PROYECTO DE INNOVACIÓN: “La revolución del conteo ” INSTITUCIÓN: Complejo Educativo San Cristóbal
ASIGNATURA: Matemática
GRADO: 2° año de bachillerato técnico sección “B”
PROFESOR RESPONSABLE: Carlos Eduardo Masferrer Morán
Lugar y fecha: San Cristóbal, Cuscatlán, 30 de agosto de 2012
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INDICE Pag. I.
Contextualización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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II.
Justificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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III.
Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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IV.
Desarrollo del proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1. Formulación de preguntas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.2. Representación gráfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.3. Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4. Actividades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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V.
Memoria gráfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VI.
Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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I.
CONTEXTUALIZACIÓN
El presente proyecto fue desarrollado en el Complejo Educativo San Cristóbal que está ubicado en el área urbana del municipio de San Cristóbal, departamento de Cuscatlán. La zona está incluida dentro de los lugares de mayor pobreza por lo que sus habitantes son beneficiarios del programa gubernamental comunidades solidarias rurales. La mayoría de los habitantes se dedica a las actividades agrícolas o son empleados. En ocasiones los estudiantes colaboran en sus hogares con las actividades agrícolas o trabajan como jornaleros en fines de semana. En esta institución asisten 1.000 estudiantes distribuidos en los turnos de la mañana y de la tarde. El personal docente que labora en este centro educativo esta conformado por 16 profesoras y 6 profesores. Se dispone de 17 aulas para el desarrollo de las clases. El Complejo Educativo San Cristóbal brinda los servicios de educación en los niveles de Parvularia secciones 5 y 6 años, Básica de 1° a 9° grado y Educación Media Técnica opción contaduría. Los destinatarios del proyecto fueron los estudiantes del segundo año de Bachillerato Técnico sección “B” que está conformado por 9 señoritas y 17 caballeros, en la asignatura de matemática impartida por el profesor Carlos Eduardo Masferrer Morán durante el primer periodo del año, dedicándole 35 horas clase para su desarrollo. El proyecto, como primera etapa, inicia con la selección del área de interés por parte de los estudiantes, se continúa con la generación de preguntas del área elegida. En la segunda etapa se elabora el mapa conceptual y la investigación de la información para dar respuesta a las preguntas formuladas, sigue la presentación y resumen de la información, así como con la solución de ejercicios. Como etapa final están la elaboración de la memoria y evaluación del proyecto.
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II.
JUSTIFICACIÓN
Con el desarrollo del presente proyecto se pretende generar en los estudiantes participantes un sentido de investigación por aquello que se desea conocer o aprender. Esto llevará a que los alumnos se fortalezcan en su autonomía por su aprendizaje lo cual pone al docente como un guía sobre lo que se tiene que hacer y cómo hacerlo. También, con el trabajo por proyectos se favorece una actitud hacia la resolución de problemas, lo cual es una deficiencia que se observa en la mayoría de estudiantes y además se mejoran las relaciones interpersonales entre los participantes al realizar actividades donde es necesaria la interacción de opiniones, intercambio de información y consolidación de la misma. Por otro lado con este proyecto se trata de modificar, en cierto grado, el desinterés o apatía hacia la matemática, por parte de los estudiantes al ser ellos los protagonistas de su aprendizaje desde el momento que toman la decisión sobre qué quieren aprender hasta el final del proyecto por medio de las diferentes actividades.
III.
OBJETIVOS
Al finalizar el proyecto los alumnos serán capaces de:
Aplicar los diferentes métodos del conteo en situaciones de la vida cotidiana.
Elegir el método apropiado para resolver una situación particular relacionada con el conteo.
Establecer la diferencia entre la permutación y la combinación.
Utilizar correctamente el diagrama de árbol para la solución de ejercicios.
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IV.
DESARROLLO DEL PROYECTO
Para dar inicio a este proyecto se informó a los estudiantes de segundo año de bachillerato técnico sección “B” que se trabajaría en un proyecto tal como se hizo el año pasado. Se les recordó que lo principal era que expresaran sus intereses o necesidades de lo que querían aprender en este año. A continuación se propuso a los estudiantes que eligieran una unidad del programa de estudios de matemática que faltaban por estudiar. Las unidades pendientes eran:
Utilicemos el conteo
Estudiemos la probabilidad
Utilicemos probabilidades
Solucionemos triángulos oblicuángulos
Apliquemos elementos de geometría analítica
Resolvamos con geometría analítica
Utilicemos la trigonometría
Por votación los alumnos eligieron la unidad “Utilicemos el conteo” . A continuación los estudiantes organizados en equipos de trabajo formularon preguntas referentes a la unidad elegida (anexo 1).
4.1. Formulación de preguntas Las preguntas formuladas fueron: 1. ¿Qué tipos de conteo existen? 2. ¿Cómo se aplica el conteo? 3. ¿En qué se puede aplicar el conteo? 4. ¿Cuáles son los conteos más comunes? 5. ¿Qué fórmulas se aplican para el conteo? 6. ¿Qué nos puede explicar el conteo?
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7. ¿Qué es el conteo? 8. ¿Cómo se define el conteo? 9. ¿Qué formas hay para realizar el conteo? 10. ¿Cuáles son las características del conteo? 11. ¿De qué forma nos sirve el conteo en la vida cotidiana? 12. ¿Cuál es la función que desempeña el conteo? 13. ¿Cuál es lo importante del conteo? 14. ¿Con qué se relaciona el conteo? 15. ¿Cuáles son los tipos de conteo? 16. ¿Para qué se utiliza el conteo? 17. ¿De qué manera nos puede ayudar el conteo en la resolución de problemas electorales y económicos? 18. ¿Cuál fue el origen del conteo? 19. ¿Con qué finalidad surgió o se inventó el conteo? 20. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas del conteo? 21. ¿Cuál es el beneficio del conteo? 22. ¿Cuál es la relación entre el conteo y el contar? 23. ¿Cómo se lleva a cabo el conteo? 24. ¿Cuál es el margen de error en el conteo? Con las preguntas elaboradas se solicitó a los estudiantes que pensaran en un nombre para el proyecto y que cada equipo propusiera dos nombres. Las propuestas fueron: 1. La nueva era del conteo 2. La nueva generación sale a relucir el conteo 3. La revolución del conteo 4. Abra su imaginación con el conteo 5. El conteo un mural de conocimiento 6. Abran paso al conteo 7. ¿Qué ondas con el conteo?
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8. Entre tanto y tanto el conteo se va desarrollando Luego por votación resultó elegido como nombre para el proyecto la propuesta numero 3 “la revolución del conteo”
Continuando con el trabajo cada equipo elaboró una propuesta de mapa conceptual (Anexo 2 y 3) considerando las preguntas formuladas. Con las propuestas elaboradas, docente y estudiantes elaboraron un mapa conceptual tomando los aportes de cada grupo. En este paso, el docente orientó la elaboración relacionando las preguntas con la unidad elegida del programa de estudio de matemática de Educación Media. El mapa conceptual resultante es el que se muestra en la siguiente página. Para el desarrollo del primer banco de preguntas, selección de la pregunta eje y nombre del proyecto, del segundo banco de preguntas y la elaboración del mapa conceptual se invirtieron un total de 6 horas clase. Los indicadores de logro para este proyecto son:
Deduce, utiliza y explica, el principio de multiplicación para el calculo de la posibilidad de ocurrencia de dos o mas eventos aleatorios con autonomía y confianza
Resuelve problemas, utilizando el principio de la multiplicación y de la suma con seguridad
Resuelve, con interés y confianza, problemas del entorno que involucren la
aplicación combinada de los principios de multiplicación y suma.
Interpreta y explica, con seguridad, el factorial de cualquier número entero y su notación.
Soluciona, con autonomía y confianza, ejercicios que involucren el ordenamiento de un conjunto de objetos diferentes, tomados todos o parte de ellos.
Utiliza, con seguridad, el ordenamiento circular en ejercicios de aplicación.
Resuelve problemas aplicando permutaciones con seguridad.
Interpreta, utiliza y explica, con seguridad, la combinación.
Resuelve problemas aplicando las combinaciones, con seguridad.
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Explica claramente la diferencia entre permutación y combinación.
Utiliza la fórmula apropiada para calcular, con precisión, el número de combinaciones o permutaciones de “n” objetos tomados “r” a la vez, en ejercicios de aplicación.
Resuelve problemas, con seguridad y orden, aplicando el diagrama de árbol.
4.2. Representación gráfica PROYECTO: “La revolución del conteo”
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4.3. Contenidos En el presente proyecto se trabajó en los siguientes contenidos: Conceptuales (C)
Procedimentales (P)
Actitudinales (A)
P1. Deducción, utilización y explicación del principio de multiplicación para el calculo de la posibilidad de ocurrencia de dos o mas eventos aleatorios. P2. Resolución de problemas utilizando el principio de la multiplicación.
A1. Deduce, utiliza y explica, con autonomía y confianza, el principio de multiplicación. A2. Seguridad al resolver problemas utilizando el principio de la multiplicación.
P3. Deducción, utilización y explicación del principio de suma para el calculo de la posibilidad de ocurrencia de dos o mas eventos aleatorios. P4. Resolución de problemas utilizando el principio de la suma. P5. Resolución de problemas aplicados al entorno que combinen ambos principios: multiplicación y suma.
A3. Deduce, utiliza y explica, con autonomía y confianza el principio de suma. A4. Utiliza, con interés y confianza, el principio de la suma para el calculo de al menos dos eventos simultáneos y excluyentes. A5. Seguridad al resolver problemas utilizando el principio de suma. A6. Interés y confianza al resolver problemas del entorno en que se apliquen los principios de la multiplicación y la suma.
C3. Factorial de un numero. - notación factorial n! = n (n - 1) (n - 2) ...1 Propiedad especial 0! = 1
P6. Interpretación y explicación del factorial de un número y su notación. P7. Simplificación de expresiones que contienen notación factorial n!. P8. Interpretación y aplicación de la propiedad especial del factorial 0!. P9. Resolución de problemas en los que se aplique el factorial de un número.
A7. Seguridad al interpretar y explicar el factorial de un numero y su notación. A8. Precisión al simplificar expresiones con notación factorial n!. A9. Seguridad al interpretar y aplicar 0!. A10. Seguridad y confianza al resolver problemas de aplicación del factorial de un número.
C4. Permutaciones. Tomando todos o parte de los elementos n!
P10. Solución de ejercicios que involucren el ordenamiento de un conjunto de objetos diferentes, tomados todos o parte de ellos. P11. Utilización del ordenamiento circular en la solución de ejercicios. P12. Resolución de problemas aplicando permutaciones.
A11. Confianza y autonomía al solucionar ejercicios que involucren el ordenamiento de un conjunto de objetos diferentes, tomados todos o parte de ellos. A12. Seguridad en la búsqueda de soluciones a problemas. A13. Seguridad al resolver problemas aplicando permutaciones.
Técnicas de conteo C1. Principio de multiplicación. mxn (total de maneras en que pueden presentarse A y B, siendo A y B dos sucesos que deben ocurrir simultáneamente).
C2. Principio de suma. m+n (total de maneras en que pueden ocurrir A o B, siendo A y B dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente).
n
P r
(n
r )!
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C5. Combinaciones n! C r n r !( n r )!
P13. Interpretación, utilización y explicación de la combinación. P14. Resolución de problemas aplicando la combinación. P15. Explicación de la diferenciación entre permutaciones y combinaciones. P16. Utilización de la formula, en ejercicios de permutaciones y combinaciones. P17. Resolución de problemas utilizando la formula de las permutaciones o combinaciones.
C6. Diagrama de árbol. - utilidad - características
P18. Determinación y representación, mediante diagrama de árbol, de los resultados de una serie de eventos aleatorios. P29. Resolución de problemas, aplicando el diagrama de árbol.
A14. Seguridad al interpretar, utilizar y explicar la combinación. A15. Seguridad al resolver los problemas dados aplicando la combinación. A16. Claridad y seguridad al explicar la diferencia entre permutaciones y las combinaciones. A17. Confianza y precisión en la utilización de la formula para encontrar las permutaciones y combinaciones.
A18. Representa, con orden y seguridad, en un diagrama de árbol los resultados de una serie de eventos. A19. Seguridad al resolver problemas aplicando el diagrama de árbol.
4.4. Actividades ESQUEMA DE CONTENIDOS Y ACTIVIDADES.
Actividad 1: Investigación y presentación de la información Actividad 2: Mis respuestas
Contenido 1: Principio de multiplicación
Contenido 2: Principio de suma
Contenido 3: Factorial de un numero
Contenido 4: Permutaciones.
Contenido 5: Combinaciones
Contenido 6: Diagrama de árbol
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son…
Actividad 3: Presento ejemplos Actividad 4: Resuelvo ejercicios Actividad 5: Elaboración de memoria Actividad 6: Evaluación
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Denom inación de la Ac tividad:
Investigación y presentación de la información
Actividad Nº Tiempo
1 6 h clase
Actividad de Inicio Actividad de Desarrollo Actividad Síntesis o Evaluación
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Objetivos Investigar en diferentes fuentes la información necesaria para responder las d iferentes interrogantes del proyecto. Fomentar el sentido investigativo para conocer o responder a lo que se desea aprender. Contenidos Principio de multiplicación Principio de la suma Factorial de un número Permutaciones Combinaciones Diagrama de árbol Descripción del desarrollo de la Actividad Para esta actividad de investigación se hizo una distribución de las preguntas entre los integrantes de cada equipo en donde a cada uno le correspondió investigar de 2 a 3 preguntas. Cada equipo presentó avances para observaciones o sugerencias de la información recolectada. Materiales necesarios Textos Computadoras con acceso a internet Papel tamaño carta Memorias usb Impresora Observaciones Los estudiantes recurren a internet como primera opción para l a búsqueda de información, obviando o pasando por alto la información que puede encontrarse en los libros de la asignatura o en alguna enciclopedia.
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Denom inación de la Ac tividad: Mis respuestas son…
Actividad nº
2
Tiempo 4 h clase
Actividad de Inicio Actividad de Desarrollo Actividad Síntesis o Evaluación
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Objetivos Comparar, valorar, resumir y compartir la información recolectada en la in vestigación. Fortalecer las relaciones interpersonales entre los estudiantes. Contenidos Principio de multiplicación Principio de la suma Factorial de un número Permutaciones Combinaciones Diagrama de árbol Descripción del desarrollo de la Actividad Al final del tiempo estipulado para la investigación se reunieron los grupos y los integrantes de cada grupo que tenían las mismas preguntas se reunieron, por separado, para comparar, compartir, resumir la información recolectada y establecer las dudas o necesidades que se presentaron con respecto a la información (anexo 4). Luego cada equipo así formado por medio de un representante dio a conocer a la sección el consolidado de la información referente a las preguntas asignadas (anexo 5). Materiales necesarios Impresiones de la información investigada. Fotocopias de libros. Cuadernos Bolígrafos Proyector multimedia Computadora Memorias usb Cámara fotográfica Observaciones
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Denom inación de la Ac tividad:
Presento ejemplos
Actividad nº
3
Tiempo 8 h clase
Actividad de Inicio Actividad de Desarrollo Actividad Síntesis o Evaluación
X
Objetivos Consolidar el aprendizaje sobre los diferentes contenidos investigados. Corregir los errores en la explicación de los ejemplos o aclarar dudas sobre los ejemplos presentados. Contenidos Principio de multiplicación Principio de la suma Factorial de un número Permutaciones Combinaciones Diagrama de árbol Descripción del desarrollo de la Actividad Como parte de la presentación de la información, cada equipo mostró una serie de ejemplos relacionados con las técnicas del conteo que se habían investigado, en esta parte fue necesaria la intervención del docente para aclarar dudas o corregir lo expuesto por los estudiantes (anexo 6). El profesor también presento la solución de algunos ejemplos. Materiales necesarios Impresiones de los ejemplos investigados. Fotocopias de libros. Cuadernos Bolígrafos Proyector multimedia Computadora Memorias usb Plumones 500 Pizarra Cámara fotográfica Observaciones
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Denom inación de la Ac tividad:
Resuelvo ejercicios
Actividad nº
4
Actividad de Inicio Actividad de Desarrollo Actividad Síntesis o Evaluación
Tiempo 4 h clase Objetivos Comprobar y reforzar el grado de asimilación de los contenidos investigados. Fortalecer las relaciones interpersonales entre los estudiantes.
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Contenidos Principio de multiplicación Principio de la suma Factorial de un número Permutaciones Combinaciones Diagrama de árbol Descripción del desarrollo de la Actividad Cada estudiante buscó y resolvió un ejercicio sobre las técnicas de conteo, con la condición de que no se permitían ejercicios repetidos. Una vez recopilados los ejercicios (anexo 7) un integrante de cada grupo, elegido al azar, pasó a la pizarra a resolver dos ejercicios; uno de los que había investigado su propio grupo y el otro de los proporcionados por los restantes grupos, ambos ejercicios se eligieron al azar. Para lograr un mayor nivel de asimilación se proporciono a los estudiantes una guía de ejercicios, elaborada por el docente, para su solución en los equipos de trabajo (anexo 8). Materiales necesarios Computadora con acceso a internet Libros de texto Guía de ejercicios Cuaderno Bolígrafo Lápiz Borrador Calculadora Memorias usb Plumones 500 Pizarra Observaciones
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Denom inación de la Ac tividad:
Elaboración de memoria
Actividad nº
5
Actividad de Inicio Actividad de Desarrollo Actividad Síntesis o Evaluación
Tiempo 6 h clase Objetivos Conocer las valoraciones y opiniones de los estudiantes sobre el trabajo realizado. Expresar por escrito las diferentes actividades desarrolladas durante el pr oyecto.
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Contenidos Principio de multiplicación Principio de la suma Factorial de un número Permutaciones Combinaciones Diagrama de árbol Descripción del desarrollo de la Actividad Cada equipo elaboró la memoria del proyecto la cual debía incluir portada, descripción o síntesis del trabajo realizado durante el proyecto, conclusiones o comentarios, logros y dificultades que experimentaron con el desarrollo del proyecto. Materiales necesarios Computadora. Paginas tamaño carta. Impresora. Memorias usb Folder Fastener o grapas Engrapadora Colores Observaciones
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Denom inación d e la Actividad:
Evaluación
Actividad nº
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Tiempo 1 h clase Objetivos Valorar y calificar el trabajo realizado en el proyecto.
Actividad de Inicio Actividad de Desarrollo Actividad Síntesis o Evaluación
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Contenidos Principio de multiplicación Principio de la suma Factorial de un número Permutaciones Combinaciones Diagrama de árbol Descripción del desarrollo de la Actividad Para la evaluación general del proyecto cada estudiante respondió a las siguientes interrogantes: 1. ¿Qué te ha gustado más de este proyecto? 2. ¿Qué te ha gustado menos? 3. ¿Qué dificultades se presentaron? 4. ¿Qué se puede mejorar? Para la calificación del proyecto se tomaron los siguientes criterios: Investigación y presentación de la información. 40% Resolución de ejercicios. 40% Memoria del proyecto 20%
Materiales necesarios Paginas Bolígrafo Observaciones
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ANEXO 1. Equipos de trabajo elaborando las preguntas del área de interés elegida.
ANEXO 2. Cada equipo haciendo su propuesta de mapa conceptual
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ANEXO 3. Propuestas de mapas conceptuales elaborados
ANEXO 4. Equipos organizados según la distribución de preguntas
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ANEXO 5 Representantes presentando el consolidado de las preguntas
ANEXO 6. Presentación de ejemplos por los equipos de trabajo.
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ANEXO 7. Ejercicios proporcionados por los estudiantes. 1. Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que: a) ningún digito se pueda repetir, b) se puede repetir los dígitos. 2. Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos). María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q y que el ultimo digito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa era una C o una G y que el primer digito era definitivamente un 7. ¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía? 3. Tres pueblos designados como A, B y C están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido. a) ¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C?, b) ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al pueblo C y de regreso al pueblo A?, c) ¿Cuántos de los trayectos completos de la parte b) son tales que el viaje de regreso (del pueblo C al pueblo A) es diferente al menos parcialmente de la ruta que toma R8 Juan del pueblo A al pueblo C?
R1 R5 A
R2
B
R3
R6
C R7
R4
R9
4. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante? 5. Se tienen 5 matrimonios de entre los cuales deben escogerse 3 personas para formar un directiva, con la condición de que dos esposos no pueden estar en dicha directiva, si no que a lo sumo uno de ellos. ¿Cuántas directivas diferentes pueden formarse? 6. Se dispone de 18 jugadores para integrar un equipo de baloncesto ¿Cuántos equipos diferentes pueden formarse? 7. ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con 1, 2, 3, 4, 5? a) si no se permite la repetición, b) si se permite la repetición.
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8. a) ¿Cuántos números de tres cifras significativas pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4 si no se permite la repetición? b) si se permite la repetición? 9. Se está organizando una excursión y no se sabe todavía si visitar una playa o una montaña. Si existen 4 posibles playas y 5 montañas para ser visitadas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede organizar la excursión? 10. 3 mujeres y 2 hombres se dirigen, por distintas rutas de buses a la misma parada de bus, donde deberán hacer una fila ¿De cuántas maneras diferentes pueden alinearse si: a) no hay restricción?, b) las tres mujeres deben ir juntas? 11. ¿Cuántas combinaciones de tres letras a partir de las vocales? 12. Se tienen los números 1, 4, 7 y 9. Si se seleccionan dos de estos para sumarlos. ¿Cuántas sumas diferentes se pueden obtener? 13. En una sala de espera de una clínica hay disponible dos sillas. Si llegan 4 personas a la clínica, ¿De cuantas formas distintas se pueden acomodar? 14. Andrea visita una tienda de animales. Hay 7 perros y 15 gatos. ¿Qué cantidad de opciones de comprar un perro o un gato tiene? 15. Los alumnos y alumnas de segundo año de bachillerato del colegio quieren hacer un concurso de matemática, computación y lenguaje y para esto tiene 4 escenarios disponibles. ¿De cuántas maneras distintas se puede organizar un concurso en un escenario? 16. ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en un estante 7 frascos de perfume? 17. ¿ De cuántas maneras puede Julio ordenar 4 libros? 18. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 8 personas en un carrusel? 19. ¿Si 6 personas almuerzan alrededor de una mesa, de cuántas maneras pueden organizarse? 20. Una persona encargada del departamento de recursos humanos de una empresa debe programar cinco entrevistas para el nuevo cargo de operario. El encargado decide seleccionar de forma aleatoria, a cinco de los ocho candidatos que se presentaron. ¿De cuántas formas puede seleccionar las cinco personas entre las ocho disponibles? 21. Una palabra binaria de 8 bits es una secuencia de 8 dígitos, cada uno de los cuales puede ser 0 o 1. ¿Cuántas palabras de 8 bits ud. Puede formar? 22. Rodrigo desea vestirse para un evento eligiendo un pantalón y una camisa de entre 4 pantalones y 3 camisas. ¿De cuántas formas puede vestirse? 23. En la carrera final de 100 m planos hay 6 participantes ¿de cuántas maneras puede quedar el pódium? 24. En un cumpleaños ¿de cuántas maneras se pueden colocar 4 niñas detrás del pastel que van a partir? 25. ¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa de plato fuerte, postre y una bebida son posibles, si podemos seleccionar de entre 4 ensaladas, 3 tipos de plato fuerte, 5 postres y 4 bebidas? 22
26. Pedro el alumno más inteligente del salón se saca un premio al final del año, el premio consiste en vacaciones todo pagado a cualquiera de tres posibles lugares que le gustaría ir usando cualquiera de los 2 medios de transporte disponibles y acompañado de uno de los 3 familiares que lo pueden acompañar. ¿Cuántas posibilidades y cuales son estas posibilidades que tiene Pedro? 27. Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, ¿Cuántas opciones tiene? 28. Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales. ¿De cuántas maneras puede elegir el director a la pareja principal? 29. ¿De cuantas formas se pueden sentar tres parejas de casados alrededor de una mesa circular, si no debe haber dos mujeres juntas ni dos hombres juntos?
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ANEXO 8. Complejo Educativo San Cristóbal Matemática 2º año de bachillerato técnico Profesor: Carlos Eduardo Masferrer Proyecto: “La revolución del conteo”
1. Si tres puntos cualesquiera se consideran los vértices de un triángulo. Entonces, ¿Cuántos triángulos pueden formarse con los puntos que se muestran?
2. Un maletín tiene un dispositivo de seguridad que contiene 3 discos independientes marcados cada uno con dígitos del cero al nueve. Una clave de tres dígitos abre el maletín. ¿Cuál es el número máximo de claves distintas que se han de probar si: a) no hay ninguna información sobre la clave b) se sabe que los tres dígitos son diferentes c) se sabe que es un número par d) se sabe que los tres dígitos son iguales? 3. Un inspector visita 6 oficinas diferentes durante los seis días hábiles de la semana, una oficina por día. A fin de impedir que el personal sepa cuándo inspeccionará, cada semana varía el orden de las visitas. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacer las visitas en una semana específica? 4. a) ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra camote? b) ¿Cuántas de las permutaciones anteriores empiezan con la letra t? c) ¿en cuántos de los arreglos obtenidos en a) aparecen juntas las vocales? 5. a) ¿de cuántas maneras se pueden permutar las letras de la palabra murciélago? b) ¿Cuántas de las permutaciones empiezan con m y terminan en i? c) ¿Cuántas de las permutaciones comienzan y terminan en vocal? d) ¿en cuántas de las permutaciones aparecen las vocales juntas y las consonantes juntas? e) ¿en cuántas de las permutaciones aparecen las vocales juntas? f) ¿en cuántas de las permutaciones no aparecen dos vocales juntas ni dos consonantes juntas? 6. Los libros A, B, C, y D se van a ordenar en una librera. ¿Cuántos arreglos diferentes pueden hacerse si: a) no hay restricciones?, b) los libros A y D deben quedar juntos? 7. ¿De cuántas maneras se pueden formar 6 personas para subirse a un bus, si tres personas específicas insisten en estar juntas en la fila? 8. Se piensa identificar las placas para vehículos automotores por medio de dos vocales diferentes, seguidas de cuatro números dígitos diferentes. ¿Cuántas placas distintas se pueden formar? 9. ¿Cuántos comités diferentes de 3 hombres y 4 mujeres se pueden formar con 8 hombres y 6 mujeres? 10. De un total de 6 niñas y 4 niños se escogen tres niñas y 2 niños. ¿De cuántas maneras puede hacerse la selección? 11. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse 2 hombres, 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas con 6 hombres, 8 mueres, 4 niños y 5 niñas, si: a) no se impone ninguna restricción, b) debe seleccionarse un hombre y una mujer determinados? 12. De entre 12 trabajadores, uno de los cuales es mujer, se van a elegir 3 para que trabajen horas extras. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer la selección si: a) no hay restricciones?, b) la mujer debe ser seleccionada?, c) la mujer no debe ser seleccionada?
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13. 14. 15.
16. 17. 18. 19.
a) ¿Cuántos números de tres cifras significativas pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4, si no se permite la repetición?, b) ¿Cuántos de los números anteriores serán impares? Don Severo desea pintar la sala, el comedor, la cocina y un dormitorio de su casa. Dispone para ello de cuatro colores distintos, cada cuarto tendrá un solo color. ¿De cuántas maneras diferentes podría don Severo pintar las cuatro habitaciones? Una fábrica tiene disponible 12 puestos de trabajo, cuatro de los cuales deben ser ocupados exclusivamente por hombres, cinco exclusivamente por mujeres y los tres restantes indistintamente por hombres o mujeres. Si se presentan 8 mujeres y 10 hombres a solicitar los trabajos. ¿De cuántas maneas diferentes puede hacerse la selección para llenar los puestos de trabajo? ¿De cuántas maneras se pueden permutar las letras a, a, a, b, b, b, b, c, c tomándolas todas a la vez? ¿Cuántas palabras con sentido y sin sentido se pueden formar con las letras de la palabra TEMA? Determina cuántas placas para automóvil pueden hacerse si: a) cada placa consta de tres letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes, b) cada placa consta de tres letras y tres dígitos que se pueden repetir. Una empresa de telefonía celular ofrece tres marcas de equipos A, B, C, cada uno en las modalidades de prepago (P) y postpago (T), y con tecnología moderna (M) o antigua (A) ¿Cuáles son las posibilidades que tiene María para adquirir un equipo con especificaciones distintas. Usar el diagrama de árbol para obtener las posibilidades.
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VI.BIBLIOGRAFIA.
MINED. 2008. Programa de estudio de matemática de educación media. El Salvador. Morán, José David; Ormaechea, Luis María. 2009. Matemática segundo año de bachillerato. Ediciones Servicios Educativos. Primera edición. El Salvador.
Galindo Arandi, Jorge Luis. 2010. Matemática 2. Editorial Santillana. El Salvador.
http://matematica.50webs.com/conteo.html
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