Integración Longitud del arco de curva
La sección a altura z (fig. 6) tiene área nab na b (c2 - z2)/c2 por lo que el volumen es
La longitud del arco de y = Ax) Ax) comprendido entre los puntos (a, Aa)) Aa)) y es (6, Ab)) es
nab (c2 z2) , 4 ~2 d z = = y juabe ab e
V 1 + (y')2 dx. Si la curva venía ven ía descrita por x = a(f), a(f ), y = p(f p(f)) basta sustituir para hallar
fSi a = b = c = r sería sería una esfera.) Volumen de cuerpos de revolución
L f ’2V ( o ' ( f))2 + (p'(f))2 dt
) Al girar la la figura limitada limitada por y por y = = f[x), x = x = a, x = donde o(t,) = a, a, o(f2) = b. \ b, y = y = 0 en torno al eje de abscisas o al de ordeEn coordenadas polares, la longitud de r = A
) Pectivos ectivos
,
\ ¡
L= r v c r')2 + r2 j(p j(p. Ejemplos. La longitud del arco de la parábola y = x2 entre (0, 0) y (1,1) es
,b
Vx = Vx = y2 dx, dx , Vy = 2 n \ x y dx. dx . I Ja • Ejemplo. Entre 0 y 1 la la parábola paráb ola y = = x2 gene( ra al g¡rar en torno al eje y y un tronco de para) boloide de revolución revolu ción (fig (fig.. 4), cuyo volumen es i n V„ = 2tt I x • x2 • d x = = 27ü I 4 -*o T
p = [ V 1 + (2x) (2x)22 dx. dx . lo
Al girar en torno al eje x, se origina un cuerpo trompetiforme (fig. 3), cuyo volumen será
con lo que, haciendo V i + 4x 2 = 2 x + t, como como se vio en F/9-II a., se tiene p = 1,478929.
V x x = k J ’ (x 2) cíx = k [ ^ ¿ = - ^ .
La longitud de la cicloide (F/11) es
f
,
JJ o0
Área lateral de una superficie de revolución V r 2 ( 1 - cosf)3 cos f)3 + r2sen r2sen2f 2f dt = = = 2 r
0
Al girar alrededor del eje de abscisas el arco de la curva y = y = Jjx) entre (a, Aa)) Aa)) y (b , Ab)) se Ab)) se obtie ne una superficie de área
sen — d t = 8 r. 2
A = 2n 2 n í y V 1 + (y')2 (y')2 dx. Ja
La longitud de la cardioide (fig. 1) de ecuación ( Si la curva viene descrita paramétricamente por r = a ( 1 + costp costp)) es ) x = o(f), y = p(f) p(f) con of í,) = a, a[t 2) 2) = b, es L = 2 í V a 2sen2r sen2rp + a2 a2 (1 + coscp)2 coscp)2 dtp = ; Jo A = 2tt f 2p(f) 2p(f) V (a '( f ) )2 + (p'(f) (p'(f))2 )2 dt = 2 a [ 2 eos eo s dtp = 8 a . Jo 2
/
M = 2n 2n
Volúmenes por secciones Si de cada sección de un sólido, paralela a uno de los planos de coordenadas, por ejemplo, el xy, se conoce el área Kz), Kz), el volumen entre z = a y z = b es f(z) dz, dz, resultado claramente relacionado con el Principio de Cavalieri (F/5). • Ejemplo. Hallar el volumen del elipsoide x¿ y¿ a2 + b2
• Ejemplos. El área A4 de la cinta generada por y = x / x x al girar entre 2 y 3 es (fig. 5)
:= 1.
0,4 05 05 04 04 2. 2. \ y , . v 1 + _ J _ . d x = 1 0, 4x
Las ecuaciones paramétricas de la esfera de radio r son son x = r cosf, cosf, y = r senf, por lo que su área S es A = 2 n ¡ r senf senf ■V r2 sen2f r2 sen2f + r2 cos2t ■dt = lo .n = 2nr2 - cosf = 4ftr2. 4ftr2.
ATLAS DE MATEMATICAS 82 www.FreeLibros.me
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