes, el banco no podrá suministrar su potencia aparente nominal correspondiente a plena carga sin que el transformador de menor impedancia equivalente quede sobrecargado. Por ello suelen utilizarse tres transformadores exactamente iguales cuando la carga es una carga equilibrad a. E st a es la condic ión más senc illa a analizar.
la
Relaciones de tensiones y corrientes en circuitos triángulo equilibrados.
Uianao
los transformadores son exactamente iguales y el circuito está equilibrado, no> Hay nada que distinga una fase de otra salvo el defasaje de 120° entre las comentes y tensiones de una fase y las de otra. Así, las corrientes y tensiones de fase pueden determinarse analizando una fase cualquiera. Cada transformador alimenta a un » Para un estudio más detaUado de las corrientes circulantes véase el apartado la del ca pítulo XXIV.
F io . 3.
Diagramas vectoriales aproximados para un banco triángulo-triángulo en condiciones de equilibrio
En las figuras 3a y 36 pueden verse vectorialmente estas relaciones para el orden ABC de las fases, suponiendo que las tensiones varían sinusoidalmente y que los vect-res representan caídas de tensión en los sentidos indicados por el orden de los subíndices. Por ejemplo, VAB es el vector que representa la caída de potencial de la línea A a la línea B. Los subíndices en mayúscula indican las fases primarias y los en minúscula las de secundarios. Cuando se realizan las conexiones como en la figura 1 y se definen como antes los sentidos positivos de las tensiones en terminales, las tensiones en un primario y un secundario correspondientes están casi en fase cuando son pequeñas las caídas de tensión en las impedancias de fuga. En la figura 3c se supone que las intensidades de las corrientes de los primarios varían sinusoidalmente con el tiempo y los vectores IAB, IBC, ICArepresentan las intensidades de las corrientes que circulan por los primarios en los sentidos indicados por el orden de los subíndices. Si el factor de potencia es la unidad, estas corrientes de los primarios están en concordancia de fase con las tensiones de primario corres pondientes, como se indica en las figuras 3a y 3c. Las corrientes que circulan por los transformadores están relacionadas con las de las líneas de igual manera que lo están las corrientes que circulan por cualquier triángulo equilibrado con las de las líneas; es decir, vectorialmente, (1) IA = IAB — ICA IB = IBC — IAB (2) (3) le = leA — IBC,
CONEXIONES
TRANSFORMADORES
m
donde L, IB, le son los vectores que representan las corrientes de las líneas que van alos primarlos, cuyos sentidos positivos son los indicados por las flechas en la figura 1 La ecuación (1) está representada vectorialmente por los vectores l„, — I C Í y «« suma I, en la figura 3c. Cuando estén equilibradas las comentes y el orden de las fases es ABC, IAB e ICA tiene igual módulo e l está retrasada respecto a ICA e n 120° d e donde, ^ y ^ / - ^ >(4> AB
k. Asi cuando las corrientes están equilibradas y varían sinusoidalmente, la intensidad eficaz de las corrientes que circulan por la línea es igual al producto de V" 3 por la int ens ida d eficaz de las corrient es que cir cul an por los devanad os conectedoí en triángulo de los trans formad ores . Además exist e un defasaje entre las corrientes de línea y las corrientes en el triángulo. 4 Cuando se desprecian las corrientes de excitación, las corrientes de primario y secundario crean fuerzas magnetomotrices iguales y opuestas, y por tanto las intensidades de las corrientes de primario y secundario tienen intensidades inversa mente proporcionales a los números de espiras de los devanados y están en concor dancia de fase cuando sus sentidos positivos se toman en los sentidos de las comentes que crearían fuerzas magnetomotrices opuestas, como se indica en la figura 1 por los sentidos de las flech as. Esta s corrientes en los secundarios I» », U, 1« están repre sentadas vectorialmente en la figura 3c?, en fase con las corrientes en los primarios correspondientes la figura 3c. Las ecuaciones vectorialesenque corrientes en las de líneas de los secundarios con las corrientes los relacionan secundarioslasde los transformadores conectados en triángulo son: lac
(5)
Lj = Ic6
I»«
(6)
le = lac
Ici,
(7)
la = I ba
c
l>( ) 8
según se indica vectorialmente en la figura 3c?. Esta relación es análoga a la ecuación (4) para las corrientes de los lados de los primarios. 16. Resumen; conexión triángulo. Los factores import antes referen tes a la conexión triángulo pueden resumirse de la manera siguiente: * Téngase en cuenta que el ángulo del factor de potencia esel ángulo de defasaje entre la co rrientedefasey la tensión fase. de En la conexión triángulo, la tensión de una fase es la tensión correspondiente entre línea y línea, pero las comentes que ° ^ l a n Por no están en fase con las corrientes de la línea, y por tanto el ángulo del factor deno potencia es igual al ángulo de defasaje entre una corriente de línea y la correspondient e tensión entre linea
y línea.
2 . CONEXIÓN
507
ESTRELLA- ESTRELLA
Se dice que los devanados de un transformador están conectados en estrella cuando se unen tres terminales de igual polaridad para formar el punto neutro de la estrella, en la forma indicada en la figura 4, en la cual N y n son los puntos neutros de primario y secundario, siendo A, B,Cja,b,c los terminales de la línea en primario y secundario resC B pectivamente. El esquema de conexión puede dibu N jarse también en la form a de la figur a 5, en la cual -\jnuaib-l íj&Mia^-l Aj¡££miyJ se dibujan paralelos los devanados primario y se -¿TO80C-| -fgWoTP-j -j00000 '-j cundario de un mismo transformador. Los puntos neutros se ponen a menudo a tierra, como se in dica en la figura 5. Au n c uando las características de un banco estre F io . 4. Conexión estrella-estrella lla-estrella de transformadores monofásicos pueden verse marcadamente influidas por el comportamiento peculiar de los armónicos de la corriente de excitación, que en determinadas circunstancias pueden oca sionar condi ciones nocivas e incluso peligrosas, ello no obsta pa ra que pued an determinarse algunas propiedades importantes de la conexión estrella-estrella mediante un aná fisis sencillo en el que se desprecian los armónicos de las corrientes de excitación ***. A
donde I„ I*, I son los vectores que representan a las corrientes en las líneas de los secundarios en los sentidos señalados por las flechas de la figura 1. Cuando las comen tes están equilibradas y el orden de las fases es abe,
I„ = V~3 W—3 0° ,
TRIFASICAS
Cuando se conectan en triángulo los devanados del transformador, las tensiones trifásicas entre línea y línea son iguales a las tensiones entre terminales de los trans formadores correspondientes. En la conexión triángulo-triángulo, las tensiones de línea correspondientes de primario y secundario se hallan casi en concordancia de fase. Cuando el circuito está equilibrado y los transformadores son exactamente igua les, cada transformador de un banco de transformadores montados en triángulotriángulo alimenta a una tercera parte de la carga trifásica y las intensidades eficaces de las corrientes quecirculan por los devanados conectados en triángulo son iguales al producto de l/V 3 por las intensidades eficaces de las corrientes de línea. Por existir caminos derivados entre cada par de terminales de línea tanto en el lado de primario como en el de secundario, la distribución de la corriente entre los transformadores de un banco triángulo- triángulo depende de sus impedancias equi valentes, comportándose en este aspecto el banco en forma análoga a como lo hacen las impedancias en paralelo *. Así pues, aun cuando estén equilibradas las corrientes de línea, cada uno de los transformadores del banco triángulo-triángulo se halla cargado de manera distinta que los demás a menos que sean iguales sus impedancias equivalentes. Si las razones de números de espiras de los tres transformadores de un banco triángulo-triángulo fueran desiguales, existirían corrientes circulantes por el interior del banco **, por lo que los transformadores deben tener razones iguales de sus números de espiras.
* Véase el apartado 16 del capítulo X X IV . ** Véase el apartado la del capítulo X X IV . *** Los fenómenos de los armónicos se estudian en el capítulo XX II I.
508
CONEXIONES
TRANSFORMADORES 2a. Neutro de los prim arios conectado la neutro del gener ador. El ejemplomás
sencillo es el del banco estrella-estrella de transformadores conectados a los termi nales de un generador conectado en estrella, con el punto N neutro de los primarios conectado al neutro del generador, como se indica en la figura 5. Para los fines de
TRIFÁSICAS
509
Si están equilibradas las tensiones sinusoidales respecto al neutro AB Cyelesorden de las fases, el diagrama vectorial de las tensiones de primario es el indicado en la figura 6a, y la ecuación (9) se reduce a
[>(i2)
V^ = y i V ^ / 3 0 o .
Las otras tensiones entre línea y línea vienen dadas por expresiones análogas y tam bién se hallan representadas vectorialmente en la figura 6a.
F io . 5.
Ic
• Así, cuando están equilibradas las tensione s entre línea y neutro y varían sinusoidalmente con el tiempo, el valor eficaz de las tensiones entre línea y línea es \/ 3 veces mayor que el valor eficaz de las tensiones entre línea y neutro. Debe observarse también que existe un defasaje de 30° entre las tensiones de línea a neutro y de línea a línea menos defasadas. ^
"
Banco estrella-estrellade transformadores con el neutro primario conectado al neutro del generador
este estudio, pueden despreciarse las impedancias de los cuatro hilos que conectan los transformadores al generador. En estas condiciones, las tensiones en los primarios de los transformadores son las tensiones entre línea y neutro del generador. Si varían sinusoidalmente estastensiones, podrán representarse por vectores VAN, VBNy VCNComo en todo circuito conectado en estrella, las relaciones vectoriales entre estas tensiones de línea a neutro y las tensiones de línea V a línea AB, VBCy VCA son:
(9) (10)
VAB = VAN + VNB = VAN — VBN V B C = VBN — VCN
VCA
(11)
= VCN — VAN-
Si se desprecian las caídas de tensión en las impedancias de fuga, las tensiones de los secundarios respecto al neutro son iguales a las tensiones de los primarios correspondientes respecto al neutro divididas por la arazón del número de espiras del primario al de espiras del secundario y las tensi ones de los primarios y secundarios correspondientes están en fase cuando se realizan las conexiones en la forma indicada en la figura 5. Los vectores V , Vbn y V , que representan las tensiones de los an
CT
secundarios al „,neutro, línea de los respecto secundarios son:los de la figura 66. Las tensiones entre línea y ~V V y V son a
oc
f a
V
a é
bc
Vea VVA
V¥C,V - V BN V
VAB
= V„ — V a
(14)
b
= V„ — Van
y cuando están equilibradas las tensiones de los secundarios respecto al neutro, siendo de forma de onda sinusoidal todas ellas y siendo abe el orden de las fases, la ecuación (13) se reduce a a
(O
(15)
V
Vat, = V^V „/30°.
Fi o. 6.
(13)
bn
— Ve V = V„
(d)
Diagramas vectoriales aproximadospara un banco estrella-estrella en co ndiciones de equilibrio
•(16)
Las tensiones entre línea y línea de los secundarios están*representadas vectorial mente en la figura 66. Obsérvese que, prescindiendo de las pequeñas caídas de ten sión en la impedancia de fuga, las tensiones entre línea y línea correspondientes de primario y secundario están en concordancia de fase cuando se realizan las conexio nes como en la figura 5. Tanto en el lado de los primarios como en el de los secundarios, las corrientes que circulan por los transformadores son iguales a la corriente en las líneas correspon dientes. Si está equilibrado el circuito, las corrientes de los secundarios entregadas a la carga son de igual intensidad y están defasadas en 120°, y si el factor de potencia es igual a la unidad, la corriente de los secundarios están en fase con las tensiones
CONEXIONES
TRANSFORMADORES
510
de los secundarios correspondientes respecto al neutro *, como indican los vectores I I, c I, de la figura 6 rf. E n condiciones de equilibrio, la s uma vecto rial de las intensidades de línea de los secundarios es nula y por tanto no circula corriente alguna por el hilo neutro de los secundarios, el cual podrá suprimirse sin que se pro duzca ningún cambio en el funcionamiento del banco en condiciones de equilibrio. Si se desprecian las corrientes do excitación, las corrientes de primario y secun dario tienen intensidades inversamente proporcionales a los números de espiras de los devanados correspondientes y dichas corrientes están en concordancia de fase cuando se toma como sentidos positivos de las mismas los de las corrientes que crea rían fuerzas magnetomotrices opuestas como en la figura 5. En la figura 6c puede verse el diagrama vectorial de las corrientes de primario. Si se prescinde de las corrientes de excitación, la suma vectorial de las corrientes de los primarios equili brados es nula y por tanto lo es la intensidad de la corriente que circula por el hilo neutro del primario. No obstante, no debe sacarse la conclusión de que puede supri mirse el hilo neutro de los primarios, ya que la conexión del neutro de los primarios ejerce efectos importantes sobre las corrientes de excitación y sobre el comportamiento del banco con ciertos tipos de cargas desequilibradas, según se indica en la sección 6) de este apartado. Cuando se conecta el neutro de los primarios al neutro del generador, como en la figura 5, cada transformador recibe su potencia de una de las fases del generador y por tanto, cada transformador puede cargarse independientemente. Si la tensión de secundario de los transformadores es de 120 V, pueden conectarse cargas mono fásicas de alumbrado entre cada uno de los hilos a, b o c y el hilo neutron, mientras pueden hacerse funcionar cargas de motores trifásicos desde los tres hilos de fase a una tensión entre línea y línea de 120 V 3, ó sea, 208 V **. Los motores trifásicos para 220 V suelen poder funcionar a esta tensión reducida sin que queden afectadas gravemente sus características ** *. Como la suma de las corrientes de línea suministradas a las cargas debe ser igual a la corriente de retorno a los transformadores que circula por el hilo neutro de los secundarios, el vector I„ que representa a la intensidad de la corriente que circula por el hilo neutro de los secundarios en el sentido de la flecha de la figura 5 es: I„ = I„ + I* + I.
(17)
c
Análo game nte, el vecto Ir representativo de la corriente que circula por el hilo de los primarios en el sentido de la flecha es: N
IN IB = U+ I+c
(18)
* Au nqu e en la conexión estrella las corrientes de fa se sean iguales a las correspondientes corrientes de línea, las tensiones respecto al neutro de la estrella no están en fase con las tensiones no es igual al de defasaje entre entre línea y línea y por tanto el ángulo del factor de potencia una corriente de linca y la tensión correspondiente entre línea y línea. Vuélvase a leer la nota 5Ü6 correspondiente al montaje en triángulo. de pie de página ** Es te sis tema de distribu ción trifásico de 4 hilos también puede alimentarse mediante transformadores cuyos primarios se conecten en triángulo. Véase el apartado 4. *** Algu nos fabricantes sum inis tran motores di- inducción trifásic os de poca potencia, con 199 V. devanados que pueden conectarse para funcion ar a tensiones de circu ito de 220, 208 ó
(199 = 115 V 3).
TRIFÁSICAS
511
Prescindiendo de las caídas de tensión ocasionadas por las impedancias de la línea y del transformador, las tensiones en las cargas estarán equilibradas si lo están las tensiones respecto al neutro del generador y si se conecta el neutro de los primarios al del generador. 26. Neutro primario aislado. Surge, en cambio, una situación totalmente dife rente cuando el neutro de los primarios está aislado del neutro del generador. En estas condiciones, la suma instantánea de las intensidades de las corrientes suministradas a los primarios del banco debe ser nula, o sea, 0,ÍA + ÍB + ic =
^(19 )
donde ¿A, ¿B, ic son las intensidades instantáneas de las corrientes que circulan por la. Es decir, la corriente sumi los primarios en los sentidos de las flechas de la figura nistrada a un transformador cualquiera debe hallar su camino de retorno al generador a través de los primarios de los demás transformadores. Esta restricción de las corrientes de los primarios tiene un efecto importante sobre el comportamiento del banco con cargas monofásicas al neutro.
FIG. 7. Conexi ones y diagr amas vectoriales de las tensiones para un de transformadores monofásicos con neutros aislados
banco estrella-
estrella
Consideremos, 1 banco estrella-estrell a de la figura 7a, con las líneas de los secun darios en circuito abierto y los neutros aislados. En estas condiciones, las corrientes que circulan por los primarios son las corrientes de excitación. Si las tensiones entre línea y línea aplicada» a los terminales de los primarios están equilibradas y tienen V , VBC y VCA formas de ondas sinusoidales, podrán representarse por los vectores de la figura 76, que constituyen los tres lados de un triángulo equilátero. Este resul tado se deduce del hecho de que en todo sistema trifásico la suma vectorial de las tensiones entre línea y línea, tomadas en orden cíclico debe ser nula. Así, en el lado de los primarios, VAB + VBC = 0.+ VCA •(20) AB
Anál oga ment e, en el lado de los secu ndar ios,
Vab + Vbc = 0.+ Vea
K21 )
Estas ecuaciones demuestran que los vectores representativos de las tensiones entre línea y línea pueden siempre dibujarse como lados de un triángulo. Si las tensiones de línea están equilibradas, el triángulo de tensiones es equilátero, según puede verse en la figura 76.
CONEXIONES TRIFÁSICAS
TRANSFORMADORES
$12
Si los transformadores tuvieran característica s d e excitación iguales las «nir atM de excitación v las tensiones respecto al neutro también estarían equilibradas. Aun I n d o se ga se demuest ra en'el apartado 2a del capítulo X X I I I ) las formas d las ondas de las tensiones respecto al neutro pueden diferir mucho de la forma sinusoidal, los conceptos fundamentales de estas tensiones f^ J g^ S? por los vectores V m, V«n J Vcwi que unen los vértices con el baricentro del trián gulo de tensiones de línea, como se indica en la figura 76. Cuando el neutro de los prima rios está aislado del neutro del g enerador, las ^® " siones respecto al neutro pueden estar desequilibradas no sólo por las desigualdades deía IZZí^s de excitación, sino también por la conexió n de « 8 « horadas entre línea y neutro del lado de los secundarios. El caso más simple a consid l a r es el de una carga monofásica conectada de una lín ea de secund ano al neutro deloe, ecun dari of. Obs ervemos en la figura 8 que, com o los g a r i o s de reformadores n en circuit o abierto las únicas ^en^nev^en A y B está circular por los primarios son sus corrientes de excitación i e y f°f^ ®L^Í° de los primarios está aislado, la suma instantánea de las intensidades de las comentes dirigidas hacia el neutro de los primarios debe ser nula, o sea, A
8
n
vA
«M + V " + 0
I C
=
;
( 2 2 )
de donde, (23)
ic — — V¿ — VB> donde i es la intensidad instantánea de la corriente que circula por «1 primario deftíansformador cargado. Así pues, la intensidad de lacomente quered circula por el primario del transformador cargado queda limitada por las comentesde exci teción délos otros dos. Cualquier corriente de carga que circule por «1 *ranrfo£ mador C perturba las corrientes de excitación de los transformadores^ jB y en consecuencia, se alteran grandemente las tensiones respecto al neutro. Así, si se c
;
ciónSi**.se aisla el neutro de los primarios del neutro del generador, la corriente del primario de cada transformador deberá volver al generador a través de los primarios de los otros dos transformadores, por lo que las tensiones respecto al neutro pueden verse muy desequilibradas por las cargas desequilibradas conectadas al neutro de los secundarios, o por desigualdades en las características de excitación de los trans formadores. En el caso de neutros aislados, las tensiones respecto al neutro de un banco estrella-estrella de transformadores monofásicos no tienen forma de onda sinu soidal ***. 3 . COMPARAC
F m . 8.
Conexiones y diagrama vectorial de una carga monofásica alimentada por un banco estrella-estrella con neutro de primarios aislado
quiere cargar el transformador 0 con una carga resistiva o inductiva, su corriente de primario deberá aumentar y obligar a que se intensifiquen las comentes de exci tación de los transformadores A y B. Por tanto, los transformadores AyB presen tan tensiones'más elevadas que las que les corresponden y la tensión del transfor mador C puede reducirse mucho al querer cargarlo, según puede verse en el diagrama
$13
vectorial de la figura 86 *. Una carga a neutro capacitiva aplicada a uno de los trans formadores puede invertir en realidad la fase de la tensión respecto al neutro del transformador cargado y crear en los dos transformadores no cargados tensiones mayores que las existentes entre línea y línea. 2c. Resumen; conexión estrella. Los hechos import antes referentes a la conexión en estrella pueden resumirse de la manera siguiente: Las corrientes en los devanados en estrella son iguales a las corrientes en la línea. Si las tensiones entre línea y neutro están equilibradas y. son sinusoidales, el valor eficaz de las tensiones respecto al neutro es igual al producto de 1/y 3 por el valor eficaz de las tensiones entre línea y línea y existe un defasaje de 30° entre las tensiones de línea a línea y de línea a neutro más próxima. Las tensiones entre línea y línea de los primarios y secundarios correspondientes en un banco estrella-estrella conectado como en la figura 5, están casi en concordancia de fase. Si se conecta el neutro de los primarios al neutro del generador, podrá cargarse cada transformador independientemente y por tanto podrá utilizarse un banco estrellaestrella para alimentar cargas monofásicas conectadas entre un hilo de fase cualquiera y el neutro de los secundarios. El inconveniente de este montaje es que necesita un cuarto hilo de primario y que en determinadas circunstancias pueden inducirse tensiones nocivas en los circuitos de comunicaciones próximos, ocasionadas por las corrientes desequilibradas y por los terceros armónicos de las corrientes de excita
IÓN DE
LAS
CONEX IONES ESTRELLA Y
TRIANGULO
Las conexiones estrella y triángulo tienen, en muchos aspectos, propiedades de correlación; es decir, las relaciones de tensión en una son análogas a las relaciones de intensidad en la otra. Es interesante comparar las conexiones estrella y triángulo desde este punto de vista, ya que dicha comparación pone de manifiesto algunas de las ventajas relativas de cada conexión. La conexión en estrella es algo parecida a un circuito serie, mientras la conexión, triángulo tiene características semejantes a las de circuitos paralelo. Cada una de las fases de una conexión estrella está conectada en serie con una de las líneas, * Las tensiones respecto al neutro no tienen forma de onda sinusoidal y por tanto los vec com orepresentativos toresV^jfj, Vjtm, Vcín de la figura 86deben interpretarse de losarm ónicos fundamentales de dichas tensiones. 2b del capítulo XXIII ** Véaseel apartado 2d del capítulo XXIII. *** Véaseel apartado
514
corrientes de línea de intensidad especificada, la intensidad eficaz de las corrientes en el triángulo es igual al producto de l/\/~3 por la intensidad eficaz de las corrientes en la estrella. Cuando se conectan de igual manera los devanados primario y secundario, el banco en conjunto tiene las características distintivas de la conexión en estrella o en triángulo. Así, pues, las conexiones estrella-estrella y triángulo-triángulo tie nen carac terísticas que contra stan . En la con exión estrella-es trella con neutros aislados, las tensiones entre línea y neutro están determinadas por las admitancias de excitación de las unidades, mientras que en la conexión triángulo-triángulo las corri entes del triángul o están determin adas por las impedancias equivalentes. * Luego, si son desiguales las impedancias de excitación, los transformadores de una conexión estrella-estrella con neutros aislados estarán sometidos a tensiones desiíguales, como ocurre en un circuito serie cuyas impedancias componentes sean des iguales; pero si son desiguales las impedancias equivalentes, las corrientes que cir culan por los transformadores conectados en triángulo-triángulo serán desiguales, como sucede en el caso de circuitos derivados cuyas ramas tengan impedancias desiguales. Debido a su sensibilidad al desequilibrio de tensiones y a los fenómenos noci vos de los armónicos, rara vez se utiliza la conexión estrella-estrella sin conexión de os neutros, o sin otro medio de igualación de las tensiones respecto al neutro y eliminación de los armónicos. ** En la conexión triángulo-triángulo, el que las corrientes de los transformadores dependan de las impedancias equivalentes puede ser una ventaja o un inconve* **
CONEXIONES
TRANSFORMADORES
mientras que cada fase de una conexión triángulo está conectada entre un par de líneas; así, las corrientes en las fases de la estrella son iguales a las corrientes de las líneas correspondientes, y las tensiones en las fases de un triángulo son iguales a las tensiones entre línea y línea correspondientes. En la conexión estrella, entre cada par de terminales de línea hay dos devanados en serie, mientras que en la conexión triángulo entre cada par de terminales de línea hay dos ramas en paralelo. Así, cada tensión entre línea y línea de una conexión en estrella es la combinación serie de dos tensiones de fase de la estrella, y cada corriente de línea en una conexión en triángulo es la combinación paralelo de dos corrientes de fase del triángulo; de donde las relaciones de tensión en un circuito estrella son análogas a las relaciones de corriente en un circuito triángulo. Si están equilibradas las tensiones y son despreciables los armónicos, el valor efi caz de l as ten siones r especto al neutro en la estrell a es igual al producto de l/\' 3 por el valor eficaz de las tensiones entre línea y línea. Por tanto, la conexión en estrella será particularmente adecuada para devanados de alta tensión, en los que el aisla miento es el problema principal, ya que para una tensión de línea determinada, las tensiones de fase de la estrella sólo serían iguales al producto de l/\< 3 por las ten siones en el triángulo. Adem ás, en la conexión en estrella las tensiones entre las bobinas y el núcl eo pueden reducirse poniendo a tierra el punto neutro Por otra parte, la conexión en triángulo lleva frecuentemente consigo un diseño menos caro cuando las corrientes son intensas, puesto que para condiciones de equilibrio y
Para el análisis de este problema véase el apartado 16 del capítulo XX IV Véanse apartados 2d y 3 del capítulo XXIII.
TRIFÁSICAS
515
niente, según las circunstancias. Por ejemplo, si los tres transformadores de un banco triángulo-triángulo tienen igual potencia nominal, convendrá que se repar tan la carga por igual y si la carga está equilibrada deberán tener, por tanto, impe dancias equivalentes iguales. En estas circunstancias, la sensibilidad de la cone xión triángulo-triángulo a las desigualdades de las impedancias equivalentes es un inconveniente. En cambio, en un banco triángulo-triángulo pueden emplearse con relativo éxito transformadores de potencias nominales diferentes (pero de iguales tensiones nominales), puesto que el transformador mayor suele tener la menor impedancia equivalente, y por tanto, conducirá automáticamente la corriente más intensa. Aun cuando este montaje asimétrico presenta el inconveniente de que la potencia aparente nominal del banco trifásico es algo inferior a la suma de las po tencias nominales de las unidades componentes, ello no obsta para que existan ciertas circunstancias en las cuales esta capacidad de la conexión triángulo-trián gulo de funcionar satisfactoriamente con unidades de potencias nominales dife rentes constituya una clara ventaja. Las conexiones triángulo-estrella y estrella-triángulo, que se estudian a conti nuación, participan de algunas de las características de las dos conexiones en tri ángulo y en estrella. 4.
CON EXIONE S TRIÁNGU LO-ESTRELLA
Y ESTRELLA-TRIÁNGU
LO
A me nud o conv ien e cone ctar en estr ell a los de van ado s de un lad o del tra ns formador; por ejemplo, cuando la tensión del circuito es elevada, o cuando se pre cise una conexión simétrica de neutro para poner a tierra o alimentar cargas mono fásicas. Las conexiones triángulo-estrella o estrella-triángulo suelen ser adecuadas para estas aplicaciones por no tener las características, frecuentemente nocivas, de la conexión estrella-estrella. Debido a lo elevado de la tensión del circuito, la conexión triángulo-estrella es la usual para transformadores de potencia elevadores del extremo emisor de una línea de transmisión de alta tensión, y por la misma razón, los transformadores reductores del extremo receptor suelen estar conectados en estrella-triángulo. El neutro de la estrella de devanados de alta tensión suele ponerse a tierra a fin de asegurar una distribución equilibrada de tensiones entre las líneas y tierra y redu cir las tensiones existentes entre las bobinas de los transformadores y los núcleos. A vece s, la cone xión a tie rra se rea liz a a trav és de un a im pe da nc ia conv eni ente , cuyo fin es limitar la intensidad de la corriente resultante de un cortocircuito entre línea y tierra. La conexión triángulo-estrella se emplea frecuentemente en transformadores reductores, cuando se desea una conexión de baja tensión al neutro. Por ejemplo, los transformadores reductores instalados en subcentrales que alimentan redes de distribución de tensión intermedia para primarios, se conectan frecuentemente en triángulo-estrella. Estas redes suelen ser sistemas trifásicos de cuatro hilos con el hilo neutro puesto a tierra sólidamente, siendo de pocos miles de volt la tensión respecto al neutro. El sistema de distribución 120/208 V de cuatro hilos conecta do en estrella descrito en el apartado 2a se alimenta a menudo de los secundarios a 120 V conec tados en estrella de un banco triángulo-estrella de transformadores de distribución.
516
TRANSFORMADORES
El hilo neutro secundario está puesto a tierra y las cargas de alumbrado a 120 V pueden alimentarse conectadas entre las líneas de los secundarios y el hilo neutro, mientras los motores trifásicos son accionados por los tres hilos de línea a una ten sión de 120 V 3, o sea, 208 V. La conexión estrella-triángulo puede emplearse para transformadores reduc tores de distribución que alimenten cargas monofásicas y trifásicas, cuando no se precise un neutro en la carga trifásica del lado de baja tensión. Si los secundarios conectados en triángulo son devanados divididos para 120/240 V, pueden conec tarse como los secundarios del banco triángulo-triángulo de la figura 2 y puede suministrarse simultáneamente potencia a las cargas trifásicas de 240 V y a un circuito monofásico de tres hilos de 120/240 V con el neutro del circuito monofá sico puesto a tierra. La ventaja de este sistema de distribución conectado en trián gulo es que se obtienen las tensiones standard de 120 y 240 V, mientras que el sis tema conectado en estrella descrito en el párrafo anterior da la tensión trifásica
F io . 9.
CONEXIONES
TRIFÁSICAS
517
puede verse el diagrama vectorial de las tensiones de la estrella, el cual debe com pararse con el de la figura 66. En condiciones de equilibrio y para un orden de fa ses a&c, la tensiónV b entre línea y línea de la estrella es: a
Vab = V~3 V„„ / 30°,
(24)
según puede verse en la figura 106. Cuando sean pequeñas las caídas de tensión en as impedancias de fuga, las tensio nes en terminales de primario y secundario de los transformadores están casi en concordancia de fase, cuando se toman sus sentidos positivos con la misma polaridad relativa. Así, cuando las polaridades de
Conexión triángulo-estrella
de 208 V que es menos común. Además, del sistema conectado en triángulo puede obtenerse potencia eléctrica a 240 V para cocinas eléctricas, pero no del sistema conectado en estrella. Los inconvenientes del sistema conectado en triángulo son su falta de simetría respecto a corrientes y tensiones. Así, las cargas monofásicas del sistema conectado en triángulo dan srcen a corrientes desequilibradas, mien tras que en el sistema conectado en estrella las comentes están aproximadamente equilibradas si se distribuyen adecuadamente las cargas entre las fases. Además, la conexión a tierra del sistema conectado en triángulo es asimétrica. En el sistema conectado eri triángulo de la figura 2, la tensión entre la línea c y tierra es de 208 V, pero las tensiones respecto a tierra están limitadas a 120 V en el sistema conectado en estrella. El peligro de sacudida es, pues, algo mayor en el sistema conectado en triángulo, requiriéndose a veces un cableado más caro. El análisis de las conexiones triángulo-estrella y estrella-triángulo se basa en las relaciones fundamentales para circuitos conectados en triángulo y en estrella, jun to con las rela cion es entr e las tensi ones y corri entes de pri ma rio y sec und ari o en los transformadores. En la figura 9a pueden verse las conexiones de un banco triángulo-estrella, en la cual se han dibujado paralelos los devanados primario y secundario de un mismo transformador. En el lado conectado en triángulo, las tensiones en terminales de los transfor madores son iguales a las correspondientes tensiones entre línea y línea, y en con diciones de equilibrio y orden ABC de las fases, el diagrama vectorial es el indicado en la figura 10a. En el lado conectado en estrella, las tensiones en terminales de los transformadores son iguales a las tensiones entre línea y neutro, y en la figura 106
F io . lü . Diagramas vectoriales aproximados para un banco triángulo-estrella las conexiones son como las de la figura 9a, la tensión V entre línea y neutro de la estrella se hall a mu y apro xima dame nte en fase con la tensión entre línea y mea del tria ngu lo, como en la figura 106, y por tanto, la tensión V* entre línea y mea en el lado de la estrella est á adelanta da aproximadamen te en 30° resp ecto a la deltensión triángulo. ^ VAB También puede obtenerse la conexión en estrella como en la figura 96, en la cual la polarida d del neutro es la contraria a la de l as conexiones de la f igura 9a Las tensiones correspondientes en la estrella, indic adas en la figura lOe, están pues en oposición de fase con las tensiones de la figura 106; así, la tensión V b en la línea de lado de la estrella esta retrasada respecto a la tensión V en la línea del lado del triangulo en lo0°, y la tensión V en la línea del lado de la estrella está retra sada respecto a la tensiónV en la línea del lado del triángulo en 30°. AN
a
AB
CA
AB
Ln^ÍT*'
r ° P y secundario que presentan menor diferencia de fase, existe un defasaje de 30° que puede ser de adelanto o de retras o según se an las polaridades relativas de las conexiones d e primario y secun dario Es ta condición contras ta con la de un banco triángulo-triángulo o estrella estrella, en donde las tensiones de línea de los primarios y secundarios correspon dientes están casi en concordancia de fase cuando se realizan las conexiones de pri mario y secundario con las mismas polaridades relativas. A consecuencia de esta uilerencia de íase, nunca deberá ponerse en paralelo un banco triángulo-estrella o 6
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TRANSFORMADORES
518
estrella-triángulo con uno triángulo-triángulo o estrella-estrella en ambos lados de primario y secundario. *^ En el lado conectado en estrella, las corrientes de los transformadores son igua les a ks corrientes de la línea correspondientes. En la figura lOd puede verse el día¿ama vectorial correspondiente a condiciones de equilibrio y factor de potencia Su da d Cuando las corrient es de la estrell a es tán equilibradas y vanan sinusoiS m e n t e con el tiempo, su suma vectorial es nula, y por tanto, no circula comente a k u T p o r T a conex ión a tierra del neu tro (l íne a de trazo s de la figura 9), que s olo ^paía mantener el neutro al potencial de tierra. En la figura 10c puede verse d d l S a n t a vectorial de la s cor riente s en el trián gulo, el cual p uede co mpararse con kfigura 3c. Si se desprecian las corrientes de excitación, las comentes depri mario y secu ndar io crean fuerzas m agnetomotrices iguales y opuestas y por tanto, Es corrientes del triángulo están en fase con las comentes de la estrella correspon-
CONEXIONES
TRIFÁSICAS
519
de una instalación que alimenta simultáneamente una carga trifásica 240 de V v una carga monofásica de tres hilos para 120/240 V. Obsérvese que la conexión en triángulo abierto es la equivalente de la conexión triangulo-triángulo suprimiendo un transformador. Así, si por un defecto hay que quitar un transfo rmador de un grupo conectado en triángulo-triángulo los dos transformadores restantes podrán seguirse utilizando para transmitir potencia tri fásica, aun cuando con capacidad de carga reducida. La conexión en triángulo abierto no sólo se utiliza como medida de emergencia smo que también se instala frecuentemente en zonas en las que se espera que la carga crezca, ya que cuando dicha carga haya aumentado hasta un valor que su pere a la capacidad del banco en triángulo abierto, podrá añadirse un nuevo trans formador, convirtiendo el banco en triángulo abierto en un banco en triángulo-
g
^^SlTZSldon-
A
t.enen la misma razón de números de espiras
y están equilibradas las tensiones de línea del neutro de la estrella deberán también estar muy aproximadamente equilibradas cuando sean pe queñas l as caída s de tensión en las impedancia s de fuga. Esta tua do n contrasta con el comportami ento de un banco estrella-estrella en el cual as S i o n e s respecto al neutro dependen de las caract erístic as de excitación de las Monofásico 120/240
Sequilibradas a í e s cuando tán aislado lo s neutro s. Además,del si en el lado de la estre llamuy es tán las es corrientes de slínea, las corrientes triángu o deberán estar aproximadamente equilibradas v cualquier desequilibrio entre las corrientes del triangul se deberá solamente a diferencias entre las relativamente débiles comen¬ tes de excitación. Esta condición contrasta con el comportamiento de un banco cuyas corrientes dependende las impedancias equivalentes de
Fío. 11. Conexión en V o trian- Fi o. 12. Conexión en triángulo abierto de transgulo abierto formadores de distribución para alimentar simul táneamente cargas trifásicas a 240 V y monofásicas a 120/240 V
ÍSJSSKilo
^ A s i ^ t e n s i o n e s de l í n e a e q u i l i b r a d a s y c o r r i e n t e s de ^ . « ¡ ^ ^ conexión en triángulo equilibra las tensiones respecto al neutro de la estrella, mienras que la conexión en estrella equilibra las corrientes del triángulo. Esta acción equilibrante constitu ye a veces una .ventaja de l as con exiones tn ang ul o- es tr e1 y estrella-triángulo, puesto que tres transformadores de tensiones e intensidades no¬ m nales guales tomarán automáticamente partes iguales de una carga trifásica equilibrada, aun cuando sean diferentes sus impedancias equivalentes y sus carac¬ terísticas de excitación. 5.
CON EXIÓN EN
V o TRIÁNGULO
ABIERTO
Cuando tres transformadores iguales tienen sus devanados conectados en estre lla o en triángulo, la disposición es simétrica. Aun cuando la mayoría de las trans formaciones trifásicas se realizan por medio de estas ^ ^ Z . ejemplo importante de dispositivo asimétrico es la conexión en V o triangulo abierto que sólo emplea dos transformadores. En la figura 11 pueden verse las conexiones elementares de un banco en triángulo abierto y en la 12 el esquema de conexiones « El funcionamiento en pa ralelo de bancos polifásicos se estudia en el aparta do 2 del capi tulo XXIX.
triángulo aumentando, en consecuencia, la capacidad de carga trifásica del banco Como solo intervienen dos transformadores, la conexión en triángulo abierto resulta relativamente sencilla de instalación y cuando se instala sobre postes presenta una apariencia pulida. Au n cuand o en la conexión en triángu lo abie rto no fig ure el tran sfor mado r que va de las fasesCA a las ca en la conexión triángulo-triángulo y por tanto el banco es asimétrico respecto a las tres líneas, cuando se aplican a los terminales de los primarios tensiones trifásicas equilibradas, en las líneas de los secundarios se obtienen tensiones casi equilibradas. Esto se debe al hecho de que en todo sistema tnlasico la suma vectorial de las tensiones entre línea y línea, tomadas en orden cíclico, deber ser nula *, y por tanto los vectores que representan tensiones entre linea y linea pueden dibujarse como lados de un triángulo. Si las tensiones de los -primarios están equilibradas, el triángulo de tensiones primarias es equilátero, como puede verse en la figura 13a. Las tensiones de línea de los secundarios V* y v* se obtienen directamente de los terminales de los secundarios de los dos transfor madores, y en vacio estas tensiones de los secundarios están casi en fase y son iguales A las tensiones de los primarios correspondientes divididas por la razón de transfor*
Véanse las ecuaciones(20) y (21).
CONEXIONES TRANSFORMADORES
520
TRIFÁSICAS
521
consta de dos transformadores con un valor nominal total monofásico de 2 V I Así pues, el valor nominal trifásico del banco (\/ 3VI ) es menor que los valores monofá sico combinados (2 V I ) de las unidades instaladas en el banco. La razón potencia aparente nominal trifásica del banco suma de las potencias aparentes nominales de las unidades instaladas ' ^ recibe el nombre de economía del aparatoo de factor de utilizacióndel banco y cons tituye una medida de la efectividad con que se utiliza la capacidad del transfor mador instalado para alimentar una carga. Así, para un banco en triángulo abierto de transformadores iguales que alimenten una carga trifásica equilibrada, 2
mación a (supuesta la misma para ambos transformadores). En la figura 136 se han representado estas tensiones de los secundarios mediante vectores de trazo continuo. La tensión V entre línea y línea de los secundarios está representada por el lado de cierre del triángulo de tensiones de línea de los secundarios y se ha dibujado en la figura 136 con línea de trazos! Por la semejanza de los triángulos de tensiones de los Primarios y los secundarios, si están equilibradas las tensiones de linea de os primarios, también lo estarán muy aproximadamente las tensiones de línea de los secundarios en vacío. No obstante, como el banco es asimétrico respecto a las tres líneas, las caídas de tensión en las impedaneias equivalentes de los transformadores srcinan un ligero desequilibrio en las ten siones de los secundarios bajo carga, si bien dicho desequi librio suele tener poca importancia. F IG . 13. Diagrama vec£j e n de la figura 11 ind ica que las c orrientes que torial de tensiones de \ primarios de los transformadores son iguales " ^" abi ert o * ° a las corrientes que circ ula n por las líneas AyCy que las corrientes que circulan por los secundarios son iguales a las que circulan por las líneasa y c . Así, si son V e I la tensión e intensidad de secun dario nominales de cada uno de los transformadores en un banco en triangulo abierto, también serán los valor es nominale s a ple na carga de las tension es de linea e mtensidades de línea trifásicas para una carga trifásica equilibrada, y por tanto la potencia apa rente nominal trif ásic a del banco es \/ 3 / F volt-ampere *. No obstante, el banco ca
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Es decir, un banco en triángulo abierto de transformadores exactamente iguales se encuentra a plena carga cuando alimenta a una carga trifásica equilibrada con el 86,6 % de la potencia aparente nominal total de los transformadores instalados Será, pues, necesario instalar una capacidad total de transformadores mayor en un banco en triángulo abierto que en uno triángulo-triángulo capaz de alimentar la misma carga trifásica equilibrada. Este es el principal inconveniente del triángulo abierto frente a cualquiera de las conexiones simétricas. Por ser menor el factor de utilización del banco en triángulo abierto que el del banco triángulo-triángulo, al quitar un transformador averiado de un banco triángulo-
2
La expresión de los volt-ampere suministrados a una carga trifásica equilibrada,es V 3 F„ „ I donde K, e /„ „ son los valores eficaces de la tensión entre línea y linea y de la intensidad a'eTá corrtn ¿'"de línea* Au n cuando esta deducción puede hallarse en casi todos los texto s que de circuitos trifásicos, es tan importante que la repetimos a continuación Se a^ F e / los valores eficaces de la tensión en cada fase y de la intensidad de la comen te que cirfeullpo "cada fase de una carga trifásica equilibrada. La expresión de la potencia aparen te entregaba a la carga trifásica es 3 V ,„. i ,„ . Si la carga está conectada en triángulo, *
V
2
j
triángulo se aparente reduce lanominal capacidad carga trifásica del bancoEn en un mayor cantidad que la potencia deldetransformador suprimido. banco triángulotriangulo con carga trifásica equilibrada, la intensidad eficaz de las corrientes de línea, es igual al producto de V 3 por la intensidad eficaz de las corrientes que circulan por los transformadores, mientras que en la conexión en triángulo abierto las corrien tes de linea son iguales a las corrientes del transformador. Por tanto, un banco de dos transformadores conectados en triángulo abierto tiene una potencia aparente nominal igual al procuto de l/\/~3, ó sea 0,577 por la potencia aparente nominal de un banco triángulo-triángulo de tres transformadores iguales.
(26 )
vs' y por tanto,
3 JW , „ . = 3 V
tlnm
Si la carga está conectada en estrella, V
/
6.
= V ~3 W H - V 3 -
(28)
- /„
( >
29
y por tanto,
FUNC IONAMIENTO DE EMERGENCIA ESTRELLA-TRIÁNGULO
DE BA NCOS TRI ÁNGU LO-ESTRELLA Y
Por medio de una disposición algo parecida a la conexión en triángulo abierto, nuede hacerse funcionar a carga máxima reducida una línea de transmisión con un banco elevador de transformadores conectados en triángulo-estrella en su extremo emisor y otro banco reductor en estrella-triángulo en su extremo receptor, a la que laila una fase y se ha desconectado ésta. L os neutros de los extremos emisor y receptor
3 F,„./,„. = 3- ^ / . „ = VI *-„„„/„„„ . l> V ^ ^ , ° f anexión en triángulo abierto, „„r es igual a la tensión V, Así, pues, independientemente de que la carga esté conectada en triángulo o en estrella, la ex¬ delfrLtf del transformador e es ual a la mtensidadI de la corriente que circula por el transformador' presión de la potencia aparente entregada a la carga es: s e V 3 VI volt-ampere. mientras quela salida trifásica del banco 3F ^,Í,„ = V ~3 V ,„I . •t ) (30)
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2
CONEXIONES
TRANSFORMADORES
522
deben estar conectados, bien a través de tierra o mejor con un hilo neutro, como se ^^fS^llSU» y por tanto las caídas en las impedancias están desequiübrSa peío cornTestas caídas suelen ser p equeñas, las tensiones en los termmales Ss s e c un d a s del banco red uctor no podrán qued ar desequ ilibradas seri amente, fn ^a mlí ria í^ rr ien teB de la lín ea de tra nsmisión quedan muy desequilibradas. ^ T i ^ f f i . los secundarios del banco red uct or se e ntregan corrientes eoumbraols el diagrama vectorial de las corrientes del secundario sera el indicado rÍSa 146 Si » prescinde de las corrientes de excitación, las comentes de lo orimarSs y secundarios de los transformadores crean fuerzas magnetomotrices opuestas. Así, para los sentidos positivos de las corrientes indicados por flech as en l a %u r a14a, la corriente l que circula por el primario del transformador 4 S e^ o nc T r da nc i a de fase con la corriente IT del s e c u n d a y a — el e del primario del transformador G está en oposición de fase con la corriente l del A
TRIFÁSICAS
523
puesto a tierra; pero, a fin de proporcionar un medio de oscurecer las lámparas reducien do su brillo a una fracción pequeña de su valor normal, se coloca un conmutador de manera que los secundarios puedan quedar conectados en triángulo no puesto a tierra. La po¬ tencia total requerida por las lámparas es de 300 kW con factor de potencia unidad. a) ¿Cuáles deben ser la tensión e intensida d nominales en los primarios de los trans formadores ? b) ¿Cuáles deben ser la tensión e intensi dad nominales en los secundarios de los transformadores ? c) Si se ha accionado el conmutad or y uno de los bancos de lámparas se cortocir¬ cuita, ¿qué tensión quedará aplicada a los otros dos bancos? ¿Podría esto fundir algún fusible ? d) Si se ha accionado el conmuta dor y se funde el fusible de una línea, ¿qué tensio nes quedarán aplicadas a los tres bancos de lámparas? &
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de corrientes en la línea de alta tensión
secundario, como puede verse en la figura 14c. La corriente I que circula por el neutro de retorno a los transformadores del extremo emisor es la suma vertoml de las corrientes de las líneas de los primarios, como puede verse en la figura 14c, ypor S o c u a n d o están equilibradas la s corri entes de los secúndanos, la mten 3 por la intensad sidad eficaz de la corriente del neutro es igual al producto de \ eficaz de las corrientes de fase en la línea de transmisión. Estas comentes deseqiuhbradas en la línea de transmisión pueden inducir tensiones nocivas en los circuitos advacentes de comunicaciones. i Los transfo rmadores se conect an en triángulo abierto en s us lados d e b a t e n sión y por tanto, como en el apartado 5, la capacidad del sistema a plena caiga ,o. una fase averiaba es igual al producto de 0,577 por la capacidad a plena carga del sistema sin avería, y el factor de utilización es 0,866. w
PROBLEMAS 1 Se quiere utilizar un banco trifásico de transformadores para reducir la tensión de 6 600 V de ul línea de distribución de manera que alimente un prupo de lamparas de fncLdeseencla de 115 V mediante un sistema trifásico de cuatro hilos. Los transforma^ d o ' f s e h X n conectados normalmente en tri ángulo-estrella con el neutro de la estrell a
B F IG . 1 5. Conexiones de los transformadores,problema 2 2. A una línea trifásica de tensión conveniente se quieren conectar tres transforma dores monofásicos de 2 400 : 240 V de manera que formen un banco simétrico. En los trans formadores no hay marcas de polaridad. Describir, para cada una de las conexiones de la figura 15, un procedimiento de ensayo paso a paso para determinar las conexiones correctas con empleo; solamente, de un voltímetro. Dígase, en cada caso, qué valores debe indicar e l voltímetro.
TRANSFORMADORES
524
3 Se necesita reducir la tensión de una linea de 7 200 V trifásica de tres hilos para obtener una distribución trifásica de cuatro hilos a 120 V respecto al neutro. La carga consta de motores de inducción trifásicos y lámparas de mcandescenc .a La carga del m l r de in ducci ón es de 100 kV A con fa ctor de po tencia 0,7 0; la carga del alumbrado es de 200 k V A con factor de potencia uni dad y está conectada en tre los hilos, de línea y el hilo neutro de tal manera que la carga total del alumbrado esté equilibrada. Si se emplean transformadores monofásicos, a) ¿Cómo deben conectarse y por qué? b) iCuáles deberán ser sus tensiones nominales de primario y secundario? c) ¿Cuáles son las intensidades a plena carga de las corrientes que circ ula n por primario y secundario ? 4 Cada uno de los t ransformad ores de la figura 3 tie ne una impedancia en corto circuito de 5 +j 20 ohm referida al lado de alta tensión. Los transformadores se conec c, con el neutro de primarios aislado y se aplica tan en la forma indicada en la figura 15 a los prima rios conectados en estrella tensiones trifásicas equil ibrada s de 7 200 V 3 V. a) ¿Cuál será la intensida d de la corriente en el triángulo cerrado de secundarios si uno de ellos se conecta accidentalmente con su polaridad invertida y se desprecia la corriente de excitación?
A
a
X
(a) A
a
c'
(b) Via. 16. Conexiones de los transformadores, problema 5
CONEXIONES TRIFÁSICAS 525 b) ¿Cuáles serían las tensiones de las fases de los primarVios , V V N si es el devan ado oc el que está conectado al revés? ¿Se pueden despreciar las corrientes de exci tación en esto problema? AN
BN
C
5. La s figuras 16a y 166 muestra n partes de dos sistemas de distribución. La figura 16a representa una conexión triángulo-triángulo de transformadores monofásicos alimenta dos por un generador montado en estrella con el neutro a tierra. La figura 166 representa una conexión trifásica en paralelo de un banco triángulo-triángulo y un banco triánguloestrella de transformadores monofásicos. Todos los transformadores son iguales v tienen el mismo número de espiras en primario que en secundario. Los primarios están aliinen tados por tensiones trifásicas equilibradas de 440 V entre línea y línea. Determinar las tensiones entre los siguientes pares de puntos. a) En la figura 16 a: co, An y Ce. b) En la figura 16 6:aa' y ce'.
CA
PI TU L O
XXI
CIRCUITOS
I
EQUIVALENTES
527
por un transformador ideal; v las características de excitación están representadas por la admitancia en circuito abierto; es decir, en la figura la,
Efectos de las impedancias de los transformadores en los circuitos trifásicos
Z es la impedancia en cortoc ircuito medida desd e el lado del secu ndario Y es la admit ancia en circuito abierto modida desde el lado del primario' ¡ c2
oc l
A es el coc iente c omplejo V i / E ^ ent re la s te nsio nes de primario y s ecun dario medidas con el secundario abierto; x
y en la figura 16, En el capítul o X X I se han estudiado las disposiciones trif ásica s de transforma dores ideales y se han mencionado cualitativamente los principales efectos de las imperfecciones de los transformadores reales. Este análisis simplificado, suficiente mente preciso para muchos fines, permite comparar las características más sobre salientes de las distintas disposiciones trifásicas. Sin embargo, en muchos problemas las imperfecciones de los transformadores tienen efectos importantes y hay que tener las en cuenta cuantitativamente. Por ejemplo, las impedancias de fuga de los transformadores son importantes en los problemas en que interviene la regulación de tensión, la división de las corrientes entre circuitos derivados y el cálculo de las intensidades de las corrientes en cortocircuito, y en otros problemas que abarcan las impedancias de transmisión y los sistemas de distribución. En este capítulo nos proponemos desarrollar una base cuantitativa para el análisis de dichas cuestiones, haciendo hinca pié en l as condiciones de equilib rio. E n el capí tulo X X I V se estu diarán las condiciones en que no hay equilibrio
1.
CIRCUITO S EQUIVALEN
Zsci es la impedancia en cortocircuito medida desde el lado del primario Y 2 es laadm itan cia en circuito abierto medid a de sde el lado del secundario' A, es el coci ente com ple jo E/ V entre las tensiones de primario y secundario medidas con el .primario abierto. 0 C
o c l
A
Z Z
* Estos circuitos equivalentes están descritos en los apartados 6 y 8c del capítulo XI II y •n el apartado 5 del capítulo XVII.
a x
A , 2
Í C L
E E L
K 2
« Z « Zea,
^(2) ^(3)
donde Z y Z son las impedancias equivalentes. Las admitancias en circuito abierto son prácticamente iguales a las admitancias de excitación referidas al mismo lado; es decir, e
e q2
* Y;
FI G. 1. Circuitos equivalentes para un transformador sólo.
*
2
Y ;' ,
de excitación suelen ser despreciables, podrá utilizarse cualquiera de los circuitos equivalentes deducidos en los capítulos anteriores; los más útiles para el presente estudio son los de la figura 1. * En ellos, el transformador está representado, como en el teorema de Thévenin, por su impedancia en cortocircuito en serie con su ten sió n en circui to abierto; la razón de las tension es en circuito ab ierto está representada
x
donde a es la razón NJN . Las impedancias en cortocircuito también son muy apro¬ ximadamente iguales a las impedancias equivalentes referidas al mismo lado; así,'
TES
En el análisis siguiente, conviene representar cada uno de los transformadores monofásicos que componen el banco trifásico por un circuito equivalente. Como los efectos de las capacidades de los devanados y de los armónicos de las corrientes
2
Si se prescinde de los efectos de las capacidades y de los armónicos de la corriente de excitación, estos circuitos equivalentes son representaciones «exactas» del trans formador. No obstante, como se vio en el apartado 8 del capítulo XIII, la razón de tensiones en circuito abierto es muy aproximadamente igual a la razón de los números de espiras; es decir,
Y Y
>
O C 1
O C 2
x
(4 )
^(5 )
donde Y ¿ e Y ¿ ' son las admitancias de excitaci ón. La s relaciones aproximadas expresadas en las ecuaciones (1-5) son tan aproximadamente correctas que en el análisis que sigue no se hace distinción alguna entre los valores «exactos» de los parámetros de la figura 1 y sus valores aproximados dados por estas ecuaciones. Es decir, los valores Je los parámetros pueden obtenerse a partir de los datos de diseño o de ensayos en circuito abierto o en cortocircuito tomados a uno u otro lado del transformador, y estos valores se pueden emplear, sin modificación, o en el cir cuito equivalente de la figura la (en el cual se coloca la admitancia de excitación en el lado del primario) o en el circuito equivalente de la figura 16 (en el cual la admitancia de excitación se coloca en el lado del secundario). En muchos problemas, los efectos de la corriente de excitación son tan pequeños que puede despreciarse por completo la comente de excitación y representarse el transformador por su impe dancia equivalente en serie con un transformador ideal. Si se quiere, las impedancias equivalentes y admitancias de excitación de la figura 1 se pueden referir al otro lado
TRANSFORMADORES
528
CIRCUITOS EQUIVALENTES
del transformador multiplicando o dividiendo, según sea el caso, por el cuadrado de la razón de transformación. El circuito equivalente de un banco trifásico de transformadores puede tra zarse conectando los circuitos equivalentes de las unidades de acuerdo con las conexiones del banco. Por ejemplo, en la 2a figura ,puede verse un circuito equiva lente de un banco estrella-estrella y en la figura 26 un circuito equivalente de un
9
52
Además, las impedanciaZs , Z , Z de la figura 26 que forman parte de un sistema conectado en triángulo, pueden sustituirse por impedancias conectadas en estrella. Así, por el teorema de Thévenin, el banco triángulo-triángulo de la figura 26 es equivalente en su lado de secundarios a un generador conectado en estrella que cree las mismas tensiones de secundario entre línea y línea en circuito abierto y conectado en serie con impedancias cuyos valores sean las equivalentes en estrella de las impe dancias en cortocircuito de los transformadores medidas desde los terminales de sus secundarios. Luego, los transforma dores ideales cone ctados en triángulo-triángulo de la figura 26 pueden sustituirse por un banco estrella-estrella que dé las mismas tensiones en circuito abierto, y las impedancias en cortocircuito de los transfor madores pueden representarse pormpedanci i as en estrella conectadasen serie con Z, cada terminal de línea. Las relaciones entre las impedancias en cortocircuito Zbc, Z de los transformadores conectados en triángulo y sus equivalentes conectadas en estrellaZ , Z , Z vienen dadas por las conocidas relaciones, ao
bc
ca
ab
ca
a
b
c
Z
a
=
Z
ZcaZab + Zbc +
Z
+ Z
ab
ideal, Y- Y
Zb =
ideal, A "A
(a)
ab
(b)
_
Fi o. 2. Circuitos equiv alentes trifásico nexión estrella-estrella,yb) conex ión tri a)s; Co ángulo-triángulo . La cone xión estrella-estrella se simboliz a por Y-Y y la del triángulo-triángulo por A — A. banco triángulo-triángulo. En la figura 2, las Y representan admitancias en circuito abierto o de excitación y las Z las impedancias en cortocircuito o equivalentes. En el análisis de sistemas de potencia es frecuentemente necesario combinar las impedancias de los transformadores con las impedancias de las líneas de transmisión a las que están conectados. Luego, resulta a menudo conveniente representar un grupo de devanados conectados en triángulo por un circuito equivalente conectado en estrella, ya que en la conexión en estrella las impedancias equivalentes que repre sentan a los tra nsformadores están enserie con lo s tres terminales de línea y por tanto pueden sumarse directamente a las impedancias de las fases de los circuitos de transmisión. Ya se sabe que, visto desde sus tres terminales, un triángulo de ele mentos de circuito puede sustituirse por una estrella equivalente. Así, las admi Y , Y , Y conectadas entriángulo de la figura 26 son tancias de excitación Y , Y , Y conectadas en estrella cuyos valores equivalentes a las admitancias vienen dados por las conocidas relaciones: AB
BC
CA
A
=
B
Y_4 BY. BC +
Y
A
„y
B
=
Y— C
C
YBCYCA + YCAYAB (O) *BC
YABYBCYCAYAB + YBCYCA + i CA Y/ UY JC +
YBCYCA + Yc^Y^a
'Lab
, (/) 7
bc
bc
+ Zea
ZfcZo,
Zbc
+
Por tanto, por lo que concierne a sus efectos sobre los circuitos exteriores, un grupo de devanados conectados en triángulo puede representarse por un circuito equivalente conectado en estrella, como en la2afigura , con tal que los parámetros de la estrella equivalente estén relacionados con los parámetros realese d los transfor madores conectados en triángulo en la forma indicada por las ecuaciones (6-11) y con tal que las tensiones en circu ito abierto entre líne a y línea del circuito equiva lente conectado en estrella sean las mismas que las de los devanados conectados en triángulo *. Es decir, en el caso de un banco triángulo-triáng ulo los transformadores ideales pueden sustituirse por un banco estrella-estrella que dé las mismas ten siones de funcionamiento. Análogamente, a menudo se representa un banco triánguloestrella (o estrella-triángulo) por un circuito equivalente estrella-estrella, como en la figura 2o, que dé las mismas magnitudes de las te nsiones encir cuito abierto entrelínea y línea. Sin embargo, acausa del defasaje int roducido por la conexión triánguloestrella **, el circuito equivalente estrella-estrella de un banco triángulo-estrella no presenta las relaciones correctas defase entre las corrientes de pri mari o jAsecundario, o entre las tensiones de primario y secundario, aun cuando presente correctamente las relaciones entre las corrientes y tensiones de cada lado.
2.
,
+
(»)
Z
Zab
Cm curro s EQU IVALE NTE S MONOFÁSICOS
PAB A CONDICIONES DE
EQUILIBRIO
Cuando los transformadores son exactamente iguales y las corrientes y tensiones están equilibr adas, sólo podrá distinguirse una fase deotra por los de fasajes de 120° entre sus corrientes y entre sus tensiones. Por tanto, las corrientes y tensiones de * Obsérveseque el circuito equivalente estrella no prese nta las corrientes reale s que circu lan por los devanados conectados en triángulo. ** Véaseel apartad o 4 del capitulo XXI .
CIRCUITOS
TRANSFORMADORES
530
cada fase pueden determinarse analizan do una fase cua lquiera. Para estos fines suele ser conveniente considerar todos los generadores, devanados de transformadores y cargas, como si estuvieran conectados en estrella. Así, las admitancias de excita ción e impedancia equivalentes de un transformador conectado en triángulo, pueden 110 kV
Linea de 33kV
13,2kV
* i—|Cargaj 'ÍDCOO'» Y - A^Tr ans form ad^A - A
(a) 1 006-j51 5.6-J51 kVA
fcargá1 000+¿0 kVA
n Transformadores extre m o em isor
[n
Ziinea = 7,3
extremo receptor
+ j'18,2 oh m por fase.
= Z1,71 + j9 ,33 oh m
(14)
(15)
R
006J51 k v 7,3+jl 8,2 ohm 3,6+¿19, 4 ohm
referida al lado de baja tensión. Su pérdida en el núcleo es: A
= P5,6 kW cada transformador,
(16 )
c
'argal
531
La impedancia equivalente Zj¡ de cada uno de los transformadores en triángulotriángulo del extremo receptor de la línea, es:
Transformadores
(b) 3,6+ j28,8o hm
EQUIVALENTES
y el subíndice Y el valor equivalente en la fase de la estrella. Para condiciones de equilibri o, los puntos neutros de todos los circuitos equivalentes conectados en estrella pueden considerarse conectados directamente. 4, la. Ejemplo de circuito equilibrado. Como ejemplo de análisis de un sistema equilibrado, consideremos el circuito indicado en el esquema de la figura 3a, que comprende un banco estrella-triángulo de tres transformadores monofásicos de 1 000 kV A, 63 500 : 33 000 V conectados por la parte de sus primarios a un gene rador trif ásico equilibrado (las barras de 110 000 V de u na subcentral). Los secundarios de este banco entregan potencia a un banco triángulo-triángulo de tres transfor madores de 1 000 kV A, 33 0 00 : 13 200 V a través de una línea de transmis ión. El problema es determinar qué tensión se necesita en las barras de la subcentral para mantener la tensión nominal entre línea y línea de 13 200 V en los terminales de los secundarios del banco triángulo-triángulo cuando dicho banco alimenta una carga tr ifási ca equilib rada de 3 000 kV A a un factor de potencia u nidad. Datos: La im pedanc ia de la línea de transm isión de 33000 V es:
19^80 V y su potencia reactiva magnetizante es:
(O 0,0098 + ¿0,079 4 pu
0,02 01 4 ¿0,0501pu
(VI)^,,= 51 kVAR,
0,0098 +J0.0 535 pu
Ensayo en circuito abierto
V = 33 000 V I = 1,24 A P = 5,30k W
(d) F io . 3.
Esquema monofásico del circuito estudiado en el apartado 2 y etapas de la simpli ficación del circuito.
sustituirse por sus equivalentes conectados en estrella, dados por las ecuacio nes (6-11), las cuales, para transformadores exactamente iguales, se reducen a = 3Y „ Y Z
^(12)
Y
Y
= \Z¿
cada transformador.
(17)
Los resultados medios de ensayos monofásicos en circuito abierto y cortocircuito realizados en los transformadores del extremo emisor son:
•(13)
en donde el subíndiceA indica la admitancia o impedancia de la fase del triángulo
Ensayo en cortocircuito
V = 2 640 V 1= 30,3 A p = 9,8 1 kW
En ambos ensayos se realizaron las medidas en los lados de baja tensión (33 000 V) a la frecuencia nominal (60 Hz).
Solución: El primer paso es reducir el circuito a uno equivalente conectado en es trella, como se indica en la figura 36, en el cual carga y generador se consideran cada uno como una fase de un circuito conectado en estrella, y cada banco de transformadores está representado por una fase de un circuito equivalente estrella-estrella, que comprende un transformador ideal en combinación con una impedancia en serie y una admitancia en paralelo. Pueden considerarse conectados entre sí todos los puntos neutros n de las estrellas, como indica la línea de trazos de la figura 36. Au n cuan do ordin ariam ente puede n despreciarse las corriente s de excitación de los
TRANSFORMADORES
532
CIRCUITOS
transformadores en la resolución de un problema de esta clase, a fin de dar una visión más completa las incluiremos en la resolución que sigue, doquiera tengan algún efecto. Las corrientes de excitación vienen representadas por las admitancias paralelo co nectadas a uno y otro lado de los transformadores. Conviene conectar las admitancias de excitació n de los transformadores del extremo de la carga en paralelo con los terminales de los secundarios, ya que la excitación, dada por P — c
¿( VI)= 5,6 — ¿51 k V A por fase
(18)
mas
pueden entonces combinarse directamente en paralelo con la carga, dada como 1 000 + -f ¿0 k V A por fase. Así, pues, la carga y los transformador es del e xtremo de carga absorben una potencia aparente combinada de
,„
^-(-«l
(19)
En cambio, si se conectaran entre los terminales de los primarios de los transformado res del extremo emisor sus admitancias de excitación, como en la figura 36, sus corrientes de excitación no tendrían ningún efecto sobre la tensión del generador que se requiere para mantener en la carga la tensión nominal, aun cuando afectarán a la corriente to mada del generador. Cuando se trata el problema de esta manera, las admitancias de excitación de los transformadores del extremo emisor no intervienen en su solución ya que no se precisa conocer la corriente del generador. Las razones de transformación de los transformadores ideales conectados en estrellaestrella en la figura 36 son tales que crean las mismas tensiones en circuito abierto que el banco que representan. Las tensiones respecto al neutro de la estrella equivalente para el banco en triángulo-triángulo de 33 000 : 13 200 V en el extremo de carga son: 33 000 13 200
19080V
(20)
7 62 0V
(21)
y 19 080V.
(23)
Así, pues, las razones de transformación de los transform adores ideales son las m arcadas en la figura 36. La impedancia equivalente de cada uno de los transformadores conectados en trián gulo-triángulo del extremo receptor viene dada por = Z¿ 1,71 + ¿9,3 3 ohm R
(24)
referida al lado de baja tensión. En virtud de la ecuación (13), la impedancia equivalente en estrella es: = i( l, 71 +¿ 9, 33 ) = 0,57 + ¿3,11 ohm (25) ZYR
(26 )
2 640
„„ ,
^
T = W=87 ,1ohm
<27>
9 810
= (30W=
R áS =
10,7
0
h
<>
m
2 8
Xas = VZ*¡= —86,4 R^ ohm. S
(29)
S
En virtud de la ecuación (13), la impedancia equivalente en estrella es:
ZYS = i(10,7 + ¿86,4) = 3,6 + ¿28,8 ohm .
(30)
Si las impedancias de carga y equivalente y la corriente de excitación del transforma dor del extremo receptor se refieren todas al lado del primario y se refiere al secundario del transformador del extremo emisor la tensión del generador, podrán suprimirse los transformadores ideales el circuito se reduce de tensi la figura el V, cual se sumini stra una ycarga de 1 0de 06 la —¿figura 51 k V 36 A por fase a aluna ón de3c,19en080 por fase a través de una impedancia en serie cuyo valor total es la suma de sus tres com ponentes, o sea, ¿66,4 Z = ZYs + Zitnea+ a*Zy = 14,5 +o R
hm
(31)
Si se toma como vector de referencia el representativo de la tensión en la carga, el vector representativo de la corriente que circula por la linea de transmisión es: _
i
(22)
(0.57+¿3,11)
V
7
Z as=
T
V3
/ 19 080\ 2
De los datos en cortocircuito, la impedancia en cortocircuito de cada transformador del extremo emisor referida al lado de los secundarios conectados en triángulo, resulta
y las tensiones respecto al neutro en la estrella equivalente para el banco estrella-trián gulo del extremo emisor son:
1^°= 63500V
533
= 3,6+ ¿19 ,4 ohm .
P
1 006 — ¿51 k VA por fase
EQUIVALENTES
Esta impedancia, referida al lado del primario del transformador ideal del extremo receptor, es:
k V A por fase 1 0 0 6J —¿ 5 1 kV por fase de la estrella 19,08 = 52,7 —¿ 2 ,7 A por fase de la estrella =
(32)
(33)
Puede ahora determinarse la tensión requerida en el extremo emisor sumando la caída en la impedancia del sistema a la tensión en la carga; así, IZ = (52,7—¿2,7)(14,5 +¿66,4) = 940 + ¿3 460 V, en la estrella V = 19 080 + ¿
Q
E = suma = 20 020 + ¿3 460 E = 20 300 V, en la estr ella.
(34) (35)
(36) (37)
La tensión E es la tensión respecto al neutro en la subcentral, referida a los lados de los secundarios de los transformadores del extremo emisor. La tensión real de la subcentral 63 500 1 9 08 0
X
2
0 3
0
0 =
67
5W
V
' spec to al neutro re
(38)
TRANSFORMADORES
$34
CIRCUITOS EQUIVALENTES
o sea, V~3 x67 500 = 117 000 V, entre línea y línea
que es la tensión del extremo emisor necesaria para mantener la tensión nominal en el extremo de la carga.
26. Ejemplo resuelto concantidades expresadas entanto por El uno. empleo de cantidades expresadas en tanto por ciento o por uno * suele llevar consigo un gran ahorro de tiempo en los cálculos de circuitos de potencia y es particularmente útil cuando intervienen bancos trifásicos de transformadores, ya que los factores de re ducción para las razones de transformación y de conversión para triángulo a estrella quedan automáticamente tenidos ne cuenta en los valores normales o de base en función de los cuales se expresan las corrientes, tensiones y parámetros del circuito. "Además, es probable que nos demos cuenta de errores tales como la mala colocación de una coma decimal, a causa de lo evidentemente absurdo de un resultado inco rrecto, por lo que los cálculos a tanto por uno quedan, hasta cierto punto, autocomprobados. Como ejemplo del empleo de la expre sión de cantidades atanto por uno en un problema trifásico, vamos a resolver a continuación de nuevo el problema del ejem plo de la parte a) de este apartado.
Intens idad de base =
pecto a loslacuales expreseny las intensidades, En este problema, cargasetrifásica lascargas, potencias trifásicas tensiones nominalese impedancias. de ambos bancos de transformadores son 3 000 kVA, por lo que constituirá una base conveniente. (40) (41)
Para base de las tensiones conviene elegir las tensiones nominales. Así, Tensión de base = 13,2 kV triángulo, para extremo de carga = 33,0 kV triángulo, o 19,08 kV estrella, para la línea de transmisión = 110 kV triángulo, o 63,5 kV estrella para el generador.
(42)
=
1 00
= 75,8 A, por fase del triángulo. 13,2 0
(45)
Intensidad de base para secundarios transformador extremo emisor =
1
= 30,3 A, por fase del triángulo 33,0
* La expresión a tanto por ciento o por uno deintensidades, tensiones y paráme tros de circuitos se estudió en el apartad o 6 del capítulo XIV .
(47)
=
Impedancia de base para la línea de transmisión de 33 kV 19 080 52,5
363 ohm por fase de la estrella
(50)
Pueden determinarse ahora los valores en tanto por uno de la potencia absorbida por la carga y de las impedancias del transformador y la línea. Así, la potencia trifásica se da como 3 000 kVA a un factor de potencia unidad y por tanto es igual a los kVA de base, de donde Carga = 1,00 por +jO unidad de potencia. (51) La excitación de cada transformador del extremo de carga a tensión normal viene dada por la ecuación 18 como 5,6j5—1 kV A por fase (corriente retrasada) y por tant o, c omo fracción de los kV A de base por fase (ec. 41), la excitación es: 5,6— j51 1000
^ o,006— j'0,051, por unidad de potencia.
(52)
Así, pues, la carg a y la excitación de los transformadores del extremo receptor absorben en conjunto 1,006 —j'0,0 51, por unid ad de potencia . (53) De acuerdo eon las condiciones del problema, la tensión entre línea y línea es 13 200 V, o sea, 1,00 por uno, y por tan to, si se tom a como vector de referencia el representativo de la tensión de carga, el ve ctor corriente I en los transformadores y línea de transmisión es: I =
(46)
= 52,5 A, por fase de la estrella
Impedancia de base en los lados de secundario de los transformadores del extremo emisor 33 000 = —1 090 ohm por fase del triángulo. (49)
(43) (44)
Las intensida des de base se determinan a partir de los kV A de base divididos por las tensiones de base en kilovolt. Así, para los devanados del transformador conectados en triángulo, 3 carga Intensidad de base para secundarios transformador extrem
* 19,08
Los valores base de las impedancias se determinan a partir de las tensiones de base divididas por las intensidades de base. Así, Impedancia de base en los lados de secundario de los transformadores del extremo de carga 13 200 = — — — =1 74 ohm por fase del triángu lo. (48)
Solución: El primer paso de la resolución es elegir valores base conveni entes res
kV A de base = 3 000 kV A, trifásica = 1 000 kV A, por fase.
S3S
y para la línea de transmisión de 33 kV,
(39)
potencia compleja tensión
=
1
' ^—í 0, 05 1 por unidad de intensidad. <
6
(54)
La impedancia equivalente de los transformadores del extremo receptor referida a sus lados de los secundarios conectados en triángulo viene dada por la ecuación (15) por
Z = 1,71 +¿9,3 3 oh m R
TRANSFORMADORES
536
CIRCUITOS EQUIVALENTES
de donde, como fracción de la impedan cia de base de las fases del triángulo (ec. 48), 1,71 + ¿9,33
Z
x
V de base _ ( V de baseJ/V3 Zy de base = IY de base \/3(I de V¿¡ de base Y
?
E
Lu - -
174 = 0,0098 + ¿0,0535, por unidad de impedancia. (55) Obsérvese que, aun cuando los transformadores del extremo receptor están conectados en triángulo, el valor en tanto por uno de la impedancia triángulo dado por la ecuación (55), es también el valor en tanto por uno de la impedancia estrella equivalente, y el factor /, que convierte las impedancias triángulo en estrellas equivalentes según la ecuación (13) ya queda explicado por la diferencia entre los valores de base correspondientes a las impedancias conectadas en triángulo y en estrella. Es decir, en función de los valores, en ohm, la ecuación (13) da Zy(ohm) = V>Zd(ohm) Pero,
53
De donde la impedancia equivalenteZ de los transformadores del extremo emisor es:
y = =0,0 E -j-800 por uni dad 1
,
,. (61) fi
p
RE — -p — 0,0098 por unidad
(6 2)
X = VZ*.— R*= 0,0794 por un idad E
o sea,
(6á)
Z = 0,0098 + ¿0,079 4 por unidad de impedancia. E
)
(64
tZ 2T ° ' ° l ^tremo emisor estén conectados en triángulo en el lado de sus secundarios, el valor Zdedado en la ecuación (64), es también igual al valor en tanto por uno de la impedancia de la estrella equivalente La impedancia de la línea de transmisión viene dada por t
d
ansf o r mad
r esd e
E
g
A
Zima =7,3 + j
18,2 ohm
A
3(ij de base)
7a(Zj de base).
(56)
o como fracción de la impedancia de base de una fase de la estrella (ec. 50), 7,3+¿18,2
7
Luego,
¿linea = ZY
(por uno) =
Zy(ohm) Zy de base
^~
363 = 0,0201 + ¿ 0,0501, por unidad de impedancia.
V>Z,i(ohm) l>(Z¿ de base)
l
(65)
Por tanto, el sistema se reduce al presentado en la figura d, que 3 comprende una Zj(ohm) Z,,(por uno). (57) impedancja en sene cuyo valor en tanto por uno es comprend e una Z¿ de base ZE + Zunea + = Z 0,040 + ¿ 0,183, por uni dad de impedancia. (66) y Así pues, el valor en tanto por uno de la impedancia de una fase del triángulo de los transformadores del extremo receptor (ec. 55), es también el valor en tanto por uno de la impedancia de una fase de la estrella equivalente. Además, el factor de conversión o caída de t f * del generador en tanto por uno sumando la que transforma los valores óhmicos de la impedancia del lado del secundario en sus 17° ^ ^ > tensión en tanto valores óhmicos referidos al primario, se pueden suprimir cuando se expresan las impe llr^ZZZ dancias en tanto por uno, ya que la razón de la impedancia de base del primario a la del IZ = (1,006—¿0,051)(0,040 + ¿0,183) secundario es también iguala',a y por tanto, los valores en tanto por uno de la impedan = 0,049 + ¿ 0,182,por unidad de tensión (67) cia son los mismos al referirlos a uno u otro lado V = 1,000 + ¿ 0 Por tanto, la ecuación 55, da también el valor en tanto por uno de la impedancia de la estrella equivalente de los transformadores del extremo receptor referida a los E = suma = 1,049 + ¿ 0,182 lados de primario. Las conversiones de las ecuaciones (25) y (26) que deben hacerse =E 1,065, por un idad de tensión (70) cuando se utilizan valores en ohm resultan, pues, innecesarias cuando se expresan las impedancias en tanto por uno. ^ " ^ ** •« L065 multiplicado por su Las impedancias equivalentes de los transformadores del extremo receptor se pueden vlTor^base, T ^ t calcular a partir de los datos en cortocircuito dados en el apartado 2 o, los cuales pueden 1,065 x 110 000 = 117 000 V, entre línea y línea. (71) convertirse a valores en tanto por uno de la siguiente manera: R
2
U
a h 0
a de
t
mi
na
rs
e
la
tens
ió
k
d e l
¡mp 6d an0Ía
™
a
(68)
9)
subc entr
tensión en cortocircuito tensión de base en elA =
2 640 33 000
0,0800, por uni dad de tensión
intensidad en cortocircuito 30,3, ;^7^„ A A A—ü —A — , ñ ~ L^O, por unidad de intensidad intensidad de base en elA 30,3 =
N
=
k\V en cortocircuito 9,81 k VA de base por fase Tooo j Véase el apartado 6 del capítulo X IV .
0,0098, por uni dad de potenc ia,
(58) (59) (60)
al
(6
d eber a
Este valor concuerda con la solución dada en la ecuación (39). PROBLEMAS
TRA
538
CIRCUITOS
NSFORMADORES
dora hay dos bancos de transformadores en triángulo-estrella conectados en paralelo, teniendo cada transformador una potencia nominal de 5 000 kVA . E n la subcentral hay tres bancos de transformadores iguales en estrella triángulo conectados en paralelo, teniendo cada uno de los transform adores una potencia nominal de 3 333 kVA¿ Los datos en cortocircuito de uno de los transf ormadores de 5 0 00 kV A son: Potencia de entrada = 35,0 kW Tensión = 790 V Intens idad = 758 A Los datos en cortocircuito de uno de los trans formador es de 3 333 k V A son: Potencia de entrada =18,6 kW Tensión = 4 850 V Intensidad = 52,4 A Las corrientes de excitación de los transformadores son despreciables. La linea de transmisión puede representarse por el circuito equivalente de la figura 4. Considérese el funcionami ento para una carga de 30 000 k V A a un factor de potenc ia inductivo de 0,92 y 11 000 V. a) Indica r el circuito equivale nte de una fase del sistema total (línea a neutro) referido a la línea de 110 000 V. 6) ¿Cuál es la tensión de la línea en la centra l generadora? c) jCuál es la intensidad de la corriente de la linea en la central generadora? d) ¿Cuál es el factor de poten cia en la central generadora? 10+j36ohm 10+j36ohm
EQUIVALENTES
Horas
Carga
Factor de potencia
5 3 2 14
1 200 kVA 900 kVA 300 kVA 0
0,88 inductivo 0,91 inductivo 0,65 inductivo •
a) De termi nar la mínima potencia nominal de los transformadores monofásicos standard que sean satisfactorios para esta aplicación. b) Ha ll ar el rendimie nto energético del banco si los transformadores tienen una impedancia equivalente en tanto por uno de 0,0082 j 0,040 +y una pérdida en el nú cleo en tanto por uno de 0,012. Supóngase que la tensión en la carga se mantiene constante e igual a 2 400 V. 4. Un a fábrica consume potencia trifásica suminis trada por una subcentral situada a una cierta distancia como se indica en la figura 5. Los transformadores monofásicos conectados en estrella-triángulo en la carga tienen cada uno de ellos una potencia no minal de 333 k V A e impedanci as equivalent es de 0,145 j 0,780 + ohm, referidas al lado de alta tensión. La línea de distribución tiene una impedancia por hilo de 0,140 ohm. +j 0,510 Suponiendo puramente reactivas las impedancias de los transformadores de la sub centr al, ¿cuál-sería el valor límite de la impedancia equivale nte de estos transforma dores si la regulación de tensión de la línea y los transformadores debe mantenerse al 10% para plena carga a un factor de potencia 0,9?
Subcentral
23 00 0v *< ^ ^
A-Y F io . 5.
F io . 4.
Circuito de transmisión de potencia, problema 1
2. Ocho bancos triángulo-estrella, cada uno de ellos constitu ido por tres transfor madores monofásicos de 11 500 kV A, están conectados en paralelo entre las barras de 13,8 kV y 230 kV de una central hidroeléctrica. Estos transformadores tienen una resistencia del 0,50 %, una reactancia del 10,0 %, una pérdida en el núcleo de 0,36 %, y una corrien te de excitación del 5,0 %. Determinar, en las condiciones de plena carga, el rendimiento y la regulación de estos transformadores para a) Facto r de potencia 0,80 carga inductiv a, b) Fac tor de potencia 0,80 carga capacitiva. c) Fact or de potencia unidad. 3. Un a carga trifásica equil ibrada que funciona a 2 400 V debe alimentarse a través de transformadores por un sistema trifásico equilibrado de tensión nominal entre línea
539
y línea de 13 800 V. Los transformadores deben conectarse en estrella-triángulo, siendo el lado de alta tensión el conectado en estrella. La carga tienB un trabajo de régimen dia rio dado aproximadamente por los siguientes datos:
4160v
j
>
c
5
240v Carga
Y-A
Sistema de distribución, problemas 4 y 5
5. Considérese en el sistema de distribución del problema 4 que los transforma dores de la subcentral tienen, cada uno de ellos, una potencia nominal de 500 kVA y una impedancia equivalente de 0,0 81 j +0,710 ohm referida a sus lados de baja tensión. Dibujar el circuito monofásico equivalente (línea a neutro) y convertir todos los valores en tantos por uno sobre una base trifásica de 1 500 kVA.
CA
PIT
UL
O
XX
ARMÓNICOS EN LOS CIRCUITOS TRIFÁSICOS
III
541
En las dos próximas secciones de este apartado se estudian las dos razones de esta diferencia. la. Terceros armónicos.Consideremos en primer lugar los terceros armónicos de las corrientes en el triángulo. En la figura 2 a pueden verse tres corrientes i ÍAB, ÍBC,que tienen formas de onda exactamente iguales y defasadas en un tercio' de período, o sea 120°. Estas corrientes contienen terceros armónicos que dan lugar
Fenómenos de armónicos en los circuitos trifásicos
CA
En los transformadores monofásicos suelen despreciarse los armónicos de la corriente de excitación a causa de su pequenez. En muchos problemas en los que intervienen bancos trifásicos de transformadores pueden, también, despreciarse como se hizo e n el capít ulo X X I , donde las corrientes de excitació n se representan por ondas sinusoidales. Sin embarg o, las peculi aridades de los fenóme nos de armó nicos en sistemas trifásicos pueden, en algunas ocasiones, ejercer efectos importantes sobre las características del sistema, particularmente en el comportamiento de los bancos estrella-estrella de transformadores monofásicos. Además, a pesar de su tamaño relativamente pequeño, los armónicos de la corriente de excitación en un banco trifásico de transformadores pueden, en ciertas condiciones, indu cir en los circui tos de comunicaciones próximos tensiones que interfieran seriamente con el funciona miento adecuado de dichos circuitos. Los técnicos enc argados de sistema s de poten cia y de circui tos de comunicaciones debe rán estar preparados para i mpedi r situaciones de ese tipo. A continuación se estudiarán estos fenómenos de armónicos. 1.
PBM ARIOS CONECTAD
OS EN TRIÁNGUL O
De momento, consideremos tres transformadores con sus primarios conectados en triángulo, estando sus secundarios en circuito abierto y no conectados entre sí. Si los transformadores son exacta mente iguales y están equilibradas las tensiones de la línea, las formas de onda de las corrientes de excitación de los transformadores son iguales, pero están defasadas en 120°. Si las tensiones de línea varían sinusoidal¬ mente, las formas de onda de las co rrientes de excitación tienen la forma general indicada en la figura 9 del capítu lo VI . Así pues, las forma s de onda de las corrientes de excitación itpCA e ÍQAB en dos de los transforma dores son de la forma indicada en la figura 1 por las ondas picudas. Fi o. 1. Formas de onda de las corrientes de La corriente ae excitació n sumini s excitación en dos fase s del triángulo y enuna de las líneas que alimenta un grupo de primarios trada por la línea A es: conectados en triángulo
Í
iipCA
y está representada por la onda con doble cumbre. Obsérvese que la forma de onda de las corrientes de excitación en las líneas es muy diferente de la forma de onda de las corrientes de excitación en los transformadores conectados en triángulo. 540
(1)
F i a 2. Corrientes del triángulo equilibradas y sus terceros armónicos; a) formas de onda t>) diagrama vectorial de los armónicosfundamentales c) dyiagrama vectorial de los terceros arm ónicos
a una forma de onda picuda, análoga a la de las corrientes de excitación. Como ÍAB esta retrasada respecto a i en un tercio de período, el tercer armónico de % B está retrasado respecto al tercer armónico de i en tres tercios de período, o sea un período completo del tercer armónico, según se ve en la figura 2a. Los terceros armónicos de las corrientes se hallan, pues, en concordancia de fase *, según puede verse t ambién en el diagrama vectoria l de la figura 2c. Si i e Í A son las corrientes que circulan por las fases AB y CA del triángulo, la corriente i en la línea es su diferencia, según indi ca la ecuaci ón (1). L a diferencia entre las component es funda mentales est á representada v ectorial mente en la figura 26. En cambio, la diferencia entre los terceros armónicos instantáneamente iguales es cero. CA
A
CA
AB
C
A
* En la terminología de las co mponentes simétricas se llama a los terceros rmónicos a com ponentes de secuencia cero. En el apartado 4 del capítulo XX I V se realiza un breve estudio de uw aplicaciones de la teoría de las componentes simétricas a los transformadores.
542
TRA
NS FORMADO RES
^ Por tanto, cuando l os transformadore s son iguales y las tensiones están eq librada s, no podrán circ ular po r las líneas terceros armónicos de las corrientes
ARMÓN ICOS ui .^
No obstante, si las tensiones de línea varían sinusoidalmente, las corrientes de excitación de los transformadores conectados en triángulo deberán tener terceros armónicos a causa de la no linealidad de las características magnéticas de los núcleos*. Estos terceros armónicos, por ser iguales en cada instante y de igual sentido a lo largo del triángulo, no hacen más que circular por los primarios del triángulo, pero no aparecen en las líneas. Con el mismo razonamiento puede demostrarse que todos los armónicos de orden múltiplo del tercero —sexto, noveno, etc.— se comportan en los circuitos trifásicos de igual forma que el tercero. Por ejemplo, el defasaje entre los armónicos novenos es de nueve tercios, o sea tres períodos enteros, por lo que dichos armónicos novenos se hallan en concordancia de fase y se comportan como los terceros armónicos.
EN
LOS
CIRCUI TOS
TRIFÁSI COS
543
Si las corrientes i e i están constituidas por los armónicos fundamental y quinto de las corrientes de excitación de dos de los transformadores conectados en triángulo, la corrientei que circula por la línea es su diferencia, según indica la AB
CA
A
^ Así pues, cuando el c ircuito está perfectamente equilibrado, por un triángulo podrán circular los armónicos tercero, sexto, noveno, etc. de las corrientes, sin que circulen por las líneas que-alimentan al triángulo.^ Au n cua ndo tres tran sfor mado res de ig ua l diseño pue den tene r caracte rísticas casi iguales, es imposible alcanzar una i dentidad exacta en los materiales y conjuntos, y en consecuencia, por las líneas podrán circular corrientes que tengan un tercer armónico débil y múltiplos del tercer armónico también pequeños, srcinados por las desigualdades en las características de excitación de los tres transformadores. Corrientemente, sólo aparecen armónicos impares. 16. Quintos armónicos. La s formas de onda de las corrientes que cir cul an por el triángulo y por la línea no sólo difieren en que las primeras tienen tercer armónico y las segundas no (para transformadores exactamente iguales), sino también por una segunda razón que concierne a los efectos del quinto armónico de las corrientes de excitación. En el ejemplo del apartado 10 del capítulo VI, la intensidad eficaz del quinto armónico es aproximadamente igual al 10 % de la intensidad eficaz de la corriente de excitación y el quinto armónico se suma al valor de pico. En la figura 3a pueden verse dos corrientes picudas iguales, ÍCA e ÍAB que contienen quintos armó nicos. ComoÍAB está retrasada respecto aÍCA en un tercio de período, el quinto armó nico de ÍAB está retrasado respecto al quinto armónico de ÍCA en cinco tercios de perío do de los quintos armónicos, como se indic a en la figura 3 a. E sto e quiva le a un retraso de dos tercios, o a unadelanto de un tercio de período del quinto armónico.
F io . 3. Corrientes en la línea y en el triángulo que contienen quintos armónico al formas s; de onda, b) diagrama vectorial de los armónicos fundamentales, c) diagrama vectorial de los quintos armónicos
ecuación (1). En los diagramas vectoriales puede verse que el armónico fundamental de la corriente de líneai tiene una i nten sida d V "3 veces ' m ayo r que el armónico fundamental de las corrientes en el triángulo y está retrasado respecto al armónico lundamental de i en 30°, o sea, un doceavo de período, mientras el quinto armó nico de i es y 3 veces mayor que el quinto armónico de las corrientes del triángulo, pero esta adelantado respecto al quinto armónico dei en 30» del quinto armónico, es decir, en un doceavo del período del quinto armónico. Así pues, el defasaje entre ^ Así pues, el orden de fases para los qu intos armónicos esinverso el del orden armónicos fundamental y quinto de las corrientes de línea es diferente del defasaje de fases para los armónicos fundamentales **. Es decir, cuando el armónico funda entre dichas componentes de las corrientes del triángulo y, aun cuando las corrientes mental ÍABI está retrasadorespecto al armónico fundamental ÍCAI en un tercio de ae la linea y del triángulo contengan los armónicos fundamental y quinto en la misma su período, el quinto armónicoÍABS está adelantado respecto a) quinto armónico proporción, sus formas de onda son diferentes a causa de la rotación de fase. Las ÍCAS en un tercio de su período de quinto armónico. En las figuras 36 y 3c pueden corrientes en el triángulo son ondas picudas mientras que las corrientes en la línea verse estas relaciones de fase representadas vectorialmente.^ son ondas con cumbre doble, según se indica en las figuras 1 y 3a. * En el apartado 10 del capítuloVI se vio que la corriente de excitación de un transforma le Resumen de los defasajes entre armónicos. Puede verse fácilmente que el dor normal para sistema de potencia debe tener un tercer armónico cuya intensidad es alrededor •oraen de fases de los armónicos fundamental, cuarto, séptimo, etc., en un circuito del 40 % de la del armónico fundamental, cuando el flujo varía sinusoidalmente. ** En la terminología de las compo nentes simétricas, los quintos armó nicos son corrientes tritasueo es el mismo ; que el orden de fases de los armónicos segundo, q uin to octav o, de secuencia negativa. Undécimo, etc., es el inverso del orden de fases de los armónicos fundamentales- v A
AB
A
AB
TRANSFORMADORES
544
ARMÓNICOS EN LOS CIRCUITOS
que los armónicos tercero, sexto, nov eno, etc., están en conco rdanc ia de fase. Si es A BC el orden de las fases de los armónicos fundamentales, estos hechos se resumen en la tabla siguiente, la cual no sólo es aplicable a los armónicos de las ondas de corriente, sino también a los armónicos de las tensiones. Corrientemente sólo existen armónicos impares.
TRIFÁSICOS
545
este efecto de los terceros armónicos de las corrientes rara vez tiene mucha impor tancia práctica y a menudo se desprecia, explica ciertos fenómenos que a primera vista pudieran parecer enigmáticos. Por ejemplo, cuando tres transformadores iguales se conectan en triángulo a una línea trifásica equilibrada y se miden las ten siones e intensidades de la línea, la potencia trifásica de excitación \¡ 3 V altínea es menor que el triple de los volt-ampere de excitación de un sólo transformador que se obtendrían en un ensayo monofásico a la misma tensión. Sin embargo, la potencia trifásica de entrada total debe ser la suma de las pérdidas en los núcleos de los tres transfo rmador es. AsL pues, el factor de potencia trifásico en vacío de un banco conectado en triángulo es superior en un pequeño tanto por ciento al factor de potencia monofásico en vacío de las unidades. le. Conexiones triángu Los terce ros armó lo-estrella y triánguld-triángulo. nicos de las corrientes de excitación de los primarios conectados en triángulo srcinan caídas de tensión de la frecuencia de) tercer armónico en la impedancia de fuga de cada transformador. Como la tensión sinusoidal aplicada es igual a la caída de ten sión debida a la impedancia de fuga del primario más la fuerza contraelectromotriz generada por el flujo mutuo, esta fuerza electromotriz debe contener un tercer armónico igual y opuesto al tercer armónico de la oaída de tensión en la impedancia de fuga y, en consecuencia, el flujo mutuo debe ajustarse por sí mismo de manera que genere esta pequeña tensión del tercer armónico, la cual suele ser solamente de un 0,1 % de la tensión nominal. Por tanto, en los secundarios se generará también liM
DBFASA JES EN TRE LOS ARMONICOS EN CIRCUIT
Armónicos 1, 4, 7, 10, 13, etc. 2,.5, 8, 11, 14, etc. 3, 6, 9, 12, 15, etc.
OS TRIFASI COS
Orden de las fases ABC (secuencia positiva) CBA (secuencia negativa) en fase (secuencia cero)
Id . Intensidades eficaces de las corrientes en el triángulo y en la linea.
Debido
a la ausencia de terceros armónicos en las corrientes de línea, la intensidad eficaz de las corrientes de línea en vacío no esV 3 por la intensidad eficaz de la corriente de excitación de los transformadores conectados en triángulo, sino que es menor. Así pues, si I J , etc., son las intensidades eficaces de los armónicos en los tres transformadores exactamente iguales, la intensidad eficaz I j de las corrientes de excitación de los transformadores es: vv
V 3
9
V ¿«+ +*«+•••• I A = *h
(
V
2
)
Como las intensidades eficaces de los armónicos de la corriente de línea son \/ 3 veces mayores que las intensidades de los armónicos correspondientes en las corrientes del triángulo, pero en la corriente de línea no existen ni el tercer armónico ni armó nicos de orden múltiplo del tercero, la intensidad eficaz I anea de lascorrientes de línea es: V
I. linea = V 3 V
+ 0 ••• + I», . +
(3)
Si se desprecian los armónicos de orden múltiplo del tercero,
I
(4)
3
En el ejemplo del apartado 10 del capítulo VI, la intensidad eficaz del tercer armó nico era el 41,5 % de la de la corriente de excitación del transformador. Así pues, si se conectan en triángulo tres de dichos transformadores, la corriente en la línea sería:
Im linea = V 3 V
(0,415J j) ?
2
= há V~3 V 1 — 0,415
a
= 0,91\¡~%I. 9A
(5)
Es decir, como en el triángulo hay terceros armónicos pero no en las líneas, la razón de las intensidades de las corrientes de línea a las de las corrientes de las fases en triángulo es menor que el valorY 3 aplicable a corrientes sinuosidales. Aun cuando
una pequeña fuerza electromotriz de la frecuencia del tercer armónico. Como las formas de onda de las fuerzas electromotrices generadas en los tres transformadores iguales son iguales pero defasadas un tercio de período, los terceros armónicos de las fuerzas electromotrices de los secundarios de los tres transformadores serán iguales y defasadas tres tercios de período del tercer armónico, y por tanto están en concor dancia de fase. Si se conectan los secundarios en estrella con el neutro aislado, los terceros armó nicos de la corriente de excitación necesarios para permitir que las variaoiones casi sinusoidales de los flujos mutuos queden confinadas a los primarios en triángulo y las caídas de tensión en la impedancia de fuga de los primarios, aparecen como pequeñas componentes de las tensiones de los secundarios respecto al neutro pero, según se ve en el apartado2d, estos terceros armónicos no se hallan presentes erí las tensiones entre línea y línea. Sin embargo, si se conectan en triángulo los secundarios, los terceros armónicos de las tres tensiones de secundario están en fase en el mismo sentido a lo largo del triángulo y por tanto producen una débil corriente de la frecuencia del tercer armónico en el triángulo de secundarios. Así pues, los terceros armónicos de las corrientes de excitación se encuentran tanto en los primarios como en los secundarios en trián gulo, y las fuerzas magnetomotrices de la frecuencia del tercer armónico necesarias para permitir las variaciones casi sinusoidales de los flujos mutuos las crean los efectos combinados de estas corrientes de excitación de los primarios y de los secundarios. Puede demostrarse que las intensidades de los terceros armónicos de las corrientes de excitación en los triángulos de primarios y de secundarios son inversamente pro porcionales a las impedancias de fuga de primario y secundario a la frecuencia del tercer armónico, estando referidas a un mismo lado las intensidades y las impedancias.
546 2.
TRANSFORMADORES
PRIMARI OS CONEC TADOS
ARMÓN1C0S EN LOS CIRCUITOS
EN ESTRELLA
Puesto que, según se vio en el apartado 2 de l capítulo X X I , las carac terí stic í de la conexión en estrella se hallan muy influidas por el aislamiento del neutro c los primarios, el estudio que sigue se subdivide según que el neutro del primario esl aislado o conectado al neutro del generador y según que los secundarios estén conei tados en estrella o en triángulo. En determinadas circunstancias, las corrientes que circulan por una línea trifásic de potencia pueden inducir tensiones nocivas en circuitos paralelos de comunicí ciones. En este apartado se incluye un estudio breve de dicha interferencia inductivi porque las corrientes perjudiciales que circulan por las líneas de potencia suelen se r 1( terceros armónicos de las corrientes de excitación, generados en los devanados en e¡ trella de transformadores cuyo neutro está conectado al neutro de algún otro sistemi 2o. Conexión estrella-estrella: Neutro de primarios conectado al neutro del gen radqr. Consideremos, en primer lugar, el ejemplo sencillo de un banco estrelh estrella de tres transformadores monofásicos exactamente iguales cuyos secundario estén en circuito abierto. El neutro de los primarios está conectado al noutro de u generador trifásico conectado en estrella cuyas tensiones so n sinusoidales y está equilibradas, como se indica en lafigura 4a. En la figura 46 pueden verse los oscilt
TRIFÁSICOS
547
cordancia de fase (según se vio en el apartado la), por lo que el tercer armónico de la comente que circula por el hilo neutro tiene una intensidad triple de la de los terceros armónicos de las corrientes de excitación de los transformadores. En la tabla del apartado le puede verse que solamente están en fase los terceros armónicos y los de orden múltiplo del tercero; todos los demás armónicos de las tres corrientes de excitación están defasados 120°. • P or tant o, cuando los transformadores son iguales y e stán eq uilibrad as las tensiones, la corriente que circula por el neutro sólo contiene los armónicos impares de frecuencias múltiplos de la del tercero. Los armónicos a partir del noveno suelen ser muy débiles, por lo que la corriente que circula por el neutro es aproximada mente una onda sinusoidal de frecuencia triple cuya intensidad eficaz es aproxi madamente igual al triple de la intensidad eficaz del tercer armónico de las corrientes de excitación de los transformadores. ^ En el oscilograma de la figura 46 puede verse este hecho. La pequeña componente de frecuencia fundamental de la corriente i que circula por el neutro se debe a pequeñas desigualdades entre las características de excitación de los tres transfor madores. N
Los terceros armónicos de las corrientes de excitación producen pequeñas caídas de tensión de la frecuencia del tercer armónico en las impedancias de fuga de los primarios de los transformadores y por tanto, cuando varían sinusoidalmente las tensiones respecto al neutro los primarios, las débiles. fuerzas Estos electromotrices inducidas por el flujo mutuo aplicadas contienen aterceros armónicos aparecen como componentes pequeñas de las tensiones de los secundarios respecto al neutro si bien no se hallan presentes en las tensiones entre línea y línea de los secundarios, según se ve en la parted) de este apartado.
(a) Fi o. 4. Banco estrella-estrella de transformadore a) s;conexiones, y b) oscilogramas c la tensiónVÁíl del primario respecto al neutro, de la corrientede excitación corrienl i y de la i¡¡ que circula por el neutro de los primarios
gramas de la tensiónV N aplicada a uno de los transformadores, de la corriente \A de excitación de este transformador y de la corriente i que circula por el hilo neutro. Cuando la tensión aplicada es sinusoidal, la corriente de excitación sólo contiene armónicos impares, siendo el tercero el más importante de los superiores. Si son iguales los tres transformadores y están equilibradas las tensiones, las corrientes de excitación i , i^ e i son iguales salvo en la fase, pues están defasadas en 120°. N es la suma de las corrientesi
N
vA
B
vC
A
V
wC
Para mantener un sentido de la proporción adecuado, convendrá hacer un comentario acerca del orden de magnitud de las corrientes de excitación. La corriente de excitación en un transformador ordinario para sistemas de potencia suele ser un 5 /„ de la intensi dad nomi nal y como el tercer armónico es un 40 % de l a corrien te de excitación, resulta ser un 0,4x 5, ó sea un 2 % de la intensidad nominal. La comente que circula por el neutro tiene, pues, una intensidad del mismo orden de magnitud que las corrientes de excitación que circulan por los tres hilos de la línea, siendo todas estas intensidades iguales solamente a un pequeño tanto por ciento de la intensidad nominal. Au n cua nd o las caracter ísticas de un ban co est rell a-e stre lla suel en ser satis fac torias cuando se conecta el neutro de los primarios al neutro del generador, los terceros armónic os de las corrientes de línea result antes de esta conexión pueden ocasionar una interferencia inductiva molesta en los circuitos de comunicaciones paralelos según se verá a continuación. .26. Interferencia inductiva ocasionada por el tercer armónico de las corrientes de excitación. Au n cuando la intensidad efica z del tercer armónico de la cor riente de excitación suele ser solamente un 2 % de la intensidad nominal a plena carga de las comentes de línea, el efecto inductivo de las corrientes de excitación sobre un circuito de comunicaciones paralelo al circuito de potencia puede sermayor que el electo de las corrientes trifásicas equilibradas de plena carga que circulan por las líneas de potencia. Por ejemplo, consideremos la figura 5 en la que puede
TRANSFORMADORES
548
ARMÓNICOS EN LOS CIRCUITOS TRIFÁSICOS
verse la línea de potencia trifásicaABC y una línea telefónicaab descubierta. Para mayor sencillez, supondremos que ambos circuitos están en un mismo plano. Los sentidos de las corrientes en la línea de potencia * "| los supondremos positivos hacia afuera del obserl vador, tal como indica n las aspas que representan 1 las colas de flechas dirigidas en el sentido positivo. J La s corrient es que circul an por la línea de poten• , , j cia crean un campo magnético que abraza al cir(x) ® 0 * i* cuito de comunicación y que está representado 1 por el vector B inducción magnética resultante, A B C que es la suma de las componente s creadas por B Fío. 5. Circuitos paralelos de pocada corriente ac tuan do por su cuen ta. Según la tencia y de comunicaciones ley de B iot y Sav art , las inducci ones magné ticas componentes son proporcionales a las inten sidades instantáneasi , ÍB, icde las corriente s e inversamente proporcionales a las distancias x , x , x de los conductores de la línea de potencia hasta el punto en cuestión; así, A
Á
B
c
=B«o l
(2i , 2ÍB r
2i \ —I .
A
"\XA
r
(6)
c
X
*Cj
B
549
mente débiles de las corrientes trifásicas pueden enviar a través del circuito de comu nicación un flujo mayor que el debido a los armónicos fundamentales equilibrados, mucho más intensos. Además, la variación en unidad de tiempo del flujo del tercer armónico es triple que la variación del flujo del armónico fundamenta] y por tanto la tensión de frecuencia triple inducida en el circuito de comunicación por un flujo dado del tercer armónico es tres veces mayor que la tensión de frecuencia funda mental que inducir ía un flujo fundamental i gual. Además, la respuesta de un receptor telefónico y del oído a una señal de frecuencia triple de la fundamental de un sistema ordinario de potencia es mayor que la respuesta a una señal de frecuencia funda mental de igual intensidad. Todos estos factores tienden a que la interferencia inductiva debida a terceros armónicos relativamente débiles de la línea de potencia sea más perjudicial que la interferencia debida a armónicos fundamentales equi librados mucho más intensos. Cuando sea necesario exponer un circuito de comunicación al aire libre a los efectos inductivos dé una línea de potencia, puede reducirse la interferencia traspo niendo adecuadamente la línea de comunicación. También es conveniente emplear conexiones de los transformadores del sistema de potencia que no permitan la circu lación de los terceros armónicos de las corrientes de excitación por el circuito de potencia. Por todo lo anterior, pueden no resultar convenientes los primarios conec tados en estrella con su neutro conectado al del generador. 2c. Conexión estrella-triángulo. Consideremos un banco de tres transforma
donde u es la permeabilidad del vacío. Esta ecuación es válida para cualquier sis tema de unidades no racionalizado. El flujo que abraza al circuito de comunicación dores igualesencuyos es la integral extendida al área encerrada por los dos hilos de comunicación, de la conectados serieprimarios a punto estén para conectados en estrella y cuyos secundarios estén inducción magnética B. conectar en triángulo, tal como se V Si están equilibradas las corrientes de la línea de potencia, las corrientes sinu indica en la figura 6; es decir, el soidales defasadas en 120° (tales como los armónicos fundamentales, quinto, séptimo, triángulo está abierto por un vértice. El neutro de los primarios se conecta etcétera de las corrientes trifásicas equilibradas) dan una suma nula en todo ins al neutro de un generador de tensio tante y si fueran iguales las distancias XA, X , X de los tres hilos de fase al circuito nes sinusoidales trifásicas conectado de comunicación, la suma de las inducciones magnéticas creadas por las corrientes en estrella. En el lado de los prima también s erí a nula . Es deci r, las inducciones magnéticas componentes creadas por las rios, el ba nco se comporta de igual corrientes de fase tienden a contrarrestarse entre sí, dependiendo la inducción magné manera que el banco en estella-estretica resultante de las diferencias entre las distancias x , x y x . La inducción magné 11a estudiado en la partea) de este F IG . 6. Ban co estrella-triángulo de transformado tica resultante creada por los armónicos equilibrados fundamental, quinto, séptimo, apartado; es decir, las tensiones de etc., de las corrientes de la línea de potencia es, pues, relativamente pequeña cuando res con el triángulo abierto por un vértice los primarios varían sinusoidalmen¬ las distancias x , x , x son grandes frente a las separaciones entre conductores de la te, cada transfor mador recibe su corriente de excitación de las líneas de l os prima línea de potencia. rios y los terceros armónicos de las corrientes de excitación regresan al generador No obstante, si la línea de potencia suministra la excitación a un banco estrellapor el hilo neutro, teniendo las formas de onda indicadas por los oscilogramas de la estrella de transformadores cuyo neutro de los primarios está conectado al neutro figura 46. del generador, las corrientes que circulan por la línea de potencia contienen terceros Los terceros armónicos de las corrientes de excitación crean pequeñas caídas armónicos. Para mayor sencillez, supongamos que la conexión entre los neutros de tensión de la frecuencia de los terceros armónicos en las impedancias de fuga de se realiza a través del suelo y que el efecto induc tiv o del tercer armónico de la co los transfor madores y por tanto las fuerzas el ectromotrice s indu cida s por el flujo rriente de tierra es despreciable debido a la altura a que. se encuentran sobre el suelo mutuo^ contie nen terceros armónicos débiles que aparecen como componentes los circuitos. Los terceros armónicos de las tres corrientes de línea están en fase y pequeñas de las tensiones de los secundarios de los transformadores. Como las fuerzas por tanto los valores instantáneos de las inducciones magnéticas debidas a los ter ceros armónicos se suman directamente *. Por tanto, terceros armónicos relativa¬ del capítulo XX IV , donde las corrientes de línea tienen igual intensidad y están en fase. En el * Es to es también cierto para inducciones magnéticas comp onentes creadas en determi análisis de circuitos trifásicos por el método de las componentes simétricas, dichas corrientes reciben el nombre decomponentes de secuencia cero. Véase el apartado 4 del capítulo XX I V . nadas condiciones de desequilibrio, tales como la ¡lustrada a la derecha de la avena de la figura 3 0
B
C
A
A
B
c
B
c
TRANSFORMADORES 550 , ^m ot ri ce s de la frecuencia de lo s tercero s armónicos están en fase en los tres rm aT or es la te nsión en el vérti ce ab ierto del t riángul o de secú ndanos conT un terc er af ón ic o triple de la fuerza electromotr iz inducida en cada secunt,«ne un t er ce P fundamenta es
e l C
^
Co mo
l o s
ar m
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cos
. ItLÓ etc de las tensiones en los tres secundarios son de igua l magnit ud nTtón defa Tdo s' 20» us sumas son nulas y por tanto entre lo s extremos del vértice n ^ n n «istü -án t ension es de est as frecuencias. Luego, si se desprecian los
dar y
f^
del triángulo no existirán ™ °™»* j i triángulo ar mó ni co s de or den sup er ior al sép ti mo l a t e ^ ^ ^ ^ secundarios sera el tripl e iguales los transformador es ar mó ni co ge ne ra da en ^ ^ ^ ^ ^ ¿t a tensión de l a frecuen cia ^^^7^ tensiones de secundario y las tensiones aplicadas t e
l
i ó
vér tic e
abier to
de
de
C
estén
U
o uand o
a la
s
reSSsTdela frecuencia del tercer armónico que da ri o cr e an la s ber zas m a g n e t o m o t r i c e ^ v sarias para permitir variaciones casi sinusoidales del nujc»enios como la conexión triángulo-triángulo estudiada en^P»^°J¿ e armónicosVg£ que al ocurre cerrar en el triángulo de secundarios, se reducen los terceros de corrientes de los primarios. V
A
(a) F io . 7. Banco estrella-triángulo con neutro aislado; a) conexio nes, y 6> oscilagramas de y y comente de excitación i en el la tensiónv respecto al neutro, corriente de excitación triángulo de secundarios A!l
A
f/i
Si se cierra el triángulo de secundarios y se desconecta el hilo neutro, como en v respecto al neutro, de la corriente la figura 7a, las formas de onda de la tensión de excitación v, en uno de los primarios y la corriente de excitación v, en el trian gulo de secundarios son las indicadas por los oscilogramas de la figura 7o. Los ter ceros armónicos de las corrientes de los primarios ya no pueden existir, por estar interrumpido su camino de retorno por el hilo neutro. Así, pues, la forma de onda de la corriente de excitaciónv< de la figura 76 es distin ta de la forma de onda de ÍPA de la figura 46 , siendo su diferencia pri nci pal la ausenc ia de terceros armónicos AN
ARMÓNICO S
EN
LOS
CIRCUITO S
TRIFÁSICOS
551
cuando está aislado el neutro de la estrella. El triángulo cerrado de secundarios, en cambio, proporciona un camino para los terceros armónicos de las corrientes, y las componentes de la frecuencia del tercer armónico de las fuerzas magnetomotrices necesarias para permitir las variaciones casi sinusoidales de los flujos mutuos las proporciona la corriente de excitación i , de la frecuencia del tercer armón ico que circula por el triángulo de secundarios. Como para crear esta corriente de frecuencia del tercer armónico en el triángulo es necesaria una fuerza electromotriz de dicha frecuencia, el flujo mutuo se ajustará por sí mismo para contener el tercer armónico requerido para generar esta pequeña fuerza electromotriz de secundario de la fre cuencia del tercer armónico. Por tanto, el flujo mutuo induce un tercer armónico de la tensión respecto al neutro del lado del primario pero, por lo general, este tercer armónico de la tensión es muy pequeño y la forma de onda de la tensión del primario respecto al neutro permanece esencialmente sinusoidal, según se ve en el oscilograma de VAN en la figura 76. De este estudio y del de las conexiones triángulo-estrella v triángulo-triángulo realizado en el apartado le, es posible sacar una conclusión importante referente a los efectos sobre los fenómenos de excitación de los devanados conectados en triángulo. v
^ La s corrientes de excitación de la frecuencia del tercer armónico necesarias para una variación sinusoidal del flujo ci-culan por los devanados conectados en triángulo de un banco triángulo-triángulo, triángulo-estrella o estrella-triángulo, pero (para transformadores exactamente iguales) no están presentes en las líneas trifásicas conectadas a los transformadores cuando se aislan los neutros de los deva nados en estrella de los otros sistemas de n eutros. ^ En cambio, las corrientes de excitación de la frecuencia del tercer armónico están presentes en las líneas que alimentan un banco estrella-estrella cuyo neutro de los primarios se conecte al del generador, y por tanto este montaje puede srcinar una interferencia inductiva perjudicial. Si, aislando los neutros de un banco estrellaestrella, se eliminan de las líneas las corrientes de excitación de la frecuencia del tercer armónico, las tensiones respecto al neutro pueden sufrir una gran distorsión, según veremos en lo que sigue. 2d. Conexión estrella-estrella con neutros aislados. El estudio que vamos a realizar es aplicable a un banco de tres transformadores monofásicos conectados en estrella-estre lla. En el apartado 1 del capí tulo XX V I se ve que un transform ador trifásico del tipo acorazado tiene esencialmente las mismas características que un banco de tres transformadores monofásicos y por tanto el estudio también sera aplicable a la conexión estrella-estrella de unidades trifásicas del tipo acorazado. En cambio, el estudiono es aplicable a un transformador trifásico del tipo de núcleo conectado en estrella-estrella; sus características de excitación, estudiadas en el apartado 2a del capítulo X X V I son marcadamente difer entes d e las de un b anco de tres transformadores monofásicos conectados en estrella-estrella. La conexión estrella-estrella de transformadores monofásicos sólo se empleara tras un estudio concienzudo de las condiciones en que ha de trabajar el banco, ya que la conexión tiene características que en determinadas circunstancias pueden ser perjucidiales e incluso peligrosas. Estas características se estudian a continuación. Consideremos un banco estrella-estrella de transformadores monofásicos con
ARMÓNICOS EN LOS CIRCUITOS TRIFÁSICOS
TRANSFORMADORES
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neutros aislados, excitados por un generador trifásico equilibrado cuyas tensiones tienen forma de onda sinusoidal. Supongamos que el banco no está alimentado a ninguna carea. Las conexiones son las de la figura 8a. Como el neutro de los primarios está aislado del neutro del generador, la suma instantánea de las corrientes de excitación suministradas al banco ha de ser nula; es decir la corriente d e excita ción suministrada a un transformador cualquier a ha de encontrar su camino de retorno al genera dor a t ravés de los pr im ar os de os otros transformadores. S egún se vio en el apartado 2b del capitulo X X I el resultado de esta interdependencia de las corrientes de excitación entre sí es que las tensiones en los transformadores están determinadas por sus características de excitación. Como tres transformadores tienen rara vez características de excitación exactamente iguales, aun cuando sean del mismo diseño, las tensiones respecto al neutro suelen estar más o menos desequilibradas, aun cuando estén equilibradas las tensiones entre línea v línea. Esta situación no es conveniente. El neutro aislado tiene también un efecto importante sobre los armónicos de la corriente de excitación. Para este estudio, supongamos que los transformadores tengan características de excitación exactamente iguales. En tal caso, las corrientes de excitación suministradas a los transformadores tendrán la misma intensidad y forma de onda, pero estarán defasadas un tercio de período. Por tanto, los terceros armónicos de las tres corrientes de excitación, si existieran, estarían en concor no . dancia de fase y su se rsuma ía nula _____
553
interesante comparar esta forma de onda con la de la corriente de excitación para flujo variable sinusoidalmente, representada en la figura 9 del capítulo VI. Cuando la variación de flujo es sinusoidal, la forma de onda de la corriente de excitación presenta un pico muy agudo, correspondiendo el pico de intensidad al instante en que se dobla el ciclo de histeresis en sus extremos. Este pico agudo de la corriente de excitación es causa del tercer armónico relativamente intenso de la corriente de excitación correspondiente a una variación sinusoidal del flujo. Cuando se suprime este tercer armónico por estar aislado el neutro de la estrella, se reduce la intensidad de pico de la corriente de excitación y la onda presenta frecuentemente una doble cumbre, como en la figura 86. La doble cumbre se debe principalmente a la presencia de quintos armónicos. Es interesante señalar que la doble cumbre de la onda de corriente de excitación indica un lacito del ciclo de histeresis que penetra en él cerca de sus extremos. Obsérvese que al aislar el neutro de los primarios sólo se suprimen los armónicos tercero y de frecuencias múltiplos de la de él. Todos los restantes armónicos de las tres corrientes de excitación podrán circular, ya que están defasados en 120° y sus sumas son nulas. • Como par a una variación sinusoidal de flujo es necesario un tercer armó nico de la corriente de excitación, la supresión de estos terceros armónicos de la corriente de excitación evita que el flujo varíe sinusoidalmente e introduce en los flujos en el núcleo terceros armónicos que inducen terceros armónicos en las tensiones de pri mario y secundario de cada transformador. A inducciones magnéticas ordinarias en núcleo, estos terceros de armónicos de las tensiones suelen ser de un a un 70 % del elarmónico fundamental la tensión respecto al neutro. Luego, aun30 cuando varíen sinusoidalmente las tensiones aplicadas a los terminales de la línea, la forma de onda de las tensiones respecto al neutro no será sinusoidal cuando el neutro del banco esté aislado del neutro del generador. ^ Como las relaciones entre las tensiones instantáneas entre línea y línea y entre línea y neutro son: VAB = VAN — V N (7) B
VBC = VBN — V N C
ve A = a) conexiones, y b) osci Fío. 8. Banco de transformadores monofásicos en estrella-estrella; v entre línea y línea, la tensión v respecto al neutro, la corriente de logramas de la tensión N de los primarios excitacióni y la tensiónv entre el neutroO del generador y el noutro ÁB
9A
A ÍI
0N
• No obstante, como la suma de las intensida des instantáneas de la s corrientes de excitación debe ser siempre nula a causa del neutro aislado, en las corrientes de excitación no podrán haber armónicos terceros ni de orden múltiplo del tercero y por tanto la forma de onda de la corriente de excitación en cada transformador es diferente de la forma de onda que se requiere para crear una variación sinusoidal del flujo en su núcleo. ^ El oscilograma de i
VCN — VAN,
(8) (9)
y como los terceros armónicos de las tres tensiones respecto al neutro y los armó nicos de orden múltiplo del tercero están en concordancia de fase y tienen igual valor, las diferencias entre los terceros armónicos de dos tensiones respecto al neutro cualesquiera, tales como las que figuran en los segundos miembros de las ecuacio nes (7), (8) y (9), son nulas en condiciones de equilibrio. • Lu ego en las tensiones respecto al neutro podrán haber armónicos terceros y de órdenes múltiplos del tercero sin que estos armónicos se hallen presentes en las tensiones entre línea y línea. ^ Sin embargo, en las tensiones entre línea y neutro no podrán aparecer otros armó nicos, a menos que se hallen presentes también en las tensiones entre línea y línea. Luego, si están equilibradas las tensiones entre línea y línea y varían sinusoidal mente, las tensiones entre línea y neutro contienen armónicos fundamentales de
ARMÓNICOS EN LOS CIRCUITOS TRIFÁSICOS
TRANSFORMADORES
554
valor eficaz igual al producto de 1/ V 3, ó sea 0,577 por el valor eficaz de las ten siones entre línea y línea y armónicos terceros y de órdenes múltiplos del tercero, cuyos valores eficaces están determinados por las características magnéticas no lineales del núcleo. Si se desprecian los armónicos noveno y siguientes y se suponen tensiones entre línea y línea sinusoidales, el valor eficaz VY de las tensiones respecto al neutro es: V = Y
VV
Y1
+ V\,
(10)
3
donde F Y I es la tensión eficaz del armónico fundamental y V es la tensión eficaz 30 y un 70 % del del tercer armónico. Este suele valer ordinariamente entre un armónico fundamental. Si, como valor representativo, se toma, Y3
VY3
=
0,50 PY!,
555
• En determinadas circunstancias, los fenómenos de resonancia pueden incre mentar en mucho los terceros armónicos de las tensiones. Esta condición peligrosa puede presentarse cuando se conecta el banco a una línea de transmisión o cable y está a tierra el punto neutro de los devanados de los transformadores, como se indica en la figura 9. ^ Con esta conexión, el neutro del banco de transformadores se halla al potencial de tierra y por tanto, aun cuando las tensiones de la frecuencia del tercer armónico inducidas en cada transformador no se hallen presentes en las tensiones entre línea y línea, aparecen como terceros armónicos de las tensiones entre los hilos de la línea y tierra. Estas tensiones de la frecuencia del tercer armónico crean corrientes de Línea de alta tensión
(11)
entonces, V
Y
= FYI ' U2FYI V1 + = 0
(
2 5
= 1, 1 2 ^, V3
-)
12
(13)
donde F«„„ es el valor eficaz de las tensiones equilibradas entre línea y línea variables sinusoidalmente, y donde los transformadores se supone que tienen características de excitación exactamente iguales. Así, el valor eficaz de las tensiones respecto al neutro ya no es F , / V 3 como se obtendría si variar an sinusoidalmente las tensiones respecto al neutro, sino que es mayor que este valor. Además, los valor es máximos de los armónicos fun dam ent al y terce ro de las tensiones respecto al neutro se tienen, aproximadamente, en el mismo instante del ciclo. Por tanto, la forma de onda de las tensiones respecto al neutro presentara un pico agudo, según puede verse en el oscilograma de v de la figura 86. La ten sión de pico en cada transformador es entre un 30 y un 70 % mayor que la tensión de pico del armónico y, por tanto, puede ser casi tan grande como el valor de pico de las tensiones entre línea y línea. Esta condición no es conveniente, ya que se aumentan los esfuerzos a que se somete el aislante debidos a la tensión, a causa de las tensiones de los terceros armónicos. Cuando están equilibradas las tensiones del generador en estrella y vanan sinu soidalmente, teniendo los transformadores características de excitación exactamente iguales, los terceros armónicos de las tensiones en los transformadores aparecen como tensiones de frecuencia triple entre el neutro del generador y el neutro de los pri V N en la marios de los transformadores, según puede verse en el oscilograma de figura 86 . Si se pone a tierra el neutro del generador, entre el neutro de los primarios y tierra existe una tensión de frecuencia triple cuyo valor eficaz suele estar compren dido entre el 30 y el 70 % de la tensión entre línea y neutro. Si no se pone a tierra ni el neutro del generador ni el de los primarios, las tensiones entre las líneas y tierra y entre el neutro de los primarios y tierra están determinadas por las capacidades de las líneas a tierra y de los devanados del transformador a tierra. f a
F io. 9. Caminos de las corrientes de la frecuencia del tercer armónico creadas cuando se co necta un banco estrella-estrella con neutro a tierra a una línea de transmisión larga. Hay que evitaresta conexión,ues p pod rían desarrollarseorp resonancia tercero s armónicos exce sivamente intensos
excitación dé igual frecuencia en los circuitos constituidos por las capacidades a tierra de los hilos de la línea en serie con los devanados a tier ra de los transformadores, tal como se muestra en la figura 9. Si las reactancias capacitivas para frecuencia triple de los hilos de la línea respecto a tierra son iguales a las reactancias magneti zantes para frecuencia triple de los transformadores, se estará en condiciones muy próximas a las de resonancia serie y los terceros armónicos de las tensiones entre línea y neutro pueden hacerse peligrosamente elevados. En estas circunstancias se han medido tensiones triples de la normal entre línea y neutro.
AN
0
3.
IGUALAC IÓN DE LA S TENSIONES DE ESTRELLA
LOS NEUTROS EN LOS
BANCOS ESTRELLA
A p esar de sus pec uli arid ade s, hay ocasiones en que conviene la conexión estre llaestrella. A veces se emplean bancos estrella-estrella con neutros aislados, estando más o menos desequilibradas las tensiones respecto al neutro y no siendo sinusoida les sus formas de onda. Conectando el neutro de lo s pri marios con el del generador pueden igualarse las tensiones respecto al neutro y eliminarse los terceros armónicos de las tensiones, pero la interferencia inductiva hace poco aconsejable esta disposi ción *. Si no es aconsejable conectar el neutro de los primarios con el del generador, existen otras manerag de lograr los mismos resultados. Vamos a describir dos de ellas. 3a. Transformad ores
de puesta
a tierra
en
estrella-triángulo. Los terceros
armónicos de las tensiones respecto al neutro de un banco estrella-estrella pueden ehminarse prácticamente e igualarse las tensiones de los neutros disponiendo" el *
Véaseel apartado 26.
-
556
TRANSFORMADORES
ARMÓNICOS EN LOS CIRCUITOS TRIFÁSICOS
557
transformadores de puesta a tierra están situados en la misma subcentral que el banco estrella-estrella. Au n cua ndo en condi cion es de equ ili bri o las únicas corrie ntes que cir cul an por los transformadores de puesta a tierra son sus propias corrientes de excitación más los terceros armónicos de las comentes de excitación del banco estrella-estrella, por los transformadores de puesta a tierra podrán circular corrientes intensas en el caso de un cortocircuito entre línea y tierra. En esas condiciones, las corrientes que circu lan por el banco estrella-triángulo son las indica das en la figura 3 de] capít ulo X X I V . Por tanto, los transformadores de puesta a tierra deberán tener una capacidad de transporte de corriente suficiente para soportar los efectos de las averías debidas a puesta a tierra de una línea. 36. Conexión estrella-estrella-triángulo.Lo s terceros armónicos de las tensio nes respecto al neutro de un banco de t ransformadore s monofásico s conectados en estrella-estrella se pueden reducir en gran ma nera y pueden igualarse las tensiones de los neutros si se añade a cada transformador untercer devanado, llamado terciario, y se conec Ban co Y- A Banco Y-Y tan estos devanados en triángulo, como se in Fi o. 10. Emple o de un banco estrella-triángulo de transformadores de puesta a tierra_ para dica en la figura 11. Con esta disposición de los igualar las tensiones de los neutros y eliminar los terceros armónicos de las tensiones en unbaoco circ uit os, los terceros armónicos de las cor rie nFi o. 11. Conexión estrella-estrellaestrella-estrella. Las flechas indican los circuitos para los terceros armónicos de las corrientes de excitación del banco estrella-estrella tes de excitación necesarios para mantene r las triángulo, variaciones sinusoidales de los flujos en los en la figura 10. En este circuito; los terceros armónicos de las corrientes de excitación núcleos podrán circular por el triángulo, como en la conexión estrella-triángulo descrita en el apartado 2c. La ventaja de este montaje es que los terceros armónicos del banco estrella-estrella circulan por sus secundarios, estando indicados sus cami de las corrientes de excitación no necesitan circular por las líneas en donde podrían nos en la figura 10. Cuando estas corrientes de frecuencia triple circulan por los. ocasionar interferencia telefónica. Si las características de excitación de los trans primarios del banco estrella-triángulo, inducen corrientes de frecuencia triple en sus formadores no fueran exactamente iguales, el triángulo de terciarios proporciona secundarios conectados en triángulo cuyas fuerzas magnetomotnces son casi iguales también un circuito por el que puede circular una corriente de excitación monofá y opuestas a las fuerzas magnetomotrices de frecuencia triple de las comentes que sica, o de secuencia cero, para compensar las desigualdades de las características circulan por los primarios. Por tanto, la impedancia introdu cida por el banco est rellade excitación y evitar el desequilibrio de las tensiones respecto al neutro que, de triángulo y que se opone a la circulación de los terceros armónicos de las corrientes otra manera, existiría en un banco estrella-estrella con neutros aislados. de excitación del banco estrella-estrella no es mas que la impedancia equivalente a la frecuencia triple del banco estrella-triángulo referida a su primario, la cual es rela El diseño de los devanados terciarios está determinado por las conexiones del tivamente pequeña. Como estas comentes de frecuencia triple son de igual intensidad sistema y los resultados que se espera obtener del triángulo de terciarios. Por ejemplo, y están en concordancia de fase (suponiendo exactamente iguales los transformadores si están aislados los neutros de los primarios y los secundarios y el triángulo de ter del banco estrella-estrella), sólo circularán por el triángulo de secundarios del banco ciarios no alimenta a carga alguna, las únicas corrientes que pueden circular por estrella-triángulo. Además de los terceros armónicos de las comentes de excitación los devanados terciarios son los terceros armónicos o corrientes de excitación de del banco estrella-estrella de la figura 10, circulan por los secundarios en triangulo del secuencia cero y en consecuenci a, los devana dos pueden ser relativam ente finos. otro banco, en la forma normal descrita en el apartado 2c, los terceros armónicos Sin embargo, el neutro de la estrella de alta tensión suele estar puesto a tierra, de las corrientes de excitación de éste y las líneas suministran los armónicos tundacomo en la figura 11, y a veces lo están ambos neutros. Én estas condiciones las ave mental, quinto, séptimo, etc., de las corrientes de excitación de ambos bancos. rías de puesta a tierra de las líneas de alta tensión pueden inducir corrientes muy intensas en los terciarios y éstos deberán poder soportar el calentamiento y las fuerzas A veces el ban co estrel la-triá ngulo al ime nta un a seg unda car ga, pero otras no mecánicas ocasionadas por ellas. A menudo, el triángulo de terciarios alimenta una se conecta ninguna carga al triángulo y el único fin del banco estrella-triángulo es carga; por ejemplo circui tos auxili ares de una subcen tral, o condensadores estáticos eliminar los terceros armónicos de las tensiones, igualar las tensiones respecto al o sincrónicos para regulación del factor de potencia y de la tensión. En estas con neutro de uno o más bancos estrella-estrella y proporcionar una tierra al sistema diciones, el triángulo de terciarios debe poder soportar los efectos de cortocircuitos exenta de los peligros debidos a la resonan cia del tercer armónico. A veces como entre s us propios ter minales. E n el capítulo XX V I I se reahza el estudio de l os transforma dores de puesta a tierra se emple an a utotransfor madores conectados en transformadores de tres devanados bajo carga. zigzag, según se describe en el apartado4a del capít ulo XX V . Normalmente, lo s
circuito de manera que puedan circular por los secundarios las corrientes de excita¬ ción necesarias para estos fines. Un método para lograr este resultado es el indicado en la fbmra 10 en donde se conecta a los terminales del banco estrell a-estrella cuy as tensiones de los neutros se quieren igualar, un banco estrella-triángulo con el neutro de los primarios puesto a tierra. El neutro de los secundarios del banco estrellaestrella se conecta al neutro de los primarios del banco estrella-triangulo, bien poniendo a tierra ambos neutros o mejor mediante un hilo neutro como se indica
TRANSFORMADORES
558 4
RES UME N DE LOS FENÓMENOS DEBIDOS
A LOS ARMÓNI COS
Los puntos importantes puestos de manifiesto en el estudio anterior de los fenó menos debidos a los armónicos en circuitos trifásicos equilibrados pueden resumirse de la manera siguiente: Los terceros armónicos de corrientes y tensiones en los circuitos trifásicos equili brados son iguales y están en concordancia de fase. (Es decir, son cantidades de secuencia cero.) El orden de fases de los quintos armónicos es opuesto al de los armónicos funda mentales. (Es decir, son cantidades de secuencia negativa.) Por estar en concordancia de fase, los terceros armónicos de las corrientes no pueden circular por las líneas de un sistema trifásico equilibrado, a menos que se les proporcione un camino de retorno a través de una conexión neutra. No obstante, por los circuitos conectados en triángulo pueden circular corrientes de la frecuencia del tercer armónico que no estén presentes en las líneas conectadas al triángulo. Debido a que sus efectos inductivos son aditivos directamente, las corrientes do la frecuencia del tercer armónico (u otras de secuencia cero) que circulen por las líneas de un sistema trifásico pueden srcinar una interferencia inductiva impor tante en los circuitos de comunicaciones paralelos a las líneas de potencia. Por deber ser nula la suma instantánea de las tensiones entre línea y línea de un sistema trifásico (tomadas en orden cíclico), en las tensiones entre línea y línea de un sistema trifásico equilibrado no podrán existir terceros armónicos, ya que estarían en concordancia de fase y por tanto su suma no sería nula. En cambio, pueden existir terceros armónicos en las tensiones de la estrella respecto al neutro, sin que estén presentes en las tensiones entre línea y línea. Las características magnéticas del hierro exigen que para que el flujo varíe sinu¬ soidalmente, la corriente de excitación de un transformador contenga un tercer armónico cuya intensidad es normalmente de un 40 % de la del armónico funda mental de la corriente de excitación. Las aplicaciones de estos principios generales a las conexiones trifásicas de trans formadores monofásicos conducen a las siguientes conclusiones: Si las tensiones de los transformadores deben variar sinusoidalmente, deberá permitirse la circulación de los terceros armónicos de las corrientes, o por los deva nados conectados en triángulo o a través de una conexión neutra *. A un cuan do las características de la conex ión est rel la- estr ell a con hi lo neu tro sean satisfactorias en lo que concierne al comportamiento del banco, la necesidad de un cuarto hilo es un inconveniente y la presencia de terceros armónicos de las corrientes de excitación en las líneas trifásicas puede ocasionar interferencia induc tiva perjudicial.
Si se suprimen los terceros armónicos de las corrientes de excitación, como ocurre en la conexión estrella-estrella con neutros aislados, las tensiones de los neutros pueden desequilib rarse ** y contener terceros armónicos rela tiva ment e intensos. En determinadas condiciones, estos terceros armónicos de las tensiones
ARMÓNICOS EN LOS CIRCUITOS TRIFÁSICOS
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respecto al neutro pueden aumentar mucho a causa de los fenómenos de resonancia. Por ello, la conexión estrella-estrella de transformadores monofásicos deberá utili zarse con precaución. PROBLEMAS
1. Un banco de transformadores mono fásicos exactamente igua les conectados en triángulo-triángulo se excita mediante un sistema trifásico que suministra tensiones sinusoidales equilibradas de6 600 V entre línea v línea. Los transformadores tienen por valores nominales6 600': 440 V, 10 0 kVA y 60 H z. Las impedancias de fuga de los dos devanados de los transformadores pueden considerarse iguales en sus partes resistivas y reactivas al referirlas al mismo lado. Mientras los transformadores funcionan en vacío, se conectan amperímetros de baja impedan cia en ambos tri ángulos de primarios v de secundarios. El amperímet ro de los primarios señala0,820 A y el de los secundarios2,65 A. ¿Cuál sería la inte nsidad de la corriente por fase en los devanados primarios, en vacío, si se conectaran los transformadores en estrella-estrella, el neutro de los primarios al neutro del generador y se aplicaran tensiones sinusoidales equilibradas6 de 600 V res pecto al neutro? 2. Un a línea de transmisión trifásica de 66 000 V está alimentada por un genera dor trifásico conectado en estrella de 6 600 V a través de un banco de transformadores monofási cos conectados en estrella-triángulo . Los neutros del generador y de los primarios del banco de transformadores están puestos a tierra. Cada transformador tiene por va lores nominales V y 60 de Hz.alta En tensión, cortocircuito, con de unalos tensión 1 000 3 810 : 66al000 del 0,06 por uno y 60 kVA, Hz aplicada devanado cada uno trans formadores conduce la corriente nominal con una potencia de entrada0,008 del por uno. Cuando alimentan a la carga equilibrada nominal, los transformadores se calientan mucho. Una investigación realizada indica que el generador de corriente alterna tiene una tensión entre terminales que contiene un 15 % de armónico tercero. Suponiendo despreciables las corrientes de excitación, determinar la pérdida en el cobre a plena carga en los transformadores como tanto por ciento de lo que se tendría si las tensiones entre terminales de los primarios fueran exactamente sinusoidales. 3. Un banco t rifásico de transformadores 30 de k V A consta de tres transfor madores iguales de distribución de 10 kVA, 2 400 : 240 V, 60 Hz conectados en estrella-estrella sin poner a tierra los puntos neutros. Los terminales de línea de los primarios de alta tensión están conectados directamente a los terminales de línea de los secundarios de un banco trifásico equilibrado de transformadores de 1 500 kV A conectado e n triángul o-estr ella en una subcentral cuyas tensiones entre línea y línea de los secundarios tienen forma de onda sinusoidal y un valor eficaz de4 160 V. El neutro de los secundarios del banco de transformadores de1 500 kVA de la subcentral está conectado a tierra sólidamente. Un voltímetro conectado entre tierra y el neutro de los primarios del banco de transforma dores de distribución de 30 kVA señala 1 000 V. ¿Cuál es el v alor eficaz de la tensión entre línea y neutro en los secundarios de los transformadores de distribución?
4. Un a línea de tra nsmisión trif ásica de tr es hilos est á tendida paralelamente a una hnea telefónica a lo largo de varios kilómetros. Las distancias son las consignadas en la figura 12 . La conductibilidad de la tierra en la región sobre la cual se han tendido dichas lineas es tal que un retorno por tierra para el sistema trifásico, en caso de existir, podría, representa rse por un hilo único de imagen situado 30 0 am bajo la superficie de
* Téngase en cuenta que esto no vale para transformadores trif ásicos del tipo de núcleo, la Iierra. como los estudiados en el apartado 2 del capítulo XX V I. a) Si la línea de tr ansmisión termina en un banco de transformadores ¡guales co ** Véase el apartado 26 del capítulo X X I. nectados en triangulo, si la carga está equilibrada y si en el extremo emisor de la línea r
TRANSFORMADORES
$60
CA
se aplican tensiones sinus oidales equilibradas, ¿cuál es la tensión inducida en la línea telefónica por kilómetro y por ampere de la corriente trifásica? 6; Si la línea de transmisión term ina en un banco de transformadores iguales co nectados en estrella y neutro puesto a tierra , ¿qué frecuencia tendrán las corrientes que circulen por la línea que produzcan probablemente una perturbación especial a causa de la interferencia induct iva con la línea tel efónica? ¿Cuál es la tensión inducida en la línea telefónica, por kilómetro y ampere, por cada una de estas corrientes que tenga una frecuencia menor que 1 000 Hz ? Linea telefónica
Linea trifásica
-20 m-
|«1,8 nv|
r -
0,45 m
12 m
12 m
Tierra
1
PI
TU
LO
XX
IV
Bancos trifásicos de transformadores desequilibrados Los tres capítulos anteriores se han dedicado principalmente al análisis del funcionamiento de bancos simétricos de transformadores en circuitos trifásicos equilibrados. A continu ación vamos a estudiar problemas prácti cos en los que inter vienen condiciones de desequilibrio que pueden deberse a una asimetría del banco o a cargas monofásicas no equilibradas o a cortocircuitos. El método de las componentes simétricas resulta casi indispensable para el análisis de condiciones de desequilibrio en las cuales jueguen un papel importante las impedancias de máquinas rotativas. La mayoría de los problemas en los que los principal es factores reguladores son las impedancias de bancos de transformadore s pueden, en cambio, resolverse satisfactoriamente combinando la teoría del trans formador único con las relaciones entre tensiones e intensidades en circuitos trifá sicos. A continuación, y como repaso, se resumen la teoría simplificada del trans formador y las ecuaciones de los circuitos trifásicos. Ecuaciones del transformador: Corrientemente, pueden despreciarse las corrientes 1
300 m
de excitación de los transfor madore s yiguales suponery que las corrientes prim ari o y secun dario crean fuerzas magnetomotrices opuestas. Así, la de relación entre los vectores representativos de la corriente de primario I y la corriente de secundario directamente opuesta I¿ es: II = «I I (1) x
o Retorno equivalente neutro Fi o: 12.
Distancias entre las líneas telefónicas y de potencia, problema 4
donde a es la razón NJN de los números de espiras. La relación entre las tensiones de primario y secundario es: 2
5. Tres transformadores monofásicos iguales de 60 Hz tienen por tensiones nominale s 1 328 : 230 V. Cuando al lado de alta tensión de uno cualquiera de los transformadores se aplica la tensión sinusoidal nominal a la frecuencia nominal, estando el lado de baja tensión en circuito abierto, la corriente tiene por intensidad
i = 3 sentot + 1,1 sen (3tot+ as) + 0,1 sen (5coí + a,) Las impedancias de fuga para la frecuencia del tercer armónico son iguales en ambos devanados al referirlas a un mismo lado. Si se conectan estos transformadores en estrella-triángulo a un circuito trifásico de 2 300 V, 60 Hz con tensiones sinusoidales equilibradas, ¿qué intensidad eficaz señalará un amperímetro situado en el circuito cerrado formado por los secundarios conectados en triángulo cuando la carga del secundario es nula: a) Cuando no hay co nexión alguna entre el neutro del generador de potencia co nectado en estrella y el neutro de los primarios conectados en estrella? b) Cuando el neutro de lo s primarios de l os transfo rmadores está conectado a tra vés de un conductor de impedancia despreciable al neutro de un generador cuyas tensiones entre línea y neutro son sinusoidales y están equilibradas?
+ It Z^- i,= V 1
a
(2)
2
donde Ztqt es la impedan cia equival ente referida al secundario. O bien, la ecuació de las tensiones referida al primario es:
n
V , = a V + I^i,
(3)
2
donde Zeai es la impedancia equivalente referida al primario. El transformador, pues, está caracterizado por la ecuación (1) y por la (2) ó la (3). La teoría de las componentes simétricas puede verse en W. V. LApplication» YO N, of the Method of Symmetrical Componente (New York: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1937), C. F. Componente(New York: McGraw-Hill Book Company, WAO NE B y R . D. EV ANSSymmetrical , Inc. , 1 93 3) . Un resumen de lasaplicaciones de las componentessimétricas a problemas de trans Tranaformer Engineering formadores puede verse en L. F . B L UM E , editor, (New York: John Wiley & Sons, 19 38) , capítulo vi . 1
561
562
TRANSFORMADORES
BANCOS
Ecuaciones de las tensiones de línea: La suma vectorial de las tensiones entre línea y línea tomadas en orden cíclico es nula: VAB + V = +0 VCA
(4)
V _ + V= *0,+ V
(5)
s
c
c a
TRIFÁSICOS
DESEQUILIBRADOS
riales entre las corrientes en la línea y en las fases del triángulo son: IA = IAB — ICA IB = IBC — IAB
le — le A — IBC donde los subíndices en mayúscula indican las fases de los primarios y los subíndices en minúsculas, las fases de los secundarios. Ecuaciones de las tensiones de la estrella: Las relaciones vectoriales entre las ten siones de línea a línea y las tensiones de línea a neutro son: VAB = V — VBN
(6)
YBC = VBN— VCN
(7)
AN
VCA=VCN
—
VA N
Vfc, V _ = Van —
563
Relaciones entre las corrientes en la línea y en el triánLas gulo: relaciones vecto
(8)
la — Iba Ib = leb le
loe Iba
= L e —• Lf>.
(16) (17) (18) (19) (20) '21)
Obsérvese que de las cuatro relaciones dadas por las ecuaciones (14), (16), (17)y (18) (o por las 15, 19, 20 y 21) sólo tres son independientes, ya que cualquiera de ellas puede deducirse de las otras tres. Como ejemplos de las aplicaciones de estas ecuaciones surgen varios problemas en relación con el empleo de bancos triángulo-triángulo, los cuales se estudian en el apartado siguiente.
(9)
V* = V n— Ven
(10)
V „ = Va, — Van-
(11)
b
Obsérvese que de las cuatro relaciones dadas por las ecuaciones (4), (6), (7) y (8) (o por las 5, 9, 10 y 11) sólo tres son independientes, ya que cualquiera de ellas puede obtenerse de las otras tres. Ecuaciones de las corrientes de línea: Para circuitos conectados en estrella con hilos neutros, la ecuación de las corrientes de primarios es: IA + IB + le = IN,
(12)
1.
CONDICIONE
S DE DESEQUILIBRIO EN
BANCOS TRIÁNGULO-TRIÁNGULO
la conexión triángulo-triángulo dos derivaciones cada par Como de terminales de línea tanto en el lado proporciona de los primarios como en el deentre los secun darios, las corrientes en los transformadores dependen no sólo de las corrientes que circulan por la carga, sino también de las características de los transformadores. Esta importante propiedad de la conexión triángulo-triángulo se estudia cualita tivamente en los apartados 1 y 3 del capítulo XXI. Como consecuencia de ello existen numerosos problemas en los que interviene el funcionamiento de bancos triángulotriángulo bajo condiciones de desequilibrio debidas a cargas desequilibradas, o a asimetrías del banco ocasionadas por razones de transformación o impedancias equivalentes desiguales. A continuación se estudian algunos de dichos problemas . 2
donde L i , IB, le son los vectores representativos de las corrientes de línea que penetran en los primarios e Ly es el vector que representa a la corriente que circula por el neutro regresando al generador. Para las corrientes de los secundarios la + +lelo=
I»,
(13)
donde l , Ib, le son los vectores representativos de las corrientes que circulan hacia la carga por las líneas de los secundarios, e I- es el vector representativo de la corriente que regresa por el neutro procedente de la carga. Para ci rcuitos conectados en tr iángulo o para circuitos conectados en estrella sin hilos neutros, a
IA + IB + le = 0 I„ + Lj + L = 0.
(14) (15)
la . Corrientes circulantesen bancos triángulo-triángulo, debidas a razones de
transformación desiguales. Según se mencionó en el apartado 1 del capítulo XX I, las desigualdades en las razones de transformación de los tres transformadores srcinan corrientes circulantes en los bancos triángulo-triángulo. Estas corrientes pueden calcularse fácilmente aplicando el teorema de Thévenin. Consideremos el banco de transformadores de la figura la, en el cual los primarios están conectados en triángulo y los secundarios están conectados en serie, prepa rados para ser conectados en triángulo. Puede completarse el triángulo de secunda rios cerrando el interruptor K. Si son iguales las razones de transformación de los tres transformadores, entre los extremos del interruptor abierto K no habrá tensión alguna (si se desprecian los K no circulará terceros armónicos por débiles) y por tanto, al cerrar el interruptor corriente alguna (salvo una débil corriente de excitación de la frecuencia del tercer armónico). En cambio, si no fueran iguales las razones de transformación, entre los • Para un estudio más detalladode losbancos triangulo-triángulo, L véase . F. BLUME, editor.Transformar Enginecring (NewYork: John Wiley& Sons, 1938), 172-180.
TRANSFORMADORES
564
BANCOS
extremos del interruptor K aparecería una tensión E , igual a la suma vectorial de las tensiones en circuito abierto de los secundarios; es decir, 2 0
E
2
0
=
X ^ Z^ + I ^ +
a,AB
(22)
;
acA
HBC
donde aAB, ase, O>CA son las razones de transformaciónNJ N 2 de los tres transfor madores y son muy aproximadamente iguales a las razones de tensiones en circuito abierto. Al cerrar, en este caso, el interruptor K, se srcina una corriente en los secundarios. Por el teorema de Thévenin, esta corriente en los secundarios tiene una intensidad igual al cociente entre la tensión en circuito abierto E y la impedancia medida en el vértice abierto del triángulo, estando cortocircuitadas las tensiones 2
0
TRIFÁSICOS
DESEQUILIBRADOS
565
Obsérvese también que, aun cuando las corrientes circulantes por el interior del banco puedan ser relativamente intensas, las corrientes que circulan por las lineas pueden ser débiles, ya que dependen de las diferencias entre dos razones de transformación, según indica la ecuación (25). Por tanto, pueden existir en un banco corrientes circulantes relativamente intensas sin que pueda detectarse su presencia con medidas de las corrientes de línea. 16. Ecuaciones generales para bancos triángulo-triángulo; razones de transfor mación iguales. Si se desprec ian las corrientes d e excitación, las co rrientes de los primarios son iguales a las directamente opuestas de los secundarios, cuando ambas se refieren a un mismo lado. Así, si los tres transformadores tienen la misma razón de transformación a,
A
ha
= al B
(26)
A
LÍ> =al c
(27)
B
I»c = alcA,
(a)
(28)
donde I , IBC, ICA son los vectores represen tativos de las corrientes de prim ario en el sentido del tornillo directo respecto al flujo positivole I , I son los vec tores que representan las corrientes de secundario directamente opuestas. Cuando se desprecian las corrientes de excitación, las ecuaciones para las ten siones son: AB
(b)
b a ¡
F io . 1 . Corrientes circulantes en bancos triángulo-triángulo aplicadas VAB, Vac, VCA- De la ñgura 16 resulta evidente que la impedancia es igual a la suma vectorial de las impedancias en cortocircuito Z, del transformador medidas desde sus terminales de secundarios con los terminales de los primarios cortocircuitados. Así, la corriente circulante I en el triángulo de secundarios es:
cb
ac
c 2
VAB = áVab + IABZAB
(29)
2 0
V
I« o = ^ - -
( 23 )
2«
(24)
OAB
La s corrientes que circu lan por las Jíneas de los primarios v ecuaciones (16), (17) y (18); por ejemplo, IA = IAB-ICA = ^
IÍO - — ^ = L
(IAB
= áVbc + IBCZBC
I20 ¡OCA — UAB ~ !i o-
OCA
\aABdCA
ienen dadas por las
(30)
VCA = aV + I AZ A, ca
Pueden ahora determinarse las corrientes que circulan por el triángulo de primarios ^mediante la ecuación (1); por ejemplo, IAB = ^
J C
C
(31)
C
donde Z , Z , Z son las impedancias equivalentes de los transformadores referidas a los lados de los primarios. Estas ecuaciones para las tensiones pueden referirse también a los lados de los secundarios. Como la suma de las tensiones de línea es igual a cero (ees. 4 y 5), la suma de las ecuaciones (29), (30) y (31) indica que, AB
BC
CA
IABZAB + IBCZBC= + 0. ICAZ CA
^(32)
Si se refieren a los secundarios las corrientes e impedancias, se tiene una relación análoga; es decir, (25)
Obsérvese que la corriente circulante I está limitada por las impedancias en cortocircuito que son relativamente pequeñas, y en consecuencia, desigualdades más bien pequeñas de las razones de transformación pueden traducirse en corrientes circulantes por el banco relativamente intensas. Así, pues, convendrá evitar la cone xión triángulo-triángulo de transformadores de razones desiguales, si bien esta situación se puede producir accidentalmente en un banco triángulo-triángulo de transformadores con equipo cambiador de tomas, en el caso en que los cambiadores de tomas no funcionaran simultáneamente.
IbaZab + IcbZbc =+ 0,IacZ a C
>(33)
2 0
donde las impedancias Zab- Z , Z están referidas a los secundarios. Pueden ahora determinarse las tensiones e intensidades para condiciones de fun cionamiento cualesquiera. Por ejemplo, supongamos que se dan vectorialmente dos de las tensiones de línea de los secundarios y dos de las intensidades de línea de los secundarios. Pueden determinarse entonces la tercera tensión de línea de los secun darios y la tercera intensidad de línea de los secundarios, puesto que la suma vectorial de las tensiones de línea en nula (ec. 5) y también lo es la suma vectorial de las bc
ca
TRANSFORMADORES
566
BANCOS
TRIFASICOS
DESEQUILIBRADOS
intensidades de línea (ec . 15). Pued en entonces determinarse las corrientes en los trans formadores sustituyendo en la ecuación (33) los valore»
lac = Ito - la I* = I» + Iba
(34) (35)
obtenidos de las ecuaciones (19) y (20). El resultado es: ItaZ_ + (Ib + Iba)Z + (ha — = 0la)Z bC
ca
(36)
o sea,
_
IgZca — IbZbc Za b ~\~ Zbc ~\~ Z a C
Las otras corrientes de los secundarios pueden determinarse de manera análoga. Entonces se conocen las corrientes de los primarios a través de las ecuaciones (26), (27) y (28) y pueden determinarse las tensiones de los primarios mediante las ecua ciones (29), (30) y (31). El examen de la ecuación (37) indica que las corrientes que circulan por los trans formadores dependen de sus impedancias equivalentes. Así, si están equilibradas las corrientes de línea, no lo estarán las de los transformadores a menos que sean iguales las impedancias equivalentes complejas. En general, el transformador de menor impedancia equivalente conduce la corriente más intensa, comportándose el banco en este aspecto en forma algo parecida a como lo hacen las impedancias derivadas. Así pues, si tres tra nsfo rma dor es con ect ado s en trián gulo -triá ngul o tie ne n iguales potencias nominales pero distintas impedancias equivalentes y suministran potencia a una carga equilibrada, el banco no puede suministrar su potencia total sin que la corriente su pere su intensidad nom inal en el transformador de menor i m pedancia equivalente. Por esta razón es preferible utilizar transformadores exactamente iguales en las conexiones triángulo-triángulo cuando está equilibrada la carga, aun cuando pueda convenir no hacerlo si la carga está desequilibrada. Para un estudio más detallado de esta cuestión , véase el apartado 3 de l capítu lo X X I .
2.
CORR IENTE S MONOFÁSICAS
EN BANCOS
TRIFÁSICOS
Las cargas monofásicas casi siempre están alimentadas por sistemas trifásicos y además, como en estos sistemas pueden producirse cortocircuitos monofásicos, suele ser necesario determinar la distribución de corrientes monofásicas en bancos trifásicos de transformadores. En la figura 2 puede verse un cierto número de montajes trifásicos de transfor madores que alimentan cargas monofásicas. Los devanados de los transformadores están representados por líneas gruesas, dibujándose paralelos entre sí los devanados primario y secundario de un mismo transformador e indicándose mediante un punto los terminales de primario y secundario de la misma polaridad. Las corrientes resul tantes (despreciando las corrientes de excitación) están indicadas por flechas, repre sentando cada flecha una unidad de intensidad sobre la base de una razón de trans-
(i) F IG . 2.
Corrientes monofásicas en bancos trifásicos
567
BANCOS
TRANSFORMADORES
56«
formación de 1:1. En a), b), c), d) y e) las distribuciones de corrientes estánfijadas úni camente por las conexiones de los transformadores y están determinadas por el hecho de que, si circula corriente por el secundario de algún transformador, por su primario deberá circular una corriente igual y contraria (sobre la base de una razón de trans formación 1 :1 y despreciando las corrientes de excitación). En a), b), c) y d), los secundarios están conectados en estrella y por tanto la corriente monofásica del secundario sólo podrá circular por un camino serie, pero en e) los secundarios están conectados en triángulo y la corriente monofásica del secundario se divide entre los dos caminos en paralelo b a y bca. Como en e) las corrientes que circulan por los secun darios be y ca de los transformadores son iguales, sus corrientes de primario deben ser, también, iguales. Las intensidades Lw e Lvc de las corrientes de retorno al gene rador a través de los transformadores B y C deberán ser, pues, iguales cada una a la mitad de la intensidad 1 de la corriente del transformador A, según indican las flechas en e). Así pues, las intensidades I* e L« de las corrientes de secundario de los transformadores B y C también serán la mitad de la intensidad I*, de la co rriente que circula por el secundario del transformador A. El transformador A, por tanto, suministra los dos tercios de la intensidad I de la corriente de carga monofásica y los transformadores B y G suministran ambos el tercio restante, según indican las flechas en e). En la figu ra 2/ que presenta la conexión estrella -estrella de transformadore s monofásicos con neutro de primarios aislado— si circula corriente por el primario
TRIFASICOS
DESEQUILIBRADOS
569
Es decrr, las intensidades son inversamente proporcionales a las impedancias equi valentes de los caminos derivados 6a y 6ca a través del banco de transformadores Si éstos son exactamente iguales, dos tercios de la carga está alimentada por el ca en serie, tal como se transformador 6a y un tercio por los transformadores 6c y indica en h). Otro circuito en el cual existen carrúnos derivados en los lados de los primarios y en los de los secundarios, es la conexión estrella-triángulo con el neutro de los primarios conectado al del generador, como indica la figura 2i. En este circuit o la distribución de las corrientes depende de las impedancias, no sólo de los transfor madores, sino también del generador. La ecuación para las corrientes de los nrimarios es: r
LIJV + IBN + ICN = IJV.
(4i)
AN
c
de de losdos transformadores regresar al generador a través de los primarios de uno los otros y por tanto la debe corriente monofásica que pueda suministrarse entre línea y neutro en el lado de los secundarios queda hmitada a una intensidad pequeña determinada por las características de excitación de los dos transformadores des cargados *. En e l apartado 26 de l capítulo X X I se estudia esta caract erística de los bancos estrella-estrella de transformadores monofásicos. En el banco triángulo-triángulo de la figura 2g existen caminos paralelos tanto en los circuitos de primarios como en los de secundarios y la distribución de la corriente monofásica entre los transformadores no sólo está determinada por las conexiones, sino que depende de las impedancias equivalentes de los transformadores. La corriente, pues, está suministrada en parte por el transformador 6o y en parte por el camino 6co consistente en la combinación serie de los transformadores 6c y ca en paralelo con el transformador ba. La corriente que circula por la línea c de secun darios es nula y, examinando la figura 2g, I_ = Lj, =-lbc a , c
(38)
donde L> es la corriente que circula de 6 hacia a por el camino 6ca. Sustituyendo la ecuación (38) en la (33) se tiene: (39) haZab — I*„(Zic + Zea) = O, de donde, Iba '_ %bc + Zea _ •(40)
Si se desprecian las corrientes de excitación, las relaciones entre las corrientes direc tamente opuestas de primario y secundario son: Iba = OÍAN
¿ab
(43)
loe = álcN,
(44)
B
donde a es la razón de transformación. Como la línea c de los secundario s está abie rta 1* = L * .
(45)
La relación entre la intensidad I de la corriente suministrada a la carga y las de las corrientes que circulan por los secundarios de los transformadores es: I =
(46)
ha — he-
Sean E^, E , E , los vectores representativos de las fuerzas electromotrices del Z , generador y sea Z la impedancia compleja en el hilo neutro. Sean, también, Z* , Z lasimpedan cias complejas de cada fase de primar ios, siendo estas impedancias das sumas vectoriales de las impedancias del generador, de la línea y equivalente del transformador referida a su lado de primarios. Las ecuaciones de las tensiones para las tres fases son: B
c
N
A
C
E.< = 1 Z + IJVZA, + aVab
M
hca
(42)
L* = al N
AN
(47)
A
E « = IBNZ + l Z b
N
N
+ aV
(48)
bc
Ec = IcwZc + l Z + aVca, N
(49)
N
donde V , V¿, , V son los vectores representativos de las tensiones entre terminales de los secundarios. Obsérvese que, puesto que son tensiones entre línea y línea, su a 6
c
c a
* No obstante, un transformador trifásico l tipo de denú*leo, conectado en estrella-estrella BUma vectorial es nula, o sea, puede alimentaruna carga monofásica bastante grande conectada entre na línea u del secund ario y el neutro, auncuando sté e aislado el ne utro de los primar ios. Véase el apartado 26 del capí tulo XXVI.
V_*+ +V V„ = 0. ic
(50)
TRANSFORMADORES
570
BANCOS
Las ecuaciones números (41) a (50), ambas inclusive, constituyen las relaciones generales para un banco estrella-triángulo con una carga monofásica. Cuando, sean desiguales las impedancias o estén desequilibradas las tensiones E¿, E , E del generador, podrá resolverse ese sistema de diez ecuaciones que contiene las cons tantes del circuito y 14 vectores representativos de tensiones y corrientes, si se conocen las constantes del circuito y cuatro vectores independientes representativos de tensiones o intensidades. La solución general es más bien complicada. No obstante, si las tensiones E^, Es, E de los generadores están equilibradas y son iguales las impedancias Z , Z , Z , se simplifican mucho las relaciones entre las intensidades de corriente. Si están equilibradas las tensiones del generador, su suma vectorial es nula y como también lo es la suma de las tensiones entre termi nales de loa secundarios (ec. 50), la suma de las ecuaciones (47), (48) y (49) es: a
c
TRIFASICOS
DESEQUILIBRADOS
571
en concordancia de fase y por tant o, cada una de ellas deberá ser la tercera parte de la corriente de la avería. La distribución de corrientes es, pues, la indicada por las flechas de trazo continuo de la figura 3, en donde cada flecha representa un tercio A
c
A
B
0 = (Lw +
C
I
BN
+ ICN)Z + 3I Z, N
N
(51)
donde Z es la impedancia de cada fa se de pri mario . Pero la suma vectorial de las intensidades de línea de los primarios es igual a la intensidad Ly de la corriente que circula por el neutro (ec. 41). Así, de la ecuación (51) resulta, 0 = L y( Z + 3ZAT)
Fio.. 3. Avería de línea a tierra en el lado de los primarios de un banco estrella-triángulo con neutro de los primarios puesto a tierra
de la corriente en la avería. En la terminología de las componentes simétricas, estas corrientes de igual intensidad y en concordancia de fase se llaman corrientes de secuencia cero.
()
52
o sea, = 0.
(53)
Luego, con tensiones de generador equilibradas e impedancias de las fases de los primarios iguales, por el hilo neutro no circula corriente y por tanto la distribución de corrientes es la misma que se tendría si se desconectara el hilo neutro de los pri marios. En la figura 2e puede verse esta distribución. 3.
AVERÍ A DE LÍN EA A TIERRA EN EL LADO DE TRIÁNGULO CON NEUTRO A TIERRA
PRIMAR IOS DE UN BANCO ESTR
ELLA-
En la figura 3 se presenta otra situación en la que existen corrientes monofásicas en un banco estrella triángulo. En ella puede verse un banco estrella-triángulo con neutro a tier ra situado en el extremo receptor de una linea de transmisión, existiendo un fallo F de línea a tierra en el conductor C de fase. De momento, supongamos que el neutro de la estrella es la únic a tierra del s istema aparte de la avería. La corriente de la avería circula de la fase C a tierra y vuelve al sistema de transmisión a través de la conexión a tierra del neutro de la estrella. Como parte de esta corriente circula C, como indica desde el neutro de la estrella a través del primario del transformador la corriente l de la figura 3, por el secundario del transformador C deberá circular una corriente directamente opuesta I„ que también circulará por los secundarios de los otros dos transformadores, según indican las flechas de la figura 3. Por tanto, por los primarios de los transformadores B y C deberán circular también corrientes directamente opuestas. Como por los tres secundarios circula la misma corriente, las tres corrientes que circulan por los primarios deberán ser de igual intensidad y estar NC
4.
ANÁLISIS DE
COMP ONEN TES SIMÉTRI CAS
Los métodos simples estudiados en los apartados anteriores permiten resolver satisfactoriamente problemas sencillos en los que las impedancias de los transfor¬ madores son los principales factores rectores. Sin embargo, en problemas más com plicados tales como aquellos en que intervienen impedancias de líneas de transmisión y de maquinas rotativas suele ser más expeditivo el método de las componentes simétricas *. Si se dispone de un analizador de redes y si la complejidad del sistema abona su empleo, puede determinarse experimentalmente el comportamiento del sistema establecido adecuadamente e interconectando las redes equivalentes para secuencias cero, positiva y negativa, del sistema completo. En problemas de este tipo, el primer objetivo es la determinación del comportamiento de cada una de las partes del sistema. Los transformadores juegan aquí un importante papel. El estudio siguiente se limita al estudio de condiciones de desequilibrio resultantes de cargas desequilibradas o .de cortocir cuitos en uno o más puntos de un sistema que, de otra manera, sería simétrico. En un tal sistema, nada distingue una fase de otra, excepto en los puntos de desequilibrio; es decir, las impedancias de las tres fases del sistema son iguales. En consecuencia, si se descomponen las tensiones y corrientes desequilibradas en tres sistemas equilibrados de componentes —los sistemas de secuencia cero, positiva y negativa- podrá entonces analizarse el sistema como un problema de circuitos equilibrados sobre una base por fase para cada sistema. ¡si las tensiones y corrientes existentes antes de aplicar el desequilibrio tienen el orden de fases abe, las componentes de secuencia positiva de las tensiones e intentan^el ^
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BANCOS
TRANSFORMADORES
572
sidades en las tres fases para condiciones de desequilibrio forman sistemas equili brados cuyo orden de fases esabe. Las impedancias de máquinas rotativas, líneas de transmisión y bancos de transformadores son las mismas para corrientes y tensiones de secuencia positiva que para condiciones de equilibrio y la red equivalente del sistema para secuencia positiva sobre una base por fas e es la misma que para las condiciones de equilibrio. Las componentes de secuencia negativa de las tensiones y corrientes en las tres fases forman sistemas equilibrados cuyo orden de fases es acb. La única diferencia entre los sistemas de secuencia positiva y negativa es su orden de fases. Las impe dancias de aparatos estáticos, tales como líneas de transmisión y transformadores, son independientes del orden de las fases, y las partes de la red de secuencia negativa que las representa son las mismas que las partes correspondientes de la red de secuen cia positiva. En cambio, las máquinas rotativas presentan valores de impedancia diferentes a las corrientes de secuencia positiva que a las de secuencia negativa, y ordinariamente no generan fuerzas electromotrices internas de secuencia negativa. En consecuencia, estarán representadas en la red de secuencia negativa por valores de las impedancias diferentes de los de la red de secuencia positiva, y en la red de secuencia negativa sus fuerzas electromotrices internas estarán cortocircuitadas. Las componentes de secuencia cero de las tensiones y corrientes en las tres fases, forman también sistemas simétricos, pero con una forma de simetría altérente de la existente para las componentes de secuencia positiva o negativa. Por definición, el vector representativo de la componente I de secuencia cero de los vectores I , l , I representativos de las corrientes en las fases de un sistema trifásico es:
TRIFÁSICOS
DESEQUILIBRADOS
573
que circular por el triángulo, pero no por las líneas a él conectadas, como ocurre en los devanados secundarios del banco de transformadore de la fi gura 3. Como la suma vectorial de las tres tensiones entre línea y línea de un sistema trifásico, toma das en orden cíclico, debe ser siempre nula, es imposible la existencia de compo nentes de secuencia cero en las tensiones entre línea y línea. Así pues, aun cuando en los secundarios conectados en triángulo de la figura 3 existan corrientes de secuen cia cero, no crean componentes de secuencia cero en las tensiones entre línea y línea. Del estudio anterior resulta evidente que las conexiones de los bancos de trans formadores ejercen influencias importantes sobre las corrientes de secuencia cero. Los principios generales pueden resumirse de manera muy sencilla . Pueden existir corrientes de secuencia cero en las líneas que terminan en un grupo de devanados conectados en estrella, solamente cuando el punto neutro esté a tierra o conectado a un hilo neutro. Si el punto neutro está aislado, el circuito está abierto en lo que concierne a las corrientes de secuencia cero. Las líneas terminales en un grupo de devanados conectados en triángulo están en circuito abierto en lo que concierne a las corrientes de secuencia cero, ya que no existe ninguna conexión neutra que les proporcione un camino de retorno. Sin embargo, en el triángulo pueden inducirse corrientes circulantes si existen corrientes de secuencia cero en otros devanados con los que esté acoplado inductivamente el grupo conectado en triángulo. Si se disponen los circuitos de manera que puedan existir corrientes de secuencia cero en los devanados primario y secundario, las corrientes de secuencia cero de un 3
0
a
b
c
I = i / (I + l„ + Ic). 0
3
(54)
a
Las componentes de secuencia cero de las tres corrientes son iguales y están en concordancia de fase entre sí, en contraste con lo que ocurre con las componentes de secuencia positiva o negativa que son de igual magnitud pero están defasadas 120°; es decir, para las componentes de secuencia cero de I , L, e I , a
= ILo = Lo = loa 0
t
De la ecuación 54 resul ta que sólo podrán
c
(
55
)
existi r corrient es de secue ncia cero
cuando esté dispuesto el circuito de manera que la suma vectorial de las comentes de las tres fases no sea obligatoriamente nula. ^ Est o significa que no podrán existir corrientes de secuencia cer o en máquinas rotativas simétricas conectadas en estrella, bancos de transformadores, o líneas de transmisión a menos que se pongan a tierra o interconecten uno o mas puntos neu tros Por ejemplo , no podrán existir corrientes de secuenci a cero en los primarios de los transformadores de la figura 3 si no estuviera puesto a tierra el punto neutro A. Como los caminos de las corrientes de secuencia cero son distintos de los de las corri entes de secuencia positiva o nega tiva, las impe dancias a las corrientes de secuen cia cero en máquinas rotativas y líneas de transmisión son distintas de las impedan cias a corrientes de otra secuencia. Sin embargo, pueden existir corrientes de secuencia cero en las fases de los cir cuitos conectados en triángulo. En esta disposición, las componentes de secuencia cero de las tres corrientes del triángulo, al ser iguales y estar en fase, no hacen mas
lado inducen en el otro corrientes de secuencia cero que crean fuerzas magnetomotrices iguales y opuestas (despreciando las corrientes de excitación). La impedancia a las corrientes de secuencia cero introducida por dicho banco de transformadores es, pues, la impedancia equivalente, o en cortocircuito, por fase. Por ejemplo, un grupo de transformadores exactamente iguales conectados en estrella-estrella con ambos puntos neutros puestos a tierra es equivalente en la red para secuencia cero a la impedancia en cortocircuito de uno de los transformadores en serie con los circuitos primario y secundario (bien entendido, claro está, que todas las corrientes, tensiones e impedancias están referidas a una base común). El circuito equivalente para la secuencia cero es el de la figura 4o. Si existieran corrientes de secuencia cero en los devanados conectados en estrella de un banco estrella-triángulo cuyo neutro de la estrella esté puesto a tierra, las corrientes de secuencia cero que circulan por el lado conectado en estrella inducen en el triángulo corrientes de secuencia cero que no harán mas que circular por él, como se indica en la figura 3. Así, pues, la impedancia a la secuencia cero del banco de transformadores por fase vista desde su lado conectado en estrella es igual a la impedancia equivalente de uno de los transformadores. Sin embargo, por los circuitos exteriores conectados al triángulo no pueden circular corrientes de secuencia cero y el banco, por tanto, actúa como un circuito abierto para las corrientes de secuencia cero, situado en el circuito exterior del lado conec tado en triángulo, como se indica en la figura 46. En cambio, si se disponen las conexiones del transformador de manera que puedan existir corrientes de secuencia cero en uno de los lados pero no en el otro, la impePa ra un estudio m ás am plio , véase la prim e ra nota de pie de página de e ste capítulo. Transformer Se estudian en deta lle algunos m ontajes de tra nsform adores en L. F . BL UME, editor, Enginecring (New York: John Wiley & Sons, 1938), 142-155. 3
$74
BANCOS
TRANSFORMADORES
dancia a las corrientes de secuencia cero en el lado en que pueden existir es la impedancia en circuito abierto o impedancia de excitación de una fase del banco. En el otro lado, el banco actúa como circuito abierto para las corrientes de secuencia cero. Esta es la situación en la disposición indicada en la figura 4c.
TRIFÁSICOS
DESEQUILIBRADOS
1. Tres transformado res de 2 400 : 240 V, 10 k VA , 60 Hz están co nectad os en tri ángulo en a mbos lados y se u tili zan pa ra rebaj ar una tensión trifásica de 2 400 V par a alimentar una carga inductiva equilibrada conectada en triángulo de 6,0 j 2,0 + ohm por fase. Uno de los transformadores regulares se avería y se sustituye por un transfor mador viejo de 2 400 : 230 V, 10 kVA y 60 Hz. La impedancia equivalente de cada uno de los dos tran sformadores srcinales es de 0,06 + ,;' 0,20 ohm referida al secunda rio y la impedancia equivalente del transformador sustituto es de 0,11j -f 0,36, referida al lado de baja tensión. Determinar cuál de los tres transformadores está sobrecargado. 2. Tres transformad ores mo nofásico s, cada uno de 100 kV A, 11 000 : 2 2 00 V y 60 Hz , están conectados a una línea trifásica de 11 000 V, con sus primarios conectados en tri ángulo, así como sus secundarios. Los ensayos en cortocircuito de cada uno de los trans formadores dieron los siguientes datos: DATOS DE CORTOCIRCUIT
Transformador
Fi o. 4.
(C) Circuitos equivalentes para se cuencia cero para diferentes montajes de transformadores
Ap lic ando los princi pio s generales ilustrados en el estudio anterior, puede deter minarse la distribución de corrientes de secuencia cero en cualquier banco de trans formadores que contenga una combinación cualquiera de devanados conectados en estrella y en triángulo. Si el banco está constituido por transformadores multicircuito , los fenómenos de impedancia (estudiados en el capítulo X X V I I ) son algo más complicados, si bien para la determinación de la distribución de las corrientes de secuencia cero pueden aplicarse los mismos principios. Estos mismos principios se aplican también a los transformadores trifásicos, igual que a los bancos trifásicos do unidades monofásicas, siendo la única diferencia que la impedancia de excitación para secuencia cero de un transformador trifásico del tipo de núcleo (estudiado en el apartado 26 del capítulo X X V I ) es muy inferior a la de un banco análogo de unidades monofásicas. A veces se utilizan transformadores en los que las fases se intereonectan en un montaje en zigzag. E n el apartado 4a del capítulo X X V se estu dia el comportamiento de dichos transformadores con corrientes de secuencia cero circulando por ellos.
57$
PROBLEMAS
Intensidad
O
Tensión
Potencia
A B
9,10 A 9,10
312 V 402
1 000 W 1 130
C
9,10
450
1 200
Determinar, para la condición de equilibrio de las corrientes de la línea, la máxima carga en kV A que pueden a limentar esto s transformador es sin que ninguno de ello s se halle sobrecargado. 3. Tres transformadores iguales de 100 k V A se conectan a un circuito trifásico equi libr ado. P ar a las conexiones siguientes, ¿cuál es la máxima carga monofásica que puede aplicarse entre cada par de terminales de línea del secundario sin sobrecalentar ninguno de los transformadores ? a) Triángulo-triángulo, b) Estrella-triángulo, c) Triángulo-estrella. Supóngase que los transformadores funcionen a la tensión y frecuencia nominales. 4. Tres trans formadores monofásicos casi exactamente iguales de 10 kV A, 2 400 : 120 V y 60 Hz , se conectan en triángulo en la parte de sus devanados de a lta tensión a un ci rcuito trifási co equilibrado de 2 400 V, 60 H z. Los devanados de baja te nsión se conectan en estrella a un sistema trifásico de distribución de cuatro hilos, de manera que puedan conectarse cargas de alumbrado de 120 V entre cualquier línea y el hilo neutro y puedan alimentarse cargas de poca potencia a 208 V, entre líneas. Cada uno de los tres transformadores consume, cuando se cortocircuita el devanado de baja tensión, 4,6 A y 170 W a una tensión de 110 V. ¿Cuáles serán las tensiones entre los pares de terminales de línea de los secundarios si se conecta entre un terminal de los secundarios y el neutro de los mismos una carga de alumbrado de 83 A, con factor de potencia unidad? 5. Cua ndo se aplican tensiones de 310 V, a los devanados de alta tensión de tres transformador es iguales de 11 000 : 2 200 V, 100 kV A y 60 Hz , en corto circuito, cada uno de ellos consume 9,1 A y 1 000 W Est os tres transformadores están conectados en tri -
TRANSFORMADORES
576
BANCOS
ángulo a ambos lados y sus primarios están conectados a un circuito trifásico de 11 000 V, 60 Hz. Entre un par de terminales de los secundarios se conecta una carga monofásica dé autoinducción 0,090 H y resistencia 36 ohm. H al lar los valores de las tensiones entre terminales de los secundarios.
A
a
Trifásica 2400 V
Carga
B F io . 5.
Conexión de transformadores que alimentan una carga trifásica y otra monofásica, problema 8
6. Dos transformadores, c ada uno de 2 400 : 12 000 V, están conectados en triángulo abierto y a sus lados de baja tensión se aplican tensiones trifásicas equilibradas de valor nominal. abierto del secundario corriente de carga monofásica de 90 A, aDelun lado factor de potencia inductivosedetoma 0,80. una Si las impedancias equivalentes de los dos transformadores referidas al secundario son j1,08,0+ y 0,7 +j 5,0 ohm, ¿cuál es la tensión en la carga, y cuál es la tensión de secundario de cada uno de los transfor madores? 7. Dos transformadores monofásicos de 100 kV A, 6 600 : 230 V, 60 Hz están conec tados en triángulo abierto a un sistema trifásico con tensiones de 6 600 V, entre cada par de conductores de línea. Con los devanados de baja tensión cortocircuitados y 390 V a 60'Hz, aplicados a los devanados de alta tensión, cada transformador consume 17 A y 980 W. Si entre los terminales de secundario de cada transformador se coloca una carga monofásica de impedancia 0,36j +0,30 ohm a 60 H z, ¿cuál es la tensión de secundario en el lado abierto de la V? 8. Se quieren conectar tres transformadores en triángulo-triángulo, en la forma A sustancialmente indicada en la figura 5, para suministrar potencia a una carga trifásica equilibrada y a una carga monofásica B. Las condiciones de funcionamiento en las car gas son:
Carga continua
Carga A Carga B
56 kVA 30
Durante las dos horas de carga máxima Carga de pico de dos horaso continuación de carga continua Tensión en la Factor de po tencia carga 75 kVA 40
220 V 230
0,70 0,90
TRIFASICOS
DESEQUILIBRADOS
577
La impedancia compleja equivalente expresada a tanto por uno, de un transformador de distribución standard , puede suponerse que tiene el mismo valor, referido al valor nominal del transformador, para todos los valores nominales comprendidos entre 15 y 100kVA. Especificar la potencia nominal en k VA mínima permisible de cada transforma dor y calcular la razón de su carga de pico a su potencia nominal continua. Justifiqúense todas las aproximaciones o hipótesis realizadas en el curso de la solu ción.
CA
PI
TU
L O
XX
Conexiones trifásicas de autotransformadores Los autotransformadores pueden conectarse de varias maneras para transformar tensiones polifásicas . Las conexiones trifásicas comunes estudiadas en este capí tulo pueden emplearse tanto con tres autotransformadores monofásicos como con un autotransf ormad o trifásico con sus tres dev anado s para las tres fases arroll ados sobre un mismo núcleo magnético *. Nues tro estudio se refer irá, principa lmente , a la primera de estat posibilidades. 1
• Los autotransformadores se emplean rara vez cuando la razón de la s tensiones es mayor que la 1 : 1, ya que sus ventajas frente a los transformadores de dos cir cuitos son insignificantes para razones más elevadas de las tensiones, y puesto que con razones más elevadas es mayor el peligro que se produzcan sobretensiones en el sistema de baja tensión a causa de transitorios o averías. ^
1.
CONEX IÓN EN
ESTRELLA
DE AUTOTRANSFORMADORES
Tres autotransformadores monofásicos pueden conectarse en estrella, como se indica en la figura 1. En estas condiciones, el comportamiento del banco es análogo, en muchos aspectos, al de un banco de tres trans formadores de dos circuitos conectados en estrellaestrella. Si el neutro está aislado, como el de la figu ra 1, las tensiones respecto al neutro están desequili bradas a menos que los transformadores tengan características de excitación exactamente iguales. Ade má s, las tens ione s entre línea y neut ro con tie nen terceros armónicos relativamente grandes ori ginados por la supresión de los terceros armónicos de las corrientes de excitación **. Si se pone a tierra el neutro pero se aislan todos los demás neutros del „ , , ^ , , sistema , estos terceros armónicos de las tensione s ría . 1. Autotransformadores co. nectados en estrella respecto al neut ro puede n intensificarse much o por resonancia de las reactancias magnetizantes de frecuencia triple de los transformadores con las reactancias capacitivas de frecuencia triple de las líneas de transmisión respecto a tie rra ***. Si las líneas de trans misión tienen una capacidad apreciable respecto a tierra, no podrá ponerse a tierra el neutro de los autotransformadores a menos que Para más detalles acerca de las conexiones deios autotransformadores, L. F. BLUM véase E, editor, Transformer Engineering (New York:John Wiley & Sons,1938), capítulosviii y xvi. * Véase el capítulo X X VI . ** Est o no es cierto para un autotransformador del tipo de núcleo,trifásico, de tres ramas. Véase el apartado2a del capítulo XX VI . *** Véase el apartado 2d del capítulo XXIII. 1
578
CONEXIONES TRIFÁSICAS DE AUTOTRANSFORMADORES
V
el neutro del sistema se halle también puesto a tierra sólidamente en algún otro lugar, o a menos que los autotransformadores estén dotados de un triángulo de terciarios como se describió anteriormente. Si está aislado el neutro de los autotransformadores y los neutros del sistema no están puestos a tierra en otra parte, un fallo a tierra de la línea en el sistema de alta tensión aplicaría tensiones anormalmente elevadas entre dos de los terminales de baja tensión y tier ra. En consecuencia, no suelen emplea rse autotransformadores con neutros aislados en sistemas no puestos a tierra, a menos que la razón de tensio nes sea próxima a la unidad. Los terceros armónicos de las tensiones pueden eliminarse prácticamente por los mismos métodos utilizados a tal fin en los bancos estrella-estrella de transfor madores de dos circuitos. El método más satisfactorio es proveer a cada autotransfor mador de un terciario y conectar en triángulo estos terciarios, proporcionando así un circuito a los terceros armónicos de las corrientes de excitación. En estas condi ciones, conviene para la seguri dad personal conectar a tierr a el neutro de los autotransformadores, con lo que se reducen en gran manera los peligros debidos a ten siones anormales. 2.
CONEX IÓN
EN
TRIÁNGUL
O DE
AUTOTRANS
FORMAD ORES
Tres autotransformadores pueden conectarse en triángulo en la forma indicada en la figura 2 . Un posible inconveniente de esta conexión es que las tensiones de
C
F io . 2. Autotransformadores conectados en triángulo
F io . 3. Conexión de auto transformadores en triángulo prolongado
línea de los secundarios no están en concordancia de fase con las tensiones de línea de los primarios. Además, la mayor razón de transformación que puede obtenerse es 2 : 1. Como en la conexión triángulo-triángulo de transformadores de dos circuitos, los terceros armónicos de las corrientes de excitación circulan por el triángulo, pero no aparecen en las corrientes de línea. Los autotransformadores también pueden conectarse en triángulo como se in dica en la figura 3. en la cual los devanados serie se conectan en serie con las líneas de alta tensión y los devanados comunes se conectan en triángulo. Al igual que en la conexión triángulo de la figura 2, las tensiones de línea de primario y secundario no están en fase.
579
580
TRA NSFORMA DORES
CONEXIONES 3.
CON EXIÓN DE ATJ
TOTBANSFORMADORES
EN TRIÁNGULO
ABIERTO
A d ifer enci a de la conexión en triángulo, la conexión en triángulo abier to de aut otransformadores, indicada en la figura 4, no está restringida a razones de transfor mación inferiores a la 2 : 1. Además, si se prescinde de las caí das de tensión debidas a las impedancias de fuga, las tensiones de línea de primario y secundario están en concordia de fase. La conexión tiene algun a de las características de la co nexión en triángulo abierto de transformadores de dos deva nados *. Su factor de utilización es del 86,6 %; es decir, la potencia nominal trifásica del banco es el 86,6 % de las poten cias monofásicas nominales combinadas de los dos autotrans formadores. Por ser asimétrica la conexión, las caídas en las impedancias de los transformadores introducen un ligero desequilibrio, ordinariamente despreciable, en el circuito. Si los terminales de los primarios están alimentados por un F IG . 4. Cone xiónde autotransformadores generador conectado en es trella cuyo neutro esté puesto a en triángulo abierto tierra, las tensiones respecto a tierra de los secundarios están desequilibradas, ya que al conductor b del secundario se aplica la misma tensión que existe entre el conductor B del primario y tierra, pero las ten siones entre las líneas ab y be de los secundarios son diferentes de las tensiones entre las líneas AB y BC de los primarios.
TRIFÁSICAS DE AUTOTRANSFORMADORES
autotransfOTma
m 0 t
r
d
10
m t e
e
u
tores
ABC
autotransfor m adores
Luego , si se conectan ambos lados de prim ario y secundari o de un banco de autotransformadores conectados en triángulo abierto a circuitos conectados en estrella, sólo podrá conectarse a tierra el neutro de U no de los lados del banco, ya que existe una diferencia de tensión entre los neutros de los circuitos primarios y secundarios. ^ Si se pusieran a tierra las dos estrellas primaria y secundaria, se cortocircuitaría la diferencia de tensiones y por los circuitos primarios y secundarios circularía una corriente de cortocircuito. Este desplazamiento entre los neutros de los primarios y de los secundarios con stit uye una caracv dística que puede ser un a desventa ja de. la conexión en triángulo abierto de autotransformadores. 3a . Compensadores de arranque.La aplicación más común de la conexión en triángulo abierto de autotransformadores se encuentra en los compensadores de arranque utilizados para aplicar tensiones reducidas a los terminales de los inducidos de los motores trifásicos a fin de limitar las corrientes de arranque a valores que no sean peligrosos para los motores y que no srcinen caídas de tensión nocivas en las líneas de alimentación. El compensador de arranque consiste en dos autotransfor madores monofásicos, o una unidad trifásica, conectados en triángulo abierto, jun to con dis pos iti vos adecuad os de conmuta ción. En la figu ra 5 pueden verse las conexiones elementales, en las cuales M, S y R son interruptores accionados manual o magnéticamente, o bien disyuntores de inmersión en aceite. Para poner en marcha Véase el apartado 5 del capítulo XXI.
581
el motor, se cierran los interruptores M y 8 y se aplican al motor tensiones reducidas a través de los autotransformadores. Cuando el motor ha alcanzado su vdoddad máxima con las tensiones reducidas, se abren M y S y se cierra el inSrruníor 5 HnefTnr H °1 <^es desconectados y las tensiones 3 s d fá itre ^fi ^ ° - f " ? P »«el*i estar conectados mecánilmente entre s í a fin de aseg urar la sucesión adecuada de las fases de su fu n c i o n a n t e v muchas veces el compensador suele ir provisto de protección adecuada c ^í as subtens.ones y sobremtensidades. Como el servicio normal exigido al compensador es intermitente y de corta duración, los autotransformadores !e diseñan p^Tíun cmnar a grandes densidades de corriente en los devanados y fuertes aducciones magnéticas en los núcleos, a fin de lograr una mayor economía y cÓmpaddaT En funcionamiento contmuo se calentaría excesivamente en poco tiempo
(C)
F io . 6. Conexiones de un compen sador de arranque de una etapa
4. CONE XIÓN
EN
Fi o. 6.
Conexión en zigzag ydiagram as
vectoriales de corrientes y tensiones
ZIGZAG
Los transformadores de grupos polifásicos se montan a veces con los devanados de los diferentes transformadores conectados en serie. En la figura 6a puede verse uno de estos tipos de interconexión, que puede representar bien autotransformadores o bien los devanados primarios de transformadores de tres devanados cuyos secun darios no se han dibujado en la figura. Los devanados dibujados paralelos entre sí corresponden a un mismo transformador; por ejemplo, los devanados aa' y nc'. lodos los devanados tienen igual número de espiras. Obsérvese -que los terminales de igual polandad relativa están conectados juntos y que el circuito es simétrico. Si por los terminales a, b, c penetran corrientes I*, I*, I „ en el transformador cuyos devanados son aa' y nc' los ampere-espira totales'debidos a estas corrientes cumplen la relación vectorial, c
A (I«' + I» ') = ^(I r
£
a
, _! „, ),
<
1}
CONEXIONES TRIFÁSICAS DE AUTOTRANSFORMADORES
TRANSFORMADORES
582
donde iV es el número de espiras de un devanado. En la figura 66 pueden verse estas relaciones vectoriales para el orden de fases abe, de donde,
N(lan- I») = V 3 NI„n /-30°.
(2)
Si se conectaran en serie los devanados de un mismo transformador, como en la a conexión estrella de la figura 1, los ampere-espira del transformador en la fase serían 2NI . Es decir, en la conexión en zigzag la fuerza magnetomotnz total es V 3/2, o sea, 0,866 por la que habría si estuvieran conectados en serie los devanados de un mismo transformador. Ade mas si las tension es apli cada s están equi lib rada s, también lo están las te n siones inducidas en los devanados por los flujos resultantes en los núcleos, como se indica en la figura 6c en la que los vectores representan las fuerzas electromotrices o elevaciones de potencial en los sentidos indicados por el orden de los subíndices. m
LUeg
°'
E = E > + E ' M
M
a
(3)
a
= — E .. + E_' 0
(4)
B
= V 3 E.. /30°.
(5)
fl
Si se conectaran en serie los devanados de un mismo transformador, como en la conexión en estrella de la figura 1, la tensión inducida E entre línea y neutro serla 2 E Así, pues, en la conexión en zigzag, la tensión inducida entre línea y neutro para" un flujo dado en el núcleo es V 3/2 o sea, 0,866 por el valor que tendría en una conexión en estrella. En consecuencia, para una tensión dada E entre línea y neutro se precisan 1/0,866 ó sea, 1,15 veces más espiras cuando se conectan en zigzag los devanados (fig. 6o), que cuando se conectan en estrella, si debe ser la misma la magnitud del flujo magnético en el núcleo. En la conexión en zigzag existe un defasaje de 30° entre las tensio nes de línea a neu tro y las tensio nes ind ucid as en los de va nados correspondientes. n al neutro Si las tensiones aplicadas están equilibradas y se conecta el neutro del generador, podrán existir terceros armónicos iguales en las corrientes que pe netran en los transformadores por los terminales o, 6, c. No obstante, estos terceros armónicos no crean ningún efecto magnetizante total, ya que circulan en sentidos opuestos por los dos devanados de cada núcleo; es decir, el tercer armónico de la corriente de la fase a circula en el sentido oo', mientras que en el sentido contrario c'n circula un tercer armónico de la corriente de la fase c igual y en concordancia de fase con el anterior, y, como los devanados oo' y nc' se hallan sobre el mismo nú cleo la fuerza magnetomot riz tot al, de bida a los terceros arm ómeos, que actúa n como si está conec sobre el núcleo es nula *. Luego, tanto si está aislado el punto tado al neutro del generador, no hay fuerza magnetomotriz creada por los terceros armónicos en cada núcleo y, en consecuencia, la ausencia de las fuerzas magnetomotrices de los terceros armómeos (necesarias para permitir la variación sinusoidal M
a V
M
583
de los flujos) se traduce en un tercer armónico de la tensión inducida en cada uno de los seis devanados. Como estos terceros armónicos de 1as tensiones en cada uno de los devanados son iguales y están en concordancia de fase, y como la tensión E entre línea y neutro es igual a la diferencia entre las tensiones generadas de dos de vanados (ec. 4), no habrá ningún tercer armónico en la tensión entre línea y neutro, como ocurriría en un banco conectado en estrella y con neutro aislado. 4a. Transformadores de puesta a tierra conectados en zigzag. Si se pone a tierra
el punto neutro n de la figura 6«, los transformadores interconectados reciben el nombre de transformadores de puesta a tierra, siendo el único fin del banco poner a tierra el neutro de otro sistema que, de no ser así, quedaría aislado. Si es simétrico el sistema total al que se conectan los transformadores, las tensiones entre línea y neutro en éstos estarán equilibradas y las corrientes que penetran en los transfor madores bastan solamente para excitarlos. Si en el sistema hubiera una asimetría debida, por ejemplo, a un fallo a tierra de la línea, con lo que las tensiones entre línea an, bn y en y neutro en los transformadores no estarían equilibradas, por las fases de los transformadores de puesta a tierra pueden circular corrientes componentes que sean iguales entre sí y estén en concordancia de fase. Si se analiza el sistema asimétrico por el método de las componentes simétricas, las corrientes componentes que sean iguales y estén en concordancia de fase son las componentes de secuencia a' y de c ' a n en un mismo cero. Las corrientes de secuencia cero que circulan de o a transformador no crean imanación total en el núcleo, ya que dichas corrientes cir culan en sentidos contrarios respecto al núcleo. En conse —@ t t ,< cuencia, la tensión entre línea y neutro necesaria para many r-vw^ (y\ i tener esta corriente de secuencia cero es igual al producto de la inten sidad de la corriente por la suma de las impe ^ | 1 _' a'n. los dancias de fuga de los devanados aa' yCuando *á transformadores son exactamente iguales, puede medirse í esta impedancia conectando en serie-oposición los dos de vanados de un transform ador —como se in dic a en la figu¿¡ - ' ™ ^pe^noia™ tensión ^" 0 ™^ , *^* ra 7— aplicando una baja, y midien do la tensión, _ la intensida d y la potencia. Por s er la imped ancia de fuga banco de autotransforcomb ina da de los dos devan ados del ord en de 0,002 de la madores en zigzag impedancia de excitación, los transformadores ofrecen una impedancia mucho menor a las corrientes de secuencia cero que a las corrientes de excitación equilibradas que circulan cuando el sistema completo está equilibrado. Por tanto, en condiciones normales precisan muy poca corriente de excitación, pero proporcionan un camino a tierra de impedancia relativamente baja, manteniendo así el neutro del sistema al potencial de tierra. En el caso de un fallo a tierra de una línea del sistema, los transformadores de puesta a tierra permiten la circulación de una corriente de avería lo suficientemente intensa para accionar los relés pro tectores. m
I
r
7
PROBLEMAS
1. Se conectan en triángulo, como el de la figura 2, tres autotransformadore s iguales • Como las corrientes de secuencia cero del método de las compon entes simétricas son igua de razón 2 :1 . Con tensi ones aplica das equilibradas y una carga equilibrada I ampere de les y están en fase, se comportan como terceros armónicos de corrientes de excitación equihbraabe, ¡cuáles son las intensidades de la com ent e de línea das Es ta característica de las corrientes de secuencia cero se estudia en la parte (a) de este ap artado.por fase en el circuito secundario
CA
TRANSFORMADORES
584
del primario I , y de las corrientesI e I de los devanados? ¿Qué defasajes tienen estas corrientes? 2. Lo s autotrans formadores de razón 2 : 1 de la figura 2 alimentan una carga mono fásica de I ampere conectada a los terminalesab. ¿Cuáles son las int ensidades de las co rrientes de línea en cada uno de los terminales primarios A, B y C? 3. Tres -autotran sformadore s de razón 2 : 1 están montados en estrell a, como en la figura 1. Entre los terminalesab del secundario se conecta una carga de lámparas que conduce / ampere, y entre los terminales 6c se conecta otra carga que consume la misma intensidad con un factor de potencia 0,50, corrien te retrasada. ¿Cuáles son las intensidades de las corrientes que circulan por los devanados de cada transformador? 4. Se conectan tres autotransformadore s en triángulo prolo ngado , como en la fi gura 3. La razón de las tensiones de línea de primario a secundario es de 2 : 1. ¿Cuál debe ser la razón de los números de espiras de los dos devanados de cada transformador? ¿Cuál es el defasaje entre la tensión V del primario y la V„b del secundario? Si a los terminale s o6c de los secundarios se conecta una carga equ ilib rada de lámparas, ¿cuál es el defasaje entre la corriente de línea 1 del primario y la tensión de línea \del primario ? 5. A los terminales del secundario de cada uno de los tres grupos de autotransfor madores montados como se indica en las figuras 1, 2 y 3, se conecta una carga resistiva equilibrada. Compárense los efectos producidos abriendo el disyuntor de la línea A en estos tres montajes. A
Aa
PI
TU
LO
XX
VI
An
AB
A
A B
Transformadores trifásicos En la transformación de potencia trifásica se prefiere frecuentemente un trans formador trifásico a un banco de tres unidades monofásicas. El transformador trifá sico suele ser menos caro que un banco de tres unidades monofásicas de igual potencia nominal, porque los devanados de la unidad trifásica están colocados sobre un núcleo magnético común en vez de sobre tres independientes, traduciéndose la consolida cion en un considerable ahorro de material. Al igual que en los transformadores monofásicos, la disposición del circuito magnético clasifica a los transformadores trifásicos en transformadores detipo acorazado en los que el circuito magnético es una coraza que rodea a los devanados, y de tipo de núcleo, en los que el circuito magnético es un núcleo rodeado por los devanados.
1. TIPO
ACORAZ ADO
Consideremos tres transformadores monofásicos con sus núcleos reunidos de ma nera que se toquen, según indica la figura la. La única diferencia entre esta dispo sición de tres transformadores monofásicos y el transformador trifásico indicado en la figura 16, es que las láminas del núcleo de este último están entrelazadas; ^Devanados
B
1*1
Núcleos
<*>
Fio. 1.
(b)
a) tres transformadores monofásicos, Transformador de tipo acorazado; y b) la unidad trifásica correspondiente
las tres partes del núcleo no están separadas. Esta unidad de los núcleos magnéticos hace que los flujos en el núcleo correspondientes a fases diferentes se superpongan en las partes del núcleo indicadas por D, E, F, G de la figura 16, lo que permite, según se vera más adelante, un ahorro considerable de material en el núcleo Supongamos que el transformador funciona con tensiones inducidas sinusoidales equilibradas. Los flujos en el núcleo que atraviesan los tres primarios deberán tener forma de onda sinusoidal y estar equilibrados, y pueden representarse por los vec tores 9 , cp„ 0c de la figura 2a. Los tres devanados prima rios pueden conect arse simétricamente en el circui to de manera que los sentidos positivo s de los flujos en el núcleo f ,
A
B
C
585
TRANSFORMADORES
586
TRANSFORMADORES
en la figura 2 c. En la figura 26, los flujos en las partes indicadas Dpor y E en la figura 16 son, cada uno de ellos, iguales al (0/ 2— 0 B), y del diagrama vectorial de la figura2a, la magn itud de cada un o de est os flujo s resulta ser( V 3/2)
A
A
TRIFÁSICOS
587
jos son los mis mos que existi rían en tra snf orma dore s monofá sicos . La superpos ición de los flujos no afecta de manera importante al funciona miento del transformador trifásico del tipo acorazado salvo en modificar las formas de onda y desequilibrar ligeramente las intensidades de las corrientes de excitación. • Así, pues, no exist e diferencia sustancial entre las carac terísticas de funcionamiento de un transformador trifásico del tipo acorazado y un grupo de tres transformadores Fi o. 3. Comparación de monofásicos conectados en forma análoga. ^ diseños con transformado res monofásicos y trifá sicos del tipo aoorazado. 2. TIPO DE NÚCL EO CON TRE S RAMAS La parte sombreada indi ca el material del núcleo Consideremos un grupo de tres transformadores mono que se ahorra en el diseño fásicos del tipo de núcleo cuyos devanados se hallen trifásioo situados en una misma rama en cada transformador, como se indica esquemáticamente en la figura 6a. Si las tensiones inducidas están
Ifi
(b)
(c)
F io . 2. Relaciones de losflujos en un transformador trifásico de tipo acorazado; a) diagrama vectorial para tensiones de fase equilibradas, b) sentidos positivos de los flujos para devanados conectados simétricamente,c)y sentidos positivos de los flujos cuando se invierten las cone xiones de la fase central. El método normal de conexión es el indicado en (c) inducción magnética máxima, el área de la sección recta del núcleo en los espacios D, E, F, G entre las fases, cuando se invierten las conexiones de Ja fase central (fig. 2c), basta que sea igual al producto de V1/3, o sea, 0,58 por el área de la sección recta para el caso en que se realicen las conexiones de manera que los sentidos po sitivos de los flujos en el núcleo sean los mismos (fig. 26). • Por tant o, las conexiones de la fase centra l de un transform ador trifásico de tipo acorazado se invierten siempre para que los sentidos positivos de los flujos sean los indicados en la figura 2c. ^ Cuan do se realizan las conexiones como en la figura 2 c, la ma gnitu d del flujo en las partes D, E, F, G del núcleo es la misma que las de los flujos en las partes correspondientes del núcleo en un transformador monofásico del tipo acorazado. En consecuencia, el núcleo de un transformador trifásico del tipo acorazado contiene menos material que los núcleos de tres transformadores monofásicos del tipo aco razado diseñados para igual flujo en el núcleo e igual inducción magnética máxima. La parte sombrea da de la figura 3 muestra el material d el núcleo que puede ahorrarse con el diseño trifásico. En todas las partes del núcleo, exceptuando lo anteriormente indicado, los flu-
Fi o. 4 . Partes operantes de un auto- Fi o. 5. Núcleo, bobinas y conjunto de entransformador trifásico del tipo acora- trada de un transformador tri fásico para zado cuyos valores nominales son: servicios intensos utilizado para suministrar 60 H z, 36 000 kV A, 34 500 : 13 800 V. potencia a un horno eléctrico de 75 tone¬ ladas de capacidad para cada carga. Los valores nominales son: 25 Hz, 15 000 kVA, 6 600 : 242 V, triángulo-triángulo, con un juego de tomas. Este transformador tiene un núcleo de 5 ramas. Sus características eléctricas son análogas a las de una unidad trifásica del tipo acorazado equilibradas y varían sinusoidalmente, los flujos en los núcleos también estarán equi librados y tendrán forma de onda sinusoidal y, en consecuencia, su suma es nula
5««
TRANSFORMADORES
en todo instante. Si se disponen los transformadores de manera que los sentidos positivos de sus flujos en el núcleo sean los mismos en las ramas adyacentes de los núcleos, como en la figura 6o, la suma instantánea de los flujos en estas ramas es nula. Luego, si se unen los núcleos por las partes superior e inferior, formando dos yugos en forma de Y como en la figura 66, pueden suprimirse las ramas de los núcleos
TRANSFORMADORES
TRIFÁSICOS
589
el tipo de núcleo de tres ramas el flujo desequilibrado debe cerrar su circuito a través
del aire.
y Así, pues, las característica s de los transform adores trifásicos del tip o de nú cleo y del tipo acorazado serán diferentes cuando la suma instantánea de los flujos de las fases no sea nula. Con esta excepción —que puede ser importante en las cir cunstancias que se estudian a continuación— no existe ninguna diferencia sustan cial entre las características eléctricas de un transformador trifásico del tipo de núcleo y un transformado r trifásico del tipo acorazado o un grupo de transformadores mo nofásicos, conectados en forma análoga.^
F io . 6. Síntesis de un transformador trifásico de tres ramas, tipo de núoleo, a partir de tres unidades monofásicas
situadas en el centro, indicadas por la línea de trazos, sin que se perturben los flujos o las corrientes de excitación. La s condiciones en el c ircuito magnético son análogas a las deUn circuito eléctrico que contenga un generador conectado en estrella y u na carga conectada en estrella, siendo las ramas centrales del núcleo el equivalente magnético de una conexión eléctrica de baja impedancia entre loe neutros del gene rador y de la carga. En la analogía con los circuitos eléctricos si la suma instantánea de las corrientes de linea suministradas a la carga es nula , no circulará corriente por el conductor neutro, el cual podrá suprimirse sin perturbar el circuito. En cambio, en el circuito eléctrico, si no es nula la suma instantánea de las intensidades de las corrientes de línea cuando se conectan los neutros del generador y de la carga, la supresión del conductor neutro perturbaría el circu ito. Análogamente, sie n el circuito magnético de la figura 66, por cualquier razón, no se anulara la su ma de flujos en las ramas centrales dibujadas c on línea de trazos, la supresión de estas ramas perturba ría la distribución de los flujos. El flujo desequilibrado tendría que cerrar su circuito a través del camino de gran reluctancia constituido por el aire desde el yugoD superior hasta el inferiorE, de la figura66. La analogía en el circuito eléctrico sería la inser ción de un c onductor neutro de impedancia elevada. En el transformador real del tipo de núcleo de tres ramas, no existen las ramas centrales punteadas en la figura 66, se reducen a cero las partes horizontales del núcleo del transformador B, y los núcleos se disponen en un mismo plano, según puede verse en las figuras 6c y 7. El resultado es u n considerable ahorro de material en el núcleo. Esta construcción desequilibra ligeramente los circuitos magnéticos, con loque se desequilibran algo las corrientes de excitación. En este aspecto son análogos los transformadores de los tipos de núcleo y acorazado. No obstante, en el tipo acorazado existe en cada fase un camino de hierro para el flujo, mientras en
F io . 7. Núcleo y bobinas de un transformador trifásico de potencia del tipo de núcleo con tres ramas, refrigerado por aire
La suma instantánea de flujos de fase puede no ser nula, bien a causa de los ter ceros armónicos del flujo resultantes de los fenómenos de excitación en la conexión estrella-estrella, o bien a causa de corrientes desequilibradas con componentes de secuencia cero. En las dos secciones siguientes de este apartado se estudian las ca racterísticas de los transformadores trifásicos del tipo de núcleo de tres ramas que se hallen en estas condiciones. 2a. Fenómenos de excitación en los transformadores trifásicos del tipo de núeleo de tres ramas conectados en estrella-estrella. Si se conectan en estrella los primarios
con su neutro aislado, la suma de las intensidades de las corrientes de excitación
590
TRANSFORMADORES
TRANSFORMADORES
debe ser nula. Si el circuito magnético fuera perfectamente simétrico y a los tres terminales de línea de los primarios se aplicaran tensiones de línea sinusoidales equi libradas, las corrientes de excitación estarían equilibradas; es decir, serían de igual intensidad y forma de onda y estarían defasadas en un tercio de periodo. El dese quilibrio en el circuito magnético debido a la construcción trifásica de tipo de nú cleo es tan pequeño que para los fines de este estudio pueden considerarse las corrien tes de excitación como sustancialmente equilibradas. Si es cero la suma de tres corrientes equilibradas (a causa del neutro aislado), las corrientes no pueden contener armónicos terceros o de orden múltiplo del tercero. Esto es igual que la condición existente cuando se conectan en estrella con el neutro aislado, tres transformadores monofásicos. En el caso de transformadores monofásicos, la supresión de los terceros armó nicos de las corrientes de excitación introduce terceros armónicos en los flujos, por lo que existen terceros armónicos importantes en las tensiones entre línea y neutro del banco. En el apartado 2d del ca pítulo X X I I I se es tudian las características perjudiciales de estos terceros armónicos de las tensiones. Sin embargo, el comportamiento de un transforma dor trifásico del tipo de núcleo de tres ramas es total mente diferente. Los terceros armónicos de los flujos en el núcleo están en concordancia de fase y en consecuen cia el circuito magnético para los terceros armónicos del flujo se completa a través del aire desde el yugo superior Fi g. 8. Caminos de los ter D al inferior E, según se indica en la figura 8. La gran ceros armónicos y otras com reluctancia de este camino de aire limita los terceros ponentes de secuencia ceroarmónicos de los flujos a valores pequeños y por tanto del flujo en un transforma los terceros armónicos de las tensiones entre línea y neu dor trifásico del tipo de nú tro son relativamente pequeños. cleo de tres ramas • Así, pues, un transfo rmador del tipo de núcleo de tres ramas puede conectarse en estrella-estrella con neutros aislados sin que se produzcan terceros armónicos importantes de las tensiones respecto al neutro, como ocurriría en un banco de trans formadores mon ofásicos o en un transfor mador trifásico del tipo acorazado conecta do de igu al maner a. ^ Las características magnéticas del hierro exigen un tercer armónico del campo magnético de excitación cuando varía sinusoidalmente la inducción magnética; con todo, en el transformador del tipo de núcleo de tres ramas resulta una variación de flujos sustancialmente sinusoidal aun cuando se supriman los terceros armónicos de las corrientes de excitación mediante la conexión estrella-estrella con neutros aislados. A primera vista, estas dos aseveraciones parecen contradictorias, pero profundizando en ellas sé ve que no lo son. En realidad, existen terceros armónicos relativamente pequeños de los flujos, cuyos caminos van por el aire desde el yugo superior D hasta el inferior E de la figura 8. Para crear estos terceros armónicos de los flujos, debe existir un tercer armónico de la caída de potencial magnético a través del camino en el aire desde E hasta D. En consecuencia, existe una diferencia de potencial magnético resultante que actúa sobre cada una de las ramas verticales del núcleo, debida en parte a la fuerza magnetomo triz de la corriente de excitación
TRIFÁSICOS
591
y en parte al efecto de los armónicos, del flujo tercero y de orden múltiplo del tercero. El tercer armónico del flujo se ajusta por sí mismo de manera que el tercer armónico' de la elevación de potencial magnético que actúa sobre cada rama vertical del núcleo desde E a D —según se requiere para la existencia del tercer armónico del flujo en el camino en el aire desde D hasta E— sea igual al tercer armónico de la fuerza D magnetomotriz exigida por el hierro. Como la reluctancia del camino de aire desde hasta E es relativamente elevada, un tercer armónico del flujo relativamente pe queño se traduce en un tercer armónico mucho más importante de la fuerza magne tomotriz requerida por el hierro, y por tanto la variación de flujo es casi sinusoidal 26. Corrientes desecuencia cero en lo s transformador es del tipo de núcleo de tres
ramas. Consideremos un transfo rmador del tip o de núcleo, de tres ramas, conecta do en estrella-estrella, que suministre potencia a una carga trifásica conectada en estrella. El neutro de los secundarios está conectado al neutro de la carga. Si ésta está desequilibrada, la suma instantánea de las intensidades de las corrientes de línea suministradas a la carga puede no ser nula, por lo que por el hilo neutro de los secundarios puede circular corriente. Si se analiza e l circuito por el método de las componentes simétricas, la corriente que circula por cada fase contiene una com ponente de secuencia cero igual a un tercio de la corriente que circula por el neutro. Si se conecta el neutro de los primarios al del generador, cada fase del primario recibe su potencia independientemente de las otras fases. En estas condiciones y prescindiendo de las corrientes de excitación, las corrientes de primario y secundario crean fuerzas magnetomotrices iguales y opuestas y por tanto, las corrientes de primario y secundario tienen intensidades inversamente proporcionales a los números de espiras de los devanados de primario y de secundario, y cada fase del transfor mador es equivalente a un transformador monofásico ideal en serie con la impedancia equivalente o en cortocircuito de los dos devanados. Así, pues, cuando se conecta el neutro del primario al del generador, no existe diferencia esencial entre el compor tamiento de un transformador del tipo de núcleo, de tres ramas, conectado en estrellaestrella y un banco de transformadores monofásicos conectado de manera análoga. En cambio, si está aislado el neutro de los primarios, la suma instantánea de las intensidades de las corrientes que circulan por las líneas de los primarios debe ser nul a; es decir, no puede haber c orrientes de prima rio de secuenc ia cero. Si se pres cinde de los efectos de las corrientes de excitación, la suma instantánea de las inten sidades de las corrientes que circulan por los secundarios deberá ser, por tanto, también nula; es decir, las únicas corrientes de secundario de secuencia cero que pue den existir son corrientes de excitación, ya que sólo están presentes en un devanado de cada fase sin inducir en el otro devanado una componente de carga de la corriente igual y opuesta. En el caso de un banco estrella-estrella de transformadores monofásicos (o de un transformador trifásico del tipo acorazado conectado en forma análoga) cuando el neutro de primarios está aislado del neutro de la carga, todo intento de suminis trar corriente a una carga monofásica conectada al neutro de los secundarios hará circular por los dos transformadores descargados corrientes de excitación mayores de lo normal, y por tanto desequilibrarán en gran manera las tensiones respecto al neutro *. Cuando se desequilibran las tensiones respecto al neutro, también se de¬ *
Véaseel apartado 26 del capitulo XX I.
TRANSFORMADORES
592
TRANSFORMADORES
TRIFÁSICOS
gequilibran los flujos; es decir, su suma instantánea no es nula, y contienen compo nentes de secuencia cero. Sin embargo, en un transformador del tipo de núcleo, de tres ramas, el flujo des equilibrado de secuencia cero debe completar su circuito a través del camino de aire de gran reluctancia desde el yugo superior D hasta el yugo inferior E de la figura 8. En este aspecto, el flujo debido a las corrientes desequilibradas de secuencia a) de este apartado. cero es como el tercer armónico del flujo descrito en la parte
y Así, pues, en un transfo rmador del tipo de núcleo, de tres ramas, el flujo des equilibrado de secuencia cero está limitado a un valor relativamente pequeño y por tanto las tensiones respecto al neutro tienden a permanecer equilibradas, a pesar de las fuerzas magnetomotrices desequilibradas resultantes de la carga monofásica unida al neutro. Conectando entre línea y neutro de un transformador del tipo de núcleo, de tres ramas, conectado en estrella-estrella, una carga monofásica igual a un tanto por ciento no muy grande de la potencia nominal trifásica, podrá ser ali mentada sin desequilibrar seriamente las tensiones de fase, aun cuando estuviera aislado el neutro de los primarios 3.
CONEXIÓN EN TRIÁNGULO
ABIERTO DE
TRANSFORM
ADORES TRI
FÁSI COS
Si se avería una fase de un transformador trifásico conectado en triángulo-trián gulo, puede conectarse el transformador en triángulo abierto y utilizarlo para ali mentar cargas de hasta 1/V3 » 0,58 de su pote ncia nom in al *. Los devan ados primario y secundario de la fase averiada deberán desconectarse del circuito. En el caso de un transformador del tipo acorazado, estos devanados pueden es tar o en circuito abierto o cortocircuitados. Si están en circuito abierto, en ellos se inducen tensiones cuyos valores pueden ser de, aproximadamente, la cuarta parte de la tensión nominal. Si están en cortocircuito, las tensiones inducidas crean co rrientes de cortocircuito, pero el efecto magnético de estas corrientes inducidas obligan a que la mayor parte del flujo discurra por caminos que no abrazan a los devanados en cortocircuito. Por tanto, las corrientes en los devanados cortocircuitados son relativamente débiles. 0 se a
y Si n embargo, en los transformadores del tip o de núcleo, de t res ram as, los dos devanados de la fase averiada deben dejarse en circuito abierto,ya que los caminos de retorno de los flujos de las otras dos fases deben atravesar el núcleo de la fase averiada. Así, pues, si la avería es un cortocircuito interno, será imposible hacer funcionar en triángulo abierto un transformador del tipo de núcleo, de tres ramas, sin abri r antes el tanque y qui tar el cortoci rcuito . ^ 4.
COMPARACIÓN DE
LOS
TRANSF ORMAD ORES
TR IFÁSICOS
Y MONOFÁSICOS
Se ha visto en los apartados anteriores que la superposición de los circuitos mag néticos se traduce en un ahorro considerable de material en el núcleo de un transfor mador trifásico si se considera el material que se emplearía en los núcleos de un banco * Para profundizarmás enestetema,véase L. F. BLUME, (New York: John Wi ley & Sons,1938), 188-19 0. * Véase el apartado5 del capítuloXX I.
editor, Tranaformer Engineering
Fi o. 10. Subcentral trifásica de 750 kVA 13 800 : 4 800 V. Además del transformador, el equipo incluye interruptores y fusibles para alta tensión, disyuntor de baja tensión y un cambiador de tomas automátioo para 13 800 V.
TRANSFORMADORES
594
de tres unidades monofásicas de características análogas. Además, mientras tres unidades monofásicas pueden precisar seis pasatapas de alta tensión y seis de baja, un transformador trifásico sólo requiere tres de cada clase, realizándose las conexio nes entre las fases en un cuadro de terminales interior. El tanque único de mayor tamaño de u n transformador trifásico puede costar menos que los tres tanques me nores de u n banco de unidades monofásicas. Sin embargo, la unidad trifásica puede necesitar radiadores u otros medios de refrigeración más caros. El resultado de esto s ahorros de mat eri al es que, en tamaños para transform adores de potencia, un transformador trifásico suele costar y pesar menos que un banco de transformadores monofásicos de características análogas. No obstante, deberán observarse ciertas excepciones a esta aseveración. En tamaños pequeños ( es decir, para potencias nomirales del banco inferiores a 30 0 kVA, o sea 100 k V A por fase) y para tensiones normales de los circuitos de distribución, se tiene una demanda mucho mayor de transformadores monofásicos que de unidades trifásicas; en consecuencia, el costo de fabricación inferior resultante de una producción en cantidad de unidades monofásicas compensa el costo probablemente mayor de los materiales. Para estas potencias nominales, pues, no existe una diferencia sustancial entre los costos de un transformador trifásico y de un banco de transformadores monofásicos. Además, en tamaños pequeños, la unidad trifásica puede contener en realidad más material y peso que tres unidades monofásicas de igual potencia nominal del banco, especial mente cuando par a las unidades monofásicas se emplea el diseño de núcle o arro llad o *. e inconvenientes de unresumirse transformador o compa radoLas conpri unncipales banco deventajas unidades monofásicas pueden de la trifásic manera siguiente: Ventajas de los transformadores trifásicos
1. 2. 3. 4.
Suele costar menos. Suele pesar menos. Ocup a menos espacio. Sólo hay que manejar y conectar una unida d.
Inconvenientes
1. Mayor peso por unid ad. 2. Mayor costo de las unidades de recambio. 3. Mayor costo de las reparaciones. PROBLEMAS
1. Al devanado de baja tensión de la rama central de un transformador t rifásico del tipo de núcleo, de tres ramas, se apl ica un a tensión mo nofási ca V dey 110 de frecuen cia nominal. La intensidad de la corriente es de 1,0 A cuando todos los demás devanados están en circuito abierto. a) ¿Cuále s son las tensiones en circuito abierto d e cada uno de los otros dos dev a nados de baj a tensión ? b) Si se cortoci rcuita uno de los devanados de baja tensión, ¿cuál es la tensión en circuito abierto del otro devanado de baja tensión? Estímese la corriente en el de vanado cortoeircuitado . * Véaso el apartado 1 del capítulo XI .
TRANSFORMADORES
TRIFÁSICOS
595
tenc/a £ 1 o ° ° " ° de los devanados de baja tensión y se conecta una resis tencia de 10 ohm entre los terminales del otro devanado de baia tensión J=í • , mtensidad de la corriente quecircula por cada uno de fos C
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de los
devanados
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son despreciabies
2. Los deva nados de baja tensión de un transformador trifásico del tipo de núcleo Jo tres ramas se conectan en triángulo y a los terminales de éste se trifásicas equilibradas de 440 V a la frecuencia nominal. aplic an tensiones bi se desconecta de los otros y de la alimentación trifásica el devanado de baia ten sion de la rama central, ¿qué tens ión se gene ra en él? Esta desco nexió n, ¿har á a u T e i o disminuir las comentes en vacío de los otros dos devanados de baja? ' i ; J fusión central de un transformador trifásico del tipo acórazado se aplica la ten sió n nomina l de 2 400 V, a la frecuenci a nominal. E stima r la tendón en circuito abierto generada en cada uno de los otros dos devanados de baa^tensón
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VI
TRANSFORMADORES
I
Transformadores multicircuito En muchas ocasiones se utilizan transformadores mono- o trifásicos para interconectar tres o más circuitos independientes. Aun cuando pueden utilizarse transfor madores de dos devanados, se pueden obtener los mismos resultados a un costo inferior y con pérdidas menores empleando transformadores que tengan tres o más devanados independientes. Eje mpl o de aplicación monofásica es el transformador de distribución que ali menta un circuito de tres hilos a 120/240 V mediante dos secundarios, cada uno de los cuales' puede cargarse independientemente. El análisis de un tal transformador, cuando esté alimentando cargas desiguales a 120 V, debe basarse en la teoría del transformador de tres circuitos. Una aplicación algo parecida en circuitos de comu nicación la constituyen los transformadores con toma central en el secundario, utili zados en los amplificadores con válvulas de vacío trabajando en contrafase . Un a aplicación trifásica común de los transformadores de tres circuit os se encuentra en la conexión est rella-estrella-triángulo descrit a en el apartado 36 del capítulo X X I I I . El triángulo de terciarios proporciona un circuito a los terceros armónicos de las corrientes de excitación, cuya ausencia podría introducir terceros armónicos nocivos en las tensiones respecto al neutro de los devanados conectados en estrell a. También los ter 1
ciarios pueden suministrar potencia apara una regular carga local, tal como aparatoso auxiliares condensadores sincrónicos utilizados el factor de potencia la tensióno . Es a menudo conveniente alimentar un sistema de distribución importante a partir de dos sistemas de transmisión separados —que pueden ser de tensiones di ferentes— de manera que en el caso de avería de una u otra línea de transmisión el sistema de distribución pueda ser alimentado por el otro generador. En estas con diciones suelen utilizarse transformadores de tres circuitos. A veces, un sis tema de distribució n grande se div id e en dos parte s alim enta das cada una de ellas por un grupo independiente de devanados de un banco trifásico de transformadores de tres circuitos. Cuando se subdivide la carga de esta manera, las corrientes resultantes de cortocircuitos accidentales pueden reducirse sin afec tar en forma contraproducente la regulación de tensión. Así, pues, con una carga subdividida, cada devanado secundario suministra sólo parte de la corriente de carga y por tanto puede diseñarse para tener una reactancia de fuga mayor de la que sería permisible para la misma regulación de tensión con una carga sin dividir. Una mayor reactancia de fuga se traduce en una corriente de cortocircuito más débil. Otro empleo común de los transformadores multicircuito se encuentra en los bancos de transformadores para transformación de fase. Empleando un banco adecuadamente conectado de transformadores multicircuito, puede obtenerse, por 2
MULTICIRCUITO
597
ejemplo, potencia hexafásica a partir de una alimentación trifásica. Estas conexiones de los tr ansfor madores se e studian en el capít ulo XX V I I I . Se utili zan muchos tipos de tr ansform adores multicircuito. Los circuitos exterio res puede n conectarse todos a devanad os separados que están aislado s entre sí, o bien pueden haber partes de devanados que sean comunes a dos o más circuitos, como ocurre en los autotransformadores *. Lo s transformadores uti lizad os en montaj es trifásicos pue den ser trans forma dores monofásico s o trifásicos de los tipos de núcleo o acorazados con varios devanados por fase. Los devanados trifá sicos pueden conectarse de varias maneras, siendo los montajes más comunes las conexiones en estrella y en triángulo. Como el funcionamiento de los circuitos trifásicos equilibrados puede determi narse analizando una fase única **, y puesto que (salvo para los fenómenos de exci tación) las características por fase de un transformador trifásico no son diferentes de las de uno monofásico, la teoría del transformador monofásico multicircuito de sarrollada en este capítulo es aplicable sobre una base por fase a problemas trifásicos en que intervengan transformadores trifásicos o bancos de transformadores mono fásicos ***. Además, el análisis es aplicable a las características externas de los autotransformadores tanto como a los transformadores que tengan devanados separados, ya que las características de un autotransformador vistas desde sus terminales pue den calcularse a partir de sus impedancias en circuito abierto y cortocircuito por los mismos métodos de análisis aplicables a un transformador que tenga devanados separados §. Aun cuando las corrientes que circulan por algunos de los devanados de un autotransformador son algo diferentes de las que circulan por los circuitos exteriores, pueden calcularse fácilmente a partir de las corrientes de los circuitos. Del empleo de transformadores multicircuito surgen problemas importantes tales como los de la regulación de tensión, corrientes de cortocircuito, división de la ca'rga entre los circuitos, y el comportamiento de los transformadores multicir cuito puestos en paralelo con otros transformadores. Para resolver estos problemas es necesario conocer las características de un transformador multicircuito como ele mento de impedancia en los circuitos a los que se conecte. El estudio que sigue tiende a desarrollar métodos de análisis sobre los que puedan fundarse la solución de estos problemas y otros análogos. 1.
TEOR ÍA GENERAL DE
LOS TRANSFORMADORES
MULTICIR CUITO
n devanados, todos La figura 1 muestra esquemáticamente un transformador de ellos situados sobre un mismo núcleo magnético. Este circuito puede representar o
* Véase capítulo XV . ** El análisis de circui tos desequilibrados por el méto do de las com ponentessimétricas tam bién entraña el m ism o análisis por fase. *** En el análisis de los circuitos po lifásicos ios que en haya conexiones cruzadas entre deva nados de núcle os magnéticos diferente s —como en laconex ión zigza g del apartado 4, del capí tulo XXV , y en muchos circui tos para transformac ión de fase— el análisis siguientees aplicable sobre una base monofásica a todos los devanados sobre un mismo núcleo magnético, pero no se podrá considerar cada fase l ci de rcuit o eléctrico como un problema monof ásico, porque cada Los am plificadores de válvulas en contrafase (push-pull) se estudian en A. L. A LB EB T, corriente de lase rcula ci por dos o más devanad os cruzados y afecta do a s o más núcleos magné Electrónica y dispositivos electrónicos,Ed. Reverte, Barcelona, 1962. ticos. Para un análisis de circuitos en los que intervienen devanados cruzados, 4vé BOYAase * Para un estudio de los transformadoresmulti circuit o con condensadores sincrónicos, JIAX, «Progress in Three -C 'iruuit Theory,» A.I.E.E. Trans., 52 (septiembre, 1933), 914-917. véase H. P. St. CLAIK, «The Use of Multiwinding Transform ers with Synchronous Condensers ¡j Véase el capítuloXV . for System Voltagc Regulation», A. I. E . E. Trans., 59 (1940), 212-217. 1
596
TRANSFORMADORES
598
599
TRANSFORMADORES MULTICIRCUITO
un transformador monofásico o una fase de un transformador trifásico. Excepto a frecuencias muy elevadas o durante los transitorios rápidamente variables, las corrientes a través de las capacidades del transformador son despreciables y por tanto quedan invariables las corrientes que circulan por los circuitos si se conectan y ponen a tierra todos los devanados de igual polaridad relativa, como se indica mediante la conexión represent ada en línea de trazos en la figura 1. » Si no se ponen a tierra los circuitos conectados al transformador, las tensiones entre cada terminal y tierra quedan determinadas por las capacidades de los circui tos exteriores y de los devanados del transformador, entre sí y respecto a tierra. As i, pues, el circ uit o de la figura 1, en el cua l se han puest o arb itr ari ame nte a tie rra
las tensiones en un estado permanente pueden escribirse de la siguiente ma nera: Vj = Z l, + Z I n
1 2
+ . . . + Z I, + Z I* - + . . . + Z I„ V
2
U
1( 1
y 2 = Z J i + Z I + • • • + Z L + Züfcl* + • • • + Z Ü J . 2
2 2
V/ = Z h -f Z , I n
2
2
2 /
+ . . . + Z«I, + Z,*I* +
2
. . . + ZI„ /B
V„ = Z Ii + Z„ I + . . . + Z„;L Z + Ik + • • • + Z„„I„, n l
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Esquema decircuito
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de n circuitos
todos los terminales de igual polaridad relativa, puedo no dar las tensiones correctas entre un circuito y otro, y de los distintos circuitos a tierra. En el análisis de proble mas que concierne n a las c aracterístic as de los transform adores a frecuencias ele vadas o durante transitorios rápidamente variables —tales como los transitorios srcinados por descargas atmosféricas— estas tensiones pueden ser importantes y no ser permisible la puesta a tierra arbitraria de los terminales de la misma polaridad. No obstante, mientras sean despreciables las intensidades de las corrientes a través de las capacidades, las relaciones entre las tensiones entre terminales de los distintos devanados y las comentes que por ellos circulan, no quedan alteradas por la conexión a tierra representada en la figura 1 por la línea de trazos. En tal caso, el transformador puede analizarse como circuito den + 1 mallas con n -f 1 terminales, o como cir cuito de n + 1 nudos, n de los cuales son independientes. A pesar de las característ icas magné ticas no linea les del hie rro , se ha vist o en los capítulos anteriores que a menudo puede analizarse un transformador de dos deva nados considerándolo elemento de circuito lineal *, y lo mismo ocurre con los trans formadores multicircuito. Las características magnéticas no lineales del núcleo afectan solamente a los fenómenos de excitación pero, como la corriente de excitación tiene una intensidad que es sólo un pequeño tanto por ciento de las intensidades no minales de los circuitos, suele ser suficientemente aproximado suponer sinusoidal la corriente de excitación correspondiente a un flujo sinusoidal. Por tanto, para anaüzar transformadores multicircuito puede tomarse como base la teoría de los circuitos acoplados lineales. l a . Ecuaciones para las tensiones en las mallas. Un transformador de n cir cuitos puede analizarse como circuito de n mallas, estando cada una de ellas acoplada electromagnéticamente con las demás. Así, pues,'las ecuaciones vectoriales para * Para más detalles a cerca de la apli cación do la teoría de circuitos a los lineales transfor madores con núcleo de hierro, véase el apartado 1 del capítulo XVII.
2
nk
2
(1) (2)
(3) (4)
en donde las V son los vectores representativos de las tensiones en terminales de los devanados, las I son los vectores representativos de las corrientes que por ellos cir culan y las Z son sus impedancias complejas de autoinducción e inducción mutua. En la figura 1 se indican los sentidos positivos de corrientes y tensiones, colocándose un punto en los terminales de igual polaridad relativa. Los significados de las impe dancias pueden explicarse por medio do una ecuación. Por ejemplo, en la ecuación (3), Zn es la autoimpedanoia compleja del circuitoj , y Z¡k es la impedancia mutua com pleja entro los circuitosj y k. Así,
Z¡, = R, 4- jX„,
(5)
donde R¡ es la resistencia efectivay Xa es la reactancia autoinductiva del devanado. Si se desprecia la pérdida en el núcleo, las componentes resistivas de las impedancias ínutuas son nulas y, para los sentidos tomados como positivos para corrientes y tensiones en la figura 1, las reactancias mutuas son positivas; es decir,
Z — jX , lk
(6)
ik
donde Xjk os la reactancia mutua (cantidad positiva). Se sab e que la reactancia mutua dol circuito j respecto al k es igual a la del k respecto alj, o sea, Z« .
Z,k =
(7)
Teóricamente, pues, el comportamiento de un transformador de n circuitos puede calcularse, para cualesquiera condiciones de funcionamiento especificadas, si se conocen los valores complejos de los coeficientes de impedancia de las ecuaciones (1-4) a partir de medidas o de cálculos basados en las dimensiones. Obsérvese el carácter do circuito abierto de los coeficientes de impedancia de esas ecuaciones. Así , la aut oim ped ano ia de un cir cui to cua lqu ier a es igu al a su imp ed anc ia con todo s los demás circuitos abiertos, y la impedancia mutua entre dos circuitos cualesquiera, o sea, Z¡k, es igual al cociente complejo entre la tensión en circuito abierto creada en oí circuito j y la intensidad de la corriente que circula por el circuito k, estando abiertos todos los circuitos menos elk. Por tanto, las impedancias de las ecuaciones (1-4) podrán determinarse experimentalmente por medio de un cierto número de ensayos en circuito abierto.
TRANSFORMADORES
TRANSFORMADORES
600
Sin emba rgo, al igual que en el análisi s de los trans formadores de dos de vanados *, se obtendrían resultados poco precisos si se calculara el funcionamiento de un trans formador multicirc uito sustituyendo en las ecu aciones (1-4) l os valores medidos de las impedancias propias y mutuas. Las caídas do tensión en el transformador depen den principalmente de las fugas magnéticas —es decir, de diferencias relativamente pequeñas entre las distintas impedancias propias y mutuas— y para determinar estas pequeñas diferencias con precisión razonable, deberían haberse medido las impedancias propias y mutuas con una precisión muy elevada. Esta medida resulta ría muy difícil a causa de las características magnéticas no lineales del núcleo. Por tanto, aun cuando las ecuaciones (1-4), son importantes como punto de partida para el análisis de los transformadores multicircuito, es preciso manejarlas en otras formas antes de poderlas utilizar en cálculos numéricos. 1b. Admitancias de entrada y de transferencia en cortocircuito. —Aplicando la regla de Cramer a las ecuaciones (1-4), se obtienen las siguientes ecuaciones: T I I
« I ^ T
V
M
=
V
I
+
' D T
4_ V
2
" V 4. * V4 h = ^FT" V + -=— V+ T
_
M
M
x
_L '• • - D T M
+
- 4 -
2
2
V
M / 2
h
V
N
+
V
_1_ +
/
^
" V
M
r
H
• +
• V ' V; -r -Í C— V* M
V
1
V n
" V — — V„ M
-r
2
601
y/* = y».
(14)
Cuando tensión y corriente pertenecen al mismo circuito, con lo que la admitancia tiene la forma, Vi
= -57-.
(15)
la admitancia recibe el nombre de admitancia de entrada en cortocircuito del circuito j, ya que es la intensidad que circula por el circuitoj por unidad de tensión aplicada al mismo circuito cuando todos los demás están cortocircuitados. Escribiendo las ecuaciones 8-11 en función de las admitancias de entrada y de transferencia en cor tocircuito, resulta,
/Q\
M N L
• + -r37
m
MULTICIRCUITO
La admitancia y¡k recibe el nombre de admitancia de transferencia en cortocircuito entre los circuitosj y y de la ecuación (12) resul ta evide nte que,
(8)
!Q\
! i = yuVx + y
1 2
1_ y
V + • • • + y V , + yi*V* + 2
u
y u
H
•(17)
L
•(18)
2
2
n
2
= ynVi +
y / 2
• • • + YUVI + yikV + • • • +
V +
k
2
y,„v„
I» = ymVi + y„ V + • • • + ylyV/ + y„*V* + • • • + y»»V„. 2
T -
M l
" V 4- * * V 4M
• • • 4-
M
'" V 4- * " V4- • M
4-
M
m
V
Ml\
donde D es el determinante de las Z en las ecuaciones (1-4), y M/* es el adjunto del elemento de la fila j y la columna k. A causa de la simetría de las ecuaciones (1-4), 2
M
yf c
= M . w
(12)
Cada uno de los términos de los segundos miembros de las ecuaciones (8-11) es una componente de una de las corrientes creadas por una de las tensiones entre terminales actuando sola, siendo nulas todas las tensiones entre terminales res tantes. Por tanto, el coeficiente de cada término en V podrá representarse como una admitancia. E n gener al, y» =
(13)
Véase el apartado 2 del capítulo XV II .
2
^(19)
Según se verá en seguida , estas ecuaciones son adecuadas par a fines de cálculo, ya que las admitancias en cortocircuito de las ecuaciones (16-19) pueden medirse o calcularse a partir de las dimensiones fácilmente y están relacionadas directamente con las características de impedancia de fuga del transformador. 1 c. Ecuaciones para las corrientes en los nudos.— En las dos secciones anteriores de este apartado se han tomado las ecuaciones (1-4), para las tensiones de las mallas como punto de partida para el análisis del transformador de n circuitos. La solución de dichas ecuaciones da las ecuaciones (16-19), más útiles relativas a las corrientes en las mallas. De otra manera, las ecuaciones para las corrientes pueden obtenerse directamente si se escriben las ecuaciones para las corrientes en los nudos del circuito de la figura 1, tomand o como nudo de referenc ia los terminales pu estos a tierra 1', 2', •n'.• •, Así pue s, li = Y u V i + Y V + • • • + Y V > + Y u V * + ' • • + Y ^ V , = Y V + Y V + • • • + Y ,V / + Y ^ V * + • • • + Y ^ V , 1 2
h
es el vector representativo de la corriente que circula por el circuitoj creada por una tensión V* unitaria aplicada al circuito k cuando todas las restantes tensiones entre terminales son nulas —es decir, están cortocircuitados dichos pares de terminales. *
)(iQ)
+ ! = JnVi +y 2V + • • • + y¡yV; + y ^V * + • • •ytnV
(9)
2 1
t
2
2 2
L = Y Vi + Y , V + n
2
U
2
2
2
•••
+ Yfl V, + Y *V * + y
•••
+ Y,„V„
I , = Y , ^ + Y„ V + • • • + Y * V , + Y„*V* + • • • + Y„„V„. 2
2
(20) (2 1) (22) (23)
TRANSFORMADORES MULTICIRCUITO
TRANSFORMADORES
602
En estas ecuaciones, lasI son los vectores representativos de las corrientes que pe netran por los terminales libres, siendo las V los vectores representativos de los po tenciales de dichos terminales respecto al nudo a tierra de referencia, y las Y son las admitancias complejas propias y mutuas de los nudos. Por ejemplo, Y¡i es la autoadmitancia del nudo j y es igual al vector representativo de la corriente que pe netra en el terminal j por unidad de tensión aplicada al terminal j, estando todos los demás terminales conectados a tierra —es decir, cortocircuitados. Anál oga ment eY es la admitancia mutua de los nudos j y k, y es igual al vector representativo de la corriente que penetra por el terminal j por unidad de tensión aplicada al terminal k, estando puestos a tierra, es decir, cortocircuitados, todos los terminales menos elk. Como en las redes lineales, lk
Y * - Y «.
(24)
Obsérvese que, a pesar de la similitud en la notación, las admitancias de las ecuaciones (20-23), no son los recíprocos de las impedaricias correspondientes de las ecuaciones (1-4); es decir, Y * ( e c . 22) ^ - i _ ( e c . 3)
£¡ik
3
60
los nudos, en función de los cuales se expresan las corrientes de los nudos. Puede por tanto, no ser posible conectar juntos un terminal de cada entrada a malla' como en la figura 1, considerando entonces este terminal común como nudo de re ferencia. En tales casos, las admitancias propias y mutuas del método de los nudos no son iguales a las admitancias de entrada y de transferencia en cortocircuito del método de las mallas; pero, en la figura 1, las tensiones en las mallas y los potenciales en los nudos son los mismos, las corrientes en las mallas y las corrientes en los nudos son las mismas, y por tanto, las admitancias de las ecuaciones de los nudos y de las mallas son, también, las mismas.
1 e.
Intensidades, tensiones y parámetros del circuito referidos a una base común.
En todo el an terior análisis de est e aparta do, las V, I. Z e Y, pu eden ser las tensiones intensidad es, impedanci as y admitan cias reales, pero en el análisis de transforma dores suele ser más conveniente expresar las tensiones, intensidades, impedancias y admitancias referidas a una base común. Así, pueden expresarse en tanto por uno *, sobre una base común de potencia aparente, o pueden referirse todas a un devanado de manera análoga a la utilizada en el análisis de transformadores de dos devanados **. Cuando se refieren de esa manera, el transformador se analiza como transformador equivalente con igual número de espiras en todos sus devanados. j dividiéndola Por ejemplo, la corrienteI del circuito k puede referirse al circuito por la razón, k
Las impedancias de las ecuaciones (1-4), son impedancias en circuito abierto,pero en cortocircuito. las admitancias de las ecuaciones (20-23), son admitancias
=
N
(25)
k
Como las admitancias en cortocircuito dependen principalmente de las fugas magnéticas, y como éstas son la causa principal de las caídas de tensión en un del número de espiras N¡ del devanado j al número de espirasN del devanado k; transformador, los coeficientes de las ecuaciones (20-23), están relacionados direc luego, la intensidad de la corriente que circula por el circuito k referida al circuito j tamente con los importantes factores que influyen sobre los efectos del transformador es: como elemento de impedancia en los circuitos a los que está conectado. Además, las admitancias en cortocircuito pueden calcularse fácilmente a partir de la dispo !; i * -\ • (26) sición geométrica de los devanados, o medirse por medio de los ensayos descritos en el apartado 3, de este capítulo. Por tanto, las ecuaciones (20-23), tienen una forma Obsérvese que esta sería la corriente que al circular por un devanado N¡ de espiras conveniente para el análisis de los transformadores multicircuito. produciría el mismo efecto magnético que la corriente de intensidad I en el de 1 d. Comparación de las ecuaciones para las mallas y para los nudos. Es inte vanado real k. Además, como en la teoría del transformador de dos circuitos, la resante compar ar las ecuaciones (16-19), par a las mallas, con las ecuaciones (20-23), tensión del circuitol referida al circuitoj es: para los nudos. Las V que se consideran en las ecuaciones (1-4) y (16-19), como tensiones en las mallas, son tensiones en los nudos en las ecuaciones (20-23). Las I consideradas como intensidades de corrientes de las mallas en las ecuaciones (1-4) ««V, V, , = (27) -"•*/ y (16-19), son en las ecuaciones (20-23), intensidades de las corrientes que penetran en los nudos. L as y de las ecuaciones (16-19), son las admitan cias de entr ada y de donde Y/ es la tensión real en el circuito l y a es la razón de los números de espiras transferencia en cortocircuito, mientras que las Y de las ecuaciones (20-23), son A ,/ A . Al igual que en la teoría del transfo rmador de dos circui tos, la tensión refe: las admitancias propias y mutuas de los nudos. A pesar de estas diferencias de ter rida es la tensión de un devanado equivalente de igual disposición geométrica que minología, las V, I, y admitancias de las ecuaciones (16-19), representan exacta j al que se el devanado real l, pero con el mismo número de espiras que el devanado mente las mismas cantidades físicas que las cantidades correspondientes de las ecua refiere la tensión. ciones (20-23), y por tanto, los métodos de análisis por mallas o por nudos conducen De las expresiones para los valores referidos de intensidad y tensión (ec. 26 y 27), exactamente a las mismas ecuaciones para las corrientes. pueden obtenerse fácilmente los valores referidos de impedancia y admitancia. En la teoría general de redes lineales, la geometría de la red puede ser tal que las fuerzas electromotrices que actúan en las mallas, en función de las cuales se escriben * Véase el apart ado 0 del ea pítul o X I V . ** Véase el apart ado 4 del capitulo XIII. las ecuaciones para las tensiones de las mallas, no coinciden con los potenciales de k
k
fc
-J/ H
T
7
(
TRANSFORMADORES
604
TRANSFORMADORES
Por ejemplo, sí es I«o la intensidad de la corriente creada en el circuito h por la tensión V; aplicada al circuito i —estando cortocircuitados todos los circuitos menos el l— l a adm it anc ia de tran sfe renc ia en cor toc irc uit o Y * ; entre los cir cuit os k y l es: ^ -
(28)
Si tanto la intensidad como la tensión se refieren a un tercer circuito —p. ej., el cir cuito j— el cocient e e ntre la i nte nsi dad refe rida y l a tensión ref eri da es l a a dmi ta nci a de transferencia en cortocircuito entre los circuitos k y l referida al circuito j y es, en virtud de las ecuaciones (26) y (27), IwoM* a«V/
_ 1
Iwn^ _
Ojia/ic V;
y En el análisis que sigue se supondrá siempre que las intensidades, tensiones, impedancias y admitancias, o están todas expresadas en tanto por uno sobre una base común de potencia aparente, o están todas referidas a un mismo circuito.^ CIRCUITOS
EQU IVAL ENT ES
n
%
n
n
n(n — 1) " + 2 coeficientes de admitancia independien tes. En consecuencia, el circuito equi valente deberá tener este mismo número de ramas independientes. El segundo miembro de la ecuación 30, es el nú mero de combinaciones binarias de n + 1 elementos.
. n{n + 1) (30)
2
@(5 (a)
y Por tanto, cuando pueda considerar
A un cuan do pueda calc ulars e analíticamente el func iona mien to de un tra nsf or mador de n circuitos a partir de las ecuaciones (16-19) o (20-23), suele ser más con veniente representar el transformador por un circuito equivalente y determinar las corrientes y tensiones a partir del circuito equivalente . Si se quiere representar un transformador de n circuitos por un circuito equiva lente, es evidente que éste deberá tener el mismo número de terminales libres que el transformador. En consecuencia, en el caso más general, el circuito equivalente de un transformador de n circuitos deberá tener 2 n terminales libres. No obstante, según se vio en el apartado 1, cuando son despreciables las corrientes a través de las capacidades de los devanados, las relaciones entre las tensiones en terminales de los distintos devanados y las corrientes que por ellos circulan quedan inalteradas si se consideran conectados terminales de la misma polaridad relativa, en la forma indicada por la conexión representada por la línea de trazos de la figura 1. Así, pues, salvo en el análisis de problemas en que las capacidades de los devanados tengan importancia (como en la determinación de los esfuerzos entre devanados no puestos a tierra debidos a la tensión, o durante los transitorios rápidamente variables), un transformador de n circuitos puede analizarse como circuito de n + 1 terminales, y por tanto, con estas mismas restricciones, podrá representarse por un circuito equivalente con n + 1 terminales. Es evidente, también, que el circuito equivalente deberá tener tantas ramas 3
Para un estudio generalde la teoría de redes equivalentes de circuitos acoplados elec tromagnéticamente, véase F. M. STARR, «Equivalent Circuits», A. I. B. E. Trans., 51 (junio, 1932) 3
605 >,eS
Yki ajidjk '
Siguiendo una línea de razonami ento análoga a la explicad a en la deducción de la ecuación (29), podrá obtenerse el valor referido de cualquier otro parámetro de cir cuito.
2.
MULTICIRCUITO
independientes como coeficientes independientes tengan las ecuaciones que las relaciones intensidad-tensión (ec. 16-19 o 20-23). El segundo miembro T r | una de estas ecuaciones contiene n términos, y contiene una autoadmitaneia ' ° _ i admitancias mutuas. Así, el sistema completo de n ecuaciones de intensidad tiene n autoadmitancias y n(n—l) admitancias mutuas, pero cada únamelas admitancias mutuas aparece dos veces, de donde hay -"lÜLZl^L admitancias mu tuas independientes. Por tanto, el transformador de n circuitos está caracterizado por n autoadmitancias y ( admita ncias mutuas, lo que hace un total de
se una terminal de cadacorrespondientes circuito conec tado los terminales de todos los demás (conexión en lín ea de trazos de la Fig. 1), el transforma dor de n circuitos podrá representarse por un circuito equivalente de n + 1 terminales y una admitancia que co necte cada ter mina l a todos los demás. <| 0=l'2'34'
Por ejemplo, consideremos el trans formador de cuatro circuitos indicado por los devanados 11', 22', 33', 44' en la figura 2a. Este circuito puede repre sentar o un transformador monofásico de cuatro circuitos en un circuito mo nofásico, o una fase de un banco trifá sico de transformadores de cuatro cir cuitos. E n la fig ura 2o, los de vanados 1 y 2, están conectados a generadores, y los devanados 3 y 4, suministran potencia a sendas cargas. Los termína les 1', 2', 3', 4', se suponen conectados entre sí, según indica la línea de trazos. En la figura 2b, puede verse un circuito
(b)
(c) F ia . 2. Esquema de circuito y circuitos equi valentes de un transformador de cuatro circuitos
TRANSFORMADORES
606
TRANSFORMADORES
equivalente consistente en una red de cinco terminales con admitancias que conec tan cada terminal a los demás. Existen diez admitancias independientes, número que concu erda con el valor ob tenido al hacer la sustitución re = 4 en la ec ua ción 30. En la figura 26 , las admitancias Y . iY , Y , Y , que terminan en el terminal común 0 están en paralelo con los circuitos del generador y de carga y representa las características de excitación del transformador. Teóricamente, pueden determi narse los valores de estas admitancias a partir de los resultados de un cierto número de ensayos en circuito abierto *, pero como la intensida d de la corriente de excita ción, suele ser solamente un pequeño tanto por ciento de las intensidades a plena carga de las corrientes, puede tratarse por métodos aproximados. En realidad, suele poderse despreciar. No obstante si es necesario inc luir la corriente de exci ta ción suele poderse hacer una de las dos aproximaciones siguientes. Puede suponerse n circuitos tienen-el mismo que las n admitancias paralelo de un transformador de valor igual a l/n de la admitancia de un circuito cualquiera medida con todos los demás circuitos abiertos. O bien, pueden despreciarse todas las admitancias menos una y suponer que la corriente de excitación pasa por esta admitancia paralelo cuyo valor deberá ser igual a la admitancia en circuito abierto. Cuando se refieren las admitancias en circuito abierto a una base común, se obtiene aproximadamente el mismo valor de- la admi tancia, independien temente del circuito utilizado para la medida de la admitancia. 0
2 0
3 0
4 0
1 3
1 4
2 3
2 4
607
a
• Por tanto, si se desprecia la corriente de excitación, el trans formador n cir de n terminales con una cuitos puede representarse por un circuito equivalente de admitancia conectando cada terminal a cada uno de los demás.^ 26. Relaciones entre el circuito equivalente y las ecuaciones intensidad-tensión. El lector debe distinguir bien entre las admitancias que unen los terminales en el circuito equivalente y las admitancias de transferencia en cortocircuito de las ecua ciones (20-23). Así, el símbolo Y (con barra sobre los subíndices), representa una admi tancia de enlace del circuito equivalente, indicando la barra que el símbolo representa un enlace entre los terminal es 1 y 2. El sím bolo Y (sin barra), es la admitancia de transferencia en cortocircuito de la ecua (a) ción (20 ). Se verá más adelante que para los sentidos positivos elegidos en este estudio, 1 2
1 2
Y
Las admitancias Y , Y , Y , Y , Y , Y , forman una red que conecta los gene 1 2
MULTICIRCUITO
de excitación reduce de¡i + l n el número de terminales del circuito equivalente y elimina las n admitancias paralelo que representan las características de exci tación.
1
2
-
(31)
3 4
radores y las cargas por las que deben circular las corrientes. Estas ramas del circuito equivalente representan los efectos de las resistencias de ios devanados y las fugas magnéticas. Las caídas de tensión en ellas son de gran importancia en la determina ción de los efectos del transformador como elemento de impedancia en los circuitos a los que se conecta. Los valores de estas admitancias pueden calcularse a partir de los datos de diseño o determinarse a partir de los resultados de ensayos en corto circuito, como se describe en el apartado 3. 2a. Circuito equivalente para corriente de excitación despreciable. Como la corriente de excitación suele ser débil, las admitancias paralelo que representan las caracte rísticas de excitación suelen ser tan pequeñas (o sus impedancias tan grandes), que los efectos de estas impedancias grandes en paralelo con los circuitos del generador y de carga resultan despreciables y por tanto, las ramas en paralelo pueden conside rarse como circuitos abiertos. En tal caso, el circuito equivalente se reduce a una forma más sencilla. Por ejemplo, si se suprimen las admitan cias de excitación , YY , Y o, Y^, el circuito equivalente del transformador de cuatro circuitos de la figura 26, se reduce a la red de la figura 2c, que contiene cuatro terminales libres 1, 2, 3, 4, con una ad mita nci a que conecta cada termi nal a cada uno de los demás en total sei s admi tan cias, frente a las diez del circuito equivalente «exacto» de la figura 26. Los circuitos de generador y carga están conectados a los ternoinales 1, 2, 3, 4, del circuito equi valente y a un punto común o nudo de referencia 0, si bien, el terminal 0 no tiene conexión alguna con el circuito equivalente. n circuitos, el despreciar la corriente En el caso general de un transformador de * Las dificultades prácti cas que surgen al intentar determinar los valo res exactos de estas admitancias se estudian en el apartado 5d de este capítulo. 1 0
2 0
3
Para probar la validez de la ecuación 31, consideremos el transformador de cuatro circuitos de la figura 3a con el circuito 2, excitado a tensión reducida y los circuitos 1, 3 y 4, cortocircuit ados. Sean , II , I ( ), los vectores representativos de las co (b) rrientes creadas en los devanados corto Fi o. 3. Esquema del circuito y circuito circuitados por la tensión V aplicada al equivalente de un transformador de cuatro circu ito 2. L os sentidos positivos de tensio circuitos con los devanados 1, 3 y 4 corto nes y corrientes son los indicados en la circuitados. Los sentidos positivos de ten figura 3a, y están de acuerdo con los sensiones y corrientes son los mismos que en la figura 1. tidos positivos adoptados en todo este es tudi o, según se indi ca en la figura 1. De l a ecuación (20), la admi tanc ia de trans ferencia en cortocircuito Y es la corriente que penetra en el terminal 1 por unidad de tensión aplicada al circuito 2, estando cortocircuitados todos los circuitos menos el 2. Por tanto, l(2)
4
3(2)
2
2
1 2
V,
(32)
Para las condiciones d e cortocircuito de la figura 3a el circuito equivalente se reduce al de la figura 36, en el cual todos los terminales, menos el 2, están corto circuitados al terminal común 0. Las ramas indicadas por líneas de trazos están cortocircuitadas y no transportan corriente, por lo que bastará considerar las ramas conectadas al terminal 2. Como la corriente de excitación en cortocircuito es muy
TRANSFORMADORES
608
TRANSFORMADORES
débil el circuit o equivalente de la figura 3 6 - e n el que se han suprimido las admiÍanci'as de excit ació n- es muy aproximadamente un equivalente « « o t o . del tran formador cortocircuitado. La tensión V y las corrientes I , I( >, W ae tmn renreTcntado en la figura 36, con los mismos sentidos positivos que en la figura 3a. EnTa figura 36, la corriente que circula por la admitancia de enlace Y en el sentido de la caída de tensión V en Y ¡ ¿ es — I i , de donde, l(2)
2
3 2
5
l ( 2
2
¿1'2) =
1
12*2
o sea, v - -
I** .
MULTIC1RCUITO
609
se miden sus valores eficaces con instrumentos ordinarios de corriente alterna y sus defasajes se determinan por los métodos que se estudian más adelante. Como las admitancia s en cortoci rcuito están determinadas pr incipal mente por las fugas magnéticas, sus valores estarán muy poco afectados por las caracte rísticas magnéticas no lineales del núcleo, y por tanto los valores de estas admitan cias, determinados mediante ensayos en cortocircuito a tensión reducida, son casi iguales a sus valores para tensiones normales. Si se excita el circuito k con todos los demás cortocircuitados, la admitancia compleja de entrada en cortocircuito Y^ del circuito k es:
(34)
Y = Y /6 = GIgL, + jB = kk
Los signos negativos d e las ecuaciones (33) y (34), son necesarios p a n « J * ™ ^ con el sentido positivo asignado a I „. Comparando las ecuaciones (32) y (34) se ve que para los sentidos positivos elegidos en este análisis,
kk
kk
kk
y
kk
(37)
1
l(
Y
1 2
=
- Y r2
donde V* es la tensión (vecto rial) apl icad a al cir cui to k, I « » es la corriente (vectorial) qu e circula por el circui to k, G es la conductancia de entrada en cortocircuito, B es la susceptancia de entrada en cortocircuito, dkk es el defasaje de 1«*) respecto a V*. kk
kk
según se indica en la ecuación (31). En general, pues, la relación entre la admitancia de transferencia en cortocircuito Y* y la admitancia de enlace Y¡ es: k
Y» = - Y ¡ ,
•I»)
Las adm ita nci as de en tra da en co rto circui to de las ecuaciones ( ^ ^ ¿ ^ S pueden expresarse, mediante relaciones sencillas, en función d e l j J^ an^ a de enlace del circuit o equiv alente. Por ejem plo, la admitancia d, e n J * circuito Y de la ecuación (21), es la admitanc ia del circui to 2 con todos lo demás circuitos cortocirc uitados , como en la figu ra 3a. El examen del c ircuit o eq urvak nte de la futura 36 muestra que para estas condiciones de cortocircuito las admitancias de enlace Y C Y . , están en par alelo, y por tanto la admitancia de entrada en cortocircuito Y del circuito 2 , es: p
s
2 2
1 2
2
• (3 6 )
Luego, despreciando la pequeña corriente de excitación en ~ ^ ^ J ^ ^ o r i 5 de entrada en cortocircuito de un circuito cualquiera es igual a la ^ de las admitancias de enlace entre el terminal libre de este circuito y los terminales Ubres de los demás en la red equivalente de la figura 2c. ME DIDA
valores en las ecuaciones. Las admitancias, pues, son sus valores referidos.^ Las conductancias de entrada en cortocircuito de todos los circuitos son cantida P la des positivas, ya que se absorbe potencia en el devanado excitado. Así, si es indicación de un watímetro conectado para señalar la potencia entregada al deva nado excitado k, kk
= +
(38)
Gk k
2
Y M = Yn + Yn + Y S .
3.
y En la ecuación (37) y en todas las ecuaci ones que s iguen, se supone que la s tensiones y corrientes están todas referidas a una base común antes de sustituir sus
DE LAS
ADMITANCIAS
Los valores de los coeficientes de admitancia de las ecuaciones (20-23) y de las adrní LcSde l as ramas del circuito equivalente pueden * * ™ ^ X a n ^ talmente medi ante un c ierto número de e nsayos en los que se ^ ^ ^ ^ una tensión baja estando cortocircuitados todos los demás. ^ J f ^ J ' las corrientes que circulan por todos los devan ados se miden vectorialmente - e s decir,
Las susceptancias de entrada en cortocircuito de todos los circuitos son cantidades negativas,ya que la corriente que circula por el devanado excitado está retrasada respecto a la tensión apli cada, como ocurre en todo circuito ind uct ivo. Por tant o,
T T )
^ -1/(=
- ^ -
2
9)
(3
Las admitancias de transferencia en cortocircuito y de enlace del circuito equi valente de la figura 2c pueden determinarse a partir de medidas de las intensidades eficaces y ángulos de fase de las corrientes que circulan por los devanados cortocir cuitados. Así, si se excita el devanado A; y se cortocircuitan todos los demás devanados, el valor complejo Y¡k de la admitancia de transferencia en cortocircuito entre los circuitos j y k es: Y* =
Y /e = lk
lk
= G + jB lk
lk
^(40)
TRANSFORMADORES
610
TRANSFORMADORES
donde, V* es la tensión (vect orial) apli cada al circuk,ito j, L(A0 es la intensidad (vectorial) déla corriente que circula por el circuito G¡k es la conductancia de transferencia en cortocircuito, B¡k es la susceptancia de transferencia en cortocircuito, &V.es el defasaje de Loa respecto a V*. Los sentidos positivos de tensiones y corrientes son los indicados en la figura 1.
Yj en el circuito • Según se indica la ecuación (35), la admitancia de enlace Y cambiada equivalente es igual a la admitancia de transferencia en cortocircuit o de signo. ^ k
lk
Obsérvese que también puede determinarse el valor de la admitancia de trans j, con todos los demás devanados ferencia en cortocircuito Y,* excitando el devanado cortocircuitados y midiendo la tensión aplicada al circuito j y la intensidad de la corriente que circula por el circuito A;. Así, pues, el valor de cada admitancia puede determinarse a partir de dos sistemas de medidas independientes. Hay que tener mucho cuidado al determinar los signos algebraicos de las conduc v¡ circuitos, tancias y susceptancias mutuas. Antes de estudiar el transformador de puede resultar conveniente considerar el transformador de dos circuitos de la figura 4a con su secundario cortocircuitado. Los sentidos positivos de la tensión y las corrientes están indica dos en la figura 4a y corresponden a los sentidos positivos del transforma (a) dor de n circuitos de la figura 1. Como F IG . 4. Esquema de circuito y diagrama vecto las corrientes de primario y secunda rial para un transformador de dos devanados rio crean fuerzas magnetomotrices cortocircuitado casi iguales y opuestas, la corriente I del secundario está casi en oposición de fase con la corriente del primario cuando se tom an en el mismo sentid o respecto al flujo en el núcleo los sentidos posit ivos de las dos corrientes, según se indica con las flechas y los puntos de polaridad en la figura 4a. Así, pues, el diagrama vec torial del transformador d e dos d evanados cortocircuitado es el indicado en la figura 46, donde se ha tomado como vector de referencia el de la tensión aplicada al primario V*!. La admitancia de transferencia en cortocircuito es,
MULT1CIRCU1TO
611
por un elemento de impedancia que comprende una resistencia y una bobina con autoinducción. En el caso de un transformador multicir cuito, si están cortocircuitados todos los devanados menos el excitado, las corrientes que circulan en la mayoría de los devanados cortocircuitados están en oposición de fase con la corriente que circula por el devanado excitado cuando se toman los .sentidos positivos de las corrientes en el mismo sentido respecto al flujo en el núcleo, como en la figura 1. No obstante, a causa de las relaciones que pueden existir entre los flujos de fuga en algunas dis posiciones de los devanados, puede invertirse la corriente en uno o más devanados cortocircuitados, con lo que se invierten los signos de las conductancias y suscep tancias asociadas a este circuito. En estas circunstancias, el circuito equivalente contendría enlaces que tendrían conductanciasnegativas y susceptanciaspositivas. A frecuencia constante, la susceptancia positiva puede representarse por una capa cidad; pero, aun cuando la conductancia negativa no introduce ninguna dificultad en el tratamiento matemático del problema, no existe ninguna manera sencilla de representarla mediante elementos físicos. Luego, si se quiere representar un trans formador multicircuito en un analizador de redes * por medio de su circuito equiva lente, o deberán suprimirse las conductancias negativas —lo cual es permisible muchas veces, dado su pequeño valor— o debe cambiarse el circuito equivalente a una forma que permita la combinación de los elementos de resistencia negativa en serie con resistencias positivas de circuitos exteriores de manera que den una resistencia total positiva que pueda representarse en el analizador de redes . 4
Se puede determinar la magnitud de cada conductancia o susceptancia mutua P la indicación de empleando watímetros conectados adecuadamente. Así, si es un watímetro cuyo devanado de intensidad está conectado en serie con el devanadoj cortocircuitado y cuyo devanado de tensión está en paralelo con la tensión V apli cada al devanado excitadok, ik
k
= ±
G
(42)
lk
*k
2
Y
12 = 12 + j 12 = G
B
(41)
El examen de la figura 46 indica queG es una cantidad negativa, ya que la compo nente real de I es negativa, pero B es una cantidad positiva, ya que es positiva la componente imaginaria de .I En cambio , la admitanci a' de enlace del circuito equivalente es igual a la admitancia de transferencia en cortocircuito correspondien te, cambiada de signo; luego, la admitancia de enlace Y^ tiene una conductacia positiva y una susceptancia negativa y puede, por tanto, representarse físicamente 12
12
2
2
La susceptancia mutua viene dada entonces por
B, k =
± f( ^r ) - ^ 2
)
(43
El signo de la conductancia mutua se puede determinar si se comparan las polari dades de las conexiones del watímetro para desviación positiva con sus polaridades * Un analizador de redes es un dispositivo consistente un en gran númer o de resistencias, bobinas de inducción, condensadores y generadores de tensión alterna que pueden conectarse fácilmente de muchas maneras diferentes, y que dispone de montajes para medir convenientemente la intensidad de la corriente, tensión y potencia en un punto cualquiera de la red. En el estudio de sistemas de potencia complicados, donde serían necesarios cálculos laboriosos si se emplearan métodos analíticos, suele ser más económico realizar experimentalmente la labor representando el sistema de potencia en un analizador de potencia sobre una base por fase y a una escala redu cida conveniente. Para un estudio más extenso de las conductancias negativas y otras formas del circuito F. M. STABB, «An EquivalentCircuit for the equivalente, véase Four-winding Transformer», O. E. Rev., 36 (marzo,1933), 150-152; L. F . BLUME, editor,Transformer Engineering(New York: John Wiley & Sons, 1938), 103-107, 122.
TRA NSFORMADORES
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TRANSFORMADORES
para un sentido conocido de circulación de la potencia. Recuérdese que el signo de la conductancia G, en el circuito equivalente es el op uesto de la conductancia de trans ferencia en cortocircuito G . En cam bio, el watím etro no da indicación alguna del signo de la susceptancia m utua. El signo algebraico de la susceptancia m utua puede determ inarse utilizando un fasím etro o un contador para potencia reactiva, conectados en form a adecuada. No obstante, es fácil com eter errores de experim entación, tales com o la inversión accidental de una conexión, especialm ente cuando se utilizan transform adores para instrum entos. Otro m étodo para determ inar los signos de las susceptancias —que deber á utilizarse siem pre para com proba r los resul tados de otras m edid as— aprovec ha el hecho de que la corriente de excitación en cortocircuito es m uy débil. Es decir, la fuerza m agnetom otriz resultante de todas las corrientes es casi nula, de donde, para los sentidos positivos de las corrientes indicados en la figura 1, la sum a vectorial de las corrientes referidas al m ism o circuito es casi nula. Com o las corrientes se ha llan m uy aproxim adam ente en concordancia o en oposición de fase, la sum a algebraica de las intensidades es, tam bién, aproxim adam ente nula. Así, si se excita el circuito k, IkM * — [± Iwa ± • • • ±« « ± « « ± • • • ± »c«], (44) k
lk
J
7
7
donde las / son los valores absolutos de las intensidades de las corrientes referidas. Los signos pueden determ inarse por tanteo de m anera que se satisfaga la ecuación (44). La m ayoría de las corrientes en los devanados cortocircuitados deben estar en opo sición de fase con la corriente que circula por el devanado excitado, con lo cual el signo m enos colocado ante el segundo m iem bro de la ecuación (44), hace que la m a yoría de los térm inos dentro del corchete serán positivos. Para esta relación norm al de fase la susceptancia de la adm itancia de enlace asociada en el circuito equiva lente es negativa —y el signo de la susceptancia de transferencia correspondiente en las ecuaciones (20-23) es positivo. Estos signos son los m ism os que para el trans form ador de dos circuitos de la figura 4. Si cualesquiera de las corrientes tuvieran fase opuesta a la norm al —usualm ente las corrientes débiles— el hecho de que deba dárseles signos negativos dentro del corchete de la ecuación (44) revela la inversión de fase. Los signos de las susceptancias m utuas asociados a estas corrientes invertidas están tam bién invertidos. Com o com probación final de los resultados puede utilizarse la form a generali zada de la ecuación (36), la cual establece que la adm itancia de entrada en corto circuito de un circuito cualquiera es aproxim adam ente igual a la sum a de las adm i tancias com plejas de enlace asociadas a dicho circuito. Así, para las conductancias y susceptancias serán ciertas con m ucha aproxim ación las siguientes sum as algebrai cas: (45) G = G + G + . . . + G + Gf + • • • + G (46) B = B + B + . . . + By + Bf + . . . + B¿. kk
Tk
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2k
fk
2k
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mero de parámetros que se precisandepara especificar por completo las características delindependientes transformador como elemento circuito. Las expresiones de las admitanci as de enlace en funci ón de las impedancias equi valentes son bastante complicadas y no se deducirán aquí . Sin embargo, se dará a continuación una explicación del método de deducción a fin de hacer resaltar el hecho de que las admitancias de enlace del circuito equivalente están íntimamente relacionadas con las impedancias de fuga del transfor mador. El breve estudio que sigue podrá también servir de base para estudios ulteriores. Las relaciones entr e las impeda ncias equivalentes y las admi tancias de enlace pueden verse claramente me diante el circuito equivalente del transformador de n circuitos que se tiene cuando éste actúa como trans formador de dos circuitos cortocircu itado. P or ejemplo, conside remos un transformador de cuatr o circuitos con Fi o. 5. La im pedancia equi el devanado 2 excitado y el 1 cortocircuitado, estando valente Z) es igual a la im los demás en circuito abierto. En estas condiciones, el pedancia de la red 1234, entre circuito equivalente de la figura 2c se reduce al de la los term inales 1 y 2. 5
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k
La conductancia de entrada en cortocircuito G es siem pre positiva y la suscep tancia de entrada en cortocircuito B es siem pre negativa. 3a. Relaciones de las admitancias con la teoría del transformador de dos circuitos. El estudio anterior indica que los valores de las adm itancias de enlace en el circuito equivalente del transform ador de n circuitos pueden determ inarse a partir de los rekk
kk
MULT1CIRCUITO
sultadc * de ens ayos en los que en cada uno de ellos se exci ta un devanado distinto a tensión reducida teniendo cortoci rcuitados todos los devanados restantes. También podría n calcularse las admita ncias de enlace a par tir de los resultados de un cierto número de ensayos en cada uno de los cuales se excita un devanado diferente tenien do cortocircuitado otro. Por ejemplo, si se excita el devanado j estando cortocircuitado el devanado k y los demás en circuito abierto, la presencia de estos devanados en circui to abierto no ejerce influencia alg una sobre las corrientes . Así, la impedancia Z