AppliedNumericalMethods.MATLAB.forEngineers.Chapra.pdf Un tanque de almacenamiento (Fig. P1.9) contiene un líquido a profundidad y donde y = 0 cuando el tanque está medio lleno. El líquido es retirado a un caudal [Q] constante para satisfacer la demanda. Los contenidos son reabastecido a tasa sinusoidal de [3Q.sen2(t)]. La ecuación (1.14) se puede escribir para este sistema como: Pag. 21
o, ya que el área de la superficie
A es constante:
Utilice el método de Euler para resolver por la profundidad y de t = 0 a 10 d con un tamaño de paso de Los valores de los parámetros son A = 1.250 m2 y Q = 450 m 3/d. Supongamos que la condición inicial es y = 0. (1.14) Change = increases − decreases
0,5 d.
Steven C. Chap Chapr a. R aymond P. Cana Canale le Chapra.Metodos.Numericos.I Chapra.Metodos.Numericos.Ingenieros.pdf ngenieros.pdf Quinta edición. Stev c ontiene un líquido con profundidad y , donde y = 0 cuando el tanque está 1.13. Un tanque de almacenamiento contiene lleno a la mitad. El líquido se extrae con una tasa de flujo constante Q a fin de satisfacer las demandas. Se )]. suministra el contenido a una tasa senoidal de [3 Q sen2(t )]. decremento] (1.13) Para este sistema, la ecuación (1.13) puede escribirse como: [Cambio = incremento – decremento]
O bien, como el área de la superficie A es constante: Emplee el método de Euler para resolver cuál sería la profundidad y , desde t = 0 hasta 10 d, con un tamaño de paso de 0.5 d. Los valores de los parámetros son so n A = 1200 m2 y Q = 500 m3/d. Suponga que la condición inicial es y = 0.
1.14. Para el mismo tanque de almacenamiento que se describe en el problema 1.13, suponga que el flujo de
salida no es constante sino que la tasa depende de la profundidad . Para este caso, la ecuación diferencial para la profundidad puede escribirse como:
Use el método de Euler para resolver cuál sería la profundidad y , desde t = 0 hasta 10 d, con un tamaño de paso de 0.5 d. Los valores de los parámetros son A = 1200 m2, Q = 500 m3/d, y a = 300. Suponga que la condición inicial es y = 0.
1.16. La ley de Newton del enfriamiento establece que la temperatura de un cuerpo cambia con una tasa que es proporcional a la diferencia de su temperatura y la del medio que lo rodea (temperatura ambiente).
Donde T = temperatura del cuerpo (°C), t = tiempo (min), k = constante de proporcionalidad (por minuto ), y Ta = temperatura del ambiente (°C). Suponga que una taza de café tiene originalmente una temperatura de 68°C. Emplee el método de Euler para calcular la temperatura desde t = 0 hasta 10 min, usando un tamaño de paso de 1 min, si Ta = 21°C y k = 0.017/min.
¿Cuáles son los métodos numéricos y por qué debería estudiarlos? Métodos numéricos son técnicas mediante las cuales los problemas matemáticos se formulan de manera que pueden ser resueltos con operaciones aritméticas y lógicas. Dado que los equipos digitales sobresalen en la realización de este tipo de operaciones , los métodos numéricos se refieren a veces como equipo matemáticas. En la era pre-equipo, el tiempo y la monotonía de la aplicación de tale s cálculos limitan seriamente su uso práctico. Sin embargo, con el advenimiento de los ordenadores digitales, rápidos y económicos, el papel de los métodos numéricos en ingeniería y solución de problemas científicos se ha disparado. Debido a que la figura de manera prominente en la mayor parte de nuestro trabajo , creo que los métodos numéricos deben ser una parte de la educación básica y de científico de todos los ingenieros . Al igual que todos debemos tener una base sólida en las otras áreas de las matemáticas y de la ciencia, también debemos tener una comprensión fundamental de los métodos numéricos . En particular , debemos tener un sólido conocimiento tanto de sus capacidades y sus limitaciones. Más allá de contribuir a su formación integral, hay varias razones adicionales por las que debe estudiar los métodos numéricos: 1. Métodos numéricos en gran medida ampliar los tipos de problemas que puede enfrentar. Ellos son capaces de manejar grandes sistemas de ecuaciones, no linealidades, y geometrías complicadas que no son infrecuentes en la ingeniería y la ciencia y que a menudo son imposibles de resolver analíticament e con el cálculo estándar. Como tal, mejoran en gran medida sus habilidades para resolver problemas. 2. Métodos numéricos le permiten utilizar el software "enlatado" con perspicacia. Durante su carrera, usted siempre tendrá la oportunidad de utilizar los programas informáticos disponibles en el mercado en envases previos que implican métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas es mucho mayor por una comprensión de la teoría básica que subyace en los métodos. A falta de esa comprensión, se le dejó para tratar este tipo de paquetes como "cajas negras" con poca visión crítica de su funcionamiento interno o la validez de los resultados que producen. 3. Muchos de los problemas no pueden ser abordados utilizando programas enlatados. Si usted está familiarizado con los métodos numéricos, y es experto en programación de computadoras , usted puede diseñar sus propios programas para resolver los problemas sin tener que comprar o comisión software caro . 4. Métodos numéricos son un vehículo eficaz para aprender a usar las computadoras. Debido a que los métodos numéricos están diseñados expresamente para la implementación informática , son ideales para ilustrar los poderes y limitaciones de la computadora. Cuando se implementa con éxito los métodos numéricos en un ordenador , y luego aplicarlos para resolver problemas intratables de lo contrario, se le proporcionará con una espectacular demostración de cómo las computadoras pueden servir a su desarrollo profesional . Al mismo tiempo, usted también aprenderá a reconocer y controlar los error es de aproximación que son parte integrante de los cálculos numéricos a gran escala. 5. Métodos numéricos proporcionan un vehículo para que pueda reforzar su comprensión de las matemáticas . Debido a que una de las funciones de los métodos numéricos es reducir las matemáticas superiores a las operaciones aritméticas básicas, que reciben a los "tuercas y tornillos" de algunos temas oscuros de lo contrario. Mejora la comprensión y conocimiento pueden ser el resultado de esta alternativa perspectiva. Con estas razones como la motivación , podemos ahora establecido para entender cómo los métodos numéricos y los ordenadores digitales trabajan en conjunto para generar soluciones confiables a los problemas matemáticos. El resto del libro está dedicado a esta tarea.
Modelamiento Matemático, Métodos Numéricos, y Resolución de Problemas: OBJETIVOS DEL CAPÍTULO El objetivo principal de este capítulo es el de proporcionarle una idea concreta de lo que los métodos numéricos son y cómo se relacionan con la ingeniería y la resolución de problemas científicos . Objetivos específicos y temas tratados son los siguientes: 1. Aprender modelos matemáticos pueden formularse sobre la base de principios científicos para simular el comportamiento de un sistema físico simple . 2. La comprensión de cómo los métodos numéricos ofrecen un medio para generar soluciones de una manera que puede ser implementado en una computadora digital . 3. La comprensión de los diferentes tipos de leyes de conservación que se encuentran debajo de los modelos utilizados en las diversas disciplinas de la ingeniería y apreciar la diferencia entre las soluciones de estado estacionario y dinámico de estos modelos . 4. Aprender sobre los diferentes tipos de métodos numéricos que cubriremos en este libro.
USTED TIENE UN PROBLEMA Supongamos que una empresa “puenting” te contrata. Que le den a la tarea de predecir la velocidad de un puente (Fig. 1.1) como una función del tiempo durante la parte de la caída libre del salto. Esta información será utilizada como parte de un análisis más amplio para determinar la longitud y requiere fuerza de la cuerda elástica para los puentes de diferente masa. Usted sabe de sus estudios de la física que la aceleración debe ser igual a la razón de la fuerza a la masa (la segunda ley de Newton). Con base en esta visión y su conocimiento de la física y la mecánica de fluidos, se desarrolla el siguiente modelo matemático para la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo,
(1.8) Donde v = velocidad vertical hacia abajo (m/s), t = tiempo (s), g = aceleración de la gravedad (~ = 9,81 m/s2), cd = un coeficiente aerodinámico agrupado (kg/m), y m = masa del saltador (kg). El coeficiente de resistencia se llama "lumped" porque su magnitud depende de factores tales como el puente? debido a que su magnitud depende de factores como la zona del puente y de la densidad del fluido (véase la Sección. 1.4). Debido a que esta es una ecuación diferencial, ya sabes que el cálculo podría ser utilizado para obtener una solución analítica o exacta para v como una función de t. Sin embargo, en las páginas siguientes, vamos a ilustrar un enfoque solución alternativa. Esto implicará el desarrollo de una solución numérica o aproximada orientado ordenador . Además de que le muestra cómo el ordenador puede ser utilizado para resolver este problema en particular , nuestro objetivo más general será la de ilustrar (a) ¿Qué métodos numéricos son y (b) la forma en que figuran en la ingeniería y la resolución de problemas científicos. Al hacerlo, también vamos a mostrar cómo los modelos matemáticos ocupan un lugar destacado en la forma en que los i ngenieros y los científicos utilizan métodos numéricos en su trabajo. Debido a su forma algebraica simple , la solución de la ecuación . (1,2) se obtuvo con facilidad . Sin embargo, otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más compleja , y, o bien no se pueden resolver con exactitud o requieren técnicas matemáticas más sofisticadas que el álgebra sencilla para su solución. Para ilustrar un modelo más complejo de este tipo, la segunda ley de Newton se puede utilizar para determinar la velocidad terminal de un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la tierra. Nuestro cuerpo en caída será un bungee jumper (Fig. 1.1). Para este caso, un modelo se puede derivar mediante la expresión de la aceleración como la tasa de tiempo de cambio de la velocidad (dv/dt) y sustituyendo en la ecuación (1,3) para producir :
Donde v es la velocidad (en metros por segundo ). Por lo tanto, la tasa de cambio de la velocidad es igual a fuerza neta que actúa sobre el cuerpo normalizado a su masa . Si la fuerza neta es positiva, el objeto se acelerará. Si es negativo, el objeto se desacelere. Si la fuerza neta es cero, la velocidad del objeto se mantendrá en un nivel constante . A continuación, vamos a expresar la fuerza neta en términos de variables medibles y parámetros.
la
Para un cuerpo que cae dentro de la vecindad de l a Tierra, la fuerza neta que se compone de dos fuerzas opuestas: el tirón hacia abajo de la gravedad FD y la fuerza ascendente de la resistencia del aire FU (Fig. 1.1):
Si la fuerza en la dirección hacia abajo se asigna un signo positivo, la segunda le y se puede utilizar para formular la fuerza debida a la gravedad como:
FD = m.g (1.6) Donde g es la aceleración de la gravedad (9,81 m/s2).
La resistencia del aire se puede formular en una variedad de maneras . El conocimiento de la ciencia de la mecánica de fluidos sugiere que una buena primera aproximación sería asumir que es proporcional al cuadrado de la velocidad,
F U = −c d .v 2 (1.7)
Donde CD es una constante de proporcionalidad llamado el coeficiente de arrastre agrupado (kg/m). Por lo tanto, cuanto mayor es la velocidad de caída , mayor será la fuerza hacia arriba debido a la resistencia del aire. El parámetro cd representa propiedades del objeto que cae , como la forma o la rugosidad de la superficie , que afectan a la resistencia del aire. Para el presente caso, el CD podría ser una función del tipo de ropa o la orientación utilizada por el puente durante la caída libre . La fuerza neta es la diferencia entre la fuerza hacia abajo y hacia arriba. Por lo tanto, las ecuaciones. (1.4) a (1.7) se pueden combinar para producir :
La ecuación (1.8) es un modelo que relaciona la aceleración de un objeto que cae a las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial, ya que está escrito en términos de la tasa diferencial de cambio (dv/dt) de la variable que estamos interesados en la predicción . Sin embargo, en contraste con la solución de la segunda ley de Newton en la ecuación (1.3), la solución exacta de la ecuación (1.8) para la velocidad del puente no se puede conseguir usando una simple manipulación algebraica. Más bien, las técnicas más avanzadas tales como las de cálculo deben aplicarse para obtener una solución exacta o analítica. Por ejemplo, si el puente está inicialmente en reposo (v = 0 en t = 0), el cálculo se puede utilizar para resolver la ecuación. (1.8) para:
Donde tanh es la tangente hiperbólica, que puedan ser calculada directamente 1 o a través de la función exponencial más elemental como en:
Tenga en cuenta que la ecuación (1.9) se cuela en la forma general de la ecuación (1.1) donde v(t) es la variable dependiente, t es la variable independiente, cd y m son parámetros, y g es la función de fuerza .
Solución analítica para el Bungee Jumper Problema: Planteamiento del problema. Un puente del amortiguador auxiliar con una masa de 68,1 kg salta desde un globo de aire caliente estacionario. Utilice la ecuación (1.9) para calcular la velocidad durante los primeros 12 s de caída libre. Además de determinar la velocidad máxima que se alcanza para un cordón de longitud infinita (o, alternativamente, el jefe de salto está teniendo un día particularmente malo!). Utilice un coeficiente aerodinámico de 0,25 kg / m. Solución. Inserción de los parámetros en la ecuación. (1.9) se obtiene:
Que puede ser usado para calcular:
Según el modelo, el puente acelera rápidamente (fig. 1.2). Una velocidad de 49,4214 m/s (110 km/h) se alcanza al cabo de 10 s. Tenga en cuenta también que después de un tiempo suficientemente largo tiempo, una velocidad constante, llamada la velocidad terminal, de 51,6983 m/s (115,6 km/h) se alcanza . Esta velocidad es constante, porque, con el tiempo, la fuerza de gravedad estará en equilibrio con la resistencia del aire. Por lo tanto, la fuerza neta es cero y la aceleración ha cesado. FIGURA 1.2. [28: (pag. 8)] La solución analítica para el problema bungee jumper como se calculó en el ejemplo aumenta con el tiempo y se acerca asintóticamente una velocidad terminal.
1.1. Velocidad
29: (9) La ecuación (1.9) es llama una solución analítica o forma cerrada porque satisface exactamente la ecuación diferencial de origen. Desafortunadamente, hay muchos modelos matemáticos que no se pueden resolver con exactitud. En muchos de estos casos , la única alternativa es desarrollar una solución numérica que se aproxima a la solución exacta . Métodos numéricos son aquellos en los que el problema matemático se reformula para que pueda ser resuelto por operaciones aritméticas. Esto puede ser ilustrado por la ecuación (1.8) por darse cuenta de que la tasa de tiempo de cambio de la velocidad puede ser aproximada por (fig. 1.3):
Donde Δv y Δt son las diferencias en la velocidad y el tiempo calculado en intervalos finit os, v(ti) es la velocidad en un tiempo ti inicial, y v(ti+1) es la velocidad en algún momento posterior ti+1. Tenga en cuenta que dv/dt ~ = Δv / Δt es aproximada porque Δt es finito. Recuerde del cálculo que:
La ecuación (1.11) representa el proceso
inverso.
FIGURA 1.3 El uso de una diferencia finita para aproximar la primera derivada de v con respecto a
La ecuación (1.11) se denomina aproximación de sustituido en la ecuación (1.8) para dar :
t .
diferencias finitas de la derivada en el tiempo ti . Se puede
Esta ecuación puede entonces ser reorganizado para producir :
Observe que el término entre paréntesis es el lado derecho de la ecuación diferencial en sí [ec. (1.8)]. Es decir , se proporciona un medio para calcular la tasa de cambio o pendiente de v . Por lo tanto , la ecuación puede ser reescrita más concisa:
Donde la vi designa velocidad nomenclatura en tiempo ti y Δt = ti+1 - ti. Ahora podemos ver que la ecuación diferencial se ha transformado en una ecuación que se puede utilizar para determinar la velocidad algebraicamente a ti+1 usando la pendiente y los valores anteriores de v y t . Si se le da un valor inicial para la velocidad en un tiempo ti, se puede calcular fácilmente la velocidad en un tiempo después ti+1. Este nuevo valor de la velocidad en ti+1 puede a su vez ser empleado para extender el cálculo de la velocidad en ti+2 y así sucesivamente. Por lo tanto, en cualquier momento a lo largo del camino ,
Nuevo valor = valor anterior + [pendiente × tamaño de paso].
Este enfoque se denomina formalmente el método de Euler. Lo discutiremos con más detalle cuando nos volvemos a las ecuaciones diferenciales más adelante en este libro.
Ejemplo 1.2 Solución numérica a la Bungee Jumper Problema Planteamiento del problema. Realice el mismo cálculo que en el Ejemplo 1.1, pero usar la ecuación (1.12) para calcular la velocidad con el método de Euler. Emplear un tamaño de paso de [2 s] para el cálculo. Solución. Al comienzo de la computación (t0 = 0), la velocidad del puente es cero.
Con esta información y los valores de los parámetros del ejemplo 1.1, ec. (1.12) se puede utilizar para calcular la velocidad en el instante t1 = 2 s:
Para el siguiente intervalo (a partir de t = 2 a 4 s), el cálculo se repite, con el resultado:
FIGURA 1.4 Comparación de las soluciones analíticas y numéricas para el problema del puente de bungee :
El cálculo se continuó de una manera similar para obtener valores adicionales:
Los resultados se representan en la figura 1.4 junto con la solución exacta . Podemos ver que el método numérico captura los rasgos esenciales de la solución exacta. Sin embargo , debido a que hemos utilizado segmentos de recta para aproximar una función de curva continua, hay una cierta discrepancia entre los dos resultados. Una forma de minimizar tales discrepancias es utilizar un tamaño de paso más pequeño . Por ejemplo, la aplicación de la ecuación (1,12) a 1-s intervalos resulta en un error más pequeño, ya que los segmentos de recta seguimiento más cercano a la verdadera solución . Usando cálculos a mano , el esfuerzo asociado con el uso de tamaños de paso cada vez más pequeños haría tales soluciones numéricas poco práctico. Sin embargo, con la ayuda del ordenador , un gran número de cálculos se pueden realizar fácilmente . Por lo tanto, se puede modelar con precisión la velocidad del puente sin tener que resolver la ecuación
diferencial exacta. Como en el ejemplo 1.2, un precio de cálculo debe ser pagado para un resultado numérico más exacto. Cada reducción a la mitad del tamaño del paso para lograr una mayor precisión conduce a una duplicación del número de cálculos. Por lo tanto , vemos que existe un trade-off entre la precisión y el esfuerzo computacional. Tales intercambios ocupan un lugar destacado en los métodos numéricos y constituyen un tema importante de este libro.
1.2. LEYES DE CONSERVACIÓN EN INGENIERÍA Y CIENCIAS Aparte de la segunda ley de Newton, hay otros principios importantes de organización de la ciencia y la ingeniería. Entre las más importantes de éstas son las leyes de conservación. A pesar de que constituyen la base para una variedad de modelos matemáticos complicados y poderosos, las grandes leyes de conservación de la ciencia y la ingeniería son conceptualmente fáciles de entender. Todos ellos se reducen a :
Cambiar = aumentos - disminuciones (1.14) Este es precisamente el formato que se empleó cuando se utiliza la ley de Newton para desarrollar un equilibrio de fuerzas para el bungee jumper [Eq. (1.8)]. Aunque simple, la ecuación (1.14) encarna una de las formas más fundamentales en los que las leyes de conservación se utilizan en la ingeniería y la ciencia, es decir , para predecir los cambios con respecto al tiempo. Vamos a darle un nombre-el tiempo-variable (o transitorio) cálculo especial. 32: (12)
PROBLEMS: 40: (pag. 20) [41: (pag. 21)] 1.9. Un tanque de almacenamiento (Fig. P1.9) contiene un líquido a profundidad y donde y = 0 cuando el tanque está medio lleno. El líquido es extraído a un caudal constante Q para satisfacer las demandas. Los contenidos son reabastecido a una tasa sinusoidal de 3Q.sen 2(t). La ecuación (1.14) se puede escribir de este sistema como:
O, ya que el área de la superficie A es constante
Utilice el método de Euler para resolver para la profundidad y a partir de t = 0 a 10 d con un tamaño de paso de 0,5 d. Los valores de los parámetros son A = 1.250 m2 y Q = 450 m3 / d. Supongamos que la condición inicial es y = 0.
1.10. Por el mismo tanque de almacenamiento se describe en el problema 1.9, supongamos que el flujo de salida no es constante, sino que más bien depende de la profundidad. Para este caso, la ecuación diferencial para la profundidad se puede escribir como:
Utilice el método de Euler para resolver para la profundidad y a partir de t = 0 a 10 d con un tamaño de paso de 0,5 d. Los valores de los parámetros son A = 1,250 m2, Q = 450 m3 / d, y α = 150. Supongamos que la condición inicial es y = 0.
Prob. 1.12: Un grupo de 35 alumnos asisten a una clase en una habitación aislada que mide 11 m por 8 m por 3 m. Cada estudiante ocupa alrededor de 0.075 m3 y reparte unos 80 W de calor (1 W = 1 J/s). Calcular el aumento de la temperatura del aire durante los primeros 20 minutos de la clase si la habitación está completamente sellada y aislada. Suponga que la capacidad calorífica Cv para el aire es 0.718 kJ / (kg.K). Supongamos aire es un gas ideal a 20°C y 101,325 kPa. Tenga en cuenta que el calor absorbido por el aire Q está relacionada con la masa del aire m la capacidad de calor, y el cambio de temperatura por la siguiente relación: La masa de aire puede obtenerse a partir de la ley de los
gases ideales:
Donde P es la presión del gas , V es el volumen del gas , [Mwt] es el peso molecular del gas (28,97 kg/kmol: para aire), y R es la constante de los gases ideales [8,314 kPa m3 / (kmol K)].
Prob. 1.17: La ley de enfriamiento de Newton dice que la temperatura de un cuerpo cambios a una velocidad proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio circundante (la temperatura ambiente), Donde T = la temperatura del cuerpo (ºC), t = tiempo (min), k = la constante de proporcionalidad ( por minuto), y Ta = temperatura ambiente (ºC). Supongamos que una taza de café originalmente tiene una temperatura de 70°C. Utilice el Método de Euler para calcular la temperatura a partir de t = 0 a 20 min usando un tamaño de paso de 2 min si Ta = 20°C y k = 0.019/min.
Función M-archivos pueden devolver más de un resultado . En tales casos, las variables que contienen los resultados son delimitadas por comas y encerradas entre paréntesis. Por ejemplo, la siguiente función , stats.m, calcula la media y la desviación estándar de un vector: function [mean, stdev] = stats(x) n = length(x); mean = sum(x)/n; stdev = sqrt(sum((x-mean).^2/(n-1))); Aquí está un ejemplo de cómo se puede aplicar: >> y = [8 5 10 12 6 7.5 4]; >> [m, s] = stats(y) m = 7.5000 s = 2.8137 EJEMPLO 3.3. Una Función interactiva M-File Planteamiento del problema. Como en el ejemplo 3.2, calcular la velocidad del saltador de bungee en caída libre, pero ahora utilizar las funciones de entrada y disp de entrada / salida. Solución. Escriba las siguientes declaraciones en el editor de archivos: function freefalli % freefalli: interactive bungee velocity % freefalli interactive computation of the % free-fall velocity of an object % with second-order drag.
g = 9.81; % acceleration of gravity m = input ('Mass (kg): '); cd = input ('Drag coefficient (kg/m): '); t = input ('Time (s): '); disp(' ')
disp ('Velocity (m/s):') disp (sqrt(g * m / cd)*tanh(sqrt(g * cd / m) * t)) Guarde el archivo como freefalli.m. Para invocar la función , vuelva a la ventana de comandos y tipee :
>> freefalli Mass (kg): 68.1 Drag coefficient (kg/m): 0.25 Time (s): 12 Velocity (m/s): 50.6175 >> fprintf ('%5d %10.3f %8.5e\n', 100, 2*pi, pi); 100 6.283 3.14159e+000
function fprintfdemo x = [1 2 3 4 5 ]; y = [20.4 12.6 17.8 88.7 120.4];
z = [x; y]; x y\n'); fprintf (' fprintf ('%5d %10.3f\n', z); The result of running this M-file is: >> fprintfdemo
x 1 2 3 4 5
y 20.400 12.600 17.800 88.700 120.400
El resultado de ejecutar éste archivo-M es:
