CircuitoRLC_serieCA_Teoria.pdf

Eletrônica

Eletrônica básica - Teoria

Circuito RLC série em CA


Circuito RLC série em CA © SENAI-SP, 2003

Trabalho editorado pela Gerência de Educação da Diretoria Técnica do SENAI-SP, a partir dos conteúdos extraídos da apostila homônima Circuito RLC série em CA - Teoria. Teoria . SENAI - DN, RJ, 1985.

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Sumário

Introdução

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As tensões no circuito RLC série

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Impedância do circuito RLC série

17

Ressonância

23

Circuito RLC série na ressonância

29

Referências bibliográficas

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Introdução

O jovem moderno é um apreciador da música. Sem dúvida, estar em um ambiente acolhedor ouvindo uma boa música é muito agradável. Os aparelhos de som, produzidos atualmente, dispõem de muitos recursos e são ligados à caixas de som de alta qualidade, de forma que os sons graves são reproduzidos em um alto falante e os agudos em outro. Como é que esta separação entre graves e agudos acontece? Certamente esta pergunta já foi feita inúmeras vezes. A resposta a esta pergunta está nos circuitos compostos por resistores, capacitores e indutores, denominados de circuitos RLC. Esta unidade tratará do circuito RLC série e suas características, visando fornecer os fundamentos indispensáveis para que seja possível compreender fenômenos como a “separação de graves e agudos”.

Pré-requisitos

Para ter sucesso no desenvolvimento dos conteúdos e atividades desta unidade você já deverá ter conhecimentos relativos a: •

Indutores em CA;

•

Capacitores em CA;

•

Representação vetorial de parâmetros elétricos CA.

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O circuito RLC série em CA

Um capacitor ligado em CA provoca o defasamento entre a corrente e a tensão. A tensão é atrasada 90° em relação à corrente.

Um indutor ligado em CA também provoca um defasamento entre tensão e corrente. A tensão é adiantada 90º em relação a corrente.

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Comparando os gráficos vetoriais do capacitor e do indutor se verifica que os efeitos são simétricos entre si. Em relação a corrente o capacitor atrasa a tensão e o indutor adianta.

Esta oposição entre os efeitos faz com que os circuitos formados por resistor-indutorcapacitor em série tenham um comportamento particular em CA. Este componente pode ser estudado tomando-se como referência o circuito RLC série mostrado na figura a seguir.

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Como o circuito é série, a corrente é tomada como referência, por ser única em todo o circuito.

A corrente circulante provoca uma queda de tensão no resistor (VR = I . R) que está em fase com a corrente.

A corrente provoca também uma queda de tensão no indutor (VL = I . X L).

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A queda de tensão no indutor está 90º adiantada em relação a corrente.

Da mesma forma ocorre uma queda de tensão no capacitor (V C = I . X C). A queda de tensão no capacitor está 90º atrasada em relação a corrente.

As figuras anteriores correspondem aos gráficos senoidal e vetorial completos do circuito RLC série.

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As tensões no circuito RLC série

No circuito RLC série existe uma única corrente ( I ) e três tensões envolvidas (V R, VL e VC), conforme mostram os gráficos senoidal e vetorial.

Por estes gráficos se observa que a tensão no indutor e no capacitor estão em oposição de fase. Retirando dos gráficos a corrente e a queda de tensão no resistor pode-se ver claramente que VL e VC estão em oposição de fase.

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As tensões VL e VC em oposição de fase atuam uma contra a outra, subtraindo-se (vetores de mesma direção e sentidos opostos).

Admitindo valores para VL e VC isto pode ser mais facilmente compreendido.

No exemplo dado a resultante entre V C e VL corresponde a uma tensão de 60Vp capacitiva porque a tensão V C é maior que a tensão V L.

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Esta subtração entre VL e VC pode ser observada na prática, medindo-se os valores de VC e VL isoladamente e depois medindo o valor V C – VL. As figuras a seguir ilustram uma situação possível (em valores de tensão eficaz).

No exemplo das figuras anteriores a tensão resultante entre L e C é capacitiva porque a tensão VC é maior que a tensão V L. Com base nesta subtração entre V L e VC o sistema de três vetores (V R, VL e VC) pode ser reduzido para dois vetores: 1. RLC, onde o efeito capacitivo é maior que o indutivo (veja figuras a seguir).

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2. RLC, onde o efeito indutivo é maior que o capacitivo.

A partir do sistema de dois vetores a 90º a tensão total V T pode ser determinada pelo teorema de Pitágoras.

VT → hipotenusa VR e(VL - VC) → catetos VT2 = VR2 + (VL – VC)2

VT =

2

VR + (VL - VC ) 2

Observação

Nesta equação os termos V L e VC devem ser colocados sempre na ordem: maior menos o menor (VL - VC) ou (VC - VL), de acordo com a situação. Isto é importante no momento em que for necessário isolar um dos termos (V L ou VC) na equação. A seguir estão colocados dois exemplos de utilização da equação da tensão total.

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Exemplo 1

Determinar a tensão total aplicada ao circuito.

2

VT =

VR + (VC - VL ) 2

(VC - VL) porque VC é maior que V L.

VT =

50 2 + (70 - 30) 2

VT =

VT =

4100

VT = 64V

50 2 + 40 2

Exemplo 2

Determinar o valor da queda de tensão no resistor

VT =

2

VR + (VL - VC ) 2

VT2 – (VL – VC)2 = VR2

VT2 = VR2 + (VL – VC)2 VR =

2

VT − ( VL − VC ) 2

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Observe que (VL – VC) foi tratado como um único termo para o desenvolvimento da equação.

VR =

VT - (VL - VC ) 2

VR =

50 2 − (80 - 60) 2

VR =

50 2 − 20 2

VR =

2100

2

VR = 45.8V

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Impedância do circuito RLC série

A equação para determinar a impedância de um circuito RLC série pode ser encontrada a partir de um estudo do seu gráfico vetorial.

Dividindo-se cada um dos vetores VL,VR e VC pela corrente I têm-se: VL I

= XL

VR I

=R

VC I

= XC

Os valores X L, R e XC dão origem a um novo gráfico vetorial

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Pelo novo gráfico vetorial se observa que X L e XC estão em oposição de fase (vetores de mesma direção e sentidos opostos). Com base nesta observação, o sistema de três vetores (X L, R e X C) pode ser reduzido para dois vetores: 1. RLC, onde XL é maior que X C.

2. RLC, onde XC é maior que X L.

A partir do sistema de dois vetores a 90º a resultante pode ser determinada pelo teorema de Pitágoras.

Z= 18

R 2 + ( XL − X C )2 SENAI-SP - INTRANET


Nesta equação os termos X L e XC devem ser colocados na ordem, maior menos o menor, conforme a situação (X L – XC ou XC – XL).

A corrente no circuito RLC série

A corrente no circuito RLC série depende da tensão aplicada e da impedância do circuito, conforme estabelece a Lei de 0hm para circuitos de correntes alternada:

I=

VT Z

A seguir estão colocados dois exemplos que ilustram a utilização das equações da tensão total e da corrente no circuito RLC série. Exemplo 1

Determinar Z, I, V R, VL e VT XL = 2π.f.L 1 XC = 2π.f .C

XL = 754Ω XC = 1327Ω

Z = R 2 + (X C − XL )2

Z = 1000 2 + (1327 − 754) 2

Z = 1000 2 + 573 2

Z = 1,328,329

Z = 1153Ω SENAI-SP - INTRANET

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I=

VT

I=

Z

120V 1153Ω

I = 0,104A

VR = I . R

VR = 0,104 . 1000

VR = 104V

VL = I . X L

VL = 0,104 . 754

VL = 78V

VC = I . XC

VC = 0,104 . 1327

VC = 138V

Os resultados podem ser conferidos aplicando-se os valores de V R, VL e VT na equação da tensão total. 2

V T = VR + ( VC − VL ) 2

VT = 104 2 + (138 - 78)2

V T = 104 2 + 60 2

V T = 14416

VT = 120,07V O resultado confere com o valor da tensão aplicada, comprovando que os valores de VR, VL e VC estão corretos. A pequena diferença (0,07V) se deve aos arredondamentos realizados nos cálculos. Exemplo 2

Determinar Z, I, V R, VL e VC 1 XC = 1592Ω XC = 2π.f .C XL = 2π.f.L

XL = 2512Ω

Z = R 2 + (XL − XC )2

Z = 1200 2 + (2512 − 1592) 2

Z = 1200 2 + 920 2

Z = 2286400

Z = 1512Ω

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I=

VT Z

I=

50V 1512Ω

I = 0,0331A

VR = I . R

VR = 0,0331 . 1200

VR = 39,7V

VL = I . X L

VL = 0,0331 . 2512

VL = 83,1V

VC = I . X C

VC = 0,0331 . 1592

VC = 52,7V

Os resultados podem ser comprovados aplicando-se os valores de V R, VL e VT na equação da tensão total.

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Ressonância

A reatância de um indutor cresce a medida que a freqüência da rede de CA aumenta. Analisando-se um indutor de 1H conectado a um gerador se sinais:

Freqüência do

Reatância do

Gerador

Indutor

500 Hz

3140Ω

1000 Hz

6280Ω

1500 Hz

9420Ω

2000 Hz

12560Ω

Colocando-se os dados em gráfico, observa-se que a reatância de um indutor cresce linearmente com o aumento da freqüência.

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A reatância de um capacitor descrece com o aumento da freqüência do gerador de C.A. Analisando-se um capacitor de .02µF conectado a um gerador de sinais: Freqüência do Gerador

Reatância do Indutor

500 Hz

15923Ω

1000 Hz

7961Ω

1500 Hz

5307Ω

2000 Hz

3980Ω

A colocação dos valores num gráfico mostra a queda da reatância capacitiva com o aumento da freqüência.

Sobrepondo os gráficos de reatância capacitiva e reatância indutiva, se verifica que existe uma determinada freqüência na qual X L e XC são iguais.

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Esta freqüência onde X L = XC, é denominada de freqüência de ressonância , representada pela notação fR. Freqüência de ressonância (fR) é aquela em que X C e XL são iguais. Qualquer circuito que contenha um capacitor e um indutor (em série ou em paralelo) tem uma freqüência de ressonância. A equação para determinar a freqüência de ressonância de um circuito LC pode ser deduzida a partir do fato de que X L = XC. XL = XC 1 2π.fR.C

2π.fR.L =

Desenvolvendo-se a proporção têm-se 2π . fR . L 1

fR2 =

=

1

Isolando fR

2π . fR . C

1

fR =

2

4π . L . C

Freqüência de ressonância →

1 4π 2 . L . C fR =

1 2π L . C

Onde:

fR = freqüência de ressonância em Hertz L = indutância em Henry C = capacitância em Farad A equação da freqüência de ressonância pode ser desenvolvida para que o valor de capacitância possa ser aplicado em microfarads.

1000

fR = 2

L .C.

C em microfarads L em Henrys fR em Hertz

A seguir estão colocados dois exemplos de cálculo da freqüência de ressonância.

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Exemplo 1

f R =

f R =

1000 2π

L. C . 1000

6,28

fR =

fR =

0,5 . 1 1000

6,28 . 1000 4,44

0,5

fR =

1 6,28 . 0,7071

fR = 225,22Hz

Pode-se conferir o resultado calculando os valores de X L e XC em 225,22Hz. 1µF em 225,22 Hz →

XC = 707,02Ω

0,5H em 225,22Hz →

XL = 707,19Ω

A pequena diferença se deve aos arredondamentos realizados nos cálculos.

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Exemplo 2

C = 0,047µF L = 0,01H fR =

fR =

1000 2π L. C 1000 6,28 .

0,00047

fR =

fR =

1000 6,28 . 0,01. 0,047 1000 0,1361

fR = 7347,2Hz

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Circuito RLC série na ressonância

O comportamento de um circuito RLC série na freqüência de ressonância pode ser estudado tomando-se como base um circuito RLC série qualquer ligado a uma fonte de CA.

A impedância do circuito RLC série é dada pela equação: Z=

R 2 + (XL − X C )2

Se o gerador fornece uma CA na freqüência de ressonância têm-se:

Z=

R 2 + (XL − XC )2

Como XL = XC

Z=

R2 + 02

Z=

(XL - XC) = 0

R2

Circuito RLC na freqüência de ressonância

Z=R

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Pode-se construir um gráfico que mostra o comportamento da impedância de um circuito RLC série em CA.

O que se verifica é que na freqüência de ressonância capacitor e indutor se anulam mutuamente, fazendo com que a impedância seja mínima e igual ao valor do resistor. Um circuito RLC série tem a impedância mínima na freqüência de ressonância. Isto significa que na ressonância circula a corrente máxima em um circuito RLC série, conforme mostra o gráfico das figuras a seguir.

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A seguir está colocado um exemplo de cálculo de circuito RLC série na ressonância.

Determinar a corrente máxima que pode circular no circuito se a freqüência do gerador for variável? Determinar também as tensões V AV, VBC e V AC na ressonância. A corrente máxima do RLC série flui na ressonância onde Z = R, portanto

I=

VT

Como Z = R na ressonância

Z

Imáx =

VT R

Imáx =

10V 220Ω

Imáx = 45,45mA

(a freqüência de ressonância é 7.345 Hz). V AV = VL = I . X L

XL = 2π . f. L

X L = 6,28.7345. 0,01 = 461 Ω

VL = 0,04545.461

VL = 20,95V

VBC = VC = I . X C

XC = 461Ω (igual a XL)

VC = 0,04545.461

VL = 20,95V

VBC = 20,95V

V AC = VL - VC

V AC = 20,95 - 20,95

VCA = 0V

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V AB = 20,95V

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Conclui-se que a tensão fornecida pela fonte está toda aplicada sobre o resistor. VR = I . R

VR = 0,04545 . 220

VR = 10V

Largura de faixa

A largura de faixa, denominada em inglês por “bandwidth”, é definida como a faixa de freqüências em que a corrente do circuito RLC série se mantém em um valor maior que 70,7% da corrente máxima (I = Imáx. 0,707). A determinação da largura de faixa no gráfico típico de corrente do circuito RLC série aparece na figura a seguir.

A largura de faixa depende da capacidade do capacitor e da indutância e Q do indutor. De acordo com os valores utilizados é possível estender ou comprimir a largura de faixa de um circuito RLC.

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Esta característica é aproveitada para realizar a seleção de freqüências. A figura a seguir mostra como é possível obter um circuito seletor de freqüências.

Neste circuito a tensão de saída (V R) atinge o seu valor máximo na freqüência de ressonância, decrescendo a medida que a freqüência aplicada a entrada se afasta da freqüência de ressonância. Este princípio é aproveitado em filtros para caixas de som.

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Referências bibliográficas

DAES, Chester L. Curso de eletrotécnica; corrente alternada. A course in electrical engineering Trad. de João Protásio Pereira da Costa. 18.ed. Porto Alegre, Globo,

1979. v.4. VAN VALKENBURG, NOOGER & NEVILLE. Eletricidade básica. 5.ed. Rio de Janeiro, Freitas Bastos, 1960. V.4 ilust. SENAI/DN. Circuito RLC série em CA, teoria Rio de Janeiro, Divisão de Ensino e Treinamento, 1985. (Série Eletrônica Básica).

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