Cartografía Matemática T4.Des

Universidad del Zulia Departamento de Geoinformática Cátedra: Cartografía Matemática Matemática

TEMA No.4

Tema No.4: Proyección Cilíndrica Universal Transversa de Mercator (UTM). Origen, definición, características y ventajas. Origen de coordenadas UTM. Medición del norte geográfico verdadero: Convergencia de Meridianos. Modelo de Trasformación de coordenadas: Problema Directo, Problema Inverso, Convergencia de Meridiano Meridiano y Factor de Escala. Ejemplos de cálculo.

4.- Proyección Cilíndrica Universal Transversa de Mercator. 4.1. Origen, definición, características y ventajas de la Proyección UTM. Fue introducida por Lambert en el año 1772, y ha sufrido varias modificaciones entre las que le realizó Gauss (1822) y Kruger (1912) dando origen a la proyección que hoy se conoce y utiliza mundialmente con el nombre de Universal Transversa de Mercator. A su vez, esta proyección por ser cilíndrica es muy parecida a la proyección Mercator estudiada anteriormente pero en este caso el cilindro está ubicado transversalmente, es decir, con su eje ubicado en el plano que contiene al Ecuador.

Para hacer la proyección del elipsoide al plano, el cilindro es tangente en un meridiano de longitud elegida para tal fin, para organizar esta selección del meridiano en todo el globo, se utilizó la definición de lo que se conoce como huso que corresponde a las posiciones geográficas que ocupan todos los puntos comprendidos entre dos meridianos. Cada huso puede estar limitado a 8º, 6º ó 3º dependiendo de la proyección, en el caso de la UTM se emplean husos de 6º de longitud.

Al utilizar la UTM husos de 6º de longitud, existirá en cada huso, un meridiano central equidistante 3º de longitud de los extremos de los husos contiguos. Los husos se generan a partir del meridiano de Greenwich y se enumeran como se presenta en la tabla anexa No.1. Esta red, maya ó grid creada alrededor del elipsoide, se forma huso a huso ya no n o a través de un cilindro sino a través de un conjunto de cilindros (60 en total), uno para cada huso.

Hay que hacer notar que el cilindro de proyección, tangente al meridiano central del huso proyectado, permite que únicamente una línea sea considerada como automecoica, la correspondiente al meridiano central. Sobre esta línea, el módulo de deformación lineal K es igual a la unidad, creciendo linealmente conforme se aumenta la distancia a este meridiano central. (Ver Figura No.1). Tema No.4: Proyección UTM

Prof. Giovanni Royero O.


TEMA No.4

HUSOS DE LA PROYECCIÓN UTM Huso

Meridiano Meridiano Central

Intervalo de Longit udes

Huso

Meridiano Central

Intervalo de Longi tudes

01

177º W

180º W – 174º W

31

003º E

000º E – 006º E

02

171º W

174º W – 168º W

32

009º E

006º E – 012º E

03

165º W

168º W – 162º W

33

015º E

012º E – 018º E

04

159º W

162º W – 156º W

34

021º E

018º E – 024º E

05

153º W

156º W – 150º W

35

027º E

024º E – 030º E

06

147º W

150º W – 144º W

36

033º E

030º E – 036º E

07

141º W

144º W – 138º W

37

039º E

036º E – 042º E

08

135º W

138º W – 132º W

38

045º E

042º E – 048º E

09

129º W

132º W – 126º W

39

051º E

048º E – 054º E

10

123º W

126º W – 120º W

40

057º E

054º E – 060º E

11

117º W

120º W – 114º W

41

063º E

060º E – 066º E

12

111º W

114º W – 108º W

42

069º E

066º E – 072º E

13

105º W

108º W – 102º W

43

075º E

072º E – 078º E

14

099º W

102º W – 096º W

44

081º E

078º E – 084º E

15

093º W

096º W – 090º W

45

087º E

084º E – 090º E

16

087º W

090º W – 084º W

46

093º E

090º E – 096º E

17

081º W

084º W – 078º W

47

099º E

096º E – 102º E

18

075º W

078º W – 072º W

48

105º E

102º E – 108º E

19

069º W

072º W – 066º W

49

111º E

108º E – 114º E

20

063º W

066º W – 060º W

50

117º E

114º E – 120º E

21

057º W

060º W – 054º W

51

123º E

120º E – 126º E

22

051º W

054º W – 048º W

52

129º E

126º E – 132º E

23

045º W

048º W – 042º W

53

135º E

132º E – 138º E

24

039º W

042º W – 036º W

54

141º E

138º E – 144º E

25

033º W

036º W – 030º W

55

147º E

144º E – 150º E

26

027º W

030º W – 024º W

56

153º E

150º E – 156º E

27

021º W

024º W – 018º W

57

159º E

156º E – 162º E

28

015º W

018º W – 012º W

58

165º E

162º E – 168º E

29

009º W

012º W – 006º W

59

171º E

168º E – 174º E

30

003º W

006º W – 000º E

60

177º E

174º E – 180º W

En color verde los husos que cubren el territorio venezolano

Tabla No.1: Husos de la Proyección UTM Tema No.4: Proyección UTM



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Esta relación entre las distancias reales y las proyectadas presenta un mínimo de 1 y un máximo de 1.01003, (distorsión lineal desde 0 a 1.003%).

Fig. No.1 Para evitar este comportamiento, es decir, que las distorsiones de las magnitudes lineales aumente conforme aumenta la distancia al meridiano central se aplica un factor KC a las distancias KC = 0.9996, de modo que la posición del cilindro de proyección sea secante al elipsoide (Ver figura No.2), creándose dos líneas en las que el módulo de anamorfosis lineal sea la unidad.

La transformación geométrica creada con la proyección hace que únicamente dos líneas se consideren rectas, es decir, en la misma dirección de los meridianos y paralelos; el meridiano central del huso y el paralelo principal que contiene el eje del cilindro transversal Tema No.4: Proyección UTM



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(el Ecuador). De lo antes expuesto, permite concluir que el meridiano central se encuentra orientado en la dirección del norte geográfico y el paralelo principal de 0º se encuentra orientado en rumbo 90º-180º con dirección Este-Oeste.

Fig. No.2 Ahora el mínimo de deformación lineal es de 0.9996 y el máximo es de 1.00096, lo que implica que el factor de escala aumenta en mayor magnitud conforme aumenta la distancia con respecto al meridiano central. La distorsión lineal presenta un mínimo de -0.04% a un valor máximos de +0.096%.

La proyección UTM se utiliza mayormente en la elaboración de mapas y hojas seccionales topográficas que no excedan 6º de longitud geográfica y se aplica entre latitudes 84º N y 84º S. Como ya se mencionó, la proyección UTM, divide el globo terráqueo en 60 husos, los cuales se denotan con un número y a su vez, se generan lo que se denominan zonas identificadas por una letra y que cubren un intervalo de 8º de latitud. (Ver Figura No.3). Tema No.4: Proyección UTM



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Fig. No.3 Distribución de Husos y Zonas UTM. Como se puede apreciar en el gráfico, cada uno de los 60 husos está dividido en 20 zonas, 10 situadas en el hemisferio norte y 10 en el hemisferio sur. Se utilizan letras para representar cada zona, de manera que las letras CDEFGHJKLM, corresponden al hemisferio sur comenzando con la letra C (80º S – 72º S) y las letras NPQRSTUVWX, al hemisferio norte donde la letra N es la primera zona (0º – 8º N). La única zona que excede el valor de 8º de intervalo es la X que tiene un valor de 12º (72º N – 84º N).

Hay que resaltar que en Venezuela no se acostumbra utilizar las zonas como elementos de identificación ó apoyo en cartas ó mapas en base a 8º sino, siguiendo una división o numeración para mapas a escala 1:1.000.000 de zonas en base a bandas de 4º de latitud cada una, partiendo desde el Ecuador hacia el norte y hacia el sur, asignándoles las letras del alfabeto A, B, C, D, etc., de esta manera, de 0º a 4º corresponde la letra A, de 4º a 8º la

B, y así sucesivamente tanto al norte como al sur desde el Ecuador, omitiendo la letra Ñ en la asignación de las zonas, quedando el mundo dividido en cuadrángulos cuadrángulos de 6º de longitud y 4º de latitud. También se utiliza la letra “N” para anteponerla a todas las bandas al norte y la letra “S” para las ubicadas al sur del Ecuador respectivamente, por ejemplo, NC-19,

Tema No.4: Proyección UTM



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corresponde al mapa que se encuentra al Norte del Ecuador, banda C (8º a 12º) y pertenece al huso 19.

Las ventajas de la proyección UTM con relación a otras proyecciones cilíndricas son las siguientes:

Conserva los ángulos No distorsiona las superficies superficies en grandes magnitudes magnitudes por debajo de ±80º de latitud. latitud. Permite designar un punto ó zona de manera concreta y fácil de localizar. Es mundialmente utilizado.

Fig. No.4: Husos UTM que cubre el territorio de Venezuela. Se puede apreciar en la figura No.4 que Venezuela cuenta con territorio en cuatro husos de la proyección UTM, estos son el huso 18, 19, 20 y 21, teniendo en cuenta que el huso 21 involucra la zona en reclamación con Guyana. El gráfico a su vez, señala los




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correspondientes meridianos centrales de cada huso con la nomenclatura MC, siendo las longitudes 75º W, 69º W, 63º W y 57º W respectivamente.

En relación a las zonas, debido a que las mismas tienen un intervalo de 8º, se puede observar en el gráfico No.4 que Venezuela tiene territorio en dos de ellos, el que parte de la latitud 0º hasta 8º (Zona N) y de 8º hasta 16º (Zona P). En el caso de la nomenclatura asociada a los mapas de escala 1:1.000.000, se cuenta con mapas en las zonas NA, NB, NC y ND en los correspondientes husos 18, 19, 20 y 21 como se puede observar en el gráfico No.5.

Fig. No. 5: Cubrimiento de mapas a escala 1:1.000.000 del territorio Venezolano. 4.2.- Origen de coordenadas UTM. El origen de coordenadas para la proyección UTM estará asociado a un único punto para cada huso pero tendrá valores v alores iniciales dependiendo si se utilizará el hemisferio norte ó sur. Es por esto que a la intersección del meridiano central del huso con el Ecuador, en el hemisferio norte, toma un valor en x que se repite para el hemisferio sur. Para el caso de la Tema No.4: Proyección UTM



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ordenada y, en el hemisferio norte toma un valor distinto al del hemisferio sur con la intención de asegurar que nunca se obtendrán o btendrán valores negativos, ver Tabla No.2 anexa.

Coorden Coo rdenada ada

Hemisf Hemisferi erioo Nor Norte te Hemisf Hemisferi erioo Sur

Abscisa (x)

500.000 m

500.000 m

Ordenada (y)

0m

10.000.000 m

Tabla No.2: Coordenadas que definen el origen de la proyección UTM. Para apreciar mejor estas normas de la maya ó grid UTM observe los siguientes gráficos:

4.3.- Medición del Norte Geográfico Verdadero: Convergencia de Meridianos. Los ángulos medidos en el elipsoide están referidos al norte geográfico (NG), cuya representación en la proyección UTM viene dada por una línea curva, transformada del meridiano que pasa por dicho vértice en el elipsoide, y cuya concavidad en la proyección es hacia el meridiano central del huso que se trate. Debido a que la cuadrícula UTM nos da siempre rectas paralelas como norte de cuadrícula y los ángulos en la proyección hay que referirlos a ese norte, en cada punto habrá que considerar el ángulo que forma la Tema No.4: Proyección UTM



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transformada del meridiano con la dirección del norte UTM (NC: Norte de Cuadrícula), valor que constituye la convergencia de meridianos. Se define por tanto, como tal, el ángulo que forma la transformada del meridiano que pasa por el vértice (con dirección al NG) con la dirección del norte cuadrícula o UTM (paralela al meridiano central del huso) en dicho punto.

Fig. No. 6: Convergencia de Meridianos en la Proyección UTM. En otras palabras, el sistema UTM no marca el norte geodésico en todas las cuadrículas rectangulares creadas, ya que los meridianos y paralelos aparecen distorsionados con respecto a la cuadrícula y solo existe una dirección coincidente con un meridiano en cada huso, que realmente se encuentra orientada al norte, esta dirección es el meridiano central de cada huso. (Fig. No. 6 y 7).

Fig. No. 7: Dirección coincidente del meridiano central del uso y el norte geográfico Tema No.4: Proyección UTM



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4.4.- Modelo de Trasformación de coordenadas. El siguiente modelo de transformación de coordenadas geodésicas a cartesianas y viceversa, que se describe a continuación en detalle proviene del Manual Técnico del Datum Geocéntrico de Australia: “Geocentric Datum of Australia Technical Manual”, que se encuentra disponible en internet al público en general.

El modelo se fundamenta en las las formulas de Redfearn's Redfearn's las cuales fueron fueron publicadas en el "Empire Survey Review", No. 69, 1948. 1948. Ellas son usadas para transformar coordenadas geodésicas a cartesianas cartesianas (norte, (norte, este y correspondiente huso) y viceversa utilizando para ello un elipsoide de referencia y la proyección transversa de Mercator. Estas fórmulas alcanzan una exactitud mayor a un (1) mm en cualquier zona del mapa proyectado y para propósitos de definición pueden ser asumidas como exactas. exactas.

4.4.1.- Cálculos preliminares Distancia Meridiana

Para evaluar la fórmula de Redfearn´s se puede calcular el arco de un meridiano que está dado por la expresión: ϕ2

− [ ] 1 ( e sen ) − ϕ ∫ϕ

m = a (1 − e 2 )

2

1

2

3/ 2

d ϕ

ϕ1 y ϕ2 son las latitudes de inicio y fin de los puntos del arco de meridiano.

Donde

Cuando se calcula la distancia meridiana a partir del ecuador,

ϕ1 será igual a cero.

Esta fórmula puede ser evaluada a su vez, a través de un método iterativo (tal como la Regla de Simpson) pero ésta es más eficiente, al utilizar una expansión de series como las que se muestran a continuación: m = a [A0ϕ – A2 Sen(2ϕ) + A4 Sen(4ϕ) – A6 Sen(6ϕ)] Donde: A0 = 1 – (e2 /4) – (3e4 /64) – (5e6 /256) A2 = (3/8) (e2 + e4 /4 + 15e6 /128) A4 = (15/256) (e4 + 3e6 /4) A6 = 35e6 /3072




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Latitud Aproximada de un punto

La latitud aproximada de un punto (ϕ’), es la latitud para la cual la distancia meridiana es igual al valor norte verdadero dividido por el factor de escala central (m = N’/k0). Este valor puede calcularse directamente, una vez que otros tres valores estén disponibles a saber:

n = (a – b) / (a + b) = f / (2 – f) G = a (1 – n) (1 – n2) (1 + (9/4)n2 + (225/64)n4)(π/180)

σ = (mπ) / (180G) La latitud aproximada de un punto, p unto, en radianes, será calculada por la expresión:

ϕ’ = σ + [(3n/2) – (27n3/32)] Sen2σ + [(21n2/16) – (55n4/32)] Sen4σ + (151n3/96) Sen6σ + (1097n4/512) Sen8σ Radio de Curvatura

El radio de curvatura para una latitud dada, es también requerida en la evaluación de la fórmula de Redfearn´s.

ρ = a (1 – e2) / (1 – e2 Sen2ϕ)3/2 ν = a / (1 – e2 Sen2ϕ)1/2 ψ = ν/ρ 4.4.2.- Problema Directo. Transformación de Geodésicas a Cartesianas UTM. Cálculos iniciales Los valores de latitud y longitud geodésica deberán ser utilizados en radianes. t = Tanϕ

ω = λ – λ0 Cálculo del Este aproximado de un Punto E' = (K 0 ν ω Cosϕ) (1 + Term1 + Term2 + Term3) Donde: Term1 = (ω2 /6) Cos2ϕ (ψ – t2) Tema No.4: Proyección UTM



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Term2 = (ω4 /120) Cos4ϕ [4 ψ3 (1 – 6t2) + ψ2(1 + 8t2) – ψ 2t2+t4] Term3 = (ω6 /5040) Cos6ϕ (61 – 479t2 + 179t4 – t6)

Cálculo del Este del Punto (E) E = E ' + Falso Este (500.000,00 m)

Cálculo del Norte aproximado del Punto N' = K 0 (m + Term1 + Term2 + Term3 + Term4) Donde: Term1 = (ω2 /2) ν Senϕ Cosϕ Term2 = (ω4 /24) ν Senϕ Cos3ϕ (4ψ2 + ψ – t2) Term3 = (ω6 /720)

ν Senϕ Cos5ϕ [8ψ4(11 – 24t2) – 28ψ3(1 – 6t2) + ψ2(1 – 32t2) –

ψ(2t2) + t4] Term4 = (ω8 /40320) ν Senϕ Cos7ϕ (1385 – 3111t2 + 543t4 – t6)

Cálculo del Norte del Punto (N) N = N' + Falso Norte (Hemisferio (Hemisferio Norte: Caso Caso Venezuela 0 m)

Cálculo de la convergencia del meridiano en el Punto ( )

γ = Term1 + Term2 + Term3 + Term4 Donde: Term1 = – ω Senϕ Term2 = –(ω3 /3) Senϕ Cos2ϕ (2ψ2 – ψ) Term3 = –(ω5 /15) Senϕ Cos4ϕ [ψ4 (11 – 24t2) – ψ3(11 – 36t2) + 2ψ2 (1 – 7t2) + ψt2] Term4 = –(ω7 /315) Senϕ Cos6ϕ (17 – 26t2 + 2t4)

Cálculo del Factor de Escala del Punto (k) k = k 0 + k 0 Term1 + k 0 Term2 + k 0 Term3 Donde: Term1 = (ω2 /2) ψ Cos2ϕ Term2 = (ω4 /24) Cos4ϕ [4ψ3 (1 – 6t2) + ψ2 (1 + 24t2) – 4ψt2] Term3 = (ω6 /720) Cos6ϕ (61 – 148t2+16t4)




TEMA No.4

Ejemplo de cálculo: ============================================================================== UNI VERSI VERSI DAD DEL ZULI ZULI A FACU FACULTAD DE I NGENI ENI ERI A ESCUELA ESCUELA DE DE I NGENI ENI ERI A GEOD EODESI CA <<< GEOUTM EOUTM >>> PROGRAM PROGRAMA PARA PARA LA LA TRANSFOR TRANSF ORM MACI ÓN DE COOR COORDENAD DENADAS GEODESI ESI CAS A COORDENAD RDENADAS AS PLANA PL ANAS S EN LA PROYECCI ON UTM FUEN FUENTE: TE: I GSM - GDA TECH TECHNI CAL CAL MANU ANUAL 2. 2, 2002 MODELO: DELO: F ORMULA DE REDFEA REDFEARN RN AUTOR TOR: Pr of . MSc. I ng. ng. Gi ovann ovannii Royer oyer o O. VER5. ER5. 1 02. 02. 2004 2004 ============================================================================== ELI PSOI PSOI DE UTI LI ZAD ZADO: WGS84 SEMI EJ E MAYOR( m) a: 6378137. 6378137. 0000 ACH ACHATAM ATAMI ENTO ENTO 1/ f : 298. 25722356 257223563000 30000 0 MERI DI ANO ANO CENTRAL: TRAL: - 69 -----------------------------------------------------------------------------NOMBRE BRE No. LATI TUD LONG LONGI TUD ALT. ( m) ESTE( m) NORTE( m) -----------------------------------------------------------------------------PRU PRUE 1 10: 30: 11. 87000 87000 - 71: 30: 11. 11. 87000 87000 0. 000 000 226000. 226000. 626 11621 1162151. 51. 307 307 *************************************************** ******* PROG PROGRAM RAMA GEO GEOUTM UTMGR. EXE VER5. 1 02. 2004 : GEOD EODESI CAS CAS A UTM RESULTADOS DE LA L A APLI APL I CACI CACI ON DEL DEL MODELO EL O DE REDFEAM: ELI POSI POSI DE UTI UTI LI ZAD ZADO: WGS84 NOMBRE DEL PUNTO : PRUE P RUE SEMI EJ E MAYOR a( m) : 6378137. 6378137. 0000 SEMI EJ E MENO ENOR b( m) : 6356752. 6356752. 3142 EXC EXCENTR ENTRII CI DAD ( e2) : 0. 00669438 0066943800 00 NORMAL MAYOR AYOR N( m) : 6378846. 5490340088 RAD RADI O CURV CURV.. R( m) : 6337553. 6337553. 9596514804 VALO VALOR R DE DE Y ( Y=N/ R) : 1. 00651554 0065155405 05 LATI TUD TUD EN RAD RADI AN : 0. 1833171188 LATI TUD TUD EN DECI MAL : 10. 5032972222 5032972222 LON LONGI TUD TUD EN RAD RADI AN : 5. 0352173446 LON LONGI TUD TUD EN DECI ECI MAL: 71. 5032972222 5032972222 VALO VALOR R DE A0 ( m) : 0. 9983242985 VALO VALOR R DE A2 ( m) : 0. 0025146071 VALO VALOR R DE A4 ( m) : 0. 0000026390 VALO VALOR R DE A6 ( m) : 0. 0000000034 VALOR VALOR DEl ARCO ARCO m( m) : 1161524. 2675624932 TERM TERM1 PARA PARA EL ESTE : 0. 00029900 0002990070 70 TERM TERM2 PARA PARA EL ESTE : 0. 00000012 0000001266 66 TERM TERM3 PARA PARA EL ESTE : 0. 00000000 0000000001 01 TERM TERM4 PARA PARA EL NORTE: 1091. 1091. 24203903 2420390394 94 TERM TERM1 PARA PARA EL NORTE: 0. 84319845 8431984530 30 TERM TERM2 PARA PARA EL NORTE: 0. 00062674 0006267437 37 TERM TERM3 PARA PARA EL NORTE: 0. 00000043 0000004350 50 TERM TERM1 PARA PARA CONVER VERG. : 0. 00796448 0079644842 42 TERM TERM2 PARA PARA CONVER VERG. : 0. 00000499 0000049955 55 TERM TERM3 PARA PARA CONVER VERG. : 0. 00000000 0000000037 37 TERM TERM4 PARA PARA CONVER VERG. : 0. 00000000 0000000000 00 TERM TERM1 PARA PARA FAC. FAC. ESC. ESC. : 0. 00092873 0009287376 76 TERM TERM2 PARA PARA FAC. FAC. ESC. ESC. : 0. 00000070 0000007021 21 TERM TERM3 PARA PARA FAC. FAC. ESC. ESC. : 0. 00000000 0000000005 05 FAC. FAC. ESC. ESC. 0 k0: k0: 0. 99960 9996000 00000 000 COO COORDENADAS RDENADAS GEOD GEODES ESII CAS TRANSFORM TRANSFORMADAS A UTM UTM:: ESTE ESTE : 22600 226000. 0. 626 m NORTE: 1162151. 307 m CONVER VERGENCI ENCI A: 0º27' 0º 27' 23. 82396 82396 FACTO FACTOR R DE DE ESCALA ESCALA kp: 1. 0005290685




TEMA No.4

4.4.2.- Problema Inverso. Transformación de Cartesianas UTM a Geodésicas. En el siguiente desarrollo de las fórmulas los valores de t, ρ, ν y

ψ son evaluados para un

punto de latitud aproximada ϕ’.

Cálculos iniciales E’ = E - Falso Este (500.000.00 m) x = E’ / (K 0 ν’)

Cálculos de la Latitud Geodésica del Punto ( )

ϕ = ϕ’ – Term1 + Term2 - Term3 + Term4 Donde: Term1 = [t’/ (K 0 ρ’)] (xE’/2) Term2 = [t’/ (K 0 ρ’)] (E’x3 /24) [–4ψ’2 + 9ψ’(1 – t’2) + 12t’2] Term3 = [t’/ (K 0 ρ’)] (E’x5 /720) [8ψ’4(11 – 24t’2) –12ψ’3(21 – 71t’2) + 15ψ’2(15 – 98t’2 + 15t’4) + 180ψ’ (5t’2 – 3t’4) + 360t’4] Term4 = [t’/ (K 0 ρ’)] (E' x7 /40320) (1385 + 3633t’2 + 4095t’4 + 1575t’6)

Cálculos de la Longitud Geodésica del Punto ( )

λ = λ0 + ω ω = Term1 – Term2 + Term3 – Term4 Donde: Term1 = x Secϕ’ Term2 = (x3 /6) Secϕ’ (ψ’ + 2t’2) Term3 = (x5 /120) Secϕ’ [–4ψ’ 3(1 – 6t’2) + ψ’2(9 – 68t’2) + 72ψ’t’2 + 24t’4] Term4 = (x7 /5040) Secϕ’ (61 + 662t’2 + 1320t’4 + 720t’6)

Cálculo de la convergencia del meridiano en el Punto ( )

γ = Term1 + Term2 + Term3 + Term4 x = E’ / (k 0 ν’) t’ = Tanϕ’ Tema No.4: Proyección UTM



TEMA No.4

Term1 = –t’ x Term2 = (t’ x3 /3) (–2ψ’2 + 3ψ’ + t’2) Term3 = (–t’ x5 /15) [ψ’4(11 – 24t’2) – 3ψ’3(8 – 23t’2) + 5ψ’2(3 – 14t’2) + 30ψ’t’2 + 3t’4] Term4 = (t’ x7 /315) (17 + 77t’2 + 105t’4 + 45t’6)

Cálculo del Factor de Escala del Punto (K) K = k 0 + k 0Term1 + k 0Term2 + k 0Term3 x = E’2 / (k 02 ρ’ ν’) Term1 = x/2 Term2 = (x2 /24) [4ψ’(1 – 6t’2) – 3(1 – 16t’2) – 24t2/ ψ’] Term3 = x3 /720

Ejemplo de cálculo: ============================================================================== UNI VERSI VERSI DAD DEL ZULI ZULI A FACU FACULTAD DE I NGENI ENI ERI A ESCUELA ESCUELA DE DE I NGENI ENI ERI A GEOD EODESI CA <<< UTMGEO >>> PROGRAM PROGRAMA PARA P ARA LA L A TRANSF T RANSFOR ORM MACI ON DE COORDEN COORDENADAS ADAS PLANAS PL ANAS UTM A CO COORDENAD RDENADAS AS GEOD GEODESI CAS FUEN FUENTE: TE: I GSM - GDA TECH TECHNI CAL CAL MANU ANUAL 2. 2, 2002 MODELO: DELO: F ORMULA DE REDFEA REDFEARN RN AUTOR TOR: Pr of . MSc. I ng. ng. Gi ovann ovannii Royer oyer o O. VER5. ER5. 1 02. 02. 2004 2004 ============================================================================== ELI PSOI PSOI DE UTI LI ZAD ZADO: WGS84 SEMI EJ E MAYOR( m) a: 6378137. 6378137. 000 ACH ACHATAM ATAMI ENTO ENTO 1/ f : 298. 25722356 257223563000 30000 0 MERI DI ANO ANO CENTRAL: TRAL: - 69 -----------------------------------------------------------------------------NOMBRE BRE No. LATI TUD LONG LONGI TUD ALT. ( m) ESTE( m) NORTE( m) -----------------------------------------------------------------------------PRU PRUE 1 10: 30: 11. 87000 87000 - 71: 30: 11. 11. 87000 87000 0. 000 000 226000. 226000. 626 11621 1162151. 51. 307 307




TEMA No.4

*************************************************** ******* GEOU EOUTMGR. EXE VER5. VER5. 1 02. 2004 : UTM A GEO GEOD DESI CAS CAS RESULTADOS DE LA L A APLI APL I CACI CACI ON DEL DEL MODELO EL O DE REDFEAM: ELI POSI POSI DE UTI LI ZAD ZADO : WGS84 NOMBRE DEL PUNTO : PRUE SEMI EJ E MAYOR a ( m) : 6378137. 6378137. 0000 SEMI EJ E MENO ENOR b ( m) : 6356752. 6356752. 3142 EXC EXCENTR ENTRII CI DAD ( e2) : 0. 0. 006694 006694380 3800 0 NORMAL MAYOR AYOR N' ( m) : 6378847. 8688351428 RADI O CURV. R' ( m) : 6337557. 6337557. 89342504 8934250418 18 VALOR LOR DE Y' Y' ( Y' =N' / R' ) : 1. 0065 006515 1512 1240 40 LATI TUD TUD APRO APROXI MADA ADA : 0. 1834894386 1834894386 LATI TUD TUD EN RADI AN : 0. 18331711 1833171189 89 LATI TUD TUD EN DECI MAL : 10. 10. 5032972232 LATMI N : 30. 00000000 0000000000 00 LATSEG LATSEG : 0. 00000000 0000000000 00 LON LONGI TUD TUD EN RAD RADI AN : - 0. 0436907788 LON LONGI TUD TUD EN DECI ECI MAL : 71. 5032972265 TERM TERM1 PARA PARA LATI TUD TUD : 0. 00017245 0001724552 52 TERM TERM2 PARA PARA LATI TUD TUD : 0. 00000013 0000001355 55 TERM TERM3 PARA PARA LATI TUD TUD : 0. 00000000 0000000001 01 TERM TERM4 PARA PARA LATI TUD TUD : 0. 00000000 0000000000 00 TERM TERM1 PARA PARA LON LONGI TUD TUD : - 0. 04370523 0437052360 60 TERM TERM2 PARA PARA LON LONGI TUD TUD : - 0. 00001446 0000144648 48 TERM TERM3 PARA PARA LON LONGI TUD TUD : - 0. 00000000 0000000075 75 TERM TERM4 PARA PARA LON LONGI TUD TUD : - 0. 00000000 0000000000 00 TERM TERM1 PARA PARA CONVER VERG. : 0. 00797452 0079745246 46 TERM TERM2 PARA PARA CONVER VERG. : - 0. 00000504 0000050451 51 TERM TERM3 PARA PARA CONVER VERG. : 0. 00000000 0000000040 40 TERM TERM4 PARA PARA CONVER VERG. : - 0. 00000000 0000000000 00 TERM TERM1 PARA PARA FAC. FAC. ESC. ESC. : 0. 00092929 0009292926 26 TERM TERM2 PARA PARA FAC. FAC. ESC. ESC. : 0. 00000014 0000001477 77 TERM TERM3 PARA PARA FAC. FAC. ESC. ESC. : 0. 00000000 0000000000 00 FAC. FAC. ESC. ESC. 0 k0: k0: 0. 99960 9996000 00000 000 ESTE ESTE : 22600 226000. 0. 626 m NO NORTE: 1162151. 307 m COO COORDENAD RDENADAS AS UTM TRANSFORMADAS ADAS A GEOD GEODESI CAS: LON LONGI TUD TUD : - 71º30' 11. 87000 87000 LATI LATI TUD TUD :

10º30' 10º30' 11. 11. 8700 87000 0

CONVER VERGENCI ENCI A: 0º27' 0º 27' 23. 82396 82396 FACTO FACTOR R DE DE ESCALA ESCALA kp: 1. 0005290685




TEMA No.4

Bibliografía Asín, Fernando Martín: “Geodesia y Cartografía Matemática”, Editorial Paraninfo, 1984. España. Bentley System: “Microstation J, Academic Version”. BEN edition, 2001. López, Sagrario: “La Proyección Mercator: Historia”, www.mappinginteractivo.com,, Febrero, 2003 www.mappinginteractivo.com Geocentric Datum of Australia Technical Manual: “Chapter 5. Conversion between

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Cartografía Matemática T4.Des

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