CINEMÁTICA DE ENGRANES Y TRENES DE ENGRANES 1
CINEMÁTICA DE LOS ENGRANES Un engrane se puede considerar como una rueda dentada que cuando se acopla con otra rueda dentada de diámetro mas pequeño (el piñón), transmitirá rotación de un eje a otro. La función principal de un engrane es transferir potencia de un eje a otro, manteniendo una relación definida entre las velocidades angulares y los ejes. Los dientes de un engrane impulsor empujan a los dientes del engrane impulsad, ejerciendo una componente de fuerza perpendicular al radio del engrane. De esta forma se transmite un par de torsión y como el engrane gira, se transmite potencia. Para mantener una velocidad angular constante (entre un engrane de entrada y uno de salida) con los dientes en contacto, el perfil de los dientes individuales debe obedecer la ley fundamental de engranes (fig. 1): “para que un par de engranes transmitan una razón de velocidad angular constante, la forma de sus perfiles en contacto debe ser tal que la normal común pase por un punto fijo sobre la línea de centros”.
Círculos de paso
Normal 3
2 Línea de centros
P 1 Punto de paso
1
Figura 1. Dos discos circulares en contacto de rodamiento puro, que representan un mecanismo de tres eslabones; cuyos eslabones están en movimiento relativo coplanar.
Generalidades: Los engranajes son, en general, cilindros con resaltos denominados dientes, conformando ruedas dentadas, las que permiten, cuando giran, transmitir el movimiento de rotación entre sus árboles o ejes colocados a una distancia relativamente reducida entre sí. Esta transmisión se realiza mediante la presión que ejercen los dientes de una de las ruedas, denominada motora sobre los dientes de la otra rueda, denominada conducida, cuando engranan entre ambas, estando durante el movimiento en contacto varios dientes sin choques ni interferencias que lo impidan o entorpezcan. Los engranajes cilíndricos pueden ser de dientes rectos, cuando éstos son paralelos al eje de giro del cilindro, o de dientes helicoidales, cuando son parte de una hélice que envuelve a dicho eje. En la figura 2a se pueden observar dos engranajes cilíndricos rectos que engranan entre sí, N1 y N2 estando montados sobre los ejes, siendo el eje del engrane estriado, lo que permite al engrane N2 deslizarse a lo largo del mismo, ocupando otra posición. Distintos materiales se utilizan para la construcción de los engranajes pudiendo ser éstos fundición de hierro, acero, bronce, aluminio, materiales sintéticos, como el teflón, por ejemplo, etc. Debido al constante rozamiento entre las superficies en contacto, éstas están expuestas al desgaste, motivo por el cual son endurecidas mediante tratamientos térmicos de endurecimiento superficial como es el caso del cementado de los aceros. A los efectos de evitar el desgaste, el engrane está continuamente lubricado, lo que además lo refrigera, favoreciendo la transmisión del movimiento a elevada velocidad.
Los engranajes son construidos mediante el fresado o tallado, de acuerdo a normas específicas. Para el cálculo de las dimensiones, resistencia y características se debe conocer previamente: a) distancia entre los ejes de las ruedas dentadas, b) número de vueltas por minuto de la rueda motora, c) relación de transmisión y d) fuerza tangencial que se debe transmitir.
2
Clasificación de los engranajes Según como los engranajes interactúen entre sí, se los puede clasificar como: a) Engranajes de acción directa: formados por dos o más ruedas que engranan entre sí, directamente una con otra, como es el caso de la figura 2a. b) Engranajes de acción indirecta: cuando accionan uno sobre otro a través de un vínculo intermedio o auxiliar, como es el caso de los engranajes a cadena que se muestra en la figura 2b, donde N1 es la rueda conductora o motora, la cual se encuentra montada sobre un eje motor y transmite el movimiento a la rueda conducida N2 a través de la cadena. Caso de las bicicletas, donde la rueda de menor diámetro se denomina generalmente piñón.
N1
Conductora o CadenaConducida o impulsora impulsora
Eje del piñón
ω2
ω1
Eje del engrane
N1
N2
c N2 a) Engranaje de acción directa
b) Engranaje de acción indirecta
Figura 2. Engranajes de acción directa e indirecta A su vez, los engranajes de acción directa, según sean las posiciones de sus ejes, pueden presentar los siguientes casos: 1- sus ejes son paralelos; 2- sus ejes se cortan; 3- sus ejes se cruzan; 4- engranajes de rueda y tornillo sinfín. 1- Engranajes de ejes paralelos: se presenta para ruedas cilíndricas que están montadas sobre ejes paralelos, pudiendo presentarse distintos casos, según se muestran a continuación: En la Figura 3 se tiene una rueda o piñón N1 que engrana con una cremallera NC, siendo esta última una rueda dentada de radio infinito, por lo tanto el número de dientes que tendrá es infinito, por lo que se utiliza una porción de la misma, de acuerdo al recorrido o desplazamiento que se quiera obtener. Los ejes sobre los cuales están montados ambos son paralelos. Para una velocidad angular ωP le corresponderá para la cremallera una velocidad vC de desplazamiento.
DP Línea del centro del piñón a la parte posterior de la cremallera (B +DP/2)
Piñón
NP ωP
Línea de paso
B
NC
Velocidad de la cremallera vC
Espesor total
Cremallera Vista lateral
Línea de paso a la parte posterior de la cremallera
Ancho de cara
Vista frontal
Parte posterior de la cremallera; se toma como superficie de referencia para ubicar la línea de paso de la cremallera
Figura 3. Piñón moviendo a una cremallera
3
En la Figura 4a; se presentan dos engranajes montados sobre los ejes paralelos dispuestos a una distancia c siendo ésta de igual medida a la suma de sus radios primitivos, de engrane exterior, pudiendo tener dientes rectos, helicoidales o en V. En la Figura 4b se observan dos ruedas de engrane interior, una de las cuales, la de menor diámetro que se encuentra dentro de la de mayor diámetro, tiene dentado exterior, en tanto que la exterior cuenta con dientes interiores. La distancia c entre los ejes es igual a la diferencia de sus radios primitivos.
Círculo de paso Diámetro exterior
ωG
Perfil del diente (Involuta)
NP
ωP
DP
ωP
Piñón
c
Diámetro de paso
ωG
c
DG
Engrane interno
Punto de paso
NG
a) Piñón y engrane exterior
b) Piñón y engrane interno
Figura 4. Engranajes a) exterior y b) interior.
En la figuras 5a, 5b y 5c se puede observar engranajes de ejes paralelos, de dientes rectos, helicoidales y en V (espina de pescado) respectivamente.
a) Dientes rectos
b) Dientes helicoidales
c) Dientes doble helicoidal o de espina de pescado
Figura 5. Engranajes de ejes paralelos
4
2- Engranajes cuyos ejes se cortan: este caso se presenta en los engranajes cónicos, los que están construidos de tal modo que si sus ejes se prolongaran, ellos se encontrarán en un punto o vértice común. Sus dientes pueden ser rectos, en arco o en espiral, respondiendo en cada caso a determinadas condiciones de trabajo y trazado. En la figura 6a se observa un engranaje cónico de dientes rectos y en la figura 6b un engranaje cónico de dientes en espiral.
a) Cónicos de dientes rectos
b) Cónicos de dientes en espiral
Figura 6. Engranajes cónicos El ángulo que forman los ejes I y II de los engranajes z1 y z2 respectivamente, al cortarse puede ser: figura 7a, = 90º, con lo que se obtiene un cambio en la transmisión del movimiento de rotación perpendicular al original; figura 7b 90º el cambio se produce en ángulo agudo y figura 7c 90º la dirección cambia en un ángulo obtuso.
a)
c)
b)
Figura 7. Angulo que forman los ejes que se cortan 3- Engranajes cuyos ejes se cruzan en el espacio: son engranajes cilíndricos de dientes helicoidales cuyos ejes se cruzan en el espacio, lo que permite lograr el cambio de dirección de la transmisión del movimiento. Los ejes pueden cruzarse en forma oblicua (Figura 8a), formando un ángulo menor a 90º o en forma perpendicular (Figura 8b), donde es igual a 90º. Estos engranajes son de dientes helicoidales.
a)
b) Figura 8. Engranajes con ejes que se cruzan
5
4- Engranajes de rueda y tornillo sinfín: se pueden presentar tres casos, según sea el perfil de los dientes y filete que presenta la rueda y el tornillo sinfín respectivamente, los cuales se indican esquemáticamente en la figura: en la Figura 9a se tiene ambos de perfiles cilíndricos, la Figura 9b muestra la rueda de perfil globoide y el tornillo sinfín cilíndrico, y en la Figura 9c tanto la rueda como el tornillo sinfín presentan perfiles globoides. La Figura 9d muestra como engranan una rueda (corona) de perfil globoide y un tornillo sinfín cilíndrico.
Rueda
a)
b)
c)
Tornillo d) sinfín
Figura 9. Engranaje de tornillo sinfín y corona
PASO DIAMETRAL Y MODULO Existen dos sistemas para el cálculo de las dimensiones y tallado de los engranes. 1. Por el paso diametral (P), sistema ingles 2. Por el módulo (m), sistema métrico. El primero se usa en los países de habla inglesa, y el segundo en los países donde el sistema métrico tiene mayor aplicación. En nuestro país, por circunstancias existentes dentro de la industria, es necesario emplear ambos. Haciendo caso a lo establecido, las medida de longitud para los engranes de paso diametral, siempre estarán dadas en pulgadas. Y para los engranes de modulo, sus dimensión están dadas en milímetros. Siendo el paso diametral y el módulo, factores muy importantes para el cálculo, diseño y tallado de los engranes en uno y otro sistema. Paso diametral (P). Es la relación entre el número de dientes y el diámetro primitivo o de aso cundo se expresa en pulgadas; es decir, el número de dientes por pulgada en el diámetro de paso (figura 10). Módulo (m). Es la relación del diámetro de paso o primitivo al número de dientes expresado en milímetros: es decir, que el modulo representa una longitud es que es el numero de milímetros del diámetro de paso por diente (figura 11).
6
N = 24 DIENTES D = 6” P = N/D = 24/6 = 4 dtes/pulg DIAMETRO PRIMITIVO O DE PASO
1” 4 DIENTES 1”
4 DIENTES
1” D = 6” 1”
4 DIENTES 1” DIAMETRO EXTERIOR
1” 4 DIENTES
Figura 10. Esquema representativo del paso diametral, 4 dientes por pulgada en su diámetro de paso N = 18 DIENTES D =54 mm m = D/N = 54/18 = 3 mm/dte.
DIAMETRO PRIMITIVO O DE PASO 1
3 mm
2
3 mm
3 4 5 6 7 8 9 DIENTES 10
3 mm 3 mm
D = 54 mm
11 12 13 14 15 16
DIAMETRO EXTERIOR
17
3 mm
18
3 mm
Figura 11. Esquema representativo del modulo, 3 mm por diente en su diámetro primitivo o de paso.
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Con objeto de permitir la íntercambiabilidad de los engranes, es decir, para poderlos interconectar sin importar el número de dientes que tengan, se ha establecido los sistemas de normalización en uso actualmente, el americano y el ISO. Ambas emplean la relación entre el numero de dientes y el diámetro de paso como parámetro de normalización, siendo el paso diametral (Pd = N/D) en el sistema americano y el modulo (m = D/N) en el sistema ISO. Los engranes métricos no sólo se basan en un sistema de medición distinto, sino que comprenden su propia y única norma de diseño. Esto significa que los engranes métricos y los de la norma americana no pueden intercambiarse. La norma ISO es compatible con las normas métricas más empleadas como la DIN y la JIS En la figura 12 se observan los tamaños reales de un ángulo de presión de 20° estándar de los dientes de profundidad completa estándar Pd = 4 a 80. Observe la relación inversa ente Pd y el tamaño del diente. Estos tamaños estándar de dientes aparecen en la tabla 1 en términos del paso diametral y en la tabla 2 en términos del modulo métrico .
Figura 12. Tamaños reales de dientes para pasos diametrales
8
Tabla1 Pasos diametrales estándar Grueso Fino Pd < 20° Pd ≥ 20° 1 20 1.25 24 1.5 32 1.75 48 2 64 2.5 72 3 80 4 96 5 120 6 8 10 12 14 16 18
Tabla2 Módulos métricos estándar Módulo métrico Equivalente (mm) (Pd pulg-1) 0.3 84.67 0.4 63.50 0.5 50.80 0.8 31.75 1 25.40 1.25 20.32 1.5 16.93 2 12.70 3 8.47 4 6.35 5 5.08 6 4.23 8 3.18 10 2.54 12 2.12 16 1.59 20 1.27 25 1.02
NOMENCLATURA DE UN ENGRANE DE DIENTES RECTOS
El paso circular (Pc): es la distancia medida sobre la circunferencia de paso, entre determinado punto de un diente y el correspondiente de un inmediato. De manera que el paso circular es igual a la suma del grueso del diente y el ancho del espacio entre dos consecutivos. El paso diametral (Pd ó P): es la relación del número de dientes al diámetro de paso. El paso diametral se emplea cuando se consideran unidades inglesas, se expresa en dientes por pulgada (dte/in). El modulo (m): es la razón ó relación del diámetro de paso al numero de dientes y solo se expresa en la unidad del SI en milímetros. El modulo es el índice del tamaño de los dientes en el SI. El addendum o altura de cabeza (a): es la distancia radial desde el círculo de paso hasta el exterior del diente (o la circunferencia de addendum). El dedendum o altura del pie (b): es la distancia radial desde el círculo de paso hasta el fondo del espacio (o la circunferencia de dedendum). Holgura (c): La distancia radial desde el exterior del diente hasa el fondo del hueco entre dientes del engrane opuesto, cuendo el diente es totalmente engranado, se tiene. c = b – a La altura total (ht) de un diente es la suma de addendum (altura de la cabeza del diente) y el dedendum (o altura del pie del diente). El espesor de diente (t) Es la longitud del arco, medida en el círculo de paso, de un lado del diente a al otro lado. A veces a esto se le llama espesor circular y su valor teórico es la mitad de paso circular: t = Pc/2 El espacio entre dientes o anchura del espacio, es la distancia entre dientes adyacentes a lo largo del arco del círculo de paso. Radio de chaflán o filete. Es la superficie curva que une el flanco de un diente con el círculo del dedendum.
9
Cara: es la superficie del diente de un engrane, desde el círculo de paso hasta el círculo externo del engrane. Flanco: es la superficie del diente de un engrane, desde la raíz del espacio entre dientes, incluyendo el chaflán Chaflán: También se le llama filete. Es el arco que une el perfil de involuta del diente con la raíz del espacio entre dientes Ancho de cara (F): se llama también longitud del diente o ancho del flanco. Es el ancho del diente, medido en dirección paralela al eje del diente
En la figura 13 se muestra la nomenclatura de un engrane de dientes rectos.
Figura 13. Nomenclatura de un engrane de dientes rectos.
Distancia entre centros, paso circular, paso diametral y ángulo de presión: La distancia entre centros (C): Es la distancia del centro del piñón al centro del engrane; es la suma de los radios de paso de los dientes engranados. La distancia central entre los ejes de rotación de los engranes se puede expresar como:
C
C
D p Dg 2
rp rg
(1)
N p Ng
(2)
2 Pd
Paso circular Pc
D N
D p Np
Dg Ng
(3)
10
Paso diametral P
N N p Ng D D p Dg
(4)
De la ecuación 3 la relación de engranes (relación de transmisión) es:
RT
Pc N g Dp Dg
Pc N p
Ng N p
(5)
Sustituyendo 3 y 5 en 1:
C
Pc N p N g Pc N p 1 N g Pc N p 1 RT 2 2 Np 2
(6)
Comparando las ecuaciones 3 y 4 se tiene:
Pc Módulo = m
(7)
P Dg Ng
Dp
(8)
Np
De las ecuaciones 3 y 8.
Pc m
(9)
También de las ecuaciones 7 y 9.
m
1 P
(10)
El paso diametral se puede hallar conociendo el numero de dientes y el diámetro exterior del engrane, mediante la ecuación
P
N 2 Dext
Línea de centros
Línea de presión o acción
(11)
r1
R1
θ
= ángulo de presión
θ
Círculos base θ
Angulo de presión. Es el ángulo que se forma la tangente a los círculos de paso y la línea trazada normal (perpendicular) a la superficie del diente del engrane, (figura 14).
r2
Círculos de paso R2
Figura 14. Angulo de presión
11
En la tabla 3 y 4 se presentan las especificaciones para generar la geometría de engranes de dientes rectos.
Tabla 3. Especificaciones ISO para engranes de dientes rectos Características del diente para un ángulo de presión 20 Diámetro primitivo (D)
Ecuación D N m
Adendo (a)
am
Dedendo (d)
d
7 m 6
Altura total del diente ó profundidad total (ht)
ht a b
Diámetro interior ó raíz (Di)
Di D 2d
Diámetro exterior (De)
De ( N 2) m
Largo del diente o ancho de cara (L ó F)
L 8m 12m
Espesor del diente o grueso (s)
s
Distancia ente ejes (c)
c
m 2 D p Dg 2
Paso circular (Pc)
Pc m
Diámetro base (DB)
DB D cos
Número de dientes del piñón (Zp ó Np)
Zp
2(1 / R.V .)
1 1 (1 / R.V .) 2 2(1 / R.V .) sen 2
12
Tabla 4. Especificaciones de AGMA para engranes de dientes rectos Paso grueso (Pd < 20°) 14.5°, 20° y 25°
Características del diente para un ángulo de presión
Paso fino (Pd ≥ 20) 20°
Diámetro primitivo (D)
D
D
Adendo (a)
a
1.000 Pd
a
1.000 Pd
Dedendo (d)
d
1.250 Pd
d
1.200 0.002 Pd
Altura total del diente ó profundidad total (ht)
ht
Diámetro interior ó raíz (Di)
Di D 2d
Diámetro exterior (De)
De ( N 2)
Largo del diente o ancho de cara (L ó F)
F
Espesor del diente o grueso (s)
s
Distancia ente ejes (c)
c
Paso circular (Pc)
Pc
Diámetro base (DB)
DB D cos
Pd
2.250 Pd
ht
1 Pd
De ( N 2)
F
1.571 Pd
s
2
Pd
2.200 0.002 Pd
Di D 2d
12 Pd
D p Dg
Pd
c
1 Pd
12 Pd
1.571 Pd D p Dg
Pc
2
Pd
DB D cos
13
TRENES DE ENGRANES Cuando se tiene un conjunto de dos o mas piezas dentadas acopladas se les llama engranajes (tren de engranes). Un tren de engranes es uno o más pares de engranes en conjunto para transmitir potencia. La transmisión de potencia por medio de engranajes, cumple entre otras, las siguientes funciones. 1.-Conexión entre ejes. 2.-Transferencia de potencia de un eje a otro. 3.-Cambio de la velocidad de rotación. 4.-Cambio del momento de torsión. 5.-Cambio del sentido de giro. 6.-Sincronización de los movimientos de los ejes. Clasificación de engranajes
Tren de engranes ordinarios Clasificación de engranajes
Tren de engranes planetarios (o epicícloidales) Tren de engranes compuestos
En un tren de engranes ordinarios los engranes giran con referencia a ejes fijos. La bancada soporta los engranes y forma el eslabón fijo en el mecanismo, figura 15a [1]. En un tren de engranes planetarios los ejes de algunos engranes se encuentran en movimiento y uno de los engranes generalmente se convierte en engrane fijo, figura 15b [1] En un tren de engranes compuesto esta conformado por engranajes ordinarios y planetarios.
2
A
4
1
B
1
(a)
3
2
A
4
B
3
1 (b) 2
Figura 15 Tipos de trenes de engranes: (a) ordinarios, (b) planetarios.
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TREN DE ENGRANES ORDINARIOS Uno de los propósitos fundamentales de un mecanismo es transmitir movimiento de un lugar a otro; por lo regular modificando el movimiento durante su transmisión. En muchos casos se desea transmitir la rotación de un eje a otro. Si los ejes son paralelos y existe una relación no lineal entre sus rotaciones, se considera un eslabonamiento plano generador de función o una leva con su seguidor oscilatorio. Sin embargo, en muchos casos se requiere una relación constante o una razón de velocidad angular entre los ejes de entrada y salida. Dado que la mayor parte de los motores estándar eléctricos producen una rotación de 1800 rpm (velocidad sincronía), podría obtenerse la entrada deseada mediante un juego de engranes rectos entre los ejes paralelos del motor y de la máquina (Figura 15).
ωp 2
ωg rg
rp
3
P 1
1
Piñón Engrane
vP2 = vP3 Figura 16. La razón de velocidades angulares de un par de engranes rectos acoplados son inversamente proporcionales a sus radios de paso. De la figura (16) se tiene que:
v p vg
p rp g rg p rg g rp El signo menos indica la dirección de rotación opuesta al engrane de entrada.
Valor del Tren (V.T.) y Relación de Velocidades La relación de velocidades (R.V.), se define se define como la relación de la velocidad angular del engrane de entrada y la velocidad angular del engrane de salida de un tren de engranes ordinarios. La razón de velocidades angulares (o relación de engranes) ωent/ωsal es inversamente proporcional, ya sea a la razón de radios de paso, o a la razón de diámetros de paso, o a la razón de número de dientes.
ent rsal Dsal N sal sal rent Dent N ent
15
El valor de tren se define como el producto de los números de dientes de los engranes impulsados entre el producto de los números de dientes de los engranes impulsores.
V .T .
Producto de los numeros de dientes de los engranes impulsados Producto de los numeros de dientes de los engranes impulsores
La dirección de rotación se pude determinar por observación, y se considera que existe una inversión de dirección con cada par de engranes externos. Se usará el término valor positivo del tren para indicar el caso en que los engranes de entrada y salida giren en la misma dirección. Por el contrario, si giran en direcciones contrarias, el valor de tren será negativo. Todo engrane de un tren de engranes que funciona al mismo tiempo como engrane motriz y engrane impulsado se le llama engrane loco o libre.
TREN DE ENGRANES PLANETARIOS O EPICICLOIDALES En los engranes ordinarios los engranes giran con referencia a ejes fijos. El marco (bancada) soporta los engranes y forma el eslabón fijo en el mecanismo. En un tren de engranes epicícloidal, los ejes de algunos de los engranes se encuentran en movimiento, y uno de los engranes generalmente se convierte en eslabón fijo. Para poder obtener una reducción de engranes adecuada, con frecuencia conviene diseñar un tren de engranes de manera que uno de los engranes tenga movimiento planetario. Con este movimiento se logra que un engrane se mueva de tal forma que no solamente gire alrededor de su propio eje, sino que al mismo tiempo gire alrededor de otro engrane. Aplicaciones: Los trenes de engranes planetarios representan un costo de fabricación y mantenimiento más alto que el de los trenes de engranes ordinarios, pero los diseñadores podrían optar por utilizarlos debido a dos razones: Primera, hay algunas situaciones en las que se requieren dos grados de libertad. Segunda, cuando se trata de transmisión de potencia con un grado de libertad de un eje de entrada a un eje de salida, muchas veces es posible lograr la misma relación de engranes en un espacio mas reducido, y transmitir mas potencia, si se utilizan trenes de engranes planetarios en lugar de ordinarios.
Diferenciales Aplicaciones
Transmisiones automáticas Embragues
Métodos de solución para determinar la velocidad angular de engranes planetarios: Método de la formula. Método de centros instantáneos(o de velocidad tangencial). Método tabular.
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FORMULA DE ENGRANES PLANETARIOS
V .T .
producto de los numeros de dientes de los engranes impulsores producto de los numeros de dientes de los engranes impulsados
De la figura 16 se tiene:
V .T .
LA L A FA F A
Donde: ωLA = velocidad angular del último engrane relativo al brazo ωFA = velocidad angular del primer engrane relativo al brazo ω´F = velocidad angular absoluta de primer engrane ωL = velocidad angular absoluta del último engrane ωA = velocidad angular absoluta del brazo
Figura 17. Tren de engranes planetarios o epicicloidales.
Selección de un Reductor de Engranes Los reductores de engranes transmiten la potencia de un motor a la máquina accionada, cambian en forma eficiente el par, la velocidad, dirección y posición. Los reductores amplifican el par de torsión para la mayoría de las aplicaciones de motores, el par se incrementa proporcionalmente a la relación del reductor.
RR
ent Tsal Fsal sal Tent Fent
Para determinar el par de salida de un reductor de engranes, se tiene:
Tsal Tent RR R Para calcular la velocidad de salida de un reductor de engranes, se tiene:
sal
Tent R ent Tsal
T = Par de torsión (N.m, Lb.pie) ω = velocidad angular (RPM) RR = Relación del reductor de engranes ηR= Eficiencia del reductor.
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ENGRANES DE SINFÍN Y CORONA Si un diente de un engrane helicoidal hace una revolución completa en el cilindro de paso, el engranaje que resulta se llama sinfín o gusano. El engrane compañero para un sinfín se le llama corona o engrane del gusano; sin embargo, la corona no es un engranaje helicoidal. Los acoplamientos corona-sinfín se emplean para conectar flechas no paralelas que no se intersectan y que generalmente son perpendiculares. La reducción de velocidades es por lo general bastante grande con relación a los engranes rectos y helicoidales. En la figura 1 se muestra la nomenclatura del mecanismo de tornillo sinfín de una cuerda. El mecanismo de tornillo sinfín y corona, tienen el mismo sesgo de hélice que los engranes helicoidales cruzados, pero los ángulos de hélice suelen ser completamente diferentes. Generalmente, el ángulo de hélice del tornillo es bastante grande y el de la rueda (corona) muy pequeño. Debido a esto, es usual especificar el ángulo de avance para el gusano y el ángulo de la hélice para la corona o rueda; los dos ángulos son iguales cuando se tiene un ángulo entre ejes de 90°. El ángulo de avance del tornillo es el complemento de su ángulo de hélice, como se indica en la figura 1. Figura 1 Nomenclatura de un tornillo sinfín de una cuerda tipo envolvente
Al considerar las características de un sinfín, el avance es de importancia primordial y se puede definir como la distancia axial que recorre un punto en la hélice del engrane en una revolución del mismo. La relación entre el avance y el paso axial es:
L Px N
(1)
Donde N es el número de roscas o cuerdas (o dientes) en el cilindro de paso del sinfín. Se puede obtener un sinfín de una a diez cuerdas. Si se desarrolla una revolución completa de la cuerda de un sinfín se obtiene un triangulo. De acuerdo con la figura 2, se puede ver que:
tan
L D
(2) L
L avance Px paso axial
N = número de cuerdas.
angulo de la helice D = diámetro de paso
α D
angulo de avance
Pc= paso circular de la corona
πD
α
Px
Figura 2. Cuerda de un engrane sinfín
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El paso circular de la corona se determina, por la ecuación:
Pc
Dc
(3)
Nc
Para que un sinfín y una corona con flechas perpendiculares engranen adecuadamente, se deben satisfacer las siguientes condiciones: a) Angulo de avance del sinfín = Angulo de avance de la corona b) Paso axial del sinfín = paso circular de la corona En al figura 3a se muestra el paso y el avance de un sinfín de una cuerda, en la figura 3b un sinfín con cuerdas y en la figura 3c, un sinfín de tres cuerdas o hilos. Avance
P
Avance
λ
P
Avance
λ
P
λ
Dw
(a)
(b)
(c)
Figura 3. Cuerdas de un tornillo sinfín La relación entre el empuje, sesgo y rotación de un tornillo sinfín y corona se ilustra en la figura 4. La figura corresponde también a engranes helicoidales cruzados.
Figura 4. Relaciones de carga axial, sentido de rotación y sesgo en tornillo sinfín y engranes helicoidales cruzados.
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EJEMPLOS DE ENGRANAJES ORDINARIOS Ejemplo 1. Dos engranes con paso diametral de 8 van a montarse con una distancia entre centros de 16 pulg. La razón de velocidades debe ser 9:7. Encuentre el número de dientes de cada engrane Ejemplo 2. Un piñón recto de 15 dientes tiene un módulo de 3 mm y gira a una velocidad de 1600 rpm. El engrane impulsado tiene 60 dientes. Determine: a) la velocidad angular del engrane, b) el paso circular y c) la distancia teórica entre centros. Ejemplo 3. Calcule la velocidad de una cremallera impulsada por un piñón. El piñón motriz gira a 125 rpm, tiene 24 dientes y un paso diametral de 6. Ejemplo 4. Un juego de engranes tiene un modulo de 4 mm y una relación de velocidades de 2.8:1. El piñón tiene 20 dientes. Determine: a) el número de dientes del engrane impulsado, b) los diámetros de paso y c) la distancia teórica entre centros. Ejemplo 5. Un engrane de 20 dientes con paso diametral 5 se acopla a otro engrane de 63 dientes. Encuentre la distancia entre centros y al relación de engranes. Ejemplo 6. Un par de engranes con una relación de transmisión de 3.2:1. El piñón tiene 20 dientes y tiene un diámetro de paso de 2.5 pulg. Hallar el paso diametral, el diámetro de paso del engrane conducido y la distancia entre centros.
Ejemplo 7. En el tren de engranes ordinario de la figura, el engrane A gira a 1750 rpm sentido horario visto desde las derecha. Determine la velocidad y dirección de rotación del engrane H. Ejemplo 8. La figura muestra un tren de engranes con doble reducción. El eje A gira a 1720 rpm, la relación de velocidades entre el eje A y B es de 3.5:1 y entre los ejes B y C es de 4:1 el piñón en eje A tiene 24 dientes y el engrane en el eje C tiene 160 dientes, Hallar: a) El número de dientes del engrane 2 b) La velocidad en los ejes B y C. c) La distancia entre centros de los ejes A y B, si los engranes tienen un paso diametral de 8 d) La distancia entre centros de los ejes B y C, si los engranes tienen un paso diametral de 12.
E B
G C
Entrada
Salida A
4
NA = 20; Pd = 16 DB = 2.875 in DC = 1.125 in NC = 38, Pd = 16 NE = 18, Pd = 12 DF = 2.25 in NG = 18, Pd =12 NH = 30
C 2 B 3
D F
Motor
H
Figura PE7
A 1
Figura PE8
20
Ejemplo 9. Determine la velocidad y dirección de rotación de los engranes 6 y 8 del tren de engranes mostrado en la figura. ω2 = 1200 rpm 18D 2 33D
36D
48D
6
44D 3 B4
5
8 7
15D
16D
Ejemplo 10. Determine la velocidad y dirección de rotación del engrane 7 del tren de engranes mostrado en la figura; si la velocidad angular de engrane cónico 2 es 1700 rpm cw visto desde abajo del engrane.
Ejemplo 11. El tren de engranes de la figura está dispuesto para alimentar madera entre los dos rodillos de 6 pulg. de diámetro hacia una sierra de corte con el fin de aserrar a lo largo la madera. La hoja se está impulsando a través de un motor que gira a 500 rpm. Una derivación de potencia, que consiste en un sistema de engranes, bandas y poleas que se muestra, impulsan los rodillos para alimentar la materia prima. Determine la velocidad de la materia prima en ft/s y m/s; y la dirección de movimiento de la materia prima. 36D 8D- ψ = 45°
42D
3 4 5
2 18D
7 20D
6 24D
Figura PE10
Figura PE11
Ejemplo 12. Determine el número de dientes del sprocket D de la figura. Si el cable tiene una velocidad constante de 2 pies/s. Determine la dirección de rotación de A cuando el tornillo sinfín es visto desde la derecha. E B-90D Cadena
D 30”
C-40D A ωA = 600 rpm Tornillo sinfín de triple cuerda
Cable
21
Ejemplo 13. En la figura se muestra un tren que consta de engranes cónicos, rectos y un sinfín. El piñón cónico esta montado sobre un eje que se impulsa mediante una banda en V sobre poleas. Si la polea gira a 1200 rpm, determina la velocidad y dirección del engrane 6 y 9. Ejemplo 14. En la figura se muestra una transmisión de tres velocidades en las que el eje impulsor gira a 450 rpm y lleva al grupo de engranes A, B y C. La flecha seguidora tiene cuñas y puede desplazarse a lo largo de su eje mediante el eslabón de cambios para poner los engranes E, G y H en contacto con el eje impulsor. Diseñe la transmisión de modo que produzca velocidades de 150, 350 y 550 rpm. Los dientes de los engranes deben mantenerse entre los limites de 10 a 80 dientes. Proponga tres alternativas de número de dientes.
Fig ura PE 13
Figura PE14
Ejemplo 15. Determine: el paso circular, el número de dientes del engrane y la distancia teórica entre centros para: a).un piñón de 19 dientes con modulo de 2.5 y velocidad de 1740 rpm para impulsar un engrane que debe operar aproximadamente a 470 rpm y b) un piñón de 19 dientes con paso diametral 7 y velocidad de 1150 rpm para impulsar al engrane a 690 rpm
Ejemplo 16. Considere un sinfín de triple cuerda que mueve a una corona de 60 dientes; el ángulo de la flecha es de 90º. El paso circular de la corona es de 1.25 pulg. y el diámetro de paso del sinfín es de 3.8 pulg. Determine el ángulo de avance del sinfín y la distancia entre los centros de las flechas.
Ejemplo 17. Un gusano y un engrane con flechas a 90° y una distancia entre centros de 152 mm deben tener una relación de velocidades de 20:1. Si el paso axial de gusano debe ser 17.463 mm, determine el diámetro más pequeño para el gusano que se puede usar para transmisión.
Ejemplo 18. Un gusano de tres cuerdas mueve un engrane de 31 dientes con flechas a 90°. Si la distancia entre centros es de 210 mm y el ángulo de avance del gusano es de 18.83°, calcule el paso axial del gusano y los diámetros del paso del gusano y la corona.
22
Ejemplo 19. Un sinfín de doble cuerda con avance de 2 pulg. Mueve una corona con una reducción de 20:1; el ángulo entre las flechas es de 90º. Si la distancia entre los centros es de 9 pulg. Determine el diámetro de paso del sinfín y de la corona. Ejemplo 20. Se requiere que un sinfín y una corona con flechas a 90º y distancia de 7 pulg. Entre centros tenga una reducción de 18:1. Si se desea que el paso axial del sinfín sea de 0.5 pulg. Determinar el número máximo de dientes en el sinfín y en la corona que se pueden usar para el tren y sus diámetros correspondientes de paso. Ejemplo 21. Si la eficiencia del tren de engranes mostrado en la figura es 90%. Calcule la fuerza requerida para levantar una carga de 120 kg. El diámetro del tambor de la carga es de 20 cm y el diámetro del tambor de la fuerza es de 80 cm. Ejemplo 22. Determine la velocidad y dirección de rotación del engrane F del tren de engranes mostrado en la figura; si la velocidad angular de engrane 2 es 1150 rpm ccw visto desde la izquierda. B-60D
A-12D
D-72D
D-40D E-32D
C-18D
A-18D DTC
DTF.
F-56D
C Fuerza requerida
Tornillo sinfín de doble cuerda
Carga
B-36D
Fig. P21
Fig. P22 D4 D3 D2
Ejemplo 23. Para el mecanismo escalonado de conos de poleas con juego de engranes, determine las velocidades angulares de la flecha D que soporta el husillo de una máquina herramienta. La flecha A esta acoplada a un B motor que gira a 1800 rpm.
ωA = 180 rev/min D1
A Z4
Z1 D D1
ωD
D2 D3
D4
C
Z2
Z3 D1 = 150 mm, D2 = 185 mm D3 = 220 mm, D4 = 225 mm Z1 = 25, Z2 = 50, Z3 = 25, Z4 = 50
23
Ejemplo 24. Para el sistema de transmisión mostrado en la figura, calcule la eficiencia del sistema para levantar una carga de 800 kg mediante un cable que se enrolla en un tambor de diámetro, DT = 32 cm. La fuerza de entrada requerida para elevarla carga es de 314 N y diámetro de la polea, DP = 192 cm. Desprecie el peso del cable.
Ejemplo 25. En la figura se muestra una transmisión de bandas y poleas, la potencia de entrada en la polea A es de 10 kW a una velocidad de 100 rpm, calcule el par de torsión de salida en la polea D, si la eficiencia total de la transmisión es del 85% y los diámetros de paso de las poleas son:. DA = 72 cm, DB = 27 cm, DC = 54 cm y DD =24 cm.
Polea Tornillo sinfín de dos hilos
DP Tambor
DT
ωA
Polea C ωD
Polea A
Fuerza de entrada
Corona 180D
Polea D Polea B
Carga Fig. P24
Fig. P25
24
PROBLEMAS ENGRANES PLANETARIOS Y COMPUESTOS PE1. El sistema de engranes epicíclicos es impulsado por el brazo 5 cuya velocidad angular es de 50 rpm en el sentido del reloj; si el engrane anular 1 es fijo, determine las velocidades angulares de los engranes 4 y 3. 1
40T 15T
4
3
130T
30T
2
5
PE2. En el sistema de engranes planetarios de la figura, el radio de paso de los engranes A, B, C, y D es de 30 mm y el radio de paso del engrane exterior es de E es de 90 mm. Si el engrane E tiene una velocidad angular constante de 180 rpm sentido horario y el engrane central A tiene una velocidad angular constante de 240 rpm en el mismo sentido, determínense a) la velocidad angular de cada engrane planetario y b) la velocidad angular del brazo (estrella) que los conecta.
PE3. Los tres engranes A, B y C están unidos por un pasador en su centro a la barra ABC. Si el engrane A no gira; determine la velocidad angular de los engranes B y C cuando la barra ABC gira en sentido horario con una velocidad angular constante de 75 rpm. C
rC = 45 mm
B rB = 60 mm
rA = 120 mm A
Fig. P2
Fig. P3
25
PE4. En el tren de engranes compuesto mostrado en la figura, la flecha A gira a 450 rpm y la flecha B a 600 rpm en la direcciones mostradas. Calcule la velocidad de la flecha C e indique su dirección de rotación.
PE5. En la figura se muestra un tren de engranes compuesto, si el engrane de entrada de 21 dientes gira a 200 rpm determine la velocidad de la carga W en pies/s.
PE6. Una transmisión de automóvil tiene el tren planetario de engranajes que se ve en la figura. Si el engranaje R de anillo gira a R 2 rad/s y el eje s, que está fijo al engranaje sol S , gira a 20 rad/s, calcule la velocidad angular de cada engranaje planetario P y la velocidad angular del bastidor de conexión D , que gira libremente con respecto al eje central s.
200 rpm 21T
45T 40T
18T
48T 6” Brazo 30T
37T
60T W Fig. P5
Fig. P6 6-40D
8-20D
P7. En la figura del tren de engranes compuesto, la flecha A gira a 100 rpm en sentido antihorario visto desde la derecha de la figura, determine la velocidad de la flecha B y su dirección de rotación.
4-30D B
5-10D 7-50D
3-20D A 2-20D
9-70D
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P8. Para el tren de engranes mostrado. La flecha A gira a 300 rpm y la flecha B a 600 rpm en las direcciones mostradas. Determine la velocidad y dirección de rotación de la flecha C. P9. El tren de engranes epicíclico consta del engrane sol A, que engrana con el engranaje planetario B, este a su vez tiene un engrane menor C que es integral con B y engrana con el engrane anular R, fijo. El brazo DE gira a ωDE = 18 rad/s. Calcule las velocidades angulares de los engranes planetario y sol.
Fig. P8
Fig. P9
P10. El engrane sol B de la figura gira a 100 rpm en sentido horario visto desde la derecha. Determine la velocidad angular y la dirección de ωG vista desde abajo. P11. En la figura se muestra un tren de engranes epicicloidales con sus radios de paso. El engrane planetario intermedio B gira con velocidad angular de 20 rad/s en sentido horario. Si el engrane exterior D es estacionario, determine la velocidad angular del engrane solar interior A y la velocidad angular del brazo.
D C B
A brazo
3 in
Fig. P10
1.5 in
3 in
Fig. P11
27
P12. El mecanismo que se muestra en la figura, es un tren de engranes utilizado en una transmisión de avión para convertir la velocidad del motor (ω4 = 2500 rpm horario, vista desde la derecha) en una velocidad angular de la hélice. Advierta que el engrane sol esta fijo a la tierra. Calculé la velocidad de rotación y dirección de la hélice.
P13 El sistema de engranes epicíclicos es impulsado por el brazo DE cuya velocidad angular es de ωDE = 5 rad/s. sentido horario; si el engrane anular F es fijo, determine las velocidades angulares de los engranes A, B, C. P14. En la figura se muestra un tren de engranes epicicloidales con sus radios de paso. El engrane anular exterior D gira con una velocidad angular de 5 rad/s sentido horario. Si el engrane solar interior A es estacionario, determine la velocidad angular del engrane planetario intermedio B y la velocidad angular del brazo.
D 30 mm 40 mm
brazo
50 mm
3 in
Fig. P13
C B
A
1.5 in
3 in
Fig. P14
28
