CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA SISTEMA TRIFÁSICO INDEPENDIENTE
Fig. 1: Circuito básico de corriente alterna
En la Fig. 1 se muestra un circuito eléctrico básico de corriente alterna monofásica en el que una fuente alimenta a un conjunto de receptores cuyo efecto se representa por medio de una impedancia equivalente. La energía que que la fuen fuente te sumi sumini nist stra ra a los los recep ecepto tore res s se tran transm smit ite e a trav través és de dos dos conductores, y !, que deben ser dimensionados para que sean capaces de soportar la corriente que va a circular por ellos. "upongamos que a#ora la energía se transmite desde un grupo de tres fuen fuente tes s mono monofá fási sica cas s $que $que pued pueden en ser ser sust sustit itui uido dos s por por una una sola sola fuen fuente te trifás trifásica ica%% y que el conjun conjunto to de cargas cargas se repar reparte te entre entre tres tres impeda impedanci ncias as equivalentes. &odemos formar tres circuitos monofásicos independientes, que se denomi denominan nan fases, en los que cada uno de las tres fuentes monofásicas alim alimen enta ta cada cada una una de las las tres tres impe impeda danc ncia ias s $Fig $Fig.. '%. '%. Este Este es un sistema trifásico independiente y independiente y en él se transmite la energía de las fuentes a los receptores mediante los conductores conductores , !, (, (!, ) y )!.
Fig. 2: Sistema trifásico independiente
En el circuito trifásico de la Fig. ' las tres fases tienen las corrientes i , i ( e i), resp respec ecti tiva vame ment nte, e, las las cuál cuáles es sale salen n de las las fuen fuente tes s a trav través és de los los conductores , ( y ) y vuelven a ellos circulando por los conductores !, (! y )!. &or lo tanto este sistema requiere de seis conductores.
SISTEMA TRIFÁSICO TRIFÁSICO EQUILIBRADO ESTRELLA-ESTRELLA
Fig. 3: Sistema trifásico equilibrado a 4 hilos con los fuentes y las cargas conectados en estrella
"i en el sistema trifásico independiente de la Fig. ' se juntan en uno s*lo l os tres conductores !, (! y )!, por donde retornan a los fuentes las corrientes de las fases, conseguiremos reducir reducir el n+mero de conductores necesarios a cuatro $Fig. $Fig. %. -e esta manera las tres fuentes quedan conectados en estrella y lo mismo sucede con las tres impedancias. En este caso se obtiene un sistema trifásico a cuatro hilos. hilos . En estos estos sistem sistemas as tendr tendremo emos s tres tres conductores de fase, fase, , " y /, y un conductor neutro 0, neutro 0, que es el que engloba a los tres conductores de vuelta de la Fig. '. n circuito trifásico es equilibrado, si se cumplen estas condiciones2 •
Las fuentes fuentes produce producen n un sistema equilibrado de tensiones. tensiones . Esto signi3ca que las tres tensiones son de igual valor e3ca4 y e5iste un desfase de 1'67 $es decir, '89 radianes% entre cada par de ellas.
•
Las Las tres tres cor corrien riente tes s i, i" e i / / también forman un sistema equilibrado de corrientes. corrientes. Es decir, tienen el mismo valor e3ca4 y están desfasadas 1'67 entre sí.
•
Las impedancias impedancias forman forman un sistema equilibrado de impedancias. impedancias .
Esto signi3ca que las tres impedancias tienen el mismo valor e3ca4 y el mismo factor de potencia. Es evidente que un sistema trifásico equilibrado el comportamiento de las tres fases es idéntico, salvo el desfase de 1'67 para las tensiones y las corrientes. :a a bastar con anali4ar una de las tres fases, ya que las tensiones y corrientes de las otras dos se obtendrán simplemente girando ;1'67 y <1'67 las obtenidas en la fase estudiada. ecordemos aquí que si a un ángulo se le suman o se le restan =67, es decir, '8 radianes, el ángulo sigue siendo el mismo. &or esta ra4*n, se tiene que2 1'67 > <'?67 y <1'67 > '?67 rad = '8 @
?8 rad
y
ra @ '8 rad = + ?8 d
-ado que los fasores correspondientes a las tres tensiones o las tres corrientes de un sistema trifásico equilibrado son todos de igual longitud y tienen un desfase de 1'67, es fácil comprobar que su suma es nula. Las tensiones fase-neutro o tensiones simples entre cada una de las tres fases y el neutro son v 0, v"0 y v /0 y su valor e3ca4 se va a denominar :F02 :
0
=
:
"0
:
=
/0
$1%
= :F0
-e momento y de forma totalmente arbitraria se elige el origen de tiempos para las tensiones y corrientes de manera que la tensi*n v 0 tenga un ángulo de fase de A67 $Fig. ?%. "e obtiene que2
Fig. 4 : !ensiones simples o fase"neutro
= : F0 :0
A6°
:"0 :0
= :
+
F0
:"0
@ 6° +
: /0
: /0
= :
F0
@ 1B6°
= 6
-ado que la Fig. representa un circuito equilibrado, las tres impedancias son iguales2
$'%
C= C= C
C"=
C / =
$%
D
Las corrientes que circulan por los tres conductores de fase, i , i " e i /, son las corrientes de línea y su valor e3ca4 es L2
= "
$?%
= / = L
bservemos que la corriente que circula por el neutro es igual a las suma de las tres corrientes de fase, como se puede deducir aplicando el primer lema de Girc##oH en el punto neutro. En un sistema equilibrado esta suma siempre es nula, lo que signi3ca que en un sistema trifásico equilibrado la corriente del neutro es nula2 0 = + " + / = 6
$B%
-e lo anterior se deduce que en un sistema trifásico equilibrado se puede prescindir del conductor neutro, en cuyo caso se tiene un circuito trifásico a tres hilos. El comportamiento de un circuito equilibrado es el mismo, tanto si e5iste el conductor neutro como si no. Las líneas eléctricas de transporte que transmiten energía eléctrica a grandes distancias son de tres #ilos. "in embargo, la distribuci*n de la energía eléctrica en baja tensi*n a los consumidores suele ser a cuatro #ilos porque estos utili4an muc#as veces aparatos monofásicos que #abitualmente se conectan entre una de las tres fases y el neutro. "e denominan tensiones fase-fase, compuestas o de línea a las tensiones v", v "/ y v / entre cada par de fases de una red trifásica $véase la Fig. %. "u valor e3ca4 es : L2 :
"
:
= "/
:
$=%
= / = :L
a)
b)
Fig. #: !ensiones simples y compuestas en un sistema trifásico equilibrado
En la Fig. se puede apreciar que se cumple l o siguiente :" = :0 @ :"0 :"/ = :"0 @ : /0 : / = : /0 @ :0
$I%
Estas relaciones se muestran en la Fig. Bb donde se puede apreciar la relaci*n entre los valores e3caces de las tensiones compuestas : L y de las simples :F0. -e esta manera, si, por ejemplo, se anali4a la fase se comprueba que los m*dulos : L de v" y :F0 de v0 y v"0 están relacionados así2 :" = :0 @ :"0 J
:L = ' :F0 cos
6° =
:F0 :L =
$K%
:F0
demás también se comprueba en la Fig. B que en un sistema equilibrado las tensiones compuestas están adelantadas un ángulo de 67 con respecto a las tensiones simples. &or lo tanto, manteniendo que la tensi*n simple v 0 tiene un ángulo de fase de A67, las tensiones compuestas quedan así $Fig. B%2
1'6 :" = :L
°
6°
:"/ = :L
: / = :L
@ 1'6° $A%
:"
+
+
:
"/ : /. = 6
Los dos diagramas fasoriales de la Fig. B son equivalentes. En el diagrama de la Fig. Bb los fasores de las tensiones compuestas forman un triángulo equilátero cuyos vértices son las fases $, " y /%. En este diagrama el centro representa al neutro 0 y, por consiguiente, las alturas del triángulo son los fasores de las tensiones simples. bsérvese que tal como se #a elegido la referencia para los diagramas fasoriales resulta que la tensi*n v "/ tiene un ángulo de fase nulo. Es decir, tal como se #a venido trabajando #asta a#ora lo que se #a #ec#o es elegir a :"/ como referencia. sí pues los valores instantáneos de las tensiones compuestas de esta red trifásica equilibrada son2
v
" = ' : L cos
v
( t + '8 9 )
"/ = ' : L cos ( t)
$16%
v
/
: L cos ( t @ '8 9 ) = '=
: L cos ( t + ?8 9 ,) '
Esto indica que las tensiones compuestas varían en el tiempo como se muestra en la 3gura siguiente2
Fig. $: !ensiones compuestas en un sistema trifásico equilibrado
0ormalmente cuando se da informaci*n de una instalaci*n trifásica se proporcionan sus datos $tensi*n e intensidad% de línea. sí, si nos dicen que una instalaci*n trifásica es de ?66 :, esto signi3ca que sus tensiones de línea $o tensiones compuestas% tienen un valor e3ca4 $: L% de ?66 :.
MAGNITUDES DE FASE -enominamos tensiones y corrientes de fase de un sistema trifásico de tres elementos
$11%
N, además, entre la tensi*n y la corriente de una fase e5iste el desfase D, idéntico al argumento de la impedancia $ C = C D % como sucede en los circuitos monofásicos. Evidentemente, en circuitos equilibrados este ángulo D es el mismo en las tres fases.
CONEXIÓN ESTRELLA EQUILIBRADA
a)
b)
Fig. %: Cone&i'n de tres impedancias formando una estrella equilibrada
Las Fig. Ia y Fig. Ib muestran tres impedancias iguales conectadas formado una estrella equilibrada. mbas 3guras son equivalentes y son dos formas de representar la misma cone5i*n. El neutro de la estrella puede estar unido al conductor neutro de la red trifásica o estar aislado. En ambos casos el comportamiento de una estrella equilibrada es el mismo.
Fig. ( : !ensiones y corrientes en una estrella equilibrada
En la Fig. K, cada fase de la estrella está sometida a la tensi*n fase
F
)one5i*n estrella
:L =
= :F0
$1'%
F = L
demás, aplicando la Ley de #m
C
: =
$1%
:L
F0
C
=
C
"i las impedancias tienen al ángulo D como argumento $ C = C D %, las corrientes de fase están desfasadas el mismo ángulo D con respecto a sus respectivas tensiones de fase, de lo cual se obtiene el diagrama fasorial de la Fig. A $en esta 3gura se supone que D es positivo $inductivo%%2
Fig. ): *iagrama fasorial de una estrella equilibrada +se supone que el ángulo , es positi-o +inducti-o
"i se mantiene, como #asta a#ora, a : "/ como referencia del diagrama fasorial $como sucede en la Fig. A% las corrientes de fase $iguales a las corrientes de línea% son2
:
.
0 =
)one5i*n estrella2
" /
J
= L
A6° @ D
C :"0 = C : /0 = C
$L = F %
$1?%
°
N, evidentemente, en una estrella equilibrada la corriente en el neutro es nula2 0 = + " + / = 6
$1B%
CONEXIÓN TRIÁNGULO EQUILIBRADO
a)
b)
Fig. 1/: Cone&i'n de tres impedancias formando un triángulo equilibrado
demás de la cone5i*n estrella, en la que cada elemento de un sistema trifásico se conecta entre una fase y el neutro, e5iste también la cone5i*n triángulo. En la cone5i*n triángulo cada elemento de un sistema trifásico se conecta entre dos conductores de fase, por lo que en esta cone5i*n no se utili4a el conductor neutro. sí pues, en el caso de un sistema de tres impedancias la cone5i*n triángulo se reali4a como se muestra en las Fig. 16a y Fig. 16b. mbas 3guras son equivalentes y son dos formas de representar la misma cone5i*n que, al tratarse de impedancias iguales, se trata de un triángulo equilibrado.
Fig. 11: Sistema trifásico equilibrado con los fuentes conectados en estrella y las cargas en triángulo
La Fig. 11 es una instalaci*n trifásica similar a la de la Fig. donde a#ora las impedancias se #an conectado en triángulo mientras que se #a mantenido la cone5i*n estrella para las fuentes. En la Fig. 1'a se muestran las tensiones y corrientes para un triángulo de impedancias equilibrado. "e aprecia que las tensiones en bornes de las impedancias $tensiones de fase% son iguales a las tensiones fase
a)
b)
Fig. 12: !ensiones y corrientes de fase en un triángulo equilibrado
En consecuencia, se puede a3rmar que los valores e3caces : F e F de las tensiones y de las corrientes de fase, respectivamente, de un triángulo equilibrado cumplen lo siguiente2 :F = :L
F O L
$1=%
"i las impedancias tienen al ángulo D como argumento $
= C
C
D %, debido a la Ley de
#m las corrientes de fase están desfasadas el mismo ángulo D con respecto a sus respectivas tensiones de fase, de lo cual se obtiene el diagrama fasorial de la Fig. 1'b $en esta 3gura se supone que el ángulo D es positivo $inductivo%%. Luego, aplicando la Ley de #m a las magnitudes de fase y trabajando, como #asta a#ora, con : "/ como referencia se obtiene que2
. "
= :F = :L F
=
C
C
: " J
"
$1I%
=
1'6° @ D F
C : "/
=
)one5i*n triángulo2 "/
/. =
@
C : /
/
J
E
@ 1'6° @ D F
/
C "
=
+ E
"/
=6
+ E
$1A%
a)
b)
Fig. 13: Corrientes de fase y de l0nea en un triángulo equilibrado +se supone que , es positi-o
"i se aplica el primer lema de Girc##oH en nudo del triángulo de la Fig. 1'a se obtiene que2 I TR + I R = I RS
J = " @ /
$'6%
Luego, operando de igual manera en los nudos " y / del triángulo se deducen las relaciones que permiten e5presar las corrientes de línea $i , i" e i /% en funci*n de las corrientes de fase $i ", i"/ e i /%2
=
"
@
=
/
"
"/
@
"
/
=
/
@
"/
$'1%
En la Fig. 1a se muestran grá3camente las relaciones $'1%. En la fase se aprecia que los m*dulos F de i" e i"/ e L de i veri3can lo siguiente2 = ' F cos
= " @ / J L 6° =
F
L = F
$''%
Luego, se pueden completar las relaciones $1=% y escribir que2 =
:F :L L )one5i*n triángulo F =
$'%
demás, en la Fig. 1a también se aprecia que las corrientes de línea $i , i" e i /% están retrasadas 67 con respecto a sus correspondientes corrientes de fase $i", i"/ e i /%. "i se mantiene a : "/ como referencia, de las relaciones $1K% se obtienen las corrientes de línea $'?%, tal como se rePeja en la Fig. 1b.
(1'6° @ D) @ E = L 6°
)one5i*n triángulo2
E
" = L
E /
= L
J E = L A6° @ D
(@ D) @ 6° J (@ 1'6° @ D) @ 6°
E
" = L
J E /
= L
@ 6° @ D
$'?%
@ 1B6° @ D
"i bien en un triángulo no se utili4a el neutro, la red a la que está conectado sí puede tener neutro, bien porque los fuentes estén conectados
en estrella $Fig. 11% o porque e5ista otra carga equilibrada en estrella en paralelo con el triángulo. "abemos entonces que las tensiones simples o fase< neutro tienen un m*dulo menor que las tensiones de línea y están retrasadas 67 con respecto a estas. sí pues, aQadiendo las tensiones simples al diagrama de la Fig. 1b se obtiene el representado en la Fig. 1?. En este diagrama fasorial se observa que las tensiones de línea
Fig. 14 : n un triángulo equilibrado el ángulo , es tambin el desfase entre una corriente de l0nea y la tensi'n fase" neutro correspondiente al igual que sucede en la cone&i'n estrella equilibrada +se supone que , es positi-o
Este mismo resultado se obtuvo al anali4ar la cone5i*n estrella $ver la Fig. A%. Luego, se deduce que #ay una regla general, válida tanto para la cone5i*n triángulo como para la cone5i*n estrella, que dice que el desfase entre una tensi'n simple o fase"neutro y su correspondiente corriente de l0nea es el ángulo ,. &or esta ra4*n, si se e5aminan la relaci*n $1?%
OTRAS REFERENCIAS FASORIALES
Fig. 1# : *iagrama fasorial de un sistema trifásico equilibrado cuando se usa a la tensi'n
Fig. 1$ : *iagrama fasorial de un sistema trifásico equilibrado cuando se usa a "0 como la tensi'n :referencia.
:"/ como referencia.
En la Fig. 1B y en las relaciones $'B% se resumen los resultados obtenidos #asta a#ora cuando se utili4a a : "/ como referencia. 1'6 °
:" = :L
:.0
: E
6° @ 6°
:"/ = :L
=
A6°
:"0
= :
:/0
F0
@ 1'6° @ 1B6°
: / = :L = :
$'B%
F0
F0
= L
A6° @ D
E"
= L
@ 6° @ D
E /
= L
@ 1B6° @ D
En muc#as ocasiones resulta más c*modo elegir como referencia a una tensi*n simple o fase
la tensi*n simple más pr*5ima a : "/ , es decir a : "0 . En la Fig. 1= y en las relaciones $'=% se resumen los resultados que se obtienen cuando se utili4a a :"0 como referencia. )omparando esta 3gura con la Fig. 1B es evidente que el pasar a esta nueva referencia consiste simplemente en girar 67 el diagrama fasorial representado en la Fig. 1B.
VRS = VL
V
RN
= VFN
150º
120º
V
ST
V
SN
= VL
@
30º
V
0º
V
= VFN
TR
TN
= VL
90º
= VFN @ 120º
$'=%
= IL IR
= I L 120º@D
IS
= IL
@D
IT
@ 120º@D
LA POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA La potencia en circuitos trifásicos es la suma de las potencias de sus tres fases. -ado que en circuitos equilibrados las potencias activa, reactiva, aparente y compleja de las tres fases son iguales, las potencias activa, reactiva, aparente y compleja totales son iguales a tres veces las respectivas potencias de una fase. sí, la potencia activa P de un sistema trifásico equilibrado, la cual se mide en R, SR o TR, vale2 & = F :F cos D
$'I%
"i las fases están conectadas en estrella se cumplen las relaciones $1'%, por lo que para esta cone5i*n la relaci*n $'I% se convierte en2
) M L M cos D
& = M :F M F M cos D = M
(:L 9
,=
,
M :L M L M cos D
$'K%
"i las fases están conectadas en triángulo se cumplen las relaciones $'%, por lo que para esta cone5i*n la relaci*n $'I% se convierte en2
(
)
P = 3 M VF M IF M cos D = 3 M V L M I L / 3 M cos D =
3
M VL M IL M cos D
$'A%
Luego, e5iste otra relaci*n equivalente a la $'I% que permite calcular la potencia activa de un sistema trifásico en funci*n de sus tensiones y corrientes de línea y que es válida siempre, tanto cuando las fases están conectadas en estrella como cuando lo están en triángulo2 &=
$6%
M :L M L M cos D
La potencia reactiva Q de un sistema trifásico equilibrado, que se mide en var se calcula de una manera similar a la activa y se obtiene que2 U = F :F sen D = sen D
M :L M L M $1%
En sistemas trifásicos podemos observar la relaci*n entre los diferentes tipos de potencia mediante el triángulo de potencias, que es similar al de los circuitos monofásicos y aparece representado en la Fig. 1K.
Fig. 1(: !riángulo de potencias
-el triángulo de potencias de la Fig. 1K se deduce que la potencia aparente S de un sistema trifásico equilibrado, que se mide en :, S: o T:, se puede calcular así2 ' ' & + U = M :
"= M
F
F
M = :
L
M
L
$'%
/ambién del triángulo de potencias de la Fig. 1K se deduce que el factor de potencia $fdp%, que en circuitos equilibrados es igual a cos , se puede calcular de esta manera2 fdp = P S
P
=
= cos D
P2 + Q2
$%
La potencia compleja S de un sistema trifásico equilibrado, la cual se mide en :, S: y T:, es igual al triple de la potencia compleja de una fase2 = & + j U =
:F
" M
M
V F
$?%
En la e5presi*n anterior : F e F se re3eren a la tensi*n y a la corriente de fase en una cualquiera de las tres fases del sistema. Es preciso #acer notar que no se puede generali4ar la relaci*n $?% para las magnitudes de línea. Es decir2 "O
M :L M L
V
Esto es debido a que el desfase entre : L e L
Las f*rmulas obtenidas #asta a#ora son generales. En el caso particular de que se analice un sistema de trifásico de impeda!ia" y siguiendo un proceso similar al que se emplea en el estudio de la potencia en circuitos monofásicos se obtiene lo siguiente2 " = M :F M F
(
S = 3 M Z M I F
V
)M
y :F = C M F * 2 I F = 3 M Z M I F
partir de este resultado se deduce que para las impedancias se pueden emplear el siguiente conjunto de relaciones2 En impedancias2 ' &= M M F
' " = M C M F
U = M W M ' F
$B% ' "= MCM F
0*tese que en todas estas e5presiones de la potencia para impedancias 1
interviene F $que es el m*dulo del complejo F elevado al cuadrado% y no el
complejo F elevado al cuadrado. /ambién se aprecia que en las relaciones $B% no intervienen los valores de línea. La potencia instantánea que consume una de las fases en un sistema trifásico es como la de un sistema monofásicoX varía sinusoidalmente a frecuencia doble que la frecuencia de las tensiones y corrientes y tiene un valor medio que es la potencia activa. La potencia instantánea total de un sistema trifásico es igual a la suma de las potencias instantáneas de las tres fases. l reali4ar esta suma se cancelan entre sí las componentes variables de las potencias de las fases y el resultado es una potencia instantánea constante e igual a la potencia activa total trifásica. Es decir, en trifásica la potencia instantánea es constante . unque cada fase tiene una potencia que varía en el tiempo, en el conjunto de las tres fases se compensan entre ellas las variaciones temporales de la potencia y se obtiene una potencia total constante e igual a la potencia activa.
CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
Fig. 1): eora del factor de potencia en un sistema trifásico
nteresa que el factor de potencia de una instalaci*n sea lo más alto posibleX es decir, lo más cercano a la unidad, lo cual signi3ca el reducir la potencia reactiva que la instalaci*n demanda a la red. 0ormalmente el factor de potencia de un sistema eléctrico es inductivo, por lo que, dado el comportamiento opuesto de las bobinas y de los condensadores con respecto a la potencia reactiva, lo que se #ace es conectar unos condensadores cerca de las cargas inductivas $Fig. 1A%. sí, las potencias reactivas de los condensadores y de las cargas se compensan entre sí y la demanda total de potencia reactiva se reduce. La potencia reactiva es una medida de la energía que intercambian continuamente las fuentes y los elementos pasivos que almacenan energía
una bobina devuelve al fuente la energía que almacen* anteriormente un condensador consume energía del fuente y la almacena en forma de campo eléctrico. l colocar un condensador al lado de una carga inductiva $Fig. 1A%, las energías almacenadas en sus respectivos campos magnético y eléctrico se intercambian entre sí y el fuente s*lo debe suministrar $y luego absorber en la otra mitad del tiempo% una pequeQa cantidad de energía, muc#o menor que si no se #ubieran instalado los condensadores.
Fig. 2/ : eora del factor de potencia
"iguiendo un ra4onamiento similar al utili4ado en los sistemas monofásicos se #a dibujado la Fig. '6. En ella se muestra que inicialmente se tiene una instalaci*n trifásica con un factor de potencia bajo, de valor igual a cos D $luego, el ángulo D es grande%, que consume una potencia activa & y una potencia reactiva U. "e quiere aumentar el factor de potencia de forma que pase a valer cos D! $luego, el ángulo D se reduce y pasa a valer D!%, por lo que la potencia reactiva se reduce y pasa a valer U! mientras que la potencia activa sigue siendo &. &ara conseguir esto se necesita introducir la potencia reactiva negativa de los condensadores U ), cuyo valor absoluto se calcula así2 U) = U @ UY = & (tg D @ tg DY)
$=%
"ean :) e ) los valores e3caces de las tensiones e intensidades de fase en los condensadores. &artiendo de $11% y $B% se tiene que2 J C = W)= 1 ) ) )
C= 6 + j W )
1
=
'8 f )
= :) = :) ) W C ) '
:
)
'
) ' :)
:)
'
'
$I%
U) = M
W) M
) =
W
=
)
W
=
U)
=
) :)
)
W)
)
1
U) ('8 f ) ' : )
'
)= : = )
En consecuencia, seg+n como se conecten los condensadores, en estrella o en triángulo, su capacidad se calcula así2
:
U)
L
En estrella2
: )
= ,
)
Z
'
=:
L
U)
En triángulo2
:) = :L
U) = ('8 f ) :' L
U) , ('8 f
) = :' = ) L
:
'
$K%
$A%
L
Luego se cumple que2 =
)Z
)
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior De Ingeniería Mecánica Y Electrnica
Ingeniería En Co!unicaciones Y Electrnica Teore!as "e Circuitos El#ctricos $rupo% &CM'(
In)estigacin% *e"es Tri+ásicas
$?6%
Alu!na% Sigüenza Preza Melissa
Pro+esor% Ingeniero Ale,an"ro $arcía -ernán"e.
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