Matematika Ekonomi
Semester Satu
KONTRAK PERKULIAHAN FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS UNIVERSITAS TUJUH BELAS AGUSTUS 1945 BANYUWANGI (2009-2011) MATA KULIAH KODE MATA KULIAH SEMESTER PROGRAM STUDI DOSEN PENGAMPU
: : : : :
MATEMATIKA MATEMATIKA EKONOMI EKO 109 1 (SATU) MANAJEMEN NANANG CHOIRUL, SE.
Manfaat Matakuliah Dengan mengambil mata kuliah ini mahasiswa nantinya akan mengetahui bagaimana manfaat yang didapat yaitu dapat memahami berbagai rumus, metode, cara matematika yang akan diterapkan dan diimplemenatasikan dalam persoalan persoalan yang berhubungan dengan ekonomi untuk alat penyelesaiannya. penyelesaiannya. Diskripsi Perkuliahan Ruang lingkup perkuliahan matematika ekonomi adalah matematika yang diambil dari dari teori dasar matematika yang yang berhubungan dengan persoalan-persoalan persoalan-persoalan ekonomi terdiri dari deret, fungsi, differensial, diferensial fungsi majemuk dan matrik. Dengan teori dasar itu digunakan untuk memecahkan masalah-masalah ekonomi. Tujuan Instruksional Umum Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester), saudara akan dapat menganalisis dan memecahkan kasus-kasus pada masalahmasalah ekonomi pada umumnya dan masalah-masalah perusahaan dan proyek pada khususnya, dengan berbagai macam teori dan rumus matematika yang diketahui sehingga mahasiswa diharapkan mampu 1
Matematika Ekonomi
Semester Satu
memecahkan masalah berdasarkan analisis dan perhitungan perhitungan secara matematis. Strategi Perkuliahan Metode belajar mengajar yang dilakukan adalah ceramah, diskusi dan menyelesaikan kasus-kasus yang dihadapi. Dilanjutkan dengan penerapan penyelesaian penyelesaian kasus-kasus yang diselesaikan diselesaikan oleh mahasiswa. Disamping itu juga akan diberikan tugas yang berkaitan dengan materi yang bersangkutan baik secara kelompok maupun individu. Sehingga diharapkan dengan metode yang diberikan akan dicapai pemahaman optimal dan akhirnya pencapaian hasil belajar menjadi maksimal. Bacaan Perkuliahan Bisni s dan Ekonomi , Edisi Dumairy, 1999, Matematika Terapan Untuk Bisnis Kedua, Cetaka Kesepuluh, BPFE, Yogyakarta. Penugasan Tugas-tugas yang diberikan berupa tugas kelompok dan tugas individu yang diberikan setiap selesai materi. Kriteria Penilaian Untuk menentukan nilai akhir bagi mahasiswa akan diberlakukan criteria dan pembobotannya sebagai berikut: Ujian Tengah Semester = 25% Ujian Akhir Semester = 25% Tugas Indifidual = 10% Tugas Kelompok = 10% Diskusi Kelas = 10% Kehadiran = 20% Syarat minimal mengikuti ujian kehadiran minimal 75 %, kehadiran kurang dari 75 % diberikan tugas tambahan (catatan minimal 4 kali kehadiran). Peraturan Kelas : 2
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Mahasiswa tidak diperkenankan mengikuti aktifitas perkuliahan jika: Terlambat hadir lebih dari 30 menit Tidak memakai sepatu Tidak berpakaian sebagaimana ketentuan perkuliahan yang berlaku di UNTAG UNTAG Banyuwangi. Mahasiswa tidak diperkenankan mengikuti UAS jika kehadirannya kurang dari 75% pertemuan mata kuliah. Kecurangan dalam bentuk apapun ketika tes dan ujian menyebabkan menyebabkan mahasiswa secara langsung memperoleh nilai E. Alokasi pokok bahasan per tatap muka TATAP POKOK BAHASAN SUMBER BACAAN MUKA PERKULIAHAN Deret I - Deret Hitung - Deret Ukur Penggunaan deret dalam ekonomi - Model perkembangan usaha II - Model bunga majemuk - Model pertumbuhan penduduk Fungsi - Fungsi Linier - Hubungan dua garis lurus - Gradien III Pengukuran fungsi linier dalam ekonomi - Fungsi permintaan - Fungsi penawaran IV Keseimbangan Keseimbangan pasar, pajak, dan 3
Matematika Ekonomi
V VI VII VIII IX
X
XI XII XIII XIV XV XVI
Semester Satu
subsidi Lanjutan Fungsi konsumsi, tabungan, dan pendapatan nasional nasional Fungsi kuadrat, penggunaan fungsi kuadrat dalam ekonomi Ujian Tengah Semester (UTS) Diferensial, kaidah-kaidah diferensial Derivative dari derivative, penggunaan diferensial dalam ekonomi Diferensial fungsi majemuk, diferensial parsial, derivative dari derivative parsial Optimasi bersyarat Utilitas marginal parsial dan keseimbangan keseimbangan konsumsi Matrik Lanjutan Ujian Akhir Semester (UAS)
4
Matematika Ekonomi
Semester Satu
BAB I DERET DERET adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Deret Hitung Adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan sukusuku dari deret hitung dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilainilai dua suku yang berurutan. Ada dua rumus yang digunakan dalam deret hitung : Untuk mencari nilai suku ke n dari deret hitung Sn = a + (n – 1) b a = suku pertama b = pembeda n = indeks suku Contoh: Nilai suku ke 101 dari deret hitung 3, 5, 7, 9, 11, … adalah…. Diket : a = 3 | b = 2 | n = 101 Dita : Sn? Jwb : S101 = a + (n – 1) b S101 = 3 + (101 – 1) 2 S101 = 3 + 100 x 2 S101 = 3 + 200 S101 = 203
5
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Untuk mencari jumlah nilai dari semua suku pada deret hitung
Dn = n (2a + (n – 1) b)
a = suku pertama b = pembeda n = indeks suku Contoh: Berapa jumlah semua suku s/d suku yang ke 25 dari deret 3, 5, 7, 9, 11, … Diket : a = 3 | b = 2 | n = 25 Dita : D25? Jwb
: Dn = n (2a + (n – 1) b)
D25 = 25 (2.3 + (25 – 1) 2)
D25 = 12,5 (6 + (24) 2) D25 = 12,5 (6 + 48) D25 = 12,5 x 54 D25 = 675
Deret Ukur Adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan sukusuku deret ukur dinamakan pengganda, yaitu merupakan hasil bagi nilai suku terhadap nilai suku didepannya. Ada dua rumus yang digunakan dalam deret ukur: Mencari nilai suku ke n dari deret ukur Sn = a. – a = suku pertama p = pengganda n = indeks suku Contoh: 6
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Berapa nilai suku yang ke 6 dari deret 2, 4, 8, 16, 32, … Diket : a = 2 | p = 2 | n = 6 Dita : S6? Jwb
: S6 = a. –
S6 = 2. 2 – S6 = 2. 25 S6 = 2. 32 S6 = 64 Mencari jumlah sampai dengan n suku Dn =
( – ) –
a = suku pertama p = pembeda n = indeks suku Contoh: Berapa jumlah semua suku yang ke 5 dari 2, 4, 8, 16, 32, … Diket : a = 2 | p = 2 | n =5 Dita : D5? Jwb
: D5 = D5 = D5 = D5 = D5 =
( – ) – ( – ) – ( – ) − (−) − − −
D5 = 62 Penggunaan Deret dalam Ekonomi Dalam bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan 7
Matematika Ekonomi
Semester Satu
dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret hitung atau deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevan ditetapkan untuk menganalisisnya. Model perkembangan usaha Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, 8actor, produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga atau penanaman modal, berpola seperti deret hitung maka prinsip prinsip deret hitung digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel tersebut. Berpola deret hitung maksudnya adalah variabel bersangkutan bertambah secara konstan dari satu 8actor8eke periode berikutnya. Contoh soal: Besarnya penerimaan PT. YSSY dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun ke lima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penrimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp 460 juta? Diket : S5 = 720.000.000 | S7 = 980.000.000 Dita : b, a, n dari Sn = 460.000.000? Jwb : Sn = a + (n – 1) b 720 = a + (5-1) b 980 = a + (7-1) b 720 980 -260
= a + 4b = a + (6b) – = -2b
130
=b
720 = a + (5 – 1) b 8
Matematika Ekonomi
Semester Satu
720 = a + 4 x 130 720 = a + 520 a = 720 – 520
a
= 200
460 460 460 n n
= 200 + (n – 1) 130 = 200 + 130n – 130 = 70 + 130n = (460-70): 130 = 390:130
n
=3
Model bunga majemuk Adalah penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan investasi. Dengan modal ini dapat dihitung misalnya, besarnya pengembalian tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima dimana saja. Jika misalnya modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga pertahun setingkat I maka jumlah akimulatif modal tersebut dimasa datang setelah n tahun (Fn) dapat dihitung sebagai berikut: Fn = P (1 + i) n P = jumlah sekarang n = jumlah tahun I = tingkat bunga pertahun Rumus diatas mengandung anggapan tersirat bahwa bunga diperhitungkan/ dibayarkan satu kali dalam satu tahun. Apabila bunga diperhitungkan atau dibayarkan lebih dari satu kali (missal m kali, masing-masing i/m pertermin) dalam satu tahun maka jumlah dimasa depan menjadi: Fn = P (1 +
) m.n 9
Matematika Ekonomi
Semester Satu
m = frekuensi pembayaran bunga dalam satu tahun Suku (1 + i) dan (1 +
) dalam dunia bisnis dinamakan “10actor
bunga majemuk” (compounding interest factor) yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari satu bilangan yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa yang akan datang dari suatu jumlah sekarang. Dari rumus diatas dengan manipulasi matematis dapat dihitung nilai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang (Present Value) dari suatu jumlah uang tertentu dimasa datang adalah: P=
atau P =
(+)
suku
atau
(+)
(+ ).
(+ ).
dinamakan “10actor diskon to” (discount
factor) yaitu suatu bilangan yang lebih kecil dari satu yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.
10
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Contoh Soal 1: Seorang pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 4 tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 12% pertahun. Dari data tersebut berapa seluruh uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat pelunasan? Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar 4 bulanan, berapa jumlah uang yang harus dikembalikan? Diket : P=250.000.000 | n=4 | i=12%=0,12 |m=3 Dita : a. F4 jika dikembalikan pada saat pelunasan b. F4 jika dibayar 4 bulanan Jwb : a. F4=P(1+i)n F4=250.000.000(1+0,12)4 F4=250.000.000(1,12)4 F4=250.000.000(1,57) F4=393379840
b. F4= P(1+
m.n )
F4=250.000.000(1+
, 3.4 )
F4=250.000.000(1+0,04)12 F4=250.000.000(1,04)12 F4=250.000.000(1,601) F4=400.258.054,64
Contoh 2: Tabungan seorang nasabah akan menjadi Rp56.700.000 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang? Apabila pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang? Diket : F=56.700.000 | i=6%=0.06 | n=3 | m=2 Dita : a. P Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun 11
Matematika Ekonomi
Semester Satu
b. P pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester Jwb:
a.
P=
(+)
F
P=
56.700.000
(+,) ..
P=
(,) ..
P=
,
P=47.647.058,82
b. P=
(+ ).
P=
, . )
(+
F
..
P=
(,) ..
P=
,
P=47.647.058,82
12
Matematika Ekonomi
Semester Satu
BAB II FUNGSI Fungsi adalah Suatu bentuk matematis yang menyata kan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lainnya. Contoh: Y = 0,8X + 5 Keterangan: X = Variabel bebas (Independent variabel) adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain. Y = Variabel terikat (Dependent variabel) adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain. 0,8 = adalah koefisien variabel X 5 = adalah konstanta Fungsi Linier Definisi: Dikatakan fungsi linier apabila variabel X dan Y dalam persamaan tersebut mempunya pangkat satu. Contoh: y=2x+5 y=-3x+2 Didalam menyelesaikan persoalan fungsi linier ada dua cara yang perlu diketahui, yaitu: Dengan suatu persamaan linier dapat diperoleh suatu grafik Misal:
y= - x+4
Untuk menggambar grafiknya dicari dengan cara: mencari titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y. Titik potong terhadap sumbu X, terjadi apabila Y = 0
0= - x+4 x=4 | x= | x=8
13
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Titik potong terhadap sumbu Y, terjadi apabila X = 0
y=- .0+4 y=4
Setelah ditemukan koordinat pada masing-masing titik potong , kemudian digambar grafik garis lurusnya.
Fungsi linier gambar kurvanya adalah garis lurus Jika ada gambar kurva jika ingin diketahui fungsingya harus ada 2 titik yang dilewati oleh garis Rumusnya − −
=
− −
Dengan suatu grafik linier (garis lurus) didapat persamaan fungsinya.
Maka persamaan fungsi liniernya dapat dicari sebagai berikut: − − 412=24 = − − 4=28 3 2 :4 = = 53 62 3 2 = 2 4 ( 3)4 = 2( 2) 14
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Hubungan dua garis lurus Dua garis lurus yang sejajar
Dua garis lurus yang berhimpit
Dua garis lurus yang berpotongan
Gradien Adalah koefisien yang menentukan arah garis biasanya koefisien ini melekat pada variabel X
fungsi linier,
ℎ Tanda positive dan negativenya jika gambar kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah maka nilai gradiennya negative dan juga sebaliknya Contoh: 15
Matematika Ekonomi
Semester Satu
= 3 Jika = 0 = 3, koordinat (0,3) Jika = 0 = 3, koordinat (3,0)
16
Matematika Ekonomi
Semester Satu
BAB III PENGGUNAAN FUNGSI LINIER DALAM EKONOMI Fungsi Permintaan (Demand Function) Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang diminta oleh konsumen dengan anggapan bahwa faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus), yaitu selera tetap, pendapatan tetap dan harga barang-barang lain tetap, maka ini menandakan bahwa apabila harga turun jumlah barang yang diminta oleh konsumen naik, demikian pula sebaliknya.
1. Pada saat harga turun P1 ke P2, maka permintaan naik dari Q1 ke Q2 2. Pada saat harga naik P1 ke P3, maka per mintaan turun dari Q1 ke Q3 Hal – hal yang perlu diperhatikan 1. P = harga per unit Q = Quantitas barang 2. Kurva permintaan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah 3. P dan Q positif 4. Pada suatu tingkatan harga (P) hanya terkandung nilai kuantitas (Q) dan sebaliknya 5. Skala P dan Q tidak perlu sama, karena harga tidak sama dengan kuantitas. 17
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Fungsi Penawaran (Supply Function) Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang ditawarkan kepada konsumen, dengan anggapan faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus). Maka apabila tingkat harga meningkat, jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian pula sebaliknya.
1. P1 P2 : Jumlah barang yang ditawarkan naik Q1 Q2 2. P1 P3 : Jumlah barang yang ditawarkan turun Q1 Q3 Market Equilibrium (Keseimbangan Pasar) Definisi: Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah barang yang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik hal ini ditunjukkan oleh persamaan : = ( Fungsi Penawaran = Fungsi Permintaan) Yaitu pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran. Pada posisi keseimbangan pasar ini tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) dan Jumlah keseimbangan (equilibrium quantity).
18
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Pajak dan Subsidi Pajak Definisi: Jenis pungutan yang dilakukan pemerintah terhadap produsen/penjual sehingga beban pajak akan menambah besarnya biaya yang harus dipikul oleh produsen/penjual. Akibatnya harga yang ditawarkan akan naik, kenaikannya sebesar pajak yang dibebankan Pajak ada 2 macam Pajak Per unit Definisi: Pajak yang dikenakan terhadap suatu barang yang besarnya tetap untuk setiap unit barang Sebelum pajak : FS = Setelah pajak: FSt = ( )
Khusus Pajak Per unit Pajak yang ditanggung konsumen:( – ) Pajak yang ditanggung produsen: ( . ) ( – ) 19
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Pajak yang diterima pemerintah: . Pajak Persentase Definisi: Pajak yang dipungut pemerintah dengan persentase yang tetap terhadap penjualan. Pajak persentase (r) Sebelum pajak : FS = Setelah Pajak : FSr = ( )( 1 )
Subsidi Definisi: Subsidi merupakan kebalikan dari pajak, pengaruhnya terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga bersedia menjual lebih murah. Sebelum subsidi : FS = Setelah Subsidi : FSs = –
20
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Contoh Soal: Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi di pasar adalah bila diminta 20 unit barang, harga per unit barang Rp 80 dan bila diminta 60 unit barang, harga menjadi Rp 40, sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 90 unit barang harga per unit Rp 40, tetapi jika ditawarkan 120 unit barang harga akan naik menjadi Rp 60 per unit. Dari data tersebut diminta: a. Carilah fungsi penawaran dan fungsi permintaan? b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium? c. Apabila atas barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 5 per unitnya, tentukan harga dan kuantitas barang yang baru. d. Gambar kurvanya. Jawaban: − −
a.
−
=
−
Fungsi Permintaan FD
80
= 20 = 60
= 80 = 40
20
= 40 80 6 0 2 0 80 20 = 40 40 ( 4 0)40 = 40( 2 0) 40 3200 = 40 800 40 = 40 800 3600 40 = 40 4000 : 40 = Fungsi Penawaran FS = 90 = 120 40 90 = 60 40 120 90
= 40 = 60
21
Matematika Ekonomi
40
=
Semester Satu
90
20 30 ( 4 0)30 = 20( 20) 30 1200 = 20 40 30 = 20 40 120 30 = 20 1160 : 30 = b. = 2 20 = 100 3 2 = 100 20 3 2 3 = 120 3 3 5 = 120 3
120 = 5 3 360 = 5 = = 100 = 72 100 =
c. FD = 100
FS = 2 0
E(72,28)
FSt = 2 0 5
=
EFSt=FD
15 = 100 = 115
=
= = 100 = 69 100 =
Et(69,31) 22
Matematika Ekonomi
FD
FS
= 100 = 0 → = 1 = 0 → = 100
Semester Satu
= 0 → = 30 FSt
= 20
= 15
= 0 → = 15 = 0 → = 22,5
= 0 → = 20 = 0 = 100 d. FD = 100 → = 0 = 100 = 0 = 20 FS = 2 0 → = 30 =0
23
Matematika Ekonomi
Semester Satu
24
Matematika Ekonomi
Semester Satu
BAB IV ANALISIS BREAK EVEN POINT (BEP) Fungsi Biaya Fungsi biaya menunjukkan hubungan antara biaya total dengan tingkat outputnya (produksi yang dihasilkan). Fungsi biaya terdiri dari : Total Cost (TC) adalah biaya yang dikeluarkan produsen secara keseluruhan dalam memproduksi suatu barang. Variabel Cost (VC) adalah biaya yang dikeluarkan produsen secara berubah-ubah sesuai dengan besar kecilnya produksi yang dihasilkan. Fixed Cost (FC) adalah biaya yang dikeluarkan perusahaan secara tetap (tanah, gedung, mesin). Secara Grafis hubungan ketiga fungsi biaya tersebut adalah sebagai berikut:
Keterangan: TC,VC,FC adalah pengganti sumbu Y. Q adalah pengganti sumbu X. FC garis sejajar dengan Q, karena FC tidak dipengaruhi oleh besar kecilnya produksi. 25
Matematika Ekonomi
Semester Satu
VC adalah garis yang berpusat pada titik 0, karena jumlah pengeluarannya tergantung dari kuantitas yang dihasilkan, jadi apabila tidak berproduksi, maka VC = 0 Bentuk umum fungsi biaya linier: = Dimana: TC = Total Cost Q = Kuantitas yang dihasilkan a, b = Konstanta Fungsi Penerimaan (Revenue) Adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara penerimaan total dengan hasil penjualan produksinya. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut:
Keterangan: Grafik TR dimulai dari titik 0, karena pada saat produsen tidak menjual barang hasil produksinya adalah 0, maka TR nya juga 0. Analisis Break Even Point (BEP). BEP terjadi apabila garis Total Cost (TC) bertemu dengan garis Total Revenue (TR) dalam satu titik, yaitu titik yang menunjukkan keadaan tingkat penerimaan sama dengan biaya yang dikeluarkan. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut:
26
Matematika Ekonomi
Semester Satu
TR
laba TC
ru i
BEP
BAB V FUNGSI KONSUMSI, FUNGSI TABUNGAN DAN PENDAPATAN NASIONAL Seorang ahli dalam bidang ekonomi bernama Keyness, mempunyai pendapat bahwa pengeluaran seseorang untuk konsumsi dipengaruhi oleh pendapatannya. Semakin tinggi tingkat pendapatan maka tingkat konsumsinya juga semakin tinggi. Sejalan dengan pemikiran tersebut dapat dimengerti bahwa seorang yang tingkat pendapatannya semakin tinggi, semakin besar pula tabungannya karena tabungan merupakan bagian dari pendapatan yang tidak dikonsumsikan. Fungsi Konsumsi Secara matematis, hubungan fungsional antara konsumsi dan pendapatan dapat ditulis sebagai berikut: = ( > 0, > 0) Keterangan : Y = Pendapatan C = Pengeluaran untuk konsumsi A = Besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan nol. B = MPC (Marginal Propensity to Consume) Besarnya tambahan konsumsi karena adanya tambahan pendapatan.
27
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Fungsi Tabungan (Saving) Adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara pendapatan dengan tabungan (saving), secara matematis fungsi tabungan dapat ditulis sebagai berikut: Keterangan: = Y = Pendapatan = – C = Konsumsi = – ( ) S = Tabungan = – – ( 1 – b ) = MPS (Marginal Propensity to = – Save) = (1 – ) Besarnya tambahan tabungan akibat bertambahnya pendapatan Secara Grafis hubungan pendapatan, konsumsi dan tabungan digambarkan sebagai berikut: Y=C
C/S
E
=
a
= 1 0
YE
Y
Keterangan : C dan S adalah konsumsi dan tabungan sebagai pengganti sumbu Y Y adalah pendapatan sebagai pengganti sumbu X a adalah besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan 0 Y sama dengan C adalah garis impas karena semua titik pada garis tersebut menunjukkan bahwa semua pendapatan habis dikonsumsikan. 28
Matematika Ekonomi
Semester Satu
E adalah titik impas yaitu titik perpotongan antara garis konsumsi dengan garis impas. Pada titik tersebut semua pendapatan habis dikonsumsikan atau tabungan sama dengan nol. C = a + bY adalah garis konsumsi S = -a + ( 1 - b ) Y adalah garis fungsi tabungan YE = adalah besarnya pendapatan yang hanya cukup untuk konsumsi Skala konsumsi (C), Skala Saving (S) = Skala Pendapatan (Y) Pendapatan Nasional Pendapatan Nasional pada dasarnya merupakan penjumlahan total dari pendapatan semua sektor di dalam satu negara, meliputi sektor rumah tangga(orang-perseorangan), sektor badan usaha dan sektor pemerintah Pendapatan Disposabel (Yd) Adalah pendapatan nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat, tidak termasuk didalamnya pendapatan yang mempengaruhi besarnya Yd yaitu pajak dan transfer payment. Ada 4 keadaan yang mempengaruhi pendapatan : Pengeluaran perdangan dengan luar negeri tercermin dari selisih antara ekspor dan impor negara yang bersangkutan dilambangkan oleh (X – M).
29
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Dengan demikian persamaan pendapatan nasional menurut pendekatan pengeluaran adalah sebagai berikut: Untuk perekonomian 2 sektor (model perekonomian sederhana), = Untuk perekonomian 3 sektor (model perekonomian tertutup), = Untuk perekonomian 4 sektor (model perekonomian terbuka) = (– ) Persamaan Pendapatan Nasional Adalah persamaan yang menggambarkan jumlah seluruhkeluaran (barang dan jasa)yang dihasilkan oleh suatu negara dalam jangka waktu tertentu. Pengeluaran tersebut terdiri dari: Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi masyarakat dilambangkan oleh C. Pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi yang dilakukan oleh perusahaan dilambangkan oleh I. Pengeluaran dari sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah dilambangkan oleh G. Tidak ada pajak maupun transfer payment = Hanya ada pajak = – Hanya ada transfer payment = 30
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Ada pajak dan Transfer payment = –
31
Matematika Ekonomi
Semester Satu
32
Matematika Ekonomi
Semester Satu
BAB VI FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) Definisi: Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim. Sumbu simetri parabola dapat berupa garis yang sejajar dengan sumbu vertikal Y atau berupa garis yang sejajar dengan sumbu horizontal X. Titik Ekstrim parabola adalah titik potong antara sumbu simetri dan para bola yang bersangkutan.
=
Sumbu simetris // sumbu Y (vertical)
=
Sumbu simetris // sumbu X (horizontal)
33
Matematika Ekonomi
Semester Satu
Titik Ekstrim Parabola
4 , 2 4
Penggunaan Fungsi Kuadrat dalam Ekonomi Selain berbentuk fungsi linier, fungsi permintaan dan fungsi penawaran dapat pula berbentuk fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik cara menganalisis keseimbangan pasarnya sama halnya dalam kasus linier yaitu FD = FS. Demikian juga analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar sama halnya pada kondisi linier. Differensial Kaidah (Rumus) Differensial Differensial Konstanta Jika Y = K dimana K adalah konstanta, maka =0 Contoh : =5 =0 Differensial Fungsi Pangkat Jika = , dimana n adalah konstanta maka : = − Contoh :
= = 5 − = 5 = − → = 3 −− = 3 − Differensial perkalian konstanta dengan fungsi Jika = . , dimana = ℎ() 34
Matematika Ekonomi
Maka,
Semester Satu
= .
Contoh :
= 5 ,
= 5(3 ) = 15
Differensial pembagian konstanta dengan fungsi
Jika =
, dimana = ℎ(), maka
=
/
Contoh : =
5
,
=
5(3 ) ( )
=
15
35
Matematika Ekonomi
Semester Satu
36
Matematika Ekonomi
Semester Satu
BANK SOAL
Soal-Soal Deret 1. PT. Jaya Abadi perkembangan produksinya mengikuti pola deret hitung, pada tahun kesepuluh total produksinya mencapai 27.000 unit, kemudian akibat kesalahan manajemen pada tahun ke sembilan belas tidak berproduksi lagi. Dari data tersebut diminta : a. Berapa perkembangan produksinya? b. Berapa produksi tahun pertama? c. Berapa total produksi sampai tahun ke lima belas? d. Berapa produksi tahun ke lima belas? e. Pada tahun keberapa produksi mencapai 1200 unit? 2. Besarnya penerimaan PT. YSSY dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun ke lima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penrimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannyasebesar Rp 460 juta 3. Perolehan keuntungan kapital (capital gain) seorang pialang berpola deret hitung, pada bulan ke 5 aktivitasnya di bursa saham , dia memperoleh keuntungan Rp 700.000, selama tujuh bulan pertama, dia meraih keuntungan total sebesar Rp 4.620.000, Diminta: a. Berapa besar keuntungan pada bulan pertama aktivitasnya? b. Berapa keuntungan yang dia peroleh pada bulan ke 10? c. Hitung keuntungan kapital total pialang tadi selama setahun aktivitasnya di bursa saham? 4. Data penjualan perusahaan keramik PT Pasti Kuat untuk bulan ke lima Rp 900 juta dan pada bulan ke sembilan Rp 1.300 juta. Diminta: a. Berapa besar hasil penjualan pada bulan pertama? 37
Matematika Ekonomi
5.
6.
7.
8.
Semester Satu
b. Berapa perkembangan penjualan tiap bulannya? c. Berapa besar penerimaan pada bulan ke sepuluh? d. Berapa total penerimaan selama 1 tahun? Dari hasil penjualan barangnya pada tahun kesepuluh, PT Langsung Jaya memperoleh penerimaan Rp 200 juta sedangkan tahun ke lima belas memperoleh penerimaan sebesar Rp 250 juta. Jika pola perkembangan penerimaan perusahaan tersebut mengikuti deret hitung. Diminta: a. Berapa perkembangan penerimaan pertahunnya? b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama? c. Pada tahun keberapa besarnya penerimaan mencapai Rp 310 juta Seorang pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 4 tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 12% pertahun. Dari data tersebut berapa seluruh uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat pelunasan? Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar 4 bulanan, berapa jumlah uang yang harus dikembalikan? Tabungan seorang nasabah akan menjadi Rp56.700.000 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang? Apabila pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang? Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp 300 juta, untuk jangka waktu 3 tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 15% pertahun. Dari data tersebut berapa seluruh uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat pelunasan? Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar 3 bulanan, berapa jumlah uang yang harus dikembalikan? 38
Matematika Ekonomi
Semester Satu
9. Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi Rp10.600.000 empat tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 4% pertahun , Hitung Present value? Apabila pembayaran bunga tidak pertahun tetapi empat bulanan berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang? Soal-Soal Fungsi Permintaan,Fungsi Penawaran, Market Equlibrium, Pajak Dan Subsidi 1. Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi di pasar adalah bila diminta 20 unit barang, harga per unit barang Rp 80 dan bila diminta 60 unit barang, harga menjadi Rp 40, sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 90 unit barang harga per unit Rp 40, tetapi jika ditawarkan 120 unit barang harga akan naik menjadi Rp 60 per unit. Dari data tersebut diminta: a. Carilah fungsi penawaran dan fungsi permintaan? b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium? c. Ababila atas barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 5 per unitnya, tentukan harga dan kuantitas barang yang baru. d. Gambar kurvanya. 2. Kejadian yang berhasil diamati dipasar terhadap suatu barang adalah sebagai berikut: Bila barang tersebut tidak ada di pasar (Q = 0) maka harga per unit yang diminta dapat mencapai Rp 120, tetapi bila barang ada sebanyak 20 unit harga yang ditawarkan sebesar Rp 60 per unit. Market Equilibrium terjadi pada harga Rp 80 dan kuantitas 40 unit. Diminta: a. Carilah fungsi permintaan dan fungsi penawarannya. b. Gambar kurvanya. 3. Diketahui: Fungsi Penawaran : P = ¼ Q + 10 Fungsi Permintaan: P = -1/4 Q + 25 39
Matematika Ekonomi
4.
5.
6.
7.
Semester Satu
Pajak Rp 2 per unit Diminta: a. Keseimbangan pasar sebelum pajak b. Keseimbangan pasar setelah pajak c. Gambar kurvanya Garis fungsi penawaran melewati titik (0,3) sedang garis fungsi permintaan melewati titik (0,10), apabila titik equilibriumnya E (6,6). Tentukan: Persamaan fungsi permintaan dan penawarannya Diketahui : Fungsi Penawaran Q = 2P - 20 Fungsi Permintaan P = -1/2 Q + 40 Pajak Rp 5, pe unit Diminta: a. Harga & kuantitas pada market equibrium sebelum pajak b. Harga & kuantitas pada market equibrium setelah pajak c. Gambar kurvanya. Diketahui: Fungsi Permintaan P= -1/2 Q + 30 Fungsi Penawaran P = ¼ Q + 10 Pajak 20% Diminta : a. Harga dan kuantitas keseimbangan pasar sebelum pajak b. Harga dan kuantitas keseimbangan pasar setelah pajak c. Gambar kurvanya. Diketahui: FD : P = - 0,5Q + 10 FS : P = Q + 4 Pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp 2, untuk setiap unit barang yang dijual, berapa P dan Q sebelum subsidi dan P dan Q setelah subsidi? Dan Gambarkan kurvanya?
40
Matematika Ekonomi
Semester Satu
8. Sebuah perusahaan menjual hasil produksinya dengan harga Rp 2000, per unit, biaya variabelnya 40% dari pendapatannya sedang biaya tetapnya Rp 6000.000 Tentukan: a. BEP (pada saat Q berapa) b. Bila perusahaan menjual hasil produksinya 6000 unit , apa yang terjadi (laba/rugi) c. Gambar kurvanya 9. Bila diketahui fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan C = 10 + 0,75Y Carilah: a. Fungsi tabungannya, berapakah besarnya konsumsi pada saat tabungan sama dengan nol (S = 0) b. Gambar kurva fungsi konsumsi dan tabungannya. 10. Pak Santoso mengatakan bahwa pada saat menganggur dia harus mengeluarkan Rp 30.000, untuk kebutuhannya sebulan, setelah bekerja dengan penghasilan Rp 100.000, Pak Santoso bisa menabung Rp 10.000 / bulan. Berapakah tabungan Pak Santoso bila penghasilannya mencapai Rp 120.000 / bulan Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Pendapatan Nasional 1. Bila diketahui fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan C = 10 + 0,75Y Carilah persamaan fungsi tabungannya a. Berapakah besar konsumsi pada saat tabungan sama dengan 0 ( S=0) b. Gambar kurva fungsi konsumsi dan tabungannya. 2. Konsumsi masyarakat suatu negara ditunjukkan oleh persamaan C = 1500 + 0,75Yd Investasi dan pengeluaran pemerintah masingmasing sebesar 2000 dan 1000. Pajak yang diterima dan transfer payment yang dilakukan pemerintah masing-masing dicerminkan 41
