DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES. Fijándonos en el desarrollo, en las potencias pares de ( i·∆λ ) desaparece el número imaginario i, una potencia par de i será ±1. De esta forma, la suma de los términos correspondientes a potencias pares de ∆λ corresponderá a la componente real de la imagen de la función, es decir, a la ordenada sobre el plano de la proyección, coordenada y. De la misma forma, la suma de los términos correspondientes a potencias impares de ∆λ corresponderán a la abcisa sobre el plano de la proyección, coordenada x. De acuerdo con la teoría del desarrollo en serie de Taylor, cuanto mayor sea ( i ⋅ ∆λ ) , mayor será el numero de términos que deberemos considerar en el desarrollo. De acuerdo a la segunda condición la transformada del meridiano central debe ser una línea isométrica de módulo de deformación lineal k 0.0. De esta forma, si a un punto de latitud ϕ le corresponde una longitud de arco de meridiano hasta el ecuador de: ϕ
l . a . m. = β (ϕ )
= ∫ ρ ⋅ dϕ
0
la ordenada del punto sobre el plano de la proyección, coordenada y, ha de ser:
= k 0 ⋅ β y = f ( Γ ) y
(ϕ ) ϕ
→ f ( Γ ) = k 0 ⋅ β
(ϕ ) = k 0 ⋅ ∫ ρ ⋅ d ϕ 0
La solución numérica de esta integral será introducida en un apéndice.
Ya definida la función únicamente restará calcular las sucesivas derivadas. En la definición oficial de la proyección dado que el incremento de longitud geodésica máximo de un huso es de 3º es suficiente limitar el desarrollo a la sexta derivada para garantizar la precisión milimétrica. Debido a que en este estudio se considera para el incremento de longitud geodésica un valor máximo de 7º30’, es preciso prolongar el desarrollo hasta la novena derivada. De resultado de realizar todas las derivadas se obtienen finalmente las siguientes expresiones:
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-4
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES. ∆λ ⋅ v ⋅ cos⋅ ϕ + 3 ∆λ ( ) + ⋅ v ⋅ cos 3 ϕ ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) + 6 5 ∆λ ) 5 − 18 ⋅ t 2 + t 4 + 14 ⋅ η 2 − 58⋅ η 2 ⋅ t 2 + ( 5 + ⋅ v ⋅ cos ϕ ⋅ + 4 4 2 6 6 2 120 +13 ⋅ η − 64 ⋅ η ⋅ t + 4 ⋅ η − 24 ⋅ η ⋅ t 61 − 479 ⋅ t 2 + 179 ⋅ t 4 − t 6 + 331 ⋅ η 2 − −3298 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 177 ⋅ η 2 ⋅ t 4 + 715 ⋅ η 4 − 7 4 2 4 4 6 (∆λ ) 7 −8655 ⋅ η ⋅ t + 6080 ⋅ η ⋅ t + 769 ⋅ η + v cos ϕ + ⋅ ⋅ ⋅ −10964 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 9480 ⋅ η 6 ⋅ t 4 + 412 ⋅ η 8 5040 −5176 ⋅ η 8 ⋅ t 2 + 6912 ⋅ η 8 ⋅ t 4 + 88 ⋅ η 10 x = 500000 + k o ⋅ −1632 ⋅ η 10 ⋅ t 2 + 1920 ⋅ η 10 ⋅ t 4 2 4 6 8 2 1385 − 20480 ⋅ t + 20690 ⋅ t − 1636 ⋅ t + t + 12284 ⋅ η − −173088 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 201468 ⋅ η 2 ⋅ t 4 − 54979 ⋅ η 2 ⋅ t 6 − 21 ⋅ η 2 ⋅ t 8 + 4 53 1 8 ⋅ η 4 − 8 8 3 44 9 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 1 49 9 1 9 7 ⋅ η 4 ⋅ t 4 − 3 9 0 60 7 ⋅ η 4 ⋅ t 6 − − 1 4 ⋅ η 4 ⋅ t 8 + 9 0 80 4 ⋅ η 6 − − 21 9 5 1 9 3 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 4 5 9 4 8 00 ⋅ η 6 ⋅ t 4 − 9 + (∆λ ) ⋅ v ⋅ cos 9 ϕ ⋅ −1 394064 ⋅ η 6 ⋅ t 6 + 104073 ⋅ η 8 − 2875680 ⋅ η 8 ⋅ t 2 + 7041648 ⋅ η 8 ⋅ t 4 − 362880 −2644992 ⋅ η 8 ⋅ t 6 + 68568 ⋅ η 10 − 2115840 ⋅ η10 ⋅ t 2 + 5968512 ⋅ η10 ⋅ t 4 − −2741760 ⋅ η 10 ⋅ t 6 + 25552 ⋅ η12 − 880192 ⋅ η 12 ⋅ t 2 + 2811456 ⋅ η12 ⋅ t 4 − −1474560 ⋅ η 12 ⋅ t 6 + 4672 ⋅ η 14 − 175680 ⋅ η 14 ⋅ t 2 + 14 4 14 6 6 0 3 6 4 8 η t 3 2 2 5 6 0 η t + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
Al ampliar el intervalo de longitudes del huso 30 nos encontramos que la traslación de 500000 m. no es suficiente para evitar coordenadas negativas en las longitudes más occidentales, correspondientes al extremo occidental de la Comunidad Gallega. La solución a este problema sería tan sencillo como aplicar una traslación mayor. Con la intención de no modificar en absoluto la proyección para aquellos puntos que realmente pertenecen al huso 30 parece acertado decidir no modificar la traslación. Además cabe preguntarse: ¿ es realmente un problema tener coordenadas negativas a efectos de cálculo ?.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-5
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
β ( ϕ ) + 2 ( ∆ λ ) + ⋅v ⋅ t ⋅ cos 2 ϕ + 2 4 ( ∆ λ ) 4 2 2 4 + ⋅v ⋅ t ⋅ cos ϕ ⋅ ( 5 − t + 9 ⋅ η + 4 ⋅ η ) + 24 2 4 2 2 2 − ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ η η 6 1 5 58 8 2 7 0 3 3 0 t t t 6 ( ) ∆ λ + ⋅v ⋅ t ⋅ cos 6 ϕ ⋅ + 445 ⋅ η 4 − 68 0 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 3 24 ⋅ η 6 + y = k o ⋅ 720 − 600 ⋅ 6 ⋅ 2 + 8 8 ⋅ 8 − 192 ⋅ 8 ⋅ 2 η t η η t 1 385 − 3 595 ⋅ t 2 + 543 ⋅ t 4 − t 6 + 1089 9 ⋅ η 2 − 1863 4 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 2 4 2 6 4 4 2 + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + 1 0 7 8 7 7 3 4 4 1 9 1 2 0 5 8 2 η t η t η η t 4 4 6 6 2 ( ∆ λ ) 8 + 4 9644 ⋅ η ⋅ t + 56385η − 252 084 ⋅ η ⋅ t + + ⋅v ⋅ t ⋅ cos 8 ϕ ⋅ + 121800 ⋅ η 6 ⋅ t 4 + 47688 ⋅ η 8 − 24249 6 ⋅ η 8 ⋅ t 2 + 40320 + 1518 72 ⋅ η 8 ⋅ t 4 + 20880 ⋅ η 10 − 12 1920 ⋅ η 10 ⋅ t 2 + 10 4 12 12 2 12 4 + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 9 4 0 8 0 4 6 7 2 3 0 5 2 8 2 3 0 4 0 η t η η t η t Para valores de: η2
t
= e'2 ⋅ cos2 ϕ
= tanϕ
V.2.2 PROBLEMA INVERSO.
De acuerdo a toda la teoría correspondiente al problema directo, el planteamiento del problema corresponde a encontrar la siguiente función:
Γ + i ⋅ ∆λ = F ( y + i ⋅ x ) Consideraremos el desarrollo en serie de Taylor para dicha función, en torno al punto ( y , i 0 ). , es decir, en el meridiano central. Supondremos :
• que anulamos la traslación en la coordenada X , se le restan 500000 m. • dividiremos las coordenadas( x , y ) por k o, resultando: x
=
X − 500000 k o y
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=
y k o
V-6
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES. En este caso, el valor que se conoce es la longitud de arco de meridiano ( y/k 0=l.a.m.), y la incógnita será ϕ ‘ , latitud correspondiente al punto del meridiano central que tiene ordenada y/k 0. ‘ , El paso de la longitud del arco de meridiano a la latitud geodésica correspondiente se introduce en una apéndice.
A partir de esta latitud se obtiene la correspondiente latitud creciente: ϕ' '
Γ ' =
ρ
∫ r ⋅ d ϕ '
0
El problema del paso de la latitud geodésica a la creciente será desarrollado en un apéndice.
Establecemos el desarrollo en serie de la función buscada según: 1
Γ
+ i ⋅ ∆λ = F( y + i ⋅ x) = F( y) + 1
= Γ + '
( i ⋅ x) 1!
( i ⋅ x)
2
⋅ F ( y ) + 1
1!
( i ⋅ x)
⋅ F ( y ) +
( i ⋅ x)
( i ⋅ x) 3!
⋅ F3( y ) + ⋅ ⋅ ⋅ =
3
⋅ F ( y ) + 2
2!
⋅ F ( y ) +
2!
2
1
3
2
( i ⋅ x) 3!
⋅ F3( y ) + ⋅ ⋅ ⋅
donde :
• la latitud creciente dependerá de los términos con potencia par de (i x). • él incremento de longitud geodésica se relaciona con los términos de potencia impar. Γ
= Γ + F( y ) + '
( i ⋅ x) 2!
1
i ⋅ ∆λ =
'
( i ⋅ x) 1!
⋅ F ( y ) + 1
2
⋅ F ( y ) + 2
( i ⋅ x) 3!
( i ⋅ x) 4!
3
⋅ F ( y ) + 3
4
⋅ F ( y ) + 4
( i ⋅ x) 5!
( i ⋅ x) 6!
5
⋅ F ( y ) + 5
6
⋅ F ( y ) + 6
( i ⋅ x) 7!
( i ⋅ x) 8!
7
⋅ F ( y ) + 7
8
⋅ F8( y ) + ⋅ ⋅ ⋅ =
( i ⋅ x)
9
9!
⋅ F9( y ) + ⋅ ⋅ ⋅
De nuevo consideramos en el desarrollo hasta la novena derivada, resultando:
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-7
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES. x − ' ' v ⋅ cosϕ 3 x '2 '2 − ⋅ + ⋅ + + η 1 2 t ( ) 6 ⋅ v'3 ⋅ cosϕ ' '2 '4 '2 '2 '2 '4 5 5 + 28 ⋅ t + 24 ⋅ t + 6 ⋅ η + 8 ⋅ η ⋅ t − 3 ⋅ η + x + ⋅ − 120 ⋅ v'5 ⋅ cosϕ ' +4 ⋅ η'4 ⋅ t '2 − 4 ⋅ η '6 + 24 ⋅ η '6 ⋅ t '2 '2 '4 '6 '2 '2 '2 61 + 662 ⋅ t + 1320 ⋅ t + 720 ⋅ t + 107 ⋅ η + 440 ⋅ η ⋅ t + '2 '4 '4 '4 '2 '4 '4 '6 7 336 t 43 234 t 192 t 97 + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − η η η η η x + − ⋅ 5040 ⋅ v'7 ⋅ cosϕ ' −772 ⋅ η'6 ⋅ t '2 + 408 ⋅ η'6 ⋅ t '4 + 188 ⋅ η '8 − 2392 ⋅ η '8 ⋅ t '2 + ⋅∆λ = +1536 ⋅ η'8 ⋅ t '4 + 88 ⋅ η'10 − 1632 ⋅ η'10 ⋅ t '2 + 1920 ⋅ η 10 ' '4 ⋅ t 1385 + 24568 ⋅ t '2 + 83664 ⋅ t '4 + 100800 ⋅ t '6 + 40320 ⋅ t '8 + 3116 ⋅ η '2 + 26736 ⋅ η '2 ⋅ t '2 + 47808 ⋅ η'2 ⋅ t '4 + 24192 ⋅ η'2 ⋅ t '6 + 1158 ⋅ η '4 − + '4 '2 '4 '4 '4 '6 '6 −4884 ⋅ η ⋅ t − 20736 ⋅ η ⋅ t − 13824 ⋅ η ⋅ t − 3500 ⋅ η + +27104 ⋅ η'6 ⋅ t '2 + 576 ⋅ η'6 ⋅ t '4 + 12192 ⋅ η '6 ⋅ t '6 − 11735 ⋅ η '8 + x9 + 362880 ⋅ v'9 ⋅ cosϕ ' ⋅ +47788 ⋅ η'8 ⋅ t '2 − 195984 ⋅ η'8 ⋅ t '4 + 9788 ⋅ η '8 ⋅ t '6 − 20280 ⋅ η '10 + '10 '2 '10 '4 '10 '6 12 ' +459312 ⋅ η ⋅ t − 817344 ⋅ η ⋅ t + 178556 ⋅ η ⋅ t − 16144 ⋅ η + ' +483712 ⋅ η'12 ⋅ t '2 − 1239552 ⋅ η '12 ⋅ t '4 + 437760 ⋅ η '12 ⋅ t '6 − 4672 ⋅ η 14 + +175680 ⋅ η'14 ⋅ t '2 − 603648 ⋅ η'14 ⋅ t '4 + 322560 ⋅ η '14 ⋅ t '6
x 2 '2
2 ⋅ v ⋅ cos ϕ
⋅ t ' + '
= λO + ∆λ
λ Γ = Γ ' −
x 4
'
'4
24 ⋅ v ⋅ cos ϕ
'
⋅ t ⋅ [5 + 6 ⋅ t ' 2 + η' 2 − 4 ⋅ η' 4 ] −
61 + 180 ⋅ t ' 2 + 120 ⋅ t ' 4 + 46 ⋅ η' 2 + 48 ⋅ η' 2 ⋅ t ' 2 − x − ⋅ t ' ⋅ −3 ⋅ η' 4 − 36 ⋅ η' 4 ⋅ t ' 2 + 100 ⋅ η' 6 − 96 ⋅ η' 6 ⋅ t ' 2 + + '6 ' 720 ⋅ v ⋅ cos ϕ +88 ⋅ η' 8 − 192 ⋅ η' 8 ⋅ t ' 2 6
1385 + 7266 ⋅ t ' 2 + 10920 ⋅ t ' 4 + 5040 ⋅ t ' 6 + '2 '2 '2 '2 '4 +1731⋅ η + 4416 ⋅ η ⋅ t + 2688 ⋅ η ⋅ t − −573 ⋅ η' 4 − 1830 ⋅ η' 4 ⋅ t ' 2 − 1536 ⋅ η' 4 ⋅ t ' 4 − 8 x ' '6 '6 '2 '6 '4 + ⋅ t ⋅ − ⋅ η + ⋅ η ⋅ t + ⋅ η ⋅ t − 2927 5052 744 '8 ' 40320 ⋅ v ⋅ cos ϕ 8 8 2 8 4 −8808 ⋅ η' + 27456 ⋅ η' ⋅ t ' − 7872 ⋅ η' ⋅ t ' − −11472 ⋅ η' 10 + 53952 ⋅ η'10 ⋅ t ' 2 − 24960⋅ η'10 ⋅ t ' 4 − −4672 ⋅ η' 12 + 30528 ⋅ η'12 ⋅ t ' 2 − 23040⋅ η'12 ⋅ t ' 4
Obtener la latitud geodésica a partir de la creciente se podría realizar de acuerdo a lo explicado en un apéndice posterior. Sin embargo, de acuerdo al método seguido en la definición oficial
de la proyección se considera la función:
[ Γ ' + ( Γ − Γ ' )]
ϕ = h( Γ ) = h
De la que se plantea un desarrollo de Taylor :
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
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DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES. 2
3
4
( ∆Γ) ∂2 h ( ∆Γ) ∂3 h ( ∆Γ) ∂4 h ∆Γ ∂h ϕ = h(Γ) = h( Γ ) + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + +... 1! ∆Γ Γ 2 ! ∆Γ2 Γ 3! ∆Γ3 Γ 4 ! ∆Γ4 Γ '
'
'
'
'
Por tanto, tendremos que obtener el incremento de latitud creciente, sus potencias y derivar la función anterior, resultando finalmente: x 2 − '2 ⋅ t ' ⋅ (1 + η '2 ) + 2⋅v '2 '2 '2 '2 '4 4 5 + 3 ⋅ t + 6 ⋅ η − 6 ⋅ η ⋅ t − 3 ⋅η − x ' − + ' 4 ⋅ t ⋅ '4 '2 '6 24 ⋅ v − 9 ⋅ η ⋅ t − 4 ⋅ η 61 + 90 ⋅ t '2 + 45 ⋅ t '4 + 107 ⋅ η '2 − 162 ⋅ η '2 ⋅ t '2 − 45 ⋅η '2 ⋅ t '4 +43 ⋅η '4 − x 6 ' − 720 ⋅ v '6 ⋅ t ⋅ − 318 ⋅ η '4 ⋅ t '2 + 135 ⋅ η '4 ⋅ t '4 + 97 ⋅ η '6 + 18 ⋅η '6 ⋅ t '2 + 225 ⋅η '6 ⋅ t '4 + ⋅ ϕ = ϕ '+ 1385 + 3633.⋅t '2 + 4515 ⋅ t '4 + 2310 ⋅ t '4 + 3116 ⋅ η '2 − 5748 ⋅ η '2 ⋅ t '2 + + 4704 ⋅ η '2 ⋅ t '4 − 525 ⋅ η '2 ⋅ t '6 + 1158 ⋅ η '4 − 17826 ⋅η '4 ⋅ t '2 + + 37734 ⋅ η '4 ⋅ t '4 − 9450 ⋅ η '4 ⋅ t '6 − 3500 ⋅ η '6 + 1164 ⋅ η '6 ⋅ t '2 + 8 x ' + + 14006 ⋅ η ' 6 ⋅ t '4 − 20790 ⋅ η '6 ⋅ t '6 − 11735 ⋅ η '8 + 29001 ⋅η '8 ⋅ t '2 + '8 ⋅ t ⋅ 40320 ⋅ v '8 '4 '8 '6 '10 '10 '2 13389 45 20280 64272 + ⋅ η ⋅ t − ⋅ η ⋅ t − ⋅ η + ⋅ η ⋅ t − 15864 ⋅ η '10 ⋅ t '4 − 16144 ⋅ η '12 + 75408 ⋅ η '12 ⋅ t '2 − 31872 ⋅η '12 ⋅ t '4 + − − 4672 ⋅ η '14 + 30528 ⋅ η '14 ⋅ t ' 2 − 23040 ⋅ η '14 ⋅ t '4
V.2.3 CONVERGENCIA DE MERIDIANOS.
Se define la convergencia de meridianos, γ, en un punto de la proyección como el ángulo formado por la transformada del meridiano del punto y la dirección del eje de ordenadas de la proyección. Se obtiene a partir de la siguiente expresión: ∂ y tg γ
=
∂ y ∂ x
=
∂ y ∂λ
⋅
∂λ ∂ x
=
∂λ ∂ x ∂λ
A partir de las expresiones del problema directo de la proyección y derivando hasta el orden séptimo, se obtiene:
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-9
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
∆λ ⋅ t ⋅ cosϕ + 1 3 3 2 2 4 + ⋅ ∆ ⋅ ⋅ cos ⋅ 1 + + 3 ⋅ + 2 ⋅ + λ t ϕ t η η ( ) ( ) 3 2 4 2 4 4 2 2 − 4 ⋅ t + 2 ⋅ t + 15⋅ η + 35⋅ η − 40⋅ η ⋅ t + 1 5 5 + + ⋅ ( ∆λ) ⋅ t ⋅ cos ϕ ⋅ 6 6 2 8 8 2 15 +33⋅ η − 60 ⋅ η ⋅ t + 11⋅ η − 24⋅ η ⋅ t tg γ = −148 − 2195⋅ t 2 + 2482 ⋅ t 4 − 155⋅ t 6 + 2023⋅ η 2 − 37716⋅ η 2 ⋅ t 2 + 8526 ⋅ η 2 ⋅ t 4 + 18984 ⋅ η 4 − 81172 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 46424 ⋅ η 4 ⋅ t 4 + + 1 7 + ⋅ ( ∆λ) ⋅ t ⋅ cos7 ϕ ⋅ +34783⋅ η 6 − 212240⋅ η 6 ⋅ t 2 + 124740⋅ η 6 ⋅ t 4 + 36180⋅ η8 − 5040 −255572 ⋅ η 8 ⋅ t 2 + 147840⋅ η8 ⋅ t 4 + 18472⋅η 10 − 114528⋅ η10 ⋅ t 2 + 10 4 12 12 2 12 4 + 94080 ⋅ ⋅ + 4672 ⋅ − 30528 ⋅ ⋅ + 23040 ⋅ ⋅ η t η η t η t Considerando el desarrollo en serie de la arcotangente, γ
1 1 = tg γ − ⋅ tg 3 γ + ⋅ tg 5 γ − ⋅⋅⋅ 3 5
limitado a esos términos, obtenemos finalmente: ( ∆λ ) ⋅ sen ϕ + 1 + ⋅ ( ∆λ ) 3 ⋅ sen ϕ ⋅ cos2 ϕ ⋅ (1 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) + 3 2 − t 2 + 15 ⋅ η 2 − 15 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 35 ⋅ η 4 − 50 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 1 5 4 + + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ 6 6 2 8 8 2 15 + 33 ⋅ η − 60 ⋅ η ⋅ t + 11 ⋅ η − 24 ⋅ η ⋅ t γ = − 148 − 3427 ⋅ t 2 + 18 ⋅ t 4 − 1387 ⋅ t 6 + 2023 ⋅ η 2 − 46116 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 2 4 4 4 2 4 4 5166 18984 100212 57624 + ⋅ η ⋅ t + ⋅ η − ⋅ η ⋅ t + ⋅ η ⋅ t + 1 7 6 6 6 2 6 4 8 + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ + 34783 ⋅ η − 219968 ⋅ η ⋅ t + 144900 ⋅ η ⋅ t + 36180 ⋅ η − 5040 − 261508 ⋅ η 8 ⋅ t 2 + 155904 ⋅ η 8 ⋅ t 4 + 18472 ⋅ η10 − 114528 ⋅ η10 ⋅ t 2 + 10 4 12 12 2 12 4 + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 94080 4672 30528 23040 η t η η t η t
V.2.4 COEFICIENTE DE ANAMORFOSIS LINEAL.
Dado que la proyección es conforme el coeficiente de anamorfosis lineal, k 1, es independiente de la dirección considerada, pero función del punto considerado. Permite transformar una distancia infinitesimal del elispoide en la correspondiente sobre la proyección: ds1
= k1 ⋅ ds
Por comodidad se determinará en la dirección del paralelo según: GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-10
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
∂ x 2 ∂ y 2 2 + ⋅ d λ ∂ x 2 ∂ y 2 1 ∂λ ∂λ 2 k 1 = = 2 ⋅ + v ⋅ cos 2 ϕ ∂λ ∂λ (v ⋅ cos ϕ ) 2 ⋅ d λ 2 Llegando hasta la sexta derivada, se obtiene: 1+ 2 2 2 ( ) + ∆ λ ⋅ cos ϕ ⋅ ( 1 + η ) + 2 4 2 2 2 8 − 24 ⋅ t + 4 ⋅ t + 20 ⋅ η − 28 ⋅ η ⋅ t + + 1 ⋅ ( ∆ λ ) 4 ⋅ cos 4 ϕ ⋅ + 4 4 2 6 6 2 12 + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ η η t η η t 16 48 4 24 2 2 k 1 = k o ⋅ 136 + 10576 ⋅ t 2 − 9136 ⋅ t 4 + 224 ⋅ t 6 + 616 ⋅ η 2 + 2 2 2 4 4 + 43952 ⋅ η ⋅ t − 50058 ⋅ η ⋅ t − 1120 ⋅ η + + 66960 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − 95680 ⋅ η 4 ⋅ t 4 + 1024 ⋅ η 6 + 1 6 6 + ⋅ ( ∆ λ ) ⋅ cos ϕ ⋅ 6 2 6 4 8 + 42736 ⋅ η ⋅ t − 80160 ⋅ η ⋅ t + 472 ⋅ η + 36 0 + 9184 ⋅ η 8 ⋅ t 2 − 21888 ⋅ η 8 ⋅ t 4 + 88 ⋅ η 10 − − 1632 ⋅ η 10 ⋅ t 2 + 1920 ⋅ η 10 ⋅ t 4
Para resolver la raíz cuadrada, consideraremos el desarrollo en serie de Taylor :
(1 + x )
1
2
1 1 1 = 1 + ⋅ x − ⋅ x 2 + ⋅ x 3 −⋅⋅⋅ 2 8 16
operando finalmente, con los términos apuntados en la ecuación anterior, obtendremos : 1+ 1 2 2 2 + ⋅ ( ∆ λ) ⋅ cos ϕ ⋅ (1 + η ) + 2 2 2 2 2 4 − ⋅ t + ⋅ η − ⋅ η ⋅ t + ⋅ η − 5 4 14 28 13 1 4 + + ⋅ ( ∆ λ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ 24 −48 ⋅η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24⋅ η 6 ⋅ t 2 k 1 = k o ⋅ 61 + 10636 ⋅ t 2 − 9136 ⋅ t 4 + 224 ⋅ t 6 + 331⋅ η 2 + + ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 50058 ⋅ η 2 ⋅ t 4 + 715⋅ η 4 + 44432 4 2 4 4 6 1 + ⋅ η ⋅ t − ⋅ η ⋅ t + ⋅ η + 68100 95680 769 6 6 + 720 ⋅ ( ∆ λ) ⋅ cos ϕ ⋅ 6 2 6 4 8 +43816 ⋅ η ⋅ t − 80160 ⋅ η ⋅t + 412 ⋅ η + +9644 ⋅ η 8 ⋅ t 2 − 21888 ⋅ η 8 ⋅ t 4 + 88⋅ η 10 − 10 2 10 4 − ⋅ η ⋅ t + ⋅ η ⋅ t 1632 1920
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-11
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
V.3 APLICACIÓN PRÁCTICA DE UNA RED GEODÉSICA DE PRIMER ORDEN. Del problema existente para la Península Ibérica y particularizándolo a la Comunidad Valenciana, la cual se encuentra comprendida bajo la influencia de los husos 30 y 31, nace el planteamiento hipotético de una red geodésica de primer orden para toda la provincia de Castellón, ya que dicha provincia se encuentra cubierta por los husos anteriormente mencionados.
Dicha red esta formada por vértices geodésicos oficiales de primer orden en ED-50: Pto Latitud Longitud Huso Hoja Nombre 1 39.41585934 -0.26548854 30 668 Rebalsadores 2 40.13260984 -0.20547852 30 592 Peñagolosa 3 40.18253882 0.17377863 31 594 Campanillas 4 40.40140022 -0.05125619 30 520 Carrascal 5 40.41185398 0.49067737 31 523 L’illa de Riu Coordenadas GEODÉSICAS en formato pseudosexagesimal. Tabla de observaciones geodésicas (sobre el elipsoide) obtenidas a partir de la resolución del problema inverso de la geodesía. Inicio Final Long.Geodésica Az.Directo Az.Reciproco 1 2 58841.5271 8.19114169 188.23027031 1 3 92565.7685 42.59169853 223.27551030 1 4 112130.6948 15.49533420 196.03537095 1 5 153945.7802 44.05302425 224.54344186 2 3 55419.0109 80.12126865 260.37073809 2 4 54341.2574 24.01583673 204.12096376 2 5 111634.7319 62.05550673 242.51213956 3 4 51681.8359 321.28482997 141.13585270 3 5 61423.0632 46.13557936 226.34225486 4 5 76570.3385 88.12543886 268.48189383 Longitudes geodésicas en metros a la décima de milímetro. Azimutes geodésicos en formato pseudosexagesimal a la diezmilésima de segundo.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-12
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES. Transformación a la proyección U.T.M. (para un único HUSO-30 ). Punto Huso Xu.t.m. Yu.t.m. Ku.t.m. Convergencia. 1 30 718763.1524 4397605.0467 1.00018920 1.37494316 2 30 725609.5929 4456059.2218 1.00022658 1.42466714 3 30 779935.0173 4467123.0558 1.00056471 2.07555828 4 30 746245.8504 4506346.4384 1.00034639 1.53581840 5 30 822703.8591 4511271.1051 1.00088199 2.29298776 Las coordenadas están en metros a la décima de milímetro. La Convergencia esta en formato pseudosexagesimal a la diezmilésima de segundo. Tabla de observaciones cartográficas para la cuerda obtenidas a partir de las coordenadas sobre la proyección. Inicio Final Longuit.Cuerda Az.Directo Az.Reciproco 1 2 58853.7538 6.40491774 186.40491774 1 3 92599.9495 41.20453374 221.20453374 1 4 112160.5499 14.11009810 194.11009810 1 5 154024.8140 42.26276771 222.26276771 2 3 55440.6002 78.29191618 258.29191618 2 4 54356.7776 22.18420139 202.18420139 2 5 111694.4429 60.22322279 240.22322279 3 4 51705.2580 319.20259702 139.20259702 3 5 61467.2602 44.05272405 224.05272405 4 5 76616.4436 86.18527934 266.18527934 Longitudes cartográficas en metros a la décima de milímetro. Azimutes cartográfico en formato pseudosexagesimal a la diezmilésima de segundo.
•
PASO DEL ELIPSOIDE A LA PROYECCIÓN U.T.M..
Paso de longitudes geodésicas a la proyección U.T.M.. Inicio Final 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5
L.Geod. K.D. 58841.5271 92565.7685 112130.6948 153945.7802 55419.0109 54341.2574 111634.7319 51681.8359 61423.0632 76570.3385
L.Geo*K.D. L.Cuerda 1.00020779 58853.7539 1.00036927 92599.9501 1.00026625 112160.5490 1.00051339 154024.8144 1.00038958 55440.6009 1.00028561 54356.7779 1.00053490 111694.4452 1.00045321 51705.2588 1.00071959 61467.2627 1.00060216 76616.4460
E.D.Cuerda D.Tipica. 58853.7513 -0.0025 92599.9437 -0.0058 112160.5311 -0.0188 154024.7845 -0.0295 55440.6008 0.0006 54356.7760 -0.0016 111694.4401 -0.0028 51705.2576 -0.0003 61467.2608 0.0006 76616.4460 0.0024
0.1187 0.1862 0.2253 0.3090 0.1119 0.1097 0.2244 0.1044 0.1239 0.1542
Longitudes en metros a la décima de milímetro. Errores en las distancias para la cuerda a la décima de milímetro. Desviación típica para las distancias expresadas en metros.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
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DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES. Paso de azimut de la geodésica a azimut de la cuerda. Inicio Final 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 2 3 4 5 3 4 5 4 5 5
2 3 4 5 3 4 5 4 5 5 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4
Az.G.Elip. 8.19114169 42.59169853 15.49533420 44.05302425 80.12126865 24.01583673 62.05550673 321.28482997 46.13557936 88.12543886 188.23027031 223.27551030 196.03537095 224.54344186 260.37073809 204.12096376 242.51213956 141.13585270 226.34225486 268.48189383
A.G.U.T.M. 6.41219853 41.21275538 14.12039104 42.27408110 78.29260151 22.19116959 60.23083959 319.20527169 44.06002109 86.18562046 186.40160317 221.19595202 194.09555256 222.25045410 258.29117982 202.18114536 240.21515179 139.20003430 224.04526710 266.18490606
R.A.C.
Az.Cuerda
0.00329502 0.00423965 0.01031994 0.0113448 0.00068756 0.00298090 0.00363158 0.00268722 0.00331148 0.00034117 -0.00332904 -0.00460113 -0.01057395 -0.01234902 -0.00073864 -0.00306909 -0.00408719 -0.00257491 -0.00347195 -0.00037317
6.40490351 41.20451573 14.11007110 42.26273628 78.29191396 22.18418870 60.22320801 319.20258448 44.05270961 86.18527929 186.40493222 221.20455315 194.11012651 222.26280311 258.29191846 202.18421446 240.22323898 139.20260922 224.05273905 266.18527923
E.Az.C D.Tipica. 0.1423 0.1801 0.2700 0.3143 0.0222 0.1269 0.1478 0.1254 0.1444 0.0005 -0.1448 -0.1941 -0.2841 -0.3540 -0.0228 -0.1307 -0.1619 -0.1220 -0.1500 0.0011
0.4160 0.4148 0.4144 0.4139 0.4163 0.4163 0.4144 0.4165 0.4159 0.4152 0.4160 0.4148 0.4144 0.4139 0.4163 0.4163 0.4144 0.4165 0.4159 0.4152
Ángulos expresados en graduación pseudosexagesimal. Errores en los azimutes a la cuerda en segundos sexagesimales. Desviación típica para azimutes a la cuerda expresados en segundos sexagesimales.
•
PASO DE LA PROYECCIÓN U.T.M. AL ELIPSOIDE.
Paso de longitudes de la proyección U.T.M. a longitudes geodésicas. Inicio Final L.P.Cuerda 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4
2 3 4 5 3 4 5 4 5 5
58853.7538 92599.9495 112160.5499 154024.8140 55440.6002 54356.7776 111694.4429 51705.2580 61467.2602 76616.4436
L.P.Geod 58853.7565 92599.9559 112160.5679 154024.8439 55440.6003 54356.7795 111694.4480 51705.2592 61467.2622 76616.4437
K.D. 1.00020779 1.00036927 1.00026625 1.00051339 1.00038958 1.00028561 1.00053490 1.00045321 1.00071959 1.00060216
L.Geod 58841.5296 92565.7743 112130.7136 153945.8097 55419.0103 54341.2590 111634.7347 51681.8362 61423.0626 76570.3361
E.L.Geod
D.Tipica.
0.0025 0.0058 0.0188 0.0295 -0.0006 0.0016 0.0028 0.0003 -0.0006 -0.0024
0.1187 0.1861 0.2253 0.3089 0.1118 0.1097 0.2243 0.1044 0.1238 0.1541
Longitudes expresadas en metros a la décima de milímetro. Error en las distancias geodésicas expresadas en metros. Desviación típica para las distancias en metros.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
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DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES. Paso del azimut de la cuerda U.T.M. a la geodésica sobre el elipsoide. Inicio Final Az.Cuerda 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 2 3 4 5 3 4 5 4 5 5
2 3 4 5 3 4 5 4 5 5 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4
6.40491774 41.20453374 14.11009810 42.26276771 78.29191618 22.18420139 60.22322279 319.20259702 44.05272405 86.18527934 186.40491774 221.20453374 194.11009810 222.26276771 258.29191618 202.18420139 240.22322279 139.20259702 224.05272405 266.18527934
R.Ang.Cuerd
Az.G.U.T.M. Az.Geod
E.Az.G.
0.00329502 0.00423965 0.01031994 0.01134481 0.00068756 0.00298090 0.00363158 0.00268722 0.00331148 0.00034117 -0.00332904 -0.00460113 -0.01057395 -0.01234902 -0.00073864 -0.00306909 -0.00408719 -0.00257491 -0.00347195 -0.00037317
6.40162272 8.19115592 41.20029409 42.59171654 14.09577816 15.49536119 42.25142290 44.05305568 78.29122862 80.12127088 22.18122049 24.01584942 60.21559121 62.05552151 319.19590980 321.28484251 44.04541257 46.13559380 86.18493817 88.12543891 186.41224678 188.23025584 221.21313486 223.27549089 194.12067205 196.03534254 222.27511673 224.54340646 258.29265483 260.37073582 202.19127048 204.12095069 240.23130997 242.51212336 139.20517193 141.13584050 224.06019599 226.34223986 266.18565251 268.48189394
0.1423 0.1801 0.2700 0.3143 0.0222 0.1269 0.1478 0.1254 0.1444 0.0005 -0.1448 -0.1941 -0.2841 -0.3540 -0.0228 -0.1307 -0.1619 -0.1220 -0.1500 0.0011
D.Tipica. 0.4160 0.4148 0.4144 0.4139 0.4163 0.4163 0.4144 0.4165 0.4159 0.4152 0.4160 0.4148 0.4144 0.4139 0.4163 0.4163 0.4144 0.4165 0.4159 0.4152
Ángulos expresados en graduación pseudosexagesimal. Errores en los azimutes en segundos sexagesimales. Desviación típica para azimutes geodésicos en segundos sexagesimales. Tanto en el paso de observables del elipsoide a la proyección como en el inverso, aparece como penúltima columna el error cometido. En la última columna figura la desviación típica que correspondería a un observable de la magnitud correspondiente para un instrumental de precisión ± (1 mm. + 2 ppm.). De la comparación de ambas columnas se desprende que el error es muy inferior a la desviación típica en el caso de las distancias mientras que en los ángulos la diferencia es más pequeña pero suficiente.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
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