Cartografía Matemática

Universidad del Zulia Departamento de Geoinformática Cátedra: Cartografía Matemática

TEMA No.3

Tema No.3: Proyecciones Cilíndricas. Proyecciones Cilíndricas Ecuatoriales: Cilíndrica Ecuatorial de Malla Cuadrada, Cilíndrica de Malla Rectangular, Cilíndrica Equivalente de Lambert. Proyección Cilíndrica Conforme ó Mercator. Proyección Cilíndrica de Mercator (Tierra Elipsoidal). Cilíndrica de Miller. Cilíndrica de Peters. Proyecciones Cilíndricas Transversas: Proyección Cilíndrica Transversa Conforme de Gauss (Tierra Esférica).

3.1.- Proyecciones Cilíndricas: las proyecciones cilíndricas pueden ser clasificadas

dependiendo de la ubicación del eje del cilindro con relación al plano que contiene el Ecuador Terrestre, llamándose Cilíndricas Ecuatoriales, Secantes, Transversas ó Cilíndricas Oblicuas y que se estudiarán a continuación.

Proyecciones cilíndricas ecuatorial, secante, transversa y oblicua

3.2.- Proyecciones Cilíndricas Ecuatoriales

Estas proyecciones se generan al colocar un cilindro tangente a la esfera a lo largo del Ecuador y cortar el cilindro por alguna generatriz y extenderlo sobre el plano. En estas proyecciones los meridianos aparecen como rectas paralelas y los paralelos serán rectas perpendiculares a ellos. 3.2.1.- Proyección Cilíndrica Ecuatorial de malla cuadrada

Es la más elemental de las proyecciones y fue utilizada por los geógrafos griegos desde el siglo V antes de Cristo. La figura muestra una sección de la esfera terrestre. O representa el origen de las longitudes y A un punto cualquiera de coordenadas (ϕ,λ) al cual le corresponde una imagen A’ de coordenadas x = λ, y =

ϕ en el mapa. Se muestra el reticulado de la proyección que consta de dos conjuntos de rectas paralelas equidistantes entre sí, y colocadas de manera que formen ángulo recto, cada conjunto de paralelas representa respectivamente los meridianos y paralelos. Tema No.3: Proyecciones Cilíndricas

Prof. Giovanni Royero O.


TEMA No.3

En esta proyección se conserva la distancia sobre los meridianos, los cuales aparecen como rectas paralelas y por ende no convergentes a los puntos imágenes de los polos, como sucede en la esfera. Cada polo queda representado por una línea paralela al Ecuador a una distancia de π/2, razón por la cual la representación es falsa en regiones cercanas a los polos. Sobre el Ecuador también se conserva la distancia por ser paralelo de contacto.

•

Escala sobre sobr e los meridianos: para

obtener el factor de escala sobre los meridianos,

se compara un trozo de meridiano dm de la esfera con su imagen dy en el plano. Si se denota por Km el factor de escala sobre los meridianos, se obtiene:

Km =

•

Escala sobre los paralelos: al

dy dϕ = =1 dm dϕ

comparar un trozo de paralelo dp con su homólogo

dx, se tiene:

Kp =

dx dλ = = sec ϕ dp cos ϕdλ

Sí ϕ = 0 (Ecuador), entonces Kp = 1, lo cual implica que las distancias se conservan ó mantienen en el Ecuador. Sí ϕ > 0, se notará una creciente dilatación de Este a Oeste, y esto se debe a que los segmentos de paralelo en el mapa son mayores que sus homólogos en la esfera. Sí ϕ = 90, entonces Kp = , lo cual indica que el polo ∞

está infinitamente dilatado de Este a Oeste y por lo tanto, representado falsamente en el reticulado como línea polar. Esta proyección se utilizó para la representación de zonas cercanas al Ecuador.

Tema No.3: Proyecciones Cilíndricas



TEMA No.3

3.2.2.- Proyección Cilíndrica de malla rectangular

Esta proyección fue creada por Hiparco de Nicea (siglo II AC), el cual modificó la proyección anterior con el fin de representar fielmente la región de Grecia, el Mar Egeo y el Asia Menor. La modificación consistió en acercar los meridianos en la proyección de manera que se conserva la distancia esférica sobre cierto paralelo ϕ0. Como el factor de dilatación en la proyección anterior es Kp = secϕ, entonces para ϕ0, será Kp = secϕ0. Si se desea que en paralelo ϕ0 se conserven las distancias (falso Ecuador), habrá que aplicarsele a la proyección un factor de contracción que haga Kp = secϕ0 = 1. Es evidente que dicho factor es cosϕ0. Aplicando el factor de contracción, la malla resulta rectangular, es decir, mas angosta del Este a Oeste que de Norte a Sur. Un punto A en la proyección resultante tendrá como coordenadas las siguientes: A(ϕ,λ) → A’(x,y), donde x = λcosϕ0, por otro lado dx = dλcosϕ0; y = ϕ.

•

Escala sobre los meridianos: las distancias sobre los meridianos se conservan:

Km =

•

Escala sobre los paralelos: al

dy dϕ = =1 dm dϕ

comparar un trozo de paralelo dp con su homólogo

dx, se tiene:

Kp =

dx cos ϕ0dλ = = cos ϕ0 sec ϕ dp cos ϕdλ

Sí ϕ > ϕ0 → Kp > 1, ∃ dilatación al Norte del paralelo ϕ0. Sí ϕ = ϕ0 → Kp = 1, Se conserva la distancia esférica sobre el paralelo de contacto. Sí ϕ < ϕ0 → Kp < 1, ∃ contracción al Sur del paralelo ϕ0.




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3.2.3.- Proyección Cilíndrica Equivalente de Lambert

Forma parte de las proyecciones cilíndricas generales. En esta proyección el paralelo de contacto es el ecuador y por tanto la distancia sobre él se conserva. Los meridianos se presentan formando ángulos rectos con el Ecuador y los paralelos serán rectas perpendiculares a los meridianos y dispuestos de manera tal que se conserve el área. Por ser el Ecuador el paralelo de contacto, a todo punto A de la esfera le corresponderá en el mapa una imagen A’, que tendrá por coordenadas (x,y), donde x = λ; y = senϕ, coordenadas éstas que se obtienen al igualar el elemento de área ds (esfera), con su imagen ds’ en el plano.

ds = dp.dm

ds’= dx.dy

ds = cosϕ.dλ.dϕ

ds’= dλ. cosϕ. dϕ

Con lo anterior se demuestra que ésta proyección conserva las áreas, es decir, es equivalente ó equiarial y se cumple que ds = ds’. Por tanto:

cosϕ.dλ.dϕ = dλ.dy dy = cosϕ.dϕ y = ∫ cosϕ.dϕ y = senϕ + C

Y se verifica que:

∀(ϕ,λ) → (x,y) tal que x = λ; y = ϕ Pero sí se da el caso:

ϕ = 0 ∧ λ = 0 → y = C Entonces: y = ϕ = C → C = 0 Por lo que se concluye que y = sen Otra propiedad es que el Ecuador es automecoico y es evidente que las deformaciones aumentan con el incremento de la latitud. Tema No.3: Proyecciones Cilíndricas



•

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Escala sobre los meridianos: Km

decrece al aumentar ϕ produciendo contracción

creciente hacia el Norte: Km =

•

dy cos ϕdϕ = = cos ϕ ≤ 1 dm dϕ

Escala sobre los paralelos:

Kp =

dx dλ = = sec ϕ ≥ 1 dp cos ϕdλ

Sí ϕ → 90, entonces Kp → , lo cual indica que hay una dilatación creciente hacia ∞

los polos. En las proyecciones equivalentes el producto de los factores de escala Km.Kp = 1, condición que expresa que debe haber una compensación o equilibrio en las deformaciones que sufren los elementos de meridiano o de paralelo. Fórmulas de cálculo para la esfera. Determinación d e x, y.

Conocidos R, ϕ0, λ0, ϕ y λ, se aplican las siguientes expresiones: x = R (λ - λ0) cos(ϕ0) y = R sen(ϕ) / cos(ϕ0) Km = cos(ϕ) / cos(ϕ0) Kp = 1/Km Donde: R: radio de la esfera

ϕ0: paralelo estándar λ0: meridiano origen ϕ: latitud del punto a transformar λ: longitud del punto a transformar Fórmulas de cálculo para la esfera. Determinación de

,

Conocidos R, ϕ0, λ0, x e y, se aplican las siguientes expresiones:

ϕ = arcsen[(y/R) cos(ϕ0)] λ = [x/(R cos(ϕ0)] + λ0 Tema No.3: Proyecciones Cilíndricas



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Fórmulas de cálculo para el elipsoide. Determinación de x, y.

Conocidos a, e, ϕ0, λ0, ϕ y λ, se aplican las siguientes expresiones: k 0 =

cos(ϕ 0 ) 1 − e 2 sen 2 (ϕ 0 )

⎧⎪⎡ sen (ϕ) ⎤ ⎡ 1 ⎛ 1 − e * sen (ϕ) ⎞⎤ ⎫⎪ ⎟⎥ ⎬ − ⎢ ln⎜ ⎪⎩⎣ (1 − e 2 sen 2 (ϕ))⎥⎦ ⎣ 2e ⎜⎝ 1 + e * sen(ϕ) ⎠⎟⎦ ⎭⎪

q = (1 − e 2 )⎨⎢

x = ak 0 (λ − λ 0 ) y =

aq 2k 0

Donde: a, e: parámetros geométricos del elipsoide

ϕ0: paralelo estándar λ0: meridiano origen ϕ: latitud del punto a transformar λ: longitud del punto a transformar k 0, q: cálculos previos Fórmulas de cálculo para el elipsoide. Determinación de ,

Conocidos a, e, ϕ0, λ0, x e y, se aplican las siguientes expresiones: k 0 =

cos(ϕ 0 ) 1 − e 2 sen 2 (ϕ 0 )

⎧⎡

1 ⎤ ⎡ 1 ⎛ 1 − e ⎞⎤ ⎫ − ⎢ ln⎜ ⎟⎥ ⎬ 2 ⎥ 2 e 1 e + 1 e ( ) − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎭ ⎣ ⎦ ⎩

q p = (1 − e 2 )⎨⎢

⎛ 2 yk 0 ⎞ ⎟ β = arcsen⎜⎜ ⎟ ⎝ aq p ⎠ q c = q p sen (β) 2 1 − e2sen 2 (ϕ)) ⎡ ( ϕ= ϕ+

2 cos(ϕ)

qc sen (ϕ) 1 ⎛ 1 − e ∗ sen (ϕ) ⎞⎤ − + ⎢1 − e2 1 − e 2sen 2 (ϕ) 2e ln⎜⎜ 1 + e ∗ sen(ϕ) ⎟⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣




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La ecuación anterior requiere iteraciones por sucesivas sustituciones, usando el arcsen(qc/2) como el primer valor de ϕ. La expresión no convergerá si β es ± 90º, por lo cual ϕ = β.

λ = λ0 +

x ak 0

Para finalizar, en la figura se observa que a medida que ϕ aumenta en la proyección cilíndrica equivalente de Lambert, los paralelos se van juntando con lo cual la figura del área a representar se contrae o achata y el polo queda representado falsamente por una línea polar; los meridianos son rectas paralelas entre sí, mostrando la proyección una creciente dilatación de Este a Oeste a medida que la latitud aumenta. Esta proyección produce gran deformación a altas latitudes, por lo que solo se utiliza en la representación de regiones desde el Ecuador hasta latitudes intermedias.

Esta proyección está a su vez, dentro de las proyecciones llamadas cilíndricas generales, y corresponde al caso cuyo paralelo estándar es igual a 0º y asume otros nombres dependiendo del valor del paralelo estándar como se aprecia en la siguiente tabla:




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Proyecciones Cilíndricas Generales Nombre de la Proyección

Paralelo estándar

Lambert

0º

Behrman

30º

Trystan-Edwards

37º24’ = 37.4º

Peters (Gall)

45º

Todas estas proyecciones son equivalentes, es decir, conservan las áreas. A continuación se presentan algunos ejemplos gráficos de las mismas.

Proyecciones Cilíndricas Equivalente de Lambert y de Peters




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3.2.4.- Proyección Cilíndrica Conforme ó Mercator

Esta proyección fue creada y presentada en el año 1569 por Gerhard Kremer (1512-1594), notable cartógrafo holandés del siglo XVI, mas conocido por su nombre latino Mercator. El fundamento de este desarrollo es la alteración de la distancia entre los paralelos, de modo que las deformaciones en el sentido de la latitud sean iguales a las deformaciones existentes en el sentido de la longitud. En otras palabras, los paralelos y meridianos vienen representados por rectas paralelas entre sí con la condición de ser conforme la representación.

La proyección consta de paralelos horizontales y meridianos verticales. Los meridianos equidistantes entre sí están colocados de tal modo que, en el Ecuador, ésta equidistancia está representada en verdadera magnitud a la escala correspondiente, por lo cual el Ecuador es automecoico. Los paralelos están dispuestos de tal manera que en una zona de dimensiones relativamente pequeñas, la relación entre dos (2) distancias tomadas respectivamente sobre meridianos y paralelos es igual a la relación entre las longitudes homólogas en el globo terráqueo. Por ejemplo, a los 60º de latitud, la distancia entre los paralelos consecutivos es el doble que en el Ecuador y como los meridianos guardan entre Tema No.3: Proyecciones Cilíndricas



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sí la misma separación en todas las latitudes, resulta que las dimensiones del mapa están exageradas en un 100%. A los 80º por ejemplo, ésta amplificación de dimensiones es de seis (6) veces aproximadamente. Es evidente que en esta proyección no puede estar representado el polo, ya que los meridianos son paralelos entre sí y por lo tanto no se cortan. Sus características principales son: Conserva los ángulos (es isogonal; conforme). El Ecuador es el paralelo de contacto al cilindro, por tanto las distancias esféricas sobre él se mantienen dando como resultado que para un punto A’ → x = . El valor de la coordenada y se obtiene estableciendo una relación de semejanza entre los cuadrángulos ds y su imagen ds’; tal relación es posible por cuanto la proyección es conforme y por tanto dos figuras indefinidamente pequeñas conservan su forma, por consiguiente:

Si ds ≈ ds' ⇒ dy =

dy dx dy dλ = ⇒ = dm dp dϕ cos ϕ.dλ

dϕ = sec ϕdϕ ⇒ y = ln (sec ϕ + tan ϕ) cos ϕ

Transformando el paréntesis: 1 senϕ 1 + senϕ 1 − (90 + ϕ ) + = = cos ϕ cos ϕ cos ϕ sen (90 + ϕ) π ϕ ⎞ 2.sen 2 [(90 + ϕ) / 2] = tan⎛ (sec ϕ + tan ϕ) = ⎜ + ⎟ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎝ 4 2 ⎠ 2.sen ⎢ (90 + ϕ)⎥.cos ⎢ (90 + ϕ)⎥ ⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦

(sec ϕ + tan ϕ) =

Con lo que resulta:

⎡

π ϕ ⎤

⎞ y = ln ⎢tan⎛ ⎜ + ⎟⎥ ⎣ ⎝ 4 2 ⎠⎦ x=λ




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De la expresión de y, se observa que para ϕ = π/2 → y = , lo que indica que el ∞

polo no tiene representación y el mapa deberá ser limitado a una latitud ϕ < 90º. Considerando ahora una esfera de radio R, se obtienen las siguientes expresiones para el cálculo de las coordenadas x e y:

⎡

⎛ π ϕ ⎞⎤

y = R ∗ ln ⎢ tan⎜ + ⎟⎥ ó ⎣ ⎝ 4 2 ⎠⎦ y=

R ⎡ ⎛ 1 + sen (ϕ ) ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢ln⎜ 2 ⎣ ⎜⎝ 1 − sen (ϕ) ⎠⎟⎦

x = R (λ − λ 0 ) Donde: R: radio de la esfera

λ0: meridiano origen ϕ: latitud del punto a transformar λ: longitud del punto a transformar Las fórmulas inversas para la esfera que permiten obtener ϕ y λ a partir de coordenadas rectangulares de un punto son:

⎡ ⎛ ⎜⎝ − R y ⎞ ⎠⎟ ⎤ ϕ = − 2 arctan ⎢ E ⎥ ó 2 ⎢⎣ ⎥⎦ π

⎡ y ⎞⎤ ϕ = arctan ⎢sinh⎛ ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ R ⎠⎦ λ=

x +λ R 0

Donde: E: base de los logaritmos naturales, E = 2.718281828, equivalente a ex = e1

•

Escala sobre los meridianos: para

obtener el factor de escala sobre los meridianos,

se compara un trozo de meridiano dm de la esfera con su imagen dy en el plano. Si se denota por Km el factor de escala sobre los meridianos, se obtiene: Tema No.3: Proyecciones Cilíndricas


Universidad del Zulia Departamento de Geoinformática Cátedra: Cartografía Matemática Km =

TEMA No.3 dy sec ϕdϕ = = sec ϕ ≥ 1 dm dϕ

Esta expresión indica una dilatación creciente con la latitud.

•


Kp =

dx dλ = = sec ϕ ≥ 1 dp cos ϕdλ

Como se observa en la expresión, el factor de escala para los meridianos y paralelos es el mismo (Km = Kp), por esto es que sí se mantiene la forma de las áreas que son proyectadas de la superficie al plano. Se debe cumplir que el factor de deformación sea el mismo en todas las direcciones. Adicionalmente, esta proyección se emplea para representar conjuntamente todos los continentes (mapamundi ó planisferio) con la latitud tendiendo a infinito, las regiones situadas en altas latitudes aparecen representadas con áreas mucho más grande que las reales.

http://www1.kcn.ne.jp/~iittoo/mercator.gif Una de las propiedades más importantes de la proyección Mercator es que es el único sistema en el que todos los rumbos ó loxodrómicas son líneas rectas; esta cualidad tiene extraordinaria importancia en náutica. Las loxodrómicas son líneas sobre el globo terráqueo que tienen rumbo constante y cortan a todos los meridianos formando ángulos iguales (por cortarse todos los meridianos en los polos), las loxodrómicas aparecen en el globo como Tema No.3: Proyecciones Cilíndricas



TEMA No.3

líneas curvas que se acercan a los polos describiendo una especie de espiral, sin llegar en realidad a pasar por los mismos. El camino mas corto entre dos puntos de la esfera es el arco de círculo máximo llamado ortodrómica,

pero si un barco hubiere de seguir ésta ruta tendría que ir cambiando

constantemente de rumbo, por lo cual, para distancias cortas, los barcos siguen de ordinario las loxodrómicas. Los navegantes, para ir de un punto P1 a P2, unen dichos puntos en el mapa con una recta, y así determinan el rumbo de la ruta de navegación que deberá seguir la nave para cumplir su travesía. Casi todas las cartas marinas están hechas en proyección mercator, incluso los mapas aeronáuticos.

http://www.quantdec.com/SYSEN597/GTKAV/ section2/mercator.gif 3.2.5.- Proyección Cilíndrica de Mercator (Tierra Elipsoidal)

Como el caso anterior, este desarrollo cilíndrico tiene la propiedad de conformidad de manera que las anamorfosis fuesen iguales en paralelo y meridiano, ya que así existe proporcionalidad entre los elementos diferenciales en ambas superficies. Cuando la Tierra pasa a considerarse como un elipsoide, el imponer la igualdad entre ambas anamorfosis lleva a cumplir apoyándose el gráfico, lo siguiente:




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AB A' B' = AC A' C' Sustituyendo valores en la expresión y llamando a al semieje mayor del elipsoide, se tiene: N cos ϕdλ adλ ρdϕ = ⇒ dy = a dy N cos ϕ ρdϕ Sustituyendo los valores de N y , se tiene: a (1 − e 2 ) a dϕ 2 2 3/ 2 a (1 − e 2 )dϕ 1 − e sen ϕ) ( dy = = = adΦ 2 2 a 1 e sen cos ( ) − ϕ ϕ cos ϕ (1 − e 2 sen 2 ϕ)1 / 2 Siendo d la denominada latitud isométrica de Mercator cuya expresión es:

dΦ =

ρdϕ N cos ϕ

Para determinar y habrá que integrar dy pero previamente se decompone su expresión en fracciones simple, quedando: Tema No.3: Proyecciones Cilíndricas



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⎡ dϕ e ⎛ e cos ϕ e cos ϕ ⎞ ⎤ ⎟⎟dϕ⎥ dy = a ⎢ − ⎜⎜ + cos ϕ 2 1 + esen ϕ 1 − esen ϕ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ La primera integral ya se conoce del caso de tierra esférica y las correspondientes a los dos siguientes términos, son inmediatas, por tanto:

⎡ ⎛ ϕ π ⎞ e ⎛ 1 − e ⋅ senϕ ⎞⎟⎤ y = a ⎢ln tan⎜ + ⎟ + ln⎜⎜ ⎟⎥ 2 4 2 1 + e ⋅ sen ϕ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Como la ecuación de los meridianos es x = aλ, se tendrá en definitiva para el desarrollo de Mercator caso tierra elipsoidal, las siguientes expresiones: x = a ⋅ (λ − λ 0 )

⎡ ⎛ ϕ π ⎞⎛ 1 − e ⋅ senϕ ⎞e / 2 ⎤ y = a ∗ ln ⎢tan⎜ + ⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ó ⎢⎣ ⎝ 2 4 ⎠⎝ 1 + e ⋅ senϕ ⎠ ⎥⎦ e a ⎡⎛ 1 + senϕ ⎞⎛ 1 − e ⋅ senϕ ⎞ ⎤ y = ln ⎢⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎥ 2 ⎢⎣⎝ 1 − senϕ ⎠⎟⎜⎝ 1 + e ⋅ senϕ ⎠⎟ ⎥⎦ Donde a y e son el semieje mayor y excentricidad del elipsoide, respectivamente. Las fórmulas inversas para el elipsoide que permiten obtener ϕ y λ a partir de coordenadas rectangulares de un punto son:

⎧⎪ ⎡ (1 − e ⋅ sen(ϕ))⎤ e / 2 ⎫⎪ π ϕ = − 2 arctan⎨t ⎢ ⎥ ⎬ 2 ⎪⎩ ⎣ (1 + e ⋅ sen(ϕ ))⎦ ⎭⎪ t = E − y / a , E = e x = e1 Donde E es la base de los logaritmos naturales y el primer valor del proceso iterativo para el cálculo de la latitud es ϕ = (π/2) – 2*arctan(t). El número de iteraciones dependerá de la exactitud deseada asociado al valor de convergencia de los cálculos.

λ=

x + λ0 a




TEMA No.3

3.2.6.- Proyección Cilíndrica de Miller

Es una modificación de la proyección Mercator desarrollada por el geodesta norteamericano Miller a principios del siglo XX y presentada en el año 1942. Tal modificación tiene por objeto evitar que los paralelos septentrionales se alejen mucho del Ecuador y no puedan ser representados, en otras palabras, Miller modificó la proyección Mercator de modo que la recta imagen del polo quedara a distancia finita respecto del Ecuador y que se redujeran las grandes dilataciones en las regiones próximas al polo. La ecuación de distribución de los paralelos en la proyección de Mercator es:

⎡

π ϕ ⎤

⎛ ⎞ y = R ⋅ ln ⎢tan⎜ + ⎟⎥ ⎣ ⎝ 4 2 ⎠⎦ La modificación de Miller consiste en introducir en la fórmula anterior dos factores A y B donde B < 1/2, para evitar que el argumento de la tangente llegue a 90º. La fórmula anterior toma la forma siguiente:

⎡ π 2 ⎞⎤ 5 y = R ⋅ ln ⎢ tan⎛ ⎜ + ϕ ⎟⎥ 4 ⎣ ⎝ 4 5 ⎠⎦ Agregando que x = R(λ

−

λ0), resultan las ecuaciones de la proyección y por otro lado, los

factores de escala sobre los meridianos y paralelos serán:

•

Escala sobre los meridianos:

π 2 ⎞ sec 2 ⎛ ⎜ + ϕ⎟ dy dy 5 1 ⎝ 4 5 ⎠ ⋅ 2 = Km = = = ⋅ dm dϕ 4 ⎛ π 2 ⎞ 5 2sen⎛ π + 2 ϕ ⎞ cos⎛ π + 2 ϕ ⎞ tan⎜ + ϕ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 5 ⎠ ⎝ 4 5 ⎠ ⎝ 4 5 ⎠ Km =

•

1 1 4 ⎞ = = sec⎛ ⎜ ϕ⎟ ⎛ π 2 ⎞ ⎛ π 4 ⎞ ⎝ 5 ⎠ sen 2⎜ + ϕ ⎟ sen⎜ + ϕ ⎟ ⎝ 4 5 ⎠ ⎝ 2 5 ⎠


Kp =

dx dλ 1 = = = sec ϕ dp cos ϕdλ cos ϕ

Nótese que ahora resulta Km Kp, por tanto la proyección deja de ser conforme.




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3.2.7.- Proyección Cilíndrica de Peters

Proyección desarrollada por el historiador alemán Arno Peters, permite una corrección útil a las distorsiones de los mapas tradicionales. Aunque la proyección de Peters es mejor en la representación de proporciones y tamaños, su importancia va mucho más allá de los asuntos de precisión cartográfica. Nada menos que una nueva visión del mundo está en juego. Arno Peters originó su proyección en 1974, aunque el cartógrafo James Gall desarrolló una versión similar en 1885 que nunca se popularizó. La proyección de Peters es catalogada como una proyección cilíndrica rectangular de áreas iguales, posiciones iguales, y fidelidad de ejes y formas, basada en un ecuador geográfico ubicado en el centro horizontal y dos paralelos estándar de +45° y -45°. La proyección de Peters es una proyección cilíndrica y conforme, como la de Mercator. La diferencia es que corrige matemáticamente la distorsión de las latitudes altas. Al igual que la de Mercator las líneas rectas son loxodrómicas. La proyección Peters trata de huir de la imagen eurocéntrica del mundo, y es capaz de representar las latitudes altas hasta los 90º. Es la proyección que menos deforma las escalas. Las menores deformaciones se encuentran en las latitudes medias, donde vive la mayor parte de la población. Las latitudes bajas tienen una escala algo más grande, con lo que parecen más grandes, pero son los países del tercer mundo. Las latitudes altas tienen una escala más pequeña, pero se representan todas las latitudes. De todas las proyecciones existentes esta es la más ajustada al mundo real. Las características principales de la proyección de Peters son: Áreas iguales: El mapa nuevo, como se le conoce, representa todas las áreas – países, continentes u océanos– de acuerdo a su tamaño real. Comparaciones precisas ahora son posibles.




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Ejes iguales: Todas las líneas Norte/Sur son verticales en este mapa. Así, los puntos geográficos pueden ser vistos en sus direcciones y relaciones correctas. Posiciones iguales: Todas las líneas Este/Oeste son horizontales. Así, la relación de cualquier punto en el mapa con su distancia al ecuador geográfico o con el ángulo solar puede ser fácilmente determinada. Justicia para todos los pueblos: Al representar todos los países de acuerdo a su tamaño y ubicación correctos, este mapa determina la posición real de cada nación en el mundo. En el complejo e interdependiente mundo en que las naciones viven ahora, los pueblos del mundo merecen la representación más precisa que sea posible. La proyección de Peters es ese mapa para esta nueva era.

http://www.el-universal.com/lecturas/mapa.jpg 3.3.- Proyecciones Cilíndricas Transversas

En estos desarrollos cilíndricos, el eje del cilindro (en lugar de coincidir con el eje de la Tierra), está situado en el plano que contiene el Ecuador terrestre, por tanto, éste será tangente a la esfera a lo largo de un meridiano. Se presentará a continuación el caso del desarrollo transverso conforme de Gauss (caso: Tierra Esférica) por ser éste el que permitirá dar origen a la proyección Universal Transversa de Mercator UTM , que se estudiará con mas detalle en el tema No.4.




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3.3.1.- Proyección Cilíndrica Transversa Conforme de Gauss (Tierra Esférica)

El problema existente en las proyecciones anteriores de la pérdida de escala con la latitud, se intenta resolver girando 90 º el cilindro, para que sea tangente con un meridiano. De esta forma, la proyección se mantiene conforme y la escala no varía con la latitud. Dando solución a esta situación, se creó esta proyección que fue inventada por el cartógrafo y matemático alsaciano Johan Heinrich Lambert (1728-1777); y presentada junto con las proyecciones llamadas Cónica Conforme y Azimutal Equivalente de Lambert en el año 1772. Los trabajos de Lambert continuaron hasta dar una tabla de coordenadas y un mapa de las Américas en esta proyección. Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue el matemático que la desarrolló a partir de 1822 y L. Krüger entre 1912 y 1919 publicó las fórmulas relativas al elipsoide. De ahí viene que en Europa sea conocida como Proyección Gauss Krüger mientras que en EEUU se le denomina Transversa Mercator. Considérese sobre la esfera, la red de círculos máximos que pasan por los puntos E y E’ que se denominan falsos meridianos, así como los círculos menores cuyos planos son normales al eje del cilindro que se denominan falsos paralelos. Queda así definido en la esfera un sistema de círculos máximos y círculos menores análogos a los meridianos y paralelos terrestres, sin más diferencia que los puntos E y E’ que desempeñan el papel de los polos terrestres. Por tanto, el eje del cilindro está situado en el plano del Ecuador.




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A un punto M de la esfera, cuyas coordenadas geográficas , le corresponderán en este sistema unas coordenadas: Z = gom (diedro formado por el Ecuador y el falso meridiano de M). H = mM (arco de falso meridiano). A estas coordenadas Z y H se les conoce como Coordenadas de Cassini Soldner, que son análogas a la latitud y longitud geográficas. El ángulo Z está contado a partir del Ecuador terrestre, que desempeña ahora el papel de meridiano central, y la distancia H a partir del meridiano de tangencia que está suponiendo, corresponde al de Greenwich. Conocidos los valores de Z y H, se aplican las expresiones análogas a la proyección Mercator:

⎡ ⎛ π H ⎞⎤ x = ln ⎢tan⎜ + ⎟⎥ ⎣ ⎝ 4 2 ⎠⎦ y=Z Con estas expresiones, se logra dilatar el valor de H de manera tal, que el coeficiente de anamorfosis sobre el falso paralelo será igual al correspondiente en el falso meridiano. Es decir, que al igual que ocurría con Mercator, a arcos de falsos paralelos (cada vez más pequeños), corresponden en el cilindro arcos A’B’ siempre iguales. Por ello las distancias H que se tienen sobre cada meridiano, se dilatan con la fórmula anterior que da el

correspondiente valor de la x en la proyección, igual a mM’. Para obtener las coordenadas proyectadas x e y en el plano, se deben calcular los

valores de H y Z en función de las coordenadas , , para lo cual se considera el triángulo esférico PEM cuyos elementos valen: MP = 90º – ϕ EP = 90º EM = 90º – H P = 90º – λ E = 90º – Z Tema No.3: Proyecciones Cilíndricas



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Ahora, partiendo de las formulas de Bessel y sustituyendo en ellas convenientemente los valores anteriores, se llega a las expresiones: senϕ = cosH.senZ cosϕ.senλ = sen H cosϕ.cosλ = cosH.cosZ Dividiendo la primera ecuación y la tercera, se obtiene: tanZ = tanϕ.secλ Que junto a la segunda ecuación proporcionan los valores de Z y H. Este sistema de representación es útil para la representación de países ó zonas alargadas en el sentido del meridiano y las deformaciones en la misma aumentarán al separarse del meridiano central (el de tangencia del cilindro). Esta proyección fue recomendada en 1936 por la Unión Geodésica y Geofísica Internacional para la cartografía de los países africanos entre los ±36º de latitud, suponiendo la tierra dividida en 60 husos de 6º de longitud. Esta proyección, rigurosamente conforme, es adecuada para representar países ó zonas alargadas en el sentido del meridiano, pero es también evidente que las representaciones se deformarán al separarse del meridiano central (tangente al cilindro). Hasta hace poco tiempo la proyección no se aplicó a todo el elipsoide, sino sólo a bandas o husos de ±4º de longitud aproximadamente. En 1945, E.H. Thompson, presentó fórmulas cerradas válidas para calcular coordenadas de cualquier punto del elipsoide, aunque no son prácticas debido a las grandes deformaciones con la longitud, y de ahí que su utilización sea restringida a husos.




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Características importantes de la proyección:

Los meridianos y paralelos ya no son rectas sino curvas complejas, salvo el Ecuador y el meridiano de tangencia. La escala varía al aumentar la distancia al meridiano central, y permanece constante en el meridiano de tangencia, pero en el caso del elipsoide influyen además, otros factores. Si el meridiano central se dibuja a una escala reducida, por ejemplo, 0.9996, en la proyección aparecerán dos líneas rectas igualmente

distanciadas

del

meridiano

central, las cuales son automecoicas. De esta forma se está introduciendo deformación en la zona central pero se reduce en los extremos aunque con signo cambiado. En el caso del elipsoide las dos líneas automecoicas no son exactamente líneas rectas. Es ideal para países que se extiendan principalmente de Norte a Sur. En la enciclopedia Británica de 1911 no se la describe, pues se la tenía como " proyección raramente usada". En 1934, ya se habla de ella como "ligeramente usada". En 1979 fue escogida como mapa base de Norteamérica a escala 1:5.000.000 reemplazando a la Bipolar Oblicua Cónica Conforme.




TEMA No.3

Bibliografía

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Cartografía Matemática

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