MÉTODO DE TAKABEYA
8.1
305
INTRODUCCIÓN
S
e mencionó anteriormente que otro de los métodos con amplia aceptación en nuestro medio es el de Takabeya, dado a conocer en París en 1938, y del cual sólo apareció una versión inglesa en 1965, seguida por una alemana en el mismo año. La primera versión española fue publicada en 1969 (referencia 8.1). Como se pudo observar en los artículos anteriores, los métodos de Cross y Kani resultan excesivamente largos y laboriosos para edificios altos. En cambio, Takabeya con su método pudo analizar un pórtico de 200 pisos y 30 luces en 78 horas con sólo calculadora, tiempo considerado realmente corto para un problema tan complicado (ibíd ). ). La esencia del método consiste en encontrar, por aproximaciones sucesivas, los giros de los nudos y los desplazamientos de los pisos, en lugar de los momentos debidos a ellos, con lo cual se disminuye considerablemente el número de operaciones. Esto lo hace sumamente útil incluso hoy en día, con el auge de la computación electrónica. Una vez obtenida la convergencia en giros y desplazamientos, se procede a evaluar los momentos definitivos mediante las ecuaciones de ángulos de giro y deflexión.
8.2
ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO
Para deducir las ecuaciones requeridas por el proceso iterativo, se parte como antes de las ecuaciones de giro y deflexión. En el caso de estructuras sin desplazamiento, éstas se reducen a: M ij = M ijF + 4EK ij θi + 2EK ij θ j
(8.1a)
M ji = M jiF + 2EK ij θ i + 4EK ij θ j
(8.1b)
en que todos los términos tienen el mismo significado visto anteriormente. Por conveniencia se define:
K ij (8.2) k ij = C en donde C es una constante de proporcionalidad que permite trabajar con valores relativos. Las ecuaciones (8.1) se pueden reescribir entonces, así:
306
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
M ij = M ijF + 4Ek ij Cθ i + 2Ek ij Cθ j
(8.3a)
M ji = M jiF + 2Ek ij Cθ i + 4Ek ijCθ j
(8.3b)
Definiendo ahora rotaciones relativas: φ i = 2ECθ i
(8.4a)
φ j = 2ECθ j
(8.4b)
M ij = M ijF + k ij 2φi + φ j
(8.5a)
M ji = M jiF + k ij φ i + 2φ j
(8.5b)
es posible reducirlas a:
que servirán de base para la deducción de la ecuación de iteración buscada. En efecto, al aplicarle a un nudo i de la estructura la condición de equilibrio ∑ M ij = 0 , resulta: (i )
0 = ∑ M + 2φi ∑ k ij + ∑ k ij φ j F ij
(i )
(i )
(i )
de la cual se puede despejar la rotación relativa del nudo i:
∑ M ijF φi = −
(i )
2∑ k ij
−∑ (i )
(i )
k ij φ 2∑ k ij j
(8.6)
(i )
Se puede ver que en esta ecuación el primer término es constante para cada nudo y, en consecuencia, el segundo representa las correcciones debidas a los giros de los extremos alejados del nudo, de las barras que concurren a él. Para simplificar la nomenclatura se definen:
∑ M Fij φi0 = −
(i )
(8.7)
k ij 2∑ k ij
(8.8)
2∑ k ij (i )
y µ ij = −
(i )
observando que esta última ecuación es equivalente a la que define los coeficientes de giro en el método de Kani. La ecuación (8.6) se puede entonces escribir así: φ i = φ i0 + ∑ µ ijφ j (i )
(8.9)
MÉTODO DE TAKABEYA
307
que constituye la ecuación de iteración buscada. Para aplicarla se siguen estos pasos, que son básicamente los del método de Kani con ligeras modificaciones: 1.
Evalúense los coeficientes de giro µij y momentos de empotramiento M ijF .
2.
Calcúlense los giros relativos iniciales de cada nudo φ 0i mediante la ecuación (8.7). Llévense estos valores a un esquema adecuado.
3.
Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos. Si se está trabajando a mano, para acelerar la convergencia conviene empezar por el de mayor giro inicial.
4.
Aplíquese a cada nudo la ecuación (8.9) y escríbanse en el diagrama los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo los valores de φi. Obsérvese que estos valores corresponden a los φ j al pasar a los nudos opuestos.
5.
Una vez recorridos todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso 4 una y otra vez hasta obtener convergencia en todos los nudos.
6.
Finalmente aplíquense las ecuaciones (8.5) a todos los elementos para obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones verdaderas φi se pueden obtener despejando su valor en la ecuación (8.4a).
Todo el proceso se ilustrará posteriormente con un ejemplo, ya resuelto por los métodos de Cross y Kani, con el fin de facilitar su comparación.
8.3
SIMPLIFICACIÓN POR EXTREMO ARTICULADO
Lo mismo que en los métodos de Cross y Kani, conviene buscar una simplificación para el caso frecuente de extremo articulado. Por analogía con dichos métodos, se puede esperar que baste emplear rigideces relativas ficticias, iguales a tres cuartas partes de las reales, y los valores de momento de empotramiento correspondientes al extremo opuesto articulado. Para confirmarlo se presenta la siguiente demostración. Suponiendo que i represente el nudo restringido y j el nudo articulado, al aplicarle a éste la ecuación (8.5b) resulta: M ji0 = M jiF + k ij 2φ j + φ i = 0 y despejando el valor de φ j:
M ijF φ i φ j = − − 2k ij 2 Substituyendo esta expresión en la ecuación (8.5a), resulta:
(8.10)
308
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
F M φ ji − i M ij0 = M ijF + k ij 2φi − 2k ij 2
y reagrupando sus términos: M ji0 F + k (1.5φ ) M = M ij − i 2 ij 0 ij
(8.11)
Ahora bien, se ve que el primer término entre paréntesis no es otra cosa que el momento de empotramiento verdadero para extremo opuesto articulado*: M
F0 ij
F M ji = M ijF − 2
(8.12)
Por otra parte, si se define: k ij' = 3 k ij 4 la ecuación (8.11) se puede reescribir así:
(8.13)
0
M ij0 = M ijF + k 'ij (2φ i )
(8.14)
Comparándola con la ecuación (8.5a), se ve que para que sean equivalentes φ j debe valer cero, o lo que es lo mismo, basta con ignorar las rotaciones de los extremos articulados para poder seguir usando la ecuación (8.9) en el proceso iterativo. Lógicamente se deberá usar la ecuación (8.14) para evaluar los momentos en los extremos restringidos de dichos miembros especiales. _______________________________________________________________________ * Demostración :
M ijF
M jiF
− M jiF / 2
− M jiF
M ijF − M jiF / 2
0
Ejemplo 8.1
Analice el pórtico mostrado utilizando el método de Takabeya. La viga es de 300 mm × 500 mm y las columnas de 300 mm × 300 mm. En A el apoyo es articulado. Este pórtico se había resuelto en el ejemplo 6.5.
MÉTODO DE TAKABEYA
309
Solución
PRIMER PASO Rigideces relativas
k BC
0.3 × (0.5)3 = = 75 × 10 − 4 5
k CD
0.3 × (0.5)3 = = 62.5 × 10 − 4 6
k AB = k CE
0.3 × (0.3)3 = = 23.1 × 10 −4 3.5
Para utilizar la simplificación del extremo articulado:
k 'AB = 3 k AB = 3 (23.1 × 10 − 4 ) = 17.3 × 10 − 4 4 4 Coeficientes de giro µ ij = −
k ij 2∑ k ij
→
µ BA = − 1
17.3 = −0.094 2 17.3 + 75
→
∑ µ = −0.500
(i )
similarmente se obtienen: µ BC = −0.406
B
µ CB = −0.233 µ CE = −0.072
µ CD = −0.195 →
∑ µ = −0.500 C
Momentos de empotramiento
Se evalúan igual que antes (páginas 215 y 216). M Fvol = −52.0 kN·m
310
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
F M FBC = − M CB = 54.2 kN·m F M CD = 71.1 kN·m
M FDC = −35.6 kN·m SEGUNDO PASO Giros relativos iniciales
Por la ecuación (8.7):
∑ M ijF φio = −
(i )
2∑ k ij (i )
→
φ 0B = −
− 52.0 + 54.2 = −119.2 2 (75 + 17.3) × 10 −4
φ 0C = −
− 54.2 + 71.1 = −526.2 2 (75 + 62.5 + 23.1) × 10 − 4
TERCER PASO Se adopta la secuencia B → C. CUARTO Y QUINTO PASOS Proceso iterativo
Con estos valores se inicia el proceso iterativo y los resultados se van colocando en el diagrama siguiente: Por la ecuación (8.9): φ i = φ i0 + ∑ µ ij φ j (i )
Primer ciclo φ B = −119.2 + (− 0.406) (− 526.2) = 94.4 φ C = −526 .2 + (− 0.233 ) (94 .4 ) = −548 .2
MÉTODO DE TAKABEYA
311
Obsérvese que no se tuvo en cuenta la rotación en A, por estar empleando la simplificación. Segundo ciclo φ B = −119.2 + (− 0.406) (− 548.2) = 103.4 φ C = − 526.2 + ( − 0.233) (103.4 ) = − 550.3
Tercer ciclo φ B = −119.2 + (− 0.406) (− 550.3) = 104.2 φ C = −526.2 + (− 0.233) (104.2 ) = −550.5
En el siguiente ciclo, para una precisión de tres cifras significativas se volverían a obtener los mismos resultados, y por consiguiente se suspende ahí el proceso iterativo. SEXTO PASO Cálculo de momentos definitivos
Para evaluar los momentos definitivos en los extremos de los miembros se aplica la ecuación (8.5a): M ij = M ijF + k ij 2φ i + φ j Por consiguiente: MBA = 0 + 17.3 × 10–4 (2 × 104.2) = 0.4 kN⋅m MBC = 54.2 + 75 × 10–4 (2 × 104.2 − 550.5) = 51.6 kN⋅m Verificación:
312
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
∑ MB = −52.0 + 0.4 + 51.6 = 0.0 kN ⋅m
De nuevo obsérvese que por estar utilizando la simplificación, el giro en A se tomó como si fuera cero (ecuación 8.14). MCB = −54.2 + 75 × 10–4 [2 × (−550.5) + 104.2] = −61.7 kN⋅m MCD = 71.1 + 62.5 × 10–4 [2 × (−550.5) + 0] = 64.2 kN⋅m MCE = 0 + 23.1 × 10–4 [2 × (−550.5) + 0] = −2.5 kN⋅m Verificación: ∑ MC = −61.7 + 64.2 – 2.5 = 0.0 kN⋅m
MEC = 0 + 23.1 × 10–4 [2 × (0) − 550.5] = −1.3 kN⋅m MDC = −35.6 + 62.5 × 10–4 [2 × (0) − 550.5] = −39.0 kN⋅m Como era de esperarse, estos valores coinciden con los obtenidos antes por Cross; por eso se omiten el cálculo de reacciones y la verificación del equilibrio general. En problemas resueltos manualmente, el cálculo de los momentos definitivos se puede sistematizar utilizando un cuadro similar al que sigue:
Para averiguar los giros verdaderos, en caso de necesitarlos, se procede así: De la ecuación (8.4a): θi =
y por la ecuación (8.2):
φi
2EC
MÉTODO DE TAKABEYA
313
K ij C = k ij El valor de C es constante para todos los miembros, de ahí que baste considerar uno solo, por ejemplo el BC: K BC
0.3 × (0.5)3 I = = = 6.25 × 10 − 4 L 12 × 5
−4 C = 6.25 × 10−4 = 1 12 75 × 10
Por tanto, si se supone E = 190 × 105 kN/m2, resulta:
12φ B 6 × 104.2 = = 3.29 × 10 −5 rad 5 2E 190 × 10 6φ 6 × (− 550.5) θC = B = = −1.738 × 10 −4 rad 5 E 190 × 10 θB =
El valor de φA se puede obtener mediante la ecuación (8.10): φ M FAB φ B φ j = − − =− B 2k AB 2 2
Por consiguiente: θA = −
8.4
θB
2
= −1.644 × 10 −5
rad
ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS: SIN CARGAS HORIZONTALES O CON CARGAS HORIZONTALES APLICADAS EN LOS NUDOS
En el caso de una estructura con desplazamientos, los momentos definitivos en los extremos de los miembros están dados en general por las siguientes expresiones, conformes con las ecuaciones de Ángulos de giro y deflexión: M ij = M ijF + 4EK ij θ i + 2EK ij θ j + 6EK ij
∆ ij
L ij
M ji = M jiF + 2EK ij θ i + 4EK ij θ j + 6EK ij
∆ ij
L ij
(8.15a)
(8.15b)
Considerando ahora una columna en el piso n, localizada entre los niveles n y n + 1, utilizando los valores relativos k ij, φi y φ j definidos mediante las ecuaciones (8.2) y (8.3), y definiendo además:
314
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
δ ij = 6EC
∆ ij
h ij
(8.16)
en que: δij = desplazamiento relativo de los extremos de la columna ij, y
hij = altura de la columna ij.
Las ecuaciones anteriores se transforman en: M ij = M ijF + k ij 2φ i + φ j + δ ij
(8.17a)
M ji = M jiF + k ij 2φ j + φ i + δij
(8.17b)
en que el signo positivo del término δij implica que el nivel n se ha desplazado hacia la derecha, con respecto al nivel n + 1. Planteando ahora el equilibrio del nudo i, ∑M ij = 0 , se obtiene: ( i)
∑ M ijF + 2φi ∑ k ij + ∑ k ij φ j + ∑ k ij δ ij = 0 (i )
(i )
(i )
(i )
de donde se puede despejar φi:
∑ M ijF
k ij k ij φi = − −∑ φ −∑ δ 2∑ k ij (i ) 2∑ k ij j 2∑ k ij ij (i )
(i )
(i )
(8.18)
(i )
y recordando las definiciones de φ 0i y µ ij dadas con las ecuaciones (8.7) y (8.8), la expresión anterior se reduce a: φ i = φ i0 + ∑ µ ij φ j + δ ij
(8.19)
(i )
con la que podemos llevar a cabo el proceso iterativo en cuanto a rotación de nudos se refiere. Por otra parte, si se considera que las fuerzas horizontales están aplicadas únicamente en los niveles de placa, el equilibrio horizontal requiere que: n
∑ H i = ∑ Q nq i =1
(n )
en donde: n
∑ Hi
representa la fuerza de corte en el piso n, y
Qnq
es el corte en el extremo inferior de la columna q del piso n,
i =1
(8.20)
MÉTODO DE TAKABEYA
315
como se indica en las siguientes figuras:
Figura 8.1 Equilibrio de fuerzas horizontales en el piso n.
Pero: M nq + M n +1,q Q nq = hn
(8.21)
y reemplazando estos valores en el lado derecho de la ecuación (8.20), resulta: n
m
i =1
j=1
∑ Hi = ∑
M nj + M n +1, j hn
(8.22)
Si todas las columnas del piso tienen la misma altura, ésta se puede sacar de la suma y despejando: n
m
i =1
j=1
h n ∑ H i = ∑ (M nj + M n +1, j ) Reemplazando en esta expresión los valores de las ecuaciones (8.17): n
h n ∑ H i = ∑ (M Fnj + M Fn +1, j ) + ∑ 3k ij (φ i + φ j ) + ∑ 2k ij δ ij i =1
(n )
(n )
(n )
Cuando no hay cargas aplicadas directamente sobre las columnas, el primer sumando es cero y si todas las columnas son de igual altura, δij es constante para el piso. Por tanto, la expresión anterior se puede reescribir así: n
h n ∑ H i = ∑ 3k ij (φi + φ j ) + 2δ ij ∑ k ij i =1
(n)
(n)
y despejando δn = δij: n
h n ∑ Hi δn =
i =1
2∑ k ij (n )
3 k ij (φ + φ ) i j ( n ) 2 ∑ k ij
−∑
(n)
(8.23)
316
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Para simplificar la notación y por similitud con el método de Kani, se definen los desplazamientos relativos iniciales de piso δ 0n y coeficientes de desplazamiento de columnas γ ij: n
δ 0n =
h n ∑ Hi i =1
2∑ k ij
(8.24)
(n )
y γ ij = −
3 k ij 2 ∑ k ij
(8.25)
(n )
con lo cual la ecuación (8.23) se reduce a: δ n = δ 0n + ∑ γ ij φi + φ j
(8.23a)
(n)
que constituye la ecuación iterativa para evaluar el desplazamiento relativo δn del piso n. Cuando al finalizar el proceso no se obtiene balance perfecto en los nudos, se puede hacer un ajuste final repartiendo el momento de desbalance, proporcionalmente a las rigideces de las barras que concurren a él, o sea: Corrección M ij = µij × Momento de desbalance en i Naturalmente esto mismo puede hacerse con los métodos vistos con anterioridad. Resumiendo, en el caso de pórticos con desplazamiento se deben seguir estos pasos: 1. Evalúense los coeficientes de giro µij, los de desplazamiento γ ij y los momentos de empotramiento M ijF . 2. Calcúlense los giros relativos iniciales de cada nudo φi0 mediante la ecuación (8.7) y los desplazamientos relativos iniciales de cada piso δ 0n , mediante la ecuación (8.24). Llévense estos valores a un esquema adecuado. 3. Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos que facilite la sistematización de los cálculos. 4. Aplíquese a cada nudo la ecuación (8.19) y escríbanse en el diagrama los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo los valores de φi. Estos valores corresponden a los φ j al pasar a los nudos opuestos. 5. Una vez recorridos todos los nudos procédase a evaluar todos los desplazamientos de piso con la ecuación (8.23a). Hecho esto, se habrá concluido un ciclo. 6. Repítanse los pasos 4 y 5 hasta obtener convergencia de φi en todos los nudos y de δn en todos los pisos.
MÉTODO DE TAKABEYA
317
7. Finalmente, aplíquense las ecuaciones (8.17) a todos los elementos para obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones y desplazamientos de piso verdaderos φi y ∆n se pueden despejar de las ecuaciones (8.4a) y (8.16), respectivamente. Todo el proceso se ilustrará con los dos ejemplos siguientes. Ejemplo 8.2 Analice por el método de Takabeya el mismo pórtico del ejemplo 7.2.
Viga: 300 × 500 mm Columnas: 300 × 300 mm
Solución
PRIMER PASO Rigideces relativas
(0.3)4 = = 27 × 10 − 4 3
k AB = k CD Coeficientes de giro µ ij = −
k ij 2∑ (k ij ) (i )
µ BA = µ CD = −
27 = −0.151 2 (27 + 62.5)
µ BC = µ CB = − 62.5 = −0.349
179
Coeficientes de desplazamiento
k ij 3 γ ij = − 2 ∑ k ij (n)
γ AB = γ CD = − 3
27 = −0.750 2 27 + 27
k BC
0.3 × (0.5)3 = = 62.5 × 10 − 4 6
318
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Momentos de empotramiento
M FBC = 50 × 2 × 16 = 44.4 kN·m, 36
50 × 4 × 4 = −22.2 kN·m F = M CB 36
SEGUNDO PASO Giros relativos iniciales
∑ M ijF φi0 = −
(i )
2∑ k ij (i )
φ 0B = −
44.4 = −2483 2 (27 + 62.5) × 10 − 4
φ 0C = −
− 22.2 = 1242 179 × 10 − 4
Desplazamiento relativo inicial de piso n
δ 0n =
h n ∑ Hi i =1
2∑ k ij
→
δ10 =
3× 0 =0 2 × 54 × 10 − 4
(n )
TERCER PASO Se adopta la secuencia BC. PASOS CUATRO A SEIS Proceso iterativo
Con estos valores se inicia el proceso iterativo y los resultados se van poniendo en el siguiente diagrama:
MÉTODO DE TAKABEYA
319
Giros en los nudos φ i = φ 0i + ∑ µ ij φ j + δ ij (n)
Desplazamientos de piso δ n = δ 0n + ∑ γ ij φ i + φ j (n )
Primer ciclo φB =
−2483 + [− 0.349 (1242) − 0.151 (0 + 0)] = −2916
φC =
1242 + [− 0.349 (− 2916) − 0.151 (0 + 0)] = −2260
δ
=
0 + [− 0.750 (− 2916 + 2260)] = 492
Segundo ciclo φB =
−2483 + [− 0.349 (2260) − 0.151 (0 + 492)] = −3346
φC =
1242 + [− 0.349 (− 3346) − 0.151 (0 + 492)] = 2335
δ
=
0 + [− 0.750 (− 3346 + 2335)] = 758
Tercer ciclo φB =
− 2483 + [ − 0.349 (2335) − 0.151 (758)] = −3412
φC =
1242 + [− 0.349 (− 3412) − 0.151 (758)] = 2318
δ
=
0 + [− 0.750 (− 3412 + 2318)] = 820
320
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Cuarto ciclo φB = − 2483 + [ − 0.349 (2318) − 0.151 (820)] = −3416 φC = 1242 + [ − 0.349 (− 3416) − 0.151 (820)] = 2310 δ
= 0 + [ − 0.750 (− 3416 + 2310)] = 829
Quinto ciclo φB = − 2483 + [ − 0.349 (2310) − 0.151 (829)] = −3414 φC = 1242 + [ − 0.349 (− 3414) − 0.151 (829)] = 2308 δ
= 0 + [ − 0.750 (− 3414 + 2308)] = 829
Obtenida la convergencia con tres cifras significativas, se pueden evaluar los momentos definitivos. SÉPTIMO PASO Momentos definitivos
M ij = M ijF + k ij 2φ i + φ j + δ ij MAB = 0 + 27 × 10–4 (2 × 0 − 3414 + 829) = −7.0 kN⋅m MBA = 0 + 27 × 10–4 [2 (− 3414 ) + 0 + 829 ] = −16.2 kN⋅m MBC = 44.4 + 62.5 × 10–4 [ 2 (− 3414 ) + 2308 + 0 ] = 16.2 kN⋅m
∑ MB = 0 MCB = − 22.2 + 62.5 × 10–4 [ 2 (2308) − 3414 + 0] = −14.7 kN⋅m MCD = 0 + 27 × 10–4 [2 (2308) + 0 + 829 ] = 14.7 kN⋅m
∑ MC = 0 MDC = 0 + 27 × 10–4 [2 × 0 + 2308 + 829] = 8.5 kN⋅m que prácticamente coinciden con los valores obtenidos por el método de Kani. Los cálculos anteriores se pueden llevar a cabo como se indica en el siguiente cuadro:
MÉTODO DE TAKABEYA
321
Para obtener las rotaciones y el desplazamiento verdaderos, suponiendo hormigón de 21 N/mm2, se utilizan las ecuaciones (8.2), (8.4a) y (8.16): K ij C = k ij
θi =
C AB = C CD
(0.3)4 = 12 × 3−4 = 0.0833 27 × 10
h ij ∆ ij = δ 6EC ij
φi
2EC
C BC
0.3 × (0.5)3 = 12 × 6 −4 = 1 = 0.0833 12 62.5 × 10
Según las Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente: E = 3900 f c' = 3900 21 = 17900N mm 2 = 179 × 10 5 kN m 2 Empleando estos valores y las ecuaciones citadas: θB = −
3414 = −1.145 × 10 −3 rad 5 2 × 179 × 10 × 0.0833
(horario)
θC = −
2308 = 7.74 × 10 −4 rad 5 2 × 179 × 10 × 0.0833
(antihorario)
∆i =
3 × 829 = 2.78 × 10 − 4 m = 0.278 mm → 5 6 × 179 × 10 × 0.0833
con lo cual quedan encontradas todas las incógnitas del problema.
322
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Ejemplo 8.3 Analice el siguiente pórtico
Vigas:
400 × 400 mm
Columnas del 2° piso: 350 × 350 mm Columnas del 1 er piso: 400 × 400 mm
Solución
PRIMER PASO Cálculo de rigideces relativas
k CD = k BE
(0.4)4 = = 51.2 × 10 − 4 5
k AB = k EF
(0.4)4 = = 102.4 × 10 − 4 2.5
k CB = k DE
(0.35)4 = = 60.0 × 10 − 4 2.5
Coeficientes de giro µ CD = µ DC = − 1 µ BC µ BE
51.2 = −0.230 µ CB = µ DE = − 60.0 = −0.270 2 51.2 + 60.0 222.4 60.0 = µ ED = − 1 = −0.140 2 60.0 + 51.2 + 102.4 = µ EB = − 51.2 = −0.120 µ BA = µ EF = − 102.4 = −0.240 427.2 427.2
Coeficientes de desplazamiento γ CB = γ DE = − 3
60.0 = −0.750 2 60.0 + 60.0
γ AB = γ EF = − 3
102.4 = −0.750 2 102.4 + 102.4
MÉTODO DE TAKABEYA
323
Momentos de empotramiento
20 × 25 = 41.7 kN·m F = − M FDC = M CD 12 M FBE = − M FEB = 30 × 25 + 40 × 5 = 87.5 kN·m 12 8 SEGUNDO PASO Giros relativos iniciales
∑ M ijF φi0 = −
(i )
2∑ k ij (i )
φ 0C = −
41.7 = −1875 2 (51.2 + 60.0) × 10 − 4
φ 0B = − φ 0E = −
φ 0D = − φ 0C = 1875
87.5 = −2048 2 (60.0 + 51.2 + 102.4) × 10 −4
Desplazamientos iniciales relativos de piso n
δ 0n
h n ∑ Hi =
i =1
2∑ k ij (n)
δ10 =
2.5 × 10 = 1042 2 (60.0 + 60.0) × 10 −4
δ10 =
2.5 × (10 + 20) = 1831 2 (102.4 + 102.4 ) × 10 − 4
TERCER PASO. Se adopta la secuencia BCDE PASOS CUATRO A SEIS. Proceso iterativo Con los valores anteriores y las ecuaciones (8.19) y (8.23a) se inicia el proceso iterativo y los resultados se van colocando en el diagrama de la página siguiente. φ i = φ i0 + ∑ µ ij φ j + δ ij (i )
δ n = δ 0n + ∑ γ ij φ i + φ j (n )
324
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Primer ciclo φB = −2048 + [− 0.120 (2048) − 0.140 (– 1875 + 1042) − 0.240 (1831)] = −2617 φC = −1875 + [− 0.270 (− 2617 + 1042) − 0.230 (1875)] = −1881 φD = 1875 + [− 0.230 (− 1881) − 0.270 (2048 + 1042)] = 1473 φE = 2048 + [− 0.140 (1473 + 1042) − 0.240 (1831) − 0.120 (−2617)] = 1570 δ1
= 1042 − 0.750 (− 1881 − 2617 + 1473 + 1570) = 2133
δ2
= 1831 − 0.750 (− 2617 + 1570) = 2616
Segundo ciclo φB = − 2048 − 0.240 (2616) − 0.120 (1570) − 0.140 (−1881 + 2133) = −2900 φC = −1875 − 0.270 (− 2900 + 2133) − 0.230 (1473) = −2007 φD = 1875 − 0.230 (− 2007) − 0.270 (1570 + 2133) = 1337 φE = 2048 − 0.140 (1337 + 2133) − 0.240 (2616) − 0.120 (−2900) = 1282 δ1
= 1042 − 0.750 (− 2007 +1337 − 2900 + 1282) = 2758
δ2
= 1831 − 0.750 (− 2900 + 1282) = 3044
Tercer ciclo φB = − 2048 − 0.240 (3044) − 0.120 (1282) − 0.140 (−2007 + 2758) = −3038 φC = −1875 − 0.270 (− 3038 + 2758) − 0.230 (1337) = −2107 φD = 1875 − 0.230 (− 2107) − 0.270 (1282 + 2758) = 1269 φE = 2048 − 0.140 (1269 + 2758) − 0.240 (3044) − 0.120 (−3038) = 1118 δ1
= 1042 − 0.750 (− 2107 − 3038 + 1269 + 1118) = 3110
δ2
= 1831 − 0.750 (− 3038 + 1118) = 3271
y así sucesivamente hasta que los valores se repiten, con tres cifras significativas, en el octavo ciclo. Se procede entonces a evaluar los momentos definitivos: SÉPTIMO PASO: M ij = M ijF + k ij 2φ i + φ j + δ ij
MÉTODO DE TAKABEYA
325
326
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Del cuadro siguiente se ve que el error máximo de cierre en los nudos es 0.2 kN ⋅m. Para averiguar el error de cierre en fuerzas horizontales se calculan las fuerzas de corte en las columnas: Qi = ∑ (1)
− 24.8 − 30.5 + 41.0 + 39.4
∑ Qi =
− 29.1 + 3.5 + 55.1 + 45.6
( 2)
2.5
2.5
= 10.00 vs 10.00
= 30.04 vs 30.00
con lo cual queda confirmada la bondad de la solución.
MÉTODO DE TAKABEYA
8.5
327
PÓRTICOS CON DESPLAZAMIENTO Y COLUMNAS ARTICULADAS EN LA BASE
En el caso de un pórtico con desplazamientos cuyas columnas de primer piso están articuladas en la base, se obtiene al aislarlas y aplicar el principio de superposición:
Figura 8.2 Columnas articuladas en la base.
M ij0 = 3 EI θi + 3 EI2 ∆ ij h h K ij ∆ M = 3EK ij θ i + 3E h ij ij 0 ij
M ij0 = 3ECk ij θ i + 3EC
k ij ∆ h ij ij
(8.26) (8.26a) (8.26b)
y si se utiliza la definición (8.13) vista antes, para estructuras sin desplazamiento con extremo articulado:
k ij' = 3 k ij 4
(8.13)
resulta: 0 ij
M = 4ECk
' θ ij i
k 'ij + 4EC ∆ ij h ij
(8.26c)
utilizando ahora la definición de rotación relativa: φi = 2ECθi
(8.4a)
y definiendo un desplazamiento relativo de pisos con extremo articulado: δ ij' = 4EC ∆
h ij
(8.27)
se obtiene finalmente: M 0ij = k ij' ( 2φ i + δ ij' )
(8.26d)
328
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Por otra parte, para dichas columnas: M ji0 = 0 La ecuación (8.26d) tiene la misma forma que la ecuación (8.17a), si se recuerda que la influencia de φ j ya se tuvo en cuenta. Por lo tanto, al plantear el equilibrio de nudos no habrá ningún cambio, excepto el ya mencionado y la necesidad de emplear δ 'ij en vez de δij en las columnas articuladas, y se llegará a la misma ecuación iterativa, obtenida antes, para φ j: φ i = φ i0 + ∑ µ ij φ j + δ ij
(8.19)
(i )
Considerando ahora el primer piso del pórtico:
Figura 8.3 Pórtico con columnas articuladas en la base.
M 0ij Q ji = h ij Por el equilibrio de fuerzas horizontales: M ij0 ∑ H i = ∑ Q ji = ∑ h i =1 (n) (n ) ij n
(8.29)
y si todas las columnas tienen la misma altura, h n: n
h n ∑ H i = ∑ M 0ij = ∑ k ij' (2φ i ) + δ 'n ∑ k 'ij i =1
(n)
(n)
(8.30)
(n)
Despejando ahora δ 'n : n
δ 'n
h n ∑ Hi =
i =1
∑ k 'ij (n)
que se puede reescribir así:
2k ij' −∑ φ ' j ( n ) ∑ k ij (n )
(8.31)
MÉTODO DE TAKABEYA
329
δ 'n = δ 'n0 + ∑ γ ij0 φi
(8.32)
(n )
en donde: n
δ 'n0
h n ∑ Hi =
i =1
∑ k ij'
(8.33)
(n )
' k ij γ ij0 = −2 ∑ k 'ij
(8.34)
(n)
8.6
PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE TAKABEYA APLICADO A PÓRTICOS ORTOGONALES
La programación del método de Takabeya, aplicado a pórticos ortogonales, es muy similar a la del método de Kani. En este caso el proceso iterativo se efectúa con base en las ecuaciones (8.19) y (8.23), hasta lograr que la diferencia entre los valores de giros y desplazamientos en dos ciclos consecutivos sea inferior al límite previamente acordado. Después de obtener la convergencia se aplican a cada miembro las ecuaciones (8.15) y se encuentran, como antes, los cortes y fuerzas axiales. Podrá comprobarse entonces la mayor rapidez de este método si se compara con los de Cross alterno y Kani vistos antes. En la referencia (8.3) se da un algoritmo para analizar esta clase de pórticos y su programación en BASIC.
8.7
EFECTO P-∆
Es bien sabido que en edificios sometidos a desplazamiento, las derivas de piso ocasionan momentos secundarios por no ser colineales las reacciones verticales en los extremos de cada columna. Este es el llamado efecto P- ∆, que en edificios de baja altura pueden, por lo general, despreciarse; no así en edificios altos. En los métodos vistos en este capítulo y en los dos anteriores, es relativamente fácil considerar dicho efecto. Para esto basta adicionar a los programas respectivos, desarrollados en la referencia (8.3), un subprograma que calcule la reacción vertical en los extremos inferiores de todas las columnas de cada piso; con dichos valores y la deriva del piso respectivo se puede calcular el momento secundario de cada piso debido al efecto P- ∆. Este momento se divide por la altura del piso y con ello se obtiene una fuerza horizontal equivalente que, aplicada en la placa superior de dicho piso, produciría el mismo efecto. Se vuelve entonces al programa principal para efectuar el análisis correspondiente a dichas fuerzas. El proceso se repite hasta que los momentos secundarios obtenidos se puedan considerar despreciables.
330
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
EJERCICIOS
8.1
Analice por el método de Takabeya los pórticos siguientes. EI (kN⋅m2) Viga:
40000
Columnas:
60000
(a) Dimensiones (b × h, mm)
Viga:
300 × 400 mm
Columnas:
300 × 300 mm
E = 20 kN/mm2
(b) EI (kN⋅m2) Viga:
50000
Columnas:
(c)
Externas:
60000
Internas:
80000
MÉTODO DE TAKABEYA
8.2 8.3
331
Utilice el método de Takabeya para resolver completamente los pórticos de los ejercicios 7.2 (a) y (b) y 6.5 (c). Calcule en cada caso los giros en los nudos y los desplazamientos relativos de piso. Resuelva un pórtico del ejercicio 8.1, suponiendo que las columnas están articuladas en la base. Compare los resultados con los obtenidos anteriormente. REFERENCIAS
8.1
Takabeya, F.- Estructuras de varios pisos, Compañía Editorial Continental, S.A., 1970.
8.2
Botizan, P.- Generalización del método de Takabeya para el cálculo de pórticos de pisos con barras de sección variable, Acier, Stahl, Steel; octubre de 1968, pp. 537 a 544.
8.3
Uribe, J.- Microcomputadores en ingeniería estructural, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia y ECOE Ediciones, 1995.
