Ch3 MGC-800

É T I L I B A S I A F E D E S Y L A N A T E N O I T A S I M I T P O

CHAPITRE 3 OPTIMISATION 







Concepts de base: recherche opérationnelle Programmation linéaire Programmation en nombre entier Logiciel LINDO


CONCEPTS DE BASE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE 









Définitions Origines Applications Méthodes Modèles


RECHERCHE OPÉRATIONNELLE 

DÉFINITIONS • Application de méthodes, techniques, instruments scientifiques pour modéliser et résoudre les problèmes dans tous les domaines • Application de la méthode scientifique pour modeler et résoudre les problèmes dans tous les domaines • Art de donner des mauvaises réponses à des problèmes auxquels autrement de pires réponses seraient données



ORIGINES • Développement Développement durant la seconde guerre mondiale 

applications aux opérations militaires • •

répartition des troupes, du matériel, des ressources approvisionnement en vivres, en pièces, en armement

• Scientifiques et ingénieurs: applications civiles 







programmation linéaire (1 ère publication en 1939) développement du simplexe par G. Dantzig (1947) développement des techniques classiques en programmation linéaire, non-linéaire, dynamique, théorie des files d’attente, etc. ralentissement des recherches généré par le manque d’outils de calcul



APPLICATIONS • Applications aux problèmes réels de grande envergure 





arrivée des processeurs rapides développement des bases de données techniques d ’optimisation appliquées à de nombreux domaines

• Domaines d’utilisation 



militaire transport • • •



aéroport route, trajet, livraison horaire

contrôle des réseaux •

infrastructures, distribution



2 importants centres de recherche à Montréal • CRT: Centre de Recherche sur les Transports • GÉRAD: GÉRAD: Groupe Groupe d’Étud d’Étude e et de de Reche Recherch rche e en Anal Analyse yse des Décisions



CONCEPT DE SYSTÈME • Système 

Agrégat ou assemblage d’objets joints par des interactions ou interdépendances régulières

• Activité 

Processus qui crée un changement de l’état du système

• Entité 

Objet d’intérêt dans un système

• Attribut 

Propriétés relatives à une entité


RECHERCHE OPÉRATIONNELLE EXEMPLE DE SYSTÈME SYSTÈME circulation

ACTIVITÉ mouvements trajets

ENTITÉ véhicules routes

ATTRIBUT vitesse distances

banque

dépôts

clients

état de crédit

transmission

message

priorité

communications



MÉTHODES • • • • • • • • • • •

Techniques mathématiques mathématiques Techniques statistiques Modèles de gestion des stocks Modèles d’affectation Modèles de programmation dynamique Modèles de files d’attente Modèles séquentiels Modèles de remplacement Modèles de compétition Techniques de simulation Méthodes heuristiques



MODÈLE • Moyen pour mieux comprendre la réalité utilisée pour représenter les propriétés fondamentales d’un certain phénomène • Problèmes de gestion souvent complexes • Nécessité fréquente d’ignorer certains paramètres pour tirer une version idéale, épurée: c’est un modèle



CLASSIFICATION DES MODÈLES • Modèles physiques 

Modèles iconiques • •



Pour visualiser une solution pratique Modèles réduits, maquettes

Modèles analogiques • •

Phénomène qu’on étudie pour représenter un autre Analogie électrique en hydraulique

• Modèles symboliques 

Modèles mathématiques • •



Déterministiques Probabilistes ou stochastiques

Modèles verbaux



Modèles mathématiques • Modèles déterministiques 



Incertitude négligeable Résultats du phénomène prévu avec certitude

• Modèles probabilistes ou stochastiques 



Incertitude considérée comme facteur important du phénomène ou système analysé

Classe de modèles déterministiques • Modèles de programmation linéaire 

Équations ou inéquations du premier degré représentant les contraintes du problème



Méthode scientifique 1. Expériences vécues 2. Critères qui permettent de juger si le problème est résolu 3. Principaux aspects de la réalité 4. Paramètres du modèle 5. Méthodes appropriées 6. Conclusions obtenues versus opinions des personnes 7. Implantation de la décision



Formulation du modèle mathématique • Définir le problème 









Quelle est la nature exacte du problème? Quel est l’objectif recherché? Quelles sont les conditions d’opération? Quels sont les paramètres à considérer? Quelle influence? Quel est le degré de précision requis?


PROGRAMME LINÉAIRE 

PL • • • •



problème d’optimisation consistant à maximiser (ou minimiser) une fonction objectif linéaire de n variables de décision soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous forme d’équations ou d’inéquations linéaires

La terminologie est due à George B. Dantzig, inventeur de l’algorithme du simplexe (1947)


PROGRAMMATION LINÉAIRE 





Hypothèses: • La linéarité des contraintes et de la fonction objectif • La proportionnalité des gains/coûts et des consommation de ressources • La divisibilité des variables • Le déterminisme des données Lors de la modélisation d'un problème réel, l'impact de ces hypothèses sur la validité du modèle mathématique doit être étudié Cette analyse peut mener à choisir un modèle différent (non linéaire, stochastique, ...) et est essentielle pour la phase d'interprétation des résultats fournis par le modèle


MISE EN FORME MATHÉMATIQUE 

Définir les variables de décision • ensemble des variables qui régissent la situation à modéliser • variables réelles, entières, binaires



Préciser la fonction objectif • fonction mathématique composée des variables de décision qui représente le modèle physique modélisé • fonction linéaire, non-linéaire



Préciser les contraintes du problème • ensemble des paramètres qui limitent le modèle réalisable • équations ou inéquations composées des variables de décision



Préciser les paramètres du modèle • constantes associées aux contraintes et à la fonction objective



Validation du modèle et des résultats • S’assurer 





que le modèle développé est conforme à la réalité que les résultats sont valides dans toutes t outes les conditions

Conception du système d’application • Possibilité d’utiliser des logiciels spécialisés



Implantation


FORMULATION MATHÉMATIQUE D’UN PROGRAMME LINÉAIRE 

FONCTION OBJECTIF • Maximiser ou minimiser • z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + + cnxn



Contraintes • a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn (≤ , =, ≥ ) b1 • a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn (≤ , =, ≥ ) b2 • am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn (≤ , =, ≥ ) bm



Contraintes de non-négativité • x j ≥ 0 ; j = 1, 2, 3, … n



avec • x j ,b

variables de décision (inconnues) paramètres du programme linéaire


TERMINOLOGIE DU MODÈLE 

Activités

• Ensemble des actes et opérations à effectuer • j = 1,…n activités



Ressources • Moyens disponibles pour effectuer les activités • bi, i = 1,…m ressources



Quantité requise de ressource • Quantité unitaire de ressources consommées pour chaque activité aij



Niveau activation • Quantité de ressources affectée à une activité • x j = niveau d’activation de l’activité j



Coût ou profit • Mesure de performance de l’allocation des ressources aux activités


TERMINOLOGIE DE LA SOLUTION 

Solution réalisable • Solution où toutes les contraintes du modèle sont satisfaites



Zone de solution • Ensemble de toutes les solutions réalisables



Solution optimale • Solution réalisable où la fonction objectif atteint la meilleure valeur, maximum ou minimum • Plusieurs solutions optimales possibles


EXEMPLE: PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCES Vous disposez de

• 8 kg de pommes • 2,5 kg de pâte • 6 plaques

pour confectionner des chaussons et des tartes Pour faire un chausson, il vous faut: • 150 g de pommes • et 75 g de pâte

Chaque chausson est vendu 3 $ Pour faire une tarte, il vous faut • 1 kg de pommes • 200 g de pâte • et 1 plaque

Chaque tarte est divisée en 6 parts vendues chacune 2 $ Que faut-il cuisiner pour maximiser le chiffre d'affaires de


PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCES Définissons 2 variables de décision • x1 : le nombre de chaussons confectionnés • x2 : le nombre de tartes confectionnées

Le chiffre d’affaires associé à une production (x1; x2) est

z = 3x1 + (6 x 2)x2 = 3x1 + 12x2 Il ne faut pas utiliser plus de ressources que disponibles • 150x1 + 1000x2 ≤ 8000 (pommes) • 75x1 + 200x2 ≤ 2500 (pâte) • x2 ≤ 6 (plaques)

On ne peut pas cuisiner des quantités négatives : x1 et x2

0


MODÈLE: PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCES Pour maximiser le chiffre d’affaires de la vente, il faut déterminer les nombres x1 et x2 de chaussons et de tartes a cuisiner, solution du problème Max z = 3x1 + 12x2 Sujet à 







150x1 + 1000x2 ≤ 8000 75x1 + 200x2 ≤ 2500 x2 ≤ 6 x1 ; x2 ≥ 0

En fait, il faudrait également imposer à x1 et x2 de ne prendre que des valeurs entières


EXEMPLE: PROBLÈME DE RECOUVREMENT DONNÉES : Les demandes journalières en chauffeurs dans une entreprise de transport Lu Ma Me Je Ve Sa Di 13 18 21 16 12 25 9 Les chauffeurs travaillent 5 jours d'affilée ( et peuvent donc avoir leurs 2 jours adjacents de congé n'importe quand dans la semaine)

OBJECTIFS : Déterminer Déterminer les effectifs formant les 7 équipes possibles de chauffeurs de manière à: • couvrir tous les besoins engager un nombre minimum de chauffeurs


PROBLÈME DE RECOUVREMENT MODÉLISATION Variables de décision : On associe une variable de décision à chacune des 7 équipes possibles • x1 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du lundi (repos le samedi et le dimanche), • x2 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du mardi, ... • x7 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du dimanche.

Fonction objectif : On veut minimiser le nombre total de chauffeurs engagés z = x1 + … + x 7


PROBLÈME DE RECOUVREMENT CONTRAINTES Contraintes : Le nombre de chauffeurs présents chaque jour doit être suffisant x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 13 (lundi) • x1 + x5 + x6 + x7 ≥ 18 (mardi) • x1 + x2 + • … x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 9 (dimanche) •

Contraintes de bornes : Le nombre de chauffeurs dans chaque équipe doit non seulement être non négatif mais également entier • xi ≥ 0 et entier; i = 1; …; 7


PROBLÈME DE RECOUVREMENT : FORMULATION Min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 Sujet à: 

• • • • • • • • 

x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 13 x1 + x 2 + x5 + x6 + x7 ≥ 18 x1 + x 2 + x 3 + x6 + x7 ≥ 21 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x7 ≥ 16 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≥ 12 x2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ≥ 25 x3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 9 x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 ; x7 ≥ 0 entiers

Ce problème n'est pas un PL mais un programme linéaire en nombres entiers (PLNE)


MODÉLISATION 

Exemple: production de portes et fenêtres • 3 usines: 





#1 #2 #3

cadres d ’aluminium cadres de bois vitres et assemblages des produits

A B

portes vitrées avec cadrage d ’aluminium fenêtres avec cadrage en bois

#1 #2 #3

A: 1 A: 0 A: 3

• 2 produits 



• demande illimitée pour les produits • profits par lot: A: 3000$ B: 5000$ • temps de production pour chaque lot produit par heure 





B: 0 B: 2 B: 2

• temps de production disponible par semaine


FORMULATION DU PROBLÈME PRODUCTION DE PORTES ET FENÊTRES Temps de production Usine 1 2 Temps disponible par semaine 1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18 Profit 3000 5000


FORMULATION DU PROBLÈME 

Objectif • Maximiser les profits



Variables de décision • x1: • x2:



quantité du produit A fabriquée quantité du produit B fabriquée

Fonction objectif • MAXIMISER z = 3x 1 + 5x2



Contraintes • usine 1: 1x1 + 0x2 ≤ 4 • usine 2: 0x1 + 2x2 ≤ 12 • usine 3: 3x1 + 2x2 ≤ 18



Contraintes de non-négativité • x1 ≥ 0



Résolution selon les techniques appropriées • Exemple 



MAXIMISER z = 3x1 + 5x2 SUJET À •

x1

•

2x2 ≤ 3x1 + 2x2 ≤ x1 ≥ 0 ; x 2 ≥

• •

≤

4 12 18 0

• Solutions optimales 





programmation linéaire: simplexe programmation en nombre entier: branch-and-bound programmation dynamique


ZONE DE SOLUTION RÉALISABLE Zone limitée par l’ensemble des équations de contraintes du problème et par les limites des variables de décision x2

3 x1 + 2x 2

= 18

8

x1 = 4 2x 2

6

= 12

4 2 0

2

4

6

8

10

x1


FONCTION OBJECTIVE Déplacement de la fonction objective à l’intérieur de la zone de solution réalisable pour atteindre un extremum x2

z

= 36 = 3 x1 + 5 x 2 8 (2,6)

6 z

Solution x1 = 2 x2 = 6 z = 36

= 20 = 3 x1 + 5 x 2 4

z

= 10 = 3 x1 + 5 x 2

2 0

2

4

6

8

10

x1



PHASES D’UNE ÉTUDE DE R.O. • Formulation du problème • Construction du modèle mathématique 





Identification des variables associées au problème Formulation des contraintes qui délimitent les valeurs que peuvent prendre les variables Formulation de la mesure d’efficacité associée aux variables (fonction linéaire dite fonction objectif)

• Obtention d’une solution optimale à partir du modèle • Vérification du modèle et de la solution • Établissement de contrôles sur la solution Mise en œuvre de la solution


RÉSULTAT D’UNE OPTIMISATION LINÉAIRE Le domaine admissible d’un PL peut être • vide: dans un tel cas, le problème est sans solution admissible (pas de solution optimale) • borné (et non vide): le problème possède toujours au moins une solution optimale • non borné: dans ce cas, selon la fonction objectif 





le problème peut posséder des solutions optimales il peut exister des solutions admissibles de valeur arbitrairement grande (ou petite) dans un tel cas, le PL n'admet pas de solution optimale finie et est dit non borné


FORMULATION DU PROBLÈME PROGRAMMATION LINÉAIRE

Ressources 1 2 … m Contribution

Ressources par activité Activités 1 2 … n a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … …. … am1 am2 … amn c1 c2 … cn

Ressource disponible b1 b2 . bm


PROBLÈME DE MAXIMISATION 

Maximiser Z = x1 + 2x2 Sujet à 2x1 + x2 x1 + x2 -x1 + x2 x1 x1 0, x2

4 8 4 5 0


PROBLÈME DE MAXIMISATION x2

X1 = 2

-x1 + x2 = 4 8

X2 = 6

6

Z = 14

x1 = 5

4 x1 + x 2 = 8

2 2x1 + x2 = 4 0 2

4

6

8

10

x1


PROBLÈME DE MINIMISATION 

Minimiser Z = x1 - x2 Sujet à ½x1 + x2 8 -x1 + 8x2 40 x1 8 x2 8 x1 0, x2 0


PROBLÈME DE MINIMISATION X1 = 8

x2

X2 = 6 x2 = 8

8

Z=2

6 -x1 + 8x2 = 40 4 x1 = 8

2 0

½x1 + x2 = 8 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x


MÉTHODE DU SIMPLEXE 

INTRODUCTION • développée initialement initialement par George Dantzig en 1947 • seule méthode exacte pour solutionner des problèmes linéaires de grande taille • méthode itérative algébrique où l’on circule séquentiellement sur les sommets à l’intérieur de la zone de solution jusqu’à l’obtention de la solution optimale


PROPRIÉTÉS DU SIMPLEXE 

Zone de solution du problème linéaire toujours convexe • une surface est convexe si elle est située toute entière du même coté d ’un plan tangent





 

S’il existe une seule solution optimale au problème linéaire, elle est obligatoirement localisée sur un sommet de la zone de solution S’il existe de multiples solutions optimales, au moins deux d’entre elles doivent être localisées sur des sommets adjacents Le nombre de sommets de la zone de solution est fini Si la solution réalisable localisée à un sommet donné n’a pas de voisin adjacent dont la solution est supérieure, ce sommet est la solution optimale


ALGORITHME DU SIMPLEXE 1. Déterminer une solution de base réalisable 2. Vérifier si la solution actuelle est optimale 3. Déterminer la variable hors base qui va devenir variable de base 4. Déterminer la variable de base qui sortira de la solution 5. Effectuer les opérations linéaires (pivots) selon la technique de Gauss-Jordan

ALGORITHME DU SIMPLEXE


MÉTHODE DU SIMPLEXE DÉFINITIONS 

Systèmes d’équations équivalents • Systèmes qui possèdent le même ensemble de solutions



Variable de base • Variable qui a un coefficient unitaire positif dans une des équations du système et un coefficient nul partout ailleurs



Opérations pivot • Opération de Gauss-Jordan pour transformer un système d’équations équivalent dans lequel une variable devient de d e base



Système canonique • Système d’équations où il y a une variable de base par équation



Solution de base • Système d’équations où les variables hors base sont fixées à zéro résolu pour les variables de base


FORME CANONIQUE 

PROBLÈME DE MAXIMISATION n

∑ c x

Max

j j

j =1

n

sujet à

∑a

≤ bi i = 1 , ...,m

x j

ij

j =1

x j ≥ 0 

j = 1 ,...,n

PROBLÈME DE MINIMISATION n

∑ c x

Min

j

j

j =1

n

sujet à

∑a

ij

j =1

x j

≥ bi i = 1 , ...,m


FORME NORMALISÉE 

PROBLÈME DE MAXIMISATION n

Max

∑ c x

j j

j =1

n

sujet à

∑ a x ij

j

= bi i = 1 , ...,m

j =1

x j ≥ 0 

j = 1 ,...,n

PROBLÈME DE MINIMISATION Min ∑= c x n

j j

j 1

n

sujet à

∑ a x ij

j =1

j

= bi i = 1 , ...,m



FORME CANONIQUE Max

Z = 3 x1 + 5 x2

sujet à x1 4 2 x2 12 3 x1 + 2 x2 18 et x 0, x 0



FORME NORMALISÉE Max Z Z - 3 x1

x1

- 5 x2

+ x3 2 x2 + 2 x2

= 0

(0)

= 4

(1) = 12 (2) (3)

+ x4 + x5 = 18

3 x1 avec x j 0, pour j =1, 2, 3, 4, 5



ÉTAPE D’INITIALISATION • • • •

Déterminer une solution de base réalisable Porter les variables hors base à zéro Solutionner les variables de base Exemple: 



z, x3, x4 et x5 sont les variables de base x1 et x2 sont les variables hors base

• On obtient: 





x1 = 0 et x2 = 0 x3 = 4, x4 = 12 et x 5 = 18 z=0



VARIABLE ENTRANT DANS LA BASE • Variable hors base entrant dans la base • Celle qui sera choisie fera augmenter la valeur de la la fonction objective le plus rapidement r apidement possible • Variable ayant le plus grand coefficient négatif (cas de maximisation)de l’équation (0) • Exemple: 

X2 devient variable de base



VARIABLE SORTANT DE LA BASE • Variable qui limitera le plus rapidement la progression de la nouvelle variable de base • Exemple 



si x2 entre dans la base équation (2) • •



équation (3) • •



2 x2 + x4 = 12 x2 max = 6 3 x1 + 2 x2 + x5 = 18 x2 max = 9

limite maximale de x2 égale 6 sinon x 4 devient négatif



OPÉRATIONS PIVOT • Système d’équations original (variables de base en gras ) Z

- 3 x1 x1 + x3 2 x2 3 x1 + 2 x2

- 5 x2 = 4 + x4 + x5

= 0 (0) (1) = 12 (2) = 18 (3)

• Pour revenir à la forme canonique, il faut que les variables de base aient un coefficient unitaire dans une équation et nul dans les autres • Équation (2) multipliée par ½ 2 x2 /2

+/42x = 12 /2

(2)

x2 + ½ x4= 6(2) Il faut éliminer les termes x des autres équations



OPÉRATIONS PIVOT (suite) • Équation (0) = ancienne (0) + 5 équation (2) Z

- 3 x 1 - 5 x2 5 x2

Z

- 3 x1

+ 5/2 x4 + 5/2 x4

= 0

(0)

= 30 = 30

(2) (0)

• Équation (3) = ancienne (3) – 2 équation (2) 3 x1 + 2 x2 - 2 x2 3 x1

- x4 - x4

+ x5

= 18

(3)

+ x5

= -12 =6

(2) (3)



OPÉRATIONS PIVOT (suite) • Nouveau système équivalent d’équations Z

- 3 x1 x1

- 5/2 x4 + x3 x2

3 x1

+ ½ x4 - x4 + x 5

= 30 = 4 = 6 = 6

(0) (1) (2) (3)



CRITÈRE D’OPTIMALITÉ • Optimalité assurée lorsqu’il est impossible de faire augmenter (cas de maximisation) la valeur de z • Exemple: 





x1 peut faire augmenter z Variable entrante x1 Variable sortante x5 •

équation (1) • •

•

x1 + x3 = 4 x1 max = 4

équation (3) •

3 x1 – x4 + x5 = 6



SOLUTION OPTIMALE • Système équivalent d’équations Z x3 x2 x1

• Variables hors base 

x4 = 0, x5 = 0

• Variables de base 

x1 = 2, x2 = 6, x3 = 2

• Fonction objective 

z = 36

+ 3/2 x4 + x5 + 1/3 x4 - 1/3 x5 + ½ x4 - 1/3 x4 +1/3 x5

= 36 = 2 = 6 = 2

(0) (1) (2) (3)


SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE 



Méthode essentiellement identique Informations • Coefficients des variables • Constantes des équations • Variables de base de chaque équation


SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE  

Initialisation Critère d’optimalité

• Coefficients de l’équation (0) non négatifs ?



Itération # 1 • Variable entrante x 2 Entourer la colonne pivot • Variable sortante x 4 Entourer la ligne pivot Point pivot à l’intersection 





• Transformation de Gauss-Jordan


SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE



Itération #1 (suite) • Diviser la ligne pivot par le nombre pivot



Itération #1 (suite) q

Appliquer les transformations

q

Nouvelle solution q

z = 30

q

Solution (0, 6, 4, 0, 6)





Itération # 2 Solution • (2, 6, 2, 0, 0) • z = 36



Ensemble complet


SIMPLEXE SOUS FORME MATRICIELLE 

Forme canonique

Max Z = cx sujet à Ax x

≤b

≥0

où

 x1  b1   x  b  2 2 x=  b=  ...  ...      x  n bm  a11 a12 ..... a1n a a22 ..... a2 n 21  A= ..... ..... ..... ..... 

0  0  0=  ...   0      



Forme normalisée

Max Z = cx sujet à

x  [ A, I ]   = b x  x  x  ≥ 0   s

s

où I

= matrice identitée m × m

x s

 xn +1   x  =  n+ 2  ...   



Problème c = [ 3

5]

1 0 1 0 0   [ A, I ] = 0 2 0 1 0  3 2 0 0 1 4  x1    b = 12 x=    x2   18

x s

 x3    =  x4   x 



Itération 0 xB





X2 entre X4 sort

xB

cB

x 3  1 0 0 1 0 0     −1 B= 0 1 0 B = 0 1 0 =  x 4       x 5  0 0 1 0 0 1  x 3  1 0 0   4   4  =  x 4  = 0 1 0 12 = 12  x 5  0 0 1 18 18 = [ 0 0 0]

4   Z = [ 0 0 0] 12 = 0   18



Itération 1 xB





X1 entre X5 sort

xB

cB

x3  1  B= 0 =  x 2    x 5  0  x 3  1 0 =  x 2  = 0 0,5  x 5  0 − 1 = [ 0 5 0]

1 0 0    −1 2 0 B = 0 0,5 0    0 − 1 1 2 1 0  4   4     0 12 = 6     1 18 6 4   Z = [ 0 5 0] 6 = 30   6 0

0



Itération 2 xB

xB

cB

x3  1 0 1  1 0,33 − 0,33     −1 =  x 2  B= 0 2 0 B = 0 0,50 0      x1  0 2 3 0 − 0,33 0,33   x 3  1 0,33 − 0,33  4  2  12 = 6 =  x 2  = 0 0,50 0      x1  0 − 0,33 0,33  18 2 = [ 0 5 3]

2    Z = [ 0 5 3] 6 = 36   2


RÉSOLUTION AVEC MICROSOFT EXCEL


RÉSOLUTION AVEC LINDO



SITUATIONS PARTICULIÈRES • Égalité des profits relatifs 

Choix aléatoire de la variable

• Égalité des ratios 



Choix aléatoire Situation de dégénérescence: remonter à l’étape des ratios identiques

• Solution non bornée 

En pratique, une contrainte est absente

• Solutions multiples 

Variables hors base avec des coefficients nuls dans la fonction objective



VARIABLES ARTIFICIELLES • Cas ≥ 











ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + … + ain xn ≥ bi Ajout d’une variable d’écart ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + … + ain xn – xm = bi Coefficient de la variable d’écart négatif ne peut servir comme variable de base Ajout d’une variable artificielle ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + … + ain xn – xm + xa = bi



VARIABLES ARTIFICIELLES • Cas = 





L’ajout d’une variable artificielle permet l’insertion d’une variable de base dans la solution de départ Les variables artificielles sont éliminées de la solution en leur assignant une pénalité importante dans la fonction objective

RÉSOLUTION • Méthode du grand M • Méthode des deux phases


DUALITÉ PROBLÈME PRIMAL Max

Z =

PROBLÈME DUAL

n

∑ c x

j j

Y 0 =

Min

j =1

∑ a x

ij j

i

i

sujet à

≤ bi

i = 1 , ...,m

j =1

m

∑ a yi ij

≥ cj

j = 1 , ...,n

i =1

et x j ≥ 0

∑ b y i =1

sujet à n

m

et j = 1 ,...,n

yi ≥ 0

i = 1 ,...,m


EXEMPLE DE DUALITÉ Le problème dual du programme Max z = x1 + 4x2 Sujet à : 







x1 – x2 ≤ 2x1 + x2 ≤ x2 ≤ x1, x2 ≥

2 5 3 0

est Min w = 2y1 + 5y2 + 3y3 Sujet à : 



≥ 1 y1 + 2y2 -y1 + y2 + y3 ≥ 4 0


DUALITÉ


EXERCICE 

Utiliser la méthode du simplexe • Max Z = 4 x1 + 3 x2 + 6 x3 • Sujet à 



3 x1 + x2 + 3 x3 ≤ 30 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 ≤ 40

• et 

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0


PROBLÈME DE TRANSPORT 

EXEMPLE • • • •

Une municipalité possède 3 serres pour fournir 4 parcs Capacité de production des serres C 1, C2 et C3 Demande hebdomadaire D 1, D2 et D3 Coût unitaire de transport C ij


PROBLÈME DE TRANSPORT 

FORMULATION DU PROBLÈME Z =

Min

3

4

∑ ∑ c x ij

ij

i =1 j =1

sujet à 3

∑ x

ij

= D j

j = 1 , ...,4

≤ C i

i = 1 , ...,3

i =1 4

∑ x

j

j =1

et x ≥ 0

i

1

3 j

1

4


EXERCICE 

3 serres: • S1 = 3 • S2 = 7 • S3 = 5



4 parcs: • • • •



P1 = 4 P2 = 3 P3 = 4 P4 = 4

Coûts d’expédition:

c ij

 2 2 2 1   = 10 8 5 4  7 6 6 8


EXERCICE 

4 usines et 3 centres de distribution Distribution M1 M2 M3

Disponibilité

Usines

W1

4

3

7

140

W2

5

2

10

100

W3

13

8

17

60

W4

9

3

11

40

Demande

120

20

200


PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER 

Max Z = 10 x1 + 50 x2 • Sujet à 





-x1 + 2 x2 ≤ 5 x1 + 2 x2 ≤ 14 x1 ≤ 8

• et 



x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 x1, x2 entiers


PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER




PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER 

Méthode de séparation et d’évaluation progressive (Branch-and-Bound Technique) • Choix de la variable de séparation 



Critère de la variable la plus distante Critère du meilleur c j

Critère de la variable la plus distante Séparation selon x1

Critère de la variable la plus distante Séparation à partir de P2

Critère de la variable la plus distante Séparation à partir de P1

Critère du meilleur c j



Ch3 MGC-800

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