MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una partícula describe una trayectoria no rectilínea, entonces: I. II. III.
a) b) c) d) e)
la partícula está acelerada. Correcto!!. Sólo el hecho que la partícula cambie la dirección del vector velocidad, esta estará acelerada. si la rapidez es constante su aceleración será cero. Falso!!!.Esto sería cierto si la trayectoria fuera rectilínea y la partícula no invierta la dirección de movimiento. si la rapidez es constante su velocidad media lo será también. Falso!!. La rapidez y la velocidad media son iguales en magnitud sólo cuando la partícula se mueve en línea recta. I y II son verdaderos I y III son verdaderos Solo I es verdad I, II y III son verdaderos I, II y III son falsos 2. Para una partícula moviéndose en línea recta, ¿cuál(es) de (el) los siguientes casos no es posible?
a) b) c) d) e)
Desplazamiento negativo con aceleración positiva. Rapidez media menor que la velocidad media. Rapidez media mayor que la velocidad media Desplazamiento nulo con aceleración cero. Desplazamiento positivo con aceleración media cero.
V a) El gráfico de la derecha muestra un movimiento Con aceleración positiva. El área bajo la curva representa el desplazamiento, en este caso desplazamiento negativo. Si es posible!
t
b) La velocidad media iguala en magnitud a la rapidez media solo en el caso en que la partícula se mueva en línea recta y en la misma dirección, por lo tanto la rapidez media es siempre mayor o igual que la velocidad media. No es posible! c) Si es posible!!!. d) No es posible!!. Si la aceleración es cero, la velocidad es constante. Si la velocidad es constante el desplazamiento no puede ser cero. e) Si es posible!!. Si la partícula se mueve en línea recta y su aceleración es cero, significa que su velocidad es constante. Si la velocidad es constante su desplazamiento puede ser positivo o negativo. Florencio Pinela C.
3. Dos partículas se aceleran desde el reposo al mismo instante a razón de 5 m/s2 y 3 m/s2 respectivamente. Si las partículas se encuentran al cabo de 10 segundos. La distancia que estaban separadas al instante de partir fue:
a) b) c) d) e)
50 m 100 m 125 m 150 m 200 m
Solución: Si las partículas parten del reposo con diferente aceleración, y se encuentran luego de viajar una determinada distancia. Las partículas debieron haber partido de diferente posición , llevando ventaja en distancia (xo) la partícula con menor aceleración.
Instante t = 0, en que parten A
2
5 m/s
x=0
B
3 m/s2
x
xo
Instante t, en que se encuentran (la posición final de las dos partículas es la misma)
x=0 xA = xB
Posición final de una partícula. Posición final de la partícula A:
Posición final de la partícula B:
x = xo + Vo t + ½ a t2 x = xo + Vo t + ½ a t2 xA = 0 + 0 + ½ 5 (10) 2 xA = 250 m xB = xo + Vo t + ½ a t2 xB = xo + 0 + ½ 3(10) 2 xB = xo + 150
La posición final de las dos partículas es la misma; x A = xB 250 = xo + 150
xo = 100 m Florencio Pinela C.
4. El gráfico representa el movimiento de dos partículas A y B que viajan con aceleraciones aB y aA en línea recta. La relación entre aB y aA es: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
v (m/s) 25 A
20
B
0
t (s)
t
-5 Solución: En este problema aplicaremos el concepto de que la pendiente de una curva en el plano velocidad versus tiempo representa la aceleración. La pendiente de la curva A es: a A =
25
20
t
5
t
la pendiente de la curva B es: a B =
25
5
30
t
t
30
t
a B/ a A =
= 6
5
t
5. Los movimientos de dos cuerpos “A” y “B” en línea recta se encuentran representados en la gráfica. El tiempo t que transcurre desde el instante que parten hasta que ambos cuerpos se encuentran en la misma posición es: x (m)
A a) b) c) d) e)
6s 5s 4s 3s 2s
2
-2 Solución:
B
10
1
t
t (s)
Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano posición versus tiempo. En este plano la pendiente representa la velocidad, por lo tanto estamos en presencia de un movimiento rectilíneo con velocidad constante. De acuerdo a los datos del gráfico, el cuerpo A al instante t = 0 se encuentra en la posición inicial x = -2m, después de un segundo pasa por el origen y luego de t segundos se encuentra en la posición x = 10m. Con esta información podemos determinar la pendiente de la curva ( VA) y el tiempo que tarda en llegar a la posición x A =10m. Posición del cuerpo A al instante t
0
2
xA = xo + VA t + ½ a t xA = xo + VA t la velocidad VA la obtenemos del gráfico (pendiente).
VA = 2 m/s
1
xA = xo + VA t 10 = -2 + 2 t
-2
t = 6s 6. El gráfico que se muestra representa la variación de la velocidad en el transcurso del tiempo para una partícula que se mueve en línea recta y que se encuentra en el origen al instante t =0. Para el intervalo de tiempo mostrado, la máxima distancia que la partícula se aleja del origen es v(m/s) a) b) c) d) e)
250 m 500 m 350 m 150 m 100 m
20
30
0
5
10
40 t(s)
20
-20 Solución: Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano velocidad versus tiempo. En este plano la pendiente representa la aceleración y el área bajo la curva el desplazamiento. De acuerdo al grafico, la partícula experimenta desplazamiento positivo durante los primeros 20 segundos, y luego regresa (desplazamiento negativo) durante los siguientes 20 segundos. El desplazamiento positivo es: 5*20/2 + 5*20 + 10*20/2 = 250 m
El desplazamiento negativo es: 10*20/2 + 10*20/2 Florencio Pinela C. = 200 La partícula se aleja 250 metros y luego regresa 200 metros. Se nos pregunta la máxima distancia que la partícula se aleja del origen, la respuesta es lógica, esta distancia corresponde al desplazamiento positivo.
250 metros
7. Dos vehículos parten del reposo y de la misma posición, los vehículos se aceleran en direcciones contrarias. ¿Cuál de los siguientes gráficos representaría mejor el movimiento de los dos vehículos? x
x
(a)
x
(b)
t
(c)
t
t x
x (d) (e) t
t
Solución: Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano posición versus tiempo. En este plano la pendiente representa la velocidad. Si los vehículos parten del reposo, la pendiente de la curva al instante t = 0 debe ser igual a cero. El único gráfico que cumple esta condición es el e). Ratifiquemos el resultado a partir de la se gunda condición, “los vehículos se aceleran en direcciones contrarias”. Acelerarse en direcciones contrarias significa que los vehículos incrementarán su velocidad positivamente el uno y negativamente el otro. El gráfico e) es el único que cumple esta condición. Florencio Pinela C.
9. Dos vehículos parten del reposo y de la misma posición moviéndose en línea recta, el uno se acelera a razón de 2 m/s2 y el otro a 4 m/s 2. Si los vehículos se encuentran después de haber viajado 1000 m. ¿Después de cuánto tiempo que salió el primero partió el segundo?. a) b) c) d) e)
3.15 s 9.26 s 6.26 s 11.30 s 10.62 s
Solución: En este problema podemos calcular el tiempo que emplearía en recorrer los 1000 metros cada uno de los vehículos. Por supuesto que será mayor el del vehículo que viaja acelerado a 2 m/s2 , la diferencia entre estos dos tiempos es el intervalo de tiempo que debería tomar “ventaja” éste vehículo. Tiempo que le toma al vehículo que viaja a
2 m/s2 en recorrer los 1000 metros . 0 2
x = Vo t + ½ a t t 1 =
2 x a
t1 = 31,62 s Tiempo que le toma al vehículo que viaja a
4 m/s2 en recorrer los 1000 metros . 2
x = Vo t + ½ a t t 2 =
2 x
a
t 2 = 22,36 s
¿Después de cuánto tiempo que salió el primero parte el segundo?.
Es la diferencia entre estos dos tiempos: 9,26 s 10. Un bloque resbala sobre un plano como se indica en la figura. El bloque al deslizarse:
a) su velocidad y aceleración aumentan b) c) d) e)
su velocidad aumenta y su aceleración es constante su velocidad aumenta y su aceleración disminuye su velocidad y aceleración disminuyen su velocidad disminuye y su aceleración es constante
Florencio Pinela C.
11. La ecuación del movimiento de una partícula en línea recta viene dada por la siguiente expresión x = 4t2 + 2t + 8, donde x está en metros y t en segundos, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la partícula al cabo de 2 segundos son Desplazamiento (m)
Velocidad (m/s)
Aceleración (m/s2)
a) b) c) d)
32 32 28 20
16 2 18 16
8 4 8 8
e)
20
18
8
Solución: De acuerdo a la expresión de la posición, podemos determinar por comparación los valores de: la posición inicial ( xo), la velocidad inicial (Vo) y la aceleración( a)
x = 4t2 + 2t + 8
x = xo + Vo t + ½ a t 2 xo = 8 m Vo = 2 m/s a = 8 m/s2 Con esta información determinemos el desplazamiento a los 2s. x = Vo t + ½ a t2 x = 2(2) + ½ (8)(2) 2
x = 20 m . Calculemos ahora la velocidad a los 2s. V = Vo + a t V = 2 + 8(2)
V = 18 m/s La aceleración a los 2s. El movimiento es con aceleración constante, por lo tanto la aceleración es la misma 2 para cualquier instante de tiempo, a = 8 m/s
Florencio Pinela C.
12. Un móvil recorre 300 m en 20 segundos con aceleración constante. Si la velocidad al terminar su recorrido es de 20 m/s, la velocidad con la que empezó su movimiento es: a) 0 b) 5 m/s c) 10 m/s d) 12 m/s e) 15 m/s
V V Vo
solución:
t
t
Una de las ecuaciones útiles para resolver problemas de cinemática es: x =
V V o
t
2
La que representa el área bajo la curva (trapecio) del plano velocidad versus tiempo, esta ecuación involucra cuatro de los cinco términos utilizados en cinemática, no contempla la aceleración. De acuerdo a la información dada en este problema, es la ecuación ideal. V o =
V o =
2 x
t
V
2 * 300 20
20
V o = 10 m/s
13. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. En el instante correspondiente al punto A (intersección de las rectas), de los siguientes enunciados: I. Las partículas tienen la misma velocidad. Falso!!. Este es un gráfico posición versus tiempo. II. Las partículas se encuentran. Correcto!!. En ese instante las partículas tienen la misma posición III. Las partículas experimentaron el mismo desplazamiento. Falso!!. Las partículas se mueven en direcciones contrarias.
x (m
a) Solo I es correcto b) Solo II es correcto c) I y II son correctos d) I y III son correctos e) Todos son correctos
A
0 Florencio Pinela C.
t (s
14. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. El instante en que las partículas tienen la misma velocidad es:
v (m/s a) 8,5 s b) 8,0 s c) 7,5 s d) 7,0 s e) 6,5 s
20
0
5
t (s
10
-10
Solución: Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano velocidad versus tiempo. En este plano la pendiente representa la aceleración. Llamemos (1) a la partícula con aceleración positiva y (2) a la partícula con aceleración negativa. Sea t el instante en que las partículas tienen la misma velocidad.
V
(1)
V 1 = V o1 + a1 t V 2 = V o2 + a2 t
t
V 1 = -10 + a1 t V 2 = 20 + a2 t
t
(2) Los valores de la aceleración la determinamos del gráfico a partir de la pendiente. a1 =
a2 =
10 5
2
= 2 m/s
20 10
2
2 m/s
V 1 = V 2 -10 + a1 t = 20 + a2 t -10 + 2 t = 20 +(-2) t
4 t = 30
t = 7,5 s
15. Dos vehículos se mueven en línea recta con velocidad constante y en la misma dirección, con velocidades de 20 m/s y 30 m/s. Si al instante t=0 los vehículos están separados 200 m y si uno de ellos le da alcance al otro. ¿En cuánto tiempo lo logra ? a) 20.0 s b) 16.6 s c) 10.6 s d) 6.6 s e) 4.0 s Solución: Si los vehículos se mueven con velocidad constante y diferentes, y además se encuentran separados una cierta distancia. Para que uno de ellos (1) le de alcance al otro (2), el que viaja a mayor velocidad (1) debe encontrarse atrás.
Posición inicial t = 0, de los vehículos
(2) 30 m/s
(1)
20 m/s
x =0 200 m
Posición de los vehículos al instante t en que le da alcance
20 m/s x =0 x1 = x2
La posición del vehículo (1) al instante t es: 0 2 x1 = xo + V o t + ½ a t x1 = xo + V o t x1 = 0 + 30 t La posición del vehículo (2) al instante t es: 0 2 x2 = xo + V o t + ½ a t x2 = xo + V o t x2 = 200 + 20 t El instante en que los vehículos se encuentran es:
Florencio Pinela C.
x1 = x2 30 t = 200 + 20 t 10 t = 200 t = 20 s
30 m/s
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si la velocidad media de una partícula que se mueve en línea recta es cero, entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera? a) b) c) d) e)
La velocidad de la partícula, en algún instante, será cero. La aceleración de la partícula es positiva en un tramo y negativa en el otro tramo. El desplazamiento de la partícula es igual a la distancia total recorrida. La velocidad de la partícula es constante. La velocidad media de la partícula será cero, solamente si ésta no se mueve.
2. Dos vehículos A y B se mueven con velocidad constante y en la misma dirección;
VA= 15 m/s y VB= 20 m/s. Si los vehículos se encuentran separados 100 m.¿ Qué aceleración deberá imprimir el vehículo A para que le de alcance al vehículo B al cabo de 10 segundos? a) b) c) d) e)
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
m/s2 m/s2 m/s2 m/s2 m/s2
3. Dos partículas A y B se encuentran en las posiciones indicadas en la figura a t =0. Si
las partículas se mueven con velocidades de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. ¿Cuál es la distancia total recorrida por las partículas al instante de encontrarse? A -200 a) 400 m. b) 500 m. c) 700 m. d) 900 m. e) 1200 m.
B 0
100
x(m)
4. Para el problema 3, si en la posición indicada la partícula A se acelera a razón de 2m/s2, mientras B continúa con velocidad constante.¿ Qué distancia se habrá desplazado A en el instante que le da alcance a B. a) 260 m. b) 290 m. c) 340 m. d) 392 m. e) 430 m.
5. Un auto se mueve con velocidad constante de 20 m/s acercándose a una intersección donde existe un semáforo. En el instante en que el vehículo se encuentra a 80m de la intersección, el semáforo cambia a rojo. El conductor reacciona y aplica los frenos dos segundos después de ver la luz roja, deteniéndose 4 segundos después. El auto se detendrá a) b) c) d) e)
20 m antes del semáforo 20 m después del semáforo 40 m antes del semáforo 40 m después del semáforo exactamente bajo el semáforo
6. Dos partículas parten al mismo instante desde el origen de un sistema de coordenadas. La una parte en dirección vertical con rapidez constante de 4 m/s. La otra parte desde el reposo y se mueve en dirección perpendicular a la anterior con una aceleración de 8 m/s2 durante los primeros 4s, para luego continuar moviéndose con velocidad constante. Desde el instante en que partieron, al cabo de cuánto tiempo las partículas estarán separadas 0.15 km. a) b) c) d) e)
2.2 3.3 4.4 5.5 6.6
s. s. s. s. s.
7. La gráfica x-t representa el movimiento de dos partículas en línea recta. A los cinco segundos las partículas están separadas 5 metros. ¿ Cuál es la velocidad de la partícula 2, si la velocidad de la partícula 1 es 1 m/s.? . x (m) a) b) c) d) e)
1 m/s 2 m/s 3 m/s 4 m/s 5 m/s
1 20
2 5
t (s) 5
0
8. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si a los nueve segundos la partícula se encuentra en la posición x = 20m. la posición de la partícula a t=0 es v(m/s) a) -45 m b) -25 m c) -20 m d) -10 m e) 0
20 6 o
9
t(s)
9. Un automóvil viaja con una rapidez inicial v se para en un intervalo de tiempo t. Si la
desaceleración durante este intervalo t es constante ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta para dicho intervalo? a) La distancia recorrida es vt/2 b) La rapidez media es vt c) La aceleración es -v/2t d) La distancia recorrida es vt2 /2 e) La velocidad media es vt/2 10. Un cuerpo con aceleración constante tiene una velocidad de 8 m/s al instante t = 5s y una velocidad de 26 m/s para el instante t = 8s, la aceleración y la velocidad media de la partícula para el intervalo de tiempo indicado fueron Aceleración media
a) b) c) d) e)
6 m/s2 6 " 9 " 9 " 12 "
Velocidad media
17 m/s 11,3 " 17 " 11,3 " 17 "
11. Una partícula parte del origen de coordenadas y se desplaza hacia un punto P con velocidad media 20 i m/s en 10 segundos, a continuación experimenta un desplazamiento de (25 i + 30 j) m durante un tiempo de 5 segundos hasta un punto Q. La velocidad media de la partícula durante los 15 segundos fue
a) 200 i b) 250 i + 300 j c) 45 i + 30 j d) 5 i + 30 j e) 15 i + 2 j
m/s " " " "
12. En relación a la definición de aceleración ¿ cuál de las siguientes alternativas es FALSA? a) Si un cuerpo moviéndose en línea recta con velocidad constante, cambia la dirección de su movimiento, el cuerpo experimentará aceleración. b) Un cuerpo con velocidad negativa puede tener aceleración positiva. c) El vector aceleración siempre se encuentra en la dirección de movimiento de un cuerpo. d) Un cuerpo con aceleración positiva puede tener desplazamiento nulo. e) Un cuerpo con aceleración negativa puede tener desplazamiento nulo.
13. Una partícula describe una trayectoria circular de 50 cm de radio, moviéndose con rapidez constante de 200 m/s . El módulo de la aceleración media entre los puntos a y b es a) 509
m/s2
b) 1018 c) 2036 d) 25464 e) 50929
“ “ “ “
a
b
14. Un automovilista viaja a 20 m/s cuando observa que un semáforo situado a 150 m delante de él cambia a rojo. El semáforo está en rojo durante 10 segundos. Si desea cruzar el semáforo en el instante en que cambia a verde sin detenerse, calcular la desaceleración uniforme que requiere el automóvil y la velocidad del automóvil cuando pase el semáforo. a) -1 m/s , b) -1 m/s2, c) -1 m/s2, d) -2 m/s2, e) -2 m/s2, a)
5 m/s 10 m/s 10 m/s 0 10 m/s 150 m
15. Una partícula parte del reposo con una aceleración de 2 m/s 2. La distancia recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 2s y t = 3s es. a) b) c) d) e)
3 m 4 m 5 m 9 m 13 m 16. La función de posición de una partícula es: x(t) = 16 t 2 - 4 t. La velocidad media de la partícula para el intervalo comprendido entre t = 1s y t = 2s, es
a) b) c) d) e)
12 34 44 56 68
m/s m/s m/s m/s m/s
17. La ecuación de un determinado movimiento viene dado por la siguiente expresión x= 4t2 + 2t + 8 (S.I.), calcúlese la distancia al origen, la velocidad y la aceleración al cabo de 2 segundos. a) b) c) d) e)
Distancia (m) 32 32 8 8 32
Velocidad (m/s) 16 2 18 2 18
Aceleración (m/s2) 8 4 8 8 8
18. Dos partículas se encuentran en reposo y en la misma posición. Si a t=0 se aceleran en direcciones contrarias encontrándose separadas 150 m al cabo de 5 s. Determine la magnitud de su aceleración sabiendo que uno de ellos se acelera el doble que la otra.
a) 2 m/s2 b) 3 m/s2 c) 4 m/s2 d) 5 m/s2 e) 6 m/s2
4 m/s2 6 m/s2 8 m/s2 10 m/s2 12 m/s2
19. Dos vehículos viajan en la misma dirección en una carretera plana y horizontal, en un instante, al que llamaremos t = 0 uno de los vehículos que se mueve con velocidad constante de 100 Km/h se encuentra a 1 Km de la meta. El otro vehículo viene detrás a una distancia de 500 m y con velocidad constante de 90 Km./h. ¿ Qué aceleración debería imprimir este vehículo para que de alcance al primero al momento de llegar a la meta’.
a) 0.93 m/s2 b) c) d) e)
1.2 1.8 2.2 3.5
“ “ “ “
20. Un carro parte del punto A desde el reposo con una aceleración de 2 m/s 2. En ese mismo instante un segundo carro pasa por el punto B con velocidad constante de 10 m/s. Si después de 20 segundos la distancia de separación entre los carros es de 100 m , la distancia entre los puntos (A,B) en que ellos parten es: a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m
A
B
21. Un automóvil parte del reposo y se acelera uniformemente a 10 m/s 2 para pasar dos semáforos consecutivos que se encuentran separados 200 m. Si el vehículo tarda 4s en pasar los dos semáforos , determine la distancia a la que se encuentra el primer semáforo del punto de partida.
a) b) c) d) e)
80 45 35 20 18
m m m m m
22. La posición de una partícula en el tiempo está dada por: x =10 + 8t – t2, en donde t esta en segundos y x en metros. ¿Qué distancia recorre la partícula durante los primeros 6 segundos de su movimiento? a) b) c) d) e)
12 m 20 m 22 m 26 m 30 m 23. Para el problema anterior, la velocidad media en el mismo intervalo de tiempo fue:
a) b) c) d) e)
2.0 m/s 3.3 m/s 3.7 m/s 4.0 m/s – 3.7 m/s 24. Una partícula parte del reposo y realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Durante los primeros 15 segundos tiene una velocidad media de 20 m/s. La velocidad de la partícula a los 10 segundos fue
a) b) c) d) e)
15.4 m/s 20.0 m/s 26.7 m/s 32.6 m/s 40.0 m/s 25. Dos vehículos A y B viajan en direcciones contrarias con velocidades de 80 Km/h y 120 Km/h respectivamente. Si al instante t=0 cuando los vehículos se encuentran separados una distancia de 1 Km, el vehículo B frena deteniéndose al cabo de 15 segundos. ¿Cuál es la distancia que separa los vehículos en el instante en que B se detiene? El vehículo A mantiene su velocidad
a) b) c) d) e)
500 m 450 m 417 m 407 m 397 m
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTECAÍDA LIBRE PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una piedra se suelta desde la terraza de un edificio de 80 m de altura. Dos segundos después se lanza una segunda piedra desde la misma posición ¿Con qué velocidad inicial se debería lanzar la segunda piedra, para que dé alcance a la primera justo en el instante en que ésta llega al suelo? a) b) c) d) e)
38,2 35,8 33,6 32,1 29,2
m/s m/s m/s m/s m/s
Solución: Si llamamos t 1 al tiempo que tarda el objeto que se suelta en llegar al suelo, el objeto que se lanza deberá tardar dos segundos menos en llegar al suelo para darle alcance y por supuesto, debe ser lanzado con una determinada velocidad.
Determinemos el tiempo que tarda el objeto que se suelta en llegar al suelo. Escojamos nuestro sistema de referencia de tal forma que todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo sean positivas.
Voy =0
2
y = V oy t + ½ g t Si el objeto se suelta, V oy = 0 2
y = ½ g t t
t
2 y
g
g
80 m
y = +80 m
+
+
2 * 80 9,8
t = 4,04 s
Por lo tanto, el objeto que se lanza deberá recorrer los 80 metros en 2,04 segundos. Determinemos la velocidad inicial con la que deberíamos lanzarlo. Florencio Pinela C.
2
y = Voy t + ½ g t
80 = Voy (2,04) + ½ (9,8)(2,04)2
Voy
(2,04) Voy = 59,6 y
Voy = 29,2 m/s
2. Un cohete se acelera desde el reposo a razón de 5 m/s2. Al cabo de 10 segundos se le termina el combustible. La altura máxima a la que llegará el cohete es a) b) c) d) e)
250,0 377,5 397,0 405,5 425,5
m m m m m
Solución: Desde que el cohete parte hasta que alcanza su altura máxima, el cohete experimenta dos movimientos diferentes. El primero en el que lleva una aceleración hacia arriba de 5 m/s2 durante 10 segundos (instante en que se le termina el combustible), y el segundo 2 en el que lleva una aceleración hacia abajo de 9,8 m/s hasta que llega a su altura máxima. Es importante anotar que en el instante en que se termina el combustible, el cohete sigue ascendiendo, ya que en ese instante tenía una determinada velocidad (V) (velocidad a los 10 segundos), luego por acción de la gravedad, esta velocidad disminuye continuamente hasta hacerse cero, cuando llega a la altura máxima.
V
+
Determinemos el desplazamiento del cohete a los 10 segundos .
y1
y la velocidad
2
y1 = V o t + ½ a t 2
y1 = ½ a t 2 y1 = ½(5)(10) y1 =250 m
a =5 m/s2
Vo=0
y1
V = V o + a t V = 0 + 5(10) V = 50 m/s Florencio
Pinela
C.
Determinemos ahora el desplazamiento del cohete desde el instante en que se acaba el combustible (inicial) hasta el instante en que alcanza la altura máxima ( final) y2 .
Vfinal=0
+
Calculemos primero el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima
-
g = 9,8 m/s2
V final = V inicial +g t 0 = 50 + (-9,8) t t = 5,1 s
y2
Vinicial =50m/s
2
y2 = V inicial t + ½ g t 2 y2 = 50(5,1) + ½(-9,8)(5,1) y 2 = 127,6 m
La altura máxima a la que llegará el cohete es y1 + y 2 = 377,6 m
3. El gráfico representa el movimiento de un objeto lanzado verticalmente y hacia arriba desde la terraza de un edificio de altura h. El valor de h es: a) b) c) d) e)
76.8 m 56.4 m 50.6 m 40.8 m 20.4 m
v (m/s) 20 6 0
t (s)
Solución: Suponemos que el objeto es lanzado desde la terraza y tarda 6 segundos en llegar al piso del edificio. Recuerde que el área bajo una curva en el plano velocidad versus tiempo representa el desplazamiento. El área positiva (superior) representa el desplazamiento del objeto desde la terraza del edificio hasta alcanzar la altura máxima. El área negativa (inferior) representa el desplazamiento del objeto desde la altura máxima hasta llegar al piso. Lo que significa que la diferencia entre estos desplazamientos (áreas) sería la altura del edificio. 2 Recuerde además que la pendiente de esta curva representa la aceleración (-9,8 m/s ). Conociendo este valor podemos determinar, usando el gráfico, el tiempo que tarda el objeto en llegar a la altura máxima( t) y la velocidad con que impacta el piso (-V).
V
Desplazamiento positivo ( y1)
20 Desplazamiento negativo ( y2)
t
t
6
-V
Determinación del valor de t. La pendiente de la recta es el valor de la gravedad 20
9,8 t t = 2,04 s
Determinación de V, la velocidad de impacto con el piso. La pendiente de la recta es el valor de la gravedad V
9,8 6 t V = 9,8(6-2,04)
V = 38,8 m/s Con estos valores podemos calcular las áreas de los triángulos (desplazamientos)
Determinación de y1 y1 = t(20/2) y1
y1 = 2,04(20/2) y1 = 20,4 m y2
Determinación de y2 y2 = (6-t)(38,8/2) y2 = 3,96(38,8/2) y2 = 76,8 m
La altura del edificio es: 56,4 m
4. El gráfico representa el movimiento de un cohete lanzado verticalmente con aceleración a. Después de 10 segundos de haber partido se apagan los motores. La aceleración del cohete mientras los motores estuvieron prendidos es: a) b) c) d) e)
v (m/s)
7.2 m/s2 6.2 m/s2 4.9 m/s2 2.5 m/s2 El gráfico no es correcto
0
15
t (s)
Solución: Recuerde que en un gráfico velocidad versus tiempo, la pendiente representa la aceleración y el área bajo la curva el desplazamiento. La pendiente del primer tramo (entre 0 y 10 segundos) es positiva y representa la aceleración del cohete mientras los motores están prendidos. La pendiente del segundo tramo (entre 10 y 15 segundos) es negativa y representa la aceleración de la gravedad desde el instante en que se apagan los motores. A partir del gráfico podemos determinar la aceleración del cohete mientras los motores están prendidos, si llegáramos a determinar la velocidad en el instante en que se apagan los motores. La velocidad en el instante en que se apagan los motores la podemos determinar, conociendo que la pendiente de la recta entre los 10 y 15 segundos es la aceleración de la gravedad.
v (m/s) V
10
0
15
t (s)
La pendiente de la recta entre los 10 y 15 segundos es la aceleración de la gravedad: V 5
2
9,8 m/s
V = 49 m/s Con este valor de velocidad vamos a determinar la pendiente de la recta entre t=0 y 10 segundos, pendiente que representa la aceleración del cohete. 2
a = V/10 = 4,9 m/s Florencio Pinela C.
5. Un objeto se lanza desde la terraza de un edificio de 50 m de altura con una velocidad de 40 m/s y hacia arriba. Determine el tiempo que tardará el objeto en pasar por un punto ubicado a 20 m por debajo del punto de partida. a) b) c) d) e)
+
8.6 s. 8.9 s. 9.6 s. 10.2 s. 10.8 s.
-g +Vo
Solución:
y = -20 m des lazamiento
Si el objeto es lanzado desde la terraza (posición inicial), y pasa por un punto ubicado 20 metros más abajo después de un tiempo t, significa que el objeto ha experimentado un desplazamiento de 20 m ( ó – 20 m), dependiendo del sistema de referencia. Si tomamos nuestro sistema de referencia considerando como positiva todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia arriba, tenemos:
El tiempo que tarda el objeto en adquirir un desplazamiento de – 20 m 2
y = Vo t + ½ a t
-20 = 40 t + ½ (- 9,8) t 2 -20 = 40 t – 4,9 t2 Tenemos que resolver la siguiente ecuación de segundo grado.
4,9 t2 – 40t – 20 = 0 t=
( 40)
40
2
2(4,9)
t=
40
44 ,63 9,8
t = 8,6 s Florencio Pinela C.
4(4,9)( 20)
6. Un astronauta en cierto planeta lanza una esfera verticalmente hacia arriba con una velocidad de 72 km./h y encuentra que regresa a su punto de partida en 7 segundos. El valor de la aceleración de la gravedad en este planeta es 1,2 m/s2 2,8 m/s2 5,7 m/s2 9,5 m/s2 e) No se puede determinar a) b) c) d)
Solución:
Vo(-)
Posición final
Posición inicial
Si la esfera es lanzada hacia arriba y vuelve al mismo punto, significa que ha experimentado un desplazamiento nulo durante los 7 segundos que la esfera permanece en movimiento. Consideremos nuestro sistema de referencia hacia abajo positivo 72 km/h = 20 m/s 2
y = Vo t + ½ a t
0 = -20(7) + ½ a(7)2 2
a = 5,71 m/s
7. Un cuerpo se lanza verticalmente y hacia arriba, pasa dos veces por un mismo punto ubicado a 8.6 m desde el suelo en un intervalo de tiempo de 3 segundos. La velocidad inicial del cuerpo es: a) 30 m/s
b) 25 m/s
c) 20 m/s
d) 14 m/s
e) 10 m/s
Solución: Si un objeto se lanza verticalmente hacia arriba pasa por un punto y al volver pasa nuevamente por el mismo punto, la magnitud de la velocidad del objeto en ese punto es la misma cuando sube y cuando baja, además el desplazamiento es nulo.
V
Si el objeto tarda 3 segundos en pasar por el mismo punto.
-V
V final = V inicial + g t - V = V + (-9,8)3 2 V = 29,4
V = 14,7 m/s
-
Vo
y=8,6 m
Con este valor de velocidad podemos determinar la velocidad con la que fue lanzado el objeto. 2 2 V = V o + 2g y 2
2
V o = V - 2g y 2
2
V o = (14,7) – 2(-9,8)8,6 2
V o = 197,96
Vo = 14 m/s
8. Desde un globo que está ascendiendo a una velocidad de 50 m/s se suelta un cuerpo para que caiga libremente. Si tarda 20 segundos en llegar al suelo, la altura a la que estaba el globo en el instante de soltar el cuerpo es: a) b) c) d) e)
960 m 1260 m 1660 m 1960 m 2960 m
Vglobo=50 m/s
Solución:
Vinicial
g
+ y
Desde el instante y posición en que el objeto se suelta, hasta el instante y posición en que toca el suelo (20 segundos), la magnitud de este desplazamiento ( y) representa la altura a la que se encontraba el globo en el momento de soltarse el objeto . Cuidado!!!. Aunque el cuerpo se suelta , recuerde que éste se encuentra en movimiento junto con el globo, es decir, que en el momento de soltarlo, el objeto se movía hacia Vglobo = Vinicial del objeto arriba con una velocidad de 50 m/s (con respecto al suelo)
Consideremos nuestro sistema de referencia de tal forma que todas las cantidades vectoriales que apunten hacia abajo sean positivas. 2
y = Vo t + ½ g t
2
y = -50(20) + ½ (9,8)(20)
y = 960 m
9. Desde la terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 20 m/s. Al mismo instante y desde la calle se lanza otro objeto en forma vertical con una velocidad de 30 m/s . Los objetos se encontraran al cabo de a) b) c) d) e)
2 3 4 5 6
s s s s s
Vo1= 20 m/s
solución:
y = y1 = y2 50 m
Vo2=30m/s
Si los objetos se encuentran, significa que en ese instante tendrán la misma posición, independiente del sistema de referencia. Tomemos el piso como nuestro sistema de referencia, y consideremos que todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia arriba son positivas.
Llamemos “ y” a la posición en que los objetos se encuentran, la que será la misma tanto para el objeto (1) como para el objeto (2), esto es y1 = y2. 2
y = yo + V o t + ½ g t
2
y1 = yo1 + V o1 t + ½ g t y2 = yo2 + V o2 t + ½ g t 2 yo1 = Posición inicial del objeto (1) yo2 = Posición inicial del objeto (2) 2
y1 = 50 + 20 t + ½ (-9,8) t 2 y2 = 0 + 30 t + ½ (-9,8) t
Para el instante en que se encuentran; y1 = y2 2
2
50 + 20 t – 4,9 t = 30 t – 4,9 t 10 t = 50
t=5s
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTECAIDA LIBRE PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un cohete impulsado por turbinas se acelera constantemente desde el reposo y en dirección vertical a razón de 10 m/s 2. A los 10 segundos después de su partida, las turbinas se apagan repentinamente. Determine la altura máxima a la que llega el cohete
a) b) c) d) e)
490 m 510 m 620 m 1010 m 1110 m
2. Determine el tiempo que tarda el cohete en volver al suelo a) b) c) d) e)
20 s 24,5 34,5 40,4 44,5
s s s s
3. Desde lo alto de un edificio de 75 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una esfera con una velocidad inicial de 10 m/s. La velocidad inicial con que debe lanzarse verticalmente hacia abajo otra esfera desde un edificio de 150 m de altura para que lleguen juntos al suelo si se lanzan al mismo tiempo es: a) 35 m/s
b) 25 m/s
c) 15 m/s
d) 5 m/s
e) no puede determinarse
4. Un cuerpo se suelta desde una altura H, se observa que los últimos 10 m los recorre en 1 segundo. Entonces la altura H es: a) 25.8 m
b) 19.6 m
c) 17.2 m
d) 14.5 m
e) 11.3 m
5. Dos cuerpos de masas m y M, (M > m) se dejan caer desde el reposo y desde diferentes alturas en caída libre. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta? a) El cuerpo de masa M experimentará un mayor incremento en su velocidad para iguales intervalos de tiempo. b) El cuerpo de masa m experimentará un mayor incremento en su velocidad para iguales intervalos de tiempo. c) El bloque de masa M experimentará mayor fuerza gravitacional y por tanto mayor aceleración. d) El incremento de velocidad para iguales intervalos de tiempo es el mismo para los dos cuerpos. e) Los dos cuerpos terminarán adquiriendo la misma velocidad.
6. Desde el mismo punto y a una altura h sobre el suelo se lanzan verticalmente dos cuerpos simultáneamente con velocidades +Vo y – Vo. Entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa? a) b) c) d) e)
Ambos cuerpos llegan al suelo con la misma velocidad. El cuerpo que se lanza hacia abajo llega antes que aquel que se lanza hacia arriba. Los cuerpos llegan al suelo a intervalo de (2 Vo/g) segundos. El desplazamiento de ambos cuerpos es el mismo. El cuerpo que es lanzado hacia abajo llega con mayor rapidez que el otro. 10. Dos objetos idénticos A y B caen desde el reposo desde alturas diferentes hasta llegar a tierra. Si B tarda dos veces más que A para llegar a tierra, ¿cuál es la relación de las alturas desde las que cayeron A y B? Despréciese la resistencia del aire.
a) b) c) d) e)
1: 2 1:2 1:4 1:8 1 : 16
8. Un fuego artificial explosivo se dispara desde el suelo verticalmente hacia arriba y estalla a su máxima altura directamente por encima de la cabeza de la persona que oye la explosión 1,5 segundos después de verla. La velocidad del sonido es 340 m/s. La velocidad de lanzamiento del explosivo era a) b) c) d) e)
66 m/s 70 m/s 80 m/s 90 m/s 100 m/s
9.Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle con una
rapidez de 20 m/s y es atrapada por una persona desde una ventana que se encuentra a 12 m de altura. Si la pelota es atrapada cuando va de bajada, el tiempo que la pelota estuvo en el aire fue a) b) c) d) e)
0,73 s 0,95 s 2,24 s 3,35 s 3,90 s
10. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Determine el desplazamiento del objeto durante el último segundo de su recorrido ascendente antes de llegar a su altura máxima. a) 2,2 m b) 2,8 m c) 3,6 m d) 4,9 m e) 9,8 m 11. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la terraza de un edificio de altura h con una velocidad de 20 m/s. Si el objeto tarda 5 segundos en llegar a la planta baja del edificio, el valor de h es: a) 122,5 m b) 100,0 m c) 77,5 m d) 55,0 m e) 22,5 m 12. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba. ¿Con qué velocidad debería ser lanzado para que regrese a su punto de partida al cabo de 6 s?. a) b) c) d) e)
20 m/s 25 m/s 30 m/s 35 m/s 40 m/s
13. Se lanza verticalmente una pelota alcanzando una altura máxima de 80 m, Dos segundos después de haber sido lanzada la primera una segunda pelota es lanzada en la misma dirección, de la misma posición y con la misma velocidad inicial. La distancia a la que se cruzan las pelotas desde el punto de partida es a) b) c) d) e)
80 75 60 45 25
m. m. m. m. m.
14. Un muchacho se encuentra en una ventana a 10 m del suelo y deja caer un objeto. Otro muchacho ubicado en el suelo lanza al mismo instante otro objeto con una velocidad de 10 m/s. La altura sobre el piso a la que se cruzan los objetos es:
a) 3,1 m b) 3,5 m c) 1.87 m d) 6,1 m e) 5,1 m
15. El gráfico representa el movimiento de un objeto lanzado verticalmente y hacia arriba desde la terraza de un edificio. La altura del edificio es: a) b) c) d) e)
20 m 40 m 60 m 80 m 160 m
v (m/s) 20 t (s) 0
-60
16. Un objeto se suelta desde lo alto de un edificio de 60 m de altura, al mismo instante se lanza desde el suelo verticalmente y hacia arriba un segundo objeto. Se desea que los objetos se encuentren a la mitad del edificio, la velocidad del segundo objeto es a) b) c) d) e)
24.5 m/s b) 22.3 m/s c) 20.2 m/s d) 18.5 m/s e) 16.4 m/s
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTEMOVIMIENTO PARABÓLICO PROBLEMAS RESUELTOS 1. Desde una camioneta que se mueve con velocidad constante de 20 m/s sobre una superficie horizontal, se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 10 m/s. El desplazamiento horizontal que experimentará el objeto hasta llegar al suelo es (desprecie el rozamiento del aire) a) b) c) d) e)
10,2 20,4 30,6 40,8 51,0
m m m m m
Solución:
-
10 m/s
20 m/s Si el objeto se lanza verticalmente hacia arriba, el desplazamiento horizontal del objeto será el mismo que experimentará la camioneta moviéndose con velocidad constante. Ya que al ir el objeto junto a la camioneta, la componente horizontal de la velocidad inicial del objeto es igual a la velocidad de la camioneta. Determinemos el tiempo que tarda el objeto en regresar al suelo. El tiempo que tarda en volver al suelo, es el tiempo que tardaría un objeto lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s en experimentar un desplazamiento nulo 2
y = V oy t + ½ g t V oy = 10 m/s 2
0 = 10 t - 4,9 t
t(10 – 4,9t) = 0 t 1 = 0 (instante en que parte) t 2 = 2,04 s (instante en que vuelve al piso)
El tiempo lo podemos calcular también de la siguiente manera: Si el objeto regresa al mismo punto de partida (componente vertical del movimiento), la velocidad en ese punto debe ser la misma (en magnitud).
V
Vfinal = Vinicial + g t -V = V + g t t = -2V/g -V
t = - 20/-9,8
t = 2,04 s Ahora podemos determinar el desplazamiento horizontal del objeto (el mismo desplazamiento de la camioneta). x = Vx t
x = 20*2,04 = 40,8 m 2. Un globo asciende con velocidad constante de 20 m/s. A los cinco segundos de su partida se lanza desde el globo un objeto horizontalmente con una velocidad de 10 m/s. El tiempo que tardará el objeto en llegar al suelo desde el instante en que fue lanzado es a) b) c) d) e)
4,5 5,0 6,0 7,0 8,0
s. s. s. s. s.
Voy = 20 m/s
Solución:
Vox = 10 m/s
H
g
y
+ Florencio Pinela C.
Aún cuando el objeto se lanza horizontalmente, observe que este se mueve verticalmente junto con el globo, es decir, el objeto describirá una trayectoria parabólica donde los 10 m/s corresponde a V ox y los 20 m/s corresponde a V oy. Para determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo, necesitamos saber desde que altura fue lanzado. Conociendo la altura, ya podremos calcular el tiempo que tarda el objeto en experimentar un desplazamiento vertical igual en magnitud a la altura determinada anteriormente.
Determinación de la altura desde donde fue lanzado el objeto. H = V oy t;
el globo asciende con velocidad constante
H = 20(5) =100 m
Determinación del tiempo que tarda el objeto en llegar al suelo.
Tomemos como sistema de referencia el suelo y consideremos que todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo son positivas. Desde que el objeto parte hasta que llega al suelo experimenta un desplazamiento vertical de 100 metros. 2
y = V oy t + ½ g t
2
100 = - 20 t + 4,9 t 2
4,9 t – 20 t – 100 = 0
t=
20
20
2
4(4,9)( 100)
2(4,9)
t=
20
48,58 9,8
t = 7,0 s
Florencio Pinela C.
La figura representa el movimiento parabólico de un proyectil y se aplica a los problemas 3, 4, 5 y 6. Vo= 94 m/s 40º
h
+ 1000 m 3. Utilizando los datos dados en la figura, la altura h desde donde fue lanzado el proyectil es: a) b) c) d) e)
75 m 85 m 95 m 106 m 120 m
Solución: Determinemos el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo , este tiempo lo encontramos conociendo el desplazamiento horizontal, y recordando que la componente horizontal del movimiento parabólico es un movimiento rectilíneo uniforme. x = V ox t Vo
Voy
V ox = V o Cos 40 V ox = 72 m/s
Vox t = 1000/72
t = 13,89 s
Tomemos como sistema de referencia el suelo y consideremos que todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo son positivas. 2
y = V oy t + ½ g t V oy = - Vo Sen40 V oy = - 60,4 m/s Florencio Pinela C.
2
y = (-60,4)(13,89) + ½ (9,8)(13,89)
y = 106,4 m
4. La altura máxima que alcanza el proyectil medida desde el punto donde fue lanzado es: a) b) c) d) e)
186 m 168 m 148 m 136 m 126 m
Solución: Cuando el objeto alcanza la altura máxima la componente de la velocidad en “y” es cero (Vy = 0). V y2 V oy2 2 g y
Vy = 0
Vox
2
0 = (-60,4) + 2(9,8) y
y = - 186 m
y
la altura máxima alcanzada es de 186 m.
Voy Vox
5. La rapidez del proyectil al llegar al suelo es: a) b) c) d) e)
104,5 m/s 89,0 m/s 84,5 m/s 76,0 m/s 68,5 m/s
Solución: Ya conocemos la componente horizontal de la velocidad del proyectil al llegar al suelo (V ox), recordemos que la componente horizontal del movimiento parabólico es un movimiento uniforme. Nos queda por determinar la componente vertical de la velocidad al instante de impactar el suelo (V y). Una vez conocida esta componente, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la velocidad del proyectil al impactar el suelo. V y =V oy + g t V y = - 60,4 + (9,8)13,89 V y = 75,7 m/s
Vox 2 ox
V=
V
V=
72
2
2 y
V
2 75 7 = 104,5 m/s
Vy
6. Para el punto de altura máxima, los vectores que representan la velocidad, aceleración y peso del objeto son: Velocidad
aceleración
peso
a) b)
0
c) d)
0
0
e)
0 7. En un partido de fútbol un jugador cobra un tiro libre. Los gráficos representan los movimientos de la pelota. Despreciando la resistencia del aire. La rapidez con que la pelota llega al suelo es:
a) b) c) d) e)
31.2 m/s 24.0 m/s 25.0 m/s 22.6 m/s 20.2 m/s
y(m)
x(m)
19.6
0
20
4
t(s)
0
4
t(s)
Solución: Los gráficos representan las diferentes posiciones de la pelota en “y” y en “x” con respecto al tiempo. Analicemos el gráfico “y” Vs t. Nos podemos dar cuenta que el balón alcanza una altura máxima de 19,6 m, y lo logra en 2 segundos. Al analizar el gráfico “x” Vs t. Nos podemos dar cuenta que el balón experimenta un alcance horizontal máximo de 20 metros en 4 segundos. Para este tipo de parábola, la velocidad(magnitud) con que es disparado el balón es la misma con la que impacta el suelo.
Determinemos la componente en “x” de la velocidad inicial (Vox) x = Vox t Vox = x/t
V ox = 20/4 = 5m/s Florencio Pinela C.
Determinemos la componente en “y” de la velocidad inicial (V oy)
y = V oy t ½ g t2 y = V oy t ½ g t2
-
2 19,6 = V oy (2) - 4,9(2)
V oy = 19,6 m/s
V o =
V ox2
V oy2
Vo = 20,2 m/s
8. Un cuerpo se lanza describiendo una trayectoria parabólica. Cuando el objeto va ascendiendo (posición A), los vectores que representan la fuerza resultante sobre el objeto, velocidad del objeto y la aceleración son:
Fuerza
Velocidad
Aceleración
a) b)
A
c) d) e)
9. El bloque de la figura parte del reposo desde la posición indicada. Si sobre el bloque de 40 kg actúa una fuerza resultante F de 100 N (mientras se encuentra sobre la mesa ) La distancia horizontal que avanzará hasta llegar al suelo es a) b) c) d) e)
10.00 m. F 8.94 m. 7.14 m. 6.32 m. 5.02 m.
10 m 5m
Solución: Para determinar el desplazamiento horizontal que alcanza el bloque, tenemos que
Determinemos la velocidad del bloque en el instante de abandonar la mesa. Si sobre el bloque actúa una fuerza resultante de 100 N, entonces su aceleración es: F=ma a = F/m a = 100/40 = 2,5 m/s
2
Si el bloque parte del reposo y se desplaza una distancia de 10 metros con una 2 aceleración de 2,5 m/s , su velocidad final será: V 2
V
0
V o2
2a x
2(2,5)(10) = 7,07 m/s
Esta es la velocidad horizontal con la que el bloque abandona la mesa. Determinemos el tiempo que el bloque tarda en llegar al suelo. Recordemos que el tiempo que tarda un objeto lanzado horizontalmente en llegar al suelo, es independiente del valor de la velocidad inicial, y solamente depende de la altura desde donde es lanzado, además, este tiempo es el mismo que tardaría el objeto si fuese dejado caer desde el reposo desde la misma altura. 2
y = V oy t + ½ gt V oy = 0 2
y = ½ gt
t=
t=
2 y
2(5) 9,8
g
= 1,01 s
La distancia horizontal que avanzará hasta llegar al suelo es: x = V ox t
x = 7,07(1,01) = 7,14 m
Florencio Pinela C.
10. Con qué ángulo se debe lanzar un proyectil para que impacte horizontalmente en un blanco situado a 5m de altura sobre una pared localizada a 10 m del punto de lanzamiento. La base de la pared se encuentra al mismo nivel del punto de lanzamiento. a) b) c) d) e)
15º 30º 45º 60º 75º
Vox
Vo
Solución;
Voy y=5m
-
Vox x = 10 m
Si el proyectil impacta la pared horizontalmente (V y = 0), significa que lo hace cuando alcanzó su altura máxima. El tiempo que tarda el proyectil en alcanzar su altura máxima es: V y = V oy - g t t = V oy /g
las ecuaciones en “x” y en “y” para el punto de impacto son: x = V ox t 2 y = V oy t – ½ g t Remplazando t en cada una de estas ecuaciones tenemos: x = V ox (V oy /g) 2 y = V oy (V oy /g) – ½ g (V oy /g ) x = V ox V oy /g 2
y =
2
V oy
½
g
x =
V oxV oy g 2
Florencio Pinela C.
y=
V oy 2g
V oy g
Dividiendo “y” para “x”, tenemos: y
5
1 V oy
1
x
10
2 V ox
2
tan
tan = 1
= 45 12. Los gráficos mostrados representan el movimiento de un proyectil en dos dimensiones. El alcance máximo de este proyectil es a) b) c) d) e)
12,2 m. 10,2 m. 8,4 m. 6,5 m. 4,6 m.
Vy (m/s)
Vx (m/s)
20 3
t(s)
t(s)
Solución: Observando los gráficos nos podemos dar cuenta que al instante de ser lanzado el proyectil(t = 0), la componente en “y” de la velocidad inicial (Voy) es igual a 20 m/s, y la componente en “x” de la velocidad inicial (Vox) es de 3 m/s, y constante durante toda la trayectoria. Con esta información podemos determinar el alcance máximo del proyectil. Suponemos que el proyectil es lanzado y cae desde una superficie horizontal, en consecuencia el desplazamiento vertical del proyectil es nulo . Consideremos todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo negativas.
Voy = 20 m/s
Vox = 3 m/s 2
y = V oy t + ½ g t 2
0 = V oy t - ½ g t Florencio Pinela C.
t=
2V oy
g
t = 4,08 s
con este valor determinamos el alcance horizontal: x = Vox t
x = 3(4,08) = 12,2 m 13. Un astronauta que está en un planeta extraño descubre que puede saltar una distancia horizontal máxima de 30 m, si su rapidez inicial es de 10 m/s. La aceleración de la gravedad en el planeta extraño es a) b) c) d) e)
2.0 m/s2 3.3 m/s2 4.8 m/s2 5.3 m/s2 6.8 m/s2
Solución: Si la distancia que puede saltar el astronauta es máxima, significa que el ángulo de elevación con el que salta es de 45 grados.
Determinemos el tiempo que dura el salto. x = Vox t t=
x /Vo Cos 45
t = 4,24 s; (tiempo de subida y bajada) Con este tiempo podemos determinar la aceleración de la gravedad analizando la componente vertical del movimiento.
0 Vy = Voy - G t En esta ecuación “t” representa el tiempo de altura máxima (2,12 s).
G = Voy /t G = Vo Sen45 / t
G = 3,3 m/s2 Florencio Pinela C.
_
14. El chorro de agua de la manguera en posición horizontal como se indica en la figura, tiene un alcance de 4.0 m. Cuando el extremo de la manguera se inclina un ángulo de 30º el alcance horizontal del chorro de agua será a) b) c) d) e)
4.8 5.4 6.5 7.2 8.0
m. m. m. m. m. 1.5 m
4.0 m Solución: Determinemos primeramente con los datos del problema la velocidad del chorro de agua. Si el chorro sale horizontalmente, el tiempo que le toma en llegar al suelo es: t=
t=
2(1,5) 9,8
2h
g
= 0,55 s
Con este tiempo y el desplazamiento horizontal determinemos la velocidad del chorro de agua: V o = x/t
V o = 4/0,55 = 7,27 m/s
Determinemos ahora el alcance horizontal con el chorro a 30 de elevación. Vo Vo Sen30 Vo Cos30
y
1,5 m
+
Tomemos el suelo como nuestro sistema de referencia y determinemos el tiempo que tarda el chorro en alcanzar un desplazamiento vertical de 1,5 m, cuando es lanzado con una velocidad inicial vertical de -Vo Sen30 . 2
y = V oy t + ½ g t
1,5 = -3,64 t + 4,9 t 2 4,9 t2 -3,64 t – 1,5 = 0 t=
3,64
3,64
2
4(4,9)( 1,5)
2(4,9)
t=
3,64
6,53
9,8
t = 1,04 s Con este tiempo podemos determinar el desplazamiento horizontal del chorro de agua: x = Vox t x = 7,27 Cos 30 (1,04)
x = 6,5 m 15. Desde un avión que vuela a 70 m de altura y que se mueve a una velocidad de 200 km/h se suelta una bomba. Si el proyectil hace impacto sobre un automóvil que se desplaza a una velocidad constante de 80 km/h, como se muestra en la figura. La distancia x inicial entre el avión y el automóvil es: a) 253 m b) 230 m c) 210 m d) 154 m e) 126 m
X Solución: Determinemos el desplazamiento horizontal del auto y del proyectil para poder calcular la distancia X. Si el avión vuela horizontalmente, el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo es:
2h
t
t=
g
2(70) 9,8
= 3,78 s
Con este tiempo determinemos el desplazamiento del proyectil. x p = V avión (t) V avión= 200 km/h = 55,55 m/s
xp = 210 m Calculemos ahora el desplazamiento del auto. xa = V auto t V auto= 80 km/h = 22,22 m/s
x a = 84 m Por lo tanto la distancia X es de, 210 – 84 = 126 m.
Florencio Pinela C.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTEMOVIMIENTO PARABÓLICO PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La figura muestra la trayectoria de una pelota. En el punto A, de altura máxima, seleccione la alternativa correcta:
a) b) c) d) e)
La rapidez experimenta su menor valor. La velocidad es cero, pero la aceleración no es cero. La rapidez es menor que en C, pero mayor que en B. La rapidez es menor que en B, pero la aceleración es mayor que en B. En los puntos B y C, la velocidad es perpendicular a la aceleración.
A B C
2. Una esfera A se desliza con una velocidad constante de 15 m/s como se indica en la
figura. Determine la velocidad inicial y vertical que debería imprimirse a la esfera B para impactar con la esfera A, suponiendo que se lanza en el mismo instante en que la esfera A abandona la mesa.
a) b) c) d) e)
12 m/s 10.4 m/s 8.7 m/s 3.3 m/s 13.6 m/s
A
4m B 5m
3. Se dispara un proyectil formando un ángulo con la vertical. Tres características de su
movimiento subsecuente son I. la componente horizontal de la velocidad II. la componente vertical de la velocidad III. la aceleración Despreciando la resistencia del aire, ¿qué característica(s) cambia(n) mientras la bala está en el aire? a) I solamente b) II solamente c) II y III solamente d) I y II solamente e) I y III solamente
4. Un basquetbolista lanza verticalmente hacia arriba un balón con una velocidad inicial v,
al mismo tiempo y con una velocidad inicial dos veces mayor un futbolista patea un balón con un ángulo de elevación . Si los dos balones llegan al suelo al mismo instante, el ángulo fue
a) b) c) d) e)
30º 45º 55º 90º no tiene solución.
5. Un helicóptero se mueve horizontalmente a una altura de 500 m y con velocidad de 50 m/s. Un objeto se lanza horizontalmente desde el helicóptero y perpendicular al movimiento de él con una velocidad de 20 m/s. La distancia horizontal que avanzará el objeto al llegar al suelo es a) b) c) d) e)
202 505 544 620 707
m. m. m. m. m.
6. Un objeto se lanza describiendo una trayectoria parabólica como se indica en la figura. Cuando el objeto pasa por el punto A, el diagrama de fuerzas que actúan sobre el objeto es: (no considere el rozamiento)
A
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
7. Un helicóptero vuela horizontalmente con una velocidad de 200 km/h y a 200 m de altura. Del helicóptero se lanza verticalmente y hacia abajo un objeto con una velocidad de 20 m/s. El tiempo que tardará el objeto en llegar al suelo es: a) b) c) d) e)
6,32 s 6,12 s 5,86 s 5,35 s 4,63 s
8. Un objeto se lanza horizontalmente desde una altura h como se indica en la figura. Si el objeto experimenta un alcance horizontal de 100 m, la altura h es: v=30 m/s a) 36,4 m b) 48,2 m c) 54,4 m d) 64,2 m h e) 72,6 m
100 m 9. Un proyectil es disparado desde una superficie horizontal con una velocidad inicial de 100 m/s y un ángulo de elevación de 37º. El proyectil golpea una pared ubicada a una distancia d medida desde el punto de lanzamiento. Si el proyectil impacta impacta la pared horizontalmente, horizontalmente, el valor de d es: a) b) c) d) e)
650 490 430 390 330
m m m m m
10. Un proyectil es disparado con una rapidez (Vo) de 30 30 m/s y un ángulo ángulo de de inclinació inclinaciónn ( ) de 45º como muestra la figura. ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en llegar al punto A? Vo a) 7,77 s b) 6,02 s c) 5.76 s d) 3,22 s e) 2,16 s 50 m
A
11. Un objeto se lanza horizontalmente con una velocidad Vo desde una altura ho logrando un alcance horizontal xo. Si se cuadruplica la altura, y la velocidad de lanzamiento se redujera a la mitad, el alcance horizontal sería: a) b) c) d) e)
la cuarta parte la mitad el mismo el doble cuatro veces mayor
12. Un objeto es lanzado desde una superficie horizontal con una velocidad inicial de 20i + 30 j (m/s). La altura máxima alcanzada por el objeto objeto y el tiempo que tarda en volver al suelo son: a) b) c) d) e)
45.9 m ; 40.1 m ; 35.6 m ; 30.2 m ; 45.9 m ;
3.06 s 2.01 s 4.8 s 5.2 s 6.1 s
El siguiente enunciado se aplica a los problemas 13, 14 y 15 Un auto de competencia de alta velocidad parte del reposo y se acelera a razón de 10 2 m/s . A los 5 s después de su partida el vehículo se incendia y el piloto es expulsado automáticamente del vehículo en dirección vertical. El piloto cae al suelo a una distancia de 200 m del punto de donde partió el vehículo (el piloto no lleva paracaídas).
13. Determine la velocidad vertical con que fue expulsado el piloto a) b) c) d) e)
2,45 m/s 4,9 m/s 9,8 m/s 7,35 m/s 12,25 m/s 14. Determine la velocidad con la que el piloto impacta el suelo
a) b) c) d) e)
95,0 87,1 76,3 60,2 50,5
m/s m/s m/s m/s m/s
15. Determine la altura máxima que alcanzó el piloto después de ser expulsado a. b. c. d. e.
11,2 m 8,4 m 5,6 m 2,8 m 1,4 m
16. Se lanza un proyectil con un ángulo de elevación de 37º. En el punto más alto de su trayectoria tiene una velocidad de 16 m/s. La componente vertical de la velocidad inicial es a) b) c) d) e)
9,8 m/s 12,0 m/s 14,4 m/s 16,0 m/s 20,0 m/s 17. En un parque de diversiones, una persona le apunta a un muñeco con un rifle de aire. El ángulo de elevación es 30º y el blanco se encuentra a una distancia horizontal de 5 m. En el instante que el proyectil sale del cañón del arma con una velocidad de 10 m/s, el muñeco cae sin velocidad inicial. El tiempo que tarda el proyectil proyectil en impactar el blanco blanco es
a) b) c) d) e)
2,0 s 1,0 s 0,58 s 0,43 s no le pega al blanco
5m 18. Si al disparar una pistola dos veces, primero con un ángulo de 1=30º y después con un ángulo 2, el proyectil obtiene obtiene el mismo alcance alcance horizontal. Entonces la relación entre sus alturas máximas h 2 / h1 es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3 19. Se golpea una bola con un ángulo de elevación de 30º sobre una superficie horizontal. La bola se mantiene en vuelo durante 4.5 s antes de volver a Tierra. Determine su velocidad inicial . a) 44,1 m/s b) 22.05 m/s c) 38.97 m/s d) 34,0 m/s e) 50,0 m/s
20. Un avión vuela a una altura de 1000 m con una aceleración de 0.5 m/s 2. Al pasar sobre el observador A lleva una velocidad de 150 m/s, en ese preciso instante deja caer un objeto. La distancia a la que se encuentra el avión medida desde el observador en el instante en que el objeto dejado caer llega al suelo es a) b) c) d) e)
2050 2121 2345 2390 2480
m. m. m. m. m.
21. Un proyectil es lanzado desde una superficie plana y horizontal con una velocidad de ( 20 i + 10 j ) m/s. El alcance horizontal máximo del proyectil es a) b) c) d) e)
90 80 70 60 40
m. m. m. m. m.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Y CON ACELERACIÓN CONSTANTE- ANÁLISIS DE GRÁFICOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. La relación de VB para VA es: x (m)
A
150
a) 5 b) 3 c) 4 d) 1 e) 2
t (s)
B
-50
2. El movimiento de una partícula en línea recta se describe por el siguiente gráfico v vs t. v (m/s) 10
t (s) 10 T ¿Cuál debe ser el valor de T para que la velocidad media de la partícula hasta ese instante sea de 8 m/s? a) b) c) d) e)
12 s 15 s 18 s 20 s 25 s
3. Para el gráfico v-t indicado, la velocidad media entre t=0 hasta el instante en que la velocidad es igual a cero es a) b) c) d) e)
5,03 m/s 4.23 m/s 18.33 m/s 5.76 m/s 8,33 m/s
v (m/s) 10 20 10 -10
t (s)
Dado el gráfico v = f(t), ¿ cuál de los siguientes gráficos x = f(t) es el correcto? v
t 0
x
(a)
x
(b)
t
x
(c)
t
x
t
x (d)
(e) t
t
4.Un automóvil viaja a 72 Km/h cuando el conductor aplica los frenos. Si el auto desacelera uniformemente a la razón de 4.20 m/s2. ¿Qué tan lejos llega el vehículo antes de detenerse? a) b) c) d) e)
15,0 m 23.4 m 47.6 m 85,0 m 94.3 m
5. Dos personas corren en una pista. Uno mantiene una rapidez constante de 4 m/s. El otro, que es más rápido, arranca 6 segundos después que el primero y lo alcanza 20 segundos después. ¿Cuál fue la rapidez media del corredor más rápido desde el instante que partió hasta que lo alcanzó al otro corredor? a) b) c) d) e)
4 m/s 5.2 m/s 17.3 m/s 26 m/s 32 m/s 6. Un objeto se lanza sobre una superficie lisa como se indica en la figura. ¿Cuál de los siguientes gráficos representaría mejor el movimiento del objeto?
V
V
V a)
b)
T T V
V
c)
d)
e) Ninguno es correcto T
T
7. Un ascensor se mueve hacia arriba a una velocidad constante de 3 m/s. Un foco se suelta del techo del ascensor y cae hasta golpear el piso del mismo situado a 3 m. El tiempo que se demora el foco hasta golpear el piso del ascensor es a) b) c) d) e)
0,55 s 0,78 s 1,0 s 1,28 s 1,78 s
8. El movimiento de una partícula en línea recta está descrito por los gráficos adjuntos a(m/s2)
x(m) 60 10
3
t
t
El valor de la velocidad de la partícula al instante t=0 es
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40
m/s m/s m/s m/s m/s
9. ¿ Cuál de los siguientes gráficos representaría mejor el movimiento del cohete hasta alcanzar su altura máxima? v
v
v
t
(a)
v
t
(b)
t
(c)
t
(d)
10. Dos esferas de masa m1 y m2 se lanzan simultáneamente desde una mesa horizontal de altura h, con velocidades horizontales v 1 y v2 respectivamente (v2>v1). De los siguientes enunciados, son falsos I. II. III. IV. a) b) c) d) e)
Las dos esferas llegan al piso simultáneamente La esfera de masa m2 tiene mayor alcance La esfera de masa m2 llega primero al piso La esfera de masa m1 llega primero al piso porque tiene menor velocidad Solo I III y IV Solo IV I y III Todos
11. Un bloque de masa m se lanza desde la parte inferior de un plano inclinado 18º con una velocidad inicial Vo. Si los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el bloque y la superficie son respectivamente 0,4 y 0,2. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta? a) b) c) d) e)
El bloque al subir se desacelera a razón de, g sen18º El bloque regresa luego de llegar a la parte superior El bloque se detiene luego de llegar a la parte superior El bloque al subir y al bajar experimenta la misma aceleración Para determinar si el bloque se detiene, se necesita conocer el valor de Vo
12. La aceleración que adquieren dos partículas, en función de la fuerza resultante aplicada a sobre ellas, se representa en la siguiente figura: Con respecto al gráfico se dan las siguientes afirmaciones: A I. la pendiente es igual a la masa de la partícula II. el área bajo la gráfica representa el cambio de velocidad. III. la partícula B presenta una mayor inercia que la partícula A B De estas afirmaciones, son verdaderas:
Fr
a) sólo III b) sólo II c) sólo I d) todas e) ninguna 13. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. ¿En qué instante la distancia recorrida por la partícula es el doble que su desplazamiento? a) 6,1 s b) 8,6 s c) 13,7 s d) 17,5 s e) 19,6 s
v (m/s 20
5 -10
t (s
14. El diagrama posición-tiempo para un cuerpo de 2 kg que parte del reposo y del origen es el que se muestra a continuación . Si sobre éste actúa una fuerza horizontal, el diagrama fuerza tiempo que mejor lo describe es:
F(N)
F(N)
x(m) (a) 20
(b)
20
10 t(s) t(s)
2
t(s)
2
F(N)
F(N)
F(N) (d)
(e)
(c) 2
10
2
t(s)
t(s) t(s)
2
10
10
15. Un vehículo viaja con velocidad constante, repentinamente aplica los frenos. El gráfico adjunto representa el movimiento del vehículo desde el instante en que aplicó los frenos. La velocidad con que venía el vehículo es: a) b) c) d) e)
15,0 m/s 13,0 m/s 11,0 m/s 10,0 m/s 8,0 m/s
x(m) 30
t(s) 0
4
16. Para el problema anterior determine el desplazamiento horizontal del objeto hasta el instante de llegar al suelo. a) b) c) d) e)
257,4 m 297,2 m 325,5 m 339,9 m 551,0 m
17. El gráfico representa el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba. Determine el instante en que la partícula cambia la dirección de su movimiento. a) b) c) d) e)
2,5 s 3,0 s 3,5 s 4,0 s 5,0 s
v
20 t (s) 0
a) b) c) d) e)
2
18. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si la velocidad media para todo el recorrido fue nula, la distancia total recorrida es V(m/s) 66.7 m. 86.6 m. 20 103.3 m. 133.3 m. 156.6 m. 10 0 t(s) -10 19. El gráfico de la figura representa el movimiento de dos partículas en línea recta. Si las partículas se encuentran al cabo de 10 segundos. La velocidad relativa de las dos partículas (v1 – v2) a t=0 es
a) b) c) d) e)
5 m/s 10 m/s 12 m/s. 15 m/s. 18 m/s.
x(m) 100
1
2 0
t(s)
20. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta con velocidades de 15 m/s y 10 m/s respectivamente. Si a t=0 las partículas están separadas 100 m. El tiempo para el cual las partículas se encuentran es:
a) 5.0 s b) c) d) e)
x(m)
10.0 s 15.0 s 20.0 s 25.0 s t(s)
21. El gráfico mostrado en la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si a los 10 s su velocidad media fue nula y su rapidez media de 20 m/s. La velocidad a los 15 s es:
a) b) c) d) e)
40 m/s 50 m/s 60 m/s 70 m/s 80 m/s
v(m/s)
0
5
15
t(s)
22. ¿Cuál de los siguientes gráficos representaría el movimiento de una bola cuando rebota horizontalmente entre dos paredes sin ninguna pérdida de energía? x x (b x (a) (c)
t x
t x
(d
t
t
(e)
t
23. Un cuerpo se mueve según el gráfico de velocidad-tiempo indicado. La velocidad media del cuerpo a lo largo de los primeros 30 segundos de movimiento es:
v (m/s) a) b) c) d) e)
6.7 m/s 0 -6.7 m/s 13 m/s 26 m/s
20 20
0
t (s)
10
24. El gráfico mostrado representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si la rapidez media para todo el recorrido es de 20 m/s. La velocidad media es a) b) c) d) e)
5 m/s 10 " 15 " 20 " Falta información para resolver el problema
V(m/s)
0
20
t(s)
25. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta, si a t = 0 la partícula A adelanta en 30m a la partícula B y las dos parten en ese mismo instante. ¿ En qué instante(s) las partículas se encontrarán? v(m/s) a) 2.8 s. b) 4.5 s. c) 7.2 s. d) tanto a) como b) son correctas. e) tanto a) como c) son correctas
20
A
5
B t(s) 0
5
10
26. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta con aceleración constante. La aceleración de la partícula es a) b) c) d) e)
2 m/s2 4 " 6 " 8 " 10 "
x (m)
30
16
t(s) 2
3
27. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta, con la información que se da en él, la única solución posible para la ecuación de movimiento de la partícula es: a) b) c) d) e)
x = 10 + 10t + 2t2 x = 10 + 10t x = 10 + 2t2 x = 10 - 2t2 x = 10 + 10t - 2t2
X(m) 60
10 0
5
t(s)
28. El movimiento de dos partículas en línea recta se representa en el siguiente diagrama. Se sabe que la partícula B partió desde el reposo con una aceleración constante de 2 m/s2. La velocidad de la partícula A a los 10 segundos es: a) b) c) d) e)
20,0 15,0 10,0 7,5 5,0
m/s " " " "
X(m) B A
100 0
20
t(s)
