CASCARONES CILINDRICOS Estas formas trabajan como cascarones cuando se encuentran formando bóvedas, donde son similares a una multitud de arcos unidos entre sí. Si su superficie es lo suficientemente rígida, el cascarón también se comporta como una placa, lo cual puede ser útil para soportar cargas no uniformes. Hay que tener en cuenta que si en vez de soportarse longitudinalmente, se coloca apoyada sobre los extremos, como una viga, su comportamiento se asemejará más a esta según aumenta la luz cubierta.
Un cascarón cilíndrico es un solido acotado por 2 cilíndros circulares rectos como se ve en el bosquejo. El cilindro está definido por el radio interno, el radio externo y por la altura. Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la Figura 4. Naturalmente
procedemos
restando
el
volumen V1 del
volumen V2 del cilindro exterior, así:
Figura 4
cilindro
interior
al
En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r = 1/2 (r2 +r1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos Dr = r2 − r1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:
Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en un caja rectangular de escaso grosor como lo muestra la Animación 3.
Animación 3 Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b. La región aparece
representada en la Figura 5 y el sólido de revolución que engendra en la Animación 4.
Figura 5
Animación 4
Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1, xi], todos con el mismo ancho: Dx = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo. Consideremos el rectángulo Ri construido sobre el iésimo subintervalo con una altura de f (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura f (xi*) y cuyo grosor es Dx = xi−1 − xi. (Véase Figura 6). Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico está dado por:
Figura 6
Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros, como lo ilustra la Animación 5 y después sumar los volúmenes de todos ellos:
Animación 5
Se puede probar que esta aproximación será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos. Por eso, se puede poner:
Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el cálculo de volúmenes con el método de los casquetes cilíndricos. Es la siguiente: Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:
