CI04.pdf

CALCUL INTÉGRAL 1. Définition de l'intégrale l'i ntégrale dans le cas d'une fonction continue positive sur un segment [a , b ] 1.1. Définition L'unité d'aire r r

Soit P un un plan muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ). Soient I , J et et K les les points définis par : uur uur

r

OI = i

uuur

r

uuur

r

r

r

j

, OJ = j et OK = i + j

O

K

1 u.a. r

I

i

x

On appelle unité d'aire (notée en abrégé u.a.) l'unité de mesure des aires telle que : Aire(rectangle OIKJ ) = 1 u.a. Remarques :

·

OIKJ

r r

peut être un carré lorsque lorsque le repère repère (O ; i , j ) est orthonormé.

· Si l'on a, par exemple, OI = 3 cm et OJ = 2 cm, alors une unité d'aire correspond à 6 cm2. 1.2. Définition Notion d'int égrale d'une f onction cont inue positive en tant qu'ai re r r

Soit P un un plan muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ). Soient :

·

a et b deux réels avec a  b.

· ¦ une fonction continue (ou continue par morceaux(1)) et positive sur le segment(2) [a, b]. On appelle intégrale de ¦ de a à b l'aire, exprimée en u.a., du domaine D suivant : tels que a  x  b et D = { M ( x x, y) Î P tels

0  y  ¦( x x)}

( D D est le domaine délimité par la courbe de ¦, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations x = a et x = b)

ò

On note cette quantité :

b a

¦ (t ) dt ou

ò

b a

¦ ( x ) dx

Les réels a et b s'appellent les bornes de l'intégrale. 1 u.a. = une unité d'aire

Illustration :

L'aire de D est de mesure C ¦

FINIE. En effet, ¦ est continue sur le segment [a, b] donc 1

majorée. Il existe donc un

D

rectangle contenant D. a

O

1

b

x

Remarques : La variable t (ou (ou x ou autre) figurant dans l'intégrale est "muette" ; elle peut être notée par toute autre lettre. Le symbole dt (ou d x) ne joue aucun rôle pour le moment, si ce n'est de préciser quelle est la variable.

(1) (2)

Cette hypothèse est indispensable pour définir l'intégrale d'une fonction en escalier. Un segment est un intervalle fermé borné.

Calcul intégral.

Page 1

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

Premiers exemples : r

r r

r

Rapportons le plan à un repère orthonormé (O ; i , j ) avec || i || = || j || = 1 cm. (Ainsi 1 u.a. correspond à 1 cm2)

Cas d'une fonction égale à une constante positive positive (notée k Î !+) sur [a, b] alors :

ò

b a

¦ (t ) dt =

ò

b a

k dt = (b - a)k u.a

.

(On a simplement appliqué la formule longueur ´ largeur pour calculer l'aire d'un rectangle !)

C ¦ k

D

1 u.a. O

I

b

a

ò

En particulier, si ¦ est nulle sur [a, b] alors :

b a

x

¦(t ) dt = 0

Cas d'une fonction affine (notons ¦( x x) = mx + p) supposée positive sur [a, b] alors :

ò

b a

¦ (t ) dt = Aire du trapèze ABB'A' =

(petite base + grande base) ´ hauteur 2

mb + p p C ¦

ma + p p

A' 1 u.a.

O

ò

b a

¦ (t ) dt =

D

A

I

B'

B b

a

x

( AA¢ + BB¢) AB (ma + p + mb + p)(b - a) 1 = = m(b2 - a2) + p(b - a) 2 2 2

La formule ci-contre n'est pas à connaître par cœur.

Cas de la parabole. Soit ¦ la fonction définie sur ! par : 2 x) = x ¦( x

On a vu (voir le DM 1 sur la quadrature de la parabole) qu'alors :

ò

1 0

x 2 dx =

1 3

Cas d'une fonction en escalier (toujours supposée positive) sur [a, b] : L'ensemble {a0 ; a1 ; ... ; an} est

Il s'agit des fonctions pour lesquelles il existe des réels a0, a1, ..., an vérifiant :

appelé une subdivision adaptée à ¦.

a = a0 < a1 < ... < an = b

tels que ¦ soit constante sur chacun des intervalles ouverts ]ai , ai+1[ (0  i  n - 1)

Calcul intégral.

Page 2


En notant li la valeur constante de ¦ sur ]ai, ai+1[, on a alors :

ò

b a

n -1

¦ (t ) dt =

å (a

i +1

- ai ) li

i =0

(Pas de panique, cette formule n'est qu'une somme d'aires de rectangles !)

Illustration avec n = 4. Remarque : ¦ peut prendre

y

des valeurs quelconques en les points de la subdivision, cela n'aura pas d'incidence

l1

sur l'aire. des rectangles.

l0 l4 l3

O

a = a0

a1

a2

a4 = b

a3

x

Remarques :

· ¦ peut prendre n'importe quelle valeur en chacun des points ai ; cela ne modifie pas l'aire. · La formule donnée ci-dessus pour les fonctions en escaliers en fondamentale. C'est cette formule (généralisée à des li réels quelconques) qui sera prise en définition plus tard (classes post-bac). En effet, d'une part, il est facile de prouver les propriétés (telle que la linéarité) des intégrales pour les fonctions en escaliers. D'autre part, il y a un résultat très fort qui est que "toute fonction fonction continue sur un segment peut être approchée par des fonctions en escaliers" ce qui permet d'étendre les propriétés obtenues sur les fonctions en escaliers aux fonctions continues. C'est ainsi que l'on construit, par exemple, l'intégrale dite de Riemann.

Exemple fondamental fondamental : quadrature de l'hyperbole Notons, pour tout x Î [1, +¥[, S ( x x) l'intégrale : S ( x x) =

ò

x

1

1

t

dt

D'après la définition 1.2., S ( x x) est l'aire du domaine : D( x x) = { M (t , y) Î P tels

que 1  t  x et 0  y  ¦(t )} )}

( D D( x x) est le domaine délimité par la courbe de la fonction inverse, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations t = 1 et t = x)

Soit t 0 un réel fixé de l'intervalle [1, +¥[. Soit t un un réel de l'intervalle [1, +¥[. Distinguons deux cas :

Calcul intégral.

Page 3


y

1

1 t 0

1 t

1

O

t 0

x

t

. Alors S (t ) - S (t 0) est l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction inverse, l'axe des

Cas 1 : t 0

t

abscisses et les deux droites verticales d'équations x = t 0 et x = t . 1

Or, par décroissance de la fonction inverse, on a :

t



1 t 0

S (t ) - S (t 0) est encadrée par l'aire de deux rectangles, de largeur (t - t 0) et de hauteurs respectives t - t 0 t

1

On a donc :

t

 S (t ) 

- S (t 0) 

S (t ) - S ( t0 ) t - t 0



1 t

et

1 t 0

:

t - t 0 t 0

1 t 0

En passant à la limite lorsque t tend vers t 0, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que l'accroissement moyen

S (t ) - S ( t0 )

Cas 2 : t

t - t 0 t 0

admet une limite en t 0 égal à

1

, la fonction S est donc dérivable à droite en t 0.

t 0

. Un raisonnement analogue à ci-dessus montre que S est dérivable à gauche en t 0. 1

S' (t 0) =

Bilan : on a donc :

t 0

Ce raisonnement étant valable pour tout réel t 0 de [1, +¥[, on a donc pour tout x de [1, +¥[ : 1 S' ( x) = x

Considérons maintenant la fonction ¦ définie sur [1, +¥[ par :

¦( x) = S ( x) - ln x La fonction ¦ est dérivable sur [1, +¥[ (car la fonction S et le logarithme népérien le sont) et on a : 1 1 ¦' ( x) = S' ( x) - (ln x)' = - = 0 x

En conséquence, ¦ est constante sur [1, +¥[ : Or,

x

¦( x) = k ¦(1) = S (1) - ln 1 = 0

D'où k = 0 et ¦ est nulle sur [1, +¥[, on conclut : On a montré que pour tout réel x de [1, +¥[ :

S = ln

ò

x

1

1

t

dt = ln x

On montre, de même, ce résultat pour x Î ]0 ; 1[. Calcul intégral.

Page 4


Exercice :

¦( x) = 1 - x 2

Soit ¦ la fonction définie sur [-1 ; 1] par :

1. Vérifier que la courbe C ¦ représentant ¦ est le demi-cercle de centre O et de rayon 1 qui est situé dans le demi-plan des ordonnées positives.

ò

2. En déduire :

1

1 - x 2 dx =

0

p 4

Solution : 1 - x 2 " 0

y=

1. Soit M ( x, y) un point de C ¦ . On a alors :

Donc M est situé dans le demi-plan des ordonnées positives. OM 2 = x

De plus :

2

+ y 2 = x 2 + 1 - x 2 = 1 OM = 1

Et comme OM " 0 (c'est une distance) :

Donc M est situé sur le demi-cercle de centre O et de rayon 1 correspondant aux ordonnées positives. Réciproquement, soit N (a, b) un point de ce demi-cercle. On a alors : b " 0 b " 0

et ON 2 = 1

et a 2 + b2 = 1

b " 0 et b 2 = 1 - a 2

Et comme a Î [-1, 1], on a 1 - a 2 " 0, d'où : b = 1 - a 2 b = ¦(a) N Î C ¦

On a montré que la courbe C ¦ coïncide avec le demi-cercle de centre O et de rayon 1 qui est situé dans le demi-plan des ordonnées positives. 2. La quantité

ò

1 0

1 - x 2 dx représente l'aire du domaine délimité par C ¦, l'axe des abscisses et les droites

verticales d'équations respectives x = 0 et x = 1. Ce domaine est un quart de disque de rayon 1. Son aire est donc égale à

p : 4

ò

1 0

1 - x 2 dx =

p u.a. 4

1 C ¦

-1

Calcul intégral.

O

Page 5

1

x


1.3. Propriété Calcul de l'aire située entre deux courbes Soient ¦ et g deux fonctions continues et définies sur un segment [a, b]. 0  g  ¦ sur [a, b]

On suppose que : Alors, l'aire du domaine D défini par

D = { M ( x, y) Î P tels que a  x  b

ò

est donnée, en u.a., par :

b

¦ (t ) dt -

a

et g ( x)  y  ¦( x)}

b

ò g(t) dt a

Démonstration : Notons, pour toute fonction continue ¦ sur [a, b] : D(¦) = { M ( x, y) Î P tels que a  x  b

et y compris entre 0 et ¦( x)}

D( g ) C D = D(¦)

Ainsi, on a la partition :

( C : union disjointe)

Aire( D( g )) + Aire( D) = Aire( D(¦))

En passant aux aires :

ò

b a

g (t ) dt + Aire( D) =

ò

b

¦ (t ) dt

a

D'où le résultat. Exemple : C g

Avec ¦ et g définies sur [0 ; 1] par :

C ¦

1

¦( x) = x et g ( x) = x

2

L'aire D hachurée ci-contre est donnée par : Aire( D) =

ò

1 0

x dx

-

ò

1 0

x

2

1 1 1 dx = - = 2 3 6

1

Exercice :

ò

Démontrer que :

1 0

x dx =

2 3

(On pourra se placer dans un repère orthonormé et utiliser la fait que les courbes représentatives des fonctions définies sur !+ par x a x 2 et x a

x

sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x)

1.4. Définition Permutation des bornes r r

Soit P un plan muni d'un repère (O ; i , j ). Soient a et b deux réels avec a  b et ¦ une fonction continue sur [a, b]. On convient alors que :

ò

a b

¦ (t ) dt = -

ò

b a

¦(t ) dt

Autrement dit, permuter les bornes de l'intégrale change le signe de celle-ci.

Calcul intégral.

Page 6


2. Extension aux fonctions de signe quelconque sur un segment [a , b ] 2.1. Définition Cas d'une fonction négative r r

Soit P un plan muni d'un repère (O ; i , j ). Soient a et b deux réels avec a  b. Soit ¦ une fonction continue (ou continue par morceaux) et négative sur le segment [a, b]. On appelle intégrale de ¦ de a à b l'opposé de l'aire, exprimée en u.a., du domaine D suivant : D = { M ( x, y) Î P tels que a  x  b

Cette quantité est encore notée

ò

b a

et ¦( x)  y  0}

¦ (t ) dt .

Autrement dit, lorsque ¦ est négative sur [a, b], on a :

ò

b a

¦ (t ) dt = -

ò

b a

¦ (t ) dt

Exemple :

ò

Calculer l'intégrale :

1 0

(-2 x - 2) dx

On vérifie que l'application x a (-2 x - 2) est bien négative sur [0 ; 1]. Le domaine D = { M ( x, y) Î P tels que 0  x  1 et ¦( x)  y  0} est ici un trapèze d'aire 3 u.a. (exercice) Comme la fonction intégrée est négative sur [0 ; 1], on en déduit :

ò

1 0

(-2 x - 2) dx = -3

2.2. Définition Cas d'une fonction de signe quelconque r r

Soit P un plan muni d'un repère (O ; i , j ). Soient a et b deux réels avec a  b. Soit ¦ une fonction continue (ou continue par morceaux) sur le segment [ a, b]. On définit deux nouvelles fonctions continues(1) (ou continues par morceaux) ¦+ et ¦- par :

¦( x) si ¦ (x) " 0 et ¦-( x) = ¦+( x) = ìí î0 sinon

ì¦ ( x) si ¦ (x)  0 í î0 sinon

(Évidemment ¦+ est positive et ¦- est négative)

On appelle alors intégrale de ¦ de a à b la quantité

ò En d'autres termes,

ò

b a

b a

¦ (t ) dt =

ò

b a

¦ + (t ) dt +

ò

b a

¦ - (t ) dt

Cette dernière intégrale est négative (car ¦- l'est).

¦ (t ) dt se calcule en comptant positivement l'aire des domaines où ¦ est positive et

négativement l'aire des domaines où ¦ est négative.

(1)

Le lecteur consciencieux pourra vérifier que ¦+ + ¦- = ¦ et ¦+ - ¦- = |¦|. Il en déduira les relations ¦+ =

¦+ ¦

et ¦- =

¦- ¦

. Ensuite, 2 2 comme ¦ est supposée continue (ou continue par morceaux), l'application | ¦| l'est également (par composition) ; et comme la somme (et la ¦+ ¦ ¦- ¦ différence) de fonctions continues (ou continues par morceaux) l'est encore, on en déduit que les applications ¦+ = et ¦- = sont 2 2 bien continues (ou continues par morceaux). Calcul intégral. Page 7 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

Illustration et représentation des fonctions ¦+ et ¦- : y C ¦

a

+

+

O

b

x

b

x

b

x

y C ¦+

a O

y

a O

C ¦-

y

2

Exemple : Calculer : I =

ò

5 2

( x - 3)dx

1

1

Après un calcul élémentaire, on obtient : 1 3 I = - + 2 = 2 2

C ¦

O

+

3

2

-

4

-1

Calculer l'aire A du domaine hachuré. Cette fois-ci : A =

-2

1 5 + 2 = 2 2 -3

Calcul intégral.

Page 8


5

x

Remarques :

· L'intégrale (d'une fonction continue sur un segment) est donc une aire algébrique. · On verra, plus loin, une méthode plus rapide de calcul des intégrales à l'aide des fonctions primitives. 3. Premières propriétés de l'intégrale d'une fonction sur un segment [a , b ] 3.1. Propriété Positivité de l'intégrale Si ¦ est continue et positive sur le segment [a, b] avec a  b, alors :

ò

b

¦ (t ) dt " 0

a

Démonstration : C'est immédiat puisque une aire est positive. Remarques : Évidemment, si ¦ est négative sur [a, b] alors son intégrale est négative. Par contre, on ne peut rien dire, a priori, du signe de l'intégrale d'une fonction changeant de signe sur [a, b].

3.2. Propriété Compatibilité avec l'ordre (intégration d'une inégalité) Si ¦ et g sont continues sur le segment [a, b] avec a  b alors :

¦  g sur [a, b] Þ

ò

b

b

ò g(t ) dt

¦ (t ) dt 

a

a

Démonstration : Étudions d'abord le cas où ¦ et g sont positives (on a donc 0  ¦  g sur [a, b]) : Notons pour toute fonction continue ¦ sur [a, b] : D(¦) = { M ( x, y) Î P tels que a  x  b et

0  y  ¦( x)}

et D = { M ( x, y) Î P tels que a  x  b

et ¦( x)  y  g ( x)}

y

C g D C ¦ D(¦)

a

O

b

x

Vu les hypothèses, on a la partition suivante : D( g ) = D(¦) C D

D'où : Calcul intégral.

ò

b a

g ( t ) dt =

ò

b a

¦ (t ) dt + Aire( D)

Page 9


ò

Et comme Aire( D) " 0, nous obtenons :

b a

¦ (t ) dt 

b

ò g(t) dt a

Étudions maintenant le cas où ¦ et g sont de signes quelconques sur [a, b].

¦  g sur [a, b]

On suppose toujours que :

Comme ¦ est continue sur [a, b], elle est bornée (et atteint ses bornes). Notons m le minimum de ¦ sur [a, b]. Ainsi les fonctions ¦ - m et g - m sont positives sur [a, b]. Il est clair que l'aire du domaine D compris entre les courbes de ¦ et de g est égale à celle du domaine compris entre les courbes translatées de ¦ - m et g - m : Aire( D) =

ò

b

g ( t ) dt -

a

ò

b a

ò

On en déduit, là encore que :

¦ (t ) dt =

b a

ò

¦ (t ) dt 

b a

( g (t ) - m) dt -

ò

b a

(¦(t ) - m) dt

b

ò g(t) dt a

Exemple : 1. Démontrer que pour tout réel t Î !+ : 1  1 1 + t

1 - t  2. En déduire que pour tout x Î !+ : x -

x

2

2

 ln(1 + x)  x

Solution : 1 - t 2  1  1 + t

1. Comme t Î !+, on peut écrire :

(1 - t )(1 + t )  1  1 + t Et en divisant par 1 + t > 0 :

1  1 1 + t

1 - t 

2. Soit x Î !+. En intégrant, entre 0 et x, l'encadrement ci-dessus, on obtient :

ò

x

0

(1 - t ) dt 

ò

1 dt  0 1 + t x

ò

x

0

1d t

1 entre les points d'abscisses 0 et x est la même 1 + t (via une translation) que celle sous la courbe de la fonction inverse entre les points d'abscisses 1 et x + 1. Or, l'aire sous la courbe représentant la fonction t a

D'après le résultat obtenu lors de la quadrature de l'hyperbole, on a :

ò

1 dt = 0 1 + t x

ò

x +1

1

1

t

dt = ln( x + 1)

loin des techniques plus pratiques

Par ailleurs, on calcule facilement :

ò D'où :

Calcul intégral.

Naturellement, nous verrons plus

x

0

(1 - t )dt = x x-

x

2

2

x

pour calculer ces intégrales à l'aide

2

2

et

ò

x

0

1d t = x

des fonctions primitives.

 ln(1 + x)  x

Page 10


3.3. Propriété Inégalité triangulaire Soit ¦ une fonction continue sur un segment [a, b] (a  b).

ò

Alors :

b

¦(t ) dt 

a

ò

b

¦(t ) dt

a

Démonstration :

-|¦|  ¦  |¦| sur [a, b]

On a toujours :

En intégrant les inégalités entre a et b (a  b), on obtient :

-

ò

b

¦(t ) dt 

a

ò

D'où :

b

ò

b

ò

¦ (t ) dt 

a

¦(t ) dt 

a

ò

b

b

¦(t ) dt

a

¦(t ) dt

a

3.4. Propriété Relation de Chasles Soit ¦ une fonction continue sur un segment I . Soient a, b et c dans I .

ò

Alors :

b a

¦ (t )dt =

ò

c a

b

ò

¦ (t ) dt +

c

¦ (t ) dt

Démonstration : r r

Notons P le plan muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ). Pour tous réels a et b de I , on note : D(a, b) = { M ( x, y) Î P , a  x  b

et y compris entre 0 et ¦( x)}

( D(a, b) est le domaine délimité par la courbe de ¦, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations respectives x = a et x = b)

Distinguons plusieurs cas : Cas a  c  b : D(a, b) = D(a, c) C D(c, b)

Dans ce cas, on a :

( C : union disjointe)

En passant aux aires, on obtient : Aire( D(a, b)) = Aire( D(a, c)) + Aire( D(c, b))

ò

D'où :

b a

¦ (t )dt =

ò

c a

b

ò

¦ (t ) dt +

Autres cas : ils se déduisent du précédent à l'aide de la relation

c

ò

a b

¦ (t ) dt ¦ (t ) dt = -

ò

b a

¦(t ) dt .

Pour mémoire, démontrons l'un de ces autres cas, par exemple a  b  c. D'après la relation de Chasles (cas précédent), on peut écrire :

ò D'où :

Calcul intégral.

ò

b a

¦ (t )dt =

c a

ò

¦ (t ) dt =

c a

¦ (t ) dt -

ò ò

b a c b

¦ (t )dt + ¦ (t ) dt =

Page 11

ò ò

c b c

a

¦ (t ) dt

¦(t ) dt +

ò

b c

¦ (t ) dt


Remarques : Cette relation de Chasles sera utilisée dans les deux sens (comme sa cousine pour les vecteurs), soit pour décomposer une intégrale en deux (ou plus) soit pour regrouper plusieurs intégrales en une seule. La relation de Chasles admet une généralisation par récurrence :

ò

Pour tout a0, a1, ..., an dans I :

an a0

n -1

¦ (t ) dt =

åò i =0

ai+1

¦ (t ) dt

ai

Exemple d'utilisation de la relation de Chasles : divergence de la série harmonique. n

On pose, pour tout n Î # :

å 1k

=

un

k =1

1

Soit n " 2. Comme l'application t a

t

est décroissante sur ]0 ; +¥[, on a, pour tout k " 1:

ò

k +1

1

k

t

dt 

1 k

En sommant, pour k allant de 1 à n, la relation de Chasles donne :

ò

n +1

1

1 t

n

dt 

La méthode ci-contre est

1

å k

une des plus efficace

k =1 n

pour

la

divergence vers +¥ de la

1

å k

ln(n + 1) 

prouver

série harmonique.

k =1

Or, lim ln( n + 1) = +¥, donc, par comparaison, la suite (un) diverge. n ®+¥

3.5. Propriété Compatibilité avec l'addition Soient ¦ et g deux fonctions continues sur un segment [a, b]. Alors :

ò Démonstration

b a

( ¦ (t ) + g (t) ) d t =

ò

b a

¦ (t ) dt +

b

ò g(t) dt a

(Hors programme)

C'est un cas particulier de la linéarité de l'intégrale et c'est très délicat à prouver. Nous aurons besoin de deux lemmes importants sur les fonctions en escalier.

Lemme 1 Propriété de compatibil ité avec l'addition pour les fonctions en escaliers Soient j et y deux fonctions en escaliers sur un segment [a, b]. Alors :

ò

b a

( j(t ) + y(t) ) d t =

ò

b a

j(t ) dt +

ò

b a

y(t ) dt

Démonstration (Hors programme) Il existe donc un entier m Î #* et des réels a0, ..., am vérifiant : a = a0 < a1 < ... < am

et tels que : Calcul intégral.

=b

"k Î 0, m - 1!, j est constante sur ]ak , ak +1[ Page 12


De même, il existe un entier n Î #* et des réels b0, ..., bn vérifiant : a = b0 < b1 <

... < bn = b

"k Î 0, n - 1!, y est constante sur ]bk , bk +1[

et tels que :

Notons s1 = {a0 ; ... ; am}, s2 = {b0 ; ... ; bn} et s = s1 È s2. La subdivision s contient au maximum m + n + 2 abscisses distinctes et au minimum 2. Notons c0, ..., cr les éléments ordonnés de cette subdivision s (1  r  m + n + 1). Ainsi j et y sont des constantes (notées lk et mk respectivement) sur chaque intervalle ]ck , ck +1[ (0  k  r - 1). On a alors :

ò

b a

r -1

( j(t ) + y(t) ) d t =

å

r -1

(l k + mk ) ( ck +1 - ck ) =

k = 0

å

r -1

l k ( ck +1 - ck ) +

k = 0

å

m k ( ck +1 - ck ) =

k = 0

ò

b a

j(t ) dt +

ò

b a

y(t ) dt

(On a utilisé la propriété suivante : l'intégrale d'une fonction en escalier e est indépendante de la subdivision adaptée à e)

Lemme 2 Soit ¦ une fonction continue sur un segment [a, b]. Soit e Î !+. Il existe des fonctions en escaliers j et y telles que :

j  ¦  y sur I et y - j  e sur I Démonstration (Hors programme) Pour tout n Î #*, on définit une subdivision régulière {a0, a1, ..., an} du segment [a, b] par : b - a

"k Î 0, n!, ak = a + k

n

Comme ¦ est continue sur [a, b], elle l'est aussi sur chacun des segments [ak , ak +1] (0  k  n - 1), donc y est bornée, ce qui permet de définir : M k =

sup

¦ (t )

et

tÎ[ ak , ak +1 ]

mk =

inf

tÎ[ ak , ak +1 ]

¦ (t )

On définit alors des applications en escalier j et y sur [a, b] par :

"k Î 0, n - 1!, "t Î [ak , ak +1], j(t ) = mk et y(t ) = M k j(b) = mn-1 et y(b) = M n-1

et :

j  ¦  y sur [a, b]

Ainsi, on a bien :

Par ailleurs, ¦ étant continue sur le segment [a, b], elle y est uniformément continue (théorème de Heine) :

"e Î ! *+ , $h Î ! *+ , "( x, y) Î [a, b]2, (| x - y|  h Þ |¦( x) - ¦( y)|  e) Soit h le réel obtenu pour le réel e fixé dans les hypothèses. b-a

On sait que le pas de la subdivision est :

n

Soit k Î 0, n - 1! et ( x, y) Î [ak , ak +1]. On a donc : |x - y|  ak +1 - ak 

b-a n

Choisissons un pas plus fin que h, obtenu pour les entiers n qui vérifient : Calcul intégral.

Page 13


æ b - a ö + 1 ÷ è h ø

n " E ç

|x - y|  h

Ainsi : De la continuité uniforme de ¦, on déduit :

|¦( x) - ¦( y)|  e

Cette dernière inégalité étant valable pour tous x et y de [ak , ak +1]. En particulier pour un x tel que ¦( x) = M k et un y tel que ¦( y) = mk (existent bien car ¦ atteint ses bornes) : M k - mk  e

y - j  e sur chaque [ak , ak +1] et donc sur [a, b]

D'où

Fin de la démonstration du lemme 2. Prouvons maintenant la propriété de compatibilité avec l'addition : Soit e Î ! *+ . D'après le lemme, il existe j1, j2, y1 et y2 en escaliers sur [a, b] telles que :

e e et y2 - j2  sur [a, b] 2 2 j = j1 + j2 et y = y1 + y2

j1  ¦  y1, j2  g  y2, y1 - j1  Posons :

j et y sont alors des fonctions en escalier (ce n'est pas très difficile à prouver en considérant une subdivision adaptée à la fois à j1 et j2 (pour j) ou y1 et y2 (pour y) ; il suffit pour cela de considérer la réunion des points de chacune des deux subdivisions)

j  ¦ + g  y et y - j  e

Ainsi on a évidemment :

De plus, d'après la propriété d'intégration d'une inégalité :

ò

b a

ò

( ¦ (t ) + g ( t) ) d t 

b a

ò

Y (t ) dt 

b a

j(t ) + e dt

Et comme l'intégrale des fonctions en escaliers est compatible avec l'addition :

ò

b a

j(t ) + e dt =

ò

b a

j(t ) dt + e(b - a)

D'après le lemme 1, comme j est la somme des fonctions en escalier j1 et j2 :

ò ò

D'où :

b a

b a

( ¦ (t ) + g ( t) ) d t 

b

ò

j(t ) dt =

ò

j1 (t ) dt +

a b a

j1 (t ) dt +

ò ò

b a b a

j2 (t ) dt j2 (t ) dt + e(b - a)

Et d'après la propriété d'intégration d'une inégalité, il vient finalement :

ò

b a

( ¦ (t ) + g ( t) ) d t 

ò

b a

¦ (t ) dt +

b

ò g(t) dt + e(b - a) a

Par des arguments du même genre :

ò

b a

¦ (t ) dt +

ò

b a

g ( t ) dt 

ò

b a

y1 (t ) dt +

ò

b a

y 2 (t ) dt 

ò

b a

y(t ) dt 

ò

b a

j(t ) dt + e(b - a) 

ò

b a

( ¦ (t ) + g (t) ) d t + e(b - a)

En faisant tendre e vers 0 dans les deux inégalités, on obtient finalement :

ò

b a

( ¦ (t ) + g (t) ) d t =

ò

b a

¦ (t ) dt +

b

ò g(t) dt a

D'autres propriétés seront évoquées plus loin après le paragraphe 4 sur les primitives. Calcul intégral.

Page 14


4. Notion de primitive d'une fonction sur un intervalle 4.1. Définition Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I . On appelle primitive de ¦ sur I toute fonction F dérivable sur I telle que F' = ¦ sur I . Exemple : On considère la fonction ¦ définie sur ! par : ¦( x) = 3 x 2 - 2 x + cos x Trouver (mentalement) une primitive F de ¦ sur !. La fonction F définie ci-après convient :

F ( x) = x

3

- x 2 + sin x

En effet, pour tout x Î !, la fonction F est dérivable (comme somme de fonctions qui le sont) et on a : F' ( x) =

3 x 2 - 2 x + cos x = ¦( x)

Remarquons que si l'on avait choisi pour F la fonction définie par F ( x) = x 3 - x 2 + sin x + 24, nous aurions encore eu une candidate satisfaisante. Donc si une fonction ¦ admet une primitive, alors elle en admet une infinité. Remarque : la définition reste valable si I est une partie (non vide) de !.

4.2. Théorème Soit ¦ une fonction admettant des primitives sur un intervalle I . Soient F et G deux primitives d'une fonction ¦ sur un intervalle I . Alors F et G diffèrent d'une constante : F ( x) = G( x) + c (c Î !) pour tout x Î I

Démonstration : Puisque F et G sont des primitives de ¦ sur I , on a : F' = G' = ¦ sur I F' - G' = 0 sur I

Par conséquent :

Or, F' - G' = ( F - G)' (c'est la linéarité de la dérivation). ( F - G)' = 0 sur I

Donc :

Or, les seules fonctions qui ont une dérivée nulle sont les fonctions constantes(1), donc on a, sur I , : F - G = c

où c est une constante. y C F C G

Graphiquement, dans un repère orthonormal

c

r r

(O ; i , j ) les représentations graphiques C F et C G se correspondent par une translation de r

vecteur c j .

(1)

® j

O

® i

a

b

x

Ce résultat (qui a été admis en classe de première) se démontre à l'aide du théorème des accroissements finis.

Calcul intégral.

Page 15


4.3. Tableau des primitives usuelles Les résultats de ces tableaux s'établissent en vérifiant que l'on a bien F' = ¦ sur l'intervalle considéré. Fonction ¦

Fonction primitive F (c = constante)

Intervalle I

¦( x) = k (constante)

F ( x) = kx + c

!

F ( x) =

¦( x) = ax + b *

¦( x) = x (n Î $ et n ¹ -1) n

¦( x) = ¦( x) =

!

1 2 a x + bx + c 2

!

F ( x) =

1

x n +

1

F ( x) = -

2

1

n +1

F ( x) = 2

x

x

1 2 x +c 2

F ( x) =

¦( x) = x

+c

! si n > 0 ;

]-¥ ; 0 [ ou ]0 ; +¥[ si n  -2 ]0 ; +¥[

x + c

1 x

+c

]-¥ ; 0[ ou ]0 ; +¥[

¦( x) = cos x

F ( x) = sin x + c

!

¦( x) = sin x

F ( x) = -cos x + c

!

F ( x) = tan x + c

ù p + k p ; p + (k + 1) pé (k Î $) úû 2 êë 2

¦( x) = 1 + tan 2 x =

1 cos2 x

1 sin(wt + j) + c w

¦(t ) = cos(wt + j) (w ¹ 0)

F (t ) =

¦(t ) = sin(wt + j) (w ¹ 0)

F ( t ) = -

¦( x) = e x ¦( x) =

1 cos(wt + j) + c w

F ( x) = e x

1

!

!

+c

!

F ( x) = ln x + c

x

]0 ; +¥[

Exemples : trouver une primitive :

p p · Fonction g définie sur I = ùú - ; éê par : û 2 2ë Posons :

g ( x) = tan 2 x

tan2 x représente (tan( x))2.

h( x) = g ( x) + 1 = 1 + tan2 x

Une primitive H de h sur I est définie par : H ( x) = tan x = x + G( x) où G est une primitive de g sur I

D'où :

G( x) = H ( x) - x = tan x - x

p · Fonction ¦ définie sur J = ùú 0 ; éê par : û 2ë Calcul intégral.

Page 16


¦( x) = 2 sin(3 x) - 3cos(2 x) + 4 + tan 2 x -

3 x

+

2 x 2

Une primitive F de ¦ sur J est définie par : F ( x) = -

2 3 2 cos(3 x) - sin(2 x) + 3 x + tan x - 6 x - (+ c) x 3 2

4.4. Opérations sur les primitives OPÉRATIONS SUR LES PRIMITIVES lorsque u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I Fonction

Une primitive

u' + v'

u+v

ku' (k :

constante)

u' u n (n Î $ et n ¹

ku un+

-1)

v¢

-

2

eu

u ¹ 0 sur I si n  0

u > 0 sur I

2 u

u

u'

1

n +1

u¢

v

Conditions

1

v ¹ 0 sur I

v

eu

u¢ u

ln u ln(-u)

u' (v' o u)

v o u

si u > 0 sur I si u < 0 sur I

Exemple : Trouver une primitive F de la fonction ¦ définie sur ]0 ; +¥[ par :

¦( x) =

ln x x

1 La fonction ¦ est de la forme u' u. Donc F est de la forme u 2 : 2 F ( x) =

1 (ln x)2 (+ c) 2

Exercice : Soit F la fonction définie sur ]0 ; +¥[ par :

F ( x) =

2 x x 3

Calculer F' ( x). Qu'a-t-on démontré ?

Calcul intégral.

Page 17


4.5. Théorème Primitive définie par une condition initiale Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I admettant des primitives sur I . Soient x0 Î I et y0 Î !. Il existe une unique primitive F de ¦ sur I satisfaisant la condition initiale F ( x0) = y0. Démonstration : Soit G une primitive de ¦ sur I (existe par hypothèse). D'après le théorème 4.2., toutes les primitives F de ¦ sur I sont de la forme F = G + c (où c est une constante) La condition F ( x0) = y0 impose c = y0 - G( x0). La constante c est déterminée de manière unique, ce qui démontre le théorème. Exemple : Soit ¦ la fonction définie sur ! par :

x

¦( x) =

x 2

+1

Trouver l'unique primitive F de ¦ sur ! telle que F (0) = 2. 2 x Remarquons que ¦( x) peut s'écrire : ¦( x) = 2 x 2 + 1 On reconnaît l'expression dérivée de x 2 + 1 . Les primitives F de ¦ sur I sont de la forme : F ( x) = x 2 + 1 + c La condition initiale F (0) = 2 s'interprète par 02 + 1 + c = 2 d'où c = 1. Conclusion : la primitive cherchée est la fonction F définie par F ( x) = x 2 + 1 + 1.

Remarque : une question légitime qui se pose dans ce paragraphe est la suivante : une fonction admet-elle toujours des primitives ? La réponse est non en général. Cependant si notre fonction est continue... Eh bien c'est ce que nous allons voir dans le paragraphe suivant.

5. Théorème fondamental du calcul intégral. Formule de Newton-Leibniz Nous allons voir maintenant le théorème fondamental du calcul intégral qui aura pour conséquence que toute fonction continue admet des primitives. 5.1. Théorème Soit ¦ une fonction continue sur un intervalle I . Soit x0 Î I . La fonction F définie sur I par F ( x) =

ò

x

x0

¦ (t )dt

est l'unique primitive de sur I s'annulant en x 0. Autrement dit : F ( x0) = 0, F est dérivable sur I et pour tout réel x Î I : F' ( x) = ¦( x)

Démonstration

(Hors programme)

Le fait que F ( x0) soit nul est une banalité. Calcul intégral.

Page 18


F ( x) - F ( x1 )

Soit x1 Î I . Nous allons montrer que l'accroissement moyen

x - x1

admet une limite lorsque x tend vers

x1 et que cette limite est précisément ¦( x1).

Évaluons : F ( x) - F ( x1 ) x - x1

1 x - x1

- ¦( x1 ) =

ò

x

x0

¦ (t ) d t -

ò

x1 x0

¦(t) d t - ( x - x1 ) ¦( x1)

En utilisant la relation de Chasles et la formule d'intégration pour une fonction constante, on peut écrire : F ( x) - F ( x1 ) x - x1

- ¦( x1 ) =

1 x - x1

ò

x

¦ (t ) d t -

x1

ò

x x1

¦( x1 )d t

Mais d'après la propriété de compatibilité avec l'addition :

ò

x

x1

D'où :

¦ (t ) dt -

F ( x) - F ( x1 ) x - x1

x

ò

x1

¦( x1 ) dt =

- ¦( x1 ) =

ò

x

( ¦ (t ) - ¦ ( x1) ) d t

x1

1 x - x1

ò

x

x1

( ¦ (t ) - ¦( x1) ) d t

Et d'après l'inégalité triangulaire : F ( x) - F ( x1 ) x - x1

- ¦( x1 ) 

1 x - x1

ò

x

x1

¦(t ) - ¦( x1 ) dt

Or, ¦ est continue en x1 donc admet une limite finie en x1. Cela signifie que tout intervalle ouvert et centré en

¦( x1) contient toutes les valeurs de ¦(t ) pour t assez proche de x1 : Soit e Î ! *+ et I = ]¦( x1) - e, ¦( x1) + e[. Alors, il existe un réel h tel que pour tout t Î ] x1 - h, x1 + h[, on ait :

¦(t ) Î ]¦( x1) - e, ¦( x1) + e[ |¦(t ) - ¦( x1)| < e

C'est-à-dire : D'où :

F ( x) - F ( x1 ) x - x1

- ¦( x1 )

e

Comme e peut être choisi aussi petit que voulu, on a bien : lim

x ® x1

F ( x) - F ( x1 ) x - x1

= ¦( x1)

F' ( x1) = ¦( x1)

Donc, F est dérivable en x1 et :

Et comme ce raisonnement est valable pour tout x1 Î I , F est bien une primitive de ¦ sur I . Remarque : dans le cas où ¦ est une fonction croissante sur I , il existe une démonstration plus simple (cette

démonstration est au programme et fait partie des connaissances exigibles) : Soit x1 Î I fixé. Nous allons montrer que l'accroissement moyen

F ( x) - F ( x1 ) x - x1

admet une limite lorsque x tend

vers x1 et que cette limite est précisément ¦( x1). Cas 1 : soit x Î I avec x > x1. Pour tout t Î I tel que x1  t  x, la croissance de la fonction ¦ nous permet d'écrire :

¦( x1)  ¦(t )  ¦( x) En intégrant cet encadrement entre x1 et x, nous obtenons : Calcul intégral.

Page 19


¦( x1)( x - x1) 

ò

x

x1

¦ (t ) dt  ¦( x)( x - x1)

Or, d'après la relation de Chasles :

ò

x

x1

¦(t ) dt =

x0

ò

x1

¦ (t )dt +

x

ò

¦ (t ) dt =

x0

ò

x

x0

¦ (t )dt -

ò

x1

x0

¦ (t ) dt = F ( x) - F ( x1)

Puisque x > x1, on peut donc écrire : F ( x) - F ( x1 )

¦( x1)  Comme ¦ est continue en x1 :

x - x1

 ¦( x)

lim ¦( x) = ¦( x1)

x ® x1 x > x1

D'où, par le théorème des gendarmes : F ( x) - F ( x1 )

lim

x - x1

x ® x1 x > x1

= ¦( x1)

Cas 2 : soit x Î I avec x < x1. Pour tout t Î I tel que x  t  x1, la croissance de la fonction ¦ nous permet d'écrire :

¦( x)  ¦(t )  ¦( x1) En intégrant cet encadrement entre x et x1, nous obtenons :

¦( x)( x1 - x) 

x1

ò

x

¦(t ) dt  ¦( x1)( x1 - x)

Or, d'après la relation de Chasles :

ò

x1

x

¦(t ) dt =

ò

x0

x

¦ (t ) dt +

ò

x1

x0

¦ (t ) dt =

ò

x1

x0

¦ (t ) dt -

ò

x

x0

¦ (t )dt = F ( x1) - F ( x)

Puisque x1 > x, on peut donc écrire :

¦( x)  Comme ¦ est continue en x1 :

F ( x1 ) - F ( x) x1 - x

 ¦( x1)

lim ¦( x) = ¦( x1)

x ® x1 x < x1

D'où, par le théorème des gendarmes : lim

F ( x) - F ( x1 )

lim

F ( x) - F ( x1 )

x ® x1 x < x1

Bilan : on a bien :

x ® x1

x - x1

x - x1

= ¦( x1) = ¦( x1)

Ceci étant valable pour tout x1 Î I . Donc la fonction F est dérivable sur I et pour tout x Î I : F' ( x) = ¦( x)

Calcul intégral.

Page 20


Ce théorème admet les corollaires fondamentaux suivants : 5.2. Corollaire 1 Existence de primitives pour les fonctions continues Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I . Démonstration C'est immédiat car si ¦ désigne une fonction continue sur I , une primitive F de ¦ sur I est donnée par : F ( x) =

ò

x

x0

¦ (t ) dt ( x0 Î I )

Question : une fonction non continue ¦ peut-elle admettre des primitives sur ses intervalles de continuité ? Réponse 1 : oui si ¦ est continue par morceaux : 1

ì1 si x " 0 Par exemple : ¦( x) = í î- 1 sinon

-1

Sur [0 ; +¥[, ¦ admet des primitives F + de la forme : F +( x) = x + c+. Sur ]-¥, 0[, ¦ admet des primitives F - de la forme : F -( x) = - x + c-. Notons que l'on peut très bien choisir c+ ¹ c-.

ì x + c+ si x " 0 On peut alors construire une fonction F sur ! qui est continue par morceaux : F ( x) = í î- x + c- sinon C F + C F -

c+

c-

On peut même s'arranger pour que F soit continue, il suffit de recoller les morceaux en choisissant c+ = c-. Cependant, F n'est pas une primitive de ¦ sur ! car non dérivable en 0. Réponse 2 : non si ¦ admet une infinité de discontinuités : Par exemple :

ì1 si x Î% ¦( x) = í î0 si x Î! \ %

5.3. Corollaire 2 Formule de Newton-Leibniz Soit ¦ une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de ¦ sur I . Alors pour tous a et b dans I :

ò

b a

¦ (t ) dt = F (b) - F (a)

Démonstration Soit x0 Î I et G la primitive de ¦ définie par : G( x) =

ò

x a

¦ (t )dt

On sait que deux primitives F et G diffèrent d'une constante. Donc il existe un réel k tel que pour tout x de I : F ( x) = G( x) + k

On a alors :

F (b) - F (a) = G(b) - G(a) =

ò

b a

¦ (t ) dt

Notation : la quantité F (b) - F (a) se note très souvent [ F (t )] ab (c'est commode dans la pratique). Calcul intégral.

Page 21


Exemples :

· · · ·

ò ò ò

1

2 1 p 2 p 2

x

2

2

1 1 é 1ù d x = ê- ú = - + 1 = 2 2 ë x û1

p æ p ö cos t dt = [ sin ] = sin - sin ç - ÷ = 2 è 2 ø 2 p t 2 p 2

1

1

et dt = éëet ùû 0 = e - 1 0 1

t 1

ò e dt = éëe ùû t

= e - e x x

x

· ·

·

·

x

1

1

t

ò

1

ò x

dt = [ ln t ]1x = ln x - ln 1 = ln x 1

n

0

é x n + 1 ù dx = ê ú = + 1 n ë û0

ò

x

1

1

t n

ò

1 dt = 2 x ln x

dt =

ò

x

x

1

e

1 n +1

t

ò

-n

é t 1- n ù 1 é 1 dt = ê - 1ùú ú = ê n -1 û ë 1 - n û1 1 - n ë x 1

e

x dt = [ ln(ln t )]e2 = -ln(ln 2 ln x

2)

Commentaires : Le choix de la primitive F choisie n'influe pas le résultat de l'intégrale. En effet, si F et G sont deux primitives d'une même fonction ¦ sur I , alors elles différent d'une constante. Les quantités F (b) - F (a) et G(b) - G(a) sont donc égales.

Application de la formule de Newton-Leibniz : une démonstration de l'inégalité des accroissements finis : Soit ¦ une fonction dérivable sur un intervalle I telle que ¦' soit continue sur I . S'il existe un réel M tel que |¦ ' |  M sur I alors : pour tous réels a et b de I , on a : |¦(b) - ¦(a)|  M |b - a| Pour a < b, on a : |¦(b) - ¦(a)| =

ò

b

a

¦ ¢(t ) dt



¦¢(t ) dt



b

ò ¦¢(t ) dt  M (b - a)  M |b - a| a

Pour a > b, on a : |¦(b) - ¦(a)| =

ò

a

b

ò

a

b

¦¢(t ) dt  M (a - b)  M |b - a|

Remarque : la démonstration traditionnelle de l'inégalité des accroissements finis (en étudiant les variations des fonctions x

a ¦( x) - Mx

Calcul intégral.

et x

a ¦( x) + Mx) permet de se passer de la condition "¦' continue

Page 22

sur I ".


5.4. Propriété Linéarité de l'intégrale Soient ¦ et g deux fonctions continues sur un segment [a, b] et k un réel. Alors :

ò

b a

( ¦(t ) + g( t ) ) dt =

ò

b

¦ (t ) dt +

a

ò

b

g ( t ) dt

et

a

ò

b

ò

b

k ¦ (t ) dt = k

a

¦ (t ) dt

a

Démonstration : La première égalité a déjà été démontrée (compatibilité avec l'addition) La deuxième, qui n'a encore jamais été utilisée dans les démonstrations précédentes se prouve facilement avec la formule de Newton-Leibniz. Soit F une primitive de ¦ sur [a, b]. Alors, une primitive de k ¦ est kF d'où :

ò

b

ò

k ¦ ( t ) dt = kF (b) - kF (a) = k [ F (b) - F (a)] = k

a

b

¦(t ) dt

a

Exemple :

ò

I =

Calculer :

1 3

I =

Il suffit d'écrire, par linéarité :

1 0

e3 x d x

1

ò 3e

3 x

0

d x

Comme une primitive de x a 3 e3 x sur [0, 1] est x a e3 x , nous avons : I =

1 3 x 1 e3 - 1 ée ù = 3 ë û0 3

Exercice simple : On considère la fonction ¦ définie sur ]0 ; +¥[ par : ¦( x) = - x + 5 - 2

ln x x

. On note C ¦ son graphe.

1. Démontrer que C ¦ admet une asymptote oblique D en +¥ dont on précisera son équation ainsi que sa position par rapport à C ¦. 2. Étudier les variations de ¦. (On étudiera le signe de g : x a - x 2 - 2 + 2ln x) 3. Calculer une primitive F de ¦ et déterminer l'aire A (en u.a.) du domaine : {( x ; y) tels que 1  x  e et ¦( x)  y  - x + 5}

[

]

e

(Réponse : ( ln x ) 2 = 1) 1

6. Parité et périodicité 6.1. Théorème (Parité) Soit ¦ une fonction continue sur un intervalle symétrique [-a, a].

· Si ¦ est paire alors : · Si ¦ est impaire alors :

Calcul intégral.

ò

a

-a

¦ (t ) dt = 2

ò

a

-a

ò

a

0

¦ (t ) dt

¦ (t ) dt = 0

Page 23


6.2. Théorème (Périodicité) Soit ¦ une fonction continue sur ! et T- périodique. Alors, pour tout réel a : a + T

ò

ò

¦(t ) dt =

a

T

0

¦ (t ) dt

Démonstrations : Relation de Chasles puis changement de variable ( x = -t ) pour la parité. Périodicité : encore d'après la relation de Chasles :

ò

a + T

ò

¦(t ) dt =

a

0

¦ (t ) dt +

a

ò

T

0

¦ (t ) dt +

En posant u = t - T , dans la troisième intégrale, on obtient (du = dt ) : Et comme ¦ est T- périodique : ¦(u + T ) = ¦(u) pour tout u, d'où Et finalement :

ò

a + T

¦(t ) dt =

a

ò

0

¦ (t ) dt +

a

ò

Exemple :

1

x

-1

92

ò

T

0

¦ (t ) dt +

27 ( cos x) sin x

(

x 2

+ 1)

28

ò ò

a

0 a

0

ò ò

a + T

¦(t ) dt

T a + T

¦(t ) dt =

T

¦ ( u + T ) du = ¦(u) du =

ò

T

0

ò

a

0

ò

a

0

¦ ( u + T ) du

¦ ( u) d u

¦ (t ) dt

x dx = 0

7. Valeur moyenne d'une fonction sur un segment [a , b ] Introduction : supposons que l'on veuille niveler un terrain dont le profil n'est pas horizontal (de sorte que les remblais compensent exactement les déblais). Comment procéder ? C ¦

a

b

Notons ¦ la fonction représentant le profil. On cherche dont une constante m vérifiant :

m(b - a) = On a donc :

Calcul intégral.

m=

1 b-a

ò ò

b a b

¦(t ) dt ¦(t ) dt

a

Page 24


7.1. Définition Soit ¦ une fonction continue sur un segment I = [a, b]. On appelle valeur moyenne de ¦ sur l'intervalle I le nombre réel m défini par : b 1 m= ¦ (t ) dt b-a a On note souvent ¦ au lieu de m.

ò

Exemple : Soit ¦ le signal sinusoïdal 2p- périodique défini par : ¦(t ) = sin t . Calculer la moyenne ¦ sur [0, 2p] ainsi que la moyenne quadratique ¦ 2 sur [0, 2p]. 1 2p sin t dt = 0 ¦= 2p 0 2 1 2p 2 1 2p 1 1 2p ¦2 = sin t dt = 1 - cos(2t ) dt = [ t ] 0 = d'où ¦ 2 = 2p 0 4p 0 4p 2 2

ò

ò

ò

Lien avec l'électricité : On appelle intensité efficace I eff d'un courant alternatif, l'intensité d'un courant continu (on devrait plutôt dire "constant") qui produirait, à travers la même résistance R, le même effet calorifique pendant la durée d'une période T . Dans le cas d'un courant de type sinusoïdal : si I (t ) = I max sin(wt ) est l'intensité du courant à l'instant t du courant alternatif, la loi de Joule donne :

ò

2

E (T ) = R I eff T =

D'où :

2

I eff =

1

ò

T

T 0

2

I max sin

2

(wt ) dt =

2

I max 2T

ò

I max =

D'où la relation :

T

0

RI

2

(t ) dt

T

0

1 - cos(2wt ) dt =

2 I 2 I max T [ t ] 0 = max 2T 2

2 I eff

7.2. Théorème (inégalité de la moyenne)

Une fonction continue sur un

Soit ¦ une fonction continue sur un intervalle I = [a, b].

intervalle [a, b] est toujours

Soit m et M des réels tels que : Alors :

m  ¦  M sur I m(b - a) 

ò

b

¦ (t ) dt  M (b - a)

bornée (et de plus atteint ses bornes). Les réels m et M cicontre existent donc toujours.

a

Le nom de ce théorème est légitime, en effet, on peut le reformuler ainsi : si m  ¦  M alors m  m  M . Démonstration : il suffit d'intégrer l'inégalité m  ¦  M sur [a, b]. Exemple : à l'aide de l'inégalité de la moyenne, on peut retrouver l'inégalité : x + 1  e x

pour tout x Î !

Soit x Î !+. Comme la fonction exponentielle est croissante sur [0 ; x], on a pour tout t Î [0 ; x] : 1  e t  e x Et d'après l'inégalité de la moyenne appliquée à la fonction ¦ : t a e t sur l'intervalle [0 ; x] : x 

ò

x

0

et dt  x e x

x  e x - 1  x e x

Calcul intégral.

Page 25


D'où, pour tout x Î !+ :

x + 1  e x

Si maintenant x est un réel négatif, on a pour tout t Î [ x ; 0] : e x  e t  1

Et d'après l'inégalité de la moyenne :

- x e x

ò



0

x

et dt  - x

1 - e x  - x D'où, pour tout x Î !- :

x + 1  e x

Bilan : on a bien, pour tout réel x :

x + 1  e x

Comme le théorème de l'inégalité des accroissements finis, on a une version avec valeurs absolues : 7.2. bis. Théorème (inégalité de la moyenne) Soit ¦ une fonction continue sur un intervalle I = [a, b]. Si |¦|  M sur I alors

b

ò ¦(t ) dt  M |b - a| a

Démonstration : D'après la première version, on a : La distance entre

ò

b

- M (b - a) 

ò

b

¦ (t ) dt  M (b - a)

a

¦ (t ) dt et 0 est donc inférieure à celle entre M (b - a) et 0 d'où :

a b

ò ¦(t ) dt  M |b - a| a

Notons que ce théorème peut se démontrer aussi avec l'inégalité des accroissements finis appliqu ée à la fonction F définie par

:

F ( x)

=

ò

x

¦ (t ) dt

a

Exemple : démontrer que pour tous réels x et y : |sin x - sin y|  | x - y| On applique l'inégalité de la moyenne à la fonction t a cos t sur l'intervalle [ x ; y] (si x  y) ou [ y ; x] sinon.

-1  cos t  1

Comme on a pour tout réel t : On obtient lorsque x  y :

ò

y

x

cos t dt  | y - x|

|sin y - sin x|  | y - x| Et lorsque y  x :

ò

x

y

cos t dt  | x - y|

|sin x - sin y|  | x - y| Ce qui est la même inégalité que celle obtenue pour x  y.

Calcul intégral.

Page 26


Exercice : démontrer la "première formule de la moyenne" Soient ¦ et g deux fonctions continues définies sur un intervalle [a, b] avec g positive. Alors

ò

Il existe c dans [a, b] tel que

b a

ƒ( x) g ( x) dx = ¦(c)

b

ò g( x) dx a

Comme ¦ est continue sur le segment [a, b], il existe des constantes m et M telles que : m  ¦  M sur [a, b] m g  ¦ g  M g sur [a, b]

Comme g est positive :

En intégrant cet encadrement entre a et b (a < b) : m

· Si

· Si

ò

b a

g ( x) dx 

ò

b a

b

ò g ( x) dx

ƒ( x) g ( x) dx  M

a

b

ò g( x) dx = 0, alors la formule de la moyenne est évidente (tout c de [a, b] convient) a

ò l=

b

ò g( x) dx ¹ 0, alors on pose :

b

ƒ( x) g ( x)d x

a

a

b

ò g ( x) dx a

Comme

b

ò g ( x) dx > 0 (puisque g l'est), on a : m  l  M a

Et d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c dans [a, b] tel que ¦(c) = l. D'où le résultat.

8. Intégration par parties On dit qu'une fonction ¦ est de classe C 1 sur un intervalle I si elle est dérivable sur I et si sa dérivée ¦ ' est continue sur I . 8.1. Théorème Soient u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a, b], alors :

ò

b a

b

u (t )v¢( t ) d t = [ u ( t )v ( t )] a -

ò

b a

u ¢(t )v( t) d t

Démonstration : on sait que pour tout t Î [a, b] : (uv)' (t ) = u' (t )v(t ) + u(t )v' (t )

ò

En intégrant de a à b :

b a

(u (t )v(t))¢ d t =

ò

b a

u ¢(t)v (t) + u( t) v¢( t) d t

Et d'après la linéarité de l'intégrale :

ò

b a

(u (t )v( t))¢ d t = b

[ u( t )v (t )] a =

ò

ò b

a

b a

u ¢(t ) v( t) d t +

u ¢(t )v( t) d t +

ò

ò b

a

b a

u( t )v¢( t ) d t

u( t )v¢( t ) d t

D'où le théorème.

Calcul intégral.

Page 27


Exemples : calculer I = On pose :

ò

1 0

te t dt et J ( x) =

x

ò ln t dt 1

u(t ) = t

v' (t ) = et

u' (t ) = 1

v(t ) = 1

1

[ ]0 - ò 0 e

I = t et

D'où :

t

dt = e - (e - 1) = 1

u(t ) = ln t

On pose :

u' (t ) =

et (à une constante près)

v' (t ) = 1

1

v(t ) = t (à une constante près)

t

On a déterminé ici une primitive de la fonction

x

J ( x) = [ t ln t ]1 -

D'où :

ò

x

1

logarithme.

dt = x ln x - ( x - 1) = x ln x - x + 1 z

9. Calcul de volumes r r r

Dans l'espace muni d'un repère orthogonal (O ; i , j , k ),

Section d'aire S ( z )

b

on considère un solide délimité par des plans

parallèles d'équation z = a et z = b. Si la fonction S qui,

z

à toute cote z associe l'aire de la section contenue dans r

le plan perpendiculaire à l'axe (O, k ) est continue sur [a ; b] alors le volume V du solide est donné par la

a

formule : V =

ò

b

S ( z) dz u.v.

a

O

(L'unité de volume est le volume du parallélépipède unité)

x

z

Exemples :

R

· Volume d'une sphère de rayon R : On a r 2 = R2 - z 2, d'où S ( z ) = p( R2 - z 2) V = p

ò

R

- R

R

2

2

- z dz = 2p

ò

R

0

R

R

2

-z

2

r

z

é z 3 ù dz = 2p ê R2 z - ú 3 û0 ë

O

æ 3 R3 ö 4 3 V = 2p ç R ÷ = p R u.v. ç 3 ÷ø 3 è

x z

· Volume d'un cône de hauteur h et de rayon de base R : S ( z ) = pr 2. D'après le théorème de Thalès : Donc S ( z ) = p R 2 V = p 2 h Calcul intégral.

ò

h

0

z

R h 2

2

2

r z = R h

r

z

z 2.

dz =

R

h

O

p R 2 h u.v. 3

x Page 28


10. Vrai ou faux ?

¦ et g désignent des fonctions continues sur les intervalles considérés.

ò

· Si

ò

· Si ·

ò

b

¦ (t ) dt 

a b

¦ (t ) dt =

a

ò

ò

b

g ( t ) d t alors ¦  g sur [a, b]

ò

(Faux :

a b

g ( t ) d t alors ¦ = g sur [a, b]

1 0

t dt 

ò

13 0

4

dt et pourtant t 

3 sur [0 ; 1] !) 4

(Faux : prendre ¦(t ) = t et g (t ) = -t sur [-1 ; 1])

a

2 x 2 e x

ln(1 + x 2 ) dt " 0 (Vrai : positivité) (1 + x 4 )

1

11. Quelques exercices

· · · · ·

ò

p 2 cos2 (t ) dt = 0

p 1 + cos( 2t ) (Linéariser : cos2 t = ) 2 4

ò

p 2 cos3 (t ) dt = 0

2 1 3 (Linéariser : cos3 t = cos(3t ) + cos(t )) 4 3 4

ò

3p 2

sin t dt = 2 (Utiliser Chasles :

p 2

I =

I n =

ò

p 2 e x 0

ò

1 sin x dx = 2

p 2 sin x n ( ) 0

ò

3p 2

p 2

=

ò

p p 2

ò

+

3p 2

p

ce qui permet de supprimer les valeurs absolues)

æ p ö ç e 2 - 1÷ (Intégrer deux fois par parties de façon à retomber sur l'intégrale I ) çè ø÷

dx et J n =

1

n

ò (t - 1) 2

-1

dt (intégrales de Wallis, voir complément 3)

Calculer I 0 et I 1. Établir une relation de récurrence entre I n+2 et I n. Calculer J 0. Établir une relation de récurrence entre J n+1 et J n. (On trouve I 0 =

p , I 1 = 1. Intégrer I n+2 par parties, en écrivant que sin n+2 x = sin n+1 x ´ sin x. On peut alors 2

exprimer I n+2 en fonction de I n. On trouve : I n+2 = en écrivant (t 2 - 1) trouve : J n+1 = -

n +1

n +1 n+2

I n. On trouve J 0

= 2. Puis on intègre J n+1 par parties,

n n 1 2 2 t ( t - 1) - (t - 1) . On peut alors exprimer J n+1 en fonction de J n. On 2

= 2t ´

2n + 2 J n) 2n + 3

· Trouver un réel a tel que Trouver un réel b tel que

ò ò

1

x

2

- a dx = 0.

x

4

- bx 2 dx = 0. (a =

-1 1

-1

· Étudier la limite suivante : lim

e® 0

ò

2e 1

e

t

1 3 et b = ) 5 3

dt . (On trouve ln 2 et non 0...)

· Soit n Î #. On considère la fonction I n définie pour x > 0 par : I n( x) =

ò

x

0

t n e - t dt .

On note I n = lim I n( x). x ®+¥

(On admettra que cette limite est réelle) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que I n+1 = (n + 1) I n. Calculer I 0 et en déduire, par récurrence, que I n = n! Calcul intégral.

Page 29


Complément 1 : intégrales de Riemann Soit a un nombre réel quelconque. Soit e > 0 et A > 1. On considère les intégrales suivantes : I a(e) =

ò

1

1 a

e t

dt et J ( A) = a

ò

1

A

dt

t a

1

Le but du problème est de déterminer :

· les valeurs de a pour lesquelles I a admet une limite finie lorsque e tend vers 0. · les valeurs de a pour lesquelles J a admet une limite finie lorsque A tend vers +¥. Étude de I 1. Étude du cas a = 1 a) Démontrer que I 1(e) = -ln e. b) En déduire lim I 1(e). e® 0

2. Étude du cas a ¹ 1 1 e1 - a a) Démontrer que : I a(e) = 1 - a 1- a b) En écrivant e 1- a = e (1-a ) ln e , déterminer les valeurs du réel a pour lesquelles e1- a admet une limite finie lorsque e tend vers 0. c) Conclure : I a admet une limite finie lorsque e tend vers 0 si et seulement si ............................ Remarque : on note dans ce cas

ò

1

1 0

a

t

dt cette limite et on a donc

ò

1

1 0

dt =

a

t

1 1- a

Étude de J 1. Étude du cas a = 1 a) Démontrer que J 1( A) = ln A. b) En déduire lim J 1( A). A ®+¥

2. Étude du cas a ¹ 1 a) Démontrer que : b) En écrivant A1-a

1 A - a

1 1- a 1 - a (1-a ) ln A , déterminer les valeurs du réel a pour lesquelles A1-a admet une limite =e J a( A)

=

-

finie lorsque A tend vers +¥. c) Conclure : I a admet une limite finie lorsque A tend vers +¥ si et seulement si ............................ Remarque : on note dans ce cas

ò

+¥ 1

1 a

t

dt cette limite et on a donc

ò

1

+¥

a

t

1

dt =

1 a -1

RÉSUMÉ

ò ò

1

1

0

t a

+¥ 1

dt existe si et seulement si a < 1. (On dit alors que l'intégrale 1 a

t

ò

dt existe si et seulement si a > 1. (On dit alors que l'intégrale

Calcul intégral.

Page 30

1

1 a

0 t

ò

+¥ 1

dt converge) 1 t a

dt converge)


Complément 2 : fonction On considère la fonction G définie pour tout réel x de ]0, +¥[ par :

G( x) =

ò

+¥

t x -1e - t dt

0

Dans tout ce qui suit x est un réel strictement positif fixé. 1. Justification de l'écriture

ò

+¥ 0

1 t x - e - t dt

a) Étude en 0. On considère la fonction I x définie pour tout e de ! *+ par : I x(e) =

1

òt

x - 1

e - t dt

e

i) Démontrer que pour tout réel t de [e ; 1], on a : 0  t x -1e - t 

1 t - x 1

ii) En déduire (en utilisant les résultats sur les intégrales de Riemann) que I x admet une limite finie lorsque e tend vers 0. On note

1

òt

x - 1

e - t dt cette limite.

0

. On considère la fonction J x définie pour tout réel X de ]1, +¥[ par :

b) Étude au voisinage de

J x( X ) =

ò

X

1

1 t x - e -t dt

i) Démontrer qu'il existe un réel A positif tel que pour tout réel t de [ A, +¥[ : 0  t x+1e-t  1 (On pourra utiliser le fait que lim t x+1e-t = 0) t ®+¥

En déduire que pour tout réel t de [ A, +¥[ : 0  t x -1e - t 

1 2

t

ii) On suppose ici que X " A. En écrivant J x( X ) = J x( A) +

ò

X

A

1 t x - e -t dt ,

démontrer (en utilisant les

résultats sur les intégrales de Riemann) que J x admet une limite finie lorsque X tend vers +¥. On note

ò

+¥ 1

1 t x - e - t dt cette limite.

Comme les intégrales

ò

bien définie et l'écriture

1 0

1 t x - e - t dt

ò

+¥ 0

et

ò

+¥ 1

1 t x - e - t dt a

1 t x - e - t dt

ont toutes les deux un sens, la fonction G est donc

bien un sens.

2. Propriétés de la fonction G a) Calculer G(1). b) À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : pour tout x > 0 :

G( x + 1) = xG( x) c) Démontrer, par récurrence, que pour tout n Î #* :

G(n) = (n - 1)! Calcul intégral.

Page 31


Complément 3 : intégrales de Wallis Il s'agit, pour n Î #, des intégrales suivantes : I n

=

ò

p 2

0

n

(cos t ) dt

ò

=

J n

p 2

0

ò

K n =

(sin t )n dt

1

-1

(1 - t 2 )n dt Ln =

ò

1

-1

(t 2 - 1)n dt

Calcul de I par IPP n

p

p On a immédiatement : I 0 = et I 1 = 2 cos t dt = 1. 0 2 Pour tout n " 0, on a par IPP : (u(t ) = (cos t )n+1 et v' (t ) = cos t )

ò

I n+2

=

ò

p 2

0

(cos t )

n +1

cos t dt = éë(cos t ) I n+2

n +1

p 2

sin t ùû + (n + 1) 0

ò

p 2

0

(cos t ) n (sin t ) 2 dt

= (n + 1)( I n - I n+2) I n+2 =

(Variante : I n =

n +1 I n n+2

n -1 I n - 2 pour tout n " 2) n

1 p 2 2 3 3p On en déduit immédiatement : I 2 = I 0 = ; I 3 = I 1 = ; I 4 = I 2 = 4 2 4 3 3 16 Formule générale : Si n pair (n = 2 p)

2 p - 1 2 p - 3 1 ´ ´ ... ´ I 0 2 p 2 p - 2 2

I 2 p =

æ 2 p ö p ç p ÷ (2 p)! p è ø = I 2 p = 2 p +1 2 2 ( p!) 22 p +1 Si n impair (n = 2 p + 1)

2 p 2 p - 2 2 ´ ´ ... ´ I 1 2 p + 1 2 p - 1 3

I 2 p+1 =

2 2 p ( p!) 2 I 2 p+1 = (2 p + 1)!

Calcul de J en se ramenant à I p En posant u = - t , on obtient : 2 n

n

J n =

ò

p 2

0

p (sin t ) dt = (sin( - u )) n ( -du) = p -2 2

ò

n

0

ò

p 2

0

(cos u )n du = I n

Calcul de K en se ramenant à I 2 +1 n

n

p p En posant u = Arcsin t . (Bijection de [-1 ; 1] dans éê- , ùú ). On a donc : t = sin u. ë 2 2û p 1 22n +1 (n!) 2 2 2 n 2n (1 - t ) dt = (cos u ) cos u du = 2 I 2n+1 = K n = -1 - p2 (2n + 1)!

ò

ò

Calcul de L en se ramenant à K n

n

Ln

Calcul intégral.

=

ò

1

-1

(t 2 - 1)n dt = (-1)n K n = Page 32

(-1) n 2 2 n +1 (n!) 2 (2n + 1)! G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

CI04.pdf

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