Chap 2 POUSSEES ET BUTEES.pdf

Géotechnique 1 - Ouvrages de soutènement

CHAPITRE 4 :

I. GUEYE

EQUILIBRE LIMITE ET OUVRAGES DE SOUTENEMENT

A – POUSSEES ET BUTEES 4.1

Généralités

4.2

Equilibre limite de RANKINE

4.3

Calcul des forces de poussées et de butée par la méthode de RANKINE

4.4

Calcul des forces de poussées et de butées par la méthode de COULOMB Méthode graphique de CULMANN (méthode de COULOMB)

4.5

Calcul des forces de poussées et de butées par la méthode de BOUSSINESQ

4.6

Comparaison entre les différentes méthodes

B – OUVRAGES DE SOUTENEMENT 4.7

Différents types d’ouvrages de soutènement

4.8

Dimensionnement des murs poids

4.9

Dimensionnement des murs cantilever

4.10 Rideaux de palplanches 4.11 Excavations blindées

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I. GUEYE

A – POUSSEES ET BUTEES 4.1 – Généralités 4.1.1. Définition On considère un ouvrage de soutènement, par exemple un mur en béton retenant un massif de sol (fig. 4.1.) et l’on examine les types de sollicitations qui s’exercent sur ce mur.

Fa W

Fp T N

Fig. 4.1 : Sollicitations exercées sur un mur de soutènement

En dehors des forces de pesanteur, représentées par le poids W du mur, s’exercent sur toutes les faces du mur, en contact avec le sol, trois (3) forces dont la connaissance est du ressort de la mécanique des sols. i)

Sur la face amont du mur, généralement verticale, le sol retenu exerce des efforts ayant tendance soit à renverser le mur, soit à le déplacer horizontalement la résultante générale de ses efforts est une force dont la composante principale est horizontale. On l’appelle force de poussée (ou encore poussée) et on la note « Fa » l’indice précisant qu’il s’agit d’une force active ;

ii) Sur la face aval du mur, dont la partie enterrée est souvent faible, le sol exerce : des efforts qui ont tendance à retenir. Leur résultante générale est une force dont la composante principale est horizontale et opposée à la composante horizontale de

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« Fa ». On appelle cette résultant force de butée (ou encore butée) et on la note par « Fp », l’indice « p » précisant qu’il s’agit d’une force passive ; iii) Sur la base du mur, le sol de fondation exerce des efforts dont la résultante générale est une force inclinée par rapport à la verticale. Sa composante verticale, notée « N », est appelée force portante, tandis que la composante horizontale, notée « T » est appelée force de résistance au glissement, car elle s’oppose au glissement du mur sur la base sous l’action de la force de poussée. L’objet de ce chapitre est de déterminer les forces de poussée et de butée en fonction de la géométrie du mur et du massif de sol retenu, des caractéristiques mécaniques du sol et du frottement entre le sol et le mur. 4.1.2. Relations fondamentales entre pressions latérales et déplacements Des expériences simples, sur modèles réduits, montrent que les valeurs des forces latérales précédemment introduites (forces de poussée et de butée) dépendent essentiellement des déplacements horizontaux de soutènement. On suppose par exemple que l’on encastre légèrement à la surface horizontale d’un massif de sable un écran vertical parfaitement lisse et que l’on remblaie progressivement derrière l’écran, en appliquant à ce dernier des efforts de résultante générale « F » tels qu’il n’y ait aucun déplacement de l’écran (fig. 4.2.a). Ce dernier étant parfaitement lisse, la force « F » est horizontale (pas de frottement entre l’écran et le massif) Après remblaiement horizontal, la valeur de la force F est F0. Si l’on effectue une translation horizontale de l’écran vers l’intérieur du remblai, la force F croit en fonction du déplacement, ε, jusqu’à un maximum Fp qui correspond à la mobilisation totale de la butée (fig. 4.2. b). La valeur Fp est de 3 à 4 fois la valeur totale de la force initiale F0. Inversement, si l’on effectue une translation horizontale de l’écran vers l’extérieur du remblai, la force F diminue jusqu’à une valeur minimale Fa qui correspond à l’état de poussée. La valeur de Fa de l’ordre de la moitié de celle de F0. Si on compare les déplacements, on constate qu’il faut un déplacement εp beaucoup plus important pour atteindre l’état complet de butée que pour atteindre celui de poussée εa. Les déplacements typiques nécessaires pour atteindre l’état de poussée sont indiqués au tableau 1 pour plusieurs types de sols.

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0

ε

Fp

Butée

ε

H

F

Poussée

Fa

εa a) Ecran rigide en translation

0

εp

ε

b) Relation force - déplacement

Fig. 4.2 : Relation force – déplacement pour un écran rigide en translation

Tableau 1 : Déplacements typiques

Types de sol Sable :

Argile :

Translation

dense

0.001H à 0.002 2 H

lâche

0.002 H à 0.004 H

raide

0.01 H à 0.02 H

Molle

0.02 H à 0.05 H

Remarque : H représente la hauteur du mur

4.1.3. Terres au repos – Coefficient de pression latérale On se place dans un cas géostatique, c'est-à-dire celui d’un massif de sol semi-infini, homogène et isotrope, à surface horizontale. Les équations de l’équilibre montrent que la contrainte totale σv s’exerçant sur un plan horizontal, à la profondeur z est verticale et a pour valeur (fig. 4.3) :

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σv = γ ⋅ z Où :

γ est le poids volumique du sol, σv est une contrainte principale.

Surface du terrain naturel

z

σv = γ . z σ h = K0 σ v

Fig. 4.3 : Coefficient K0 de pression latérale des terres au repos Par contre, le calcul de la contrainte totale horizontale σh s’exerçant au même point sur le plan vertical nécessiterait la connaissance de la loi de comportement du sol. Aussi la détermine t-on expérimentalement en remarquant que dans un sol en place, sous un chargement uniforme, il n’y a pas de déplacement horizontal εh = 0, on utilise généralement un appareil triaxial. Les résultats de ces essais donnent le rapport σh/σv, appelé coefficient de pression latérale au repos et noté K0 : K0 = σh / σv Remarques : - Le coefficient K0 est généralement inférieur à 1 - Il ne s’applique qu’aux contraintes effectives. Donc dans un sol en place, saturé, K0 devient : K0 = σ’h / σ’v Où :

σh = u + σ’h et

σv = u + σ’v

σ’h = contrainte effective horizontale, σ’v = contrainte effective verticale, u = la pression interstitielle. - Sa valeur varie suivant les types de sols. Elle est donnée de façon approximative au tableau 2.

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- Dans le cas des sables et des argiles normalement consolidées, il existe une formule empirique, due à Jacky, donnant la valeur de Ko en fonction de l’angle de frottement interne φ’. K0 = 1 – sin φ’ Tableau 2 : Coefficient Ko pour quelques types de sols Type de sol

Valeur de K0

Sable lâche

0.45 à 0.50

Sable compact

0.40 à 0.45

Argile normalement consolidée

0.50

Argile surconsolidée

>0.50

- Dans le cas des sols surconsolidés, la valeur de K0 peut même dépasser 1.

4.2 – Equilibres limites de RANKINE 4.2.1 – Sol pulvérulent (c = 0, φ ≠ 0) 4.2.1.1 – Surface horizontal On vient de voir que, dans le cas où il n’y a pas de déplacement latéral, les contraintes verticale σv et horizontale σh (fig. 4.4 a) sont égales respectivement à : σv = γ ⋅ z

et

σh = K0 γ ⋅ z

Cet état de contrainte est représenté par le cercle de MOHR de diamètre AB sur la figure 4.4 d (OA = σv = γ ⋅ z ; OB = σh = K0 γ ⋅ z). Examinons de quelle façon il peut y avoir rupture dans la masse de sol. Si l’on permet au sol une expansion latérale (εεh < 0), la contrainte verticale reste principale, égale à γ ⋅ z, et la contrainte horizontale diminue. Sur la figure 4.4 d, le point B se déplace jusqu’au point C pour lequel le cercle de MOHR est tangent aux droites intrinsèques. Il y a alors rupture du sol et cette rupture a lieu en tout point du massif. On dit aussi que l’équilibre est limite. Les plans de rupture en chaque point enveloppent un réseau de surfaces de glissement planes, dont l’inclinaison est déterminée à partir des points de contact I et G du cercle de MOHR à la rupture avec la courbe intrinsèque et qui font entre elles l’angle (90 + φ°) égal à l’angle ICG dans le diagramme de MOHR. Cette rupture correspond à l’état de poussée (fig. 4.4 b). On note σha la contrainte horizontale

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correspondante. Dans l’état de poussée, on tire facilement du diagramme de MOHR de la fig. 4.4 d : Ka =

σ ha 1 − sin φ φ  = = tan 2  45 −  2 σ v 1 + sin φ 

45° + φ/2

z

σv = γ z

σv = γ z

σha

σ h = K0 σ v

σha

b) εh < 0, poussée (expansion)

a) εh = 0

σv = γ z

45° − φ/2

σhp

σhp

c) εh > 0, butée (contraction) τ J

Plan de rupture

Butée Poussée

I 45° + φ/2

φ

45° − φ/2

C

A

σha

B

σv = γ z

D

σhp

σ

G Plan de rupture H

d) Diagramme de MOHR

Fig. 4.4 : Etats de contraintes de poussée et de butée pour un sol pulvérulent

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Le rapport σ’h / σ’v est appelé coefficient de poussée et noté Ka. Il est également possible de σh = provoquer la rupture du sol par compression latérale (εεh > 0). Dans ce cas, le point B (σ K0 γ z = K0 σv). Sur la fig. 4.4 d le point B se rapproche d’abord du point A correspondant à un état de contrainte isotrope (σ σh = σv = γ z). Puis la contraction latérale augmentant, le point B atteint le point D, il y a alors rupture ou équilibre limite ; le cercle MOHR étant tangent aux droites intrinsèques, on note σhp la contrainte horizontale correspondante. La rupture a lieu en même temps en tout point du massif et les plans de glissement font eux un angle de (90 + φ) égal à l’angle JDH dans le diagramme de MOHR. Cette rupture correspond à l’état de butée et noté Kp, a pour expression :

Kp =

σ hp 1 + sin φ φ  = = tan 2  45 +  2 σ v 1 − sin φ 

Remarques : i.

Les deux (2) coefficients Ka et Kp sont inverses l’un de l’autre K a =1 / K p

ii.

Les contraintes σha et σhp sont des contraintes principales

iii.

Dans le cas de la poussée, la distribution de la contrainte σha le long d’une verticale tracée dans le massif est triangulaire car (fig. 4.5a) : σha = Ka γ z = Ka σv

iv.

Dans le cas de la butée, la distribution de la contrainte σhp le long d’une verticale tracée dans le massif est aussi triangulaire car (fig. 4.5 b) : σhp = Kp γ z = Kp σv

v.

Les lignes de glissement sont des lignes droites.

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Contrainte

Contrainte

Sol : γ et φ

Sol : γ et φ

σha = Κα γ z

σhp = Κπ γ z

z

z

a) Etat de poussée dans un sol pulvérulent

b) Etat de butée dans un sol pulvérulent

Fig. 4. 5 : Etat de poussée et de butée dans un sol pulvérulent 4.2.1.2 Surface inclinée Soit un massif de sol pulvérulent dont la surface fait un angle β avec l’horizontale (fig. 4.6a). La résolution partielle des équations d’équilibre de la mécanique des milieux continus montre que, sur le plan parallèle à la surface et situé à la profondeur z, la contrainte « f » est verticale et égale γ z cos β. On cherche à déterminer la contrainte « p » qui s’exerce sur un plan vertical à la profondeur z dans l’état de poussée ou l’état de butée. Dans le plan des cercles de MOHR (fig. 4. 6d) la contrainte verticale f est représentée par le vecteur OA (OA = γ z cos β). En appliquant la méthode du pôle pour la détermination des contraintes, les états de contraintes de poussée et de butée en un point M à la profondeur z sont représentés par les 2 cercles de MOHR passant par le point A et tangents à la courbe intrinsèque d’équation

τ = ± σ n tan φ . Les deux pôles p1 et p2 sur ces cercles sont des points d’intersection autres que A, sur la droite OA. Il en résulte que la contrainte p 1 et p 2 qui s’exercent sur un plan vertical en M sont représentées par les points B1 et B2 sur la droite symétrique de OA par rapport à l’axe des σ (P1 B1 et P2 B2 verticales) cela montre que : a) La contrainte p est toujours parallèle à la surface du sol, quelque soit l’état des contraintes ; les contraintes f et p sont conjuguées ;

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β

σ1

f z

45° − φ/2

M

p

b) poussée, expansion (σ σ1 contrainte principale majeure)

a) surface inclinée

45° − φ/2

σ1

c) butée, compression (σ σ1 contrainte principale majeure)

τ = σ tan φ

τ

φ

Verticale H P2 E A P1 Poussée

β

θ1

D

Butée

B1

Plan de rupture

θ1

θ2

σ

B2 θ2

F

Verticale G

OB1 = P1

OB2 = P2

Plan de rupture d) Diagramme de MOHR

Fig.4.6 :

Coefficients de poussée et de butée pour un massif de sol pulvérulent à surface inclinée

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b) Les coefficients de poussée et de butée, définis par rapport aux contraintes conjuguées ont pour expression : Ka (β ) =

Soit : Ka (β ) =

OB1 OA 1 = = Kp (β ) OA OB 2

cos β − cos 2 β − cos 2 φ 1 = Kp (β ) cos β + cos 2 − cos 2 φ

c) Dans le cas de la poussée, on a :

σ v = γ .z cos β σ ha = p1 = γ .z cos β ×

cos β − cos 2 β − cos 2 φ cos β + cos 2 β − cos 2 φ

Dans le cas de la butée, les deux expressions ci-dessus deviennent :

σ v = γ .z cos β σ hp = p 2 = γ .z cos β ×

cos β + cos 2 β − cos 2 φ cos β − cos 2 β − cos 2 φ

Remarques : i) - Si β = 0 : Poussée :

Butée :

p1 = γ.z

1 − sin φ 1 + sin φ

p2 = γ.z

1 + sin φ 1 − sin φ

ii) - Si β = φ : K a (β ) = K p (β ) = 1 iii) Dans le cas de la poussée, les plans de rupture enveloppent un réseau de surface de glissement planes dont l’inclinaison est déterminée à partir des points de contact E et F du cercle de MOHR à la rupture avec la courbe intrinsèque et qui font entre elles l’angle (90°+ Ф) égal à l’angle Ep1F dans le diagramme de MOHR. De plus les plans de glissement font des angles θ1 et θ2 avec la verticale p1 B1 (fig. 4.6d). Les valeurs de ces angles θ1 et θ2 sont données par les expressions suivantes :

θ1 =

1 (90 − φ ) + 1 (ε − β ) 2 2

θ2 =

1 (90 − φ ) − 1 (ε − β ) 2 2

Avec : sin ε =sin β /sin φ et (θ1 + θ2) = 90 - φ

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La contrainte σha n’est pas une contrainte principale : La distribution de σha le long d’une verticale tracée dans le massif est triangulaire car : σha = γ.z cos β . Ka (β ) De plus la contrainte σha agit sur un plan parallèle à la pente du massif. iv) Dans le cas de la butée, les plans de glissement font entre eux un angle de (90 - φ) égal à l’angle Hp2G dans le diagramme de MOHR (fig. 4.6d). Dans ce cas les angles θ1 et θ2 par rapport à la verticale p2 B2 sont donnés par les expressions suivantes :

θ1 =

1 (90 + φ ) − 1 (ε + β ) 2 2

θ2 =

1 (90 + φ ) + 1 (ε + β ) 2 2

Avec : sin ε = sin β / sin φ et (θ1 + θ2)= (90 - φ) La contrainte σhp n’est pas une contrainte principale et elle est parallèle à la pente du massif. La distribution de σhp le long de la verticale dans le massif est triangulaire car :

σ hp = γ .z cos β . K p (β ) .

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4.2.2 – Sol cohérent (c et φ ≠ 0) 4.2.2.1 – Surface horizontale : Dans le cas d’un sol cohérent, la courbe intrinsèque est représentée par la droite de COULOMB. L’équation de cette droite est donnée par l’expression suivante : τ = σ tan φ + c

(fig. 4.7)

Sur cette figure, l’état de pressions des terres au repos est représenté par le cercle de diamètre égal à AB. La distance OA = σv = γ.z et la distance OB = K0 σv = K0 γ.z. Les équilibres limites de poussée et de butée peuvent être atteint de la façon déjà décrite en 4.2.1. La distance OC représente la contrainte de poussée, tandis que la distance OD représente la contrainte de butée. A partir de l’équation de la droite de COULOMB, on peut déterminer les contraintes σha et σhp. a) Dans le cas de la poussée, le diagramme de la figure 4.7 permet de déterminer la relation suivante :

σ ha

 1 − sin φ  1 − sin φ  = × σ v − 2c  1 + sin φ  1 + sin φ 

σ ha

 1 − sin φ  1 − sin φ  = × γz − 2c  1 + sin φ  1 + sin φ 

1

1

2

2

Ou encore : σ ha = γz . K a − 2c Ka La distribution des contraintes horizontales de poussée est indiquée à la fig. 4.8 ci-dessous. On constate que jusqu’à la distance ht de la surface définie par :

ht =

2c

γ Ka

=

φ  tau  45 +  2 γ 

2c

Le massif exerce des contraintes de traction ou de tension

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τ = σ tan φ + c

Plan de rupture

τ

J Butée

I

φ

c

45° − φ/2

45° + φ/2

c σha

C

D

A B

σ

σv = γ z

σha

σhp

c cotan φ Poussée

G

H

Plan de rupture

Fig. 4.7 : Etats de contraintes de poussée et de butée pour un sol cohérent

− 2c Ka Contrainte ht =

Hc = 2 h t

2c

γ Ka

tension

compression

z

Fig. 4. 8 : Etat de poussée pour un sol cohérent A la surface du sol, cette contrainte de traction est égale à − 2c Ka . De plus, on remarquera sur le diagramme des contraintes de la fig. 4.8 que la résultante des efforts sur une longueur 2ht à partir de la surface libre est nulle. Il est donc vraisemblable qu’une excavation ou une tranchée puisse tenir sous soutènement sur une hauteur voisine de 2ht. Cette hauteur appelée hauteur critique est notée Hc et vaut : 14


Hc =

4c

γ Ka

I. GUEYE

=

φ  tau  45 +  2 γ 

4c

Cette formule donne des valeurs considérables, ainsi pour c = cu = 30 kPa ; γ = 20 KN/m3 et

φ = 0, on a Hc = 6 m. Cette hauteur libre n’est possible qu’à très court terme. Très rapidement l’argile dans les zones voisines des parois de la tranchée se déforme. D’où des fissures à la partie supérieure fig.4.9 ; le retrait en période sèche, accentue celles-ci, les pluies créant ensuite des forces de percolations détruisant l’équilibre à court terme.

Fissures Tranchée Paroi verticale

Fig. 4. 9 : Instabilité des massifs argileux à parement libre

b) Dans le cas de la Butée, le diagramme de la figure 4.8 permet de déterminer la relation suivante :

σ hp =

1 + sin φ 1 + sin φ . σ v + 2c 1 − sin φ 1 − sin φ

σ hp = K p .σ v + 2c K p

La distribution des contraintes de butée σhp est indiquée à la figure 4.10. On constate d’après l’équation ci-dessus que le massif de sol exerce toujours des contraintes de compression.

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2c K p Contrainte

σhp = σv.Kp + 2c Kp

compression

z

Fig. 4.10 : Etat de butée dans un sol cohérent

D’autre part, dans le cas soit de la poussée soit de la butée, pour un massif de sol à surface horizontale β = 0, les contraintes σha et σhp sont des contraintes principales. 4.2.2.2 – Surface inclinée : On considère un massif cohérent indéfini, limité par un plan faisant un angle β avec le plan horizontal. On suppose qu’aucune surcharge n’existe sur le plan limitant le massif et ce dernier n’est donc pas sollicité que par son propre poids, dû aux terres, dont le poids volumique est . Soit (fig.4.11) à l’intérieur du massif un point M, à la profondeur Z. On suppose que le massif étant indéfini et en équilibre, qu’en chaque point de la verticale comprise entre le point M et la surface libre, la direction conjuguée de cette verticale est orienté parallèlement au plan limitant le massif. Dans ces conditions, la contrainte au point M sur la facette parallèle à la surface libre vaut : f = γ .z cos β .

En procédant de la façon décrite en 2.12, on peut tracer le diagramme de MOHR de la figure 4.11. Toutefois, à cause de la cohésion c, le point o ne sera pas confondu avec le point o’, le cercle de MOHR et par conséquent l’orientation des facettes de glissement et des facettes principales dépendent de la profondeur à laquelle se trouve le point considéré.

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τ = σ tan φ + c

τ

Butée P2 A P1

O’

φ

c

O

c

B1

β

D

σha

σ

c cotan φ/ Poussée B2

f = OA = γ .z cos β

Fig.4.11 : Etat de poussée et de butée dans un sol cohérent

Dans ces conditions, il est nécessaire de discuter les diverses solutions que donne le cercle de MOHR lorsque la profondeur du point M varie et lorsque l’inclinaison β , du plan limitant le massif, est plus ou moins grand. Cette discussion étant fort complexe et en dehors du cadre de ce présent cours, il devient nécessaire de noter uniquement que, comme dans le cas précédent où β = 0°, l’on trouve ici aussi une profondeur ht dans laquelle le sol se trouve en traction. Cette profondeur vaut : ht =

2c

γ

φ  tan  45 +  2 

On pourra donc, théoriquement, creuser des tranchées en parois verticales jusqu’au moins cette profondeur. L’apparition de fissures de traction aura comme effet de réduire la hauteur d’excavation.

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4.3 – Calcul des forces de poussée et de butée : Méthode de RANKINE 4.3.1. Principe La méthode de RANKINE consiste à calculer les forces de poussée et de butée agissant contre le mur ou un écran à partir des relations développées à la section précédente. Cette méthode implique qu’en cas de rupture du massif se trouvant derrière l’écran, les plans de glissement puissent se développer tel que montré précédemment. Cette méthode repose donc sur l’hypothèse fondamentale suivante : La présence de discontinuités, provoquées par la présence de murs ou d’écrans dans le massif de sol, ne modifie pas la répartition des contraintes dans le sol, soit au contact entre le sol et l’écran soit à l’intérieur du massif (fig.4.12) :

σv = γ z z

σv

z

β

β f z

z M

f

M

p

Fig. 4.12 : Hypothèse de la méthode de RANKINE

Ainsi, sur un plan parallèle à la surface du massif du sol, la contrainte reste verticale et égale à γ.z cos β . De plus, à la rupture, les contraintes de poussée et de butée, σha et σhp, restent

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I. GUEYE

parallèles à la surface du sol. L’inconvénient d’une pareille hypothèse est d’imposer, en tout point du mur, la direction de la contrainte qui s’exerce sur le mur, et donc de ne pas tenir compte de la valeur du frottement entre le sol et le mur (c'est-à-dire la rugosité de l’écran). Ainsi, dans le cas d’un sol à surface horizontale et d’un mur à paroi verticale, la théorie de RANKINE suppose que le frottement entre le mur et le sol est nul, puisque la contrainte est horizontale. Cette méthode conduit à une répartition triangulaire des contraintes de poussée et de butée sur l’écran et permet d’obtenir le point d’application de la force correspondante. On examine ci-après trois exemples d’application. 4.3.2. Calcul de la force de poussée pour un massif pulvérulent à surface horizontale a) Sol sec (absence de nappe) Soit un mur à parement vertical supportant un massif à surface horizontal, constitué d’un sol pulvérulent sec (fig. 4.13). Si le sol est en état de rupture de poussée, la contrainte qui s’exerce sur le mur est horizontale, principale et a pour expression :  1 − sin φ    1 + sin φ 

σ ha = γ .z K a = γ .z 

σha

Sol : γ et φ

H

Fra Mur H/3

z

Fig. 4.13 : Force de poussée exercée par un massif sec

La répartition est linéaire, et la force de poussée horizontale Fra est appliquée au tiers (H/3) de la hauteur à partir de la base. Elle a pour expression :

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1 H H H Fra = ∫ O σ ha . dz = ∫ O γ .z. K a . dz = γ .z 2 K a ∫ O 2 1 Fra = γ .H 2 K a 2

Où :

φ = 30°,

Exemple 1 : H=10 m,

Ka =

Solution :

γ = 20 kN/m3.

1 − sin φ = 0.333 1 + sin φ

Fra =

1 1 γ H 2 K a = 20 ×10 2 × 0.333 = 333 KN / m linéaire de mur 2 2

Fra est appliqué à 3.33 m de la base du mur. b)

Présence de la nappe

Soit un mur à parement vertical supportant un massif à surface horizontale, constitué d’un sol pulvérulent dont la partie inférieure est saturée (fig. 4.14). Si le sol est en état d’équilibre limite de poussée, la contrainte qui s’exerce sur le mur est horizontale, principale, et a pour expression dans la partie saturée : σha = u + Ka σ’v

a

σ'ha σ'ha = Hw γ Ka

Hw

N. P.

b

H Mur

Sol : γ, γsat, φ

+

σeau = u

c σ'ha = [Hw γ + (H – Hw) γ’]Ka

σh eau = u = γeau (H - Hw)

Fig. 4.14 : Force de poussée exercée sur un mur dans un massif pulvérulent partiellement saturé

Fra =

γ H w.Ka 2

Hw +

1 [γ H w K a + γ ' (H − H w ) K a + γ H w K a ] × (H − H w ) + γ w (H − H w ) 2 2

20

2


I. GUEYE

Exemple 2 H = 10 m

H w = 3m

γ = 18 kN / m 3 γ sat = 20 kN / m 3 γ eau = 10 kN / m 3

φ = 30° Solution : pour φ = 30° → K a = 0.333 Po int a :

σ ha = o

Po int b :

σ ha = K a . γ z = 0.33 ×18 × 3 × 3 = 18 kN / m 2 σ heau = 0

Po int c :

σ ha = p ' 0 K a = [18 × 3 + (20 − 10) 7] K a = (54 + 70) K a = 124 kPa ×

1 = 41.33 kPa 3

a

3m

γ = 18 kN / m 3

  γ sat = 20 kN / m 3   Sable γ eau = 10 kN / m 3   φ = 30 ° 

N. P.

b

10 m

c

3m

Fra1

1

10 m

18

18

+

=

1m

3

2

Fra2

Fra Fra3

7/2 m 7/3 m

41.33

70

21

2.96 m 111.3 111.3


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3 7 + 18 × 7 + (111.33 − 18)× 2 2 = 27 + 126 + 326.66 = 479.66 kN / m

Fra = Fra1 + Fra 2 + Fra 3 = 18 ×

⇒ Fra = 479.66 kN / m

Point d’application : ∑ M c = 0 479 . 66 × Z = 27 × 8 + 126 × 3 . 5 + 326 . 66 ×

7 3

= 216 . 0 + 441 . 0 + 762 . 21 = 1419 . 21 ⇒ Z

=

1419 . 21 = 2 . 96 m 479 . 66

Exemple 3 : Cas de bicouche sable - gravier Déterminer la force de poussée sur le mur ci-dessous. Trouver le point d’application de cette force.

Sable : γ = 20 kN/m φ = 30°

3m

3

Fra1 1m

14.3 20 Gravier : γ = 22 kN/m φ = 38°

7m

3

Fra2

Fra = 257.5 kN Fra3

z = 3.4 m

7/3 m

50.7

z

Solution : Couche de sable :

φ = 30° → K a =

1 − sin φ = 0.333 1 + sin φ

Couche de gravier :

φ = 38° → K a =

1 − sin φ = 0.238 1 + sin φ

22


I. GUEYE

Profondeur : Sable :

z = 3 m : σ ha = γ z . K a = 20 × 0.333

Gravier :

z = 3m :

= 20.0 kPa

σ ha = γ z. K a = 20 × 3 × 0.238 = 14.3 kPa z = 10 m : σ ha = γ z K a = (3 × 20 + 7 × 22 ) 0.238 = 50.7 kPa

1 1 × 20 × 3 + (14.3 + 50.7 )× 7 2 2 = 30 + 227.5 = 257.5 kN / m linéaire de mur

Fra =

Point d’application : ∑ M base = 0 ⇒ 30 × (7 + 1) + 14.3 × 7 ×

7 1 7 + (50.7 − 14.3) 7 × 2 2 3

= 257.5 × Z Z=

240.0 = 350.4 + 297.3 = 3.45 m 257.5

On a toujours besoin du point d’application de la force.

4.3.3

Calcul de la force de poussée pour un massif pulvérulent à surface inclinée

Soit un écran vertical appliqué sur un massif pulvérulent dont la surface libre est inclinée à

β sur l’horizontal (fig.4.14). Si l’on met le sol en rupture de poussée, la force de poussée exercée est donnée par : Frp = ∫0 σ ha dz H

La contrainte σha exercée sur le sol est inclinée à l’angle β sur l’horizontale et a pour valeur :

σ ha = γ z cos β . K a β

Sol : γ, φ Fra = 1/2 γ H cos β Ka 2

H

H/3 σ'ha = γ H cos β . Ka

Fig. 4.14 : Force de poussée sur un massif pulvérulent à surface inclinée. 23


D’où :

Fra =

I. GUEYE

1 γ H 2 cos β . Ka 2

Exemple 4 : Déterminer la force de poussée dans le cas du mur ci-dessous

β = 20°

Sol : γ = 20 kN/m φ = 30°

3

Fra = 1/2 γ H cos β Ka 2

8m 2.67 m σha = 66.3 kPa

Solution :

Ka =

cos β − cos 2 β − cos 2 φ cos β + cos 2 β − cos 2 φ

=

0.94 − 0.883 − 0.750 0.94 + 0.883 − 0.750

= 0.441

1 1 Fra = γ H 2 K a cos β = 20 × 8 2 × 0.441× 0.940 = 265.3 kN / m 2 2

Point d’application : Z = H = 8 = 2.67 m 3 3

σ ha à z = 8 m Fra =

:

σ ha = γ H cos β . K a = 66.3 KPa

66.3 × 8 = 265.3 KN / m 2

4.3.4 Calcul de la force de poussée pour un massif cohérent à surface horizontale Soit un mur à parement vertical supportant un massif cohérent à surface horizontale (fig. 4.15) et d’angle de frottement φ et de cohésion c. Si le sol est en état de rupture, de poussée, la contrainte qui s’exerce sur le mur est horizontale, principale et a pour expression :

24


I. GUEYE

σ ha = γ z . K a − 2c K a d ' où : Fra = ∫0 σ ha dz = ∫0 γ z.K a dz − ∫O 2c K a dz H

A

H

1   soit  Fra = γ H 2 K a − 2c K a . H  2  

− 2c Ka tension

ht

Hc = 2 h t

Sol : γ, c et φ

σ ha = γ z . K a − 2c K a

H

compression

Fig. 4.15 : Force de poussée exercée par un massif cohérent

Exemple 5 : Déterminer la force de poussée sur le mur illustré ci-dessous. Trouver le point d’application de la résultante.

- 12.7 kPa

σha

ht = 1.57 m

H = 10 m

Sol : γ = 20 kN/m c = 10 kPa φ = 25°

3

Fra = 278 kN/m

Ka =

1 − sin φ = 0.405 1 + sin φ

Z = 2.57 m

68.3 kPa

25


I. GUEYE

Solution : z = 0 m : σ ha = − 2c ht =

Ka = − 2 × 10 0.405 = 12.7 kPa 2c

γ Ka

=

2 × 10 20 0.405

= 1.57 m

z = 10m : σ ha = γ z K a − 2c K a = 20 × 10 × 0.405 − 12.7 = 81.0 − 12.7 = 68.3 kPa

1 γ H 2 K a − 2c K a H = 20 × 10 2 × 0.405 − 12.7 × 10 2 = 405 − 127 = 278 kN / m de mur

Fra =

La force de poussée Fra aurait pu être calculée en faisant la somme des surfaces de la distribution, soit :

1 1 Fra = − ×12.7 ×1.57 + 68.3 (10.0 − 1.57 ) = − 9.97 + 287.9 = 278 KN / m 2 2

(10 − 1.57 ) = 278 Z 2   ∑ M base = 0 → − 9.97 × 10 − 1.57 + ×1.57  + 287.9 × 3 3 Point d’application :   Z = 2.57 m

Remarques i. Vu l’impossibilité pour la plupart des sols de résister aux contraintes de traction, la partie en extension de la répartition des contraintes est souvent négligée. Dans ce cas, on aurait Fra = 288 kN/m. ii. A long terme, la cohésion du sol en arrière du mur à tendance à disparaître, ce qui entraîne la disparition des zones en extension et, dans ce cas, Fra =

1 1 γ H 2 K ra , soit : Fra = 20 ×10 2 × 0.405 = 405 kN / m 2 2

Exemple 6 : Déterminer la force de poussée sur le mur illustré ci-dessous. Déterminer la répartition des contraintes sur le mur et le point d’application de la résultante.

26


I. GUEYE

- 12.3 kPa ht = 1.81 m

3m

1.19 m 8 kPa

H = 10 m

Sol Sol : γ = 18 kN/m 3 γ' = 10 kN/m 3 γω = 10 kN/m c’ = 10 kPa φ = 27° 3

+ sol

eau

34.3 kPa

70 kPa

Solution : z = 0 m : σ ha = − 2c' K a = 2 ×10 0.376 = − 12.3 kPa ht = z = 10 m

2c '

γ Ka

= 1.81 m

: σ ha = p' 0 K a − 2c' K a

= (3 ×18 + 7 × 10 )× 0,376 − 12 = 46.6 − 12.3 = 34.3 kPa

z = 3 m : σ ha = 3 ×18 × 0.376 − 12.3 = 8.0 kPa 1 1 1 − Sols : Fra = − ×12.3 ×1.81 + ×1.19 × 8 + (8 + 34.3)× 7 = 11.1 + 4.8 + 148.1 = 141.8 kN / m 2 2 2 − Eau : Feau =

1 70 × 7 = 245 kN / m 2

− Force totale = Fra + Feau = 141.8 + 245.0 = 386.8 kN / m

Point d’application de la résultante : Σ M base = 0 2 1 7      − 111×  7 + 1.19 + ×1.81 + 4.8 7 + ×1.19  + (8.0 )  7.0 +  3 3 2      1 7 1 7 + (34.3 − 8)× 7 × + 7 × 70 × = 386.8 Z 2 3 2 3 Z = 2.37 m de la base du mur

27


I. GUEYE

4.4 – Calcul des forces de poussée et de butée : Méthode de Coulomb Mise au point par COULOMB en 1773, cette méthode permet de déterminer les forces de poussée et de butée s’exerçant derrière un écran ou un mur quelconque sans considération de l’état des contraintes exerçant dans le sol derrière le mur. Elle repose sur deux (2) hypothèses : Le sol se rompt suivant une surface plane passant par le pied de l’écran. La force agissant sur l’écran à une direction connue. En d’autres termes, cela signifie que l’angle de frottement entre l’écran (ou le mur) et le sol est connu. Ces deux (2) hypothèses faites, la force agissant sur le mur est calculée par simples considérations d’équilibre statique. Le calcul sera d’abord conduit dans le cas des sols pulvérulents, puis étendu au cas des sols cohérents. 4.4.1 – Principe Soit un mur de soutenant un massif de sol pulvérulent, d’angle de frottement φ . On suppose que la surface de rupture est le plan AC faisant l’angle ρ avec l’horizontale (fig. 4.16) En chaque point M du plan de rupture s’exerce une contrainte Τ faisant l’angle φ avec la normale au plan. Donc, la réaction R du sol sur ce plan de rupture fait avec la normale à ce plan l’angle φ . Le principe consiste à écrire l’équilibre statique du coin de sol ABC entraîné dans la rupture sous l’action des forces qui lui sont appliquées et qui sont : -

Son poids W

-

La force Fca ou la force de poussée de COULOMB

-

La réaction R exercée par le sol sur le plan de rupture

On détermine ainsi la valeur de la force Fca en fonction de l’angle ρ que fait le plan de rupture avec l’horizontale.

28


I. GUEYE

β

C

θ=α−δ

B τ W

Fca θ

M φ

H

ψ

R

Plan de rupture Mur δ

Fca

α

ρ

ψ =ρ−φ

φ

R

W

A a) Prisme de rupture

b) Polygone des forces

Fig. 4.16 : Principe du calcul de la poussée par la méthode COULOMB

La force de poussée correspondra au maximum de la force F(ρ) on écrira :

dF =0 dρ La formule générale est la suivante dans le cas de la poussée : 1 Fca = γ H 2 K ca 2

Avec :

      sin 2 (α + φ )  K ca = 2      ( ) ( ) φ δ φ β sin + sin − sin 2 α sin (α − δ ) 1 +    sin (α − δ ) sin (α + β )    

Remarque : Cette théorie ne permet pas de déterminer le point d’application de la force Fca. On suppose la répartition des contraintes triangulaire et le point d’application de la force résultante est ainsi au tiers (H/3) inférieure de la hauteur. Dans le cas de la butée, la force Fcp a pour expression : (voir aussi fig. 4.17)

Fcp =

1 γ H 2 K cp 2

29


I. GUEYE

      sin 2 (α − φ ) Avec :  K cp = 2    sin (φ + δ ) sin (φ + β )   sin 2 α sin (α + δ ) 1 −    sin (α + δ ) sin (α + β )    

β

C B

θ=α+ρ

Fcp W

Fca H

Plan de rupture

δ

R

θ ψ

Mur ρ

α

W

φ

R ψ=ρ+φ

A a) Prisme de rupture

b) Polygone des forces

Fig. 4.17 : Etat de butée de COULOMB

Dans le cas de la butée, la force Fcp correspond au maximum de la résistante du sol. La répartition est assumée aussi triangulaire et au point d’application de la résultante se situe au tiers de la hauteur à partir de la base. Exemple 7 : Déterminer la force de poussée par la méthode de coulomb du mur suivant :

30


I. GUEYE

β = 20° B

γ = 20 kN/m

3

Kca = 0.470

φ = 30° H=8m

Fca = ½ γ H Kca 2

β = 20°

Mur Mur

2

= ½ 20 x 8 x 0.470

δ = 15°

Fca = 300.8 kN/m

3

α = 85° A B

Fca = 300.8 kN/m

3

Normale à AB

15°

Z = 2.67 m

σha = [γγ H Kca ]/sin 85°

α = 85°

= [20 x 8 x 0.470]/sin 85° = 75.5 kPa A

4.4.2 – Effet d’une surcharge uniforme

(fig. 4.18 ci-dessous)

q C β

B

AB sin (α + β)

α

Plan de rupture W

Mur

H δ

R Fca

φ

α

Parallèle à AB A

Fig. 4.18 : Coin de COULOMB

31


I. GUEYE

Dans le cas de la fig. 4.18, le coin ABC est toujours soumis à trois forces R , Fca et W , mais au lieu des poids W’ des terres, il faut maintenant prendre en considération le poids des terres (W’) et de surcharge ( q . BC). On a ainsi : W = W ' + q . BC

Soit : W =

[

]

1 γ AB sin (α + β ) + 2q . BC 2

1 γ 1 . AB sin (α + β ). BC 2 Que l’on peut écrire : 2q avec γ 1 = γ + = densité équivalente AB sin (α + β ) W=

Autrement dit, tout se passe comme si le coin était chargé mais avec un poids volumique fictif γ 1 . On trouvera par conséquent la même position de la ligne de glissement réelle et la même expression pour la poussée. On aura poussée totale : 1 γ H 2 K ca 2 sin α 1 Fca = γ H 2 K ca + q . H . K ca 2 sin (α + β )

Fca = Soit :

1  2H '  γ H 2 K ca 1 + 2 H   q sin γ la hauteur : H ' = est appelée hauteur fictive ou équivalente γ sin (α + β ) ou encore : Fca =

Pour déterminer la répartition des contraintes sur le mur et le point d’application de la résultante, il suffit de se rappeler que la distribution des contraintes sur l’écran résulte de l’addition d’une distribution triangulaire et d’une distribution uniforme (voir fig. 4.19).

32


I. GUEYE

q

q H Kca /sin (α + β) β (surcharge)

β

B

Fca

α

½ γ H Kca (sols) 2

H δ

H/2

α

σha = (γ H sin α) . Kca

H/3

σha = γ H’ Kca . sin α (surcharge) 2 β = [q Kca . sin α]/ sin (α + β)

A

Fig. 4.19 : Répartition des contraintes le long du mur

Exemple 8 : Déterminer la force de poussée sur le mur illustré à la figure ci-dessous :

q = 100 kPa

487 kN/m (surcharge)

β = 20° γ = 20 kN/m

959 kN/m

3

φ = 30° 472 kN/m (sols)

α = 85° H = 10 m

δ = 20° β = 20° α

- Kca = 0.472

H/2 4.18

H/3

σha = 94.0 kPa (sols) σha = 48.5 kPa (surcharge)

sin α 1 Solution : Fca = γ H 2 K ca + q.H . K ca 2 sin (α + β )

1 0.996 20 × 10 2 × 0.472 + 100 × 10 × 0.472 × 2 0.966 = 472 + 487 = 959 kN / m

soit : Fca =

33


I. GUEYE

Répartition des contraintes z = H = 10 m

: Sols

: σ ha = γ H K ca sin α = 94.0 kPa

Surch arg e : σ ha =

q K ca sin 2 α = 48.5 kPa sin (α + β )

Point d’application : Z : ΣM base = 0 10 10 + 487 × = 1573 + 2435 = 4008 3 2 Z = 4008 / 959 = 4.18 m de la base du mur

959 × Z = 472 ×

4.4.3 - Méthode graphique de CULMAN (Méthode de COULOMB graphiquement) Lorsque les conditions géométriques ne permettent pas de déterminer analytiquement la force de poussée ou de butée (ex. surface non régulière), on utilise une méthode graphique qui est basée sur la théorie de COULOMB et qui est due à CULMANN. (Chargement répartie ou ponctuel ne couvrant pas toute la surface du sol). 4.4.3.1 – Sols pulvérulents

Cette méthode consiste à calculer la force de poussée exercée sur le mur pour différentes valeurs d’inclinaison du plan de rupture. En reportant ces valeurs sur un graphique, on détermine, à partir de la courbe obtenue, le maximum qui correspond à la valeur de la force de poussée Fca. La figure 4.20 suivante donne les éléments de la démonstration, l’écran AB, la surface libre BT, la ligne de glissement hypothétique AC faisant l’angle µ avec la verticale, une ligne auxiliaire AD qui fait avec l’horizontale l’angle φ, une AS appelée ligne de position définie par l’angle φ = α − δ qu’elle fait avec AD, θ étant l’angle que fait Fca avec la verticale. Par un point C1 choisi, traçons la parallèle à AB, elle coupe AD en d1 ; par d1 traçons la parallèle à AS, elle coupe AC1 en e1. Le triangle Ad1 e1 est semblable au triangle des forces (fig. 4. 20 b) ; ou encore on passe du triangle des forces au triangle Ad1e1 par une rotation (90° + φ) tel qu’indiquée à la figure 4.20c. On a : Fca e1 d 1 1 = Comme w = γ w Ad1 2

L BC 1231 Aire du triangle

34

Fca =

1 γL 2

Bc1 × e1 d 1 Ad 1


I. GUEYE

T C2 C1

direction parallèle à AB

Ci

D

e2 B

droite faisant avec

e1

l’horizonle l’angle φ

µ2 Mur H

d2 ei

µ1

δ

direction parallèle à AS

d1

µι di

θ φ

α

θ=α−δ

H

A

(a) ligne de position horizontale

S Fcai

φ + µι

Ri Ri

Wi

φ

θ

ei

90° + φ

µι

θ

Wi

Fcai

X e1

(b) Polygone des forces

(c) Rotation

Wi

di

µ2

Ci

W1

µ1

Fca

e2

d1

B

horizontale µι

Ri µι

direction faisant avec W2

l’horizonle l’angle φ + µ d2

direction parallèle à Fcai

φ

La direction de Ri fait l’angle (φ φ + µi) avec l’horizontale A

D

(e)

Fig. 4.20 : Construction de CULMANN

35

(d)


I. GUEYE

Or quand c varie, le rapport BC1/Ad1 reste constant, donc Fca est directement proportionnelle à e1d1, le maximum de Fca sera aussi celui de eidi. Quand Ci décrit la surface libre du massif, le point ei décrit la courbe Aei appelée courbe de CULMANN. La valeur maximale eidi atteinte, correspond au point ei pour lequel la tangente à la courbe de CULMANN est parallèle à AD. La tangente à la courbe de CULMANN permet donc de trouver une valeur minimale pour eidi, donc de trouver la valeur de Fca. 1 D’autre part, le rapport BCi/Adi étant constant et Wi = γ L BC i , donc Adi est directement 2

proportionnel à W i. On pourra adopter pour la fig. 4.20a, une échelle des longueurs définissant l’échelle des forces sur AD avec W ABCi = Adi. Pour chaque position de Ci on aura Adi = W i. Etant donné que Fcai = diei, on pourra mesurer selon l’échelle des forces imposée, pour trouver Fcai. D’une autre manière, on peut conserver les directions d’action de W , Fca et R tel que montre à la fig. 4. 20d. Ceci équivaut à une rotation de (90 + φ ) de la fig. 4 20a. Soit D la verticale et la ligne d’action des W i, on peut alors choisir sur AD une échelle des forces arbitraire. W i correspondant au coin défini par µi et W i = Adi (fig. 4.20d). La ligne d’action que

R fait l’angle (µi + φ) avec l’horizontale (fig. 4.20e) ; la ligne d’action de Fca fait l’angle

(α − δ )

avec la verticale. Traçons (fig. 4.20 d) ces deux droites respectivement par A et di,

elles se coupent en ei, diei représente Fcai. Il est intéressant de tracer la droite AX inclinée de

φ par rapport à l’horizontale ; à partir de cette droite, ou devra simplement prendre chaque coin ABCi considéré, la droite faisant avec AX l’angle µi. La courbe de CULMANN étant trouvée, la valeur maximale de diei donne Fca qui correspond au point ei pour lequel la tangente à la courbe est parallèle à la droite AD.

Des applications typiques de la méthode graphique de CULMANN sont présentées aux figures 4.21 : surface du massif irrégulière, 4.22 : charge ponctuelle linéaire et 4.23 : charge répartie en bande.

36


C3

(a)

C1 B

I. GUEYE

Ci

C4

(b)

A

φ

C2

e1 µ4

µ1

θ

µ3

X

µ2

e2 W1

µ2 µ1

Ri

di

φ

e3

µ3

d2

Surface réelle trouvée

µ4

W2 d3

Fcai

W3

A

W4

e4

direction de R s’appliquant

d4

sur le plan de rupture

Fig. 4.21 : Méthode de CULMANN

C4

(a)

(b)

A

φ

Q (kN/m) C3 e1 C2 B

W1

µ3

di

eq e’2

µ2

A

µ2

e2

µ4

µ1

X

µ1

C1

d2 e3

W2 Ri

dq

φ

W2 + q

µ3 µ4

Fca e4

Surface de rupture réelle trouvée W3

d3

W4

d4

direction de R sur le plan de rupture trouvée

Fig.4.22 : Charge ponctuelle linéaire – Méthode de CULMANN

37


I. GUEYE

(b) A

(a) Q2 Q1

φ e1

Q1 = q L1

µ1

Q2 = q L2

L2

C5

q (kPa)

L1

C4

W1

e2 di

X

µ2 µ3

e3

µ4 C3 C2 B

C1

µ( µ∋ µ3

W2

d2

W3

d3

e4 Fca

µ5

e5

µ2 µ1

Ri

A

φ

W4

d4

W5

d5


Surface de rupture réelle trouvée

Fig. 4.23 : Charge répartie en bande – Méthode de CULMANN

Point d’application de Fca. Il convient de noter que la méthode de CULMAN ne donne que l’intensité de la poussée, il reste à préciser son point d’application, ce qui revient au même, la distribution des contraintes sur l’écran, on divise le parement AB (fig. 4.24) en un certain nombre de segments égaux (3 en général), AB1, B1B2, et B2B et l’on admet que la répartition des contraintes est linéaire sur chacun de ces segments. Pour déterminer cette répartition, on calcule par la méthode de CULMANN la poussée qui s’exerce sur les parements BB2 et BB1, soit P1 et P2. On connaît déjà la poussée qui s’exerce sur le mur AB. La répartition des contraintes a donc pour résultante P1 sur BB2, P2 – P1 sur B2B1 et P - P2 sur B1B. Si l’on cherche à préciser le point d’application de P, il suffit de prendre les moments par rapport à

(

)

la base, B Σ M B = 0 .

38


I. GUEYE

C3 C’3 C2 C’2 C1 C’1 B B

H/3 P1

B2 B2

H/3

P1

P2 – 2P1 P2 – 2P1

B1 B1

H/3

P – 2(P2 – P1) A

A

(b) Diagramme

(a) Mur

H/3

2P1

H/3 2(P2 – 2P1) P – 2(P2 – P1)

H/3

H/9

(b) Points d’application des différentes

Fig. 4.24 : Répartition des contraintes et point d’application de la résultante

2H H H + 2 (P2 − 2 P1 )× [P − 2 (P2 − P1 )] 3 3 9  2 2 2  P * P .Z = H  P2  −  + P1  + H  3 9 9  9

* P . Z = 2 P1 ×

2 1  4 H  P2 + P1 + P  9 9  9 Soit Z= P H [2 P1 + 4 P2 + P ] Ou encore Z = 9P

39


I. GUEYE

4.4.3.2. – Sols cohérents

Dans le cas des sols cohérents, le problème est plus complexe sur le plan de rupture, les contraintes tangentielles τ et normales σ sont, en effet, liées par la relation de COULOMB.

τ = c + σ tan φ Avec : c = cohésion du sol φ = angle de frottement interne du sol

Il en résulte, dans l’équilibre du prisme de rupture, une force supplémentaire C parallèle au plan de rupture, due à la cohésion. De plus, le long de l’écran il existe une force d’adhérence C a . Ces deux (2) forces doivent être ajoutées à W , Fca et R , ce qui rend le problème assez complexe. Cette méthode est illustrée à la fig. 4.25 ci-dessous.

(b)

(a) φ

fissures Ht

µι

B

Fcai

X

Ci B1

Ca

H δ

µι

Ca

C

Fcai A

Ri

φ

C Wi

Ca = AB1 . adhésion C = ACi × cohésion

Fig. 4.25 : Sol cohérent

40



I. GUEYE

4.5 - Calcul des forces de poussée et de butée : Méthode de BOUSSINESQ La théorie de RANKINE (ou de COULOMB) est très simple, mais ses applications pratiques sont parfois limitées. Ainsi les lignes de glissement que l’on observe sur place ne sont pas habituellement rectilignes. De plus les massifs sont souvent limités par des parois, murs ou écrans et l’on constate que la rugosité de ces écrans joue un rôle important, l’équilibre de RANKINE (ou de COULOMB) ne permet pas d’en tenir compte. La fig. 4. 27a donne un exemple dans le cas de la poussée. On constate que les lignes de glissement diffèrent peu des lignes droites, c’est un résultat assez général surtout lorsque l’écran est proche de la verticale. Il n’en va plus de même pour la butée, où les lignes de glissement sont courbes comme le montre la fig. 4. 27b.

H

Plan de rupture

Plan de rupture

(b) Butée

(a) Poussée

Fig. 4.26 : Schémas de ruptures véritables

La théorie de BOUSSINESQ tient compte de la rugosité de l’écran et respecte la courbure des lignes de glissement observées expérimentalement au voisinage de l’écran. En pratique on utilise des abaques ou des tables (Caquot & Kérisel ou Absi) pour trouver les coefficients de poussée et de butée.

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I. GUEYE

4.6 – Comparaison des différentes méthodes 4.6.1. – Comparaison a) RANKINE : basée sur toute une zone de rupture, elle présente l’inconvénient d’imposer à priori la valeur du frottement entre le sol et le mur b) COULOMB : la zone de rupture est réduite à un plan de rupture et il n’y a aucune prise en compte de l’état des contraintes dans le sol. L’hypothèse du plan de rupture est relativement bien vérifiée pour les sols pulvérulents en état de poussée, mais ne l’est pas ni pour les sols cohérents, ni pour les états de butée. c) BOUSSINESQ : c’est la plus satisfaisante des trois (3) méthodes compte tenu des hypothèses faites. 4.6.2. – Choix d’une méthode Dans le calcul des forces de poussée et de butée, le choix d’une méthode dépend également de la géométrie de l’ouvrage. a) Mur vertical et surface libre horizontale : la méthode de RANKINE, malgré ses simplifications, est dans ce cas fréquemment utilisée. Il convient cependant de vérifier si l’hypothèse de frottement nul n’est pas trop éloignée de la réalité, auquel cas la méthode de BOUSSINESQ ou la méthode de COULOMB peut être employée. b) Mur plan incliné et surface libre inclinée : la méthode de BOUSSINESQ permet un calcul correct des forces de poussée et de butée. On utilise ainsi la méthode de COULOMB dans le cas des problèmes de poussée. c) Mur quelconque et surface libre quelconque : on applique la méthode de COULOMB avec résolution graphique CULMANN. Seule utilisable.

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I. GUEYE

B – OUVRAGES DE SOUTENEMENT 4.7 – Différents types d’ouvrages de soutènement Le rôle des ouvrages de soutènement est de retenir un massif de terre. Il existe en grande variété, chacun des types ou presque nécessitant une méthode spécifique d’étude et de contrôle du dimensionnement assurant la stabilité. Tous ces ouvrages ont en commun la force de poussée exercée par le massif de terre retenu. Par contre, c’est principalement la manière dont cet effort de poussée est repris qui sépare les différents types d’ouvrages. Trois modes peuvent être distingués : • La poussée est reprise par le poids de l’ouvrage de soutènement ; • La poussée est reprise par encastrement de l’ouvrage de soutènement ; • La poussée est reprise par les ancrages. Le tableau 3 ci-dessous montre les divers types d’ouvrages de soutènement classés d’après la distinction précédente. 4.7.1 : Cas où la poussée est reprise par le poids de l’ouvrage i.

Le type d’ouvrage le plus classique et le plus ancien est le mur poids en béton ou en maçonnerie. Ce sont des ouvrages rigides qui supportent très mal les tassements différentiels.

ii.

Les murs en terre armée sont des ouvrages souples qui supportent assez bien les tassements différentiels du sol.

iii.

Les ouvrages cellulaires utilisés principalement dans les travaux maritimes forment également des ouvrages souples.

4.7.2 : Cas où la poussée est reprise par encastrement de l’ouvrage i.

Le mur cantilever en béton armé qui, doté d’une base élargie encastrée à la partie supérieure du sol, fonctionne sous l’effet du poids du remblai ; un mur cantilever peut d’ailleurs être considéré comme un ouvrage poids si l’on y inclut le poids du remblai compris entre le mur et la verticale (1) passant par l’extrémité arrière de la semelle (fig. 4.28), les murs cantilever sont également des ouvrages rigides.

43


ii.

I. GUEYE

Les murs en parois moulés qui fonctionnent également par encastrement, en totalité ou en partie.

iii.

Les rideaux de palplanches, encastrés dans le sol de fondation : ce sont des ouvrages de soutènement flexibles, où l’interaction structure - remblai a une influence prépondérante sur le comportement de l’ouvrage.

Tableau 4.3 : Classification des ouvrages de soutènement d’après le mode de reprise de la poussée Mode de reprise de la poussée

Ouvrages de soutènement

Poids de l’ouvrage

Mur poids en béton ou en maçonnerie

Mur en terre armé

Ouvrages cellulaires

Mur cantilever en béton armé

Paroi moulée

Rideau de palplanches

Mur en béton ancré

Paroi moulée ancrée

Encastrement

Ancrage

44

Rideau ancré


I. GUEYE

C B

Fa

Fa = Force de poussée A

Fig. 4.27 : Mur cantilever en béton armé

4.7.3 : Cas où la poussée est reprise en totalité ou en partie par les ouvrages Dans les ouvrages de soutènement en déblai, l’effort de poussée est fréquemment repris en partie par des ancrages (murs et parois moulées ancrés). Il en est de même pour les rideaux de palplanches, lorsque le sol de fondation est trop résistant et ne permet pas d’enfoncer les palplanches à une profondeur suffisante.

4.8 – Dimensionnement des murs poids en maçonnerie ou béton Dimensionner un mur poids consiste à déterminer sa géométrie et sa structure pour qu’il soit stable sans l’action des forces qui lui sont appliquées à savoir (fig. 4.28) : - le poids du mur W - la force de poussée Fa - la force de butée F p - la réaction du sol R Ν.Β : γsat sera utilisé pour le calcul de la force la poussée s’il n’y a pas de protection, si pas de nappe (infiltration par exemple).

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W

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Fa = force de poussée Fa

F p = force de butée

R = réaction du sol

W = poids du mur

Fp

R

Fig. 4. 28 : Forces s’exerçant sur un mur poids

Comme pour tout ouvrage de soutènement, le dimensionnement d’un mur comporte les étapes suivantes : • Calcul des efforts de poussée et de butée, • Sécurité au renversement, • Sécurité vis-à-vis d’un glissement sur la base du mur, • Sécurité vis-à-vis d’une rupture du sol de fondation, • Sécurité vis-à-vis d’un grand glissement englobant le mur, • Sécurité vis-à-vis de la stabilité interne du mur. 4.8.1 : Calcul des efforts de poussée et de butée En premier lieu, il convient de vérifier que les déplacements du mur sont suffisants pour mobiliser la poussée ou la butée. En fait, le déplacement du pied du mur n’est généralement

( ) est

pas suffisant pour mobiliser l’état de butée à l’aval ; c’est pourquoi cette force F p

rarement prise en compte. Lorsqu’il n’y a pas possibilité de déplacement du mur, comme cela est le cas pour un pont cadre ou dalot, la force de poussée doit être calculée avec le coefficient Ko et non avec Ka. La force de poussée doit, par ailleurs, être calculée en fonction des conditions hydrauliques probables les plus défavorables derrière le mur. Il faut avoir présent à l’esprit qu’un remblai horizontal totalement saturé d’eau pousse environ 2.5 fois plus que le même remblai sec. Il convient donc d’éviter toute saturation du remblai et de prévoir un dispositif de drainage. 46


I. GUEYE

Habituellement, pour la plupart des murs poids, les efforts de poussée sont calculés d’après la théorie de COULOMB (CULMANN inclus). 1 Fca = γ H 2 K ca 2

4.8.2 : Sécurité au renversement La sécurité au renversement traduit son équilibre statique par rapport au moment des forces exercées. Le coefficient de sécurité peut être déterminé en considérant l’équilibre lorsque le mur se renverse autour de son arête extérieure. Au dessus de la base, le mur est sollicité par deux types de forces (fig. 4.29)

Fa

W

d2

d1

Fig. 4.29 : Sécurité au renversement

a) Des forces qui tendent à stabiliser le mur, principalement le poids W, b) Des forces qui tendent à renverser le mur, principalement la force de poussée. On définit le coefficient de sécurité au renversement :

FR =

Σ M stab . W . d 1 = ≥ 1 .5 Σ M renvers. Fa ⋅ d 2

On utilise parfois la règle du tiers central, qui consiste à s’assurer que la réaction R (fig. 4.28) sur la base passe dans le tiers central de la semelle de fondation. Cette règle équivaut à ce que, dans une distribution linéaire des contraintes verticales sous la semelle, aucune

47


I. GUEYE

zone de cette semelle ne soit pas en traction. Si la résultante est dans le 1/3 central alors toute la section est en compression. 4.8.3 – Sécurité vis-à-vis d’un glissement sur la base du mur Le déplacement du mur par glissement sur le plan de sa fondation est la deuxième éventualité à envisager (fig. 4.30)

N

R

N B

Fig. 4.30 : Sécurité au glissement

Il faut comparer : La composante T de la résultante R sur le plan de la fondation La résistance que terrain est capable d’opposer au glissement, à savoir : C a . B + N tan δ

Avec :

B N

= largeur du mur à la base = composante normale de R

C a = adhésion ou adhérence

δ

= angle de frottement entre le sol et la base du mur.

Le coefficient de sécurité au glissement est alors égal à : FG =

C a . B + N tan δ ≥ 1 .5 T

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I. GUEYE

4.8.4 – Sécurité vis-à-vis d’une rupture de sol de fondation La sécurité vis-à-vis d’une rupture du sol de fondation est obtenue par l’adoption d’un coefficient de sécurité égal à 3 sur la capacité portante du sol de fondation relative à une charge excentrée et inclinée (fig. 4.31).

R D

B

Fig. 4.31 : Surface de rupture du sol de fondation

4.8.5 : Sécurité au grand glissement Il y a rupture par grand glissement lorsque la partie du massif de sol glisse en englobant le mur, la surface de rupture passant alors à l’arrière du mur (fig. 4.32). Le coefficient de sécurité correspondant est défini comme le rapport du moment des forces motrices (forces de pesanteur) au moment des forces résistantes mobilisables le long de la surface de rupture. La valeur du coefficient de sécurité doit être supérieure ou égale à 1.5. Cette équation est examinée éventuellement en détail dans le chapitre sur la stabilité des pentes.

49


I. GUEYE

Surface de rupture

Fig. 4.32 : Rupture par grand glissement

4.8.6 : Stabilité interne du mur Il reste à s’assurer que les contraintes dans la maçonnerie restent inférieures aux contraintes admissibles. C’est un problème de résistance des matériaux. En principe, on ne doit pas faire travailler de la maçonnerie ou du béton non armé à la traction, il faut donc, dans ce cas, que la résultante des forces tombe dans le tiers central de chaque section le long du mur.

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I. GUEYE

4.8.7 : Dimensions usuelles d’un mur poids Il est indiqué à la fig. 4.33 les proportions les plus usuelles d’un mur de soutènement gravitaire. Ces indications peuvent servir pour dégrossir un avant projet.

H/12 (min = 30 cm)

t/2 à t H t = (H/8 < t < H/6)

½ H à 2/3 H

Fig. 4.33 : Dimensions usuelles d’un mur poids

4.9 – Mur de soutènement cantilever en béton armé 4.9.1 – Principe La conception des murs de soutènement cantilever en béton armé diffère sensiblement de celle des murs poids. Les terres sont retenues par un voile vertical dont l’équilibre est assuré par une semelle qui se prolonge sous le remblai (fig. 4.34). Cette semelle supporte le poids des terres dont le rôle stabilisateur est évident. La partie la plus délicate de l’ouvrage se situe à l’encastrement du voile dans la semelle, il se développe là des moments fléchissant notables. La méthode habituelle dans le cas des murs de type cantilever consiste à calculer la force de poussée sur le parement fictif (AB) en utilisant les hypothèses de RANKINE. Ce faisant, l’on assume que les plans de glissement inclinés à θ 1 et θ 2 par rapport à la verticale AB, puissent se former sans interférence de la part du mur.

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I. GUEYE

β

B Plan de rupture

Verticale

θ1

θ2

Plan de rupture

2

Fra = ½(g AB) [RANKINE] β

H

AB/3

A

Fig. 4.34 : Mur de soutènement cantilever en béton armé

Les critères de stabilité (renversement, glissement, etc..) sont les mêmes que pour les murs poids, sauf que l’on permet l’existence des forces de traction dans la voile. Ces forces sont reprises par les armatures d’acier.

4.9.2. – Dimensions usuelles d’un mur cantilever La figure 4.35 résume les dimensions les plus courantes des ouvrages de ce genre.

H/24

H

B/3 H/12 H/12

B = H/2 à 2/3 H

Fig. 4.35 : Dimensions usuelles d’un mur cantilever

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I. GUEYE

4.10 – Rideaux de palplanches 4.10.1 – Généralités Les rideaux de palplanches sont constitués de palplanches sont constitués de palplanches métalliques en général, emboîtées les unes dans les autres et battues dans le sol de fondation, pour former un écran vertical, le plus souvent rectiligne, servant de soutènement à un massif de sol. Les rideaux de palplanche peuvent constitués des ouvrages provisoires (batardeaux) ou définitifs. Leur caractéristique essentielle est que le soutènement ainsi formé est souple, ce qui nécessite une méthode spécifique de dimensionnement. Outre les sécurités classiques d’une rupture par renversement ou grand glissement, la méthode consiste à vérifier que les déformations du rideau restent en tout point admissibles, c'est-à-dire que la contrainte maximale dans la palplanche ne dépasse pas le taux de contrainte admissible pour l’acier, soit (fig. 4. 36)

h X

X

Z = module de résistance = 2I/h I = moment d’inertie h = hauteur (épaisseur) Fig. 4.36 : Caractéristiques d’une palplanche

σ max =

M max ≤ σ adm Z

Avec : Mmax = moment maximum Z

= Module de résistance

σadm = contrainte admissible de l’acier On distingue deux (2) types de rideaux : Les rideaux ancrés, Les rideaux sans ancrages

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I. GUEYE

Dans ce dernier cas, la stabilité est assurée uniquement par les réactions du sol sur la partie enterrée que l’on appelle la fiche, c’est le cas de la plupart des batardeaux (fig. 4.37)

Eau

Palplanche

D = Fiche

Fig. 4.37 : Exemple de Batardeau

Les rideaux ancrés au contraire doivent une part de leur stabilité à une ou plusieurs lignes de tirants qui sont reliés à des plaques d’ancrage enterrées dans le sol à quelque distance de la paroi. Ces tirants sont attachés sur le rideau dans sa moitié supérieure. Les murs de quai en palplanches sont généralement des rideaux ancrés (fig. 4.38)

ancrage Palplanche

Remblai

Eau

D = Fiche

Sol

Fig. 4.38 : Exemple de mur de quai ancré

Les rideaux ancrés résistent donc à la poussée des terres à la fois grâce aux efforts d’ancrage et grâce à la butée sur la fiche. La flexibilité du rideau et l’importance de la fiche jouent un rôle important dans la détermination de la butée.

54


I. GUEYE

4.10.2 – Méthodes de calcul Deux méthodes classiques sont couramment utilisées : La première, où le rideau est ancré et simplement buté en pieds, La seconde, dans laquelle le rideau n’est pas ancré

en tête, mais résiste

uniquement par un bon encastrement dans le sol de fondation.

4.10.2.1 – Rideau ancré, simplement butée en pieds Un rideau ancré, simplement butée en pied correspond à une faible valeur de la fiche, ce qui permet une rotation du rideau autour de son point d’ancrage et un déplacement du pied mobilisant la butée maximale. Le diagramme des efforts exercés sur le rideau, dans le cas d’un sable, est représenté sur la figure 4.39.

a

A

T

H

Sable

Fa

D

Fp

(H + D)/3

D/3

Fig. 4.39 – Rideau ancré, simplement butée en pied

La butée n’est plus entièrement mobilisée du fait des faibles déplacements c’est pourquoi, en général on prend Kp/2. Les inconnues à déterminer sont la fiche D et l’effort de l’ancrage T . L’équilibre statique fournit les relations suivantes :

55


a ) − ΣM A = 0

⇒

I. GUEYE

2  2  Fa  (D + H ) − a  = F p  D + H − a  3  3 

1 2 avec : Fa = γ (H + D ) K a 2 1 Fp = γ D 2 K p 2 donc : 2(K p − K a ) D 3 + 3 (H − a ) K p − 3 (2 H − a ) K a D 2 − 6 H (H − a ) K a D − H 2 (2 H − 3a ) K a = 0 [1]

[

]

b ) − Σ FH = 0 donc : T = Fa − F p

[ 2]

La valeur de D étant connue (équation [1]), l’équation [2] fournit la valeur de l’effort d’ancrage T . N.B : Pour tenir compte d’un coefficient de sécurité par rapport à l’équilibre ainsi calculé, on admet généralement que l’on ne mobilise que la moitié de la butée, ce qui, dans l’équation déterminant la fiche D, conduit à remplacer Kp par Kp/2. Exemple 9 : Déterminer la longueur des palplanches en assumant un coefficient de sécurité de 1 sur Kp. Sol :

sable = γ = 18 KN / m 3 , φ = 30°

Ancrage :

2.0 m de la surface (fig. 4.4.0)

φ = 30° → Ka = 0.33 et Kp = 3.00 (selon RANKINE)

2m

A

T

H=6m Sable

Fa Fp

D = 2.2 m

(H + D)/3

D/3

Fig. 4.40 : Exemple 9

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I. GUEYE

Solution : Equation [1] page précédente ⇒ 1 1 1  1  ⇒ 2  3 −  D 3 + 3 × 4 × 3 − 3 ×10 ×  D 2 − 36 × 4 × D − 36 × 6 × = 0 3 3 3  3  3 2 ⇒ 16 D + 78 D − 144 D − 216 = 0 d ' où

D = 2.15 m

⇒ H + D ≈ 8 .2 m

4.10.2.2. – Rideau non ancré en tête et encastré en pied La théorie classique considère que le rideau pivote autour d’un axe situé légèrement au dessus de son extrémité inférieure. Le déplacement du rideau provoque au dessus de l’axe de rotation la formation de deux zones plastiques correspondant à l’équilibre de RANKINE, poussée à gauche et butée à droite. (fig. 4.41 a).

C

Poussée

B Butée O Butée

Poussée A z

(b) Pression des terres sur le rideau

(a) Déplacement du rideau

Fig. 4.41 : Rideau sans ancrage

Au dessous de l’axe de rotation O au contraire, le terrain situé à gauche de la palplanche est refoulé, il oppose une contre-butée, tandis que le terrain à droite est décomprimé. Au moment de la rupture, la distribution des contraintes normales doit donc ressembler à celle qui est indiquée à la fig. 4.41b.

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I. GUEYE

Pour les besoins du calcul, on remplace la distribution des contraintes de la figure 4.42 b par la distribution plus simple de la figure 4.42 a. Les efforts de contre-butée sont équivalents à une force horizontale Fc appliquée au niveau du centre de rotation O (fig. 4.42 b). C’est un problème isostatique à deux (2) inconnues : la profondeur fo et la force Fc . En écrivant

Σ M o = o ; on peut trouver fo, de plus Σ FH = O, on peut ainsi trouver Fc et par conséquent, la profondeur Z. On a donc ainsi déterminé la fiche D = fo + z et la longueur des palplanches. On s’abstient souvent de calculer z en utilisant la formule approchée : D = 1.20 f0, ce résultat est du côté de la sécurité.

H

Sable

Fa

D

f0

F O

O

Fc

z (b) Forces

(a) Distribution simplifiée

Fig. 4.42 : Hypothèses admises pour le calcul d’un rideau non ancré  H + f0  Fa = (H + fo ) γ K a +    2 

Fp = f 0 γ K p × f 0 / 2

Fa = force de poussée

F p = force de butée

[

]

Fc = force de contre − butée = z (H + f 0 ) K p − D K a × γ = Force de butée − poussée

En trouvant le moment maximal et en considérant contrainte admissible de l’acier, on peut trouver la section requise de la palplanche. La méthode que l’on vient d’exposer est un calcul à la rupture en ce qui concerne le sol ; il est donc indispensable d’introduire un coefficient de sécurité. La manière la plus répandue consiste à diviser les coefficients de butée par le coefficient de sécurité (2 en général) et à utiliser ces nouveaux coefficients de butée dans les calculs de la fiche et du moment sans modifier les coefficients de poussée. 58


I. GUEYE

4.11. – Excavations blindées 4.11.1. – Généralités et principe On se contentera, dans cette section de donner quelques indications sommaires sur le calcul du blindages des fouilles (la paroi formant le blindage peut être un rideau de palplanche mais elle peut être aussi constituée de planches ou de madriers) → La stabilité du blindage est assurée par des étais horizontaux placés à différents niveaux. (figure 4.43).

Etais

H Fond de fouille

Palplanches

Fig. 4.43 : Excavation blindée

Du fait des étais, ce calcul du blindage apparaît à première vue, comme le calcul d’une poutre continue, reposant sur plusieurs appuis. Il est malheureusement impossible de prévoir le comportement mécanique du rideau. Les étais sont mis en place les uns après les autres à mesure que l’excavation progresse, aussi la partie supérieure du blindage a-t-elle déjà subi des déformations lorsque la partie inférieure est mis en charge, il faudrait en tenir compte dans le calcul du rideau. De plus la déformation élastique de l’étai est loin d’être la même pour tous les étais. Le rideau se comporte alors comme une poutre sur appuis dénivelés, mais la dénivellation est inconnue. Il n’est donc pas possible de calculer le blindage en assimilant à une poutre continue, il y a trop d’inconnues d’ordre expérimental dont le rôle est déterminant en raison de la grande hyperstabilité du problème. Pour des raisons analogues, la répartition théorique le long de la paroi n’est plus facile à déterminer. Il est certain, toutefois, que cette répartition ne ressemble à rien à la distribution linéaire classique, car la déformation de la paroi n’est pas compatible avec l’apparition d’un équilibre

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I. GUEYE

correspondant au schéma de RANKINE ou de BOUSSINESQ. Les mesures faites « in situ » lors de la réalisation de grandes fouilles ont montré que cette répartition avait une allure grossièrement parabolique, due vraisemblablement à des efforts de voûte. On constate aussi qu’outre les efforts de voûte, l’ordre de mise en place des blindages et des étais joue un rôle important ainsi d’ailleurs que la température et le temps. Dans ces conditions, on conseillera de s’en tenir à une méthode empirique qui découle principalement des mesures faites par SPILKER, lors de la construction du métro de Berlin pendant les années 30 et de celles auxquelles à procédé PECK en 1940-1942 à l’occasion de la réalisation du métro à Chicago. Cette méthode comporte deux (2) étapes. On choisit d’abord un diagramme de répartition des contraintes analogues à ceux qui sont dessinées sur la figure 4.45 a, b et c. On admet ensuite que la paroi est articulée au droit de chacun des étais (sauf ce qui concerne le plus élevé) ainsi qu’au fond de fouille. On est amené ainsi à calculer une succession de poutres droites sur appuis simples (fig. 4.45 d). C’est un problème isostatique qui est donc particulièrement facile à résoudre. 4.11.2 – Instabilités 4.11.2.1. – Effets hydrauliques, RENARD

0.65 Ka γ H

4 m cu γ H

0.2 γ H à 0.4 γ H

0.25 H

0.25 H

H

H

0.5 H

H

0.75 H

0.25 H

(a) Sable

(b) Argiles molles à raides

(c) Argiles raides très fissurées

Le coefficient minorateur m peut varier de 0.4 à 1.0

Fig. 4.44 : Calcul empirique du blindage

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I. GUEYE

0.2 γ H à 0.4 γ H

0.25 H

0.5 H

Etais

H

0.25 H

(d) Principe de calcul

Fig. 4.44 (suite) : Calcul empirique du blindage Dans les sections précédentes, on a passé sous silence le rôle joué par l’eau. On admet généralement que l’eau (mur de quai) est en équilibre hydrostatique de part et d’autre du rideau, même si les niveau sont différents. Dans ces cas, pour obtenir la distribution des contraintes totales agissant sur la palplanche, il faut simplement ajouter les contraintes effectives et la pression interstitielle. Mais en réalité, lorsque le niveau de l’eau n’est pas le même des deux (2) côtés du rideau, des efforts hydrodynamiques s’ajoutent aux effets hydrostatiques, car il y a un écoulement d’eau le long de la palplanche et sous la palplanche du niveau amont vers le niveau aval (fig. 4.45). N. P.

h

N. P.

D

Fig. 4.45 : Ecoulement d’eau 61


I. GUEYE

Dans le cas de la figure 4.46, cet écoulement augmente les contraintes effectives à gauche du rideau donc accroît la poussée, diminue les contraintes effectives à droite donc réduit la butée. Cet effet est habituellement négligé si h est faible. Néanmoins si h est important, le gradient hydraulique risque d’atteindre une valeur voisine de la valeur critique, on peut alors craindre le phénomène de « RENARD ». Pour éviter ce problème, en pratique on utilise une longueur de fiche de l’ordre de 0.7 à 1.0 h.

4.11.2.2

Soulèvement de fond par manque de capacité portante (Argiles)

Cette condition est illustrée à la figure 4.46. Si l’excavation est assez profonde, il peut y avoir rupture. On définit un cœfficient de sécurité par : F=

c N *c ≥ 1.25 γH+p

Nc*définit au chapitre II (Fondations superficielles)

P = surcharge

Sol : γ et Cu

D

BXL

Fig. 4.46 : Manque de capacité portante

4.11.2.3 – Soulèvement de fond par pression d’eau Lorsque l’excavation est faite dans un sol imperméable (argile) et que cette argile est sur une couche perméable (sable ou gravier), il peut y avoir soulèvement de fond (fig. 4.47). Pour éviter ce problème, on exige en pratique un coefficient de sécurité d’au moins 1.25. Ce coefficient est défini par l’expression suivante :

62


I. GUEYE

F=

γ sat × hs ≥ 1.25 γ eau × heau

N. P.

Eau

Eau

heau Argile

Argile γsat

hs

Sable ou gravier

Fig. 4.47 : Soulèvement de fond de fouille

63

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