Cartografía Matemática_T5

Universidad del Zulia Departamento de Geoinformática Cátedra: Cartografía Matemática

TEMA No.5

Tema No.5: Proyecciones Cónicas. Convergencia de Meridianos. Desarrollo cónico directo. Desarrollo cónico conforme de Lambert. Cálculo de coordenadas: Problema Directo, Problema Inverso. Proyección de Lambert rigurosamente conforme. Proyección equiarial de Albers.

5.- Proyecciones Cónicas. Las proyecciones cónicas se producen al desarrollar un cono sobre la superficie de la Tierra y proyectar los puntos sobre él. El eje del cono coincide con el eje de los polos, y el contacto de cono y esfera se produce a lo largo de un paralelo llamado estándar (también puede ser secante obteniendo dos paralelos estándar, ver gráfico).

http://nivel.euitto.upm.es/~mab/tematica/htmls/proyecciones.html

En las proyecciones cónicas (siempre que el eje del cono coincida con el eje de los polos) los meridianos aparecen como rectas concurrentes y los paralelos como circunferencias concéntricas. Entre las Proyecciones Cónicas más importantes citaremos la Proyección Cónica Conforme de Lambert y la Proyección Cónica Equivalente de Lambert.

5.1.- Convergencia de Meridianos en los desarrollos cónicos. En este desarrollo el cilindro tangente a la Tierra se sustituye por una superficie cónica a lo largo de un paralelo de latitud 0, cuyo valor dependerá de la zona que se desee representar. Establecida la correspondencia entre los puntos de la esfera y los de la superficie cónica y desarrollada ésta, se obtendrá una representación en la que los meridianos serán siempre rectas que convergen en un punto

V (vértice del cono), y cuyos ángulos respecto del

meridiano central que se adopta como eje

Y, se denomina convergencia de meridianos,

que se representa con la letra , por otra parte, los paralelos serán arcos de circunferencia con centro en el vértice del cono.

Tema No.5: Proyecciones Cónicas

Prof. Giovanni Royero O.


TEMA No.5

Según sea la correspondencia entre los paralelos en la esfera y en el plano, se obtendrán distintos desarrollos cónicos.

El estudio de la convergencia de meridianos es común para todos los desarrollos cónicos. Para el cálculo de su valor, se considera un punto A sobre la esfera, cuyo meridiano se toma como origen, y un punto

B que se encuentra en el mismo paralelo, el cual será el de

tangencia del cono considerado. Así, la latitud de ambos puntos ( 0), coincidirá con la del paralelo de tangencia que será automecoico. La diferencia de longitudes entre ambos puntos será igual al valor de

como se aprecia en el gráfico.

Al desarrollar el cono, cada meridiano se representará según una recta que formará, con la correspondiente al meridiano origen, un ángulo . Todos los meridianos pasan por el punto

V’ que corresponde a la transformación del vértice de V en la proyección.




TEMA No.5

El arco AB sobre la esfera tiene valor: AB = R λcos(ϕ0) El arco A’B’ en el desarrollo cónico tendrá por valor: A’B’ = r 0θ = R θctg(ϕ0) Y al ser este paralelo de tangencia automecoico, se verifica que AB = A’B’. Sustituyendo estos valores en la igualdad se tiene:

R λcos(ϕ0) = R θctg(ϕ0)

θ = λsen(ϕ0) Este ángulo (convergencia de meridianos), permite dibujar el meridiano de cualquier lugar.

5.2.- Desarrollo Cónico Directo. Se consideran los planos de los meridianos y los paralelos que cortarán a la superficie cónica según generatrices y secciones rectas (circunferencias) y al desarrollar ésta, se transformarán respectivamente en las rectas concurrentes y arcos de circunferencias concéntricas. El paralelo a lo largo del cual el cono es tangente es el de latitud

0.

Este

paralelo está representado por una circunferencia de radio: r 0 = VS = Rctg(ϕ0) Otro paralelo de latitud cualquiera

cortará a la superficie cónica al prolongar su plano, en

los puntos MT. En la representación, le corresponderá una circunferencia cuyo radio VM =

rp. Para calcular su valor, se consideran los triángulos VMA y VNB que son semejantes. Escribiendo la proporcionalidad entre sus lados: Tema No.5: Proyecciones Cónicas



VM VN

=

VA VB

=

VB + BO − OA VB

TEMA No.5

=1+

BO − OA VB

Sustituyendo los valores de cada segmento:

r p Rctg(ϕ 0 )

=1+

Rsen (ϕ 0 ) − Rsen (ϕ ) Rctg(ϕ 0 )cos(ϕ 0 )

Ejecutando operaciones se obtiene:

r p

1 − sen (ϕ)sen (ϕ0 )

= R

sen (ϕ0 )cos(ϕ0 )

Expresión correspondiente al radio del paralelo de latitud .

Para el cálculo de las coordenadas rectangulares, se toman los ejes coordenados de forma que el eje

Y sea el meridiano central de la zona a representar, y el eje X la tangente al

paralelo de latitud 0, en el punto considerado central. Las coordenadas rectangulares de un punto M de la esfera de coordenadas ,

serán:

Δx = r psenθ Δy = r 0 − r p cos θ o

Δx = r psenθ θ ⎞ Δy = (r 0 − r p ) + Δx ⋅ tg⎛ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Nota: para calcular las coordenadas cartesianas de un punto de coordenadas geográficas y

, habrá que calcular previamente la convergencia de meridianos y el radio rp del

paralelo.




TEMA No.5

5.3.- Desarrollo Cónico Conforme de Lambert. Es un desarrollo cónico en el que se verifica la condición de que la representación sea conforme. Para ello se considera, como en el caso anterior, la superficie cónica tangente a lo largo del paralelo de latitud media

0

de la zona a representar. Este paralelo será

automecoico y en el desarrollo vendrá representado por una circunferencia de radio r0 cuyo valor, igual que en todos los desarrollos cónicos es: r 0 = Rctg(ϕ0). Los paralelos restantes serán circunferencias con centro en V’, cuyo radio está definido por la condición de ser conforme la representación. Para ello basta que el radio rp sea:

⎛ ζ ⎞ r p = r e ⎜ tg ⎟ ⎝ 2 ⎠

n

Siendo la colatitud y re y n constantes de la proyección. En esta proyección se maneja la variable

en vez de

, para evitar la discontinuidad de la función cotangente cuando

= 0º, lográndose de esta manera calcular el valor de la constante de integración c = r e; re, es el valor correspondiente a la representación del Ecuador y n 0 la

= cos( 0) = sen( 0), siendo

latitud del paralelo de tangencia.




TEMA No.5

Para obtener el valor de rp, se consideran los elementos de superficie en la esfera y el plano, limitados por dos meridianos y dos paralelos infinitamente próximos. Se trata de expresar que los elementos correspondientes de meridiano son proporcionales a los de paralelo, es decir, que la anamorfosis a lo largo del meridiano y del paralelo sean igual (ver gráfico anterior).

Nota: Se define anamorfosis de una imagen, a la deformación producida por medios mecánicos u ópticos.

De esta manera, un elemento diferencial entre dos paralelos, en la esfera, tiene por valor: dm = R d ζ Y el correspondiente en el plano es: dm’ = dr P La anamorfosis lineal sobre el meridiano será: Km =

dr P Rd ζ

Análogamente, sobre los paralelos la anamorfosis será: K P

=

dSPlano dSEsfera

=

r P d θ R .sen (ζ ).d λ

=

r P . cos(ζ 0 )d λ R .sen (ζ ).d λ

=

r P .n R .sen (ζ )

Para calcular el radio vector rP se impone la condición de conformidad, es decir Km = Kp: dr P R .d ζ

=

r P .n Rsen (ζ )

⇒

dr P r P

=n

d sen (ζ)

Integrando: ln(r P ) = n

d ζ

∫ sen(ζ) n

⎛ ζ ⎞ ln(r P ) = ln⎜ tg ⎟ + ln(c) ⎝ 2 ⎠ n ζ ⎞ ⎛ r P = c.⎜ tg ⎟ ⎝ 2 ⎠ Para ζ = π/2, se tiene que r P = r e = c (punto ecuatorial)




TEMA No.5

Lo anteriormente expuesto demuestra que la constante de integración representa el valor que corresponderá al Ecuador, por tanto:

⎡ ⎛ ζ ⎞⎤ r P = r e ⎢ tg⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦

n

5.3.1.- Cálculo de coordenadas: Problema Directo (un paralelo de contacto). Para realizar el cálculo de coordenadas planas (x, y) de un punto, en la proyección cónica conforme de Lambert, cuyas coordenadas geodésicas (ϕ, λ) son conocidas en un esferoide dado, se deberán realizar las siguientes operaciones: Datos del problema: 

Radio del esferoide en metros.



Coordenadas geodésicas del punto (ϕ, λ).



Longitud y latitud inicial (ϕ0, λ0).



Coordenadas (x0, y0) de la proyección cónica.

Cálculo de la colatitud inicial.

ζ0 = 90º - ϕ0 Tema No.5: Proyecciones Cónicas



TEMA No.5

Cálculo de la colatitud del punto.

ζPunto = 90º - ϕPunto Convertir los valores angulares previos de grados sexagesimales a radianes. Cálculo de r 0. r 0 = R ctg(ϕ0) = R [cos(ϕ0)/sen(ϕ0)] Cálculo de r e. r e = r 0 / [tan(ζ0/2)] ; n = sen(ϕ0) n

Determinación de r P. r P = r e [tan(ζPunto/2)] ; n = sen(ϕ0) n

Cálculo del valor de convergencia de meridiano en radianes.

θ = Δλ sen(ϕ0); Δλ = λ0 − λP Cálculo de Δx.

Δx = r P sen(θ) Cálculo de Δy.

Δy = r 0 − r P cos(θ) Determinación de las coordenadas planas en la proyección cónica conforme de Lambert con un paralelo estándar: x = x0 ± Δx y = y0 ± Δy Conversión del valor θ en radianes a sexagesimales. Presentación de resultados.

Ejemplo: ============================================================================== UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA GEODESICA <<< GEOCON.EXE >>> PROGRAMA DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS DE GEODESICAS A CONICA CONFORME DE LAMBERT CASO: TIERRA ESFERICA FUENTE: GEODESIA Y CARTOGRAFIA MATEMATICA, FERNANDO MARTIN ASIN, PAG 375 AUTOR: Prof.MSc.Ing.Giovanni Royero O. VER2.0 09.2003 ==============================================================================

DATOS: LATITUD DEL ORIGEN: 10 : 30 : 30 LONGITUD DEL ORIGEN: -69 : 0 : 0 LATITUD DEL PUNTO A TRANSFORMAR: 11 : 30 : 15 LONGITUD DEL PUNTO A TRANSFORMAR: -69 : 30 : 20




TEMA No.5

COORDENADAS PLANAS DEL ORIGEN: VALOR DE X0: 500000.0000 VALOR DE Y0: 500000.0000 CALCULOS INICIALES: VALOR DE R : 6371000.0000 VALOR DE R0: 34346959.64821306640000 VALOR DE RE: 35521983.47041809760000 VALOR DE RP: 34236222.45379301640000 VALOR DE Ø(RAD): 0.00160923685738 VALOR DE DELTAX: 55094.1673 VALOR DE DELTAY: 110781.5242 COORDENADAS TRANSFORMADAS A CONICAS CONFORME DE LAMBERT(ESFERICA): X= 555094.1673 m Y= 610781.5242 m

5.3.2.- Cálculo de coordenadas: Problema Inverso (un paralelo de contacto). Para realizar el cálculo de coordenadas geodésicas (ϕ,

λ)

de un punto, en la proyección

cónica conforme de Lambert, cuyas coordenadas planas (x, y) son conocidas en un esferoide dado, se deberán realizar las siguientes operaciones: Datos del problema: 










Coordenadas (x, y) del punto en la proyección cónica.

Cálculo de Δx.

Δx = x − x0 Cálculo de Δy.

Δy = y − y0 Convertir los valores angulares previos de grados sexagesimales a radianes. Cálculo de r 0. r 0 = R ctg(ϕ0) = R [cos(ϕ0)/sen(ϕ0)] Cálculo del valor de convergencia de meridiano en radianes.

θ = arctan[Δx/( r 0 − Δy)] Cálculo Δλ en radianes.

Δλ = θ /

sen(ϕ0)




TEMA No.5

Cálculo de la longitud geodésica del punto en radianes.

λP = λ0 − Δλ Cálculo de la longitud geodésica del punto en grados sexagesimales. Determinación de r P. r P = Δx / sen(θ) Cálculo de r e. r e = r 0 / [tan(ζ0/2)] ; n = sen(ϕ0) n

Cálculo de la colatitud del punto en radianes.

ζPunto = 2*arctan[(r P / r e )](1/n) Cálculo de la colatitud del punto en grados sexagesimales. Cálculo de la latitud del punto en grados sexagesimales.

ϕPunto = 90º - ζPunto Presentación de resultados.

Ejemplo: ============================================================================== UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA GEODESICA <<< GEOCON.EXE >>> PROGRAMA DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS DE CONICA CONFORME DE LAMBERT A GEODESICAS CASO: TIERRA ESFERICA FUENTE: GEODESIA Y CARTOGRAFIA MATEMATICA, FERNANDO MARTIN ASIN, PAG 375 AUTOR: Prof.MSc.Ing.Giovanni Royero O. VER2.0 09.2003 ==============================================================================

DATOS: LATITUD DEL ORIGEN: 10 : 30 : 30 LONGITUD DEL ORIGEN: -69 : 0 : 0 COORDENADAS PLANAS DEL ORIGEN: VALOR DE X0: 500000.0000 VALOR DE Y0: 500000.0000 COORDENADA X A TRANSFORMAR: X= 555094.1673 m COORDENADA Y A TRANSFORMAR: Y= 610781.5242 m CALCULOS INICIALES: VALOR DE R : 6371000.0000 VALOR DE R0: 34346959.64821306640000 VALOR DE RE: 35521983.47041809760000 VALOR DE RP: 34236222.45380499520000 VALOR DE Ø(RAD): 0.00160923685881 VALOR DE DELTAX: 55094.1673 VALOR DE DELTAY: 110781.5242 COORDENADAS TRANSFORMADAS A CONICAS CONFORME DE LAMBERT(ESFERICA): LATITUD : 11 : 30 :15.0000 LONGITUD : -69 : 30 :20.0000




TEMA No.5

5.3.3.- Cálculo de coordenadas: Problema Directo (dos paralelos de contacto) Para realizar el cálculo de coordenadas planas (x, y) de un punto, en la proyección cónica conforme de Lambert, cuyas coordenadas geodésicas (ϕ, λ) son conocidas en un esferoide dado, se deberán realizar las siguientes operaciones:

Datos del problema: 










Latitud de los paralelos de contacto ó estándar (ϕ1, ϕ2).




Cálculos previos:

⎡ cos(ϕ1 ) ⎤ ⎥ cos(ϕ2 ) ⎦ ⎣ n= ⎡ ⎛ π ϕ2 ⎞ ⎤ ⎢ tan⎜⎝ 4 + 2 ⎠⎟ ⎥ ⎥ ln ⎢ π ϕ ⎛ ⎞ ⎢ tan⎜ + 1 ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 4 2 ⎠ ⎥⎦ ln ⎢

⎡ ⎣

⎛ π + ϕ1 ⎞⎤ / n ⎟ ⎝ 4 2 ⎠⎦⎥

F = ⎢cos(ϕ1 ) ⋅ tan n ⎜ R ⋅ F

ρ=

⎛ π + ϕ ⎞ ⎟ ⎝ 4 2 ⎠

tan n ⎜

ρ0 =

R ⋅ F

⎛ π + ϕ0 ⎞ ⎟ ⎝ 4 2 ⎠

tan n ⎜

θ = n (λ − λ 0 ) Cálculo de (Δx, Δy).

Δx = ρ ⋅ sen (θ)

Δy = ρ0 − ρ ⋅ cos(θ)




TEMA No.5

Determinación de las coordenadas planas en la proyección cónica conforme de Lambert con dos paralelos de contacto ó estándar: x = x0 ± Δx y = y0 ± Δy Cálculo de los factores de escala:

⎛ π + ϕ1 ⎞ ⎟ 4 2 ⎠ ⎝ K m = K p = ⎛ π ϕ ⎞ cos(ϕ) ⋅ tan n ⎜ + ⎟ ⎝ 4 2 ⎠ cos(ϕ1 ) ⋅ tan n ⎜

Conversión del valor θ en radianes a sexagesimales. Presentación de resultados.

5.3.4.- Cálculo de coordenadas: Problema Inverso (dos paralelos de contacto). Para realizar el cálculo de coordenadas geodésicas (ϕ,

λ)


cónica conforme de Lambert, cuyas coordenadas planas (x, y) son conocidas en un esferoide dado, se deberán realizar las siguientes operaciones: Datos del problema: 














Cálculo de Δx.


Δy = y − y0 Convertir los valores angulares previos de grados sexagesimales a radianes. Las expresiones para calcular n, F y ρ0 son las mismas utilizadas en el caso anterior.




TEMA No.5

Cálculo de ρ:

ρ = ±[Δx 2 + (ρ0 − Δy )2 ]

(1 / 2 )

, tomando el signo de n.

Cálculo θ y conversión a grados sexagesimales:

⎛ Δ x ⎞ ⎟⎟ ρ y − Δ ⎝ 0 ⎠

θ = arctan⎜⎜

Cálculo de las coordenadas (ϕ, λ) del punto.

⎛ R ⋅ F ⎞ ϕ = 2 ⋅ arctan⎜⎜ ⎟⎟ ρ ⎝ ⎠

(1 / n )

−

π 2

θ λ = + λ0 n

Conversión a valores sexagesimales y presentación de resultados.

5.4.- Proyección de Lambert rigurosamente conforme. Esta

proyección

sustituye

la

esfera

como

figura

geométrica

que

representa

matemáticamente el globo terrestre por un elipsoide de revolución. Los elementos que definen la geometría de esta superficie elipsoidal (semieje mayor y achatamiento) conjuntamente con la normal mayor y el radio medio de curvatura, serán utilizados en sustitución del radio de la esfera, los cuales se presentan a continuación:

Normal Mayor en la latitud origen ϕ0 N 0

=

a 1 − e 2senϕ0

Normal Menor en la latitud origen ϕ0 n0

= (1 − e2 )⋅ N Radio Medio de Curvatura en la latitud origen ϕ0

ψ=

a (1 − e 2 ) ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

[1 − e (senϕ ) ] 2

2

0




TEMA No.5

Retomando el formulismo desarrollado en los ítems 5.3.1 y 5.3.2, y sustituyendo los correspondientes términos se tiene que:

El elemento diferencial entre dos paralelos, en el elipsoide, tiene por valor: dm = -ψ d ϕ Y el correspondiente en el plano es: dm’ = dr P La anamorfosis lineal sobre el meridiano será: Km =

dm dm'

=

− ψd ϕ dr P

Análogamente, sobre los paralelos la anamorfosis será: Kp =

N cos ϕd λ r Psenϕ0d λ

Para calcular el radio vector rP se impone nuevamente, la condición de conformidad, es decir Km = Kp:

− ψd ϕ dr P

=

N cos ϕd λ r Psenϕ0d λ

De donde: dr P r P

⎛ ψd ϕ ⎞ = − n ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ϕ N cos ⎝ ⎠

Integrando la expresión y reagrupando términos se tiene que el radio vector r P será:

rP

⎛ e ⎞ ⎤ ⎡ ⎜ ⎟ ζ ⎞⎛ 1 + e cos ζ ⎞⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎛ ⎢ = r e ⎢ tan⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 1 − e cos ζ ⎠⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

Al calcular el valor de rP, se sigue el procedimiento descrito en el ítem 5.3.1 y 5.3.2 para la determinación de las coordenadas planas proyectadas (x, y) y geodésicas ( , ) a través de este desarrollo y que se detalla a continuación.




TEMA No.5

5.4.1.- Cálculo de coordenadas: Problema Directo (un solo paralelo de contacto). Para realizar el cálculo de coordenadas planas (x, y) de un punto, en la proyección cónica rigurosamente conforme de Lambert, cuyas coordenadas geodésicas (ϕ, λ) son conocidas en un elipsoide dado, se deberán realizar las siguientes operaciones: Datos del problema: 

Semieje mayor en metros y achatamiento del elipsoide.










Cálculo de la colatitud inicial.

ζ0 = 90º - ϕ0 Cálculo de la colatitud del punto.

ζPunto = 90º - ϕPunto Convertir los valores angulares previos de grados sexagesimales a radianes. Cálculo de la normal mayor N del punto de latitud inicial. N 0

=

a 1 − e 2senϕ0

Cálculo de r 0. r 0 = N0 ctg(ϕ0) = N0 [cos(ϕ0)/sen(ϕ0)] Cálculo de r e. r e =

r 0 ⎛ e ⎞ ⎤ ⎡ ⎜ ⎟ ζ 0 ⎞⎛ 1 + e ⋅ cos(ζ 0 ) ⎞⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎢tan⎛ ⎢ ⎜⎝ 2 ⎠⎟⎜⎜⎝ 1 − e ⋅ cos(ζ 0 ) ⎠⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

(n )

; n = sen(ϕ0)

Determinación de r P.

r P

⎛ e ⎞ ⎤ ⎡ ⎜ ⎟ 1 + e ⋅ cos(ζ P ) ⎞⎝ 2 ⎠ ⎥ ζ P ⎞⎛ ⎛ ⎢ ⎟⎟ ⎥ = r e ⎢tan⎜ ⎟⎜⎜ 2 1 e cos ( ) − ⋅ ζ ⎝ ⎠⎝ P ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

(n )

; n = sen(ϕ0)

Cálculo del valor de convergencia de meridiano en radianes.

θ = Δλ sen(ϕ0); Δλ = λ0 − λP Tema No.5: Proyecciones Cónicas



TEMA No.5

Cálculo de Δx.

Δx = r P sen(θ) Cálculo de Δy.

Δy = r 0 − r P cos(θ) Determinación de las coordenadas planas en la proyección cónica conforme de Lambert: x = x0 ± Δx y = y0 ± Δy Conversión del valor θ en radianes a sexagesimales. Presentación de resultados.

Ejemplo: ============================================================================== UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA GEODESICA <<< GEOCON.EXE >>> PROGRAMA DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS DE GEODESICAS A CONICA CONFORME DE LAMBERT CASO: TIERRA ELIPOSIDAL FUENTE: GEODESIA Y CARTOGRAFIA MATEMATICA, FERNANDO MARTIN ASIN, PAG 375 AUTOR: Prof.MSc.Ing.Giovanni Royero O. VER2.0 09.2003 ==============================================================================

DATOS: LATITUD DEL ORIGEN: 10 : 30 :30.0000 LONGITUD DEL ORIGEN: -69 : 0 :00.0000 LATITUD DEL PUNTO A TRANSFORMAR: 11 : 30 :15.0000 LONGITUD DEL PUNTO A TRANSFORMAR: -69 : 30 :20.0000 COORDENADAS PLANAS DEL ORIGEN: VALOR DE X0: 500000.0000 VALOR DE Y0: 500000.0000 CALCULOS INICIALES: VALOR DE a : 6378388.0000 VALOR DE f : 0.00336700336700 VALOR DE b: 6356911.94612794613000 VALOR DE NO: 6379101.25201445298000 VALOR DE R0: 34390634.64052831070000 VALOR DE RE: 35559199.76436480280000 VALOR DE RP: 34280473.86753131780000 VALOR DE Ø(RAD): 0.00160923685738 VALOR DE DELTAX: 55165.3782 VALOR DE DELTAY: 110205.1601 COORDENADAS TRANSFORMADAS A CONICAS RIGUROSAMENTE CONFORME DE LAMBERT(ELIPSOIDAL): X= 555165.3782 m Y= 610205.1601 m




TEMA No.5

5.4.2.- Cálculo de coordenadas: Problema Inverso (un solo paralelo de contacto). Para realizar el cálculo de coordenadas geodésicas (ϕ,

λ)


cónica rigurosamente conforme de Lambert, cuyas coordenadas planas (x, y) son conocidas en un elipsoide dado, se deberán realizar las siguientes operaciones: Datos del problema: 











Cálculo de Δx.

Δx = x0 − x Cálculo de Δy.

Δy = y0 − y Convertir los valores angulares previos de grados sexagesimales a radianes. Cálculo de r 0. r 0 = N0 ctg(ϕ0) = N0 [cos(ϕ0)/sen(ϕ0)] Cálculo del valor de convergencia de meridiano en radianes.

θ = arctan[Δx/( r 0 − Δy)] Cálculo Δλ en radianes.

Δλ = θ /

sen(ϕ0)

Cálculo de la longitud geodésica del punto en radianes.

λP = λ0 − Δλ Cálculo de la longitud geodésica del punto en grados sexagesimales. Determinación de la latitud del punto.

r P

⎛ e ⎞ ⎤ ⎡ ⎜ ⎟ 1 + e ⋅ cos(ζ P ) ⎞⎝ 2 ⎠ ⎥ ζ P ⎞⎛ ⎛ ⎢ ⎟⎟ ⎥ = r e ⎢tan⎜ ⎟⎜⎜ 2 1 e cos ( ) − ⋅ ζ ⎝ ⎠⎝ P ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

(n )

; n = sen(ϕ0)

Despejando:




⎛ r P ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ r e ⎠ ⎛ r P ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ r e ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠

TEMA No.5

ζ ⎞⎛ 1 + e ⋅ cos(ζ P ) ⎞⎟ = tan⎛ ⎜ P ⎟⎜⎜ ⎝ 2 ⎠⎝ 1 − e ⋅ cos(ζ P ) ⎠⎟

⎛ e ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

= K

K ⎛ ζ P ⎞ = ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 + e ⋅ cos(ζ ) ⎞⎛ ⎜⎝ 2e ⎞ ⎠⎟ P ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 − e ⋅ cos(ζ P ) ⎠

tan ⎜

El denominador de la expresión anterior es muy próximo a uno (1) ya que el exponente (e/2) ≈ 0, y la base del exponente tiende a uno (1). Ahora si:

⎡ 2 ⎛ ζ ⎞ ⎤ ⎢1 − tan ⎜⎝ 2 ⎠⎟⎥ ⎦ cos(ζ ) = ⎣ ⎡ 2 ⎛ ζ ⎞ ⎤ 1 tan + ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣ Se tiene que: ⎛ 1 ⎞ K ζ P ⎞ ζ P ⎞ ⎛ ⎛ r ⎜ n ⎟ tan ⎜ ⎟ = → tan⎜ ⎟ = K 0 = ( r )⎝ ⎠ ⎛ e ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ ⎝ 2 ⎠ ⎞⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ ζ P ⎞ ⎜ (1 + e ) + tan ⎜ ⎟ ⋅ (1 − e ) ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ ≈1 ⎜ ⎟ 2 ⎛ ζ P ⎞ ⎜ (1 − e ) + tan ⎜ 2 ⎟ ⋅ (1 + e ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ P e

Se procede al cálculo de las iteraciones hasta que el valor converja: K1

=

K 0

⎛ (1 + e ) + K ⋅ (1 − e ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ( ) ( ) − + ⋅ + 1 e K 1 e ⎝ ⎠ 2 0 2 0

K2

=

⎛ e ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

K 0

⎛ (1 + e ) + K ⋅ (1 − e ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 e K 1 e ( ) ( ) − + ⋅ + ⎝ ⎠ 2 1 2 1


⎛ e ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠


Universidad del Zulia Departamento de Geoinformática Cátedra: Cartografía Matemática K3

TEMA No.5

K 0

=

⎛ (1 + e ) + K ⋅ (1 − e ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 e K 1 e ( ) ( ) − + ⋅ + ⎝ ⎠ 2 3 2 3

⎛ e ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

Se consideran tres iteraciones como suficientes para que converja la ecuación lo que permitirá determinar tan(ζ/2) con el valor de K 3 y obtener la latitud exacta. Cálculo de la colatitud:

ζ P = 2 ⋅ arctan(K 3 ) Cálculo de la colatitud del punto en grados sexagesimales. Cálculo de la latitud del punto en grados sexagesimales.

ϕPunto = 90º - ζPunto Presentación de resultados.

5.4.3.- Cálculo de coordenadas: Problema Directo (dos paralelos de contacto). Para realizar el cálculo de coordenadas planas (x, y) de un punto, en la proyección cónica rigurosamente conforme de Lambert, cuyas coordenadas geodésicas (ϕ, λ) son conocidas en un elipsoide dado, se deberán realizar las siguientes operaciones, teniendo en cuenta que la aplicación de las fórmulas son esencialmente utilizadas para escalas de 1:100.000 ó mayores y de uso importante en la escala 1:5.000.000 : Datos del problema: 














Cálculos previos:

m=

cos(ϕ) 1 − e 2 ⋅ sen 2 (ϕ)




TEMA No.5

⎛ π − ϕ ⎞ (1 / 2 ) e ⎟ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ 4 2 ⎠ = ⎢⎜ 1 − sen(ϕ) ⎟⎜ 1 + e ⋅ sen(ϕ) ⎟ ⎥ t= (e / 2 ) ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ 1 − e ⋅ sen (ϕ) ⎞ ⎢⎣⎝ 1 + sen(ϕ) ⎠⎝ 1 − e ⋅ sen (ϕ) ⎠ ⎥⎦ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 + e ⋅ sen(ϕ) ⎠ tan⎜

n= F=

ln (m1 ) − ln (m 2 ) ln (t1 ) − ln (t 2 ) m1 n ⋅ t1n

ρ = a ⋅ F ⋅ tn ρ0 = a ⋅ F ⋅ t 0n θ = n (λ − λ 0 ) Cálculo de (Δx, Δy).

Δx = ρ ⋅ sen (θ) Δy = ρ0 − ρ ⋅ cos(θ) Determinación de las coordenadas planas en la proyección cónica conforme de Lambert con dos paralelos de contacto ó estándar (caso elipsoidal): x = x0 ± Δx y = y0 ± Δy Cálculo de los factores de escala:

ρ ⋅ n m1 ⋅ t n = K m = K p = a ⋅ m m ⋅ t1n Conversión del valor θ en radianes a sexagesimales. Presentación de resultados.

5.4.4.- Cálculo de coordenadas: Problema Inverso (dos paralelos de contacto). Para realizar el cálculo de coordenadas geodésicas (ϕ,

λ)


cónica rigurosamente conforme de Lambert, cuyas coordenadas planas (x, y) son conocidas en un elipsoide dado, se deberán realizar las siguientes operaciones: Datos del problema: Tema No.5: Proyecciones Cónicas



TEMA No.5
















Cálculo de Δx.


Δy = y0 − y Convertir los valores angulares previos de grados sexagesimales a radianes.

ρ0,

Los valores de n, F y

son calculados con las mismas expresiones dadas en el

ítem 5.4.3. Cálculo de ρ:

ρ = ±[Δx 2 + (ρ0 − Δy )2 ]

(1 / 2 )

, tomando el signo de n.

Cálculo t:

⎛ ρ ⎞ t =⎜ ⎟ ⎝ a ⋅ F ⎠

(1 / n )


⎛ Δ x ⎞ ⎟⎟ − Δ ⎝ ρ 0 y ⎠

θ = arctan⎜⎜


θ λ = + λ0 n

⎡ ⎛ 1 − e ⋅ sen(ϕ) ⎞(e / 2 ) ⎤ ϕ = − 2 ⋅ arctan ⎢t ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ 2 ⎢⎣ ⎝ 1 + e ⋅ sen(ϕ) ⎠ ⎥⎦ π

La expresión de la latitud converge rápidamente a través de iteraciones sucesivas, asumiendo un valor inicial de ϕ igual a (π/2)-2*arctan(t). Conversión a valores sexagesimales y presentación de resultados.




TEMA No.5

5.5.- Proyección cónica equiarial de Albers. Esta proyección cónica como indica su nombre, conserva las áreas de los territorios proyectados al plano. Fue presentada inicialmente por el alemán, nativo de Luxemburgo, Heinrich Chtistian Albers (1773-1833) en el año 1805.

Entre sus características se tiene que los paralelos no están igualmente espaciados entre sí y son arcos de círculos concéntricos los cuales se cierran entre sí cuando se acercan al borde norte del mapa (ó sur en el hemisferio sur). Los meridianos están igualmente espaciados (mismo círculo de radio) y cortan los paralelos en ángulo recto. No hay distorsión en escala ó superficie a lo largo del paralelo estándar ó dos paralelos estándar, según sea el caso y los polos son representados como arcos de círculos.

5.5.1.- Cálculo de coordenadas: Problema Directo (caso esfera). La proyección cónica equiarial de Albers puede ser construida con un solo paralelo de contacto pero es usualmente utilizada con dos.




TEMA No.5

Para realizar el cálculo de coordenadas planas (x, y) de un punto, en la proyección cónica equiarial de Albers, cuyas coordenadas geodésicas (ϕ, λ) son conocidas en una esfera dada, se deberán realizar las siguientes operaciones: Datos del problema: 














Cálculos previos: n=

sen (ϕ1 ) + sen (ϕ2 ) 2

C = cos 2 (ϕ1 ) + 2 ⋅ n ⋅ sen (ϕ1 ) (1 / 2 )

ρ=

R ⋅ (C − 2 ⋅ n ⋅ sen (ϕ )) n

(1 / 2 )

ρ0 =

R ⋅ (C − 2 ⋅ n ⋅ sen (ϕ0 )) n


Δx = ρ ⋅ sen (θ) Δy = ρ0 − ρ ⋅ cos(θ) Determinación de las coordenadas planas en la proyección cónica equiarial de Albers con dos paralelos de contacto ó estándar: x = x0 ± Δx y = y0 ± Δy Cálculo de los factores de escala: cos(ϕ)

K m

=

K p

= 1 / K m

C − 2 ⋅ n ⋅ sen (ϕ)




TEMA No.5


5.5.2.- Cálculo de coordenadas: Problema Inverso (caso esfera). Para realizar el cálculo de coordenadas geodésicas (ϕ,

λ)


cónica equiarial de Albers, cuyas coordenadas planas (x, y) son conocidas en un esferoide dado, se deberán realizar las siguientes operaciones: Datos del problema: 














Los valores de n, C y ρ0, son calculados a través de las mismas expresiones del ítem 5.5.1. Cálculo de Δx.


Δy = y − y0 Convertir los valores angulares previos de grados sexagesimales a radianes. Cálculo de ρ: ρ =

[Δ

x

2

+ (ρ 0 − Δ y )2 ]

(1 / 2 )


⎛ Δ x ⎞ ⎟⎟ ρ y − Δ ⎝ 0 ⎠

θ = arctan⎜⎜


θ λ = + λ0 n




TEMA No.5

⎡ C − (ρ ⋅ n / R )2 ⎤ ϕ = arcsen ⎢ ⎥ 2⋅n ⎣ ⎦ Conversión a valores sexagesimales y presentación de resultados.

5.5.3.- Cálculo de coordenadas: Problema Directo (caso elipsoide). Para realizar el cálculo de coordenadas planas (x, y) de un punto, en la proyección cónica equiarial de Albers, cuyas coordenadas geodésicas (ϕ,

λ)

son conocidas en un elipsoide

dado, se deberán realizar las siguientes operaciones: Datos del problema: 














Cálculos previos: cos(ϕ)

m=

1− e

2

⋅ sen 2 (ϕ)

⎡

1 − e ⋅ sen (ϕ) ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⋅ ln⎛ − ⎜ ⎜ ⎟ 2 2 ⎜ 1 + e ⋅ sen(ϕ) ⎟⎟⎥ − ⋅ ϕ ⋅ ( ) 1 e sen 2 e ( ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ sen (ϕ)

q = (1 − e 2 )⎢

− m22 n= q 2 − q 1 m12

C = m12

ρ=a⋅ ρ0 = a ⋅

+ n ⋅ q 1 C − n ⋅ q n C − n ⋅ q 0 n


Δx = ρ ⋅ sen (θ) Tema No.5: Proyecciones Cónicas



TEMA No.5

Δy = ρ0 − ρ ⋅ cos(θ) Determinación de las coordenadas planas en la proyección cónica equiarial de Albers con dos paralelos de contacto ó estándar: x = x0 ± Δx y = y0 ± Δy Cálculo de los factores de escala:

ρ⋅n = a⋅m

K m

=

K p

= 1 / K m

C − n ⋅ q m


5.5.4.- Cálculo de coordenadas: Problema Inverso (caso elipsoidal). Para realizar el cálculo de coordenadas geodésicas (ϕ,

λ)


cónica equiarial de Albers, cuyas coordenadas planas (x, y) son conocidas en un elipsoide dado, se deberán realizar las siguientes operaciones: Datos del problema: 














Cálculo de Δx.


Δy = y0 − y Convertir los valores angulares previos de grados sexagesimales a radianes. Los valores de n, C y

ρ0,

son calculados con las mismas expresiones dadas en el

ítem 5.5.3. Tema No.5: Proyecciones Cónicas



TEMA No.5

Cálculo de ρ: ρ =

[Δ

x

2

+ (ρ 0 − Δ y )2 ]

(1 / 2 )

Cálculo q: C − (ρ n / a 2

q =

2

2

)

n


⎛ Δ x ⎞ ⎟⎟ − Δ ρ y ⎝ 0 ⎠

θ = arctan⎜⎜


θ λ = + λ0 n

(1 − e ϕ=ϕ+

2 ⎛ 1 − e ⋅ sen(ϕ) ⎞⎤ ⋅ sen 2 (ϕ)) ⎡ q sen (ϕ) 1 ln − + ⋅ ⎢1 − e2 1 − e2 ⋅ sen 2 (ϕ) 2 ⋅ e ⎜⎜ 1 + e ⋅ sen (ϕ) ⎟⎟⎥ 2 ⋅ cos(ϕ) ⎝ ⎠⎦ ⎣ 2

La expresión de la latitud converge rápidamente a través de iteraciones sucesivas, asumiendo un valor inicial de ϕ = arcsen(q/2). Conversión a valores sexagesimales y presentación de resultados.




TEMA No.5

Bibliografía Asín, Fernando Martín:

“Geodesia y Cartografía Matemática”, Editorial Paraninfo,

1984. España. Bentley System: “Microstation J, Academic Version”. BEN edition, 2001. Snyder, John P.: “Map projections – A Working Manual”, U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United Stated Government Printing Office, Washington, 1997. Wessel, Paul; Smith, Walter:

Reference

and

“The Generic Mapping Tools Version 3.4.3 -Technical

Cookbook”,

Laboratory

for

Satellite

Altimetry.

NOAA/NESDIS/NODC. Mayo, 2003.



Cartografía Matemática_T5

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