d. Méthode Graphique de Bergeron - détermination des ΔP et ΔQ dues aux coups de bélier - méthode graphique (transposée sur des logiciels) - aide à la compréhension du phénomène physique - outil de validation : évaluation des ordres de grandeurs - Principe de la méthode (au tableau) observateur mobile à la vitesse +a :
h −h =− Sga (Q −Q )
observateur mobile à la vitesse -a :
h −h =+ Sga (Q −Q )
1
1
2
2
1
1
2
2
- Construction graphique Il faut connaître : - le sens initial de l’écoulement avant la perturbation - les caractéristiques initiales de l’observateur : Q0, h0 à t0 - le sens du parcours de l’observateur - les caractéristiques du dispositif situé à l’autre extrémité de la conduite au temps t1 = t0 + L/a
Î courbe h=f(Q) de l’appareil (réservoir, vanne, pompe, …) que l’observateur rencontrera au bout de la conduite - Procédure 9 Dessiner dans le plan h x Q les courbes caractéristiques des éléments du circuit (conditions aux limites) 9 Déterminer le point de régime permanent initial 9 Déterminer le point de régime permanent final 9 Effectuer les tracés
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 15
- Exemples d’application A) Ecoulements gravitaires : • Fermeture instantanée d’une vanne (sans pertes de charge) • Fermeture instantanée d’une vanne (avec pertes de charge) 9 Pertes de charge localisées • Ouverture totale instantanée d’une vanne • Fermeture progressive de vanne (TD) B) Circuits hydrauliques de refoulement • Démarrage instantané d’une pompe (sans pertes de charge) • Arrêt progressif d’une pompe (TD) • Arrêt instantané d’une pompe (TD) ⇒ risque de cavitation
- Remarques 9 Les termes d’énergie cinétique dans les conduites sont relativement faibles et très souvent négligés, pour les calculs des transitoires, devant ceux en (P/ρg + z) : Hréservoir = H0
courbe réservoir :
9 Courbe caractéristique d’une vanne : (partiellement ou totalement ouverte) 2 ⎛ ⎞ Q ⎜ vanne ⎟ = ξ Δhvanne ⎜⎜ 22g ⎟⎟ ⎝ Sv ⎠
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 16
9 Courbe caractéristique d’une vanne fermée : Q=0 9 Avec les pertes de charge, on provoque un amortissement qui conduit le système à converger vers le régime permanent final 9 Pour pouvoir prendre en compte les pertes de charge, sans perdre le caractère linéaire des équations, on utilise un artifice de construction qui consiste à admettre qu’elles se trouvent localisées en quelques points de la conduite. La plupart du temps, pour les approches graphiques, on localise toutes les pertes en un seul point de la conduite : Exemples : pertes de charge localisées au réservoir Si le Q sort du réservoir : H réservoir = H 0− R Q Q Si le Q rentre dans le réservoir : H réservoir = H 0+ R Q Q 9 Calcul de H et Q dans un point quelconque de la conduite à un instant t* donné : Pour regarder ce qui se passe dans un point de la conduite à un instant donné, on se place dans le plan des lignes caractéristiques (x,t). Il y a deux observateurs qui se croisent au point x* au temps t*. Ces deux observateurs à cet instant donné ont les mêmes valeurs H* et Q*. Le tracé de l’épure de Bergeron pour ces deux observateurs nous permettra de déterminer H* et Q*. Une approche numérique de cette démarche nous permet de calculer, à chaque instant, les caractéristiques (H,Q) de chaque point de la conduite.
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 17
e. Moyens de Protection 9 Contre les surpressions ou dépressions 9 Dimensionnement
et
positionnement
des
organes
de
protection sur le réseau sont importants 9 Positionnement : le plus près de la source de perturbation • Contre les surpressions :
soupapes (TD) réservoirs cheminées d’équilibre
• Contre les dépressions :
clapets (TD) réservoirs
Méthode pratique d’analyse : ⇒ évaluation des surpressions possibles (provoquées par la manœuvre des différents organes) ⇒ comparaison entre ΔPcalculés et ΔPlimites ⇒ si ΔPcalculés > ΔPlimites :
- renforcer l’installation ($) - appareil de protection
⇒ évaluation des dépressions : risque de cavitation ? ⇒ si oui : clapet by-pass, cheminée, …
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 18
f. Techniques numériques pour le calcul de propagation d’ondes 9 Méthode des matrices de transfert (approche fréquentielle) 9 Méthode aux éléments finis Logiciel Perm-Circus de l’EDF 9 Volumes finis [Godunov,1959] 9 Différences finies ordinaires [Vewey et Yu, 1993] 9 Méthode des caractéristiques (différences finies) • simple • bons résultats si CFL~1 • logiciels :
Trapil Pendulo (Safege) Cdbelier (Alstom) Cebelmail (Diademe) Bélier (EDF)
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 19
g. Méthode des Caractéristiques 9 Réseaux maillés - Description de la méthode En chaque point M(x,t)
t
passent
deux
lignes
caractéristiques. t+Δt -a
+a t
xi-1 xi xi+1
x
En connaissant h(i-1,t) et Q(i-1,t) :
h
t + Δt
i
t t + Δt t =hi −1 + a ⎛⎜ Q −Q ⎞⎟ i Sg ⎝ i −1 ⎠
En connaissant h(i+1,t) et Q(i+1,t) :
h
i
t + Δt
t t + Δt t =hi +1 + a ⎛⎜ −Q +Q ⎞⎟ i +1 i Sg ⎝ ⎠
⇒ 2 équations ; 2 inconnues : h(i,t+Δt) et Q(i,t+Δt) ⇒ sections internes de la conduite peuvent être calculées ⇒ solution fonction des conditions aux limites et initiales
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 20
- Conditions aux limites
amont
aval
t
t
t+Δt
t+Δt -a
+a
t i=1
x
i=2
i=n-1
h
t + Δt
1
t t + Δt t =h2 + a ⎛⎜ −Q +Q ⎞⎟ 2 1 Sg ⎝ ⎠
h
n
h(1,t)= h(1,t+Δt)=hR
t
=Q + 2
gS a
t t + Δt t =hn−1 + a ⎛⎜Q −Q ⎞⎟ n Sg ⎝ n−1 ⎠
vanne à l’aval
réservoir amont
t + Δt
t + Δt
+ équation C.L.
+ équation C.L.
1
x
a+ :
a- :
Q
i=n
h
n
(−h +h )
t + Δt =K⎛⎜ Q ⎞⎟ ⎝ n ⎠
2
t + Δt
t
2
t + Δt
1
⇒
Q
t + Δt n
=
− A+
A +4kB 2
2K
où
A=a/gs t t B=hn−1 + a ⎛⎜ Q ⎞⎟ Sg ⎝ n−1 ⎠
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 21
- Exemple d’application : Considérons la fermeture progressive d’une vanne suivant la loi de fermeture (sans pertes de charge) : ⎞ ⎛Q ⎜ vanne ⎟ = 635 hvanne ⎜ 1−t /T ⎟ ⎝ ⎠
2
T = 2.1 temps total de fermeture de la vanne hauteur réservoir amont : hR=153m longueur de la canalisation : L=600m diamètre canalisation : D=0.5m a=1200m/s
Q
h
t + Δt i
t + Δt
i
gS = 1 ⎧⎨ 2⎩ a
(h
t
i −1
)
−hi +1 +Q t
t i −1
+Q
t i +1
}
t t + Δt t =hi +1 + a ⎛⎜ −Q +Q ⎞⎟ i +1 i Sg ⎝ ⎠
Hauteurs piézométriques à 1s 300 250
H (m3/s)
D’après calculs de Laverty F. et Lefèvre P. (ENSHMG-2006)
200 150
n=10 n=100
100 50 0 0
100
200
300
400
500
600
X (m) Débits à 1s 0.36
Q (m3/s)
0.355
n=10 n=100
0.35
0.345 0.34
0.335 0.33 0
100
200
300
X (m)
400
500
600
Discrétisation sur N éléments
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 20
- Prise en compte des pertes de charge : observateur a+ :
h
t + Δt
i
t + Δt t Δx 2 Cf Q Q t =hi −1 + a ⎛⎜Q −Q ⎞⎟ − 2 i Sg ⎝ i −1 ⎠ Dg S
observateur a- :
h
i
t + Δt
t + Δt t Δx 2 Cf Q Q t =hi +1 + a ⎛⎜ Q −Q ⎞⎟ + 2 i +1 ⎠ Sg ⎝ i Dg S
Les termes de perte de charge peuvent être modélisés de différentes façons : • Approche stationnaire (Darcy-Weissbach) : Cf connu ; pertes reparties ; ΔQ pas trop importants Schéma amont (codes industriels) : ⎛ aΔt 2 Cf Qi ±1Qi ±1 ⎞ ⎟ PC =⎜ 2 ⎜ ⎟ Dg S ⎝ ⎠t
Schéma aval (moins simple ; + robuste) : ⎛ aΔt 2 Cf Qi Qi PC =⎜ 2 ⎜ Dg S ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠t +Δt
Schéma centré Combinaison linéaire des deux schémas précédents Schéma croisé : ⎛ aΔt 2 Cf Qi ⎞ ⎟ (Qi±1 )t PC =⎜ ⎜ Dg 2 ⎟ S ⎠t +Δt ⎝
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 21
3. COUPS DE BELIER DE MASSE
- mouvements en masse - fluide incompressible - conduites indéformables - applications : cheminées d’équilibre + réservoirs anti-bélier
3.1. Cheminée d’équilibre : ¾ Protection des lignes contre les coups de bélier ¾ Permet la réduction des temps de fermeture des vannes ¾ Réduit la vitesse d’emballement de la turbine ¾ Induit une oscillation de masse
[Nicollet, 2010]
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 22
3.2. Equations - Bernoulli en régime non-permanent - sans pertes de charge - fluide incompressible 2 ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ρ U ⎟ dV + ∫ ∂t ⎜ 2 ⎟ ∫S D ⎝ ⎠
2 ⎛ ⎞ ⎜ p*+ ρ U ⎟ ur.nr dσ = 0 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
L
∫ ∂∂t U dz + (Hc − Hc )g = 0 2
“S” constant :
1
0
- Exemple d’application : fermeture instantanée de la vanne Cheminée d’équilibre située à une distance L d’un réservoir. Dche = 3 m
dcond= 1.5 m
a) éq. réservoir :
Q0=1 m3/s b)
hR=20m
L=4000 m
éq. cheminée
Hc 2 = Patm + (h R + x) ρg
Hc 1 = Patm + h R ρg
L ∂ U + g x=0 ∂t
c) éq. Conduite :
d) conservation du débit (fermeture instantanée de la vanne) :
Q&conduite = Q&cheminée 2 d ∂∂t U = D ∂ 2 x ∂t 2
2
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 23
( )
2 2 D ⎛⎜ ∂ x ⎞⎟ L + g x = 0 d ⎝ ∂t 2 ⎠
⇒ Solution :
⎛ ⎛ g ⎞ g ⎞ x = c1 cos⎜⎜ d t ⎟⎟ + c 2 sin⎜⎜ d t ⎟⎟ D L D L ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Période des oscillations :
⎛ ⎞ τ =2π D ⎜ L ⎟ = 254s d⎝ g ⎠
Hauteur d’eau maximale atteinte dans la cheminée :
zmaxi =h R +
4Q0 ⎛ L ⎞ = 25,7 m π d D ⎜⎝ g ⎟⎠
Risques : ¾ Cavitation au niveau du diaphragme ¾ Débordement ¾ Entraînement d’air ¾ Résonance avec le régulateur de vitesses de la turbine
Remarques : - l’abaissement du niveau d’eau doit être limité : éviter des entrées d’air dans l’installation -
les oscillations sont fortement amorties par perte de charge
occasionnée par un diaphragme placé à la base de la cheminée
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 24
¾ Exemple : Hauterive Rossens (CH) [Nicollet, 2010]
Cheminée d’équilibre située à une distance L du réservoir : Dche = 15 m
dcond = 5 m Q0 = 75 m3/s L = 6000 m
hR = 107 m
acond = 1200 m/s
HEC – Transitoires dans les conduites - RFP - 25
Solution pour hc = f(t) : sans les pertes diaphragme
⎛d hc = c2 sin⎜⎜ ⎝D
g ⎞ t⎟ L ⎟⎠
où
4Q ⎛ 0 ⎜ C2 = π d D ⎜⎝
L g
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Période des oscillations :
D⎛ τ = 2 π ⎜⎜ d⎝
L g
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
= 466 s
τ >>> 2L/a (= 10 s) : oscillation de masse
Hauteur d’eau maximale atteinte dans la cheminée :
hc max i = h R +
4 Q0 ⎛ ⎜ π d D ⎜⎝
L g
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
= 138.5 m
Remarques : Sans cheminée d’équilibre, la fermeture instantanée de la vanne aurait induit des fluctuations de pressions dans la conduite de l’ordre de Q0 (a/gS) = 467 mCE. Pour avoir des fluctuations de pression de l’ordre de ΔH=40 mCE dans la conduite (sans la cheminée), on aurait dû procéder à une fermeture lente de vanne avec une durée de Tfermeture ~ (2 L Q0) / (S g ΔH) = 117 s.
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