ANNEE 2016-2017 GIND G3EI 11 Matière: Statistiques Appliquées Enseignant : lchraibi@uae:ac:ma
UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI ENSA - Tanger
EVALUATION 2017 : CORRIGE DUREE: 2 heures SUJET D’ETUDE 1 : (9 points) La société de meubles KITanger désire de faire une étude pilote sur sa clientèle en ce qui concerne la durée d’attente ( en heures) des clients pour la livraison à domicile. La société répartit ses clients en 4 zones géographiques et obtient les données statistiques suivantes: Zone E¤ectif Ni A 500 B 250 C 150 D 100
Ecart type 4 6 7 9
i
Coût du questionnaire qi 16 25 36 64
I) Pour une étude préliminaire, KITanger prend un echantillon de taille n = 95: I-1) Déterminer l’erreur commise pour un niveau de con…ance = 0; 95: Il s’agit de déterminer l’erreur dans le cas de l’estimation d’une moyenne. Soit X = " La durée d’attente d’un client exprimée en h " et Xn " la durée d’attente moyenne de ses clients à l’interieur de l’échantillon de taille n exprimée en h " la loi de X étant inconnue et comme n = 95 > 30, par application du Thèorème Central Limite TCL, nous déduisons que Xn N (m; p ) . n Comme n’est pas donnée, on va chercher l’écart-type moyen ( moyenne arithmétique ) à partir des i 4 1P Ni i ; = 5:45 = N i=1 En reprenant les étapes de calcul pour l’estimation de la taille de l’échantillon en fonction de , er dans le cas de la loi normale nous obtenons : 2 2
n=
er2
2 2
=) er2 =
=) er = p ; avec n
=
1
(
+1 ) 2
n 1:96 5:45 p er = p = = 1: 096 0h: n 95 I-2) Déterminer une composition de cet echantillon proportionnelle par rapport aux e¤ectifs ( 1) nous avons pour toute strate i ni n = () ni = Ni Ni N Nous obtenons
n N
Zone ni ni ( Net) A 47,5 47 B 23,75 24 C 14,25 14 D 9,5 10 95 I-3) Déterminer une composition de cet echantillon proportionelle par rapport à l’e¤ectif et à la dispersion de chacune des strates. Dans ce cas pour chaque strate i; nous avons : ni n =X () ni = i Ni j Nj
X
i Ni
j
Zone A B C D
n j Nj
j
ni ni ( Net) 34.86 35 26.15 26 18.30 18 15.69 16 95
I-4) Comparer et interpréter les deux compositions obtenues dans I-2) et I-3) (1) En comparant les deux compositions, nous remarquons, que l’e¤ectif de la Zone A a été réduit vu que sa dispersion est éduite par rapport aux autres zones, tandis que les e¤ectifs des Zones C et D ont augmenté vu que leurs dispersions sont beaucoup plus importantes. II) Le Conseil d’Administration considère que les résultats de ce sondage ont été fortement biaisés. Il reprend l’étude avec un budget de B0 =3625 Dhs. Le coût du questionnaire est di¤érent d’une classe à une autre, les coûts sont donnés par la colonne des qi : II-1) Procédez à une strati…cation optimale qui tient compte de tous les paramétres et les contraintes. En appliquant la formule de la répartition des e¤ectifs selon le budget B0 ;
ni = K
!i p
i
qi
avec K = X
B0 !j
j
p
qj
j
on trouve K = 125:
Zone ni ni ( Net) A 62.5 62 B 37.5 38 C 21.875 22 D 14.0625 14 136 II-2) De combien peut on évaluer l’erreur commise en prenant un seuil de con…ance = 0:95? 1:96 5:45 En utilisant la même démarche que I 1) nous avons er = p = p = 0:915 97 h n 136
II-3) Comparer et Interpréter les résultats obtenus dans I-1) et II-2) . L’erreur dans le 2ème cas a été réduite vu que la taille de l’echantillon a augmenté. III) KITanger souhaite reprendre l’étude en …xant la taille de l’échantillon à n = 95 comme dans I. III-1) Evaluer le budget nécéssaire dans ce cas en considérant les mêmes données du tableau. ci-dessus. Nous devons chercher le coe¢ cient K relatif à la taille n = 95 : nous avons wi ni = K x p
i
qi
=)
4 X i=1
() K =
4 X wi ni = K p i=1
n
4 w P i i
i=1
comme K =
B0 4 P
wi
i
p
p
=
i
qi
4 X wi () n = K p i=1
i
qi
95 = 87: 356 1:0875
qi
;alors qi
i=1
B0 = K
4 X
wi
i
p
qi = 87: 356
29 = 2533: 3DHSoit 2533DH
i=1
III-2) Déterminer en pourcentage la variation constatée du budget par rapport à B0 . 100 2533 = 69: 876% 3625 le nouveau budget représente 69,87% de B0 ; B0 = 69; 87% B0 : il s’agit d’une diminution du budget de un peu près 30%. III-3) En déduire la composition optimale de l’échantillon tenant compte de tous les paramétres. Nous constatons que K = 69; 87% K et donc ni = 69; 87%
ni
Zone ni ni ( Net) A 43,66 44 B 26,2 26 C 15,28 15 D 9,82 10 95 III-4) Comparer et Interpréter.la composition obtenue avec celle de I-2) et I-3) La composition obtenue est pratiquement identique à la composition proportionnelle ! . IV) On s’intéresse à présent à la zone géographique C. On suppose que les clients de cette strate sont numérotés avec un code commençant par C-001 et se terminant par C-150. On suppose que la taille du sous echantillon relatif à cette strate est n3 = 25: On désire faire un echantillonnage systématique. Déterminer 25 IV-1) Le taux de sondage à l’intérieur de la zone C: = 0:166 67 150 150 IV-2) Le pas de sondage : =6 25
IV-3) On suppose que le premier numéro choisi est p0 : Déterminer en fonction de p0 l’ensemble des numéros des clients sondés fp0 + 6k; 0
k
24g
Sujet d’Etude II : (8 points) Dans l’usine ECO-LED Un processus industriel produit des ampoules LED de catégorie A dont la durée de vie moyenne mA = 25000 heures et d’écart-type A = 2400 heures. L’entreprise propose un nouveau processus à moindre coût, pour le tester, le département Méthodes prélève un echantillon de 40 ampoules de la catégorie A, pour lequel il trouve une durée de vie moyenne égale à 25850 heures. On suppose que la variance est inchangée. 1) Peut-on a¢ rmer à un seuil de con…ance de 96% que le nouveau processus proposé garantit la même qualité que le processus initial ? Il s’agit d’un test bilatéral sur la moyenne:
1)
H0 : m = 25000 H1 : m 6= 25000 Paramétres : n = 40;
= 2400h; comme n 30 le TCL implique ; 2400 2400 : 2) X N (25000; p ); p = 379: 47 40 40 a) = 0:96 schéma de H0 &H1 On cherche a tel que P ( X m
P( 3)
X
m p = n | A{z }
a pA n
A
) = 0:96 : : :
T
pour P = 0:04 on a t = 2:0537 ( Table 2) ; a =
2:0537 p
2400 40
= 779: 32
I96% = [24220; 68; 25779; 32]
: 4) VD =25850 h 5)25850 2 = I96% ; H0 rejetée avec avec une erreur signi…cative de 4% Le nouveau processus ne garantit pas la même qualité que le processus initial avec une erreur signi…ca 2) Suite à un audit de contrôle de la qualité e¤ectué par un bureau d’étude, pour un echantillon de n = 40 ampoules on a relevé que la durée de vie moyenne est de 25750 heures. Le bureau d’étude peut il a¢ rmer que le nouveau processus est plus performant que l’ancien, sachant qu’il prend un seuil de con…ance de 96%..
1)
H0 : m = 25000 H1 : m 25000 Paramétres : n = 40;
= 2400h; comme n 30; on applique le TCL 2400 2400 2) X N (25000; p ); p = 379: 47 40 40 On cherche a tel que P (X a) = 0:96 A
3) Schema H0 et H1 ; on passe à la L.N.C.R : : pour P = 0:96 on a t = 1:75; a = 1:75 379:47 + 25000 = 25664 IH0 = ] 1; 25664] 4) VD = 25750 5) VD 2 = IH0 donc Le nouveau processus est plus performant que le processus initial; H1 est acceptée avec une erreur signi…vcative de 4% 3) L’entreprise applique le nouveau processus à une deuxième catégorie d’ampoules électriques B, le département méthodes souhaite comparer la durée de vie moyenne des ampoules de la catégorie B par rapport à celle des ampoules de la catégorie A: le tableau suivant récapitule les données de l’étude : Echantillon prélevé Durée de vie moyenne de l’échantillon Ecart-type
Catégorie A Catégorie B 32 38 25350
25850
2400
2320
Etablir pour le compte du département Méthode un test permettant de véri…er chacune des hypothèses suivantes: 4-1) La durée de vie des deux catégories d’ampoules est identique.
H0 : m A = m B H1 : mA 6= mB Paramétres : nA = 32; A = 2400 h; nB = 38; B = 2320 h On considère D = X A X B ; nA et nB 30; TCL ) X A et X B rN () r 2 2) : : 2 24002 23202 A B + = + = 567: 13 D = nA nB 32 38 X A et X B sont indépendantes ) D N (0; 567: 13) On cherche a tel que P (jDj a) = 0:96; schéma de H0 et H1
1)
3) pour P = 0:04 on a t = 2:0537 ( Table 2) ; a = 2:0537 567: 13 = 1164: 7 : I96% = [0; 1164: 7] 4) VD = 25350 25850 = : 500:0 5) 500 2 I96% ; la durée des deux catégories d’ampoules est identique avec un seuil de con…ance de 96 4-2) La catégorie B d’ampoules est moins durable que la catégorie A.
H0 : m A = m B H1 : m A < m B Paramétres : nA = 32; A = 2400 h; nB = 38; B = 2320 h On considère D = X A X B ; nA et nB 30; TCL ) X A et X B rN () r 2 2) 2 24002 23202 A + B = + = 567: 13 D = nA nB 32 38 X A et X B sont indépendantes ) D N (0; 567: 13) On cherche a tel que P (D a) = 0:96 =) P (D a) = 0:04
1)
3) schéma de H0 et H1 : : on a t = 1:75 (Table 1) ; a = 1:75 567: 13 = 992: 48 IH0 = [ 992: 48; 1[ 4) VD = 500:0 5) 500 2 IH0 ; H1 est rejetée à 4% alors ; la catégorie A n’est pas moins durable Exercice (3 points) Le département Maintenance d’une usine de textile estime qu’une machine tombe en moyenne 2 fois par Shift. On suppose que l’usine tourne en Trois shifts par jour. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : - La machine tombe en panne plus de 2 fois au cours d’un shift. - La machine tombe en panne 4 fois par jour. Application de la loi de Poisson. 2) Si l’on sait qu’une panne vient tout juste de se produire, calculer la probabilité qu’il faille attendre plus de 40 minutes avant qu’il s’y produise une autre panne. Loi exponentielle
